প্ৰত্যক্ষ আৰু ব্যস্ত সমানুপাত — প্ৰশ্ন উত্তৰ
HSLC Guru-ত আপোনাক স্বাগতম। এই পাঠত ASSEB (অসম ৰাজ্যিক বিদ্যালয় শিক্ষা পৰিষদ) Class 8 সাধাৰণ গণিতৰ ত্ৰয়োদশ অধ্যায় প্ৰত্যক্ষ আৰু ব্যস্ত সমানুপাতৰ আটাইবোৰ কাৰ্য, উদাহৰণ, অনুশীলনী ১৩.১ আৰু ১৩.২, লগতে বহুবাছনি প্ৰশ্নৰ সম্পূৰ্ণ সমাধা পোৱা যাব। প্ৰতিটো উত্তৰতে হিচাপ দেখুৱাই বুজাই দিয়া হৈছে।
সাৰাংশ
দুটা ৰাশি $x$ আৰু $y$-ৰ মাজত এনে এক সম্পৰ্ক থাকে যাতে এটাৰ বৃদ্ধি (বা হ্ৰাস)-ৰ লগে লগে আনটোও একে অনুপাতত বৃদ্ধি (বা হ্ৰাস) হয়, তেন্তে সেই সম্পৰ্কক প্ৰত্যক্ষ সমানুপাত বোলে। প্ৰত্যক্ষ সমানুপাতত $\frac{x}{y}$ (অনুপাতটো) সদায় এটা ধ্ৰুৱক $k$ হয়, অৰ্থাৎ $x = ky$ আৰু $x \propto y$। উদাহৰণস্বৰূপে, নেমুৰ সংখ্যা বাঢ়িলে তাৰ মূল্যও একে অনুপাতত বাঢ়ে।
আনহাতে, যদি এটা ৰাশি $x$ বৃদ্ধি হ’লে আনটো ৰাশি $y$ একে অনুপাতত হ্ৰাস হয় (আৰু $x$ হ্ৰাস হ’লে $y$ বৃদ্ধি হয়), তেন্তে সেই সম্পৰ্কক পৰোক্ষ বা ব্যস্ত সমানুপাত বোলে। ব্যস্ত সমানুপাতত দুয়োৰ গুণফল $xy$ সদায় এটা ধ্ৰুৱক $k$ হয়, অৰ্থাৎ $xy = k$। উদাহৰণস্বৰূপে, গতিবেগ বাঢ়িলে নিৰ্দিষ্ট দূৰত্ব অতিক্ৰম কৰিবলৈ কম সময় লাগে।
দুটা মানৰ যোৰ $(x_1, y_1)$ আৰু $(x_2, y_2)$-ৰ বাবে — প্ৰত্যক্ষ সমানুপাতত $\frac{x_1}{y_1} = \frac{x_2}{y_2}$ আৰু ব্যস্ত সমানুপাতত $x_1 y_1 = x_2 y_2$। এই দুটা সম্পৰ্ক ব্যৱহাৰ কৰি (বা ঐকিক নিয়মেৰে) অজ্ঞাত মান সহজে উলিয়াব পাৰি।
Summary: This ASSEB Class 8 General Mathematics Chapter 13 solution covers Direct and Inverse Proportion. Two quantities are in direct proportion when x/y stays constant (x = ky), and in inverse proportion when the product xy stays constant. The page fully solves every Activity table, worked Example, Exercise 13.1, Exercise 13.2 and the Multiple Choice Questions with clear step-by-step working.
পাঠ্যপুথিৰ প্ৰশ্ন আৰু উত্তৰ
আৰম্ভণিৰ কাৰ্য (তালিকা পূৰণ)
কাৰ্য ১: উদাহৰণ (a) অনুসৰি তালিকাখন সম্পূৰ্ণ কৰা। (এটা পাম্পই ১০ মিনিটত ১০০ লিটাৰ পানী উলিয়ায়, অৰ্থাৎ ১ মিনিটত ১০ লিটাৰ।)
উত্তৰঃ সময় আৰু পানীৰ পৰিমাণ প্ৰত্যক্ষ সমানুপাতত আছে, কাৰণ $\frac{\text{পানী}}{\text{সময়}} = 10$ (ধ্ৰুৱক)। গতিকে পানী $= 10 \times$ সময়। খালী ঘৰবোৰ পূৰ কৰিলে —
| সময় (মিনিট) | 1 | 2 | 3 | 5 | 10 | 18 | 20 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| পানীৰ পৰিমাণ (লিটাৰ) | 10 | 20 | 30 | 50 | 100 | 180 | 200 |
কাৰ্য ২: উদাহৰণ (b) অনুসৰি তালিকাখন সম্পূৰ্ণ কৰা। (এখন কিতাপৰ মূল্য ১৫০ টকা।)
উত্তৰঃ কিতাপৰ সংখ্যা আৰু মূল্য প্ৰত্যক্ষ সমানুপাতত আছে, কাৰণ মূল্য $= 150 \times$ কিতাপৰ সংখ্যা। গতিকে —
| কিতাপৰ সংখ্যা | 1 | 2 | 5 | 7 | 9 | 12 | 14 | 20 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| কিতাপৰ মূল্য (টকা) | 150 | 300 | 750 | 1050 | 1350 | 1800 | 2100 | 3000 |
প্ৰত্যক্ষ সমানুপাত (১৩.১)
প্ৰত্যক্ষ সমানুপাত থকা দুটা ৰাশিক লেখত দেখুৱালে সিহঁতে মূলবিন্দুৰ (O) মাজেৰে যোৱা এডাল পোন সৰলৰেখা গঠন কৰে। তলৰ লেখত নেমুৰ সংখ্যা $x = 2, 3, 7, 15$ আৰু ইয়াৰ মূল্য $y = 10, 15, 35, 75$ দেখুওৱা হৈছে; প্ৰতিটো যোৰত $\frac{x}{y} = \frac{1}{5}$ (ধ্ৰুৱক)।
উদাহৰণ ১: এখন গাড়ীয়ে ২৪০ কিলোমিটাৰ দূৰত্ব অতিক্ৰম কৰিবলৈ ২০ লিটাৰ পেট্ৰল খৰচ কৰে। গাড়ীখনে ৫ লিটাৰ, ৮ লিটাৰ, ১২ লিটাৰ আৰু ২৫ লিটাৰ পেট্ৰল খৰচ কৰিলে ক্ৰমে কিমান দূৰত্ব অতিক্ৰম কৰিব?
উত্তৰঃ পেট্ৰলৰ পৰিমাণ $x$ লিটাৰ আৰু দূৰত্ব $y$ কি.মি. ধৰোঁ। দূৰত্ব বাঢ়িলে পেট্ৰলো বাঢ়ে, গতিকে এইটো প্ৰত্যক্ষ সমানুপাত। ইয়াত $\frac{x_1}{y_1} = \frac{20}{240} = \frac{1}{12}$, গতিকে $y = 12x$।
$$y = 12 \times 5 = 60,\quad y = 12 \times 8 = 96,\quad y = 12 \times 12 = 144,\quad y = 12 \times 25 = 300$$
| পেট্ৰল (x লিটাৰ) | 20 | 5 | 8 | 12 | 25 |
|---|---|---|---|---|---|
| দূৰত্ব (y কি.মি.) | 240 | 60 | 96 | 144 | 300 |
উদাহৰণ ২: মধুৰ্জ্যই চাইকেলেৰে ১০ মিনিটত ১ কিলোমিটাৰ বাট অতিক্ৰম কৰে। একে বেগত ১ ঘণ্টা ২০ মিনিটত তেওঁ কিমান দূৰত্ব অতিক্ৰম কৰিব?
উত্তৰঃ ১ ঘণ্টা ২০ মিনিট $= (60 + 20)$ মিনিট $= 80$ মিনিট। সময় ($x$) আৰু দূৰত্ব ($y$) প্ৰত্যক্ষ সমানুপাতত আছে।
$$\frac{x_1}{y_1} = \frac{x_2}{y_2} \Rightarrow \frac{10}{1} = \frac{80}{y_2} \Rightarrow y_2 = \frac{80}{10} = 8$$
ঐকিক নিয়মেৰে: ১০ মিনিটত $= 1$ কি.মি.; ১ মিনিটত $= \frac{1}{10}$ কি.মি.; ৮০ মিনিটত $= \frac{1}{10} \times 80 = 8$ কি.মি.। গতিকে মধুৰ্জ্যই ৮ কিলোমিটাৰ দূৰত্ব অতিক্ৰম কৰিব।
উদাহৰণ ৩: এখন ৰে’লে ১৮ ঘণ্টাত ৭২০ কিলোমিটাৰ দূৰত্ব অতিক্ৰম কৰে। একে বেগত ২০০ কিলোমিটাৰ দূৰত্ব অতিক্ৰম কৰিবলৈ ৰে’লখনৰ কিমান সময় লাগিব?
উত্তৰঃ সময় $x$ আৰু দূৰত্ব $y$ ধৰোঁ। বেছি দূৰত্ব হ’লে বেছি সময় লাগে, গতিকে প্ৰত্যক্ষ সমানুপাত।
$$\frac{x_1}{y_1} = \frac{x_2}{y_2} \Rightarrow \frac{18}{720} = \frac{x_2}{200} \Rightarrow x_2 = \frac{18 \times 200}{720} = 5$$
গতিকে ২০০ কিলোমিটাৰ দূৰত্ব অতিক্ৰম কৰিবলৈ ৰে’লখনৰ ৫ ঘণ্টা লাগিব।
উদাহৰণ ৪: ১২ পৃষ্ঠা ডাঠ কাগজৰ ওজন ৪০ গ্ৰাম হ’লে, $2\frac{1}{2}$ কি.গ্ৰা. ওজনৰ এনে কিমান পৃষ্ঠা কাগজ হ’ব?
উত্তৰঃ $2\frac{1}{2}$ কি.গ্ৰা. $= (2000 + 500)$ গ্ৰাম $= 2500$ গ্ৰাম। পৃষ্ঠাৰ সংখ্যা $x$ ধৰোঁ; পৃষ্ঠা বাঢ়িলে ওজনো বাঢ়ে, গতিকে প্ৰত্যক্ষ সমানুপাত।
$$\frac{12}{40} = \frac{x}{2500} \Rightarrow x = \frac{12 \times 2500}{40} = 750$$
গতিকে প্ৰয়োজনীয় পৃষ্ঠাৰ সংখ্যা ৭৫০।
উদাহৰণ ৫: এখন মানচিত্ৰৰ স্কেল (চেণ্টিমিটাৰত) $1 : 300000$। সেই মানচিত্ৰত দুখন চহৰৰ মাজৰ দূৰত্ব ৪ চে.মি. দেখুওৱা হৈছে। সিহঁতৰ প্ৰকৃত দূৰত্ব উলিওৱা।
উত্তৰঃ মানচিত্ৰৰ দূৰত্ব $x$ চে.মি. আৰু প্ৰকৃত দূৰত্ব $y$ চে.মি. ধৰোঁ। দিয়া আছে $\frac{x}{y} = \frac{1}{300000}$।
$$\frac{1}{300000} = \frac{4}{y} \Rightarrow y = 4 \times 300000 = 1200000 \text{ চে.মি.}$$
যিহেতু $100000$ চে.মি. $= 1$ কি.মি., সেয়ে প্ৰকৃত দূৰত্ব $= \frac{1200000}{100000} = 12$ কিলোমিটাৰ। গতিকে প্ৰকৃত দূৰত্ব ১২ কিলোমিটাৰ।
অনুশীলনী ১৩.১
১। তলৰ তালিকাবোৰ লক্ষ্য কৰি $x$ আৰু $y$ প্ৰত্যক্ষ সমানুপাতত আছে নে নাই নিৰ্ণয় কৰা।
(i) $x$: 20, 17, 14, 11, 8, 5, 2 আৰু $y$: 40, 34, 28, 22, 16, 10, 4
উত্তৰঃ প্ৰতিটো যোৰত $\frac{x}{y}$ উলিয়ালে $\frac{20}{40} = \frac{17}{34} = \frac{14}{28} = \frac{11}{22} = \frac{8}{16} = \frac{5}{10} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ (ধ্ৰুৱক)। অনুপাতটো সদায় একে, গতিকে $x$ আৰু $y$ প্ৰত্যক্ষ সমানুপাতত আছে।
(ii) $x$: 6, 10, 14, 18, 22, 26, 30 আৰু $y$: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28
উত্তৰঃ $\frac{6}{4} = \frac{3}{2}$ কিন্তু $\frac{10}{8} = \frac{5}{4}$ — অনুপাতটো একে নহয়। গতিকে $x$ আৰু $y$ প্ৰত্যক্ষ সমানুপাতত নাই।
(iii) $x$: 5, 8, 12, 15, 18, 20 আৰু $y$: 15, 24, 36, 60, 72, 100
উত্তৰঃ $\frac{5}{15} = \frac{8}{24} = \frac{12}{36} = \frac{1}{3}$ হ’লেও $\frac{15}{60} = \frac{1}{4}$ — অনুপাতটো একে নহয়। গতিকে $x$ আৰু $y$ প্ৰত্যক্ষ সমানুপাতত নাই।
২। মূলধন ১০০০ টকা আৰু সুতৰ হাৰ বছৰি ৮% হ’লে তলৰ তালিকাখন পূৰ কৰা আৰু কোনটো ক্ষেত্ৰত প্ৰত্যক্ষ সমানুপাত হয় বিচাৰি উলিওৱা।
উত্তৰঃ সৰল সুত $= \frac{P \times R \times T}{100} = \frac{1000 \times 8 \times T}{100} = 80T$। চক্ৰবৃদ্ধি সুত $= P\left(1 + \frac{R}{100}\right)^{T} – P$।
| সময়ৰ ম্যাদ | 1 বছৰ | 2 বছৰ | 3 বছৰ |
|---|---|---|---|
| সৰল সুত (টকাত) | 80 | 160 | 240 |
| চক্ৰবৃদ্ধি সুত (টকাত) | 80 | 166.40 | 259.71 |
সৰল সুতৰ ক্ষেত্ৰত $\frac{80}{1} = \frac{160}{2} = \frac{240}{3} = 80$ (ধ্ৰুৱক), গতিকে সৰল সুত সময়ৰ সৈতে প্ৰত্যক্ষ সমানুপাতত আছে। চক্ৰবৃদ্ধি সুতৰ ক্ষেত্ৰত $\frac{80}{1}, \frac{166.40}{2}, \frac{259.71}{3}$ একে নহয়, গতিকে চক্ৰবৃদ্ধি সুত প্ৰত্যক্ষ সমানুপাতত নাই।
৩। কৰিমে চাইকেলেৰে ঘণ্টাত ১৫ কিলোমিটাৰ বাট অতিক্ৰম কৰে। তেওঁ (i) ৩ ঘণ্টাত, (ii) ৫ ঘণ্টাত, (iii) ১ ঘণ্টা ২০ মিনিটত কিমান দূৰত্ব অতিক্ৰম কৰিব?
উত্তৰঃ গতিবেগ ধ্ৰুৱক হোৱাত দূৰত্ব সময়ৰ সৈতে প্ৰত্যক্ষ সমানুপাতত; দূৰত্ব $= 15 \times$ সময় (ঘণ্টাত)।
$$\text{(i) } 15 \times 3 = 45 \text{ কি.মি.} \qquad \text{(ii) } 15 \times 5 = 75 \text{ কি.মি.}$$
(iii) ১ ঘণ্টা ২০ মিনিট $= \frac{4}{3}$ ঘণ্টা, গতিকে দূৰত্ব $= 15 \times \frac{4}{3} = 20$ কি.মি.। উত্তৰ: ৪৫ কি.মি., ৭৫ কি.মি., ২০ কি.মি.।
৪। ঘণ্টাত গড়ে ৫০ কিলোমিটাৰ বেগত গৈ থকা গাড়ী এখনেৰে জুলুমীয়ে ৩ ঘণ্টা ১৫ মিনিটত কাজিৰঙা পালেগৈ। তেওঁ কিমান দূৰৰ পৰা কাজিৰঙালৈ আহিছে?
উত্তৰঃ ৩ ঘণ্টা ১৫ মিনিট $= 3\frac{15}{60} = \frac{13}{4}$ ঘণ্টা। দূৰত্ব $=$ বেগ $\times$ সময়।
$$\text{দূৰত্ব} = 50 \times \frac{13}{4} = \frac{650}{4} = 162.5 \text{ কি.মি.}$$
গতিকে জুলুমী ১৬২.৫ কিলোমিটাৰ দূৰৰ পৰা আহিছে।
৫। ঘণ্টাত ৫১০ কিলোমিটাৰ বেগত গৈ থকা বিমান এখনে ২ ঘণ্টা ২০ মিনিটত কিমান দূৰ যাব?
উত্তৰঃ ২ ঘণ্টা ২০ মিনিট $= 2\frac{20}{60} = \frac{7}{3}$ ঘণ্টা।
$$\text{দূৰত্ব} = 510 \times \frac{7}{3} = \frac{3570}{3} = 1190 \text{ কি.মি.}$$
গতিকে বিমানখনে ১১৯০ কিলোমিটাৰ দূৰ যাব।
৬। মেৰীয়ে ঘণ্টাত ৪.৫ কিলোমিটাৰ দৌৰিব পাৰে আৰু গুৰপ্ৰীতে ৯ মিনিটত ৬০০ মিটাৰ দৌৰিব পাৰে। ঘণ্টাত কোনে বেছি দৌৰিব পাৰে?
উত্তৰঃ গুৰপ্ৰীতৰ বেগ ঘণ্টাত উলিয়াওঁ। ৯ মিনিটত $600$ মিটাৰ, গতিকে ৬০ মিনিটত $= 600 \times \frac{60}{9} = 4000$ মিটাৰ $= 4$ কি.মি.। মেৰীৰ বেগ $4.5$ কি.মি./ঘণ্টা যিটো $4$ কি.মি./ঘণ্টাতকৈ বেছি। গতিকে মেৰীয়ে বেছি বেগত দৌৰিব পাৰে।
৭। এটা লঘু পানীয় ফেক্টৰীৰ মেচিনে ৬ ঘণ্টাত ৮৪০ টা বটল পূৰ কৰে। ৫ ঘণ্টাত কিমানটা বটল পূৰ কৰিব?
উত্তৰঃ সময় বাঢ়িলে বটলৰ সংখ্যাও বাঢ়ে — প্ৰত্যক্ষ সমানুপাত।
$$\frac{840}{6} = \frac{y}{5} \Rightarrow y = \frac{840 \times 5}{6} = 700$$
গতিকে ৫ ঘণ্টাত ৭০০ টা বটল পূৰ কৰিব।
৮। এখন মডেল জাহাজৰ পাল খুটাটোৰ উচ্চতা ৯ চে.মি.। প্ৰকৃত জাহাজখনৰ পাল খুটাটোৰ উচ্চতা ১২ মিটাৰ। প্ৰকৃত জাহাজখনৰ দৈৰ্ঘ্য যদি ২৮ মিটাৰ হয়, তেন্তে মডেল জাহাজখনৰ দৈৰ্ঘ্য কিমান হ’ব?
উত্তৰঃ মডেল আৰু প্ৰকৃতৰ মাজত প্ৰত্যক্ষ সমানুপাত। পাল খুটাৰ উচ্চতাৰ অনুপাত $= \frac{9 \text{ চে.মি.}}{12 \text{ মিটাৰ}} = \frac{9}{1200} = \frac{3}{400}$।
$$\text{মডেল দৈৰ্ঘ্য} = 28 \times \frac{3}{400} = \frac{84}{400} = 0.21 \text{ মিটাৰ}$$
গতিকে মডেল জাহাজখনৰ দৈৰ্ঘ্য ০.২১ মিটাৰ অৰ্থাৎ ২১ চে.মি.।
৯। এটা ৫ মিটাৰ ৬০ চে.মি. ওখ ওলম্ব স্তম্ভই ৩ মিটাৰ ২০ চে.মি. দৈৰ্ঘ্যৰ ছাঁ পেলায়। একে সময়তে — (i) ১০ মিটাৰ ৫০ চে.মি. ওখ স্তম্ভ এটাই কিমান দৈৰ্ঘ্যৰ ছাঁ পেলাব? (ii) ৫ মিটাৰ দৈৰ্ঘ্যৰ ছাঁ পেলোৱা স্তম্ভটোৰ উচ্চতা কিমান হ’ব?
উত্তৰঃ একে সময়ত স্তম্ভৰ উচ্চতা আৰু ছাঁৰ দৈৰ্ঘ্য প্ৰত্যক্ষ সমানুপাতত থাকে। ইয়াত উচ্চতা : ছাঁ $= 5\text{ মি. }60\text{ চে.মি.} : 3\text{ মি. }20\text{ চে.মি.} = 560 : 320 = 7 : 4$।
(i) স্তম্ভৰ উচ্চতা $10$ মি. $50$ চে.মি. $= 1050$ চে.মি.। ছাঁ $=$ উচ্চতা $\times \frac{4}{7}$।
$$\text{ছাঁ} = 1050 \times \frac{4}{7} = 600 \text{ চে.মি.} = 6 \text{ মিটাৰ}$$
(ii) ছাঁ $5$ মিটাৰ $= 500$ চে.মি.। উচ্চতা $=$ ছাঁ $\times \frac{7}{4}$।
$$\text{উচ্চতা} = 500 \times \frac{7}{4} = 875 \text{ চে.মি.} = 8 \text{ মি. } 75 \text{ চে.মি.}$$
গতিকে (i) ছাঁৰ দৈৰ্ঘ্য ৬ মিটাৰ আৰু (ii) স্তম্ভৰ উচ্চতা ৮ মিটাৰ ৭৫ চে.মি. (৮.৭৫ মিটাৰ)।
১০। লিমচিঙৰ হাতত এখন বাটৰ মানচিত্ৰ আছে। মানচিত্ৰত দেখুওৱা দূৰত্ব আৰু প্ৰকৃত দূৰত্বৰ অনুপাত ১ চে.মি. : ১৮ কি.মি.। তেওঁ যদি ৭২ কি.মি. বাট গাড়ীৰে যায়, তেন্তে মানচিত্ৰত দূৰত্ব কিমান হ’ব?
উত্তৰঃ প্ৰত্যক্ষ সমানুপাত: $\frac{1 \text{ চে.মি.}}{18 \text{ কি.মি.}} = \frac{x}{72 \text{ কি.মি.}}$।
$$x = \frac{72}{18} \times 1 = 4 \text{ চে.মি.}$$
গতিকে মানচিত্ৰত দূৰত্ব ৪ চে.মি. হ’ব।
কৰি চোৱা — হিমা আৰু সীমাৰ বয়স
প্ৰশ্নঃ তলৰ তালিকাত হিমা ($x$) আৰু সীমা ($y$)-ৰ বয়স দিয়া আছে। $x$ বাঢ়িলে $y$-ও বাঢ়িছে; তেওঁলোকৰ বয়স প্ৰত্যক্ষ সমানুপাতত আছে নে?
| ৫ বছৰ আগৰ বয়স | বৰ্তমানৰ বয়স | ৫ বছৰ পিছৰ বয়স | |
|---|---|---|---|
| হিমাৰ বয়স (x) | 9 | 14 | 19 |
| সীমাৰ বয়স (y) | 10 | 15 | 20 |
উত্তৰঃ $\frac{x}{y}$ উলিয়ালে $\frac{9}{10}, \frac{14}{15}, \frac{19}{20}$ — অনুপাতটো একে নহয়। গতিকে $x$ আৰু $y$ একেলগে বাঢ়িলেও প্ৰত্যক্ষ সমানুপাতত নাই। ইয়াৰ পৰা শিকো যে দুটা ৰাশি একেলগে বৃদ্ধি হ’লেই সিহঁত সমানুপাতিক নহয়।
ব্যস্ত সমানুপাত (১৩.২) — কৰি চোৱা তালিকা
নাগাঁও-গুৱাহাটীৰ দূৰত্ব ১২০ কি.মি.; ৪০ কি.মি./ঘণ্টা বেগত ৩ ঘণ্টা লাগে, ৬০ কি.মি./ঘণ্টা বেগত মাত্ৰ ২ ঘণ্টা লাগে (বেগ বাঢ়িলে সময় কমে)। আকৌ ৫ জন মানুহে এটা কাম ১৮ দিনত কৰিলে, ১০ জনে সেই কাম ৯ দিনত কৰে। এই তিনিওটা ক্ষেত্ৰতে $x$ বাঢ়িলে $y$ কমে আৰু গুণফল $xy$ ধ্ৰুৱক থাকে — এইটোৱেই ব্যস্ত সমানুপাত। তলৰ তালিকাবোৰ সম্পূৰ্ণ কৰা।
তালিকা ১ (নিৰ্দিষ্ট দূৰত্ব ১২০ কি.মি.; $xy = 120$):
| গতিবেগ (x কি.মি./ঘ.) | 10 | 15 | 20 | 40 | 60 | 80 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| সময় (y ঘণ্টা) | 12 | 8 | 6 | 3 | 2 | 1.5 |
| xy | 120 | 120 | 120 | 120 | 120 | 120 |
তালিকা ২ (নিৰ্দিষ্ট কাম; $xy = 90$):
| মানুহৰ সংখ্যা (x) | 5 | 10 | 15 | 18 | 30 | 45 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| সময় (y দিন) | 18 | 9 | 6 | 5 | 3 | 2 |
| xy | 90 | 90 | 90 | 90 | 90 | 90 |
তালিকা ৩ (আয়তক্ষেত্ৰৰ ক্ষেত্ৰফল $144$ বৰ্গমিটাৰ; $xy = 144$):
| এটা বাহুৰ দৈৰ্ঘ্য (x মি.) | 12 | 9 | 36 | — | 8 | 24 | 48 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| আনটো বাহুৰ দৈৰ্ঘ্য (y মি.) | 12 | 16 | 4 | 26 | 18 | 6 | 3 |
| xy | 144 | 144 | 144 | 144 | 144 | 144 | 144 |
গুণফল সদায় ধ্ৰুৱক ($120$, $90$ আৰু $144$) হোৱাত তিনিওখন তালিকাতে $x$ আৰু $y$ ব্যস্ত সমানুপাতত আছে। উদাহৰণস্বৰূপে তালিকা ৩-ত $x = 8$ হ’লে $y = \frac{144}{8} = 18$, আৰু $y = 3$ হ’লে $x = \frac{144}{3} = 48$। (টোকাঃ ছপা কপিত $y = 26$ থকা ঘৰটোৱে $144$-ৰ ধ্ৰুৱকৰ সৈতে সম্পূৰ্ণ মিল নাখায় — $\frac{144}{26} \approx 5.5$; এইটো এটা মুদ্ৰণ ভুল যেন লাগে।)
কৰি চোৱা — শাৰীৰ সজ্জা
প্ৰশ্নঃ এখন বিদ্যালয়ৰ সমবেত সমাৱেশত ৪০০ জন ছাত্ৰ-ছাত্ৰীক ১০ টা শাৰীত সজোৱা হ’ল, প্ৰতিটো শাৰীত ৪০ জন। একে সংখ্যক ছাত্ৰ-ছাত্ৰী ৰাখি শাৰীৰ সংখ্যা সলনি কৰি তলৰ তালিকা পূৰ কৰা।
| শাৰীৰ সংখ্যা (x) | 10 | 16 | 20 | 8 |
|---|---|---|---|---|
| প্ৰতি শাৰীত ছাত্ৰ-ছাত্ৰী (y) | 40 | 25 | 20 | 50 |
উত্তৰঃ মুঠ ছাত্ৰ-ছাত্ৰী $= 10 \times 40 = 400$; গতিকে $y = \frac{400}{x}$। সেয়ে $x = 16 \Rightarrow y = 25$, $x = 20 \Rightarrow y = 20$, $x = 8 \Rightarrow y = 50$।
(i) তালিকাত দেখা যায় $x$ বৃদ্ধি হ’লে $y$ হ্ৰাস হয় (আৰু $x$ হ্ৰাস হ’লে $y$ বৃদ্ধি হয়) — হয়। (ii) $xy$ প্ৰতিক্ষেত্ৰত $= 400$ (একে) — হয়। (iii) $x_1 y_1 = x_2 y_2$ (যেনে $10 \times 40 = 16 \times 25 = 400$) — হয়। (iv) $\frac{x_1}{x_2} = \frac{y_2}{y_1}$ — হয়। (v) $\frac{x_2}{x_1} = \frac{y_1}{y_2}$ — হয়। গতিকে $x$ আৰু $y$ ব্যস্ত সমানুপাতত আছে।
ব্যস্ত সমানুপাত (১৩.২) — সমাধা কৰা উদাহৰণ
উদাহৰণ ১: তলৰ তালিকা লক্ষ্য কৰি $x$ আৰু $y$ ব্যস্ত সমানুপাতত থকা যোৰবোৰ উলিওৱা।
(i) $x$: 50, 40, 30, 20 আৰু $y$: 5, 6, 7, 8
উত্তৰঃ $xy = 250, 240, 210, 160$ — একে নহয়, গতিকে ব্যস্ত সমানুপাতত নাই।
(ii) $x$: 100, 200, 300, 400 আৰু $y$: 60, 30, 20, 15
উত্তৰঃ $xy = 6000, 6000, 6000, 6000$ — সদায় একে (ধ্ৰুৱক), গতিকে ব্যস্ত সমানুপাতত আছে।
(iii) $x$: 90, 60, 45, 30, 20, 5 আৰু $y$: 10, 15, 20, 25, 30, 35
উত্তৰঃ $xy = 900, 900, 900, 750, 600, 175$ — একে নহয়, গতিকে ব্যস্ত সমানুপাতত নাই।
উদাহৰণ ২: এটা পেঞ্চিল বাকচৰ পেঞ্চিলবোৰ ১৫ জন ছাত্ৰৰ মাজত ভগাই দিলে প্ৰতিজনে ৮ ডাল পেঞ্চিল পায়। ছাত্ৰৰ সংখ্যা ৫ জন বৃদ্ধি কৰিলে প্ৰতিজনে কিমান ডাল পেঞ্চিল পাব?
উত্তৰঃ ছাত্ৰৰ সংখ্যা বাঢ়িলে প্ৰতিজনে পোৱা পেঞ্চিল কমে — ব্যস্ত সমানুপাত। নতুন ছাত্ৰ সংখ্যা $= 15 + 5 = 20$।
$$x_1 y_1 = x_2 y_2 \Rightarrow 15 \times 8 = 20 \times y_2 \Rightarrow y_2 = \frac{120}{20} = 6$$
গতিকে প্ৰতিজন ছাত্ৰই ৬ ডাল পেঞ্চিল পাব।
উদাহৰণ ৩: এখন বাছে $4\frac{1}{2}$ ঘণ্টাত ৪০ কি.মি./ঘণ্টা বেগত এটা দূৰত্ব অতিক্ৰম কৰে। বাছখন ৪৫ কি.মি./ঘণ্টা বেগত উভতি আহিলে একে দূৰত্ব অতিক্ৰম কৰিবলৈ কিমান সময় লাগিব?
উত্তৰঃ বেছি বেগত গ’লে কম সময় লাগে — ব্যস্ত সমানুপাত। বেগ $x$, সময় $y$।
$$x_1 y_1 = x_2 y_2 \Rightarrow 40 \times \frac{9}{2} = 45 \times y_2 \Rightarrow 180 = 45\, y_2 \Rightarrow y_2 = 4$$
গতিকে উভতি আহোঁতে ৪ ঘণ্টা সময় লাগিব।
উদাহৰণ ৪: এজন মানুহে এটা চালিঘৰ ১৫ দিনত সাজি উলিয়াব পাৰে। ৩ জন মানুহে সেই ঘৰ কিমান দিনত সাজিব?
উত্তৰঃ মানুহৰ সংখ্যা বাঢ়িলে সময় কমে — ব্যস্ত সমানুপাত।
$$x_1 y_1 = x_2 y_2 \Rightarrow 1 \times 15 = 3 \times y_2 \Rightarrow y_2 = \frac{15}{3} = 5$$
গতিকে ৩ জন মানুহে ঘৰটো ৫ দিনত সাজিব।
উদাহৰণ ৫: ১০ জন মানুহে এটা পুখুৰী ১৭ দিনত খান্দিব পাৰে। ৩৪ জন মানুহে সেই পুখুৰী কিমান দিনত খান্দিব?
উত্তৰঃ মানুহৰ সংখ্যা বাঢ়িলে সময় কমে — ব্যস্ত সমানুপাত।
$$x_1 y_1 = x_2 y_2 \Rightarrow 10 \times 17 = 34 \times y_2 \Rightarrow y_2 = \frac{170}{34} = 5$$
গতিকে ৩৪ জন মানুহে পুখুৰীটো ৫ দিনত খান্দিব।
অনুশীলনী ১৩.২
১। তলৰ ৰাশিবোৰ ব্যস্ত সমানুপাতত আছে নে নাই লিখা।
(i) কামত লগোৱা মানুহৰ সংখ্যা আৰু কাম সম্পূৰ্ণ কৰিবলৈ লগা সময়।
উত্তৰঃ মানুহৰ সংখ্যা বাঢ়িলে সময় কমে, গতিকে ব্যস্ত সমানুপাতত আছে।
(ii) বাহনৰ গতিবেগ আৰু নিৰ্দিষ্ট দূৰত্ব অতিক্ৰম কৰিবলৈ লগা সময়।
উত্তৰঃ গতিবেগ বাঢ়িলে সময় কমে, গতিকে ব্যস্ত সমানুপাতত আছে।
(iii) খেতিযোগ্য মাটিৰ কালি আৰু ইয়াৰ উৎপাদন।
উত্তৰঃ মাটিৰ কালি বাঢ়িলে উৎপাদনো বাঢ়ে (প্ৰত্যক্ষ সমানুপাত), গতিকে ব্যস্ত সমানুপাতত নাই।
২। এখন গাঁৱৰ মানুহে এটা ৰাজহুৱা পুখুৰী খান্দিব বিচাৰিছে। ৩০ জন গাঁৱলীয়াই ইয়াক ৩৫ দিনত খান্দিব পাৰিলে, ২১০ জন গাঁৱলীয়াই পুখুৰীটো কিমান দিনত খান্দিব?
উত্তৰঃ মানুহ বাঢ়িলে সময় কমে — ব্যস্ত সমানুপাত।
$$30 \times 35 = 210 \times y \Rightarrow y = \frac{1050}{210} = 5 \text{ দিন}$$
গতিকে ২১০ জনে পুখুৰীটো ৫ দিনত খান্দিব।
৩। এটা স্বসহায়ক গোটৰ ১৫ গৰাকী মহিলাই ২৪ দিনত ৫০০ খন গামোচা বয়। ৫ গৰাকী, ৮ গৰাকী বা ২৪ গৰাকী মহিলাই সেই ৫০০ খন গামোচা কিমান দিনত বয়?
উত্তৰঃ মহিলাৰ সংখ্যা বাঢ়িলে সময় কমে — ব্যস্ত সমানুপাত; ধ্ৰুৱক $= 15 \times 24 = 360$।
$$5 \text{ গৰাকী: } \frac{360}{5} = 72 \text{ দিন},\quad 8 \text{ গৰাকী: } \frac{360}{8} = 45 \text{ দিন},\quad 24 \text{ গৰাকী: } \frac{360}{24} = 15 \text{ দিন}$$
৪। এটা খালী টেংকী ৬ টা পাইপে ১ ঘণ্টা ২০ মিনিটত পূৰ কৰিব পাৰে। ৫ টা একেধৰণৰ পাইপ ব্যৱহাৰ কৰিলে টেংকীটো পূৰ কৰিবলৈ কিমান সময় লাগিব?
উত্তৰঃ পাইপৰ সংখ্যা কমিলে সময় বাঢ়ে — ব্যস্ত সমানুপাত। ১ ঘণ্টা ২০ মিনিট $= 80$ মিনিট।
$$6 \times 80 = 5 \times y \Rightarrow y = \frac{480}{5} = 96 \text{ মিনিট}$$
গতিকে ৫ টা পাইপে টেংকীটো ৯৬ মিনিট অৰ্থাৎ ১ ঘণ্টা ৩৬ মিনিটত পূৰ কৰিব।
৫। ৪ কি.মি. দীঘল এটা বান্ধ ১২০ জন শ্ৰমিকে ৪২ দিনত নিৰ্মাণ কৰিব পাৰে। একে বান্ধ ৩০ দিনত নিৰ্মাণ কৰিবলৈ কিমান জন শ্ৰমিক লাগিব?
উত্তৰঃ কম দিনত কৰিবলৈ বেছি শ্ৰমিক লাগে — ব্যস্ত সমানুপাত।
$$120 \times 42 = x \times 30 \Rightarrow x = \frac{5040}{30} = 168 \text{ জন}$$
গতিকে ১৬৮ জন শ্ৰমিক লাগিব।
৬। ৬ জন সদস্য থকা এটা পৰিয়ালে এটা নিৰ্দিষ্ট আয়েৰে ৪২ দিন খৰচ চলাব পাৰে। পৰিয়ালত এজন সদস্য বাঢ়িলে একে আয়েৰে পৰিয়ালটোৱে কিমান দিন চলাব পাৰিব?
উত্তৰঃ সদস্য বাঢ়িলে চলা দিন কমে — ব্যস্ত সমানুপাত। নতুন সদস্য সংখ্যা $= 6 + 1 = 7$।
$$6 \times 42 = 7 \times y \Rightarrow y = \frac{252}{7} = 36 \text{ দিন}$$
গতিকে পৰিয়ালটোৱে ৩৬ দিন চলাব পাৰিব।
৭। ৩৫ গৰাকী মহিলাই এটা কাম ১৬০ দিনত সম্পূৰ্ণ কৰে। ২৮ গৰাকী মহিলাই সেই কামটো কিমান দিনত সম্পূৰ্ণ কৰিব?
উত্তৰঃ মহিলা কমিলে সময় বাঢ়ে — ব্যস্ত সমানুপাত।
$$35 \times 160 = 28 \times y \Rightarrow y = \frac{5600}{28} = 200 \text{ দিন}$$
গতিকে ২৮ গৰাকী মহিলাই কামটো ২০০ দিনত সম্পূৰ্ণ কৰিব।
৮। দুজন বাঢ়ৈয়ে ৭ দিনত ৪ খন নতুন খিৰিকী সাজিব পাৰে। (i) কাম আৰম্ভ হোৱাৰ আগতে এজন বাঢ়ৈ বেমাৰত পৰিল; বাকী থকা বাঢ়ৈজনে কামটো কিমান দিনত সম্পূৰ্ণ কৰিব? (ii) কামটো এদিনতে সম্পূৰ্ণ কৰিবলৈ কিমান জন বাঢ়ৈ লাগিব?
উত্তৰঃ বাঢ়ৈৰ সংখ্যা আৰু সময় ব্যস্ত সমানুপাতত; ধ্ৰুৱক $= 2 \times 7 = 14$।
(i) $$2 \times 7 = 1 \times y \Rightarrow y = 14 \text{ দিন}$$
(ii) $$2 \times 7 = x \times 1 \Rightarrow x = 14 \text{ জন}$$
গতিকে (i) এজন বাঢ়ৈয়ে ১৪ দিনত কামটো সম্পূৰ্ণ কৰিব আৰু (ii) এদিনতে সম্পূৰ্ণ কৰিবলৈ ১৪ জন বাঢ়ৈ লাগিব।
বহুবাছনি প্ৰশ্ন
১। যদি $x$ আৰু $y$ প্ৰত্যক্ষ সমানুপাতত থাকে, তেন্তে তলৰ কোনটো শুদ্ধ? (a) $\frac{x_1}{y_1} = \frac{x_2}{y_2}$ (b) $x_1 y_1 = x_2 y_2$ (c) $x_1 x_2 = y_1 y_2$ (d) $\frac{x_1}{x_2} = \frac{y_2}{y_1}$
উত্তৰঃ (a) $\frac{x_1}{y_1} = \frac{x_2}{y_2}$।
২। যদি $x_1 = 4$, $y_1 = 10$, $x_2 = 2$ আৰু $x, y$ প্ৰত্যক্ষ সমানুপাতত থাকে, তেন্তে $y_2 = $ ? (a) 20 (b) 5 (c) 25 (d) 10
উত্তৰঃ (b) 5। কাৰণ $\frac{4}{10} = \frac{2}{y_2} \Rightarrow y_2 = \frac{2 \times 10}{4} = 5$।
৩। যদি $x$ আৰু $y$ পৰোক্ষ (ব্যস্ত) সমানুপাতিক, তেন্তে তলৰ কোনটো শুদ্ধ? (a) $x$ বাঢ়িলে $y$ বাঢ়ে (b) $x$ কমিলে $y$ কমে (c) $x$ বাঢ়িলে $y$ কমে (d) ওপৰৰ এটাও নহয়
উত্তৰঃ (c) $x$ বাঢ়িলে $y$ কমে।
৪। যদি ৫ খন কিতাপৰ ওজন ৪ কি.গ্ৰা. হয়, তেন্তে তেনেকুৱা ৮ খন কিতাপৰ ওজন কিমান হ’ব? (a) 5 কি.গ্ৰা. (b) 6 কি.গ্ৰা. (c) 6.4 কি.গ্ৰা. (d) 10 কি.গ্ৰা.
উত্তৰঃ (c) 6.4 কি.গ্ৰা.। কাৰণ $\frac{4}{5} = \frac{y}{8} \Rightarrow y = \frac{4 \times 8}{5} = 6.4$।
৫। ১০ জন মানুহে এটা গাঁত ৬ ঘণ্টাত খান্দিব পাৰে। সেই একেটা গাঁত ১২ ঘণ্টাত খান্দিবলৈ কিমান জন মানুহ লাগিব? (a) 20 (b) 5 (c) 7 (d) 15
উত্তৰঃ (b) 5। কাৰণ $10 \times 6 = x \times 12 \Rightarrow x = \frac{60}{12} = 5$ (ব্যস্ত সমানুপাত)।
৬। এজন মানুহে এটা কাম ৬ দিনত সম্পূৰ্ণ কৰিব পাৰে। ২ জন মানুহে এদিনত এই কামৰ কিমান অংশ সম্পূৰ্ণ কৰিব পাৰিব? (a) $\frac{1}{3}$ (b) $\frac{1}{6}$ (c) $\frac{1}{2}$ (d) $\frac{1}{12}$
উত্তৰঃ (a) $\frac{1}{3}$। এজনে এদিনত $\frac{1}{6}$ অংশ কৰে, গতিকে ২ জনে $2 \times \frac{1}{6} = \frac{1}{3}$ অংশ কৰিব।
৭। ৩৬ জন মানুহে এটা কাম ২০ দিনত কৰিব পাৰে। ১২ জন মানুহে সেই একেটা কাম কিমান দিনত কৰিব পাৰিব? (a) $\frac{20}{3}$ দিন (b) 40 দিন (c) 60 দিন (d) 8 দিন
উত্তৰঃ (c) 60 দিন। কাৰণ $36 \times 20 = 12 \times y \Rightarrow y = \frac{720}{12} = 60$।
৮। এখন কেণ্টিনে ৩০০ জন মানুহক ২০ দিনৰ বাবে খাদ্য যোগান ধৰিব পাৰে। যদি ৫০ জন মানুহ কমি যায়, তেন্তে সেই একে খাদ্যৰে কেণ্টিনখন কিমান দিন চলিব? (a) 120 দিন (b) 17 দিন (c) 25 দিন (d) 24 দিন
উত্তৰঃ (d) 24 দিন। মানুহ $= 300 – 50 = 250$; $300 \times 20 = 250 \times y \Rightarrow y = \frac{6000}{250} = 24$।
আমি কি শিকিলো
- দুটা ৰাশি $x$ আৰু $y$ প্ৰত্যক্ষ সমানুপাতত থাকে যদি সিহঁতৰ বৃদ্ধি বা হ্ৰাসৰ অনুপাত ধ্ৰুৱক হয়, অৰ্থাৎ $\frac{x}{y} = k$। দুটা মানৰ বাবে $\frac{x_1}{y_1} = \frac{x_2}{y_2}$।
- দুটা ৰাশি $x$ আৰু $y$ ব্যস্ত সমানুপাতত থাকে যদি $x$ বৃদ্ধি হ’লে $y$ একে অনুপাতত হ্ৰাস হয়; তেতিয়া সিহঁতৰ গুণফল ধ্ৰুৱক হয়, অৰ্থাৎ $xy = k$। দুটা মানৰ বাবে $x_1 y_1 = x_2 y_2$।
অতিৰিক্ত প্ৰশ্ন আৰু উত্তৰ
বহুবাছনি প্ৰশ্ন (MCQ)
১। প্ৰত্যক্ষ সমানুপাতত $\frac{x}{y}$-ৰ মান — (a) সদায় ধ্ৰুৱক (b) সদায় বৃদ্ধি পায় (c) সদায় শূন্য (d) সদায় হ্ৰাস পায়
উত্তৰঃ (a) সদায় ধ্ৰুৱক।
২। ব্যস্ত সমানুপাতত কোনটো সদায় ধ্ৰুৱক থাকে? (a) $x + y$ (b) $x – y$ (c) $xy$ (d) $\frac{x}{y}$
উত্তৰঃ (c) $xy$।
৩। ৩ খন কিতাপৰ মূল্য ৯০ টকা হ’লে ৭ খন কিতাপৰ মূল্য কিমান? (a) 180 টকা (b) 210 টকা (c) 270 টকা (d) 630 টকা
উত্তৰঃ (b) 210 টকা। ($\frac{90}{3} = 30$; $30 \times 7 = 210$)
৪। ৪ জন মানুহে এটা কাম ১২ দিনত কৰে। ৬ জনে সেই কাম কিমান দিনত কৰিব? (a) 8 দিন (b) 18 দিন (c) 9 দিন (d) 6 দিন
উত্তৰঃ (a) 8 দিন। ($4 \times 12 = 6 \times y \Rightarrow y = 8$)
৫। প্ৰত্যক্ষ সমানুপাত থকা ৰাশিৰ লেখ কেনেকুৱা হয়? (a) মূলবিন্দুৰ মাজেৰে যোৱা সৰলৰেখা (b) বৃত্ত (c) বক্ৰৰেখা (d) $x$-অক্ষৰ সমান্তৰাল ৰেখা
উত্তৰঃ (a) মূলবিন্দুৰ মাজেৰে যোৱা সৰলৰেখা।
খালী ঠাই পূৰোৱা
১। প্ৰত্যক্ষ সমানুপাতত $x = k \_\_\_$ ।
উত্তৰঃ $y$ (অৰ্থাৎ $x = ky$)।
২। ব্যস্ত সমানুপাতত $xy = \_\_\_$ ।
উত্তৰঃ ধ্ৰুৱক ($k$)।
৩। গতিবেগ বাঢ়িলে নিৰ্দিষ্ট দূৰত্ব অতিক্ৰম কৰিবলৈ লগা সময় $\_\_\_$ ।
উত্তৰঃ কমে।
৪। প্ৰত্যক্ষ সমানুপাতত $\frac{x_1}{y_1} = \_\_\_$ ।
উত্তৰঃ $\frac{x_2}{y_2}$।
৫। মানুহৰ সংখ্যা আৰু কাম সম্পূৰ্ণ কৰিবলৈ লগা সময় $\_\_\_$ সমানুপাতত থাকে।
উত্তৰঃ ব্যস্ত।
শুদ্ধ নে অশুদ্ধ লিখা
১। প্ৰত্যক্ষ সমানুপাতত এটা বাঢ়িলে আনটোও বাঢ়ে।
উত্তৰঃ শুদ্ধ।
২। ব্যস্ত সমানুপাতত দুয়োটা ৰাশিৰ যোগফল সদায় ধ্ৰুৱক থাকে।
উত্তৰঃ অশুদ্ধ (গুণফল ধ্ৰুৱক থাকে)।
৩। দুটা ৰাশি একেলগে বাঢ়িলেই সিহঁত প্ৰত্যক্ষ সমানুপাতত থাকে।
উত্তৰঃ অশুদ্ধ (অনুপাত ধ্ৰুৱক হ’লেহে প্ৰত্যক্ষ সমানুপাত)।
৪। বেছি শ্ৰমিকে এটা কাম কম দিনত সম্পূৰ্ণ কৰে।
উত্তৰঃ শুদ্ধ।
৫। ঐকিক নিয়মেৰেও সমানুপাতৰ প্ৰশ্ন সমাধা কৰিব পাৰি।
উত্তৰঃ শুদ্ধ।
চমু উত্তৰৰ প্ৰশ্ন
১। প্ৰত্যক্ষ আৰু ব্যস্ত সমানুপাতৰ মাজত পাৰ্থক্য কি?
উত্তৰঃ প্ৰত্যক্ষ সমানুপাতত $x$ বাঢ়িলে $y$-ও একে অনুপাতত বাঢ়ে আৰু $\frac{x}{y}$ ধ্ৰুৱক থাকে। ব্যস্ত সমানুপাতত $x$ বাঢ়িলে $y$ একে অনুপাতত কমে আৰু গুণফল $xy$ ধ্ৰুৱক থাকে।
২। ২ টা কমলাৰ মূল্য ২৪ টকা হ’লে ৫ টা কমলাৰ মূল্য কিমান?
উত্তৰঃ এটাৰ মূল্য $\frac{24}{2} = 12$ টকা; গতিকে ৫ টাৰ মূল্য $12 \times 5 = 60$ টকা (প্ৰত্যক্ষ সমানুপাত)।
৩। ৮ জন মানুহে এটা কাম ১৫ দিনত কৰে। ১২ জন মানুহে সেই কাম কিমান দিনত কৰিব?
উত্তৰঃ ব্যস্ত সমানুপাত: $8 \times 15 = 12 \times y \Rightarrow y = \frac{120}{12} = 10$ দিন।
৪। এখন গাড়ীয়ে ৬০ কি.মি./ঘণ্টা বেগত ৪ ঘণ্টাত এটা দূৰত্ব অতিক্ৰম কৰে। ৮০ কি.মি./ঘণ্টা বেগত একে দূৰত্ব অতিক্ৰম কৰিবলৈ কিমান সময় লাগিব?
উত্তৰঃ ব্যস্ত সমানুপাত: $60 \times 4 = 80 \times y \Rightarrow y = \frac{240}{80} = 3$ ঘণ্টা।
শব্দাৰ্থ
| অসমীয়া শব্দ | English term | অৰ্থ |
|---|---|---|
| প্ৰত্যক্ষ সমানুপাত | Direct proportion | এটা বাঢ়িলে আনটোও একে অনুপাতত বাঢ়ে |
| ব্যস্ত সমানুপাত | Inverse proportion | এটা বাঢ়িলে আনটো একে অনুপাতত কমে |
| ধ্ৰুৱক | Constant | নসলা নিৰ্দিষ্ট মান |
| অনুপাত | Ratio | দুটা ৰাশিৰ তুলনা |
| সমানুপাতিক | Proportional | সমানুপাতত থকা |
| ঐকিক নিয়ম | Unitary method | এটা এককৰ মান উলিয়াই সমাধা কৰা পদ্ধতি |
| গতিবেগ | Speed | একক সময়ত অতিক্ৰম কৰা দূৰত্ব |
| সৰল সুত | Simple interest | কেৱল মূলধনৰ ওপৰত হিচাপ কৰা সুত |
| চক্ৰবৃদ্ধি সুত | Compound interest | সুতসহ ৰাশিৰ ওপৰত হিচাপ কৰা সুত |
| স্কেল | Scale | মানচিত্ৰৰ দূৰত্ব আৰু প্ৰকৃত দূৰত্বৰ অনুপাত |