ভগ্নাংশ — প্ৰশ্ন উত্তৰ
HSLC Guru-ত আপোনাক স্বাগতম। এই পাঠত ASSEB Class 7 নতুন গণিত (New Mathematics)-ৰ তৃতীয় অধ্যায় ভগ্নাংশৰ পাঠ্যপুথিৰ সকলো “কৰি চাওঁ আহা” বাকচ, ক্ৰিয়া-কলাপ, প্ৰহেলিকা আৰু উদাহৰণৰ সম্পূৰ্ণ সমাধানৰ লগতে অতিৰিক্ত প্ৰশ্ন-উত্তৰ ছপা ক্ৰম অনুসৰি দিয়া হৈছে।
সাৰাংশ
এই অধ্যায়ত আমি ভগ্নাংশৰ পূৰণ আৰু হৰণ শিকো। দুটা ভগ্নাংশৰ পূৰণফল = লবৰ পূৰণফল ÷ হৰৰ পূৰণফল, অৰ্থাৎ $\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d}$। পূৰণৰ আগতে লব আৰু হৰক সাধাৰণ উৎপাদকেৰে হৰণ কৰি পূৰণফলটো লঘিষ্ঠ (সৰলতম) ৰূপত পৰিণত কৰা হয়। পূৰণৰ ক্ৰম সলনি কৰিলেও পূৰণফল একেই থাকে — $\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{c}{d} \times \frac{a}{b}$।
পূৰণফলৰ মান তিনি প্ৰকাৰে ওলাব পাৰে: দুটা প্ৰকৃত ভগ্নাংশৰ পূৰণফল সদায় দুয়োটাতকৈ সৰু আৰু 1তকৈ সৰু হয়; দুটা অপ্ৰকৃত ভগ্নাংশৰ পূৰণফল সদায় দুয়োটাতকৈ ডাঙৰ আৰু 1তকৈ ডাঙৰ হয়; এটা প্ৰকৃত আৰু এটা অপ্ৰকৃত ভগ্নাংশৰ পূৰণফলটো সেই দুটা ভগ্নাংশৰ মাজত থাকে। আয়ত, বৰ্গ আদি আকৃতিৰ ক্ষেত্ৰফল আৰ্হিৰে (area model) পূৰণটো চিত্ৰেৰে প্ৰদৰ্শন কৰিব পাৰি।
হৰণৰ ক্ষেত্ৰত ভাজকটোৰ অন্যোন্যক (গুণাত্মক বিপৰীত) উলিয়াই ভাজ্যক তাৰে পূৰণ কৰা হয় — $\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c}$। ভাজক 1তকৈ সৰু হ’লে ভাগফলটো ভাজ্যতকৈ ডাঙৰ হয় আৰু ভাজক 1তকৈ ডাঙৰ হ’লে ভাগফলটো ভাজ্যতকৈ সৰু হয়। দূৰত্ব, বেগ, ক্ষেত্ৰফল আৰু দৈনন্দিন জীৱনৰ বহুতো সমস্যাত এই ধাৰণাসমূহ প্ৰয়োগ কৰা হয়।
Summary: This ASSEB Class 7 New Mathematics Chapter 3 “Fractions” solution explains multiplication of fractions (product of numerators over product of denominators), simplification to lowest form, the diagrammatic area model, order of multiplication, and division of fractions using the reciprocal. Every “Work it Out” box (কৰি চাওঁ আহা 3.1 to 3.7), the order-of-multiplication activity, the Puzzle Time table and the banana-cake project are solved step by step with KaTeX working for HSLC Guru.
পাঠ্যপুথিৰ প্ৰশ্ন আৰু উত্তৰ
৩.১ ভগ্নাংশৰ পূৰণ — উদাহৰণ
ভাৰ্গৱ আৰু ফ্ৰেডিয়ে প্ৰতি ঘণ্টাত ক্ৰমে 4 কি.মি আৰু $\frac{7}{2}$ কি.মি খোজকাঢ়ে। 3 ঘণ্টাত ভাৰ্গৱে খোজকাঢ়ে $3 \times 4 = 12$ কি.মি আৰু ফ্ৰেডিয়ে $3 \times \frac{7}{2} = \frac{21}{2}$ কি.মি। $\frac{1}{3}$ ঘণ্টাত ভাৰ্গৱে $\frac{1}{3} \times 4 = \frac{4}{3}$ কি.মি আৰু ফ্ৰেডিয়ে $\frac{1}{3} \times \frac{7}{2} = \frac{7}{6}$ কি.মি খোজকাঢ়ে। কোনো এটা সংখ্যাক আন এটা সংখ্যাৰে পূৰণ কৰোঁতে প্ৰথম সংখ্যাটোক গুণক (multiplier) আৰু দ্বিতীয়টোক গুণ্য (multiplicand) বোলা হয়।
উদাহৰণ ১। পূৰণফল উলিওৱা — (a) $\frac{1}{6} \times \frac{1}{5}$ (b) $\frac{3}{5} \times \frac{7}{2}$।
উত্তৰঃ (a) $\frac{1}{6} \times \frac{1}{5} = \frac{1 \times 1}{6 \times 5} = \frac{1}{30}$। (b) $\frac{3}{5} \times \frac{7}{2} = \frac{3 \times 7}{5 \times 2} = \frac{21}{10}$।
কৰি চাওঁ আহা ৩.১
১। 100 পৃষ্ঠাৰ এখন চুটিগল্প কিতাপৰ $\frac{3}{5}$ অংশ ৰীতাই পঢ়িলে। কিতাপখনৰ কিমান পৃষ্ঠা ৰীতাই পঢ়িলে?
উত্তৰঃ ৰীতাই পঢ়া পৃষ্ঠা $= \frac{3}{5} \times 100 = \frac{300}{5} = 60$ পৃষ্ঠা।
২। এখন সৰু গাঁৱৰ জনসংখ্যা 200 গৰাকী। তাৰে $\frac{2}{5}$ অংশ মহিলা হ’লে গাঁওখনৰ মুঠ মহিলাৰ সংখ্যা কিমান?
উত্তৰঃ মহিলাৰ সংখ্যা $= \frac{2}{5} \times 200 = \frac{400}{5} = 80$ গৰাকী।
৩। এজন মানুহৰ হাতত ₹500 আছিল। তাৰে এক-দশমাংশ তেওঁ বাছভাৰা দিলে। তেওঁৰ হাতত কিমান টকা বাকী থাকিল?
উত্তৰঃ বাছভাৰা $= \frac{1}{10} \times 500 = 50$ টকা। বাকী থকা টকা $= 500 – 50 = 450$ টকা।
৪। মান নিৰ্ণয় কৰা — (a) $\frac{1}{4} \times \frac{2}{3}$ (b) $\frac{2}{3} \times \frac{4}{5}$ (c) $7 \times \frac{4}{3}$ (d) $\frac{3}{7} \times 5$।
উত্তৰঃ
(a) $\frac{1}{4} \times \frac{2}{3} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$।
(b) $\frac{2}{3} \times \frac{4}{5} = \frac{8}{15}$।
(c) $7 \times \frac{4}{3} = \frac{7 \times 4}{3} = \frac{28}{3}$।
(d) $\frac{3}{7} \times 5 = \frac{3 \times 5}{7} = \frac{15}{7}$।
৩.২ চিত্ৰৰ সহায়ত ভগ্নাংশৰ পূৰণ প্ৰদৰ্শন
এটা আয়তক সমান খণ্ডত ভাগ কৰি এটা ভগ্নাংশ এটা ৰঙেৰে আৰু আনটো ভগ্নাংশ আন এটা ৰঙেৰে ছায়া দিলে, দুয়ো ৰঙে ঢকা (আচ্ছাদিত) অংশটোৱেই পূৰণফল বুজায়। যেনে — $\frac{1}{4} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$ (৮ ভাগৰ ১ অংশ)। তলৰ চিত্ৰত $\frac{1}{2} \times \frac{3}{5} = \frac{3}{10}$ আৰ্হিটো দেখুওৱা হৈছে — আয়তটো ৫টা স্তম্ভ আৰু ২টা শাৰীত (মুঠ ১০ ঘৰ) ভগোৱা হৈছে, ৩টা স্তম্ভই $\frac{3}{5}$ আৰু ওপৰৰ শাৰীটোৱে $\frac{1}{2}$ বুজায়; দুয়ো ৰঙে ঢকা ৩টা ঘৰেই $\frac{3}{10}$।
একেদৰে (b) $\frac{2}{3} \times \frac{4}{5} = \frac{8}{15}$ (১৫ ভাগৰ ৮ অংশ)।
কৰি চাওঁ আহা ৩.২
১। তলৰ পূৰণবোৰ চিত্ৰৰ সহায়ত প্ৰদৰ্শন কৰা — (a) $\frac{1}{4} \times \frac{1}{3}$ (b) $\frac{1}{2} \times \frac{1}{5}$ (c) $\frac{2}{5} \times \frac{4}{3}$ (d) $\frac{1}{5} \times \frac{2}{3}$।
উত্তৰঃ প্ৰতিটোৰ বাবে আয়তটোক প্ৰথম ভগ্নাংশৰ হৰ সংখ্যক স্তম্ভত আৰু দ্বিতীয় ভগ্নাংশৰ হৰ সংখ্যক শাৰীত ভাগ কৰি, প্ৰথম ভগ্নাংশৰ লব সংখ্যক স্তম্ভ আৰু দ্বিতীয়টোৰ লব সংখ্যক শাৰী ছায়া দিলে দুয়ো ৰঙে ঢকা ঘৰকেইটাই পূৰণফল বুজায়।
(a) $\frac{1}{4} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{12}$ (১২ ঘৰৰ ১ ঘৰ)।
(b) $\frac{1}{2} \times \frac{1}{5} = \frac{1}{10}$ (১০ ঘৰৰ ১ ঘৰ)।
(c) $\frac{2}{5} \times \frac{4}{3} = \frac{8}{15}$ (১৫ ঘৰৰ ৮ ঘৰ)।
(d) $\frac{1}{5} \times \frac{2}{3} = \frac{2}{15}$ (১৫ ঘৰৰ ২ ঘৰ)।
৩.৩ ভগ্নাংশৰ পূৰণক লঘিষ্ঠ ৰূপত সৰলীকৰণ — উদাহৰণ
পূৰণৰ আগতে লব আৰু হৰৰ সাধাৰণ উৎপাদকেৰে হৰণ কৰি ল’লে পূৰণফলটো পোনেপোনে লঘিষ্ঠ ৰূপত পোৱা যায়। যেনে — $\frac{2}{3} \times \frac{5}{4} = \frac{2 \times 5}{3 \times 4} = \frac{10}{12} = \frac{10 \div 2}{12 \div 2} = \frac{5}{6}$; অথবা 2 আৰু 4-ৰ সাধাৰণ উৎপাদক 2-ৰে হৰণ কৰি $\frac{2}{3} \times \frac{5}{4} = \frac{1 \times 5}{3 \times 2} = \frac{5}{6}$। মিশ্ৰ ভগ্নাংশৰ উদাহৰণ — $1\frac{6}{15} \times 1\frac{2}{28} = \frac{21}{15} \times \frac{30}{28}$; (21 আৰু 28-ৰ সাধাৰণ উৎপাদক 7, 30 আৰু 15-ৰ সাধাৰণ উৎপাদক 15) $= \frac{3}{1} \times \frac{2}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$।
পৰ্যবেক্ষণ (পূৰণফলৰ তিনি অৱস্থা):
- দুয়োটা অপ্ৰকৃত ভগ্নাংশ: $\frac{3}{2} \times \frac{7}{5} = \frac{21}{10}$; $\frac{21}{10} > \frac{3}{2}$ আৰু $\frac{21}{10} > \frac{7}{5}$। আকৌ $\frac{4}{3} \times \frac{5}{4} = \frac{20}{12} = \frac{5}{3}$। পূৰণফল সদায় দুয়োটাতকৈ আৰু 1তকৈ ডাঙৰ।
- দুয়োটা প্ৰকৃত ভগ্নাংশ: $\frac{1}{2} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$; $\frac{1}{4} \times \frac{1}{5} = \frac{1}{20}$। পূৰণফল সদায় দুয়োটাতকৈ আৰু 1তকৈ সৰু।
- এটা অপ্ৰকৃত আৰু এটা প্ৰকৃত ভগ্নাংশ: $\frac{3}{2} \times \frac{1}{5} = \frac{3}{10}$; $\frac{3}{4} \times \frac{7}{5} = \frac{21}{20}$; $\frac{4}{7} \times \frac{7}{4} = 1$। পূৰণফলটো সেই দুটা ভগ্নাংশৰ মাজত থাকে।
কৰি চাওঁ আহা ৩.৩
১। টিনাই দিনটোৰ $\frac{1}{6}$ ভাগ সময় ঘৰত অধ্যয়ন কৰে, $\frac{1}{12}$ ভাগ সময় খেলা-ধূলা কৰে আৰু $\frac{1}{3}$ ভাগ সময় জিৰণি লয়। (a) টিনাই ………. মিনিট জিৰণি লয়। (b) টিনাই ……….ত আটাইতকৈ কম সময় ব্যৱহাৰ কৰে। (c) টিনাই ………. ঘণ্টা খেলা-ধূলা কৰে।
উত্তৰঃ এদিন $= 24$ ঘণ্টা $= 24 \times 60 = 1440$ মিনিট।
(a) জিৰণিৰ সময় $= \frac{1}{3} \times 1440 = 480$ মিনিট (অৰ্থাৎ 8 ঘণ্টা)।
(b) $\frac{1}{6}, \frac{1}{12}, \frac{1}{3}$-ৰ ভিতৰত $\frac{1}{12}$ আটাইতকৈ সৰু; গতিকে খেলা-ধূলাত আটাইতকৈ কম সময় ব্যৱহাৰ কৰে।
(c) খেলা-ধূলাৰ সময় $= \frac{1}{12} \times 24 = 2$ ঘণ্টা।
২। 48 গৰাকী শিক্ষাৰ্থীৰ এটা দলে “জয়মতী” নাটকত অংশগ্ৰহণ কৰিলে। শিক্ষাৰ্থীৰ $\frac{1}{4}$ অংশই অভিনয়ত ভাগ ল’লে, তাৰ ভিতৰত $\frac{2}{3}$ অংশই সংগীততো ভাগ ল’লে। (a) মুঠ শিক্ষাৰ্থীৰ কিমান অংশই সংগীতত ভাগ ল’লে? (b) কিমান গৰাকী শিক্ষাৰ্থীয়ে অভিনয়ত ভাগ ল’লে? (c) কিমান গৰাকী শিক্ষাৰ্থীয়ে সংগীতত অংশগ্ৰহণ কৰিলে?
উত্তৰঃ (a) সংগীতত ভাগ লোৱা অংশ $= \frac{2}{3} \times \frac{1}{4} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$।
(b) অভিনয়ত ভাগ লোৱা শিক্ষাৰ্থী $= \frac{1}{4} \times 48 = 12$ গৰাকী।
(c) সংগীতত ভাগ লোৱা শিক্ষাৰ্থী $= \frac{2}{3} \times 12 = 8$ গৰাকী (অথবা $\frac{1}{6} \times 48 = 8$)।
৩। শ্যামলীয়ে দৈনিক 5 ঘণ্টা অধ্যয়ন কৰে। তাৰে $\frac{1}{4}$ ভাগ সময় গণিত, $\frac{1}{5}$ ভাগ সময় ইংৰাজী, $\frac{1}{6}$ ভাগ সময় বিজ্ঞান আৰু বাকী সময়ত অন্যান্য বিষয় অধ্যয়ন কৰে। বিভিন্ন বিষয়ত শ্যামলীয়ে অধ্যয়ন কৰা সময় নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ মুঠ সময় $= 5$ ঘণ্টা $= 300$ মিনিট।
গণিত $= \frac{1}{4} \times 5 = \frac{5}{4}$ ঘণ্টা $= 75$ মিনিট।
ইংৰাজী $= \frac{1}{5} \times 5 = 1$ ঘণ্টা $= 60$ মিনিট।
বিজ্ঞান $= \frac{1}{6} \times 5 = \frac{5}{6}$ ঘণ্টা $= 50$ মিনিট।
অন্যান্য বিষয় $= 300 – (75 + 60 + 50) = 115$ মিনিট (1 ঘণ্টা 55 মিনিট)।
৪। ববিতাই এটা কেকৰ $\frac{1}{4}$ ভাগ খাবলৈ ল’লে। সেই মুহূৰ্তত ভায়েক অহাত তাই নিজ ভাগৰ পৰা $\frac{2}{5}$ ভাগ ভায়েকক খাবলৈ দিলে। কেকটোৰ কিমান ভাগ ববিতাই খালে?
উত্তৰঃ ববিতাৰ ভাগ $= \frac{1}{4}$; তাৰ পৰা $\frac{2}{5}$ ভাগ ভায়েকক দিলে, গতিকে ববিতাই খোৱা অংশ $= \frac{1}{4} \times \left(1 – \frac{2}{5}\right) = \frac{1}{4} \times \frac{3}{5} = \frac{3}{20}$ ভাগ।
৫। এখন বিদ্যালয়ৰ 150 গৰাকী শিক্ষাৰ্থী বাগিচাৰ কামত জড়িত। তেওঁলোকৰ $\frac{2}{3}$ ভাগ পাচলি বাগিচা আৰু $\frac{1}{5}$ ভাগ ফুলনি বাগিচাৰ কামত জড়িত। কিমান গৰাকী ফুলনি বাগিচাত জড়িত? বাকী থকা শিক্ষাৰ্থীয়ে পানী দিলে, কিমান গৰাকীয়ে পানী দিয়া কাৰ্য কৰে?
উত্তৰঃ পাচলি বাগিচা $= \frac{2}{3} \times 150 = 100$ গৰাকী। ফুলনি বাগিচা $= \frac{1}{5} \times 150 = 30$ গৰাকী। পানী দিয়া শিক্ষাৰ্থী $= 150 – (100 + 30) = 20$ গৰাকী।
৬। মাকে হাত খৰচৰ বাবে দিয়া ₹280-ৰ $\frac{3}{4}$ ভাগ বিজিতে বহী আৰু কলম কিনাত আৰু $\frac{1}{7}$ ভাগ জ্যামিতি বাকচ কিনাত খৰচ কৰে। বিজিতৰ হাতত কিমান টকা বাকী থাকিল? তিনিওটা ভাগকে অধঃক্ৰমত সজোৱা।
উত্তৰঃ বহী-কলম $= \frac{3}{4} \times 280 = 210$ টকা। জ্যামিতি বাকচ $= \frac{1}{7} \times 280 = 40$ টকা। বাকী টকা $= 280 – (210 + 40) = 30$ টকা (অৰ্থাৎ $\frac{30}{280} = \frac{3}{28}$ ভাগ)। অধঃক্ৰমত (ডাঙৰৰ পৰা সৰুলৈ): $\frac{3}{4} > \frac{1}{7} > \frac{3}{28}$।
৭। $2\frac{2}{3}$ চে.মি আৰু $3\frac{1}{4}$ চে.মি বাহুবিশিষ্ট আয়তটোৰ কালি (ক্ষেত্ৰফল) উলিওৱা।
উত্তৰঃ ক্ষেত্ৰফল $= 2\frac{2}{3} \times 3\frac{1}{4} = \frac{8}{3} \times \frac{13}{4} = \frac{104}{12} = \frac{26}{3} = 8\frac{2}{3}$ বৰ্গ চে.মি।
৮। সত্য নে অসত্য নিৰ্ণয় কৰা — (i) $\frac{2}{3} \times \frac{3}{4}$-ৰ মান দুয়োটা ভগ্নাংশতকৈ ডাঙৰ। (ii) $\frac{5}{4} \times \frac{16}{7}$-ৰ মান দুয়োটা ভগ্নাংশতকৈ ডাঙৰ। (iii) $\frac{7}{4} \times \frac{2}{3}$-ৰ মান দুয়োটা ভগ্নাংশতকৈ সৰু।
উত্তৰঃ
(i) অসত্য — $\frac{2}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$; দুয়োটা প্ৰকৃত ভগ্নাংশৰ পূৰণফল দুয়োটাতকৈ সৰু হয়।
(ii) সত্য — $\frac{5}{4} \times \frac{16}{7} = \frac{80}{28} = \frac{20}{7}$; দুয়োটা অপ্ৰকৃত ভগ্নাংশৰ পূৰণফল দুয়োটাতকৈ ডাঙৰ হয়।
(iii) অসত্য — $\frac{7}{4} \times \frac{2}{3} = \frac{14}{12} = \frac{7}{6}$; এটা অপ্ৰকৃত আৰু এটা প্ৰকৃত ভগ্নাংশৰ পূৰণফল দুয়োটাৰ মাজত থাকে ($\frac{2}{3} < \frac{7}{6} < \frac{7}{4}$), সৰু নহয়।
ক্ৰিয়া-কলাপ (৩.৪ ভগ্নাংশৰ পূৰণ ক্ৰম)
এখন কাগজক 5টা থিয় ভাগ আৰু 3টা শুৱনি ভাগত সমানকৈ ভাগ কৰি, 4টা শুৱনি ভাগ ৰঙা ৰঙেৰে আৰু 2টা থিয় ভাগ সেউজীয়া ৰঙেৰে ছায়া দিয়া। দুয়ো ৰঙে ঢকা অংশটো কিমান? আকৌ সমান আকাৰৰ আন এখন কাগজত 3টা শুৱনি আৰু 5টা থিয় ভাগ কৰি, 4টা থিয় ভাগ আৰু 2টা শুৱনি ভাগ ছায়া দিয়া। দুয়ো অংশ কাটি ওপৰা-ওপৰিকৈ থলে কি পোৱা যায়?
উত্তৰঃ প্ৰথম কাগজত দুয়ো ৰঙে ঢকা অংশ $= \frac{2}{3} \times \frac{4}{5}$ আৰু দ্বিতীয় কাগজত $= \frac{4}{5} \times \frac{2}{3}$। দুয়োটা কাটি ওপৰা-ওপৰিকৈ থলে সিহঁত একে আকাৰৰ, অৰ্থাৎ একে ঠাই আগুৰে — দুয়োটাই $\frac{8}{15}$। গতিকে পূৰণৰ ক্ৰমে পূৰণফলত প্ৰভাৱ নেপেলায়: $\frac{2}{3} \times \frac{4}{5} = \frac{4}{5} \times \frac{2}{3} = \frac{8}{15}$, অৰ্থাৎ $\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{c}{d} \times \frac{a}{b}$।
কৰি চাওঁ আহা ৩.৪
১। পূৰণফলবোৰ একে হয় নে নহয় পৰীক্ষা কৰা — (a) $\frac{1}{2} \times \frac{3}{4}$ আৰু $\frac{3}{4} \times \frac{1}{2}$ (b) $\frac{5}{7} \times \frac{8}{3}$ আৰু $\frac{8}{3} \times \frac{5}{7}$ (c) $\frac{8}{9} \times \frac{2}{7}$ আৰু $\frac{2}{7} \times \frac{8}{9}$।
উত্তৰঃ পূৰণৰ ক্ৰম সলনি কৰিলেও পূৰণফল একেই থাকে।
(a) $\frac{1}{2} \times \frac{3}{4} = \frac{3}{8}$ আৰু $\frac{3}{4} \times \frac{1}{2} = \frac{3}{8}$ — একে।
(b) $\frac{5}{7} \times \frac{8}{3} = \frac{40}{21}$ আৰু $\frac{8}{3} \times \frac{5}{7} = \frac{40}{21}$ — একে।
(c) $\frac{8}{9} \times \frac{2}{7} = \frac{16}{63}$ আৰু $\frac{2}{7} \times \frac{8}{9} = \frac{16}{63}$ — একে।
২। তলৰ ভগ্নাংশৰ জোৰাবোৰৰ পূৰণৰ ক্ৰম সলনি কৰি পূৰণফলসমূহ একে হয় নে নহয় পৰীক্ষা কৰা — (a) $\frac{7}{6}$ আৰু $\frac{4}{11}$ (b) $\frac{4}{13}$ আৰু $\frac{3}{7}$ (c) $\frac{11}{5}$ আৰু $\frac{3}{8}$।
উত্তৰঃ
(a) $\frac{7}{6} \times \frac{4}{11} = \frac{28}{66} = \frac{14}{33}$ আৰু $\frac{4}{11} \times \frac{7}{6} = \frac{14}{33}$ — একে।
(b) $\frac{4}{13} \times \frac{3}{7} = \frac{12}{91}$ আৰু $\frac{3}{7} \times \frac{4}{13} = \frac{12}{91}$ — একে।
(c) $\frac{11}{5} \times \frac{3}{8} = \frac{33}{40}$ আৰু $\frac{3}{8} \times \frac{11}{5} = \frac{33}{40}$ — একে।
৩.৫ ভগ্নাংশৰ হৰণ — উদাহৰণ
হৰণত ভাজকটোৰ অন্যোন্যক (গুণাত্মক বিপৰীত) উলিয়াই ভাজ্যক তাৰে পূৰণ কৰা হয় — কাৰণ যিকোনো অশূন্য ভগ্নাংশৰ পূৰণফল ইয়াৰ অন্যোন্যকৰ সৈতে 1 হয়। যেনে $\frac{5}{7} \times \frac{7}{5} = 1$, গতিকে $\frac{7}{5}$ হৈছে $\frac{5}{7}$-ৰ অন্যোন্যক। তলত কেইটামান উদাহৰণ দিয়া হ’ল:
$1 \div \frac{3}{5} = 1 \times \frac{5}{3} = \frac{5}{3}$; আকৌ $1 \div \frac{5}{3} = \frac{3}{5}$।
$4 \div \frac{3}{4} = 4 \times \frac{4}{3} = \frac{16}{3}$।
$\frac{3}{5} \div \frac{5}{7} = \frac{3}{5} \times \frac{7}{5} = \frac{21}{25}$।
$\frac{1}{7} \div \frac{1}{5} = \frac{1}{7} \times 5 = \frac{5}{7}$; $\frac{2}{3} \div \frac{3}{5} = \frac{2}{3} \times \frac{5}{3} = \frac{10}{9}$; $\frac{1}{2} \div 8 = \frac{1}{2} \times \frac{1}{8} = \frac{1}{16}$।
পৰ্যবেক্ষণ: ভাজক 1তকৈ সৰু (প্ৰকৃত ভগ্নাংশ) হ’লে ভাগফল ভাজ্যতকৈ ডাঙৰ হয় (যেনে $12 \div \frac{1}{3} = 36$); ভাজক 1তকৈ ডাঙৰ হ’লে ভাগফল ভাজ্যতকৈ সৰু হয় (যেনে $3 \div \frac{5}{2} = \frac{6}{5}$)।
কৰি চাওঁ আহা ৩.৫
১। মান নিৰ্ণয় কৰা — (a) $9 \div \frac{1}{5}$ (b) $\frac{4}{3} \div \frac{7}{8}$ (c) $\frac{15}{11} \div 6$।
উত্তৰঃ
(a) $9 \div \frac{1}{5} = 9 \times 5 = 45$।
(b) $\frac{4}{3} \div \frac{7}{8} = \frac{4}{3} \times \frac{8}{7} = \frac{32}{21}$।
(c) $\frac{15}{11} \div 6 = \frac{15}{11} \times \frac{1}{6} = \frac{15}{66} = \frac{5}{22}$।
২। তলৰ কোনবোৰৰ ক্ষেত্ৰত ভাজ্যটো ভাগফলতকৈ সৰু হ’ব? (a) $25 \div \frac{1}{3}$ (b) $\frac{1}{4} \div 7$ (c) $\frac{3}{7} \div \frac{11}{15}$ (d) $\frac{2}{9} \div \frac{7}{4}$।
উত্তৰঃ ভাজক 1তকৈ সৰু হ’লে ভাজ্যটো ভাগফলতকৈ সৰু হয়।
(a) $25 \div \frac{1}{3} = 75$; $25 < 75$ — হয়।
(b) $\frac{1}{4} \div 7 = \frac{1}{28}$; $\frac{1}{4} > \frac{1}{28}$ — নহয়।
(c) $\frac{3}{7} \div \frac{11}{15} = \frac{45}{77}$; $\frac{3}{7} = \frac{33}{77} < \frac{45}{77}$ — হয়।
(d) $\frac{2}{9} \div \frac{7}{4} = \frac{8}{63}$; $\frac{2}{9} = \frac{14}{63} > \frac{8}{63}$ — নহয়।
গতিকে (a) আৰু (c)-ত ভাজ্যটো ভাগফলতকৈ সৰু।
৩। তলৰ কোনবোৰৰ ক্ষেত্ৰত ভাজ্যটো ভাগফলতকৈ ডাঙৰ হ’ব? (a) $16 \div \frac{1}{5}$ (b) $\frac{1}{5} \div 9$ (c) $\frac{9}{11} \div \frac{2}{5}$ (d) $\frac{9}{5} \div \frac{7}{2}$।
উত্তৰঃ ভাজক 1তকৈ ডাঙৰ হ’লে ভাজ্যটো ভাগফলতকৈ ডাঙৰ হয়।
(a) $16 \div \frac{1}{5} = 80$; $16 < 80$ — নহয়।
(b) $\frac{1}{5} \div 9 = \frac{1}{45}$; $\frac{1}{5} > \frac{1}{45}$ — হয়।
(c) $\frac{9}{11} \div \frac{2}{5} = \frac{45}{22}$; $\frac{9}{11} < \frac{45}{22}$ — নহয়।
(d) $\frac{9}{5} \div \frac{7}{2} = \frac{18}{35}$; $\frac{9}{5} = \frac{63}{35} > \frac{18}{35}$ — হয়।
গতিকে (b) আৰু (d)-ত ভাজ্যটো ভাগফলতকৈ ডাঙৰ।
৩.৬ দৈনিক জীৱনত ভগ্নাংশৰ হৰণৰ প্ৰয়োগ — উদাহৰণ
উদাহৰণ ১। এখন গাড়ীয়ে $3\frac{1}{3}$ ঘণ্টাত 240 কি.মি অতিক্ৰম কৰে। 1 ঘণ্টাত কিমান দূৰত্ব অতিক্ৰম কৰিব? — $240 \div 3\frac{1}{3} = 240 \div \frac{10}{3} = 240 \times \frac{3}{10} = 72$ কি.মি।
উদাহৰণ ২। $\frac{1}{2}$ একক বাহুৰ বৰ্গাকাৰ ইটাৰে $10\frac{1}{2}$ বৰ্গ একক ক্ষেত্ৰফল ঢাকিবলৈ কিমান ইটা লাগিব? — এটা ইটাৰ কালি $= \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$ বৰ্গ একক; ইটাৰ সংখ্যা $= 10\frac{1}{2} \div \frac{1}{4} = \frac{21}{2} \times 4 = 42$টা ইটা।
কৰি চাওঁ আহা ৩.৬
১। এটা মোবাইলৰ সঞ্চয় ক্ষমতা 64 GB। সঞ্চয় ক্ষমতাৰ $\frac{1}{4}$ ভাগ শিক্ষামূলক ভিডিঅ’ৰে আৰু বাকী থকা ঠাইৰ $\frac{1}{3}$ ভাগ বিভিন্ন এপেৰে ভৰি আছে। “পৰিবেশ” প্ৰকল্পৰ বাবে তোলা ছবিয়ে বাকী থকা ঠাইৰ $\frac{1}{32}$ ভাগ ভৰাই আছে। ছবিয়ে ভৰোৱা সঞ্চয় ক্ষমতা নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ ভিডিঅ’ $= \frac{1}{4} \times 64 = 16$ GB; বাকী $= 64 – 16 = 48$ GB। এপ $= \frac{1}{3} \times 48 = 16$ GB; বাকী $= 48 – 16 = 32$ GB। ছবি $= \frac{1}{32} \times 32 = 1$ GB। গতিকে ছবিয়ে 1 GB ঠাই ভৰাইছে।
২। এজন ল’ৰাই চাইকেলত $1\frac{1}{4}$ ঘণ্টাত $5\frac{1}{8}$ কি.মি অতিক্ৰম কৰে। তেন্তে ল’ৰাজনে 1 ঘণ্টাত কিমান দূৰত্ব অতিক্ৰম কৰিব?
উত্তৰঃ 1 ঘণ্টাৰ দূৰত্ব $= 5\frac{1}{8} \div 1\frac{1}{4} = \frac{41}{8} \div \frac{5}{4} = \frac{41}{8} \times \frac{4}{5} = \frac{164}{40} = \frac{41}{10} = 4\frac{1}{10}$ কি.মি (অৰ্থাৎ 4.1 কি.মি)।
৩। এটা শ্ৰেণীৰ 80 গৰাকী শিক্ষাৰ্থী আছে। মুঠ শিক্ষাৰ্থীৰ $\frac{1}{10}$ ভাগে কল, $\frac{1}{5}$ ভাগে আম আৰু $\frac{2}{5}$ ভাগে মধুৰি আম ভাল পায়। কিমান শিক্ষাৰ্থীয়ে এই তিনিটাৰ এটাও ফল ভাল নাপায়?
উত্তৰঃ কল $= \frac{1}{10} \times 80 = 8$; আম $= \frac{1}{5} \times 80 = 16$; মধুৰি আম $= \frac{2}{5} \times 80 = 32$। ভাল পোৱা মুঠ $= 8 + 16 + 32 = 56$। এটাও ভাল নোপোৱা শিক্ষাৰ্থী $= 80 – 56 = 24$ গৰাকী।
৪। 40 লিটাৰ ধাৰণ ক্ষমতাৰ এটা পাত্ৰৰ $\frac{3}{4}$ অংশ পানীৰে ভৰি আছে। ৰাহুলে সেই পানী সমান ধাৰণ ক্ষমতাৰ 5টা সৰু পাত্ৰত ঢালিলে। প্ৰতিটো সৰু পাত্ৰত কিমান পানী থাকিব?
উত্তৰঃ পানীৰ পৰিমাণ $= \frac{3}{4} \times 40 = 30$ লিটাৰ। প্ৰতিটো সৰু পাত্ৰত $= 30 \div 5 = 6$ লিটাৰ পানী থাকিব।
৩.৭ চিত্ৰৰ সহায়ত ভগ্নাংশৰ প্ৰদৰ্শন — উদাহৰণ
এখন আয়তত ৰঙা ৰঙৰ ওপৰৰ সোঁফালৰ সৰু আয়তটোৱে গোটেই আয়তৰ $\frac{1}{4}$ অংশ ঢাকে; হালধীয়া অংশটোৱে ৰঙা অংশৰ আধা, অৰ্থাৎ $\frac{1}{2} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{8}$ অংশ; সেউজীয়া অংশটোৱে হালধীয়া অংশৰ তিনি-চতুৰ্থাংশ, অৰ্থাৎ $\frac{3}{4} \times \frac{1}{8} = \frac{3}{32}$ অংশ। গতিকে আচ্ছাদিত অংশটোৱে গোটেই আয়তৰ $\frac{3}{32}$ অংশ ঢাকে।
প্ৰহেলিকা (Puzzle Time)
খালী বাকচবোৰ পূৰ কৰা (প্ৰতিটো ঘৰত শাৰীৰ শিৰোনাম × স্তম্ভৰ শিৰোনামৰ পূৰণফল বহে):
উত্তৰঃ $\frac{1}{4} \times \frac{2}{3} = \frac{1}{6}$ আৰু $\frac{3}{2} \times \frac{2}{3} = 1$ (দিয়া আছে) পৰীক্ষা কৰি খালী শিৰোনামবোৰ উলিওৱা যায় — তৃতীয় স্তম্ভৰ শিৰোনাম $\frac{1}{4} \times ? = \frac{5}{20} = \frac{1}{4}$-ৰ পৰা 1, আৰু তৃতীয় শাৰীৰ শিৰোনাম $? \times \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$-ৰ পৰা $\frac{1}{2}$। সম্পূৰ্ণ কৰা তালিকাখন:
| × | 2/3 | 4 | 1 |
|---|---|---|---|
| 1/4 | 1/6 | 1 | 5/20 (= 1/4) |
| 3/2 | 1 | 6 | 3/2 |
| 1/2 | 1/3 | 2 | 1/2 |
কৰি চাওঁ আহা ৩.৭
১। $9 \div \frac{15}{4}$-ৰ মান কিমান? (A) $\frac{3}{5}$ (B) $\frac{5}{12}$ (C) $\frac{12}{5}$ (D) $\frac{135}{4}$।
উত্তৰঃ (C) $\frac{12}{5}$। $9 \div \frac{15}{4} = 9 \times \frac{4}{15} = \frac{36}{15} = \frac{12}{5}$।
২। মধুলীনাই দিনটোৰ $\frac{1}{12}$ ভাগ গণিত অভ্যাস কৰে। তলৰ কোনটোৱে তেওঁৰ গণিত অভ্যাসৰ শুদ্ধ সময় সূচায়? (A) $\frac{1}{12} \times 24$ (B) $24 \div \frac{1}{12}$ (C) $24 \times 12$ (D) $12 \div 24$।
উত্তৰঃ (A) $\frac{1}{12} \times 24$। এদিন 24 ঘণ্টা; গতিকে গণিত অভ্যাসৰ সময় $= \frac{1}{12} \times 24 = 2$ ঘণ্টা।
৩। ফাতেমাই দেউতাকে আনি দিয়া 200 চকলেটৰ $\frac{1}{2}$ ভাগ সহপাঠীসকলৰ মাজত বিতৰণ কৰিলে। বাকী থকাৰ পৰা $\frac{1}{5}$ ভাগ তাই ভায়েকক দিলে। ভায়েকে পোৱা চকলেটৰ সংখ্যা কোনটোৱে শুদ্ধভাৱে প্ৰকাশ কৰে? (A) $\frac{1}{5} \times \frac{1}{2} \times 200$ (B) $200 \div \frac{1}{5} \times \frac{1}{2}$ (C) $200 \times \frac{1}{2} \div \frac{1}{5}$ (D) $200 \div \frac{1}{2} \times \frac{1}{5}$।
উত্তৰঃ (A) $\frac{1}{5} \times \frac{1}{2} \times 200$। বিতৰণৰ পিছত বাকী $= \frac{1}{2} \times 200 = 100$; ভায়েকে পালে $= \frac{1}{5} \times 100 = 20$টা।
৪। এজন গাখীৰ বেপাৰীয়ে দেৰ লিটাৰ গাখীৰ দিয়ে। তেওঁ $\frac{1}{2}$ লিটাৰৰ এটা পাত্ৰৰ সহায়ত জোখে। পাত্ৰটোৰে কিমান বাৰ গাখীৰ দিব লাগিব? (A) $1\frac{1}{2} \times \frac{1}{2}$ (B) $1\frac{1}{2} \div \frac{1}{2}$ (C) $1\frac{1}{2} + \frac{1}{2}$ (D) $\frac{1}{2} \div 1\frac{1}{2}$।
উত্তৰঃ (B) $1\frac{1}{2} \div \frac{1}{2}$। $1\frac{1}{2} \div \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \times 2 = 3$ বাৰ।
৫। ৰংমিলীৰ ঘৰৰ পানী টেংকীৰ $\frac{3}{5}$ অংশ পানীৰে ভৰি আছিল। তাৰে $\frac{1}{3}$ অংশ পানী খালী হ’লে কিমান অংশ পানী টেংকীটোত থাকি যাব? (A) $\frac{3}{10}$ (B) $\frac{6}{5}$ (C) $\frac{2}{5}$ (D) $\frac{1}{2}$।
উত্তৰঃ (C) $\frac{2}{5}$। খালী হোৱা অংশ $= \frac{1}{3} \times \frac{3}{5} = \frac{1}{5}$; বাকী $= \frac{3}{5} – \frac{1}{5} = \frac{2}{5}$।
৬। ‘ক’ অংশৰ সৈতে ‘খ’ অংশ মিলোৱা — ‘ক’: (A) $12 \div 4 = 3$-ৰ ভাজ্য, (B) 24-ৰ $\frac{3}{4}$, (C) $\frac{3}{4} \times \frac{2}{7}$-ৰ গুণকটো, (D) $1\frac{3}{4}$-ৰ অন্যোন্যক। ‘খ’: (i) 18, (ii) $\frac{4}{7}$, (iii) 12, (iv) $\frac{3}{4}$।
উত্তৰঃ (A) → (iii) 12 (ভাজ্য = 12); (B) → (i) 18 ($\frac{3}{4} \times 24 = 18$); (C) → (iv) $\frac{3}{4}$ (গুণক হৈছে প্ৰথম ভগ্নাংশ $\frac{3}{4}$); (D) → (ii) $\frac{4}{7}$ ($1\frac{3}{4} = \frac{7}{4}$, ইয়াৰ অন্যোন্যক $\frac{4}{7}$)।
৭। তলৰ বৰ্গসমূহৰ আচ্ছাদিত অংশৰ ভগ্নাংশবোৰ কি কি?
উত্তৰঃ
(a) বৰ্গটো 4টা সমান ঘৰত ভগোৱা হৈছে; তলৰ সোঁফালৰ ঘৰটোৰ আধা (এটা ত্ৰিভুজ) ছায়া দিয়া আছে, গতিকে আচ্ছাদিত অংশ $= \frac{1}{2} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{8}$।
(b) বৰ্গটো দুটা সমান থিয় ভাগত ভগোৱা হৈছে; বাওঁফালৰ ভাগৰ ওপৰৰ ত্ৰিভুজটো ছায়া দিয়া আছে, গতিকে আচ্ছাদিত অংশ $= \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$।
(c) বৰ্গটো 4টা ঘৰত ভগোৱা হৈছে আৰু ওপৰ-বাওঁ, তল-বাওঁ আৰু তল-সোঁ ঘৰত এটাকৈ ত্ৰিভুজীয় (আধা-ঘৰ) অংশ ছায়া দিয়া আছে; সেই তিনিটা ত্ৰিভুজ যোগ কৰিলে আচ্ছাদিত অংশ $= 3 \times \frac{1}{8} = \frac{3}{8}$।
৮। P: যদিহে দুটা ভগ্নাংশৰ পূৰণফল 1 হয়, তেন্তে এটাক আনটোৰ অন্যোন্যক বুলি কোৱা হয়। Q: $\frac{b}{a}$ হৈছে $\frac{a}{b}$-ৰ অন্যোন্যক। কোনটো শুদ্ধ? (A) P আৰু Q দুয়োটাই শুদ্ধ (B) দুয়োটাই অশুদ্ধ (C) P শুদ্ধ, Q অশুদ্ধ (D) P অশুদ্ধ, Q শুদ্ধ।
উত্তৰঃ (A) P আৰু Q দুয়োটাই শুদ্ধ। P হৈছে অন্যোন্যকৰ শুদ্ধ সংজ্ঞা; আৰু $\frac{a}{b} \times \frac{b}{a} = 1$ হোৱাত $\frac{b}{a}$ সঁচাকৈয়ে $\frac{a}{b}$-ৰ অন্যোন্যক, গতিকে Q-ও শুদ্ধ।
৯। উক্তি (A) আৰু যুক্তি (R) — শুদ্ধ বিকল্প বাছি উলিওৱা। বিকল্পসমূহ: (A) দুয়ো সত্য আৰু R হৈছে A-ৰ শুদ্ধ ব্যাখ্যা; (B) দুয়ো সত্য কিন্তু R হৈছে A-ৰ শুদ্ধ ব্যাখ্যা নহয়; (C) A সত্য, কিন্তু R অসত্য; (D) A অসত্য, কিন্তু R সত্য।
(a) A: দুটা প্ৰকৃত ভগ্নাংশৰ পূৰণফল সদায় দুয়োটাতকৈ সৰু হয়। R: প্ৰকৃত ভগ্নাংশ সদায় 0 আৰু 1-ৰ মাজত থাকে আৰু 0 আৰু 1-ৰ মাজৰ দুটা সংখ্যাৰ পূৰণফল সদায় প্ৰতিটোতকৈ সৰু হয়।
উত্তৰঃ (A) দুয়ো সত্য আৰু R হৈছে A-ৰ শুদ্ধ ব্যাখ্যা।
(b) A: 100-ৰ $\frac{3}{4}$ হৈছে 75। R: এটা ভগ্নাংশ আৰু এটা পূৰ্ণ সংখ্যাৰ পূৰণফল সদায় এটা পূৰ্ণ সংখ্যা।
উত্তৰঃ (C) A সত্য ($\frac{3}{4} \times 100 = 75$), কিন্তু R অসত্য (যেনে $\frac{1}{3} \times 100 = \frac{100}{3}$ পূৰ্ণ সংখ্যা নহয়)।
(c) A: $\frac{2}{3}$ আৰু $\frac{3}{4}$-ৰ পূৰণফলটো হৈছে $\frac{1}{2}$। R: এটা ভগ্নাংশ ইয়াৰ সৰলতম ৰূপত থাকে যেতিয়া লব আৰু হৰৰ 1-ৰ বাহিৰে কোনো সাধাৰণ উৎপাদক নাথাকে।
উত্তৰঃ (B) দুয়ো সত্য ($\frac{2}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$; আৰু R সৰলতম ৰূপৰ শুদ্ধ সংজ্ঞা), কিন্তু R হৈছে পূৰণফলটোৰ শুদ্ধ ব্যাখ্যা নহয়।
(d) A: $\frac{3}{5}$-ৰ অন্যোন্যকটো $\frac{5}{3}$। R: ভগ্নাংশৰ পূৰণ পূৰণৰ ক্ৰমৰ ওপৰত নিৰ্ভৰ নকৰে।
উত্তৰঃ (B) দুয়ো সত্য, কিন্তু R হৈছে A-ৰ শুদ্ধ ব্যাখ্যা নহয় (অন্যোন্যকৰ সৈতে পূৰণৰ ক্ৰমৰ কোনো সম্পৰ্ক নাই)।
১০। (প্ৰকল্প) 20 জন মানুহৰ বাবে কলৰ কেক বনাবলৈ প্ৰয়োজনীয় সমগ্ৰী — 8টা কল, $1\frac{1}{3}$ কাপ চেনী, 4টা কণী, $\frac{2}{3}$ কাপ গলি থকা মাখন, $\frac{3}{4}$ চাহ চামুচ ভেনিলা, 1 চাহ চামুচ বেকিং চ’ডা, 4 কাপ ময়দা। মিলিয়ে 5 জন মানুহৰ বাবে কেক বনাব বিচাৰিছে। মিলিৰ বাবে প্ৰয়োজনীয় সমগ্ৰীৰ তালিকা প্ৰস্তুত কৰা।
উত্তৰঃ 5 জনৰ বাবে প্ৰতিটো সমগ্ৰীক $\frac{5}{20} = \frac{1}{4}$ গুণ কৰিব লাগিব:
| সমগ্ৰী | 20 জনৰ বাবে | 5 জনৰ বাবে (× 1/4) |
|---|---|---|
| কল | 8টা | 2টা |
| চেনী | 1 1/3 কাপ | 1/3 কাপ |
| কণী | 4টা | 1টা |
| গলা মাখন | 2/3 কাপ | 1/6 কাপ |
| ভেনিলা | 3/4 চাহ চামুচ | 3/16 চাহ চামুচ |
| বেকিং চ’ডা | 1 চাহ চামুচ | 1/4 চাহ চামুচ |
| ময়দা | 4 কাপ | 1 কাপ |
অতিৰিক্ত প্ৰশ্ন আৰু উত্তৰ
বহুবিকল্পীয় প্ৰশ্ন (MCQ)
১। দুটা ভগ্নাংশৰ পূৰণফল = ? (ক) লব × হৰ (খ) $\frac{\text{লবৰ পূৰণফল}}{\text{হৰৰ পূৰণফল}}$ (গ) লব + হৰ (ঘ) হৰ ÷ লব
উত্তৰঃ (খ) $\frac{\text{লবৰ পূৰণফল}}{\text{হৰৰ পূৰণফল}}$।
২। $\frac{5}{7}$-ৰ অন্যোন্যক কি? (ক) $\frac{5}{7}$ (খ) $\frac{7}{5}$ (গ) $\frac{12}{7}$ (ঘ) 1
উত্তৰঃ (খ) $\frac{7}{5}$।
৩। $\frac{2}{3} \times \frac{9}{4}$-ৰ লঘিষ্ঠ ৰূপ কি? (ক) $\frac{18}{12}$ (খ) $\frac{3}{2}$ (গ) $\frac{2}{3}$ (ঘ) $\frac{9}{8}$
উত্তৰঃ (খ) $\frac{3}{2}$। $\frac{2}{3} \times \frac{9}{4} = \frac{18}{12} = \frac{3}{2}$।
৪। দুটা প্ৰকৃত ভগ্নাংশৰ পূৰণফল সদায় — (ক) 1তকৈ ডাঙৰ (খ) 1তকৈ সৰু (গ) 1-ৰ সমান (ঘ) অপ্ৰকৃত
উত্তৰঃ (খ) 1তকৈ সৰু।
৫। $6 \div \frac{2}{3}$-ৰ মান কি? (ক) 4 (খ) 9 (গ) $\frac{4}{9}$ (ঘ) $\frac{2}{9}$
উত্তৰঃ (খ) 9। $6 \div \frac{2}{3} = 6 \times \frac{3}{2} = 9$।
৬। কোনো ভগ্নাংশক এটা প্ৰকৃত ভগ্নাংশৰে হৰণ কৰিলে ভাগফলটো ভাজ্যতকৈ — (ক) সৰু (খ) ডাঙৰ (গ) সমান (ঘ) শূন্য
উত্তৰঃ (খ) ডাঙৰ।
৭। $\frac{3}{5} \times \frac{5}{3} = ?$ (ক) 0 (খ) 1 (গ) $\frac{9}{25}$ (ঘ) $\frac{25}{9}$
উত্তৰঃ (খ) 1 (ভগ্নাংশ আৰু ইয়াৰ অন্যোন্যকৰ পূৰণফল সদায় 1)।
৮। 20-ৰ $\frac{3}{4}$ অংশ কিমান? (ক) 12 (খ) 15 (গ) 16 (ঘ) 5
উত্তৰঃ (খ) 15। $\frac{3}{4} \times 20 = 15$।
৯। $\frac{a}{b} \times \frac{c}{d}$-ৰ পূৰণত $\frac{a}{b}$-ক কি বোলে? (ক) গুণ্য (খ) গুণক (গ) ভাজক (ঘ) ভাগফল
উত্তৰঃ (খ) গুণক (multiplier)।
১০। এটা ইটাৰ কালি $\frac{1}{4}$ বৰ্গ একক হ’লে $10\frac{1}{2}$ বৰ্গ একক ঢাকিবলৈ কিমান ইটা লাগিব? (ক) 21 (খ) 42 (গ) 40 (ঘ) 84
উত্তৰঃ (খ) 42। $\frac{21}{2} \div \frac{1}{4} = \frac{21}{2} \times 4 = 42$।
খালী ঠাই পূৰ কৰা
১। যিকোনো অশূন্য সংখ্যাৰ সৈতে ইয়াৰ ____-ৰ পূৰণফল 1 হয়।
উত্তৰঃ অন্যোন্যক (গুণাত্মক বিপৰীত)।
২। $a \div b = c$-ত $a$-ক ____ বোলে।
উত্তৰঃ ভাজ্য (dividend)।
৩। পূৰণৰ ক্ৰম সলনি কৰিলে পূৰণফল ____ থাকে।
উত্তৰঃ একেই (অপৰিৱৰ্তিত)।
৪। এটা অপ্ৰকৃত আৰু এটা প্ৰকৃত ভগ্নাংশৰ পূৰণফলটো দুয়োটা ভগ্নাংশৰ ____ থাকে।
উত্তৰঃ মাজত।
৫। ভগ্নাংশৰ হৰণত ভাজকৰ ____ উলিয়াই ভাজ্যক তাৰে পূৰণ কৰা হয়।
উত্তৰঃ অন্যোন্যক।
সত্য/অসত্য লিখা
১। $\frac{1}{2} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$।
উত্তৰঃ সত্য।
২। দুটা অপ্ৰকৃত ভগ্নাংশৰ পূৰণফল সদায় 1তকৈ সৰু হয়।
উত্তৰঃ অসত্য (সদায় 1তকৈ ডাঙৰ হয়)।
৩। এটা পূৰ্ণ সংখ্যাক এটা প্ৰকৃত ভগ্নাংশৰে হৰণ কৰিলে ভাগফলটো পূৰ্ণ সংখ্যাটোতকৈ ডাঙৰ হয়।
উত্তৰঃ সত্য।
৪। $1$-ৰ অন্যোন্যক $1$।
উত্তৰঃ সত্য।
৫। $\frac{2}{3} \div \frac{4}{5} = \frac{2}{3} \times \frac{4}{5}$।
উত্তৰঃ অসত্য ($\frac{2}{3} \div \frac{4}{5} = \frac{2}{3} \times \frac{5}{4} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}$)।
চমু উত্তৰৰ প্ৰশ্ন
১। অন্যোন্যক (গুণাত্মক বিপৰীত) মানে কি? উদাহৰণসহ বুজোৱা।
উত্তৰঃ দুটা অশূন্য সংখ্যাৰ পূৰণফল 1 হ’লে সিহঁতক ইটোৱে সিটোৰ অন্যোন্যক বোলে। যেনে $\frac{3}{5} \times \frac{5}{3} = 1$, গতিকে $\frac{5}{3}$ হৈছে $\frac{3}{5}$-ৰ অন্যোন্যক আৰু ইয়াৰ ওলোটাও সত্য।
২। $2\frac{1}{2}$ চে.মি আৰু $1\frac{1}{5}$ চে.মি বাহুৰ আয়তটোৰ কালি উলিওৱা।
উত্তৰঃ কালি $= \frac{5}{2} \times \frac{6}{5} = \frac{30}{10} = 3$ বৰ্গ চে.মি।
৩। ভগ্নাংশৰ হৰণক পূৰণৰ সমস্যালৈ কেনেকৈ সলনি কৰা হয়?
উত্তৰঃ ভাজকটোৰ অন্যোন্যক উলিয়াই ভাজ্যক সেই অন্যোন্যকৰে পূৰণ কৰা হয়: $\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c}$। যেনে $\frac{3}{5} \div \frac{5}{7} = \frac{3}{5} \times \frac{7}{5} = \frac{21}{25}$।
৪। এখন ৰচী $\frac{3}{4}$ মিটাৰ দীঘল। ইয়াক $\frac{1}{8}$ মিটাৰ দীঘল সমান টুকুৰাত কাটিলে কিমান টুকুৰা পোৱা যাব?
উত্তৰঃ টুকুৰাৰ সংখ্যা $= \frac{3}{4} \div \frac{1}{8} = \frac{3}{4} \times 8 = 6$ টুকুৰা।
শব্দাৰ্থ
| অসমীয়া শব্দ | English term | অৰ্থ |
|---|---|---|
| ভগ্নাংশ | Fraction | গোটেই এটাৰ সমান ভাগৰ কিছু অংশ প্ৰকাশ কৰা সংখ্যা |
| লব | Numerator | ভগ্নাংশৰ ওপৰৰ সংখ্যা |
| হৰ | Denominator | ভগ্নাংশৰ তলৰ সংখ্যা |
| গুণক | Multiplier | পূৰণত প্ৰথম সংখ্যাটো |
| গুণ্য | Multiplicand | পূৰণত দ্বিতীয় সংখ্যাটো |
| প্ৰকৃত ভগ্নাংশ | Proper fraction | লব হৰতকৈ সৰু (মান 1তকৈ কম) |
| অপ্ৰকৃত ভগ্নাংশ | Improper fraction | লব হৰতকৈ ডাঙৰ বা সমান (মান 1তকৈ বেছি) |
| লঘিষ্ঠ ৰূপ | Lowest / simplest form | লব আৰু হৰৰ 1-ৰ বাহিৰে সাধাৰণ উৎপাদক নথকা ৰূপ |
| অন্যোন্যক | Reciprocal / Multiplicative inverse | যাৰ সৈতে পূৰণফল 1 হয় |
| ভাজ্য | Dividend | যাক ভাগ কৰা হয় |
| ভাজক | Divisor | যাৰ দ্বাৰা ভাগ কৰা হয় |
| ভাগফল | Quotient | হৰণৰ ফল |