সংখ্যাৰ খেল — প্ৰশ্ন উত্তৰ
HSLC Guru-লৈ আপোনাক স্বাগতম। এই পাঠত ASSEB (অসম ৰাজ্যিক বিদ্যালয় শিক্ষা পৰিষদ)ৰ Class 7 নতুন গণিতৰ ষষ্ঠ অধ্যায় ‘সংখ্যাৰ খেল’ (Playing with Numbers)ৰ পাঠ্যপুথিৰ প্ৰতিটো অনুশীলনীৰ সম্পূৰ্ণ সমাধান, কৰি চাওঁ আহা বাকচবোৰৰ উত্তৰ আৰু অতিৰিক্ত প্ৰশ্ন-উত্তৰ ধাৰাবাহিকভাৱে দিয়া হৈছে।
সাৰাংশ
এই অধ্যায়ত সংখ্যাক লৈ বিভিন্ন ধৰণৰ খেল-ধেমালিৰ জৰিয়তে গণিতৰ মজাদাৰ দিশবোৰ শিকোৱা হৈছে। আঙুলিত সংখ্যা গণাৰ খেলৰ পৰা আৰম্ভ কৰি কোনো নিৰ্দিষ্ট ক্ৰমত সংখ্যা সজোৱন, সংখ্যাৰ যুগ্ম আৰু অযুগ্ম হোৱাৰ ধৰ্ম, তথা 2n আৰু 2n−1 ৰূপৰ আৰ্হিবোৰ ইয়াত বিশ্লেষণ কৰা হৈছে।
যাদু বৰ্গ (magic square) অধ্যায়টোৰ মূল আকৰ্ষণ — 3 × 3 আৰু 4 × 4 যাদু বৰ্গ সজোৱা, ইয়াৰ সাধাৰণীকৰণ আৰু যাদু ধ্ৰুৱকৰ ধাৰণা ইয়াত থিয় কৰোৱা হৈছে। লগতে লো-শ্ব যাদু বৰ্গ, চৌত্ৰিছা যন্ত্ৰ, নৱগ্ৰহ যন্ত্ৰ আৰু কুবেৰ যন্ত্ৰৰ দৰে সংখ্যাৰ জগতত ভাৰতীয় গণিতজ্ঞসকলৰ অৱদানৰ কথা কোৱা হৈছে।
অন্তত যাদু ত্ৰিভুজ, যাদু বৃত্ত আৰু যাদু তৰা, প্ৰকৃতিত লুকাই থকা বিৰহাংক-ফিবোনাচি আৰ্হি, তথা আখৰেৰে সংখ্যা লুকুৱাই ৰখা ছদ্মবেশী সংখ্যা বা এলগামেটিক (ক্ৰিপ্টাৰিথম) সমস্যা আৰু ছুডোকুৰ জৰিয়তে শিক্ষাৰ্থীক গাণিতিক অনুসন্ধানী হ’বলৈ উৎসাহিত কৰা হৈছে।
Summary: This page gives complete ASSEB Class 7 New Mathematics Chapter 6 “Playing with Numbers” (সংখ্যাৰ খেল) question answers — arrangement of numbers, even and odd properties and patterns, 3 × 3 and 4 × 4 magic squares with their generalisation and magic constant, Indian magic squares (Lo Shu, Chautisa Yantra, Navagraha, Kubera Yantra), magic triangles, the Virahanka–Fibonacci pattern, alphametic/cryptarithm puzzles and Sudoku, with every Work it Out box and Exercise 6 solved step by step.
পাঠ্যপুথিৰ প্ৰশ্ন আৰু উত্তৰ
6.1 সংখ্যাৰ সজোৱন
ৰামেন ছাৰে বুঢ়া আঙুলিক 1, তৰ্জনীক 2, মধ্যমাক 3, অনামিকাক 4, কনিষ্ঠাক 5 বুলি গণিবলৈ ক’লে; আকৌ উভতি অনামিকাক 6, মধ্যমাক 7, তৰ্জনীক 8, বুঢ়া আঙুলিক 9; পুনৰ তৰ্জনীক 10, মধ্যমাক 11 … এইদৰে গণি যাব লাগে।
প্ৰশ্নঃ 100 তম সংখ্যাটো কোন আঙুলিত পৰিব? কোনো হিচাপ নকৰাকৈ সহজ উপায় আছেনে?
উত্তৰঃ বুঢ়া আঙুলিত পৰা সংখ্যাবোৰ হ’ল 1, 9, 17, 25, … এই সংখ্যাবোৰ প্ৰতিবাৰতে 8 কৈ বাঢ়িছে আৰু ইহঁত 8ৰ গুণিতকতকৈ 1 বেছি। 100ৰ ওচৰৰ 8ৰ গুণিতকটো হ’ল 96, গতিকে 100ৰ ওচৰৰ 8ৰ গুণিতকতকৈ 1 বেছি সংখ্যাটো হ’ল 97 (97 = 8 × 12 + 1) — ই বুঢ়া আঙুলিত পৰিব। এতিয়া 97 বুঢ়া আঙুলি, 98 তৰ্জনী, 99 মধ্যমা, 100 অনামিকা — সেয়েহে 100 তম সংখ্যাটো অনামিকা আঙুলিত পৰিব।
ক্ৰিয়া-কলাপঃ 45, 72, 88, 105, 125 সংখ্যাবোৰ কোন আঙুলিত পৰিব নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ সংখ্যাটোক 8ৰে হৰণ কৰি পোৱা ভাগশেষ চালেই আঙুলি ঠিক হয় — ভাগশেষ 1 হ’লে বুঢ়া আঙুলি, 2 বা 0 হ’লে তৰ্জনী, 3 বা 7 হ’লে মধ্যমা, 4 বা 6 হ’লে অনামিকা, 5 হ’লে কনিষ্ঠা।
- 45 = 8 × 5 + 5 → ভাগশেষ 5 → কনিষ্ঠা
- 72 = 8 × 9 + 0 → ভাগশেষ 0 → তৰ্জনী
- 88 = 8 × 11 + 0 → ভাগশেষ 0 → তৰ্জনী
- 105 = 8 × 13 + 1 → ভাগশেষ 1 → বুঢ়া আঙুলি
- 125 = 8 × 15 + 5 → ভাগশেষ 5 → কনিষ্ঠা
6.2 যুগ্ম আৰু অযুগ্ম হোৱাৰ ধৰ্ম
A, B, C, D, E, F, G, H, I শিক্ষাৰ্থীসকল বাওঁফালৰ পৰা সোঁফালে থিয় হৈ আছে। নিজৰ অৱস্থান অনুসৰি A ৰ হাতত 1 ডাল, B ৰ হাতত 2 ডাল, C ৰ হাতত 3 ডাল … এইদৰে কলম আছে।
প্ৰশ্নঃ কোন কোন শিক্ষাৰ্থীৰ হাতত মুঠ 20 ডাল কলম থাকিব? মুঠ 20 ডাল পাবলৈ আৰু কিমান ধৰণে শিক্ষাৰ্থী বাছি ল’ব পাৰি?
উত্তৰঃ যুগ্ম সংখ্যক কলম থকা শিক্ষাৰ্থী B, D, F, H লৈ পালে — B(2) + D(4) + F(6) + H(8) = 20 ডাল। আকৌ অযুগ্ম সংখ্যক কলম থকা A, C, G, I লৈ পালেও — A(1) + C(3) + G(7) + I(9) = 20 ডাল। এইদৰে অন্ততঃ দুটা ভিন্ন উপায়ত (B, D, F, H আৰু A, C, G, I) মুঠ 20 ডাল কলম পোৱা যায়।
কৰি চাওঁ আহা 6.1
1. যিকোনো 5 টা অযুগ্ম সংখ্যাৰ যোগফল 60 হ’বনে? উত্তৰৰ সপক্ষে যুক্তি দিয়া।
উত্তৰঃ নহয়। অযুগ্ম সংখ্যক (এই ক্ষেত্ৰত 5 টা) অযুগ্ম সংখ্যাৰ যোগফল সদায় অযুগ্ম হয়। কিন্তু 60 এটা যুগ্ম সংখ্যা। সেয়েহে 5 টা অযুগ্ম সংখ্যাৰ যোগফল কেতিয়াও 60 হ’ব নোৱাৰে।
2. কলমষ্টেণ্ডৰ চিত্ৰৰ ভিত্তিত উত্তৰ দিয়া —
(i) যিকোনো দুটা অযুগ্ম সংখ্যাৰ যোগফল আৰু দুটা যুগ্ম সংখ্যাৰ যোগফল যুগ্ম নে অযুগ্ম?
উত্তৰঃ দুয়োটাই যুগ্ম। অযুগ্ম + অযুগ্ম = যুগ্ম আৰু যুগ্ম + যুগ্ম = যুগ্ম। (উদাহৰণ: 3 + 5 = 8; 4 + 6 = 10)
(ii) যিকোনো তিনিটা অযুগ্ম সংখ্যাৰ যোগফল আৰু চাৰিটা যুগ্ম সংখ্যাৰ যোগফল যুগ্ম নে অযুগ্ম?
উত্তৰঃ তিনিটা অযুগ্ম সংখ্যাৰ যোগফল অযুগ্ম (অযুগ্ম সংখ্যক অযুগ্ম সংখ্যাৰ যোগ), কিন্তু চাৰিটা যুগ্ম সংখ্যাৰ যোগফল যুগ্ম। (উদাহৰণ: 1 + 3 + 5 = 9 অযুগ্ম; 2 + 4 + 6 + 8 = 20 যুগ্ম)
3. 78 তম স্বাধীনতা দিৱস উপলক্ষে আয়োজিত প্ৰতিযোগিতাত দুখন বিদ্যালয়ৰ পৰা ক্ৰমে 132 আৰু 179 জন শিক্ষাৰ্থীয়ে অংশ ল’লে। হিচাপ নকৰাকৈ মুঠ প্ৰতিযোগীৰ সংখ্যা যুগ্ম নে অযুগ্ম কোৱা।
উত্তৰঃ 132 এটা যুগ্ম সংখ্যা আৰু 179 এটা অযুগ্ম সংখ্যা। যুগ্ম + অযুগ্ম = অযুগ্ম। সেয়েহে মুঠ প্ৰতিযোগীৰ সংখ্যা অযুগ্ম হ’ব।
4. যিকোনো 9 টা অযুগ্ম সংখ্যাৰ যোগফল যুগ্ম নে অযুগ্ম?
উত্তৰঃ 9 এটা অযুগ্ম সংখ্যা, গতিকে অযুগ্ম সংখ্যক অযুগ্ম সংখ্যাৰ যোগফল অযুগ্ম হ’ব।
6.2.1 যুগ্ম আৰু অযুগ্ম সংখ্যাৰ আৰ্হি
তলৰ তালিকাত n ৰ বিভিন্ন মানৰ বাবে 2n−1 আৰু 2n ৰ মান দিয়া হ’ল —
| n | 2n − 1 ৰ মান | 2n ৰ মান |
|---|---|---|
| 1 | 2 × 1 − 1 = 1 | 2 × 1 = 2 |
| 2 | 2 × 2 − 1 = 3 | 2 × 2 = 4 |
| 3 | 5 | 6 |
| 4 | 7 | 8 |
| 5 | 9 | 10 |
এইদৰে 2n − 1 ৰ মান সদায় অযুগ্ম (1, 3, 5, 7, 9, …) আৰু 2n ৰ মান সদায় যুগ্ম (2, 4, 6, 8, 10, …) হয়। গতিকে যুগ্ম সংখ্যাৰ আৰ্হি 2n আৰু অযুগ্ম সংখ্যাৰ আৰ্হি 2n − 1।
বিয়োগৰ উক্তিবোৰ পৰীক্ষা কৰা — অযুগ্ম − অযুগ্ম = যুগ্ম (7 − 3 = 4); যুগ্ম − যুগ্ম = যুগ্ম (8 − 4 = 4); যুগ্ম − অযুগ্ম = অযুগ্ম (8 − 3 = 5); অযুগ্ম − যুগ্ম = অযুগ্ম (7 − 4 = 3) — সকলো উক্তিয়েই শুদ্ধ।
টোকা: দুটা ক্ৰমিক স্বাভাৱিক সংখ্যা যোগ কৰিলে সদায় অযুগ্ম সংখ্যা পোৱা যায় (3 + 4 = 7)। তিনিটা ক্ৰমিক স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ ক্ষেত্ৰত — আৰম্ভণিৰ সংখ্যাটো অযুগ্ম হ’লে যোগফল যুগ্ম (3 + 4 + 5 = 12), আৰু আৰম্ভণিৰ সংখ্যাটো যুগ্ম হ’লে যোগফল অযুগ্ম (4 + 5 + 6 = 15)। চাৰিটা ক্ৰমিক স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ যোগফল সদায় যুগ্ম হয় (1 + 2 + 3 + 4 = 10)।
আৰ্হিবোৰ বিশ্লেষণ কৰা —
- 6k, 4k + 2 (k = 1, 2, 3, …): 6k সদায় যুগ্ম আৰু 4k + 2 ও সদায় যুগ্ম। গতিকে এই আৰ্হিবোৰে সদায় যুগ্ম সংখ্যা দিয়ে।
- 4n + 1, 2n + 3 (n = 1, 2, 3, …): দুয়োটাই সদায় অযুগ্ম সংখ্যা দিয়ে।
- 5n + 4, 3n − 1 (n = 1, 2, 3, …): কেতিয়াবা যুগ্ম, কেতিয়াবা অযুগ্ম। n যুগ্ম হ’লে 5n + 4 যুগ্ম আৰু 3n − 1 অযুগ্ম হয়; n অযুগ্ম হ’লে 5n + 4 অযুগ্ম আৰু 3n − 1 যুগ্ম হয়।
- 8n + 1 (n = 1, 2, 3, …): সদায় অযুগ্ম সংখ্যা (9, 17, 25, …) দিয়ে — এইবোৰেই পাঠৰ আৰম্ভণিৰ বুঢ়া আঙুলিৰ সংখ্যাবোৰ।
প্ৰশ্নঃ 100 তম অযুগ্ম আৰু যুগ্ম সংখ্যা উলিওৱা।
উত্তৰঃ n তম যুগ্ম সংখ্যা = 2n, গতিকে 100 তম যুগ্ম সংখ্যা = 2 × 100 = 200। n তম অযুগ্ম সংখ্যা = 2n − 1, গতিকে 100 তম অযুগ্ম সংখ্যা = 2 × 100 − 1 = 199। (তেনেদৰে 50 তম যুগ্ম = 100 আৰু 50 তম অযুগ্ম = 99।)
6.3 যাদু বৰ্গ সাজোঁ আহা
যাদু বৰ্গ হৈছে সংখ্যাৰে সজোৱা এনে এক বৰ্গাকাৰ তালিকা য’ত প্ৰতিটো শাৰী, প্ৰতিটো স্তম্ভ আৰু দুয়োটা মুখ্য কৰ্ণৰ সংখ্যাবোৰৰ যোগফল সদায় সমান হয়। এই যোগফলটোকে যাদু ধ্ৰুৱক বোলে।
1 ৰ পৰা 9 লৈ সংখ্যাৰে 3 × 3 যাদু বৰ্গ সজোৱা: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45। তিনিটা শাৰী থকা বাবে প্ৰতিটো শাৰীৰ যোগফল = 45 ÷ 3 = 15 (যাদু ধ্ৰুৱক)।
15 পাবলৈ তিনিটা সংখ্যাৰ যোগৰ 8 টা উপায় আছে — 1 + 5 + 9, 1 + 6 + 8, 2 + 4 + 9, 2 + 5 + 8, 2 + 6 + 7, 3 + 4 + 8, 3 + 5 + 7, 4 + 5 + 6। ইয়াত 5 চাৰিবাৰ আহিছে বাবে ইয়াক মাজৰ ঘৰত ৰখা হয়; 2, 4, 6, 8 তিনিবাৰকৈ আহে বাবে সিহঁতক চাৰিটা চুকত ৰখা হয় (এটা কৰ্ণত 2 + 5 + 8 = 15 আৰু আনটোত 4 + 5 + 6 = 15); বাকী 1, 3, 7, 9 প্ৰান্তৰ ঘৰবোৰত বহে। ফলত পোৱা যাদু বৰ্গটো হ’ল —
| 4 | 9 | 2 |
| 3 | 5 | 7 |
| 8 | 1 | 6 |
প্ৰতিটো শাৰী, স্তম্ভ আৰু কৰ্ণৰ যোগফল 15 — এইটোৱেই যাদু ধ্ৰুৱক 15 থকা এটা যাদু বৰ্গ।
কৰি চাওঁ আহা 6.2
1. তলত উল্লেখ কৰা মতে যাদু বৰ্গ সাজা —
(i) 2 ৰ পৰা 10 লৈ ক্ৰমিক সংখ্যাৰে।
উত্তৰঃ ওপৰৰ যাদু বৰ্গৰ প্ৰতিটো সংখ্যাৰ লগত 1 যোগ কৰিলেই হ’ব। মাজৰ সংখ্যা 6, যাদু ধ্ৰুৱক = 3 × 6 = 18।
| 5 | 10 | 3 |
| 4 | 6 | 8 |
| 9 | 2 | 7 |
(ii) 37 ৰ পৰা 45 লৈ ক্ৰমিক সংখ্যাৰে।
উত্তৰঃ মাজৰ সংখ্যা 41, যাদু ধ্ৰুৱক = 3 × 41 = 123। মূল যাদু বৰ্গৰ প্ৰতিটো সংখ্যাৰ লগত 36 যোগ কৰিলেই পোৱা যায় —
| 40 | 45 | 38 |
| 39 | 41 | 43 |
| 44 | 37 | 42 |
2. যিকোনো এটা 3 × 3 যাদু বৰ্গ (যাদু ধ্ৰুৱক 15) লৈ — (a) প্ৰতিটো সংখ্যা 10 কৈ বৃদ্ধি কৰা, (b) প্ৰতিটো সংখ্যা 3 কৈ হ্ৰাস কৰা, (c) প্ৰতিটো সংখ্যা 3 ৰে পূৰণ কৰা।
(i) প্ৰতিটো ক্ষেত্ৰত নতুনকৈ সজা বৰ্গটো যাদু বৰ্গ হয়নে?
উত্তৰঃ হয়, তিনিওটা ক্ষেত্ৰতে নতুন বৰ্গটোও যাদু বৰ্গ হয়, কাৰণ প্ৰতিটো শাৰী, স্তম্ভ আৰু কৰ্ণৰ যোগফল একে পৰিমাণে সলনি হয়।
(ii) নতুন যাদু ধ্ৰুৱকৰ লগত মূল যাদু ধ্ৰুৱকৰ কিবা সম্পৰ্ক আছেনে?
উত্তৰঃ আছে। (a) 10 কৈ বৃদ্ধি → নতুন ধ্ৰুৱক = 15 + 3 × 10 = 45; (b) 3 কৈ হ্ৰাস → 15 − 3 × 3 = 6; (c) 3 ৰে পূৰণ → 15 × 3 = 45।
(iii) মাজৰ সংখ্যাটোৰ 3 গুণ যাদু ধ্ৰুৱকটো হয়নে? যাদু ধ্ৰুৱক 60 হ’লে মাজৰ সংখ্যা কিমান?
উত্তৰঃ হয়, মাজৰ সংখ্যাটোৰ 3 গুণেই যাদু ধ্ৰুৱক (5 × 3 = 15)। সেয়েহে যাদু ধ্ৰুৱক 60 হ’লে মাজৰ সংখ্যা = 60 ÷ 3 = 20।
6.3.1 3 × 3 যাদু বৰ্গৰ সাধাৰণীকৰণ
9 টা ক্ৰমিক সংখ্যাৰে সজা যাদু বৰ্গৰ মাজৰ সংখ্যাটোক ‘n’ ধৰিলে সাধাৰণ ৰূপটো হ’ল (যাদু ধ্ৰুৱক 3n) —
| n − 3 | n + 4 | n − 1 |
| n + 2 | n | n − 2 |
| n + 1 | n − 4 | n + 3 |
1. সাধাৰণ ৰূপ ব্যৱহাৰ কৰি মাজৰ সংখ্যা 27 থকা যাদু বৰ্গ সাজা। যাদু ধ্ৰুৱক কিমান?
উত্তৰঃ n = 27 ধৰিলে যাদু ধ্ৰুৱক = 3 × 27 = 81।
| 24 | 31 | 26 |
| 29 | 27 | 25 |
| 28 | 23 | 30 |
2. সাধাৰণ ৰূপৰ প্ৰতিটো পদৰ লগত (A) 2 যোগ কৰিলে, (B) 3 ৰে পূৰণ কৰিলে নতুন যাদু বৰ্গ সাজ পৰেনে চোৱা।
উত্তৰঃ দুয়োটা ক্ষেত্ৰতে নতুন যাদু বৰ্গ সাজ পৰে। (A) 2 যোগ কৰিলে মাজৰ সংখ্যা n + 2 আৰু যাদু ধ্ৰুৱক 3(n + 2) = 3n + 6; (B) 3 ৰে পূৰণ কৰিলে মাজৰ সংখ্যা 3n আৰু যাদু ধ্ৰুৱক 9n। দুয়োটাতে শাৰী, স্তম্ভ আৰু কৰ্ণৰ যোগফল সমান থাকে।
3. সাধাৰণ ৰূপ ব্যৱহাৰ কৰি যাদু ধ্ৰুৱক 75 থকা যাদু বৰ্গ সাজা।
উত্তৰঃ মাজৰ সংখ্যা n = 75 ÷ 3 = 25।
| 22 | 29 | 24 |
| 27 | 25 | 23 |
| 26 | 21 | 28 |
6.3.2 বিশ্বৰ প্ৰথমটো 4 × 4 যাদু বৰ্গ
বিশ্বৰ প্ৰথম লিপিবদ্ধ যাদু বৰ্গটো দশম শতিকাত ভাৰতৰ খাজুৰাহোৰ পাৰ্শ্বনাথ জৈন মন্দিৰত পোৱা গৈছিল, ইয়াক ‘চৌত্ৰিছা যন্ত্ৰ’ বোলে। ইয়াত 1 ৰ পৰা 16 লৈ সংখ্যা আছে।
| 7 | 12 | 1 | 14 |
| 2 | 13 | 8 | 11 |
| 16 | 3 | 10 | 5 |
| 9 | 6 | 15 | 4 |
প্ৰশ্নঃ প্ৰতিটো শাৰী, স্তম্ভ বা কৰ্ণৰ চাৰিটা সংখ্যা যোগ কৰিলে কি পোৱা যায়? ইয়াক ‘চৌত্ৰিছা’ কিয় বোলা হয়?
উত্তৰঃ প্ৰতিটো শাৰী, স্তম্ভ আৰু কৰ্ণৰ চাৰিটা সংখ্যাৰ যোগফল 34 (উদাহৰণ: 7 + 12 + 1 + 14 = 34; 7 + 2 + 16 + 9 = 34; 7 + 13 + 10 + 4 = 34)। ‘চৌত্ৰিছা’ শব্দৰ অৰ্থ 34, সেয়েহে ইয়াক চৌত্ৰিছা যন্ত্ৰ বোলা হয়। কেৱল শাৰী-স্তম্ভ-কৰ্ণেই নহয়, এই বৰ্গৰ চাৰিটা কোণৰ সংখ্যা লৈ সজা বৰ্গ, আয়ত, সামান্তৰিক, ট্ৰেপিজিয়ামৰ দৰে বিভিন্ন জ্যামিতিক চিত্ৰৰ কোণৰ সংখ্যাবোৰৰ যোগফলো 34 হয় (যেনে 2 + 13 + 8 + 11 = 34)।
6.3.3 যাদু বৰ্গৰ বৃত্তান্ত আৰু ভাৰতীয় অৱদান
চীন দেশৰ পৌৰাণিক ‘পঞ্চ শাস্ত্ৰ’ৰ তৃতীয় খনৰ নাম ‘আই-কিউ’। কিংবদন্তি অনুসৰি সম্ৰাট ইউৰ শাসনকালত লো নদীৰ পাৰত এটা কাছৰ পিঠিত এখন যাদু বৰ্গ পোৱা গৈছিল, ইয়াকে ‘লো-শ্ব যাদু বৰ্গ’ বোলে —
| 4 | 9 | 2 |
| 3 | 5 | 7 |
| 8 | 1 | 6 |
ভাৰতীয় গণিতজ্ঞসকলে 3 × 3, 4 × 4, 5 × 5 আদি জালিকাৰ যাদু বৰ্গ সাজিছিল। ন-টা এনে যাদু বৰ্গৰ সংগ্ৰহেই হৈছে নৱগ্ৰহ যন্ত্ৰ — য’ত প্ৰতিটো গ্ৰহে সপ্তাহৰ এটা দিন সূচায়: সূৰ্য (1ৰ পৰা) — ৰবিবাৰ, চন্দ্ৰ (2ৰ পৰা) — সোমবাৰ, মঙ্গল (3ৰ পৰা) — মঙ্গলবাৰ, বুধ (4ৰ পৰা) — বুধবাৰ, বৃহস্পতি (5ৰ পৰা) — বৃহস্পতিবাৰ, শুক্ৰ (6ৰ পৰা) — শুক্ৰবাৰ, শনি (7ৰ পৰা) — শনিবাৰ।
প্ৰশ্নঃ তলৰ কুবেৰ যন্ত্ৰৰ যাদু ধ্ৰুৱক কিমান হ’ব?
| 27 | 20 | 25 |
| 22 | 24 | 26 |
| 23 | 28 | 21 |
উত্তৰঃ প্ৰতিটো শাৰীৰ যোগফল = 27 + 20 + 25 = 72। প্ৰতিটো স্তম্ভ আৰু কৰ্ণৰ যোগফলো 72। সেয়েহে কুবেৰ যন্ত্ৰৰ যাদু ধ্ৰুৱক = 72।
যাদু ত্ৰিভুজঃ 1 ৰ পৰা 9 লৈ সংখ্যাৰে সজা ত্ৰিভুজত প্ৰতিটো বাহুৰ চাৰিটা সংখ্যাৰ যোগফল সমান (20) হয়। একেদৰে 11 ৰ পৰা 19 আৰু 20 ৰ পৰা 28 লৈ সংখ্যাৰে যাদু ত্ৰিভুজ সাজা।
উত্তৰঃ প্ৰতিটো সংখ্যাৰ লগত 10 যোগ কৰিলে (11 ৰ পৰা 19) প্ৰতিটো বাহুৰ চাৰিটা সংখ্যাৰ যোগফল 20 + 4 × 10 = 60 হয় — যেনে বাহুবোৰ (15 + 17 + 16 + 12), (12 + 19 + 11 + 18), (18 + 13 + 14 + 15) সকলোৰে যোগফল 60। একেদৰে প্ৰতিটো সংখ্যাৰ লগত 19 যোগ কৰিলে (20 ৰ পৰা 28) প্ৰতিটো বাহুৰ যোগফল 20 + 4 × 19 = 96 হয়।
যাদু বৃত্ত আৰু যাদু তৰাঃ যাদু বৃত্তত 1 ৰ পৰা 9 লৈ সংখ্যাবোৰ এনেদৰে সজোৱা হয় যাতে প্ৰতিটো ৰেখাৰ তিনিটা সংখ্যাৰ যোগফল 15 হয়। যাদু তৰা দুটা ত্ৰিভুজেৰে গঠিত; ইয়াত 1 ৰ পৰা 12 লৈ সংখ্যাবোৰ এনেদৰে সজোৱা হয় যাতে প্ৰতিটো বাহুৰ চাৰিটা সংখ্যাৰ যোগফল সমান (26) হয় — যেনে 10 + 7 + 8 + 1 = 26, 1 + 11 + 12 + 2 = 26, 2 + 5 + 9 + 10 = 26 ইত্যাদি।
6.4 বিৰহাংক-ফিবোনাচি আৰ্হি
বহুতো ফুলৰ পাহিৰ সংখ্যা 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, … এই আৰ্হি মানি চলে। ইয়াকে বিৰহাংক আৰ্হি বোলে। ফিবোনাচি আৰ্হি হৈছে 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, …
এই আৰ্হিৰ বৈশিষ্ট্য কি?
উত্তৰঃ প্ৰথম দুটা সংখ্যাৰ পিছৰ প্ৰতিটো সংখ্যা হৈছে ইয়াৰ ঠিক আগৰ দুটা সংখ্যাৰ যোগফল — যেনে 1 + 1 = 2, 1 + 2 = 3, 2 + 3 = 5, 3 + 5 = 8, 5 + 8 = 13 ইত্যাদি। এই আৰ্হি ভাৰতীয় সংস্কৃত আৰু প্ৰাকৃত ভাষাৰ কবিতা অধ্যয়নত বিৰহাংকই ফিবোনাচিতকৈ বহু শতিকা আগতেই আৱিষ্কাৰ কৰিছিল।
6.5 ছদ্মবেশী সংখ্যা (এলগামেটিক সমস্যা)
আখৰেৰে সংখ্যা প্ৰকাশ কৰি যোগ, বিয়োগ আদি কৰা সমস্যাক এলগামেটিক বা ক্ৰিপ্টাৰিথম সমস্যা বোলে। প্ৰতিটো আখৰে 0 ৰ পৰা 9 লৈ যিকোনো মান ল’ব পাৰে; দুই-অংকীয় সংখ্যা $\overline{AB} = 10A + B$ আৰু $\overline{AA} = 11A$।
উদাহৰণ 1: A + A = B0 ত A আৰু B কি?
উত্তৰঃ একে অংক দুবাৰ যোগ কৰিলে এককৰ ঘৰত 0 পাব লাগে; সেয়া কেৱল A = 5 ৰ বাবেহে সম্ভৱ (5 + 5 = 10)। গতিকে A = 5, B = 1।
উদাহৰণ 2: A + A + A = BA ত A আৰু B কি?
উত্তৰঃ একে অংক তিনিবাৰ যোগ কৰিলে এককৰ ঘৰত সেই একে অংকটোৱেই থাকিব লাগে; সেয়া A = 5 ৰ বাবে হয় (5 + 5 + 5 = 15)। গতিকে A = 5, B = 1।
উদাহৰণ 3: AA + BB = CBC ত A, B, C কি?
উত্তৰঃ দুটা দুই-অংকীয় সংখ্যাৰ সৰ্বাধিক যোগফল 198, গতিকে C = 1। তেতিয়া AA + BB = 1B1; এককৰ ঘৰত A + B ৰ শেষ অংক 1 হ’ব লাগে (2 + 9, 3 + 8, 4 + 7, 5 + 6)। দহকৰ ঘৰত 9 পাবলৈ A = 9, B = 2 ল’লে 99 + 22 = 121 হয়। গতিকে A = 9, B = 2, C = 1।
কৰি চাওঁ আহা 6.3
তলৰ এলগামেটিক সমস্যাবোৰ সমাধান কৰা —
(i) UT + UT = VTT (U, T, V কি?)
উত্তৰঃ এককৰ ঘৰত T + T = 2T ৰ শেষ অংক T হ’বলৈ T = 0। দহকৰ ঘৰত U + U = 2U ৰ শেষ অংক 0 হ’বলৈ U = 5 (হাতত 1 থয়), সেয়ে V = 1। অৰ্থাৎ 50 + 50 = 100। U = 5, T = 0, V = 1।
(ii) UT + AT = AVV (A, U, T, V কি?)
উত্তৰঃ যোগফল তিনি-অংকীয় আৰু ইয়াৰ শতকৰ ঘৰৰ অংক A; দুটা দুই-অংকীয় সংখ্যাৰ যোগত হাত সৰ্বাধিক 1, গতিকে A = 1। মিলাই চালে 85 + 15 = 100 = AVV, য’ত A = 1, V = 0। U = 8, T = 5, A = 1, V = 0।
(iii) ABC + ABC = CDDB (A, B, C, D কি?)
উত্তৰঃ যোগফল চাৰি-অংকীয় হোৱাত C = 1। এককৰ ঘৰত 2 × C = 2 = B, গতিকে B = 2; দহকৰ ঘৰত 2 × B = 4 = D, গতিকে D = 4; শতকৰ ঘৰত 2 × A ৰ শেষ অংক 4 আৰু হাত 1 হ’বলৈ A = 7। অৰ্থাৎ 721 + 721 = 1442। A = 7, B = 2, C = 1, D = 4।
ছুডোকু
ছুডোকুত 9 × 9 বৰ্গটোক 3 × 3 ৰ ন-টা সৰু বৰ্গত ভগোৱা হয়। শৰ্ত: 9 × 9 বৰ্গৰ প্ৰতিটো শাৰী, প্ৰতিটো স্তম্ভ আৰু প্ৰতিটো 3 × 3 সৰু বৰ্গত 1 ৰ পৰা 9 লৈ প্ৰতিটো সংখ্যা এবাৰকৈ থাকিব লাগে (কোনো সংখ্যা পুনৰাবৃত্তি নহ’ব)। শিক্ষকে সজা সম্পূৰ্ণ ছুডোকুটো তলত দিয়া হ’ল —
| 1 | 6 | 2 | 7 | 3 | 8 | 4 | 9 | 5 |
| 7 | 3 | 8 | 4 | 9 | 5 | 1 | 6 | 2 |
| 4 | 9 | 5 | 1 | 6 | 2 | 7 | 3 | 8 |
| 6 | 2 | 7 | 3 | 8 | 4 | 9 | 5 | 1 |
| 3 | 8 | 4 | 9 | 5 | 1 | 6 | 2 | 7 |
| 9 | 5 | 1 | 6 | 2 | 7 | 3 | 8 | 4 |
| 2 | 7 | 3 | 8 | 4 | 9 | 5 | 1 | 6 |
| 8 | 4 | 9 | 5 | 1 | 6 | 2 | 7 | 3 |
| 5 | 1 | 6 | 2 | 7 | 3 | 8 | 4 | 9 |
একেই শৰ্ত মানি তলত দিয়া আধা-পূৰ কৰা ছুডোকুটো (5, 6, … আদি সংখ্যাৰে আৰম্ভ হোৱা) খালী ঘৰবোৰত প্ৰতিটো শাৰী, স্তম্ভ আৰু 3 × 3 বৰ্গত 1 ৰ পৰা 9 লৈ সংখ্যা এবাৰকৈ বহুৱাই সম্পূৰ্ণ কৰিব লাগে।
অনুশীলনী 6
1. এখন লুড খেলত চাৰিজন খেলুৱৈ A, B, C আৰু D আছে। A এ প্ৰথমে পাশা দিয়ে, তাৰ পিছত ক্ৰমে B, C, D, তাৰ পিছত পুনৰ A — এইদৰে খেল চলি থাকে। 103 তম বাৰত কোনে পাশা দিয়াৰ সুযোগ পাব? কাৰণ দৰ্শোৱা।
উত্তৰঃ প্ৰতি 4 বাৰত এটা চক্ৰ সম্পূৰ্ণ হয় (A, B, C, D)। 103 ÷ 4 কৰিলে ভাগশেষ 3 (103 = 4 × 25 + 3)। ভাগশেষ 1 → A, 2 → B, 3 → C, 0 → D। গতিকে 103 তম বাৰত C এ পাশা দিয়াৰ সুযোগ পাব।
2. এখন বিদ্যালয়ত 50 টা শ্ৰেণীকোঠা আছে। প্ৰতিটো কোঠাত দুখনকৈ জেন আছে আৰু জেনবোৰ 1 ৰ পৰা 100 লৈ ক্ৰমিকভাৱে সংখ্যায়িত (কোঠা একত 1 আৰু 2, কোঠা দুইত 3 আৰু 4, …)। এদিন 25 টা কোঠাৰ জেন বিকল হ’ল। সেই 25 টা কোঠাৰ জেনৰ সংখ্যাবোৰৰ যোগফল 1000 হ’ব পাৰেনে?
উত্তৰঃ কোনো এটা কোঠাৰ দুখন জেনৰ সংখ্যা (2k − 1) আৰু 2k, ইয়াৰ যোগফল = 4k − 1 — সদায় অযুগ্ম। গতিকে 25 টা কোঠাৰ যোগফল হৈছে 25 টা অযুগ্ম সংখ্যাৰ যোগ, যি অযুগ্ম সংখ্যক অযুগ্ম সংখ্যাৰ যোগ বাবে অযুগ্ম হয়। কিন্তু 1000 যুগ্ম। সেয়েহে যোগফল 1000 হ’ব নোৱাৰে।
3. এটা 3 × 2 জালিকা দিয়া আছে। প্ৰতিটো শাৰী আৰু স্তম্ভৰ সংখ্যাবোৰৰ যোগফল যুগ্ম (e) নে অযুগ্ম (o) কাষত লিখা আছে। শৰ্ত মানি ছয়টা ঘৰ যুগ্ম/অযুগ্মৰে পূৰ কৰা।
উত্তৰঃ শাৰীৰ যোগফল ক্ৰমে অযুগ্ম, যুগ্ম, যুগ্ম আৰু স্তম্ভৰ যোগফল ক্ৰমে যুগ্ম, অযুগ্ম ধৰিলে এটা মিল খোৱা বিন্যাস হ’ল — শাৰী ১: যুগ্ম, অযুগ্ম; শাৰী ২: যুগ্ম, যুগ্ম; শাৰী ৩: যুগ্ম, যুগ্ম। তেতিয়া শাৰীৰ যোগফল অযুগ্ম, যুগ্ম, যুগ্ম আৰু স্তম্ভৰ যোগফল যুগ্ম, অযুগ্ম হয়, যি দিয়া শৰ্তৰ লগত মিলে। (এনে একাধিক শুদ্ধ বিন্যাস সম্ভৱ।)
4. সংখ্যা পুনৰাবৃত্তি নকৰাকৈ যাদু ধ্ৰুৱক 0 (শূন্য) থকা 3 × 3 যাদু বৰ্গ সাজা। প্ৰয়োজন হ’লে ঋণাত্মক সংখ্যা ব্যৱহাৰ কৰা।
উত্তৰঃ সাধাৰণ ৰূপত মাজৰ সংখ্যা n = 0 ধৰিলে −4 ৰ পৰা 4 লৈ সংখ্যাৰে যাদু ধ্ৰুৱক 3 × 0 = 0 থকা যাদু বৰ্গ পোৱা যায় —
| −3 | 4 | −1 |
| 2 | 0 | −2 |
| 1 | −4 | 3 |
5. শুদ্ধ নে অশুদ্ধ লিখা —
- (a) যুগ্ম সংখ্যক অযুগ্ম সংখ্যাৰ যোগফল যুগ্ম হয়। — শুদ্ধ
- (b) অযুগ্ম সংখ্যক যুগ্ম সংখ্যাৰ যোগফল যুগ্ম হয়। — শুদ্ধ (যিকোনো সংখ্যক যুগ্ম সংখ্যাৰ যোগ যুগ্ম)
- (c) যুগ্ম সংখ্যক যুগ্ম সংখ্যাৰ যোগফল অযুগ্ম হয়। — অশুদ্ধ (যুগ্ম হয়)
- (d) অযুগ্ম সংখ্যক অযুগ্ম সংখ্যাৰ যোগফল যুগ্ম হয়। — অশুদ্ধ (অযুগ্ম হয়)
6. 1 ৰ পৰা 75 লৈ সংখ্যাবোৰৰ যোগফল যুগ্ম নে অযুগ্ম হ’ব?
উত্তৰঃ যোগফল = 75 × 76 ÷ 2 = 75 × 38 = 2850 — এটা যুগ্ম সংখ্যা। (1 ৰ পৰা 75 লৈ 38 টা অযুগ্ম সংখ্যা আছে; যুগ্ম সংখ্যক অযুগ্ম সংখ্যাৰ যোগ যুগ্ম, লগতে যুগ্মবোৰৰ যোগও যুগ্ম, সেয়ে মুঠ যোগফল যুগ্ম।)
7. ফিবোনাচি অনুক্ৰমৰ পৰপৰ দুটা পদ 377 আৰু 610। পৰৱৰ্তী দুটা পদ কি হ’ব? পূৰ্বৱৰ্তী দুটা পদ কি আছিল?
উত্তৰঃ পৰৱৰ্তী দুটা পদ: 377 + 610 = 987 আৰু 610 + 987 = 1597 → 987, 1597। পূৰ্বৱৰ্তী দুটা পদ: 610 − 377 = 233 আৰু 377 − 233 = 144 → 144, 233।
8. ফিবোনাচি অনুক্ৰমটোৰ 25 তম পদটো যুগ্ম নে অযুগ্ম নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ ফিবোনাচি অনুক্ৰমৰ পদবোৰৰ যুগ্ম-অযুগ্ম আৰ্হি হ’ল অযুগ্ম, অযুগ্ম, যুগ্ম — এইদৰে প্ৰতি 3 য় পদটো যুগ্ম হয়। 25 ক 3 ৰে হৰণ কৰিলে ভাগশেষ 1, গতিকে 25 তম পদটো অযুগ্ম (প্ৰকৃততে 25 তম পদ = 75025)।
9. স্তম্ভ I ক স্তম্ভ II ৰ সৈতে মিলোৱা — স্তম্ভ I (যাদু বৰ্গৰ সংখ্যা): (P) −4 ৰ পৰা 4, (Q) −1 ৰ পৰা 7, (R) 1 ৰ পৰা 9, (S) 6 ৰ পৰা 14; স্তম্ভ II (যাদু ধ্ৰুৱক): (i) 15, (ii) 30, (iii) 0, (iv) 9।
উত্তৰঃ যাদু ধ্ৰুৱক = 3 × মাজৰ সংখ্যা। (P) মাজ 0 → 0 (iii); (Q) মাজ 3 → 9 (iv); (R) মাজ 5 → 15 (i); (S) মাজ 10 → 30 (ii)। সঠিক বিকল্প A: (P)–(iii), (Q)–(iv), (R)–(i), (S)–(ii)।
10. যাদু ধ্ৰুৱক 12 পাবলৈ 0 ৰ পৰা 8 লৈ সংখ্যা লাগে। যাদু ধ্ৰুৱক 33 পাবলৈ কোনবোৰ সংখ্যা লাগিব? A. 6 ৰ পৰা 14, B. 7 ৰ পৰা 15, C. 8 ৰ পৰা 16, D. 9 ৰ পৰা 17।
উত্তৰঃ মাজৰ সংখ্যা = 33 ÷ 3 = 11, গতিকে 9 টা ক্ৰমিক সংখ্যা হ’ল 7 ৰ পৰা 15। সঠিক উত্তৰ B. 7 ৰ পৰা 15।
11. তলৰ কোনবোৰ উক্তি শুদ্ধ? (i) 3k + 2 ৰাশিয়ে সদায় অযুগ্ম সংখ্যা দিয়ে; (ii) প্ৰতিটো অযুগ্ম সংখ্যা 4m + 1 বা 4m + 3 ৰূপত প্ৰকাশ কৰিব পাৰি; (iii) 5n − 1 ৰাশিয়ে যুগ্ম আৰু অযুগ্ম দুয়োটা সংখ্যা দিয়ে; (iv) দুটা ক্ৰমিক অখণ্ড সংখ্যাৰ যোগফল সদায় অযুগ্ম হয়। বিকল্প: A. (i); B. (ii), (iii); C. (i), (ii), (iv); D. (i), (ii), (iii), (iv)।
উত্তৰঃ (i) অশুদ্ধ (3 × 1 + 2 = 5 অযুগ্ম, কিন্তু 3 × 2 + 2 = 8 যুগ্ম); (ii) শুদ্ধ; (iii) শুদ্ধ (5 × 1 − 1 = 4 যুগ্ম, 5 × 2 − 1 = 9 অযুগ্ম)। (i) অশুদ্ধ হোৱাত (i) থকা বিকল্প A, C, D বাদ পৰে; সেয়েহে সঠিক বিকল্প B. (ii), (iii)।
12. তলৰ ক্ৰিপ্টাৰিথমবোৰ সমাধান কৰা — (i) ONE + ONE + ONE + ONE = TEN, (ii) AB + CB = BBA, (iii) AA + BB = CBC। (প্ৰতিটো আখৰে এটা অংক সূচায়; প্ৰথম অংক শূন্য হ’ব নোৱাৰে।)
উত্তৰঃ
- (i) ONE + ONE + ONE + ONE = TEN অৰ্থাৎ 4 × ONE = TEN। এককৰ ঘৰত 4 × E ৰ শেষ অংক N হ’ব লাগে আৰু ONE তিনি-অংকীয় বাবে O = 1। পৰীক্ষাৰে ONE = 182 পালে 4 × 182 = 728 = TEN। গতিকে O = 1, N = 8, E = 2, T = 7 (182 × 4 = 728)।
- (ii) AB + CB = BBA — যোগফল তিনি-অংকীয় আৰু ইয়াৰ শতকৰ অংক B হোৱাত B = 1। তেতিয়া 9A + 10C = 108, যাৰ সমাধান A = 2, C = 9। গতিকে A = 2, B = 1, C = 9 (21 + 91 = 112)।
- (iii) AA + BB = CBC — 6.5 ত দেখুওৱাৰ দৰে A = 9, B = 2, C = 1 (99 + 22 = 121)।
13. এজন মানুহৰ 9 টা গাই আছিল — A, B, C, D, E, F, G, H, I। A এ 1 লিটাৰ, B এ 2 লিটাৰ, …, I এ 9 লিটাৰ গাখীৰ দিয়ে। তেওঁ তিনি পুতেকক তিনিটাকৈ গাই দিব বিচাৰিছিল যাতে প্ৰতিজনে সমান পৰিমাণৰ গাখীৰ পায়।
(i) 1 ৰ পৰা 9 লিটাৰ গাখীৰৰ সংখ্যাৰে যাদু বৰ্গ সাজা।
| 4 | 9 | 2 |
| 3 | 5 | 7 |
| 8 | 1 | 6 |
(ii) যাদু ধ্ৰুৱক কিমান? ই কি সূচায়?
উত্তৰঃ যাদু ধ্ৰুৱক = 15। ই সূচায় যে প্ৰতিজন পুতেকে প্ৰতিদিনে 15 লিটাৰকৈ গাখীৰ পাব।
(iii) সমান গাখীৰ পাবলৈ গাইবোৰৰ নামৰ কিমান ক্ৰম সাজিব পাৰি? সিহঁতৰ নাম লিখা।
উত্তৰঃ যাদু বৰ্গৰ তিনিটা শাৰী, তিনিটা স্তম্ভ আৰু দুটা কৰ্ণ — মুঠ 8 টা ক্ৰমে 15 লিটাৰ দিয়ে: (D, I, B) = (4, 9, 2), (C, E, G) = (3, 5, 7), (H, A, F) = (8, 1, 6), (D, C, H) = (4, 3, 8), (I, E, A) = (9, 5, 1), (B, G, F) = (2, 7, 6), (D, E, F) = (4, 5, 6), (B, E, H) = (2, 5, 8)।
(iv) প্ৰতিদিনে মুঠ কিমান গাখীৰ পোৱা যায়?
উত্তৰঃ মুঠ = 1 + 2 + 3 + … + 9 = 45 লিটাৰ (তিনি পুতেকে 15 লিটাৰকৈ = 45 লিটাৰ)।
অতিৰিক্ত প্ৰশ্ন আৰু উত্তৰ
নিৰ্বাচনী প্ৰশ্ন (MCQ)
1. 3 × 3 যাদু বৰ্গৰ যাদু ধ্ৰুৱক মাজৰ সংখ্যাটোৰ —
(a) 2 গুণ (b) 3 গুণ (c) 4 গুণ (d) 5 গুণ
উত্তৰঃ (b) 3 গুণ
2. 1 ৰ পৰা 9 লৈ সংখ্যাৰে সজা যাদু বৰ্গৰ যাদু ধ্ৰুৱক —
(a) 12 (b) 15 (c) 18 (d) 45
উত্তৰঃ (b) 15
3. বিৰহাংক-ফিবোনাচি আৰ্হিত 13 ৰ পিছৰ সংখ্যাটো —
(a) 18 (b) 21 (c) 26 (d) 34
উত্তৰঃ (b) 21
4. 50 তম যুগ্ম সংখ্যাটো —
(a) 50 (b) 99 (c) 100 (d) 102
উত্তৰঃ (c) 100
5. যুগ্ম সংখ্যাৰ আৰ্হি —
(a) 2n − 1 (b) 2n (c) 2n + 1 (d) n + 2
উত্তৰঃ (b) 2n
6. 4 × 4 চৌত্ৰিছা যন্ত্ৰৰ যাদু ধ্ৰুৱক —
(a) 15 (b) 30 (c) 34 (d) 45
উত্তৰঃ (c) 34
7. যিকোনো দুটা অযুগ্ম সংখ্যাৰ যোগফল —
(a) সদায় যুগ্ম (b) সদায় অযুগ্ম (c) কেতিয়াবা যুগ্ম (d) শূন্য
উত্তৰঃ (a) সদায় যুগ্ম
8. লো-শ্ব যাদু বৰ্গৰ মাজৰ সংখ্যাটো —
(a) 1 (b) 4 (c) 5 (d) 9
উত্তৰঃ (c) 5
9. 8n + 1 আৰ্হিৰ সংখ্যাবোৰ সদায় —
(a) যুগ্ম (b) অযুগ্ম (c) 8 ৰ গুণিতক (d) মৌলিক
উত্তৰঃ (b) অযুগ্ম
10. ফিবোনাচি অনুক্ৰমত প্ৰতিটো পদ (প্ৰথম দুটাৰ পিছত) হৈছে আগৰ —
(a) এটা পদৰ দুগুণ (b) দুটা পদৰ যোগফল (c) দুটা পদৰ গুণফল (d) এটা পদৰ বৰ্গ
উত্তৰঃ (b) দুটা পদৰ যোগফল
খালী ঠাই পূৰ কৰা
- অযুগ্ম সংখ্যাৰ আৰ্হি হৈছে ______। (2n − 1)
- 3 × 3 যাদু বৰ্গৰ সাধাৰণ ৰূপৰ যাদু ধ্ৰুৱক ______। (3n)
- চীন দেশৰ বিখ্যাত যাদু বৰ্গটোৰ নাম ______। (লো-শ্ব যাদু বৰ্গ)
- ছদ্মবেশী সংখ্যাত আখৰে 0 ৰ পৰা ______ লৈ যিকোনো মান ল’ব পাৰে। (9)
- দুটা ক্ৰমিক স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ যোগফল সদায় ______ হয়। (অযুগ্ম)
শুদ্ধ নে অশুদ্ধ লিখা
- যুগ্ম সংখ্যক অযুগ্ম সংখ্যাৰ যোগফল যুগ্ম হয়। — শুদ্ধ
- তিনিটা অযুগ্ম সংখ্যাৰ যোগফল যুগ্ম হয়। — অশুদ্ধ (অযুগ্ম)
- যাদু বৰ্গৰ প্ৰতিটো শাৰী, স্তম্ভ আৰু কৰ্ণৰ যোগফল সমান হয়। — শুদ্ধ
- ফিবোনাচি অনুক্ৰম 1, 1, 2, 3, 5, … ৰে আৰম্ভ হয়। — শুদ্ধ
- যিকোনো যুগ্ম সংখ্যাক দুটা সমান যোৰত ভাগ কৰিব নোৱাৰি। — অশুদ্ধ (যোৰত ভাগ কৰিব পাৰি)
চমু উত্তৰৰ প্ৰশ্ন
1. যাদু ধ্ৰুৱক কি?
উত্তৰঃ যাদু বৰ্গৰ প্ৰতিটো শাৰী, প্ৰতিটো স্তম্ভ আৰু দুয়োটা মুখ্য কৰ্ণৰ সংখ্যাবোৰৰ সমান যোগফলটোকে যাদু ধ্ৰুৱক বোলে।
2. যুগ্ম আৰু অযুগ্ম সংখ্যাৰ পাৰ্থক্য উদাহৰণসহ লিখা।
উত্তৰঃ যিবোৰ সংখ্যাক দুটা সমান যোৰত ভাগ কৰিব পাৰি সেইবোৰ যুগ্ম সংখ্যা (যেনে 2, 4, 6); যিবোৰক যোৰত ভাগ কৰিলে এটা অৱশিষ্ট থাকে সেইবোৰ অযুগ্ম সংখ্যা (যেনে 1, 3, 5)।
3. বিৰহাংক আৰু ফিবোনাচি আৰ্হিৰ পাৰ্থক্য কি?
উত্তৰঃ বিৰহাংক আৰ্হি 1, 2, 3, 5, 8, … ৰে আৰম্ভ হয়, আনহাতে ফিবোনাচি আৰ্হি 1, 1, 2, 3, 5, … ৰে আৰম্ভ হয়। দুয়োটাতে প্ৰতিটো পদ আগৰ দুটা পদৰ যোগফল।
4. এলগামেটিক (ক্ৰিপ্টাৰিথম) সমস্যা মানে কি?
উত্তৰঃ য’ত সংখ্যাৰ অংকবোৰ আখৰেৰে প্ৰকাশ কৰি যোগ-বিয়োগ আদি কৰা হয় আৰু প্ৰতিটো আখৰে সূচোৱা অংকটো উলিয়াব লাগে, তেনে সংখ্যা-প্ৰহেলিকাকে এলগামেটিক বা ক্ৰিপ্টাৰিথম সমস্যা বোলে।
শব্দাৰ্থ
| অসমীয়া শব্দ | English term | অৰ্থ |
|---|---|---|
| যুগ্ম সংখ্যা | Even number | দুটা সমান যোৰত ভাগ কৰিব পৰা সংখ্যা |
| অযুগ্ম সংখ্যা | Odd number | যোৰত ভাগ কৰিলে এটা অৱশিষ্ট থকা সংখ্যা |
| আৰ্হি | Pattern | নিয়মমতে গঠিত সংখ্যাৰ শৃংখলা |
| যাদু বৰ্গ | Magic square | শাৰী, স্তম্ভ, কৰ্ণৰ যোগফল সমান থকা বৰ্গ |
| যাদু ধ্ৰুৱক | Magic constant | যাদু বৰ্গৰ সমান যোগফলটো |
| সাধাৰণীকৰণ | Generalisation | সাধাৰণ ৰূপত প্ৰকাশ কৰা |
| ক্ৰমিক সংখ্যা | Consecutive numbers | একেৰাহে অহা সংখ্যা |
| অনুক্ৰম | Sequence | ক্ৰম মানি অহা পদৰ শাৰী |
| ঋণাত্মক সংখ্যা | Negative number | শূন্যতকৈ সৰু সংখ্যা |
| ক্ৰিপ্টাৰিথম | Cryptarithm / Alphametic | আখৰেৰে সংখ্যা লুকুৱা প্ৰহেলিকা |