চতুৰ্ভুজ — প্ৰশ্ন উত্তৰ
HSLC Guru-লৈ আপোনাক স্বাগতম। এই পাঠত ASSEB (অসম ৰাজ্যিক বিদ্যালয় শিক্ষা পৰিষদ)-ৰ Class 8 সাধাৰণ গণিত (General Mathematics)-ৰ তৃতীয় অধ্যায় চতুৰ্ভুজ-ৰ সম্পূৰ্ণ ব্যাখ্যা, পাঠ্যপুথিৰ অনুশীলনী ৩.১ আৰু ৩.২-ৰ প্ৰতিটো প্ৰশ্নৰ সমাধান, সমাধা কৰা উদাহৰণ আৰু অতিৰিক্ত প্ৰশ্ন-উত্তৰ সন্নিবিষ্ট কৰা হৈছে।
সাৰাংশ
এই অধ্যায়টোত বহুভুজ (polygon) আৰু বিশেষকৈ চতুৰ্ভুজ-ৰ বিষয়ে আলোচনা কৰা হৈছে। সসীম সংখ্যক ৰেখাখণ্ডেৰে গঠিত সমতলীয় সৰল আৰু বদ্ধ আকৃতিক বহুভুজ বোলে। বাহু বা শীৰ্ষবিন্দুৰ সংখ্যা অনুসৰি বহুভুজক ত্ৰিভুজ (৩), চতুৰ্ভুজ (৪), পঞ্চভুজ (৫), ষড়ভুজ (৬), সপ্তভুজ (৭), অষ্টভুজ (৮), নৱভুজ (৯), দশভুজ (১০) আদি নামেৰে নামকৰণ কৰা হয়।
দুটা অসংলগ্ন শীৰ্ষবিন্দু সংযোগকাৰী ৰেখাখণ্ডক কৰ্ণ বোলে। যি বহুভুজৰ প্ৰতিটো অন্তঃকোণ $180^\circ$-তকৈ সৰু আৰু সকলো কৰ্ণ ভিতৰত থাকে তাক উত্তল বহুভুজ আৰু অন্ততঃ এটা অন্তঃকোণ $180^\circ$-তকৈ ডাঙৰ হ’লে তাক অবতল বহুভুজ বোলে। n বাহুবিশিষ্ট বহুভুজৰ অন্তঃকোণবোৰৰ সমষ্টি $(2n-4)\times 90^\circ$ আৰু যিকোনো বহুভুজৰ বহিঃকোণবোৰৰ সমষ্টি সদায় $360^\circ$।
বাহু আৰু কোণৰ বৈশিষ্ট্য অনুসৰি চতুৰ্ভুজৰ কেইটামান বিশেষ ৰূপ পোৱা যায় — ট্ৰেপিজিয়াম, সামান্তৰিক, আয়ত, ৰম্বাচ, বৰ্গ আৰু ঘুড়ী। এই অধ্যায়ত এইবোৰৰ সংজ্ঞা, ধৰ্ম আৰু পাৰস্পৰিক সম্পৰ্ক (চতুৰ্ভুজৰ পৰিয়াল) শিকা হয়।
Summary: This ASSEB Class 8 General Mathematics Chapter 3 (Quadrilaterals) guide explains polygons and quadrilaterals, interior and exterior angles, the angle-sum formula (2n − 4) × 90°, the constant exterior-angle sum of 360°, and the special quadrilaterals — trapezium, parallelogram, rectangle, rhombus, square and kite — with full worked answers to Exercise 3.1 and Exercise 3.2, labelled figures and extra practice questions.
পাঠ্যপুথিৰ প্ৰশ্ন আৰু উত্তৰ
গুৰুত্বপূৰ্ণ সূত্ৰ আৰু ধাৰণা
- n বাহুবিশিষ্ট বহুভুজৰ অন্তঃকোণৰ সমষ্টি $= (2n-4)\times 90^\circ$।
- সুষম বহুভুজৰ প্ৰতিটো অন্তঃকোণ $= \dfrac{(2n-4)\times 90^\circ}{n}$।
- যিকোনো বহুভুজৰ বহিঃকোণৰ সমষ্টি $= 360^\circ$; সুষম বহুভুজৰ প্ৰতিটো বহিঃকোণ $= \dfrac{360^\circ}{n}$।
- n বাহুবিশিষ্ট বহুভুজৰ কৰ্ণৰ সংখ্যা $= \dfrac{n(n-3)}{2}$।
- অন্তঃকোণ $+$ বহিঃকোণ $= 180^\circ$ (একেটা শীৰ্ষবিন্দুত)।
ওপৰৰ চিত্ৰত চতুৰ্ভুজৰ পৰিয়ালটো দেখুওৱা হৈছে — প্ৰতিটো বৰ্গ এটা আয়ত, এটা ৰম্বাচ, এটা সামান্তৰিক আৰু এটা ট্ৰেপিজিয়ামো হয়।
সমাধা কৰা উদাহৰণ (পাঠ্যপুথিৰ)
উদাহৰণ ১। ১২ বাহুবিশিষ্ট এটা সুষম বহুভুজৰ অন্তঃকোণৰ সমষ্টি উলিওৱা।
উত্তৰঃ $n=12$; সমষ্টি $=(2\times 12-4)\times 90^\circ=20\times 90^\circ=1800^\circ$।
উদাহৰণ ২। এটা ১৫ বাহুবিশিষ্ট সুষম বহুভুজৰ অন্তঃকোণৰ সমষ্টি $2340^\circ$ হ’লে প্ৰতিটো অন্তঃকোণ উলিওৱা।
উত্তৰঃ প্ৰতিটো অন্তঃকোণ $=\dfrac{2340^\circ}{15}=156^\circ$।
উদাহৰণ ৩। যি সুষম বহুভুজৰ প্ৰতিটো অন্তঃকোণ $160^\circ$, তাৰ বাহুসংখ্যা উলিওৱা।
উত্তৰঃ $\dfrac{(2n-4)}{n}\times 90^\circ=160^\circ \Rightarrow 180n-360=160n \Rightarrow 20n=360 \Rightarrow n=18$। বাহুসংখ্যা $=18$।
উদাহৰণ ৪। যি সুষম বহুভুজৰ প্ৰতিটো বহিঃকোণ $36^\circ$, তাৰ বাহুসংখ্যা উলিওৱা।
উত্তৰঃ বাহুসংখ্যা $=\dfrac{360^\circ}{36^\circ}=10$।
উদাহৰণ ৫। প্ৰতিটো বহিঃকোণ (i) $24^\circ$ (ii) $22^\circ$ (iii) $40^\circ$ হ’ব পৰা সুষম বহুভুজ পোৱা সম্ভৱনে?
উত্তৰঃ (i) $\dfrac{360}{24}=15$ — পূৰ্ণসংখ্যা, গতিকে সম্ভৱ (১৫ বাহু)। (ii) $\dfrac{360}{22}=16.36\ldots$ — পূৰ্ণসংখ্যা নহয়, গতিকে সম্ভৱ নহয়। (iii) $\dfrac{360}{40}=9$ — সম্ভৱ (৯ বাহু)।
উদাহৰণ ৬। প্ৰতিটো অন্তঃকোণ (i) $24^\circ$ (ii) $70^\circ$ (iii) $135^\circ$ হ’ব পৰা সুষম বহুভুজ সম্ভৱনে?
উত্তৰঃ (i) বহিঃকোণ $=156^\circ$; $\dfrac{360}{156}$ পূৰ্ণসংখ্যা নহয় — সম্ভৱ নহয়। (ii) বহিঃকোণ $=110^\circ$; $\dfrac{360}{110}$ পূৰ্ণসংখ্যা নহয় — সম্ভৱ নহয়। (iii) বহিঃকোণ $=45^\circ$; $\dfrac{360}{45}=8$ — সম্ভৱ (৮ বাহু)।
উদাহৰণ ৭। (i) সুষম বহুভুজৰ সৰ্বনিম্ন অন্তঃকোণ কিমান? (ii) সৰ্বোচ্চ বহিঃকোণ কিমান?
উত্তৰঃ সবাতোকৈ কম বাহুৰ বহুভুজ হ’ল ত্ৰিভুজ, আৰু সুষম ত্ৰিভুজ (সমবাহু ত্ৰিভুজ)-ৰ প্ৰতিটো অন্তঃকোণ $60^\circ$। গতিকে (i) সৰ্বনিম্ন অন্তঃকোণ $=60^\circ$; (ii) সৰ্বোচ্চ বহিঃকোণ $=180^\circ-60^\circ=120^\circ$।
উদাহৰণ ৮। তলৰ সামান্তৰিকবোৰত অজ্ঞাত কোণবোৰ উলিওৱা।
উত্তৰঃ (i) $80^\circ+b=180^\circ \Rightarrow b=100^\circ$; $c=80^\circ$; $d=b=100^\circ$। (ii) $a+25^\circ+110^\circ=180^\circ \Rightarrow a=45^\circ$; $25^\circ+45^\circ+c=180^\circ \Rightarrow c=110^\circ$; $b=25^\circ$। (iii) $a+130^\circ=180^\circ \Rightarrow a=50^\circ$; $b=130^\circ$; $d=130^\circ$ (অনুৰূপ কোণ)।
উদাহৰণ ৯। এটা সামান্তৰিকৰ দুটা সন্নিহিত কোণৰ অনুপাত $5:4$ হ’লে প্ৰতিটো কোণ উলিওৱা।
উত্তৰঃ $5k+4k=180^\circ \Rightarrow 9k=180^\circ \Rightarrow k=20^\circ$। কোণবোৰ $100^\circ, 80^\circ, 100^\circ, 80^\circ$।
উদাহৰণ ১০। এটা সামান্তৰিকৰ কৰ্ণ দুটা O বিন্দুত ছেদ কৰে। $OD=15, OA=14, OB=3b, OC=2a$ হ’লে $a, b$ উলিওৱা।
উত্তৰঃ সামান্তৰিকৰ কৰ্ণ দুয়োটাই ইটোৱে সিটোক সমদ্বিখণ্ডন কৰে। গতিকে $OB=OD \Rightarrow 3b=15 \Rightarrow b=5$; $OC=OA \Rightarrow 2a=14 \Rightarrow a=7$।
উদাহৰণ ১১। তলৰ চৰ্তেৰে সামান্তৰিক অঁকা সম্ভৱনে? (i) $AB=CD=6$ ছেঃমিঃ, $BC=AD=4$ ছেঃমিঃ (ii) $\angle B=80^\circ, \angle C=90^\circ$ (iii) $\angle A=60^\circ, \angle C=70^\circ$।
উত্তৰঃ (i) সম্ভৱ — বিপৰীত বাহু সমান। (ii) সম্ভৱ নহয় — সন্নিহিত কোণ পৰিপূৰক হোৱা উচিত ($80^\circ+90^\circ\neq 180^\circ$)। (iii) সম্ভৱ নহয় — বিপৰীত কোণ সমান হোৱা উচিত ($60^\circ\neq 70^\circ$)।
উদাহৰণ ১২। যি চতুৰ্ভুজৰ কৰ্ণ দুটা (i) ইটোৱে সিটোক সমদ্বিখণ্ডন কৰে (ii) ইটোৱে সিটোক লম্বভাৱে সমদ্বিখণ্ডন কৰে (iii) সমান — সেইবোৰৰ নাম লিখা।
উত্তৰঃ (i) সামান্তৰিক, আয়ত, ৰম্বাচ, বৰ্গ। (ii) ৰম্বাচ, বৰ্গ। (iii) আয়ত, বৰ্গ।
অনুশীলনী ৩.১
১। তলৰ বহুভুজবোৰ আঁকা — (i) উত্তল ষড়ভুজ (ii) অবতল সপ্তভুজ (iii) অবতল পঞ্চভুজ।
উত্তৰঃ উত্তল ষড়ভুজৰ প্ৰতিটো কোণ $180^\circ$-তকৈ সৰু আৰু সকলো কৰ্ণ ভিতৰত থাকে। অবতল সপ্তভুজ আৰু অবতল পঞ্চভুজত অন্ততঃ এটা কোণ $180^\circ$-তকৈ ডাঙৰ থাকে (এটা শীৰ্ষবিন্দু ভিতৰফালে সোমাই থাকে)। নমুনা চিত্ৰ তলত দিয়া হ’ল।
২। তলৰ উত্তল বহুভুজবোৰ আঁকা। প্ৰতিটো ক্ষেত্ৰত কৰ্ণবোৰ চিহ্নিত কৰি মুঠ কৰ্ণৰ সংখ্যা উলিওৱা — (i) সুষম ষড়ভুজ (ii) অষ্টভুজ (iii) নৱভুজ (iv) দশভুজ।
উত্তৰঃ কৰ্ণৰ সংখ্যা $=\dfrac{n(n-3)}{2}$। (i) ষড়ভুজ: $\dfrac{6\times 3}{2}=9$টা। (ii) অষ্টভুজ: $\dfrac{8\times 5}{2}=20$টা। (iii) নৱভুজ: $\dfrac{9\times 6}{2}=27$টা। (iv) দশভুজ: $\dfrac{10\times 7}{2}=35$টা।
৩। তলৰ সুষম বহুভুজবোৰ আঁকা। প্ৰতিটোৰ কোণৰ সমষ্টি আৰু প্ৰতিটো কোণৰ পৰিমাণ উলিওৱা — (i) সুষম ষড়ভুজ (ii) সুষম নৱভুজ (iii) ১২ বাহুবিশিষ্ট সুষম বহুভুজ।
উত্তৰঃ (i) ষড়ভুজ: সমষ্টি $=(2\times 6-4)\times 90^\circ=720^\circ$; প্ৰতিটো কোণ $=\dfrac{720^\circ}{6}=120^\circ$। (ii) নৱভুজ: সমষ্টি $=(2\times 9-4)\times 90^\circ=1260^\circ$; প্ৰতিটো কোণ $=\dfrac{1260^\circ}{9}=140^\circ$। (iii) ১২ বাহু: সমষ্টি $=(2\times 12-4)\times 90^\circ=1800^\circ$; প্ৰতিটো কোণ $=\dfrac{1800^\circ}{12}=150^\circ$।
৪। তলৰ চিত্ৰবোৰত $a, b$ কোণৰ কোণ উলিওৱা।
উত্তৰঃ (i) এইটো এটা পঞ্চভুজ; অন্তঃকোণৰ সমষ্টি $=540^\circ$। গতিকে $a=540^\circ-(115^\circ+95^\circ+105^\circ+120^\circ)=540^\circ-435^\circ=105^\circ$।
(ii) চিত্ৰত পাঁচোটা বাহু সমান দেখুওৱা হৈছে, গতিকে ইয়াক সুষম পঞ্চভুজ ধৰা হয়; প্ৰতিটো অন্তঃকোণ $=108^\circ$ আৰু প্ৰতিটো বহিঃকোণ $=72^\circ$। গতিকে $a=108^\circ$ (তলৰ শীৰ্ষবিন্দুৰ অন্তঃকোণ), $b=72^\circ$ (বহিঃকোণ)।
(iii) এইটো এটা চতুৰ্ভুজ; অন্তঃকোণৰ সমষ্টি $=360^\circ$। গতিকে $a=360^\circ-(60^\circ+80^\circ+70^\circ)=150^\circ$; আৰু $b$ হ’ল $80^\circ$-ৰ বহিঃকোণ, গতিকে $b=180^\circ-80^\circ=100^\circ$।
(iv) এইটো এটা ষড়ভুজ, য’ত বহিঃকোণবোৰ দিয়া আছে। $130^\circ$-ৰ বহিঃকোণ $b=180^\circ-130^\circ=50^\circ$। বহিঃকোণৰ সমষ্টি $=360^\circ$, গতিকে $55^\circ+60^\circ+a+70^\circ+65^\circ+b=360^\circ \Rightarrow 300^\circ+a=360^\circ \Rightarrow a=60^\circ$। সুতৰাং $a=60^\circ, b=50^\circ$।
(v) এইটো এটা পঞ্চভুজ; দুটা কোণ সমকোণ ($90^\circ$)। $70^\circ$-ৰ ঠাইত অন্তঃকোণ $b=180^\circ-70^\circ=110^\circ$; আৰু $80^\circ$ বহিঃকোণৰ ঠাইত অন্তঃকোণ $=100^\circ$। পঞ্চভুজৰ অন্তঃকোণৰ সমষ্টি $=540^\circ$, গতিকে $90^\circ+110^\circ+90^\circ+100^\circ+a=540^\circ \Rightarrow a=150^\circ$। সুতৰাং $a=150^\circ, b=110^\circ$।
৫। এটা সুষম বহুভুজৰ এটা বহিঃকোণৰ কোণ $30^\circ$ হ’লে বহুভুজৰ বাহুসংখ্যা উলিওৱা।
উত্তৰঃ বাহুসংখ্যা $=\dfrac{360^\circ}{30^\circ}=12$।
৬। ২০ বাহুবিশিষ্ট এটা সুষম বহুভুজৰ প্ৰতিটো বহিঃকোণৰ কোণ কিমান হ’ব?
উত্তৰঃ প্ৰতিটো বহিঃকোণ $=\dfrac{360^\circ}{20}=18^\circ$।
৭। তলত সুষম বহুভুজৰ অন্তঃকোণ দিয়া আছে; বাহুসংখ্যা উলিওৱা — (i) $120^\circ$ (ii) $144^\circ$ (iii) $156^\circ$ (iv) $135^\circ$ (v) $165^\circ$।
উত্তৰঃ বাহুসংখ্যা $=\dfrac{360^\circ}{180^\circ-\text{অন্তঃকোণ}}$। (i) $\dfrac{360}{60}=6$। (ii) $\dfrac{360}{36}=10$। (iii) $\dfrac{360}{24}=15$। (iv) $\dfrac{360}{45}=8$। (v) $\dfrac{360}{15}=24$।
৮। তলত বহুভুজৰ বাহুসংখ্যা দিয়া আছে; অন্তঃকোণৰ সমষ্টি উলিওৱা — (i) $12$ (ii) $14$ (iii) $20$ (iv) $24$ (v) $25$।
উত্তৰঃ সমষ্টি $=(2n-4)\times 90^\circ$। (i) $(24-4)\times 90^\circ=1800^\circ$। (ii) $(28-4)\times 90^\circ=2160^\circ$। (iii) $(40-4)\times 90^\circ=3240^\circ$। (iv) $(48-4)\times 90^\circ=3960^\circ$। (v) $(50-4)\times 90^\circ=4140^\circ$।
৯। তলৰ উক্তিবোৰ শুদ্ধ নে অশুদ্ধ যুক্তিসহ লিখা।
উত্তৰঃ (i) “সুষম বহুভুজৰ প্ৰতিটো বহিঃকোণ $25^\circ$ হ’ব নোৱাৰে” — শুদ্ধ, কিয়নো $\dfrac{360}{25}=14.4$ পূৰ্ণসংখ্যা নহয়। (ii) “প্ৰতিটো অন্তঃকোণ $1^\circ$ হ’ব পাৰে” — অশুদ্ধ ($1^\circ$ অন্তঃকোণৰ বাবে বহিঃকোণ $179^\circ$, $\dfrac{360}{179}$ পূৰ্ণসংখ্যা নহয়)। (iii) “সৰ্বোচ্চ বহিঃকোণ $90^\circ$” — অশুদ্ধ, সৰ্বোচ্চ বহিঃকোণ $120^\circ$ (সমবাহু ত্ৰিভুজ)। (iv) “সৰ্বোচ্চ অন্তঃকোণ $180^\circ$” — অশুদ্ধ, উত্তল বহুভুজৰ অন্তঃকোণ সদায় $180^\circ$-তকৈ সৰু। (v) “সৰ্বনিম্ন অন্তঃকোণ $60^\circ$” — শুদ্ধ (সমবাহু ত্ৰিভুজ)।
অনুশীলনী ৩.২
১। তলৰ চতুৰ্ভুজবোৰৰ অজ্ঞাত ৰাশি (বাহু/কোণ) উলিওৱা। বিপৰীত বাহুত থকা কাঁড় চিন (→)-এ বাহুযোৰ সমান্তৰাল বুজায়।
উত্তৰঃ (i) এইটো এটা চতুৰ্ভুজ (সমান্তৰাল চিন নাই); কোণৰ সমষ্টি $=360^\circ$। $a=360^\circ-(110^\circ+80^\circ+75^\circ)=95^\circ$।
(ii) এইটো এটা সামান্তৰিক; $105^\circ$-ৰ সন্নিহিত কোণ $a=180^\circ-105^\circ=75^\circ$; বিপৰীত কোণ $b=105^\circ$ আৰু $c=a=75^\circ$।
(iii) এইটো এটা ৰম্বাচ (সকলো বাহু সমান), তাত এটা কৰ্ণ অঁকা হৈছে। অন্তঃকোণ $\angle B=110^\circ$ হোৱাত বিপৰীত কোণ $\angle D=110^\circ$ আৰু $\angle A=\angle C=70^\circ$। কৰ্ণৰ সৈতে $\angle DCA=40^\circ$; গতিকে $b=\angle ACB=70^\circ-40^\circ=30^\circ$। আকৌ $AB\parallel DC$ হোৱাত $\angle CAB=\angle DCA=40^\circ$ (একান্তৰ কোণ), সেয়ে $a=\angle DAC=70^\circ-40^\circ=30^\circ$। সুতৰাং $a=30^\circ, b=30^\circ$।
(iv) এইটো এটা সামান্তৰিক; বিপৰীত বাহু সমান। $2b+1=9 \Rightarrow b=4$; $4a=24 \Rightarrow a=6$।
(v) এইটো এটা ৰম্বাচ, দুয়োটা কৰ্ণ অঁকা আছে (লম্বভাৱে ছেদ)। কৰ্ণ দুটাই ইটোৱে সিটোক সমদ্বিখণ্ডন কৰে, গতিকে $b=8$ (আনুভূমিক কৰ্ণৰ আধা) আৰু $c=15$ (উলম্ব কৰ্ণৰ আধা)। বাহু $a=\sqrt{8^2+15^2}=\sqrt{289}=17$। সুতৰাং $a=17, b=8, c=15$।
(vi) এইটো এটা সামান্তৰিক; $75^\circ$-ৰ সন্নিহিত কোণ $a=180^\circ-75^\circ=105^\circ$; বিপৰীত কোণ $b=75^\circ$ আৰু $c=105^\circ$।
(vii) এইটো এটা আয়ত; কৰ্ণ $AC=10$। আয়তৰ কৰ্ণ দুটা সমান আৰু ইটোৱে সিটোক সমদ্বিখণ্ডন কৰে, গতিকে $BD=10$ আৰু $OA=OB=OC=OD=5$। সুতৰাং $x=OD=5, y=OB=5$।
(viii) এইটো এটা বৰ্গ, বাহু $AB=6$। সকলো বাহু সমান, গতিকে $x=y=z=6$। সুতৰাং $x+y+z=18$।
(ix) এইটো এটা ৰম্বাচ, বাহু $AB=7$। সকলো বাহু সমান, গতিকে $x=y=z=7$। সুতৰাং $x+y+z=21$।
(x) এইটো এটা সামান্তৰিক; সন্নিহিত কোণ পৰিপূৰক। $(3x-2)+(2x-3)=180 \Rightarrow 5x-5=180 \Rightarrow x=37$। গতিকে কোণবোৰ $3x-2=109^\circ$ আৰু $2x-3=71^\circ$, অৰ্থাৎ $\angle A=71^\circ, \angle B=109^\circ, \angle C=71^\circ, \angle D=109^\circ$।
(xi) এইটো এটা সামান্তৰিক (য’ত $AD=DC$ চিহ্নিত), কৰ্ণ $AC$ অঁকা আছে; $\angle D=68^\circ$। $\triangle ADC$-ত $AD=DC$, গতিকে $\angle DAC=\angle DCA=\dfrac{180^\circ-68^\circ}{2}=56^\circ$; সেয়ে $y=\angle DCA=56^\circ$। আৰু $AB\parallel DC$ হোৱাত $x=\angle CAB=\angle DCA=56^\circ$ (একান্তৰ কোণ)। সুতৰাং $x=56^\circ, y=56^\circ$।
(xii) এইটো এটা পঞ্চভুজ, য’ত বহিঃকোণবোৰ দিয়া আছে। বহিঃকোণৰ সমষ্টি $=360^\circ$; গতিকে $90^\circ+90^\circ+60^\circ+40^\circ+x=360^\circ \Rightarrow 280^\circ+x=360^\circ \Rightarrow x=80^\circ$।
২। এটা সামান্তৰিকৰ দুটা সন্নিহিত কোণৰ অনুপাত $4:5$ হ’লে কোণবোৰ উলিওৱা।
উত্তৰঃ $4k+5k=180^\circ \Rightarrow 9k=180^\circ \Rightarrow k=20^\circ$। সন্নিহিত কোণ দুটা $80^\circ$ আৰু $100^\circ$; গতিকে চাৰিওটা কোণ $80^\circ, 100^\circ, 80^\circ, 100^\circ$।
৩। এটা সামান্তৰিকৰ দুটা সন্নিহিত কোণৰ এটা আনটোতকৈ $30^\circ$ বেছি হ’লে প্ৰতিটো কোণ উলিওৱা।
উত্তৰঃ কোণ দুটা $\theta$ আৰু $\theta+30^\circ$ ধৰিলে $\theta+(\theta+30^\circ)=180^\circ \Rightarrow 2\theta=150^\circ \Rightarrow \theta=75^\circ$। কোণবোৰ $75^\circ, 105^\circ, 75^\circ, 105^\circ$।
৪। $AC$ আৰু $BD$ সামান্তৰিক $ABCD$-ৰ কৰ্ণ। $a=37^\circ$ আৰু $\angle ABC=120^\circ$ হ’লে $b$ উলিওৱা।
উত্তৰঃ কৰ্ণ $BD$-এ $\angle ADC$-ক $a$ আৰু $b$-ত ভাগ কৰিছে, অৰ্থাৎ $\angle ADC=a+b$। সামান্তৰিকৰ বিপৰীত কোণ সমান, গতিকে $\angle ADC=\angle ABC=120^\circ$। সুতৰাং $37^\circ+b=120^\circ \Rightarrow b=83^\circ$।
৫। আয়ত $ABCD$-ত কৰ্ণ $AC=6x-2$ আৰু $BD=4x+2$ হ’লে $x$ আৰু $AC$-ৰ দৈৰ্ঘ্য উলিওৱা।
উত্তৰঃ আয়তৰ কৰ্ণ সমান: $6x-2=4x+2 \Rightarrow 2x=4 \Rightarrow x=2$। $AC=6(2)-2=10$।
৬। এটা আয়তৰ কৰ্ণ দুটা O বিন্দুত ছেদ কৰে। $AC=3x+1$ আৰু $BD=8x-24$ হ’লে $x, AO, BO$ উলিওৱা।
উত্তৰঃ কৰ্ণ সমান: $3x+1=8x-24 \Rightarrow 5x=25 \Rightarrow x=5$। $AC=BD=16$; $AO=BO=\dfrac{16}{2}=8$।
৭। বৰ্গ $ABCD$-ত $\angle A=4x+30^\circ$ হ’লে $x$ উলিওৱা।
উত্তৰঃ বৰ্গৰ প্ৰতিটো কোণ $90^\circ$; $4x+30^\circ=90^\circ \Rightarrow 4x=60^\circ \Rightarrow x=15$।
৮। আয়ত $ABCD$-ত $AB=2x+5, BC=20, AD=3x+5$ হ’লে চাৰিওটা বাহুৰ সমষ্টি উলিওৱা।
উত্তৰঃ আয়তৰ বিপৰীত বাহু সমান: $AD=BC \Rightarrow 3x+5=20 \Rightarrow x=5$। $AB=2(5)+5=15$। পৰিসীমা $=2(AB+BC)=2(15+20)=70$।
৯। সামান্তৰিক $ABCD$-ত $\angle B=2x+10^\circ$ আৰু $\angle D=3x-13^\circ$ হ’লে সকলো কোণ উলিওৱা।
উত্তৰঃ বিপৰীত কোণ সমান: $2x+10^\circ=3x-13^\circ \Rightarrow x=23$। $\angle B=\angle D=2(23)+10^\circ=56^\circ$; $\angle A=\angle C=180^\circ-56^\circ=124^\circ$। সুতৰাং $\angle A=124^\circ, \angle B=56^\circ, \angle C=124^\circ, \angle D=56^\circ$।
১০। এটা বৰ্গৰ চাৰিওটা বাহুৰ সমষ্টি $36$ ছেঃমিঃ হ’লে প্ৰতিটো বাহুৰ দৈৰ্ঘ্য উলিওৱা।
উত্তৰঃ বাহু $=\dfrac{36}{4}=9$ ছেঃমিঃ।
১১। ৰম্বাচ $ABCD$-ত $AB=3x+4$ আৰু $BC=2x+7$ হ’লে $DC$ আৰু $AD$-ৰ দৈৰ্ঘ্য উলিওৱা।
উত্তৰঃ ৰম্বাচৰ সকলো বাহু সমান: $3x+4=2x+7 \Rightarrow x=3$। $AB=3(3)+4=13$। গতিকে $DC=AD=13$।
১২। সামান্তৰিক $ABCD$-ৰ কৰ্ণ $AC$ আৰু $BD$ E বিন্দুত সমদ্বিখণ্ডিত হয়। $AE=10x$ হ’লে $x=3$-ৰ বাবে $AC$ উলিওৱা।
উত্তৰঃ E হ’ল $AC$-ৰ মধ্যবিন্দু, গতিকে $AE=\dfrac{1}{2}AC$। $AE=10x=10\times 3=30$; সেয়ে $AC=2\times 30=60$।
১৩। সামান্তৰিক $ABCD$-ৰ কৰ্ণ $BD$-ত $AE$ আৰু $CF$ লম্ব অঁকা হৈছে। প্ৰমাণ কৰা যে $\triangle AED \cong \triangle CFB$।
উত্তৰঃ $\triangle AED$ আৰু $\triangle CFB$-ত — $\angle AED=\angle CFB=90^\circ$ (লম্ব); $AD=CB$ (সামান্তৰিকৰ বিপৰীত বাহু); $AD\parallel CB$ আৰু $BD$ ছেদক হোৱাত $\angle ADE=\angle CBF$ (একান্তৰ কোণ)। গতিকে AAS সৰ্বসমতা চৰ্ত অনুসৰি $\triangle AED \cong \triangle CFB$। (প্ৰমাণিত)
১৪। চতুৰ্ভুজ $ABCD$-ৰ $AB$ আৰু $CD$ বাহু ক্ৰমে $P$ আৰু $Q$ বিন্দুলৈ বৰ্ধিত কৰা হয়। প্ৰমাণ কৰা যে $\angle ADQ+\angle CBP=\angle A+\angle C$।
উত্তৰঃ $ABP$ ঋজু ৰেখা হোৱাত $\angle CBP=180^\circ-\angle B$; আৰু $CDQ$ ঋজু ৰেখা হোৱাত $\angle ADQ=180^\circ-\angle D$। যোগ কৰিলে $\angle ADQ+\angle CBP=360^\circ-(\angle B+\angle D)$। চতুৰ্ভুজত $\angle A+\angle B+\angle C+\angle D=360^\circ$, গতিকে $\angle B+\angle D=360^\circ-(\angle A+\angle C)$। সেয়ে $\angle ADQ+\angle CBP=360^\circ-[360^\circ-(\angle A+\angle C)]=\angle A+\angle C$। (প্ৰমাণিত)
১৫। সামান্তৰিক $ABCD$-ৰ $\angle A$ আৰু $\angle B$-ৰ সমদ্বিখণ্ডক $O$ বিন্দুত মিলিত হয়। $\angle AOB$ উলিওৱা।
উত্তৰঃ সামান্তৰিকৰ $\angle A+\angle B=180^\circ$ (একেফালৰ অন্তঃকোণ)। $\triangle AOB$-ত $\angle OAB=\dfrac{\angle A}{2}$ আৰু $\angle OBA=\dfrac{\angle B}{2}$। গতিকে $\angle AOB=180^\circ-\left(\dfrac{\angle A}{2}+\dfrac{\angle B}{2}\right)=180^\circ-\dfrac{180^\circ}{2}=90^\circ$।
১৬। এটা চতুৰ্ভুজৰ চাৰিটা কোণৰ অনুপাত $3:4:5:6$ হ’লে কোণবোৰ উলিওৱা।
উত্তৰঃ $3k+4k+5k+6k=360^\circ \Rightarrow 18k=360^\circ \Rightarrow k=20^\circ$। কোণবোৰ $60^\circ, 80^\circ, 100^\circ, 120^\circ$।
অতিৰিক্ত প্ৰশ্ন আৰু উত্তৰ
বহুবিকল্পীয় প্ৰশ্ন (MCQ)
১। যিকোনো বহুভুজৰ বহিঃকোণবোৰৰ সমষ্টি — (ক) $180^\circ$ (খ) $360^\circ$ (গ) $540^\circ$ (ঘ) $720^\circ$।
উত্তৰঃ (খ) $360^\circ$।
২। $n$ বাহুবিশিষ্ট বহুভুজৰ অন্তঃকোণৰ সমষ্টি — (ক) $n\times 180^\circ$ (খ) $(2n-4)\times 90^\circ$ (গ) $360^\circ$ (ঘ) $\dfrac{360^\circ}{n}$।
উত্তৰঃ (খ) $(2n-4)\times 90^\circ$।
৩। সুষম ষড়ভুজৰ প্ৰতিটো অন্তঃকোণ — (ক) $108^\circ$ (খ) $120^\circ$ (গ) $135^\circ$ (ঘ) $144^\circ$।
উত্তৰঃ (খ) $120^\circ$।
৪। যি চতুৰ্ভুজৰ কৰ্ণ দুটাই ইটোৱে সিটোক লম্বভাৱে সমদ্বিখণ্ডন কৰে (কিন্তু সমান নহয়) — (ক) আয়ত (খ) ৰম্বাচ (গ) ট্ৰেপিজিয়াম (ঘ) ঘুড়ী।
উত্তৰঃ (খ) ৰম্বাচ।
৫। আয়তৰ কৰ্ণ দুটাৰ বৈশিষ্ট্য — (ক) সমান (খ) লম্ব (গ) অসমান (ঘ) সমদ্বিখণ্ডন নকৰে।
উত্তৰঃ (ক) সমান (আৰু ইটোৱে সিটোক সমদ্বিখণ্ডন কৰে)।
৬। সামান্তৰিকৰ সন্নিহিত কোণ দুটা — (ক) সমান (খ) পৰিপূৰক (গ) পূৰক (ঘ) সমকোণ।
উত্তৰঃ (খ) পৰিপূৰক (সমষ্টি $180^\circ$)।
৭। এটা পঞ্চভুজৰ কৰ্ণৰ সংখ্যা — (ক) $2$ (খ) $5$ (গ) $9$ (ঘ) $10$।
উত্তৰঃ (খ) $5$ ($\dfrac{5\times 2}{2}=5$)।
৮। এটা সুষম বহুভুজৰ প্ৰতিটো বহিঃকোণ $45^\circ$ হ’লে বাহুসংখ্যা — (ক) $6$ (খ) $8$ (গ) $9$ (ঘ) $10$।
উত্তৰঃ (খ) $8$ ($\dfrac{360}{45}=8$)।
৯। এটা বৰ্গ হ’ল — (ক) সামান্তৰিক (খ) আয়ত (গ) ৰম্বাচ (ঘ) ওপৰৰ সকলো।
উত্তৰঃ (ঘ) ওপৰৰ সকলো।
১০। এটা ত্ৰিভুজৰ অন্তঃকোণৰ সমষ্টি — (ক) $90^\circ$ (খ) $180^\circ$ (গ) $270^\circ$ (ঘ) $360^\circ$।
উত্তৰঃ (খ) $180^\circ$।
খালী ঠাই পূৰ কৰা
১। $n$ বাহুবিশিষ্ট বহুভুজৰ বহিঃকোণৰ সমষ্টি ______ ।
উত্তৰঃ $360^\circ$।
২। যি চতুৰ্ভুজৰ এযোৰ বিপৰীত বাহু সমান্তৰাল, তাক ______ বোলে।
উত্তৰঃ ট্ৰেপিজিয়াম।
৩। বৰ্গৰ প্ৰতিটো কোণ ______ ।
উত্তৰঃ $90^\circ$।
৪। সুষম দশভুজৰ প্ৰতিটো অন্তঃকোণ ______ ।
উত্তৰঃ $144^\circ$ ($\dfrac{(2\times 10-4)\times 90^\circ}{10}=144^\circ$)।
৫। সামান্তৰিকৰ কৰ্ণ দুয়োটাই ইটোৱে সিটোক ______ কৰে।
উত্তৰঃ সমদ্বিখণ্ডন।
শুদ্ধ নে অশুদ্ধ লিখা
১। প্ৰতিটো বৰ্গ এটা ৰম্বাচ।
উত্তৰঃ শুদ্ধ।
২। প্ৰতিটো ৰম্বাচ এটা বৰ্গ।
উত্তৰঃ অশুদ্ধ।
৩। ট্ৰেপিজিয়ামৰ দুয়োযোৰ বিপৰীত বাহু সমান্তৰাল।
উত্তৰঃ অশুদ্ধ (এযোৰহে সমান্তৰাল)।
৪। আয়তৰ কৰ্ণ দুটা সমান দৈৰ্ঘ্যৰ।
উত্তৰঃ শুদ্ধ।
৫। উত্তল বহুভুজৰ সকলো কৰ্ণ ইয়াৰ ভিতৰত থাকে।
উত্তৰঃ শুদ্ধ।
চমু উত্তৰৰ প্ৰশ্ন
১। সুষম বহুভুজ আৰু বিষম বহুভুজৰ পাৰ্থক্য কি?
উত্তৰঃ সুষম বহুভুজৰ সকলো বাহু সমান দৈৰ্ঘ্যৰ আৰু সকলো কোণ সমান পৰিমাণৰ; বিষম বহুভুজৰ বাহু বা কোণবোৰ অসমান।
২। ৰম্বাচ আৰু বৰ্গৰ এটা পাৰ্থক্য লিখা।
উত্তৰঃ দুয়োটাৰে সকলো বাহু সমান; কিন্তু বৰ্গৰ প্ৰতিটো কোণ $90^\circ$, ৰম্বাচৰ কোণ সমকোণ হ’বই লাগে বুলি নাই। (আৰু বৰ্গৰ কৰ্ণ সমান, ৰম্বাচৰ কৰ্ণ সাধাৰণতে অসমান।)
৩। এটা সুষম বহুভুজৰ প্ৰতিটো অন্তঃকোণ $108^\circ$ হ’লে ইয়াৰ বাহুসংখ্যা উলিওৱা।
উত্তৰঃ বহিঃকোণ $=180^\circ-108^\circ=72^\circ$; বাহুসংখ্যা $=\dfrac{360^\circ}{72^\circ}=5$ (পঞ্চভুজ)।
৪। এটা চতুৰ্ভুজৰ তিনিটা কোণ $70^\circ, 80^\circ, 100^\circ$ হ’লে চতুৰ্থ কোণটো উলিওৱা।
উত্তৰঃ চতুৰ্থ কোণ $=360^\circ-(70^\circ+80^\circ+100^\circ)=110^\circ$।
শব্দাৰ্থ
| অসমীয়া শব্দ | English term | অৰ্থ |
|---|---|---|
| বহুভুজ | Polygon | সসীম সংখ্যক ৰেখাখণ্ডেৰে গঠিত সৰল, বদ্ধ সমতলীয় আকৃতি |
| চতুৰ্ভুজ | Quadrilateral | চাৰিটা বাহুবিশিষ্ট বহুভুজ |
| অন্তঃকোণ | Interior angle | বহুভুজৰ ভিতৰফালৰ কোণ |
| বহিঃকোণ | Exterior angle | বাহু বৰ্ধিত কৰিলে সৃষ্টি হোৱা বাহিৰৰ কোণ |
| কৰ্ণ | Diagonal | দুটা অসংলগ্ন শীৰ্ষবিন্দু সংযোগকাৰী ৰেখাখণ্ড |
| উত্তল বহুভুজ | Convex polygon | প্ৰতিটো অন্তঃকোণ $180^\circ$-তকৈ সৰু |
| অবতল বহুভুজ | Concave polygon | অন্ততঃ এটা অন্তঃকোণ $180^\circ$-তকৈ ডাঙৰ |
| সুষম বহুভুজ | Regular polygon | সকলো বাহু আৰু কোণ সমান |
| সামান্তৰিক | Parallelogram | দুয়োযোৰ বিপৰীত বাহু সমান্তৰাল চতুৰ্ভুজ |
| ট্ৰেপিজিয়াম | Trapezium | এযোৰ বিপৰীত বাহু সমান্তৰাল চতুৰ্ভুজ |
| আয়ত | Rectangle | সমকোণবিশিষ্ট সামান্তৰিক |
| ৰম্বাচ | Rhombus | সকলো বাহু সমান দৈৰ্ঘ্যৰ সামান্তৰিক |
| বৰ্গ | Square | সকলো বাহু আৰু কোণ সমান চতুৰ্ভুজ |
| ঘুড়ী | Kite | দুযোৰ সংলগ্ন বাহু সমান চতুৰ্ভুজ |
| সৰ্বসম | Congruent | একে আকৃতি আৰু আকাৰৰ |