সমান্তৰাল ৰেখা আৰু ছেদক — প্ৰশ্ন উত্তৰ
HSLC Guru-লৈ আপোনাক স্বাগতম। এই পাঠত ASSEB (অসম ৰাজ্যিক বিদ্যালয় শিক্ষা পৰিষদ) Class 7 নতুন গণিতৰ পঞ্চম অধ্যায় সমান্তৰাল ৰেখা আৰু ছেদকৰ প্ৰতিটো কৰি চাওঁ আহা বাকচ, ক্ৰিয়া-কলাপ, উদাহৰণ আৰু অনুশীলনী ৫ৰ সম্পূৰ্ণ সমাধান চিত্ৰসহ দিয়া হৈছে।
সাৰাংশ
দুটা ৰেখাই এটা বিন্দুত লগ ধৰিলে সিহঁতক কটা-কটি কৰা ৰেখা (ছেদী ৰেখা) বোলে আৰু লগ ধৰা বিন্দুটোক ছেদবিন্দু বোলে। কটা-কটি কৰা দুটা ৰেখাই সমকোণ (90°) উৎপন্ন কৰিলে সিহঁতক লম্ব ৰেখা বোলে। একেই সমতলত থাকি দুয়োফালে অসীম দূৰলৈ বঢ়ালেও কেতিয়াও লগ নধৰা ৰেখাযুগ্মক সমান্তৰাল ৰেখা বোলে।
এটা ৰেখাই সমতলৰ দুটা বা ততোধিক ৰেখাক দুটা বেলেগ বেলেগ বিন্দুত কাটিলে সেই ৰেখাটোক ছেদক বা তিৰ্যক ৰেখা বোলে। ছেদকে দুটা ৰেখাক কাটিলে মুঠ আঠটা কোণ সৃষ্টি হয়। এই আঠটা কোণৰ মাজত সন্নিহিত কোণ, বিপ্ৰতীপ কোণ, ৰৈখিক যুৱলীয়া কোণ, অন্তঃকোণ, বহিঃকোণ, অনুৰূপ কোণ আৰু একান্তৰ কোণ চিনাক্ত কৰিব পাৰি।
এটা ছেদকে দুটা সমান্তৰাল ৰেখাক কাটিলে অনুৰূপ কোণবোৰ সমান হয় আৰু একান্তৰ কোণবোৰো সমান হয়। ইয়াৰ উপৰি দুটা কোণৰ যোগফল 90° হলে এটাক আনটোৰ পূৰক কোণ বোলে আৰু যোগফল 180° হলে এটাক আনটোৰ সম্পূৰক কোণ বোলে।
Summary: This ASSEB Class 7 New Mathematics Chapter 5 (Parallel Lines and Transversals) question-answer set explains intersecting, perpendicular and parallel lines, transversals and the eight angles they form — adjacent, vertically opposite, linear pair, interior, exterior, corresponding and alternate angles — with complementary and supplementary angles, and gives fully worked solutions with figures for every “কৰি চাওঁ আহা” box and Exercise 5.
মূল ধাৰণা আৰু চিত্ৰ
এটা ছেদক $t$-এ দুটা ৰেখা $p$ আৰু $q$-ক কাটিলে গঠন হোৱা আঠটা কোণ তলৰ চিত্ৰত ১ৰ পৰা ৮লৈ চিহ্নিত কৰা হৈছে। ইয়াত $\angle 3, \angle 4, \angle 5, \angle 6$ অন্তঃকোণ (ৰেখা দুটাৰ ভিতৰত) আৰু $\angle 1, \angle 2, \angle 7, \angle 8$ বহিঃকোণ।
অনুৰূপ কোণ (Corresponding angles): ছেদকৰ একেই ফালে আৰু ৰেখা দুটাৰ একেই স্থানত থকা কোণ যুগ্ম। যেনে — $\angle 1$ আৰু $\angle 5$। সমান্তৰাল ৰেখাৰ ক্ষেত্ৰত $\angle 1 = \angle 5$।
একান্তৰ কোণ (Alternate angles): ছেদকৰ দুয়োফালে থকা দুটা অন্তঃকোণ (বা বহিঃকোণ)। যেনে — $\angle 3$ আৰু $\angle 5$। সমান্তৰাল ৰেখাৰ ক্ষেত্ৰত $\angle 3 = \angle 5$।
পাঠ্যপুথিৰ প্ৰশ্ন আৰু উত্তৰ
কৰি চাওঁ আহা ৫.১
তলৰ চিত্ৰত $x$ আৰু $y$ ৰেখা এটা বিন্দুত কাটা-কাটি হৈছে আৰু ভিতৰৰ চাৰিটা কোণ $\angle a, \angle b, \angle c, \angle d$।
প্ৰশ্নঃ ওপৰৰ চিত্ৰৰ পৰা সন্নিহিত কোণ, ৰৈখিক যুৱলীয়া কোণ আৰু বিপ্ৰতীপ কোণ চিনাক্ত কৰা। (ক) $\angle a$-ৰ মান 65° হলে $\angle b, \angle c$ আৰু $\angle d$-ৰ মান উলিওৱা। (খ) $\angle b$-ৰ মান 115° হলে $\angle d$-ৰ মান উলিওৱা।
উত্তৰঃ সন্নিহিত কোণ যুগ্ম: ($\angle a, \angle b$), ($\angle b, \angle c$), ($\angle c, \angle d$), ($\angle d, \angle a$)। ইয়াৰ প্ৰতিযুগ্ম ৰৈখিক যুৱলীয়া কোণো বটে, কিয়নো প্ৰতিযুগ্মৰ যোগফল 180°। বিপ্ৰতীপ কোণ যুগ্ম: ($\angle a, \angle c$) আৰু ($\angle b, \angle d$)।
(ক) $\angle a$ আৰু $\angle b$ ৰৈখিক যুৱলীয়া, গতিকে $\angle a + \angle b = 180°$ ⟹ $\angle b = 180° − 65° = 115°$। $\angle a$ আৰু $\angle c$ বিপ্ৰতীপ কোণ, গতিকে $\angle c = \angle a = 65°$। $\angle a$ আৰু $\angle d$ ৰৈখিক যুৱলীয়া, গতিকে $\angle d = 180° − 65° = 115°$। সুতৰাং $\angle b = 115°,\ \angle c = 65°,\ \angle d = 115°$।
(খ) $\angle b$ আৰু $\angle d$ বিপ্ৰতীপ কোণ, গতিকে $\angle d = \angle b = 115°$।
ক্ৰিয়া-কলাপ ১ আৰু ২ (কাগজ ভাঁজ কৰি সমান্তৰাল আৰু লম্ব ৰেখা)
ক্ৰিয়া-কলাপ ১: এখন আয়তাকাৰ বা বৰ্গাকাৰ কাগজ আনুভূমিকভাৱে ভাঁজ কৰি ভাঁজৰ কোবত এডাল ৰেখা টানা। এই ৰেখাডাল কাগজৰ থিয় কাষৰ লগত লম্ব আৰু শুই থকা (আনুভূমিক) কাষৰ লগত সমান্তৰাল হয়। কাগজখন লাহে লাহে বেছি ভাঁজ কৰিলে সমান্তৰাল ৰেখাৰ সংখ্যাও বাঢ়ি যায় — ভাঁজৰ সংখ্যা বঢ়াৰ লগে লগে সমান্তৰাল ৰেখাৰ সংখ্যাও বাঢ়ে।
উত্তৰঃ আনুভূমিক ভাঁজৰ ৰেখাডাল থিয় কাষৰ লম্ব আৰু আনুভূমিক কাষৰ সমান্তৰাল। ইয়াৰ পাছত থিয়কৈ (উলম্বভাৱে) ভাঁজ কৰি অঁকা নতুন ৰেখাডাল আগৰ আনুভূমিক ৰেখাবোৰৰ লম্ব হয় আৰু থিয় কাষৰ সমান্তৰাল হয়।
ক্ৰিয়া-কলাপ ২: এখন বৰ্গাকাৰ কাগজ এটা কৰ্ণৰ কাষত ভাঁজ কৰি ৰেখা $p$ আৰু আনটো কৰ্ণৰ কাষত ভাঁজ কৰি ৰেখা $q$ অঁকা। উত্তৰঃ বৰ্গৰ দুটা কৰ্ণ পৰস্পৰ লম্ব হোৱাৰ বাবে $p$ আৰু $q$ পৰস্পৰ লম্ব ($p \perp q$)। পাছত প্ৰতিটো চুক ছেদবিন্দুত ভাঁজ কৰি অঁকা $a, b, c, d$ ৰেখাবোৰৰ ভিতৰত $a \parallel c$ আৰু $b \parallel d$, আৰু এই যুগ্ম দুটা পৰস্পৰ লম্ব।
কৰি চাওঁ আহা ৫.২
১। বিন্দুযুক্ত (dot) কাগজত তিনিটা বিন্দু সংযোগ কৰি অন্ততঃ চাৰিডাল ৰেখা টানা আৰু প্ৰতিটো বিন্দুত ৰেখাবোৰৰ লম্ব অঁকিবলৈ চেষ্টা কৰা।
উত্তৰঃ স্কেল আৰু ছেট-স্কুৱাৰৰ সহায়ত প্ৰতিডাল ৰেখাত এটা বিন্দুত সমকোণ (90°) হোৱাকৈ আন এডাল ৰেখা টানিলেই লম্ব পোৱা যায়। এইদৰে বিভিন্ন বিন্দুত লম্ব ৰেখা অঁকিব পাৰি (হাতে কৰা অংকন)।
২। ওপৰৰ dot কাগজত ৫ ডাল সৰল ৰেখাৰে এটা আঁকা-বাঁকা (zig-zag) পথ অঁকা, তাৰ পাছত প্ৰতিটো খণ্ডৰ সমান্তৰালকৈ আন এটা আঁকা-বাঁকা পথ অঁকা।
উত্তৰঃ প্ৰথম পথৰ প্ৰতিটো খণ্ডৰ বাবে একেই দিশত সমান দূৰত্বত থাকি আন এটা খণ্ড অঁকিলে দ্বিতীয় পথৰ প্ৰতিটো খণ্ড প্ৰথম পথৰ সংশ্লিষ্ট খণ্ডৰ সমান্তৰাল হয় (হাতে কৰা অংকন)।
৩। তলৰ চিত্ৰবোৰত সমান্তৰাল ৰেখা আৰু লম্ব ৰেখাৰ যুগ্ম চিনাক্ত কৰা; সমান্তৰাল ৰেখাক কাঁড় চিহ্নেৰে (>, >>) আৰু লম্ব ৰেখাক সমকোণ চিহ্নেৰে দেখুওৱা।
উত্তৰঃ কেতিয়াও লগ নধৰা ৰেখাযুগ্মক সমান্তৰাল বুলি কাঁড় চিহ্ন দিয়া আৰু 90° কোণ গঠন কৰা ৰেখাযুগ্মক লম্ব বুলি সমকোণ চিহ্ন (⌐) দিয়া। ৰেখাবোৰ বঢ়াই লগ ধৰে নে নধৰে আৰু সিহঁতৰ মাজৰ কোণ 90° হয় নেকি চাই চিনাক্ত কৰা হয়।
৪। স্কেল আৰু ছেট-স্কুৱাৰৰ সহায়ত দিয়া ৰেখা $x$-ৰ সমান্তৰালকৈ $m$ আৰু $n$ বিন্দুৰে দুডাল ৰেখা অঁকা।
উত্তৰঃ ছেট-স্কুৱাৰৰ সমকোণৰ এটা বাহু ৰেখা $x$-ৰ ওপৰত ৰাখি আনটো বাহুত স্কেল লগাই, স্কেলৰ কাষেৰে ছেট-স্কুৱাৰক $m$ (আৰু $n$) বিন্দু চুবলৈ পিছলাই আনি সেই বাহুৰ কাষত ৰেখা টানিলে $x$-ৰ সমান্তৰাল ৰেখা পোৱা যায়।
৫। dot-কাগজত অঁকা ৰেখাখণ্ডবোৰ মন কৰি প্ৰতিটো খণ্ডৰ সমান্তৰালকৈ নতুন ৰেখা অঁকা। (ক) সকলো খণ্ডৰ সমান্তৰাল অঁকা সহজ আছিল নে? নহলে কোনবোৰত অসুবিধা হ’ল? (খ) সমস্যাটো কেনেকৈ সমাধান কৰিলা?
উত্তৰঃ থিয় আৰু আনুভূমিক খণ্ডৰ সমান্তৰাল অঁকা সহজ, কিন্তু হেলনীয়া (কোণীয়া) খণ্ডৰ ক্ষেত্ৰত অসুবিধা হয়। ছেট-স্কুৱাৰ আৰু স্কেল একেলগে ব্যৱহাৰ কৰি খণ্ডটোৰ দিশ অনুসৰি স্কুৱাৰ পিছলাই আনি সমান্তৰাল ৰেখা অঁকিলেই সমস্যাটো সমাধান হয়।
উদাহৰণ (সমাধান কৰা)
উদাহৰণ ১। চিত্ৰত $t$ হ’ল সমান্তৰাল ৰেখা $l$ আৰু $m$-ৰ ছেদক আৰু $\angle p = 125°$। (ক) $l \parallel m$ হ’লে $\angle q$-ৰ মান উলিওৱা। (খ) $\angle r = 75°$ হ’লে $l$ আৰু $m$ সমান্তৰাল হ’ব নে?
সমাধানঃ (ক) $l \parallel m$ আৰু $\angle p$ আৰু $\angle q$ অনুৰূপ কোণ, গতিকে $\angle q = \angle p = 125°$। (খ) $\angle q$ আৰু $\angle r$ ৰৈখিক যুৱলীয়া হ’লে $\angle q = 180° − 75° = 105°$; কিন্তু অনুৰূপ কোণ $\angle p = 125° \ne 105°$, গতিকে $l$ আৰু $m$ সমান্তৰাল নহয়।
উদাহৰণ ২। চিত্ৰত $r$ হ’ল সমান্তৰাল ৰেখা $p$ আৰু $q$-ৰ ছেদক। $\angle d = 55°$ হ’লে বাকী কোণবোৰৰ মান উলিওৱা (ওপৰৰ ছেদত $a, b, c, d$ আৰু তলৰ ছেদত $e, f, g, h$)।
সমাধানঃ $\angle b = \angle d = 55°$ (বিপ্ৰতীপ)। $\angle c = 180° − 55° = 125°$ (ৰৈখিক যুৱলীয়া)। $\angle a = \angle c = 125°$ (বিপ্ৰতীপ)। $\angle g = \angle c = 125°$ (অনুৰূপ)। $\angle h = \angle d = 55°$ (অনুৰূপ)। $\angle f = \angle h = 55°$ (বিপ্ৰতীপ)। $\angle e = \angle g = 125°$ (বিপ্ৰতীপ)।
উদাহৰণ ৩। চিত্ৰত $s$ আৰু $t$ হ’ল সমান্তৰাল ৰেখা $m$ আৰু $n$-ৰ দুটা ছেদক। $\angle 1 = 60°$ আৰু $\angle 10 = 50°$ হ’লে বাকী কোণবোৰ উলিওৱা।
সমাধানঃ $\angle 3 = \angle 1 = 60°$ (বিপ্ৰতীপ)। $\angle 2 = 180° − 60° = 120°$ (ৰৈখিক যুৱলীয়া); $\angle 4 = \angle 2 = 120°$ (বিপ্ৰতীপ)। $\angle 11 = \angle 1 = 60°$ (অনুৰূপ)। $\angle 9, \angle 10, \angle 11$ একেলগে পোন কোণ গঠন কৰে, গতিকে $\angle 9 = 180° − (50° + 60°) = 70°$। $\angle 8 = \angle 9 = 70°$ (অনুৰূপ); $\angle 6 = \angle 8 = 70°$ (বিপ্ৰতীপ)। $\angle 5 = 180° − 70° = 110°$ (ৰৈখিক যুৱলীয়া); $\angle 7 = \angle 5 = 110°$ (বিপ্ৰতীপ)।
কৰি চাওঁ আহা ৫.৩
১। তলৰ চিত্ৰবোৰত $l$ আৰু $m$ সমান্তৰাল ($l \parallel m$), $t$ ছেদক। $\angle x$-ৰ মান উলিওৱা।
উত্তৰঃ (ক) ওপৰৰ ছেদত থকা 120° আৰু $\angle x$ অনুৰূপ কোণ; সমান্তৰাল ৰেখাত অনুৰূপ কোণ সমান, গতিকে $\angle x = 120°$।
(খ) দিয়া 60° আৰু $\angle x$ একান্তৰ কোণ (Z-আকৃতি); একান্তৰ কোণ সমান, গতিকে $\angle x = 60°$।
(গ) তলৰ 120° আৰু $\angle x$ একান্তৰ অন্তঃকোণ; সমান্তৰাল ৰেখাত একান্তৰ কোণ সমান, গতিকে $\angle x = 120°$।
২। তলৰ চিত্ৰবোৰত $l$ আৰু $m$ দুটা ৰেখা আৰু $n$ ছেদক। কোনবোৰ সমান্তৰাল? কাৰণসহ লিখা।
উত্তৰঃ (ক) চিত্ৰত 57° আৰু 123° চিহ্নিত। এই দুটাৰ একান্তৰ কোণ যুগ্মৰ যোগফল 57° + 123° = 180° (অন্তঃকোণ একেফালে যোগ 180°), গতিকে $l \parallel m$ (সমান্তৰাল)।
(খ) 72° আৰু 98° একান্তৰ কোণ যুগ্ম হ’ব লাগিলে সমান হ’ব লাগিছিল, কিন্তু 72° ≠ 98°, গতিকে সমান্তৰাল নহয়।
(গ) দুয়োটা কোণ 75° আৰু 75°, একান্তৰ কোণ সমান হোৱাৰ বাবে $l \parallel m$ (সমান্তৰাল)।
(ঘ) 54° আৰু 126° একেফালৰ অন্তঃকোণ; ইহঁতৰ যোগফল 54° + 126° = 180°, গতিকে $l \parallel m$ (সমান্তৰাল)।
কৰি চাওঁ আহা ৫.৪
১। তলৰ কোণবোৰৰ পৰা পূৰক কোণ যুগ্মবোৰ উলিওৱা: (ক) 50° (খ) 20° (গ) 35° (ঘ) 70° (ঙ) 40° (চ) 30°। কোনবোৰৰ পূৰক কোণ নাই তাকো লিখা।
উত্তৰঃ পূৰক কোণৰ যোগফল 90°। যুগ্ম দুটা: (ক) 50° আৰু (ঙ) 40° [50° + 40° = 90°]; (খ) 20° আৰু (ঘ) 70° [20° + 70° = 90°]। (গ) 35° আৰু (চ) 30°-ৰ দিয়া কোণবোৰৰ ভিতৰত পূৰক কোণ নাই।
২। তলৰ কোণবোৰৰ পূৰক কোণৰ মান কিমান? (ক) 35° (খ) 45° (গ) 25° (ঘ) 60°।
উত্তৰঃ পূৰক = 90° − কোণ। (ক) 90° − 35° = 55° (খ) 90° − 45° = 45° (গ) 90° − 25° = 65° (ঘ) 90° − 60° = 30°।
৩। দুয়োটা কোণ মানত সমান হোৱা এযোৰ পূৰক কোণৰ মান লিখা।
উত্তৰঃ দুয়োটা সমান হ’লে প্ৰতিটো $90° \div 2 = 45°$। গতিকে যুগ্মটো 45° আৰু 45°।
৪। তলৰ কোণবোৰৰ সম্পূৰক কোণৰ মান কিমান? (ক) 60° (খ) 70° (গ) 85° (ঘ) 55° (ঙ) 50°।
উত্তৰঃ সম্পূৰক = 180° − কোণ। (ক) 120° (খ) 110° (গ) 95° (ঘ) 125° (ঙ) 130°।
৫। নিজৰ সম্পূৰক কোণৰ সৈতে সমান হোৱা এটা কোণ নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ কোণটো $x$ হ’লে $x = 180° − x$ ⟹ $2x = 180°$ ⟹ $x = 90°$। গতিকে কোণটো 90°।
৬। কাষৰ চিত্ৰত এটা বিন্দুত পাঁচটা ৰশ্মিয়ে গঠন কৰা $\angle a, \angle b, \angle c, \angle d, \angle e$-ৰ ভিতৰত কোনবোৰ পূৰক আৰু কোনবোৰ সম্পূৰক কোণ চিনাক্ত কৰা।
উত্তৰঃ চিত্ৰত এটা থিয় ৰশ্মিয়ে আনুভূমিক ৰেখাৰ সৈতে সমকোণ ($\angle a = 90°$) গঠন কৰিছে। ওপৰৰ পোন কোণত $\angle a + \angle b + \angle c = 180°$, গতিকে $\angle b + \angle c = 90°$ — অৰ্থাৎ $\angle b$ আৰু $\angle c$ পূৰক কোণ। তলৰ ফালে $\angle d$ আৰু $\angle e$ একেলগে পোন কোণ গঠন কৰে, $\angle d + \angle e = 180°$ — অৰ্থাৎ $\angle d$ আৰু $\angle e$ সম্পূৰক কোণ।
অনুশীলনী ৫
১। তলৰ চিত্ৰবোৰত $AB \parallel CD$ হ’লে $\angle x, \angle y, \angle z$-ৰ মান উলিওৱা।
উত্তৰঃ (ক) শীৰ্ষবিন্দুৰ পৰা $CD$লৈ নমা দুডাল ৰেখাই $CD$ৰ ওপৰত এটা ত্ৰিভুজ গঠন কৰিছে। তলৰ সোঁফালৰ বহিঃকোণ 100° হোৱাৰ বাবে ত্ৰিভুজৰ সোঁ-চুকৰ অন্তঃকোণ $= 180° − 100° = 80°$। $AB \parallel CD$, বাওঁ-বাহু ছেদক; একান্তৰ কোণ $\angle x = 70°$। ত্ৰিভুজত $\angle y = 180° − (70° + 80°) = 30°$। শীৰ্ষৰ পোন কোণত $70° + \angle y + \angle z = 180°$ ⟹ $\angle z = 180° − 70° − 30° = 80°$। গতিকে $\angle x = 70°,\ \angle y = 30°,\ \angle z = 80°$।
(খ) $B$ আৰু $D$ৰ পৰা $P$ বিন্দুলৈ যোৱা ৰেখা দুডালে সমান্তৰাল ৰেখা $AB$ আৰু $CD$ৰ মাজত $\angle ABP = 65°$ আৰু শীৰ্ষত $\angle BPD = 30°$ গঠন কৰিছে। $P$-ৰ মাজেৰে $AB$ৰ সমান্তৰাল ৰেখা টানিলে $\angle ABP = \angle BPD + \angle CDP$, গতিকে $\angle x = \angle CDP = 65° − 30° = 35°$।
(গ) শীৰ্ষবিন্দুৰ পৰা $CD$লৈ নমা ত্ৰিভুজত তলৰ দুটা কোণ 80° আৰু 40°। $AB \parallel CD$, একান্তৰ কোণৰ দ্বাৰা $\angle x = 80°$ আৰু $\angle z = 40°$। শীৰ্ষত $\angle x + \angle y + \angle z = 180°$ ⟹ $\angle y = 180° − 80° − 40° = 60°$। গতিকে $\angle x = 80°,\ \angle y = 60°,\ \angle z = 40°$।
(ঘ) [সংকেত: $BE$ বঢ়াই $CD$-ত $F$ বিন্দুত মিলোৱা।] $BF$ ছেদকে $AB \parallel CD$-ক কাটে, গতিকে একান্তৰ কোণ $\angle EFD = \angle ABE = 55°$। ত্ৰিভুজ $EFD$-ত $\angle FED = 180° − 55° − 25° = 100°$। $B, E, F$ একেৰেখীয় হোৱাৰ বাবে $\angle x = \angle BED = 180° − 100° = 80°$। (অথবা সোজাকৈ, $P$-ৰ মাজেৰে সমান্তৰাল ৰেখা টানি $\angle x = 55° + 25° = 80°$।)
২। দিয়া চিত্ৰৰ পৰা $\angle x$-ৰ মান উলিওৱা ($AB \parallel CD$, মাজৰ বিন্দুত প্ৰতিবৰ্তী কোণ $x$)।
উত্তৰঃ মাজৰ বিন্দুৰ মাজেৰে $AB$ আৰু $CD$-ৰ সমান্তৰাল এডাল ৰেখা (dotted) টানিলে ওপৰৰ 45° আৰু তলৰ 30° একান্তৰ কোণ হিচাপে ভাগ হয়। গতিকে ভিতৰৰ কোণ $= 45° + 30° = 75°$, আৰু চিহ্নিত প্ৰতিবৰ্তী কোণ $\angle x = 360° − 75° = 285°$।
৩। চিত্ৰত এযোৰ একান্তৰ অন্তঃকোণ কোনটো? (ক) $\angle 1, \angle 3$ (খ) $\angle 2, \angle 3$ (গ) $\angle 2, \angle 5$ (ঘ) $\angle 2, \angle 4$।
উত্তৰঃ (খ) $\angle 2, \angle 3$। ($\angle 2$ ওপৰৰ ছেদৰ অন্তঃকোণ আৰু $\angle 3$ তলৰ ছেদৰ অন্তঃকোণ, ছেদকৰ দুয়োফালে থকা বাবে একান্তৰ অন্তঃকোণ।)
৪। $a \parallel b$ আৰু $c$ ছেদক হ’লে $\angle y = ?$ (ক) 90° (খ) 125° (গ) 55° (ঘ) 180°।
উত্তৰঃ (খ) 125°। দিয়া 55° আৰু $\angle y$ একেফালৰ কোণ; $\angle y = 180° − 55° = 125°$।
৫। $a \parallel b$ আৰু $c$ ছেদক হ’লে $\angle y = ?$ (ক) 90° (খ) 25° (গ) 55° (ঘ) 35°।
উত্তৰঃ (গ) 55°। দিয়া 55° আৰু $\angle y$ একান্তৰ (বা অনুৰূপ) কোণ, গতিকে সমান — $\angle y = 55°$।
৬। $l \parallel m$ আৰু $c$ ছেদক হ’লে $\angle x$-ৰ মান উলিওৱা। (ক) 50° (খ) 130° (গ) 120° (ঘ) 100°।
উত্তৰঃ (খ) 130°। ওপৰৰ 130° আৰু $\angle x$ একান্তৰ বহিঃকোণ (বা অনুৰূপ কোণৰ বিপ্ৰতীপ), গতিকে $\angle x = 130°$।
৭। কাষৰ চিত্ৰত $u$ আৰু $v$ সমান্তৰাল ৰেখা; $r$ আৰু $s$ ছেদক ($u$-ৰ ওপৰত এটা বিন্দুত লগ ধৰিছে)। $44°$ আৰু $128°$ দিয়া আছে। সকলো কোণৰ মান নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ $u$-ৰ ওপৰৰ ছেদবিন্দুত: $\angle c = 44°$ (মাজৰ 44°-ৰ বিপ্ৰতীপ)। $128°$-ৰ ৰৈখিক যুৱলীয়া $180° − 128° = 52°$-এ $r$-ৰ প্ৰৱণতা দিয়ে, গতিকে $\angle d = 52°$ আৰু $\angle a = 52°$ (বিপ্ৰতীপ); $\angle b = 180° − 44° − 52° = 84°$ আৰু $\angle e = 84°$। তলৰ বাওঁ ছেদত ($s$ বা $r$): $\angle f = 84°$, $\angle h = 84°$, $\angle g = 96°$, $\angle i = 96°$। তলৰ সোঁ ছেদত ($128°$ দিয়া): $\angle k = 128°$, $\angle j = 52°$, $\angle l = 52°$।
সাৰাংশত — $\angle a = 52°,\ \angle b = 84°,\ \angle c = 44°,\ \angle d = 52°,\ \angle e = 84°,\ \angle f = 84°,\ \angle g = 96°,\ \angle h = 84°,\ \angle i = 96°,\ \angle j = 52°,\ \angle k = 128°,\ \angle l = 52°$। (পৰীক্ষা: শীৰ্ষ 44° + বাওঁ পাদ 84° + সোঁ পাদ 52° = 180°।)
৮। চিত্ৰৰ পৰা $\angle a, \angle b, \angle c$-ৰ মান উলিওৱা (দুটা সমান্তৰাল থিয় ৰেখা, ইহঁতৰ লম্ব এডাল আনুভূমিক ৰেখা আৰু 38° গঠন কৰা এডাল ছেদক)।
উত্তৰঃ ছেদকে থিয় ৰেখাৰ সৈতে 38° গঠন কৰিছে। $\angle c$ আৰু 38° একেই থিয় ৰেখাত পোন কোণ গঠন কৰে, গতিকে $\angle c = 180° − 38° = 142°$। থিয় ৰেখা দুটা সমান্তৰাল, অনুৰূপ কোণৰ দ্বাৰা সোঁফালৰ ছেদতো ছেদকে থিয় ৰেখাৰ সৈতে 38° গঠন কৰে, গতিকে $\angle b = 38°$। আনুভূমিক ৰেখা থিয় ৰেখাৰ লম্ব হোৱাৰ বাবে $\angle a = 90° − 38° = 52°$।
৯। কাষৰ চিত্ৰত $AB \parallel ED$, $ED \parallel FG$ আৰু $EF \parallel CD$। $\angle 2 = 50°$ আৰু $\angle 4 = 65°$ হ’লে $\angle 1, \angle 3, \angle 5$-ৰ মান নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ $FG \parallel ED$ আৰু $EF$ ছেদক; $\angle 1$ আৰু $\angle 2$ একেফালৰ অন্তঃকোণ, গতিকে $\angle 1 = 180° − \angle 2 = 180° − 50° = 130°$। $EF \parallel CD$ আৰু $ED$ ছেদক; $\angle 3$ আৰু $\angle 2$ একান্তৰ কোণ, গতিকে $\angle 3 = \angle 2 = 50°$। $C$-ত $\angle 4 = 65°$ হ’ল $CD$ আৰু $CB$-ৰ মাজৰ কোণ; $AB \parallel ED$ আৰু $CD \parallel EF$ ব্যৱহাৰ কৰি $\angle 5 = \angle 3 + \angle 4 = 50° + 65° = 115°$। গতিকে $\angle 1 = 130°,\ \angle 3 = 50°,\ \angle 5 = 115°$।
অতিৰিক্ত প্ৰশ্ন আৰু উত্তৰ
বহুবিকল্পযুক্ত প্ৰশ্ন (MCQ)
১। দুটা ৰেখা এটা বিন্দুত কাটা-কাটি হ’লে সৃষ্টি হোৱা বিপ্ৰতীপ কোণ দুটা — (ক) সমান (খ) পূৰক (গ) সম্পূৰক (ঘ) 90°।
উত্তৰঃ (ক) সমান।
২। দুটা সন্নিহিত কোণৰ যোগফল 180° হ’লে সেই যুগ্মক কয় — (ক) বিপ্ৰতীপ কোণ (খ) ৰৈখিক যুৱলীয়া কোণ (গ) পূৰক কোণ (ঘ) অনুৰূপ কোণ।
উত্তৰঃ (খ) ৰৈখিক যুৱলীয়া কোণ।
৩। এটা ছেদকে দুটা ৰেখাক কাটিলে মুঠ কিমান কোণ সৃষ্টি হয়? (ক) 4 (খ) 6 (গ) 8 (ঘ) 12।
উত্তৰঃ (গ) 8।
৪। দুটা সমান্তৰাল ৰেখাক এটা ছেদকে কাটিলে অনুৰূপ কোণবোৰ — (ক) সমান (খ) সম্পূৰক (গ) পূৰক (ঘ) অসমান।
উত্তৰঃ (ক) সমান।
৫। এটা কোণৰ পূৰক কোণ 35° হ’লে কোণটোৰ মান — (ক) 145° (খ) 65° (গ) 55° (ঘ) 45°।
উত্তৰঃ (গ) 55° ($90° − 35° = 55°$)।
৬। এটা কোণৰ সম্পূৰক কোণ 110° হ’লে কোণটোৰ মান — (ক) 70° (খ) 80° (গ) 20° (ঘ) 90°।
উত্তৰঃ (ক) 70° ($180° − 110° = 70°$)।
৭। দুডাল ৰেখা পৰস্পৰ লম্ব হ’লে সিহঁতৰ মাজৰ কোণ — (ক) 45° (খ) 60° (গ) 90° (ঘ) 180°।
উত্তৰঃ (গ) 90°।
৮। সমান্তৰাল ৰেখাক ছেদকে কাটিলে একান্তৰ কোণবোৰ — (ক) সমান (খ) যোগফল 90° (গ) যোগফল 180° (ঘ) অসমান।
উত্তৰঃ (ক) সমান।
৯। নিজৰ সম্পূৰক কোণৰ সৈতে সমান হোৱা কোণটো — (ক) 45° (খ) 60° (গ) 90° (ঘ) 180°।
উত্তৰঃ (গ) 90°।
১০। এটা ছেদকে কটা দুটা ৰেখাৰ ভিতৰত থকা কোণবোৰক কয় — (ক) বহিঃকোণ (খ) অন্তঃকোণ (গ) সন্নিহিত কোণ (ঘ) বিপ্ৰতীপ কোণ।
উত্তৰঃ (খ) অন্তঃকোণ।
খালী ঠাই পূৰোৱা
১। কেতিয়াও লগ নধৰা এযোৰ ৰেখাক ____ ৰেখা বোলে। উত্তৰঃ সমান্তৰাল।
২। দুটা ৰেখাই 90° কোণ গঠন কৰিলে সিহঁতক ____ ৰেখা বোলে। উত্তৰঃ লম্ব।
৩। বিপ্ৰতীপ কোণ দুটা সদায় ____। উত্তৰঃ সমান।
৪। দুটা কোণৰ যোগফল 90° হ’লে এটাক আনটোৰ ____ কোণ বোলে। উত্তৰঃ পূৰক।
৫। এটা ছেদকে দুটা সমান্তৰাল ৰেখাক কাটিলে অনুৰূপ কোণবোৰ ____ হয়। উত্তৰঃ সমান।
শুদ্ধ নে অশুদ্ধ লিখা
১। বিপ্ৰতীপ কোণ দুটাৰ যোগফল সদায় 180°। উত্তৰঃ অশুদ্ধ (বিপ্ৰতীপ কোণ সমান হয়)।
২। সমান্তৰাল ৰেখা একেই সমতলত থাকে। উত্তৰঃ শুদ্ধ।
৩। এটা ছেদকে দুটা ৰেখাক কাটিলে ছয়টা কোণ সৃষ্টি হয়। উত্তৰঃ অশুদ্ধ (আঠটা কোণ)।
৪। 90° কোণৰ পূৰক কোণ নাই। উত্তৰঃ শুদ্ধ (পূৰক 0° হ’ব লাগিব, যিটো কোণ নহয়)।
৫। সমান্তৰাল ৰেখাক কাটা ছেদকে গঠন কৰা একান্তৰ কোণবোৰ সমান। উত্তৰঃ শুদ্ধ।
চমু উত্তৰৰ প্ৰশ্ন
১। ছেদক ৰেখা কাক বোলে? উত্তৰঃ এটা ৰেখাই সমতলৰ দুটা বা ততোধিক ৰেখাক দুটা বা ততোধিক বেলেগ বিন্দুত কাটিলে সেই ৰেখাটোক ছেদক (তিৰ্যক) ৰেখা বোলে।
২। এটা কোণৰ মান 40° হ’লে তাৰ পূৰক আৰু সম্পূৰক কোণৰ মান লিখা। উত্তৰঃ পূৰক $= 90° − 40° = 50°$; সম্পূৰক $= 180° − 40° = 140°$।
৩। দুটা সমান্তৰাল ৰেখাক এটা ছেদকে কাটিলে গঠন হোৱা এযোৰ একেফালৰ অন্তঃকোণৰ এটা 65° হ’লে আনটোৰ মান কিমান? উত্তৰঃ একেফালৰ অন্তঃকোণৰ যোগফল 180°, গতিকে আনটো $= 180° − 65° = 115°$।
৪। অনুৰূপ কোণ আৰু একান্তৰ কোণৰ মাজত পাৰ্থক্য কি? উত্তৰঃ অনুৰূপ কোণ ছেদকৰ একেই ফালে আৰু ৰেখা দুটাৰ একেই আপেক্ষিক স্থানত থাকে; একান্তৰ কোণ ছেদকৰ দুয়োফালে থাকে (অন্তঃকোণ বা বহিঃকোণ হিচাপে)। সমান্তৰাল ৰেখাত দুয়োবিধেই সমান হয়।
শব্দাৰ্থ
| অসমীয়া শব্দ | English term | অৰ্থ |
|---|---|---|
| কটা-কটি কৰা ৰেখা | Intersecting lines | এটা বিন্দুত লগ ধৰা দুটা ৰেখা |
| ছেদবিন্দু | Point of intersection | দুটা ৰেখা লগ ধৰা বিন্দু |
| লম্ব ৰেখা | Perpendicular lines | 90° কোণ গঠন কৰা দুটা ৰেখা |
| সমান্তৰাল ৰেখা | Parallel lines | কেতিয়াও লগ নধৰা এযোৰ ৰেখা |
| ছেদক / তিৰ্যক | Transversal | দুই বা ততোধিক ৰেখাক কটা ৰেখা |
| সন্নিহিত কোণ | Adjacent angles | একেই শীৰ্ষ আৰু একেই বাহু থকা কোণ |
| ৰৈখিক যুৱলীয়া কোণ | Linear pair | যোগফল 180° হোৱা সন্নিহিত কোণ |
| বিপ্ৰতীপ কোণ | Vertically opposite angles | ছেদত মুখামুখি থকা সমান কোণ |
| অনুৰূপ কোণ | Corresponding angles | ছেদকৰ একেফালৰ একেই স্থানৰ কোণ |
| একান্তৰ কোণ | Alternate angles | ছেদকৰ বিপৰীত ফালৰ কোণ |
| অন্তঃকোণ / বহিঃকোণ | Interior / Exterior angles | ৰেখা দুটাৰ ভিতৰৰ / বাহিৰৰ কোণ |
| পূৰক কোণ | Complementary angles | যোগফল 90° হোৱা দুটা কোণ |
| সম্পূৰক কোণ | Supplementary angles | যোগফল 180° হোৱা দুটা কোণ |