এটা চলকযুক্ত এক ঘাতৰ সমীকৰণ — প্ৰশ্ন উত্তৰ
HSLC Guru-লৈ আপোনাক স্বাগতম। এই পাঠত ASSEB (অসম ৰাজ্যিক বিদ্যালয় শিক্ষা পৰিষদ) Class 8 সাধাৰণ গণিতৰ দ্বিতীয় অধ্যায় এটা চলকযুক্ত এক ঘাতৰ সমীকৰণৰ নিজে চেষ্টা কৰা অংশ, অনুশীলনী ২.১, অনুশীলনী ২.২ আৰু বহুবিকল্প প্ৰশ্নবোৰৰ সম্পূৰ্ণ সমাধান শাৰী শাৰীকৈ দিয়া হৈছে।
সাৰাংশ
কোনো এটা বীজগণিতীয় ৰাশিত চলকৰ উচ্চতম ঘাতকে সেই ৰাশিৰ ঘাত বোলে। যেতিয়া কোনো ৰাশিত মাত্ৰ এটা চলক থাকে আৰু সেই চলকৰ উচ্চতম ঘাত ১ হয়, তেতিয়া তাক এটা চলকযুক্ত এক ঘাতৰ ৰাশি বোলে; যেনে $x$, $y+3$, $2m-\frac{11}{6}$, $ax+b$। কোনো সমস্যাৰ বীজগণিতীয় প্ৰকাশকে সমীকৰণ বোলে, আৰু $2x=12$, $3x=x+5$, $2y-7=8y$ আদি হৈছে এটা চলকযুক্ত এক ঘাতৰ সমীকৰণৰ উদাহৰণ।
চলকৰ যিমান মানৰ বাবে সমীকৰণৰ বাওঁ পক্ষ (LHS) আৰু সোঁ পক্ষ (RHS) সমান হয়, সেই মানকে সমীকৰণটোৰ সমাধান বা বীজ (root) বোলে। সমীকৰণ সমাধান কৰোঁতে চলকযুক্ত পদবোৰ বাওঁ পক্ষত আৰু বাকী পদবোৰ সোঁ পক্ষত ৰাখি লওঁ। এই কামত উভয় পক্ষত একে সংখ্যা যোগ, বিয়োগ, পূৰণ বা এটা অশূন্য সংখ্যাৰে হৰণ কৰা হয়।
সমান চিহ্নৰ এফালৰ পৰা কোনো পদ আনফাললৈ নিয়াৰ সময়ত তাৰ চিহ্ন সলনি হয় — ‘+’ হয় ‘−’ আৰু ‘−’ হয় ‘+’। এই প্ৰক্ৰিয়াক স্থানান্তৰণ বোলে। $\frac{A}{B}=\frac{C}{D}$ আকৃতিৰ সমীকৰণ $A\times D = B\times C$ লিখি পোনপটীয়াকৈ সমাধান কৰা প্ৰক্ৰিয়াটোক বজ্ৰগুণন প্ৰক্ৰিয়া বোলে। দৈনন্দিন জীৱনৰ বহুতো সমস্যা এক ঘাতৰ সমীকৰণ গঠন কৰি সমাধান কৰিব পাৰি।
Summary: This ASSEB Class 8 General Mathematics Chapter 2 solution covers First Degree Equation in One Variable — identifying linear equations in one variable, finding the solution or root, solving by transposition and by the cross-multiplication method, verifying results, and forming equations to solve practical word problems. Every question of the “Try Yourself” box, Exercise 2.1, Exercise 2.2 and the Multiple Choice Questions is solved with full step-by-step working.
পাঠ্যপুথিৰ প্ৰশ্ন আৰু উত্তৰ
নিজে চেষ্টা কৰা
তলৰ সমীকৰণবোৰৰ পৰা এটা চলকযুক্ত এক ঘাতৰ সমীকৰণবোৰ চিনাক্ত কৰা ($a, b, c, p, q$ ধ্ৰুৱক): (i) $5x+3y-7=9$ (ii) $5m-8=0$ (iii) $5=3l$ (iv) $x^2-9y+11=9$ (v) $ax^2+bx+c=0$ (vi) $px+q=10$ (vii) $a^2x+b=0$ (viii) $ax^2+b=0$ (ix) $y=0$ (x) $z=p^3$ (xi) $3y+8=3y-2$ (xii) $5z=-z+6$
উত্তৰঃ এটা চলকযুক্ত এক ঘাতৰ সমীকৰণ হ’বলৈ সমীকৰণটোত মাত্ৰ এটা চলক থাকিব লাগিব আৰু সেই চলকৰ উচ্চতম ঘাত ১ হ’ব লাগিব।
এটা চলকযুক্ত এক ঘাতৰ সমীকৰণবোৰ হ’ল — (ii) $5m-8=0$, (iii) $5=3l$, (vi) $px+q=10$, (vii) $a^2x+b=0$, (ix) $y=0$, (x) $z=p^3$, (xi) $3y+8=3y-2$, (xii) $5z=-z+6$।
নহয় — (i) আৰু (iv)-ত দুটা চলক আছে; (v) আৰু (viii)-ত চলকৰ ঘাত ২ (দ্বিঘাত)। উল্লেখযোগ্য যে (xi) $3y+8=3y-2$ সৰল কৰিলে $8=-2$ পোৱা যায়, গতিকে ই এক ঘাতৰ সমীকৰণ হ’লেও ইয়াৰ কোনো সমাধান নাই।
অনুশীলনী ২.১
১। তলত দিয়া সমীকৰণবোৰ সমাধান কৰা:
(i) $4x+5=21$
উত্তৰঃ $4x=21-5=16$, গতিকে $x=\frac{16}{4}=4$।
(ii) $17y-3=48$
উত্তৰঃ $17y=48+3=51$, গতিকে $y=\frac{51}{17}=3$।
(iii) $-8+2x=-4$
উত্তৰঃ $2x=-4+8=4$, গতিকে $x=\frac{4}{2}=2$।
(iv) $\frac{6x}{7}=42$
উত্তৰঃ $6x=42\times 7=294$, গতিকে $x=\frac{294}{6}=49$।
(v) $\frac{6y}{11}=\frac{54}{99}$
উত্তৰঃ $\frac{54}{99}=\frac{6}{11}$, গতিকে $\frac{6y}{11}=\frac{6}{11}\Rightarrow 6y=6\Rightarrow y=1$।
(vi) $3x=180+6x$
উত্তৰঃ $3x-6x=180\Rightarrow -3x=180$, গতিকে $x=\frac{180}{-3}=-60$।
(vii) $2x+3=x+4$
উত্তৰঃ $2x-x=4-3\Rightarrow x=1$।
(viii) $2-5x=3x-9$
উত্তৰঃ $-5x-3x=-9-2\Rightarrow -8x=-11$, গতিকে $x=\frac{11}{8}$।
(ix) $5(p-3)=3(p+2)$
উত্তৰঃ $5p-15=3p+6\Rightarrow 5p-3p=6+15\Rightarrow 2p=21$, গতিকে $p=\frac{21}{2}$।
(x) $\frac{3}{4y}=-9$
উত্তৰঃ $3=-9\times 4y=-36y$, গতিকে $y=\frac{3}{-36}=-\frac{1}{12}$।
(xi) $\frac{4x}{5}+1=\frac{7}{15}$
উত্তৰঃ $\frac{4x}{5}=\frac{7}{15}-1=\frac{7-15}{15}=-\frac{8}{15}$, গতিকে $4x=-\frac{8}{15}\times 5=-\frac{8}{3}$ আৰু $x=-\frac{8}{3\times 4}=-\frac{2}{3}$।
(xii) $\frac{17x}{3}-\frac{16}{9}=2$
উত্তৰঃ $\frac{17x}{3}=2+\frac{16}{9}=\frac{18+16}{9}=\frac{34}{9}$, গতিকে $17x=\frac{34}{9}\times 3=\frac{34}{3}$ আৰু $x=\frac{34}{3\times 17}=\frac{2}{3}$।
২। তলৰ প্ৰত্যেকটো সমীকৰণৰ লগত চলকৰ কিছুমান মান দিয়া হৈছে। এই মানবোৰৰ ভিতৰত কোনটো মান সমীকৰণটোৰ সমাধান নিৰ্ণয় কৰা।
(i) $2x-4=0$; $x=1, 2, -2$
উত্তৰঃ $2x=4\Rightarrow x=2$। গতিকে $x=2$ হ’ল সমাধান।
(ii) $11y+5=-6$; $y=0, 1, -1$
উত্তৰঃ $11y=-11\Rightarrow y=-1$। গতিকে $y=-1$ হ’ল সমাধান।
(iii) $\frac{3y}{5}=3$; $y=3, -3, 5$
উত্তৰঃ $3y=15\Rightarrow y=5$। গতিকে $y=5$ হ’ল সমাধান।
(iv) $x+5=7-x$; $x=1, -1, 2$
উত্তৰঃ $x+x=7-5\Rightarrow 2x=2\Rightarrow x=1$। গতিকে $x=1$ হ’ল সমাধান।
(v) $2x+\frac{1}{3}=1$; $x=-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}$
উত্তৰঃ $2x=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}\Rightarrow x=\frac{1}{3}$। গতিকে $x=\frac{1}{3}$ হ’ল সমাধান।
(vi) $10p-4=4(2p+1)$; $p=2, 4, -4$
উত্তৰঃ $10p-4=8p+4\Rightarrow 2p=8\Rightarrow p=4$। গতিকে $p=4$ হ’ল সমাধান।
৩। তলৰ সমীকৰণবোৰ সমাধান কৰা আৰু ফলাফলৰ শুদ্ধতা পৰীক্ষা কৰা:
(i) $\frac{x}{3}-\frac{x-1}{2}=1$
উত্তৰঃ উভয় পক্ষক ৬ (৩ আৰু ২ ৰ ল.সা.গু.)-ৰে পূৰণ কৰি $2x-3(x-1)=6\Rightarrow 2x-3x+3=6\Rightarrow -x=3\Rightarrow x=-3$। পৰীক্ষা: বাওঁ পক্ষ $=\frac{-3}{3}-\frac{-3-1}{2}=-1+2=1=$ সোঁ পক্ষ। ✓
(ii) $\frac{n}{6}-\frac{2}{3}=\frac{n}{3}+\frac{5}{6}$
উত্তৰঃ উভয় পক্ষক ৬-ৰে পূৰণ কৰি $n-4=2n+5\Rightarrow n-2n=5+4\Rightarrow -n=9\Rightarrow n=-9$। পৰীক্ষা: বাওঁ পক্ষ $=\frac{-9}{6}-\frac{2}{3}=-\frac{13}{6}$; সোঁ পক্ষ $=\frac{-9}{3}+\frac{5}{6}=-\frac{13}{6}$। ✓
(iii) $2x+7-\frac{6x}{5}=10-\frac{5x}{2}$
উত্তৰঃ উভয় পক্ষক ১০-ৰে পূৰণ কৰি $20x+70-12x=100-25x\Rightarrow 8x+70=100-25x\Rightarrow 33x=30\Rightarrow x=\frac{30}{33}=\frac{10}{11}$। পৰীক্ষা: দুয়ো পক্ষৰ মান $\frac{85}{11}$ পোৱা যায়। ✓
(iv) $\frac{2y}{5}-\frac{3}{2}=\frac{y}{2}+1$
উত্তৰঃ উভয় পক্ষক ১০-ৰে পূৰণ কৰি $4y-15=5y+10\Rightarrow -y=25\Rightarrow y=-25$। পৰীক্ষা: দুয়ো পক্ষৰ মান $-\frac{23}{2}$। ✓
(v) $\frac{x}{7}+\frac{x-4}{3}=2$
উত্তৰঃ উভয় পক্ষক ২১-ৰে পূৰণ কৰি $3x+7(x-4)=42\Rightarrow 3x+7x-28=42\Rightarrow 10x=70\Rightarrow x=7$। পৰীক্ষা: $\frac{7}{7}+\frac{7-4}{3}=1+1=2$। ✓
(vi) $\frac{2x+(3x+1)+(4x+2)}{3}=13$
উত্তৰঃ $2x+3x+1+4x+2=39\Rightarrow 9x+3=39\Rightarrow 9x=36\Rightarrow x=4$। পৰীক্ষা: $\frac{8+13+18}{3}=\frac{39}{3}=13$। ✓
(vii) $\frac{x-3}{2}-\frac{x-1}{5}=\frac{2x-3}{5}$
উত্তৰঃ উভয় পক্ষক ১০-ৰে পূৰণ কৰি $5(x-3)-2(x-1)=2(2x-3)\Rightarrow 5x-15-2x+2=4x-6\Rightarrow 3x-13=4x-6\Rightarrow -x=7\Rightarrow x=-7$। পৰীক্ষা: দুয়ো পক্ষৰ মান $-\frac{17}{5}$। ✓
(viii) $0.25(5x-4)=0.05(10x-5)$
উত্তৰঃ $1.25x-1=0.5x-0.25\Rightarrow 0.75x=0.75\Rightarrow x=1$। পৰীক্ষা: বাওঁ পক্ষ $=0.25\times 1=0.25$; সোঁ পক্ষ $=0.05\times 5=0.25$। ✓
(ix) $0.5y+\frac{5y}{6}=21+0.75y$
উত্তৰঃ $\frac{y}{2}+\frac{5y}{6}-\frac{3y}{4}=21$; উভয় পক্ষক ১২-ৰে পূৰণ কৰি $6y+10y-9y=252\Rightarrow 7y=252\Rightarrow y=36$। পৰীক্ষা: বাওঁ পক্ষ $=18+30=48$; সোঁ পক্ষ $=21+27=48$। ✓
(x) $\frac{10x+7}{4x}=2$
উত্তৰঃ $10x+7=8x\Rightarrow 2x=-7\Rightarrow x=-\frac{7}{2}$। পৰীক্ষা: $\frac{10(-\frac{7}{2})+7}{4(-\frac{7}{2})}=\frac{-28}{-14}=2$। ✓
(xi) $\frac{x-9}{x-4}=\frac{2}{3}$
উত্তৰঃ বজ্ৰগুণনেৰে $3(x-9)=2(x-4)\Rightarrow 3x-27=2x-8\Rightarrow x=19$। পৰীক্ষা: $\frac{19-9}{19-4}=\frac{10}{15}=\frac{2}{3}$। ✓
(xii) $\frac{2y-3}{2y}=-\frac{1}{8}$
উত্তৰঃ বজ্ৰগুণনেৰে $8(2y-3)=-2y\Rightarrow 16y-24=-2y\Rightarrow 18y=24\Rightarrow y=\frac{4}{3}$। পৰীক্ষা: $\frac{2(\frac{4}{3})-3}{2(\frac{4}{3})}=\frac{-\frac{1}{3}}{\frac{8}{3}}=-\frac{1}{8}$। ✓
(xiii) $\frac{p}{2p+6}=\frac{3}{8}$
উত্তৰঃ বজ্ৰগুণনেৰে $8p=3(2p+6)\Rightarrow 8p=6p+18\Rightarrow 2p=18\Rightarrow p=9$। পৰীক্ষা: $\frac{9}{24}=\frac{3}{8}$। ✓
(xiv) $\frac{5x+2}{6x-2}=\frac{2}{3}$
উত্তৰঃ বজ্ৰগুণনেৰে $3(5x+2)=2(6x-2)\Rightarrow 15x+6=12x-4\Rightarrow 3x=-10\Rightarrow x=-\frac{10}{3}$। পৰীক্ষা: দুয়ো পক্ষৰ মান $\frac{2}{3}$। ✓
(xv) $\frac{3(2+x)-5(2x-3)}{5-3x}=9$
উত্তৰঃ $3(2+x)-5(2x-3)=9(5-3x)\Rightarrow 6+3x-10x+15=45-27x\Rightarrow 21-7x=45-27x\Rightarrow 20x=24\Rightarrow x=\frac{6}{5}$। পৰীক্ষা: লব $=\frac{63}{5}$, হৰ $=\frac{7}{5}$, ভাগফল $=9$। ✓
(xvi) $\frac{0.4b-2}{1.5b+15}=\frac{2}{3}$
উত্তৰঃ বজ্ৰগুণনেৰে $3(0.4b-2)=2(1.5b+15)\Rightarrow 1.2b-6=3b+30\Rightarrow -1.8b=36\Rightarrow b=-20$। পৰীক্ষা: $\frac{0.4(-20)-2}{1.5(-20)+15}=\frac{-10}{-15}=\frac{2}{3}$। ✓
অনুশীলনী ২.২ (প্ৰয়োগমূলক সমস্যা)
১। দুটা সংখ্যা $5:7$ অনুপাতত আছে। ডাঙৰ সংখ্যাটোতকৈ সৰু সংখ্যাটো ১২ কম। সংখ্যা দুটা উলিওৱা।
উত্তৰঃ সংখ্যা দুটা $5x$ আৰু $7x$ ধৰোঁ। $5x=7x-12\Rightarrow -2x=-12\Rightarrow x=6$। গতিকে সংখ্যা দুটা $5\times 6=30$ আৰু $7\times 6=42$।
২। তিনিটা ক্ৰমিক যুগ্ম সংখ্যাৰ যোগফল ৪৮। সংখ্যাকেইটা উলিওৱা।
উত্তৰঃ সংখ্যাকেইটা $x, x+2, x+4$ ধৰোঁ। $x+(x+2)+(x+4)=48\Rightarrow 3x+6=48\Rightarrow 3x=42\Rightarrow x=14$। গতিকে সংখ্যাকেইটা ১৪, ১৬, ১৮।
৩। ১৭৫০০ টকা তিনিজন মানুহৰ মাজত $1:2:4$ অনুপাতত ভাগ কৰি দিয়া হয়। প্ৰত্যেকে কিমান টকা পাব?
উত্তৰঃ ভাগবোৰ $x, 2x, 4x$ ধৰোঁ। $x+2x+4x=17500\Rightarrow 7x=17500\Rightarrow x=2500$। গতিকে তিনিজনে ক্ৰমে ২৫০০ টকা, ৫০০০ টকা আৰু ১০০০০ টকা পাব।
৪। এটা আয়তাকাৰ খেলপথাৰৰ পৰিসীমা ২৮০ মিটাৰ আৰু ইয়াৰ দীঘ প্ৰস্থৰ দুগুণতকৈ ২ মিটাৰ বেছি। খেলপথাৰৰ দীঘ আৰু প্ৰস্থ উলিওৱা।
উত্তৰঃ প্ৰস্থ $x$ মিটাৰ ধৰিলে দীঘ $=(2x+2)$ মিটাৰ। পৰিসীমা $=2\times(দীঘ+প্ৰস্থ)$ হোৱাত $2\{(2x+2)+x\}=280\Rightarrow 6x+4=280\Rightarrow 6x=276\Rightarrow x=46$। গতিকে প্ৰস্থ ৪৬ মিটাৰ আৰু দীঘ $=2\times 46+2=94$ মিটাৰ।
৫। এটা দুই-অংকৰ সংখ্যাৰ এককৰ ঘৰৰ অংকটো ৫। সংখ্যাটো ইয়াৰ অংক দুটাৰ যোগফলৰ ৫ গুণ। সংখ্যাটো উলিওৱা।
উত্তৰঃ দহকৰ ঘৰৰ অংক $x$ ধৰিলে সংখ্যাটো $=10x+5$ আৰু অংক দুটাৰ যোগফল $=x+5$। $10x+5=5(x+5)\Rightarrow 10x+5=5x+25\Rightarrow 5x=20\Rightarrow x=4$। গতিকে সংখ্যাটো $10\times 4+5=45$।
৬। এটা বিষমবাহু ত্ৰিভুজৰ প্ৰথম বাহু তৃতীয় বাহুতকৈ ২ ছে.মি. বেছি আৰু দ্বিতীয় বাহু তৃতীয় বাহুৰ দুগুণতকৈ ৫ ছে.মি. কম। ত্ৰিভুজটোৰ পৰিসীমা ২৯ ছে.মি. হ’লে বাহুকেইটাৰ দৈৰ্ঘ্য উলিওৱা।
উত্তৰঃ তৃতীয় বাহু $x$ ধৰিলে প্ৰথম বাহু $=(x+2)$ আৰু দ্বিতীয় বাহু $=(2x-5)$। $(x+2)+(2x-5)+x=29\Rightarrow 4x-3=29\Rightarrow 4x=32\Rightarrow x=8$। গতিকে তৃতীয় বাহু ৮ ছে.মি., প্ৰথম বাহু ১০ ছে.মি. আৰু দ্বিতীয় বাহু $2\times 8-5=11$ ছে.মি.।
৭। এটা সংখ্যাৰ ছয়গুণ, সংখ্যাটোৰ লগত ১২ যোগ কৰি পোৱা সংখ্যাটোৰ তিনিগুণৰ সমান হয়। সংখ্যাটো উলিওৱা।
উত্তৰঃ সংখ্যাটো $x$ ধৰোঁ। $6x=3(x+12)\Rightarrow 6x=3x+36\Rightarrow 3x=36\Rightarrow x=12$। গতিকে সংখ্যাটো ১২।
৮। তিনিটা ক্ৰমিক স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ যোগফল ৪৫। সংখ্যাকেইটা উলিওৱা।
উত্তৰঃ সংখ্যাকেইটা $x, x+1, x+2$ ধৰোঁ। $x+(x+1)+(x+2)=45\Rightarrow 3x+3=45\Rightarrow 3x=42\Rightarrow x=14$। গতিকে সংখ্যাকেইটা ১৪, ১৫, ১৬।
৯। ঊৰ্ধ্বক্ৰমত থকা তিনিটা ক্ৰমিক অখণ্ড সংখ্যাক ক্ৰমে ২, ৩ আৰু ৪ ৰে পূৰণ কৰি পোৱা সংখ্যাবোৰৰ যোগফল ১১৯। সংখ্যাকেইটা উলিওৱা।
উত্তৰঃ সংখ্যাকেইটা $x, x+1, x+2$ ধৰোঁ। $2x+3(x+1)+4(x+2)=119\Rightarrow 2x+3x+3+4x+8=119\Rightarrow 9x+11=119\Rightarrow 9x=108\Rightarrow x=12$। গতিকে সংখ্যাকেইটা ১২, ১৩, ১৪।
১০। ২০ বছৰৰ পাছত স্মিতাৰ বয়স তাইৰ বৰ্তমান বয়সৰ ৫ গুণতকৈ ৪ বছৰ কম হ’ব। স্মিতাৰ বৰ্তমান বয়স কিমান?
উত্তৰঃ বৰ্তমান বয়স $x$ বছৰ ধৰোঁ। ২০ বছৰৰ পাছত বয়স $=x+20$; ইয়েই $5x-4$ ৰ সমান। $x+20=5x-4\Rightarrow 24=4x\Rightarrow x=6$। গতিকে স্মিতাৰ বৰ্তমান বয়স ৬ বছৰ।
১১। ৰাজৰ বৰ্তমান বয়স ৰশ্মিৰ বৰ্তমান বয়সৰ দুগুণ। ১০ বছৰ আগত ৰাজৰ বয়স ৰশ্মিৰ বয়সৰ তিনিগুণ আছিল। তেওঁলোকৰ বৰ্তমান বয়স উলিওৱা।
উত্তৰঃ ৰশ্মিৰ বৰ্তমান বয়স $x$ ধৰিলে ৰাজৰ বয়স $=2x$। ১০ বছৰ আগত ৰাজ $=2x-10$, ৰশ্মি $=x-10$। $2x-10=3(x-10)\Rightarrow 2x-10=3x-30\Rightarrow -x=-20\Rightarrow x=20$। গতিকে ৰশ্মিৰ বয়স ২০ বছৰ আৰু ৰাজৰ বয়স ৪০ বছৰ।
১২। ৰাণুৱে ভাঙনিৰ বাবে এখন দোকানলৈ ৫০০ টকীয়া এখন নোট লৈ গ’ল। দোকানীজনে তাইক ৫০ টকীয়া আৰু ২০ টকীয়া মুঠ ১৯ খন নোট দিলে। ৰাণুৱে প্ৰত্যেক প্ৰকাৰৰ কেইখনকৈ নোট পালে?
উত্তৰঃ ৫০ টকীয়া নোটৰ সংখ্যা $x$ ধৰিলে ২০ টকীয়া নোট $=(19-x)$ খন। $50x+20(19-x)=500\Rightarrow 50x+380-20x=500\Rightarrow 30x=120\Rightarrow x=4$। গতিকে ৫০ টকীয়া নোট ৪ খন আৰু ২০ টকীয়া নোট ১৫ খন।
১৩। এটা নাটকৰ প্ৰতিখন টিকটৰ দাম শিশুৰ বাবে ১০০ টকা আৰু প্ৰাপ্তবয়স্কৰ বাবে ২৫০ টকা। ৫০ জন ব্যক্তিক টিকট বেচি মুঠ ৮৬০০ টকা সংগ্ৰহ হ’ল। তাৰ ভিতৰত কিমানজন শিশু আছিল?
উত্তৰঃ শিশুৰ সংখ্যা $x$ ধৰিলে প্ৰাপ্তবয়স্ক $=(50-x)$ জন। $100x+250(50-x)=8600\Rightarrow 100x+12500-250x=8600\Rightarrow -150x=-3900\Rightarrow x=26$। গতিকে ২৬ জন শিশু আছিল।
১৪। এটা সংখ্যাৰ $\frac{4}{5}$ অংশ সংখ্যাটোৰ $\frac{2}{3}$ অংশতকৈ ৬ বেছি। সংখ্যাটো কি?
উত্তৰঃ সংখ্যাটো $x$ ধৰোঁ। $\frac{4}{5}x=\frac{2}{3}x+6\Rightarrow \frac{4}{5}x-\frac{2}{3}x=6\Rightarrow \frac{12x-10x}{15}=6\Rightarrow \frac{2x}{15}=6\Rightarrow 2x=90\Rightarrow x=45$। গতিকে সংখ্যাটো ৪৫।
১৫। এনে এটা পৰিমেয় সংখ্যা উলিওৱা যাক $\frac{4}{5}$ ৰে পূৰণ কৰি পোৱা পূৰণফলৰ পৰা $\frac{2}{3}$ বিয়োগ কৰিলে $-\frac{8}{15}$ পোৱা।
উত্তৰঃ পৰিমেয় সংখ্যাটো $x$ ধৰোঁ। $\frac{4}{5}x-\frac{2}{3}=-\frac{8}{15}\Rightarrow \frac{4}{5}x=-\frac{8}{15}+\frac{2}{3}=\frac{-8+10}{15}=\frac{2}{15}\Rightarrow x=\frac{2}{15}\times\frac{5}{4}=\frac{1}{6}$। গতিকে সংখ্যাটো $\frac{1}{6}$।
১৬। ৫৭৫ কি.মি. দূৰত্বত থকা দুখন বাছ একে সময়তে ইজনে সিজনৰ ফালে যাত্ৰা আৰম্ভ কৰিলে। এখন বাছৰ বেগ ঘণ্টাত ৬০ কি.মি. আৰু আনখনৰ বেগ ঘণ্টাত ৫৫ কি.মি.। বাছ দুখন লগ লাগিবলৈ কিমান সময় লাগিব?
উত্তৰঃ লগ লাগিবলৈ $t$ ঘণ্টা লাগে ধৰোঁ। দুয়োখন বাছে একেলগে $60t+55t=575$ কি.মি. যায়। $115t=575\Rightarrow t=5$। গতিকে ৫ ঘণ্টাৰ পাছত বাছ দুখন লগ লাগিব।
১৭। এজন মানুহে তেওঁৰ মুঠ টকাৰ $\frac{1}{4}$ অংশ পাচলিত, $\frac{3}{5}$ অংশ ফল-মূলত আৰু $\frac{1}{8}$ অংশ মিঠাইত খৰচ কৰিলে। হাতত বাকী থকা ৮ টকা বাছ ভাড়া দিলে। তেওঁ কিমান টকা লৈ বজাৰলৈ গৈছিল?
উত্তৰঃ মুঠ টকা $x$ ধৰোঁ। খৰচ $=\frac{x}{4}+\frac{3x}{5}+\frac{x}{8}=\frac{10x+24x+5x}{40}=\frac{39x}{40}$। বাকী থকা $x-\frac{39x}{40}=\frac{x}{40}=8\Rightarrow x=320$। গতিকে তেওঁ ৩২০ টকা লৈ বজাৰলৈ গৈছিল।
১৮। এটা ভগ্নাংশৰ হৰ ইয়াৰ লবতকৈ ৪ বেছি। যদিহে লবৰ লগত ৬ যোগ আৰু হৰৰ পৰা ৬ বিয়োগ কৰা হয়, তেন্তে ভগ্নাংশটো $\frac{11}{3}$ হয়। ভগ্নাংশটো উলিওৱা।
উত্তৰঃ লব $x$ ধৰিলে হৰ $=(x+4)$। $\frac{x+6}{(x+4)-6}=\frac{x+6}{x-2}=\frac{11}{3}\Rightarrow 3(x+6)=11(x-2)\Rightarrow 3x+18=11x-22\Rightarrow -8x=-40\Rightarrow x=5$। গতিকে লব ৫, হৰ ৯; ভগ্নাংশটো $\frac{5}{9}$।
১৯। এটা পৰিমেয় সংখ্যাৰ হৰ ইয়াৰ লবতকৈ ৫ বেছি। যদি লবটো ১ আৰু হৰটো ৩ কমাই দিয়া হয়, তেন্তে নতুন পৰিমেয় সংখ্যাটো $\frac{1}{4}$ হয়। পৰিমেয় সংখ্যাটো উলিওৱা।
উত্তৰঃ লব $x$ ধৰিলে হৰ $=(x+5)$। $\frac{x-1}{(x+5)-3}=\frac{x-1}{x+2}=\frac{1}{4}\Rightarrow 4(x-1)=x+2\Rightarrow 4x-4=x+2\Rightarrow 3x=6\Rightarrow x=2$। গতিকে লব ২, হৰ ৭; পৰিমেয় সংখ্যাটো $\frac{2}{7}$।
২০। মাক ৰোহনতকৈ ২৫ বছৰ ডাঙৰ। ৮ বছৰৰ পাছত ৰোহন আৰু মাকৰ বয়সৰ অনুপাত $4:9$ হ’ব। দুয়োৰে বৰ্তমান বয়স উলিওৱা।
উত্তৰঃ ৰোহনৰ বৰ্তমান বয়স $x$ ধৰিলে মাকৰ বয়স $=(x+25)$। ৮ বছৰৰ পাছত $\frac{x+8}{x+33}=\frac{4}{9}\Rightarrow 9(x+8)=4(x+33)\Rightarrow 9x+72=4x+132\Rightarrow 5x=60\Rightarrow x=12$। গতিকে ৰোহনৰ বয়স ১২ বছৰ আৰু মাকৰ বয়স ৩৭ বছৰ।
২১। মনদীপে তেওঁৰ গাড়ীখন ৰক্তিমক ৮% লাভত বিক্ৰী কৰিলে। ৰক্তিমে ৫৪০০ টকা মেৰামতিত খৰচ কৰি গাড়ীখন কোনো লাভ-লোকচান নোহোৱাকৈ নৃপেনক ১১৩৪০০ টকাত বিক্ৰী কৰিলে। মনদীপে গাড়ীখন কিমান দামত কিনিছিল?
উত্তৰঃ মনদীপৰ ক্ৰয়মূল্য $x$ ধৰোঁ। ৮% লাভত বিক্ৰী মূল্য $=x+\frac{8x}{100}=\frac{108x}{100}$। ৰক্তিমৰ মুঠ ব্যয় $=\frac{108x}{100}+5400=113400\Rightarrow \frac{108x}{100}=108000\Rightarrow x=108000\times\frac{100}{108}=100000$। গতিকে মনদীপে গাড়ীখন ১০০০০০ টকাত কিনিছিল।
২২। এখন বিদ্যালয় সপ্তাহত মুঠ ছাত্ৰৰ $\frac{1}{5}$ অংশই ১০০ মিটাৰ দৌৰত আৰু $\frac{1}{3}$ অংশই ২০০ মিটাৰ দৌৰত অংশগ্ৰহণ কৰিলে। ২০০ মিটাৰ আৰু ১০০ মিটাৰ দৌৰত অংশগ্ৰহণ কৰা ছাত্ৰৰ পাৰ্থক্যৰ দুগুণ ছাত্ৰই $4\times100$ মিটাৰ দৌৰত অংশগ্ৰহণ কৰিলে। বাকী থকা ১৫ জন ছাত্ৰই কেৱল খেল উপভোগ কৰিলে। খেলপথাৰত মুঠ কিমান ছাত্ৰ আছে?
উত্তৰঃ মুঠ ছাত্ৰ $x$ ধৰোঁ। ১০০ মিটাৰ: $\frac{x}{5}$; ২০০ মিটাৰ: $\frac{x}{3}$; পাৰ্থক্য $=\frac{x}{3}-\frac{x}{5}=\frac{2x}{15}$, ইয়াৰ দুগুণ $=\frac{4x}{15}$ ($4\times100$ মিটাৰত)। গতিকে $\frac{x}{5}+\frac{x}{3}+\frac{4x}{15}+15=x\Rightarrow \frac{3x+5x+4x}{15}+15=x\Rightarrow \frac{4x}{5}+15=x\Rightarrow 15=\frac{x}{5}\Rightarrow x=75$। গতিকে খেলপথাৰত মুঠ ৭৫ জন ছাত্ৰ আছে।
বহুবিকল্প প্ৰশ্ন (MCQ)
১। তলৰ সমীকৰণবোৰৰ ভিতৰত এটা চলকৰ এক ঘাত সমীকৰণটো হৈছে — (a) $\frac{2}{x}=\frac{x}{2}$ (b) $\frac{1}{x}+\frac{1}{x+1}=1$ (c) $\frac{x}{3}+\frac{x}{5}=\frac{1}{4}$ (d) $x^2+2x-5=c$
উত্তৰঃ (c) $\frac{x}{3}+\frac{x}{5}=\frac{1}{4}$। ইয়াতহে এটাই চলক $x$ থকা এক ঘাতৰ সমীকৰণ পোৱা যায়।
২। ‘এটা সংখ্যাৰ লগত ১৫ যোগ কৰিলে সংখ্যাটো ৪০ হয়।’ এই উক্তিৰ সমীকৰণটো হৈছে — (a) $15x=40$ (b) $x-15=40$ (c) $x+15=40$ (d) $\frac{x}{15}=40$
উত্তৰঃ (c) $x+15=40$।
৩। ‘এটা সংখ্যাৰ পৰা ৮ বিয়োগ কৰিলে সংখ্যাটো $-15$ হয়।’ এই উক্তিৰ সমীকৰণটো হৈছে — (a) $x+8=-15$ (b) $x-8=15$ (c) $x+8=15$ (d) $x-8=-15$
উত্তৰঃ (d) $x-8=-15$।
৪। $x\div 4=8$ ৰ বীজটো হ’ল — (a) 12 (b) 32 (c) 4 (d) $-12$
উত্তৰঃ (b) 32। কাৰণ $x=8\times 4=32$।
৫। $8x-\frac{20}{7}=4x$ ৰ বীজটো হ’ল — (a) $-\frac{5}{7}$ (b) $\frac{5}{7}$ (c) $\frac{10}{7}$ (d) $\frac{20}{21}$
উত্তৰঃ (b) $\frac{5}{7}$। $8x-4x=\frac{20}{7}\Rightarrow 4x=\frac{20}{7}\Rightarrow x=\frac{5}{7}$।
৬। $x=0$ ৰ বীজ হ’ব — (a) 0 (b) 4 (c) 2 (d) কোনো বীজ নাই
উত্তৰঃ (a) 0।
৭। $y$ এটা অযুগ্ম সংখ্যা। $y$ ৰ ঠিক আগৰ অযুগ্ম সংখ্যাটো হ’ল — (a) $y-1$ (b) $y-2$ (c) $y-3$ (d) $y-4$
উত্তৰঃ (b) $y-2$।
৮। দুই-অংকৰ সংখ্যা এটাৰ এককৰ ঘৰৰ অংকটো ৪ আৰু দহকৰ অংকটো যদি $y$ হয়, তেন্তে সংখ্যাটো হ’ল — (a) $10y-4$ (b) $10-40y$ (c) $10+40y$ (d) $10y+4$
উত্তৰঃ (d) $10y+4$।
৯। সমীকৰণ $8x-15=9-4x$ ৰ বীজ হ’ল — (a) 1 (b) 2 (c) 3 (d) 4
উত্তৰঃ (b) 2। $8x+4x=9+15\Rightarrow 12x=24\Rightarrow x=2$।
১০। $\frac{5x}{3}=30$ হ’লে $x$ ৰ মান হ’ল — (a) 15 (b) 9 (c) 18 (d) 12
উত্তৰঃ (c) 18। $5x=90\Rightarrow x=18$।
১১। ‘কোনো এটা সংখ্যাৰ $\frac{2}{3}$ অংশ তাৰ $\frac{3}{4}$ অংশতকৈ ৫ কম।’ এই উক্তিৰ সমীকৰণটো হ’ল — (a) $\frac{2}{3}x-\frac{3}{4}x=5$ (b) $\frac{2}{3}x=\frac{3}{4}x-5$ (c) $\frac{3}{4}x-5=\frac{2}{3}x$ (d) $\frac{3}{4}x-5=-\frac{2}{3}x$
উত্তৰঃ (b) $\frac{2}{3}x=\frac{3}{4}x-5$।
১২। এযোৰ পূৰক কোণৰ এটা কোণ আনটো কোণতকৈ $20^\circ$ বেছি। সৰু কোণটোৰ মাপ হ’ল — (a) $90^\circ$ (b) $45^\circ$ (c) $55^\circ$ (d) $35^\circ$
উত্তৰঃ (d) $35^\circ$। পূৰক কোণৰ যোগফল $90^\circ$; সৰু কোণ $x$ ধৰিলে $x+(x+20)=90\Rightarrow 2x=70\Rightarrow x=35$।
১৩। এযোৰ সম্পূৰক কোণৰ ডাঙৰ কোণটো সৰু কোণৰ দুগুণ। ডাঙৰ কোণটো হ’ল — (a) $180^\circ$ (b) $120^\circ$ (c) $90^\circ$ (d) $60^\circ$
উত্তৰঃ (b) $120^\circ$। সম্পূৰক কোণৰ যোগফল $180^\circ$; সৰু কোণ $x$ ধৰিলে $x+2x=180\Rightarrow x=60$, ডাঙৰ কোণ $=120^\circ$।
১৪। $bx=0$ হ’লে $x$ ৰ মান হ’ব — (a) 0 (b) $b$ (c) $-b$ (d) $\frac{1}{b}$
উত্তৰঃ (a) 0 ($b\neq 0$ হ’লে)।
১৫। $\frac{m}{2}=-7$ হ’লে $m$ ৰ মান হ’ব — (a) 9 (b) $-9$ (c) $-14$ (d) 14
উত্তৰঃ (c) $-14$। $m=-7\times 2=-14$।
শিক্ষকৰ সহায়ত সমাধান কৰি মজা লওঁ (দণ্ডিৰাম দত্তৰ ধেমালি)
ক’লৈ গৈছা ১০০ ভাই? আমি ১০০ নহওঁ। আমি যিমান জন আহিছোঁ, সিমান জন পাছত আহিব, তাৰ পাছত সিহঁতৰ আধা, তাৰ পাছত পূৰ্বৰ আধা, আৰু তোমাকলৈ আমি ১০০ হ’ম। আহি থকা জন কিমান?
উত্তৰঃ আহি থকা জনৰ সংখ্যা $x$ ধৰোঁ। $x+x+\frac{x}{2}+\frac{x}{4}+1=100\Rightarrow 2x+\frac{3x}{4}=99\Rightarrow \frac{11x}{4}=99\Rightarrow x=36$। পৰীক্ষা: $36+36+18+9+1=100$। গতিকে আহি থকা জন ৩৬।
অতিৰিক্ত প্ৰশ্ন আৰু উত্তৰ
বহুবিকল্প প্ৰশ্ন (MCQ)
১। এটা চলকযুক্ত এক ঘাতৰ সমীকৰণত চলকৰ উচ্চতম ঘাত হ’ল — (a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) 3
উত্তৰঃ (b) 1।
২। $5x=35$ ৰ সমাধান — (a) 5 (b) 7 (c) 30 (d) 40
উত্তৰঃ (b) 7।
৩। $x+9=4$ ৰ বীজ — (a) 5 (b) $-5$ (c) 13 (d) $-13$
উত্তৰঃ (b) $-5$।
৪। $\frac{x}{4}=3$ হ’লে $x=$ — (a) 12 (b) $\frac{3}{4}$ (c) 7 (d) $\frac{4}{3}$
উত্তৰঃ (a) 12।
৫। দুটা সংখ্যা $2:3$ অনুপাতত আছে আৰু সিহঁতৰ যোগফল ২০; সৰু সংখ্যাটো — (a) 6 (b) 8 (c) 12 (d) 10
উত্তৰঃ (b) 8। $2x+3x=20\Rightarrow x=4$; সৰু সংখ্যা $=2\times 4=8$।
৬। $2(x-1)=x+3$ ৰ সমাধান — (a) 3 (b) 5 (c) 4 (d) 2
উত্তৰঃ (b) 5। $2x-2=x+3\Rightarrow x=5$।
৭। বজ্ৰগুণনেৰে $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ ৰ পৰা পোৱা যায় — (a) $ac=bd$ (b) $ad=bc$ (c) $ab=cd$ (d) $a+d=b+c$
উত্তৰঃ (b) $ad=bc$।
৮। তিনিটা ক্ৰমিক স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ যোগফল ৩০ হ’লে মধ্যম সংখ্যাটো — (a) 9 (b) 10 (c) 11 (d) 12
উত্তৰঃ (b) 10। $3x+3=30\Rightarrow x=9$; মধ্যম $=x+1=10$।
খালী ঠাই পূৰ কৰা
১। এটা সমীকৰণৰ বাওঁ পক্ষ আৰু সোঁ পক্ষ যিমান মানৰ বাবে সমান হয়, সেই মানকে সমীকৰণটোৰ ______ বোলে।
উত্তৰঃ বীজ (সমাধান)।
২। চলকৰ উচ্চতম ঘাত ১ হ’লে সমীকৰণটোক ______ ঘাতৰ সমীকৰণ বোলে।
উত্তৰঃ এক।
৩। $3x=21$ ৰ সমাধান $x=$ ______।
উত্তৰঃ 7।
৪। এটা পদ সমান চিহ্নৰ এফালৰ পৰা আনফাললৈ চিহ্ন সলাই নিয়া প্ৰক্ৰিয়াক ______ বোলে।
উত্তৰঃ স্থানান্তৰণ।
৫। $\frac{A}{B}=\frac{C}{D}$ আকৃতিৰ সমীকৰণ পোনপটীয়াকৈ সমাধান কৰা প্ৰক্ৰিয়াটোৰ নাম ______।
উত্তৰঃ বজ্ৰগুণন প্ৰক্ৰিয়া।
শুদ্ধ নে অশুদ্ধ লিখা
১। $x^2+3=0$ এটা চলকযুক্ত এক ঘাতৰ সমীকৰণ।
উত্তৰঃ অশুদ্ধ (ই দ্বিঘাত সমীকৰণ)।
২। সমীকৰণৰ উভয় পক্ষত একে সংখ্যা যোগ কৰিলে সমতা অক্ষুণ্ণ থাকে।
উত্তৰঃ শুদ্ধ।
৩। $5=3l$ এটা চলকযুক্ত এক ঘাতৰ সমীকৰণ।
উত্তৰঃ শুদ্ধ।
৪। স্থানান্তৰণৰ সময়ত ‘+’ চিহ্ন ‘+’ হৈয়ে থাকে।
উত্তৰঃ অশুদ্ধ (ই ‘−’ চিহ্ন হয়)।
৫। এটা এক ঘাতৰ সমীকৰণৰ সাধাৰণতে কেৱল এটাই বীজ থাকে।
উত্তৰঃ শুদ্ধ।
চমু উত্তৰৰ প্ৰশ্ন
১। সমীকৰণ কি?
উত্তৰঃ কোনো সমস্যাৰ বীজগণিতীয় প্ৰকাশকে সমীকৰণ বোলে; ইয়াত সমান চিহ্নৰ দুয়োফালে ৰাশি থাকে আৰু চলকৰ কিছুমান নিৰ্দিষ্ট মানৰ বাবে দুয়ো পক্ষ সমান হয়।
২। $4x-3=9$ সমাধান কৰা।
উত্তৰঃ $4x=12\Rightarrow x=3$।
৩। স্থানান্তৰণ প্ৰক্ৰিয়া মানে কি?
উত্তৰঃ সমান চিহ্নৰ এফালৰ পৰা এটা পদ বা ৰাশি চিহ্ন সলাই আনফাললৈ নিয়া প্ৰক্ৰিয়াক স্থানান্তৰণ বোলে।
৪। $\frac{2x}{3}=8$ সমাধান কৰা।
উত্তৰঃ $2x=24\Rightarrow x=12$।
শব্দাৰ্থ
| অসমীয়া শব্দ | English term | অৰ্থ |
|---|---|---|
| সমীকৰণ | Equation | কোনো সমস্যাৰ বীজগণিতীয় প্ৰকাশ |
| চলক | Variable | যিটোৰ মান সলনি হ’ব পাৰে |
| ধ্ৰুৱক | Constant | নিৰ্দিষ্ট মানৰ ৰাশি |
| ঘাত | Degree / Power | চলকৰ উচ্চতম সূচক |
| এক ঘাতৰ সমীকৰণ | First degree equation | চলকৰ উচ্চতম ঘাত ১ |
| সমাধান / বীজ | Solution / Root | যি মানত দুয়ো পক্ষ সমান |
| স্থানান্তৰণ | Transposition | চিহ্ন সলাই পদ আনফাললৈ নিয়া |
| বজ্ৰগুণন | Cross-multiplication | $\frac{A}{B}=\frac{C}{D}$ ৰ পৰা $AD=BC$ |
| বাওঁ পক্ষ | Left Hand Side (LHS) | সমান চিহ্নৰ বাওঁফালৰ ৰাশি |
| সোঁ পক্ষ | Right Hand Side (RHS) | সমান চিহ্নৰ সোঁফালৰ ৰাশি |
| পৰীক্ষা | Verification | সমাধান শুদ্ধ হয় নে নাই চোৱা |