বৰ্গ আৰু বৰ্গমূল — প্ৰশ্ন উত্তৰ
HSLC Guru-ত আপোনাক স্বাগতম। এই পাঠত আমি ASSEB Class 8 সাধাৰণ গণিতৰ ষষ্ঠ অধ্যায় “বৰ্গ আৰু বৰ্গমূল”ৰ সম্পূৰ্ণ পাঠ্যপুথিৰ প্ৰশ্ন-উত্তৰ, অনুশীলনী ৬.১ৰ পৰা ৬.৪লৈকে প্ৰতিটো অংকৰ ধাপে ধাপে সমাধান, পাঠ্যভিত্তিক কাৰ্য আৰু অতিৰিক্ত প্ৰশ্ন-উত্তৰ সহজ অসমীয়াত আলোচনা কৰিছোঁ।
সাৰাংশ
যিকোনো সংখ্যাক নিজৰ সৈতে পূৰণ কৰিলে যি ফল পোৱা যায়, তাক সেই সংখ্যাৰ বৰ্গ বোলে। যেনে $2 \times 2 = 2^2 = 4$, $3 \times 3 = 3^2 = 9$। যি সংখ্যাক কোনো এটা সংখ্যাৰ বৰ্গ ৰূপে প্ৰকাশ কৰিব পাৰি, তাক বৰ্গ সংখ্যা বোলে। $1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, \dots$ আদি অখণ্ড সংখ্যাৰ বৰ্গবোৰক পূৰ্ণ বৰ্গ সংখ্যা (Perfect Square) বোলে।
বৰ্গ সংখ্যাৰ কেইটামান বিশেষ ধৰ্ম আছে — এটা বৰ্গ সংখ্যাৰ একক স্থানত কেৱল $0, 1, 4, 5, 6$ বা $9$ থাকে; $2, 3, 7$ বা $8$ কেতিয়াও নাথাকে। অযুগ্ম সংখ্যাৰ বৰ্গ অযুগ্ম আৰু যুগ্ম সংখ্যাৰ বৰ্গ যুগ্ম হয়। প্ৰথম $n$ টা ক্ৰমিক অযুগ্ম সংখ্যাৰ যোগফল সদায় $n^2$ হয়। লগতে দুটা ক্ৰমিক ত্ৰিভুজীয় সংখ্যাৰ (Triangular number) যোগফল এটা বৰ্গ সংখ্যা।
বৰ্গ কৰাৰ বিপৰীত ক্ৰিয়াটোৱেই হ’ল বৰ্গমূল (Square root), যাক $\sqrt{\ }$ চিহ্নেৰে বুজোৱা হয়; যেনে $\sqrt{121} = 11$। বৰ্গমূল নিৰ্ণয় কৰাৰ দুটা পদ্ধতি আছে — মৌলিক উৎপাদক পদ্ধতি আৰু হৰণ পদ্ধতি। হৰণ পদ্ধতিৰে দশমিক সংখ্যাৰো বৰ্গমূল উলিয়াব পাৰি। অধ্যায়টোত পাইথাগোৰীয় ত্ৰিপুট $a^2 + b^2 = c^2$ আৰু একক স্থানত $5$ থকা সংখ্যাৰ বৰ্গ উলিওৱাৰ সহজ কৌশলো আলোচনা কৰা হৈছে।
Summary: This chapter of ASSEB Class 8 General Mathematics Chapter 6, Squares and Square Roots (বৰ্গ আৰু বৰ্গমূল), explains square numbers, perfect squares, their unit-digit and odd/even properties, the sum of consecutive odd numbers as $n^2$, triangular numbers, Pythagorean triplets, and finding square roots of whole and decimal numbers by prime factorisation and long-division methods, with fully worked answers to Exercises 6.1, 6.2, 6.3 and 6.4.
পাঠ্যপুথিৰ প্ৰশ্ন আৰু উত্তৰ
অনুশীলনী ৬.১
১। $1$ ৰ পৰা $200$ ৰ ভিতৰত কেইটা পূৰ্ণ বৰ্গ সংখ্যা আছে?
উত্তৰঃ $14^2 = 196$ আৰু $15^2 = 225 > 200$। গতিকে $1$ ৰ পৰা $200$ ৰ ভিতৰত থকা পূৰ্ণ বৰ্গ সংখ্যাবোৰ হ’ল $1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196$ — অৰ্থাৎ মুঠ $14$ টা পূৰ্ণ বৰ্গ সংখ্যা আছে।
২। তলৰ প্ৰতিটো সংখ্যাৰ বৰ্গৰ একক স্থানত কি অংক থাকিব লিখা। (i) $51$ (ii) $99$ (iii) $205$ (iv) $3400$ (v) $1987$
উত্তৰঃ কোনো সংখ্যাৰ বৰ্গৰ একক স্থানৰ অংক তাৰ নিজৰ একক অংকৰ বৰ্গৰ ওপৰত নিৰ্ভৰ কৰে।
- (i) $51$ ৰ একক অংক $1$; $1^2 = 1$ → একক স্থানত $1$।
- (ii) $99$ ৰ একক অংক $9$; $9^2 = 81$ → একক স্থানত $1$।
- (iii) $205$ ৰ একক অংক $5$; $5^2 = 25$ → একক স্থানত $5$।
- (iv) $3400$ ৰ একক অংক $0$; $0^2 = 0$ → একক স্থানত $0$।
- (v) $1987$ ৰ একক অংক $7$; $7^2 = 49$ → একক স্থানত $9$।
৩। তলৰ সংখ্যাবোৰ পূৰ্ণ বৰ্গ সংখ্যা নোহোৱাৰ কাৰণ উল্লেখ কৰা। (i) $4347$ (ii) $24832$ (iii) $35493$ (iv) $403388$ (v) $182000$
উত্তৰঃ কোনো সংখ্যাৰ একক স্থানত $2, 3, 7$ বা $8$ থাকিলে সেই সংখ্যা নিশ্চিতভাৱে পূৰ্ণ বৰ্গ নহয়।
- (i) $4347$ ৰ একক স্থানত $7$ আছে — সেয়েহে পূৰ্ণ বৰ্গ নহয়।
- (ii) $24832$ ৰ একক স্থানত $2$ আছে — পূৰ্ণ বৰ্গ নহয়।
- (iii) $35493$ ৰ একক স্থানত $3$ আছে — পূৰ্ণ বৰ্গ নহয়।
- (iv) $403388$ ৰ একক স্থানত $8$ আছে — পূৰ্ণ বৰ্গ নহয়।
- (v) $182000$ ৰ শেষত $3$ টা শূন্য আছে (অযুগ্ম সংখ্যক)। কোনো পূৰ্ণ বৰ্গ সংখ্যাৰ শেষত সদায় যুগ্ম সংখ্যক শূন্য থাকে; সেয়েহে $182000$ পূৰ্ণ বৰ্গ নহয়।
৪। (i) বৰ্গ যুগ্ম সংখ্যা হয় এনে পাঁচটা সংখ্যা লিখা। (ii) বৰ্গ অযুগ্ম সংখ্যা হয় এনে পাঁচটা সংখ্যা লিখা।
উত্তৰঃ (i) যুগ্ম সংখ্যাৰ বৰ্গ যুগ্ম হয়, গতিকে $2, 4, 6, 8, 10$ (বৰ্গ $4, 16, 36, 64, 100$ — সকলো যুগ্ম)।
(ii) অযুগ্ম সংখ্যাৰ বৰ্গ অযুগ্ম হয়, গতিকে $1, 3, 5, 7, 9$ (বৰ্গ $1, 9, 25, 49, 81$ — সকলো অযুগ্ম)।
৫। পোনপটীয়াকৈ যোগ নকৰি (সংশ্লিষ্ট ধৰ্ম ব্যৱহাৰ কৰি) যোগফল নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ প্ৰথম $n$ টা ক্ৰমিক অযুগ্ম সংখ্যাৰ যোগফল $= n^2$।
$$1 + 3 + 5 + \dots + (2n-1) = n^2$$
- (i) $1 + 3 + 5 + 7$ — এইবোৰ প্ৰথম $4$ টা অযুগ্ম সংখ্যা, গতিকে যোগফল $= 4^2 = 16$।
- (ii) $1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15$ — প্ৰথম $8$ টা অযুগ্ম সংখ্যা, গতিকে যোগফল $= 8^2 = 64$।
- (iii) $1 + 3 + \dots + 25$ — এইবোৰ প্ৰথম $13$ টা অযুগ্ম সংখ্যা, গতিকে যোগফল $= 13^2 = 169$।
৬। $36$ ক $6$ টা ক্ৰমিক অযুগ্ম সংখ্যাৰ যোগফল হিচাপে প্ৰকাশ কৰিব পাৰিনে?
উত্তৰঃ হয়, পাৰি। $36 = 6^2$ আৰু প্ৰথম $6$ টা অযুগ্ম সংখ্যাৰ যোগফল $= 6^2 = 36$।
$$1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 36$$
৭। $15$ তকৈ ডাঙৰ $5$ টা ক্ৰমিক ত্ৰিভুজীয় সংখ্যা লিখা। ইয়াৰ পৰা দুটা ক্ৰমিক সংখ্যা লৈ সিহঁতৰ যোগফল বৰ্গ সংখ্যা হয় নে নহয় পৰীক্ষা কৰা।
উত্তৰঃ ত্ৰিভুজীয় সংখ্যাবোৰ হ’ল $1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, \dots$। $15$ তকৈ ডাঙৰ $5$ টা ক্ৰমিক ত্ৰিভুজীয় সংখ্যা হ’ল $21, 28, 36, 45, 55$। দুটা ক্ৰমিক সংখ্যাৰ যোগফল লওঁ —
- $21 + 28 = 49 = 7^2$
- $28 + 36 = 64 = 8^2$
- $36 + 45 = 81 = 9^2$
- $45 + 55 = 100 = 10^2$
প্ৰতিটো যোগফলেই এটা বৰ্গ সংখ্যা। গতিকে দুটা ক্ৰমিক ত্ৰিভুজীয় সংখ্যাৰ যোগফল সদায় এটা বৰ্গ সংখ্যা।
অনুশীলনী ৬.২
১। তলৰ সংখ্যাবোৰৰ বৰ্গ উলিওৱা। (i) $35$ (ii) $55$ (iii) $95$
উত্তৰঃ একক স্থানত $5$ থকা সংখ্যাৰ বৰ্গ $= (\text{দহকৰ অংক} \times \text{তাৰ পাছৰ সংখ্যা})$ শতক $+ 25$।
- (i) $35^2 = (3 \times 4)$ শতক $+ 25 = 1200 + 25 = 1225$।
- (ii) $55^2 = (5 \times 6)$ শতক $+ 25 = 3000 + 25 = 3025$।
- (iii) $95^2 = (9 \times 10)$ শতক $+ 25 = 9000 + 25 = 9025$।
২। তিনিটা পাইথাগোৰীয় ত্ৰিপুট লিখা।
উত্তৰঃ $a^2 + b^2 = c^2$ সিদ্ধ কৰা তিনিটা ত্ৰিপুট হ’ল —
- $(3, 4, 5)$: $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$।
- $(6, 8, 10)$: $6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2$।
- $(5, 12, 13)$: $5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2$।
৩। এটা পাইথাগোৰীয় ত্ৰিপুট নিৰ্ণয় কৰা যাৰ ক্ষুদ্ৰতম পদটো $10$।
উত্তৰঃ $p > 1$ ৰ বাবে $2p,\ p^2 – 1,\ p^2 + 1$ এটা পাইথাগোৰীয় ত্ৰিপুট। ক্ষুদ্ৰতম পদ $2p = 10$ ল’লে $p = 5$; তেতিয়া $p^2 – 1 = 24$ আৰু $p^2 + 1 = 26$। গতিকে ত্ৰিপুটটো $(10, 24, 26)$।
$$10^2 + 24^2 = 100 + 576 = 676 = 26^2$$
অনুশীলনী ৬.৩
১। তলৰবোৰ সত্য নে মিছা লিখা।
- (i) এটা যুগ্ম পূৰ্ণ বৰ্গ সংখ্যাৰ বৰ্গমূল যুগ্ম হয়। — সত্য ($\sqrt{16}=4$, $\sqrt{36}=6$, $\sqrt{100}=10$)।
- (ii) $1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13$ ৰ যোগফল এটা বৰ্গ সংখ্যা। — সত্য (প্ৰথম $7$ টা অযুগ্ম সংখ্যাৰ যোগফল $= 7^2 = 49$)।
- (iii) এটা সংখ্যাৰ একক স্থানত $8$ থাকিলে সংখ্যাটো এটা বৰ্গ সংখ্যা হ’ব পাৰে। — মিছা (একক স্থানত $2, 3, 7$ বা $8$ থকা সংখ্যা কেতিয়াও বৰ্গ সংখ্যা নহয়)।
- (iv) এটা বৰ্গ সংখ্যাৰ একক স্থানত $1$ থাকিলে ইয়াৰ বৰ্গমূলৰ একক স্থানত $1$ বা $9$ থাকিব পাৰে। — সত্য ($1^2=1$, $9^2=81$; দুয়োৰে বৰ্গৰ একক অংক $1$)।
২। তলৰ সংখ্যাবোৰৰ বৰ্গমূলৰ একক স্থানত সম্ভাব্য কি অংক থাকিব পাৰে? (i) $8281$ (ii) $5476$ (iii) $172225$ (iv) $12100$
উত্তৰঃ বৰ্গ সংখ্যাৰ একক অংকৰ পৰা বৰ্গমূলৰ সম্ভাব্য একক অংক অনুমান কৰা হয় —
- (i) $8281$ ৰ একক অংক $1$ → বৰ্গমূলৰ একক অংক $1$ বা $9$ ($\sqrt{8281}=91$)।
- (ii) $5476$ ৰ একক অংক $6$ → বৰ্গমূলৰ একক অংক $4$ বা $6$ ($\sqrt{5476}=74$)।
- (iii) $172225$ ৰ একক অংক $5$ → বৰ্গমূলৰ একক অংক $5$ ($\sqrt{172225}=415$)।
- (iv) $12100$ ৰ একক অংক $0$ → বৰ্গমূলৰ একক অংক $0$ ($\sqrt{12100}=110$)।
৩। মৌলিক উৎপাদক পদ্ধতিৰে তলৰ সংখ্যাবোৰৰ বৰ্গমূল নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ সংখ্যাটোক মৌলিক উৎপাদকত ভাঙি সমান উৎপাদকৰ যোৰ সজাই প্ৰতিটো যোৰৰ পৰা এটাকৈ লৈ পূৰণ কৰিলে বৰ্গমূল পোৱা যায়।
- (i) $256 = 2^8 = (2^4)^2$; $\sqrt{256} = 2^4 = 16$।
- (ii) $729 = 3^6 = (3^3)^2$; $\sqrt{729} = 3^3 = 27$।
- (iii) $1764 = 2^2 \times 3^2 \times 7^2$; $\sqrt{1764} = 2 \times 3 \times 7 = 42$।
- (iv) $5184 = 2^6 \times 3^4 = (2^3 \times 3^2)^2$; $\sqrt{5184} = 8 \times 9 = 72$।
- (v) $7744 = 2^6 \times 11^2$; $\sqrt{7744} = 2^3 \times 11 = 88$।
- (vi) $5929 = 7^2 \times 11^2$; $\sqrt{5929} = 7 \times 11 = 77$।
- (vii) $8836 = 2^2 \times 47^2$; $\sqrt{8836} = 2 \times 47 = 94$।
- (viii) $4225 = 5^2 \times 13^2$; $\sqrt{4225} = 5 \times 13 = 65$।
৪। তলৰ প্ৰতিটো সংখ্যাক কোন ক্ষুদ্ৰতম সংখ্যাৰে পূৰণ কৰিলে ই পূৰ্ণ বৰ্গ সংখ্যা হ’ব? (i) $15$ (ii) $45$ (iii) $150$ (iv) $175$
উত্তৰঃ মৌলিক উৎপাদকত ভাঙি যোৰ নোহোৱা উৎপাদকবোৰক এবাৰকৈ পূৰণ কৰিব লাগে।
- (i) $15 = 3 \times 5$; দুয়োটা যোৰ নাই → পূৰণ কৰিব লাগে $3 \times 5 = 15$ ৰে ($15 \times 15 = 225 = 15^2$)। ক্ষুদ্ৰতম সংখ্যা $15$।
- (ii) $45 = 3^2 \times 5$; $5$ যোৰ নাই → পূৰণ কৰিব লাগে $5$ ৰে ($45 \times 5 = 225 = 15^2$)।
- (iii) $150 = 2 \times 3 \times 5^2$; $2$ আৰু $3$ যোৰ নাই → পূৰণ কৰিব লাগে $2 \times 3 = 6$ ৰে ($150 \times 6 = 900 = 30^2$)। ক্ষুদ্ৰতম সংখ্যা $6$।
- (iv) $175 = 5^2 \times 7$; $7$ যোৰ নাই → পূৰণ কৰিব লাগে $7$ ৰে ($175 \times 7 = 1225 = 35^2$)।
৫। (i) $8, 15$ আৰু $20$ ৰে বিভাজ্য ক্ষুদ্ৰতম পূৰ্ণ বৰ্গ সংখ্যা নিৰ্ণয় কৰা। (ii) $12, 20$ আৰু $25$ ৰে বিভাজ্য ক্ষুদ্ৰতম পূৰ্ণ বৰ্গ সংখ্যা নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ (i) $8 = 2^3$, $15 = 3 \times 5$, $20 = 2^2 \times 5$; ল.সা.গু. $= 2^3 \times 3 \times 5 = 120$। ইয়াত $2, 3, 5$ ৰ ঘাত অযুগ্ম, গতিকে $2 \times 3 \times 5 = 30$ ৰে পূৰণ কৰিব লাগে।
$$120 \times 30 = 3600 = 60^2$$
গতিকে ক্ষুদ্ৰতম পূৰ্ণ বৰ্গ সংখ্যা $3600$।
(ii) $12 = 2^2 \times 3$, $20 = 2^2 \times 5$, $25 = 5^2$; ল.সা.গু. $= 2^2 \times 3 \times 5^2 = 300$। ইয়াত কেৱল $3$ ৰ ঘাত অযুগ্ম, গতিকে $3$ ৰে পূৰণ কৰিব লাগে।
$$300 \times 3 = 900 = 30^2$$
গতিকে ক্ষুদ্ৰতম পূৰ্ণ বৰ্গ সংখ্যা $900$।
৬। (i) $4032$ ক কি ক্ষুদ্ৰতম সংখ্যাৰে হৰণ কৰিলে পূৰ্ণ বৰ্গ সংখ্যা পোৱা যায়? ভাগফলৰ বৰ্গমূলো নিৰ্ণয় কৰা। (ii) $14112$ ক কি ক্ষুদ্ৰতম সংখ্যাৰে পূৰণ কৰিলে পূৰ্ণ বৰ্গ সংখ্যা পোৱা যায়? গুণফলৰ বৰ্গমূলো নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ (i) $4032 = 2^6 \times 3^2 \times 7$। ইয়াত $7$ যোৰ নাই, গতিকে $7$ ৰে হৰণ কৰিব লাগে।
$$4032 \div 7 = 576 = 2^6 \times 3^2 = (2^3 \times 3)^2 \Rightarrow \sqrt{576} = 24$$
(ii) $14112 = 2^5 \times 3^2 \times 7^2$। ইয়াত এটা $2$ যোৰ নাই, গতিকে $2$ ৰে পূৰণ কৰিব লাগে।
$$14112 \times 2 = 28224 = 2^6 \times 3^2 \times 7^2 = (2^3 \times 3 \times 7)^2 \Rightarrow \sqrt{28224} = 168$$
৭। এখন বিদ্যালয়ত মুঠ ছাত্ৰ-ছাত্ৰীৰ সংখ্যা $1024$। প্ৰাৰ্থনাৰ সময়ত সিহঁতক এনেকৈ শাৰী পাতিবলৈ কোৱা হ’ল যাতে শাৰীৰ সংখ্যা আৰু প্ৰতি শাৰীৰ ছাত্ৰ-ছাত্ৰীৰ সংখ্যা সমান হয়। শাৰীৰ সংখ্যা আৰু প্ৰতি শাৰীৰ ছাত্ৰ-ছাত্ৰীৰ সংখ্যা নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ শাৰীৰ সংখ্যা আৰু প্ৰতি শাৰীৰ সংখ্যা সমান হ’ব লাগে, গতিকে $\sqrt{1024}$ নিৰ্ণয় কৰিব লাগে। $1024 = 2^{10} = (2^5)^2$, গতিকে $\sqrt{1024} = 32$। সেয়েহে $32$ টা শাৰী আৰু প্ৰতি শাৰীত $32$ জন ছাত্ৰ-ছাত্ৰী।
৮। এখন চাহ বাগিছাত চাহ গছৰ শাৰীৰ সংখ্যা আৰু প্ৰতি শাৰীৰ চাহ গছৰ সংখ্যা সমান। বাগিছাখনলৈ $835$ পুলি যোগান ধৰা হ’ল, কিন্তু ওপৰৰ চৰ্ত পূৰণ কৰিবলৈ অধিক পুলিৰ প্ৰয়োজন হ’ল। আৰু কিমান চাহ পুলিৰ প্ৰয়োজন?
উত্তৰঃ $28^2 = 784$ আৰু $29^2 = 841$, গতিকে $835$ কোনো পূৰ্ণ বৰ্গ নহয়; $835$ ৰ ঠিক পাছৰ পূৰ্ণ বৰ্গ সংখ্যা $841 = 29^2$। গতিকে অধিক প্ৰয়োজনীয় পুলিৰ সংখ্যা $= 841 – 835 = $ $6$ টা।
অনুশীলনী ৬.৪
১। বৰ্গমূল নিৰ্ণয় নকৰাকৈ তলৰ সংখ্যাবোৰৰ বৰ্গমূলত কেইটা অংক থাকিব লিখা। (i) $100$ (ii) $21904$ (iii) $17850625$
উত্তৰঃ $n$ অংকৰ পূৰ্ণ বৰ্গ সংখ্যাৰ বৰ্গমূলত $\frac{n}{2}$ টা অংক (যদি $n$ যুগ্ম) বা $\frac{n+1}{2}$ টা অংক (যদি $n$ অযুগ্ম) থাকে।
- (i) $100$ — $3$ অংকৰ (অযুগ্ম) → $\frac{3+1}{2} = $ $2$ টা অংক ($\sqrt{100}=10$)।
- (ii) $21904$ — $5$ অংকৰ (অযুগ্ম) → $\frac{5+1}{2} = $ $3$ টা অংক ($\sqrt{21904}=148$)।
- (iii) $17850625$ — $8$ অংকৰ (যুগ্ম) → $\frac{8}{2} = $ $4$ টা অংক ($\sqrt{17850625}=4225$)।
২। হৰণ পদ্ধতিৰে তলৰ প্ৰতিটো সংখ্যাৰ বৰ্গমূল নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ একক স্থানৰ পৰা দুটাকৈ অংকৰ ওপৰত দণ্ড দি হৰণ পদ্ধতিৰে বৰ্গমূল উলিয়ালে —
- (i) $\sqrt{676} = 26$
- (ii) $\sqrt{841} = 29$
- (iii) $\sqrt{1156} = 34$
- (iv) $\sqrt{2025} = 45$
- (v) $\sqrt{2704} = 52$
- (vi) $\sqrt{4489} = 67$
- (vii) $\sqrt{8100} = 90$
- (viii) $\sqrt{14641} = 121$
- (ix) $\sqrt{15129} = 123$
- (x) $\sqrt{21904} = 148$
৩। তলৰ দশমিক সংখ্যাবোৰৰ বৰ্গমূল উলিওৱা। (i) $51.84$ (ii) $79.21$ (iii) $98.01$ (iv) $1.44$ (v) $6.25$ (vi) $973.44$
উত্তৰঃ অখণ্ড অংশত একক স্থানৰ পৰা আৰু দশমিক অংশত দশমিক বিন্দুৰ পৰা দুটাকৈ দণ্ড দি হৰণ পদ্ধতিৰে —
- (i) $\sqrt{51.84} = 7.2$
- (ii) $\sqrt{79.21} = 8.9$
- (iii) $\sqrt{98.01} = 9.9$
- (iv) $\sqrt{1.44} = 1.2$
- (v) $\sqrt{6.25} = 2.5$
- (vi) $\sqrt{973.44} = 31.2$
৪। এখন আয়তাকাৰ পথাৰৰ দৈৰ্ঘ্য $35$ মিটাৰ আৰু প্ৰস্থ $12$ মিটাৰ। ইয়াৰ এটা কৰ্ণৰ দৈৰ্ঘ্য কিমান হ’ব?
উত্তৰঃ কৰ্ণ $d$ হ’লে পাইথাগোৰাছ উপপাদ্যৰ পৰা $d^2 = 35^2 + 12^2 = 1225 + 144 = 1369$।
$$d = \sqrt{1369} = 37 \text{ মিটাৰ}$$
গতিকে কৰ্ণৰ দৈৰ্ঘ্য $37$ মিটাৰ।
৫। এখন বিদ্যালয়ত $1089$ জন ছাত্ৰ-ছাত্ৰী আছে। বাৰ্ষিক ক্ৰীড়াৰ প্ৰথম দিনা পতাকা উত্তোলনৰ সময়ত সিহঁতক এনেকৈ থিয় হ’বলৈ কোৱা হ’ল যাতে শাৰীৰ সংখ্যা আৰু প্ৰতি শাৰীৰ ছাত্ৰ-ছাত্ৰীৰ সংখ্যা সমান হয়। কিমান শাৰী কৰিব পাৰি?
উত্তৰঃ শাৰী আৰু স্তম্ভৰ সংখ্যা সমান হ’ব লাগে, গতিকে $\sqrt{1089}$ নিৰ্ণয় কৰিব লাগে। $1089 = 3^2 \times 11^2 = (3 \times 11)^2$, গতিকে $\sqrt{1089} = 33$। সেয়েহে $33$ টা শাৰী কৰিব পাৰি (প্ৰতি শাৰীত $33$ জন)।
৬। এটা পূৰ্ণ বৰ্গ পাবলৈ তলৰ প্ৰতিটো সংখ্যাৰ লগত যোগ কৰিব লগা ক্ষুদ্ৰতম সংখ্যা নিৰ্ণয় কৰা। (i) $1220$ (ii) $1750$ (iii) $5451$ (iv) $1015$
উত্তৰঃ প্ৰতিটো সংখ্যাৰ ঠিক পাছৰ পূৰ্ণ বৰ্গ সংখ্যাটোৰ পৰা বিয়োগ কৰিলে যোগ কৰিব লগা সংখ্যা পোৱা যায়।
- (i) $34^2 = 1156$, $35^2 = 1225$; যোগ কৰিব লাগে $1225 – 1220 = $ $5$।
- (ii) $41^2 = 1681$, $42^2 = 1764$; যোগ কৰিব লাগে $1764 – 1750 = $ $14$।
- (iii) $73^2 = 5329$, $74^2 = 5476$; যোগ কৰিব লাগে $5476 – 5451 = $ $25$।
- (iv) $31^2 = 961$, $32^2 = 1024$; যোগ কৰিব লাগে $1024 – 1015 = $ $9$।
৭। এটা পূৰ্ণ বৰ্গ পাবলৈ তলৰ প্ৰতিটো সংখ্যাৰ পৰা বিয়োগ কৰিব লগা ক্ষুদ্ৰতম সংখ্যা নিৰ্ণয় কৰা। সেই পূৰ্ণ বৰ্গৰ বৰ্গমূলো নিৰ্ণয় কৰা। (i) $825$ (ii) $1450$ (iii) $3250$ (iv) $6262$
উত্তৰঃ প্ৰতিটো সংখ্যাৰ ঠিক তলৰ (সৰু বা সমান) পূৰ্ণ বৰ্গ সংখ্যাটোক বিয়োগ কৰিলে হয়।
- (i) $28^2 = 784$; বিয়োগ কৰিব লাগে $825 – 784 = $ $41$; বৰ্গমূল $= 28$।
- (ii) $38^2 = 1444$; বিয়োগ কৰিব লাগে $1450 – 1444 = $ $6$; বৰ্গমূল $= 38$।
- (iii) $57^2 = 3249$; বিয়োগ কৰিব লাগে $3250 – 3249 = $ $1$; বৰ্গমূল $= 57$।
- (iv) $79^2 = 6241$; বিয়োগ কৰিব লাগে $6262 – 6241 = $ $21$; বৰ্গমূল $= 79$।
৮। $4612$ ৰ নিকটতম পূৰ্ণ বৰ্গ সংখ্যা কি?
উত্তৰঃ $67^2 = 4489$ আৰু $68^2 = 4624$। $4612 – 4489 = 123$ কিন্তু $4624 – 4612 = 12$; গতিকে $4624$ ওচৰত। সেয়েহে নিকটতম পূৰ্ণ বৰ্গ সংখ্যা $4624$ ($= 68^2$)।
৯। তলৰ প্ৰতিটোৰ $5$ টাকৈ উদাহৰণ দিয়া। (i) বৰ্গ সংখ্যা যাৰ একক স্থানত $4$ থাকে। (ii) বৰ্গ সংখ্যা যাৰ একক স্থানত $9$ থাকে। (iii) বৰ্গ সংখ্যা যাৰ একক স্থানত $0$ থাকে।
- (i) একক স্থানত $4$: $4\,(2^2),\ 64\,(8^2),\ 144\,(12^2),\ 324\,(18^2),\ 484\,(22^2)$।
- (ii) একক স্থানত $9$: $9\,(3^2),\ 49\,(7^2),\ 169\,(13^2),\ 289\,(17^2),\ 529\,(23^2)$।
- (iii) একক স্থানত $0$: $100\,(10^2),\ 400\,(20^2),\ 900\,(30^2),\ 1600\,(40^2),\ 2500\,(50^2)$।
পাঠ্যভিত্তিক কাৰ্য আৰু উদাহৰণ (Try These)
কাৰ্যঃ $10$ আৰু $100$ ৰ ভিতৰত থকা বৰ্গ সংখ্যাবোৰ উলিওৱা।
উত্তৰঃ $4^2 = 16$, $5^2 = 25$, $6^2 = 36$, $7^2 = 49$, $8^2 = 64$, $9^2 = 81$। গতিকে $10$ আৰু $100$ ৰ ভিতৰত বৰ্গ সংখ্যাবোৰ হ’ল $16, 25, 36, 49, 64, 81$।
কৰি চাওঁ আহাঃ $\frac{1}{4}$ এটা বৰ্গ সংখ্যা নে?
উত্তৰঃ $\frac{1}{4} = \left(\frac{1}{2}\right)^2$, গতিকে $\frac{1}{4}$ এটা মূলদ সংখ্যাৰ বৰ্গ — সেই অৰ্থত ই এটা বৰ্গ সংখ্যা; কিন্তু ই কোনো অখণ্ড সংখ্যাৰ পূৰ্ণ বৰ্গ নহয়।
চেষ্টা কৰি চোৱাঃ তলৰ কোনবোৰ পাইথাগোৰীয় ত্ৰিপুট? (i) $15, 20, 25$ (ii) $7, 24, 25$ (iii) $5, 10, 13$
- (i) $15^2 + 20^2 = 225 + 400 = 625 = 25^2$ — পাইথাগোৰীয় ত্ৰিপুট।
- (ii) $7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625 = 25^2$ — পাইথাগোৰীয় ত্ৰিপুট।
- (iii) $5^2 + 10^2 = 25 + 100 = 125$ কিন্তু $13^2 = 169$; $125 \ne 169$ — পাইথাগোৰীয় ত্ৰিপুট নহয়।
নিজে চেষ্টা কৰাঃ তলৰ সংখ্যাবোৰৰ বৰ্গমূল নিৰ্ণয় কৰা। (i) $256$ (ii) $2304$ (iii) $74529$
- (i) $256 = 2^8 = (2^4)^2$; $\sqrt{256} = 16$।
- (ii) $2304 = 2^8 \times 3^2 = (2^4 \times 3)^2$; $\sqrt{2304} = 48$।
- (iii) $74529 = 3^2 \times 7^2 \times 13^2 = (3 \times 7 \times 13)^2$; $\sqrt{74529} = 273$।
পাইথাগোৰাছ উপপাদ্যৰ উদাহৰণঃ সমকোণ কৰা বাহু দুটাৰ দৈৰ্ঘ্য $4$ একক আৰু $3$ একক হ’লে অতিভুজৰ দৈৰ্ঘ্য কিমান?
$$3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2 \Rightarrow \text{অতিভুজ} = 5 \text{ একক}$$
উদাহৰণঃ এটা সংখ্যাৰ বৰ্গ $5184$ হ’লে সংখ্যাটো কি?
উত্তৰঃ $5184$ ৰ বৰ্গমূল উলিয়াব লাগে। $5184 = 2^6 \times 3^4 = (2^3 \times 3^2)^2$, গতিকে $\sqrt{5184} = 8 \times 9 = 72$। সংখ্যাটো $72$।
উদাহৰণঃ কোন ক্ষুদ্ৰতম সংখ্যাৰে $180$ ক পূৰণ কৰিলে গুণফল পূৰ্ণ বৰ্গ হয়? প্ৰাপ্ত সংখ্যাটোৰ বৰ্গমূল কি?
উত্তৰঃ $180 = 2^2 \times 3^2 \times 5$; ইয়াত $5$ একেলগে (যোৰ নাই), গতিকে $5$ ৰে পূৰণ কৰিব লাগে। $180 \times 5 = 900 = 30^2$, আৰু $\sqrt{900} = 3 \times 2 \times 5 = 30$।
উদাহৰণঃ কোন ক্ষুদ্ৰতম সংখ্যাৰে $2645$ ক হৰণ কৰিলে ভাগফল পূৰ্ণ বৰ্গ হয়? প্ৰাপ্ত সংখ্যাটোৰ বৰ্গমূল কি?
উত্তৰঃ $2645 = 5 \times 23 \times 23$; ইয়াত $5$ একেলগে, গতিকে $5$ ৰে হৰণ কৰিব লাগে। $2645 \div 5 = 529 = 23^2$, আৰু $\sqrt{529} = 23$।
উদাহৰণঃ এখন সৰু আয়তাকাৰ পাৰ্কৰ দৈৰ্ঘ্য আৰু প্ৰস্থ ক্ৰমে $15$ মিটাৰ আৰু $8$ মিটাৰ। পাৰ্কখনৰ কৰ্ণৰ দৈৰ্ঘ্য নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ $\triangle ABC$ সমকোণী; কৰ্ণ $AC = x$ ধৰিলে $x^2 = AB^2 + BC^2 = 15^2 + 8^2 = 225 + 64 = 289$, গতিকে $x = \sqrt{289} = 17$। কৰ্ণৰ দৈৰ্ঘ্য $17$ মিটাৰ।
উদাহৰণঃ $8, 12$ আৰু $18$ ৰে বিভাজ্য ক্ষুদ্ৰতম পূৰ্ণ বৰ্গ সংখ্যা নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ $8, 12, 18$ ৰ ল.সা.গু. $= 2^2 \times 3^2 \times 2 = 72$। $72 = 2^3 \times 3^2$ ত $2$ ৰ ঘাত অযুগ্ম, গতিকে $2$ ৰে পূৰণ কৰিলে $72 \times 2 = 144 = 12^2$। গতিকে ক্ষুদ্ৰতম পূৰ্ণ বৰ্গ সংখ্যা $144$।
উদাহৰণঃ বৰ্গমূল নিৰ্ণয় কৰা। (i) $\sqrt{2^8}$ (ii) $\sqrt{9 \times 36}$
উত্তৰঃ (i) $2^8 = (2^4)^2$, গতিকে $\sqrt{2^8} = 2^4 = 16$।
(ii) $9 \times 36 = 3^2 \times 6^2 = (3 \times 6)^2$, গতিকে $\sqrt{9 \times 36} = 3 \times 6 = 18$।
অতিৰিক্ত প্ৰশ্ন আৰু উত্তৰ
বহুবিকল্প প্ৰশ্ন (MCQ)
১। তলৰ কোনটো পূৰ্ণ বৰ্গ সংখ্যা? (ক) $122$ (খ) $144$ (গ) $150$ (ঘ) $200$
উত্তৰঃ (খ) $144$ ($= 12^2$)।
২। এটা বৰ্গ সংখ্যাৰ একক স্থানত তলৰ কোনটো অংক থাকিব নোৱাৰে? (ক) $4$ (খ) $5$ (গ) $6$ (ঘ) $7$
উত্তৰঃ (ঘ) $7$।
৩। $\sqrt{225} = ?$ (ক) $15$ (খ) $25$ (গ) $45$ (ঘ) $12$
উত্তৰঃ (ক) $15$।
৪। প্ৰথম $n$ টা অযুগ্ম সংখ্যাৰ যোগফল কিমান? (ক) $n$ (খ) $2n$ (গ) $n^2$ (ঘ) $n^2 + 1$
উত্তৰঃ (গ) $n^2$।
৫। তলৰ কোনটো পাইথাগোৰীয় ত্ৰিপুট? (ক) $(2,3,4)$ (খ) $(6,8,10)$ (গ) $(1,2,3)$ (ঘ) $(4,5,6)$
উত্তৰঃ (খ) $(6,8,10)$ ($6^2 + 8^2 = 100 = 10^2$)।
৬। $90^2 = ?$ (ক) $810$ (খ) $8100$ (গ) $8000$ (ঘ) $9000$
উত্তৰঃ (খ) $8100$।
৭। $\sqrt{1.44} = ?$ (ক) $1.2$ (খ) $12$ (গ) $0.12$ (ঘ) $1.44$
উত্তৰঃ (ক) $1.2$।
৮। এটা $6$ অংকৰ পূৰ্ণ বৰ্গ সংখ্যাৰ বৰ্গমূলত কেইটা অংক থাকিব? (ক) $2$ (খ) $3$ (গ) $4$ (ঘ) $6$
উত্তৰঃ (খ) $3$।
৯। $45^2 = ?$ (ক) $2025$ (খ) $2005$ (গ) $1625$ (ঘ) $2500$
উত্তৰঃ (ক) $2025$।
১০। $36 = 6^2$ ক প্ৰথম কেইটা ক্ৰমিক অযুগ্ম সংখ্যাৰ যোগফল হিচাপে পোৱা যায়? (ক) $5$ (খ) $6$ (গ) $7$ (ঘ) $8$
উত্তৰঃ (খ) $6$ ($1+3+5+7+9+11 = 36$)।
খালী ঠাই পূৰণ কৰা
- এটা অযুগ্ম সংখ্যাৰ বৰ্গ এটা _______ সংখ্যা। (অযুগ্ম)
- $\sqrt{\ }$ চিহ্নেৰে সংখ্যাৰ _______ বৰ্গমূল বুজোৱা হয়। (ধনাত্মক)
- $1 + 3 + 5 + 7 + 9 = $ _______। ($25$)
- এটা পূৰ্ণ বৰ্গ সংখ্যাৰ একক স্থানত $0$ থাকিলে শেষত _______ সংখ্যক শূন্য থাকে। (যুগ্ম)
- $(3, 4, 5)$ এটা _______ ত্ৰিপুট। (পাইথাগোৰীয়)
সত্য নে মিছা লিখা
- প্ৰতিটো যুগ্ম সংখ্যাৰ বৰ্গ যুগ্ম হয়। — সত্য
- একক স্থানত $2, 3, 7$ বা $8$ থকা সংখ্যা পূৰ্ণ বৰ্গ হ’ব পাৰে। — মিছা
- এটা পূৰ্ণ বৰ্গ সংখ্যাৰ দুটা বৰ্গমূল থাকে। — সত্য
- $\sqrt{100} = 10$। — সত্য
- প্ৰতিটো সংখ্যা এটা পূৰ্ণ বৰ্গ সংখ্যা। — মিছা
চমু উত্তৰৰ প্ৰশ্ন
১। পূৰ্ণ বৰ্গ সংখ্যা কাক বোলে? এটা উদাহৰণ দিয়া।
উত্তৰঃ যি সংখ্যাক কোনো এটা অখণ্ড সংখ্যাৰ বৰ্গ ৰূপে প্ৰকাশ কৰিব পাৰি, তাক পূৰ্ণ বৰ্গ সংখ্যা বোলে। যেনে $49 = 7^2$ এটা পূৰ্ণ বৰ্গ সংখ্যা।
২। পাইথাগোৰীয় ত্ৰিপুট কি? এটা উদাহৰণ দিয়া।
উত্তৰঃ যি তিনিটা স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ ক্ষেত্ৰত দুটাৰ বৰ্গৰ যোগফল তৃতীয়টোৰ বৰ্গৰ সমান, অৰ্থাৎ $a^2 + b^2 = c^2$, সেই তিনিটা সংখ্যাক পাইথাগোৰীয় ত্ৰিপুট বোলে। যেনে $(3, 4, 5)$।
৩। মৌলিক উৎপাদক পদ্ধতিৰে $\sqrt{1296}$ নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ $1296 = 2^4 \times 3^4 = (2^2 \times 3^2)^2 = 36^2$, গতিকে $\sqrt{1296} = 36$।
৪। $2p,\ p^2 – 1,\ p^2 + 1$ সূত্ৰ ব্যৱহাৰ কৰি $p = 3$ ৰ বাবে এটা পাইথাগোৰীয় ত্ৰিপুট লিখা।
উত্তৰঃ $p = 3$ ল’লে $2p = 6$, $p^2 – 1 = 8$, $p^2 + 1 = 10$; গতিকে ত্ৰিপুটটো $(6, 8, 10)$। পৰীক্ষাঃ $6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2$।
শব্দাৰ্থ
| অসমীয়া শব্দ | English term | অৰ্থ |
|---|---|---|
| বৰ্গ | Square | কোনো সংখ্যাক নিজৰ সৈতে পূৰণ কৰাৰ ফল |
| বৰ্গ সংখ্যা | Square number | এটা সংখ্যাৰ বৰ্গ ৰূপে প্ৰকাশযোগ্য সংখ্যা |
| পূৰ্ণ বৰ্গ সংখ্যা | Perfect square | অখণ্ড সংখ্যাৰ বৰ্গ হোৱা সংখ্যা |
| বৰ্গমূল | Square root | বৰ্গ কৰাৰ বিপৰীত ক্ৰিয়া |
| মৌলিক উৎপাদক | Prime factor | মৌলিক সংখ্যাৰূপী উৎপাদক |
| হৰণ পদ্ধতি | Division method | দণ্ড দি ভাগ কৰি বৰ্গমূল উলিওৱা কৌশল |
| অতিভুজ | Hypotenuse | সমকোণী ত্ৰিভুজৰ সৰ্বাধিক দীঘল বাহু |
| পাইথাগোৰীয় ত্ৰিপুট | Pythagorean triplet | $a^2 + b^2 = c^2$ সিদ্ধ কৰা তিনিটা সংখ্যা |
| ত্ৰিভুজীয় সংখ্যা | Triangular number | $1, 3, 6, 10, \dots$ আদি সংখ্যা |
| একক স্থান | Unit place | সংখ্যাৰ সৰ্বসোঁফালৰ অংকৰ স্থান |
| দশমিক সংখ্যা | Decimal number | দশমিক বিন্দুযুক্ত সংখ্যা |
| ক্ৰমিক অযুগ্ম সংখ্যা | Consecutive odd numbers | পৰপৰকৈ থকা অযুগ্ম সংখ্যা |