জ্যামিতিক অংকন — প্ৰশ্ন উত্তৰ
HSLC Guru-ত আপোনাক স্বাগতম। এই পাঠত ASSEB Class 7 নতুন গণিতৰ চতুৰ্দশ অধ্যায় জ্যামিতিক অংকনৰ প্ৰতিটো অংকন — লম্ব সমদ্বিখণ্ডক, সমকোণ, কোণৰ সমদ্বিখণ্ডক, সমমানৰ কোণ, সমান্তৰাল ৰেখা, সুষম ষড়ভুজ আৰু টাইলিং — কম্পাছ-স্কেলৰ সহায়ত ধাপে ধাপে বুজোৱা হৈছে, লগতে পাঠ্যপুথিৰ প্ৰতিটো “কৰি চাওঁ আহা” বাকচ, ক্ৰিয়া-কলাপ আৰু অনুশীলনী ১৪-ৰ সম্পূৰ্ণ সমাধান বিচাৰি পাব।
সাৰাংশ
এটা ৰেখাখণ্ডক সমান দুভাগত ভাগ কৰাক সমদ্বিখণ্ডন বোলে; আৰু যি ৰেখাই ৰেখাখণ্ডক লম্বভাৱে (৯০° কোণ কৰি) সমদ্বিখণ্ডিত কৰে তাক লম্ব সমদ্বিখণ্ডক বোলে। কোনো ৰেখাখণ্ডৰ দুই প্ৰান্তবিন্দুৰ পৰা সমদূৰত্বত থকা যিকোনো বিন্দু ইয়াৰ লম্ব সমদ্বিখণ্ডকৰ ওপৰত থাকে — এই ধৰ্মটোৰ ওপৰতেই ৰঙোলীৰ পাত-সদৃশ আকৃতি আৰু বহুতো অংকন নিৰ্ভৰ কৰে।
কম্পাছ আৰু স্কেলৰ সহায়ত আমি লম্ব সমদ্বিখণ্ডক, যিকোনো বিন্দুত সমকোণ, এটা কোণৰ সমদ্বিখণ্ডক, এটা কোণৰ সমমানৰ আন এটা কোণ (নজুখাকৈ), এডাল ৰেখাৰ সমান্তৰাল ৰেখা, ৬০° কোণ আৰু সুষম ষড়ভুজ অংকন কৰিব পাৰোঁ। ৬০° কোণৰ পৰাই সমবাহু ত্ৰিভুজ আৰু সুষম ষড়ভুজ পোৱা যায়; এটা সুষম ষড়ভুজ প্ৰকৃততে ৬টা সৰ্বাংগসম সমবাহু ত্ৰিভুজেৰে গঠিত আৰু ইয়াৰ প্ৰতিটো অন্তঃকোণ ১২০°।
শেষত টাইলিং — অৰ্থাৎ একে বা বেলেগ আকৃতিৰে ফাঁক নাৰাখি আৰু ওপৰা-উপৰি নকৰি কোনো পৃষ্ঠ ঢাকি দিয়াৰ পদ্ধতি — শিকা হয়। 2×1 টাইলেৰে টাইলিং সম্ভৱনে জানিবলৈ কোষৰ সংখ্যা জোৰ হ’বই লাগিব, লগতে ‘দবা-চিত্ৰ’ (চেকাৰবৰ্ড) চিহ্নন পদ্ধতিৰে চিহ্নিত আৰু খালী কোষৰ সংখ্যা সমান হ’ব লাগিব।
Summary: This ASSEB Class 7 New Mathematics Chapter 14 (Geometric Constructions) guide shows, step by step with compass and straightedge, how to construct a perpendicular bisector, a right angle at any point on a segment, the bisector of an angle, an angle equal to a given angle, a parallel line, a 60° angle and a regular hexagon, and it explains tiling (tessellation) with the checkerboard test. It solves every “Work it Out” box (কৰি চাওঁ আহা 14.1–14.7), the hexagon activity and all of Exercise 14, with inline figures for each construction.
জ্যামিতিক অংকনৰ পদ্ধতিসমূহ
লম্ব সমদ্বিখণ্ডক অংকন (১৪.২)
- ষ্টেপ ১: P বিন্দুক কেন্দ্ৰ কৰি PQ-ৰ আধা দৈৰ্ঘ্যতকৈ বেছি এটা ব্যাসাৰ্ধ লৈ PQ-ৰ ওপৰত আৰু তলত দুটা চাপ অংকন কৰা।
- ষ্টেপ ২: এতিয়া Q বিন্দুক কেন্দ্ৰ কৰি সেই একে ব্যাসাৰ্ধেৰে আৰু দুটা চাপ অংকন কৰা। ওপৰত আৰু তলত পূৰ্বৰ চাপবোৰক এই চাপবোৰে ছেদ কৰা বিন্দু দুটাক ক্ৰমে M আৰু N নাম দিয়া।
- ষ্টেপ ৩: M আৰু N সংযোগ কৰি অংকন কৰা ৰেখাখণ্ড MN-ই হৈছে PQ-ৰ লম্ব সমদ্বিখণ্ডক। ই PQ-ক O বিন্দুত সমান দুভাগত (PO = OQ) ভাগ কৰে আৰু O-ত ৯০° কোণ গঠন কৰে।
ৰেখাখণ্ডৰ যিকোনো বিন্দুত সমকোণ (৯০°) অংকন (১৪.৩)
- ষ্টেপ ১: দিয়া ৰেখাখণ্ডত O বিন্দুৰ দুয়োফালে কম্পাছেৰে সমান দূৰত্বত A আৰু B বিন্দু লোৱা, যাতে AO = BO — অৰ্থাৎ O হৈছে AB-ৰ মধ্যবিন্দু।
- ষ্টেপ ২: যিহেতু O হৈছে AB-ৰ মধ্যবিন্দু, AB-ৰ লম্ব সমদ্বিখণ্ডকডাল O-ৰেই মাজেৰে যাব। গতিকে A আৰু B-ৰ পৰা সমান ব্যাসাৰ্ধৰ এযোৰ চাপ (ওপৰত বা তলত) অংকন কৰি ছেদবিন্দু P পোৱা, আৰু PO সংযোগ কৰা। PO-ই O বিন্দুত ৯০° কোণ গঠন কৰে।
কোণৰ সমদ্বিখণ্ডক অংকন (১৪.৪)
- ষ্টেপ ১: দিয়া কোণ $\angle PQR$-ৰ শীৰ্ষ Q-ক কেন্দ্ৰ কৰি এটা চাপ অংকন কৰা যাতে ই QP আৰু QR বাহু দুটাক ক্ৰমে X আৰু Y বিন্দুত ছেদ কৰে। ইয়াত QX = QY (একে ব্যাসাৰ্ধ)।
- ষ্টেপ ২: এতিয়া X আৰু Y-ক কেন্দ্ৰ কৰি সমান ব্যাসাৰ্ধৰ দুটা চাপ অংকন কৰি ছেদবিন্দু Z পোৱা। Q আৰু Z সংযোগ কৰা; QZ-ই হৈছে $\angle PQR$-ৰ সমদ্বিখণ্ডক, অৰ্থাৎ $\angle PQZ = \angle RQZ$।
এটা কোণৰ সমমানৰ কোণ অংকন (১৪.৫)
- ষ্টেপ ১: এটা ৰেখাখণ্ড PQ অংকন কৰা। এতিয়া $\angle ABC$-ৰ শীৰ্ষ B-ক কেন্দ্ৰ কৰি এটা চাপ অংকন কৰা, যিয়ে BA আৰু BC-ক ক্ৰমে X আৰু Y-ত ছেদ কৰে।
- ষ্টেপ ২: সেই একে ব্যাসাৰ্ধ লৈ P-ক কেন্দ্ৰ কৰি এটা চাপ অংকন কৰা যিয়ে PQ-ক M বিন্দুত ছেদ কৰে।
- ষ্টেপ ৩: কম্পাছেৰে XY দূৰত্বটো জুখি লোৱা, আৰু M-ৰ পৰা সেই দূৰত্বৰ এটা চাপ অংকন কৰি আগৰ চাপটোক N বিন্দুত ছেদ কৰোৱা। P আৰু N সংযোগ কৰা; $\angle NPQ = \angle ABC$।
সমান্তৰাল ৰেখা অংকন (১৪.৬)
- ষ্টেপ ১: দিয়া ৰেখা p-ক X বিন্দুত ছেদ কৰা এডাল ছেদক q অংকন কৰা। q-ৰ ওপৰত যিকোনো এটা বিন্দু Y লোৱা, যাৰ মাজেৰে p-ৰ সমান্তৰাল ৰেখা যাব।
- ষ্টেপ ২: X আৰু Y-ক কেন্দ্ৰ কৰি সমান ব্যাসাৰ্ধৰ চাপ অংকন কৰা। X-ৰ চাপে p আৰু q-ক A আৰু B-ত, আৰু Y-ৰ চাপে q-ক C-ত ছেদ কৰে।
- ষ্টেপ ৩: কম্পাছেৰে AB দূৰত্ব লৈ C-ৰ পৰা এটা চাপ অংকন কৰি আগৰ চাপটোক D বিন্দুত ছেদ কৰোৱা।
- ষ্টেপ ৪: Y আৰু D-ৰ মাজেৰে ৰেখা r অংকন কৰা। ছেদকে সমান্তৰাল ৰেখা কাটিলে অনুৰূপ কোণ সমান হোৱাৰ বাবে r ∥ p হয়।
সুষম ষড়ভুজ আৰু ৬টা সমবাহু ত্ৰিভুজ (১৪.৮)
এটা সুষম ষড়ভুজৰ কৰ্ণবোৰ অংকন কৰিলে কেন্দ্ৰ O-ত ৬টা ত্ৰিভুজ পোৱা যায়। কেন্দ্ৰত গঠিত ৬টা কোণৰ যোগফল ৩৬০°, গতিকে প্ৰতিটো কোণ $360° ÷ 6 = 60°$। O-ৰ পৰা প্ৰতিটো শীৰ্ষলৈ দূৰত্ব সমান হোৱাত প্ৰতিটো ত্ৰিভুজ সমদ্বিবাহু, আৰু শীৰ্ষকোণ ৬০° হোৱা বাবে সেইবোৰ প্ৰকৃততে সমবাহু ত্ৰিভুজ। সেয়ে সুষম ষড়ভুজ ৬টা সৰ্বাংগসম সমবাহু ত্ৰিভুজেৰে গঠিত আৰু প্ৰতিটো অন্তঃকোণ $60° + 60° = 120°$।
অংকন: এটা ৰেখাখণ্ড AX লৈ A-ক কেন্দ্ৰ কৰি এটা চাপেৰে AX-ৰ ওপৰত B পোৱা, তাৰ পাছত B-ক কেন্দ্ৰ কৰি একে ব্যাসাৰ্ধৰ চাপে আগৰ চাপক C-ত ছেদ কৰোৱা; AB = BC = CA হোৱাত $\angle CAB = 60°$ পোৱা যায়। এতিয়া ৩ চে.মি. দৈৰ্ঘ্যৰ PQ লৈ Q-ত ৬০° বহিঃকোণ অংকন কৰি QR = ৩ চে.মি., তাৰ পাছত প্ৰতিটো শীৰ্ষত ৬০° বহিঃকোণ অংকন কৰি একে প্ৰক্ৰিয়াৰে সুষম ষড়ভুজটো সম্পূৰ্ণ কৰা।
টাইলিং (১৪.১০)
এটা 5×4 জালিকাত ২০টা একক বৰ্গ আছে; ইয়াক 2×1 টাইলেৰে (প্ৰতিটো টাইলত ২টা একক বৰ্গ) সম্পূৰ্ণৰূপে ঢাকিব পাৰি — যেনে প্ৰতিটো শাৰীত দুটা কৈ অনুভূমিক টাইল বহুৱাই ১০টা টাইলেৰে টাইলিং সম্ভৱ।
কিন্তু কোষৰ সংখ্যা জোৰ হ’লেও সদায় টাইলিং সম্ভৱ নহয়। জানিবলৈ জালিকাখনক দবা-চিত্ৰৰ দৰে এৰি-এৰি চিহ্নিত কৰা — এটা 2×1 টাইলে সদায় এটা চিহ্নিত আৰু এটা খালী কোষ ঢাকে, গতিকে চিহ্নিত আৰু খালী কোষৰ সংখ্যা সমান হ’লেহে টাইলিং সম্ভৱ। তলৰ 3×5 জালিকাত চিহ্নিত ৮টা কিন্তু খালী ৭টা — অসমান, সেয়ে ইয়াক 2×1 টাইলেৰে ঢাকিব নোৱাৰি।
সুষম ষড়ভুজ, সমবাহু ত্ৰিভুজ আৰু বৰ্গৰ দৰে সুষম বহুভুজেৰেও ফাঁক নাৰাখি টাইলিং কৰিব পাৰি। তলৰ চিত্ৰত সুষম ষড়ভুজেৰে গঠিত মৌচাক-সদৃশ টাইলিং দেখুওৱা হৈছে।
পাঠ্যপুথিৰ প্ৰশ্ন আৰু উত্তৰ
কৰি চাওঁ আহা ১৪.১
১। XY ৰেখাখণ্ডৰ লম্ব সমদ্বিখণ্ডকডাল X অথবা Y বিন্দুৰে পাৰ হ’ব পাৰেনে? কাৰণ দিয়া।
উত্তৰঃ নোৱাৰে। লম্ব সমদ্বিখণ্ডকডাল XY-ৰ মধ্যবিন্দু O-ৰেই মাজেৰে যায় আৰু XY-ৰ ওপৰত কেৱল সেই এটা বিন্দুতহে (O) মিলে। X আৰু Y হৈছে প্ৰান্তবিন্দু, মধ্যবিন্দু নহয়। যদি লম্ব সমদ্বিখণ্ডকে X-ৰেও পাৰ হ’লহেঁতেন, তেন্তে ই XY-ক দুটা বিন্দুত (O আৰু X) ছেদ কৰিলেহেঁতেন — কিন্তু দুডাল বেলেগ ৰেখা কেৱল এটা বিন্দুতহে ছেদ হয়। গতিকে ই X বা Y-ৰে পাৰ হ’ব নোৱাৰে।
২। XY-ৰ লম্ব সমদ্বিখণ্ডকৰ ওপৰত নথকা এটা বিন্দু P-ৰ বাবে PX আৰু PY সমান হ’ব পাৰেনে? উত্তৰৰ সপক্ষে কাৰণ দিয়া।
উত্তৰঃ নোৱাৰে। XY-ৰ দুই প্ৰান্তবিন্দুৰ পৰা সমদূৰত্বত থকা প্ৰতিটো বিন্দু ইয়াৰ লম্ব সমদ্বিখণ্ডকৰ ওপৰত থাকে, আৰু ইয়াৰ বিপৰীতে লম্ব সমদ্বিখণ্ডকৰ ওপৰৰ বিন্দুবোৰেহে X আৰু Y-ৰ পৰা সমদূৰত্বত থাকে। গতিকে P যদি লম্ব সমদ্বিখণ্ডকৰ ওপৰত নাথাকে, তেন্তে $PX \ne PY$।
৩। X আৰু Y বিন্দুৰ পৰা একে ব্যাসাৰ্ধেৰে দুযোৰ ছেদক চাপ এনেদৰে অংকন কৰা যাতে ছেদবিন্দু দুটা সংযোগী ৰেখাডাল XY-ৰ লম্ব সমদ্বিখণ্ডক নহয়। এনে অংকন সম্ভৱনে? কাৰণ দিয়া।
উত্তৰঃ সম্ভৱ নহয়। যদি X আৰু Y-ৰ পৰা একে ব্যাসাৰ্ধৰ চাপ অংকন কৰা হয়, তেন্তে সিহঁতৰ প্ৰতিটো ছেদবিন্দু X আৰু Y-ৰ পৰা সমদূৰত্বত থাকে, গতিকে দুয়োটা ছেদবিন্দুৱেই লম্ব সমদ্বিখণ্ডকৰ ওপৰত পৰে আৰু সিহঁতক সংযোগ কৰা ৰেখাডালেই লম্ব সমদ্বিখণ্ডক হয়। (কেৱল ব্যাসাৰ্ধ অসমান হ’লেহে সংযোগী ৰেখা লম্ব সমদ্বিখণ্ডক নহয়।) গতিকে একে ব্যাসাৰ্ধেৰে এনে অংকন সম্ভৱ নহয়।
৪। XY-ৰ ওপৰত এযোৰ আৰু তলত এযোৰ ছেদক চাপ অংকন নকৰি, কেৱল XY-ৰ এফালে দুযোৰ ছেদক চাপ অংকন কৰি লম্ব সমদ্বিখণ্ডক পোৱা যাবনে?
উত্তৰঃ হয়, পোৱা যাব। XY-ৰ একেফালে দুটা বেলেগ (কিন্তু প্ৰতিযোৰত সমান) ব্যাসাৰ্ধেৰে দুটা ছেদবিন্দু পালে, সেই দুয়োটাই X আৰু Y-ৰ পৰা সমদূৰত্বত থাকে বাবে লম্ব সমদ্বিখণ্ডকৰ ওপৰত পৰে। দুটা বেলেগ বিন্দুৱে এডাল ৰেখা নিৰ্ধাৰণ কৰে, গতিকে সেই দুটা বিন্দু সংযোগ কৰি (বঢ়াই) লম্ব সমদ্বিখণ্ডকডাল পাব পাৰি।
৫। লম্ব সমদ্বিখণ্ডক অংকন কৰোঁতে XY-ৰ ওপৰফালে আৰু তলফালে একে ব্যাসাৰ্ধৰ চাপ অংকন কৰাটো প্ৰয়োজনীয়নে? বেলেগ ব্যাসাৰ্ধৰ চাপ অংকন কৰিলে কি হ’ব? চিত্ৰ আঁকি যুক্তি বিচাৰ কৰা।
উত্তৰঃ ওপৰফালৰ যোৰ আৰু তলফালৰ যোৰৰ ব্যাসাৰ্ধ ইটোৱে সিটোৰ সৈতে সমান হোৱাটো জৰুৰী নহয়। জৰুৰী কথাটো হ’ল — এটা ছেদবিন্দুত মিলা X-ৰ চাপ আৰু Y-ৰ চাপ দুটাৰ ব্যাসাৰ্ধ সমান হ’ব লাগে, তেতিয়াহে সেই বিন্দুটো X আৰু Y-ৰ পৰা সমদূৰত্বত থাকিব। ওপৰৰ বিন্দুৰ বাবে লোৱা ব্যাসাৰ্ধ তলৰ বিন্দুৰ বাবে লোৱা ব্যাসাৰ্ধতকৈ বেলেগ হ’লেও অসুবিধা নাই। কিন্তু কোনো এটা ছেদবিন্দুত X আৰু Y-ৰ চাপৰ ব্যাসাৰ্ধ বেলেগ হ’লে সেই বিন্দুটো সমদূৰত্বত নাথাকে, ফলত সংযোগী ৰেখাডাল লম্ব সমদ্বিখণ্ডক নহয়। চিত্ৰ আঁকিলে দেখা যায় সমদূৰত্বৰ দুটা বিন্দুৰ মাজেৰে যোৱা ৰেখাডালেহে লম্ব সমদ্বিখণ্ডক।
কৰি চাওঁ আহা ১৪.২
১। যিকোনো মানৰ ৫টা কোণ আঁকি প্ৰতিটোৰ বাবে সমদ্বিখণ্ডক অংকন কৰা।
উত্তৰঃ প্ৰতিটো কোণ $\angle PQR$-ৰ বাবে একেটা পদ্ধতি: শীৰ্ষ Q-ক কেন্দ্ৰ কৰি এটা চাপেৰে বাহু দুটাত X আৰু Y চিহ্নিত কৰা; তাৰ পাছত X আৰু Y-ৰ পৰা সমান ব্যাসাৰ্ধৰ দুটা চাপে Z-ত ছেদ কৰোৱা; Q আৰু Z সংযোগ কৰা — QZ-ই সমদ্বিখণ্ডক। এইদৰে ৫টা বেলেগ মানৰ কোণৰ (যেনে ৫০°, ৭০°, ৯০°, ১১০°, ১৪০°) প্ৰতিটোৰ সমদ্বিখণ্ডক অংকন কৰিব পাৰি।
২। কোণ সমদ্বিখণ্ডক অংকনৰ দ্বিতীয় ষ্টেপত সমান ব্যাসাৰ্ধৰ চাপ দুটা কোণটোৰ ভিতৰত ছেদ কৰাইছিলোঁ। এই চাপ দুটা যদি কোণটোৰ বাহিৰত (কাষৰ চিত্ৰৰ দৰে) অংকন কৰা হয়, তেন্তে ZQ ৰেখাডাল কোণটোৰ সমদ্বিখণ্ডক হ’বনে?
উত্তৰঃ হয়, হ’ব। চাপ দুটা কোণটোৰ বাহিৰত ছেদ কৰিলেও ছেদবিন্দু Z-এ X আৰু Y-ৰ পৰা সমান দূৰত্বত থাকে (সমান ব্যাসাৰ্ধ), আৰু QX = QY। গতিকে $\triangle XQZ \cong \triangle YQZ$ (বাহু-বাহু-বাহু), যাৰ পৰা $\angle XQZ = \angle YQZ$। ফলত ZQ ৰেখাডাল একেটা সমদ্বিখণ্ডক ৰেখাৰ ওপৰতেই থাকে, গতিকে ই $\angle PQR$-ক সমান দুভাগত বিভক্ত কৰে।
৩। কোণ সমদ্বিখণ্ডকৰ সহায়ত চিত্ৰ ১৪.১১(i)-ক (৪টা পাহিৰ) দিয়া চিত্ৰটোলৈ (৮টা পাহিৰ) ৰূপান্তৰিত কৰা।
উত্তৰঃ মূল চিত্ৰত কেন্দ্ৰত ৪টা ভিত্তি-ৰেখাই ৩৬০°-ক ৪ ভাগত ভাগ কৰিছে, প্ৰতিটো কোণ ৯০°। এতিয়া প্ৰতিটো ৯০° কোণক সমদ্বিখণ্ডিত কৰিলে ৪৫° কৈ কোণ পোৱা যায় আৰু ৪টা নতুন ভিত্তি-ৰেখা সৃষ্টি হয়। এই ৪টা নতুন ৪৫° ভিত্তি-ৰেখাৰ প্ৰতিটোৰ ওপৰত এটাকৈ নতুন পাহি (লম্ব সমদ্বিখণ্ডকৰ চাপেৰে পাত-আকৃতি) অংকন কৰিলে মুঠ ৮টা পাহিৰ চিত্ৰটো পোৱা যায়।
৪। কোণ সমদ্বিখণ্ডকৰ সহায়ত ১৩৫° আৰু ৬৭.৫° কোণ অংকন কৰা। ২২.৫° কোণ অংকনৰ চেষ্টা কৰা।
উত্তৰঃ প্ৰথমে এটা বিন্দুত সৰলৰেখাৰ ওপৰত ৯০° কোণ অংকন কৰা; তেতিয়া ৯০° ৰেখা আৰু সৰলৰেখাৰ আন এফালৰ (৯০° পৰা ১৮০° পৰ্যন্ত) মাজৰ ৯০° কোণটোক সমদ্বিখণ্ডিত কৰিলে $90° + 45° = 135°$ কোণ পোৱা যায়। এতিয়া সেই ১৩৫° কোণটোক সমদ্বিখণ্ডিত কৰিলে $135° ÷ 2 = 67.5°$ পোৱা যায়। আৰু ৪৫° কোণ (৯০°-ৰ সমদ্বিখণ্ডক) অংকন কৰি তাক পুনৰ সমদ্বিখণ্ডিত কৰিলে $45° ÷ 2 = 22.5°$ কোণ পোৱা যায়।
৫। এডাল ৰচীৰ সহায়ত কোণ সমদ্বিখণ্ডক অংকন কৰাৰ পদ্ধতি উলিওৱাৰ চেষ্টা কৰা।
উত্তৰঃ শুল্বসূত্ৰৰ পদ্ধতিৰ দৰে ৰচীৰে সমান দূৰত্ব জোখা হয়। কোণটোৰ শীৰ্ষ Q-ৰ পৰা ৰচীৰে দুয়োটা বাহুত সমান দৈৰ্ঘ্য জুখি X আৰু Y চিহ্নিত কৰা (QX = QY)। তাৰ পাছত X আৰু Y-ৰ পৰা ৰচীৰ সমান দৈৰ্ঘ্য টানি এটা উমৈহতীয়া বিন্দু Z-ত মিলোৱা (XZ = YZ)। এতিয়া Q আৰু Z সংযোগ কৰিলে QZ-ই কোণটোৰ সমদ্বিখণ্ডক হয় — ইয়াত ৰচীয়ে কম্পাছৰ কাম কৰে।
৬। কাষৰ চিত্ৰটো অংকন কৰা। ফুলৰ পাহিবোৰ এনেদৰে অংকন কৰা যাতে সেয়া বৰ্গটোৰ সৰ্বাধিক কালি ঢাকি ধৰে।
উত্তৰঃ এখন বৰ্গ আঁকি ইয়াৰ দুয়োটা কৰ্ণ আৰু বিপৰীত বাহুৰ মধ্যবিন্দু সংযোগী দুডাল ৰেখা অংকন কৰা — এই ৪ ডাল ৰেখাই কেন্দ্ৰত ৩৬০°-ক ৪৫° কৈ ৮ ভাগত ভাগ কৰে (কেন্দ্ৰীয় সমকোণবোৰ সমদ্বিখণ্ডিত হয়)। প্ৰতিটো ৪৫° ভিত্তি-ৰেখাৰ ওপৰত লম্ব সমদ্বিখণ্ডকৰ চাপেৰে এটাকৈ পাহি (পাত-আকৃতি) অংকন কৰা; পাহিবোৰ যথেষ্ট বহল লৈ আঁকিলে সেয়া বৰ্গটোৰ সৰ্বাধিক কালি ঢাকি ধৰে।
কৰি চাওঁ আহা ১৪.৩
১। ওপৰৰ অংকন প্ৰক্ৰিয়াত $\angle NPQ$ যে $\angle ABC$-ৰ সমান হয় তাৰ যুক্তি উপস্থাপন কৰা।
উত্তৰঃ অংকনত B-ৰ পৰা লোৱা চাপ আৰু P-ৰ পৰা লোৱা চাপ একে ব্যাসাৰ্ধৰ, গতিকে BX = BY = PM = PN। আকৌ কম্পাছেৰে XY দূৰত্ব লৈ MN অংকন কৰাত MN = XY। এতিয়া $\triangle BXY$ আৰু $\triangle PMN$-ত — BX = PM, BY = PN (সমান ব্যাসাৰ্ধ) আৰু XY = MN (স্থানান্তৰিত)। গতিকে বাহু-বাহু-বাহু চৰ্তত $\triangle BXY \cong \triangle PMN$, সেয়ে অনুৰূপ কোণ $\angle XBY = \angle MPN$, অৰ্থাৎ $\angle ABC = \angle NPQ$।
২। স্কেল আৰু কম্পাছৰ সহায়ত তলত দিয়া কোণবোৰৰ সমমানৰ কোণ অংকন কৰা।
উত্তৰঃ চিত্ৰত দিয়া প্ৰতিটো কোণৰ বাবে ওপৰৰ ‘এটা কোণৰ সমমানৰ কোণ অংকন’ পদ্ধতিটোৱেই প্ৰয়োগ কৰিব লাগে — কোণটো নজুখাকৈ: শীৰ্ষত এটা চাপ আঁকি বাহু দুটাত ছেদবিন্দু লোৱা, নতুন ৰেখাখণ্ডত একে ব্যাসাৰ্ধৰ চাপ আঁকি এটা ছেদবিন্দু লোৱা, তাৰ পাছত কম্পাছেৰে দুই ছেদবিন্দুৰ মাজৰ দূৰত্ব স্থানান্তৰ কৰি নতুন ছেদবিন্দু পোৱা আৰু শীৰ্ষৰ সৈতে সংযোগ কৰা। এইদৰে দিয়া প্ৰতিটো কোণৰ (আনুমানিকভাৱে যিকোনো মানৰ) সমান কোণ পোৱা যায়।
কৰি চাওঁ আহা ১৪.৪
১। তলত দিয়া (a), (b), (c) ৰেখাবোৰৰ প্ৰতিটোৰে সমমানৰ কোণ অংকন পদ্ধতিৰে এডাল সমান্তৰাল ৰেখা অংকন কৰা।
উত্তৰঃ প্ৰতিটো ৰেখাৰ বাবে একেটা পদ্ধতি: দিয়া ৰেখাক এটা বিন্দু X-ত ছেদ কৰা এডাল ছেদক আঁকা, ছেদকৰ ওপৰত এটা বিন্দু Y লোৱা; তাৰ পাছত Y-ত ছেদকৰ লগত ঠিক সেই অনুৰূপ কোণটো (X-ত থকা কোণৰ সমান) অংকন কৰা। ছেদকে দুডাল সমান্তৰাল ৰেখা কাটিলে অনুৰূপ কোণ সমান হয় বাবে Y-ৰ মাজেৰে যোৱা নতুন ৰেখাডাল দিয়া ৰেখাৰ সমান্তৰাল হয়। এইদৰে (a), (b), (c) প্ৰতিটোৰে সমান্তৰাল ৰেখা পোৱা যায়।
কৰি চাওঁ আহা ১৪.৫
১। তোমালোকৰ নিজৰ পছন্দৰ খিলানৰ নক্সা কিছুমান আঁকা।
উত্তৰঃ এইটো এটা অংকন-কাৰ্য। ত্ৰিপত্ৰ খিলানৰ পদ্ধতিটো (এটা সমবাহু ত্ৰিভুজ আঁকি, ভূমিৰ মধ্যবিন্দুৰ পৰা চাপ আৰু ওপৰত অৰ্ধবৃত্ত অংকন কৰি) কাজত লগাই বিভিন্ন খিলান আঁকিব পাৰি। ভিন্ন ব্যাসাৰ্ধৰ চাপ, অৰ্ধবৃত্ত আৰু সমবাহু ত্ৰিভুজৰ ভিত্তি ব্যৱহাৰ কৰি নিজৰ পছন্দৰ কেইখনমান খিলানৰ নক্সা আঁকা।
২। দিৱান-ই-আম, লালকিল্লা আদিত দেখা পোৱা খিলানবোৰ আঁকিবলৈ চেষ্টা কৰা।
উত্তৰঃ এইটোও অংকন-কাৰ্য। দিৱান-ই-আম আৰু লালকিল্লাৰ খিলানবোৰ বেছিভাগেই সূচলো (cusped/multifoil) বা খোঁচযুক্ত খিলান। এইবোৰ অংকন কৰিবলৈ সমবাহু ত্ৰিভুজৰ ভিত্তিত বিভিন্ন কেন্দ্ৰৰ পৰা একাধিক বৃত্তীয় চাপ অংকন কৰি সেইবোৰ যোৰা লগাব লাগে; মূল ধাৰণাটো একেই — সমান ব্যাসাৰ্ধৰ চাপ আৰু সমবাহু ত্ৰিভুজৰ ৬০° কোণৰ সহায়ত সমমিত আকৃতি গঠন কৰা।
ক্ৰিয়া-কলাপ (সুষম ষড়ভুজ)
চিত্ৰ ১৪.১৯-ৰ সুষম ষড়ভুজটো নোটবুকত আঁকি কৰ্ণ টানি পোৱা ৬টা ত্ৰিভুজ কাটি উলিয়াই ইটোৰ ওপৰত সিটো ৰাখা। কি দেখিলা? ৬টা ত্ৰিভুজ সম্পূৰ্ণৰূপে মিলিলনে? $\angle 1 = \angle 2 = \angle 3 = \angle 4 = \angle 5 = \angle 6$ নে?
উত্তৰঃ ৬টা ত্ৰিভুজ ইটোৰ ওপৰত সিটো ৰাখিলে সিহঁত সম্পূৰ্ণৰূপে মিলি যায় — অৰ্থাৎ সিহঁত সৰ্বাংগসম। কেন্দ্ৰত গঠিত ৬টা কোণৰ যোগফল $360°$, গতিকে $\angle 1 + \angle 2 + \angle 3 + \angle 4 + \angle 5 + \angle 6 = 360°$, অৰ্থাৎ $6 \angle 1 = 360°$ বা $\angle 1 = 60°$। সেয়ে $\angle 1 = \angle 2 = \angle 3 = \angle 4 = \angle 5 = \angle 6 = 60°$। কেন্দ্ৰৰ পৰা প্ৰতিটো শীৰ্ষলৈ দূৰত্ব সমান (একেটা বৃত্তৰ ব্যাসাৰ্ধ) হোৱাত প্ৰতিটো ত্ৰিভুজ সমদ্বিবাহু, আৰু শীৰ্ষকোণ ৬০° হোৱা বাবে সেইবোৰ সমবাহু ত্ৰিভুজ। গতিকে এটা সুষম ষড়ভুজ ৬টা সৰ্বাংগসম সমবাহু ত্ৰিভুজেৰে গঠিত, আৰু ইয়াৰ প্ৰতিটো অন্তঃকোণ $60° + 60° = 120°$।
কৰি চাওঁ আহা ১৪.৬
১। তলৰ জ্যামিতিক আকৃতিবোৰ অংকন কৰা — (a) ঘুৰী, (b) বৃত্তত অন্তৰ্লিখিত সমবাহু ত্ৰিভুজ, (c) বৃত্তত অন্তৰ্লিখিত ষড়ভুজ, (d) পৰস্পৰ স্পৰ্শ কৰা চাৰিটা বৃত্তৰ কেন্দ্ৰ সংযোগ কৰি পোৱা এটা বৰ্গ।
উত্তৰঃ
- (a) ঘুৰী: এটা কৰ্ণ (উলম্ব অক্ষ) আঁকি ইয়াৰ ওপৰৰ প্ৰান্তক কেন্দ্ৰ কৰি এটা ব্যাসাৰ্ধেৰে দুয়োফালে দুটা বিন্দু, আৰু তলৰ প্ৰান্তক কেন্দ্ৰ কৰি বেলেগ ব্যাসাৰ্ধেৰে সেই একে দুটা বিন্দু চিহ্নিত কৰা; চাৰিটা বিন্দু সংযোগ কৰিলে দুই যোৰ কাষৰ সমান বাহুৰ ঘুৰী (kite) পোৱা যায়।
- (b) বৃত্তত অন্তৰ্লিখিত সমবাহু ত্ৰিভুজ: এটা বৃত্ত আঁকি, তাৰ ব্যাসাৰ্ধ সমান দৈৰ্ঘ্যৰ চাপেৰে বৃত্তৰেখাত ৬টা বিন্দু চিহ্নিত কৰা; এটা এৰি এটাকৈ (একান্তৰ) ৩টা বিন্দু সংযোগ কৰিলে অন্তৰ্লিখিত সমবাহু ত্ৰিভুজ পোৱা যায়।
- (c) বৃত্তত অন্তৰ্লিখিত ষড়ভুজ: সেই একে ৬টা বিন্দুৰ প্ৰতিটোকে ক্ৰমান্বয়ে সংযোগ কৰা; যিহেতু ষড়ভুজৰ বাহু = বৃত্তৰ ব্যাসাৰ্ধ, ইয়াৰ পৰা সুষম ষড়ভুজ পোৱা যায়।
- (d) চাৰিটা স্পৰ্শী বৃত্তৰ কেন্দ্ৰেৰে বৰ্গ: সমান ব্যাসাৰ্ধ r-ৰ চাৰিটা বৃত্ত এনেদৰে আঁকা যাতে প্ৰতিটোৱে দুটা চুবুৰীয়া বৃত্তক স্পৰ্শ কৰে; চাৰিওটা কেন্দ্ৰ সংযোগ কৰিলে $2r$ বাহুৰ এখন বৰ্গ পোৱা যায়।
২। কাষৰ চিত্ৰৰ দৰে এটা তৰা অংকন কৰা। ইয়াত এফালে ৬টা একে জোখৰ সৰ্বাংগসম ত্ৰিভুজ আৰু আনফালে ২টা একে জোখৰ সৰ্বাংগসম ত্ৰিভুজ আছে। ত্ৰিভুজবোৰ চিনাক্ত কৰিব পাৰানে?
উত্তৰঃ তৰাটো (ষড়ভুজাকৃতিৰ তাৰকা) দুখন সৰ্বাংগসম ডাঙৰ সমবাহু ত্ৰিভুজ (এটা ওপৰমুৱা, এটা তললৈ মুখ কৰা) ওপৰা-উপৰি ৰাখি পোৱা যায় — এই দুখনেই ‘২টা সৰ্বাংগসম ত্ৰিভুজ’। আৰু তৰাটোৰ ৬টা মূৰত থকা ৬টা সৰু ত্ৰিভুজ পৰস্পৰ সৰ্বাংগসম সৰু সমবাহু ত্ৰিভুজ — এই ৬টাই ‘৬টা সৰ্বাংগসম ত্ৰিভুজ’।
৩। এডাল ৰেখা ℓ আঁকা আৰু ৰেখাৰ বাহিৰত এটা বিন্দু P লোৱা। P-ৰ মাজেৰে ℓ-ৰ সমান্তৰাল আন এডাল ৰেখা অংকন কৰা।
উত্তৰঃ P-ৰ পৰা ℓ-ক ছেদ কৰা এডাল ছেদক আঁকা, যিয়ে ℓ-ক X-ত ছেদ কৰে। এতিয়া X-ত ছেদকে ℓ-ৰ লগত গঠন কৰা কোণটোৰ সমান এটা অনুৰূপ কোণ P বিন্দুত (সমমানৰ কোণ অংকন পদ্ধতিৰে) অংকন কৰা। অনুৰূপ কোণ সমান হোৱা বাবে P-ৰ মাজেৰে যোৱা এই নতুন ৰেখাডাল ℓ-ৰ সমান্তৰাল হয়।
কৰি চাওঁ আহা ১৪.৭
১। তলৰ জালিকাবোৰ 2×1 টাইলেৰে টাইলিং সম্ভৱনে পৰীক্ষা কৰি চোৱা। (a), (b), (c), (d)
উত্তৰঃ নিয়ম দুটা — (i) মুঠ কোষৰ সংখ্যা জোৰ হ’ব লাগে, আৰু (ii) দবা-চিত্ৰৰ দৰে এৰি-এৰি চিহ্নিত কৰিলে চিহ্নিত আৰু খালী কোষৰ সংখ্যা সমান হ’ব লাগে।
- (a) এইটো এটা খটখটি-আকৃতি: শাৰীবোৰত ক্ৰমে ১, ২, ৩, ৪ কোষ, মুঠ $1+2+3+4 = 10$ কোষ (জোৰ)। কিন্তু দবা-চিত্ৰৰ দৰে চিহ্নিত কৰিলে চিহ্নিত ৬টা আৰু খালী ৪টা — অসমান। গতিকে মুঠ কোষ জোৰ হ’লেও টাইলিং সম্ভৱ নহয়।
- (b) মুঠ কোষ $2+2+4+5 = 13$ — বিজোৰ। ১৩ কোষক ২ কোষৰ টাইলেৰে সমানে ভাগ কৰিব নোৱাৰি, গতিকে টাইলিং সম্ভৱ নহয়।
- (c) মুঠ কোষ $1+2+3+3+2+1 = 12$ — জোৰ; আৰু দবা-চিত্ৰৰ চিহ্নন কৰিলে চিহ্নিত ৬টা আৰু খালী ৬টা — সমান। গতিকে টাইলিং সম্ভৱ (প্ৰতিযোৰ ওপৰা-তলৰ কোষ এটাকৈ উলম্ব টাইলেৰে ঢাকিব পাৰি)।
- (d) এইটো এটা কোণাকুণি খটখটি-বেণ্ড: শাৰীবোৰত ক্ৰমে ১, ২, ৩, ৪, ৫, ৪, ৩, ২, ১ কোষ, মুঠ $1+2+3+4+5+4+3+2+1 = 25$ — বিজোৰ। গতিকে টাইলিং সম্ভৱ নহয়।
অনুশীলনী ১৪
১। ৬ চে.মি. মানৰ এনে দুডাল ৰেখাখণ্ড অংকন কৰা যাতে এডাল আনডালৰ লম্ব সমদ্বিখণ্ডক হয়। ইয়াৰ পৰা এখন বৰ্গ অংকন কৰা।
উত্তৰঃ প্ৰথমে ৬ চে.মি. দৈৰ্ঘ্যৰ ৰেখাখণ্ড AC আঁকা আৰু ইয়াৰ লম্ব সমদ্বিখণ্ডক BD অংকন কৰা, যিয়ে AC-ক মধ্যবিন্দু O-ত সমকোণত কাটে (BO = OD = ৩ চে.মি. লোৱা, যাতে BD-ও ৬ চে.মি.)। এতিয়া A, B, C, D সংযোগ কৰা। যিহেতু কৰ্ণ দুডাল সমান (৬ = ৬), পৰস্পৰক সমকোণত সমদ্বিখণ্ডিত কৰে, ABCD এখন বৰ্গ হয়।
২। ৫ চে.মি. আৰু ৪ চে.মি. মানৰ এনে দুডাল ৰেখাখণ্ড অংকন কৰা যাতে এডাল আনডালৰ লম্ব সমদ্বিখণ্ডক হয়। ইয়াৰ পৰা এটা ৰম্বচ অংকন কৰা।
উত্তৰঃ ৫ চে.মি.-ৰ ৰেখাখণ্ড AC আঁকা আৰু ইয়াৰ লম্ব সমদ্বিখণ্ডক হিচাপে ৪ চে.মি.-ৰ ৰেখাখণ্ড BD অংকন কৰা, যাতে BD-এ AC-ক মধ্যবিন্দু O-ত সমকোণত কাটে (O হৈছে দুয়োৰে মধ্যবিন্দু)। A, B, C, D সংযোগ কৰা। কৰ্ণ দুডাল বেলেগ দৈৰ্ঘ্যৰ (৫ ≠ ৪) হ’লেও পৰস্পৰক সমকোণত সমদ্বিখণ্ডিত কৰাত চাৰিওটা বাহু সমান হয়, গতিকে ABCD এটা ৰম্বচ হয়।
৩। ৮ চে.মি. মানৰ এডাল ৰেখাখণ্ডৰ যিকোনো দুটা বিন্দুত সমকোণ অংকন কৰা।
উত্তৰঃ ৮ চে.মি.-ৰ ৰেখাখণ্ড PQ আঁকা। ইয়াৰ ওপৰত যিকোনো দুটা বিন্দু R আৰু S লোৱা। প্ৰতিটো বিন্দুতে (১৪.৩-ৰ পদ্ধতিৰে) সমকোণ অংকন কৰা — বিন্দুটোৰ দুয়োফালে সমান দূৰত্বত দুটা বিন্দু লৈ সেই দুটাৰ পৰা সমান ব্যাসাৰ্ধৰ চাপে ছেদবিন্দু পোৱা আৰু বিন্দুটোৰ সৈতে সংযোগ কৰা। ফলত R আৰু S দুয়োটাতে PQ-ৰ ওপৰত ৯০° কোণ পোৱা যায়।
৪। কম্পাছ আৰু স্কেল ব্যৱহাৰ কৰি তলৰ কোণবোৰক সমদ্বিখণ্ডিত কৰা: (A) 40° (B) 70° (C) 120° (D) 150°।
উত্তৰঃ প্ৰতিটো কোণ আঁকি (চাঙৰেৰে জুখি) কোণৰ শীৰ্ষক কেন্দ্ৰ কৰি এটা চাপেৰে দুয়োটা বাহুত ছেদবিন্দু X, Y লোৱা; তাৰ পাছত X আৰু Y-ৰ পৰা সমান ব্যাসাৰ্ধৰ দুটা চাপে Z-ত ছেদ কৰাই শীৰ্ষৰ সৈতে সংযোগ কৰিলে সমদ্বিখণ্ডক পোৱা যায়। ফলত পোৱা অৰ্ধেক কোণবোৰ হ’ব — (A) $40° ÷ 2 = 20°$, (B) $70° ÷ 2 = 35°$, (C) $120° ÷ 2 = 60°$, (D) $150° ÷ 2 = 75°$।
৫। কম্পাছ আৰু স্কেল ব্যৱহাৰ কৰি তলৰ কোণবোৰৰ (আনুমানিকভাৱে ৫৫°, ৬৫°, ৮০° আৰু ১৩০°) সমমানৰ কোণ অংকন কৰা।
উত্তৰঃ প্ৰতিটো দিয়া কোণৰ বাবে সমমানৰ কোণ অংকন পদ্ধতিটো (কোণ নজুখাকৈ) প্ৰয়োগ কৰা: (i) দিয়া কোণৰ শীৰ্ষত এটা চাপ আঁকি বাহু দুটাত X, Y চিহ্নিত কৰা; (ii) নতুন ৰেখাখণ্ডৰ প্ৰান্তত একে ব্যাসাৰ্ধৰ চাপ আঁকি এটা ছেদবিন্দু M পোৱা; (iii) কম্পাছেৰে XY দূৰত্ব লৈ M-ৰ পৰা চাপ আঁকি আগৰ চাপক N-ত ছেদ কৰোৱা আৰু প্ৰান্তৰ সৈতে সংযোগ কৰা। এইদৰে ৫৫°, ৬৫°, ৮০° আৰু ১৩০° কোণৰ সমান কোণ পোৱা যায়।
৬। কম্পাছ আৰু স্কেল ব্যৱহাৰ কৰি এনে দুডাল সমান্তৰাল ৰেখা AB আৰু CD অংকন কৰা যাতে সিহঁতৰ মাজৰ দূৰত্ব ৫ চে.মি. হয়।
উত্তৰঃ প্ৰথমে ৰেখা AB আঁকা। AB-ৰ ওপৰত এটা বিন্দুত (১৪.৩-ৰ পদ্ধতিৰে) এটা লম্ব অংকন কৰি সেই লম্বৰ ওপৰত AB-ৰ পৰা ৫ চে.মি. দূৰত্বত এটা বিন্দু চিহ্নিত কৰা। সেই বিন্দুৰ মাজেৰে AB-ৰ সমান্তৰাল ৰেখা CD অংকন কৰা (সমমানৰ অনুৰূপ কোণ পদ্ধতিৰে বা একে লম্বৰ ওপৰত আন এটা লম্ব-বিন্দু লৈ)। তেতিয়া AB ∥ CD আৰু সিহঁতৰ মাজৰ লম্ব দূৰত্ব ৫ চে.মি. হয়।
৭। শুদ্ধ নে অশুদ্ধ নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ (i) এটা ৰেখাখণ্ডৰ দুটা লম্ব সমদ্বিখণ্ডক থাকিব পাৰে — অশুদ্ধ (কেৱল এটাহে থাকে)। (ii) সুষম ষড়ভুজৰ প্ৰতিটো অন্তঃকোণৰ মান ৬০° — অশুদ্ধ (ই ১২০°)। (iii) এটা সুষম ষড়ভুজত ৬টা সমবাহু ত্ৰিভুজ থাকে — শুদ্ধ। (iv) কেৱল কম্পাছ আৰু স্কেলেৰে দিয়া কোণৰ সমান কোণ অংকন কৰিব নোৱাৰি — অশুদ্ধ (কৰিব পাৰি)। (v) এটা ৰেখাখণ্ডৰ দুই প্ৰান্তবিন্দুৰ পৰা সমদূৰত্বত থকা বিন্দুবোৰ ইয়াৰ লম্ব সমদ্বিখণ্ডকৰ ওপৰত থাকে — শুদ্ধ।
অতিৰিক্ত প্ৰশ্ন আৰু উত্তৰ
বহুবিকল্পীয় প্ৰশ্ন (MCQ)
১। জ্যামিতিক অংকনত মাথোঁ যি দুটা সঁজুলি ব্যৱহাৰ কৰা হয় সেই দুটা হ’ল — (ক) চাঙৰ আৰু ৰবৰ (খ) কম্পাছ আৰু স্কেল (গ) স্কেল আৰু ৰবৰ (ঘ) পেঞ্চিল আৰু চাঙৰ
উত্তৰঃ (খ) কম্পাছ আৰু স্কেল।
২। এটা ৰেখাখণ্ডৰ কেইডাল লম্ব সমদ্বিখণ্ডক অংকন কৰিব পাৰি? (ক) ১ (খ) ২ (গ) ৩ (ঘ) অসংখ্য
উত্তৰঃ (ক) ১ ডাল।
৩। লম্ব সমদ্বিখণ্ডকে ৰেখাখণ্ডক মধ্যবিন্দুত যি কোণত ছেদ কৰে সেয়া হ’ল — (ক) 45° (খ) 60° (গ) 90° (ঘ) 120°
উত্তৰঃ (গ) 90°।
৪। এটা সমবাহু ত্ৰিভুজৰ প্ৰতিটো কোণৰ মান — (ক) 45° (খ) 60° (গ) 90° (ঘ) 120°
উত্তৰঃ (খ) 60°।
৫। এটা সুষম ষড়ভুজৰ প্ৰতিটো অন্তঃকোণৰ মান — (ক) 60° (খ) 90° (গ) 108° (ঘ) 120°
উত্তৰঃ (ঘ) 120°।
৬। ৯০° কোণক সমদ্বিখণ্ডিত কৰিলে পোৱা কোণৰ মান — (ক) 30° (খ) 45° (গ) 60° (ঘ) 75°
উত্তৰঃ (খ) 45°।
৭। এটা সুষম ষড়ভুজত মুঠ কেইটা সৰ্বাংগসম সমবাহু ত্ৰিভুজ থাকে? (ক) 3 (খ) 4 (গ) 6 (ঘ) 8
উত্তৰঃ (গ) 6 টা।
৮। ফাঁক নাৰাখি আৰু ওপৰা-উপৰি নকৰি পৃষ্ঠ এখন ঢাকি দিয়াৰ পদ্ধতিটোক কোৱা হয় — (ক) সমদ্বিখণ্ডন (খ) টাইলিং (গ) অন্তৰ্লিখন (ঘ) সমমিতি
উত্তৰঃ (খ) টাইলিং।
৯। এটা 2×1 টাইলে সদায় ঢাকে — (ক) ১টা কোষ (খ) ২টা কোষ (গ) ৩টা কোষ (ঘ) ৪টা কোষ
উত্তৰঃ (খ) ২টা একক কোষ।
১০। এডাল সৰলৰেখাত এটা বিন্দুৰ দুয়োফালৰ কোণ দুটাৰ যোগফল (সৰলকোণ) হ’ল — (ক) 90° (খ) 180° (গ) 270° (ঘ) 360°
উত্তৰঃ (খ) 180°।
খালী ঠাই পূৰ কৰা
১। এটা ৰেখাখণ্ডক সমান দুভাগত ভাগ কৰাক ______ বোলে।
উত্তৰঃ সমদ্বিখণ্ডন।
২। কোণৰ সমদ্বিখণ্ডক অংকন কৰোঁতে শীৰ্ষক কেন্দ্ৰ কৰি প্ৰথমে এটা ______ অংকন কৰা হয়।
উত্তৰঃ চাপ।
৩। ৬০° কোণৰ পৰা ______ ত্ৰিভুজ আৰু সুষম ষড়ভুজ অংকন কৰিব পাৰি।
উত্তৰঃ সমবাহু।
৪। এটা সুষম ষড়ভুজৰ কেন্দ্ৰত গঠিত প্ৰতিটো কোণৰ মান ______।
উত্তৰঃ 60°।
৫। একে বা বেলেগ আকৃতিৰে ফাঁক নাৰাখি পৃষ্ঠ ঢাকি দিয়াক ______ বোলে।
উত্তৰঃ টাইলিং।
শুদ্ধ নে অশুদ্ধ লিখা
১। লম্ব সমদ্বিখণ্ডকে ৰেখাখণ্ডক ইয়াৰ মধ্যবিন্দুত ছেদ কৰে।
উত্তৰঃ শুদ্ধ।
২। কম্পাছ আৰু স্কেলেৰে কোনো কোণ নজুখাকৈ তাৰ সমান কোণ অংকন কৰিব পাৰি।
উত্তৰঃ শুদ্ধ।
৩। এটা 3×5 জালিকা (১৫ কোষ) 2×1 টাইলেৰে সম্পূৰ্ণৰূপে ঢাকিব পাৰি।
উত্তৰঃ অশুদ্ধ (১৫ বিজোৰ, গতিকে সম্ভৱ নহয়)।
৪। সুষম ষড়ভুজৰ প্ৰতিটো বাহু ইয়াৰ পৰিবৃত্তৰ ব্যাসাৰ্ধৰ সমান।
উত্তৰঃ শুদ্ধ।
৫। কোণৰ সমদ্বিখণ্ডকৰ চাপ দুটা কোণটোৰ ভিতৰত ছেদ কৰিলেহে সেয়া সমদ্বিখণ্ডক হয়, বাহিৰত ছেদ কৰিলে নহয়।
উত্তৰঃ অশুদ্ধ (ভিতৰত বা বাহিৰত — দুয়োটাতে একেটা সমদ্বিখণ্ডক ৰেখা পোৱা যায়)।
চমু উত্তৰৰ প্ৰশ্ন
১। এটা ৰেখাখণ্ডৰ কিয় কেৱল এটাহে লম্ব সমদ্বিখণ্ডক থাকে?
উত্তৰঃ এডাল ৰেখা লম্ব সমদ্বিখণ্ডক হ’বলৈ ই ৰেখাখণ্ডৰ মধ্যবিন্দুৰে যাব লাগে আৰু সেই মধ্যবিন্দুত ৯০° কোণ কৰিব লাগে। ৰেখাখণ্ডৰ মধ্যবিন্দু কেৱল এটা, আৰু সেই বিন্দুৰে ৯০° কোণ কৰি কেৱল এডাল ৰেখাহে টানিব পাৰি; সেয়ে লম্ব সমদ্বিখণ্ডক এটাহে থাকে।
২। এটা সুষম ষড়ভুজৰ অন্তঃকোণৰ মান ১২০° কিয় হয়, চমুকৈ দেখুওৱা।
উত্তৰঃ এটা সুষম ষড়ভুজ ৬টা সমবাহু ত্ৰিভুজেৰে গঠিত। প্ৰতিটো শীৰ্ষত দুটা ত্ৰিভুজৰ ৬০° কোণ লগ লাগে, গতিকে অন্তঃকোণ $= 60° + 60° = 120°$।
৩। কোষৰ সংখ্যা জোৰ হ’লেও টাইলিং সম্ভৱ নহ’বও পাৰে — এটা উদাহৰণেৰে বুজোৱা।
উত্তৰঃ কেৱল কোষৰ সংখ্যা জোৰ হ’লেই টাইলিং সম্ভৱ নহয়। দবা-চিত্ৰৰ দৰে চিহ্নিত কৰিলে চিহ্নিত আৰু খালী কোষৰ সংখ্যা সমান হ’বও লাগে, কাৰণ প্ৰতিটো 2×1 টাইলে এটা চিহ্নিত আৰু এটা খালী কোষ ঢাকে। যেনে ১, ২, ৩, ৪ কোষৰ খটখটি-আকৃতিত মুঠ ১০ কোষ (জোৰ) হ’লেও চিহ্নিত ৬টা আৰু খালী ৪টা — অসমান, গতিকে টাইলিং সম্ভৱ নহয়।
৪। এডাল ৰেখাৰ বাহিৰৰ এটা বিন্দুৰ মাজেৰে সমান্তৰাল ৰেখা কেনেকৈ অংকন কৰা হয়?
উত্তৰঃ বিন্দুটোৰ পৰা দিয়া ৰেখাক ছেদ কৰা এডাল ছেদক আঁকি, ছেদকে ৰেখাৰ লগত কৰা কোণৰ সমান এটা অনুৰূপ কোণ বিন্দুটোত অংকন কৰা হয় (সমমানৰ কোণ অংকন পদ্ধতিৰে)। অনুৰূপ কোণ সমান হোৱা বাবে সেই নতুন ৰেখাডাল দিয়া ৰেখাৰ সমান্তৰাল হয়।
শব্দাৰ্থ
| অসমীয়া শব্দ | English term | অৰ্থ |
|---|---|---|
| সমদ্বিখণ্ডন | Bisection | এটা ৰেখাখণ্ড বা কোণক সমান দুভাগত ভাগ কৰা |
| লম্ব সমদ্বিখণ্ডক | Perpendicular bisector | ৰেখাখণ্ডক মধ্যবিন্দুত ৯০° কোণত সমদ্বিখণ্ডিত কৰা ৰেখা |
| কোণৰ সমদ্বিখণ্ডক | Angle bisector | এটা কোণক সমান দুভাগত ভাগ কৰা ৰেখা |
| চাপ | Arc | বৃত্তৰ পৰিধিৰ এটা অংশ |
| ব্যাসাৰ্ধ | Radius | কেন্দ্ৰৰ পৰা বৃত্তৰেখালৈ দূৰত্ব |
| মধ্যবিন্দু | Midpoint | ৰেখাখণ্ডক সমান দুভাগত ভগোৱা বিন্দু |
| সমান্তৰাল ৰেখা | Parallel lines | কেতিয়াও নিমিলা, সদায় সমদূৰত্বৰ ৰেখা |
| সুষম ষড়ভুজ | Regular hexagon | ছটা সমান বাহু আৰু সমান কোণৰ বহুভুজ |
| সমবাহু ত্ৰিভুজ | Equilateral triangle | তিনিওটা বাহু আৰু কোণ সমান থকা ত্ৰিভুজ |
| অন্তঃকোণ | Interior angle | বহুভুজৰ শীৰ্ষত ভিতৰফালৰ কোণ |
| টাইলিং | Tiling / Tessellation | ফাঁক নাৰাখি আৰু ওপৰা-উপৰি নকৰি পৃষ্ঠ ঢকা |
| শুল্বসূত্ৰ | Śulba-Sūtra | ৰচী-খুঁটাৰে জ্যামিতিক আকৃতি অংকনৰ প্ৰাচীন পদ্ধতি |