ঘন আৰু ঘনমূল — প্ৰশ্ন উত্তৰ
HSLC Guru-ত আপোনাক স্বাগতম। এই পাঠত ASSEB (অসম ৰাজ্যিক বিদ্যালয় শিক্ষা পৰিষদ) Class 8 সাধাৰণ গণিতৰ সপ্তম অধ্যায় ঘন আৰু ঘনমূলৰ আটাইবোৰ পাঠ্যপুথিৰ উদাহৰণ, নিজে চেষ্টা কৰা কাৰ্য আৰু অনুশীলনী ৭.১ ও ৭.২ ৰ সম্পূৰ্ণ সমাধান ধাপে ধাপে দিয়া হৈছে।
সাৰাংশ
কোনো এটা সংখ্যাক নিজৰ সৈতে তিনিবাৰ পূৰণ কৰিলে যি সংখ্যা পোৱা যায়, তাক সেই সংখ্যাটোৰ ঘন (cube) বোলে; যেনে $2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8$ আৰু $3^3 = 27$। এনে সংখ্যা 1, 8, 27, 64, 125 আদিক পূৰ্ণ ঘন সংখ্যা বোলে। 1 ৰ পৰা 1000 লৈ মাত্ৰ 10 টা পূৰ্ণ ঘন সংখ্যা আছে।
কোনো সংখ্যা পূৰ্ণ ঘন হয় নে নহয় জানিবলৈ তাৰ মৌলিক উৎপাদকবোৰ উলিয়াই তিনি তিনিটাকৈ দল পাতিব লাগে। প্ৰতিটো মৌলিক উৎপাদক তিনিটাকৈ সম্পূৰ্ণ দল হ’লে সংখ্যাটো পূৰ্ণ ঘন। দল পূৰ্ণ নহ’লে কোন ক্ষুদ্ৰতম সংখ্যাৰে পূৰণ বা হৰণ কৰিলে পূৰ্ণ ঘন পোৱা যায় তাক এই পদ্ধতিৰে নিৰ্ণয় কৰিব পাৰি।
ঘনৰ বিপৰীত ক্ৰিয়াটোৱেই হ’ল ঘনমূল (cube root), যাৰ চিন $\sqrt[3]{\ }$। ঘনমূল মৌলিক উৎপাদক বিশ্লেষণ পদ্ধতিৰে বা অনুমানভিত্তিক পদ্ধতিৰে উলিয়াব পাৰি। লগতে জোৰ সংখ্যাৰ ঘন জোৰ, বিজোৰ সংখ্যাৰ ঘন বিজোৰ, ঘন সংখ্যাৰ কিছুমান আমোদজনক চানেকি আৰু ৰামানুজন সংখ্যা 1729 ৰ বিষয়েও এই অধ্যায়ত পঢ়া হয়।
Summary: This ASSEB Class 8 General Mathematics Chapter 7 (Cubes and Cube Roots) solution explains cube numbers, testing perfect cubes by prime factorisation, finding the smallest number to multiply or divide by, cube roots by the prime factorisation and estimation methods, cube-square patterns and the Ramanujan number 1729, with full worked answers to Exercise 7.1 and Exercise 7.2.
পাঠ্যপুথিৰ প্ৰশ্ন আৰু উত্তৰ
৭.১ ঘন সংখ্যা — মূল ধাৰণা
1 ৰ পৰা 1000 লৈ কিমান পূৰ্ণ ঘন সংখ্যা আছে? তালিকা সম্পূৰ্ণ কৰা।
উত্তৰঃ 1 ৰ পৰা 10 লৈ সংখ্যাবোৰৰ ঘন উলিয়ালে পোৱা যায় $1^3=1$, $2^3=8$, $3^3=27$, $4^3=64$, $5^3=125$, $6^3=216$, $7^3=343$, $8^3=512$, $9^3=729$, $10^3=1000$। গতিকে 1 ৰ পৰা 1000 লৈ মাত্ৰ 10 টা পূৰ্ণ ঘন সংখ্যা আছে।
| সংখ্যা | ঘন | ঘন সংখ্যা |
|---|---|---|
| 1 | $1^3$ | 1 |
| 2 | $2^3$ | 8 |
| 3 | $3^3$ | 27 |
| 4 | $4^3$ | 64 |
| 5 | $5^3$ | 125 |
| 6 | $6^3$ | 216 |
| 7 | $7^3$ | 343 |
| 8 | $8^3$ | 512 |
| 9 | $9^3$ | 729 |
| 10 | $10^3$ | 1000 |
50 এটা ঘন সংখ্যা হয়নে? আৰু 1728 এটা ঘন সংখ্যা হয়নে?
উত্তৰঃ $50 = 2 \times 5 \times 5$; ইয়াত একেটা মৌলিক উৎপাদক তিনিবাৰ অহা নাই, সেয়েহে 50 ঘন সংখ্যা নহয়। কিন্তু $1728 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3 = 2^3 \times 2^3 \times 3^3 = (2 \times 2 \times 3)^3 = 12^3$, গতিকে 1728 = 12³ এটা পূৰ্ণ ঘন সংখ্যা, ই 12 ৰ ঘন।
সমাধান কৰা উদাহৰণ (উদাহৰণ ১–৬)
উদাহৰণ ১: 100 এটা ঘন সংখ্যা হয়নে পৰীক্ষা কৰা।
উত্তৰঃ $100 = 10 \times 10 = 2 \times 5 \times 2 \times 5 = 2 \times 2 \times 5 \times 5$। ইয়াত 2 আৰু 5 দুয়োটা মাত্ৰ দুবাৰকৈ আছে, তিনি তিনিটাকৈ দল নাপাতে; সেয়েহে 100 পূৰ্ণ ঘন সংখ্যা নহয়। কিন্তু $100 = 10^2$ হোৱাত ই এটা বৰ্গ সংখ্যা। (মন কৰিব, $64 = 4^3 = 8^2$, গতিকে 64 বৰ্গও আৰু ঘনও।)
উদাহৰণ ২: 243 পূৰ্ণ ঘন সংখ্যা নেকি? নহ’লে কোন ক্ষুদ্ৰতম স্বাভাৱিক সংখ্যাৰে পূৰণ কৰিলে পূৰ্ণ ঘন হ’ব?
উত্তৰঃ $243 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 3^5$। তিনি তিনিটাকৈ দল পাতিলে এটা দল ($3^3$) পূৰ্ণ হয় কিন্তু $3 \times 3$ অৱশিষ্ট থাকে; গতিকে 243 পূৰ্ণ ঘন নহয়। এটা $3^3$ পূৰ্ণ কৰিবলৈ আৰু এটা 3 লাগে, সেয়েহে ক্ষুদ্ৰতম সংখ্যা 3 ৰে পূৰণ কৰিব লাগে; তেতিয়া $243 \times 3 = 729 = 9^3$।
উদাহৰণ ৩: 2187 পূৰ্ণ ঘন সংখ্যা নেকি? নহ’লে কোন ক্ষুদ্ৰতম সংখ্যাৰে হৰণ কৰিলে পূৰ্ণ ঘন হ’ব?
উত্তৰঃ $2187 = 3^7$। তিনি তিনিটাকৈ দুটা দল ($3^3 \times 3^3 = 3^6$) পাতিলে এটা 3 অৱশিষ্ট থাকে, গতিকে 2187 পূৰ্ণ ঘন নহয়। এটা 3 আঁতৰালেই $3^6 = 729 = 9^3$ পূৰ্ণ ঘন হয়; সেয়েহে ক্ষুদ্ৰতম সংখ্যা 3 ৰে হৰণ কৰিব লাগে।
উদাহৰণ ৪: 35000 ক কোন ক্ষুদ্ৰতম সংখ্যাৰে হৰণ কৰিলে পূৰ্ণ ঘন সংখ্যা হ’ব নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ $35000 = 35 \times 1000 = 5 \times 7 \times 10 \times 10 \times 10 = 5 \times 7 \times 2^3 \times 5^3$। ইয়াত $2^3$ আৰু $5^3$ পূৰ্ণ দল, কিন্তু 5 (অতিৰিক্ত) আৰু 7 প্ৰতিটো এবাৰকৈ ৰৈ যায়। সেয়েহে $5 \times 7 = 35$ ৰে হৰণ কৰিব লাগে; তেতিয়া $35000 \div 35 = 1000 = 10^3$।
উদাহৰণ ৫: 15625 ৰ ঘনমূল উলিওৱা।
উত্তৰঃ $15625 = 5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 = 5^3 \times 5^3 = (5 \times 5)^3 = 25^3$। গতিকে $\sqrt[3]{15625} = 25$।
উদাহৰণ ৬: অনুমানভিত্তিক পদ্ধতিৰে 12167 ৰ ঘনমূল উলিওৱা।
উত্তৰঃ সোঁফালৰ পৰা তিনিটাকৈ দল পাতিলে হয় $\overline{12}\ \overline{167}$। প্ৰথম দলৰ একক অংক 7; একক স্থানত 7 থকা সংখ্যাৰ ঘনমূলৰ একক 3 ($3^3 = 27$), গতিকে একক অংক 3। বাওঁফালৰ দল 12 ৰ পৰা সৰু ঘন সংখ্যা 8 ($=2^3$), যাৰ ঘনমূল 2, গতিকে দহকৰ অংক 2। সেয়েহে $\sqrt[3]{12167} = 23$ (পৰীক্ষা: $23^3 = 12167$)।
মৌলিক উৎপাদক বিশ্লেষণৰ অতিৰিক্ত উদাহৰণ: $\sqrt[3]{13824}$ উলিওৱা।
উত্তৰঃ $13824 = 2^9 \times 3^3 = 2^3 \times 2^3 \times 2^3 \times 3^3 = (2 \times 2 \times 2 \times 3)^3 = 24^3$; সেয়েহে $\sqrt[3]{13824} = 24$।
৭.৩ কিছুমান আমোদজনক চানেকি (কাৰ্য)
ঘন সংখ্যা আৰু বৰ্গ সংখ্যাৰ সম্পৰ্ক লিখা।
উত্তৰঃ প্ৰথম কেইটা স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ ঘনৰ যোগফল, সেই সংখ্যাকেইটাৰ যোগফলৰ বৰ্গৰ সমান —
$$1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + n^3 = (1 + 2 + 3 + \cdots + n)^2$$
- $1^3 = 1 = 1^2$
- $1^3 + 2^3 = 9 = (1+2)^2 = 3^2$
- $1^3 + 2^3 + 3^3 = 36 = (1+2+3)^2 = 6^2$
- $1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 = 100 = (1+2+3+4)^2 = 10^2$
- $1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 + 5^3 = 225 = 15^2$
ঘন সংখ্যাক ক্ৰমাগত বিজোৰ সংখ্যাৰ যোগফল ৰূপে লিখা।
উত্তৰঃ প্ৰতিটো ঘন সংখ্যাক ক্ৰমাগত বিজোৰ সংখ্যাৰ যোগফল ৰূপে লিখিব পাৰি —
- $1 = 1^3$
- $3 + 5 = 8 = 2^3$
- $7 + 9 + 11 = 27 = 3^3$
- $13 + 15 + 17 + 19 = 64 = 4^3$
- $21 + 23 + 25 + 27 + 29 = 125 = 5^3$
- $31 + 33 + 35 + 37 + 39 + 41 = 216 = 6^3$
ৰামানুজন সংখ্যা 1729 ৰ বিশেষত্ব কি?
উত্তৰঃ 1729 হ’ল আটাইতকৈ সৰু সেই সংখ্যা যাক দুটা ঘনৰ যোগফল ৰূপে দুটা ভিন্ন ধৰণে প্ৰকাশ কৰিব পাৰি — $1729 = 12^3 + 1^3 = 1728 + 1$ আৰু $1729 = 10^3 + 9^3 = 1000 + 729$। ইয়াকে ৰামানুজন সংখ্যা বোলে। একেদৰে $4104 = 16^3 + 2^3 = 15^3 + 9^3$।
নিজে চেষ্টা কৰা
মৌলিক উৎপাদক বিশ্লেষণ পদ্ধতিৰে ঘনমূল নিৰ্ণয় কৰা — (a) 512 (b) 27000 (c) 110592 (d) 46656 (e) 175616
উত্তৰঃ
- (a) $512 = 2^9 = (2^3)^3 = 8^3$, গতিকে $\sqrt[3]{512} = 8$।
- (b) $27000 = 2^3 \times 3^3 \times 5^3 = (2 \times 3 \times 5)^3 = 30^3$, গতিকে $\sqrt[3]{27000} = 30$।
- (c) $110592 = 2^{12} \times 3^3 = (2^4 \times 3)^3 = 48^3$, গতিকে $\sqrt[3]{110592} = 48$।
- (d) $46656 = 2^6 \times 3^6 = (2^2 \times 3^2)^3 = 36^3$, গতিকে $\sqrt[3]{46656} = 36$।
- (e) $175616 = 2^9 \times 7^3 = (2^3 \times 7)^3 = 56^3$, গতিকে $\sqrt[3]{175616} = 56$।
আনুমানিক পদ্ধতিৰে তলৰ সংখ্যাবোৰৰ ঘনমূল নিৰ্ণয় কৰা — (a) 4096 (b) 9261 (c) 13824 (d) 15625
উত্তৰঃ
- (a) $\overline{4}\ \overline{096}$: একক 6 → ঘনমূলৰ একক 6; 4 ৰ পৰা সৰু ঘন 1 ($=1^3$) → দহক 1; গতিকে $\sqrt[3]{4096} = 16$।
- (b) $\overline{9}\ \overline{261}$: একক 1 → একক 1; 9 ৰ পৰা সৰু ঘন 8 ($=2^3$) → দহক 2; গতিকে $\sqrt[3]{9261} = 21$।
- (c) $\overline{13}\ \overline{824}$: একক 4 → একক 4; 13 ৰ পৰা সৰু ঘন 8 ($=2^3$) → দহক 2; গতিকে $\sqrt[3]{13824} = 24$।
- (d) $\overline{15}\ \overline{625}$: একক 5 → একক 5; 15 ৰ পৰা সৰু ঘন 8 ($=2^3$) → দহক 2; গতিকে $\sqrt[3]{15625} = 25$।
অনুশীলনী ৭.১
1। তলৰ কোনবোৰ সংখ্যা পূৰ্ণ ঘন সংখ্যা?
(a) 500 (b) 1331 (c) 2025 (d) 6859 (e) 2376 (f) 8000
উত্তৰঃ মৌলিক উৎপাদক তিনি তিনিটাকৈ দল পতা যায় নে নাই চাওঁ —
- (a) $500 = 2^2 \times 5^3$ — 2 দুবাৰহে আছে, দল পূৰ্ণ নহয় → পূৰ্ণ ঘন নহয়।
- (b) $1331 = 11^3$ → পূৰ্ণ ঘন ($\sqrt[3]{1331}=11$)।
- (c) $2025 = 3^4 \times 5^2$ → পূৰ্ণ ঘন নহয়।
- (d) $6859 = 19^3$ → পূৰ্ণ ঘন ($\sqrt[3]{6859}=19$)।
- (e) $2376 = 2^3 \times 3^3 \times 11$ — 11 এবাৰহে আছে → পূৰ্ণ ঘন নহয়।
- (f) $8000 = 2^6 \times 5^3 = 20^3$ → পূৰ্ণ ঘন ($\sqrt[3]{8000}=20$)।
গতিকে পূৰ্ণ ঘন সংখ্যাবোৰ হ’ল (b) 1331, (d) 6859 আৰু (f) 8000।
2। তলৰ প্ৰতিটো সংখ্যাক পূৰ্ণ ঘন সংখ্যা কৰিবলৈ কোন ক্ষুদ্ৰতম সংখ্যাৰে পূৰণ কৰিব লাগে?
(a) 675 (b) 256 (c) 100 (d) 72
উত্তৰঃ
- (a) $675 = 3^3 \times 5^2$; $5^3$ পূৰ্ণ কৰিবলৈ আৰু এটা 5 লাগে → 5 ৰে পূৰণ কৰিব লাগে; $675 \times 5 = 3375 = 15^3$।
- (b) $256 = 2^8$; $2^9$ কৰিবলৈ আৰু এটা 2 লাগে → 2 ৰে পূৰণ; $256 \times 2 = 512 = 8^3$।
- (c) $100 = 2^2 \times 5^2$; প্ৰতিটো দল পূৰ্ণ কৰিবলৈ আৰু এটা 2 আৰু এটা 5 লাগে → $2 \times 5 = $ 10 ৰে পূৰণ; $100 \times 10 = 1000 = 10^3$।
- (d) $72 = 2^3 \times 3^2$; $3^3$ কৰিবলৈ আৰু এটা 3 লাগে → 3 ৰে পূৰণ; $72 \times 3 = 216 = 6^3$।
3। তলৰ প্ৰতিটো সংখ্যাক পূৰ্ণ ঘন সংখ্যা কৰিবলৈ কোন ক্ষুদ্ৰতম সংখ্যাৰে হৰণ কৰিব লাগে?
(a) 2401 (b) 8192 (c) 6561 (d) 1,00,000
উত্তৰঃ
- (a) $2401 = 7^4 = 7^3 \times 7$; অতিৰিক্ত 7 আঁতৰাবলৈ 7 ৰে হৰণ; $2401 \div 7 = 343 = 7^3$।
- (b) $8192 = 2^{13} = 2^{12} \times 2$; অতিৰিক্ত 2 আঁতৰাবলৈ 2 ৰে হৰণ; $8192 \div 2 = 4096 = 16^3$।
- (c) $6561 = 3^8 = 3^6 \times 3^2$; অতিৰিক্ত $3^2$ আঁতৰাবলৈ 9 ৰে হৰণ; $6561 \div 9 = 729 = 9^3$।
- (d) $100000 = 2^5 \times 5^5 = 2^3 \times 2^2 \times 5^3 \times 5^2$; অতিৰিক্ত $2^2 \times 5^2 = 100$ আঁতৰাবলৈ 100 ৰে হৰণ; $100000 \div 100 = 1000 = 10^3$।
4। তলৰ প্ৰতিটো সংখ্যাক ঘন সংখ্যা কৰিবলৈ কোন ক্ষুদ্ৰতম সংখ্যাৰে পূৰণ বা হৰণ কৰিব লাগে?
(a) 250 (b) 675 (c) 1372 (d) 3000 (e) 153664
উত্তৰঃ দুয়োটা পথ চাই ক্ষুদ্ৰতম সংখ্যাটো ল’ব লাগে —
- (a) $250 = 2 \times 5^3$; $2^3$ কৰিবলৈ $2^2=4$ ৰে পূৰণ কৰিব লাগিব, নাইবা অতিৰিক্ত 2 আঁতৰাবলৈ 2 ৰে হৰণ। সৰুটো 2, গতিকে 2 ৰে হৰণ; $250 \div 2 = 125 = 5^3$।
- (b) $675 = 3^3 \times 5^2$; 5 ৰে পূৰণ ($=3375=15^3$) নাইবা $5^2=25$ ৰে হৰণ। সৰুটো 5, গতিকে 5 ৰে পূৰণ; $675 \times 5 = 3375 = 15^3$।
- (c) $1372 = 2^2 \times 7^3$; 2 ৰে পূৰণ ($=2744=14^3$) নাইবা $2^2=4$ ৰে হৰণ। সৰুটো 2, গতিকে 2 ৰে পূৰণ; $1372 \times 2 = 2744 = 14^3$।
- (d) $3000 = 2^3 \times 3 \times 5^3$; $3^2=9$ ৰে পূৰণ ($=27000=30^3$) নাইবা অতিৰিক্ত 3 আঁতৰাবলৈ 3 ৰে হৰণ। সৰুটো 3, গতিকে 3 ৰে হৰণ; $3000 \div 3 = 1000 = 10^3$।
- (e) $153664 = 2^6 \times 7^4$; $7^2=49$ ৰে পূৰণ নাইবা অতিৰিক্ত 7 আঁতৰাবলৈ 7 ৰে হৰণ। সৰুটো 7, গতিকে 7 ৰে হৰণ; $153664 \div 7 = 21952 = 28^3$।
অনুশীলনী ৭.২
1। তলত দিয়া প্ৰশ্নবোৰৰ শুদ্ধ উত্তৰবোৰ লিখা —
(i) 23 ৰ ঘনৰ একক স্থানত থাকিব — (a) 3 (b) 6 (c) 7 (d) 9
উত্তৰঃ (c) 7। একক অংক 3 ৰ ঘন $3^3 = 27$, যাৰ একক অংক 7 (আৰু $23^3 = 12167$)।
(ii) তলৰ কোনটো সংখ্যা পূৰ্ণ ঘন? — (a) 243 (b) 216 (c) 392 (d) 8640
উত্তৰঃ (b) 216, কিয়নো $216 = 2^3 \times 3^3 = 6^3$। ($243 = 3^5$, $392 = 2^3 \times 7^2$ আৰু 8640 পূৰ্ণ ঘন নহয়।)
(iii) তলৰ কোনটো সংখ্যা পূৰ্ণ ঘন নহয়? — (a) 216 (b) 567 (c) 125 (d) 343
উত্তৰঃ (b) 567। $567 = 3^4 \times 7$ পূৰ্ণ ঘন নহয়। ($216 = 6^3$, $125 = 5^3$, $343 = 7^3$ পূৰ্ণ ঘন।)
(iv) $\sqrt[3]{1000}$ ৰ মান — (a) 1 (b) 10 (c) 100 (d) 1000
উত্তৰঃ (b) 10, কিয়নো $1000 = 10^3$, গতিকে $\sqrt[3]{1000} = 10$।
(v) $\sqrt[3]{27} + \sqrt[3]{64} + \sqrt[3]{125}$ ৰ মান — (a) 10 (b) 11 (c) 12 (d) 13
উত্তৰঃ (c) 12। $\sqrt[3]{27} + \sqrt[3]{64} + \sqrt[3]{125} = 3 + 4 + 5 = 12$।
2। মৌলিক উৎপাদক বিশ্লেষণ পদ্ধতিৰে তলৰ সংখ্যাবোৰৰ ঘনমূল উলিওৱা —
(i) 125 (ii) 343 (iii) 2744 (iv) 10648 (v) 4096 (vi) 35937 (vii) 216000 (viii) 9261 (ix) 21952 (x) 6859
উত্তৰঃ
- (i) $125 = 5^3$ → $\sqrt[3]{125} = 5$।
- (ii) $343 = 7^3$ → $\sqrt[3]{343} = 7$।
- (iii) $2744 = 2^3 \times 7^3 = (2 \times 7)^3 = 14^3$ → $\sqrt[3]{2744} = 14$।
- (iv) $10648 = 2^3 \times 11^3 = (2 \times 11)^3 = 22^3$ → $\sqrt[3]{10648} = 22$।
- (v) $4096 = 2^{12} = (2^4)^3 = 16^3$ → $\sqrt[3]{4096} = 16$।
- (vi) $35937 = 3^3 \times 11^3 = (3 \times 11)^3 = 33^3$ → $\sqrt[3]{35937} = 33$।
- (vii) $216000 = 2^6 \times 3^3 \times 5^3 = (2^2 \times 3 \times 5)^3 = 60^3$ → $\sqrt[3]{216000} = 60$।
- (viii) $9261 = 3^3 \times 7^3 = (3 \times 7)^3 = 21^3$ → $\sqrt[3]{9261} = 21$।
- (ix) $21952 = 2^6 \times 7^3 = (2^2 \times 7)^3 = 28^3$ → $\sqrt[3]{21952} = 28$।
- (x) $6859 = 19^3$ → $\sqrt[3]{6859} = 19$।
অতিৰিক্ত প্ৰশ্ন আৰু উত্তৰ
বহুবিকল্পীয় প্ৰশ্ন (MCQ)
1। $6^3$ ৰ মান — (a) 18 (b) 36 (c) 72 (d) 216
উত্তৰঃ (d) 216।
2। তলৰ কোনটো পূৰ্ণ ঘন সংখ্যা? — (a) 100 (b) 125 (c) 150 (d) 200
উত্তৰঃ (b) 125 ($= 5^3$)।
3। $\sqrt[3]{729}$ ৰ মান — (a) 7 (b) 8 (c) 9 (d) 27
উত্তৰঃ (c) 9 ($729 = 9^3$)।
4। $\sqrt[3]{1728}$ ৰ মান — (a) 10 (b) 12 (c) 14 (d) 16
উত্তৰঃ (b) 12 ($1728 = 12^3$)।
5। জোৰ সংখ্যাৰ ঘন হয় এটা — (a) জোৰ সংখ্যা (b) বিজোৰ সংখ্যা (c) সদায় শূন্য (d) ঋণাত্মক সংখ্যা
উত্তৰঃ (a) জোৰ সংখ্যা।
6। কোনো সংখ্যাৰ একক স্থানত 4 থাকিলে তাৰ ঘনৰ একক স্থানত থাকে — (a) 2 (b) 4 (c) 6 (d) 8
উত্তৰঃ (b) 4 ($4^3 = 64$)।
7। 1 ৰ পৰা 1000 লৈ পূৰ্ণ ঘন সংখ্যাৰ মুঠ সংখ্যা — (a) 8 (b) 9 (c) 10 (d) 11
উত্তৰঃ (c) 10।
8। কোনো সংখ্যাৰ একক স্থানত 8 থাকিলে তাৰ ঘনৰ একক স্থানত থাকে — (a) 2 (b) 4 (c) 6 (d) 8
উত্তৰঃ (a) 2 ($8^3 = 512$)।
9। ৰামানুজন সংখ্যা হ’ল — (a) 1000 (b) 1728 (c) 1729 (d) 4104
উত্তৰঃ (c) 1729।
10। কোনটো সংখ্যা ঘনও আৰু বৰ্গও? — (a) 16 (b) 36 (c) 64 (d) 81
উত্তৰঃ (c) 64 ($64 = 4^3 = 8^2$)।
খালী ঠাই পূৰণ কৰা
- কোনো সংখ্যাক নিজৰ সৈতে ______ বাৰ পূৰণ কৰিলে তাৰ ঘন পোৱা যায়। — তিনি
- $\sqrt[3]{343} = $ ______ — 7
- বিজোৰ সংখ্যাৰ ঘন এটা ______ সংখ্যা। — বিজোৰ
- $5^3 = $ ______ — 125
- $1729 = 12^3 + $ ______$^3 = 10^3 + 9^3$। — 1
শুদ্ধ নে অশুদ্ধ লিখা
- 64 এটা ঘন সংখ্যাও আৰু বৰ্গ সংখ্যাও। — শুদ্ধ
- 100 এটা পূৰ্ণ ঘন সংখ্যা। — অশুদ্ধ (ই বৰ্গ সংখ্যা)
- জোৰ সংখ্যাৰ ঘন বিজোৰ হয়। — অশুদ্ধ
- $\sqrt[3]{27} + \sqrt[3]{64} = 7$। — শুদ্ধ ($3 + 4 = 7$)
- 2187 এটা পূৰ্ণ ঘন সংখ্যা। — অশুদ্ধ ($2187 = 3^7$)
চমু উত্তৰৰ প্ৰশ্ন
1। ঘন সংখ্যা কাক বোলে? এটা উদাহৰণ দিয়া।
উত্তৰঃ কোনো সংখ্যাক নিজৰ সৈতে তিনিবাৰ পূৰণ কৰিলে যি সংখ্যা পোৱা যায় তাক ঘন সংখ্যা বা পূৰ্ণ ঘন বোলে; যেনে $3 \times 3 \times 3 = 27 = 3^3$, গতিকে 27 এটা ঘন সংখ্যা।
2। মৌলিক উৎপাদক বিশ্লেষণেৰে দেখুওৱা যে 216 এটা পূৰ্ণ ঘন সংখ্যা।
উত্তৰঃ $216 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3 = 2^3 \times 3^3 = (2 \times 3)^3 = 6^3$। প্ৰতিটো মৌলিক উৎপাদকে তিনিটাকৈ দল পতাত 216 এটা পূৰ্ণ ঘন সংখ্যা আৰু $\sqrt[3]{216} = 6$।
3। $1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3$ ৰ মান কি আৰু ই কোন বৰ্গৰ সমান?
উত্তৰঃ $1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 = 1 + 8 + 27 + 64 = 100 = (1+2+3+4)^2 = 10^2$। গতিকে ই 10 ৰ বৰ্গৰ সমান।
4। অনুমানভিত্তিক পদ্ধতিৰে $\sqrt[3]{4913}$ উলিওৱা।
উত্তৰঃ $\overline{4}\ \overline{913}$: প্ৰথম দলৰ একক 3 → ঘনমূলৰ একক 7 ($7^3 = 343$)। বাওঁফালৰ 4 ৰ পৰা সৰু ঘন 1 ($=1^3$) → দহক 1। গতিকে $\sqrt[3]{4913} = 17$ (পৰীক্ষা: $17^3 = 4913$)।
শব্দাৰ্থ
| অসমীয়া শব্দ | English term | অৰ্থ |
|---|---|---|
| ঘন | Cube | কোনো সংখ্যাক তিনিবাৰ নিজৰ সৈতে পূৰণ কৰি পোৱা ফল |
| পূৰ্ণ ঘন সংখ্যা | Perfect cube | কোনো স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ ঘন হোৱা সংখ্যা |
| ঘনমূল | Cube root | যাৰ ঘন দিয়া সংখ্যাটো হয়, সেই সংখ্যা; চিন $\sqrt[3]{\ }$ |
| মৌলিক উৎপাদক | Prime factor | মৌলিক সংখ্যা ৰূপে থকা উৎপাদক |
| মৌলিক উৎপাদক বিশ্লেষণ | Prime factorisation | সংখ্যাক মৌলিক উৎপাদকৰ পূৰণ ৰূপে লিখা |
| বৰ্গ সংখ্যা | Square number | কোনো সংখ্যাৰ বৰ্গ হোৱা সংখ্যা |
| জোৰ সংখ্যা | Even number | ২ ৰে বিভাজ্য সংখ্যা |
| বিজোৰ সংখ্যা | Odd number | ২ ৰে অবিভাজ্য সংখ্যা |
| একক স্থান | Unit place | সংখ্যাৰ সোঁফালৰ প্ৰথম অংকৰ স্থান |
| অনুমানভিত্তিক পদ্ধতি | Method of estimation | দল পাতি আনুমানিকভাৱে ঘনমূল উলিওৱা কৌশল |
| ৰামানুজন সংখ্যা | Ramanujan number | 1729 — দুটা ঘনৰ যোগফল ৰূপে দুটা ধৰণে লিখিব পৰা আটাইতকৈ সৰু সংখ্যা |