সংখ্যাৰ উমৈহতীয়া ভিত্তি: উৎপাদক আৰু গুণিতক — প্ৰশ্ন উত্তৰ
HSLC Guru-ত আপোনাক স্বাগতম। এই পাঠত ASSEB Class 7 নতুন গণিতৰ একাদশ অধ্যায় সংখ্যাৰ উমৈহতীয়া ভিত্তি: উৎপাদক আৰু গুণিতকৰ সাধাৰণ উৎপাদক, মৌলিক উৎপাদকীকৰণ, উৎপাদক বৃক্ষ, গৰিষ্ঠ সাধাৰণ উৎপাদক (গ.সা.উ), লঘিষ্ঠ সাধাৰণ গুণিতক (ল.সা.গু) আৰু সহমৌলিক সংখ্যাৰ ধাৰণাৰ লগতে পাঠ্যপুথিৰ প্ৰতিটো “কৰি চাওঁ আহা” বাকচ আৰু অনুশীলনী ১১-ৰ সম্পূৰ্ণ সমাধান বিচাৰি পাব।
সাৰাংশ
এই অধ্যায়ত আমি সংখ্যাৰ উৎপাদক (factor) আৰু গুণিতক (multiple)ৰ ধাৰণা পুনৰ চোৱাৰ লগতে দুই বা ততোধিক সংখ্যাৰ সাধাৰণ উৎপাদক, গৰিষ্ঠ সাধাৰণ উৎপাদক (গ.সা.উ) আৰু লঘিষ্ঠ সাধাৰণ গুণিতক (ল.সা.গু) নিৰ্ণয় কৰিবলৈ শিকো। কোনো সংখ্যাক নিঃশেষে ভাগ কৰা সংখ্যাটোৱে তাৰ উৎপাদক, আৰু কোনো সংখ্যাক পূৰ্ণসংখ্যাৰে পূৰণ কৰি পোৱা সংখ্যাবোৰ তাৰ গুণিতক।
গ.সা.উ (HCF) হ’ল দুই বা ততোধিক সংখ্যাৰ সাধাৰণ উৎপাদকসমূহৰ ভিতৰত সৰ্ববৃহৎটো, আৰু ল.সা.গু (LCM) হ’ল সাধাৰণ গুণিতকসমূহৰ ভিতৰত সৰ্বনিম্নটো। এই দুয়োটা মৌলিক উৎপাদকীকৰণ, উৎপাদক বৃক্ষ আৰু চুটি হৰণ পদ্ধতিৰে নিৰ্ণয় কৰিব পাৰি। গ.সা.উ নিৰ্ণয়ত প্ৰতিটো উমৈহতীয়া মৌলিক উৎপাদকৰ সৰ্বনিম্ন সংখ্যা লোৱা হয়, আৰু ল.সা.গু নিৰ্ণয়ত প্ৰতিটো মৌলিক উৎপাদকৰ সৰ্বাধিক সংখ্যা লোৱা হয়।
বাস্তৱ জীৱনত টাইলছ পতা, সমান ওজনৰ পেকেট বনোৱা, ঘণ্টা বজা বা লাইট জ্বলা আদি বহুতো সমস্যাত গ.সা.উ আৰু ল.সা.গু ব্যৱহাৰ হয়। দুটা সংখ্যাৰ বাবে এটা সুন্দৰ সম্পৰ্ক আছে — “ল.সা.গু × গ.সা.উ = সংখ্যা দুটাৰ পূৰণফল”। দুই সহমৌলিক সংখ্যাৰ গ.সা.উ 1 আৰু ল.সা.গু সিহঁতৰ পূৰণফলৰ সমান। ইয়াৰোপৰি আমি অনুমান (conjecture) আৰু সাধাৰণীকৰণ (generalisation)ৰ নতুন ধাৰণাও লাভ কৰো।
Summary: This ASSEB Class 7 New Mathematics Chapter 11 (Common Ground of Numbers: Factors and Multiples) guide explains common factors, prime factorisation, factor trees, the short-division method, the Highest Common Factor (HCF), the Least Common Multiple (LCM), co-prime numbers, and the relation “LCM × HCF = product of the two numbers.” It gives fully worked solutions to every “কৰি চাওঁ আহা” box (11.1–11.6) and all of Exercise 11.
মূল ধাৰণা
উৎপাদক বৃক্ষ (Factor tree): কোনো সংখ্যাক বাৰে বাৰে দুটা উৎপাদকত ভাঙি ভাঙি মৌলিক উৎপাদকলৈ নিয়া বৃক্ষাকৃতি চিত্ৰকে উৎপাদক বৃক্ষ বোলে। তলৰ চিত্ৰত 3825 ৰ উৎপাদক বৃক্ষ দিয়া হৈছে (কৰি চাওঁ আহা ১১.১ ৰ ৫ নং প্ৰশ্নত ইয়াকে ব্যৱহাৰ কৰা হৈছে)।
ইয়াত 3825 = 3 × 1275, 1275 = 3 × 425, 425 = 5 × 85 আৰু 85 = 5 × 17। সেয়ে 3825 = 3 × 3 × 5 × 5 × 17, x = 3825, y = 5 আৰু z = 17।
ভেন চিত্ৰেৰে গ.সা.উ আৰু ল.সা.গু: দুটা সংখ্যাৰ মৌলিক উৎপাদকবোৰ ভেন চিত্ৰত সজাই ল’লে মাজৰ উমৈহতীয়া অংশৰ পূৰণফলে গ.সা.উ আৰু গোটেই অংশৰ পূৰণফলে ল.সা.গু দিয়ে। তলত 18 = 2 × 3 × 3 আৰু 24 = 2 × 2 × 2 × 3 ৰ ভেন চিত্ৰ দিয়া হৈছে।
মাজৰ উমৈহতীয়া অংশ = 2, 3; গতিকে গ.সা.উ = 2 × 3 = 6। গোটেই উৎপাদকৰ পূৰণফল = 3 × 2 × 3 × 2 × 2 = 72; গতিকে ল.সা.গু = 72।
পাঠ্যপুথিৰ প্ৰশ্ন আৰু উত্তৰ
পাঠভিত্তিক উদাহৰণ আৰু প্ৰশ্ন
১। 720 ত কেইটা মৌলিক উৎপাদক আছে?
উত্তৰঃ 720 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5। গতিকে 720 ত মুঠ 7 টা মৌলিক উৎপাদক আছে (2 চাৰিবাৰ, 3 দুবাৰ আৰু 5 এবাৰ)।
২। 20 ৰ লগত কি পূৰণ কৰিলে 180 পোৱা যায়? (নাহিদক সোধা প্ৰশ্ন)
উত্তৰঃ 180 = 2 × 2 × 3 × 3 × 5 = (2 × 2 × 5) × (3 × 3) = 20 × 9। গতিকে 20 ৰ লগত 9 পূৰণ কৰিলে 180 পোৱা যায়, অৰ্থাৎ 20 হ’ল 180 ৰ এটা উৎপাদক।
৩। 96 ৰ মৌলিক উৎপাদকীকৰণৰ পৰা মুঠ উৎপাদক সংখ্যা নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ 96 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3। ইয়াৰ উৎপাদকবোৰ হ’ল 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 32, 48 আৰু 96 — গতিকে 96 ৰ মুঠ উৎপাদক সংখ্যা 12।
৪। 80, 120, 360 আৰু 720 ৰ মৌলিক উৎপাদকীকৰণ কৰি প্ৰতিটোৰ মুঠ উৎপাদক সংখ্যা লিখা।
উত্তৰঃ 80 = 2 × 2 × 2 × 2 × 5 (মুঠ উৎপাদক 10); 120 = 2 × 2 × 2 × 3 × 5 (মুঠ উৎপাদক 16); 360 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5 (মুঠ উৎপাদক 24); 720 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5 (মুঠ উৎপাদক 30)।
৫। ডাঙৰ সংখ্যাৰ সদায়ে বেছি উৎপাদক থাকে নে? (নাহিদৰ অনুমান)
উত্তৰঃ নহয়। 943 = 23 × 41 হোৱা বাবে 943 ৰ উৎপাদক মাত্ৰ 1, 23, 41 আৰু 943 — মুঠ 4 টাহে। গতিকে ডাঙৰ সংখ্যা হ’লেও তাত সদায়ে বেছি উৎপাদক নাথাকে; সেয়ে নাহিদৰ অনুমানটো (conjecture) অশুদ্ধ। মন কৰিব — যিমানেই ডাঙৰ নহওক, মৌলিক সংখ্যাৰ উৎপাদক কেৱল দুটাই — 1 আৰু সংখ্যাটো নিজে।
৬। উৎপাদকৰ তালিকাৰ সহায়ত 72 আৰু 120 ৰ গ.সা.উ উলিওৱা।
উত্তৰঃ 72 ৰ উৎপাদক: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72; 120 ৰ উৎপাদক: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120। সাধাৰণ উৎপাদক = 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24; গতিকে গ.সা.উ = 24।
৭। 63 ৰ উৎপাদকৰ উপ-অংশবোৰ (subparts) উলিওৱা আৰু 3 × 3 × 7 × 3 × 5 × 7, 3 × 3 × 5 × 7, 3 × 7 — এইবোৰৰ কোনটো 63 আৰু 105 ৰ সাধাৰণ উৎপাদক?
উত্তৰঃ 63 = 3 × 3 × 7। ইয়াৰ উপ-অংশ — এটাকৈ: 3, 7; দুটাকৈ: 3 × 3, 3 × 7; তিনিটাকৈ: 3 × 3 × 7। সাধাৰণ উৎপাদক হ’বলৈ প্ৰতিটো সংখ্যাৰ উৎপাদকৰ উপ-অংশ হ’ব লাগে। 3 × 3 × 7 × 3 × 5 × 7 আৰু 3 × 3 × 5 × 7 (= 315) — দুয়োটাই 63 তকৈ ডাঙৰ, সেয়ে সাধাৰণ উৎপাদক নহয়। কিন্তু 3 × 7 = 21 হ’ল দুয়োটাৰ উমৈহতীয়া মৌলিক অংশ, সেয়ে ই সাধাৰণ উৎপাদক (আৰু ইয়েই গ.সা.উ)।
৮। 210, 336 আৰু 462 প্ৰতিটো সংখ্যা সিহঁতৰ গ.সা.উ 42 ৰে বিভাজ্য নে?
উত্তৰঃ 210 ÷ 42 = 5, 336 ÷ 42 = 8, 462 ÷ 42 = 11 — সকলো ভাগশেষ শূন্য। গতিকে তিনিওটা সংখ্যা 42 ৰে সম্পূৰ্ণভাৱে বিভাজ্য, অৰ্থাৎ দুই বা ততোধিক সংখ্যা সিহঁতৰ গ.সা.উ ৰে সম্পূৰ্ণভাৱে বিভাজ্য হয়।
৯। 4 আৰু 6 ৰ আটাইতকৈ ডাঙৰ সাধাৰণ গুণিতক কি?
উত্তৰঃ এনে কোনো সংখ্যা নাই। যিকোনো সংখ্যাৰ গুণিতক অসীমভাৱে বাঢ়ি যায় (12, 24, 36, 48, …), সেয়ে সৰ্ববৃহৎ সাধাৰণ গুণিতক নিৰ্ণয় কৰিব নোৱাৰি। কিন্তু সৰ্বনিম্ন সাধাৰণ গুণিতক অৰ্থাৎ ল.সা.গু নিৰ্ণয় কৰিব পাৰি — 4 আৰু 6 ৰ ল.সা.গু = 12।
১০। 2 × 2 × 3 × 5 আৰু 2 × 3 × 5 — এই দুটাৰ কোনটো 12 আৰু 20 ৰ সাধাৰণ গুণিতক?
উত্তৰঃ 2 × 2 × 3 × 5 = 60 এ 12 = 2 × 2 × 3 আৰু 20 = 2 × 2 × 5 উভয়ৰে সকলো মৌলিক উৎপাদক ধাৰণ কৰে, সেয়ে ই সাধাৰণ গুণিতক (আৰু ইয়েই ল.সা.গু = 60)। কিন্তু 2 × 3 × 5 = 30 এ 12 ৰ দুটা 2 ধাৰণ নকৰে, সেয়ে ই 12 ৰে বিভাজ্য নহয় — সাধাৰণ গুণিতক নহয়।
১১। 36, 48 আৰু 90 ৰ ল.সা.গু 720 এই তিনিওটা সংখ্যাৰে বিভাজ্য নে?
উত্তৰঃ 720 ÷ 36 = 20, 720 ÷ 48 = 15, 720 ÷ 90 = 8 — সকলো ভাগশেষ শূন্য। গতিকে কোনো সংখ্যাৰ ল.সা.গু সদায় সেই সংখ্যাবোৰেৰে বিভাজ্য হয়।
১২। এটা বাকচত কিছুমান কণী আছে। 3 টাকৈ ভাগ কৰিলে 1 টা বাকী থাকে, 4 টাকৈ ভাগ কৰিলেও 1 টা বাকী থাকে। বাকচত থাকিব পৰা নূন্যতম কণীৰ সংখ্যা কিমান?
উত্তৰঃ 3 আৰু 4 উভয়ৰে বিভাজ্য সংখ্যাবোৰ হ’ল সিহঁতৰ গুণিতক; তাত 1 যোগ কৰিলে পোৱা সংখ্যাবোৰ = 13, 25, 37, …। এই সংখ্যাবোৰ 3 আৰু 4 ৰ ল.সা.গু 12 ৰ গুণিতকতকৈ 1 বেছি। গতিকে কণীৰ সংখ্যা = (3 আৰু 4 ৰ ল.সা.গু) × n + 1 = 12n + 1। নূন্যতমৰ বাবে n = 1, সেয়ে নূন্যতম কণীৰ সংখ্যা 13।
কৰি চাওঁ আহা ১১.১
১। তলৰ বিলাকৰ সাধাৰণ উৎপাদক উলিওৱা: (a) 12, 16 (b) 24, 36 (c) 13, 19 (d) 1, 17 (e) 34, 51 (f) 6, 12, 24
উত্তৰঃ
- (a) 12, 16: 12 ৰ উৎপাদক 1, 2, 3, 4, 6, 12; 16 ৰ উৎপাদক 1, 2, 4, 8, 16। সাধাৰণ উৎপাদক = 1, 2, 4।
- (b) 24, 36: 24 ৰ উৎপাদক 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24; 36 ৰ উৎপাদক 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36। সাধাৰণ উৎপাদক = 1, 2, 3, 4, 6, 12।
- (c) 13, 19: দুয়োটাই মৌলিক সংখ্যা। সাধাৰণ উৎপাদক = 1।
- (d) 1, 17: 1 ৰ উৎপাদক 1; 17 ৰ উৎপাদক 1, 17। সাধাৰণ উৎপাদক = 1।
- (e) 34, 51: 34 = 2 × 17 (উৎপাদক 1, 2, 17, 34); 51 = 3 × 17 (উৎপাদক 1, 3, 17, 51)। সাধাৰণ উৎপাদক = 1, 17।
- (f) 6, 12, 24: 6 ৰ উৎপাদক 1, 2, 3, 6; 12 আৰু 24 ৰ উৎপাদকতো এইবোৰ আছে। সাধাৰণ উৎপাদক = 1, 2, 3, 6।
২। মৌলিক উৎপাদকীকৰণ পদ্ধতিৰে উৎপাদকীকৰণ কৰা: (a) 72 (b) 144 (c) 210 (d) 2005 (e) 480 (f) 1728
উত্তৰঃ (a) 72 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3; (b) 144 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3; (c) 210 = 2 × 3 × 5 × 7; (d) 2005 = 5 × 401 (401 মৌলিক সংখ্যা); (e) 480 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 5; (f) 1728 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3।
৩। উৎপাদক বৃক্ষ পদ্ধতিৰে উৎপাদকীকৰণ কৰা: (a) 100 (b) 210 (c) 1024 (d) 1331
উত্তৰঃ উৎপাদক বৃক্ষত প্ৰতিটো সংখ্যাক বাৰে বাৰে দুটা উৎপাদকত ভাঙি মৌলিক সংখ্যাত উপনীত হ’ব লাগে। (a) 100 = 2 × 2 × 5 × 5; (b) 210 = 2 × 3 × 5 × 7; (c) 1024 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 (দহটা 2); (d) 1331 = 11 × 11 × 11।
৪। চুটি হৰণ পদ্ধতিৰে উৎপাদকীকৰণ কৰা: (a) 396 (b) 462 (c) 796 (d) 1016
উত্তৰঃ চুটি হৰণত সংখ্যাটোক সৰু মৌলিক সংখ্যাৰে ক্ৰমান্বয়ে হৰণ কৰি যাব লাগে। (a) 396 = 2 × 2 × 3 × 3 × 11; (b) 462 = 2 × 3 × 7 × 11; (c) 796 = 2 × 2 × 199 (199 মৌলিক); (d) 1016 = 2 × 2 × 2 × 127 (127 মৌলিক)।
৫। কাষত দিয়া উৎপাদক বৃক্ষৰ সহায়ত উত্তৰ দিয়া: (i) x ৰ মান? (ii) y ৰ মান? (iii) z ৰ মান? (iv) x + y + z ৰ মান? (মূল ধাৰণা অংশৰ উৎপাদক বৃক্ষটো চোৱা)
উত্তৰঃ বৃক্ষটোত 3825 = 3 × 1275, 1275 = 3 × 425, 425 = 5 × 85, 85 = 5 × 17। গতিকে — (i) x = 3825 (বিকল্প B); (ii) y = 5 (বিকল্প A); (iii) z = 17 (বিকল্প B); (iv) x + y + z = 3825 + 5 + 17 = 3847 (বিকল্প B)।
কৰি চাওঁ আহা ১১.২
১। মৌলিক উৎপাদকীকৰণ পদ্ধতিৰে গ.সা.উ নিৰ্ণয় কৰা: (a) 72, 96 (b) 210, 480 (c) 1728, 1296 (d) 56, 96, 144 (e) 720, 480, 2005
উত্তৰঃ
- (a) 72, 96: 72 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3, 96 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3। উমৈহতীয়া = 2 × 2 × 2 × 3। গ.সা.উ = 24।
- (b) 210, 480: 210 = 2 × 3 × 5 × 7, 480 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 5। উমৈহতীয়া = 2 × 3 × 5। গ.সা.উ = 30।
- (c) 1728, 1296: 1728 = 2⁶ × 3³, 1296 = 2⁴ × 3⁴। উমৈহতীয়া = 2⁴ × 3³ = 16 × 27। গ.সা.উ = 432।
- (d) 56, 96, 144: 56 = 2³ × 7, 96 = 2⁵ × 3, 144 = 2⁴ × 3²। একমাত্ৰ উমৈহতীয়া মৌলিক 2, সৰ্বনিম্ন শক্তি 2³। গ.সা.উ = 8।
- (e) 720, 480, 2005: 720 = 2⁴ × 3² × 5, 480 = 2⁵ × 3 × 5, 2005 = 5 × 401। একমাত্ৰ উমৈহতীয়া মৌলিক 5। গ.সা.উ = 5।
২। চুটি হৰণ পদ্ধতিৰে গ.সা.উ নিৰ্ণয় কৰা: (a) 228, 560 (b) 132, 720 (c) 101, 288 (d) 72, 210, 462 (e) 700, 462, 1024
উত্তৰঃ
- (a) 228, 560: উমৈহতীয়া উৎপাদক 2 × 2। গ.সা.উ = 4।
- (b) 132, 720: উমৈহতীয়া উৎপাদক 2 × 2 × 3। গ.সা.উ = 12।
- (c) 101, 288: 101 মৌলিক আৰু ই 288 ৰ উৎপাদক নহয়, 1 ৰ বাহিৰে উমৈহতীয়া উৎপাদক নাই। গ.সা.উ = 1।
- (d) 72, 210, 462: উমৈহতীয়া উৎপাদক 2 × 3। গ.সা.উ = 6।
- (e) 700, 462, 1024: একমাত্ৰ উমৈহতীয়া উৎপাদক 2। গ.সা.উ = 2।
কৰি চাওঁ আহা ১১.৩
১। মৌলিক উৎপাদকীকৰণ পদ্ধতিৰে ল.সা.গু নিৰ্ণয় কৰা: (a) 34, 36 (b) 36, 102 (c) 45, 75 (d) 75, 300 (e) 91, 112 (f) 12, 16, 18 (g) 25, 95, 105 (h) 180, 264, 252 (i) 18, 45, 60, 100
উত্তৰঃ ল.সা.গু নিৰ্ণয়ত প্ৰতিটো মৌলিক উৎপাদকৰ সৰ্বাধিক শক্তিটো লোৱা হয়।
- (a) 34, 36: 34 = 2 × 17, 36 = 2² × 3²। ল.সা.গু = 2² × 3² × 17 = 612।
- (b) 36, 102: 36 = 2² × 3², 102 = 2 × 3 × 17। ল.সা.গু = 2² × 3² × 17 = 612।
- (c) 45, 75: 45 = 3² × 5, 75 = 3 × 5²। ল.সা.গু = 3² × 5² = 225।
- (d) 75, 300: 75 = 3 × 5², 300 = 2² × 3 × 5²। ল.সা.গু = 2² × 3 × 5² = 300।
- (e) 91, 112: 91 = 7 × 13, 112 = 2⁴ × 7। ল.সা.গু = 2⁴ × 7 × 13 = 1456।
- (f) 12, 16, 18: 12 = 2² × 3, 16 = 2⁴, 18 = 2 × 3²। ল.সা.গু = 2⁴ × 3² = 144।
- (g) 25, 95, 105: 25 = 5², 95 = 5 × 19, 105 = 3 × 5 × 7। ল.সা.গু = 3 × 5² × 7 × 19 = 9975।
- (h) 180, 264, 252: 180 = 2² × 3² × 5, 264 = 2³ × 3 × 11, 252 = 2² × 3² × 7। ল.সা.গু = 2³ × 3² × 5 × 7 × 11 = 27720।
- (i) 18, 45, 60, 100: 18 = 2 × 3², 45 = 3² × 5, 60 = 2² × 3 × 5, 100 = 2² × 5²। ল.সা.গু = 2² × 3² × 5² = 900।
২। তলৰ উক্তিসমূহ শুদ্ধ নে অশুদ্ধ নিৰ্ণয় কৰি শুদ্ধ উত্তৰটো বাছি উলিওৱা: (P) 95 আৰু 105 ৰ ল.সা.গু নিৰ্ণয়ত 19 এবাৰ আহে। (Q) 18 আৰু 25 ৰ 1 ৰ বাহিৰে আন সাধাৰণ উৎপাদক নাই। (A) P শুদ্ধ, Q অশুদ্ধ (B) P অশুদ্ধ, Q শুদ্ধ (C) P আৰু Q দুয়োটা শুদ্ধ (D) P আৰু Q দুয়োটা অশুদ্ধ
উত্তৰঃ 95 = 5 × 19, 105 = 3 × 5 × 7; ল.সা.গু = 3 × 5 × 7 × 19 = 1995, য’ত 19 এবাৰহে আহে — সেয়ে P শুদ্ধ। 18 = 2 × 3 × 3, 25 = 5 × 5 সহমৌলিক, গতিকে 1 ৰ বাহিৰে সাধাৰণ উৎপাদক নাই — সেয়ে Q ও শুদ্ধ। গতিকে শুদ্ধ বিকল্প (C) P আৰু Q দুয়োটা শুদ্ধ।
কৰি চাওঁ আহা ১১.৪
১। চুটি হৰণ পদ্ধতিৰে ল.সা.গু নিৰ্ণয় কৰা: (a) 12, 60 (b) 78, 102 (c) 150, 205 (d) 133, 1197 (e) 12, 16, 32 (f) 60, 85, 35 (g) 91, 112, 49 (h) 131, 655, 393
উত্তৰঃ
- (a) 12, 60: 60 হ’ল 12 ৰ গুণিতক, সেয়ে ল.সা.গু = 60।
- (b) 78, 102: 78 = 2 × 3 × 13, 102 = 2 × 3 × 17। ল.সা.গু = 2 × 3 × 13 × 17 = 1326।
- (c) 150, 205: 150 = 2 × 3 × 5², 205 = 5 × 41। ল.সা.গু = 2 × 3 × 5² × 41 = 6150।
- (d) 133, 1197: 1197 = 133 × 9, অৰ্থাৎ 1197 হ’ল 133 ৰ গুণিতক। ল.সা.গু = 1197।
- (e) 12, 16, 32: 12 = 2² × 3, 16 = 2⁴, 32 = 2⁵। ল.সা.গু = 2⁵ × 3 = 96।
- (f) 60, 85, 35: 60 = 2² × 3 × 5, 85 = 5 × 17, 35 = 5 × 7। ল.সা.গু = 2² × 3 × 5 × 7 × 17 = 7140।
- (g) 91, 112, 49: 91 = 7 × 13, 112 = 2⁴ × 7, 49 = 7²। ল.সা.গু = 2⁴ × 7² × 13 = 10192।
- (h) 131, 655, 393: 131 মৌলিক, 655 = 5 × 131, 393 = 3 × 131। ল.সা.গু = 3 × 5 × 131 = 1965।
২। তলত দিয়াবোৰৰ পৰা শুদ্ধ উক্তিটো বাছি উলিওৱা: (i) 131 আৰু 393 ৰ ল.সা.গু 131। (ii) 20, 25 আৰু 30 ৰ ল.সা.গু 300। (iii) 12, 16 আৰু 32 ৰ ল.সা.গু 96 হ’লে, 96, 16 ৰে বিভাজ্য হয়। (A) (i), (ii) (B) (ii), (iii) (C) (i), (iii) (D) (i), (ii), (iii)
উত্তৰঃ (i) অশুদ্ধ — 393 = 3 × 131 হোৱা বাবে 131 আৰু 393 ৰ ল.সা.গু 393, 131 নহয়। (ii) শুদ্ধ — 20, 25, 30 ৰ ল.সা.গু = 2² × 3 × 5² = 300। (iii) শুদ্ধ — 96 ÷ 16 = 6, সেয়ে 96, 16 ৰে বিভাজ্য। গতিকে শুদ্ধ বিকল্প (B) (ii), (iii)।
কৰি চাওঁ আহা ১১.৫
১। “ল.সা.গু × গ.সা.উ = সংখ্যা দুটাৰ পূৰণফল” সূত্ৰ ব্যৱহাৰ কৰি তলৰ তালিকাখন সম্পূৰ্ণ কৰা।
উত্তৰঃ প্ৰতিটো শাৰীত অজ্ঞাত মান = (ল.সা.গু × গ.সা.উ) ÷ জনা সংখ্যাটো ব্যৱহাৰ কৰি পোৱা যায়। সম্পূৰ্ণ তালিকাখন হ’ল —
| ক্ৰমিক নং | প্ৰথম সংখ্যা | দ্বিতীয় সংখ্যা | ল.সা.গু | গ.সা.উ |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 97 | 39 | 3783 | 1 |
| 2 | 6 | 33 | 66 | 3 |
| 3 | 68 | 8 | 136 | 4 |
| 4 | 8 | 28 | 56 | 4 |
| 5 | 189 | 54 | 378 | 27 |
| 6 | 208 | 32 | 416 | 16 |
| 7 | 510 | 60 | 1020 | 30 |
| 8 | 46 | 161 | 322 | 23 |
| 9 | 517 | 94 | 1034 | 47 |
| 10 | 77 | 539 | 539 | 77 |
২। স্তম্ভৰ পৰা মানবোৰ মিলাই শুদ্ধ উত্তৰটো বাছি উলিওৱা। স্তম্ভ I (সংখ্যা): (P) 6, 20 (Q) 12, 15, 21 (R) 17, 23, 29 (S) 8, 9, 25; স্তম্ভ II (গ.সা.উ): (a) 1 (b) 1 (c) 2 (d) 3; স্তম্ভ III (ল.সা.গু): (i) 420 (ii) 60 (iii) 1800 (iv) 11339।
উত্তৰঃ P (6, 20): গ.সা.উ = 2, ল.সা.গু = 60 → c, (ii)। Q (12, 15, 21): গ.সা.উ = 3, ল.সা.গু = 420 → d, (i)। R (17, 23, 29): তিনিওটা মৌলিক, গ.সা.উ = 1, ল.সা.গু = 11339 → a, (iv)। S (8, 9, 25): সহমৌলিক, গ.সা.উ = 1, ল.সা.গু = 1800 → b, (iii)। গতিকে শুদ্ধ বিকল্প (D) P → c → (ii), Q → d → (i), R → a → (iv), S → b → (iii)।
কৰি চাওঁ আহা ১১.৬
১। গ.সা.উ সম্পৰ্কে তলৰ কোনবোৰ ক্ষেত্ৰত সাধাৰণ উক্তি গঠন কৰিব পাৰি ব্যাখ্যা কৰা। (a) দুই ক্ৰমিক অযুগ্ম সংখ্যা (b) দুই ক্ৰমিক সংখ্যা (c) দুই সহমৌলিক সংখ্যা (d) দুই মৌলিক সংখ্যা (e) দুই যুগ্ম সংখ্যা (f) 3 ৰ দুই গুণিতক
উত্তৰঃ (a), (b), (c), (d) ক্ষেত্ৰত নিশ্চিত সাধাৰণ উক্তি গঠন কৰিব পাৰি, কাৰণ প্ৰতিটোতে গ.সা.উ = 1 — (a) দুই ক্ৰমিক অযুগ্ম সংখ্যা 2 ৰে পাৰ্থক্য যুক্ত আৰু দুয়োটা অযুগ্ম বাবে উমৈহতীয়া উৎপাদক 2 হ’ব নোৱাৰে; (b) দুই ক্ৰমিক সংখ্যা 1 ৰে পাৰ্থক্য যুক্ত; (c) সহমৌলিক সংখ্যাৰ সংজ্ঞাই গ.সা.উ 1; (d) দুই বেলেগ মৌলিক সংখ্যাৰ উমৈহতীয়া উৎপাদক কেৱল 1। কিন্তু (e) দুই যুগ্ম সংখ্যা আৰু (f) 3 ৰ দুই গুণিতকৰ ক্ষেত্ৰত গ.সা.উ ৰ নিৰ্দিষ্ট মান ক’ব নোৱাৰি (ই সলনি হয়) — মাত্ৰ ইমান ক’ব পাৰি যে (e) ত গ.সা.উ কমেও 2 আৰু (f) ত কমেও 3।
২। ল.সা.গু সম্পৰ্কে তলৰ কোনবোৰ ক্ষেত্ৰত সাধাৰণ উক্তি গঠন কৰিব পাৰি ব্যাখ্যা কৰা। (a) দুই ক্ৰমিক সংখ্যা (b) দুই সহমৌলিক সংখ্যা (c) দুই মৌলিক সংখ্যা (d) দুই যুগ্ম সংখ্যা (e) 3 ৰ দুই গুণিতক
উত্তৰঃ (a), (b), (c) ক্ষেত্ৰত নিশ্চিত সাধাৰণ উক্তি গঠন কৰিব পাৰি — এই তিনিওটাত গ.সা.উ = 1 হোৱা বাবে ল.সা.গু = সংখ্যা দুটাৰ পূৰণফল। কিন্তু (d) দুই যুগ্ম সংখ্যা আৰু (e) 3 ৰ দুই গুণিতকৰ ক্ষেত্ৰত গ.সা.উ 1 নহয় আৰু ই সলনি হয়, সেয়ে ল.সা.গু ৰ কোনো নিৰ্দিষ্ট সাধাৰণ সূত্ৰ গঠন কৰিব নোৱাৰি।
অনুশীলনী ১১
১। আটাইতকৈ সৰু সংখ্যাটো নিৰ্ণয় কৰা যিটো 12 আৰু 18 ৰে বিভাজ্য হয়।
উত্তৰঃ বিচৰা সংখ্যাটো = 12 আৰু 18 ৰ ল.সা.গু। 12 = 2² × 3, 18 = 2 × 3²; ল.সা.গু = 2² × 3² = 36।
২। 24 টা মিঠাই আৰু 4 টা চকলেট বেছি কেই ব্যক্তিৰ মাজত সমানে বাণ্টিব পাৰি?
উত্তৰঃ সৰ্বাধিক ব্যক্তি = 24 আৰু 4 ৰ গ.সা.উ = 4 জন। প্ৰতিজনে 6 টা মিঠাই আৰু 1 টা চকলেট পাব।
৩। এটা পাচিত থকা কিছুমান আম সমানকৈ 5, 6 আৰু 9 টাকৈ ভাগ কৰিব পাৰি। পাচিটিত থকা আমৰ নূন্যতম সংখ্যা কিমান?
উত্তৰঃ নূন্যতম সংখ্যা = 5, 6, 9 ৰ ল.সা.গু। 5, 6 = 2 × 3, 9 = 3²; ল.সা.গু = 2 × 3² × 5 = 90 টা আম।
৪। তলৰ মানবোৰ নিৰ্ণয় কৰি ঊৰ্ধক্ৰমত সজোৱা: (P) 10 আৰু 9 ৰ ল.সা.গু (Q) 150 আৰু 185 ৰ গ.সা.উ (R) 10 আৰু 15 ৰ ল.সা.গু (S) 128 আৰু 144 ৰ গ.সা.উ। (A) S, R, Q, P (B) P, Q, R, S (C) Q, S, R, P (D) R, P, Q, S
উত্তৰঃ P = 10 × 9 = 90 (সহমৌলিক); Q = গ.সা.উ(150, 185) = 5; R = ল.সা.গু(10, 15) = 30; S = গ.সা.উ(128, 144) = 16। ঊৰ্ধক্ৰম: 5 < 16 < 30 < 90, অৰ্থাৎ Q, S, R, P। গতিকে শুদ্ধ বিকল্প (C) Q, S, R, P।
৫। তিনিটা মন্দিৰত তিনিটা ঘণ্টা ক্ৰমে 30, 45 আৰু 60 মিনিটৰ মূৰে মূৰে বাজে। এবাৰ তিনিওটা একেলগে বাজিলে, কিমান সময়ৰ পাছত পুনৰ একেলগে বাজিব?
উত্তৰঃ সময় = 30, 45, 60 ৰ ল.সা.গু = 2² × 3² × 5 = 180 মিনিট = 3 ঘণ্টা।
৬। ফল বিক্ৰেতা হৰধনে 210 টা কমলা, 252 টা আপেল আৰু 294 টা মধুৰীটেঙা সৰু সৰু বাকচত সমান সংখ্যকৈ ভৰাব বিচাৰে। প্ৰতিটো বাকচত সৰ্বাধিক কিমান ফল ভৰাব পাৰিব?
উত্তৰঃ সৰ্বাধিক ফল = 210, 252, 294 ৰ গ.সা.উ। 210 = 2 × 3 × 5 × 7, 252 = 2² × 3² × 7, 294 = 2 × 3 × 7²; গ.সা.উ = 2 × 3 × 7 = 42 টা ফল প্ৰতিটো বাকচত।
৭। স্তম্ভত থকা উক্তিবোৰ মিলালে কোনটো শুদ্ধ হয়? (P) দুই সহমৌলিক সংখ্যাৰ গ.সা.উ হ’ব — 1. 29 (Q) 20, 30 আৰু 40 ৰ ল.সা.গু হ’ব — 2. 1 (R) 638 আৰু 783 ৰ গ.সা.উ হ’ব — 3. 18 (S) 18 হ’ল 6 ৰ গুণিতক, সেয়ে 6 আৰু 18 ৰ ল.সা.গু হ’ব — 4. 120। বিকল্প: (A) P-4, Q-3, R-2, S-1 (B) P-3, Q-4, R-1, S-2 (C) P-2, Q-4, R-1, S-3 (D) P-1, Q-2, R-3, S-4
উত্তৰঃ P = 1 (সহমৌলিকৰ গ.সা.উ) → 2; Q = ল.সা.গু(20, 30, 40) = 120 → 4; R = গ.সা.উ(638, 783) = 29 → 1 (638 = 2 × 11 × 29, 783 = 3³ × 29); S = ল.সা.গু(6, 18) = 18 → 3। গতিকে শুদ্ধ বিকল্প (C) P-2, Q-4, R-1, S-3।
৮। মুকুলে 45 জোপা বেঙেনা, 81 জোপা জলকীয়া আৰু 63 জোপা বিলাহীৰ পুলি এনেদৰে ৰুব বিচাৰে যাতে প্ৰতিটো শাৰীত একেবিধ পুলি সমান সংখ্যকৈ থাকে। এটা শাৰীত সৰ্বাধিক কিমান পুলি ৰব পাৰিব?
উত্তৰঃ সৰ্বাধিক পুলি = 45, 81, 63 ৰ গ.সা.উ। 45 = 3² × 5, 81 = 3⁴, 63 = 3² × 7; গ.সা.উ = 3² = 9 টা পুলি প্ৰতিটো শাৰীত।
৯। এজন দৰ্জীয়ে 72 চে.মি., 90 চে.মি. আৰু 108 চে.মি. দৈৰ্ঘ্যৰ তিনিবিধ ৰঙীন ফিটাৰপৰা সমান দৈৰ্ঘ্যৰ টুকুৰা কাটিব বিচাৰে যাতে একো টুকুৰা অৱশিষ্ট নাথাকে। প্ৰতিটো টুকুৰাৰ সৰ্বাধিক দৈৰ্ঘ্য কিমান হ’ব?
উত্তৰঃ সৰ্বাধিক দৈৰ্ঘ্য = 72, 90, 108 ৰ গ.সা.উ। 72 = 2³ × 3², 90 = 2 × 3² × 5, 108 = 2² × 3³; গ.সা.উ = 2 × 3² = 18 চে.মি.।
১০। উক্তি (A): 30 আৰু আন এটা সংখ্যাৰ ল.সা.গু আৰু গ.সা.উ ৰ পূৰণফল 720 হ’লে আন সংখ্যাটো 24 হ’ব। যুক্তি (R): দুটা সংখ্যাৰ ল.সা.গু × গ.সা.উ = সংখ্যা দুটাৰ পূৰণফল।
উত্তৰঃ ল.সা.গু × গ.সা.উ = 30 × আন সংখ্যা = 720, সেয়ে আন সংখ্যা = 720 ÷ 30 = 24 — উক্তি (A) সত্য। যুক্তি (R) ও সত্য আৰু ই (A) ৰ শুদ্ধ ব্যাখ্যা। গতিকে (A) দুয়োটা সত্য আৰু (R), (A) ৰ শুদ্ধ ব্যাখ্যা।
১১। 18, 24 আৰু 32 ৰে বিভাজ্য হোৱা 4 অংকৰ ক্ষুদ্ৰতম সংখ্যাটো উলিওৱা।
উত্তৰঃ প্ৰথমে ল.সা.গু(18, 24, 32) = 2⁵ × 3² = 288। 288 × 3 = 864 (3 অংকৰ), 288 × 4 = 1152 (4 অংকৰ)। গতিকে বিচৰা ক্ষুদ্ৰতম 4 অংকৰ সংখ্যা 1152।
১২। তিনিজন বন্ধুৰ প্ৰতিটো খোজে ক্ৰমে 63 চে.মি., 70 চে.মি. আৰু 77 চে.মি. দূৰত্ব অতিক্ৰম কৰে। কিমান নূন্যতম দূৰত্ব অতিক্ৰম কৰিলে তেওঁলোকে পুনৰ একে ঠাইত লগ হ’ব?
উত্তৰঃ নূন্যতম দূৰত্ব = 63, 70, 77 ৰ ল.সা.গু। 63 = 3² × 7, 70 = 2 × 5 × 7, 77 = 7 × 11; ল.সা.গু = 2 × 3² × 5 × 7 × 11 = 6930 চে.মি. (= 69.3 মিটাৰ)।
১৩। আটাইতকৈ ডাঙৰ কি সংখ্যাই 35, 45 আৰু 50 ৰে বিভাজন কৰিলে ভাগশেষ নাথাকিব?
উত্তৰঃ বিচৰা সংখ্যা = 35, 45, 50 ৰ গ.সা.উ। 35 = 5 × 7, 45 = 3² × 5, 50 = 2 × 5²; গ.সা.উ = 5।
১৪। গাখীৰৰ তিনিটা পাত্ৰৰ ধাৰণক্ষমতা ক্ৰমে 180 লিটাৰ, 264 লিটাৰ আৰু 252 লিটাৰ। তিনিওটা পাত্ৰৰ গাখীৰ নোজোখাকৈ অৱশিষ্ট নাথাকিব লাগে হ’লে জোখা পাত্ৰটোৰ সৰ্বাধিক ধাৰণক্ষমতা কিমান হ’ব লাগিব?
উত্তৰঃ সৰ্বাধিক ধাৰণক্ষমতা = 180, 264, 252 ৰ গ.সা.উ। 180 = 2² × 3² × 5, 264 = 2³ × 3 × 11, 252 = 2² × 3² × 7; গ.সা.উ = 2² × 3 = 12 লিটাৰ।
১৫। বিৰদত্ত, ফাৰহান আৰু ৰাতুলে এটা বৃত্তাকাৰ ট্ৰেক ক্ৰমে 12 মিনিট, 15 মিনিট আৰু 18 মিনিটত অতিক্ৰম কৰে। তেওঁলোকে একেলগে আৰম্ভ কৰি একেলগে আৰম্ভণিৰ ঠাইলৈ ঘূৰি অহাৰ বাবে কিমান ঘণ্টা চলাব লাগিব?
উত্তৰঃ সময় = 12, 15, 18 ৰ ল.সা.গু = 2² × 3² × 5 = 180 মিনিট = 3 ঘণ্টা।
১৬। বীথিকাৰ ওচৰত 18 ডাল পেঞ্চিল আৰু 36 ডাল ৰবৰ আছিল। প্ৰতিটো গোটত সমান সংখ্যক পেঞ্চিল আৰু সমান সংখ্যক ৰবৰ থাকিব লাগে হ’লে বীথিকাই সৰ্বাধিক কিমান গোট সাজিব পাৰিব?
উত্তৰঃ সৰ্বাধিক গোট = 18 আৰু 36 ৰ গ.সা.উ = 18 টা গোট (প্ৰতিটো গোটত 1 ডাল পেঞ্চিল আৰু 2 ডাল ৰবৰ)।
১৭। উক্তি (A): দুটা সংখ্যাৰ ল.সা.গু 60 আৰু গ.সা.উ 6 হ’লে সংখ্যা দুটা ক্ৰমে 24 আৰু 15। যুক্তি (R): দুটা সংখ্যাৰ ল.সা.গু সদায় সংখ্যা দুটাৰে বিভাজ্য হয়।
উত্তৰঃ 24 আৰু 15 ৰ গ.সা.উ = 3 (6 নহয়) আৰু ল.সা.গু = 120 (60 নহয়), সেয়ে উক্তি (A) অসত্য। কিন্তু যুক্তি (R) সত্য (ল.সা.গু সদায় সংখ্যা দুটাৰে বিভাজ্য)। গতিকে (D) উক্তি (A) অসত্য কিন্তু যুক্তি (R) সত্য।
১৮। ৰঙা লাইট 4 চেকেণ্ডৰ আৰু সেউজীয়া লাইট 6 চেকেণ্ডৰ অন্তৰালত জ্বলে। একেসময়ত জ্বলাৰ পৰা আৰম্ভ কৰি 60 চেকেণ্ডত দুয়োবিধ লাইটে একেসময়ত কিমানবাৰ জ্বলিব?
উত্তৰঃ দুয়োবিধ একেসময়ত জ্বলে 4 আৰু 6 ৰ ল.সা.গু = 12 চেকেণ্ডৰ মূৰে মূৰে, অৰ্থাৎ 12, 24, 36, 48, 60 চেকেণ্ডত = 5 বাৰ।
১৯। অংকুৰে 3 দিনৰ মূৰে মূৰে আৰু ৰিতুৱে 2 দিনৰ মূৰে মূৰে শাৰীৰিক ব্যায়াম আঁত ধৰে। আজি দুয়ো একেলগে আঁত ধৰিলে। অহা 30 দিনত তেওঁলোকে একেলগে কিমান দিন ব্যায়াম আঁত ধৰিব?
উত্তৰঃ দুয়ো একেলগে আঁত ধৰে 2 আৰু 3 ৰ ল.সা.গু = 6 দিনৰ মূৰে মূৰে, অৰ্থাৎ 6, 12, 18, 24, 30 দিনত = 5 দিন।
পৰিশিষ্ট: উৎপাদকৰ সংখ্যা নিৰ্ণয়
কোনো সংখ্যাৰ মৌলিক উৎপাদকীকৰণৰ পৰা তাৰ মুঠ উৎপাদক সংখ্যা সহজে নিৰ্ণয় কৰিব পাৰি। যদি এটা সংখ্যাৰ মৌলিক উৎপাদকীকৰণ $N = a^{p} \times b^{q} \times c^{r}$ (য’ত a, b, c মৌলিক সংখ্যা), তেন্তে N ৰ মুঠ উৎপাদক সংখ্যা = $(p+1)(q+1)(r+1)$। যেনে — 72 = 2³ × 3² হোৱা বাবে মুঠ উৎপাদক = (3 + 1)(2 + 1) = 12।
অতিৰিক্ত প্ৰশ্ন আৰু উত্তৰ
বহুবিকল্পীয় প্ৰশ্ন (MCQ)
১। 24 ৰ মৌলিক উৎপাদকীকৰণ হ’ল — (ক) 2 × 2 × 6 (খ) 2 × 2 × 2 × 3 (গ) 4 × 6 (ঘ) 3 × 8
উত্তৰঃ (খ) 2 × 2 × 2 × 3।
২। দুই সহমৌলিক সংখ্যাৰ গ.সা.উ হ’ল — (ক) 0 (খ) 1 (গ) সংখ্যা দুটাৰ পূৰণফল (ঘ) 2
উত্তৰঃ (খ) 1।
৩। 12 আৰু 18 ৰ ল.সা.গু হ’ল — (ক) 6 (খ) 36 (গ) 72 (ঘ) 216
উত্তৰঃ (খ) 36।
৪। যিকোনো সংখ্যা n আৰু তাৰ গুণিতক 5n ৰ গ.সা.উ হ’ল — (ক) 5n (খ) 5 (গ) n (ঘ) 1
উত্তৰঃ (গ) n।
৫। দুটা সংখ্যাৰ ল.সা.গু 60 আৰু গ.সা.উ 5 হ’লে সংখ্যা দুটাৰ পূৰণফল — (ক) 12 (খ) 65 (গ) 300 (ঘ) 55
উত্তৰঃ (গ) 300 (ল.সা.গু × গ.সা.উ = 60 × 5 = 300)।
৬। 1 আৰু যিকোনো সংখ্যা n ৰ ল.সা.গু হ’ল — (ক) 1 (খ) n (গ) n + 1 (ঘ) 0
উত্তৰঃ (খ) n।
৭। তলৰ কোনটো সংখ্যা মৌলিক সংখ্যা? (ক) 91 (খ) 51 (গ) 101 (ঘ) 87
উত্তৰঃ (গ) 101 (91 = 7 × 13, 51 = 3 × 17, 87 = 3 × 29)।
৮। দুই ক্ৰমিক (পাশাপাশি) সংখ্যাৰ গ.সা.উ সদায় হ’ব — (ক) 2 (খ) 1 (গ) সংখ্যা দুটাৰ যোগফল (ঘ) নিৰ্ধাৰণ কৰিব নোৱাৰি
উত্তৰঃ (খ) 1।
৯। 60 ৰ মৌলিক উৎপাদকীকৰণৰ পৰা তাৰ মুঠ উৎপাদক সংখ্যা — (ক) 6 (খ) 8 (গ) 10 (ঘ) 12
উত্তৰঃ (ঘ) 12 [60 = 2² × 3 × 5, মুঠ উৎপাদক = (2+1)(1+1)(1+1) = 12]।
১০। প্ৰমাণ নোহোৱা, কেৱল পৰ্যবেক্ষণ বা অন্তৰ্দৃষ্টিৰ পৰা কৰা গাণিতিক উক্তিক কি বোলে? (ক) সাধাৰণীকৰণ (খ) অনুমান (conjecture) (গ) উপপাদ্য (ঘ) সূত্ৰ
উত্তৰঃ (খ) অনুমান (conjecture)।
খালী ঠাই পূৰ কৰা
১। প্ৰতিটো সংখ্যাৰে বিভাজ্য হোৱা সৰ্বনিম্ন সাধাৰণ গুণিতকক ______ বোলে।
উত্তৰঃ লঘিষ্ঠ সাধাৰণ গুণিতক (ল.সা.গু)।
২। দুই বা ততোধিক সংখ্যাৰ সাধাৰণ উৎপাদকসমূহৰ ভিতৰত সৰ্ববৃহৎটোক ______ বোলে।
উত্তৰঃ গৰিষ্ঠ সাধাৰণ উৎপাদক (গ.সা.উ)।
৩। যাৰ গ.সা.উ 1, এনে দুটা সংখ্যাক ______ সংখ্যা বোলে।
উত্তৰঃ সহমৌলিক।
৪। দুই সংখ্যাৰ ল.সা.গু × গ.সা.উ = সংখ্যা দুটাৰ ______।
উত্তৰঃ পূৰণফল।
৫। যিকোনো মৌলিক সংখ্যাৰ উৎপাদক কেৱল ______ টা।
উত্তৰঃ দুটা (1 আৰু সংখ্যাটো নিজে)।
শুদ্ধ নে অশুদ্ধ লিখা
১। 1 হ’ল প্ৰতিটো সংখ্যাৰ উৎপাদক।
উত্তৰঃ শুদ্ধ।
২। দুই সংখ্যাৰ গ.সা.উ সদায় সিহঁতৰ ল.সা.গু তকৈ ডাঙৰ।
উত্তৰঃ অশুদ্ধ (গ.সা.উ সদায় ল.সা.গু তকৈ সৰু বা সমান)।
৩। দুই ক্ৰমিক সংখ্যা সদায়ে সহমৌলিক।
উত্তৰঃ শুদ্ধ।
৪। যিকোনো সংখ্যাৰ ল.সা.গু সদায় সেই সংখ্যাটোৰে বিভাজ্য।
উত্তৰঃ শুদ্ধ।
৫। তিনি বা ততোধিক সংখ্যাৰ ক্ষেত্ৰত “ল.সা.গু × গ.সা.উ = পূৰণফল” সদায়ে সত্য।
উত্তৰঃ অশুদ্ধ (তিনি বা ততোধিক সংখ্যাৰ ক্ষেত্ৰত ই সদায়ে সত্য নহয়)।
চমু প্ৰশ্নৰ উত্তৰ
১। উৎপাদক আৰু গুণিতকৰ মাজৰ পাৰ্থক্য কি?
উত্তৰঃ কোনো সংখ্যাক নিঃশেষে ভাগ কৰা সংখ্যাটো তাৰ উৎপাদক (যেনে 3 হ’ল 12 ৰ উৎপাদক), আৰু কোনো সংখ্যাক পূৰ্ণসংখ্যাৰে পূৰণ কৰি পোৱা সংখ্যাবোৰ তাৰ গুণিতক (যেনে 12, 24, 36 হ’ল 12 ৰ গুণিতক)। উৎপাদক সংখ্যাটোতকৈ সৰু বা সমান হয়, গুণিতক সংখ্যাটোতকৈ ডাঙৰ বা সমান হয়।
২। 36 আৰু 48 ৰ গ.সা.উ আৰু ল.সা.গু নিৰ্ণয় কৰা আৰু ল.সা.গু × গ.সা.উ = পূৰণফল সম্পৰ্কটো পৰীক্ষা কৰা।
উত্তৰঃ 36 = 2² × 3², 48 = 2⁴ × 3। গ.সা.উ = 2² × 3 = 12; ল.সা.গু = 2⁴ × 3² = 144। ল.সা.গু × গ.সা.উ = 144 × 12 = 1728, আৰু 36 × 48 = 1728 — গতিকে সম্পৰ্কটো সত্য।
৩। সহমৌলিক সংখ্যা মানে কি? এটা উদাহৰণ দিয়া।
উত্তৰঃ যি দুটা সংখ্যাৰ 1 ৰ বাহিৰে আন কোনো সাধাৰণ উৎপাদক নাথাকে অৰ্থাৎ যাৰ গ.সা.উ 1, সেই দুটাক সহমৌলিক (co-prime) সংখ্যা বোলে। যেনে 8 আৰু 15 সহমৌলিক (গ.সা.উ = 1) যদিও দুয়োটা মৌলিক সংখ্যা নহয়।
৪। চুটি হৰণ পদ্ধতিৰে 24 আৰু 36 ৰ ল.সা.গু নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ উমৈহতীয়া মৌলিক সংখ্যাৰে হৰণ কৰিলে: 2 | 24, 36 → 2 | 12, 18 → 3 | 6, 9 → 2, 3। ল.সা.গু = 2 × 2 × 3 × 2 × 3 = 72।
শব্দাৰ্থ
| অসমীয়া শব্দ | English term | অৰ্থ |
|---|---|---|
| উৎপাদক | Factor | কোনো সংখ্যাক নিঃশেষে ভাগ কৰা সংখ্যা |
| গুণিতক | Multiple | কোনো সংখ্যাক পূৰ্ণসংখ্যাৰে পূৰণ কৰি পোৱা সংখ্যা |
| মৌলিক উৎপাদক | Prime factor | মৌলিক সংখ্যা হোৱা উৎপাদক |
| মৌলিক উৎপাদকীকৰণ | Prime factorisation | সংখ্যাক মৌলিক উৎপাদকৰ পূৰণফলৰূপে প্ৰকাশ কৰা |
| সাধাৰণ উৎপাদক | Common factor | দুই বা ততোধিক সংখ্যাৰ উমৈহতীয়া উৎপাদক |
| গৰিষ্ঠ সাধাৰণ উৎপাদক (গ.সা.উ) | Highest Common Factor (HCF/GCD) | সাধাৰণ উৎপাদকসমূহৰ ভিতৰত সৰ্ববৃহৎটো |
| লঘিষ্ঠ সাধাৰণ গুণিতক (ল.সা.গু) | Least Common Multiple (LCM) | সাধাৰণ গুণিতকসমূহৰ ভিতৰত সৰ্বনিম্নটো |
| উৎপাদক বৃক্ষ | Factor tree | মৌলিক উৎপাদক বিচৰাৰ বৃক্ষাকৃতি চিত্ৰ |
| চুটি হৰণ পদ্ধতি | Short division method | উমৈহতীয়া মৌলিক সংখ্যাৰে হৰণ কৰি নিৰ্ণয়ৰ পদ্ধতি |
| সহমৌলিক সংখ্যা | Co-prime numbers | গ.সা.উ 1 হোৱা দুটা সংখ্যা |
| অনুমান | Conjecture | এতিয়ালৈকে প্ৰমাণ নোহোৱা গাণিতিক ধাৰণা |
| সাধাৰণীকৰণ | Generalisation | বিশেষ ফলাফলক সাধাৰণ নিয়মলৈ ৰূপান্তৰ কৰা |