সমীকৰণ — প্ৰশ্ন উত্তৰ
HSLC Guru-ত আপোনাক স্বাগতম। এই পাঠত ASSEB Class 7 নতুন গণিতৰ পঞ্চদশ অধ্যায় সমীকৰণৰ সমতাৰ ধাৰণা, দৈনন্দিন জীৱনৰ সমস্যাৰ পৰা সমীকৰণ গঠন, বিভিন্ন পদ্ধতিৰে সৰল সমীকৰণ সমাধান আৰু সমাধানৰ শুদ্ধতা পৰীক্ষণ — লগতে পাঠ্যপুথিৰ প্ৰতিটো “কৰি চাওঁ আহা” বাকচ, “চেষ্টা কৰা” বাকচ, অনুশীলনী ১৫ আৰু প্ৰহেলিকাবোৰৰ সম্পূৰ্ণ সমাধান বিচাৰি পাব।
সাৰাংশ
এখন তুলাচনীৰ দুয়োফালৰ ওজন একে হ’লে তুলাচনীখন সন্তুলিত হৈ থাকে — এইটোৱেই সমতাৰ ধাৰণা। ঠিক তেনেকৈ, দুটা বীজগণিতীয় ৰাশিৰ, বা এটা বীজগণিতীয় ৰাশি আৰু এটা পাটীগণিতীয় ৰাশিৰ মাজত সমতা প্ৰকাশ কৰা উক্তিক সমীকৰণ বোলে। যেনে — $n + 5 = 12$, $10x = 100$, $2n – 1 = 51$ ইত্যাদি। যি অজ্ঞাত ৰাশিৰ মান নাজানো তাক $x, n, y, z, l, m, p$ আদি আখৰেৰে বুজোৱা হয়।
সমান চিহ্নৰ (=) বাওঁফালৰ অংশক বাওঁফালৰ ৰাশি (LHS) আৰু সোঁফালৰ অংশক সোঁফালৰ ৰাশি (RHS) বোলে। কেৱল অজ্ঞাত ৰাশিৰ এটা নিৰ্দিষ্ট মানৰ বাবেহে বাওঁফাল আৰু সোঁফাল সমান হয়; এই মানটোৱেই সমীকৰণৰ সমাধান। এই অধ্যায়ত প্ৰচেষ্টা আৰু ভুল পদ্ধতি, প্ৰতীকী পদ্ধতি, যোগ-বিয়োগ আৰু পূৰণ-হৰণৰ সহায়ত সমীকৰণ সমাধান কৰা হৈছে।
সমীকৰণৰ উভয়পক্ষত একে গাণিতিক প্ৰক্ৰিয়া (একে সংখ্যা যোগ, বিয়োগ, পূৰণ বা অশূন্য সংখ্যাৰে হৰণ) প্ৰয়োগ কৰিলে সমতাৰ কোনো পৰিৱৰ্তন নহয় — এই স্বতঃসিদ্ধকেইটাই সমীকৰণ সমাধানৰ ভিত্তি। ভাৰতীয় গণিতজ্ঞ আৰ্যভট্ট, ব্ৰহ্মগুপ্ত আৰু ভাস্কৰাচাৰ্যই সমীকৰণৰ সমাধানৰ ব্যৱস্থিত পদ্ধতি দাঙি ধৰিছিল; “al-jabr” শব্দৰ পৰাই আধুনিক “algebra” (বীজগণিত) শব্দৰ উৎপত্তি।
Summary: This ASSEB Class 7 New Mathematics Chapter 15 (Equation) guide explains the concept of equality using a balance scale, defines an equation as a statement of equality between two expressions, and shows how to form equations from daily-life situations. It solves every “Work it Out / কৰি চাওঁ আহা” box (15.1–15.4), all the Try-yourself boxes, worked Examples 1–17, and the full Exercise 15, using the trial-and-error, symbolic, addition-subtraction and multiplication-division methods, and verifies each solution. It also covers the brief history of equations and Puzzles 1–3.
সমতা, তুলাচনী আৰু সমীকৰণ
ওপৰৰ তুলাচনীখন সন্তুলিত, কাৰণ দুয়োফালৰ ওজন সমান। এইদৰে সমীকৰণৰ বাওঁফাল আৰু সোঁফাল সমান থাকে। উভয়ফালৰ পৰা একে সংখ্যা যোগ, বিয়োগ, পূৰণ বা (অশূন্য সংখ্যাৰে) হৰণ কৰিলে এই সমতা অটুট থাকে — এই ধৰ্মকেইটাৰ সহায়তেই অজ্ঞাত ৰাশিটোক এফালে অকলে ৰাখি সমীকৰণ সমাধান কৰা হয়।
পাঠ্যপুথিৰ প্ৰশ্ন আৰু উত্তৰ
১৫.১ সমতাৰ ধাৰণা — ভাৱি চোৱা
তুলাচনীৰ এফালৰ পৰা কিছু বিস্কুট আঁতৰালে তুলাচনীখন সন্তুলিত হৈ থাকিবনে? তলৰ তুলাচনীবোৰ (চিত্ৰ ১৫.২) সন্তুলিত কৰিবলৈ নূন্যতম কিমান ওজন যোগ বা আঁতৰাব লাগিব?
উত্তৰঃ নহয়। এফালৰ পৰা বিস্কুট আঁতৰালে সেইফালৰ ওজন কমি যায়, গতিকে তুলাচনী আৰু সন্তুলিত হৈ নাথাকে — হাল্কা ফালটো ওপৰলৈ উঠি যায়। পুনৰ সন্তুলিত কৰিবলৈ হয় হাল্কা ফালটোত দুয়োফালৰ ওজনৰ পাৰ্থক্যৰ সমান ওজন যোগ কৰিব লাগে, নহয় গধুৰ ফালটোৰ পৰা সেই পাৰ্থক্যৰ সমান ওজন আঁতৰাব লাগে। অৰ্থাৎ চিত্ৰ ১৫.২-ৰ দুয়োফালৰ ওজনৰ পাৰ্থক্য যিমান, নূন্যতম সিমান ওজনেই যোগ বা আঁতৰাব লাগিব।
১৫.২ অজ্ঞাত মান — চেষ্টা কৰা (চিত্ৰ ১৫.৪)
সন্তুলিত তুলাচনীৰ ওপৰত লিখা সংখ্যাটোৱে দুয়োফালৰ মুঠ ওজন বুজায়। চিত্ৰ ১৫.৪-ৰ (a)–(f)-ত অজ্ঞাত বস্তুবোৰৰ মান উলিওৱা।
উত্তৰঃ প্ৰতিখন তুলাচনী সন্তুলিত হোৱা বাবে দুয়োফালৰ ওজন সমান, আৰু ওপৰৰ সংখ্যাটো হৈছে দুয়োফালৰ মুঠ ওজন। গতিকে মুঠ ওজনৰ আধা হৈছে এফালৰ ওজন। জ্ঞাত বস্তুবোৰৰ মান বিয়োগ কৰিলে অজ্ঞাত বস্তুটোৰ মান ওলায়। যেনে — চিত্ৰ ১৫.৩-ত মুঠ ১০ হ’লে এফালে $5 + 5$, আৰু মুঠ ১১ হ’লে এফালে $6 + 5$। একেদৰে চিত্ৰ ১৫.৪-ৰ প্ৰতিখন তুলাচনীৰ এফালৰ জ্ঞাত ওজনবোৰ মুঠৰ আধাৰ পৰা বিয়োগ কৰি অজ্ঞাত বস্তুৰ মান বিচাৰি উলিয়াব লাগে (দিয়া মুঠ ওজন ১৮, ২৪, ৩৬, ৫০ আদি ব্যৱহাৰ কৰি)।
১৫.৩ সমীকৰণৰ মৌলিক ধাৰণা — মাৰ্বলৰ আৰ্হি (ভাৱি চোৱা)
মাৰ্বলৰ আৰ্হিটোৰ $n$-তম স্তম্ভত মাৰ্বলৰ সংখ্যা $(2n – 1)$। কোনটো স্তম্ভত ৫১টা মাৰ্বল থাকিব?
উত্তৰঃ ধৰাহওক $n$-তম স্তম্ভত ৫১টা মাৰ্বল আছে। তেন্তে $2n – 1 = 51$। উভয়ফালে ১ যোগ কৰি $2n = 52$, দুয়োফাল ২ ৰে হৰণ কৰি $n = 26$। গতিকে ২৬-তম স্তম্ভত ৫১টা মাৰ্বল থাকিব।
সমীকৰণ গঠনৰ উদাহৰণ (Example 1): (a) $x$-ৰ ৫ গুণৰ পৰা ৭ বিয়োগ কৰিলে ফল ৮ হয়। (b) এটা সংখ্যা $t$-ৰ এক-পঞ্চমাংশৰ লগত ২ যোগ কৰিলে ৩ পোৱা যায়। — সমীকৰণ গঠন কৰা।
উত্তৰঃ (a) $x$-ৰ ৫ গুণ = $5x$; তাৰ পৰা ৭ বিয়োগ = $5x – 7$; সেয়া ৮-ৰ সমান। গতিকে সমীকৰণটো $5x – 7 = 8$। (b) সংখ্যাটো $t$; ইয়াৰ এক-পঞ্চমাংশ = $\frac{t}{5}$; তাৰ লগত ২ যোগ = $\frac{t}{5} + 2$; সেয়া ৩-ৰ সমান। গতিকে সমীকৰণটো $\frac{t}{5} + 2 = 3$।
১৫.৩-ৰ উদাহৰণ (a), (b), (c)-ৰ অজ্ঞাত ৰাশিৰ মান উলিওৱা: (a) $n + 5 = 12$, (b) $10x = 100$, (c) $2n – 1 = 51$।
উত্তৰঃ (a) ১২-ক $7 + 5$ ৰূপে লিখিলে $n + 5 = 7 + 5$; উভয়ফালৰ পৰা ৫ আঁতৰালে $n = 7$। (b) ১০০-ক $10 \times 10$ ৰূপে লিখিলে $10x = 10 \times 10$; উভয়ফালৰ পৰা ১০ আঁতৰালে (১০ ৰে হৰণ কৰিলে) $x = 10$। (c) $2n – 1 = 51 = 52 – 1$; উভয়ফালৰ পৰা $-1$ আঁতৰালে $2n = 52$; আকৌ $52 = 2 \times 26$, গতিকে দুয়োফাল ২ ৰে হৰণ কৰি $n = 26$।
কৰি চাওঁ আহা ১৫.১
১। তলৰ উক্তিবোৰ সমীকৰণ হিচাপে প্ৰকাশ কৰা: (a) এটা সংখ্যাৰ এক-তৃতীয়াংশৰ পৰা ১ বিয়োগ কৰিলে ফল ২ হয়। (b) $p$-ৰ চাৰি গুণ ২০ হয়। (c) ৪০ পাবলৈ এটা সংখ্যাক ১০ ৰে ভাগ কৰি ১০ বিয়োগ কৰা হয়। (d) এটা সংখ্যাৰ পাঁচগুণৰ লগত ৫ যোগ কৰিলে ২০ পোৱা যায়।
উত্তৰঃ সংখ্যাটোক $x$ ধৰি — (a) $\frac{x}{3} – 1 = 2$; (b) $4p = 20$; (c) $\frac{x}{10} – 10 = 40$; (d) $5x + 5 = 20$।
২। এখন কিতাপ আৰু এটা জ্যামিতি বক্সৰ মুঠ দাম ₹৩৫০। যদি কিতাপৰ দাম ₹$x$ আৰু জ্যামিতি বক্সৰ দাম ₹৫০, তেন্তে তলৰ কোনটো সমীকৰণৰ পৰা $x$-ৰ মান উলিয়াব পাৰি? (A) $50x = 350$ (B) $x + 50 = 350$ (C) $x – 50 = 350$ (D) $\frac{x}{50} = 350$
উত্তৰঃ (B) $x + 50 = 350$। কিতাপ আৰু বক্সৰ দামৰ যোগফলেই মুঠ দাম, গতিকে $x + 50 = 350$ (ইয়াৰ পৰা $x = 300$)।
৩। অঞ্জনৰ ককাকৰ বয়স ৭২ বছৰ। ককাকৰ বয়স অঞ্জনৰ বয়সৰ ৭ গুণতকৈ ২ বছৰ বেছি। অঞ্জনৰ বয়স উলিয়াবলৈ কোনটো সমীকৰণ উপযুক্ত? (A) $7x = 72$ (B) $7x – 2 = 72$ (C) $\frac{x}{7} = 72$ (D) $7x + 2 = 72$
উত্তৰঃ (D) $7x + 2 = 72$। অঞ্জনৰ বয়স $x$ হ’লে ৭ গুণ = $7x$, তাতকৈ ২ বেছি = $7x + 2$, আৰু সেয়া ৭২-ৰ সমান।
৪। তলৰ প্ৰতিটো সমীকৰণৰ বাবে দৈনন্দিন জীৱনৰ পৰা এটাকৈ গাণিতিক সমস্যাৰ উক্তি সৃষ্টি কৰা: (a) $5m = 10$ (b) $\frac{2}{3}t = 8$ (c) $8x – 3 = 5$ (d) $p – 5 = 2$।
উত্তৰঃ (উদাহৰণস্বৰূপ) (a) একোটা ৫ টকীয়া কলমৰ $m$টাৰ মুঠ দাম ১০ টকা হ’লে $5m = 10$। (b) এটা বটলৰ দুই-তৃতীয়াংশ পানীৰ পৰিমাণ ৮ লিটাৰ হ’লে $\frac{2}{3}t = 8$। (c) $x$টা লাড়ুৰ ৮ গুণৰ পৰা ৩টা খালে ৫টা থাকিলে $8x – 3 = 5$। (d) $p$টা আমৰ পৰা ৫টা দিয়াৰ পাছত ২টা বাকী থাকিলে $p – 5 = 2$।
৫। সপ্তম শ্ৰেণীৰ প্ৰতিজন ছাত্ৰই বানপীড়িতসকলৰ সহায়ৰ বাবে ১০ টকাকৈ দিবলৈ সিদ্ধান্ত লয়। শ্ৰেণী শিক্ষকেও ৫০ টকা দিলে। মুঠতে ৩৫০ টকা সংগ্ৰহ হ’ল। শ্ৰেণীটোত ছাত্ৰ সংখ্যা উলিয়াবলৈ সমীকৰণ গঠন কৰা।
উত্তৰঃ ছাত্ৰ সংখ্যা $x$ ধৰিলে সিহঁতৰ পৰা সংগ্ৰহ = $10x$, শিক্ষকৰ ৫০ যোগ কৰি মুঠ = $10x + 50$। গতিকে সমীকৰণটো $10x + 50 = 350$ (ইয়াৰ পৰা $10x = 300$, $x = 30$ জন ছাত্ৰ)।
১৫.৪ সমীকৰণ সমাধান — আটাৰ পেকেট (চিত্ৰ ১৫.৫)
চিত্ৰ ১৫.৫-ত এটা আটাৰ পেকেট আৰু ১kg ওজন এফালে, আনফালে ১kg আৰু ৫kg ওজন — তুলাচনী সন্তুলিত। আটাৰ পেকেটটোৰ ওজন উলিওৱা।
উত্তৰঃ আটাৰ ওজন $x$ kg ধৰিলে সমীকৰণটো $x + 1 = 5 + 1$। উভয়ফালৰ পৰা সমান ১kg ওজন আঁতৰালে সন্তুলনৰ কোনো পৰিৱৰ্তন নহয়, গতিকে $x = 5$। সেয়ে আটাৰ পেকেটটোৰ ওজন ৫ kg।
১৫.৪.১ প্ৰচেষ্টা আৰু ভুল পদ্ধতি
$x – 5 = 1$ সমীকৰণটো প্ৰচেষ্টা আৰু ভুল পদ্ধতিৰে সমাধান কৰা।
উত্তৰঃ অজ্ঞাত ৰাশিৰ ঠাইত বেলেগ বেলেগ মান বহুৱাই বাওঁফাল $= x – 5$ চাওঁ — $x = 1$: $-4$; $x = 2$: $-3$; $x = 3$: $-2$; $x = 4$: $-1$; $x = 5$: $0$; $x = 6$: $6 – 5 = 1 = $ সোঁফাল; $x = 7$: $2$ (সোঁফালতকৈ ডাঙৰ)। গতিকে কেৱল $x = 6$-ৰ বাবেহে বাওঁফাল = সোঁফাল হয়; সমাধান $x = 6$। (৬-তকৈ সৰু মান ল’লে বাওঁফাল কমি যায়, ডাঙৰ মান ল’লে বাঢ়ি যায়।)
চেষ্টা কৰা: তলৰ তালিকাখন পূৰ কৰা।
উত্তৰঃ
- $x – 3 = 4$, $x = 2$ → $2 – 3 = -1 \ne 4$, গতিকে সমাধান নহয় (শুদ্ধ সমাধান $x = 7$)।
- $-2 = m + 4$, $m = -6$ → $-6 + 4 = -2$, গতিকে সমাধান হয়।
- $\frac{y}{5} = 4$ → সমাধান হ’বলৈ $y = 20$ (কাৰণ $\frac{20}{5} = 4$)।
- $10 = 2t$ → সমাধান হ’বলৈ $t = 5$ (কাৰণ $2 \times 5 = 10$)।
- $p + 1 = 2$-ৰ শুদ্ধ সমাধান $p = 1$; ইয়াৰ বাহিৰে যিকোনো মান (যেনে $p = 0$) ল’লে $0 + 1 = 1 \ne 2$, গতিকে সেই মানৰ বাবে সমাধান নহয়।
- $t = 4$ যাৰ সমাধান হয়, তেনে এটা সমীকৰণ — যেনে $2t = 8$ (কাৰণ $2 \times 4 = 8$)।
$10x + 50 = 500$ সমীকৰণটো সমাধান কৰা।
উত্তৰঃ মান বহুৱাই চোৱা — $x = 1$: $60 \ne 500$; $x = 10$: $150$; $x = 50$: $550$ (৫০০-তকৈ ডাঙৰ); $x = 45$: $10 \times 45 + 50 = 500 = $ সোঁফাল। গতিকে সমাধান $x = 45$। (‘$\ne$’ চিহ্নে ‘সমান নহয়’ বুজায়।)
কৰি চাওঁ আহা ১৫.২
১। প্ৰচেষ্টা আৰু ভুল পদ্ধতিৰে সমাধান কৰা: (a) $6p + 3 = 27$ (b) $\frac{t}{2} + 1 = 5$ (c) $3x – 4 = 5$ (d) $\frac{t}{2} – 2 = 0$।
উত্তৰঃ (a) $p = 4$ ($6 \times 4 + 3 = 27$)। (b) $t = 8$ ($\frac{8}{2} + 1 = 5$)। (c) $x = 3$ ($3 \times 3 – 4 = 5$)। (d) $t = 4$ ($\frac{4}{2} – 2 = 0$)।
২। বন্ধনীৰ ভিতৰৰ মানে সমীকৰণটো সমাধান কৰেনে? (a) $x + 6 = 0$, $(x = -6)$ (b) $\frac{z}{5} = 20$, $(z = 100)$ (c) $7 = 2x – 8$, $(x = 4)$ (d) $\frac{n}{3} + 6 = 8$, $(n = 3)$ (e) $4p + 8 = 4$, $(p = -1)$।
উত্তৰঃ (a) $-6 + 6 = 0$ — হয়। (b) $\frac{100}{5} = 20$ — হয়। (c) $2 \times 4 – 8 = 0 \ne 7$ — নহয়। (d) $\frac{3}{3} + 6 = 7 \ne 8$ — নহয়। (e) $4 \times (-1) + 8 = 4$ — হয়।
১৫.৪.২ প্ৰতীকী পদ্ধতিৰে সমাধান
প্ৰতীক ব্যৱহাৰ কৰি $x – 5 = 6$ সমাধান কৰা। (‘+’ চিহ্নে $+1$, ‘−’ চিহ্নে $-1$, আৰু এযোৰ ‘+’ ও ‘−’ চিহ্নে এটা ‘শূন্য’ বুজায়।)
উত্তৰঃ $x$-ৰ পৰা ৫টা ‘−’ আঁতৰাবলৈ উভয়ফালে ৫টাকৈ ‘+’ যোগ কৰোঁ। বাওঁফালত ৫টা ‘−’ আৰু ৫টা ‘+’ পৰস্পৰ কাটাকাটি হৈ (শূন্য হৈ) কেৱল $x$ থাকে; সোঁফালত ৬টা ‘+’ৰ লগত ৫টা ‘+’ যোগ হৈ ১১টা ‘+’ হয়। গতিকে $x = 11$।
চেষ্টা কৰা: প্ৰতীক ব্যৱহাৰ কৰি সমাধান কৰা — (a) $x + 3 = 12$ (b) $x – 2 = -3$ (c) $5 + x = -6$ (d) $8 = x – 2$।
উত্তৰঃ (a) উভয়ফালৰ পৰা ৩ আঁতৰালে $x = 9$। (b) উভয়ফালে ২ যোগ কৰিলে $x = -1$। (c) উভয়ফালৰ পৰা ৫ আঁতৰালে $x = -11$। (d) $8 + 2 = x$, গতিকে $x = 10$।
১৫.৪.৩ যোগ আৰু বিয়োগৰ সহায়ত সমাধান
Example 2: দিয়া আছে $4123 – 512 – 659 + 36 – 94 = 2894$। তেন্তে $4123 – 512 – 659 + 36 = ?$ (সৰলীকৰণ নকৰাকৈ উলিওৱা।)
উত্তৰঃ বাওঁফালৰ পৰা $-94$ আঁতৰাবলৈ উভয়ফালে ৯৪ যোগ কৰিব লাগে (যোগ আৰু বিয়োগ পৰস্পৰ বিপৰীত প্ৰক্ৰিয়া)। $4123 – 512 – 659 + 36 – 94 + 94 = 2894 + 94$, গতিকে $4123 – 512 – 659 + 36 = \textbf{2988}$।
চেষ্টা কৰা: দিয়া আছে $10298 – 6502 – 521 + 14 + 89 = 3378$। তেন্তে $10298 – 6502 – 521 + 14 = ?$
উত্তৰঃ বাওঁফালৰ পৰা $+89$ আঁতৰাবলৈ উভয়ফালৰ পৰা ৮৯ বিয়োগ কৰিব লাগে। গতিকে $10298 – 6502 – 521 + 14 = 3378 – 89 = \textbf{3289}$।
Example 3: (a) $x – 3 = 4$ সমাধান কৰি শুদ্ধতা পৰীক্ষা কৰা। (b) $t + \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$ সমাধান কৰা।
উত্তৰঃ (a) $x$-ক অকলে ৰাখিবলৈ উভয়ফালে ৩ যোগ কৰোঁ: $x – 3 + 3 = 4 + 3$, গতিকে $x = 7$। পৰীক্ষা: বাওঁফাল $= 7 – 3 = 4 = $ সোঁফাল — সমাধান শুদ্ধ। (b) উভয়ফালৰ পৰা $\frac{3}{4}$ বিয়োগ কৰোঁ: $t = \frac{1}{4} – \frac{3}{4} = \frac{1 – 3}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$। পৰীক্ষা: $-\frac{1}{2} + \frac{3}{4} = \frac{-2 + 3}{4} = \frac{1}{4} = $ সোঁফাল — শুদ্ধ।
চেষ্টা কৰা: সমাধান কৰা — (a) $x + 5 = -6$ (b) $y – 8 = -1$ (c) $l + 16 = 5$ (d) $m + 9 = 13$।
উত্তৰঃ (a) $x = -11$। (b) $y = 7$। (c) $l = -11$। (d) $m = 4$।
চেষ্টা কৰা: সমাধান কৰা — (a) $x + \frac{5}{7} = \frac{1}{14}$ (b) $y – \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$ (c) $l – \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$ (d) $m – 6 = -\frac{8}{9}$।
উত্তৰঃ (a) $x = \frac{1}{14} – \frac{5}{7} = \frac{1 – 10}{14} = -\frac{9}{14}$। (b) $y = \frac{5}{6} + \frac{1}{6} = 1$। (c) $l = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$। (d) $m = 6 – \frac{8}{9} = \frac{54 – 8}{9} = \frac{46}{9}$।
১৫.৪.৪ পূৰণ আৰু হৰণৰ সহায়ত সমাধান
Example 4: দিয়া আছে $\frac{24}{315} \times 15 \times 32 \times \frac{7}{11} = \frac{80640}{3465}$। তেন্তে $\frac{24}{315} \times 15 \times 32 = ?$
উত্তৰঃ বাওঁফালৰ পৰা $\frac{7}{11}$ (পূৰণ ৰূপত থকা) আঁতৰাবলৈ উভয়ফালক $\frac{7}{11}$ ৰে হৰণ কৰিব লাগে (পূৰণ আৰু হৰণ পৰস্পৰ বিপৰীত)। গতিকে $\frac{24}{315} \times 15 \times 32 = \frac{80640}{3465} \times \frac{11}{7} = \frac{80640 \times 11}{3465 \times 7} = \frac{2304}{63}$।
চেষ্টা কৰা: দিয়া আছে $\frac{53}{87} \times \frac{18}{7} \times (-16) \times \frac{3}{5} = \frac{45792}{3045}$। তেন্তে $\frac{53}{87} \times \frac{18}{7} \times (-16) = ?$
উত্তৰঃ বাওঁফালৰ পৰা $\frac{3}{5}$ আঁতৰাবলৈ উভয়ফালক $\frac{3}{5}$ ৰে হৰণ কৰোঁ, অৰ্থাৎ $\frac{5}{3}$ ৰে পূৰণ কৰোঁ: $\frac{45792}{3045} \times \frac{5}{3} = \frac{45792 \times 5}{3045 \times 3} = \frac{45792}{1827} = \frac{15264}{609}$।
Example 5: (a) $3x = 6$ (b) $\frac{x}{4} = \frac{1}{2}$ সমাধান কৰি শুদ্ধতা পৰীক্ষা কৰা।
উত্তৰঃ (a) $x$-ক অকলে ৰাখিবলৈ উভয়ফালক ৩ ৰে হৰণ কৰোঁ: $\frac{3x}{3} = \frac{6}{3}$, গতিকে $x = 2$। পৰীক্ষা: $3 \times 2 = 6 = $ সোঁফাল — শুদ্ধ। (b) $x$-ক অকলে ৰাখিবলৈ উভয়ফালক ৪ ৰে পূৰণ কৰোঁ: $\frac{x}{4} \times 4 = \frac{1}{2} \times 4$, গতিকে $x = 2$। পৰীক্ষা: $\frac{2}{4} = \frac{1}{2} = $ সোঁফাল — শুদ্ধ।
ভাৱি চোৱা: তলৰ সমাধানত হোৱা ভুলটো উলিওৱা — $3x = 6$, or $x = 6 – 3$, or $x = 3$।
উত্তৰঃ ইয়াত ভুলটো হ’ল — $3$ আৰু $x$ পূৰণ ৰূপত আছে, গতিকে $x$-ক অকলে ৰাখিবলৈ উভয়ফালক ৩ ৰে হৰণ কৰিব লাগিছিল ($x = \frac{6}{3} = 2$), কিন্তু সমাধানত ভুলকৈ ৩ বিয়োগ কৰা হৈছে। শুদ্ধ সমাধান $x = 2$।
জানি থোৱা — সমীকৰণৰ স্বতঃসিদ্ধ
- সমীকৰণৰ উভয়পক্ষত একে সংখ্যা যোগ/বিয়োগ কৰিলে সমতা অপৰিৱৰ্তিত থাকে: যদি $a = b$, তেন্তে $a + c = b + c$ আৰু $a – c = b – c$।
- উভয়পক্ষক একে সংখ্যাৰে পূৰণ কৰিলে সমতা অপৰিৱৰ্তিত থাকে: যদি $a = b$, তেন্তে $a \times c = b \times c$।
- উভয়পক্ষক একে অশূন্য সংখ্যাৰে হৰণ কৰিলে সমতা অপৰিৱৰ্তিত থাকে: যদি $a = b$, তেন্তে $a \div c = b \div c$ ($c \ne 0$)।
- [এই স্বতঃসিদ্ধবোৰ ভাস্কৰাচাৰ্যৰ ‘একবৰ্ণসমীকৰণম্’ নামৰ অধ্যায়ত পোৱা যায়।]
কৰি চাওঁ আহা ১৫.৩
১। তলৰ সমীকৰণবোৰ সমাধান কৰি শুদ্ধতা পৰীক্ষা কৰা: (a) $x – 7 = 0$ (b) $z + 6 = -5$ (c) $7x = 35$ (d) $\frac{x}{7} = 5$ (e) $12p = -36$ (f) $\frac{t}{3} = 9$।
উত্তৰঃ (a) $x = 7$ (পৰীক্ষা $7 – 7 = 0$)। (b) $z = -11$ (পৰীক্ষা $-11 + 6 = -5$)। (c) $x = \frac{35}{7} = 5$ (পৰীক্ষা $7 \times 5 = 35$)। (d) $x = 5 \times 7 = 35$ (পৰীক্ষা $\frac{35}{7} = 5$)। (e) $p = \frac{-36}{12} = -3$ (পৰীক্ষা $12 \times (-3) = -36$)। (f) $t = 9 \times 3 = 27$ (পৰীক্ষা $\frac{27}{3} = 9$)।
২। বাপুকনৰ মাকে শিশু দিৱসত তেওঁক ১০০ টকা দিলে। বাপুকনে টিকটৰ প্ৰকৃত দামত ₹১০ ৰেহাইত এখন শিশু উদ্যানৰ প্ৰৱেশ টিকট আৰু ₹৩০ ত এটা পুলি কিনিলে। কিনাৰ পাছত তেওঁৰ হাতত ₹২০ থাকিল। টিকটৰ প্ৰকৃত দাম $P$ হ’লে সমীকৰণ গঠন কৰি $P$-ৰ মান উলিওৱা।
উত্তৰঃ ৰেহাইৰ পাছত টিকটৰ দাম $= (P – 10)$; পুলিৰ দাম ₹৩০; বাকী ₹২০। গতিকে $(P – 10) + 30 + 20 = 100$, অৰ্থাৎ $P + 40 = 100$, গতিকে $P = 60$। (পৰীক্ষা: টিকট $60 – 10 = 50$, পুলি $30$, খৰচ $80$, বাকী $100 – 80 = 20$।)
৩। এটা বীকাৰৰ দুই-তৃতীয়াংশ পানীৰে ভৰ্তি। যদি পানীৰে ভৰ্তি অংশৰ উচ্চতা ৪ cm হয়, বীকাৰটোৰ উচ্চতা উলিয়াবলৈ সমীকৰণ গঠন কৰি সমাধান কৰা।
উত্তৰঃ বীকাৰটোৰ উচ্চতা $h$ cm ধৰিলে $\frac{2}{3}h = 4$। উভয়ফালক $\frac{3}{2}$ ৰে পূৰণ কৰি $h = 4 \times \frac{3}{2} = 6$। গতিকে বীকাৰটোৰ উচ্চতা ৬ cm।
আৰু কেইটামান সমীকৰণ (Example 6)
[a] $3x + 7 = 11$ [b] $-2 = 4 + 3t$ [c] $\frac{3}{4}x = 12$ সমাধান কৰা।
উত্তৰঃ [a] উভয়ফালৰ পৰা ৭ বিয়োগ: $3x = 11 – 7 = 4$; উভয়ফালক ৩ ৰে হৰণ: $x = \frac{4}{3}$। পৰীক্ষা: $3 \times \frac{4}{3} + 7 = 4 + 7 = 11$ — শুদ্ধ। (ইয়াত প্ৰচেষ্টা আৰু ভুল পদ্ধতি সুবিধাজনক নহয়, কাৰণ সমাধানটো ভগ্নাংশ।) [b] উভয়ফালৰ পৰা ৪ বিয়োগ: $-6 = 3t$; উভয়ফাল ৩ ৰে হৰণ: $t = -2$। ($4 + 3t = -2$ বুলি লিখিলেও একে সমাধান পোৱা যায়।) [c] উভয়ফালক $\frac{3}{4}$ ৰে হৰণ, অৰ্থাৎ $\frac{4}{3}$ ৰে পূৰণ: $x = 12 \times \frac{4}{3} = 16$।
১৫.৪.৫ উভয় ফালে অজ্ঞাত ৰাশি থকা সমীকৰণ (Example 7)
[a] $2 + 3x = 4x + 5$ [b] $\frac{t}{2} + 5 = 1 – \frac{t}{2}$ [c] $4(z – 3) = 8z + 9$ সমাধান কৰা।
উত্তৰঃ [a] উভয়ফালৰ পৰা $4x$ বিয়োগ: $2 – x = 5$; ২ বিয়োগ: $-x = 3$; উভয়ফালক $(-1)$ ৰে পূৰণ: $x = -3$। পৰীক্ষা: বাওঁফাল $= 2 + 3(-3) = -7$, সোঁফাল $= 4(-3) + 5 = -7$ — শুদ্ধ। [b] উভয়ফালে $\frac{t}{2}$ যোগ: $t + 5 = 1$; ৫ বিয়োগ: $t = -4$। [c] $4(z – 3) = 4z – 12$, গতিকে $4z – 12 = 8z + 9$; $8z$ বিয়োগ: $-4z – 12 = 9$; ১২ যোগ: $-4z = 21$; $(-1)$ ৰে পূৰণ: $4z = -21$; ৪ ৰে হৰণ: $z = -\frac{21}{4}$।
কৰি চাওঁ আহা ১৫.৪
১। তলৰ সমীকৰণবোৰ সমাধান কৰা: (a) $6x + 5 = 2x + 17$ (b) $\frac{l}{2} = \frac{l}{3} – 1$ (c) $13 – m = 3m + 5$ (d) $p + 5 = 2(1 – 2p)$।
উত্তৰঃ (a) $6x – 2x = 17 – 5$ → $4x = 12$ → $x = 3$। (b) $\frac{l}{2} – \frac{l}{3} = -1$ → $\frac{3l – 2l}{6} = -1$ → $\frac{l}{6} = -1$ → $l = -6$। (c) $13 – 5 = 3m + m$ → $8 = 4m$ → $m = 2$। (d) $p + 5 = 2 – 4p$ → $p + 4p = 2 – 5$ → $5p = -3$ → $p = -\frac{3}{5}$।
Example 8 — দুই স্তম্ভত এটা সমীকৰণৰ সমাধান
$5x + 12 = 22$ সমীকৰণটো ‘স্তম্ভ A’ আৰু ‘স্তম্ভ B’ত সমাধান কৰা হৈছে। দুয়োটাৰ পাৰ্থক্য মন কৰা।
| স্তম্ভ A (বিতংকৈ) | স্তম্ভ B (চমুকৈ) |
|---|---|
| $5x + 12 – 12 = 22 – 12$ | $5x = 22 – 12$ |
| $5x = 10$ | $5x = 10$ |
| $\frac{5x}{5} = \frac{10}{5}$ | $x = \frac{10}{5}$ |
| $x = 2$ | $x = 2$ |
উত্তৰঃ স্তম্ভ A-ত প্ৰতিটো চৰ বিতংকৈ লিখা হৈছে। যিহেতু $12$ আৰু $-12$ পৰস্পৰ যোগাত্মক বিপৰীত ($12 + (-12) = 0$), গতিকে স্তম্ভ B-ৰ দৰে পোনেপোনে $5x = 22 – 12$ লিখিব পাৰি। দুয়োটা পদ্ধতিতে সমাধান একে — $x = 2$। (শিক্ষকৰ পৰামৰ্শ: পদ্ধতি ভালকৈ বুজাৰ পাছত ছাত্ৰই স্তম্ভ B-ৰ চমু ৰীতিটো অনুসৰণ কৰক।)
কিছুমান প্ৰয়োগমূলক উদাহৰণ (Example 9–17)
Example 9: $5x – 8 = 2x + 7$ সমাধান কৰা।
উত্তৰঃ $5x – 8 – 2x = 7$ → $3x – 8 = 7$ → $3x = 15$ → $x = 5$।
Example 10: তিনিটা ক্ৰমিক অযুগ্ম সংখ্যাৰ যোগফল ৭৫। সংখ্যা তিনিটা উলিওৱা।
উত্তৰঃ প্ৰতিটো ক্ৰমিক অযুগ্ম সংখ্যা ২ কৈ বাঢ়ে। প্ৰথম সংখ্যা $x$ হ’লে বাকী দুটা $x + 2$ আৰু $x + 4$। $x + (x + 2) + (x + 4) = 75$ → $3x + 6 = 75$ → $3x = 69$ → $x = 23$। গতিকে সংখ্যা তিনিটা ২৩, ২৫, ২৭। (ক্ৰমিক স্বাভাৱিক সংখ্যা ১ কৈ, ক্ৰমিক যুগ্ম সংখ্যা ২ কৈ বাঢ়ে।)
Example 11: “বিশ্ব পৰিৱেশ দিৱস”ত বনগাঁও উচ্চতৰ মাধ্যমিক বিদ্যালয়ৰ কিছুমান ছাত্ৰ আৰু তিনিজন শিক্ষক মানস অভয়াৰণ্যলৈ ক্ষেত্ৰ অধ্যয়নলৈ গ’ল। বিদ্যালয়ে ₹২০০০ দিলে। প্ৰৱেশমূল্য ₹২০০ আৰু জনপ্ৰতি খাদ্যত ₹৬০ খৰচ হ’ল। কিমানজন ছাত্ৰ গৈছিল?
উত্তৰঃ প্ৰৱেশমূল্যৰ পাছত বাকী $2000 – 200 = 1800$ টকা। জনপ্ৰতি খাদ্যৰ খৰচ ₹৬০, গতিকে মুঠ মানুহ $= 1800 \div 60 = 30$। তিনিজন শিক্ষক বাদ দি ছাত্ৰ সংখ্যা $= 30 – 3 = \textbf{27}$। (সমীকৰণেৰে: ছাত্ৰ সংখ্যা $n$ ধৰিলে $60(n + 3) + 200 = 2000$ → $60(n + 3) = 1800$ → $n + 3 = 30$ → $n = 27$।)
Example 12: জুৰি বনজিততকৈ ৭ বছৰ ডাঙৰ। দুয়োৰে বয়সৰ যোগফল ২৫ বছৰ হ’লে প্ৰত্যেকৰ বৰ্তমান বয়স কিমান?
উত্তৰঃ বনজিতৰ বয়স $y$ বছৰ ধৰিলে জুৰিৰ বয়স $(y + 7)$ বছৰ। $(y + 7) + y = 25$ → $2y + 7 = 25$ → $2y = 18$ → $y = 9$। গতিকে বনজিতৰ বয়স ৯ বছৰ আৰু জুৰিৰ বয়স $9 + 7 = \textbf{16 বছৰ}$।
Example 13: মনীষাই ৪k + ১ ৰেখাৰ (টাইলছৰ) আৰ্হি সজায়। ১২১টা টাইলেৰে আৰ্হিটো সম্পূৰ্ণ হ’ব পাৰেনে? হ’লে কোনটো স্তৰত?
উত্তৰঃ দুয়োটা পদ্ধতিতে $k$-তম স্তৰত টাইলৰ সংখ্যা $4k + 1$। $4k + 1 = 121$ → $4k = 120$ → $k = 30$। গতিকে ৩০-তম স্তৰত আৰ্হিটো সম্পূৰ্ণ হ’ব।
Example 14: অজয়ৰ দেউতাকে তেওঁক কলম কিনা আৰু টিফিনৰ বাবে ₹১৫০ দিলে। টিফিনত ₹৩০ খৰচ কৰিলে বাকী ধনেৰে ₹১৫ দৰৰ কিমানটা কলম কিনিব পাৰিব?
উত্তৰঃ কলমৰ সংখ্যা $n$ ধৰিলে $15n + 30 = 150$ → $15n = 120$ → $n = 8$। গতিকে ৮টা কলম কিনিব পাৰিব।
Example 15: $12(x – 12) + 450 = 846$ সমীকৰণটো বিভিন্ন উপায়ে সমাধান কৰা।
উত্তৰঃ উপায়-১: $12(x – 12) = 846 – 450 = 396$ → $x – 12 = \frac{396}{12} = 33$ → $x = 45$। উপায়-২ (সৰলীকৰণ কৰি): $12x – 144 + 450 = 846$ → $12x = 540$ → $x = 45$। উপায়-৩ (উভয়ফালক ৩ ৰে হৰণ কৰি): $4(x – 12) + 150 = 282$ → $4x – 48 = 132$ → $4x = 180$ → $x = 45$। তিনিওটা উপায়তে সমাধান একে — $x = 45$।
চেষ্টা কৰা: তলৰ সমাধানবোৰত হোৱা ভুল উলিয়াই শুদ্ধকৈ সমাধান কৰা।
উত্তৰঃ
- (1) $x – 2 = 19$ → $x = 21$ — শুদ্ধ (ভুল নাই)।
- (2) $10 – 7t = -4$ — ভুল ($10 – 7$ কৰি $3t$ লিখিছে)। শুদ্ধ: $-7t = -14$ → $t = 2$।
- (3) $4p – 3 = 13$ → $4p = 16$ — ভুল ($16 – 4$ লিখিছে)। শুদ্ধ: $p = \frac{16}{4} = \textbf{4}$।
- (4) $5p + 2 = -10$ — ভুল (কেৱল $5p$ ৰেহে ৫ ৰে হৰণ কৰিছে)। শুদ্ধ: $5p = -12$ → $p = -\frac{12}{5}$।
- (5) $y – 4 = 2y – 10$ — ভুল (চিহ্নত ভুল)। শুদ্ধ: $y – 2y = -10 + 4$ → $-y = -6$ → $y = 6$।
- (6) $3(n – 2) = 12$ — ভুল ($3n – 2$ লিখিছে, প্ৰকৃততে $3n – 6$)। শুদ্ধ: $3n – 6 = 12$ → $3n = 18$ → $n = 6$।
Example 16: “ও এশ ভাই, ক’লৈ গৈ আছা? — আমি এশ নহওঁ; আমি যিমান আছোঁ সিমান আৰু আহিব, তাৰ আধা, আৰু আধাৰো আধা আহিব; তোমাৰ সৈতে মিলি আমি এশ হ’ম।” আৰম্ভণিত কিমানজন মানুহ আছিল?
উত্তৰঃ আৰম্ভণিত মানুহৰ সংখ্যা $x$ ধৰিলে — নতুনকৈ আহিব $x$, তাৰ আধা $\frac{1}{2}x$, আধাৰো আধা $\frac{1}{4}x$, আৰু তুমি (১)। গতিকে $x + x + \frac{1}{2}x + \frac{1}{4}x + 1 = 100$ → $\frac{11x}{4} = 99$ → $x = \frac{99 \times 4}{11} = 36$। গতিকে আৰম্ভণিত ৩৬ জন মানুহ আছিল।
Example 17: ৰিছা আৰু মনপ্ৰীতে প্ৰতি মাহত ক্ৰমে ₹৩০০ আৰু ₹৪৫০ সঞ্চয় কৰে। বাদানুবাদ প্ৰতিযোগিতাত প্ৰথম আৰু দ্বিতীয় পুৰস্কাৰত ক্ৰমে ₹৩৬০০ আৰু ₹৩০০০ পালে (এইয়াও সঞ্চয় কৰিলে)। কিমান মাহৰ পাছত দুয়োৰে সঞ্চিত ধন সমান হ’ব?
উত্তৰঃ $n$ মাহৰ পাছত সঞ্চয় সমান হয় ধৰিলে — ৰিছাৰ $= 3600 + 300n$, মনপ্ৰীতৰ $= 3000 + 450n$। গতিকে $3600 + 300n = 3000 + 450n$ → $3600 – 3000 = 450n – 300n$ → $600 = 150n$ → $n = 4$। ব্ৰহ্মগুপ্তৰ সূত্ৰ $x = \frac{D – B}{A – C}$ ব্যৱহাৰ কৰিলেও $n = \frac{3000 – 3600}{300 – 450} = \frac{-600}{-150} = 4$। গতিকে ৪ মাহৰ পাছত সঞ্চিত ধন সমান হ’ব।
১৫.৫ দিয়া সমাধানৰ পৰা সমীকৰণ গঠন
এটা সমীকৰণৰ সমাধান ৮ (অৰ্থাৎ $x = 8$) হ’লে কি কি সমীকৰণ গঠন কৰিব পাৰি?
উত্তৰঃ $x = 8$-ৰ উভয়ফালত একে গাণিতিক প্ৰক্ৰিয়া প্ৰয়োগ কৰিলে নতুন সমীকৰণ গঠন হয় — যেনে ১ বিয়োগ কৰি $x – 1 = 7$, ২ ৰে পূৰণ কৰি $2x = 16$, ২ ৰে হৰণ কৰি $\frac{x}{2} = 4$, ৫ যোগ কৰি $x + 5 = 13$, ২ ৰে পূৰণ কৰি ৩ যোগ কৰি $2x + 3 = 19$, $(-1)$ ৰে পূৰণ কৰি ৫ যোগ কৰি $-x + 5 = -3$ ইত্যাদি। এইদৰে এটা সমাধানৰ পৰা অনেক সমীকৰণ গঠন কৰিব পাৰি।
চেষ্টা কৰা: যিকোনো ৫টা সমীকৰণ গঠন কৰা যাৰ সমাধান $x = -3$।
উত্তৰঃ (উদাহৰণস্বৰূপ) (1) $x + 3 = 0$; (2) $2x = -6$; (3) $x – 2 = -5$; (4) $3x + 1 = -8$; (5) $5x + 20 = 5$। প্ৰতিটোৰে সমাধান $x = -3$।
১৫.৬ সমীকৰণৰ সংক্ষিপ্ত ইতিহাস
এই অংশৰ পৰা কি জানিব পাৰি? ভাস্কৰাচাৰ্যৰ ঘোঁৰাৰ সমস্যাটো সমাধান কৰা আৰু ঐতিহাসিক তথ্যবোৰ চমুকৈ লিখা।
উত্তৰঃ গুপ্তযুগৰ (ভাৰতীয় ইতিহাসৰ সোণালী যুগ) গণিতজ্ঞ ব্ৰহ্মগুপ্তই অজ্ঞাত ৰাশি বুজাবলৈ ‘বৰ্ণ’ (আখৰ) ব্যৱহাৰ কৰিছিল আৰু $Ax + B = Cx + D$ ৰূপৰ সমীকৰণৰ বাবে $x = \frac{D – B}{A – C}$ সূত্ৰ দিছিল। ‘বক্সালি’ পাণ্ডুলিপিত সৰল সমীকৰণৰ ‘অনুমান সমাধান’ পদ্ধতি পোৱা যায়। মধ্যযুগৰ ভাস্কৰাচাৰ্যই ‘একবৰ্ণসমীকৰণম্’ অধ্যায়ত চাৰিটা স্বতঃসিদ্ধ দিছিল আৰু ‘চক্ৰৱাল’ পদ্ধতিৰ বাবে বিখ্যাত। অষ্টম শতিকাত এই ভাৰতীয় ধাৰণাবোৰ আৰবী ভাষালৈ অনূদিত হয়; আল-খ্বাৰিজমিয়ে (Al-Khwarizmi) “Hisab al-jabr wal-muqabala” লিখিছিল, আৰু ‘al-jabr’ শব্দৰ পৰাই ‘algebra’ (বীজগণিত) শব্দৰ উৎপত্তি। ঘোঁৰাৰ সমস্যা: এজন বেপাৰীৰ ৭টা ঘোঁৰা আৰু ১০০ ৰূপ, আন এজনৰ ৯টা ঘোঁৰা আৰু ৮০ ৰূপ; দুয়ো সমানে ধনী। এটা ঘোঁৰাৰ দাম $x$ ধৰিলে $7x + 100 = 9x + 80$ → $20 = 2x$ → $x = 10$। গতিকে প্ৰতিটো ঘোঁৰাৰ দাম ১০ ৰূপ; প্ৰত্যেক বেপাৰীৰ মুঠ সম্পদ $7 \times 10 + 100 = 170$ ৰূপ, দুয়োৰে মুঠ ৩৪০ ৰূপ।
চেষ্টা কৰা: সমাধান কৰা — $10x – 35 = -4x + 35$ আৰু $4x – 9 = 5x – 10$ (ব্ৰহ্মগুপ্তৰ সূত্ৰ ব্যৱহাৰ কৰি)।
উত্তৰঃ $10x – 35 = -4x + 35$ → $14x = 70$ → $x = 5$ (সূত্ৰেৰে $x = \frac{35 – (-35)}{10 – (-4)} = \frac{70}{14} = 5$)। $4x – 9 = 5x – 10$ → $-9 + 10 = 5x – 4x$ → $x = 1$ (সূত্ৰেৰে $x = \frac{-10 – (-9)}{4 – 5} = \frac{-1}{-1} = 1$)।
অনুশীলনী ১৫
১। তলৰ উক্তিবোৰৰ পৰা সমীকৰণ গঠন কৰা: (a) এটা সংখ্যাৰ লগত ৮ যোগ কৰিলে ১৫ হয়। (b) এটা সংখ্যাৰ তিনিগুণৰ পৰা ৫ বিয়োগ কৰিলে ১৬ হয়। (c) এটা সংখ্যাক ৮ ৰে ভাগ কৰিলে ৭ হয়। (d) $x$-ৰ দুই-তৃতীয়াংশ ৬ হয়।
উত্তৰঃ সংখ্যাটোক $x$ ধৰি — (a) $x + 8 = 15$; (b) $3x – 5 = 16$; (c) $\frac{x}{8} = 7$; (d) $\frac{2}{3}x = 6$।
২। তলৰ সমীকৰণবোৰৰ বাবে উক্তি প্ৰকাশ কৰা: (a) $x – 7 = 14$ (b) $2y – 18 = 2$ (c) $\frac{3}{4}z = 9$ (d) $11 + 3t = 17$।
উত্তৰঃ (a) এটা সংখ্যাৰ পৰা ৭ বিয়োগ কৰিলে ১৪ হয়। (b) এটা সংখ্যাৰ দুগুণৰ পৰা ১৮ বিয়োগ কৰিলে ২ হয়। (c) এটা সংখ্যাৰ তিনি-চতুৰ্থাংশ ৯ হয়। (d) এটা সংখ্যাৰ তিনিগুণৰ লগত ১১ যোগ কৰিলে ১৭ হয়।
৩। প্ৰচেষ্টা আৰু ভুল পদ্ধতিৰে সমাধান কৰা: (a) $3x – 5 = 13$ (b) $5p – 3 = p + 17$।
উত্তৰঃ (a) $x = 6$ ($3 \times 6 – 5 = 13$)। (b) $p = 5$ ($5 \times 5 – 3 = 22$ আৰু $5 + 17 = 22$)।
৪। স্তম্ভ ১-ৰ সমীকৰণ স্তম্ভ ২-ৰ সমাধানৰ লগত মিলোৱা। স্তম্ভ ১: (P) $5x + 2 = 17$, (Q) $x – 2 = 17$, (R) $\frac{x}{2} + 5 = 20$; স্তম্ভ ২: (I) ৩০, (II) ৩, (III) ১৯।
উত্তৰঃ (P) $5x = 15$ → $x = 3$ = (II); (Q) $x = 19$ = (III); (R) $\frac{x}{2} = 15$ → $x = 30$ = (I)। গতিকে P → II, Q → III, R → I — শুদ্ধ বিকল্প (B)।
৫। অভিমত ১: $2x + 3 = 7$-ৰ সমাধান $x = 2$। অভিমত ২: $2(2x + 5) = 3 + 5x$ সমীকৰণটোৰ কোনো সমাধান নাই। শুদ্ধ বাছনি বাছা।
উত্তৰঃ অভিমত ১ শুদ্ধ ($2x = 4$ → $x = 2$)। অভিমত ২: $4x + 10 = 3 + 5x$ → $x = 7$, গতিকে সমাধান আছে — অভিমত ২ অশুদ্ধ। শুদ্ধ বিকল্প (C) (অভিমত ১ শুদ্ধ কিন্তু অভিমত ২ অশুদ্ধ)।
৬। $3(x + 2) – 2(x – 1) = 7$ সমাধানৰ চৰবোৰ শুদ্ধ ক্ৰমত নাই: (I) $x + 8 = 7$ (II) $3x + 6 – 2x + 2 = 7$ (III) $x = -1$ (IV) $x = 7 – 8$। শুদ্ধ ক্ৰম উলিওৱা।
উত্তৰঃ প্ৰথমে বন্ধনী খোলা (II), তাৰ পাছত সৰল কৰি (I), তাৰ পাছত (IV), শেষত (III)। গতিকে শুদ্ধ ক্ৰম II → I → IV → III — বিকল্প (C)।
৭। এখন আয়তাকাৰ বাগিছাৰ পৰিসীমা ৬৪ মিটাৰ। বাগিছাখনৰ দৈৰ্ঘ্য প্ৰস্থতকৈ ৬ মিটাৰ বেছি হ’লে দৈৰ্ঘ্য আৰু প্ৰস্থ উলিওৱা।
উত্তৰঃ প্ৰস্থ $b$ মিটাৰ ধৰিলে দৈৰ্ঘ্য $= b + 6$। পৰিসীমা $= 2(l + b)$, গতিকে $2(b + 6 + b) = 64$ → $2(2b + 6) = 64$ → $4b + 12 = 64$ → $4b = 52$ → $b = 13$। গতিকে প্ৰস্থ ১৩ মিটাৰ আৰু দৈৰ্ঘ্য $13 + 6 = \textbf{19 মিটাৰ}$।
৮। তলৰ সমীকৰণবোৰ সমাধান কৰা: (a) $3(x + 6) = 24$ (b) $5(2 – 5t) = -20$ (c) $5p + 1 = 2(p + 17)$ (d) $\frac{n}{4} – 8 = 1$ (e) $4(r – 1) = r – 3$ (f) $3(x + 6) + 2(x + 3) = 64$ (g) $2 – 5z = 2(5 – z) – 6(2 – z)$ (h) $-4(m – 1) = 5(m + 2)$।
উত্তৰঃ (a) $x + 6 = 8$ → $x = 2$। (b) $2 – 5t = -4$ → $-5t = -6$ → $t = \frac{6}{5}$। (c) $5p + 1 = 2p + 34$ → $3p = 33$ → $p = 11$। (d) $\frac{n}{4} = 9$ → $n = 36$। (e) $4r – 4 = r – 3$ → $3r = 1$ → $r = \frac{1}{3}$। (f) $5x + 24 = 64$ → $5x = 40$ → $x = 8$। (g) $2 – 5z = 10 – 2z – 12 + 6z$ → $2 – 5z = -2 + 4z$ → $4 = 9z$ → $z = \frac{4}{9}$। (h) $-4m + 4 = 5m + 10$ → $-6 = 9m$ → $m = -\frac{2}{3}$।
৯। তলৰ চিত্ৰত $x$-ৰ মান উলিওৱা: (a) এটা সমদ্বিবাহু ত্ৰিভুজৰ দুয়োটা সমান বাহু $x$ আৰু ভূমি ৬ cm, পৰিসীমা ২০ cm। (b) এখন চতুৰ্ভুজ PQRS-ৰ বাহুবোৰ $x$, $x$, $x + 5$, $x + 5$; পৰিসীমা ৩৪ cm।
উত্তৰঃ (a) পৰিসীমা $= x + x + 6 = 20$ → $2x = 14$ → $x = 7$ cm। (b) পৰিসীমা $= x + x + (x + 5) + (x + 5) = 4x + 10 = 34$ → $4x = 24$ → $x = 6$ cm।
১০। বিৰডৱে ঘৰৰ পৰা বিদ্যালয়লৈ যায় (চিত্ৰত ঘৰ–পাৰ্ক $= 2x + 3$, পাৰ্ক–বজাৰ $= 4$, বজাৰ–বিদ্যালয় $= x$)। ঘৰ আৰু পাৰ্কৰ মাজৰ দূৰত্ব ৫ km হ’লে — (a) বজাৰ আৰু বিদ্যালয়ৰ মাজৰ দূৰত্ব কিমান? (b) ঘৰ আৰু বিদ্যালয়ৰ মাজৰ দূৰত্ব কিমান?
উত্তৰঃ ঘৰ–পাৰ্ক $= 2x + 3 = 5$ → $2x = 2$ → $x = 1$। (a) বজাৰ–বিদ্যালয় $= x = \textbf{1 km}$। (b) ঘৰ–বিদ্যালয় $= (2x + 3) + 4 + x = 5 + 4 + 1 = \textbf{10 km}$।
১১। $x = -10$ যাৰ সমাধান, তেনে পাঁচটা সমীকৰণ লিখা।
উত্তৰঃ (উদাহৰণস্বৰূপ) (1) $x + 10 = 0$; (2) $2x = -20$; (3) $x – 5 = -15$; (4) $3x + 10 = -20$; (5) $\frac{x}{2} = -5$। প্ৰতিটোৰে সমাধান $x = -10$।
১২। এটা পিপৰাই নিজৰ ওজনৰ ৪০ গুণ ওজন কঢ়িয়াব পাৰে। একে ধৰণৰ ২৫টা পিপৰাই ১৫০০ mg ওজনৰ এটা কিচমিচ কঢ়িয়ায়। এটা পিপৰাৰ ওজন উলিওৱা।
উত্তৰঃ এটা পিপৰাৰ ওজন $x$ mg ধৰিলে ই কঢ়িয়াব পাৰে $40x$ mg। ২৫টা পিপৰাই মিলি কঢ়িয়ায় $25 \times 40x = 1000x$ mg $= 1500$ mg। গতিকে $1000x = 1500$ → $x = 1.5$। এটা পিপৰাৰ ওজন ১.৫ mg।
১৩। এখন কৃষকৰ ফাৰ্মত কিছু ছাগলী আৰু কুকুৰা আছে। মুঠ ৫০টা মূৰ আৰু ১৩২টা ঠেং। ছাগলী আৰু কুকুৰাৰ সংখ্যা উলিওৱা। [সূত্ৰ: ছাগলী $x$, কুকুৰা $y$; $x + y = 50$, $4x + 2y = 132$।]
উত্তৰঃ $x = 50 – y$ বহুৱাই $4(50 – y) + 2y = 132$ → $200 – 2y = 132$ → $2y = 68$ → $y = 34$, আৰু $x = 50 – 34 = 16$। গতিকে ছাগলী ১৬টা আৰু কুকুৰা ৩৪টা।
১৪। যদি $15k – 33 = 6(k + 8)$, তেন্তে তলৰ ৰাশিবোৰৰ মান উলিওৱা: (a) $19k + 4$ (b) $33k – 8$।
উত্তৰঃ $15k – 33 = 6k + 48$ → $9k = 81$ → $k = 9$। (a) $19 \times 9 + 4 = 171 + 4 = \textbf{175}$। (b) $33 \times 9 – 8 = 297 – 8 = \textbf{289}$।
১৫। এখন অটোৰিক্সাৰ ভাৰা: প্ৰথম কি.মি.ৰ বাবে ₹২০, প্ৰতি অতিৰিক্ত কি.মি.ৰ বাবে ₹১৫। মুঠ ভাৰা ₹১২৫ হ’লে অতিক্ৰম কৰা মুঠ দূৰত্ব কিমান? (A) ৬ কি.মি. (B) ৭ কি.মি. (C) ৮ কি.মি. (D) ৯ কি.মি.
উত্তৰঃ মুঠ দূৰত্ব $d$ কি.মি. ধৰিলে $20 + 15(d – 1) = 125$ → $15(d – 1) = 105$ → $d – 1 = 7$ → $d = 8$। গতিকে শুদ্ধ উত্তৰ (C) ৮ কি.মি.।
১৬। সমান দৈৰ্ঘ্যৰ ৰেখাখণ্ডেৰে নিৰ্মিত সৰু বৰ্গৰ এটা আৰ্হি ($n$-তম অৱস্থানত $n$টা বৰ্গ শাৰীবদ্ধ)। (a) ১০ম অৱস্থানত কিমান বৰ্গ? (b) কোনটো অৱস্থানত ৬৫টা বৰ্গ? (c) ১৫শ অৱস্থানত কিমান ৰেখাখণ্ড? (d) ৫২টা ৰেখাখণ্ড থকা অৱস্থান থাকিব পাৰেনে?
উত্তৰঃ শাৰীবদ্ধ $n$টা বৰ্গৰ বাবে বৰ্গৰ সংখ্যা $= n$ আৰু ৰেখাখণ্ডৰ সংখ্যা $= 3n + 1$। (a) ১০ম অৱস্থানত ১০টা বৰ্গ। (b) $n = 65$, গতিকে ৬৫-তম অৱস্থানত ৬৫টা বৰ্গ। (c) $3 \times 15 + 1 = \textbf{46}$টা ৰেখাখণ্ড। (d) $3n + 1 = 52$ → $3n = 51$ → $n = 17$ — এটা পূৰ্ণ সংখ্যা, গতিকে হয়, ১৭-তম অৱস্থানত ৫২টা ৰেখাখণ্ড থাকিব।
১৭। নাহৰৰ সঞ্চয় পাত্ৰত ১০ টকীয়া আৰু ২০ টকীয়া নোট একেলগে মুঠ ₹৮০০। নোটৰ মুঠ সংখ্যা ৫০ হ’লে প্ৰতি ধৰণৰ নোটৰ সংখ্যা উলিওৱা।
উত্তৰঃ ১০ টকীয়া নোট $x$টা, ২০ টকীয়া নোট $y$টা ধৰিলে $x + y = 50$ আৰু $10x + 20y = 800$ (অৰ্থাৎ $x + 2y = 80$)। বিয়োগ কৰি $y = 30$, আৰু $x = 20$। গতিকে ১০ টকীয়া নোট ২০টা আৰু ২০ টকীয়া নোট ৩০টা।
১৮। এটা সংখ্যাৰ ছগুণৰ লগত ১৫ যোগ কৰিলে সেই সংখ্যাটোৰ সাতগুণৰ সমান হয়। সংখ্যাটো উলিওৱা।
উত্তৰঃ সংখ্যাটো $n$ ধৰিলে $6n + 15 = 7n$ → $15 = 7n – 6n$ → $n = 15$।
১৯। এটা সংখ্যাৰ এক-তৃতীয়াংশ সেই সংখ্যাৰ দুই-তৃতীয়াংশতকৈ ১০ কম। সংখ্যাটো কি?
উত্তৰঃ সংখ্যাটো $n$ ধৰিলে $\frac{1}{3}n = \frac{2}{3}n – 10$ → $10 = \frac{2}{3}n – \frac{1}{3}n = \frac{1}{3}n$ → $n = 30$।
২০। তিনিটা ক্ৰমিক যুগ্ম সংখ্যাৰ যোগফল ৪৮। সংখ্যা তিনিটা উলিওৱা।
উত্তৰঃ প্ৰথম সংখ্যা $x$ ধৰিলে $x + (x + 2) + (x + 4) = 48$ → $3x + 6 = 48$ → $3x = 42$ → $x = 14$। গতিকে সংখ্যা তিনিটা ১৪, ১৬, ১৮।
২১। দুটা পৰিপূৰক কোণৰ পাৰ্থক্য ১২°। কোণ দুটা উলিওৱা।
উত্তৰঃ পৰিপূৰক কোণ দুটাৰ যোগফল ৯০°। কোণ দুটা $x$° আৰু $y$° ধৰিলে $x + y = 90$ আৰু $x – y = 12$। যোগ কৰি $2x = 102$ → $x = 51$, আৰু $y = 39$। গতিকে কোণ দুটা ৫১° আৰু ৩৯°।
২২। অভিমত ১: $(x – 3) = 4(x – 6)$-ৰ কেৱল এটা সমাধান $x = -7$ আছে। অভিমত ২: $x = 7$ সমাধান হোৱা বহুতো সমীকৰণ থাকিব পাৰে। শুদ্ধ বাছনি বাছা।
উত্তৰঃ $(x – 3) = 4(x – 6)$ → $x – 3 = 4x – 24$ → $21 = 3x$ → $x = 7$ (─৭ নহয়), গতিকে অভিমত ১ অশুদ্ধ। অভিমত ২ শুদ্ধ। শুদ্ধ বিকল্প (D) (অভিমত ১ অশুদ্ধ কিন্তু অভিমত ২ শুদ্ধ)।
২৩। খৰগ পুৱালিটোক সঠিক সমাধানৰ দিশত গৈ গাজৰেৰে ভৰা টোপোলাটো বিচাৰি পোৱাত সহায় কৰা — তলৰ সমীকৰণবোৰ সমাধান কৰা।
উত্তৰঃ $5 = 12 – x$ → $x = 7$; $3(2m + 1) = 27$ → $m = 4$; $3x + 12 = 42$ → $x = 10$; $7x – 9 = 3x + 11$ → $x = 5$; $6n = -54$ → $n = -9$; $2x + 1 = 5(x – 1)$ → $x = 2$; $y + 5 = 2y + 12$ → $y = -7$; $2x + 4 + x = -20$ → $x = -8$; $-18 = 2 + 4x$ → $x = -5$; $\frac{x}{5} + 3 = 10$ → $x = 35$; $5(m – 4) – 3 = 37$ → $m = 12$; মাজৰটো $2x + 5 = x + 12$ → $x = 7$। খৰগে প্ৰতিটো সমীকৰণৰ শুদ্ধ সমাধানৰ দিশত গৈ টোপোলাটোলৈ পাব।
প্ৰহেলিকা ১, ২, ৩
প্ৰহেলিকা ১: হেৰোৱা সংখ্যাবোৰ উলিওৱা। প্ৰতিটোত ক্ৰমে $+5$, $\times 4$, $-10$, $\div 2$ কৰা হয়। (a) ৯ → … (b) ? → … $= 15$ (c) ? → … $= 29$।
উত্তৰঃ (a) $9 \xrightarrow{+5} 14 \xrightarrow{\times 4} 56 \xrightarrow{-10} 46 \xrightarrow{\div 2} 23$। (b) উজুকৈ ঘূৰি: $15 \times 2 = 30$, $30 + 10 = 40$, $40 \div 4 = 10$, $10 – 5 = 5$ — গতিকে আৰম্ভণিৰ সংখ্যা ৫ (শাৰী: ৫, ১০, ৪০, ৩০, ১৫)। (c) $29 \times 2 = 58$, $58 + 10 = 68$, $68 \div 4 = 17$, $17 – 5 = 12$ — আৰম্ভণিৰ সংখ্যা ১২ (শাৰী: ১২, ১৭, ৬৮, ৫৮, ২৯)।
প্ৰহেলিকা ২: বাকচবোৰ উপযুক্ত সংখ্যাৰে পূৰ কৰা। এটা সংখ্যা $x$-ক এফালে $\times 5$ ($= 5x$) আৰু আনফালে $+5$ ($= x + 5$) কৰি সিহঁতৰ পাৰ্থক্য ($5x – (x + 5) = 4x – 5$) লোৱা হয়। (a) $x = 13$ (b) ফল ৭৫ (c) ফল ৫৯৫।
উত্তৰঃ (a) $5 \times 13 = 65$, $13 + 5 = 18$, $65 – 18 = 47$। (b) $4x – 5 = 75$ → $4x = 80$ → $x = 20$ ($5 \times 20 = 100$, $20 + 5 = 25$, $100 – 25 = 75$)। (c) $4x – 5 = 595$ → $4x = 600$ → $x = 150$ ($5 \times 150 = 750$, $150 + 5 = 155$, $750 – 155 = 595$)।
প্ৰহেলিকা ৩: ১–১০০ৰ ভিতৰত এটা সংখ্যা লোৱা → দুগুণ কৰা → ৪ যোগ কৰা → ৫ ৰে পূৰণ কৰা → ১০ ৰে ভাগ কৰা → ২ বিয়োগ কৰা। শেষত কি সংখ্যা পোৱা যায়?
উত্তৰঃ আৰম্ভণিৰ সংখ্যা $x$ ধৰিলে — $2x \to 2x + 4 \to 5(2x + 4) = 10x + 20 \to \frac{10x + 20}{10} = x + 2 \to (x + 2) – 2 = x$। গতিকে শেষত আৰম্ভণিৰ একে সংখ্যাটোৱেই পোৱা যায়। এইটোৱেই প্ৰথম আৰু শেষ চৰৰ সংখ্যাৰ মাজৰ সাদৃশ্য।
অতিৰিক্ত প্ৰশ্ন আৰু উত্তৰ
বহুবিকল্পীয় প্ৰশ্ন (MCQ)
১। তলৰ কোনটো এটা সমীকৰণ? (ক) $2x + 3$ (খ) $x + 5 = 9$ (গ) $7 – 4$ (ঘ) $3x$
উত্তৰঃ (খ) $x + 5 = 9$ (সমান চিহ্ন থকা বাবে)।
২। $x + 5 = 12$ সমীকৰণৰ সমাধান — (ক) ৫ (খ) ৭ (গ) ১৭ (ঘ) ১২
উত্তৰঃ (খ) ৭।
৩। সমান চিহ্নৰ সোঁফালৰ অংশক বোলে — (ক) LHS (খ) RHS (গ) চলক (ঘ) ধ্ৰুৱক
উত্তৰঃ (খ) RHS (সোঁফালৰ ৰাশি)।
৪। $3x = 15$ ৰ সমাধান — (ক) ৩ (খ) ৪৫ (গ) ৫ (ঘ) ১২
উত্তৰঃ (গ) ৫।
৫। প্ৰচেষ্টা আৰু ভুল পদ্ধতিত আমি — (ক) বেলেগ বেলেগ মান বহুৱাই চাওঁ (খ) লেখ আঁকো (গ) কেৱল ভাগ কৰোঁ (ঘ) একো নকৰোঁ
উত্তৰঃ (ক) বেলেগ বেলেগ মান বহুৱাই চাওঁ।
৬। যদি $a = b$, তেন্তে $a + c =$ ? (ক) $b$ (খ) $b – c$ (গ) $b + c$ (ঘ) $bc$
উত্তৰঃ (গ) $b + c$।
৭। $\frac{x}{4} = 2$ ৰ সমাধান — (ক) ২ (খ) ৬ (গ) ৮ (ঘ) $\frac{1}{2}$
উত্তৰঃ (গ) ৮।
৮। আধুনিক “algebra” শব্দটো কোন শব্দৰ পৰা আহিছে? (ক) al-jabr (খ) varna (গ) siddhanta (ঘ) lilavati
উত্তৰঃ (ক) al-jabr।
৯। তিনিটা ক্ৰমিক অযুগ্ম সংখ্যাৰ যোগফল ৭৫ হ’লে মাজৰ সংখ্যাটো — (ক) ২৩ (খ) ২৫ (গ) ২৭ (ঘ) ২৪
উত্তৰঃ (খ) ২৫।
১০। $2x + 3 = 7$ হ’লে $x =$ ? (ক) ১ (খ) ২ (গ) ৫ (ঘ) ৪
উত্তৰঃ (খ) ২।
খালী ঠাই পূৰ কৰা
১। দুটা ৰাশিৰ মাজৰ সমতা প্ৰকাশ কৰা উক্তিক ______ বোলে। উত্তৰঃ সমীকৰণ।
২। যি মানৰ বাবে সমীকৰণৰ দুয়োপক্ষ সমান হয়, সেই মানক ______ বোলে। উত্তৰঃ সমাধান।
৩। সমীকৰণৰ উভয়পক্ষক একে ______ সংখ্যাৰে হৰণ কৰিব পাৰি ($c \ne 0$)। উত্তৰঃ অশূন্য।
৪। যোগ আৰু বিয়োগ পৰস্পৰ ______ প্ৰক্ৰিয়া। উত্তৰঃ বিপৰীত।
৫। এটা সমাধানৰ পৰা ______ সমীকৰণ গঠন কৰিব পাৰি। উত্তৰঃ অনেক (বহুতো)।
শুদ্ধ নে অশুদ্ধ লিখা
১। সমীকৰণৰ কেৱল এটা নিৰ্দিষ্ট মানৰ বাবেহে দুয়োপক্ষ সমান হয়। উত্তৰঃ শুদ্ধ।
২। সমীকৰণৰ এফালৰ পৰা এটা সংখ্যা আঁতৰালে আনফালৰ পৰাও একে সংখ্যা আঁতৰাব নালাগে। উত্তৰঃ অশুদ্ধ (সমতা ৰাখিবলৈ উভয়ফালৰ পৰাই একে সংখ্যা আঁতৰাব লাগে)।
৩। $x + 5 = 12$ আৰু $x + 6 = 13$ ৰ সমাধান একে। উত্তৰঃ শুদ্ধ (দুয়োটাৰে $x = 7$)।
৪। ‘$\ne$’ চিহ্নে ‘সমান নহয়’ বুজায়। উত্তৰঃ শুদ্ধ।
৫। ব্ৰহ্মগুপ্তই সমীকৰণৰ সমাধানৰ বাবে এটা সূত্ৰ দিছিল। উত্তৰঃ শুদ্ধ।
চমু প্ৰশ্ন-উত্তৰ
১। সমীকৰণ কাক বোলে?
উত্তৰঃ দুটা বীজগণিতীয় ৰাশিৰ, বা এটা বীজগণিতীয় ৰাশি আৰু এটা পাটীগণিতীয় ৰাশিৰ মাজত সমতা প্ৰকাশ কৰা উক্তিক সমীকৰণ বোলে।
২। LHS আৰু RHS মানে কি?
উত্তৰঃ সমীকৰণৰ সমান চিহ্নৰ বাওঁফালৰ অংশক LHS (বাওঁফালৰ ৰাশি) আৰু সোঁফালৰ অংশক RHS (সোঁফালৰ ৰাশি) বোলে।
৩। $2x + 3 = 11$ সমাধান কৰি শুদ্ধতা পৰীক্ষা কৰা।
উত্তৰঃ $2x = 11 – 3 = 8$ → $x = 4$। পৰীক্ষা: $2 \times 4 + 3 = 11 = $ সোঁফাল — সমাধান শুদ্ধ।
৪। প্ৰচেষ্টা আৰু ভুল পদ্ধতি চমুকৈ বৰ্ণনা কৰা।
উত্তৰঃ এই পদ্ধতিত অজ্ঞাত ৰাশিৰ ঠাইত বেলেগ বেলেগ মান বহুৱাই কোনটো নিৰ্দিষ্ট মানৰ বাবে বাওঁফাল = সোঁফাল হয় সেয়া পৰীক্ষা কৰা হয়; সেই মানটোৱেই সমীকৰণৰ সমাধান।
শব্দাৰ্থ
| অসমীয়া শব্দ | English term | অৰ্থ |
|---|---|---|
| সমীকৰণ | Equation | দুটা ৰাশিৰ মাজত সমতা প্ৰকাশ কৰা উক্তি |
| সমতা | Equality | দুয়োফাল একে মান হোৱা অৱস্থা |
| অজ্ঞাত ৰাশি | Unknown / Variable | মান জনা নথকা আখৰ-সংখ্যা (যেনে $x, n$) |
| বাওঁফালৰ ৰাশি | Left Hand Side (LHS) | সমান চিহ্নৰ বাওঁফালৰ অংশ |
| সোঁফালৰ ৰাশি | Right Hand Side (RHS) | সমান চিহ্নৰ সোঁফালৰ অংশ |
| সমাধান | Solution / Root | যি মানৰ বাবে LHS = RHS হয় |
| প্ৰচেষ্টা আৰু ভুল পদ্ধতি | Trial and Error method | মান বহুৱাই সমাধান বিচৰা পদ্ধতি |
| স্বতঃসিদ্ধ | Axiom | প্ৰমাণৰ প্ৰয়োজন নোহোৱা স্বীকৃত সত্য |
| বিপৰীত প্ৰক্ৰিয়া | Inverse operation | যোগ-বিয়োগ বা পূৰণ-হৰণৰ দৰে বিপৰীতমুখী ক্ৰিয়া |
| শুদ্ধতা পৰীক্ষণ | Verification | সমাধান শুদ্ধ নে নহয় পৰীক্ষা কৰা |
| বীজগণিতীয় ৰাশি | Algebraic expression | আখৰ-সংখ্যা থকা ৰাশি |
| পাটীগণিতীয় ৰাশি | Arithmetic expression | কেৱল সংখ্যা থকা ৰাশি |