পৰিমিতি — প্ৰশ্ন উত্তৰ
HSLC Guru-লৈ আপোনাক স্বাগতম। এই পাঠত ASSEB Class 8 সাধাৰণ গণিতৰ একাদশ অধ্যায় পৰিমিতি (Mensuration)ৰ প্ৰতিটো অনুশীলনীৰ (অনুশীলনী ১১.১, ১১.২, ১১.৩) সম্পূৰ্ণ সমাধান, সূত্ৰ, চিত্ৰ আৰু ধাপে ধাপে বুজনি দিয়া হৈছে। ট্ৰেপিজিয়াম, ৰম্বছ, বহুভুজৰ কালি, আয়তঘন-ঘনক-চুঙাৰ পৃষ্ঠকালি আৰু আয়তন — সকলো ইয়াত পোৱা যাব।
সাৰাংশ
পৰিমিতি হৈছে জ্যামিতিক আকৃতিৰ কালি (area), পৃষ্ঠকালি (surface area) আৰু আয়তন (volume) জোখাৰ শাখা। দ্বিমাত্ৰিক আকৃতিৰ ক্ষেত্ৰত আমি কালি জোখো (একক বৰ্গ ছে.মি. বা বৰ্গ মিটাৰ), আৰু ত্ৰিমাত্ৰিক গোটা বস্তুৰ ক্ষেত্ৰত পৃষ্ঠকালি (বৰ্গ একক) আৰু আয়তন (ঘন একক) জোখো।
এই অধ্যায়ত ট্ৰেপিজিয়াম, ৰম্বছ আৰু সাধাৰণ চতুৰ্ভুজৰ কালিৰ সূত্ৰ শিকা হয়। যিকোনো বহুভুজক ত্ৰিভুজ, আয়তক্ষেত্ৰ, ট্ৰেপিজিয়াম আদি চিনাকি আকৃতিত ভাগ কৰি সেইবোৰৰ কালিৰ যোগফলৰ পৰা গোটেই বহুভুজৰ কালি উলিওৱা হয়।
গোটা বস্তুৰ ভিতৰত আয়তঘন (cuboid), ঘনক (cube) আৰু লম্ব বৃত্তাকাৰ চুঙা (right circular cylinder)ৰ পৃষ্ঠকালি আৰু আয়তন উলিওৱা শিকা হয়। মূল সূত্ৰবোৰ তলৰ তালিকাত দিয়া হ’ল।
| আকৃতি | কালি / পৃষ্ঠকালি / আয়তন |
|---|---|
| ট্ৰেপিজিয়ামৰ কালি | $\frac{1}{2}(a+b)\times h$ |
| ৰম্বছৰ কালি | $\frac{1}{2}\times d_1\times d_2$ |
| চতুৰ্ভুজৰ কালি (লম্ব $h_1,h_2$, কৰ্ণ $d$) | $\frac{1}{2}\times d\times(h_1+h_2)$ |
| বৃত্তৰ কালি | $\pi r^2$ |
| আয়তঘনৰ মুঠ পৃষ্ঠকালি | $2(lb+bh+lh)$ |
| আয়তঘনৰ পাৰ্শ্বপৃষ্ঠ কালি | $2h(l+b)$ |
| ঘনকৰ মুঠ পৃষ্ঠকালি | $6l^2$ |
| চুঙাৰ বক্ৰপৃষ্ঠ কালি | $2\pi r h$ |
| চুঙাৰ মুঠ পৃষ্ঠকালি (বন্ধ) | $2\pi r(r+h)$ |
| আয়তঘনৰ আয়তন | $l\times b\times h$ |
| ঘনকৰ আয়তন | $l^3$ |
| চুঙাৰ আয়তন | $\pi r^2 h$ |
Summary: This ASSEB Class 8 General Mathematics Chapter 11 Mensuration solution covers the areas of trapezium, rhombus and general quadrilaterals, the area of polygons by splitting into known shapes, and the surface area and volume of cuboids, cubes and right circular cylinders. Every question of Exercise 11.1, 11.2 and 11.3 is solved with formulas, labelled figures and step-by-step working, along with the conversion between volume and capacity (litres).
পাঠ্যপুথিৰ প্ৰশ্ন আৰু উত্তৰ
অনুশীলনী ১১.১
১। তলৰ চিত্ৰবোৰৰ কালি নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ (ক) এইটো এটা ট্ৰেপিজিয়াম, ইয়াৰ সমান্তৰাল বাহু দুটা $6$ ছে.মি. আৰু $12$ ছে.মি. আৰু মাজৰ লম্ব দূৰত্ব $4$ ছে.মি.।
$$\text{কালি} = \frac{1}{2}(6+12)\times 4 = \frac{1}{2}\times 18 \times 4 = 36 \text{ বৰ্গ ছে.মি.}$$
(খ) চিত্ৰটোক এটা আয়তক্ষেত্ৰ ($10\times 10$) আৰু এটা ত্ৰিভুজত ভাগ কৰোঁ। ত্ৰিভুজৰ ভূমি $=10$ ছে.মি. আৰু উচ্চতা $=16-10=6$ ছে.মি.।
$$\text{কালি} = (10\times 10) + \frac{1}{2}\times 10 \times 6 = 100 + 30 = 130 \text{ বৰ্গ ছে.মি.}$$
২। এটা ট্ৰেপিজিয়ামৰ কালি ৩৪ বৰ্গ ছে.মি.। যদি ট্ৰেপিজিয়ামটোৰ সমান্তৰাল বাহুযোৰৰ এডালৰ দৈৰ্ঘ্য ১০ ছে.মি. আৰু ইহঁতৰ মাজৰ দূৰত্ব ৪ ছে.মি. হয়, তেন্তে আনডাল সমান্তৰাল বাহুৰ দৈৰ্ঘ্য উলিওৱা।
উত্তৰঃ ধৰাহ’ল আনডাল বাহু $=b$ ছে.মি.।
$$\frac{1}{2}(10+b)\times 4 = 34 \Rightarrow 2(10+b)=34 \Rightarrow 10+b=17 \Rightarrow b = 7$$
আনডাল সমান্তৰাল বাহুৰ দৈৰ্ঘ্য $=7$ ছে.মি.।
৩। এটা চতুৰ্ভুজৰ কৰ্ণৰ দৈৰ্ঘ্য ২০ মিটাৰ আৰু ইয়াৰ ওপৰত বিপৰীত শীৰ্ষ দুটাৰ পৰা টনা লম্ব দুডালৰ দৈৰ্ঘ্য ৮.৫ মিটাৰ আৰু ১১ মিটাৰ হ’লে চতুৰ্ভুজটোৰ কালি নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ কৰ্ণ $d=20$ মিটাৰ, লম্ব দুটা $h_1=8.5$, $h_2=11$ মিটাৰ।
$$\text{কালি} = \frac{1}{2}\times d\times(h_1+h_2) = \frac{1}{2}\times 20 \times (8.5+11) = 10 \times 19.5 = 195 \text{ বৰ্গ মিটাৰ}$$
৪। যাৰ কৰ্ণ দুটাৰ দৈৰ্ঘ্য ১০ ছে.মি. আৰু ১৪ ছে.মি. এনে এটা ৰম্বছৰ কালি নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ $d_1=10$, $d_2=14$ ছে.মি.।
$$\text{কালি} = \frac{1}{2}\times d_1\times d_2 = \frac{1}{2}\times 10 \times 14 = 70 \text{ বৰ্গ ছে.মি.}$$
৫। এটা চতুৰ্ভুজৰ কালি ১০০ বৰ্গ ছে.মি.। যদি অফচেট (লম্ব) দুটাৰ দৈৰ্ঘ্য ৬ ছে.মি. আৰু ৪ ছে.মি. হয়, তেন্তে কৰ্ণৰ দৈৰ্ঘ্য নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ ধৰাহ’ল কৰ্ণ $=d$ ছে.মি.।
$$\frac{1}{2}\times d\times(6+4) = 100 \Rightarrow \frac{1}{2}\times d\times 10 = 100 \Rightarrow 5d = 100 \Rightarrow d = 20$$
কৰ্ণৰ দৈৰ্ঘ্য $=20$ ছে.মি.।
৬। এটা সুষম ষড়ভুজ ABCDEF-ৰ প্ৰতিটো বাহুৰ দৈৰ্ঘ্য ৬ ছে.মি.। যদি CF = ১০ ছে.মি. আৰু AE = ৮ ছে.মি. হয়, তেন্তে ষড়ভুজটোৰ কালি নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ কৰ্ণ CF-এ ষড়ভুজটোক দুটা ট্ৰেপিজিয়ামত ভাগ কৰে — ওপৰৰটো FEDC আৰু তলৰটো FABC। AE = ৮ ছে.মি. হৈছে ওপৰ বাহু ED আৰু তলৰ বাহু AB-ৰ মাজৰ মুঠ লম্ব দূৰত্ব; গতিকে প্ৰতিটো ট্ৰেপিজিয়ামৰ উচ্চতা $=\frac{8}{2}=4$ ছে.মি.।
$$\text{এটা ট্ৰেপিজিয়ামৰ কালি} = \frac{1}{2}(6+10)\times 4 = \frac{1}{2}\times 16 \times 4 = 32 \text{ বৰ্গ ছে.মি.}$$
$$\text{ষড়ভুজৰ কালি} = 2 \times 32 = 64 \text{ বৰ্গ ছে.মি.}$$
৭। এটা ৰম্বছ আৰু এটা ত্ৰিভুজৰ কালি সমান। যদি ত্ৰিভুজটোৰ ভূমি আৰু উচ্চতা ক্ৰমে ২৪.৮ ছে.মি. আৰু ৫.৫ ছে.মি. আৰু ৰম্বছটোৰ এটা কৰ্ণৰ দৈৰ্ঘ্য ২২ ছে.মি. হয়, তেন্তে ৰম্বছটোৰ আনটো কৰ্ণৰ দৈৰ্ঘ্য নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ ত্ৰিভুজৰ কালি $=\frac{1}{2}\times 24.8 \times 5.5 = 68.2$ বৰ্গ ছে.মি.। ধৰাহ’ল আনটো কৰ্ণ $=d_2$।
$$\frac{1}{2}\times 22 \times d_2 = 68.2 \Rightarrow 11\,d_2 = 68.2 \Rightarrow d_2 = 6.2$$
ৰম্বছটোৰ আনটো কৰ্ণৰ দৈৰ্ঘ্য $=6.2$ ছে.মি.।
৮। এটা ট্ৰেপিজিয়াম আকৃতিৰ বাগিছাৰ কালি ৪৮০ বৰ্গ মিটাৰ আৰু ইয়াৰ উচ্চতা ১৫ মিটাৰ। যদি এটা সমান্তৰাল বাহুৰ দৈৰ্ঘ্য ২০ মিটাৰ হয়, তেন্তে আনটো সমান্তৰাল বাহুৰ দৈৰ্ঘ্য উলিওৱা।
উত্তৰঃ ধৰাহ’ল আনটো বাহু $=b$ মিটাৰ।
$$\frac{1}{2}(20+b)\times 15 = 480 \Rightarrow 20+b = \frac{480\times 2}{15} = 64 \Rightarrow b = 44$$
আনটো সমান্তৰাল বাহুৰ দৈৰ্ঘ্য $=44$ মিটাৰ।
৯। ABCDE বহুভুজত BE = ৮ ছে.মি., CE = ১০ ছে.মি., AF = ৫ ছে.মি., BG = ৪ ছে.মি., DH = ৩ ছে.মি.। বহুভুজটোৰ কালি নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ কৰ্ণ EB আৰু EC-এ বহুভুজটোক তিনিটা ত্ৰিভুজত ভাগ কৰে — △ABE, △BCE আৰু △CDE। AF হৈছে A-ৰ পৰা EB-লৈ লম্ব, BG হৈছে B-ৰ পৰা EC-লৈ লম্ব আৰু DH হৈছে D-ৰ পৰা EC-লৈ লম্ব।
$$\text{কালি} = \tfrac{1}{2}\!\cdot\! BE\!\cdot\! AF + \tfrac{1}{2}\!\cdot\! CE\!\cdot\! BG + \tfrac{1}{2}\!\cdot\! CE\!\cdot\! DH$$
$$= \tfrac{1}{2}(8)(5) + \tfrac{1}{2}(10)(4) + \tfrac{1}{2}(10)(3) = 20 + 20 + 15 = 55 \text{ বৰ্গ ছে.মি.}$$
১০। এটা ট্ৰেপিজিয়ামৰ কালি ৬৮ বৰ্গ ছে.মি. আৰু সমান্তৰাল বাহু দুটাৰ দৈৰ্ঘ্য ক্ৰমে ১৩ ছে.মি. আৰু ২১ ছে.মি. হ’লে সমান্তৰাল বাহু দুটাৰ মাজৰ দূৰত্ব উলিওৱা।
উত্তৰঃ ধৰাহ’ল মাজৰ দূৰত্ব (উচ্চতা) $=h$ ছে.মি.।
$$\frac{1}{2}(13+21)\times h = 68 \Rightarrow \frac{1}{2}\times 34 \times h = 68 \Rightarrow 17h = 68 \Rightarrow h = 4$$
সমান্তৰাল বাহু দুটাৰ মাজৰ দূৰত্ব $=4$ ছে.মি.।
১১। কাষত দিয়া চিত্ৰটোৰ কালি নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ চিত্ৰটো এটা মধ্যৱৰ্তী আয়তক্ষেত্ৰ আৰু ওপৰ-তলৰ দুটা ট্ৰেপিজিয়ামত ভাগ কৰোঁ। মাজৰ আয়তক্ষেত্ৰ $=10\times 50$; দুয়োটা ট্ৰেপিজিয়ামৰ উচ্চতা $=\frac{70-50}{2}=10$ ছে.মি., সমান্তৰাল বাহু $30$ আৰু $10$ ছে.মি.।
$$\text{কালি} = (10\times 50) + 2\times \frac{1}{2}(30+10)\times 10 = 500 + 2(200) = 900 \text{ বৰ্গ ছে.মি.}$$
১২। তলত দিয়া চিত্ৰবোৰৰ আন্ধাৰিত (shaded) অংশৰ কালি নিৰ্ণয় কৰা। $\left(\pi=\frac{22}{7}\right)$
উত্তৰঃ (ক) আন্ধাৰিত অংশ $=$ আয়তক্ষেত্ৰৰ কালি $-$ অৰ্ধবৃত্তৰ কালি। আয়তক্ষেত্ৰ $=7\times 9=63$; অৰ্ধবৃত্তৰ ব্যাসাৰ্ধ $=\frac{7}{2}=3.5$।
$$= 63 – \frac{1}{2}\times\frac{22}{7}\times (3.5)^2 = 63 – 19.25 = 43.75 \text{ বৰ্গ ছে.মি.}$$
(খ) আন্ধাৰিত অংশ $=$ ডাঙৰ আয়তক্ষেত্ৰ $-$ ভিতৰৰ বৰ্গ $=(15\times 10) – (7\times 7) = 150 – 49 = 101$ বৰ্গ ছে.মি.।
(গ) আন্ধাৰিত অংশ (বলয়) $=$ বাহিৰৰ বৃত্তৰ কালি $-$ ভিতৰৰ বৃত্তৰ কালি; বাহিৰৰ ব্যাসাৰ্ধ $14$, ভিতৰৰ ব্যাসাৰ্ধ $7$।
$$= \frac{22}{7}(14^2 – 7^2) = \frac{22}{7}(196-49) = \frac{22}{7}\times 147 = 462 \text{ বৰ্গ ছে.মি.}$$
(ঘ) আন্ধাৰিত অংশ $=$ ট্ৰেপিজিয়ামৰ কালি $-$ বৃত্তৰ কালি। ট্ৰেপিজিয়ামৰ সমান্তৰাল বাহু $10$ আৰু $16$, উচ্চতা $10$; বৃত্তৰ ব্যাসাৰ্ধ $3.5$।
$$= \frac{1}{2}(10+16)\times 10 – \frac{22}{7}(3.5)^2 = 130 – 38.5 = 91.5 \text{ বৰ্গ ছে.মি.}$$
(ঙ) আন্ধাৰিত অংশ $=$ ডাঙৰ বৃত্ত $-$ সৰু বৃত্ত; ডাঙৰ ব্যাসাৰ্ধ $21$, সৰু ব্যাসাৰ্ধ $14$।
$$= \frac{22}{7}(21^2 – 14^2) = \frac{22}{7}(441-196) = \frac{22}{7}\times 245 = 770 \text{ বৰ্গ ছে.মি.}$$
১৩। এটা ট্ৰেপিজিয়ামৰ সমান্তৰাল বাহু দুটাৰ মাপ ৭ ছে.মি. আৰু ৫ ছে.মি., উচ্চতা ৪ ছে.মি. হ’লে ট্ৰেপিজিয়ামটোৰ কালি নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ $$\text{কালি} = \frac{1}{2}(7+5)\times 4 = \frac{1}{2}\times 12 \times 4 = 24 \text{ বৰ্গ ছে.মি.}$$
১৪। এটা ৰম্বছৰ বাহু আৰু কৰ্ণৰ দৈৰ্ঘ্য ক্ৰমে ১৩ ছে.মি. আৰু ২৪ ছে.মি. হ’লে ৰম্বছটোৰ কালি উলিওৱা।
উত্তৰঃ ৰম্বছৰ কৰ্ণ দুটা সমকোণত পৰস্পৰক দ্বিখণ্ডিত কৰে। এটা কৰ্ণ $=24$, গতিকে ইয়াৰ আধা $=12$। বাহু $=13$; আনটো কৰ্ণৰ আধা $=\sqrt{13^2 – 12^2}=\sqrt{169-144}=\sqrt{25}=5$; গতিকে আনটো কৰ্ণ $=10$।
$$\text{কালি} = \frac{1}{2}\times 24 \times 10 = 120 \text{ বৰ্গ ছে.মি.}$$
১৫। সামান্তৰিক ABCD-ত DE আৰু DF লম্ব। যদি AB = ১২ ছে.মি., DE = ৭ ছে.মি., DF = ১৪ ছে.মি. হয়, তেন্তে BC-ৰ দৈৰ্ঘ্য নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ সামান্তৰিকৰ কালি $=$ ভূমি $\times$ উচ্চতা। DE হৈছে AB-লৈ লম্ব আৰু DF হৈছে BC-লৈ লম্ব; সেয়ে দুয়োটা প্ৰকাশ সমান হ’ব।
$$AB\times DE = BC\times DF \Rightarrow 12\times 7 = BC\times 14 \Rightarrow BC = \frac{84}{14} = 6$$
BC-ৰ দৈৰ্ঘ্য $=6$ ছে.মি.।
১৬। এটা ট্ৰেপিজিয়ামৰ সমান্তৰাল বাহু দুটাৰ অনুপাত ১:২। যদি সমান্তৰাল বাহু দুটাৰ মাজৰ দূৰত্ব ১২ ছে.মি. আৰু ট্ৰেপিজিয়ামটোৰ কালি ১৮০ বৰ্গ ছে.মি. হয়, তেন্তে সমান্তৰাল বাহু দুটাৰ দৈৰ্ঘ্য নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ ধৰাহ’ল বাহু দুটা $x$ আৰু $2x$।
$$\frac{1}{2}(x+2x)\times 12 = 180 \Rightarrow \frac{1}{2}\times 3x \times 12 = 180 \Rightarrow 18x = 180 \Rightarrow x = 10$$
সমান্তৰাল বাহু দুটাৰ দৈৰ্ঘ্য $=10$ ছে.মি. আৰু $2\times 10 = 20$ ছে.মি.।
অনুশীলনী ১১.২
১। এটা ঘনকৰ প্ৰতিটো ধাৰৰ দৈৰ্ঘ্য ২৭ ছে.মি.। ঘনকটোৰ পৃষ্ঠকালি নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ $$\text{পৃষ্ঠকালি} = 6l^2 = 6\times 27^2 = 6\times 729 = 4374 \text{ বৰ্গ ছে.মি.}$$
২। এটা কোঠাৰ মজিয়াৰ পৰিসীমা ৩০ মিটাৰ আৰু কোঠাটোৰ উচ্চতা ইয়াৰ পৰিসীমাৰ $\frac{1}{10}$ অংশ। কোঠাটোৰ চাৰিওখন দেৱালৰ কালি নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ উচ্চতা $h=\frac{1}{10}\times 30 = 3$ মিটাৰ। চাৰিওখন দেৱালৰ কালি $=$ পৰিসীমা $\times$ উচ্চতা।
$$= 30 \times 3 = 90 \text{ বৰ্গ মিটাৰ}$$
৩। এটা আয়তঘনৰ মুঠ পৃষ্ঠকালি আৰু পাৰ্শ্বপৃষ্ঠ কালি ক্ৰমে ৫০ বৰ্গ মিটাৰ আৰু ৩০ বৰ্গ মিটাৰ হ’লে ভূমিৰ পৃষ্ঠকালি নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ মুঠ পৃষ্ঠকালি $=2(lb+bh+lh)$ আৰু পাৰ্শ্বপৃষ্ঠ কালি $=2(bh+lh)$। ইয়াক বিয়োগ কৰিলে —
$$2lb = 50 – 30 = 20 \Rightarrow lb = 10 \text{ বৰ্গ মিটাৰ}$$
ভূমিৰ পৃষ্ঠকালি $=lb=10$ বৰ্গ মিটাৰ।
৪। ৮০ ছে.মি. × ৪৮ ছে.মি. × ২৪ ছে.মি. মাপৰ এটা বাকচ কাপোৰেৰে ঢাকিব লাগে। এনে ১০০ টা বাকচ ঢাকিবলৈ ৯৬ ছে.মি. বহল কাপোৰ কিমান মিটাৰ লাগিব?
উত্তৰঃ এটা বাকচৰ মুঠ পৃষ্ঠকালি —
$$2(lb+bh+lh) = 2(80\times 48 + 48\times 24 + 80\times 24) = 2(3840+1152+1920) = 13824 \text{ বৰ্গ ছে.মি.}$$
১০০ টা বাকচৰ মুঠ কালি $=13824\times 100 = 1382400$ বৰ্গ ছে.মি.। কাপোৰৰ বহল $=96$ ছে.মি.।
$$\text{কাপোৰৰ দৈৰ্ঘ্য} = \frac{1382400}{96} = 14400 \text{ ছে.মি.} = 144 \text{ মিটাৰ}$$
৫। এটা ৰোলাৰে ৫০০ বাৰ সম্পূৰ্ণ ঘূৰ্ণনত এখন খেলপথাৰ সমান কৰে। যদি ৰোলাৰটোৰ ব্যাস আৰু দৈৰ্ঘ্য ক্ৰমে ৮৪ ছে.মি. আৰু ১২০ ছে.মি. হয়, তেন্তে প্ৰতি বৰ্গমিটাৰত ৭৫ পইচা হাৰত মাটিখন সমান কৰাৰ খৰচ নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ ব্যাসাৰ্ধ $r=\frac{84}{2}=42$ ছে.মি., দৈৰ্ঘ্য $h=120$ ছে.মি.। এক ঘূৰ্ণনত ঢকা কালি $=$ বক্ৰপৃষ্ঠ কালি $=2\pi r h$।
$$2\pi r h = 2\times \frac{22}{7}\times 42 \times 120 = 31680 \text{ বৰ্গ ছে.মি.}$$
৫০০ ঘূৰ্ণনত সমান কৰা কালি $=31680\times 500 = 15840000$ বৰ্গ ছে.মি. $=1584$ বৰ্গ মিটাৰ। খৰচ $=1584\times 0.75 = ₹1188$।
৬। এমুৰ খোলা এটা চুঙাকৃতিৰ দৈৰ পাত্ৰৰ উচ্চতা ৩০ ছে.মি. আৰু ব্যাসাৰ্ধ ১৪ ছে.মি. হ’লে ইয়াৰ বক্ৰপৃষ্ঠ কালি নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ $$\text{বক্ৰপৃষ্ঠ কালি} = 2\pi r h = 2\times \frac{22}{7}\times 14 \times 30 = 2640 \text{ বৰ্গ ছে.মি.}$$
৭। ৫ ছে.মি. বাহুৰ ৩ টা ঘনক মুৰে মুৰে লগ লগাই এটা আয়তঘন গঠন কৰা হ’ল। এইদৰে গঠিত আয়তঘনটোৰ মুঠ পৃষ্ঠকালি নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ তিনিটা ঘনক মুৰে মুৰে লগ লগালে আয়তঘনটোৰ দীঘ $l=3\times 5 = 15$, প্ৰস্থ $b=5$, উচ্চতা $h=5$ ছে.মি.।
$$\text{মুঠ পৃষ্ঠকালি} = 2(lb+bh+lh) = 2(15\times 5 + 5\times 5 + 15\times 5) = 2(75+25+75) = 350 \text{ বৰ্গ ছে.মি.}$$
৮। ১৪ ছে.মি. উচ্চতাৰ এটা চুঙাৰ বক্ৰপৃষ্ঠ কালি ৮৮ বৰ্গ ছে.মি. হ’লে ভূমিৰ ব্যাস নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ $2\pi r h = 88$ হ’লে —
$$2\times \frac{22}{7}\times r \times 14 = 88 \Rightarrow 88r = 88 \Rightarrow r = 1 \text{ ছে.মি.}$$
ভূমিৰ ব্যাস $=2r=2$ ছে.মি.।
৯। এটা মন্দিৰত ২৫ টা লম্ব বৃত্তাকাৰ চুঙাকৃতিৰ খুঁটা আছে। প্ৰতিটো খুঁটাৰ উচ্চতা ৪ মিটাৰ আৰু ব্যাসাৰ্ধ ২৮ ছে.মি.। প্ৰতি বৰ্গমিটাৰত ৮ টকা হাৰত খুঁটাবোৰৰ বক্ৰপৃষ্ঠ ৰং কৰাৰ খৰচ নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ $r=28$ ছে.মি. $=0.28$ মিটাৰ, $h=4$ মিটাৰ। এটা খুঁটাৰ বক্ৰপৃষ্ঠ কালি —
$$2\pi r h = 2\times \frac{22}{7}\times 0.28 \times 4 = 7.04 \text{ বৰ্গ মিটাৰ}$$
২৫ টা খুঁটাৰ মুঠ কালি $=7.04\times 25 = 176$ বৰ্গ মিটাৰ। খৰচ $=176\times 8 = ₹1408$।
১০। ৭ ছে.মি. ব্যাস আৰু ১২ ছে.মি. উচ্চতাৰ এটা চুঙাকৃতিৰ গিলাচৰ পাৰ্শ্বপৃষ্ঠ কালি আৰু বৃত্তাকাৰ ভূমিৰ কালি নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ ব্যাসাৰ্ধ $r=\frac{7}{2}=3.5$ ছে.মি., $h=12$ ছে.মি.।
$$\text{পাৰ্শ্বপৃষ্ঠ কালি} = 2\pi r h = 2\times \frac{22}{7}\times 3.5 \times 12 = 264 \text{ বৰ্গ ছে.মি.}$$
$$\text{ভূমিৰ কালি} = \pi r^2 = \frac{22}{7}\times (3.5)^2 = 38.5 \text{ বৰ্গ ছে.মি.}$$
১১। এটা হিউম পাইপৰ প্ৰস্থচ্ছেদৰ ব্যাস আৰু দৈৰ্ঘ্য ক্ৰমে ১৪০০ মি.মি. আৰু ২৫০০ মি.মি.। প্ৰতি বৰ্গমিটাৰত ৮ টকা হাৰত এনে ২২ টা পাইপৰ বাহিৰফাল ৰং কৰাৰ খৰচ নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ ব্যাস $=1400$ মি.মি. $=1.4$ মিটাৰ, গতিকে $r=0.7$ মিটাৰ; দৈৰ্ঘ্য $h=2500$ মি.মি. $=2.5$ মিটাৰ। পাইপ দুয়োমুৰ খোলা, গতিকে বাহিৰৰ পৃষ্ঠকালি $=2\pi r h$।
$$2\pi r h = 2\times \frac{22}{7}\times 0.7 \times 2.5 = 11 \text{ বৰ্গ মিটাৰ}$$
২২ টা পাইপৰ মুঠ কালি $=11\times 22 = 242$ বৰ্গ মিটাৰ। খৰচ $=242\times 8 = ₹1936$।
অনুশীলনী ১১.৩
১। এটা আয়তঘন আকৃতিৰ পাত্ৰত ১০৫ লিটাৰ পানী ধৰে। যদি পাত্ৰটোৰ ভিতৰ ফালৰ ভূমিতলৰ মাপ ১৫ মিটাৰ × ৩.৫ মিটাৰ হয়, তেন্তে পাত্ৰটোৰ উচ্চতা কিমান?
উত্তৰঃ আয়তন $=105$ লিটাৰ $=\frac{105}{1000}=0.105$ ঘন মিটাৰ। ভূমিৰ কালি $=15\times 3.5 = 52.5$ বৰ্গ মিটাৰ।
$$h = \frac{\text{আয়তন}}{\text{ভূমিৰ কালি}} = \frac{0.105}{52.5} = 0.002 \text{ মিটাৰ} = 0.2 \text{ ছে.মি.}$$
২। এটা ধাতুৰ ঘনকৰ বাহুৰ মাপ ১২ ছে.মি.। ইয়াক গলাই তিনিটা সৰু ঘনক প্ৰস্তুত কৰা হয়। যদি দুটা সৰু ঘনকৰ বাহুৰ দৈৰ্ঘ্য ক্ৰমে ৬ ছে.মি. আৰু ৮ ছে.মি. হ’লে তৃতীয় ঘনকটোৰ বাহুৰ দৈৰ্ঘ্য উলিওৱা।
উত্তৰঃ ধাতুৰ পৰিমাণ (আয়তন) অপৰিবৰ্তিত থাকে। ধৰাহ’ল তৃতীয় ঘনকৰ বাহু $=x$।
$$12^3 = 6^3 + 8^3 + x^3 \Rightarrow 1728 = 216 + 512 + x^3 \Rightarrow x^3 = 1000 \Rightarrow x = 10$$
তৃতীয় ঘনকটোৰ বাহুৰ দৈৰ্ঘ্য $=10$ ছে.মি.।
৩। এটা আয়তঘনৰ আয়তন ৯০০ ঘন ছে.মি. আৰু ভূমিৰ কালি ১৮০ বৰ্গ ছে.মি. হ’লে উচ্চতা নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ $$h = \frac{\text{আয়তন}}{\text{ভূমিৰ কালি}} = \frac{900}{180} = 5 \text{ ছে.মি.}$$
৪। ৬০ ছে.মি. × ৫৪ ছে.মি. × ৩০ ছে.মি. মাপৰ এমুৰ খোলা এটা আয়তঘনৰ ভিতৰত ৬ ছে.মি. বাহুৰ কিমানটা ঘনক ভৰাব পৰা যায়?
উত্তৰঃ আয়তঘনৰ আয়তন $=60\times 54 \times 30 = 97200$ ঘন ছে.মি.; এটা ঘনকৰ আয়তন $=6^3 = 216$ ঘন ছে.মি.।
$$\text{ঘনকৰ সংখ্যা} = \frac{97200}{216} = 450$$
৫। ৬ মিটাৰ ব্যাস আৰু ২১ মিটাৰ গভীৰতাৰ এটা বৃত্তাকাৰ গাঁত খান্দিলে কিমান মাটি ওলাব?
উত্তৰঃ গাঁতটো এটা চুঙা। ব্যাসাৰ্ধ $r=\frac{6}{2}=3$ মিটাৰ, উচ্চতা (গভীৰতা) $h=21$ মিটাৰ।
$$\text{আয়তন} = \pi r^2 h = \frac{22}{7}\times 3^2 \times 21 = \frac{22}{7}\times 9 \times 21 = 594 \text{ ঘন মিটাৰ}$$
৬। এটা আয়তঘন আকৃতিৰ টেংকীত প্ৰতি মিনিটত ৪০ লিটাৰকৈ পানী ভৰোৱা হৈছে। যদি টেংকীটোৰ আয়তন ৫৪ ঘন মিটাৰ হয়, তেন্তে খালী টেংকীটো কিমান সময়ত পূৰ্ণ হ’ব?
উত্তৰঃ আয়তন $=54$ ঘন মিটাৰ $=54\times 1000 = 54000$ লিটাৰ।
$$\text{সময়} = \frac{54000}{40} = 1350 \text{ মিনিট} = 22.5 \text{ ঘণ্টা}$$
৭। ২২০০ ঘন ছে.মি. ধাতুৰ টুকুৰা এটা গলাই ০.৫ ছে.মি. ব্যাসৰ এডাল সুষম তাঁৰ তৈয়াৰ কৰা হ’ল। এই ধাতুৰ তাঁৰডালৰ দৈৰ্ঘ্য কিমান?
উত্তৰঃ তাঁৰডাল এটা চুঙা। ব্যাসাৰ্ধ $r=\frac{0.5}{2}=0.25$ ছে.মি.। আয়তন সমান থাকে —
$$\pi r^2 h = 2200 \Rightarrow \frac{22}{7}\times (0.25)^2 \times h = 2200 \Rightarrow h = \frac{2200\times 7}{22\times 0.0625} = 11200 \text{ ছে.মি.}$$
তাঁৰডালৰ দৈৰ্ঘ্য $=11200$ ছে.মি. $=112$ মিটাৰ।
৮। এটা আয়তঘনৰ আয়তন ৪৪০ ঘন ছে.মি. আৰু ভূমিৰ কালি ৮৮ বৰ্গ ছে.মি. হ’লে উচ্চতা উলিওৱা।
উত্তৰঃ $$h = \frac{440}{88} = 5 \text{ ছে.মি.}$$
৯। এটা আয়তঘনৰ আয়তন ১৬৮ ঘন মিটাৰ আৰু ভূমি পৃষ্ঠৰ কালি ২৮০০ বৰ্গ ছে.মি. হ’লে উচ্চতা নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ এককবোৰ একে কৰা প্ৰয়োজন। ভূমিৰ কালি $=2800$ বৰ্গ ছে.মি. $=\frac{2800}{10000}=0.28$ বৰ্গ মিটাৰ।
$$h = \frac{168}{0.28} = 600 \text{ মিটাৰ}$$
১০। এটা আয়তাকৃতিৰ চৌবাচ্চাৰ ভিতৰৰ দীঘ ৬ মিটাৰ, প্ৰস্থ ২ মিটাৰ আৰু উচ্চতা ১ মিটাৰ হ’লে চৌবাচ্চাটোত কিমান লিটাৰ পানী ধৰিব?
উত্তৰঃ আয়তন $=6\times 2 \times 1 = 12$ ঘন মিটাৰ। যিহেতু $1$ ঘন মিটাৰ $=1000$ লিটাৰ —
$$\text{ধাৰণ ক্ষমতা} = 12\times 1000 = 12000 \text{ লিটাৰ}$$
১১। এটা চুঙাৰ ভূমিতলৰ পৰিসীমা ১৩২ ছে.মি. আৰু উচ্চতা ২৫ ছে.মি. হ’লে চুঙাটোৰ আয়তন কিমান হ’ব?
উত্তৰঃ $2\pi r = 132$ হ’লে —
$$r = \frac{132\times 7}{2\times 22} = 21 \text{ ছে.মি.}$$
$$\text{আয়তন} = \pi r^2 h = \frac{22}{7}\times 21^2 \times 25 = 34650 \text{ ঘন ছে.মি.}$$
১২। দুটা সমআয়তনৰ চুঙাৰ উচ্চতাৰ অনুপাত ১:৪ হ’লে ইয়াৰ ব্যাসাৰ্ধৰ অনুপাত কিমান?
উত্তৰঃ আয়তন সমান হোৱাত $\pi r_1^2 h_1 = \pi r_2^2 h_2$।
$$\frac{r_1^2}{r_2^2} = \frac{h_2}{h_1} = \frac{4}{1} \Rightarrow \frac{r_1}{r_2} = \frac{2}{1}$$
ব্যাসাৰ্ধৰ অনুপাত $=2:1$।
১৩। এটা আয়তঘন আকৃতিৰ পানীৰ টেংকীৰ ভিতৰৰ মাপ ৪.২ মিটাৰ × ৩০০ ছে.মি. × ১.৮ মিটাৰ হ’লে টেংকীটোৱে ধাৰণ কৰা পানীৰ পৰিমাণ লিটাৰত প্ৰকাশ কৰা।
উত্তৰঃ $300$ ছে.মি. $=3$ মিটাৰ। আয়তন $=4.2\times 3 \times 1.8 = 22.68$ ঘন মিটাৰ।
$$\text{ধাৰণ ক্ষমতা} = 22.68\times 1000 = 22680 \text{ লিটাৰ}$$
১৪। এটা গোটা চুঙাকৃতি খুঁটাৰ মুঠ পৃষ্ঠকালি ৯২৪ বৰ্গ ছে.মি.। খুঁটাটোৰ বক্ৰপৃষ্ঠ কালি মুঠ পৃষ্ঠকালিৰ দুই-তৃতীয়াংশ হ’লে খুঁটাটোৰ ব্যাসাৰ্ধ আৰু আয়তন উলিওৱা।
উত্তৰঃ মুঠ পৃষ্ঠকালি $=2\pi r(r+h) = 924$; বক্ৰপৃষ্ঠ কালি $=2\pi r h = \frac{2}{3}\times 924 = 616$।
$$2\pi r^2 = 924 – 616 = 308 \Rightarrow \pi r^2 = 154 \Rightarrow r^2 = \frac{154\times 7}{22} = 49 \Rightarrow r = 7 \text{ ছে.মি.}$$
$2\pi r h = 616 \Rightarrow 44h = 616 \Rightarrow h = 14$ ছে.মি.।
$$\text{আয়তন} = \pi r^2 h = \frac{22}{7}\times 49 \times 14 = 2156 \text{ ঘন ছে.মি.}$$
তালিকা পূৰণ কৰা (পাঠ্যপুথিৰ অনুশীলন)
ক) আয়তঘনৰ আয়তনৰ তালিকা পূৰণ কৰা (আয়তন $=l\times b\times h$)।
| দীঘ $l$ (ছে.মি.) | প্ৰস্থ $b$ (ছে.মি.) | উচ্চতা $h$ (ছে.মি.) | আয়তন (ঘন ছে.মি.) |
|---|---|---|---|
| 10 | 7 | 6 | 420 |
| 8 | 9 | 12 | 864 |
| 3 | 6 | 11 | 198 |
| 4 | 15 | 20 | 1200 |
| 12 | 8 | 6 | 576 |
| 9 | 7 | 12 | 756 |
খ) চুঙাৰ আয়তনৰ তালিকা পূৰণ কৰা (ভূমিৰ কালি $=\pi r^2$, আয়তন $=\pi r^2 h$, $\pi=\frac{22}{7}$)।
| উচ্চতা $h$ (ছে.মি.) | ব্যাসাৰ্ধ $r$ (ছে.মি.) | ভূমিৰ কালি $\pi r^2$ (বৰ্গ ছে.মি.) | আয়তন (ঘন ছে.মি.) |
|---|---|---|---|
| 15 | 7 | 154 | 2310 |
| 10 | — | 44 | 440 |
| 20 | 0.7 | 1.54 | 30.8 |
| 2 | — | 250 | 500 |
অতিৰিক্ত প্ৰশ্ন আৰু উত্তৰ
বহুবিকল্প প্ৰশ্ন (MCQ)
১। ট্ৰেপিজিয়ামৰ কালিৰ সূত্ৰ কি? (ক) $\frac{1}{2}(a+b)h$ (খ) $a\times b$ (গ) $\pi r^2$ (ঘ) $l^3$
উত্তৰঃ (ক) $\frac{1}{2}(a+b)h$।
২। ঘনক এটাৰ মুঠ পৃষ্ঠকালি কি? (ক) $4l^2$ (খ) $6l^2$ (গ) $l^3$ (ঘ) $2l^2$
উত্তৰঃ (খ) $6l^2$।
৩। লম্ব বৃত্তাকাৰ চুঙাৰ আয়তন কি? (ক) $2\pi r h$ (খ) $\pi r^2$ (গ) $\pi r^2 h$ (ঘ) $\frac{1}{3}\pi r^2 h$
উত্তৰঃ (গ) $\pi r^2 h$।
৪। ১ ঘন মিটাৰ সমান কিমান লিটাৰ? (ক) ১০ (খ) ১০০ (গ) ১০০০ (ঘ) ১০০০০
উত্তৰঃ (গ) ১০০০ লিটাৰ।
৫। ৰম্বছৰ কালি কি? (ক) $d_1\times d_2$ (খ) $\frac{1}{2}d_1 d_2$ (গ) $4a$ (ঘ) $a^2$
উত্তৰঃ (খ) $\frac{1}{2}d_1 d_2$।
৬। আয়তঘনৰ আয়তন কি? (ক) $l\times b\times h$ (খ) $2(lb+bh+lh)$ (গ) $6l^2$ (ঘ) $\pi r^2 h$
উত্তৰঃ (ক) $l\times b\times h$।
৭। বৃত্তৰ কালি কি? (ক) $2\pi r$ (খ) $\pi r^2$ (গ) $\pi d$ (ঘ) $\frac{1}{2}\pi r$
উত্তৰঃ (খ) $\pi r^2$।
৮। ১ ঘন ছে.মি. সমান কিমান মি.লি.? (ক) ১ (খ) ১০ (গ) ১০০ (ঘ) ১০০০
উত্তৰঃ (ক) ১ মি.লি.।
৯। দুয়োমুৰ খোলা চুঙাৰ পৃষ্ঠকালি কি? (ক) $2\pi r(r+h)$ (খ) $2\pi r h$ (গ) $2\pi r h+\pi r^2$ (ঘ) $\pi r^2 h$
উত্তৰঃ (খ) $2\pi r h$।
১০। এটা ঘনকৰ আয়তন ৬৪ ঘন ছে.মি. হ’লে ইয়াৰ বাহুৰ দৈৰ্ঘ্য কিমান? (ক) ৪ ছে.মি. (খ) ৮ ছে.মি. (গ) ৬ ছে.মি. (ঘ) ১৬ ছে.মি.
উত্তৰঃ (ক) ৪ ছে.মি., কাৰণ $\sqrt[3]{64}=4$।
খালী ঠাই পূৰণ কৰা
১। আয়তঘনৰ মুঠ পৃষ্ঠকালি $=$ ______।
উত্তৰঃ $2(lb+bh+lh)$।
২। ঘনকৰ আয়তন $=$ ______।
উত্তৰঃ $l^3$।
৩। ১ লিটাৰ $=$ ______ ঘন ছে.মি.।
উত্তৰঃ ১০০০।
৪। বন্ধ চুঙাৰ মুঠ পৃষ্ঠকালি $=$ ______।
উত্তৰঃ $2\pi r(r+h)$।
৫। $\pi$-ৰ আসন্ন মান $=$ ______।
উত্তৰঃ $\frac{22}{7}$।
শুদ্ধ নে অশুদ্ধ লিখা
১। দুটা বেলেগ আকৃতিৰ পৰিসীমা সমান হ’লে ইহঁতৰ কালিও সদায় সমান হয়।
উত্তৰঃ অশুদ্ধ।
২। ঘনক হৈছে আয়তঘনৰ এক বিশেষ ৰূপ য’ত $l=b=h$।
উত্তৰঃ শুদ্ধ।
৩। আয়তন আৰু ধাৰণ ক্ষমতা সদায় সমান।
উত্তৰঃ অশুদ্ধ (দেৱালৰ ডাঠি নগণ্য হ’লেহে ইহঁত সমান বুলি ধৰা হয়)।
৪। দুয়োমুৰ খোলা চুঙাৰ পৃষ্ঠকালি $=2\pi r h$।
উত্তৰঃ শুদ্ধ।
৫। কালিৰ একক ঘন ছে.মি.।
উত্তৰঃ অশুদ্ধ (কালিৰ একক বৰ্গ ছে.মি.)।
চমু উত্তৰৰ প্ৰশ্ন
১। আয়তন আৰু ধাৰণ ক্ষমতাৰ পাৰ্থক্য কি?
উত্তৰঃ আয়তন হৈছে এটা বস্তুৱে অধিকাৰ কৰা স্থানৰ পৰিমাণ, আৰু ধাৰণ ক্ষমতা হৈছে এটা পাত্ৰই ভিতৰত ধৰি ৰাখিব পৰা পদাৰ্থৰ পৰিমাণ। পাত্ৰৰ দেৱালৰ ডাঠি নগণ্য হ’লে আয়তন আৰু ধাৰণ ক্ষমতা সমান বুলি ধৰা হয়।
২। পাৰ্শ্বপৃষ্ঠ কালি বুলিলে কি বুজা?
উত্তৰঃ কোনো ত্ৰিমাত্ৰিক গোটা বস্তুৰ (গোলকৰ বাহিৰে) ওপৰ আৰু তলৰ পৃষ্ঠ দুখন বাদ দি বাকী পৃষ্ঠবোৰৰ কালিৰ যোগফলক পাৰ্শ্বপৃষ্ঠ কালি বোলে। আয়তঘনৰ ক্ষেত্ৰত ই $2h(l+b)$।
৩। এটা বহুভুজৰ কালি কেনেকৈ উলিওৱা হয়?
উত্তৰঃ বহুভুজটোক কৰ্ণ বা লম্ব টানি ত্ৰিভুজ, আয়তক্ষেত্ৰ, বৰ্গ, ট্ৰেপিজিয়াম আদি চিনাকি আকৃতিত ভাগ কৰা হয়। সেই আকৃতিবোৰৰ কালিৰ যোগফলেই গোটেই বহুভুজৰ কালি।
৪। ৪ ছে.মি. বাহুৰ এটা ঘনকৰ আয়তন আৰু মুঠ পৃষ্ঠকালি উলিওৱা।
উত্তৰঃ আয়তন $=l^3 = 4^3 = 64$ ঘন ছে.মি.; মুঠ পৃষ্ঠকালি $=6l^2 = 6\times 16 = 96$ বৰ্গ ছে.মি.।
শব্দাৰ্থ
| অসমীয়া শব্দ | English term | অৰ্থ |
|---|---|---|
| পৰিমিতি | Mensuration | আকৃতিৰ কালি, পৃষ্ঠকালি আৰু আয়তন জোখা |
| কালি | Area | দ্বিমাত্ৰিক পৃষ্ঠই আগুৰি ৰখা ঠাই |
| পৰিসীমা | Perimeter | আকৃতি এটাৰ সীমাৰ মুঠ দৈৰ্ঘ্য |
| ট্ৰেপিজিয়াম | Trapezium | এযোৰ সমান্তৰাল বাহুযুক্ত চতুৰ্ভুজ |
| ৰম্বছ | Rhombus | চাৰিওটা বাহু সমান থকা সামান্তৰিক |
| বহুভুজ | Polygon | বহু সৰল ৰেখাৰে আৱদ্ধ আকৃতি |
| আয়তঘন | Cuboid | ছখন আয়তাকাৰ পৃষ্ঠযুক্ত গোটা বস্তু |
| ঘনক | Cube | ছখন সমান বৰ্গ পৃষ্ঠযুক্ত গোটা বস্তু |
| চুঙা | Cylinder | দুটা বৃত্তাকাৰ পৃষ্ঠ আৰু এটা বক্ৰপৃষ্ঠযুক্ত বস্তু |
| পৃষ্ঠকালি | Surface area | গোটা বস্তুৰ সকলো পৃষ্ঠৰ কালিৰ যোগফল |
| আয়তন | Volume | বস্তুৱে অধিকাৰ কৰা স্থানৰ পৰিমাণ |
| ধাৰণ ক্ষমতা | Capacity | পাত্ৰই ধৰি ৰাখিব পৰা পদাৰ্থৰ পৰিমাণ |
| বক্ৰপৃষ্ঠ কালি | Curved surface area | চুঙাৰ বেঁকা পৃষ্ঠৰ কালি |