ত্ৰিভুজ সৰ্বসমতা — প্ৰশ্ন উত্তৰ
HSLC Guru-ত আপোনাক স্বাগতম। এই পাঠত ASSEB Class 7 নতুন গণিতৰ নৱম অধ্যায় ত্ৰিভুজ সৰ্বসমতা (সৰ্বাংগসমতা)ৰ ধাৰণা, দুটা ত্ৰিভুজ সৰ্বাংগসম হোৱাৰ পাঁচোটা চৰ্ত আৰু পাঠ্যপুথিৰ প্ৰতিটো “কৰি চাওঁ আহা” বাকচ, ক্ৰিয়া-কলাপ আৰু অনুশীলনী ৯-ৰ সম্পূৰ্ণ সমাধান বিচাৰি পাব।
সাৰাংশ
দুটা জ্যামিতিক আকৃতিক ইটাৰ ওপৰত আনটো ৰাখিলে যদি সিহঁত সম্পূৰ্ণৰূপে ইটোৱে সিটোক ঢাকি পেলায় (হুবহু একে হয়), তেন্তে আকৃতি দুটাক সৰ্বাংগসম বোলে। সৰ্বাংগসম হ’বলৈ দুটা আকৃতিৰ আকাৰ আৰু আকৃতি একেই হ’ব লাগে। ব্লেড, ডাকটিকট বা একে মূল্যৰ নোটৰ দৰে আমাৰ চাৰিওফালে বহুতো সৰ্বাংগসমতাৰ উদাহৰণ আছে।
দুটা ত্ৰিভুজ সৰ্বাংগসম হয় নে নহয় জানিবলৈ তিনিওটা বাহু আৰু তিনিওটা কোণ জোখাৰ প্ৰয়োজন নাই। যিকোনো এটা চৰ্ত পূৰণ হ’লেই ত্ৰিভুজ দুটা সৰ্বাংগসম হয় — বাহু-বাহু-বাহু (বা-বা-বা), বাহু-কোণ-বাহু (বা-কো-বা), কোণ-বাহু-কোণ (কো-বা-কো), কোণ-কোণ-বাহু (কো-কো-বা) আৰু সমকোণী ত্ৰিভুজৰ বাবে সমকোণ-অতিভুজ-বাহু (স-অ-বা)। কেৱল তিনিটা কোণ সমান হ’লে (কোণ-কোণ-কোণ) বা দুটা বাহু আৰু অন্তৰ্ভুক্ত নোহোৱা এটা কোণ সমান হ’লে ত্ৰিভুজ দুটা সৰ্বাংগসম নহ’বও পাৰে।
সৰ্বাংগসমতাৰ ধাৰণাৰে সমদ্বিবাহু আৰু সমবাহু ত্ৰিভুজৰ কোণৰ ধৰ্মও বিশ্লেষণ কৰিব পাৰি। সমদ্বিবাহু ত্ৰিভুজৰ সমান বাহুৰ বিপৰীত কোণ দুটা সমান হয়, আৰু সমবাহু ত্ৰিভুজৰ প্ৰতিটো কোণৰ মান ৬০°।
Summary: This ASSEB Class 7 New Mathematics Chapter 9 (Congruence of Triangles) guide explains what congruent figures are and derives the five conditions of congruence of triangles — SSS, SAS, ASA, AAS and RHS — together with the ambiguous two-sides-and-a-non-included-angle case. It solves every “Work it Out” box (9.1–9.4), the in-text activities, and all of Exercise 9, and uses congruence to prove the angle properties of isosceles and equilateral triangles.
সৰ্বাংগসমতাৰ পাঁচোটা চৰ্ত
ওপৰৰ ছবিত $\triangle ABC \cong \triangle PQR$, কাৰণ তিনিওটা অনুৰূপ বাহু সমান (AB = PQ, BC = QR, CA = RP) — বাহু-বাহু-বাহু (বা-বা-বা) চৰ্ত।
দুটা বাহু আৰু সেই দুটা বাহুৰ অন্তৰ্ভুক্ত কোণ (মাজৰ কোণ) অনুৰূপভাৱে সমান হ’লে $\triangle ABC \cong \triangle PQR$ — বাহু-কোণ-বাহু (বা-কো-বা) চৰ্ত।
দুটা কোণ আৰু সেই কোণ দুটাৰ উমৈহতীয়া বাহু সমান হ’লে $\triangle ABC \cong \triangle PQR$ — কোণ-বাহু-কোণ (কো-বা-কো) চৰ্ত। ইয়াৰ পৰাই কোণ-কোণ-বাহু (কো-কো-বা) চৰ্তও পোৱা যায়, কাৰণ ত্ৰিভুজৰ তিনিওটা কোণৰ যোগফল ১৮০° হোৱাৰ বাবে দুটা কোণ জানিলে তৃতীয় কোণটোও জনা যায়।
এটা সমকোণী ত্ৰিভুজৰ অতিভুজ (AC) আৰু এটা বাহু (BC), আন এটা সমকোণী ত্ৰিভুজৰ অতিভুজ আৰু অনুৰূপ বাহুৰ সমান হ’লে $\triangle ABC \cong \triangle XYZ$ — সমকোণ-অতিভুজ-বাহু (স-অ-বা) চৰ্ত।
পাঠ্যপুথিৰ প্ৰশ্ন আৰু উত্তৰ
কৰি চাওঁ আহা ৯.১
১। তলৰ চিত্ৰ দুটা সৰ্বাংগসম হয় নে? (ক) (খ)
উত্তৰঃ এটা চিত্ৰ আনটোৰ ওপৰত ৰাখি চালে যদি সিহঁত হুবহু ইটোৱে সিটোক ঢাকি পেলায়, তেন্তহে দুয়োটা সৰ্বাংগসম। যি জোৰ চিত্ৰৰ আকৃতি আৰু আকাৰ একে (এটাক আনটোৰ ওপৰত ৰাখিলে সম্পূৰ্ণৰূপে মিলি যায়) সেইজোৰ সৰ্বাংগসম; যি জোৰৰ আকাৰ বেলেগ, সেইজোৰ সৰ্বাংগসম নহয়।
২। সৰ্বাংগসম চিত্ৰবোৰত ‘✓’ চিন দিয়া। (i) (ii) (iii) (iv)
উত্তৰঃ প্ৰতিজোৰ চিত্ৰ ইটাৰ ওপৰত আনটো ৰাখি (বা কাটি ভাঁজ কৰি) পৰীক্ষা কৰিব লাগে। যিবোৰ জোৰ সম্পূৰ্ণৰূপে ইটোৱে সিটোৰ ওপৰত অধিষ্ঠিত হয় — অৰ্থাৎ আকৃতি আৰু আকাৰ দুয়োটা একে — কেৱল সেই জোৰবোৰতহে ‘✓’ চিন দিব লাগে। আকাৰ বেলেগ হ’লে (এটা ডাঙৰ, আনটো সৰু) সেই জোৰত চিন নিদিব।
কৰি চাওঁ আহা ৯.২
১। সমান ৰেখাখণ্ডবোৰ বিচাৰি উলিওৱা। মানসমূহ — (i) 3 চে.মি., (ii) 5 চে.মি., (iii) 3 চে.মি., (iv) 5 চে.মি., (v) 3 চে.মি., (vi) 6 চে.মি., (vii) 5 চে.মি.।
উত্তৰঃ এটা ৰেখাখণ্ড আনটোৰ সৈতে সম্পূৰ্ণৰূপে মিলিলে (দৈৰ্ঘ্য সমান হ’লে) সিহঁত সমান। অৱস্থান বা দিশ বেলেগ হ’লেও কোনো প্ৰভাৱ নপৰে। গতিকে —
- 3 চে.মি. দৈৰ্ঘ্যৰ (i), (iii) আৰু (v) পৰস্পৰ সমান।
- 5 চে.মি. দৈৰ্ঘ্যৰ (ii), (iv) আৰু (vii) পৰস্পৰ সমান।
- 6 চে.মি. দৈৰ্ঘ্যৰ (vi)-ৰ সমান আন কোনো নাই।
২। সমান কোণবোৰ বিচাৰি উলিওৱা। মানসমূহ — 35°, 35°, 90°, 35°, 90°, 45°, 35°, 90°।
উত্তৰঃ দুটা কোণৰ মাপ সমান হ’লে বাহুৰ দৈৰ্ঘ্য বা অৱস্থান যিয়েই নহওক, কোণ দুটা সমান। গতিকে —
- 35°-ৰ সকলো কোণ (35° মাপৰবোৰ) পৰস্পৰ সমান।
- 90°-ৰ সকলো কোণ (সমকোণবোৰ) পৰস্পৰ সমান।
- 45°-ৰ কোণটোৰ সমান আন কোনো কোণ নাই।
৩। শুদ্ধ নে অশুদ্ধ লিখা।
উত্তৰঃ (i) দুটা ৰেখাখণ্ড সমান হ’বলৈ সিহঁতৰ অৱস্থান একে হ’ব লাগিব — অশুদ্ধ (কেৱল দৈৰ্ঘ্য সমান হ’লেই হ’ল)। (ii) এটা ৰেখাখণ্ডৰ সমান একাধিক ৰেখা থাকিব পাৰে — শুদ্ধ। (iii) কোণ সমান হ’বলৈ অৱস্থান নিৰ্বিশেষে মাপ সমান হ’ব লাগে — শুদ্ধ। (iv) বাহুৰ দৈৰ্ঘ্য বেলেগ হ’লেও দুটা কোণৰ মাপ সমান হ’লে কোণ দুটা সমান — শুদ্ধ।
৪। ‘ক’ স্তম্ভ ‘খ’ স্তম্ভৰ সৈতে মিলাই শুদ্ধ উত্তৰটো বাছি উলিওৱা। ক: [P] সৰ্বাংগসম বৃত্ত আঁকিবলৈ, [Q] সৰ্বাংগসম বৰ্গ আঁকিবলৈ, [R] সৰ্বাংগসম আয়ত আঁকিবলৈ, [S] দুটা দ্বি-বাহুৰ চিত্ৰ সৰ্বাংগসম হ’বলৈ। খ: (i) বাহুৰ দৈৰ্ঘ্য সমান হ’ব লাগে, (ii) অনুৰূপ দৈৰ্ঘ্য আৰু প্ৰস্থ সমান হ’ব লাগে, (iii) মাজৰ কোণ সমান হ’ব লাগে, (iv) ব্যাসাৰ্ধৰ মাপ সমান হ’ব লাগে।
উত্তৰঃ P → (iv) ব্যাসাৰ্ধ সমান, Q → (i) বাহু সমান, R → (ii) দৈৰ্ঘ্য আৰু প্ৰস্থ সমান, S → (iii) মাজৰ কোণ সমান। গতিকে শুদ্ধ বিকল্পটো হ’ল [D] P → (iv), Q → (i), R → (ii), S → (iii)।
ক্ৰিয়া-কলাপ
১। চিত্ৰত AB = 5 চে.মি., BC = CA = আদি দিয়া $\triangle ABC$ আৰু $\triangle PRQ$ সৰ্বাংগসম হয় নে? (AB = PR, BC = RQ, AC = PQ)
উত্তৰঃ দুয়োটা ত্ৰিভুজ কাগজত আঁকি কাটি এটাক আনটোৰ ওপৰত ৰাখিলে সিহঁত সম্পূৰ্ণৰূপে মিলি যায়। ইয়াত AB = PR, BC = RQ, AC = PQ আৰু $\angle A = \angle P$, $\angle B = \angle R$, $\angle C = \angle Q$। অৰ্থাৎ অনুৰূপ শীৰ্ষবোৰ A ও P, B ও R, C ও Q; গতিকে তিনিওটা বাহু সমান হোৱাৰ বাবে বাহু-বাহু-বাহু চৰ্তত $\triangle ABC \cong \triangle PRQ$। ইয়াক $\triangle BCA \cong \triangle RQP$, $\triangle CAB \cong \triangle QPR$ আদিভাৱেও লিখিব পাৰি, কিন্তু $\triangle ABC \cong \triangle PQR$ লিখিব নোৱাৰি কাৰণ $\angle B \ne \angle Q$ আৰু AB ≠ PQ।
২। তলৰ ABCD সামন্তৰিকটোত এযোৰ সৰ্বাংগসম ত্ৰিভুজ চিনাক্ত কৰা আৰু অনুৰূপ বাহু, কোণ ও শীৰ্ষ লিখা।
উত্তৰঃ কৰ্ণ AC-এ সামন্তৰিকটোক $\triangle ABC$ আৰু $\triangle CDA$-ত ভাগ কৰে। সামন্তৰিকৰ বিপৰীত বাহু সমান হোৱা বাবে AB = CD আৰু BC = DA; আৰু AC উমৈহতীয়া বাহু। গতিকে বাহু-বাহু-বাহু চৰ্তত $\triangle ABC \cong \triangle CDA$। অনুৰূপ শীৰ্ষ: A ও C, B ও D, C ও A; অনুৰূপ বাহু: AB ও CD, BC ও DA, CA ও AC; অনুৰূপ কোণ: $\angle BAC = \angle DCA$, $\angle ABC = \angle CDA$, $\angle BCA = \angle DAC$।
কৰি চাওঁ আহা ৯.৩
১। বৃত্তটোৰ দুডাল সমান জ্যা AB আৰু CD। প্ৰমাণ কৰা যে $\triangle AOB \cong \triangle COD$ (O কেন্দ্ৰ)।
উত্তৰঃ $\triangle AOB$ আৰু $\triangle COD$-ত — OA = OC (একে বৃত্তৰ ব্যাসাৰ্ধ), OB = OD (ব্যাসাৰ্ধ) আৰু AB = CD (দিয়া সমান জ্যা)। তিনিওটা বাহু অনুৰূপভাৱে সমান, গতিকে বাহু-বাহু-বাহু চৰ্তত $\triangle AOB \cong \triangle COD$।
২। এখন ঘুৰী (kite) ABCD-ত প্ৰমাণ কৰা — (i) $\triangle ABC \cong \triangle ADC$; (ii) AC বাহুৱে $\angle BAD$ আৰু $\angle BCD$-ক সমান দুভাগত বিভক্ত কৰে নে? কাৰণসহ।
উত্তৰঃ (i) ঘুৰীৰ AB = AD আৰু CB = CD, আৰু AC উমৈহতীয়া বাহু। গতিকে বাহু-বাহু-বাহু চৰ্তত $\triangle ABC \cong \triangle ADC$। (ii) হয়। সৰ্বাংগসম ত্ৰিভুজৰ অনুৰূপ কোণ সমান হোৱা বাবে $\angle BAC = \angle DAC$ আৰু $\angle BCA = \angle DCA$। গতিকে AC বাহুৱে $\angle BAD$ আৰু $\angle BCD$ দুয়োটাকে সমান দুভাগত বিভক্ত কৰে।
৩। চিত্ৰত ABCD এটা আয়ত আৰু AQD ও BPC দুটা ত্ৰিভুজ (AQ = QD = BP = PC)। প্ৰমাণ কৰা যে $\triangle AQD \cong \triangle BPC$।
উত্তৰঃ $\triangle AQD$ আৰু $\triangle BPC$-ত — AQ = BP আৰু QD = PC (চিত্ৰত চিহ্নিত সমান বাহু), আৰু AD = BC (আয়তৰ বিপৰীত বাহু সমান)। তিনিওটা বাহু অনুৰূপভাৱে সমান, গতিকে বাহু-বাহু-বাহু চৰ্তত $\triangle AQD \cong \triangle BPC$।
কৰি চাওঁ আহা ৯.৪
১। তলৰ চিত্ৰবোৰৰ পৰা সৰ্বাংগসম ত্ৰিভুজবোৰ চিনাক্ত কৰি সৰ্বাংগসমতাৰ চৰ্তৰ উল্লেখ কৰা। (ক)–(ঙ)
উত্তৰঃ
- (ক) ঘুৰী ABCD-ত AB = AD = 3 চে.মি., $\angle BAC = \angle DAC$ (চিহ্নিত সমান কোণ) আৰু AC উমৈহতীয়া বাহু। গতিকে $\triangle ABC \cong \triangle ADC$ — বাহু-কোণ-বাহু (বা-কো-বা) চৰ্ত।
- (খ) $\triangle PQR$-ত PQ = 5, QR = 4, PR = 5.5 চে.মি. আৰু আন ত্ৰিভুজটোত XY = 5, YZ = 4, XZ = 5.5 চে.মি.। তিনিওটা বাহু সমান, গতিকে $\triangle PQR \cong \triangle XYZ$ — বাহু-বাহু-বাহু (বা-বা-বা) চৰ্ত।
- (গ) O-ত ছেদ কৰা দুটা ত্ৰিভুজত $\angle ABO = \angle CDO = 70°$, BO = DO (চিহ্নিত সমান বাহু) আৰু $\angle AOB = \angle COD = 30°$ (বিপ্ৰতীপ কোণ)। গতিকে $\triangle ABO \cong \triangle CDO$ — কোণ-বাহু-কোণ (কো-বা-কো) চৰ্ত।
- (ঘ) দুয়োটা ত্ৰিভুজৰ কোণ 30°, 70° আৰু 110° সমান হ’লেও কোনো বাহুৰ মাপ দিয়া নাই। কেৱল তিনিটা কোণ (কোণ-কোণ-কোণ) সৰ্বাংগসমতাৰ চৰ্ত নহয়; গতিকে ত্ৰিভুজ দুটা সৰ্বাংগসম নহ’বও পাৰে।
- (ঙ) ইয়াত AB = DC = 3 চে.মি., $\angle A = \angle D = 80°$ আৰু BC উমৈহতীয়া বাহু — অৰ্থাৎ দুটা বাহু আৰু অন্তৰ্ভুক্ত নোহোৱা এটা কোণ দিয়া হৈছে। এই চৰ্তে সৰ্বাংগসমতা নিশ্চিত নকৰে, গতিকে ত্ৰিভুজ দুটা সৰ্বাংগসম বুলি ক’ব নোৱাৰি।
২। ABC এটা সমদ্বিবাহু ত্ৰিভুজ, AB = AC আৰু D হ’ল BC-ৰ মধ্যবিন্দু। (i) BD = CD নে? (ii) $\triangle ABD \cong \triangle ACD$ নে? কাৰণসহ।
উত্তৰঃ (i) হয়। D হৈছে BC-ৰ মধ্যবিন্দু, গতিকে BD = CD। (ii) হয়। $\triangle ABD$ আৰু $\triangle ACD$-ত AB = AC (দিয়া), BD = CD (মধ্যবিন্দু) আৰু AD = AD (উমৈহতীয়া বাহু)। তিনিওটা বাহু সমান, গতিকে বাহু-বাহু-বাহু চৰ্তত $\triangle ABD \cong \triangle ACD$।
৩। ABCD চতুৰ্ভুজৰ কৰ্ণ AC আৰু BD পৰস্পৰক O-ত সমদ্বিখণ্ডিত কৰে। (i) AO = CO আৰু BO = DO নে? (ii) $\angle AOB = \angle COD$ নে? হ’লে কিয়? (iii) $\triangle AOB$-ৰ সৈতে সৰ্বাংগসম কোনো ত্ৰিভুজ আছে নে? (iv) $\triangle AOB \cong \triangle DOC$ নে $\triangle AOB \cong \triangle COD$ — কোনটো শুদ্ধ?
উত্তৰঃ (i) হয়। কৰ্ণ দুটাই পৰস্পৰক সমদ্বিখণ্ডিত কৰা বাবে AO = CO আৰু BO = DO। (ii) হয়, $\angle AOB = \angle COD$ কাৰণ ইহঁত বিপ্ৰতীপ কোণ। (iii) হয়, $\triangle COD$ ত্ৰিভুজটো $\triangle AOB$-ৰ সৈতে সৰ্বাংগসম (AO = CO, BO = DO আৰু অন্তৰ্ভুক্ত কোণ $\angle AOB = \angle COD$ — বাহু-কোণ-বাহু চৰ্ত)। (iv) শুদ্ধটো হ’ল $\triangle AOB \cong \triangle COD$ (A → C, O → O, B → D অনুৰূপ)।
সমদ্বিবাহু আৰু সমবাহু ত্ৰিভুজৰ কোণ
সমদ্বিবাহু ত্ৰিভুজৰ ধৰ্ম: $\triangle ABC$-ত AB = AC আৰু $\angle A = 70°$ হ’লে $\angle B$ আৰু $\angle C$ উলিওৱা।
উত্তৰঃ BC-ৰ ওপৰত লম্ব AD আঁকা। $\triangle ABD$ আৰু $\triangle ACD$-ত AB = AC (দিয়া), $\angle ADB = \angle ADC = 90°$ (AD লম্ব) আৰু AD = AD (উমৈহতীয়া বাহু)। গতিকে সমকোণ-অতিভুজ-বাহু চৰ্তত $\triangle ABD \cong \triangle ACD$, সেয়ে $\angle B = \angle C$ (অনুৰূপ অংশ)। অৰ্থাৎ সমদ্বিবাহু ত্ৰিভুজত সমান বাহুৰ বিপৰীত কোণ সমান। এতিয়া $\angle A + \angle B + \angle C = 180°$ হোৱাত $\angle B + \angle C = 180° − 70° = 110°$, আৰু $\angle B = \angle C$; গতিকে $\angle B = \angle C = 110° ÷ 2 = 55°$।
সমবাহু ত্ৰিভুজৰ ধৰ্ম: সমবাহু ত্ৰিভুজ ABC-ৰ $\angle A$, $\angle B$, $\angle C$-ৰ মান কিমান?
উত্তৰঃ সমবাহু ত্ৰিভুজৰ AB = BC = CA। AB = CA হ’লে $\angle B = \angle C$; AB = BC হ’লে $\angle A = \angle C$; গতিকে $\angle A = \angle B = \angle C$। যিহেতু $\angle A + \angle B + \angle C = 180°$, তেন্তে প্ৰতিটো কোণ $= 180° ÷ 3 = 60°$। সেয়ে $\angle A = \angle B = \angle C = 60°$।
অনুশীলনী ৯
১। শুদ্ধ উত্তৰটো বাছি উলিওৱা।
(i) $\triangle ABC$-ত AB = 4, BC = 5, AC = 6 চে.মি. আৰু $\triangle PQR$-ত PQ = 4, QR = 5, PR = 6 চে.মি. হ’লে কোনটো শুদ্ধ?
উত্তৰঃ B. $\triangle ABC \cong \triangle PQR$ (AB = PQ, BC = QR, AC = PR — বাহু-বাহু-বাহু চৰ্ত)।
(ii) $\triangle ABC$-ত $\angle A = 90°$, AB = AC হ’লে —
উত্তৰঃ A. $\angle B = \angle C = 45°$ (AB = AC বাবে $\angle B = \angle C$, আৰু $\angle B + \angle C = 180° − 90° = 90°$)।
(iii) সমবাহু ত্ৰিভুজৰ প্ৰতিটো কোণৰ মাপ —
উত্তৰঃ A. 60°।
(iv) চিত্ৰত AB = CD, AD = CB, $\angle DAB = \angle BCD$ হ’লে —
উত্তৰঃ B. $\triangle BAD \cong \triangle DCB$ (BA = DC, AD = CB আৰু অন্তৰ্ভুক্ত কোণ $\angle BAD = \angle DCB$ — বাহু-কোণ-বাহু চৰ্ত)।
(v) $\triangle ABC$-ত AB = 7, BC = 5 চে.মি., $\angle B = 50°$ আৰু $\triangle DEF$-ত DE = 5, EF = 7 চে.মি., $\angle E = 50°$ হ’লে কোন চৰ্তত সৰ্বাংগসম?
উত্তৰঃ A. বাহু-কোণ-বাহু (S-A-S)। AB = 7 = EF, BC = 5 = DE আৰু অন্তৰ্ভুক্ত কোণ $\angle B = \angle E = 50°$।
(vi) $\triangle ABC$ আৰু $\triangle PQR$-ত $\angle B = \angle P = 90°$ আৰু AB = RP। দুয়োটা ত্ৰিভুজ সৰ্বাংগসম হ’ব যদি —
উত্তৰঃ A. AC = RQ। AC আৰু RQ হৈছে দুয়োটা সমকোণী ত্ৰিভুজৰ অতিভুজ, আৰু AB = RP এটা বাহু; গতিকে সমকোণ-অতিভুজ-বাহু (R-H-S) চৰ্তত সৰ্বাংগসম।
(vii) $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ আৰু $\angle A = 50°$, $\angle E = 85°$ হ’লে $\angle C = $?
উত্তৰঃ B. 45°। $\angle A = \angle D = 50°$, $\angle B = \angle E = 85°$; গতিকে $\angle C = 180° − 50° − 85° = 45°$।
২। শুদ্ধ নে অশুদ্ধ লিখা।
উত্তৰঃ (i) কোণ-কোণ-বাহু চৰ্ত কোণ-বাহু-কোণ চৰ্তৰ পৰা পোৱা যায় — শুদ্ধ (তৃতীয় কোণটো নিৰ্ধাৰিত হয় বাবে)। (ii) দুটা সমবাহু ত্ৰিভুজ সদায়ে সৰ্বাংগসম — অশুদ্ধ (কোণ একে হ’লেও আকাৰ বেলেগ হ’ব পাৰে)। (iii) কোণ-কোণ-কোণ সৰ্বাংগসমতাৰ চৰ্ত — অশুদ্ধ। (iv) দুটা সৰ্বাংগসম ত্ৰিভুজৰ অনুৰূপ কোণ সমান — শুদ্ধ।
৩। অভিমত [A]: $\triangle ABC$-ত AB = AC আৰু D হ’ল BC-ৰ মধ্যবিন্দু হ’লে AD ⟂ BC। কাৰণ [R]: এটা ত্ৰিভুজৰ তিনিওটা বাহু আন এটা ত্ৰিভুজৰ তিনিওটা বাহুৰ সমান হ’লে ত্ৰিভুজ দুটা সৰ্বাংগসম।
উত্তৰঃ C. A আৰু R দুয়োটা শুদ্ধ আৰু R হৈছে A-ৰ শুদ্ধ ব্যাখ্যা। $\triangle ABD$ আৰু $\triangle ACD$-ত AB = AC, BD = CD, AD = AD — বাহু-বাহু-বাহু চৰ্তত সৰ্বাংগসম; সেয়ে $\angle ADB = \angle ADC$, আৰু ইহঁত সন্মিলিতভাৱে 180° হোৱাত প্ৰতিটো 90°, অৰ্থাৎ AD ⟂ BC।
৪। $\triangle ABC$-ত $\angle B = \angle C$; BL আৰু CM ক্ৰমে $\angle B$ আৰু $\angle C$-ৰ সমদ্বিখণ্ডক। প্ৰমাণ কৰা যে BL = CM।
উত্তৰঃ $\angle B = \angle C$ বাবে অৰ্ধেক কৰিলে $\angle MBC = \tfrac{1}{2}\angle B = \tfrac{1}{2}\angle C = \angle LCB$। এতিয়া $\triangle MBC$ আৰু $\triangle LCB$-ত — $\angle MBC = \angle LCB$, BC = CB (উমৈহতীয়া বাহু) আৰু $\angle MCB = \angle LBC$ (যিহেতু $\angle B = \angle C$)। গতিকে কোণ-বাহু-কোণ চৰ্তত $\triangle MBC \cong \triangle LCB$, সেয়ে অনুৰূপ বাহু হিচাপে CM = BL, অৰ্থাৎ BL = CM।
৫। চিত্ৰত BD আৰু CE হৈছে $\triangle ABC$-ৰ দুডাল উচ্চতা আৰু BD = CE। (i) $\triangle CBD$ আৰু $\triangle BCE$-ৰ তিনিটা সমান অংশ লিখা; (ii) $\triangle CBD \cong \triangle BCE$ নে? (iii) $\angle DCB = \angle EBC$ নে? কাৰণসহ।
উত্তৰঃ (i) $\angle BDC = \angle CEB = 90°$ (উচ্চতা), BD = CE (দিয়া) আৰু BC = CB (উমৈহতীয়া অতিভুজ)। (ii) হয়। ওপৰৰ তিনিটা অংশৰ পৰা সমকোণ-অতিভুজ-বাহু চৰ্তত $\triangle CBD \cong \triangle BCE$। (iii) হয়, $\angle DCB = \angle EBC$, কাৰণ ই সৰ্বাংগসম ত্ৰিভুজৰ অনুৰূপ কোণ।
৬। AD-এ $\angle A$-ক সমদ্বিখণ্ডিত কৰে আৰু $\triangle ABC$-ত AB = AC। প্ৰমাণ কৰা যে সমান বাহুৰ বিপৰীত কোণ সমান।
উত্তৰঃ $\triangle ABD$ আৰু $\triangle ACD$-ত — AB = AC (দিয়া), $\angle BAD = \angle CAD$ (AD-এ $\angle A$ সমদ্বিখণ্ডিত কৰে) আৰু AD = AD (উমৈহতীয়া বাহু)। গতিকে বাহু-কোণ-বাহু চৰ্তত $\triangle ABD \cong \triangle ACD$; সেয়ে অনুৰূপ কোণ হিচাপে $\angle B = \angle C$। অৰ্থাৎ সমান বাহু AB আৰু AC-ৰ বিপৰীত কোণ দুটা সমান।
৭। সমদ্বিবাহু ত্ৰিভুজ ABC-ত AB = AC আৰু AD উচ্চতা। (i) $\triangle ABD \cong \triangle ADC$ নে? (ii) $\angle B = \angle C$ নে? (iii) BD = CD নে? কাৰণসহ।
উত্তৰঃ (i) হয়। $\triangle ABD$ আৰু $\triangle ACD$-ত AB = AC (দিয়া), $\angle ADB = \angle ADC = 90°$ (AD উচ্চতা) আৰু AD = AD (উমৈহতীয়া বাহু) — সমকোণ-অতিভুজ-বাহু চৰ্তত $\triangle ABD \cong \triangle ACD$। (ii) হয়, $\angle B = \angle C$ (অনুৰূপ কোণ)। (iii) হয়, BD = CD (অনুৰূপ বাহু)।
৮। O কেন্দ্ৰযুক্ত বৃত্তত $\angle AOB = 70°$। যদি $\angle ODC = 55°$ হয়, তেন্তে $\angle DOC$, $\angle DCO$, $\angle OBA$ আৰু $\angle OAB$-ৰ মান উলিওৱা।
উত্তৰঃ OA = OB = OC = OD (একে বৃত্তৰ ব্যাসাৰ্ধ)। $\triangle OAB$ সমদ্বিবাহু (OA = OB), গতিকে $\angle OAB = \angle OBA = (180° − 70°) ÷ 2 = 55°$। $\triangle OCD$ সমদ্বিবাহু (OC = OD), গতিকে $\angle DCO = \angle ODC = 55°$ আৰু $\angle DOC = 180° − 55° − 55° = 70°$। সেয়ে $\angle DOC = 70°$, $\angle DCO = 55°$, $\angle OBA = 55°$, $\angle OAB = 55°$।
৯। খালী ঠাই পূৰ কৰা।
উত্তৰঃ (i) দুটা ত্ৰিভুজৰ আকৃতি আৰু কালি সমান হ’লে ত্ৰিভুজ দুটা সৰ্বাংগসম হয়। (ii) দুটা সমকোণী ত্ৰিভুজৰ অনুৰূপ অতিভুজ আৰু এটা বাহু সমান হ’লে ত্ৰিভুজ দুটা সমকোণ-অতিভুজ-বাহু (স-অ-বা) চৰ্তত সৰ্বাংগসম হয়। (iii) $\triangle PQR \cong \triangle NML$ হ’লে PR বাহু আৰু NL বাহু পৰস্পৰ সমান। (iv) দুটা ত্ৰিভুজ সৰ্বাংগসম হ’লে সিহঁতৰ পৰিসীমা সমান হয়।
প্ৰকল্প
দিয়া চিত্ৰটোৰ পৰা অজ্ঞাত কোণবোৰ উলিওৱা।
উত্তৰঃ এইটো এটা অনুশীলন-প্ৰকল্প। চিত্ৰটোৰ প্ৰতিটো ত্ৰিভুজত তিনিওটা কোণৰ যোগফল ১৮০° — এই সূত্ৰ প্ৰয়োগ কৰি অজ্ঞাত কোণটো উলিয়াব লাগে (দুটা কোণ জনা থাকিলে তৃতীয়টো = 180° − (প্ৰথম + দ্বিতীয়))। প্ৰয়োজন হ’লে সৰলৰেখাৰ ওপৰত থকা কোণৰ যোগফল ১৮০° আৰু বিপ্ৰতীপ কোণ সমান — এই ধৰ্মবোৰো ব্যৱহাৰ কৰি প্ৰতিটো অজ্ঞাত কোণৰ মান ক্ৰমে বিচাৰি উলিয়াব লাগে।
অতিৰিক্ত প্ৰশ্ন আৰু উত্তৰ
বহুবিকল্পীয় প্ৰশ্ন (MCQ)
১। সৰ্বাংগসমতা বুজাবলৈ ব্যৱহৃত চিহ্নটো হ’ল — (ক) = (খ) ≈ (গ) ≅ (ঘ) ∼
উত্তৰঃ (গ) ≅।
২। তলৰ কোনটো ত্ৰিভুজৰ সৰ্বাংগসমতাৰ চৰ্ত নহয়? (ক) বা-বা-বা (খ) কো-বা-কো (গ) কো-কো-কো (ঘ) স-অ-বা
উত্তৰঃ (গ) কো-কো-কো (কোণ-কোণ-কোণ)।
৩। সমকোণ-অতিভুজ-বাহু (RHS) চৰ্ত কেৱল কোন ধৰণৰ ত্ৰিভুজৰ ক্ষেত্ৰত প্ৰযোজ্য? (ক) সমবাহু (খ) সমকোণী (গ) সমদ্বিবাহু (ঘ) বিষমবাহু
উত্তৰঃ (খ) সমকোণী ত্ৰিভুজ।
৪। $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ হ’লে BC বাহুৰ অনুৰূপ বাহু হ’ল — (ক) DE (খ) EF (গ) DF (ঘ) AC
উত্তৰঃ (খ) EF।
৫। সমবাহু ত্ৰিভুজৰ প্ৰতিটো কোণৰ মান — (ক) 45° (খ) 50° (গ) 60° (ঘ) 90°
উত্তৰঃ (গ) 60°।
৬। বাহু-কোণ-বাহু চৰ্তত “কোণ”টো হ’ব লাগে — (ক) যিকোনো এটা কোণ (খ) দুটা বাহুৰ অন্তৰ্ভুক্ত কোণ (গ) অতিভুজৰ বিপৰীত কোণ (ঘ) এটা সমকোণ
উত্তৰঃ (খ) দুটা বাহুৰ অন্তৰ্ভুক্ত (মাজৰ) কোণ।
৭। এটা সমদ্বিবাহু ত্ৰিভুজৰ শীৰ্ষকোণ 40° হ’লে ভূমিৰ প্ৰতিটো কোণ — (ক) 40° (খ) 60° (গ) 70° (ঘ) 100°
উত্তৰঃ (গ) 70° [(180° − 40°) ÷ 2 = 70°]।
৮। দুটা বাহু আৰু অন্তৰ্ভুক্ত নোহোৱা এটা কোণ সমান হ’লে দুটা ত্ৰিভুজ — (ক) সদায় সৰ্বাংগসম (খ) সৰ্বাংগসম নহ’বও পাৰে (গ) সদায় সমবাহু (ঘ) সদায় সমকোণী
উত্তৰঃ (খ) সৰ্বাংগসম নহ’বও পাৰে।
৯। সৰ্বাংগসম ত্ৰিভুজৰ ক্ষেত্ৰত “CPCT”-এ বুজায় — (ক) সমান বাহু (খ) সৰ্বাংগসম ত্ৰিভুজৰ অনুৰূপ অংশ (গ) সমান কোণ (ঘ) সমান পৰিসীমা
উত্তৰঃ (খ) সৰ্বাংগসম ত্ৰিভুজৰ অনুৰূপ অংশ (Corresponding Parts of Congruent Triangles)।
১০। এটা বৃত্তৰ দুডাল সমান জ্যাই কেন্দ্ৰত উৎপন্ন কৰা ত্ৰিভুজ দুটা কোন চৰ্তত সৰ্বাংগসম? (ক) বা-বা-বা (খ) কো-কো-কো (গ) স-অ-বা (ঘ) কোনোটোৱে নহয়
উত্তৰঃ (ক) বাহু-বাহু-বাহু (দুই ব্যাসাৰ্ধ + সমান জ্যা)।
খালী ঠাই পূৰ কৰা
১। সৰ্বাংগসম চিত্ৰৰ আকৃতি আৰু ______ একে হয়।
উত্তৰঃ আকাৰ।
২। ত্ৰিভুজৰ তিনিওটা কোণৰ যোগফল ______ ডিগ্ৰী।
উত্তৰঃ ১৮০।
৩। সমকোণী ত্ৰিভুজৰ সমকোণৰ বিপৰীত বাহুক ______ বোলে।
উত্তৰঃ অতিভুজ।
৪। $\triangle ABC \cong \triangle PQR$ হ’লে $\angle A$-ৰ অনুৰূপ কোণ হ’ল ______।
উত্তৰঃ $\angle P$।
৫। সমদ্বিবাহু ত্ৰিভুজৰ সমান বাহুৰ বিপৰীত কোণ দুটা ______ হয়।
উত্তৰঃ সমান।
শুদ্ধ নে অশুদ্ধ লিখা
১। সৰ্বাংগসম দুটা চিত্ৰৰ কালি সমান হয়।
উত্তৰঃ শুদ্ধ।
২। দুটা ত্ৰিভুজৰ কেৱল তিনিওটা কোণ সমান হ’লেই সিহঁত সৰ্বাংগসম।
উত্তৰঃ অশুদ্ধ।
৩। সমকোণ-অতিভুজ-বাহু চৰ্ত কেৱল সমকোণী ত্ৰিভুজৰ বাবে।
উত্তৰঃ শুদ্ধ।
৪। সৰ্বাংগসম ত্ৰিভুজৰ পৰিসীমা বেলেগ হ’ব পাৰে।
উত্তৰঃ অশুদ্ধ (পৰিসীমা সমান হয়)।
৫। সামন্তৰিকৰ এটা কৰ্ণে ইয়াক দুটা সৰ্বাংগসম ত্ৰিভুজত ভাগ কৰে।
উত্তৰঃ শুদ্ধ।
চমু উত্তৰৰ প্ৰশ্ন
১। দুটা চিত্ৰ সৰ্বাংগসম হ’বলৈ কি কি চৰ্ত পূৰণ হ’ব লাগে?
উত্তৰঃ দুটা চিত্ৰৰ আকৃতি আৰু আকাৰ দুয়োটা একে হ’ব লাগে; এটাক আনটোৰ ওপৰত ৰাখিলে সম্পূৰ্ণৰূপে মিলি যাব লাগে।
২। ত্ৰিভুজৰ সৰ্বাংগসমতাৰ পাঁচোটা চৰ্তৰ নাম লিখা।
উত্তৰঃ বাহু-বাহু-বাহু (বা-বা-বা), বাহু-কোণ-বাহু (বা-কো-বা), কোণ-বাহু-কোণ (কো-বা-কো), কোণ-কোণ-বাহু (কো-কো-বা) আৰু সমকোণ-অতিভুজ-বাহু (স-অ-বা)।
৩। কোণ-কোণ-কোণ (AAA) কিয় সৰ্বাংগসমতাৰ চৰ্ত নহয়?
উত্তৰঃ দুটা ত্ৰিভুজৰ তিনিওটা কোণ সমান হ’লেও সিহঁতৰ আকাৰ বেলেগ হ’ব পাৰে (এটা ডাঙৰ, আনটো সৰু)। আকৃতি একে হ’লেও আকাৰ একে নহোৱাত সিহঁত সৰ্বাংগসম নহয়; সেয়ে AAA সৰ্বাংগসমতাৰ চৰ্ত নহয়।
৪। সমবাহু ত্ৰিভুজৰ প্ৰতিটো কোণৰ মান 60° কিয় হয়, চমুকৈ দেখুওৱা।
উত্তৰঃ সমবাহু ত্ৰিভুজৰ তিনিওটা বাহু সমান হোৱা বাবে তিনিওটা কোণো সমান, অৰ্থাৎ $\angle A = \angle B = \angle C$। যিহেতু $\angle A + \angle B + \angle C = 180°$, প্ৰতিটো কোণ $= 180° ÷ 3 = 60°$।
শব্দাৰ্থ
| অসমীয়া শব্দ | English term | অৰ্থ |
|---|---|---|
| সৰ্বাংগসম (সৰ্বসম) | Congruent | আকৃতি আৰু আকাৰ হুবহু একে |
| সৰ্বাংগসমতা (সৰ্বসমতা) | Congruence | দুটা আকৃতি হুবহু একে হোৱাৰ ধৰ্ম |
| অনুৰূপ বাহু | Corresponding side | সৰ্বাংগসম ত্ৰিভুজৰ মিলি যোৱা বাহু |
| অন্তৰ্ভুক্ত কোণ | Included angle | দুটা বাহুৰ মাজৰ কোণ |
| উমৈহতীয়া বাহু | Common side | দুয়োটা ত্ৰিভুজত থকা একেডাল বাহু |
| অতিভুজ | Hypotenuse | সমকোণৰ বিপৰীত (আটাইতকৈ দীঘল) বাহু |
| সমদ্বিবাহু ত্ৰিভুজ | Isosceles triangle | দুটা বাহু সমান থকা ত্ৰিভুজ |
| সমবাহু ত্ৰিভুজ | Equilateral triangle | তিনিওটা বাহু সমান থকা ত্ৰিভুজ |
| সমদ্বিখণ্ডক | Bisector | সমান দুভাগত ভাগ কৰা ৰেখা |
| বিপ্ৰতীপ কোণ | Vertically opposite angles | দুডাল ৰেখা ছেদ কৰোঁতে সন্মুখা-সন্মুখি হোৱা সমান কোণ |