সংখ্যাৰ সৈতে ধেমালি — প্ৰশ্ন উত্তৰ
HSLC Guru-ত আপোনাক স্বাগতম। এই পাঠত ASSEB Class 8 সাধাৰণ গণিতৰ ষোড়শ অধ্যায় সংখ্যাৰ সৈতে ধেমালি (Fun with Numbers)-ৰ সাৰাংশ, বিভাজ্যতাৰ পৰীক্ষা, সংখ্যাৰ খেল, সাংখ্যিক আৰ্হি আৰু আখৰৰ ঠাইত অংকৰ সকলো অনুশীলনীৰ (১৬.১, ১৬.২, ১৬.৩) সম্পূৰ্ণ ধাপ-অনুসৰি উত্তৰ দিয়া হৈছে।
সাৰাংশ
এই অধ্যায়ত সংখ্যাৰ বিভিন্ন মজাদাৰ ধৰ্ম আৰু খেল আলোচনা কৰা হৈছে। প্ৰথমতে বিভাজ্যতাৰ পৰীক্ষাৰ নিয়মবোৰ শিকোৱা হৈছে — এটা সংখ্যা কোনো এটা সংখ্যাৰে সম্পূৰ্ণকৈ ভাগ যায় নে নাযায় সেয়া ভাগ নকৰাকৈয়ে নিৰ্ণয় কৰাৰ সহজ কৌশল। ২, ৪ আৰু ৮; ৫, ২৫ আৰু ১২৫; ৩ আৰু ৯; ৬; আৰু ১১ ৰে বিভাজ্যতাৰ নিয়ম, লগতে $1001 = 7 \times 11 \times 13$ ব্যৱহাৰ কৰি ৭ আৰু ১৩ ৰে বিভাজ্যতা পৰীক্ষা কৰা শিকোৱা হৈছে।
ইয়াৰ পিছত সংখ্যাৰে খেলিব পৰা কিছুমান আকৰ্ষণীয় খেল দিয়া হৈছে — নিজৰ অংকবোৰৰ ঘনৰ যোগফলৰ সমান হোৱা ১৫৩, ৩৭০, ৩৭১, ৪০৭ সংখ্যা কেইটা; ৩৭ ৰ খেল; ক্ৰমিক সংখ্যাৰ খেল; ৯ ৰ খেল; ১০৮৯ (কাপ্ৰেকাৰ সংখ্যা) আৰু ১০০১ ৰ খেল। শেষত সাংখ্যিক আৰ্হি আৰু আখৰৰ ঠাইত অংক (letters for digits) বিচৰা সাংকেতিক সমস্যা সমাধানৰ কৌশল দিয়া হৈছে।
দুটা বেলেগ সংখ্যাৰে এটা সংখ্যা ভাগ গ’লেও সেই দুটাৰ পূৰণফলেৰে সংখ্যাটো সদায় ভাগ নাযায়; ভাগ যাবলৈ দুটা সংখ্যাৰ গ.সা.উ. (HCF) ১ হ’ব লাগে, অৰ্থাৎ সিহঁত মৌলিকভাৱে সহ-মৌলিক (co-prime) হ’ব লাগে — এই গুৰুত্বপূৰ্ণ ধাৰণাটোও এই অধ্যায়ত পোৱা যায়।
Summary: ASSEB Class 8 General Mathematics Chapter 16 Fun with Numbers covers divisibility tests (by 2, 4, 8; 5, 25, 125; 3, 9; 6; 11; and 7, 13 using 1001 = 7 × 11 × 13), amazing number games (153, 370, 371, 407; the 37 game; consecutive-number tricks; the games of 9, 1089 and 1001), numerical patterns of squares, and letter-for-digit (cryptarithm) puzzles. This HSLC Guru guide gives full step-by-step worked answers to Exercise 16.1, 16.2 and 16.3.
পাঠ্যপুথিৰ প্ৰশ্ন আৰু উত্তৰ
১৬.১ বিভাজ্যতাৰ পৰীক্ষা — নিয়ম আৰু উদাহৰণ
বিভাজ্যতাৰ নিয়মসমূহ:
- ২ ৰে: এককৰ ঘৰৰ অংকটো $0$ বা যুগ্ম হ’লে।
- ৪ ৰে: এককৰ আৰু দহকৰ ঘৰৰ অংকেৰে গঠিত সংখ্যাটো $00$ বা $4$ ৰে বিভাজ্য হ’লে।
- ৮ ৰে: একক, দহক আৰু শতকৰ ঘৰৰ অংকেৰে গঠিত সংখ্যাটো $000$ বা $8$ ৰে বিভাজ্য হ’লে।
- ৫ ৰে: এককৰ ঘৰৰ অংকটো $0$ বা $5$ হ’লে।
- ২৫ ৰে: একক-দহকৰ সংখ্যাটো $00$ বা $25$ ৰে বিভাজ্য হ’লে।
- ১২৫ ৰে: একক-দহক-শতকৰ সংখ্যাটো $000$ বা $125$ ৰে বিভাজ্য হ’লে।
- ৩ বা ৯ ৰে: আটাইবোৰ অংকৰ যোগফল $3$ বা $9$ ৰে বিভাজ্য হ’লে।
- ৬ ৰে: সংখ্যাটো $2$ আৰু $3$ দুয়োটাৰে বিভাজ্য হ’লে (কাৰণ $6 = 2 \times 3$)।
- ১১ ৰে: বিজোৰ আৰু জোৰ স্থানৰ অংকবোৰৰ যোগফলৰ পাৰ্থক্য $0$ বা $11$ ৰে বিভাজ্য হ’লে।
উদাহৰণ ১। $2359874$ সংখ্যাটো $2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12$ আৰু $13$ ৰে বিভাজ্যতা পৰীক্ষা কৰা।
উত্তৰঃ এককৰ অংক $4$ (যুগ্ম) হোৱাত $2$ ৰে বিভাজ্য। শেষ দুটা অংকৰ সংখ্যা $74$, ই $4$ ৰে বিভাজ্য নহয়, গতিকে $4$ আৰু $8$ ৰে বিভাজ্য নহয়। অংকবোৰৰ যোগফল $2+3+5+9+8+7+4 = 38$, ই $3$ বা $9$ ৰে বিভাজ্য নহয়, গতিকে $3, 6, 9, 12$ ৰেও বিভাজ্য নহয়। এককৰ অংক $0$ বা $5$ নহয় বাবে $5, 10, 25, 125$ ৰে বিভাজ্য নহয়।
$7, 11, 13$ ৰ বাবে সোঁফালৰ পৰা তিনি-তিনি অংককৈ লৈ পাওঁ $874,\ 359,\ 2$। এৰি এৰি লোৱা দলবোৰৰ যোগফলৰ পাৰ্থক্য $(874 + 2) – 359 = 876 – 359 = 517$। $517 = 11 \times 47$ হোৱাত $11$ ৰে বিভাজ্য; কিন্তু $517$ ক $7$ বা $13$ ৰে ভাগ নাযায়। গতিকে $2359874$ কেৱল $2$ আৰু $11$ ৰে বিভাজ্য।
উদাহৰণ ২। $151452$ সংখ্যাটো $21$ ৰে বিভাজ্য দেখুওৱা।
উত্তৰঃ $21 = 3 \times 7$। অংকবোৰৰ যোগফল $2+5+4+1+5+1 = 18$, ই $3$ ৰে বিভাজ্য। সোঁফালৰ পৰা তিনিটাকৈ দল কৰি পাওঁ $452$ আৰু $151$; $452 – 151 = 301 = 7 \times 43$, গতিকে $7$ ৰে বিভাজ্য। $3$ আৰু $7$ সহ-মৌলিক হোৱাত $151452$ সংখ্যাটো $3 \times 7 = 21$ ৰে বিভাজ্য।
উদাহৰণ ৩। $13×2741$ সংখ্যাটো $11$ ৰে বিভাজ্য হ’বলৈ $x$ ৰ মান উলিওৱা।
উত্তৰঃ $11$ ৰে বিভাজ্য হ’বলৈ জোৰ আৰু বিজোৰ স্থানৰ অংকৰ যোগফলৰ পাৰ্থক্য $0$ বা $11$ ৰ গুণিতক হ’ব লাগে।
$$(1 + 7 + x + 1) – (4 + 2 + 3) = (9 + x) – 9 = x$$
$x$ এটা অংক হোৱাত $x = 0$ (কাৰণ $11$ ৰ শূন্য নোহোৱা গুণিতকৰ কমেও দুটা অংক থাকে)। গতিকে সংখ্যাটো $1302741$।
উদাহৰণ ৪। $2311$ ৰ লগত যোগ কৰিলে (i) $3$ (ii) $4$ ৰে বিভাজ্য হ’ব লগা ক্ষুদ্ৰতম সংখ্যাটো উলিওৱা।
উত্তৰঃ (i) অংকবোৰৰ যোগফল $2+3+1+1 = 7$; $7$ ৰ পিছৰ $3$ ৰ গুণিতক $9$, গতিকে $9 – 7 = 2$ যোগ কৰিব লাগে। (ii) শেষ দুটা অংক $11$; ইয়াৰ পিছৰ $4$ ৰ গুণিতক $12$, গতিকে $12 – 11 = 1$ যোগ কৰিব লাগে। ($2311 + 1 = 2312$ ক $4$ ৰে ভাগ যায়।)
উদাহৰণ ৫। $2785$ ৰ সোঁফালে এটা অংক বহুৱাই নতুন সংখ্যাটো (i) $9$ (ii) $11$ ৰে বিভাজ্য কৰা।
উত্তৰঃ নতুন সংখ্যা $2785x$। (i) অংকবোৰৰ যোগফল $2+7+8+5+x = 22 + x$; $22$ আৰু $31$ ৰ মাজত $9$ ৰ একমাত্ৰ গুণিতক $27$, গতিকে $22 + x = 27 \Rightarrow x = 5$। (ii) $11$ ৰ বাবে $x – 5 + 8 – 7 + 2 = x – 2$ শূন্য হ’ব লাগে, গতিকে $x = 2$।
অনুশীলনী ১৬.১
১। তলৰ সংখ্যাবোৰৰ $2, 3, 5, 9$ ৰে বিভাজ্যতা পৰীক্ষা কৰা: (i) $4253$ (ii) $18935$ (iii) $12123232$ (iv) $8753973$ (v) $333666$ (vi) $785634$
উত্তৰঃ
- (i) $4253$: একক $3$ (বিজোৰ) → $2$ ৰে নহয়; অংকযোগ $4+2+5+3=14$ → $3, 9$ ৰে নহয়; একক $0/5$ নহয় → $5$ ৰে নহয়। কোনোটোৱে বিভাজ্য নহয়।
- (ii) $18935$: একক $5$ → $5$ ৰে বিভাজ্য; অংকযোগ $1+8+9+3+5=26$ → $3, 9$ ৰে নহয়; বিজোৰ বাবে $2$ ৰে নহয়।
- (iii) $12123232$: একক $2$ → $2$ ৰে বিভাজ্য; অংকযোগ $16$ → $3, 9$ ৰে নহয়; $5$ ৰে নহয়।
- (iv) $8753973$: একক $3$ → $2$ ৰে নহয়; অংকযোগ $8+7+5+3+9+7+3=42$ → $3$ ৰে বিভাজ্য, কিন্তু $42$ ক $9$ ৰে ভাগ নাযায়; $5$ ৰে নহয়।
- (v) $333666$: একক $6$ → $2$ ৰে বিভাজ্য; অংকযোগ $27$ → $3$ আৰু $9$ দুয়োটাৰে বিভাজ্য; $5$ ৰে নহয়।
- (vi) $785634$: একক $4$ → $2$ ৰে বিভাজ্য; অংকযোগ $33$ → $3$ ৰে বিভাজ্য, $9$ ৰে নহয়; $5$ ৰে নহয়।
২। তলৰ সংখ্যাবোৰৰ $4, 6, 8, 11$ ৰে বিভাজ্যতা পৰীক্ষা কৰা: (i) $532740$ (ii) $347435$ (iii) $123456$ (iv) $693011$ (v) $1238932$
উত্তৰঃ
- (i) $532740$: শেষ দুটা $40$ → $4$ ৰে বিভাজ্য; একক $0$ (∴ $2$) আৰু অংকযোগ $21$ ($3$ ৰে) → $6$ ৰে বিভাজ্য; শেষ তিনিটা $740$, $8$ ৰে নহয়; $11$: $(0+7+3)-(4+2+5)=10-11=-1$ → $11$ ৰে নহয়।
- (ii) $347435$: শেষ দুটা $35$ → $4$ ৰে নহয়; একক বিজোৰ → $6, 8$ ৰে নহয়; $11$: $(5+4+4)-(3+7+3)=13-13=0$ → $11$ ৰে বিভাজ্য।
- (iii) $123456$: শেষ দুটা $56$ → $4$ ৰে বিভাজ্য; একক $6$ আৰু অংকযোগ $21$ → $6$ ৰে বিভাজ্য; শেষ তিনিটা $456 = 8 \times 57$ → $8$ ৰে বিভাজ্য; $11$: $(6+4+2)-(5+3+1)=12-9=3$ → $11$ ৰে নহয়।
- (iv) $693011$: শেষ দুটা $11$ → $4$ ৰে নহয়; একক বিজোৰ → $6, 8$ ৰে নহয়; $11$: $(1+0+9)-(1+3+6)=10-10=0$ → $11$ ৰে বিভাজ্য।
- (v) $1238932$: শেষ দুটা $32$ → $4$ ৰে বিভাজ্য; অংকযোগ $28$ ($3$ ৰে নহয়) → $6$ ৰে নহয়; শেষ তিনিটা $932$, $8$ ৰে নহয়; $11$: $(2+9+3+1)-(3+8+2)=15-13=2$ → $11$ ৰে নহয়।
৩। তলৰ সংখ্যাবোৰৰ $7$ আৰু $13$ ৰে বিভাজ্যতা পৰীক্ষা কৰা: (i) $2561876$ (ii) $864192$ (iii) $1604928$
উত্তৰঃ সোঁফালৰ পৰা তিনি-তিনি অংককৈ দল কৰি, এৰি এৰি লোৱা দলৰ যোগফলৰ পাৰ্থক্য উলিয়াই তাক $7$ আৰু $13$ ৰে পৰীক্ষা কৰোঁ।
- (i) $2561876$: দল $876,\ 561,\ 2$; পাৰ্থক্য $(876+2)-561 = 317$। $317$ ক $7$ বা $13$ ৰে ভাগ নাযায় → দুয়োটাৰে বিভাজ্য নহয়।
- (ii) $864192$: দল $192,\ 864$; পাৰ্থক্য $864-192 = 672 = 7 \times 96$ → $7$ ৰে বিভাজ্য; $672$ ক $13$ ৰে ভাগ নাযায় → $13$ ৰে নহয়। ($864192 = 7 \times 123456$)
- (iii) $1604928$: দল $928,\ 604,\ 1$; পাৰ্থক্য $(928+1)-604 = 325 = 13 \times 25$ → $13$ ৰে বিভাজ্য; $325$ ক $7$ ৰে ভাগ নাযায় → $7$ ৰে নহয়। ($1604928 = 13 \times 123456$)
৪। $25372x$ সংখ্যাটো (i) $3$ (ii) $9$ ৰে বিভাজ্য হ’বলৈ $x$ ৰ মান উলিওৱা।
উত্তৰঃ অংকবোৰৰ যোগফল $2+5+3+7+2+x = 19 + x$।
(i) $3$ ৰে: $19 + x$ $3$ ৰ গুণিতক হ’ব লাগে → $19+x = 21, 24, 27$, গতিকে $x = 2, 5$ বা $8$।
(ii) $9$ ৰে: $19 + x$ $9$ ৰ গুণিতক হ’ব লাগে → $19 + x = 27$, গতিকে $x = 8$।
৫। $25×043$ সংখ্যাটো $11$ ৰে বিভাজ্য হ’বলৈ $x$ ৰ মান উলিওৱা।
উত্তৰঃ $11$ ৰে বিভাজ্যতাৰ বাবে জোৰ আৰু বিজোৰ স্থানৰ অংকৰ যোগফলৰ পাৰ্থক্য শূন্য হ’ব লাগে।
$$(3 + 0 + 5) – (4 + x + 2) = 8 – (6 + x) = 2 – x$$
$2 – x = 0 \Rightarrow x = 2$। গতিকে সংখ্যাটো $252043$ ($= 11 \times 22913$)। $x = 2$।
সংখ্যাৰে খেলিব পৰা কিছুমান খেল (১৬.২)
নিজৰ অংকৰ ঘনৰ যোগফল: $153, 370, 371$ আৰু $407$ প্ৰত্যেকেই নিজৰ অংকবোৰৰ ঘনৰ যোগফলৰ সমান —
$$153 = 1^3 + 5^3 + 3^3,\quad 407 = 4^3 + 0^3 + 7^3$$
৩৭ ৰ খেল: $37$ ক $3$ বা $3$ ৰ গুণিতকেৰে পূৰণ কৰি খালী ঠাই পূৰ কৰা।
উত্তৰঃ $37 \times 18 = 666$, $37 \times 21 = 777$, $37 \times 24 = 888$, $37 \times 27 = 999$। তাৰ পিছত নতুন ক্ৰম: $37 \times 30 = 1110$, $37 \times 33 = 1221$, $37 \times 36 = 1332$, $37 \times 39 = 1443$, $37 \times 42 = 1554$, $37 \times 45 = 1665$। লগতে $37037 \times 3 = 111111$ আৰু $37037037 \times 3 = 111111111$।
তিনিটা ক্ৰমিক সংখ্যাৰ খেল — যোগফল উলিওৱা: (i) $24+25+26$ (ii) $28+29+30$ (iii) $69+70+71$
উত্তৰঃ তিনিটা ক্ৰমিক সংখ্যাৰ যোগফল $=$ মাজৰ সংখ্যা $\times 3$। (i) $25 \times 3 = 75$ (ii) $29 \times 3 = 87$ (iii) $70 \times 3 = 210$।
চাৰিটা ক্ৰমিক সংখ্যাৰ খেল — যোগফল উলিওৱা: (i) $7+8+9+10$ (ii) $12+13+14+15$ (iii) $20+21+22+23$
উত্তৰঃ চাৰিটা ক্ৰমিক সংখ্যাৰ যোগফল $=$ মাজৰ দুটাৰ যোগফল $\times 2$। (i) $(8+9)\times 2 = 34$ (ii) $(13+14)\times 2 = 54$ (iii) $(21+22)\times 2 = 86$।
৯ ৰ খেল — দুই অংকৰ সংখ্যাৰ অংক ওলোটাই ডাঙৰটোৰ পৰা সৰুটো বিয়োগ কৰি $9$ ৰে ভাগ কৰা: (i) $16$ (ii) $45$ (iii) $62$
উত্তৰঃ $ab$ আৰু ওলোটা $ba$ ৰ পাৰ্থক্য সদায় $9(a-b)$, গতিকে $9$ ৰে ভাগ যায়। (i) $61-16 = 45$, $45 \div 9 = 5$ (ii) $54-45 = 9$, $9 \div 9 = 1$ (iii) $62-26 = 36$, $36 \div 9 = 4$।
১০৮৯ ৰ খেল — তিনি অংকৰ (ভিন্ন অংকৰ) সংখ্যাৰে ডাঙৰ-সৰু বনাই বিয়োগ কৰি, ফলটো অংক ওলোটাই যোগ কৰা: (i) $327$ (ii) $291$ (iii) $456$ (iv) $786$
উত্তৰঃ প্ৰতিটোৰে ফল $1089$ (কাপ্ৰেকাৰ সংখ্যা)। (i) $732-237 = 495$, $495+594 = 1089$ (ii) $921-129 = 792$, $792+297 = 1089$ (iii) $654-456 = 198$, $198+891 = 1089$ (iv) $876-678 = 198$, $198+891 = 1089$।
১০০১ ৰ খেল — তিনি অংকৰ সংখ্যা দুবাৰ লিখি ছয় অংকৰ সংখ্যা বনোৱা: (i) $234$ (ii) $175$ (iii) $432$
উত্তৰঃ তিনি অংকৰ সংখ্যা দুবাৰ লিখিলে সেই সংখ্যাৰ $1001$ গুণ পোৱা যায়, আৰু $1001 = 7 \times 11 \times 13$। (i) $234234 = 234 \times 1001$; $\div 7 = 33462$, $\div 11 = 3042$, $\div 13 = 234$ (ii) $175175 = 175 \times 1001$ (iii) $432432 = 432 \times 1001$। এইদৰে $7, 11, 13$ তিনিওটাৰে ভাগ গৈ পুনৰ মূল সংখ্যা পোৱা যায়।
কেইটামান সাংখ্যিক আৰ্হি (১৬.৩)
আৰ্হি ১ — পূৰণ আৰু যোগৰ আৰ্হি (খালী ঠাই পূৰ কৰা):
উত্তৰঃ গুণফলটোৰ অংক ওলোটালে যোগফলটো পোৱা যায়। $9 \times 9 = 81,\ 9+9 = 18$; $24 \times 3 = 72,\ 24+3 = 27$; $47 \times 2 = 94,\ 47+2 = 49$; $497 \times 2 = 994,\ 497+2 = 499$।
আৰ্হি ২ — $8$ ৰ আৰ্হি (খালী ঠাই পূৰ কৰা):
উত্তৰঃ $9 \times 9 + 7 = 88$; $98 \times 9 + 8 = 888$; $987 \times 9 + 5 = 8888$; $\dots$; $98765432 \times 9 + 0 = 88888888$; $987654321 \times 9 + (-1) = 8888888888$; $9876543210 \times 9 + (-2) = 88888888888$।
আৰ্হি ৩ — বৰ্গৰ পাৰ্থক্য:
উত্তৰঃ $6^2 – 5^2 = 11 = 11 \times 1$; $56^2 – 45^2 = 1111 = 101 \times 11$; $556^2 – 445^2 = 111111 = 1001 \times 111$।
আৰ্হি ৪ — $3816547290$ সংখ্যাটোৰ বিশেষত্ব কি?
উত্তৰঃ $0$ ৰ পৰা $9$ লৈকে সকলো অংকেৰে গঠিত এই সংখ্যাত বাওঁফালৰ পৰা যিমান অংক লোৱা হয় সেই দল সেইমান অংকৰ সংখ্যাৰে বিভাজ্য — যেনে $3$ ক $1$ ৰে, $38$ ক $2$ ৰে, $381$ ক $3$ ৰে, $3816$ ক $4$ ৰে, ইত্যাদি।
আৰ্হি ৫ — $\dfrac{148}{296} + \dfrac{35}{70}$ ৰ তাৎপৰ্য কি?
উত্তৰঃ দুয়োটা ভগ্নাংশেই $\dfrac{1}{2}$ ৰ সমান, গতিকে
$$\frac{148}{296} + \frac{35}{70} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$$
বৰ্গৰ আৰ্হি: $4^2 = 16,\ 34^2 = 1156,\ 334^2 = 111556,\ 3334^2 = 11115556, \dots$; $1^2 = 1,\ 11^2 = 121,\ 111^2 = 12321,\ 1111^2 = 1234321, \dots$ (এইবোৰ পেলিন্ড্ৰম আৰ্হি); $9^2 = 81,\ 99^2 = 9801,\ 999^2 = 998001,\ 9999^2 = 99980001, \dots$।
অনুশীলনী ১৬.২
প্ৰতিটো ত্ৰিভুজত ওপৰৰ শীৰ্ষত, দুয়ো তলৰ চুকত আৰু মাজত সংখ্যা দিয়া আছে। প্ৰতিটো সমস্যাত (a, b, c) ৰ পৰা কৌশলটো (আৰ্হি) উলিয়াই খালী ঠাই (?) পূৰ কৰিব লাগে।
১। মাজৰ সংখ্যা $=$ শীৰ্ষৰ সংখ্যা $\times$ (দুয়ো তলৰ চুকৰ যোগফল)। ($2\times(3+5)=16$, $5\times(1+7)=40$, $3\times(9+2)=33$ …) খালী ঠাই পূৰ কৰা।
উত্তৰঃ
- (a) শীৰ্ষ $8$, চুক $3$ আৰু $6$ → $? = 8 \times (3+6) = 8 \times 9 = \mathbf{72}$।
- (b) মাজ $56$, চুক $5$ আৰু $3$ → শীৰ্ষ $? \times (5+3) = 56 \Rightarrow ? = 56 \div 8 = \mathbf{7}$।
- (c) শীৰ্ষ $6$, মাজ $42$, চুক $3$ আৰু $?$ → $6 \times (3 + ?) = 42 \Rightarrow 3 + ? = 7 \Rightarrow ? = \mathbf{4}$।
২। মাজৰ সংখ্যা $=$ (শীৰ্ষ $-$ বাওঁ চুক) $\times$ সোঁ চুক। ($(7-2)\times2=10$, $(14-9)\times4=20$ …) খালী ঠাই পূৰ কৰা।
উত্তৰঃ
- (a) শীৰ্ষ $10$, চুক $3$ আৰু $2$ → $? = (10-3)\times 2 = 7 \times 2 = \mathbf{14}$।
- (b) দ্বিতীয় ত্ৰিভুজ: $(8-4)\times 3 = \mathbf{12}$; চতুৰ্থ ত্ৰিভুজ: $(7-3)\times ? = 24 \Rightarrow 4 \times ? = 24 \Rightarrow ? = \mathbf{6}$।
- (c) দ্বিতীয় ত্ৰিভুজ: $(4-2)\times ? = 20 \Rightarrow 2 \times ? = 20 \Rightarrow ? = \mathbf{10}$; চতুৰ্থ ত্ৰিভুজ: $(5-?)\times 4 = 12 \Rightarrow 5 – ? = 3 \Rightarrow ? = \mathbf{2}$।
৩। মাজৰ সংখ্যা $=$ (বাওঁ চুক $\times$ সোঁ চুক $\times$ তলৰ সংখ্যা) $\div\ 10$। ($5\times6\times4\div10=12$, $6\times7\times5\div10=21$ …) খালী ঠাই পূৰ কৰা।
উত্তৰঃ
- (a) চুক $3, 2$ আৰু তলৰ $5$ → $? = \dfrac{3 \times 2 \times 5}{10} = \dfrac{30}{10} = \mathbf{3}$।
- (b) দ্বিতীয়: $\dfrac{? \times 10 \times 6}{10} = 42 \Rightarrow 6? = 42 \Rightarrow ? = \mathbf{7}$; চতুৰ্থ: $\dfrac{7 \times ? \times 2}{10} = 7 \Rightarrow 14? = 70 \Rightarrow ? = \mathbf{5}$।
- (c) দ্বিতীয়: $\dfrac{2 \times 2 \times ?}{10} = 8 \Rightarrow 4? = 80 \Rightarrow ? = \mathbf{20}$; তৃতীয়: $\dfrac{6 \times ? \times 4}{10} = 12 \Rightarrow 24? = 120 \Rightarrow ? = \mathbf{5}$; চতুৰ্থ: $\dfrac{? \times 8 \times 5}{10} = 24 \Rightarrow 40? = 240 \Rightarrow ? = \mathbf{6}$।
অংকৰ সলনি আখৰৰ খেল (১৬.৪) — উদাহৰণ
নিয়ম: এটা আখৰে এটা অংকহে বুজায়; কোনো সংখ্যাৰ প্ৰথম অংক শূন্য নহয়; প্ৰতিটো সমস্যাৰ এটা সমাধান থাকে।
উদাহৰণ ১। $A4 + 1B = 49$ ত $A, B$ ৰ মান উলিওৱা।
উত্তৰঃ এককত $4 + B = 9 \Rightarrow B = 5$; দহকত $A + 1 = 4 \Rightarrow A = 3$। গতিকে $A = 3, B = 5$ ($34 + 15 = 49$)।
উদাহৰণ ২। $5AB + AB2 = B78$ ত $A, B$ ৰ মান উলিওৱা।
উত্তৰঃ এককত $B + 2 = 8 \Rightarrow B = 6$; দহকত $A + B = 7$, $B=6$ হোৱাত $A = 1$; শতকত $5 + A = B \Rightarrow 5 + 1 = 6$ ✓। গতিকে $A = 1, B = 6$ ($516 + 162 = 678$)।
উদাহৰণ ৩। $ABB + ABB + ABB = 19AB$ ত $A, B$ ৰ মান উলিওৱা।
উত্তৰঃ তিনিটা $B$ ৰ যোগফলৰ এককত $B$ থাকিবলৈ $B = 5$ ($5+5+5 = 15$); দহক-শতকত $1$ কেৰী লৈ $A = 6$ ($6+6+6+1 = 19$)। গতিকে $A = 6, B = 5$ ($655 \times 3 = 1965$)।
উদাহৰণ ৪। $AB \times B = CAB$ ত $A, B, C$ ৰ মান উলিওৱা।
উত্তৰঃ $B \times B$ ৰ এককত $B$ থাকিবলৈ $B = 5$ (বা $6$)। $B = 5$ ল’লে $(10A+5)\times 5 = 100C + 10A + 5 \Rightarrow 40A + 20 = 100C \Rightarrow 2A + 1 = 5C$; $A = 2, C = 1$। গতিকে $A = 2, B = 5, C = 1$ ($25 \times 5 = 125$)।
অনুশীলনী ১৬.৩
১। তলৰ প্ৰতিটো সংখ্যাত থকা আখৰবোৰৰ মান উলিওৱা (ধাপ অনুসৰি):
(i) $6A + 87 = BA2$
উত্তৰঃ এককত $A + 7$ ৰ শেষ অংক $2$ হ’বলৈ $A = 5$ ($5+7 = 12$, কেৰী $1$); $60 + 5 + 87 = 152 = BA2 \Rightarrow B = 1$। $A = 5, B = 1$ ($65 + 87 = 152$)।
(ii) $21A + 1A3 = 368$
উত্তৰঃ $(210 + A) + (100 + 10A + 3) = 313 + 11A = 368 \Rightarrow 11A = 55 \Rightarrow A = 5$। $A = 5$ ($215 + 153 = 368$)।
(iii) $1AB + AB1 = B07$
উত্তৰঃ $(100 + 10A + B) + (100A + 10B + 1) = 100B + 7$, ইয়াক সৰল কৰি $89B = 110A + 94$; $A = 4$ ল’লে $89B = 534 \Rightarrow B = 6$। $A = 4, B = 6$ ($146 + 461 = 607$)।
(iv) $B2A + 3AB = A00$
উত্তৰঃ $(100B + 20 + A) + (300 + 10A + B) = 100A$, ইয়াক সৰল কৰি $89A = 101B + 320$; $B = 3$ ল’লে $89A = 623 \Rightarrow A = 7$। $A = 7, B = 3$ ($327 + 373 = 700$)।
(v) $30A6 + 424B + A3B6 = C6A7$
উত্তৰঃ এককত $6 + B + 6$ ৰ শেষ অংক $7$ হ’বলৈ $B = 5$ (কেৰী $1$)। শতকত $0+2+3+1 = 6$ ✓। হাজাৰকত $3 + 4 + A = C$; $A3B6$ ৰ প্ৰথম অংক শূন্য নহয় আৰু $C$ এক অংকৰ হ’বলৈ $A = 1$, তেতিয়া $C = 8$। $A = 1, B = 5, C = 8$ ($3016 + 4245 + 1356 = 8617$)।
(vi) $AAA + AAA + AAA = CBBA$
উত্তৰঃ $3 \times AAA = 333A$; এককত $3A$ ৰ শেষ অংক $A$ হ’বলৈ $A = 5$। $333 \times 5 = 1665 = CBBA \Rightarrow C = 1, B = 6$। $A = 5, B = 6, C = 1$ ($555 \times 3 = 1665$)।
(vii) $AB \times 3 = CAB$
উত্তৰঃ $3(10A+B) = 100C + 10A + B \Rightarrow 20A + 2B = 100C \Rightarrow 10A + B = 50C$; $C = 1$ ল’লে $AB = 50$। $A = 5, B = 0, C = 1$ ($50 \times 3 = 150$)।
(viii) $BA \times B3 = 57A$
উত্তৰঃ গুণফলটো $500$-ৰ ঘৰত থকাত $B = 2$; $(20+A)\times 23 = 570 + A \Rightarrow 460 + 23A = 570 + A \Rightarrow 22A = 110 \Rightarrow A = 5$। $A = 5, B = 2$ ($25 \times 23 = 575$)।
(ix) $AB \times 6 = CBB$
উত্তৰঃ $6(10A+B) = 100C + 11B \Rightarrow 12A – B = 20C$; এককত $6B$ ৰ শেষ অংক $B$ হ’বলৈ $B$ যুগ্ম হ’ব লাগে। $A = 2, B = 4, C = 1$ ল’লে $24 \times 6 = 144$ ✓ (এইটো এটা সমাধান; $48\times6=288$, $50\times6=300$, $98\times6=588$ ও শৰ্ত পূৰ কৰে)। $A = 2, B = 4, C = 1$।
(x) $AB \times 6 = BBB$
উত্তৰঃ $6(10A+B) = 111B \Rightarrow 60A = 105B \Rightarrow 4A = 7B$; গতিকে $A = 7, B = 4$। $A = 7, B = 4$ ($74 \times 6 = 444$)।
(xi) $AB \times 5 = CAB$
উত্তৰঃ $5(10A+B) = 100C + 10A + B \Rightarrow 40A + 4B = 100C \Rightarrow 10A + B = 25C$; $C = 1$ ল’লে $AB = 25$। $A = 2, B = 5, C = 1$ ($25 \times 5 = 125$; $50\times5=250$, $75\times5=375$ ও শৰ্ত পূৰ কৰে)।
(xii) $AB \times AB = CAB$
উত্তৰঃ গুণফলটোৰ শেষ দুটা অংক $AB$ হ’ব লাগে, গতিকে $AB^2$ ৰ শেষ দুটা অংক $AB$; তিনি অংকৰ ভিতৰত এনে সংখ্যা কেৱল $25$ ($25^2 = 625$)। $A = 2, B = 5, C = 6$ ($25 \times 25 = 625$)।
অতিৰিক্ত প্ৰশ্ন আৰু উত্তৰ
বহুবিকল্পযুক্ত প্ৰশ্ন (MCQ)
১। এটা সংখ্যা $8$ ৰে বিভাজ্য হ’বলৈ শেষ কেইটা অংকৰ সংখ্যা $000$ বা $8$ ৰে বিভাজ্য হ’ব লাগে? (ক) এটা (খ) দুটা (গ) তিনিটা (ঘ) চাৰিটা
উত্তৰঃ (গ) তিনিটা (একক, দহক, শতক)।
২। $1001$ কোনবোৰ মৌলিক সংখ্যাৰ পূৰণফল? (ক) $7 \times 11 \times 13$ (খ) $3 \times 7 \times 11$ (গ) $7 \times 11 \times 17$ (ঘ) $11 \times 13 \times 17$
উত্তৰঃ (ক) $7 \times 11 \times 13$।
৩। তলৰ কোনটো সংখ্যা নিজৰ অংকবোৰৰ ঘনৰ যোগফলৰ সমান? (ক) $123$ (খ) $153$ (গ) $250$ (ঘ) $220$
উত্তৰঃ (খ) $153$ ($1^3 + 5^3 + 3^3 = 153$)।
৪। $12348$ সংখ্যাটো তলৰ কোনটোৰে বিভাজ্য? (ক) $5$ (খ) $6$ (গ) $11$ (ঘ) $25$
উত্তৰঃ (খ) $6$ ($2$ আৰু $3$ দুয়োটাৰে বিভাজ্য)।
৫। $1089$ সংখ্যাটো কি নামেৰে জনাজাত? (ক) মৌলিক সংখ্যা (খ) কাপ্ৰেকাৰ সংখ্যা (গ) পূৰ্ণ বৰ্গ (ঘ) ঘন সংখ্যা
উত্তৰঃ (খ) কাপ্ৰেকাৰ সংখ্যা।
৬। এটা সংখ্যা $2$ আৰু $4$ দুয়োটাৰে বিভাজ্য হ’লেও $8$ ($=2\times4$) ৰে বিভাজ্য নহ’বও পাৰে, কাৰণ $2$ আৰু $4$ ৰ গ.সা.উ.— (ক) $1$ (খ) $2$ (গ) $4$ (ঘ) $8$
উত্তৰঃ (খ) $2$ (সহ-মৌলিক নহয় বাবে)।
৭। $37 \times 24$ ৰ মান কিমান? (ক) $666$ (খ) $777$ (গ) $888$ (ঘ) $999$
উত্তৰঃ (গ) $888$।
৮। $999^2$ ৰ মান— (ক) $9801$ (খ) $99801$ (গ) $998001$ (ঘ) $980001$
উত্তৰঃ (গ) $998001$।
৯। এটা সংখ্যা $11$ ৰে বিভাজ্য হ’বলৈ জোৰ আৰু বিজোৰ স্থানৰ অংকৰ যোগফলৰ পাৰ্থক্য হ’ব লাগে— (ক) সদায় $1$ (খ) $0$ বা $11$ ৰ গুণিতক (গ) যুগ্ম (ঘ) বিজোৰ
উত্তৰঃ (খ) $0$ বা $11$ ৰ গুণিতক।
১০। $111111^2$ ৰ মান— (ক) $123456$ (খ) $12345654321$ (গ) $1234321$ (ঘ) $123454321$
উত্তৰঃ (খ) $12345654321$।
খালী ঠাই পূৰ কৰা
- এটা সংখ্যা $5$ ৰে বিভাজ্য হ’বলৈ এককৰ অংক $0$ বা ______ হ’ব লাগে। — $5$
- $6 = 2 \times$ ______ । — $3$
- তিনিটা ক্ৰমিক সংখ্যাৰ যোগফল $=$ মাজৰ সংখ্যা $\times$ ______ । — $3$
- $37037 \times 3 =$ ______ । — $111111$
- $25 \times 23 =$ ______ । — $575$
শুদ্ধ নে অশুদ্ধ লিখা
- এটা সংখ্যা $3$ ৰে বিভাজ্য হ’লে সদায় $9$ ৰেও বিভাজ্য হয়। — অশুদ্ধ
- $864192$ সংখ্যাটো $7$ ৰে বিভাজ্য। — শুদ্ধ
- $407 = 4^3 + 0^3 + 7^3$। — শুদ্ধ
- যিকোনো তিনি অংকৰ ভিন্ন-অংকৰ সংখ্যাৰে $1089$ ৰ খেল কৰিলে সদায় $1089$ পোৱা যায়। — শুদ্ধ
- $123456$ সংখ্যাটো $11$ ৰে বিভাজ্য। — অশুদ্ধ
চমু উত্তৰৰ প্ৰশ্ন
১। $7$ আৰু $13$ ৰে বিভাজ্যতা পৰীক্ষা কৰাত $1001$ কেনেকৈ সহায় কৰে?
উত্তৰঃ $1001 = 7 \times 11 \times 13$। সোঁফালৰ পৰা তিনি-তিনি অংককৈ দল কৰি এৰি এৰি লোৱা দলবোৰৰ যোগফলৰ পাৰ্থক্য উলিয়ালে সেই পাৰ্থক্যটো $7$ বা $13$ ৰে বিভাজ্য হ’লে মূল সংখ্যাটোও সেই সংখ্যাৰে বিভাজ্য হয়।
২। এটা সংখ্যা দুটা বেলেগ সংখ্যাৰে পৃথককৈ ভাগ গ’লেও সিহঁতৰ পূৰণফলেৰে কেতিয়া ভাগ যায়?
উত্তৰঃ যেতিয়া সেই দুটা সংখ্যা সহ-মৌলিক (co-prime), অৰ্থাৎ সিহঁতৰ গ.সা.উ. $1$ হয়। যেনে $2$ আৰু $3$ ৰ গ.সা.উ. $1$ বাবে $2$ আৰু $3$ দুয়োটাৰে বিভাজ্য সংখ্যা $6$ ৰেও বিভাজ্য।
৩। আখৰৰ ঠাইত অংক বিচৰা সমস্যাত মানিব লগা তিনিটা নিয়ম লিখা।
উত্তৰঃ (ক) এটা আখৰে কেৱল এটা অংকহে বুজায়; (খ) কোনো সংখ্যাৰ প্ৰথম অংক শূন্য হ’ব নোৱাৰে; (গ) প্ৰতিটো সমস্যাৰ এটা সমাধান থাকে।
শব্দাৰ্থ
| অসমীয়া শব্দ | English term | অৰ্থ |
|---|---|---|
| বিভাজ্যতা | Divisibility | এটা সংখ্যা আন এটাৰে সম্পূৰ্ণকৈ ভাগ যোৱাৰ ধৰ্ম |
| এককৰ ঘৰ | Unit’s place | সংখ্যাটোৰ সোঁফালৰ প্ৰথম অংকৰ স্থান |
| অংকৰ যোগফল | Sum of digits | সংখ্যাটোৰ সকলো অংকৰ যোগ |
| সহ-মৌলিক | Co-prime | যাৰ গ.সা.উ. $1$, এনে দুটা সংখ্যা |
| গ.সা.উ. | HCF | গৰিষ্ঠ সাধাৰণ উৎপাদক |
| ক্ৰমিক সংখ্যা | Consecutive numbers | পৰপৰ অহা সংখ্যা (যেনে $9, 10, 11$) |
| কাপ্ৰেকাৰ সংখ্যা | Kaprekar number | $1089$ — বিশেষ ধৰ্মৰ সংখ্যা |
| সাংখ্যিক আৰ্হি | Numerical pattern | সংখ্যাৰ ভিতৰত থকা নিয়মীয়া গাঁথনি |
| পেলিন্ড্ৰম | Palindrome | আগফালৰ পৰা আৰু পিছফালৰ পৰা একে হোৱা |
| আখৰৰ ঠাইত অংক | Letters for digits | আখৰেৰে অংক সূচোৱা সাংকেতিক সমস্যা |