বীজগণিতীয় ৰাশি আৰু অভেদসমূহ — প্ৰশ্ন উত্তৰ
HSLC Guru লৈ স্বাগতম। এই পৃষ্ঠাত ASSEB (অসম ৰাজ্যিক বিদ্যালয় শিক্ষা পৰিষদ)ৰ অষ্টম শ্ৰেণীৰ সাধাৰণ গণিতৰ নৱম অধ্যায় বীজগণিতীয় ৰাশি আৰু অভেদসমূহৰ প্ৰতিটো অনুশীলনীৰ (অনুশীলনী ৯.১ আৰু ৯.২) সম্পূৰ্ণ সমাধান ধাপে ধাপে দিয়া হৈছে।
সাৰাংশ
এই অধ্যায়ত আমি বীজগণিতীয় ৰাশিৰ পূৰণ শিকো। সংখ্যাৰ বাবে প্ৰযোজ্য বিনিময় বিধি, সহযোগ বিধি আৰু বিতৰণ বিধি বীজগণিতীয় ৰাশিৰ ক্ষেত্ৰতো খাটে। দুটা বা ততোধিক একপদী ৰাশিৰ পূৰণৰ ক্ষেত্ৰত পূৰণফলৰ সংখ্যাগত সহগ হ’ল পৃথকে সংখ্যাগত সহগবোৰৰ পূৰণফল, আৰু বীজগাণিতিক সহগ হ’ল পৃথকে বীজগাণিতিক সহগবোৰৰ পূৰণফল ($a^m \times a^n = a^{m+n}$ সূচকৰ বিধিৰে)।
একপদী ৰাশিক দ্বিপদ বা ত্ৰিপদ ৰাশিৰে, আৰু দ্বিপদ ৰাশিক দ্বিপদ বা ত্ৰিপদ ৰাশিৰে পূৰণ কৰোঁতে বিতৰণ বিধি $a(b+c)=ab+ac$ প্ৰয়োগ কৰা হয়। পূৰণৰ পিছত সদৃশ পদবোৰ একত্ৰিত কৰা হয়।
চলকৰ সকলো মানৰ বাবে সত্য হোৱা সমতাক অভেদ (identity) বোলে। বীজগণিতত সঘনাই ব্যৱহাৰ হোৱা চাৰিটা মুখ্য অভেদ হ’ল:
$$(x + a)(x + b) = x^2 + (a + b)x + ab$$
$$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$
$$(a – b)^2 = a^2 – 2ab + b^2$$
$$(a + b)(a – b) = a^2 – b^2$$
এই অভেদবোৰ জ্যামিতিকভাৱেও প্ৰমাণ কৰিব পাৰি। তলৰ চিত্ৰত $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ অভেদটো এটা বৰ্গক্ষেত্ৰক চাৰি ভাগত ভগাই দেখুওৱা হৈছে:
Summary: This ASSEB Class 8 General Mathematics Chapter 9 (Algebraic Expressions and Identities) solution covers multiplication of monomials, binomials and trinomials using the commutative, associative and distributive laws, and the four standard algebraic identities (x+a)(x+b)=x²+(a+b)x+ab, (a+b)²=a²+2ab+b², (a−b)²=a²−2ab+b² and (a+b)(a−b)=a²−b². Every question of Exercise 9.1 and Exercise 9.2 is solved step by step with KaTeX working and geometric figures.
পাঠ্যপুথিৰ প্ৰশ্ন আৰু উত্তৰ
অনুশীলনী ৯.১
১। পূৰণফল উলিওৱা:
(i) $3x^2 \times 11xy \times \frac{2}{3}y^2$
উত্তৰঃ সংখ্যাগত সহগ $= 3 \times 11 \times \frac{2}{3} = 22$; চলক $= x^{2+1}y^{1+2} = x^3y^3$। গতিকে পূৰণফল $= 22x^3y^3$।
(ii) $(-5x) \times 3a^2 \times (-3ax)$
উত্তৰঃ সহগ $= (-5)(3)(-3) = 45$; চলক $= a^{2+1}x^{1+1} = a^3x^2$। সেয়ে পূৰণফল $= 45a^3x^2$।
(iii) $(-3pq) \times (-15p^3q^3) \times q^2$
উত্তৰঃ সহগ $= (-3)(-15) = 45$; চলক $= p^{1+3}q^{1+3+2} = p^4q^6$। পূৰণফল $= 45p^4q^6$।
(iv) $3x(5x^2 + 8)$
উত্তৰঃ $= 3x \times 5x^2 + 3x \times 8 = 15x^3 + 24x$।
(v) $\frac{2}{3}y(18y^2 – y)$
উত্তৰঃ $= \frac{2}{3} \times 18\,y^3 – \frac{2}{3}y^2 = 12y^3 – \frac{2}{3}y^2$।
(vi) $(-8a^3)(a + 3b + 2c)$
উত্তৰঃ $= -8a^4 – 24a^3b – 16a^3c$।
(vii) $(3mn – 2n)(-2m^2n)$
উত্তৰঃ $= 3mn \times (-2m^2n) – 2n \times (-2m^2n) = -6m^3n^2 + 4m^2n^2$।
(viii) $(9x^2 + 4x + 3) \times 11x$
উত্তৰঃ $= 99x^3 + 44x^2 + 33x$।
(ix) $(20a^2 – 3b^2 + ab) \times (-7b^2)$
উত্তৰঃ $= -140a^2b^2 + 21b^4 – 7ab^3$।
(x) $3x^3y^2(xy + xy^3 – 2)$
উত্তৰঃ $= 3x^4y^3 + 3x^4y^5 – 6x^3y^2$।
২। পূৰণফল উলিওৱা:
(i) $(x^2 + y)(3x^2y – y^2)$
উত্তৰঃ $= 3x^4y – x^2y^2 + 3x^2y^2 – y^3 = 3x^4y + 2x^2y^2 – y^3$।
(ii) $(7x – 2y)(2x + 7y)$
উত্তৰঃ $= 14x^2 + 49xy – 4xy – 14y^2 = 14x^2 + 45xy – 14y^2$।
(iii) $\left(\frac{1}{4}a^2 + 3b\right)\left(a^3 + \frac{2}{3}b^2\right)$
উত্তৰঃ $= \frac{1}{4}a^5 + \frac{1}{6}a^2b^2 + 3a^3b + 2b^3$।
(iv) $(1.5x – 2.5y)(2.5x – 1.5y)$
উত্তৰঃ $= 3.75x^2 – 2.25xy – 6.25xy + 3.75y^2 = 3.75x^2 – 8.5xy + 3.75y^2$।
(v) $(3x + 4y)(2x^2 + 3y + xy)$
উত্তৰঃ $= 6x^3 + 9xy + 3x^2y + 8x^2y + 12y^2 + 4xy^2 = 6x^3 + 11x^2y + 4xy^2 + 9xy + 12y^2$।
(vi) $(2xy + 5x^2)(x^5y^4 – x^3y^2 + xy)$
উত্তৰঃ $= 2x^6y^5 – 2x^4y^3 + 2x^2y^2 + 5x^7y^4 – 5x^5y^2 + 5x^3y$।
(vii) $(3a^2b^2 – 4c)(a^3b^3 + 2a^4b^3c^3 – 6abc)$
উত্তৰঃ $= 3a^5b^5 + 6a^6b^5c^3 – 18a^3b^3c – 4a^3b^3c – 8a^4b^3c^4 + 24abc^2 = 6a^6b^5c^3 + 3a^5b^5 – 8a^4b^3c^4 – 22a^3b^3c + 24abc^2$।
(viii) $(4x^2y – 5xy^2 + 3xy)(3x^3y – 2)$
উত্তৰঃ $= 12x^5y^2 – 8x^2y – 15x^4y^3 + 10xy^2 + 9x^4y^2 – 6xy = 12x^5y^2 – 15x^4y^3 + 9x^4y^2 – 8x^2y + 10xy^2 – 6xy$।
(ix) $(2x + 3y + z)(5x + 2y + 1)$
উত্তৰঃ $= 10x^2 + 4xy + 2x + 15xy + 6y^2 + 3y + 5xz + 2yz + z = 10x^2 + 19xy + 6y^2 + 5xz + 2yz + 2x + 3y + z$।
(x) $(3x – 2y + z)(3x + 2y – z)$
উত্তৰঃ $(3x – 2y + z)(3x + 2y – z) = \{3x – (2y – z)\}\{3x + (2y – z)\} = (3x)^2 – (2y – z)^2 = 9x^2 – (4y^2 – 4yz + z^2) = 9x^2 – 4y^2 + 4yz – z^2$।
৩। তলৰ ৰাশিসমূহ সৰল কৰা:
(i) $3x(5x + 8) – 10x$
উত্তৰঃ $= 15x^2 + 24x – 10x = 15x^2 + 14x$।
(ii) $(2m + 3m^2)(-2mn)$
উত্তৰঃ $= -4m^2n – 6m^3n$।
(iii) $8(3a + 4b) + 5$
উত্তৰঃ $= 24a + 32b + 5$।
(iv) $2x^2(4x – 1) + 3x(x – 3)$
উত্তৰঃ $= 8x^3 – 2x^2 + 3x^2 – 9x = 8x^3 + x^2 – 9x$।
৪। সৰল কৰা:
(i) $(p + q^2)(q^2 – p) + 15$
উত্তৰঃ $(p + q^2)(q^2 – p) = (q^2 + p)(q^2 – p) = q^4 – p^2$। গতিকে ৰাশিটো $= q^4 – p^2 + 15$।
(ii) $(a – b)(a^2 + ab + b^2) + 3b^3$
উত্তৰঃ $(a – b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 – b^3$। সেয়ে $= a^3 – b^3 + 3b^3 = a^3 + 2b^3$।
(iii) $y^2(y^3 + 3x) + y(2xy + y^2)$
উত্তৰঃ $= y^5 + 3xy^2 + 2xy^2 + y^3 = y^5 + y^3 + 5xy^2$।
(iv) $\left(\frac{2}{3}x^4y^3 + \frac{4}{9}xy^3\right) \times \frac{1}{4} – \frac{1}{6}x^4y^3$
উত্তৰঃ $= \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{4}x^4y^3 + \frac{4}{9} \cdot \frac{1}{4}xy^3 – \frac{1}{6}x^4y^3 = \frac{1}{6}x^4y^3 + \frac{1}{9}xy^3 – \frac{1}{6}x^4y^3 = \frac{1}{9}xy^3$।
(v) $y^3(4y + 5) – (2y + 1)(y^3 + 2y^2 + 1)$
উত্তৰঃ $y^3(4y + 5) = 4y^4 + 5y^3$; $(2y + 1)(y^3 + 2y^2 + 1) = 2y^4 + 5y^3 + 2y^2 + 2y + 1$। বিয়োগ কৰি $= 4y^4 + 5y^3 – 2y^4 – 5y^3 – 2y^2 – 2y – 1 = 2y^4 – 2y^2 – 2y – 1$।
(vi) $(1.2l – 2.5m)(2.5l + 0.2m + 1.2) + 0.06l + 7m$
উত্তৰঃ $(1.2l – 2.5m)(2.5l + 0.2m + 1.2) = 3l^2 + 0.24lm + 1.44l – 6.25lm – 0.5m^2 – 3m$। ইয়াৰ লগত $0.06l + 7m$ যোগ কৰি $= 3l^2 – 6.01lm – 0.5m^2 + 1.5l + 4m$।
কাৰ্য — গুণনৰ তালিকা পূৰণ কৰা
প্ৰশ্নঃ তলৰ পূৰণ তালিকাৰ খালী ঘৰবোৰ পূৰণ কৰা।
উত্তৰঃ প্ৰতিটো ঘৰত (শাৰীৰ ৰাশি) × (স্তম্ভৰ ৰাশি) বহুৱাই সম্পূৰ্ণ তালিকাখন হ’ল:
| × | 6x | –3y | 7xy | –5x²y | 8x²y³ |
|---|---|---|---|---|---|
| 6x | 36x² | –18xy | 42x²y | –30x³y | 48x³y³ |
| –3y | –18xy | 9y² | –21xy² | 15x²y² | –24x²y⁴ |
| 7xy | 42x²y | –21xy² | 49x²y² | –35x³y² | 56x³y⁴ |
| –5x²y | –30x³y | 15x²y² | –35x³y² | 25x⁴y² | –40x⁴y⁴ |
| 8x²y³ | 48x³y³ | –24x²y⁴ | 56x³y⁴ | –40x⁴y⁴ | 64x⁴y⁶ |
অনুশীলনী ৯.২
এই চিত্ৰত $(x + a)(x + b) = x^2 + (a + b)x + ab$ অভেদটো এটা আয়তক চাৰি ভাগত ভগাই দেখুওৱা হৈছে:
১। $(x + a)(x + b) = x^2 + (a + b)x + ab$ অভেদ ব্যৱহাৰ কৰি তলৰ ৰাশিবোৰৰ পূৰণফল উলিওৱা:
(i) $(x + 7)(x + 5)$
উত্তৰঃ $= x^2 + (7 + 5)x + 7 \times 5 = x^2 + 12x + 35$।
(ii) $(7x + 2y)(7x + 6y)$
উত্তৰঃ $= (7x)^2 + (2y + 6y)(7x) + 2y \times 6y = 49x^2 + 56xy + 12y^2$।
(iii) $(4x^3 + 8)(4x^3 + 10)$
উত্তৰঃ $= (4x^3)^2 + (8 + 10)(4x^3) + 8 \times 10 = 16x^6 + 72x^3 + 80$।
(iv) $(4k^2 – 3k)(4k^2 – 7k)$
উত্তৰঃ $= (4k^2)^2 + (-3k – 7k)(4k^2) + (-3k)(-7k) = 16k^4 – 40k^3 + 21k^2$।
(v) $\left(\frac{a}{2} + \frac{1}{2}\right)\left(\frac{a}{2} – \frac{1}{4}\right)$
উত্তৰঃ $= \left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2} – \frac{1}{4}\right)\frac{a}{2} + \frac{1}{2} \times \left(-\frac{1}{4}\right) = \frac{a^2}{4} + \frac{a}{8} – \frac{1}{8}$।
(vi) $\left(\frac{n^2}{5} – 0.6\right)\left(\frac{n^2}{5} + 1.6\right)$
উত্তৰঃ $= \left(\frac{n^2}{5}\right)^2 + (-0.6 + 1.6)\frac{n^2}{5} + (-0.6)(1.6) = \frac{n^4}{25} + \frac{n^2}{5} – 0.96$।
(vii) $98 \times 97$
উত্তৰঃ $98 \times 97 = (100 – 2)(100 – 3) = 100^2 + (-2 – 3)(100) + (-2)(-3) = 10000 – 500 + 6 = 9506$।
(viii) $501 \times 503$
উত্তৰঃ $501 \times 503 = (500 + 1)(500 + 3) = 500^2 + (1 + 3)(500) + 1 \times 3 = 250000 + 2000 + 3 = 252003$।
২। $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ অভেদ ব্যৱহাৰ কৰি তলৰ বৰ্গবোৰৰ মান উলিওৱা:
(i) $(x + 5)^2$
উত্তৰঃ $= x^2 + 2 \times x \times 5 + 5^2 = x^2 + 10x + 25$।
(ii) $(5x + 4y)^2$
উত্তৰঃ $= (5x)^2 + 2 \times 5x \times 4y + (4y)^2 = 25x^2 + 40xy + 16y^2$।
(iii) $(3a^3 + 4a^2)^2$
উত্তৰঃ $= (3a^3)^2 + 2 \times 3a^3 \times 4a^2 + (4a^2)^2 = 9a^6 + 24a^5 + 16a^4$।
(iv) $\left(3x + \frac{1}{3x}\right)^2$
উত্তৰঃ $= (3x)^2 + 2 \times 3x \times \frac{1}{3x} + \left(\frac{1}{3x}\right)^2 = 9x^2 + 2 + \frac{1}{9x^2}$।
(v) $\left(\frac{p}{q} + \frac{q}{p}\right)^2$
উত্তৰঃ $= \frac{p^2}{q^2} + 2 \times \frac{p}{q} \times \frac{q}{p} + \frac{q^2}{p^2} = \frac{p^2}{q^2} + 2 + \frac{q^2}{p^2}$।
(vi) $502^2$
উত্তৰঃ $502^2 = (500 + 2)^2 = 500^2 + 2 \times 500 \times 2 + 2^2 = 250000 + 2000 + 4 = 252004$।
(vii) $(9.5)^2$
উত্তৰঃ $(9.5)^2 = (9 + 0.5)^2 = 81 + 2 \times 9 \times 0.5 + 0.25 = 81 + 9 + 0.25 = 90.25$।
(viii) $\left(4\frac{1}{8}\right)^2$
উত্তৰঃ $\left(4 + \frac{1}{8}\right)^2 = 4^2 + 2 \times 4 \times \frac{1}{8} + \left(\frac{1}{8}\right)^2 = 16 + 1 + \frac{1}{64} = 17\frac{1}{64} = \frac{1089}{64}$।
৩। $(a – b)^2 = a^2 – 2ab + b^2$ অভেদ ব্যৱহাৰ কৰি তলৰ বৰ্গবোৰৰ মান উলিওৱা:
(i) $(x – 7)^2$
উত্তৰঃ $= x^2 – 2 \times x \times 7 + 7^2 = x^2 – 14x + 49$।
(ii) $(6x – 5)^2$
উত্তৰঃ $= (6x)^2 – 2 \times 6x \times 5 + 5^2 = 36x^2 – 60x + 25$।
(iii) $(10x^2 – 3y)^2$
উত্তৰঃ $= (10x^2)^2 – 2 \times 10x^2 \times 3y + (3y)^2 = 100x^4 – 60x^2y + 9y^2$।
(iv) $(p^2 – q^2)^2$
উত্তৰঃ $= (p^2)^2 – 2 \times p^2 \times q^2 + (q^2)^2 = p^4 – 2p^2q^2 + q^4$।
(v) $(a^2x – ax^2)^2$
উত্তৰঃ $= (a^2x)^2 – 2 \times a^2x \times ax^2 + (ax^2)^2 = a^4x^2 – 2a^3x^3 + a^2x^4$।
(vi) $\left(x^2 – \frac{1}{x^2}\right)^2$
উত্তৰঃ $= (x^2)^2 – 2 \times x^2 \times \frac{1}{x^2} + \left(\frac{1}{x^2}\right)^2 = x^4 – 2 + \frac{1}{x^4}$।
(vii) $296^2$
উত্তৰঃ $296^2 = (300 – 4)^2 = 90000 – 2400 + 16 = 87616$।
(viii) $1999^2$
উত্তৰঃ $1999^2 = (2000 – 1)^2 = 4000000 – 4000 + 1 = 3996001$।
৪। $(a + b)(a – b) = a^2 – b^2$ অভেদ ব্যৱহাৰ কৰি তলৰ ৰাশিবোৰৰ পূৰণফল উলিওৱা:
(i) $(y + 11)(y – 11)$
উত্তৰঃ $= y^2 – 11^2 = y^2 – 121$।
(ii) $(2x + 3)(2x – 3)$
উত্তৰঃ $= (2x)^2 – 3^2 = 4x^2 – 9$।
(iii) $(6 + m^2)(m^2 – 6)$
উত্তৰঃ $= (m^2 + 6)(m^2 – 6) = (m^2)^2 – 6^2 = m^4 – 36$।
(iv) $(ax^2 – by)(ax^2 + by)$
উত্তৰঃ $= (ax^2)^2 – (by)^2 = a^2x^4 – b^2y^2$।
(v) $(1 – x^m)(1 + x^m)$
উত্তৰঃ $= 1^2 – (x^m)^2 = 1 – x^{2m}$।
(vi) $61 \times 59$
উত্তৰঃ $61 \times 59 = (60 + 1)(60 – 1) = 60^2 – 1^2 = 3600 – 1 = 3599$।
(vii) $106 \times 94$
উত্তৰঃ $106 \times 94 = (100 + 6)(100 – 6) = 10000 – 36 = 9964$।
(viii) $9.5 \times 8.5$
উত্তৰঃ $9.5 \times 8.5 = (9 + 0.5)(9 – 0.5) = 81 – 0.25 = 80.75$।
৫। উপযুক্ত অভেদ ব্যৱহাৰ কৰি তলৰ ৰাশিবোৰৰ পূৰণফল উলিওৱা:
(i) $(3x – 5m)(3x – 5m)$
উত্তৰঃ $= (3x – 5m)^2 = (3x)^2 – 2 \times 3x \times 5m + (5m)^2 = 9x^2 – 30xm + 25m^2$।
(ii) $(4m + 3)(4m + 2)$
উত্তৰঃ $= (4m)^2 + (3 + 2)(4m) + 3 \times 2 = 16m^2 + 20m + 6$।
(iii) $(9 + 4n)^2$
উত্তৰঃ $= 9^2 + 2 \times 9 \times 4n + (4n)^2 = 81 + 72n + 16n^2$।
(iv) $\left(6x + \frac{1}{3}\right)(6x + 3)$
উত্তৰঃ $= (6x)^2 + \left(\frac{1}{3} + 3\right)(6x) + \frac{1}{3} \times 3 = 36x^2 + \frac{10}{3} \times 6x + 1 = 36x^2 + 20x + 1$।
(v) $(4ab – c)(4ab + c)$
উত্তৰঃ $= (4ab)^2 – c^2 = 16a^2b^2 – c^2$।
(vi) $\left(x – \frac{x}{2}\right)^2$
উত্তৰঃ $x – \frac{x}{2} = \frac{x}{2}$; গতিকে $\left(\frac{x}{2}\right)^2 = \frac{x^2}{4}$।
(vii) $\left(\frac{a^2}{2} + \frac{b^2}{4}\right)\left(\frac{a^2}{2} + \frac{b^2}{4}\right)$
উত্তৰঃ $= \left(\frac{a^2}{2} + \frac{b^2}{4}\right)^2 = \left(\frac{a^2}{2}\right)^2 + 2 \times \frac{a^2}{2} \times \frac{b^2}{4} + \left(\frac{b^2}{4}\right)^2 = \frac{a^4}{4} + \frac{a^2b^2}{4} + \frac{b^4}{16}$।
(viii) $(0.5x^2 – 0.2y^2)^2$
উত্তৰঃ $= (0.5x^2)^2 – 2 \times 0.5x^2 \times 0.2y^2 + (0.2y^2)^2 = 0.25x^4 – 0.2x^2y^2 + 0.04y^4$।
(ix) $(-9x^2 + y^3)(9x^2 + y^3)$
উত্তৰঃ $= (y^3 – 9x^2)(y^3 + 9x^2) = (y^3)^2 – (9x^2)^2 = y^6 – 81x^4$।
(x) $\left(\frac{y^2}{2} – 4\right)\left(\frac{y^2}{2} + 6\right)$
উত্তৰঃ $= \left(\frac{y^2}{2}\right)^2 + (-4 + 6)\frac{y^2}{2} + (-4)(6) = \frac{y^4}{4} + y^2 – 24$।
(xi) $\left(7x^2 + \frac{1}{3}\right)^2$
উত্তৰঃ $= (7x^2)^2 + 2 \times 7x^2 \times \frac{1}{3} + \left(\frac{1}{3}\right)^2 = 49x^4 + \frac{14}{3}x^2 + \frac{1}{9}$।
(xii) $(x + y + z)(x + y – z)$
উত্তৰঃ $= \{(x + y) + z\}\{(x + y) – z\} = (x + y)^2 – z^2 = x^2 + 2xy + y^2 – z^2$।
(xiii) $1002 \times 999$
উত্তৰঃ $1002 \times 999 = (1000 + 2)(1000 – 1) = 1000^2 + (2 – 1)(1000) + 2 \times (-1) = 1000000 + 1000 – 2 = 1000998$।
(xiv) $(10.2)^2$
উত্তৰঃ $(10.2)^2 = (10 + 0.2)^2 = 100 + 4 + 0.04 = 104.04$।
(xv) $79^2$
উত্তৰঃ $79^2 = (80 – 1)^2 = 6400 – 160 + 1 = 6241$।
(xvi) $6.2 \times 5.8$
উত্তৰঃ $6.2 \times 5.8 = (6 + 0.2)(6 – 0.2) = 36 – 0.04 = 35.96$।
৬। সৰল কৰা:
(i) $\left(x + \frac{1}{x}\right)\left(2x + \frac{1}{x}\right)$
উত্তৰঃ $= 2x^2 + 1 + 2 + \frac{1}{x^2} = 2x^2 + 3 + \frac{1}{x^2}$।
(ii) $(2l + m)^2 – (2l – m)^2$
উত্তৰঃ $(A + B)^2 – (A – B)^2 = 4AB$ ব্যৱহাৰ কৰি $= 4 \times 2l \times m = 8lm$।
(iii) $(a^2b + ab^2)^2 – 6a^3b^3$
উত্তৰঃ $(a^2b + ab^2)^2 = a^4b^2 + 2a^3b^3 + a^2b^4$। গতিকে $= a^4b^2 + 2a^3b^3 + a^2b^4 – 6a^3b^3 = a^4b^2 – 4a^3b^3 + a^2b^4$।
(iv) $(x + y)(x – y) + (y + z)(y – z) + (z + x)(z – x)$
উত্তৰঃ $= (x^2 – y^2) + (y^2 – z^2) + (z^2 – x^2) = 0$।
(v) $(5a – 6b)^2 + 20ab – (6b + 5a)^2$
উত্তৰঃ $(5a – 6b)^2 – (5a + 6b)^2 = \{(5a – 6b) + (5a + 6b)\}\{(5a – 6b) – (5a + 6b)\} = (10a)(-12b) = -120ab$। গতিকে $= -120ab + 20ab = -100ab$।
(vi) $(4p^2 + 5q^2)(4p^2 – 5q^2) + (2p^2 – 5q^2)^2$
উত্তৰঃ $= (16p^4 – 25q^4) + (4p^4 – 20p^2q^2 + 25q^4) = 20p^4 – 20p^2q^2$।
(vii) $(2x – 5)(2x + 3) – (x – 2)^2 + 29$
উত্তৰঃ $(2x – 5)(2x + 3) = 4x^2 – 4x – 15$; $(x – 2)^2 = x^2 – 4x + 4$। গতিকে $= 4x^2 – 4x – 15 – x^2 + 4x – 4 + 29 = 3x^2 + 10$।
(viii) $\left(\frac{x}{3} – \frac{3y}{4}\right)\left(\frac{x}{3} + \frac{3y}{4}\right) + \left(\frac{3y}{4} + 3x\right)\left(\frac{3y}{4} + x\right)$
উত্তৰঃ প্ৰথম অংশ $= \frac{x^2}{9} – \frac{9y^2}{16}$; দ্বিতীয় অংশ $= \frac{9y^2}{16} + (3x + x)\frac{3y}{4} + 3x^2 = \frac{9y^2}{16} + 3xy + 3x^2$। যোগ কৰি $= \frac{x^2}{9} + 3x^2 + 3xy = \frac{28x^2}{9} + 3xy$।
(ix) $\left(\frac{x}{5} + \frac{y}{5}\right)^2 + 2\left(\frac{x}{5} + \frac{y}{5}\right)\left(\frac{x}{5} – \frac{y}{5}\right) + \left(\frac{x}{5} – \frac{y}{5}\right)^2$
উত্তৰঃ ইয়াক $A^2 + 2AB + B^2 = (A + B)^2$ ৰূপত লিখিব পাৰি, য’ত $A = \frac{x}{5} + \frac{y}{5}$ আৰু $B = \frac{x}{5} – \frac{y}{5}$। $A + B = \frac{2x}{5}$; গতিকে $= \left(\frac{2x}{5}\right)^2 = \frac{4x^2}{25}$।
(x) $2.89 \times 2.89 + 0.22 \times 2.89 + 0.0121$
উত্তৰঃ ইয়াত $a = 2.89$, $b = 0.11$ ($0.22 = 2 \times 0.11$, $0.0121 = 0.11^2$)। গতিকে $= a^2 + 2ab + b^2 = (2.89 + 0.11)^2 = 3^2 = 9$।
(xi) $\dfrac{0.25 – 2 \times 0.5 \times 3.5 + 12.25}{3}$
উত্তৰঃ লব $= (0.5)^2 – 2 \times 0.5 \times 3.5 + (3.5)^2 = (0.5 – 3.5)^2 = 9$। গতিকে $= \frac{9}{3} = 3$।
(xii) $\dfrac{4.68 \times 4.68 – 3.32 \times 3.32}{1.36}$
উত্তৰঃ লব $= (4.68)^2 – (3.32)^2 = (4.68 + 3.32)(4.68 – 3.32) = 8 \times 1.36 = 10.88$। গতিকে $= \frac{10.88}{1.36} = 8$।
৭। দেখুওৱা যে:
(i) $(a – b + c – d)^2 – (a + b – c + d)^2 + 4a(b + d) = 4ca$
উত্তৰঃ ধৰক $P = a – b + c – d$, $Q = a + b – c + d$। তেন্তে $P + Q = 2a$ আৰু $P – Q = 2(c – b – d)$। সেয়ে $P^2 – Q^2 = (P + Q)(P – Q) = 2a \times 2(c – b – d) = 4ac – 4ab – 4ad$। ইয়াৰ লগত $4a(b + d) = 4ab + 4ad$ যোগ কৰিলে বাওঁফাল $= 4ac – 4ab – 4ad + 4ab + 4ad = 4ac = 4ca$ = সোঁফাল। (প্ৰমাণিত)
(ii) $(1.5x^2 + 1.2y)^2 – (1.5x^2 – 1.2y)^2 = 7.2x^2y$
উত্তৰঃ $(A + B)^2 – (A – B)^2 = 4AB$ ব্যৱহাৰ কৰি, $A = 1.5x^2$, $B = 1.2y$: বাওঁফাল $= 4 \times 1.5x^2 \times 1.2y = 7.2x^2y$ = সোঁফাল। (প্ৰমাণিত)
(iii) $\left(\frac{2}{3}x^2 + 5\right)^2 – 25 = \frac{4}{9}x^4 + \frac{20}{3}x^2$
উত্তৰঃ বাওঁফাল $= \left(\frac{2}{3}x^2\right)^2 + 2 \times \frac{2}{3}x^2 \times 5 + 25 – 25 = \frac{4}{9}x^4 + \frac{20}{3}x^2$ = সোঁফাল। (প্ৰমাণিত)
(iv) $(a^2 + b^2)(a^2 – b^2) + (b^2 + c^2)(b^2 – c^2) + 2c^2(c^2 – a^2) = (c^2 – a^2)^2$
উত্তৰঃ বাওঁফাল $= (a^4 – b^4) + (b^4 – c^4) + 2c^4 – 2a^2c^2 = a^4 – c^4 + 2c^4 – 2a^2c^2 = a^4 + c^4 – 2a^2c^2 = (c^2 – a^2)^2$ = সোঁফাল। (প্ৰমাণিত)
৮। উপযুক্ত অভেদ ব্যৱহাৰ কৰি তলৰ সমস্যাবোৰ সমাধান কৰা:
(i) এখন আয়তাকৃতি খেলপথাৰৰ দীঘ $(x + 8)$ মিটাৰ আৰু প্ৰস্থ দীঘতকৈ ৩ মিটাৰ কম। খেলপথাৰখনৰ কালি উলিওৱা।
উত্তৰঃ প্ৰস্থ $= (x + 8) – 3 = (x + 5)$ মিটাৰ। কালি $= (x + 8)(x + 5) = x^2 + (8 + 5)x + 40 = x^2 + 13x + 40$ বৰ্গমিটাৰ।
(ii) এখন বৰ্গাকৃতি বাগিচাৰ দীঘ $\left(2x + \frac{1}{4}\right)$ মিটাৰ। বাগিচাখনৰ কালি নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ কালি $= \left(2x + \frac{1}{4}\right)^2 = (2x)^2 + 2 \times 2x \times \frac{1}{4} + \left(\frac{1}{4}\right)^2 = 4x^2 + x + \frac{1}{16}$ বৰ্গমিটাৰ।
(iii) এজন খেতিয়কে দুখন বৰ্গাকৃতি মাটিত জহাধান আৰু বৰাধান খেতি কৰিলে। জহাধান খেতি কৰা মাটিৰ দীঘ বৰাধান খেতি কৰা মাটিতকৈ ৫ মিটাৰ বেছি। দুয়োখন মাটিৰ কালিৰ পাৰ্থক্য উলিওৱা।
উত্তৰঃ ধৰক বৰাধানৰ মাটিৰ বাহু $x$ মিটাৰ, তেন্তে জহাধানৰ মাটিৰ বাহু $(x + 5)$ মিটাৰ। কালিৰ পাৰ্থক্য $= (x + 5)^2 – x^2 = \{(x + 5) + x\}\{(x + 5) – x\} = (2x + 5)(5) = (10x + 25)$ বৰ্গমিটাৰ।
(iv) যদি ১ বৰ্গমিটাৰ দেৱালত ৰং কৰোঁতে ৯.০০ টকা খৰচ হয়, তেন্তে ১০৭ মিটাৰ দীঘ আৰু ৯৩ মিটাৰ প্ৰস্থৰ দেৱাল এখন ৰং কৰিবলৈ কিমান টকাৰ প্ৰয়োজন হ’ব?
উত্তৰঃ দেৱালৰ কালি $= 107 \times 93 = (100 + 7)(100 – 7) = 10000 – 49 = 9951$ বৰ্গমিটাৰ। খৰচ $= 9951 \times 9 = 89559$ টকা।
(v) ১৯৭ মিটাৰ দৈৰ্ঘ্যৰ বৰ্গাকৃতি পথাৰ এখনৰ কালি উলিওৱা।
উত্তৰঃ কালি $= 197^2 = (200 – 3)^2 = 40000 – 1200 + 9 = 38809$ বৰ্গমিটাৰ।
(vi) যদি $x + \frac{1}{x} = 3$ হয়, তেন্তে $x^2 + \frac{1}{x^2}$ আৰু $x^4 + \frac{1}{x^4}$ ৰ মান নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ $x^2 + \frac{1}{x^2} = \left(x + \frac{1}{x}\right)^2 – 2 = 9 – 2 = 7$। আকৌ $x^4 + \frac{1}{x^4} = \left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right)^2 – 2 = 49 – 2 = 47$।
(vii) যদি $2x – \frac{1}{2x} = 2$ হয়, তেন্তে $4x^2 + \frac{1}{4x^2}$ আৰু $16x^4 – \frac{1}{16x^4}$ ৰ মান নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ $4x^2 + \frac{1}{4x^2} = \left(2x – \frac{1}{2x}\right)^2 + 2 = 4 + 2 = 6$। আকৌ $\left(2x + \frac{1}{2x}\right)^2 = \left(2x – \frac{1}{2x}\right)^2 + 4 = 8$, গতিকে $2x + \frac{1}{2x} = 2\sqrt{2}$; সেয়ে $4x^2 – \frac{1}{4x^2} = \left(2x – \frac{1}{2x}\right)\left(2x + \frac{1}{2x}\right) = 2 \times 2\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$। শেষত $16x^4 – \frac{1}{16x^4} = \left(4x^2 – \frac{1}{4x^2}\right)\left(4x^2 + \frac{1}{4x^2}\right) = 4\sqrt{2} \times 6 = 24\sqrt{2}$।
(viii) যদি $a – b = 10$ আৰু $ab = 11$ হয়, তেন্তে $a + b$ ৰ মান নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ $(a + b)^2 = (a – b)^2 + 4ab = 10^2 + 4 \times 11 = 100 + 44 = 144$। গতিকে $a + b = \sqrt{144} = 12$ (ধনাত্মক মান)।
অতিৰিক্ত প্ৰশ্ন আৰু উত্তৰ
বহুবিকল্পযুক্ত প্ৰশ্ন (MCQ)
১। $(a + b)^2$ ৰ মান হ’ল—
(ক) $a^2 + b^2$ (খ) $a^2 + 2ab + b^2$ (গ) $a^2 – 2ab + b^2$ (ঘ) $a^2 – b^2$
উত্তৰঃ (খ) $a^2 + 2ab + b^2$।
২। $(a + b)(a – b)$ ৰ মান হ’ল—
(ক) $a^2 + b^2$ (খ) $2ab$ (গ) $a^2 – b^2$ (ঘ) $a^2 – 2ab + b^2$
উত্তৰঃ (গ) $a^2 – b^2$।
৩। $5x \times (-8x^3y)$ ৰ পূৰণফল হ’ল—
(ক) $-40x^4y$ (খ) $40x^4y$ (গ) $-40x^3y$ (ঘ) $-13x^4y$
উত্তৰঃ (ক) $-40x^4y$।
৪। $(x + 3)(x + 4)$ ৰ মান হ’ল—
(ক) $x^2 + 12x + 7$ (খ) $x^2 + 7x + 12$ (গ) $x^2 + 7x + 7$ (ঘ) $x^2 + 12$
উত্তৰঃ (খ) $x^2 + 7x + 12$।
৫। $102^2$ ৰ মান হ’ল—
(ক) $10404$ (খ) $10204$ (গ) $10440$ (ঘ) $10004$
উত্তৰঃ (ক) $10404$ ($(100 + 2)^2 = 10000 + 400 + 4$)।
৬। $99 \times 101$ ৰ মান হ’ল—
(ক) $9999$ (খ) $10000$ (গ) $9899$ (ঘ) $10099$
উত্তৰঃ (ক) $9999$ ($(100 – 1)(100 + 1) = 10000 – 1$)।
৭। $(2x)^2$ ৰ মান হ’ল—
(ক) $2x^2$ (খ) $4x^2$ (গ) $4x$ (ঘ) $2x$
উত্তৰঃ (খ) $4x^2$।
৮। তিনিটা পদযুক্ত বীজগণিতীয় ৰাশিক কি বোলে?
(ক) একপদী (খ) দ্বিপদ (গ) ত্ৰিপদ (ঘ) বহুপদ
উত্তৰঃ (গ) ত্ৰিপদ ৰাশি।
৯। $a^m \times a^n$ ৰ মান হ’ল—
(ক) $a^{m-n}$ (খ) $a^{mn}$ (গ) $a^{m+n}$ (ঘ) $a^{m/n}$
উত্তৰঃ (গ) $a^{m+n}$।
১০। $(a – b)^2 + 2ab$ ৰ মান হ’ল—
(ক) $a^2 + b^2$ (খ) $a^2 – b^2$ (গ) $2ab$ (ঘ) $a^2 + 2ab + b^2$
উত্তৰঃ (ক) $a^2 + b^2$ ($a^2 – 2ab + b^2 + 2ab = a^2 + b^2$)।
খালী ঠাই পূৰ কৰা
১। $(a + b)^2 – (a – b)^2 = $ ______।
উত্তৰঃ $4ab$।
২। $(a + b)^2 + (a – b)^2 = $ ______।
উত্তৰঃ $2(a^2 + b^2)$।
৩। $(x + a)(x + b) = x^2 + $ ______ $x + ab$।
উত্তৰঃ $(a + b)$।
৪। এটা পদযুক্ত বীজগণিতীয় ৰাশিক ______ ৰাশি বোলে।
উত্তৰঃ একপদী।
৫। $101 \times 99 = $ ______।
উত্তৰঃ $9999$।
শুদ্ধ নে অশুদ্ধ লিখা
১। $(a + b)^2 = a^2 + b^2$।
উত্তৰঃ অশুদ্ধ। ($(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$)
২। বিসদৃশ পদ যোগ বা বিয়োগ কৰিব পাৰি।
উত্তৰঃ অশুদ্ধ। কেৱল সদৃশ পদহে যোগ বা বিয়োগ কৰিব পাৰি।
৩। $(a + b)(a – b) = a^2 – b^2$।
উত্তৰঃ শুদ্ধ।
৪। $x \times x = x^2$।
উত্তৰঃ শুদ্ধ।
৫। অভেদ চলকৰ সকলো মানৰ বাবে সত্য হয়।
উত্তৰঃ শুদ্ধ।
চমু উত্তৰৰ প্ৰশ্ন
১। $4x^2 \times 3xy$ ৰ পূৰণফল উলিওৱা।
উত্তৰঃ $= 12x^3y$।
২। $(x + 2)^2 – (x – 2)^2$ সৰল কৰা।
উত্তৰঃ $(A + B)^2 – (A – B)^2 = 4AB$ ব্যৱহাৰ কৰি $= 4 \times x \times 2 = 8x$।
৩। $103^2$ ৰ মান অভেদৰ সহায়ত নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ $103^2 = (100 + 3)^2 = 10000 + 600 + 9 = 10609$।
৪। যদি $a + b = 7$ আৰু $ab = 12$ হয়, তেন্তে $a^2 + b^2$ ৰ মান উলিওৱা।
উত্তৰঃ $a^2 + b^2 = (a + b)^2 – 2ab = 49 – 24 = 25$।
শব্দাৰ্থ
| অসমীয়া শব্দ | English term | অৰ্থ |
|---|---|---|
| বীজগণিতীয় ৰাশি | Algebraic expression | চলক আৰু ধ্ৰুৱকেৰে গঠিত গাণিতিক ৰাশি |
| অভেদ | Identity | চলকৰ সকলো মানৰ বাবে সত্য হোৱা সমতা |
| একপদী ৰাশি | Monomial | এটা পদযুক্ত ৰাশি |
| দ্বিপদ ৰাশি | Binomial | দুটা পদযুক্ত ৰাশি |
| ত্ৰিপদ ৰাশি | Trinomial | তিনিটা পদযুক্ত ৰাশি |
| সহগ | Coefficient | পদৰ সংখ্যাগত বা বীজগাণিতিক গুণক |
| পূৰণ | Multiplication | দুই বা ততোধিক ৰাশিৰ গুণন |
| সদৃশ পদ | Like terms | একে চলক আৰু একে সূচকযুক্ত পদ |
| বিতৰণ বিধি | Distributive law | $a(b + c) = ab + ac$ |
| বৰ্গ | Square | কোনো ৰাশিক নিজেৰে পূৰণ কৰা |