অখণ্ড সংখ্যা — প্ৰশ্ন উত্তৰ
HSLC Guru-ত আপোনাক স্বাগতম। এই পাঠত ASSEB Class 7 নতুন গণিত (New Mathematics)-ৰ দশম অধ্যায় অখণ্ড সংখ্যাৰ পাঠ্যপুথিৰ সকলো “কৰি চাওঁ আহা” বাকচ, সমাধানকৃত উদাহৰণ আৰু “অনুশীলনী ১০”-ৰ প্ৰতিটো প্ৰশ্নৰ সম্পূৰ্ণ কষা সমাধানৰ লগতে অতিৰিক্ত প্ৰশ্ন-উত্তৰ আৰু শব্দাৰ্থ দিয়া হৈছে।
সাৰাংশ
অখণ্ড সংখ্যা মানে ধনাত্মক সংখ্যা, ঋণাত্মক সংখ্যা আৰু শূন্য একেলগে (…, −৩, −২, −১, ০, ১, ২, ৩, …)। সংখ্যাৰেখাত শূন্যৰ সোঁফালে ধনাত্মক আৰু বাওঁফালে ঋণাত্মক অখণ্ড সংখ্যাবোৰ থাকে। এই অধ্যায়ত আমি অখণ্ড সংখ্যাৰ যোগ আৰু বিয়োগৰ পুনৰালোচনা কৰোঁ আৰু দেখোঁ যে অখণ্ড সংখ্যাবোৰ যোগ আৰু বিয়োগৰ সাপেক্ষে আৱৰণ (closed); যোগৰ সাপেক্ষে বিনিময় বিধি আৰু সহযোগ বিধি মানি চলে কিন্তু বিয়োগৰ সাপেক্ষে মানি নচলে।
শূন্য (০) হৈছে যোগাত্মক অভেদ আৰু a-ৰ যোগাত্মক বিপৰীত −a। পূৰণৰ চিনৰ নিয়ম হ’ল — একে চিন থকা দুটা অখণ্ড সংখ্যাৰ পূৰণফল ধনাত্মক আৰু ভিন্ন চিন থকা দুটাৰ পূৰণফল ঋণাত্মক। অখণ্ড সংখ্যাবোৰে পূৰণৰ সাপেক্ষে আৱৰণ, বিনিময়, সহযোগ আৰু বিতৰণ বিধি মানি চলে; ১ হৈছে পূৰণাত্মক অভেদ।
হৰণ হৈছে পূৰণৰ বিপৰীত প্ৰক্ৰিয়া। অখণ্ড সংখ্যাবোৰ হৰণৰ সাপেক্ষে আৱৰণ নহয় আৰু হৰণে বিনিময় বা সহযোগ বিধিও মানি নচলে। যিকোনো অ-শূন্য অখণ্ড সংখ্যা a-ৰ বাবে a ÷ 0 সংজ্ঞায়িত নহয়, কিন্তু 0 ÷ a = 0। ভাৰতীয় গণিতজ্ঞ ব্ৰহ্মগুপ্তই ধন (fortune) আৰু ঋণ (debt)ৰ সহায়ত পূৰণ-হৰণৰ চিনৰ নিয়ম প্ৰথমবাৰৰ বাবে লিপিবদ্ধ কৰিছিল।
Summary: This ASSEB Class 7 New Mathematics Chapter 10 “Integers” (অখণ্ড সংখ্যা) solution revises addition and subtraction of integers, then covers the closure, commutative, associative and distributive properties, additive identity and additive inverse, the sign rules for multiplication, multiplication and division of integers, multiplication/division by zero, Brahmagupta’s rules, and real-life applications. Every “কৰি চাওঁ আহা” (Work it Out 10.1–10.5) box, all twelve worked Examples and the end-of-chapter Exercise 10 are solved step by step for HSLC Guru.
অখণ্ড সংখ্যা সংখ্যাৰেখাত
তলৰ সংখ্যাৰেখাত মাজত শূন্য (০), সোঁফালে ধনাত্মক (১, ২, ৩, …) আৰু বাওঁফালে ঋণাত্মক (−১, −২, −৩, …) অখণ্ড সংখ্যাবোৰ দেখুওৱা হৈছে। যোগ কৰিলে সোঁফালে আৰু বিয়োগ কৰিলে বাওঁফালে খোজ পেলাব লাগে। উদাহৰণস্বৰূপে −2 ৰ পৰা 5 খোজ সোঁফালে গ’লে 3 পোৱা যায়, অৰ্থাৎ (−2) + 5 = 3।
পাঠ্যপুথিৰ প্ৰশ্ন আৰু উত্তৰ
তালিকা পূৰ কৰা (যোগ আৰু বিয়োগ)
তালিকা I — উলম্বভাৱে থকা অখণ্ড সংখ্যাৰ লগত অনুভূমিকভাৱে থকা অখণ্ড সংখ্যা যোগ কৰি খালী ঘৰবোৰ পূৰ কৰা (যেনে 3 + (−2) = 1)।
উত্তৰঃ প্ৰতিটো ঘৰত (শাৰীৰ সংখ্যা + স্তম্ভৰ সংখ্যা) বহে —
| + | 11 | −14 | −2 | 16 | 17 | −8 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| −12 | −1 | −26 | −14 | 4 | 5 | −20 |
| 3 | 14 | −11 | 1 | 19 | 20 | −5 |
| 0 | 11 | −14 | −2 | 16 | 17 | −8 |
| −19 | −8 | −33 | −21 | −3 | −2 | −27 |
| 15 | 26 | 1 | 13 | 31 | 32 | 7 |
প্ৰতিটো ঘৰৰ যোগফল এটা অখণ্ড সংখ্যা — ইয়াৰ পৰাই যোগৰ সাপেক্ষে অখণ্ড সংখ্যাৰ আৱৰণ বিধি প্ৰমাণ হয়।
তালিকা II — উলম্বভাৱে থকা অখণ্ড সংখ্যাৰ পৰা অনুভূমিকভাৱে থকা অখণ্ড সংখ্যা বিয়োগ কৰি খালী ঘৰবোৰ পূৰ কৰা (যেনে (−8) − (−4) = −4)।
উত্তৰঃ প্ৰতিটো ঘৰত (শাৰীৰ সংখ্যা − স্তম্ভৰ সংখ্যা) বহে —
| − | 20 | 12 | −4 | 0 | 9 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 14 | −6 | 2 | 18 | 14 | 5 | 8 |
| 0 | −20 | −12 | 4 | 0 | −9 | −6 |
| −8 | −28 | −20 | −4 | −8 | −17 | −14 |
| −4 | −24 | −16 | 0 | −4 | −13 | −10 |
| 22 | 2 | 10 | 26 | 22 | 13 | 16 |
প্ৰতিটো ঘৰৰ বিয়োগফলো এটা অখণ্ড সংখ্যা — ইয়াৰ পৰাই বিয়োগৰ সাপেক্ষে অখণ্ড সংখ্যাৰ আৱৰণ বিধি প্ৰমাণ হয়।
কৰি চাওঁ আহা ১০.১
১। খালী ঠাই পূৰ কৰা —
উত্তৰঃ
(i) (−19) + (−9) = (−9) + (−19) (যোগৰ ক্ৰম বিনিময় বিধি)।
(ii) (−1) + {(−8) + 7} = {(−1) + (−8)} + 7 (যোগৰ সহযোগ বিধি)।
(iii) (−16) + 0 = −16 = 0 + (−16) (যোগাত্মক অভেদ)।
(iv) (27) + (−27) = 0 = (−27) + 27 (যোগাত্মক বিপৰীত)।
২। তলৰ উক্তিবোৰ সত্য নে অসত্য লিখা —
উত্তৰঃ
(i) 4 + (−15) + (−6) = (−6) + 4 + (−15) — দুয়োফালৰে মান −17, গতিকে সত্য।
(ii) (16 − 15) − (−7) = 1 + 7 = 8; আৰু 16 − {15 + (−7)} = 16 − 8 = 8 — সত্য।
(iii) অখণ্ড সংখ্যাবোৰ বিয়োগৰ সাপেক্ষে আৱৰণ — সত্য (দুটা অখণ্ড সংখ্যাৰ বিয়োগফল সদায় অখণ্ড সংখ্যা)।
(iv) বিয়োগৰ সাপেক্ষে ক্ৰম-বিনিময় আৰু সহযোগ বিধি প্ৰযোজ্য নহয় — সত্য।
কৰি চাওঁ আহা ১০.২
১। প্ৰতীকৰ সহায়ত তলৰ পূৰণফল উলিওৱা — (a) 5 × (−3) (b) (−4) × (−6) (c) (−4) × 2 (d) 4 × (−2)।
উত্তৰঃ চিনৰ নিয়ম প্ৰয়োগ কৰি —
(a) 5 × (−3) = −15 (ধনাত্মক × ঋণাত্মক = ঋণাত্মক)।
(b) (−4) × (−6) = 24 (ঋণাত্মক × ঋণাত্মক = ধনাত্মক)।
(c) (−4) × 2 = −8 (ঋণাত্মক × ধনাত্মক = ঋণাত্মক)।
(d) 4 × (−2) = −8 (ধনাত্মক × ঋণাত্মক = ঋণাত্মক)।
২। (−6) × 2 আৰু 6 × (−2) পূৰণফল দুটা একে হয়নে? প্ৰতীকৰ সহায়ত ব্যাখ্যা কৰা।
উত্তৰঃ হয়, দুয়োটা একে। (−6) × 2 মানে প্ৰতিটো বটলত 2 টা ঋণাত্মক (ৰঙা) প্ৰতীকৰ 6 টা বটল বা মুঠ 12 টা ঋণাত্মক প্ৰতীক, মান −12; আৰু 6 × (−2) মানে প্ৰতিটো বটলত 2 টা ৰঙা প্ৰতীকৰ 6 টা বটল, আকৌ 12 টা ঋণাত্মক প্ৰতীক, মান −12। গতিকে (−6) × 2 = 6 × (−2) = −12।
কৰি চাওঁ আহা ১০.৩
১। পূৰণফলবোৰ উলিওৱা — (a) (−5) × 9 (b) (−6) × (−13) (c) 4 × (−8) (d) (−15) × (−13) (e) 6 × (−13)।
উত্তৰঃ
(a) (−5) × 9 = −45।
(b) (−6) × (−13) = 78।
(c) 4 × (−8) = −32।
(d) (−15) × (−13) = 195।
(e) 6 × (−13) = −78।
২। 13 × 43 = 559 ব্যৱহাৰ কৰি পূৰণফল উলিওৱা — (a) (−13) × 43 (b) (−13) × (−43) (c) 13 × (−43)।
উত্তৰঃ প্ৰথমে চিন উপেক্ষা কৰি সংখ্যা পূৰণ কৰা (13 × 43 = 559), তাৰ পিছত চিনৰ নিয়ম লগাওঁ —
(a) (−13) × 43 = −559।
(b) (−13) × (−43) = 559।
(c) 13 × (−43) = −559।
৩। পূৰণফল উলিওৱা — (i) 5 × (−3) × 6 (ii) 7 × 5 × (−6) (iii) (−4) × (−6) × 5 (iv) 3 × (−7) × 8 × (−5) (v) 5 × (−6) × (−3) × (−8)।
উত্তৰঃ
(i) 5 × (−3) × 6 = (−15) × 6 = −90।
(ii) 7 × 5 × (−6) = 35 × (−6) = −210।
(iii) (−4) × (−6) × 5 = 24 × 5 = 120।
(iv) 3 × (−7) × 8 × (−5) = (−21) × 8 × (−5) = (−168) × (−5) = 840 (দুটা ঋণচিন, পূৰণফল ধনাত্মক)।
(v) 5 × (−6) × (−3) × (−8) = (−30) × (−3) × (−8) = 90 × (−8) = −720 (তিনিটা ঋণচিন, পূৰণফল ঋণাত্মক)।
কৰি চাওঁ আহা ১০.৪
১। পূৰণফল নিৰ্ণয় কৰা — (i) (−26) × (13) (ii) (−40) × (−50) × 20।
উত্তৰঃ
(i) (−26) × 13 = −338।
(ii) (−40) × (−50) × 20 = 2000 × 20 = 40000।
২। (i) যিকোনো অখণ্ড সংখ্যা a-ৰ বাবে (−1) × a-ৰ মান কিমান? (ii) দুটা অখণ্ড সংখ্যাৰ পূৰণফল 67। যদি এটা −1 হয় আনটো কিমান?
উত্তৰঃ (i) (−1) × a = −a (যিকোনো অখণ্ড সংখ্যাক −1 ৰে পূৰণ কৰিলে তাৰ যোগাত্মক বিপৰীত পোৱা যায়)। (ii) আনটো সংখ্যা = 67 ÷ (−1) = −67 (কাৰণ (−1) × (−67) = 67)।
৩। বিধিৰ ভিত্তিত শুদ্ধতা বিচাৰ কৰা — (i) 27 × {(−5) + 10} = 27 × (−5) + 27 × 10 (ii) (−44) × {(−33) + (−11)} = (−44) × (−33) × (−11)।
উত্তৰঃ (i) বাওঁফাল = 27 × 5 = 135; সোঁফাল = (−135) + 270 = 135। দুয়ো সমান — উক্তিটো শুদ্ধ (বিতৰণ বিধি)। (ii) বাওঁফাল = (−44) × (−44) = 1936; সোঁফাল = (−44) × (−33) × (−11) = 1452 × (−11) = −15972। দুয়ো সমান নহয় — উক্তিটো অশুদ্ধ (বিতৰণ বিধিত ভিতৰৰ চিন যোগ হ’ব লাগে, পূৰণ নহয়)।
৪। ক্ৰম বিনিময় আৰু সহযোগ বিধি ব্যৱহাৰ কৰি মান নিৰ্ণয় কৰা — (i) 125 × (−54) × 8 (ii) 15 × (−25) × (−4) × (−10)।
উত্তৰঃ
(i) 125 × (−54) × 8 = (125 × 8) × (−54) = 1000 × (−54) = −54000।
(ii) 15 × (−25) × (−4) × (−10) = 15 × {(−25) × (−4)} × (−10) = 15 × 100 × (−10) = 1500 × (−10) = −15000।
৫। বিতৰণ বিধিৰ সহায়ত মান নিৰ্ণয় কৰা — (i) 999 × 99 + 99 (ii) (−159) × 82 + (−159) × 16 + (−159) × 2।
উত্তৰঃ
(i) 999 × 99 + 99 = 99 × (999 + 1) = 99 × 1000 = 99000।
(ii) (−159) × 82 + (−159) × 16 + (−159) × 2 = (−159) × (82 + 16 + 2) = (−159) × 100 = −15900।
৬। (i) 7 × (−5 + 4)-ৰ মান 7 × (−5) + 7 × 4-ৰ সৈতে একেনে? (ii) 14 × {3 + (−8)}-ৰ মান 14 × 3 − 14 × 8-ৰ সৈতে একেনে?
উত্তৰঃ (i) 7 × (−5 + 4) = 7 × (−1) = −7; আৰু 7 × (−5) + 7 × 4 = −35 + 28 = −7 — একে। (ii) 14 × {3 + (−8)} = 14 × (−5) = −70; আৰু 14 × 3 − 14 × 8 = 42 − 112 = −70 — একে। (দুয়োটাই বিতৰণ বিধি দেখুৱায়।)
কৰি চাওঁ আহা ১০.৫
১। ভাগফল নিৰ্ণয় কৰা — (i) 15 ÷ (−3) (ii) (−144) ÷ 12 (iii) 0 ÷ (−22) (iv) {(−6) ÷ (−6)} ÷ (−1)।
উত্তৰঃ
(i) 15 ÷ (−3) = −5।
(ii) (−144) ÷ 12 = −12।
(iii) 0 ÷ (−22) = 0।
(iv) {(−6) ÷ (−6)} ÷ (−1) = 1 ÷ (−1) = −1।
২। খালী ঠাই পূৰ কৰা — (i) 625 ÷ (−25) = ____ (ii) {6 × (−12)} ÷ ____ = −9 (iii) ____ ÷ (5 − 6) = −20।
উত্তৰঃ
(i) 625 ÷ (−25) = −25।
(ii) (−72) ÷ ____ = −9 হ’বলৈ খালী ঠাইত 8 বহিব ((−72) ÷ 8 = −9)।
(iii) ____ ÷ (−1) = −20 হ’বলৈ খালী ঠাইত 20 বহিব (20 ÷ (−1) = −20)।
সমাধানকৃত উদাহৰণ
উদাহৰণ ১। (i) যোগফল −13 হোৱাকৈ অখণ্ড সংখ্যাৰ যোৰ কিছুমান লিখা। (ii) পাৰ্থক্য −4 হোৱাকৈ যোৰ কিছুমান লিখা। (iii) যোগফল 28 আৰু পাৰ্থক্য 4, লগতে যোগফল 25 আৰু পাৰ্থক্য 1 হোৱাকৈ অখণ্ড সংখ্যাৰ যোৰ নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ (i) যোগফল −13: (−6) + (−7), (−4) + (−9), (−20) + 7 আদি। (ii) পাৰ্থক্য −4 (অৰ্থাৎ a − b = −4): 3 − 7, (−5) − (−1), 0 − 4 আদি। (iii) যোগফল 28, পাৰ্থক্য 4 হ’লে সংখ্যা দুটা = 16 আৰু 12 (16 + 12 = 28, 16 − 12 = 4)। যোগফল 25, পাৰ্থক্য 1 হ’লে সংখ্যা দুটা = 13 আৰু 12 (13 + 12 = 25, 13 − 12 = 1)।
উদাহৰণ ২। পূৰণৰ বিধি ব্যৱহাৰ কৰি মান নিৰ্ণয় কৰা — (i) 50 × (−123) × 2 (ii) (−62) × 98 + (−62) × 2 (iii) (−96) × 98।
উত্তৰঃ
(i) 50 × (−123) × 2 = 50 × {2 × (−123)} = (50 × 2) × (−123) = 100 × (−123) = −12300 (ক্ৰম বিনিময় আৰু সহযোগ বিধি)।
(ii) (−62) × 98 + (−62) × 2 = (−62) × (98 + 2) = (−62) × 100 = −6200 (বিতৰণ বিধি)।
(iii) (−96) × 98 = (−96) × (100 − 2) = {(−96) × 100} − {(−96) × 2} = (−9600) − (−192) = −9600 + 192 = −9408 (বিতৰণ বিধি)।
উদাহৰণ ৩। এখন কুইজ প্ৰতিযোগিতাত প্ৰতিটো শুদ্ধ উত্তৰৰ বাবে 10 নম্বৰ আৰু প্ৰতিটো ভুল উত্তৰৰ বাবে −5 নম্বৰ দিয়া হৈছিল। (i) প্ৰথমজনে সকলো উত্তৰ দি 9 টা শুদ্ধ কৰি 35 নম্বৰ পালে। (ii) দ্বিতীয়জনে সকলো উত্তৰ দি 6 টা শুদ্ধ কৰি −10 নম্বৰ পালে। কোনে কেইটা ভুল কৰিছিল?
উত্তৰঃ (i) 9 টা শুদ্ধ উত্তৰৰ নম্বৰ = 9 × 10 = 90; কিন্তু পালে 35। ভুল উত্তৰৰ বাবে পোৱা নম্বৰ = 35 − 90 = −55; প্ৰতিটো ভুলত −5 নম্বৰ, গতিকে ভুল উত্তৰ = (−55) ÷ (−5) = 11 টা। (ii) 6 টা শুদ্ধ উত্তৰৰ নম্বৰ = 6 × 10 = 60; কিন্তু পালে −10। ভুল উত্তৰৰ বাবে পোৱা নম্বৰ = (−10) − 60 = −70; ভুল উত্তৰ = (−70) ÷ (−5) = 14 টা। গতিকে প্ৰথমজনে 11 টা আৰু দ্বিতীয়জনে 14 টা ভুল কৰিছিল।
উদাহৰণ ৪। কোনো ঠাইৰ এটা দিনৰ গড় উষ্ণতা 5°C। শীত তৰংগৰ বাবে প্ৰতিদিনে উষ্ণতা 3°C কৈ কমে, কিন্তু পঞ্চম দিনত 5°C বাঢ়ে। পঞ্চম দিনৰ গড় উষ্ণতা কিমান?
উত্তৰঃ প্ৰথম দিনৰ উষ্ণতা = 5°C। চাৰি দিনৰ পিছত = (5 − 4 × 3)°C = (5 − 12)°C = −7°C। পঞ্চম দিনত 5°C বাঢ়িল, গতিকে পঞ্চম দিনৰ গড় উষ্ণতা = (−7 + 5)°C = −2°C।
উদাহৰণ ৫। গৌতম এখন নদীৰ জলপৃষ্ঠৰ পৰা 15 মিটাৰ ওপৰত থকা দলঙৰ ওপৰত থিয় হৈ আছে। নদীৰ গভীৰতা 25 মিটাৰ হ’লে গৌতম নদীৰ তলিৰ পৰা কিমান ওপৰত আছে? (a) 10 মি (b) 15 মি (c) 25 মি (d) 40 মি।
উত্তৰঃ জলপৃষ্ঠক 0 ধৰিলে গৌতমৰ ভৰিৰ উচ্চতা h₁ = 15 − 0 = 15 মিটাৰ; নদীৰ তলিৰ গভীৰতা h₂ = 0 − (−25) = 25 মিটাৰ। গতিকে গৌতমৰ ভৰিৰ পৰা নদীৰ তলিৰ দূৰত্ব = (15 + 25) = 40 মিটাৰ। শুদ্ধ উত্তৰ (d) 40 মিটাৰ।
উদাহৰণ ৬। {(−12) × 16} + (−13)-ৰ মান — (a) −41 (b) −179 (c) −205 (d) −220।
উত্তৰঃ {(−12) × 16} + (−13) = (−192) + (−13) = −205। শুদ্ধ উত্তৰ (c) −205।
উদাহৰণ ৭। তলৰ কোনবোৰ বিকল্পৰ মান (−20) ÷ 5-ৰ সমান? (i) −4 (ii) −(20 ÷ 5) (iii) 20 ÷ (−5) (iv) (−5) ÷ 20। বিকল্পঃ (a) i, ii (b) ii, iii (c) iii, iv (d) i, ii, iii।
উত্তৰঃ (−20) ÷ 5 = −(20 ÷ 5) = −4। এতিয়া (i) −4 (একে), (ii) −(20 ÷ 5) = −4 (একে), (iii) 20 ÷ (−5) = −4 (একে), কিন্তু (iv) (−5) ÷ 20 = $-\frac{1}{4} \ne -4$। গতিকে শুদ্ধ উত্তৰ (d) i, ii, iii।
উদাহৰণ ৮। তলৰ বিকল্পবোৰৰ পৰা বিজোৰ যোৰটো উলিওৱা — (a) 2, −30 (b) −12, 5 (c) 4, −12 (d) 3, −20।
উত্তৰঃ 2 × (−30) = −60, (−12) × 5 = −60, 3 × (−20) = −60; কিন্তু 4 × (−12) = −48। গতিকে বিজোৰ যোৰ (c) 4, −12।
উদাহৰণ ৯। অখণ্ড সংখ্যাৰ যোৰ নিৰ্ণয় কৰা যাৰ পূৰণফল (−48) আৰু পাৰ্থক্য 16।
উত্তৰঃ পূৰণফল (−48) হোৱা যোৰবোৰ — (−1)×48, 1×(−48), (−2)×24, 2×(−24), (−3)×16, 3×(−16), (−4)×12, 4×(−12), (−6)×8, 6×(−8)। ইয়াৰ ভিতৰত পাৰ্থক্য 16 হোৱা যোৰ হ’ল (−4), 12 আৰু 4, (−12) (12 − (−4) = 16 আৰু 4 − (−12) = 16)।
উদাহৰণ ১০। উক্তি (A): দুটা অখণ্ড সংখ্যা (−16) আৰু (−9)ৰ পূৰণফল 144। যুক্তি (R): দুটা ঋণাত্মক অখণ্ড সংখ্যাৰ পূৰণফল সদায়েই ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যা।
উত্তৰঃ (−16) × (−9) = 144 সত্য আৰু দুটা ঋণাত্মকৰ পূৰণফল ধনাত্মক হোৱাও সত্য, লগতে যুক্তিটোৱে উক্তিটোৰ শুদ্ধ ব্যাখ্যা দিয়ে। গতিকে শুদ্ধ উত্তৰ (c) — উক্তি (A) আৰু যুক্তি (R) দুয়োটা সত্য আৰু (R)-এ (A)-ৰ শুদ্ধ ব্যাখ্যা।
উদাহৰণ ১১। a, b দুটা অখণ্ড সংখ্যাৰ বাবে Δ এনে এটা প্ৰক্ৰিয়া যাতে a Δ b = a × b + a × a + b × b। তেন্তে (−5) Δ 2-ৰ মান নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ (−5) Δ 2 = (−5) × 2 + (−5) × (−5) + 2 × 2 = −10 + 25 + 4 = −10 + 29 = 19।
উদাহৰণ ১২। এটা গণনা কৰা যন্ত্ৰত তিনিটা সংখ্যা দিলে (6, 8, −3 → −18), ((−2), 7, 4 → 26), ((−7), (−6), (−9) → 47) দেখুৱায়। প্ৰক্ৰিয়াটো নিৰ্ধাৰণ কৰি খালী ঠাইবোৰ পূৰ কৰা — (4, −8, 5 → ?), ((−11), −3, 11 → ?), (9, 4, 17 → ?)।
উত্তৰঃ যন্ত্ৰটোৱে প্ৰথম সংখ্যা + দ্বিতীয় সংখ্যা × তৃতীয় সংখ্যা (অৰ্থাৎ a + b × c) গণনা কৰে — যেনে 6 + 8 × (−3) = 6 − 24 = −18; (−2) + 7 × 4 = −2 + 28 = 26। গতিকে —
4 + (−8) × 5 = 4 − 40 = −36।
(−11) + (−3) × 11 = −11 − 33 = −44।
9 + 4 × 17 = 9 + 68 = 77।
অখণ্ড সংখ্যাৰ খেল (যাদু ষড়ভুজ আৰু যাদু পূৰণ)
যাদু ষড়ভুজ (Magic Hexagon): ষড়ভুজৰ শীৰ্ষবিন্দুত বৃত্ত আৰু কাষত বাকচ আছে। বৃত্ত আৰু বাকচৰ সংখ্যাৰ মাজত সম্পৰ্ক কি, আৰু একে নিয়মেৰে খালী বৃত্ত-বাকচবোৰ পূৰ কৰা।
উত্তৰঃ নিয়মটো হ’ল — কোনো এটা কাষৰ দুই মূৰৰ বৃত্ত দুটাৰ সংখ্যা পূৰণ কৰিলে মাজৰ বাকচৰ সংখ্যাটো পোৱা যায়। যেনে −4 আৰু 10 ৰ মাজৰ বাকচত −40 বহে (কাৰণ (−4) × 10 = −40)। গতিকে যদি এটা বৃত্ত আৰু কাষৰ বাকচ জনা থাকে, বাকচক জনা বৃত্তৰে হৰণ কৰিলে আনটো বৃত্ত পোৱা যায় (যেনে বাকচ 72 আৰু এটা বৃত্ত −8 হ’লে আনটো বৃত্ত = 72 ÷ (−8) = −9)। এই চিনৰ নিয়ম মানি প্ৰতিটো খালী বৃত্ত আৰু বাকচ পূৰ কৰিব পাৰি।
যাদু পূৰণ (Magic Multiplication): 4 × 4 বৰ্গৰ পৰা এটা সংখ্যা ঘেৰ দি তাৰ শাৰী-স্তম্ভ কাটি, বাকী থকাৰ পৰা আকৌ ঘেৰ দি … শেষত ঘেৰ দিয়া চাৰিটা সংখ্যা পূৰণ কৰা। সকলোৱে একে পূৰণফল পোৱা কিয়?
উত্তৰঃ বৰ্গটোৰ প্ৰতিটো ঘৰ ওপৰৰ (অনুভূমিক) সংখ্যা আৰু কাষৰ (উলম্ব) সংখ্যাৰ পূৰণফল। প্ৰতিটো শাৰীৰ পৰা এটাকৈ আৰু প্ৰতিটো স্তম্ভৰ পৰা এটাকৈ ঘৰ ল’বলগীয়া হোৱাত, ঘেৰ দিয়া চাৰিটা ঘৰৰ পূৰণফল সদায় (সকলো অনুভূমিক সংখ্যাৰ পূৰণফল) × (সকলো উলম্ব সংখ্যাৰ পূৰণফল) হয় — যাৰ বাবে ঘেৰ কোনবোৰ দিয়া হ’ল তাৰ ওপৰত নিৰ্ভৰ নকৰি সকলোৱে একে “যাদু পূৰণফল” (উদাহৰণটোত −6912) পায়।
অনুশীলনী ১০
১। তলৰ গাণিতিক ৰাশিবোৰৰ মান নিৰ্ণয় কৰা — (a) (−987) + (−13) + 864 (b) (−4) × (−5) + (−4) × 7 (c) 225 × (−17) × 4 (d) (−8) × {12 + (−5)} (e) 0 ÷ (−187)।
উত্তৰঃ
(a) (−987) + (−13) + 864 = (−1000) + 864 = −136।
(b) (−4) × (−5) + (−4) × 7 = (−4) × (−5 + 7) = (−4) × 2 = −8।
(c) 225 × (−17) × 4 = (225 × 4) × (−17) = 900 × (−17) = −15300।
(d) (−8) × {12 + (−5)} = (−8) × 7 = −56।
(e) 0 ÷ (−187) = 0।
২। সত্য নে অসত্য বিচাৰ কৰা — (a) যদি a + b = 0 তেন্তে a আৰু b ইটোৱে সিটোৰ যোগাত্মক বিপৰীত। (b) অখণ্ড সংখ্যাবোৰে বিয়োগ প্ৰক্ৰিয়া সাপেক্ষে বিনিময় বিধি মানি চলে। (c) দুটা অখণ্ড সংখ্যা a আৰু b-ৰ বাবে a × b = b × a, গতিকে a ÷ b = b ÷ a। (d) (−1) × (−1) × (−1) × (−1) × (−1) × (−1) = 1। (e) অ-শূন্য অখণ্ড সংখ্যা a-ৰ বাবে 0 ÷ a = 0, গতিকে a ÷ 0 = 0।
উত্তৰঃ
(a) সত্য (a + b = 0 হ’লে b = −a, গতিকে সিহঁত পৰস্পৰৰ যোগাত্মক বিপৰীত)।
(b) অসত্য (বিয়োগ ক্ৰম বিনিময় বিধি মানি নচলে)।
(c) অসত্য (পূৰণ বিনিময় হ’লেও হৰণ বিনিময় নহয়, a ÷ b ≠ b ÷ a)।
(d) সত্য (যুগ্ম সংখ্যক (−1)ৰ পূৰণফল 1; ইয়াত ছটা (−1))।
(e) অসত্য (a ÷ 0 সংজ্ঞায়িত নহয়)।
৩। দুটা ঋণাত্মক অখণ্ড সংখ্যাৰ পূৰণফল 2025। যদি এটা −9 হয় আনটো কিমান?
উত্তৰঃ আনটো সংখ্যা = 2025 ÷ (−9) = −225 (কাৰণ (−9) × (−225) = 2025, আৰু দুয়োটা ঋণাত্মক)।
৪। আৰ্হিটো পৰ্যবেক্ষণ কৰি খালী ঠাইবোৰ পূৰ কৰা — −4 × 3 = −12; −4 × 2 = −8 = −12 − (−4); −4 × 1 = (−4) = −8 − (−4); −4 × 0 = 0 = (−4) − (−4); −4 × (−1) = ____; −4 × (−2) = ____; −4 × (−3) = ____।
উত্তৰঃ প্ৰতিধাপত পূৰণফল (−4) কৈ বাঢ়ে (অৰ্থাৎ পূৰ্বৰ পৰা −(−4) = +4 বাঢ়ে) —
−4 × (−1) = 0 − (−4) = 4।
−4 × (−2) = 4 − (−4) = 8।
−4 × (−3) = 8 − (−4) = 12।
৫। দুটা এনে ভিন্ন অখণ্ড সংখ্যা লিখা যাৰ পূৰণফল প্ৰত্যেকটো সংখ্যাতকৈ সৰু।
উত্তৰঃ এটা ধনাত্মক আৰু এটা ঋণাত্মক সংখ্যা ল’লে পূৰণফল ঋণাত্মক হয় আৰু দুয়োটাতকৈ সৰু হ’ব পাৰে। যেনে 3 আৰু (−2): পূৰণফল 3 × (−2) = −6, যি 3-তকৈও সৰু আৰু (−2)-তকৈও সৰু।
৬। দুটা এনে অখণ্ড সংখ্যা লিখা যাৰ এটা −11-তকৈ সৰু আৰু আনটো −11-তকৈ ডাঙৰ, কিন্তু সিহঁতৰ পাৰ্থক্য 11।
উত্তৰঃ −16 আৰু −5: ইয়াত −16 < −11 আৰু −5 > −11, আৰু পাৰ্থক্য = (−5) − (−16) = −5 + 16 = 11।
৭। a, b দুটা অখণ্ড সংখ্যাৰ বাবে ¶ এনে প্ৰক্ৰিয়া যাতে a ¶ b = a + b + a × b। তেন্তে — (i) (−12) ¶ (−11) (ii) (−24) ¶ (9)।
উত্তৰঃ
(i) (−12) ¶ (−11) = (−12) + (−11) + (−12) × (−11) = −23 + 132 = 109।
(ii) (−24) ¶ 9 = (−24) + 9 + (−24) × 9 = −15 + (−216) = −231।
৮। এটা পৰীক্ষাত প্ৰতিটো শুদ্ধ উত্তৰৰ বাবে 5 নম্বৰ আৰু প্ৰতিটো অশুদ্ধ উত্তৰৰ বাবে (−2) নম্বৰ দিয়া হৈছিল। (i) ৰাবিয়াই সকলো প্ৰশ্নৰ উত্তৰ দি 16 টা শুদ্ধ কৰি 64 নম্বৰ পালে — কেইটা ভুল কৰিছিল? (ii) ছাহিলে 5 টা শুদ্ধ কৰি −3 নম্বৰ পালে — কেইটা ভুল কৰিছিল আৰু কেইটাৰ উত্তৰ দিয়াই নাছিল?
উত্তৰঃ (i) 16 টা শুদ্ধ উত্তৰৰ নম্বৰ = 16 × 5 = 80; কিন্তু পালে 64। ভুল উত্তৰৰ নম্বৰ = 64 − 80 = −16; প্ৰতিটো ভুলত −2, গতিকে ভুল উত্তৰ = (−16) ÷ (−2) = 8 টা। গতিকে মুঠ প্ৰশ্ন = 16 + 8 = 24 (ৰাবিয়াই সকলোৰে উত্তৰ দিছিল)। (ii) ছাহিলৰ 5 টা শুদ্ধ উত্তৰৰ নম্বৰ = 5 × 5 = 25; কিন্তু পালে −3। ভুল উত্তৰৰ নম্বৰ = (−3) − 25 = −28; ভুল উত্তৰ = (−28) ÷ (−2) = 14 টা। উত্তৰ দিয়া প্ৰশ্ন = 5 + 14 = 19, গতিকে উত্তৰ নিদিয়া প্ৰশ্ন = 24 − 19 = 5 টা।
৯। এটা গণনা কৰা যন্ত্ৰই তীৰ (→) চিহ্নেৰে উত্তৰ দেখুৱায়: (−6, 12, 19 → −91), (17, −9, −25 → −128), (11, 14, −28 → 182)। প্ৰয়োজনীয় প্ৰক্ৰিয়া বিচাৰি খালী বাকচ আৰু ‘?’ পূৰ কৰা — ((−3), −32, −41 → ?), ((−13), −21, 31 → ?), (15, −18, ? → −286)।
উত্তৰঃ যন্ত্ৰটোৱে প্ৰথম সংখ্যা × দ্বিতীয় সংখ্যা − তৃতীয় সংখ্যা গণনা কৰে — পৰীক্ষাঃ (−6) × 12 − 19 = −72 − 19 = −91 ✓; 17 × (−9) − (−25) = −153 + 25 = −128 ✓; 11 × 14 − (−28) = 154 + 28 = 182 ✓। গতিকে —
(−3) × (−32) − (−41) = 96 + 41 = 137।
(−13) × (−21) − 31 = 273 − 31 = 242।
15 × (−18) − ? = −286 → −270 − ? = −286 → ? = 16।
১০। মান নিৰ্ণয় কৰা — (a) {18 × (−15)} ÷ (−30) (b) (−315) ÷ {(−9) × (−7)} (c) {(−51) × 8} ÷ {24 × (−17)}।
উত্তৰঃ
(a) {18 × (−15)} ÷ (−30) = (−270) ÷ (−30) = 9।
(b) (−315) ÷ {(−9) × (−7)} = (−315) ÷ 63 = −5।
(c) {(−51) × 8} ÷ {24 × (−17)} = (−408) ÷ (−408) = 1।
১১। তলৰ কোনবোৰৰ মান {(−5) × (−4)} + 7-ৰ সৈতে একে? (i) (5 × 4) + 7 (ii) 7 + {(−5) × (−4)} (iii) {(−4) × (−5)} + 7 (iv) (5 + 4) × 3। বিকল্পঃ (A) (i),(v) (B) (i),(iv) (C) (i),(ii),(iii) (D) (i),(ii),(iii),(iv)।
উত্তৰঃ {(−5) × (−4)} + 7 = 20 + 7 = 27। এতিয়া (i) (5 × 4) + 7 = 27; (ii) 7 + 20 = 27; (iii) 20 + 7 = 27; (iv) (5 + 4) × 3 = 9 × 3 = 27 — চাৰিওটাৰে মান 27। গতিকে শুদ্ধ উত্তৰ (D) (i), (ii), (iii), (iv)।
১২। তলৰ উক্তি সত্য নে অসত্য? (P) অখণ্ড সংখ্যাৰ পূৰণাত্মক অভেদ 1। (Q) a-ৰ যোগাত্মক বিপৰীত = −a। বিকল্পঃ (A) (P) সত্য, (Q) অসত্য (B) (P) অসত্য, (Q) সত্য (C) দুয়োটা সত্য (D) দুয়োটা অসত্য।
উত্তৰঃ (P)-ও সত্য (পূৰণাত্মক অভেদ 1) আৰু (Q)-ও সত্য (a-ৰ যোগাত্মক বিপৰীত −a)। গতিকে শুদ্ধ উত্তৰ (C) দুয়োটা সত্য।
১৩। উক্তি (A): 5 × (4 + 6) = 5 × 4 + 5 × 6, দুয়োফালৰে মান 50। যুক্তি (R): যিকোনো অখণ্ড সংখ্যা a, b, c-ৰ বাবে a × (b + c) = a × b + a × c — এইটোৱে বিতৰণ বিধি।
উত্তৰঃ 5 × 10 = 50 আৰু 20 + 30 = 50 — উক্তি সত্য; যুক্তিটোও সত্য আৰু ই উক্তিটোৰ শুদ্ধ ব্যাখ্যা দিয়ে। গতিকে শুদ্ধ উত্তৰ (A) — উক্তি সত্য, যুক্তি সত্য আৰু যুক্তিয়ে উক্তিৰ শুদ্ধ ব্যাখ্যা।
১৪। স্তম্ভ I আৰু স্তম্ভ II মিলোৱা — (P) a + b = b + a; (Q) (a × b) × c = a × (b × c); (R) a × (b + c) = a × b + a × c; (S) (a + b) এটা অখণ্ড সংখ্যা। [(A) বিতৰণ বিধি; (B) যোগৰ আৱৰণ বিধি; (C) যোগৰ ক্ৰম বিনিময় বিধি; (D) পূৰণৰ সহযোগ বিধি]।
উত্তৰঃ (P) → (C) যোগৰ ক্ৰম বিনিময় বিধি; (Q) → (D) পূৰণৰ সহযোগ বিধি; (R) → (A) বিতৰণ বিধি; (S) → (B) যোগৰ আৱৰণ বিধি। গতিকে শুদ্ধ বিকল্প (A): (P)→(C), (Q)→(D), (R)→(A), (S)→(B)।
১৫। (P) {5 + (−8)} + 9; (Q) (−3) − (−6); (R) 4 × {(−1) × (−2)}; (S) (−20) ÷ (−5) — ইহঁতৰ মান বৃদ্ধিৰ ক্ৰমত সজোৱা শুদ্ধ বিকল্পটো কোনটো? (A) R,P,Q,S (B) S,Q,R,P (C) P,R,S,Q (D) Q,S,P,R।
উত্তৰঃ P = (−3) + 9 = 6; Q = −3 + 6 = 3; R = 4 × 2 = 8; S = 4। বৃদ্ধিৰ ক্ৰম Q(3), S(4), P(6), R(8)। গতিকে শুদ্ধ উত্তৰ (D) Q, S, P, R।
১৬। খালী বাকচত <, = বা > বহুওৱা — (i) 180 × (−5) __ (−180) × 5 (ii) −660 ÷ (10) __ 600 ÷ (−66) (iii) {(−8) × 9} × (−1) __ (8) × {9 × (−1)} (iv) (−13) × (−1) × (−11) __ 13 × 1 × 11।
উত্তৰঃ
(i) 180 × (−5) = −900 আৰু (−180) × 5 = −900 → =।
(ii) −660 ÷ 10 = −66 আৰু 600 ÷ (−66) ≈ −9.09; −66 < −9.09 → <।
(iii) {(−8) × 9} × (−1) = 72 আৰু (8) × {9 × (−1)} = −72; 72 > −72 → >।
(iv) (−13) × (−1) × (−11) = −143 আৰু 13 × 1 × 11 = 143; −143 < 143 → <।
১৭। তলৰ দুটা বৰ্গ পূৰ কৰা যাতে প্ৰত্যেকটো এটাকৈ যাদু বৰ্গ হয় (প্ৰত্যেক শাৰী, স্তম্ভ আৰু কৰ্ণৰ যোগফল একেই)।
উত্তৰঃ যাদু বৰ্গৰ নিয়ম — এটা সম্পূৰ্ণ শাৰী (বা স্তম্ভ বা কৰ্ণ) যোগ কৰি যাদু-যোগফল S উলিওৱা, আৰু 3 × 3 বৰ্গত মাজৰ ঘৰ = S ÷ 3। তাৰ পিছত যিবোৰ শাৰী/স্তম্ভ/কৰ্ণৰ দুটা সংখ্যা জনা, তৃতীয়টো = S − (জনা দুটাৰ যোগফল) কৈ পূৰ কৰা। উদাহৰণস্বৰূপে যাদু-যোগফল −6 হোৱা এটা সম্পূৰ্ণ বৰ্গ হ’ল — শাৰী: (−6, −4, 4), (8, −2, −12), (−8, 0, 2); ইয়াত প্ৰত্যেক শাৰী, স্তম্ভ আৰু কৰ্ণৰ যোগফল −6। একে পদ্ধতিৰে প্ৰদত্ত সংখ্যাবোৰৰ পৰা যাদু-যোগফল উলিয়াই দুয়োটা বৰ্গৰ খালী ঘৰ পূৰ কৰিব পাৰি।
১৮। তীৰচিহ্নৰ দিশ অনুসৰি প্ৰদত্ত প্ৰক্ৰিয়াবোৰ প্ৰয়োগ কৰি খালী বাকচবোৰ পূৰ কৰা।
উত্তৰঃ এইটো এটা প্ৰবাহ-চিত্ৰ (flow chart) — এটা সংখ্যাৰ পৰা আৰম্ভ কৰি তীৰচিহ্নত লিখা প্ৰক্ৰিয়াটো (যেনে +(−5), ×(−4), ÷3, ÷(−5) আদি) একেৰাহে প্ৰয়োগ কৰি পৰৱৰ্তী বাকচৰ মান উলিয়াব লাগে। যেনে 40-ৰ পৰা আৰম্ভ কৰি +(−5) কৰিলে 40 + (−5) = 35, তাৰ পিছত পৰৱৰ্তী তীৰৰ প্ৰক্ৰিয়াটো 35-ৰ ওপৰত প্ৰয়োগ কৰা — এইদৰে চিনৰ নিয়ম আৰু পূৰণ-হৰণৰ নিয়ম মানি প্ৰতিটো খালী বাকচ ক্ৰমে পূৰ কৰিব পাৰি।
১৯। এখন চাহ বাগিচাৰ শীত সংৰক্ষণ গৃহৰ উষ্ণতা 36°C-ৰ পৰা প্ৰতি ঘণ্টাত 3°C হাৰত কমাব লাগে। প্ৰক্ৰিয়া আৰম্ভ হোৱাৰ 7 ঘণ্টাৰ পিছত উষ্ণতা কিমান হ’ব?
উত্তৰঃ 7 ঘণ্টাত মুঠ হ্ৰাস = 7 × 3 = 21°C। গতিকে উষ্ণতা = 36 − 21 = 15°C।
২০। এটা মৃত্তিকা শিল্প উদ্যোগে প্ৰতিটো বগা মাটিৰ বাচনত ₹7 লাভ আৰু প্ৰতিটো ৰঙা মাটিৰ বাচনত ₹2 লোকচান কৰে। (a) এমাহত 2500 টা বগা আৰু 3200 টা ৰঙা বাচন বিক্ৰী কৰিলে মুঠ লাভ বা লোকচান কিমান? (b) ৰঙা বাচনৰ বিক্ৰী 3500 টা হ’লে লাভ-লোকচানবিহীন হ’বলৈ কিমানটা বগা বাচন বিক্ৰী কৰিব লাগিব?
উত্তৰঃ (a) বগা বাচনৰ লাভ = 2500 × 7 = ₹17500; ৰঙা বাচনৰ লোকচান = 3200 × (−2) = −₹6400। মুঠ = 17500 + (−6400) = ₹11100 লাভ। (b) 3500 ৰঙা বাচনৰ লোকচান = 3500 × 2 = ₹7000; লাভ-লোকচানবিহীন হ’বলৈ বগা বাচনৰ লাভো ₹7000 হ’ব লাগিব, গতিকে বগা বাচন = 7000 ÷ 7 = 1000 টা।
২১। উক্তিবোৰৰ সহায়ত ইংৰাজী বৰ্ণ E, I, L, N, S, T-ৰ মান নিৰ্ণয় কৰা — L × I = −6, I × 9 = −18, S ÷ I = 3, T × E = −35, 45 ÷ E = −9, E × N = −20। তাৰ পিছত (i) LIST (ii) LINES (iii) SILENT শব্দবোৰৰ বৰ্ণৰ যোগফল আৰু পূৰণফল উলিওৱা।
উত্তৰঃ I × 9 = −18 → I = −2; L × (−2) = −6 → L = 3; S ÷ (−2) = 3 → S = −6; 45 ÷ E = −9 → E = −5; T × (−5) = −35 → T = 7; (−5) × N = −20 → N = 4।
- (i) LIST = 3, (−2), (−6), 7 → যোগফল = 3 − 2 − 6 + 7 = 2; পূৰণফল = 3 × (−2) × (−6) × 7 = 252।
- (ii) LINES = 3, (−2), 4, (−5), (−6) → যোগফল = 3 − 2 + 4 − 5 − 6 = −6; পূৰণফল = 3 × (−2) × 4 × (−5) × (−6) = −720।
- (iii) SILENT = (−6), (−2), 3, (−5), 4, 7 → যোগফল = −6 − 2 + 3 − 5 + 4 + 7 = 1; পূৰণফল = (−6) × (−2) × 3 × (−5) × 4 × 7 = −5040।
২২। যদি 56 − 87 + 15 − 8 − 40 = −64 হয়, তেন্তে গণনা নকৰাকৈ −56 + 87 − 15 + 8 + 40-ৰ মান লিখা।
উত্তৰঃ −56 + 87 − 15 + 8 + 40 হৈছে (56 − 87 + 15 − 8 − 40)-ৰ প্ৰতিটো পদৰ চিন সলনি কৰা ৰূপ, অৰ্থাৎ ইয়াৰ যোগাত্মক বিপৰীত। গতিকে মান = −(−64) = 64।
২৩। দিয়া আছে 108 × (−765) = −82620। ইয়াৰ সহায়ত নিৰ্ণয় কৰা — (a) 109 × (−765) (b) 108 × (−764) (c) (−108) × (−766)।
উত্তৰঃ
(a) 109 × (−765) = 108 × (−765) + (−765) = −82620 − 765 = −83385।
(b) 108 × (−764) = 108 × (−765) + 108 = −82620 + 108 = −82512।
(c) (−108) × (−766) = 108 × 766 = 108 × 765 + 108 = 82620 + 108 = 82728।
২৪। দিয়া আছে 309 × (−46 + 4) = −12978, তেন্তে (−309) × (46 − 4) = ?
উত্তৰঃ 309 × (−46 + 4) = 309 × (−42) = −12978, গতিকে 309 × 42 = 12978। এতিয়া (−309) × (46 − 4) = (−309) × 42 = −(309 × 42) = −12978।
অতিৰিক্ত প্ৰশ্ন আৰু উত্তৰ
বহুবিকল্পীয় প্ৰশ্ন (MCQ)
১। (−7) × 6-ৰ মান কি? (ক) 42 (খ) −42 (গ) −13 (ঘ) 13
উত্তৰঃ (খ) −42।
২। অখণ্ড সংখ্যাৰ ক্ষেত্ৰত যোগাত্মক অভেদ কি? (ক) 1 (খ) −1 (গ) 0 (ঘ) 10
উত্তৰঃ (গ) 0।
৩। অখণ্ড সংখ্যাৰ ক্ষেত্ৰত পূৰণাত্মক অভেদ কি? (ক) 0 (খ) 1 (গ) −1 (ঘ) 2
উত্তৰঃ (খ) 1।
৪। (−1) × (−1) × (−1) × (−1) × (−1)-ৰ মান কি? (ক) 1 (খ) −1 (গ) 5 (ঘ) −5
উত্তৰঃ (খ) −1 (অযুগ্ম সংখ্যক (−1)ৰ পূৰণফল −1)।
৫। তলৰ কোনটো প্ৰক্ৰিয়াত অখণ্ড সংখ্যাবোৰ আৱৰণ নহয়? (ক) যোগ (খ) বিয়োগ (গ) পূৰণ (ঘ) হৰণ
উত্তৰঃ (ঘ) হৰণ।
৬। a-ৰ যোগাত্মক বিপৰীত কি? (ক) a (খ) 1/a (গ) −a (ঘ) 0
উত্তৰঃ (গ) −a।
৭। যিকোনো অ-শূন্য অখণ্ড সংখ্যা a-ৰ বাবে a ÷ 0-ৰ মান কি? (ক) 0 (খ) 1 (গ) a (ঘ) সংজ্ঞায়িত নহয়
উত্তৰঃ (ঘ) সংজ্ঞায়িত নহয়।
৮। (−48) ÷ (−4)-ৰ মান কি? (ক) 12 (খ) −12 (গ) 44 (ঘ) −44
উত্তৰঃ (ক) 12 (দুটা ঋণাত্মকৰ ভাগফল ধনাত্মক)।
৯। ব্ৰহ্মগুপ্তই ধনাত্মক সংখ্যাক কি বুলি কৈছিল? (ক) ঋণ (খ) ধন (গ) শূন্য (ঘ) মূল
উত্তৰঃ (খ) ধন (fortune)।
১০। a × (b + c) = a × b + a × c — এইটো কি বিধি? (ক) আৱৰণ (খ) বিনিময় (গ) সহযোগ (ঘ) বিতৰণ
উত্তৰঃ (ঘ) বিতৰণ বিধি।
খালী ঠাই পূৰ কৰা
১। দুটা একে চিনৰ অখণ্ড সংখ্যাৰ পূৰণফল ____ হয়।
উত্তৰঃ ধনাত্মক।
২। যিকোনো অ-শূন্য অখণ্ড সংখ্যা a-ৰ বাবে 0 ÷ a = ____।
উত্তৰঃ 0।
৩। অখণ্ড সংখ্যাৰ ক্ষেত্ৰত 1 (এক)ক ____ অভেদ বোলে।
উত্তৰঃ পূৰণাত্মক।
৪। হৰণ হৈছে ____-ৰ বিপৰীত প্ৰক্ৰিয়া।
উত্তৰঃ পূৰণ।
৫। (−a) × (−b) = ____ (য’ত a, b ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যা)।
উত্তৰঃ a × b।
সত্য/অসত্য লিখা
১। অখণ্ড সংখ্যাবোৰ যোগ প্ৰক্ৰিয়া সাপেক্ষে বিনিময় বিধি মানি চলে।
উত্তৰঃ সত্য।
২। বিয়োগ প্ৰক্ৰিয়া সাপেক্ষে অখণ্ড সংখ্যাই সহযোগ বিধি মানি চলে।
উত্তৰঃ অসত্য।
৩। যিকোনো অখণ্ড সংখ্যাক 0-ৰে পূৰণ কৰিলে পূৰণফল 0 হয়।
উত্তৰঃ সত্য।
৪। এটা ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যাক ঋণাত্মক অখণ্ড সংখ্যাৰে হৰণ কৰিলে ভাগফল ধনাত্মক হয়।
উত্তৰঃ অসত্য (ভাগফল ঋণাত্মক হয়)।
৫। অখণ্ড সংখ্যাবোৰ হৰণৰ সাপেক্ষে আৱৰণ।
উত্তৰঃ অসত্য (যেনে 8 ÷ (−16) অখণ্ড সংখ্যা নহয়)।
চমু উত্তৰৰ প্ৰশ্ন
১। পূৰণৰ চিনৰ নিয়মকেইটা লিখা।
উত্তৰঃ ধনাত্মক × ধনাত্মক = ধনাত্মক; ধনাত্মক × ঋণাত্মক = ঋণাত্মক; ঋণাত্মক × ধনাত্মক = ঋণাত্মক; ঋণাত্মক × ঋণাত্মক = ধনাত্মক। এককথাত — একে চিন থকা দুটা সংখ্যাৰ পূৰণফল ধনাত্মক, ভিন্ন চিন থকা দুটাৰ পূৰণফল ঋণাত্মক।
২। বিয়োগৰ সাপেক্ষে অখণ্ড সংখ্যাই ক্ৰম বিনিময় বিধি মানি নচলে — এটা উদাহৰণেৰে দেখুৱা।
উত্তৰঃ (−8) − (−4) = −8 + 4 = −4, কিন্তু (−4) − (−8) = −4 + 8 = 4। যিহেতু −4 ≠ 4, গতিকে (−8) − (−4) ≠ (−4) − (−8) — বিয়োগে ক্ৰম বিনিময় বিধি মানি নচলে।
৩। a ÷ 0 কিয় সংজ্ঞায়িত নহয়?
উত্তৰঃ ধৰোঁ a ÷ 0 = b (a ≠ 0)। তেন্তে 0 × b = a হ’ব লাগিব। কিন্তু যিকোনো সংখ্যাক 0-ৰে পূৰণ কৰিলে ফল 0 হয়, গতিকে 0 × b কেতিয়াও a (≠ 0) নহয়। এই স্ববিৰোধৰ বাবে a ÷ 0 সংজ্ঞায়িত নহয়।
৪। বিতৰণ বিধিৰ সহায়ত (−25) × 98-ৰ মান নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ (−25) × 98 = (−25) × (100 − 2) = (−25) × 100 − (−25) × 2 = −2500 + 50 = −2450।
শব্দাৰ্থ
| অসমীয়া শব্দ | English term | অৰ্থ |
|---|---|---|
| অখণ্ড সংখ্যা | Integer | ধনাত্মক, ঋণাত্মক সংখ্যা আৰু শূন্য একেলগে |
| ধনাত্মক সংখ্যা | Positive number | শূন্যতকৈ ডাঙৰ সংখ্যা (সোঁফালৰ) |
| ঋণাত্মক সংখ্যা | Negative number | শূন্যতকৈ সৰু সংখ্যা (বাওঁফালৰ) |
| আৱৰণ বিধি | Closure property | ফলটোও একে ধৰণৰ সংখ্যা হোৱা বিধি |
| ক্ৰম বিনিময় বিধি | Commutative property | ক্ৰম সলনি কৰিলেও ফল একে |
| সহযোগ বিধি | Associative property | দল সলনি কৰিলেও ফল একে |
| বিতৰণ বিধি | Distributive property | a × (b + c) = a × b + a × c |
| যোগাত্মক অভেদ | Additive identity | 0, যাক যোগ কৰিলে সংখ্যা অপৰিৱৰ্তিত থাকে |
| যোগাত্মক বিপৰীত | Additive inverse | a-ৰ বাবে −a; যোগফল 0 |
| পূৰণাত্মক অভেদ | Multiplicative identity | 1, যাৰে পূৰণ কৰিলে সংখ্যা অপৰিৱৰ্তিত |
| পূৰণ | Multiplication | বাৰম্বাৰ যোগৰ চমু ৰূপ |
| হৰণ | Division | পূৰণৰ বিপৰীত প্ৰক্ৰিয়া |
| ভাগফল | Quotient | হৰণ কৰি পোৱা ফল |