ত্ৰিভুজ অংকন — প্ৰশ্ন উত্তৰ
HSLC Guru-ত আপোনাক স্বাগতম। এই পাঠত ASSEB Class 7 নতুন গণিতৰ সপ্তম অধ্যায় ত্ৰিভুজ অংকনৰ সকলো অংকন-প্ৰক্ৰিয়া (সমবাহু, বা-বা-বা, বা-কো-বা, কো-বা-কো আৰু উচ্চতা অংকন), ত্ৰিভুজ অসমতা, কোণৰ যোগ ধৰ্ম, বহিঃকোণ আৰু পাঠ্যপুথিৰ প্ৰতিটো “কৰি চাওঁ আহা” বাকচ, ক্ৰিয়া-কলাপ, চিন্তা কৰোঁ আহা আৰু অনুশীলনী ৭-ৰ সম্পূৰ্ণ সমাধান ছবিসহ বিচাৰি পাব।
সাৰাংশ
ত্ৰিভুজ হৈছে তিনিডাল ৰেখাখণ্ডেৰে আবদ্ধ এটা বন্ধ চিত্ৰ; ৰেখাখণ্ড তিনিডালক বাহু আৰু প্ৰতিযোৰ বাহুৰ সংযোগ বিন্দুক শীৰ্ষবিন্দু বোলে। কেৱল স্কেলেৰে ত্ৰিভুজ আঁকিলে বহুবাৰ চেষ্টা কৰিব লাগে, কিন্তু কম্পাছ আৰু কোণমাপ যন্ত্ৰৰ সহায়ত শুদ্ধকৈ ত্ৰিভুজ অংকন কৰিব পাৰি। এই অধ্যায়ত আমি তিনিটা বাহু (বা-বা-বা), দুটা বাহু আৰু মাজৰ কোণ (বা-কো-বা), আৰু দুটা কোণ আৰু সাধাৰণ বাহু (কো-বা-কো) দিয়া থাকিলে ত্ৰিভুজ অংকন শিকিছোঁ।
এটা ত্ৰিভুজৰ যিকোনো দুটা বাহুৰ দৈৰ্ঘ্যৰ যোগফল তৃতীয় বাহুৰ দৈৰ্ঘ্যতকৈ সদায় ডাঙৰ — ইয়াকে ত্ৰিভুজ অসমতা বোলে। এই চৰ্ত পূৰণ হ’লেহে তিনিটা দৈৰ্ঘ্যেৰে ত্ৰিভুজ অংকন কৰিব পাৰি। একেদৰে দুটা কোণৰ যোগফল 180° তকৈ কম হ’লেহে সেই কোণ দুটা আৰু সাধাৰণ বাহুৰে ত্ৰিভুজ আঁকিব পাৰি।
ত্ৰিভুজৰ তিনিওটা কোণৰ যোগফল সদায় 180° — এইটোৱেই কোণৰ যোগ ধৰ্ম। এটা বাহু বঢ়ালে যি বহিঃকোণ সৃষ্টি হয়, সেয়া ইয়াৰ দূৰৱৰ্তী অন্তঃকোণ দুটাৰ যোগফলৰ সমান। শীৰ্ষবিন্দুৰ পৰা বিপৰীত বাহুলৈ টনা লম্বক উচ্চতা বোলে আৰু প্ৰতিটো ত্ৰিভুজৰ তিনিডাল উচ্চতা থাকে। বাহু অনুসৰি ত্ৰিভুজক সমবাহু, সমদ্বিবাহু, বিষমবাহু আৰু কোণ অনুসৰি সূক্ষ্মকোণী, সমকোণী, স্থূলকোণী বুলি ভাগ কৰা হয়।
Summary: This ASSEB Class 7 New Mathematics Chapter 7 (Construction of Triangles) guide shows, with clear numbered steps and inline SVG figures, how to construct a triangle by SSS (three sides), SAS (two sides and the included angle) and ASA (two angles and the common side), plus the construction of an equilateral triangle and of the three altitudes. It explains triangle inequality, the angle sum property, the exterior angle theorem and the classification of triangles, and solves every “Work it Out” box (7.1–7.8), the activities, the “Let us think” prompts and all of Exercise 7.
পাঠ্যপুথিৰ প্ৰশ্ন আৰু উত্তৰ
সমবাহু ত্ৰিভুজ অংকন (প্ৰতিটো বাহু 4 চে.মি.)
প্ৰতিটো বাহু 4 চে.মি. দৈৰ্ঘ্যৰ এটা সমবাহু ত্ৰিভুজ কম্পাছৰ সহায়ত অংকন কৰা।
উত্তৰঃ
- খাপ ১: স্কেলৰ সহায়ত 4 চে.মি. দৈৰ্ঘ্যৰ $\overline{AB}$ ৰেখাখণ্ড (ভূমি) আঁকা।
- খাপ ২: A বিন্দুক কেন্দ্ৰ কৰি 4 চে.মি. ব্যাসাৰ্ধৰ এটা বৃত্তচাপ আঁকা।
- খাপ ৩: B বিন্দুক কেন্দ্ৰ কৰি 4 চে.মি. ব্যাসাৰ্ধৰ আন এটা বৃত্তচাপ আঁকা। দুয়োটা চাপ যি বিন্দুত ছেদ কৰে তাক C নাম দিয়া।
- খাপ ৪: স্কেলৰ সহায়ত $\overline{AC}$ আৰু $\overline{BC}$ যোগ কৰা।
উৎপন্ন হোৱা $\triangle ABC$-ত AB = BC = CA = 4 চে.মি.। গতিকে ইয়ে হৈছে বিচৰা সমবাহু ত্ৰিভুজ। AC আৰু BC-ৰ দৈৰ্ঘ্য সদায় AB-ৰ সমান হয়, কাৰণ দুয়োটা বৃত্তচাপৰে ব্যাসাৰ্ধ 4 চে.মি. — অৰ্থাৎ C বিন্দুটো A আৰু B দুয়োৰে পৰা 4 চে.মি. দূৰত থাকে।
তিনিটা বাহুৰ মাপ দিয়া থাকিলে ত্ৰিভুজ অংকন (বা-বা-বা)
$\triangle ABC$-ত AB = 4 চে.মি., AC = 5 চে.মি. আৰু BC = 6 চে.মি. হ’লে ত্ৰিভুজটো অংকন কৰা।
উত্তৰঃ
- খাপ ১: 4 চে.মি. দৈৰ্ঘ্যৰ $\overline{AB}$ ৰেখাখণ্ড আঁকা।
- খাপ ২: A বিন্দুক কেন্দ্ৰ কৰি 5 চে.মি. ব্যাসাৰ্ধৰ এটা বৃত্তচাপ আঁকা (এই চাপৰ সকলো বিন্দু A-ৰ পৰা 5 চে.মি. দূৰত থাকে)।
- খাপ ৩: B বিন্দুক কেন্দ্ৰ কৰি 6 চে.মি. ব্যাসাৰ্ধৰ আন এটা বৃত্তচাপ আঁকা।
- খাপ ৪: দুয়োটা চাপৰ ছেদবিন্দুটো C। $\overline{AC}$ আৰু $\overline{BC}$ যোগ কৰা।
এতিয়া AC = 5 চে.মি., BC = 6 চে.মি., AB = 4 চে.মি.; গতিকে $\triangle ABC$ হৈছে বিচৰা ত্ৰিভুজ। তিনিওটা বাহুৰ দৈৰ্ঘ্য বেলেগ হোৱা বাবে ইয়াক বিষমবাহু ত্ৰিভুজ বোলে। (একেদৰে 4, 4, 6 চে.মি. বাহুৰে আঁকিলে দুটা বাহু সমান হয় — ই এটা সমদ্বিবাহু ত্ৰিভুজ।)
কৰি চাওঁ আহা ৭.১
১। $\triangle XYZ$-ৰ বাহু আৰু কোণকেইটা লিখা।
উত্তৰঃ বাহু তিনিটা — $\overline{XY}$, $\overline{YZ}$ আৰু $\overline{ZX}$। কোণ তিনিটা — $\angle X$ (অৰ্থাৎ $\angle YXZ$), $\angle Y$ ($\angle XYZ$) আৰু $\angle Z$ ($\angle YZX$)।
২। $\triangle PQR$-ৰ Q শীৰ্ষবিন্দুৰ বিপৰীতে থকা বাহুটোৰ নাম লিখা।
উত্তৰঃ $\overline{PR}$ (Q শীৰ্ষত নথকা বাহুটো)।
৩। $\triangle LMN$-ৰ LN বাহুৰ বিপৰীতে থকা কোণটোৰ নাম লিখা।
উত্তৰঃ $\angle M$ (অৰ্থাৎ $\angle LMN$) — কাৰণ LN বাহুত M শীৰ্ষ নাথাকে।
৪। $\triangle RST$-ৰ RT বাহুৰ বিপৰীতে থকা শীৰ্ষবিন্দুৰ নাম লিখা।
উত্তৰঃ S শীৰ্ষবিন্দু (RT বাহুত নথকা শীৰ্ষটো)।
কৰি চাওঁ আহা ৭.২
১। তলত ত্ৰিভুজবোৰৰ বাহুৰ দৈৰ্ঘ্য (চে.মি.-ত) দিয়া আছে। স্কেল আৰু কম্পাছৰ সহায়ত ত্ৰিভুজবোৰ অংকন কৰা — (i) 3.5, 4.5, 5.5 (ii) 5, 5, 6 (iii) 7, 7, 7 (iv) 3, 3, 4 (v) 6, 8, 10।
উত্তৰঃ প্ৰতিটো ক্ষেত্ৰত ওপৰত দেখুওৱা বা-বা-বা পদ্ধতিৰে অংকন কৰিব লাগে — আটাইতকৈ দীঘল বাহুটো ভূমি হিচাপে আঁকি, দুই মূৰত দিয়া আন দুটা বাহুৰ সমান ব্যাসাৰ্ধৰ বৃত্তচাপ আঁকি সিহঁতৰ ছেদবিন্দুক তৃতীয় শীৰ্ষ ধৰিব লাগে। প্ৰতিটো ক্ষেত্ৰতে যিকোনো দুটা বাহুৰ যোগফল তৃতীয় বাহুতকৈ ডাঙৰ, গতিকে সকলোবোৰ ত্ৰিভুজ আঁকিব পাৰি।
২। ওপৰৰ ত্ৰিভুজবোৰক সমবাহু, সমদ্বিবাহু আৰু বিষমবাহু হিচাপে শ্ৰেণীবিভক্ত কৰা।
| বাহুৰ দৈৰ্ঘ্য | শ্ৰেণী |
|---|---|
| (i) 3.5, 4.5, 5.5 | বিষমবাহু (তিনিওটা বেলেগ) |
| (ii) 5, 5, 6 | সমদ্বিবাহু (দুটা সমান) |
| (iii) 7, 7, 7 | সমবাহু (তিনিওটা সমান) |
| (iv) 3, 3, 4 | সমদ্বিবাহু (দুটা সমান) |
| (v) 6, 8, 10 | বিষমবাহু (আৰু সমকোণী, কাৰণ 6² + 8² = 10²) |
৩। প্ৰতিটো 2 চে.মি. ব্যাসাৰ্ধৰ বৃত্ত ছেদ কৰাকৈ থোৱা হৈছে। চিত্ৰ 1, 2, 3-ত দেখুওৱাৰ দৰে বিন্দুবোৰ সংযোগ কৰি সমবাহু ত্ৰিভুজ অংকন কৰা। প্ৰতিটো চিত্ৰত কেইটা সমবাহু ত্ৰিভুজ আঁকিব পাৰা? ত্ৰিভুজৰ সংখ্যা আৰু বৃত্তৰ সংখ্যাৰ মাজত কোনো সম্বন্ধ আছে নে? 6 টা বৃত্ত থাকিলে কেইটা সমবাহু ত্ৰিভুজ হ’ব?
উত্তৰঃ দুটা ওপৰা-ওপৰি বৃত্তৰ দুটা কেন্দ্ৰ আৰু সিহঁতৰ এটা ছেদবিন্দু সংযোগ কৰিলে ওলোৱা ত্ৰিভুজৰ তিনিওটা বাহুৰ দৈৰ্ঘ্যেই ব্যাসাৰ্ধৰ (2 চে.মি.) সমান হয়, গতিকে সেয়া সমবাহু ত্ৰিভুজ। দুটা বৃত্তে দুটা ছেদবিন্দু দিয়ে বাবে চিত্ৰ 1-ত 2 টা সমবাহু ত্ৰিভুজ পোৱা যায়। বৃত্তৰ সংখ্যা বাঢ়িলে প্ৰতিটো নতুন ওপৰা-ওপৰি যোৰে দুটাকৈ অধিক সমবাহু ত্ৰিভুজ দিয়ে, গতিকে ত্ৰিভুজৰ সংখ্যা বৃত্তৰ সংখ্যাৰ সৈতে ক্ৰমান্বয়ে বাঢ়ি যায় (এশাৰী বৃত্তত প্ৰায় প্ৰতিযোৰ কাষৰীয়া বৃত্তৰ বাবে 2 টাকৈ)। এই সম্বন্ধ প্ৰয়োগ কৰিয়েই 6 টা বৃত্তৰ ক্ষেত্ৰত হ’বলগীয়া সমবাহু ত্ৰিভুজৰ সংখ্যা উলিয়াব পাৰি।
৪। এটা বৃত্তৰ ভিতৰত তিনিটা সমদ্বিবাহু ত্ৰিভুজ অংকন কৰা — এটা শীৰ্ষবিন্দু বৃত্তৰ কেন্দ্ৰত আৰু আন দুটা বৃত্তটোত থাকিব লাগে।
উত্তৰঃ বৃত্তৰ ওপৰত তিনিযোৰ বিন্দু চিহ্নিত কৰি প্ৰতিযোৰক কেন্দ্ৰৰ সৈতে যোগ কৰিলে তিনিটা ত্ৰিভুজ পোৱা যায়। প্ৰতিটো ত্ৰিভুজৰ দুডাল বাহু বৃত্তৰ ব্যাসাৰ্ধ হোৱা বাবে সমান দৈৰ্ঘ্যৰ; গতিকে প্ৰতিটোৱেই সমদ্বিবাহু ত্ৰিভুজ।
ক্ৰিয়া-কলাপ (ত্ৰিভুজ অসমতা)
শিক্ষকে A, B, C, D, E পাঁচোটা দলক ক্ৰমে 3, 4, 5; 2, 3, 5; 3, 4, 8; 4, 6, 8 আৰু 3, 5, 9 চে.মি. দৈৰ্ঘ্যৰ কাঠি দিলে আৰু ত্ৰিভুজ সাজিবলৈ ক’লে। কোন কোন দলে ত্ৰিভুজ সাজিব পাৰিব?
উত্তৰঃ A (3+4 > 5) আৰু D (4+6 > 8) দলেহে ত্ৰিভুজ সাজিব পাৰিব। B (2+3 = 5), C (3+4 = 7 < 8) আৰু E (3+5 = 8 < 9) দলে নোৱাৰিব, কাৰণ সিহঁতৰ দুটা কাঠিৰ যোগফল তৃতীয় কাঠিতকৈ ডাঙৰ নহয়। ইয়াৰ পৰাই দেখা যায় যে বাহুৰ দৈৰ্ঘ্যৰ সৈতে ত্ৰিভুজ অংকনৰ এটা সম্বন্ধ আছে — যিকোনো দুটা বাহুৰ যোগফল তৃতীয় বাহুতকৈ ডাঙৰ হ’লেহে ত্ৰিভুজ আঁকিব পাৰি। ইয়াকে ত্ৰিভুজ অসমতা বোলে।
কৰি চাওঁ আহা ৭.৩
১। তিনিটা বাহুৰ দৈৰ্ঘ্যৰ এনে তিনিটা উদাহৰণ দিয়া, যিবোৰেৰে ত্ৰিভুজ অংকন কৰিব নোৱাৰি।
উত্তৰঃ যিবোৰত দুটা বাহুৰ যোগফল তৃতীয় বাহুতকৈ ডাঙৰ নহয়, সিহঁতেৰে ত্ৰিভুজ নহয় — যেনে (২, ৩, ৫) [2+3 = 5], (১, ২, ৪) [1+2 < 4] আৰু (৩, ৪, ৯) [3+4 < 9]।
২। তিনিটা ক্ৰমিক সংখ্যা 1, 2, 3-ৰে ত্ৰিভুজ অংকন কৰিব নোৱাৰি। আন কিছুমান তিনিটা ক্ৰমিক সংখ্যা আছে নেকি যিবোৰ বাহুৰ দৈৰ্ঘ্য হিচাপে ল’ব নোৱাৰি?
উত্তৰঃ নাই। তিনিটা ক্ৰমিক সংখ্যা $n$, $n+1$, $n+2$-ৰ ক্ষেত্ৰত সৰু দুটাৰ যোগফল $n + (n+1) = 2n+1$; ই তৃতীয়টো $(n+2)$-তকৈ ডাঙৰ হ’বলৈ $2n+1 > n+2$, অৰ্থাৎ $n > 1$ হ’ব লাগে। গতিকে $n = 1$ (অৰ্থাৎ 1, 2, 3) বাদে আন যিকোনো তিনিটা ক্ৰমিক ধনাত্মক সংখ্যাৰে ত্ৰিভুজ অংকন কৰিব পাৰি; কেৱল 1, 2, 3-হে ব্যতিক্ৰম।
৩। তলৰ দৈৰ্ঘ্যবোৰেৰে ত্ৰিভুজ অংকন কৰিব পাৰি নে? পৰীক্ষা কৰা।
উত্তৰঃ
- (i) 120 mm, 10 চে.মি. 20 mm, 0.12 m → তিনিওটাকে চে.মি.-লৈ সলালে 12, 12, 12 চে.মি.। 12 + 12 > 12, গতিকে পাৰি (এইটো সমবাহু ত্ৰিভুজ)।
- (ii) 12.3, 10.7, 23.5 চে.মি. → 12.3 + 10.7 = 23.0 < 23.5, গতিকে নোৱাৰি।
- (iii) 5, 19, 10 মি → 5 + 10 = 15 < 19, গতিকে নোৱাৰি।
- (iv) 5, 10, 25 মি → 5 + 10 = 15 < 25, গতিকে নোৱাৰি।
৪। প্ৰাঞ্জলে A বিন্দুৰ পৰা C বিন্দুলৈ যাব বিচাৰে। চিত্ৰত AB = 4 মি, BC = 3 মি আৰু পোনপটীয়া AC = 5 মি। (i) সৰ্বনিম্ন কিমান দূৰত্ব অতিক্ৰম কৰিব লাগিব? (ii) সৰ্বাধিক কিমান দূৰত্ব অতিক্ৰম কৰিব লাগিব?
উত্তৰঃ (i) সৰ্বনিম্ন দূৰত্ব = 5 মি — A-ৰ পৰা পোনে পোনে C-লৈ (AC বাহুৱে)। (ii) সৰ্বাধিক দূৰত্ব = 4 + 3 = 7 মি — B-ৰ মাজেৰে (A → B → C)। ত্ৰিভুজ অসমতাৰ মতে পোনপটীয়া বাহু (5) আন দুটা বাহুৰ যোগফল (7)-তকৈ চুটি।
৫। $\triangle PQR$-ৰ ভিতৰত এটা বিন্দু O। তলৰ কোনবোৰ সত্য? কাৰণসহ লিখা — (i) OP + OQ > PQ (ii) OQ + OR > QR (iii) OR + OP > RP।
উত্তৰঃ তিনিওটাই সত্য। O বিন্দুৱে $\triangle OPQ$, $\triangle OQR$ আৰু $\triangle ORP$ গঠন কৰে; প্ৰতিটো ত্ৰিভুজত ত্ৰিভুজ অসমতা অনুসৰি দুটা বাহুৰ যোগফল তৃতীয় বাহুতকৈ ডাঙৰ। গতিকে OP + OQ > PQ, OQ + OR > QR আৰু OR + OP > RP — তিনিওটাই শুদ্ধ।
৬। গীতাঞ্জলিৰ ত্ৰিভুজাকৃতিৰ পতাকাৰ দুটা বাহু 8 একক আৰু 2 একক। ত্ৰিভুজ অসমতা ব্যৱহাৰ কৰি তৃতীয় বাহুটোৰ সৰ্বনিম্ন দৈৰ্ঘ্য উলিওৱা।
উত্তৰঃ তৃতীয় বাহুটো আন দুটা বাহুৰ পাৰ্থক্যতকৈ ডাঙৰ হ’ব লাগে — অৰ্থাৎ তৃতীয় বাহু > 8 − 2 = 6 একক। গতিকে তৃতীয় বাহুৰ দৈৰ্ঘ্য 6 এককতকৈ অলপ বেছি হ’ব লাগিব; পূৰ্ণ সংখ্যাত ধৰিলে সৰ্বনিম্ন দৈৰ্ঘ্য 7 একক।
৭। তলৰ কোনকেইটাই এটা ত্ৰিভুজৰ বাহু (চে.মি.-ত) নিৰ্দেশ কৰে পৰীক্ষা কৰা — (i) 3, 6, 8 (ii) 10, 100, 102 (iii) 7, 8, 9 (iv) 10, 11, 12।
উত্তৰঃ প্ৰতিটো ক্ষেত্ৰত সৰু দুটা বাহুৰ যোগফল তৃতীয় বাহুতকৈ ডাঙৰ হয় নে চোৱা — (i) 3 + 6 = 9 > 8 ✓ (ii) 10 + 100 = 110 > 102 ✓ (iii) 7 + 8 = 15 > 9 ✓ (iv) 10 + 11 = 21 > 12 ✓। গতিকে চাৰিওটাই ত্ৰিভুজৰ বাহু নিৰ্দেশ কৰে।
দুটা বাহু আৰু মাজৰ কোণ দিয়া থাকিলে ত্ৰিভুজ অংকন (বা-কো-বা)
$\triangle ABC$-ত AB = 5 চে.মি., BC = 6.5 চে.মি. আৰু $\angle B = 60°$ হ’লে ত্ৰিভুজটো অংকন কৰা।
উত্তৰঃ
- খাপ ১: 6.5 চে.মি. দৈৰ্ঘ্যৰ $\overline{BC}$ ৰেখাখণ্ড আঁকা।
- খাপ ২: কোণমাপ যন্ত্ৰৰ সহায়ত B বিন্দুত $\angle XBC = 60°$ আঁকা।
- খাপ ৩: B বিন্দুক কেন্দ্ৰ কৰি 5 চে.মি. ব্যাসাৰ্ধৰ বৃত্তচাপ আঁকা; ই BX ৰশ্মিক A বিন্দুত কাটে।
- খাপ ৪: $\overline{AC}$ যোগ কৰা।
এইদৰে পোৱা $\triangle ABC$-ত AB = 5 চে.মি., BC = 6.5 চে.মি. আৰু $\angle B = 60°$ — ই হৈছে বিচৰা ত্ৰিভুজ। ইয়াত B হৈছে দিয়া দুটা বাহুৰ অন্তৰ্ভুক্ত (মাজৰ) কোণ।
কৰি চাওঁ আহা ৭.৪
১। ত্ৰিভুজৰ দুটা বাহু আৰু মাজৰ কোণৰ মাপ দিয়া আছে — ত্ৰিভুজবোৰ অংকন কৰা — (i) 6 চে.মি., 7 চে.মি., 75° (ii) 8 চে.মি., 8 চে.মি., 60° (iii) 5.5 চে.মি., 7.5 চে.মি., 80°।
উত্তৰঃ প্ৰতিটো ক্ষেত্ৰত ওপৰৰ বা-কো-বা পদ্ধতি লওক — এটা বাহু ভূমি হিচাপে আঁকি, তাৰ এমূৰত দিয়া কোণটো কোণমাপ যন্ত্ৰৰে আঁকি, সেই ৰশ্মিত দ্বিতীয় বাহুৰ সমান ব্যাসাৰ্ধৰ চাপ কাটি তৃতীয় শীৰ্ষ পাব লাগে। উল্লেখ্য — (ii)-ত দুটা বাহু 8, 8 চে.মি. আৰু মাজৰ কোণ 60° হোৱা বাবে তৃতীয় বাহুটোও 8 চে.মি. হয়, অৰ্থাৎ ই এটা সমবাহু ত্ৰিভুজ হয়।
২। এটা সমকোণী ত্ৰিভুজ অংকন কৰা যাৰ সমকোণ গঠন কৰা বাহু দুটা প্ৰতিটোৰ দৈৰ্ঘ্য 4.5 চে.মি.।
উত্তৰঃ ইয়াত অন্তৰ্ভুক্ত কোণটো 90°। 4.5 চে.মি. দৈৰ্ঘ্যৰ এডাল বাহু আঁকি তাৰ এমূৰত $90°$ কোণ আঁকা, সেই ৰশ্মিত 4.5 চে.মি. কাটি তৃতীয় শীৰ্ষ পাব লাগে; শীৰ্ষ দুটা যোগ কৰিলে বিচৰা সমকোণী ত্ৰিভুজ পোৱা যায় (এইটো এটা সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্ৰিভুজ)।
৩। এটা ত্ৰিভুজৰ দুটা বাহুৰ মাপ 5.5 চে.মি. আৰু 6.5 চে.মি. আৰু মাজৰ কোণৰ মাপ 120° হ’লে ত্ৰিভুজটো অংকন কৰা।
উত্তৰঃ 6.5 চে.মি. বাহু ভূমি হিচাপে আঁকি তাৰ এমূৰত $120°$ কোণ আঁকা; সেই ৰশ্মিত 5.5 চে.মি. ব্যাসাৰ্ধৰ চাপ কাটি তৃতীয় শীৰ্ষ পাব লাগে। শীৰ্ষটো ভূমিৰ সৈতে যোগ কৰিলে বিচৰা ত্ৰিভুজ পোৱা যায় (120° স্থূলকোণ হোৱা বাবে এইটো এটা স্থূলকোণী ত্ৰিভুজ)।
৪। দুটা বাহুৰ দৈৰ্ঘ্য আৰু মাজৰ কোণৰ মাপ কেনেকুৱা হ’লে ত্ৰিভুজ অংকন কৰিব নোৱাৰি? ব্যাখ্যা কৰা।
উত্তৰঃ মাজৰ কোণটো $180°$ বা তাতকৈ ডাঙৰ হ’লে ত্ৰিভুজ অংকন কৰিব নোৱাৰি। কাৰণ অন্তৰ্ভুক্ত কোণ $180°$ হ’লে দুয়োটা বাহু একেডাল সৰলৰেখাত পৰি যায়, তৃতীয় শীৰ্ষ পোৱা নাযায়; গতিকে কোনো ত্ৰিভুজ গঠন নহয়। কোণটো $0°$ আৰু $180°$-ৰ মাজত থাকিলেহে ত্ৰিভুজ আঁকিব পাৰি।
দুটা কোণ আৰু সাধাৰণ বাহু দিয়া থাকিলে ত্ৰিভুজ অংকন (কো-বা-কো)
$\triangle ABC$-ত $\angle B = 60°$, $\angle C = 70°$ আৰু BC = 5 চে.মি. হ’লে ত্ৰিভুজটো অংকন কৰা।
উত্তৰঃ
- খাপ ১: 5 চে.মি. দৈৰ্ঘ্যৰ $\overline{BC}$ ৰেখাখণ্ড আঁকা।
- খাপ ২: B বিন্দুত $\angle CBX = 60°$ আৰু C বিন্দুত $\angle BCY = 70°$ আঁকা।
- খাপ ৩: BX আৰু CY ৰশ্মি দুডাল যি বিন্দুত ছেদ কৰে তাক A নাম দিয়া।
ফলত পোৱা $\triangle ABC$-ত $\angle B = 60°$, $\angle C = 70°$ আৰু BC = 5 চে.মি. — ই হৈছে বিচৰা ত্ৰিভুজ। ইয়াত BC হৈছে দিয়া দুটা কোণৰ সাধাৰণ বাহু।
কৰি চাওঁ আহা ৭.৫
১। ত্ৰিভুজৰ দুটা কোণৰ মাপ আৰু সাধাৰণ বাহুৰ দৈৰ্ঘ্য দিয়া আছে — ত্ৰিভুজবোৰ অংকন কৰা — (i) 65°, 55°, 7 চে.মি. (ii) 60°, 50°, 6 চে.মি. (iii) 45°, 75°, 7.5 চে.মি.।
উত্তৰঃ প্ৰতিটো ক্ষেত্ৰত ওপৰৰ কো-বা-কো পদ্ধতিৰে সাধাৰণ বাহুটো আঁকি, তাৰ দুই মূৰত দিয়া দুটা কোণ আঁকিলে ৰশ্মি দুডালৰ ছেদবিন্দুৱে তৃতীয় শীৰ্ষ দিয়ে। প্ৰতিটো ক্ষেত্ৰতে দুটা কোণৰ যোগফল 180°-তকৈ কম (যথাক্ৰমে 120°, 110°, 120°), গতিকে ত্ৰিভুজবোৰ আঁকিব পাৰি; তৃতীয় কোণকেইটা যথাক্ৰমে 60°, 70° আৰু 60°।
ত্ৰিভুজ অংকনত কোণৰ ভূমিকা আৰু চিন্তা কৰোঁ আহা
দুটা কোণৰ মাপ 90° আৰু 120° আৰু সাধাৰণ বাহুৰ দৈৰ্ঘ্য 6 চে.মি. দিলে ত্ৰিভুজ অংকন কৰিব পাৰিনে? 90°, 90° আৰু 110°, 130°-ৰ ক্ষেত্ৰতনো?
উত্তৰঃ নোৱাৰি। সাধাৰণ বাহুৰ দুই মূৰত 90° আৰু 120° আঁকিলে দুডাল ৰশ্মি কেতিয়াও ছেদ নকৰে, গতিকে তৃতীয় শীৰ্ষ পোৱা নাযায়। একেদৰে (90°, 90°) আৰু (110°, 130°)-তো ত্ৰিভুজ নহয়। নিয়মটো হ’ল — দুয়োটা কোণ 90° তকৈ ডাঙৰ বা সমান হ’লে (বা কোণ দুটাৰ যোগফল 180° বা তাতকৈ বেছি হ’লে) কোনো দৈৰ্ঘ্যৰ বাবেই ত্ৰিভুজ অংকন কৰিব নোৱাৰি। ত্ৰিভুজ হ’বলৈ দুটা কোণৰ যোগফল সদায় 180°-তকৈ কম হ’ব লাগে।
চিন্তা কৰোঁ আহা: $\triangle ABC$-ত $\angle A = 30°$, $\angle B = 70°$, AB = 5 চে.মি. হ’লে তৃতীয় কোণ $\angle ACB$ কিমান? AB 5-ৰ পৰা 7 চে.মি. কৰিলে তৃতীয় কোণ সলনি হয় নে? আৰু $\angle A = 50°$, $\angle B = 110°$ কৰিলে?
উত্তৰঃ C-ৰ মাজেৰে AB-ৰ সমান্তৰাল $\overline{PQ}$ আঁকিলে একান্তৰ কোণৰ ধৰ্মৰ পৰা $\angle PCA = \angle A = 30°$ আৰু $\angle QCB = \angle B = 70°$। যিহেতু $\angle PCA + \angle ACB + \angle QCB = 180°$ (সৰল কোণ), $\angle ACB = 180° − 30° − 70° = 80°$। বাহু AB-ৰ দৈৰ্ঘ্য 5-ৰ পৰা 7 চে.মি. কৰিলেও তৃতীয় কোণ $\angle ACB$ সলনি নহয় (এতিয়াও 80°), কাৰণ ই কেৱল দুটা কোণৰ ওপৰত নিৰ্ভৰ কৰে। কিন্তু $\angle A = 50°$, $\angle B = 110°$ কৰিলে $\angle ACB = 180° − 50° − 110° = 20°$ — অৰ্থাৎ কোণ সলনি কৰিলে তৃতীয় কোণ সলনি হয়।
কৰি চাওঁ আহা ৭.৬
১। ত্ৰিভুজৰ দুটা কোণৰ মাপ দিয়া আছে; তৃতীয় কোণটো উলিওৱা — (i) 70°, 80° (ii) 100°, 60° (iii) 53°, 45° (iv) 90°, 60°।
উত্তৰঃ তৃতীয় কোণ = 180° − (দিয়া দুটা কোণৰ যোগফল)। (i) 180° − 150° = 30°; (ii) 180° − 160° = 20°; (iii) 180° − 98° = 82°; (iv) 180° − 150° = 30°।
২। এটা ত্ৰিভুজৰ দুটা কোণ সমান আৰু প্ৰতিটো 50° মাপৰ হ’লে তৃতীয় কোণটো উলিওৱা। ত্ৰিভুজটো আঁকা।
উত্তৰঃ তৃতীয় কোণ = $180° − (50° + 50°) = 80°$। কোণ দুটা সমান হোৱা বাবে ই এটা সমদ্বিবাহু ত্ৰিভুজ; 50°, 50° দুটা ভূমি-কোণ আৰু 80° শীৰ্ষ-কোণ লৈ কো-বা-কো পদ্ধতিৰে আঁকিব পাৰি।
৩। এটা ত্ৰিভুজৰ দুটা ভূমি-কোণ সমান আৰু শীৰ্ষ-কোণ 70° হ’লে প্ৰতিটো ভূমি-কোণৰ মান উলিওৱা। ত্ৰিভুজটো আঁকা।
উত্তৰঃ দুটা ভূমি-কোণৰ যোগফল = $180° − 70° = 110°$; কোণ দুটা সমান বাবে প্ৰতিটো = $110° ÷ 2 = 55°$। গতিকে ভূমিৰ প্ৰতিটো কোণ 55°।
৪। চিত্ৰত AB ∥ CD, $\angle ACD = 60°$ আৰু $\angle ABC = 70°$। $\angle ACB$ উলিওৱা।
উত্তৰঃ AB ∥ CD আৰু AC হৈছে ছেদক; গতিকে একান্তৰ কোণ হিচাপে $\angle BAC = \angle ACD = 60°$। এতিয়া $\triangle ABC$-ত $\angle BAC + \angle ABC + \angle ACB = 180°$, অৰ্থাৎ $60° + 70° + \angle ACB = 180°$; গতিকে $\angle ACB = 50°$।
কোণৰ যোগ ধৰ্ম আৰু ক্ৰিয়া-কলাপ
ত্ৰিভুজৰ তিনিওটা কোণৰ যোগফল সদায় সমান হয় নে? ABC ত্ৰিভুজৰ তিনিটা কপি (x, y, z) লৈ কাষা-কাষিকৈ সজাই দেখুওৱা।
উত্তৰঃ C শীৰ্ষৰ মাজেৰে AB-ৰ সমান্তৰাল $\overline{PQ}$ আঁকিলে একান্তৰ কোণৰ ধৰ্মৰ পৰা $\angle PCA = \angle CAB$ আৰু $\angle QCB = \angle ABC$। যিহেতু $\angle PCA + \angle BCA + \angle QCB = 180°$ (সৰল কোণ), গতিকে $\angle CAB + \angle BCA + \angle ABC = 180°$, অৰ্থাৎ $\angle A + \angle B + \angle C = 180°$। ত্ৰিভুজৰ তিনিটা কপি $x$, $y$, $z$-ৰ কোণ তিনিটা কাষা-কাষিকৈ সজালে সিহঁতে এটা সৰল কোণ (180°) গঠন কৰে — ইয়ে কোণৰ যোগ ধৰ্ম ($\angle 1 + \angle 2 + \angle 3 = 180°$) প্ৰমাণ কৰে।
কৰি চাওঁ আহা ৭.৭
১। তলৰ ত্ৰিভুজবোৰত অজ্ঞাত কোণ $x$-ৰ মান উলিওৱা।
উত্তৰঃ প্ৰতিটো ক্ষেত্ৰত তিনিওটা কোণৰ যোগফল 180° সূত্ৰ প্ৰয়োগ কৰা —
- (a) $\angle B = 50°$, $\angle C = 60°$; গতিকে $x = \angle A = 180° − 50° − 60° = 70°$।
- (b) $\angle P = 90°$, $\angle Q = 30°$; গতিকে $x = \angle R = 180° − 90° − 30° = 60°$।
- (c) $\angle L = 45°$, $\angle M = 90°$; গতিকে $x = \angle N = 180° − 45° − 90° = 45°$।
- (d) $\angle A = 60°$, $\angle B = 60°$; গতিকে $x = \angle C = 180° − 60° − 60° = 60°$।
চিন্তা কৰোঁ আহা: এটা ত্ৰিভুজৰ দুটা সমকোণ থাকিব পাৰেনে? দুটা স্থূলকোণ? তিনিওটা কোণ 70°-ৰ সমান? তিনিওটা কোণ 60°-তকৈ কম?
উত্তৰঃ এটাও সম্ভৱ নহয়। দুটা সমকোণ থাকিলে সিহঁতৰ যোগফলেই 180° হয়, তৃতীয় কোণৰ ঠাই নাথাকে। দুটা স্থূলকোণৰ যোগফল 180°-তকৈ বেছি হয়। তিনিওটা 70° হ’লে যোগফল 210° ≠ 180°। তিনিওটা 60°-তকৈ কম হ’লে যোগফল 180°-তকৈ কম হয় — যিটোও অসম্ভৱ। গতিকে কোনো ক্ষেত্ৰতে ইয়া সম্ভৱ নহয়।
বহিঃকোণ
$\triangle ABC$-ত AB বাহু D-লৈ বঢ়ালে যি বহিঃকোণ $\angle CBD$ সৃষ্টি হয়, তাক নিৰ্ণয় কৰা যদি $\angle A = 50°$, $\angle B = 70°$, $\angle C = 60°$।
উত্তৰঃ $\angle ABC + \angle CBD = 180°$ (সৰল কোণ), গতিকে $70° + \angle CBD = 180°$, অৰ্থাৎ $\angle CBD = 110°$। লক্ষ্য কৰা — বহিঃকোণ $\angle CBD = 110° = \angle A + \angle C = 50° + 60°$, অৰ্থাৎ বহিঃকোণটো ইয়াৰ দূৰৱৰ্তী অন্তঃকোণ দুটাৰ যোগফলৰ সমান।
কৰি চাওঁ আহা ৭.৮
১। এটা ত্ৰিভুজৰ অন্তঃকোণবোৰৰ মাপ দিয়া আছে; তিনিওটা বহিঃকোণৰ মাপ উলিওৱা — (i) 60°, 60°, 60° (ii) 70°, 80°, 30° (iii) 45°, 45°, 90° (iv) 20°, 40°, 120°।
উত্তৰঃ প্ৰতিটো বহিঃকোণ = 180° − অনুৰূপ অন্তঃকোণ (নাইবা দূৰৱৰ্তী অন্তঃকোণ দুটাৰ যোগফল)। (i) 120°, 120°, 120°; (ii) 110°, 100°, 150°; (iii) 135°, 135°, 90°; (iv) 160°, 140°, 60°।
২। ওপৰৰ প্ৰতিটো ক্ষেত্ৰত তিনিওটা বহিঃকোণৰ যোগফল উলিওৱা। কোনো নিয়ম প্ৰতিষ্ঠা কৰিব পাৰানে?
উত্তৰঃ চাৰিওটা ক্ষেত্ৰতে যোগফল 360° — (i) 120+120+120 = 360°; (ii) 110+100+150 = 360°; (iii) 135+135+90 = 360°; (iv) 160+140+60 = 360°। গতিকে নিয়মটো হ’ল — এটা ত্ৰিভুজৰ তিনিওটা বহিঃকোণৰ যোগফল সদায় 360°।
৩। চিত্ৰত $x$, $y$, $z$ কোণকেইটাৰ মান উলিওৱা (দিয়া কোণ 30°, 60°, 30° আৰু 40°)।
উত্তৰঃ চিত্ৰত পৰস্পৰ ছেদ কৰা ৰেখাবোৰে কেইটামান ত্ৰিভুজ গঠন কৰিছে; ইয়াত বহিঃকোণ = দূৰৱৰ্তী অন্তঃকোণ দুটাৰ যোগফল সূত্ৰ আৰু ত্ৰিভুজৰ কোণৰ যোগফল 180° প্ৰয়োগ কৰিব লাগে। বহিঃকোণ ধৰ্মৰ পৰা $x = 30° + 40° = 70°$, $y = 60° + 40° = 100°$ আৰু তলৰ শীৰ্ষত দুই ছেদক ৰেখাৰে গঠিত ত্ৰিভুজত $z = 180° − 30° − 40° = 110°$ (অৰ্থাৎ 40° কোণটোৰ কাষৰ বহিঃকোণ)।
উচ্চতা অংকন
$\triangle ABC$-ৰ A শীৰ্ষবিন্দুৰ পৰা ভূমি BC-লৈ উচ্চতা কেনেকৈ অংকন কৰিব?
- খাপ ১: BC বাহুক ভূমি ধৰি তাৰ কাষত স্কেল থিয়কৈ ৰাখা; A হৈছে ভূমিৰ বিপৰীত শীৰ্ষবিন্দু।
- খাপ ২: স্কেলৰ ওপৰত কোণমাপ যন্ত্ৰটো ৰাখি স্লাইড কৰি তাৰ 90° চিহ্নটো A শীৰ্ষবিন্দুৱে স্পৰ্শ কৰোৱা।
- খাপ ৩: A-ৰ পৰা 90° চিহ্নই ভূমিক স্পৰ্শ কৰা বিন্দু D-লৈ $\overline{AD}$ ৰেখাখণ্ড আঁকা।
$\overline{AD} \perp BC$ হোৱা এই ৰেখাখণ্ডই $\triangle ABC$-ৰ উচ্চতা, আৰু ইয়াৰ দৈৰ্ঘ্যই ত্ৰিভুজটোৰ উচ্চতা। প্ৰতিটো ত্ৰিভুজৰ তিনিটা শীৰ্ষ থকা বাবে তিনিডাল উচ্চতা থাকে। স্থূলকোণী ত্ৰিভুজৰ ক্ষেত্ৰত কিছুমান উচ্চতা আঁকিবলৈ ভূমি বঢ়াব লাগে, সেয়ে সেই উচ্চতা ত্ৰিভুজৰ বাহিৰত থাকে।
অনুশীলনী ৭
১। তলৰ ত্ৰিভুজবোৰক সমবাহু, সমদ্বিবাহু, বিষমবাহু, সমকোণী, সূক্ষ্মকোণী বা স্থূলকোণী হিচাপে চিনাক্ত কৰা।
| ত্ৰিভুজ | দিয়া মাপ | শ্ৰেণী |
|---|---|---|
| (i) ABC | AB = 5, BC = 8, CA = 8 চে.মি. | সমদ্বিবাহু (আৰু সূক্ষ্মকোণী) |
| (ii) XYZ | XY = 10, YZ = 6, ZX = 8 চে.মি. | বিষমবাহু আৰু সমকোণী (6² + 8² = 10²) |
| (iii) LMN | $\angle L = 20°, \angle M = 40°, \angle N = 120°$ | বিষমবাহু আৰু স্থূলকোণী |
| (iv) ABC | প্ৰতিটো বাহু 5.2 চে.মি. | সমবাহু (সূক্ষ্মকোণী) |
| (v) PQR | PQ = 7, QR = 5, RP = 6 চে.মি. | বিষমবাহু আৰু সূক্ষ্মকোণী |
| (vi) RST | $\angle R = 80°, \angle S = 55°, \angle T = 45°$ | বিষমবাহু আৰু সূক্ষ্মকোণী |
২। এটা ত্ৰিভুজৰ উচ্চতা সদায়ে ত্ৰিভুজটোৰ ভিতৰত থাকে নে? নাথাকিলে সৰল ছবিৰে প্ৰতিষ্ঠা কৰা।
উত্তৰঃ নাথাকে। সূক্ষ্মকোণী ত্ৰিভুজত সকলো উচ্চতা ভিতৰত থাকিলেও স্থূলকোণী ত্ৰিভুজৰ ক্ষেত্ৰত সূক্ষ্মকোণৰ শীৰ্ষৰ পৰা টনা উচ্চতা ত্ৰিভুজৰ বাহিৰত পৰে। ওপৰৰ ছবিত P শীৰ্ষৰ পৰা উচ্চতা আঁকিবলৈ QR বাহু বঢ়াই T পাব লাগে, গতিকে উচ্চতা PT ত্ৰিভুজটোৰ বাহিৰত থাকে।
৩। এটা ত্ৰিভুজৰ কেইডাল উচ্চতা থাকিব পাৰে? 4 চে.মি., 5 চে.মি., 6 চে.মি. দৈৰ্ঘ্যৰ বাহুযুক্ত এটা ত্ৰিভুজ অংকন কৰি ইয়াৰ আটাইকেইডাল উচ্চতা আঁকা।
উত্তৰঃ এটা ত্ৰিভুজৰ তিনিডাল উচ্চতা থাকে (তিনিটা শীৰ্ষৰ প্ৰতিটোৰ পৰা এডালকৈ)। প্ৰথমে বা-বা-বা পদ্ধতিৰে 6 চে.মি.-ক ভূমি ধৰি 4 আৰু 5 চে.মি. ব্যাসাৰ্ধৰ চাপেৰে ত্ৰিভুজটো আঁকা; তাৰ পিছত প্ৰতিটো শীৰ্ষৰ পৰা বিপৰীত বাহুৰ ওপৰলৈ কোণমাপ যন্ত্ৰেৰে লম্ব টানি তিনিডাল উচ্চতা আঁকা। তিনিওডাল উচ্চতা এটা উমৈহতীয়া বিন্দুত (লম্ববিন্দু) ছেদ কৰে।
৪। $\triangle ABC$-ত $\angle A = 90°$, AB = 6 চে.মি., AC = 8 চে.মি.। ত্ৰিভুজটো অংকন কৰা। C শীৰ্ষবিন্দুৰ পৰা AB বাহুলৈ টনা উচ্চতাডাল চিনাক্ত কৰা; বাকী দুডাল উচ্চতাও আঁকা।
উত্তৰঃ $\angle A = 90°$ হোৱা বাবে AB আৰু AC পৰস্পৰ লম্ব; বা-কো-বা পদ্ধতিৰে 6 চে.মি. আৰু 8 চে.মি. বাহু দুটাৰ মাজত 90° কোণ ৰাখি ত্ৰিভুজটো আঁকিব লাগে (এতিয়া BC = 10 চে.মি.)। C শীৰ্ষৰ পৰা AB-লৈ টনা উচ্চতা হৈছে $\overline{CA}$ বাহুটোৱেই (কাৰণ CA ইতিমধ্যে AB-ৰ ওপৰত লম্ব)। একেদৰে B শীৰ্ষৰ পৰা AC-লৈ টনা উচ্চতা হৈছে $\overline{BA}$; আৰু তৃতীয় উচ্চতাডাল A শীৰ্ষৰ পৰা অতিভুজ BC-ৰ ওপৰত লম্বকৈ (ত্ৰিভুজৰ ভিতৰত) থাকে।
৫। স্তম্ভ মিলোৱা।
উত্তৰঃ (i) $\triangle ABC$-ত $\angle A = 30°, \angle B = 70°$; গতিকে $\angle C = 180° − 30° − 70° = 80°$ → (b) 80°। (ii) $\triangle PQR$-ত $\angle P = 100°, \angle Q = 60°$; গতিকে $\angle R = 20°$ → (c) 20°। (iii) $\triangle xyz$-ত $\angle x = 90°, \angle y = 45°$; গতিকে $\angle z = 45°$ → (a) 45°।
৬। শুদ্ধ নে অশুদ্ধ লিখা।
উত্তৰঃ (i) ত্ৰিভুজৰ উচ্চতা সদায় ভিতৰত থাকে — অশুদ্ধ (স্থূলকোণী ত্ৰিভুজত বাহিৰত থাকে)। (ii) যিকোনো শীৰ্ষৰ পৰা বিপৰীত বাহুলৈ কেৱল এটা উচ্চতা আঁকিব পাৰি — শুদ্ধ। (iii) 40°, 50°, 60° এটা ত্ৰিভুজৰ কোণ হ’ব পাৰে — অশুদ্ধ (যোগফল 150° ≠ 180°)। (iv) বিষমবাহু ত্ৰিভুজৰ দুটা বাহু সমান হ’ব পাৰে — অশুদ্ধ (বিষমবাহুৰ তিনিওটা বাহু বেলেগ)। (v) তিনিটা শীৰ্ষবিন্দুৰ মাজেৰে কেৱল এটাই অনন্য বৃত্ত আঁকিব পাৰি — শুদ্ধ।
৭। শুদ্ধ বিকল্পটো বাছি উলিওৱা। অভিমত (A): এটা ত্ৰিভুজৰ কোণকেইটা 30°, 60°, 90°। যুক্তি (R): ত্ৰিভুজৰ কোণবোৰৰ যোগফল 180°।
উত্তৰঃ (A) — A আৰু R দুয়োটা শুদ্ধ আৰু R হৈছে A-ৰ শুদ্ধ ব্যাখ্যা। কাৰণ $30° + 60° + 90° = 180°$ হোৱাৰ বাবেহে দিয়া কোণকেইটা এটা ত্ৰিভুজৰ কোণ হ’ব পাৰে।
৮। খালী ঠাই পূৰ কৰা।
উত্তৰঃ (i) এটা ত্ৰিভুজৰ তিনিওডাল উচ্চতাই এটা বিন্দুত ছেদ কৰে। (ii) তিনিওটা বহিঃকোণৰ যোগফল 360°। (iii) তিনিওটা বাহুৰ দৈৰ্ঘ্যই সদায় ত্ৰিভুজ অসমতা মানি চলে। (iv) বিষমবাহু ত্ৰিভুজৰ তিনিওটা বাহুৰ দৈৰ্ঘ্য বেলেগ (অসমান)। (v) ত্ৰিভুজৰ বহিঃকোণটো দূৰৱৰ্তী অন্তঃকোণ দুটাৰ যোগফলৰ সৈতে সমান।
৯। (i) সংলগ্ন চিত্ৰত AB ∥ DE; $x$, $y$, $z$ উলিওৱা (দিয়া কোণ: D-ত 60°, A-ত 48°)।
উত্তৰঃ AB ∥ DE আৰু ৰেখা দুডাল C-ত ছেদ কৰে। ছেদক AE-ৰ বাবে একান্তৰ কোণ হিচাপে $x = \angle A = 48°$; ছেদক DB-ৰ বাবে একান্তৰ কোণ হিচাপে $y = \angle D = 60°$। এতিয়া $\triangle DCE$-ত $z = 180° − 60° − 48° = 72°$। গতিকে $x = 48°$, $y = 60°$, $z = 72°$।
(ii) সংলগ্ন চিত্ৰত $x$ আৰু $y$ উলিওৱা (C শীৰ্ষত $\angle ACB = 30°$, $\angle A = 50°$, $\angle D = 55°$; CB হৈছে ভিতৰৰ ৰেখা)।
উত্তৰঃ বাওঁফালৰ $\triangle ABC$-ত $\angle A = 50°$, $\angle ACB = 30°$; গতিকে $y = \angle ABC = 180° − 50° − 30° = 100°$। সৰল কোণ হোৱা বাবে $\angle DBC = 180° − 100° = 80°$। এতিয়া সোঁফালৰ $\triangle BCD$-ত $x = \angle BCD = 180° − 80° − 55° = 45°$। গতিকে $x = 45°$, $y = 100°$।
(iii) সংলগ্ন চিত্ৰত (পাঁচ-শীৰ্ষযুক্ত তৰা) $\angle A + \angle B + \angle C + \angle D + \angle E$ উলিওৱা।
উত্তৰঃ এটা পাঁচ-শীৰ্ষযুক্ত তৰাৰ (star) পাঁচোটা আগৰ কোণৰ যোগফল সদায় 180° হয়। গতিকে $\angle A + \angle B + \angle C + \angle D + \angle E = 180°$।
অতিৰিক্ত প্ৰশ্ন আৰু উত্তৰ
বহুবিকল্পীয় প্ৰশ্ন (MCQ)
১। সমবাহু ত্ৰিভুজৰ প্ৰতিটো কোণৰ মান — (ক) 45° (খ) 50° (গ) 60° (ঘ) 90°
উত্তৰঃ (গ) 60°।
২। কম্পাছৰ সহায়ত বা-বা-বা পদ্ধতিত ভূমি হিচাপে কোনটো বাহু লোৱা ভাল? (ক) আটাইতকৈ চুটি বাহু (খ) আটাইতকৈ দীঘল বাহু (গ) মাজৰ বাহু (ঘ) যিকোনো বাহু
উত্তৰঃ (খ) আটাইতকৈ দীঘল বাহু।
৩। এটা ত্ৰিভুজৰ তিনিওটা কোণৰ যোগফল — (ক) 90° (খ) 180° (গ) 270° (ঘ) 360°
উত্তৰঃ (খ) 180°।
৪। এটা ত্ৰিভুজৰ তিনিওটা বহিঃকোণৰ যোগফল — (ক) 180° (খ) 270° (গ) 360° (ঘ) 540°
উত্তৰঃ (গ) 360°।
৫। তলৰ কোনযোৰ দৈৰ্ঘ্যৰে ত্ৰিভুজ অংকন কৰিব নোৱাৰি? (ক) 3, 4, 5 (খ) 5, 6, 7 (গ) 2, 3, 5 (ঘ) 6, 8, 10 (চে.মি.)
উত্তৰঃ (গ) 2, 3, 5 (কাৰণ 2 + 3 = 5, ডাঙৰ নহয়)।
৬। বা-কো-বা অংকনত “কোণ”টো হ’ব লাগে — (ক) যিকোনো এটা কোণ (খ) দুটা বাহুৰ অন্তৰ্ভুক্ত (মাজৰ) কোণ (গ) অতিভুজৰ বিপৰীত কোণ (ঘ) এটা বহিঃকোণ
উত্তৰঃ (খ) দুটা বাহুৰ অন্তৰ্ভুক্ত (মাজৰ) কোণ।
৭। শীৰ্ষবিন্দুৰ পৰা বিপৰীত বাহুৰ ওপৰত টনা লম্বক কি বোলে? (ক) মধ্যমা (খ) উচ্চতা (গ) সমদ্বিখণ্ডক (ঘ) কৰ্ণ
উত্তৰঃ (খ) উচ্চতা।
৮। কোনটো ত্ৰিভুজৰ উচ্চতা ইয়াৰ বাহিৰত থাকিব পাৰে? (ক) সূক্ষ্মকোণী (খ) সমকোণী (গ) স্থূলকোণী (ঘ) সমবাহু
উত্তৰঃ (গ) স্থূলকোণী ত্ৰিভুজ।
৯। এটা ত্ৰিভুজৰ এটা কোণ 100° হ’লে ত্ৰিভুজটো — (ক) সূক্ষ্মকোণী (খ) সমকোণী (গ) স্থূলকোণী (ঘ) সমবাহু
উত্তৰঃ (গ) স্থূলকোণী (100° > 90°)।
১০। ত্ৰিভুজ অংকনৰ বাবে দুটা কোণৰ যোগফল হ’ব লাগে — (ক) ঠিক 180° (খ) 180°-তকৈ কম (গ) 180°-তকৈ বেছি (ঘ) ঠিক 90°
উত্তৰঃ (খ) 180°-তকৈ কম।
খালী ঠাই পূৰ কৰা
১। ত্ৰিভুজৰ যিকোনো দুটা বাহুৰ যোগফল তৃতীয় বাহুতকৈ ______ হয়।
উত্তৰঃ ডাঙৰ।
২। তিনিওটা বাহু সমান থকা ত্ৰিভুজক ______ ত্ৰিভুজ বোলে।
উত্তৰঃ সমবাহু।
৩। এটা কোণ 90°-তকৈ ডাঙৰ থকা ত্ৰিভুজক ______ ত্ৰিভুজ বোলে।
উত্তৰঃ স্থূলকোণী।
৪। সমকোণৰ বিপৰীত বাহুক ______ বোলে।
উত্তৰঃ অতিভুজ।
৫। বা-কো-বা অংকনৰ বাবে দুটা বাহুৰ লগতে সিহঁতৰ ______ কোণটো জনা থাকিব লাগে।
উত্তৰঃ অন্তৰ্ভুক্ত (মাজৰ)।
শুদ্ধ নে অশুদ্ধ লিখা
১। এটা ত্ৰিভুজত দুটা সমকোণ থাকিব পাৰে।
উত্তৰঃ অশুদ্ধ (দুটা সমকোণৰ যোগফলেই 180° হয়)।
২। সমবাহু ত্ৰিভুজৰ প্ৰতিটো কোণ 60°।
উত্তৰঃ শুদ্ধ।
৩। এটা ত্ৰিভুজৰ তিনিডাল উচ্চতা থাকে।
উত্তৰঃ শুদ্ধ।
৪। বহিঃকোণ সদায় ইয়াৰ সংলগ্ন অন্তঃকোণতকৈ সৰু।
উত্তৰঃ অশুদ্ধ (বহিঃকোণ আৰু সংলগ্ন অন্তঃকোণৰ যোগফল 180°; বহিঃকোণ দূৰৱৰ্তী দুটা অন্তঃকোণৰ যোগফলৰ সমান)।
৫। 6, 8, 10 চে.মি. বাহুৰে এটা সমকোণী ত্ৰিভুজ পোৱা যায়।
উত্তৰঃ শুদ্ধ (6² + 8² = 10²)।
চমু উত্তৰৰ প্ৰশ্ন
১। ত্ৰিভুজ অসমতা কি? এটা উদাহৰণেৰে বুজাই দিয়া।
উত্তৰঃ এটা ত্ৰিভুজৰ যিকোনো দুটা বাহুৰ দৈৰ্ঘ্যৰ যোগফল তৃতীয় বাহুৰ দৈৰ্ঘ্যতকৈ সদায় ডাঙৰ — ইয়াকে ত্ৰিভুজ অসমতা বোলে। যেনে 3, 4, 5 চে.মি.-ত 3 + 4 = 7 > 5, গতিকে ত্ৰিভুজ হয়; কিন্তু 2, 3, 5 চে.মি.-ত 2 + 3 = 5, ডাঙৰ নহয় বাবে ত্ৰিভুজ নহয়।
২। বা-কো-বা আৰু কো-বা-কো অংকনৰ পাৰ্থক্য কি?
উত্তৰঃ বা-কো-বা-ত দুটা বাহু আৰু সিহঁতৰ মাজৰ (অন্তৰ্ভুক্ত) কোণ দিয়া থাকে; বাহু-কোণ-বাহু ক্ৰমত আঁকিব লাগে। কো-বা-কো-ত দুটা কোণ আৰু কোণ দুটাৰ সাধাৰণ বাহু দিয়া থাকে; বাহুটোৰ দুই মূৰত কোণ দুটা আঁকিলে ৰশ্মিৰ ছেদবিন্দুৱে তৃতীয় শীৰ্ষ দিয়ে।
৩। বহিঃকোণ ধৰ্মটো লিখা।
উত্তৰঃ এটা ত্ৰিভুজৰ যিকোনো বহিঃকোণৰ মাপ ইয়াৰ দূৰৱৰ্তী (বিপৰীত) অন্তঃকোণ দুটাৰ যোগফলৰ সমান। যেনে $\angle A = 50°$, $\angle C = 60°$ হ’লে B-ত বহিঃকোণ $\angle CBD = 50° + 60° = 110°$।
৪। স্থূলকোণী ত্ৰিভুজৰ উচ্চতা কিয় বাহিৰত থাকে?
উত্তৰঃ স্থূলকোণী ত্ৰিভুজত এটা কোণ 90°-তকৈ ডাঙৰ। সেই স্থূলকোণৰ কাষৰ শীৰ্ষৰ পৰা বিপৰীত বাহুৰ ওপৰলৈ লম্ব টানিবলৈ বাহুটো ত্ৰিভুজৰ বাহিৰলৈ বঢ়াব লাগে; সেয়ে সেই উচ্চতাডাল ত্ৰিভুজটোৰ বাহিৰত পৰে।
শব্দাৰ্থ
| অসমীয়া শব্দ | English term | অৰ্থ |
|---|---|---|
| ত্ৰিভুজ অংকন | Construction of triangle | স্কেল, কম্পাছ, কোণমাপ যন্ত্ৰেৰে ত্ৰিভুজ আঁকা |
| ভূমি | Base | যিটো বাহুৰ ওপৰত ত্ৰিভুজ থিয় হয় |
| বৃত্তচাপ | Arc | বৃত্তৰ এটা অংশ (কম্পাছেৰে অঁকা) |
| ব্যাসাৰ্ধ | Radius | কেন্দ্ৰৰ পৰা বৃত্তলৈ দূৰত্ব |
| অন্তৰ্ভুক্ত কোণ | Included angle | দুটা বাহুৰ মাজৰ কোণ |
| সাধাৰণ বাহু | Common side | দুটা কোণৰ উমৈহতীয়া বাহু |
| ত্ৰিভুজ অসমতা | Triangle inequality | দুটা বাহুৰ যোগফল তৃতীয় বাহুতকৈ ডাঙৰ |
| বহিঃকোণ | Exterior angle | বাহু বঢ়ালে বাহিৰত সৃষ্ট কোণ |
| উচ্চতা | Altitude | শীৰ্ষৰ পৰা বিপৰীত বাহুৰ ওপৰত লম্ব |
| অতিভুজ | Hypotenuse | সমকোণৰ বিপৰীত (আটাইতকৈ দীঘল) বাহু |
| সূক্ষ্মকোণী ত্ৰিভুজ | Acute-angled triangle | তিনিওটা কোণ 90°-তকৈ কম |
| স্থূলকোণী ত্ৰিভুজ | Obtuse-angled triangle | এটা কোণ 90°-তকৈ ডাঙৰ |