লেখৰ সৈতে পৰিচয় — প্ৰশ্ন উত্তৰ
HSLC Guru ত আপোনালোকক স্বাগতম। এই পৃষ্ঠাত ASSEB (অসম ৰাজ্যিক বিদ্যালয় শিক্ষা পৰিষদ) ৰ Class 8 সাধাৰণ গণিতৰ পঞ্চদশ অধ্যায় “লেখৰ সৈতে পৰিচয়” ৰ আটাইবোৰ অনুশীলনী, উদাহৰণ আৰু দলীয় কাৰ্যৰ সম্পূৰ্ণ, ধাপে ধাপে সমাধান লেখচিত্ৰসহ দিয়া হৈছে।
সাৰাংশ
আমাৰ দৈনন্দিন জীৱনত সংখ্যাগত তথ্যক (data) সহজ আৰু স্পষ্টভাৱে বুজাবলৈ লেখ (graph) ব্যৱহাৰ কৰা হয়। বাতৰি কাকত, আলোচনী, টেলিভিছন আৰু বিজ্ঞাপনত আমি নানা ধৰণৰ লেখ দেখিবলৈ পাওঁ। এই অধ্যায়ত আমি চিত্ৰলেখ, দণ্ড লেখ, যোৰা দণ্ড লেখ, স্তম্ভলেখ, ৰেখা লেখ আৰু ৰৈখিক লেখৰ বিষয়ে শিকিম আৰু এটা বিন্দুৰ স্থানাংক (co-ordinate) কেনেকৈ নিৰ্ণয় কৰিব লাগে সেয়া শিকিম।
চিত্ৰলেখ ত ছবি বা সংকেতৰ সহায়ত তথ্য দেখুওৱা হয়। দণ্ড লেখ ত সমান প্ৰস্থৰ আয়তাকাৰ দণ্ডৰ সহায়ত তথ্য তুলনা কৰা হয়; যোৰা দণ্ড লেখ ত এটা বিষয়ৰ বাবে দুডাল দণ্ড লৈ দুটা তথ্যৰ তুলনা কৰা হয়। স্তম্ভলেখ হৈছে এনে এক দণ্ড লেখ য’ত শ্ৰেণী-অন্তৰাল অবিচ্ছিন্ন হয় আৰু দণ্ডবোৰৰ মাজত কোনো ফাঁক নাথাকে।
ৰেখা লেখ ত সময়ৰ সৈতে হোৱা তথ্যৰ পৰিৱৰ্তন ৰেখাখণ্ডেৰে সংযোগ কৰি দেখুওৱা হয়। কাৰ্টেছীয় সমতলত পৰস্পৰ লম্ব দুডাল অক্ষ — অনুভূমিক X অক্ষ আৰু উলম্ব Y অক্ষ — ৰ সহায়ত এটা বিন্দুৰ অৱস্থান $(\text{ভুজ},\ \text{কোটি})$ ৰূপত প্ৰকাশ কৰা হয়। এই ব্যৱস্থা সপ্তদশ শতিকাৰ ফৰাচী গণিতজ্ঞ ৰেণে দেকাৰ্তে-ই (René Descartes) প্ৰৱৰ্তন কৰিছিল, সেয়ে ইয়াক কাৰ্টেছীয় স্থানাংক ব্যৱস্থা বোলে।
Summary: This ASSEB Class 8 General Mathematics Chapter 15 Introduction to Graphs solution explains pictographs, bar graphs, double bar graphs, histograms, line graphs and linear graphs, and shows how to plot a point using its Cartesian coordinates — the abscissa (X-coordinate) and the ordinate (Y-coordinate) — on the X and Y axes about the origin. Every question of Exercise 15.1, 15.2 and 15.3, all worked examples and the group activity are solved with clearly labelled graphs.
পাঠ্যপুথিৰ প্ৰশ্ন আৰু উত্তৰ
স্থানাংক আৰু চতুৰ্থাংশ — মূল ধাৰণা
কাৰ্টেছীয় সমতলত অক্ষ দুডালৰ ছেদবিন্দুক মূলবিন্দু (O) বোলে আৰু ইয়াৰ স্থানাংক $(0,0)$। কোনো বিন্দু P ৰ স্থানাংক $(x, y)$ হ’লে $x$ ক ভুজ (abscissa বা X-স্থানাংক) আৰু $y$ ক কোটি (ordinate বা Y-স্থানাংক) বোলে। তলৰ চিত্ৰত P বিন্দুটো Y অক্ষৰ পৰা 4 একক আৰু X অক্ষৰ পৰা 5 একক দূৰত্বত আছে, গতিকে ইয়াৰ স্থানাংক $(4,5)$।
অক্ষ দুডালে সমতলখনক চাৰিটা ভাগত ভাগ কৰে, প্ৰতিটো ভাগক চতুৰ্থাংশ (quadrant) বোলে। এই অধ্যায়ত আমি কেৱল প্ৰথম চতুৰ্থাংশ $(+,+)$ ৰ বিন্দুৰ বিষয়ে আলোচনা কৰিম।
উদাহৰণসমূহ (Examples)
উদাহৰণ ১: এগৰাকী অসুস্থ ছোৱালীৰ শৰীৰৰ উষ্ণতা প্ৰতি তিনি ঘণ্টাৰ মূৰে মূৰে লোৱা হৈছিল। তথ্যখনৰ ৰেখা লেখ অংকন কৰি অধ্যয়ন কৰা।
সময়: 7 AM, 10 AM, 1 PM, 4 PM, 7 PM; উষ্ণতা (°C): 38, 40, 37, 37, 36।
উত্তৰঃ লেখখনৰ পৰা: (i) ইয়াত দিনটোৰ 12 ঘণ্টাৰ উষ্ণতা দেখুওৱা হৈছে। (ii) পুৱা 7 বজাৰ পৰা সন্ধিয়া 7 বজালৈ উষ্ণতা দেখুওৱা হৈছে। (iii) সৰ্বোচ্চ উষ্ণতা পুৱা 10 বজাত (40°C) আৰু সন্ধিয়া 7 বজাত ই 36°C লৈ নামি আহে। (iv) 10 বজাৰ পৰা উষ্ণতা কমিবলৈ ধৰে আৰু দুপৰীয়া 1 বজাৰ পৰা আবেলি 4 বজালৈ উষ্ণতাৰ কোনো পৰিৱৰ্তন নহয় (37°C)।
উদাহৰণ ২: এটা কোম্পানীৰ যোৱা পাঁচ বছৰৰ বাৰ্ষিক বিক্ৰীৰ (কোটি টকাত) তথ্যৰ ৰেখা লেখ অধ্যয়ন কৰা।
বছৰ: 2015→2, 2016→4, 2017→4, 2018→8, 2019→6 (কোটি টকা)।
উত্তৰঃ (i) X অক্ষত বছৰ আৰু Y অক্ষত কোটি টকাত বিক্ৰী দেখুওৱা হৈছে। (ii) 2015 বছৰত বিক্ৰী সৰ্বনিম্ন আৰু 2018 বছৰত সৰ্বাধিক। (iii) 2016 আৰু 2017 বছৰত বিক্ৰী সমান। (iv) 2018 তকৈ 2019 ত বিক্ৰী কম। (v) সৰ্বাধিক আৰু সৰ্বনিম্ন বিক্ৰীৰ পাৰ্থক্য $= (8-2) = $ 6 কোটি টকা।
উদাহৰণ ৩: এখন লেখত 2019 বছৰত হোৱা 10 খন বেলেগ বেলেগ ক্ৰিকেট মেচত P আৰু Q দুজন বেটছমেনে কৰা মুঠ ৰাণ দেখুওৱা হৈছে (P — অবিচ্ছিন্ন ৰেখা, Q — বিন্দুবিন্দু ৰেখা)। লেখৰ পৰা প্ৰশ্নবোৰৰ উত্তৰ দিয়া।
উত্তৰঃ (i) লেখখনত 2019 বছৰত হোৱা 10 খন মেচত P আৰু Q বেটছমেনে কৰা ৰাণৰ তথ্য দেখুওৱা হৈছে। (ii) অনুভূমিক X অক্ষই মেচৰ সংখ্যা আৰু উলম্ব Y অক্ষই কৰা ৰাণৰ সংখ্যা নিৰ্দেশ কৰিছে। (iii) বিন্দুবিন্দু ($—$) ৰেখাডালে Q বেটছমেনৰ ৰাণৰ তথ্য বুজায়। (iv) দুয়োজনে চতুৰ্থ মেচত সমান সংখ্যক ৰাণ কৰিছিল। (v) হয়, P বেটছমেনে পঞ্চম আৰু দশম মেচত এটাও ৰাণ কৰিব পৰা নাছিল। (vi) সামগ্ৰিকভাৱে Q বেটছমেনৰ প্ৰদৰ্শন ভাল আছিল। (vii) P বেটছমেনৰ সৰ্বোচ্চ ৰাণ 120 আৰু সৰ্বনিম্ন ৰাণ 0।
উদাহৰণ ৪: লেখ কাগজত $(4,2)$ বিন্দুটো স্থাপন কৰা। এই বিন্দুটো $(2,4)$ ৰ লগত একে নেকি?
উত্তৰঃ একক হিচাপে এটা সৰু বৰ্গৰ বাহু = 1 একক লৈ, মূলবিন্দু O ৰ পৰা X অক্ষৰ কাষে 4 একক আৰু তাৰ পিছত উলম্বভাৱে (Y অক্ষৰ কাষে) 2 একক গৈ $(4,2)$ বিন্দু পোৱা যায়। একেদৰে $(2,4)$ ত X অক্ষৰ কাষে 2 একক আৰু Y অক্ষৰ কাষে 4 একক যাব লাগে। গতিকে $(4,2)$ আৰু $(2,4)$ দুটা বেলেগ বেলেগ বিন্দু — স্থানাংকৰ ক্ৰম সলনি কৰিলে বিন্দুটোও সলনি হয়।
উদাহৰণ ৫: লেখৰ সহায়ত তলৰ তালিকাখন সম্পূৰ্ণ কৰা। বিন্দুবোৰ A(4,5), B(8,10), C(14,3), D(17,8), E(22,6), F(23,0)।
উত্তৰঃ ভুজ = Y অক্ষৰ পৰা দূৰত্ব আৰু কোটি = X অক্ষৰ পৰা দূৰত্ব। F বিন্দুটো X অক্ষৰ ওপৰত থকা বাবে ইয়াৰ কোটি (X অক্ষৰ পৰা দূৰত্ব) শূন্য, গতিকে F ৰ ভুজ 23 আৰু স্থানাংক $(23,0)$। সম্পূৰ্ণ তালিকা:
| বিন্দু | ভুজ | কোটি | X অক্ষৰ পৰা দূৰত্ব | Y অক্ষৰ পৰা দূৰত্ব | স্থানাংক |
|---|---|---|---|---|---|
| A | 4 | 5 | 5 | 4 | (4, 5) |
| B | 8 | 10 | 10 | 8 | (8, 10) |
| C | 14 | 3 | 3 | 14 | (14, 3) |
| D | 17 | 8 | 8 | 17 | (17, 8) |
| E | 22 | 6 | 6 | 22 | (22, 6) |
| F | 23 | 0 | 0 | 23 | (23, 0) |
উদাহৰণ ৬: A(1,8), B(3,6), C(5,4), D(6,3), E(8,1) বিন্দুবোৰ লেখ কাগজত স্থাপন কৰি সেইবোৰ একেডাল সৰলৰেখাত আছে নে পৰীক্ষা কৰা।
উত্তৰঃ বিন্দুবোৰ স্থাপন কৰি সংযোগ কৰিলে আমি AE ৰেখাখণ্ড পাওঁ। প্ৰতিটো বিন্দুৰে ভুজ আৰু কোটিৰ যোগফল $x+y=9$ (যেনে $1+8=9,\ 3+6=9,\ 5+4=9$ আদি), সেয়ে বিন্দুবোৰ একেডাল সৰলৰেখাত আছে।
উদাহৰণ ৭: তলৰ তালিকাত পেট্ৰ’লৰ পৰিমাণ আৰু ইয়াৰ দাম দিয়া আছে। তথ্যৰ ৰৈখিক লেখ অংকন কৰা। পেট্ৰ’ল (লিটাৰ): 5, 10, 15, 20; দাম (টকা): 350, 700, 1050, 1400।
উত্তৰঃ X অক্ষত পেট্ৰ’লৰ পৰিমাণ আৰু Y অক্ষত দাম লৈ A(5, 350), B(10, 700), C(15, 1050), D(20, 1400) বিন্দুবোৰ স্থাপন কৰি সংযোগ কৰিলে AD এডাল সৰলৰেখা পোৱা যায়। প্ৰতি লিটাৰ পেট্ৰ’লৰ দাম $\frac{350}{5}=70$ টকা, গতিকে দাম পৰিমাণৰ সৈতে প্ৰত্যক্ষ সমানুপাতিক। শূন্য লিটাৰত দাম শূন্য হোৱা বাবে লেখডাল মূলবিন্দুৰে পাৰ হয় (প্ৰত্যক্ষ ভেদ)।
উদাহৰণ ৮: মূলধন আৰু বছৰি 5% হাৰত সৰল সুদৰ তথ্য দিয়া আছে। ৰৈখিক লেখ অংকন কৰি তালিকাখন সম্পূৰ্ণ কৰা। মূলধন: 1000, 2000, 3000, 4000, 6000; সৰল সুদ: 50, 100, 150, 200, 300।
উত্তৰঃ সুদ = মূলধনৰ 5% $= \frac{P}{20}$। বিন্দুবোৰ সংযোগ কৰিলে মূলবিন্দুৰে যোৱা এডাল সৰলৰেখা OA পোৱা যায়। এই লেখৰ (বা সূত্ৰৰ) সহায়ত: মূলধন 2500 হ’লে সুদ $= \frac{2500}{20}=125$; সুদ 250 হ’লে মূলধন $= 250\times20 = 5000$; মূলধন 6500 হ’লে সুদ $=\frac{6500}{20}=325$; সুদ 400 হ’লে মূলধন $=400\times20=8000$।
| মূলধন (টকা) | 2500 | 5000 | 6500 | 8000 |
|---|---|---|---|---|
| সৰল সুদ (টকা) | 125 | 250 | 325 | 400 |
অনুশীলনী 15.1
1. এখন গাড়ী লক্ষীমপুৰৰ পৰা গুৱাহাটীলৈ গৈছিল। তলৰ চিত্ৰত দূৰত্ব আৰু সময়ৰ ৰেখা লেখ এডাল দিয়া হৈছে। লেখডাল অধ্যয়ন কৰি তলৰ প্ৰশ্নবোৰৰ উত্তৰ দিয়া।
(i) অক্ষ দুডালে কি কি তথ্য নিৰ্দেশ কৰিছে?
উত্তৰঃ X অক্ষই সময় (পুৱা ৭ বজাৰ পৰা আবেলি ৩ বজালৈ) আৰু Y অক্ষই অতিক্ৰম কৰা দূৰত্ব (কিলোমিটাৰত) নিৰ্দেশ কৰিছে।
(ii) গাড়ীখনে মুঠতে কিমান দূৰত্ব আৰু কিমান সময়ত ভ্ৰমণ কৰিলে?
উত্তৰঃ মুঠ অতিক্ৰম কৰা দূৰত্ব 375 কি.মি. আৰু মুঠ সময় 8 ঘণ্টা (পুৱা 7 বজাৰ পৰা আবেলি 3 বজালৈ)।
(iii) কোন সময়ত গাড়ীৰ গতিবেগ সৰ্বাধিক আছিল?
উত্তৰঃ দুপৰীয়া 12 বজাৰ পৰা 1 বজাৰ ভিতৰত গতিবেগ সৰ্বাধিক, কাৰণ এই এঘণ্টাত গাড়ীখনে $300-200 = 100$ কি.মি. অতিক্ৰম কৰিছে (লেখডাল এই অংশত আটাইতকৈ থিয়)।
(iv) গাড়ীখন বাটত ৰৈছিল নেকি? ৰৈছিল হ’লে কিমান সময় ৰৈছিল?
উত্তৰঃ হয়, পুৱা 11 বজাৰ পৰা 12 বজালৈ 1 ঘণ্টা গাড়ীখন ৰৈছিল — এই সময়ছোৱাত দূৰত্ব 200 কি.মি. তে অপৰিৱৰ্তিত থকা বাবে লেখডাল অনুভূমিক (সমান্তৰাল) হৈছে।
(v) কোন সময়ত গাড়ীৰ গতিবেগ সমান আছিল?
উত্তৰঃ পুৱা 7 বজাৰ পৰা 11 বজালৈ আৰু আকৌ দুপৰীয়া 1 বজাৰ পৰা 2 বজালৈ গতিবেগ সমান (50 কি.মি./ঘণ্টা) আছিল — এই অংশবোৰত লেখডালৰ ঢাল একে।
2. এটা পৰিয়ালৰ যোৱা ছয় মাহৰ বিদ্যুৎ বিলৰ ৰেখা লেখ দিয়া হৈছে। লেখডাল অধ্যয়ন কৰি উত্তৰ দিয়া।
উত্তৰঃ (i) লেখডালে এটা পৰিয়ালৰ যোৱা ছয় মাহত খৰচ হোৱা বিদ্যুৎৰ (ইউনিটৰ) তথ্য উপস্থাপন কৰিছে। (ii) Y অক্ষই খৰচ হোৱা বিদ্যুৎৰ ইউনিট নিৰ্দেশ কৰিছে। (iii) জুন মাহত সৰ্বাধিক (240 ইউনিট) বিদ্যুৎ খৰচ হৈছে। (iv) ছেপ্তেম্বৰ মাহত আটাইতকৈ কম (60 ইউনিট) বিদ্যুৎ খৰচ হৈছে। (v) এপ্ৰিল আৰু আগষ্ট মাহত সমান সমান (150 ইউনিটকৈ) বিদ্যুৎ খৰচ হৈছে।
3. এখন বিদ্যালয়ৰ 100 জন ছাত্ৰ-ছাত্ৰীয়ে বিভিন্ন খেল ভালপোৱাৰ ৰেখা লেখ দিয়া আছে। লেখডাল অধ্যয়ন কৰি উত্তৰ দিয়া।
উত্তৰঃ (i) লেখত মুঠ 7 টা খেলৰ তথ্য দিয়া আছে (ক্ৰিকেট, কাবাডী, দৌৰ, জঁপ, সংগীত চকী, বেডমিণ্টন, ফুটবল)। (ii) ফুটবল আটাইতকৈ বেছি ছাত্ৰ-ছাত্ৰীয়ে (25 জন) ভাল পায়। (iii) বেডমিণ্টন আটাইতকৈ কম (5 জন) ছাত্ৰ-ছাত্ৰীয়ে ভাল পায়। (iv) কাবাডী আৰু জঁপ সমান সংখ্যক (10 জনকৈ) ছাত্ৰ-ছাত্ৰীয়ে ভাল পায়; আকৌ দৌৰ আৰু সংগীত চকী সমান সংখ্যক (15 জনকৈ) ছাত্ৰ-ছাত্ৰীয়ে ভাল পায়।
4. এখন চিকিৎসালয়ত এটা সপ্তাহত জন্ম হোৱা শিশুৰ সংখ্যা কাষৰ লেখত দেখুওৱা হৈছে। লেখখন অধ্যয়ন কৰি উত্তৰ দিয়া।
উত্তৰঃ (i) X অক্ষই সপ্তাহৰ দিনবোৰ (সোম, মঙ্গল, বুধ, বৃহস্পতি, শুক্ৰ, শনি, দেও) নিৰ্দেশ কৰিছে। (ii) শনিবাৰে আটাইতকৈ বেছি (15 টা) শিশুৰ জন্ম হৈছে। (iii) বৃহস্পতিবাৰে আটাইতকৈ কম (3 টা) শিশুৰ জন্ম হৈছে। (iv) সপ্তাহটোত জন্ম হোৱা মুঠ শিশুৰ সংখ্যা $= 10+7+12+3+8+15+5 = $ 60 টা।
দলীয় কাৰ্য (Group Activity)
মেধাশ্ৰী আৰু মেঘাশ্ৰীয়ে এটা প্ৰকল্পৰ কামত পৰীক্ষাগাৰত দুবিধ গছ A আৰু B বঢ়াইছিল। প্ৰতি সপ্তাহত দুয়োবিধ গছৰ বৃদ্ধি জোখা হৈছিল। এমাহৰ শেষত সংগ্ৰহ কৰা তথ্যৰ লেখ তলত দিয়া হৈছে।
(i) A গছবিধৰ (a) ১ম সপ্তাহত, (b) ২য় সপ্তাহত, (c) ৩য় সপ্তাহত কিমান উচ্চতা হৈছিল?
উত্তৰঃ A গছৰ উচ্চতা — (a) ১ম সপ্তাহত 2 চে.মি., (b) ২য় সপ্তাহত 5 চে.মি., (c) ৩য় সপ্তাহত 8 চে.মি.।
(ii) B গছবিধৰ (a) ১ম সপ্তাহত, (b) ২য় সপ্তাহত, (c) ৪ৰ্থ সপ্তাহত কিমান উচ্চতা হৈছিল?
উত্তৰঃ B গছৰ উচ্চতা — (a) ১ম সপ্তাহত 1 চে.মি., (b) ২য় সপ্তাহত 3 চে.মি., (c) ৪ৰ্থ সপ্তাহত 9 চে.মি.।
(iii) ২য় আৰু ৪ৰ্থ সপ্তাহত A আৰু B গছৰ বৃদ্ধিৰ পৰিৱৰ্তন সমান নেকি? সমান নহ’লে পৰিৱৰ্তন কিমান?
উত্তৰঃ সমান নহয়। ২য় সপ্তাহত A ৰ বৃদ্ধি $=5-2=3$ চে.মি. আৰু B ৰ বৃদ্ধি $=3-1=2$ চে.মি.। ৪ৰ্থ সপ্তাহত A ৰ বৃদ্ধি $=10-8=2$ চে.মি. আৰু B ৰ বৃদ্ধি $=9-8=1$ চে.মি.। গতিকে দুয়ো সপ্তাহতে A গছৰ বৃদ্ধি B গছতকৈ 1 চে.মি. বেছি।
(iv) কোন সপ্তাহত দুয়োবিধ গছৰ উচ্চতা সমান আছিল?
উত্তৰঃ ৩য় সপ্তাহত দুয়োবিধ গছৰ উচ্চতা সমান (8 চে.মি.) আছিল।
(v) এমাহৰ শেষত কোনবিধ গছৰ বৃদ্ধি ভাল?
উত্তৰঃ এমাহৰ শেষত A গছৰ বৃদ্ধি ভাল, কাৰণ A গছ 10 চে.মি. উচ্চ হ’ল যিটো B গছৰ 9 চে.মি. তকৈ বেছি।
অনুশীলনী 15.2
1. তলৰ বিন্দুবোৰৰ ভুজ আৰু কোটি নিৰ্ণয় কৰা। (i) (0, 4) (ii) (5, 9) (iii) (7, 7) (iv) (5, 0)
উত্তৰঃ (i) $(0,4)$: ভুজ 0, কোটি 4। (ii) $(5,9)$: ভুজ 5, কোটি 9। (iii) $(7,7)$: ভুজ 7, কোটি 7। (iv) $(5,0)$: ভুজ 5, কোটি 0।
2. তলৰ বিন্দুবোৰ কোন অক্ষত অৱস্থিত নিৰ্ণয় কৰা। (i) (3, 0) (ii) (0, 8) (iii) (9, 0) (iv) (0, 10)
উত্তৰঃ (i) $(3,0)$: কোটি শূন্য হোৱা বাবে X অক্ষত। (ii) $(0,8)$: ভুজ শূন্য হোৱা বাবে Y অক্ষত। (iii) $(9,0)$: X অক্ষত। (iv) $(0,10)$: Y অক্ষত। (মনত ৰাখিবা — যিকোনো বিন্দুৰ কোটি শূন্য হ’লে ই X অক্ষত আৰু ভুজ শূন্য হ’লে ই Y অক্ষত থাকে।)
3. তলৰ বিন্দুবোৰ লেখ কাগজত স্থাপন কৰি সেইবোৰ একেডাল সৰলৰেখাত আছে নে পৰীক্ষা কৰা।
উত্তৰঃ (i) A(2,2), B(3,3), C(5,5), D(6,6): সকলো বিন্দুৱে $y=x$ ৰেখা সিদ্ধ কৰে, গতিকে বিন্দুবোৰ একেডাল সৰলৰেখাত আছে। (ii) K(4,0), L(4,2), M(4,5), N(4,6): সকলোৰে ভুজ 4, গতিকে বিন্দুবোৰ $x=4$ উলম্ব সৰলৰেখাত আছে। (iii) P(1,2), Q(4,4), R(6,7): PQ ৰ ঢাল $=\frac{4-2}{4-1}=\frac{2}{3}$ আৰু QR ৰ ঢাল $=\frac{7-4}{6-4}=\frac{3}{2}$; ঢাল সমান নহয়, গতিকে বিন্দুবোৰ একেডাল সৰলৰেখাত নাই। (iv) S(2,1), T(2,5), O(5,5), P(7,7): S আৰু T ৰ ভুজ 2 ($x=2$ উলম্ব ৰেখা), কিন্তু O(5,5) আৰু P(7,7) সেই ৰেখাত নাই; গতিকে বিন্দুবোৰ একেডাল সৰলৰেখাত নাই।
4. লেখ কাগজত $(2,6)$ আৰু $(5,3)$ বিন্দু দুটা স্থাপন কৰা। বিন্দু দুটা সংযোগ কৰা ৰেখাডালে X অক্ষ আৰু Y অক্ষক ছেদ কৰা বিন্দু দুটাৰ স্থানাংক নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ বিন্দু দুটাৰ মাজেৰে যোৱা ৰেখাডালৰ ঢাল $=\frac{3-6}{5-2}=\frac{-3}{3}=-1$। সেয়ে ৰেখাডালৰ সমীকৰণ $y-6=-1(x-2)$, অৰ্থাৎ $x+y=8$। X অক্ষত $y=0$ ৰাখিলে $x=8$, গতিকে ছেদবিন্দু $(8,0)$। Y অক্ষত $x=0$ ৰাখিলে $y=8$, গতিকে ছেদবিন্দু $(0,8)$।
5. লেখ কাগজত অংকন কৰা তলৰ জ্যামিতিক আকৃতিবোৰৰ শীৰ্ষবিন্দুবোৰৰ স্থানাংক লিখা (উদাহৰণস্বৰূপে S(3,8) ইত্যাদি)।
উত্তৰঃ চাৰিটা আকৃতিৰ শীৰ্ষবিন্দুবোৰৰ স্থানাংক হ’ল — সামান্তৰিক PQRS: P(1, 6), Q(5, 6), R(7, 8), S(3, 8)। ত্ৰিভুজ LMN: L(8, 5), M(12, 5), N(10, 8)। আয়ত ABCD: A(1, 1), B(4, 1), C(4, 3), D(1, 3)। আয়ত EFGH: E(6, 1), F(9, 1), G(9, 4), H(6, 4)।
6. তলৰ উক্তিবোৰ সত্য নে অসত্য কোৱা। অসত্য হ’লে শুধৰাই লিখা।
উত্তৰঃ (i) “স্থানাংক $(5,0)$ হোৱা বিন্দুটো Y অক্ষত থাকিব” — অসত্য। শুধৰণী: কোটি শূন্য হোৱা বাবে বিন্দুটো X অক্ষত থাকিব। (ii) “এটা বিন্দুৰ X-স্থানাংক শূন্য কিন্তু Y-স্থানাংক শূন্য নহয় হ’লে বিন্দুটো Y অক্ষত থাকিব” — সত্য। (iii) “মূলবিন্দুৰ স্থানাংক $(0,0)$” — সত্য।
অনুশীলনী 15.3
1. উপযুক্ত ছেল (scale) লৈ তলৰ তালিকাৰ তথ্যৰে ৰৈখিক লেখ অংকন কৰা।
(a) কণীৰ দাম — কণীৰ সংখ্যা: 1, 3, 5, 6; কণীৰ দাম (টকা): 6, 18, 30, 36।
উত্তৰঃ X অক্ষত কণীৰ সংখ্যা আৰু Y অক্ষত দাম লৈ $(1,6), (3,18), (5,30), (6,36)$ বিন্দুবোৰ স্থাপন কৰি সংযোগ কৰিলে মূলবিন্দুৰে যোৱা এডাল সৰলৰেখা পোৱা যায়, কাৰণ প্ৰতিটা কণীৰ দাম 6 টকা ($\text{দাম}=6\times\text{কণীৰ সংখ্যা}$) — ই এক ৰৈখিক লেখ।
(b) গাড়ীয়ে অতিক্ৰম কৰা দূৰত্ব — সময় (ঘণ্টা): 1, 2, 3, 4; দূৰত্ব (কি.মি.): 50, 100, 150, 200।
উত্তৰঃ ইয়াত $\text{দূৰত্ব}=50\times\text{সময়}$, গতিকে লেখডাল মূলবিন্দুৰে যোৱা এডাল সৰলৰেখা। (i) 300 কি.মি. অতিক্ৰম কৰিবলৈ লগা সময় $=\frac{300}{50}=6$ ঘণ্টা। (ii) 5 ঘণ্টাত অতিক্ৰম কৰা দূৰত্ব $=50\times5=250$ কি.মি.।
(c) মূলধন আৰু সুদ — মূলধন (টকা): 200, 500, 1000, 1500; সৰল সুদ (টকা): 20, 50, 100, 150।
উত্তৰঃ ইয়াত সুদ $=$ মূলধনৰ 10% $\left(\frac{P}{10}\right)$, গতিকে লেখডাল মূলবিন্দুৰে যোৱা এডাল সৰলৰেখা। (i) 400 টকাৰ সুদ $=\frac{400}{10}=40$ টকা। (ii) 120 টকা সুদৰ বাবে মূলধন $=120\times10=1200$ টকা।
2. তলৰ তালিকাত 6 ৰ কেইটামান গুণিতক দিয়া আছে। এই তথ্যৰে ৰৈখিক লেখ অংকন কৰা। X: 1, 2, 3, 4, 5; Y: 6, 12, 18, 24, 30।
উত্তৰঃ X অক্ষত সংখ্যা আৰু Y অক্ষত ইয়াৰ গুণিতক লৈ $(1,6),(2,12),(3,18),(4,24),(5,30)$ বিন্দুবোৰ স্থাপন কৰিলে মূলবিন্দুৰে যোৱা এডাল সৰলৰেখা পোৱা যায়, কাৰণ $Y=6X$ — এয়া এক ৰৈখিক লেখ।
3. তলৰ তালিকাত কেইটামান সংখ্যাৰ ঘন মান দিয়া আছে। ইয়াৰ লেখ অংকন কৰা। এয়া এক ৰৈখিক লেখ হয় নে? সংখ্যা: 2, 3, 4, 5; ঘনফল: 8, 27, 64, 125।
উত্তৰঃ $(2,8),(3,27),(4,64),(5,125)$ বিন্দুবোৰ স্থাপন কৰি সংযোগ কৰিলে এডাল বক্ৰ ৰেখা পোৱা যায়, কোনো সৰলৰেখা নহয়। কাৰণ $y=x^{3}$ সম্পৰ্কটো ৰৈখিক নহয় (সংখ্যা আৰু ইয়াৰ ঘন প্ৰত্যক্ষ সমানুপাতিক নহয়)। গতিকে এয়া এক ৰৈখিক লেখ নহয়।
অতিৰিক্ত প্ৰশ্ন আৰু উত্তৰ
বহুবিকল্পযুক্ত প্ৰশ্ন (MCQ)
1. এটা বিন্দুৰ স্থানাংকৰ প্ৰথম মানটোক কি বোলে?
(ক) কোটি (খ) ভুজ (গ) মূলবিন্দু (ঘ) অক্ষ
উত্তৰঃ (খ) ভুজ
2. অবিচ্ছিন্ন শ্ৰেণী-অন্তৰালৰ তথ্য কোন লেখেৰে দেখুওৱা হয়?
(ক) চিত্ৰলেখ (খ) ৰেখা লেখ (গ) স্তম্ভলেখ (ঘ) যোৰা দণ্ড লেখ
উত্তৰঃ (গ) স্তম্ভলেখ
3. মূলবিন্দুৰ স্থানাংক কি?
(ক) $(1,1)$ (খ) $(0,1)$ (গ) $(1,0)$ (ঘ) $(0,0)$
উত্তৰঃ (ঘ) $(0,0)$
4. $(0,7)$ বিন্দুটো কোন অক্ষত থাকে?
(ক) X অক্ষ (খ) Y অক্ষ (গ) দুয়োটা (ঘ) কোনোটোৱে নহয়
উত্তৰঃ (খ) Y অক্ষ
5. কাৰ্টেছীয় স্থানাংক ব্যৱস্থা কোনে প্ৰৱৰ্তন কৰিছিল?
(ক) ইউক্লিড (খ) পিথাগোৰাছ (গ) ৰেণে দেকাৰ্তে (ঘ) নিউটন
উত্তৰঃ (গ) ৰেণে দেকাৰ্তে
6. দুটা তথ্যৰ তুলনাৰ বাবে আটাইতকৈ উপযোগী লেখ কোনটো?
(ক) চিত্ৰলেখ (খ) যোৰা দণ্ড লেখ (গ) ৰৈখিক লেখ (ঘ) স্তম্ভলেখ
উত্তৰঃ (খ) যোৰা দণ্ড লেখ
7. $(5,0)$ বিন্দুটো ক’ত থাকে?
(ক) X অক্ষত (খ) Y অক্ষত (গ) মূলবিন্দুত (ঘ) প্ৰথম চতুৰ্থাংশত
উত্তৰঃ (ক) X অক্ষত
8. অক্ষ দুডালে সমতলখনক কেইটা চতুৰ্থাংশত ভাগ কৰে?
(ক) 2 (খ) 3 (গ) 4 (ঘ) 6
উত্তৰঃ (গ) 4
9. $(4,5)$ বিন্দুৰ কোটিৰ মান কি?
(ক) 4 (খ) 5 (গ) 9 (ঘ) 1
উত্তৰঃ (খ) 5
10. ছবি বা সংকেতৰ সহায়ত তথ্য দেখুওৱা লেখক কি বোলে?
(ক) দণ্ড লেখ (খ) স্তম্ভলেখ (গ) চিত্ৰলেখ (ঘ) ৰেখা লেখ
উত্তৰঃ (গ) চিত্ৰলেখ
খালী ঠাই পূৰ কৰা
উত্তৰঃ 1. এটা বিন্দুৰ Y-স্থানাংকক কোটি বোলে।
উত্তৰঃ 2. X আৰু Y অক্ষ ছেদ কৰা বিন্দুক মূলবিন্দু বোলে।
উত্তৰঃ 3. স্তম্ভলেখত দণ্ডবোৰৰ মাজত কোনো ফাঁক নাথাকে।
উত্তৰঃ 4. এটা বিন্দুৰ ভুজ হৈছে Y অক্ষৰ পৰা তাৰ দূৰত্ব।
উত্তৰঃ 5. সম্পূৰ্ণ সৰলৰেখা হোৱা ৰেখা লেখক ৰৈখিক লেখ বোলে।
সত্য নে অসত্য
উত্তৰঃ 1. $(0,0)$ হৈছে মূলবিন্দুৰ স্থানাংক। — সত্য।
উত্তৰঃ 2. $(3,0)$ বিন্দুটো Y অক্ষত থাকে। — অসত্য (ই X অক্ষত থাকে)।
উত্তৰঃ 3. দণ্ড লেখত সকলো দণ্ডৰ প্ৰস্থ সমান হয়। — সত্য।
উত্তৰঃ 4. স্থানাংকত ভুজ আৰু কোটিৰ ক্ৰম সলনি কৰিলেও একেটা বিন্দু পোৱা যায়। — অসত্য।
উত্তৰঃ 5. ৰেখা লেখ সময়ৰ সৈতে হোৱা পৰিৱৰ্তন দেখুৱাবলৈ ব্যৱহাৰ কৰা হয়। — সত্য।
চমু উত্তৰৰ প্ৰশ্ন
1. চিত্ৰলেখ আৰু স্তম্ভলেখৰ মাজত পাৰ্থক্য কি?
উত্তৰঃ চিত্ৰলেখত ছবি বা সংকেতৰ সহায়ত তথ্য দেখুওৱা হয়, আনহাতে স্তম্ভলেখত অবিচ্ছিন্ন শ্ৰেণী-অন্তৰালৰ দণ্ডৰ সহায়ত তথ্য দেখুওৱা হয় আৰু দণ্ডবোৰৰ মাজত কোনো ফাঁক নাথাকে।
2. ভুজ আৰু কোটি বুলিলে কি বুজা?
উত্তৰঃ এটা বিন্দুৰ X-স্থানাংকক ভুজ (abscissa) আৰু Y-স্থানাংকক কোটি (ordinate) বোলে। যেনে $(4,5)$ বিন্দুৰ ভুজ 4 আৰু কোটি 5।
3. $(2,5)$ আৰু $(5,2)$ একেটা বিন্দু হয় নে? ব্যাখ্যা কৰা।
উত্তৰঃ নহয়। $(2,5)$ ত ভুজ 2 আৰু কোটি 5, কিন্তু $(5,2)$ ত ভুজ 5 আৰু কোটি 2। স্থানাংকৰ ক্ৰম বেলেগ হোৱা বাবে সিহঁত দুটা বেলেগ বেলেগ বিন্দু।
4. এডাল ৰৈখিক লেখ মূলবিন্দুৰে পাৰ হ’লে তথ্য দুটাৰ সম্পৰ্ক কেনেকুৱা হয়?
উত্তৰঃ মূলবিন্দুৰে যোৱা ৰৈখিক লেখ প্ৰত্যক্ষ ভেদ (direct variation) বুজায় — অৰ্থাৎ ৰাশি দুটা পৰস্পৰ প্ৰত্যক্ষ সমানুপাতিক ($y \propto x$)।
শব্দাৰ্থ
| অসমীয়া শব্দ | English term | অৰ্থ |
|---|---|---|
| লেখ | Graph | তথ্যৰ চিত্ৰময় উপস্থাপন |
| চিত্ৰলেখ | Pictograph | ছবি বা সংকেতৰ সহায়ত তথ্য দেখুওৱা লেখ |
| দণ্ড লেখ | Bar graph | সমান প্ৰস্থৰ আয়তাকাৰ দণ্ডৰ সহায়ত দেখুওৱা লেখ |
| স্তম্ভলেখ | Histogram | অবিচ্ছিন্ন শ্ৰেণী-অন্তৰালৰ দণ্ড লেখ |
| ৰেখা লেখ | Line graph | ৰেখাখণ্ডেৰে সংযোজিত বিন্দুৰ লেখ |
| ৰৈখিক লেখ | Linear graph | সম্পূৰ্ণ সৰলৰেখা হোৱা ৰেখা লেখ |
| অক্ষ | Axis | লেখ কাগজত লোৱা পৰস্পৰ লম্ব দুডাল ৰেখাৰ এটা |
| মূলবিন্দু | Origin | অক্ষ দুডাল ছেদ কৰা বিন্দু $(0,0)$ |
| ভুজ | Abscissa | বিন্দুৰ X-স্থানাংক |
| কোটি | Ordinate | বিন্দুৰ Y-স্থানাংক |
| স্থানাংক | Co-ordinate | বিন্দুৰ অৱস্থান (ভুজ, কোটি) |
| চতুৰ্থাংশ | Quadrant | অক্ষ দুডালে সমতলক ভগোৱা চাৰি ভাগৰ এটা |
| কাৰ্টেছীয় সমতল | Cartesian plane | X আৰু Y অক্ষযুক্ত সমতল |