বীজগণিতীয় ৰাশিৰ উৎপাদক বিশ্লেষণ — প্ৰশ্ন উত্তৰ
HSLC Guru-ত আপোনাক স্বাগতম। এই পাঠত ASSEB Class 8 সাধাৰণ গণিতৰ চতুৰ্দশ অধ্যায় বীজগণিতীয় ৰাশিৰ উৎপাদক বিশ্লেষণৰ প্ৰতিটো উদাহৰণ, নিজে চেষ্টা কৰা অংশ, আৰু অনুশীলনী ১৪.১ আৰু ১৪.২ ৰ সম্পূৰ্ণ সমাধান ধাপে ধাপে দিয়া হৈছে।
সাৰাংশ
সংখ্যা এটাক যেনেকৈ মৌলিক উৎপাদকৰ গুণফল ৰূপত লিখিব পাৰি (যেনে $105 = 3 \times 5 \times 7$), তেনেকৈ বীজগণিতীয় ৰাশি এটাকো দুটা বা অধিক অখণ্ডনীয় উৎপাদকৰ গুণফল ৰূপত প্ৰকাশ কৰিব পাৰি। ৰাশি এটাক এইদৰে উৎপাদকৰ গুণফল ৰূপত প্ৰকাশ কৰাৰ প্ৰক্ৰিয়াটোকে উৎপাদক বিশ্লেষণ (Factorisation) বোলে। যি উৎপাদকক আৰু সৰু উৎপাদকৰ গুণফল ৰূপত লিখিব নোৱাৰি, তাক অখণ্ডনীয় উৎপাদক বোলে।
এই অধ্যায়ত উৎপাদক বিশ্লেষণৰ কেইবাটাও পদ্ধতি আলোচনা কৰা হৈছে: (১) সাধাৰণ উৎপাদক পৃথক কৰি বণ্টন সূত্ৰ $a(b+c)=ab+ac$ ৰ প্ৰয়োগ, (২) পদবোৰক উপযুক্ত গোটত ভাগ কৰি, (৩) অভেদ $(a+b)^2$, $(a-b)^2$, $(a+b)(a-b)$ প্ৰয়োগ কৰি, (৪) $x^2+px+q$ আকৃতিৰ ৰাশিৰ বাবে যোগফল $p$ আৰু গুণফল $q$ হোৱা দুটা সংখ্যা বিচাৰি, আৰু (৫) $mx^2+px+q$ আকৃতিৰ ৰাশিৰ বাবে গুণফল $mq$ আৰু যোগফল $p$ হোৱা দুটা সংখ্যা বিচাৰি।
দুই বা অধিক পদৰ গৰিষ্ঠ সাধাৰণ উৎপাদক (গ.সা.উ.) হ’ল সিহঁতৰ সাধাৰণ উৎপাদকসমূহৰ ভিতৰত বৃহত্তমটো; একে চলকৰ ঘাতসমূহৰ গ.সা.উ. হ’ল আটাইতকৈ কম ঘাতৰটো। শেষত বীজগণিতীয় ৰাশিৰ হৰণও শিকা হয় — একাংগী ৰাশিক একাংগী ৰাশিৰে, বহুপদ ৰাশিক একাংগী ৰাশিৰে আৰু বহুপদ ৰাশিক বহুপদ ৰাশিৰে হৰণ কৰাৰ কৌশল দেখুওৱা হৈছে।
Summary: This ASSEB Class 8 General Mathematics Chapter 14 (Factorisation of Algebraic Expressions) explains how to write an algebraic expression as a product of irreducible factors using common factors, grouping of terms, algebraic identities, and the factorisation of expressions of the form x²+px+q and mx²+px+q. It also covers the highest common factor (HCF) and the division of algebraic expressions, with fully worked answers to Exercise 14.1 and Exercise 14.2.
মূল অভেদ আৰু সূত্ৰসমূহ
উৎপাদক বিশ্লেষণত ব্যৱহৃত মূল সম্বন্ধবোৰ হ’ল—
$$a(b+c) = ab + ac$$
$$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$
$$(a-b)^2 = a^2 – 2ab + b^2$$
$$(a+b)(a-b) = a^2 – b^2$$
$$(x+a)(x+b) = x^2 + (a+b)x + ab$$
তলৰ ক্ষেত্ৰফল আৰ্হিয়ে বণ্টন সূত্ৰটো দেখুৱায় — $3$ ওখ আৰু $(x+2)$ বহল আয়তটোৰ মুঠ ক্ষেত্ৰফল $3x+6$, যাক $3(x+2)$ ৰূপত লিখিব পাৰি।
একেদৰে $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$ অভেদটো তলৰ চিত্ৰৰ দ্বাৰা বুজিব পাৰি — $a$ বাহুৰ বৰ বৰ্গৰ পৰা $b$ বাহুৰ সৰু বৰ্গটো কাটি পেলালে বাকী থকা ক্ষেত্ৰফলটো $(a+b)(a-b)$ ৰ সমান।
পাঠ্যপুথিৰ প্ৰশ্ন আৰু উত্তৰ
নিজে চেষ্টা কৰা — গৰিষ্ঠ সাধাৰণ উৎপাদক (গ.সা.উ.)
তলৰ ৰাশিবোৰৰ গৰিষ্ঠ সাধাৰণ উৎপাদক (গ.সা.উ.) উলিওৱা: (i) $a^2$ আৰু $a^3$ (ii) $p^2q$ আৰু $pq^2$ (iii) $3a^3b^2$ আৰু $6a^2b^3$ (iv) $24l^2mn$ আৰু $36l^2m^3p$ (v) $18x^2yz^2$, $24x^3y^3z$ আৰু $20x^2y$ (vi) $a$ আৰু $b$
উত্তৰঃ একে চলকৰ ঘাতসমূহৰ গ.সা.উ. হ’ল আটাইতকৈ কম ঘাতৰটো।
(i) $\gcd(a^2, a^3) = a^2$।
(ii) $\gcd(p^2q, pq^2) = pq$।
(iii) সংখ্যাৰ গ.সা.উ. $3$; সেয়েহে $\gcd(3a^3b^2, 6a^2b^3) = 3a^2b^2$।
(iv) $24$ আৰু $36$ ৰ গ.সা.উ. $12$; $n$ আৰু $p$ সাধাৰণ নহয়, সেয়েহে $\gcd(24l^2mn, 36l^2m^3p) = 12l^2m$।
(v) $18, 24, 20$ ৰ গ.সা.উ. $2$; $z$ তৃতীয় পদত নাই, সেয়েহে $\gcd(18x^2yz^2, 24x^3y^3z, 20x^2y) = 2x^2y$।
(vi) $a$ আৰু $b$ ৰ $1$ৰ বাহিৰে কোনো সাধাৰণ উৎপাদক নাই, সেয়েহে গ.সা.উ. $= 1$।
নিজে চেষ্টা কৰা — সাধাৰণ উৎপাদকৰ পদ্ধতি (১৪.৩.১)
উৎপাদক বিশ্লেষণ কৰা: (i) $2xy + 2y$ (ii) $10x^2y^3 – 15xy^3$
উত্তৰঃ (i) সাধাৰণ উৎপাদক $2y$; $2xy + 2y = 2y(x+1)$।
(ii) সাধাৰণ উৎপাদক $5xy^3$; $10x^2y^3 – 15xy^3 = 5xy^3(2x – 3)$।
নিজে চেষ্টা কৰা — গোটত ভাগ কৰি উৎপাদক বিশ্লেষণ (১৪.৩.২)
তলৰ ৰাশিবোৰৰ উৎপাদক বিশ্লেষণ কৰা: (i) $x^2 + xy + 4x + 4y$ (ii) $5xy + 5y + 2x + 2$ (iii) $px + qx – py – qy$ (iv) $x – 3 + 3yz – xyz$
উত্তৰঃ (i) $x^2 + xy + 4x + 4y = x(x+y) + 4(x+y) = (x+y)(x+4)$।
(ii) $5xy + 5y + 2x + 2 = 5y(x+1) + 2(x+1) = (x+1)(5y+2)$।
(iii) $px + qx – py – qy = x(p+q) – y(p+q) = (p+q)(x-y)$।
(iv) $x – 3 + 3yz – xyz = (x-3) – yz(x-3) = (x-3)(1-yz)$।
নিজে চেষ্টা কৰা — অভেদ প্ৰয়োগ কৰি উৎপাদক বিশ্লেষণ (১৪.৩.৩)
তলৰ ৰাশিবোৰৰ উৎপাদক বিশ্লেষণ কৰা: (i) $a^2 + 12a + 36$ (ii) $p^4 + 8p^2 + 16$ (iii) $m^2 + 144 – 24m$ (iv) $16x^2 + 49 – 56x$ (v) $x^2 – 25$ (vi) $x^8 – m^8$
উত্তৰঃ (i) $a^2 + 12a + 36 = a^2 + 2\cdot a\cdot 6 + 6^2 = (a+6)^2$।
(ii) $p^4 + 8p^2 + 16 = (p^2)^2 + 2\cdot p^2\cdot 4 + 4^2 = (p^2+4)^2$।
(iii) $m^2 + 144 – 24m = m^2 – 24m + 144 = (m-12)^2$।
(iv) $16x^2 + 49 – 56x = (4x)^2 – 2\cdot 4x\cdot 7 + 7^2 = (4x-7)^2$।
(v) $x^2 – 25 = x^2 – 5^2 = (x+5)(x-5)$।
(vi) $x^8 – m^8 = (x^4+m^4)(x^4-m^4) = (x^4+m^4)(x^2+m^2)(x+m)(x-m)$।
নিজে চেষ্টা কৰা — $x^2 + px + q$ আকৃতিৰ ৰাশি (১৪.৩.৪)
তলৰ ৰাশিবোৰৰ উৎপাদক বিশ্লেষণ কৰা: (i) $x^2 + 7x + 10$ (ii) $x^2 – 7x + 10$ (iii) $x^2 – 7x – 10$ (iv) $x^2 + 11x + 24$ (v) $x^2 – 15x + 36$ (vi) $x^2 – 20x – 64$
উত্তৰঃ (i) যোগফল $7$, গুণফল $10$ হোৱা সংখ্যা $5, 2$; $x^2 + 7x + 10 = (x+5)(x+2)$।
(ii) যোগফল $-7$, গুণফল $10$ হোৱা সংখ্যা $-5, -2$; $x^2 – 7x + 10 = (x-5)(x-2)$।
(iii) $x^2 – 7x – 10$: গুণফল $-10$ আৰু যোগফল $-7$ হোৱা কোনো অখণ্ড সংখ্যাৰ যোৰা নাই ($-10$ ৰ উৎপাদক যোৰাবোৰ $\pm1, \pm2, \pm5, \pm10$ ৰ কাৰো যোগফল $-7$ নহয়)। গতিকে এই ৰাশিটোক অখণ্ড সহগেৰে উৎপাদকলৈ বিশ্লেষণ কৰিব নোৱাৰি।
(iv) যোগফল $11$, গুণফল $24$ হোৱা সংখ্যা $3, 8$; $x^2 + 11x + 24 = (x+3)(x+8)$।
(v) যোগফল $-15$, গুণফল $36$ হোৱা সংখ্যা $-3, -12$; $x^2 – 15x + 36 = (x-3)(x-12)$।
(vi) $x^2 – 20x – 64$: গুণফল $-64$ আৰু যোগফল $-20$ হোৱা কোনো অখণ্ড সংখ্যাৰ যোৰা নাই, গতিকে এই ৰাশিটোক অখণ্ড সহগেৰে উৎপাদকলৈ বিশ্লেষণ কৰিব নোৱাৰি।
নিজে চেষ্টা কৰা — $mx^2 + px + q$ আকৃতিৰ ৰাশি (১৪.৩.৫)
তলৰ ৰাশিবোৰৰ উৎপাদক বিশ্লেষণ কৰা: (i) $6x^2 + 5x + 1$ (ii) $2x^2 + 6x + 4$ (iii) $3a^2 + 2a – 8$ (iv) $4b^2 – 2b – 6$
উত্তৰঃ (i) $mq = 6\times1 = 6$, যোগফল $5$ → $3, 2$; $6x^2 + 5x + 1 = 6x^2 + 3x + 2x + 1 = 3x(2x+1) + (2x+1) = (2x+1)(3x+1)$।
(ii) $2x^2 + 6x + 4 = 2(x^2 + 3x + 2) = 2(x+1)(x+2)$।
(iii) $mq = 3\times(-8) = -24$, যোগফল $2$ → $6, -4$; $3a^2 + 2a – 8 = 3a^2 + 6a – 4a – 8 = 3a(a+2) – 4(a+2) = (a+2)(3a-4)$।
(iv) $4b^2 – 2b – 6 = 2(2b^2 – b – 3) = 2(2b^2 – 3b + 2b – 3) = 2[b(2b-3) + (2b-3)] = 2(2b-3)(b+1)$।
নিজে চেষ্টা কৰা — একাংগী ৰাশিৰ হৰণ (১৪.৪.১)
হৰণ কৰা: (i) $48y^3 \div 12y$ (ii) $-35a^3 \div 5a$ (iii) $19x^2y^3 \div 7xz$ (iv) $28p^4 \div 56p$ (v) $12a^8b^8 \div (-6a^6b^4)$
উত্তৰঃ (i) $48y^3 \div 12y = 4y^2$।
(ii) $-35a^3 \div 5a = -7a^2$।
(iii) $19x^2y^3 \div 7xz = \dfrac{19xy^3}{7z}$।
(iv) $28p^4 \div 56p = \dfrac{p^3}{2}$।
(v) $12a^8b^8 \div (-6a^6b^4) = -2a^2b^4$।
ভুল-শুদ্ধ বিচাৰ কৰা (১৪.৪.৩)
শিক্ষকে দিয়া $(x+7) \div 7$ হৰণটো তিনিজন ছাত্ৰই তলৰ দৰে কৰিছে — পৰিজাত: $\frac{x+7}{7} = x+1$; তমাল: $\frac{x+7}{7} = x$; মালতী: $\frac{x+7}{7} = \frac{x}{7} + 1$। কোনে শুদ্ধকৈ কৰিছে, কোনে অশুদ্ধকৈ কৰিছে?
উত্তৰঃ হৰণ কৰোঁতে লবৰ (numerator) প্ৰতিটো পদক পৃথকে হৰকেৰে ভাগ কৰিব লাগে—
$$\frac{x+7}{7} = \frac{x}{7} + \frac{7}{7} = \frac{x}{7} + 1$$
গতিকে মালতীয়ে শুদ্ধকৈ কৰিছে। পৰিজাতে $x$ক হৰণ নকৰাকৈ $x+1$ লিখিছে (অশুদ্ধ), আৰু তমালে $7$ বাতিল কৰি কেৱল $x$ পাইছে (অশুদ্ধ)।
অনুশীলনী ১৪.১
১। তলৰ ৰাশিবোৰৰ উৎপাদক বিশ্লেষণ কৰা: (i) $3x^2y + 5xy$ (ii) $10x^2y – 5xy^2$ (iii) $7a^2bc – 21ab^2c + 14abc$
উত্তৰঃ (i) সাধাৰণ উৎপাদক $xy$; $3x^2y + 5xy = xy(3x + 5)$।
(ii) সাধাৰণ উৎপাদক $5xy$; $10x^2y – 5xy^2 = 5xy(2x – y)$।
(iii) সাধাৰণ উৎপাদক $7abc$; $7a^2bc – 21ab^2c + 14abc = 7abc(a – 3b + 2)$।
২। উৎপাদক বিশ্লেষণ কৰা: (i) $a^2 + ab + 6a + 6b$ (ii) $a^2 + bc + ab + ac$ (iii) $1 + x + x^2 + x^3$ (iv) $ab + a + b + 1$ (v) $4ax + 3ay – 4bx – 3by$
উত্তৰঃ (i) $a^2 + ab + 6a + 6b = a(a+b) + 6(a+b) = (a+b)(a+6)$।
(ii) $a^2 + bc + ab + ac = a^2 + ab + ac + bc = a(a+b) + c(a+b) = (a+b)(a+c)$।
(iii) $1 + x + x^2 + x^3 = (1+x) + x^2(1+x) = (1+x)(1+x^2)$।
(iv) $ab + a + b + 1 = a(b+1) + (b+1) = (b+1)(a+1)$।
(v) $4ax + 3ay – 4bx – 3by = a(4x+3y) – b(4x+3y) = (4x+3y)(a-b)$।
৩। উৎপাদক বিশ্লেষণ কৰা: (i) $x^2 – 36$ (ii) $9x^2 + 30x + 25$ (iii) $16a^2 – 88a + 121$ (iv) $11x^2 – 44$ (v) $x^4 – 81$ (vi) $4 – x^2 – y^2 + 2xy$ (vii) $x^8 – y^8$ (viii) $a^3 – ab^2 – a^2b + b^3$
উত্তৰঃ (i) $x^2 – 36 = (x+6)(x-6)$।
(ii) $9x^2 + 30x + 25 = (3x)^2 + 2\cdot 3x\cdot 5 + 5^2 = (3x+5)^2$।
(iii) $16a^2 – 88a + 121 = (4a)^2 – 2\cdot 4a\cdot 11 + 11^2 = (4a-11)^2$।
(iv) $11x^2 – 44 = 11(x^2 – 4) = 11(x+2)(x-2)$।
(v) $x^4 – 81 = (x^2)^2 – 9^2 = (x^2+9)(x^2-9) = (x^2+9)(x+3)(x-3)$।
(vi) $4 – x^2 – y^2 + 2xy = 4 – (x^2 – 2xy + y^2) = 2^2 – (x-y)^2 = (2 + x – y)(2 – x + y)$।
(vii) $x^8 – y^8 = (x^4+y^4)(x^4-y^4) = (x^4+y^4)(x^2+y^2)(x+y)(x-y)$।
(viii) $a^3 – ab^2 – a^2b + b^3 = a^2(a-b) – b^2(a-b) = (a-b)(a^2-b^2) = (a-b)^2(a+b)$।
৪। উৎপাদক বিশ্লেষণ কৰা: (i) $16 + 8x + x^2$ (ii) $15 – 2x – x^2$ (iii) $x^2 + 8x – 20$ (iv) $x^2 + 2x – 3$ (v) $a^2 – 4a – 12$ (vi) $x^2 – 21x + 104$ (vii) $2x^2 + 18x + 40$ (viii) $l^2 – 13l + 42$ (ix) $-a^2 – a + 20$
উত্তৰঃ (i) $16 + 8x + x^2 = x^2 + 8x + 16 = (x+4)^2$।
(ii) $15 – 2x – x^2 = -(x^2 + 2x – 15) = -(x+5)(x-3) = (5+x)(3-x)$।
(iii) $x^2 + 8x – 20 = (x+10)(x-2)$ [গুণফল $-20$, যোগফল $8$]।
(iv) $x^2 + 2x – 3 = (x+3)(x-1)$।
(v) $a^2 – 4a – 12 = (a-6)(a+2)$।
(vi) $x^2 – 21x + 104 = (x-8)(x-13)$ [গুণফল $104$, যোগফল $-21$]।
(vii) $2x^2 + 18x + 40 = 2(x^2 + 9x + 20) = 2(x+4)(x+5)$।
(viii) $l^2 – 13l + 42 = (l-6)(l-7)$।
(ix) $-a^2 – a + 20 = -(a^2 + a – 20) = -(a+5)(a-4) = (5+a)(4-a)$।
৫। তলৰ ৰাশিবোৰৰ উৎপাদক বিশ্লেষণ কৰা: (i) $3x^2 + 8x + 4$ (ii) $2m^2 + 7m + 3$ (iii) $2p^2 + p – 28$ (iv) $9a^2 + 21a – 8$ (v) $4y^2 + 25y – 21$ (vi) $3m^6 – 6m^4n – 45m^2n^2$ (vii) $1 – x – 6x^2$ (viii) $6a^2 + 7ab – 3b^2$
উত্তৰঃ (i) $mq = 12$, যোগফল $8$ → $6, 2$; $3x^2 + 8x + 4 = 3x^2 + 6x + 2x + 4 = 3x(x+2) + 2(x+2) = (x+2)(3x+2)$।
(ii) $mq = 6$, যোগফল $7$ → $6, 1$; $2m^2 + 7m + 3 = (m+3)(2m+1)$।
(iii) $mq = -56$, যোগফল $1$ → $8, -7$; $2p^2 + p – 28 = 2p^2 + 8p – 7p – 28 = 2p(p+4) – 7(p+4) = (p+4)(2p-7)$।
(iv) $mq = -72$, যোগফল $21$ → $24, -3$; $9a^2 + 21a – 8 = 9a^2 + 24a – 3a – 8 = 3a(3a+8) – (3a+8) = (3a+8)(3a-1)$।
(v) $mq = -84$, যোগফল $25$ → $28, -3$; $4y^2 + 25y – 21 = 4y^2 + 28y – 3y – 21 = 4y(y+7) – 3(y+7) = (y+7)(4y-3)$।
(vi) $3m^6 – 6m^4n – 45m^2n^2 = 3m^2(m^4 – 2m^2n – 15n^2) = 3m^2(m^2 – 5n)(m^2 + 3n)$।
(vii) $1 – x – 6x^2 = -(6x^2 + x – 1) = -(2x+1)(3x-1) = (2x+1)(1-3x)$।
(viii) $mq = -18$, যোগফল $7$ → $9, -2$; $6a^2 + 7ab – 3b^2 = 6a^2 + 9ab – 2ab – 3b^2 = 3a(2a+3b) – b(2a+3b) = (2a+3b)(3a-b)$।
৬। খালী ঠাই পূৰোৱা (নিৰীক্ষণ কৰি): (i) $9x^2 + 15x + 4 = (3x + \underline{\ \ })(\underline{\ \ } + 1)$ (ii) $12y^2 – 17y + 6 = (\underline{\ \ } – 2)(4y – \underline{\ \ })$ (iii) $6m^2 – m – 15 = (3m\ \underline{\ \ })(2m\ \underline{\ \ })$
উত্তৰঃ (i) $9x^2 + 15x + 4 = (3x + 4)(3x + 1)$।
(ii) $12y^2 – 17y + 6 = (3y – 2)(4y – 3)$।
(iii) $6m^2 – m – 15 = (3m – 5)(2m + 3)$।
অনুশীলনী ১৪.২
১। তলৰ ৰাশিবোৰ হৰণ কৰা: (i) $x^5 \div x^2$ (ii) $6p^3 \div 3p$ (iii) $36m^3n^2 \div (-4mn^3)$ (iv) $96p^2q^2r^4 \div 72pqr$ (v) $-12a^8b^7 \div 17a^4b^9$
উত্তৰঃ (i) $x^5 \div x^2 = x^3$।
(ii) $6p^3 \div 3p = 2p^2$।
(iii) $36m^3n^2 \div (-4mn^3) = -\dfrac{9m^2}{n}$।
(iv) $96p^2q^2r^4 \div 72pqr = \dfrac{4}{3}pqr^3$।
(v) $-12a^8b^7 \div 17a^4b^9 = -\dfrac{12a^4}{17b^2}$।
২। তলৰ বহুপদ ৰাশিবোৰক একাংগী ৰাশিৰে হৰণ কৰা: (i) $(5y^3 – 3y^2) \div y^2$ (ii) $(5a^8 – 4a^6 + 3a^4) \div 2a^4$ (iii) $(5p^2q^3r^4 – 10p^2q^2r^2 + 15p^3q^3r^4) \div 5p^2q^2r^2$ (iv) $(ax^3 + bx^2 – cx) \div ax$ (v) $(m^3n^6 – m^6n^3) \div m^3n^3$
উত্তৰঃ (i) $(5y^3 – 3y^2) \div y^2 = 5y – 3$।
(ii) $(5a^8 – 4a^6 + 3a^4) \div 2a^4 = \dfrac{5a^4}{2} – 2a^2 + \dfrac{3}{2}$।
(iii) $(5p^2q^3r^4 – 10p^2q^2r^2 + 15p^3q^3r^4) \div 5p^2q^2r^2 = qr^2 – 2 + 3pqr^2$।
(iv) $(ax^3 + bx^2 – cx) \div ax = x^2 + \dfrac{b}{a}x – \dfrac{c}{a}$।
(v) $(m^3n^6 – m^6n^3) \div m^3n^3 = n^3 – m^3$।
৩। তলৰ ৰাশিবোৰ হৰণ কৰা: (i) $(9x – 21) \div (3x – 7)$ (ii) $10m(8m + 12) \div (4m + 6)$ (iii) $7p^2q^2(22p – 6) \div pq(121p – 33)$ (iv) $1729xyz(3x + 12)(4y – 24) \div 19(x + 4)(y – 6)$
উত্তৰঃ (i) $(9x – 21) \div (3x – 7) = \dfrac{3(3x – 7)}{3x – 7} = 3$।
(ii) $8m + 12 = 2(4m + 6)$, সেয়েহে $10m(8m + 12) \div (4m + 6) = \dfrac{10m\cdot 2(4m + 6)}{4m + 6} = 20m$।
(iii) $22p – 6 = 2(11p – 3)$ আৰু $121p – 33 = 11(11p – 3)$; সেয়েহে $7p^2q^2(22p – 6) \div pq(121p – 33) = \dfrac{14p^2q^2(11p – 3)}{11pq(11p – 3)} = \dfrac{14pq}{11}$।
(iv) $3x + 12 = 3(x + 4)$ আৰু $4y – 24 = 4(y – 6)$; সেয়েহে ভাগফল $= \dfrac{1729\cdot 12\cdot xyz}{19} = 91\cdot 12\cdot xyz = 1092xyz$।
৪। হৰণ কৰা: (i) $(x^2 – 25) \div (x + 5)$ (ii) $(4a^2 + 8a + 4) \div (a + 1)^2$ (iii) $(9p^2 – 18p + 9) \div (p – 1)$ (iv) $26pqr(p + q)(q + r)(r + p) \div 52pq(q + r)(r + p)$ (v) $(x^4 – 81) \div (3 – x)$ (vi) $(x^2 + 10x + 21) \div (x + 3)$ (vii) $(m^2 + 6m – 27) \div (m – 3)$ (viii) $(4y^2 + 25y – 21) \div (y + 7)$ (ix) $(4u^2 + 25u + 21) \div (u + 1)$ (x) $52y^3(50y^2 – 98) \div 26y^2(5y + 7)$
উত্তৰঃ (i) $(x^2 – 25) \div (x + 5) = \dfrac{(x + 5)(x – 5)}{x + 5} = x – 5$।
(ii) $(4a^2 + 8a + 4) \div (a + 1)^2 = \dfrac{4(a + 1)^2}{(a + 1)^2} = 4$।
(iii) $(9p^2 – 18p + 9) \div (p – 1) = \dfrac{9(p – 1)^2}{p – 1} = 9(p – 1)$।
(iv) $26pqr(p + q)(q + r)(r + p) \div 52pq(q + r)(r + p) = \dfrac{r(p + q)}{2}$।
(v) $x^4 – 81 = (x^2 + 9)(x + 3)(x – 3)$ আৰু $3 – x = -(x – 3)$; সেয়েহে $(x^4 – 81) \div (3 – x) = -(x^2 + 9)(x + 3)$।
(vi) $(x^2 + 10x + 21) \div (x + 3) = \dfrac{(x + 3)(x + 7)}{x + 3} = x + 7$।
(vii) $(m^2 + 6m – 27) \div (m – 3) = \dfrac{(m – 3)(m + 9)}{m – 3} = m + 9$।
(viii) $4y^2 + 25y – 21 = (y + 7)(4y – 3)$; সেয়েহে $(4y^2 + 25y – 21) \div (y + 7) = 4y – 3$।
(ix) $4u^2 + 25u + 21 = (u + 1)(4u + 21)$; সেয়েহে $(4u^2 + 25u + 21) \div (u + 1) = 4u + 21$।
(x) $50y^2 – 98 = 2(5y + 7)(5y – 7)$; সেয়েহে $52y^3(50y^2 – 98) \div 26y^2(5y + 7) = \dfrac{104y^3(5y + 7)(5y – 7)}{26y^2(5y + 7)} = 4y(5y – 7)$।
৫। তলৰ ৰাশিবোৰৰ ভাগফলৰ শুদ্ধতা নিৰীক্ষণ কৰি অশুদ্ধ হ’লে শুদ্ধকৈ প্ৰকাশ কৰা: (i) $\frac{9x^2}{9x^2} = 0$ (ii) $\frac{4x^2}{4x^2 + 1} = 1 + 1 = 2$ (iii) $\frac{3x}{3x + 2} = \frac{1}{2}$ (iv) $\frac{7x + 5}{5} = 7x$ (v) $\frac{4x^2 + 4x + 4}{4} = x^2 + 4x + 4$
উত্তৰঃ (i) অশুদ্ধ। একে ৰাশিক নিজৰ দ্বাৰা হৰণ কৰিলে $1$ হয়; শুদ্ধ: $\dfrac{9x^2}{9x^2} = 1$।
(ii) অশুদ্ধ। হৰৰ $(4x^2 + 1)$ ৰ পৰা $4x^2$ বাতিল কৰিব নোৱাৰি; ৰাশিটো ইতিমধ্যে সৰলতম, শুদ্ধ: $\dfrac{4x^2}{4x^2 + 1}$।
(iii) অশুদ্ধ। $3x$ লব আৰু হৰৰ সাধাৰণ উৎপাদক নহয় ($3x + 2$ ত $+2$ আছে), গতিকে বাতিল কৰিব নোৱাৰি; শুদ্ধ: $\dfrac{3x}{3x + 2}$ (আৰু সৰল কৰিব নোৱাৰি)।
(iv) অশুদ্ধ। প্ৰতিটো পদক পৃথকে $5$ ৰে হৰণ কৰিব লাগে; শুদ্ধ: $\dfrac{7x + 5}{5} = \dfrac{7x}{5} + 1$।
(v) অশুদ্ধ। প্ৰতিটো পদক $4$ ৰে হৰণ কৰিব লাগে; শুদ্ধ: $\dfrac{4x^2 + 4x + 4}{4} = x^2 + x + 1$।
অতিৰিক্ত প্ৰশ্ন আৰু উত্তৰ
বহুবিকল্পীয় প্ৰশ্ন (MCQ)
১। $6x^2 + 9x$ ৰ উৎপাদক বিশ্লেষণ হ’ল— (ক) $3x(2x + 3)$ (খ) $3(2x^2 + 3x)$ (গ) $x(6x + 9)$ (ঘ) $6x(x + 9)$
উত্তৰঃ (ক) $3x(2x + 3)$।
২। $12ab^2$ আৰু $18a^2b$ ৰ গ.সা.উ. হ’ল— (ক) $6ab$ (খ) $6a^2b^2$ (গ) $ab$ (ঘ) $36a^2b^2$
উত্তৰঃ (ক) $6ab$।
৩। $x^2 – 49$ ৰ উৎপাদক— (ক) $(x – 7)^2$ (খ) $(x + 7)(x – 7)$ (গ) $(x + 7)^2$ (ঘ) $(x – 49)(x + 1)$
উত্তৰঃ (খ) $(x + 7)(x – 7)$।
৪। $x^2 + 5x + 6$ ৰ উৎপাদক— (ক) $(x + 1)(x + 6)$ (খ) $(x + 2)(x + 3)$ (গ) $(x – 2)(x – 3)$ (ঘ) $(x + 6)(x – 1)$
উত্তৰঃ (খ) $(x + 2)(x + 3)$।
৫। $a^2 + 2ab + b^2$ কোন অভেদৰ সৈতে মিলে? (ক) $(a – b)^2$ (খ) $(a + b)(a – b)$ (গ) $(a + b)^2$ (ঘ) $a^2 – b^2$
উত্তৰঃ (গ) $(a + b)^2$।
৬। $15x^2y \div 5xy$ ৰ ভাগফল— (ক) $3x$ (খ) $3xy$ (গ) $3x^2$ (ঘ) $10x$
উত্তৰঃ (ক) $3x$।
৭। $2x^2 + 7x + 3$ ৰ এটা উৎপাদক— (ক) $(x + 3)$ (খ) $(2x + 1)$ (গ) $(x – 3)$ (ঘ) $(2x – 3)$
উত্তৰঃ $2x^2 + 7x + 3 = (2x + 1)(x + 3)$, গতিকে (ক) আৰু (খ) দুয়োটা উৎপাদক; বিকল্পসমূহৰ ভিতৰত (খ) $(2x + 1)$।
৮। এটা অখণ্ডনীয় উৎপাদক হ’ল সেইটো যাক— (ক) $1$ ৰে হৰণ কৰিব পাৰি (খ) আৰু সৰু উৎপাদকৰ গুণফলৰূপে লিখিব নোৱাৰি (গ) সদায় এটা সংখ্যা (ঘ) সদায় এটা চলক
উত্তৰঃ (খ) আৰু সৰু উৎপাদকৰ গুণফলৰূপে লিখিব নোৱাৰি।
৯। $x^3 + x^2$ ৰ উৎপাদক বিশ্লেষণ— (ক) $x(x^2 + 1)$ (খ) $x^2(x + 1)$ (গ) $x^3(1 + x)$ (ঘ) $(x + 1)(x – 1)$
উত্তৰঃ (খ) $x^2(x + 1)$।
১০। $mx^2 + px + q$ উৎপাদক কৰিবলৈ যি দুটা সংখ্যা বিচাৰিব লাগে তাৰ গুণফল— (ক) $p$ (খ) $q$ (গ) $mq$ (ঘ) $mp$
উত্তৰঃ (গ) $mq$।
খালী ঠাই পূৰোৱা
১। বণ্টন সূত্ৰটো হ’ল $a(b + c) = $ ______।
উত্তৰঃ $ab + ac$।
২। $4x + 8$ ৰ সাধাৰণ উৎপাদক ______।
উত্তৰঃ $4$ (অৰ্থাৎ $4x + 8 = 4(x + 2)$)।
৩। $a^2 – b^2 = $ ______।
উত্তৰঃ $(a + b)(a – b)$।
৪। $x^4$ আৰু $x^7$ ৰ গ.সা.উ. ______।
উত্তৰঃ $x^4$।
৫। হৰণ হ’ল গুণনৰ ______ ক্ৰিয়া।
উত্তৰঃ বিপৰীত।
শুদ্ধ নে অশুদ্ধ লিখা
১। $(x + 3)(x – 3) = x^2 – 9$।
উত্তৰঃ শুদ্ধ।
২। $9x^2 \div 9x^2 = 0$।
উত্তৰঃ অশুদ্ধ ($= 1$)।
৩। $x^2 + 4$ ক অখণ্ড সহগেৰে উৎপাদকলৈ বিশ্লেষণ কৰিব পাৰি।
উত্তৰঃ অশুদ্ধ ($x^2 + 4$ দুটা বৰ্গৰ যোগফল, ইয়াক অখণ্ড সহগেৰে বিশ্লেষণ কৰিব নোৱাৰি)।
৪। $2xy + 2y = 2y(x + 1)$।
উত্তৰঃ শুদ্ধ।
৫। $1$ ক প্ৰতিটো ৰাশিৰ উৎপাদক হিচাপে ধৰা হয়।
উত্তৰঃ শুদ্ধ।
চমু উত্তৰৰ প্ৰশ্ন
১। $18ab^2$ ৰ অখণ্ডনীয় উৎপাদকসমূহ লিখা।
উত্তৰঃ $18ab^2 = 2 \times 3 \times 3 \times a \times b \times b$; অখণ্ডনীয় উৎপাদকসমূহ $2, 3, 3, a, b, b$।
২। $49x^2 – 64y^2$ ৰ উৎপাদক বিশ্লেষণ কৰা।
উত্তৰঃ $49x^2 – 64y^2 = (7x)^2 – (8y)^2 = (7x + 8y)(7x – 8y)$।
৩। $x^2 – 9x + 20$ ৰ উৎপাদক বিশ্লেষণ কৰা।
উত্তৰঃ যোগফল $-9$, গুণফল $20$ হোৱা সংখ্যা $-4, -5$; $x^2 – 9x + 20 = (x – 4)(x – 5)$।
৪। $(6x^2 + 7x + 2) \div (2x + 1)$ ৰ ভাগফল উলিওৱা।
উত্তৰঃ $6x^2 + 7x + 2 = (2x + 1)(3x + 2)$; সেয়েহে $(6x^2 + 7x + 2) \div (2x + 1) = 3x + 2$।
শব্দাৰ্থ
| অসমীয়া শব্দ | English term | অৰ্থ |
|---|---|---|
| উৎপাদক | Factor | কোনো ৰাশিক গুণফল ৰূপত প্ৰকাশ কৰোঁতে পোৱা প্ৰতিটো অংশ |
| উৎপাদক বিশ্লেষণ | Factorisation | ৰাশি এটাক অখণ্ডনীয় উৎপাদকৰ গুণফল ৰূপত প্ৰকাশ কৰা |
| অখণ্ডনীয় উৎপাদক | Irreducible factor | আৰু সৰু উৎপাদকৰ গুণফল ৰূপত লিখিব নোৱৰা উৎপাদক |
| গৰিষ্ঠ সাধাৰণ উৎপাদক | Highest Common Factor (HCF) | দুই বা অধিক পদৰ সাধাৰণ উৎপাদকসমূহৰ ভিতৰত বৃহত্তমটো |
| বণ্টন সূত্ৰ | Distributive law | $a(b + c) = ab + ac$ নিয়ম |
| অভেদ | Identity | চলকৰ সকলো মানৰ বাবে সত্য হোৱা সমতা |
| একাংগী ৰাশি | Monomial | এটা পদযুক্ত বীজগণিতীয় ৰাশি |
| বহুপদ ৰাশি | Polynomial | একাধিক পদযুক্ত বীজগণিতীয় ৰাশি |
| সহগ | Coefficient | চলকৰ লগত থকা সংখ্যাগত গুণক |
| ধ্ৰুৱক পদ | Constant term | চলকবিহীন স্থিৰ পদ |
| হৰণ | Division | গুণনৰ বিপৰীত ক্ৰিয়া |