অংকন — প্ৰশ্ন উত্তৰ
HSLC Guru-লৈ আপোনাক স্বাগতম। এই পাঠত ASSEB Class 6 নতুন গণিতৰ অষ্টম অধ্যায় অংকন (Construction)-ৰ পাঠ্যপুথিৰ সকলো কৰ্তব্য কাৰ্য (Work it Out), অংকন কৰি চাওঁ (Let us Construct) আৰু উদাহৰণৰ সম্পূৰ্ণ সমাধান স্তৰে স্তৰে সহজ অসমীয়াত দিয়া হৈছে, লগতে কিছুমান অতিৰিক্ত অনুশীলনীও দিয়া হৈছে।
সাৰাংশ
এই অধ্যায়ত স্কেল (ruler) আৰু কম্পাছ (compass)ৰ সহায়ত বিভিন্ন জ্যামিতিক আকৃতি অংকন কৰিবলৈ শিকা হৈছে। প্ৰথমতে কলাকৃতিৰ (Artwork) জৰিয়তে বৃত্ত আঁকিবলৈ শিকোৱা হৈছে — কোনো এটা বিন্দু P-ৰ পৰা এক নিৰ্দিষ্ট দূৰত্বত (যেনে 5 চেমি) থকা সকলো বিন্দু চিহ্নিত কৰিলে এটা বৃত্ত পোৱা যায়। বৃত্তৰ কেন্দ্ৰৰ পৰা বৃত্তৰ ওপৰৰ যিকোনো বিন্দুৰ দূৰত্বক ব্যাসাৰ্ধ (radius) আৰু কেন্দ্ৰৰ মাজেৰে বৃত্তৰ ওপৰৰ দুটা বিন্দু সংযোগ কৰা ৰেখাখণ্ডক ব্যাস (diameter) বোলে।
ইয়াৰ পিছত বৰ্গ (square) আৰু আয়ত (rectangle)ৰ বৈশিষ্ট্য, নামকৰণ আৰু ঘূৰ্ণন আলোচনা কৰা হৈছে — আয়তৰ বিপৰীত বাহু সমান আৰু সকলো কোণ 90°, বৰ্গৰ সকলো বাহু সমান আৰু সকলো কোণ 90°। চাঁদা (protractor) আৰু কম্পাছৰ সহায়ত এটা প্ৰদত্ত বাহুৰ বৰ্গ বা আয়ত কেনেকৈ অংকন কৰিব লাগে, আয়তক অভিন্ন বৰ্গত কেনেকৈ ভগোৱা যায়, লগতে বৃত্তৰ ভিতৰত বা বাহিৰত বৰ্গ অংকন — এই সকলো দেখুওৱা হৈছে।
শেষত আয়ত আৰু বৰ্গৰ কৰ্ণ (diagonal), কৰ্ণৰ দ্বাৰা কোণ ভাগ হোৱাৰ ধৰ্ম, এটা বাহু আৰু কৰ্ণৰ জোখ দিলে আয়ত অংকন, আৰু দুটা প্ৰদত্ত বিন্দুৰ পৰা সমদূৰৱৰ্তী বিন্দু (equidistant point) বিচৰাৰ কম্পাছ-পদ্ধতি (ৰকেট অংকনৰ জৰিয়তে) শিকোৱা হৈছে।
Summary: This page gives complete, step-by-step answers to every Work it Out exercise (8.1, 8.2, 8.3), the Let us Construct tasks and the worked Examples of ASSEB Class 6 New Mathematics Chapter 8, Construction (অংকন). It covers constructing circles and their parts (centre, radius, diameter), artwork like Rangoli and waves, properties, naming and rotation of squares and rectangles, constructing a square and a rectangle with ruler, protractor and compass, dividing a rectangle into identical squares, diagonals of rectangles and squares, and finding a point equidistant from two given points, with extra MCQs, fill in the blanks, true or false and short answer questions.
পাঠ্যপুথিৰ প্ৰশ্ন আৰু উত্তৰ
8.1 কলাকৃতি — বৃত্ত আৰু ইয়াৰ অংশ
এখন কাগজত P বিন্দু চিহ্নিত কৰি, P-ৰ পৰা বিভিন্ন দিশত 5 চেমি দূৰত্বত থকা যিমান পাৰি বিন্দু চিহ্নিত কৰিলে কি আকৃতি পোৱা যাব?
উত্তৰঃ P-ৰ পৰা 5 চেমি দূৰত্বত থকা সকলো বিন্দু চিহ্নিত কৰিলে P কেন্দ্ৰ থকা 5 চেমি ব্যাসাৰ্ধৰ এটা বৃত্ত পোৱা যায়। কম্পাছৰ আগটো (pointer) স্কেলৰ 0 চিহ্নত আৰু পেঞ্চিলটো 5 চেমি চিহ্নত ৰাখি, তাৰ পিছত আগটো P-ত স্থিৰ ৰাখি পেঞ্চিলটো ঘূৰালে এই বৃত্তটো সম্পূৰ্ণকৈ পোৱা যায়। বৃত্তটোৰ ওপৰৰ সকলো বিন্দুৱে P-ৰ পৰা সমান দূৰত্বত (5 চেমি) থাকে।
বক্ৰ (curve) কি? বৃত্তৰ কেন্দ্ৰ, ব্যাসাৰ্ধ আৰু ব্যাস মানে কি?
উত্তৰঃ কাগজত অঁকিব পৰা যিকোনো আকৃতিয়েই হ’ল বক্ৰ (বৃত্ত, ঢেউৰ ৰেখা আদি সকলোৱেই বক্ৰ)। বৃত্তৰ ক্ষেত্ৰত — কেন্দ্ৰ হ’ল বৃত্তৰ মাজৰ বিন্দুটো (P); ব্যাসাৰ্ধ হ’ল কেন্দ্ৰৰ পৰা বৃত্তৰ ওপৰৰ যিকোনো বিন্দুৰ দূৰত্ব; আৰু ব্যাস হ’ল কেন্দ্ৰৰ মাজেৰে বৃত্তৰ ওপৰৰ দুটা বিন্দু সংযোগ কৰা ৰেখাখণ্ড। ব্যাস সদায় ব্যাসাৰ্ধৰ দুগুণ।
কলাকৃতি অংকন — ৰঙ্গোলী আৰু ঢৌ
স্কেল আৰু কম্পাছৰ সহায়ত ৰঙ্গোলী নক্সাটো কেনেকৈ আঁকিব পাৰি?
উত্তৰঃ স্তৰ ১: O কেন্দ্ৰ লৈ 3 চেমি ব্যাসাৰ্ধৰ এটা বৃত্ত আঁকা আৰু ইয়াৰ দুডাল পৰস্পৰ লম্ব ব্যাস আঁকা। স্তৰ ২: প্ৰতিটো ব্যাসাৰ্ধৰ মধ্যবিন্দু বাছি লোৱা; সেই মধ্যবিন্দুবোৰক কেন্দ্ৰ ধৰি, মূল বৃত্তৰ ব্যাসাৰ্ধৰ সমান ব্যাস থকা চাৰিটা সৰু বৃত্ত আঁকা। এইদৰে ফুলৰ দৰে ৰঙ্গোলী নক্সা পোৱা যায়। (O কেন্দ্ৰ লৈ OA ব্যাসাৰ্ধৰ আৰু এটা বৃত্ত আঁকিলে নক্সাটো অধিক ধুনীয়া হয়।)
ঢৌ আঁকিবলৈ 12 চেমি দৈৰ্ঘ্যৰ ভূমিৰেখা AB লোৱা হ’ল আৰু AX = 2 চেমি হোৱাকৈ X বিন্দু ল’লে। প্ৰথম ঢৌটো 1 চেমি ব্যাসাৰ্ধৰ অৰ্ধবৃত্ত হ’লে, দ্বিতীয় ঢৌৰ বাবে Y বিন্দু ক’ত হ’ব? XY আৰু YB, লগতে AY আৰু AB-ৰ দৈৰ্ঘ্য কিমান হ’ব?
উত্তৰঃ প্ৰথম ঢৌটোৰ ব্যাস 2 চেমি (X-ত শেষ)। দ্বিতীয় ঢৌটোও একে হ’বলৈ ইয়াৰ ব্যাসো 2 চেমি হ’ব লাগে, গতিকে XY = 2 চেমি। সেয়ে Y বিন্দুটো X-ৰ পৰা 2 চেমি দূৰত্বত ল’ব লাগে (AY = AX + XY = 2 + 2 = 4 চেমি)। বাকী থকা YB = AB − AY = 12 − 4 = 8 চেমি, আৰু AB = 12 চেমি।
কৰ্তব্য কাৰ্য 8.1
১। 10 চেমি দৈৰ্ঘ্যৰ এডাল ভূমিৰেখা লোৱা। একে ধৰণৰ দুটা ঢৌ চিত্ৰিত কৰিবলৈ দুটা অৰ্ধবৃত্ত আঁকা। প্ৰতিটো অৰ্ধবৃত্তৰ ব্যাসাৰ্ধ কিমান হ’ব?
উত্তৰঃ ভূমিৰেখাডাল দুটা সমান ভাগত ভগালে প্ৰতিটো ভাগৰ দৈৰ্ঘ্য = 10 ÷ 2 = 5 চেমি। এই 5 চেমিয়েই প্ৰতিটো অৰ্ধবৃত্তৰ ব্যাস। গতিকে প্ৰতিটো অৰ্ধবৃত্তৰ ব্যাসাৰ্ধ = 5 ÷ 2 = 2.5 চেমি (অৰ্থাৎ 2 চেমি 5 মিমি)।
২। ঢৌবোৰ অৰ্ধবৃত্ততকৈ সৰু হোৱা চিত্ৰটো পুনৰ আঁকিবলৈ চেষ্টা কৰা। এই ধৰণৰ দুটা একে ঢৌ পাবলৈ কম্পাছৰ আগটো ক’ত ৰাখিবা?
উত্তৰঃ অৰ্ধবৃত্ততকৈ সৰু ঢৌ (অৰ্থাৎ 180°-তকৈ সৰু চাপ) পাবলৈ কম্পাছৰ আগটো ভূমিৰেখাৰ ওপৰত নহয়, প্ৰতিটো সমান ভাগৰ লম্ব সমদ্বিখণ্ডকৰ ওপৰত ভূমিৰেখাৰ তলফালে ৰাখিব লাগে, আৰু ব্যাসাৰ্ধ ভাগটোৰ আধা দৈৰ্ঘ্যতকৈ ডাঙৰ লব লাগে। দুটা ঢৌ একে হ’বলৈ দুয়োটা ভাগৰ বাবে কম্পাছৰ আগটো একে দূৰত্বত আৰু একে ব্যাসাৰ্ধ লৈ ৰাখিব লাগে।
৩। বিভিন্ন দৈৰ্ঘ্যৰ ভূমিৰেখাৰে ওপৰৰ ঢৌবোৰ আঁকিবলৈ চেষ্টা কৰা।
উত্তৰঃ যিকোনো দৈৰ্ঘ্যৰ (L) ভূমিৰেখা লৈ, তাক দুটা সমান ভাগত ভগালে প্ৰতিটো অৰ্ধবৃত্তীয় ঢৌৰ ব্যাসাৰ্ধ = L ÷ 4 হয়। যেনে — 8 চেমি ভূমিৰেখাত প্ৰতিটো ঢৌৰ ব্যাসাৰ্ধ 2 চেমি, 12 চেমি ভূমিৰেখাত 3 চেমি, ইত্যাদি।
৪। অৰ্ধবৃত্তেৰে চাৰিটা একে ঢৌ আঁকা।
উত্তৰঃ ভূমিৰেখাডাল চাৰিটা সমান ভাগত ভগাব লাগে। তেতিয়া প্ৰতিটো ভাগৰ দৈৰ্ঘ্যই এটা অৰ্ধবৃত্তৰ ব্যাস হয়, আৰু ব্যাসাৰ্ধ = ভূমিৰেখাৰ দৈৰ্ঘ্য ÷ 8 হয়। যেনে 12 চেমি ভূমিৰেখা হ’লে প্ৰতিটো ভাগ 3 চেমি, প্ৰতিটো ঢৌৰ ব্যাসাৰ্ধ 1.5 চেমি হ’ব।
8.2 বৰ্গ আৰু আয়ত
বৰ্গ আৰু আয়তৰ বৈশিষ্ট্যসমূহ কি কি? এই আকৃতিবোৰৰ নামকৰণ কেনেকৈ কৰা হয়?
উত্তৰঃ আয়তৰ বাবে — বিপৰীত বাহুবোৰ দৈৰ্ঘ্যত সমান, আৰু সকলো কোণ 90°। বৰ্গৰ বাবে — সকলো বাহু দৈৰ্ঘ্যত সমান, আৰু সকলো কোণ 90°। নামকৰণ: কোনো এটা শীৰ্ষবিন্দুৰ (যেনে A) পৰা আৰম্ভ কৰি সীমাৰেখাৰে খোজ কাঢ়ি গ’লে যি ক্ৰমত শীৰ্ষবিন্দু পোৱা যায় সেই ক্ৰমতে নাম দিব লাগে — যেনে ABCD অথবা বিপৰীত দিশে ADCB। ACBD বা ABDC-ৰ দৰে নাম দিব নোৱাৰি।
কৰ্তব্য কাৰ্য 8.2
১। কাষৰ বৰ্গটোৰ নাম কি? (A ওপৰ-বাওঁফালে, B ওপৰ-সোঁফালে, C তল-সোঁফালে, D তল-বাওঁফালে) — (ক) ABDC (খ) ABCD (গ) ACDB (ঘ) ADBC
উত্তৰঃ (খ) ABCD। A-ৰ পৰা সীমাৰেখাৰে খোজ কাঢ়িলে ক্ৰমে A → B → C → D পোৱা যায়, গতিকে বৰ্গটোৰ নাম ABCD।
কৰ্তব্য কাৰ্য 8.3
১। ঘূৰণীয়া (rotated) আয়ত এটাও আয়ত হয় নে ক’ব পাৰিবানে?
উত্তৰঃ হয়। এটা আকৃতি ঘূৰালে তাৰ বাহুৰ দৈৰ্ঘ্য বা কোণৰ জোখ নাসলায়। গতিকে ঘূৰোৱাৰ পিছতো বিপৰীত বাহুবোৰ সমান আৰু সকলো কোণ 90° হৈয়ে থাকে — সেয়ে ঘূৰণীয়া আয়তও এটা আয়তেই।
২। এটা আয়ত ABCD আঁকা। A কোণটো স্থিৰ ৰাখি, তিনিটা ঘূৰণীয়া আয়ত আঁকা আৰু সেইবোৰে আয়তৰ বৈশিষ্ট্য মানি চলে নে নাই পৰীক্ষা কৰা।
উত্তৰঃ A বিন্দুটো স্থিৰ ৰাখি আয়তটোক বিভিন্ন কোণত ঘূৰাই আঁকিলে প্ৰতিবাৰতে বিপৰীত বাহু সমান আৰু সকলো কোণ 90° পোৱা যায়। গতিকে প্ৰতিটো ঘূৰণীয়া আকৃতিয়েই আয়তৰ বৈশিষ্ট্য মানি চলে, অৰ্থাৎ সেইবোৰ আয়তেই।
৩। জ্যামিতি বাকচত দুটা চেট স্কোৱাৰ (set square) থাকে — এটা 30°-60°-90° আৰু আনটো 45°-45°-90°। (ক) দুযোৰ 30°-60°-90° চেট স্কোৱাৰ চিত্ৰত দেখুওৱাৰ দৰে বহুৱালে যি চতুৰ্ভুজ পোৱা যায় — (i) প্ৰতিটো কোণৰ জোখ কিমান? (ii) বিপৰীত বাহুৰ জোখ কিমান? (iii) চতুৰ্ভুজটোৰ নাম কি? (iv) আন কি বৈশিষ্ট্য পোৱা যায়? (খ) দুযোৰ 45°-45°-90° চেট স্কোৱাৰ বহুৱালে — (i) সকলো বাহু সমান নেকি? (ii) কোণবোৰৰ বিষয়ে কি ক’ব পাৰা? (iii) চতুৰ্ভুজটোৰ কি নাম দিব পাৰা? (iv) কিবা বৈশিষ্ট্য পোৱা যায়নে?
উত্তৰঃ দুটা সৰ্বসম সমকোণী ত্ৰিভুজক কৰ্ণৰ (hypotenuse) কাষত মিলাই বহুৱালে এটা চতুৰ্ভুজ পোৱা যায়।
- (ক) 30°-60°-90° স্কোৱাৰ: (i) প্ৰতিটো কোণ 90°। (ii) বিপৰীত বাহু সমান। (iii) ইয়াক আয়ত (rectangle) বোলা হয়। (iv) কৰ্ণ দুটা সমান, বিপৰীত বাহু সমান্তৰাল।
- (খ) 45°-45°-90° স্কোৱাৰ: (i) হয়, সকলো বাহু সমান। (ii) সকলো কোণ 90°। (iii) ইয়াক বৰ্গ (square) বোলা হয়। (iv) কৰ্ণ দুটা সমান আৰু পৰস্পৰ লম্ব; বৰ্গ আয়তৰেই এক বিশেষ ৰূপ।
৪। ৰাতুলৰ ঘৰ A বিন্দুত। সি A-ৰ পৰা পূবলৈ 6 কিমি, তাৰ পিছত দক্ষিণলৈ 4 কিমি, তাৰ পিছত পশ্চিমলৈ 3 কিমি আৰু শেষত উত্তৰলৈ 4 কিমি যায়। A-ৰ পৰা সি যোৱা পথটো আঁকা। (i) সি শেষত ক’ত থাকিব? (ii) সি ঘূৰি অহা চতুৰ্ভুজটোৰ আকৃতি কেনে? (iii) যদি 3 কিমিৰ ঠাইত 4 কিমি ল’য়, আকৃতি কেনে হ’ব? (ইংগিত: 1 কিমি = 1 চেমি ধৰি আঁকা।)
উত্তৰঃ 1 কিমি = 1 চেমি ধৰি A(0, 0) বিন্দুৰ পৰা আঁকিলে — পূবলৈ 6 → (6, 0); দক্ষিণলৈ 4 → (6, −4); পশ্চিমলৈ 3 → (3, −4); উত্তৰলৈ 4 → (3, 0)।
- (i) দক্ষিণৰ 4 কিমি আৰু উত্তৰৰ 4 কিমি কাটাকাটি যায়, আৰু পূবৰ 6 − পশ্চিমৰ 3 = 3 কিমি বাকী থাকে। গতিকে সি A-ৰ ঘৰলৈ ঘূৰি নাহে; সি A-ৰ পৰা পূবফালে 3 কিমি দূৰত্বত থাকিব।
- (ii) শেষৰ বিন্দুটো A-লৈ সংযোগ কৰিলে যি চাৰিবাহুৰ আকৃতি পোৱা যায় তাত ওপৰৰ দুটা সমান্তৰাল বাহু হ’ল 6 কিমি আৰু 3 কিমি — অসমান। গতিকে ই আয়ত নহয়, ই এটা ট্ৰেপিজিয়াম (এযোৰ সমান্তৰাল কিন্তু অসমান বাহু থকা চতুৰ্ভুজ)। আয়ত হ’বলৈ পূব আৰু পশ্চিমৰ দূৰত্ব সমান হ’ব লাগিব।
- (iii) 3 কিমিৰ ঠাইত 4 কিমি ল’লে সমান্তৰাল বাহু দুটা 6 কিমি আৰু 4 কিমি হয় — এতিয়াও অসমান, গতিকে ই এতিয়াও ট্ৰেপিজিয়ামেই থাকিব (আৰু সি A-ৰ পৰা পূবফালে 2 কিমি দূৰত্বত থাকিব)।
8.3 বৰ্গ আৰু আয়তৰ অংকন — বৰ্গ ABCD (বাহু 5 চেমি)
5 চেমি দৈৰ্ঘ্যৰ বাহুবিশিষ্ট বৰ্গ ABCD কেনেকৈ অংকন কৰিব পাৰি?
উত্তৰঃ তলৰ স্তৰবোৰ অনুসৰি অংকন কৰিব লাগে —
- স্তৰ ১: স্কেলেৰে 5 চেমি দৈৰ্ঘ্যৰ এটা ৰেখাখণ্ড AB আঁকা।
- স্তৰ ২: A বিন্দুত চাঁদাৰ ভূমিৰেখা AB-ৰ লগত মিলাই 90° চিহ্নিত কৰি A-ৰ লগত সংযোগ কৰা — AB-ত A বিন্দুত এটা লম্ব পোৱা যাব।
- স্তৰ ৩: লম্বটোৰ ওপৰত AD = 5 চেমি হোৱাকৈ D বিন্দু চিহ্নিত কৰা। (স্কেলেৰে জুখি, অথবা কম্পাছ 5 চেমি খুলি A-ত আগ ৰাখি লম্বটোত চাপ কাটি D পোৱা যায়।)
- স্তৰ ৪: স্তৰ ২-ৰ দৰে B বিন্দুতো AB-ৰ লম্ব আঁকা।
- স্তৰ ৫: কম্পাছ একেই 5 চেমি জোখত ৰাখি B-ত আগ থৈ B-ৰ লম্বত BC = 5 চেমি হোৱাকৈ C চিহ্নিত কৰা।
- স্তৰ ৬: স্কেলেৰে C আৰু D সংযোগ কৰিলে 5 চেমি বাহুৰ বৰ্গ ABCD পোৱা যায়। পৰীক্ষা কৰা — DC = 5 চেমি, ∠D = 90°, ∠C = 90°।
অংকন কৰি চাওঁ (বৰ্গ আৰু আয়ত)
১। 3 চেমি আৰু 5 চেমি বাহুৰ এটা আয়ত আঁকা। তুমি আঁকা আয়তটোৱে আয়তৰ বৈশিষ্ট্য মানি চলে নে পৰীক্ষা কৰা।
উত্তৰঃ বৰ্গ অংকনৰ একেই স্তৰত AB = 5 চেমি লৈ, A আৰু B-ত লম্ব আঁকি, লম্ব দুটাত AD = BC = 3 চেমি জুখি লৈ CD সংযোগ কৰিলে 5 চেমি × 3 চেমি আয়ত পোৱা যায়। জুখি চালে বিপৰীত বাহু সমান (5 চেমি ও 3 চেমি) আৰু চাৰিওটা কোণ 90° — গতিকে আয়তৰ বৈশিষ্ট্য পূৰণ হয়।
২। 4 চেমি বাহুৰ এটা বৰ্গ আঁকা আৰু বৰ্গৰ বৈশিষ্ট্য পূৰণ হয় নে পৰীক্ষা কৰা।
উত্তৰঃ ওপৰৰ ছয়টা স্তৰত 5 চেমিৰ ঠাইত 4 চেমি লৈ একেদৰে আঁকিলে 4 চেমি বাহুৰ বৰ্গ পোৱা যায়। জুখি চালে সকলো বাহু 4 চেমি আৰু সকলো কোণ 90° — গতিকে বৰ্গৰ বৈশিষ্ট্য পূৰণ হয়।
৩। সকলো কোণ 90° কিন্তু বিপৰীত বাহু অসমান হোৱা চতুৰ্ভুজ এটা আঁকিব পাৰানে?
উত্তৰঃ নোৱাৰি। যদি এটা চতুৰ্ভুজৰ সকলো কোণ 90° হয় তেন্তে সেইটো অৱশ্যেই এটা আয়ত হ’ব, আৰু আয়তৰ বিপৰীত বাহু সদায় সমান হয়। গতিকে সকলো কোণ 90° অথচ বিপৰীত বাহু অসমান — এনে চতুৰ্ভুজ অংকন কৰা অসম্ভৱ।
৪। সকলো বাহু সমান কিন্তু কোণ 90° নহ’বও পৰা চতুৰ্ভুজ এটা আঁকিব পাৰানে?
উত্তৰঃ পাৰি। সকলো বাহু সমান কিন্তু কোণ 90° নহয় — এনে চতুৰ্ভুজক ৰম্বছ (rhombus) বোলে। ইয়াক তেৰছাকৈ থিয় কৰা বৰ্গৰ দৰে দেখা যায়, য’ত চাৰিওটা বাহু সমান কিন্তু কোণবোৰ সমকোণ নহয়।
অভিন্ন বৰ্গত বিভক্ত আয়ত অংকন
দুটা অভিন্ন (identical) বৰ্গত ভাগ কৰিব পৰা এটা আয়ত কেনেকৈ অংকন কৰিব পাৰি?
উত্তৰঃ স্তৰ ১: জোখ নোলোৱাকৈ এডাল ৰেখাখণ্ড AF আঁকা। স্তৰ ২: A বিন্দুত AF-ৰ এটা লম্ব আঁকা। স্তৰ ৩: কম্পাছেৰে লম্বটোত AB = AF হোৱাকৈ B চিহ্নিত কৰা। স্তৰ ৪: কম্পাছ একেই জোখত ৰাখি B-ত আগ থৈ AB = BC হোৱাকৈ C চিহ্নিত কৰা। স্তৰ ৫: একেদৰে F বিন্দুৰ পৰাও E আৰু D চিহ্নিত কৰা। স্তৰ ৬: BE আৰু CD সংযোগ কৰিলে আয়ত ACDF পোৱা যায়, যাক দুটা অভিন্ন বৰ্গ ABEF আৰু BCDE-ত ভগোৱা যায়।
অংকন কৰি চাওঁ (অভিন্ন বৰ্গ)
১। একেই ধাৰণাৰে তিনিটা অভিন্ন বৰ্গত ভাগ কৰিব পৰা এটা আয়ত অংকন কৰা।
উত্তৰঃ ওপৰৰ পদ্ধতিৰে এটা বাহু (যেনে AF = 3 চেমি) লৈ, লম্বটোত সেই একেই জোখৰ তিনিটা ভাগ (মুঠ 9 চেমি) ক্ৰমাগতভাৱে জুখি ল’লে, দৈৰ্ঘ্য 9 চেমি আৰু প্ৰস্থ 3 চেমিৰ আয়ত পোৱা যায়, যাক তিনিটা 3 চেমি × 3 চেমি অভিন্ন বৰ্গত ভগোৱা যায়।
২। সকলো আয়তকে কিছুমান অভিন্ন বৰ্গত ভাগ কৰিব পাৰিনে? নোৱাৰিলে, (ক) দুটা অভিন্ন বৰ্গত আৰু (খ) তিনিটা অভিন্ন বৰ্গত ভাগ কৰিব নোৱাৰা আয়তৰ বাহুৰ জোখ দিয়া।
উত্তৰঃ নাই, সকলো আয়তকে অভিন্ন বৰ্গত ভাগ কৰিব নোৱাৰি — কেৱল দৈৰ্ঘ্য প্ৰস্থৰ সঠিক গুণিতক হ’লেহে ভাগ কৰিব পাৰি। (ক) দুটা অভিন্ন বৰ্গত ভাগ কৰিবলৈ দৈৰ্ঘ্য প্ৰস্থৰ ঠিক দুগুণ হ’ব লাগে; গতিকে যেনে দৈৰ্ঘ্য 5 চেমি, প্ৰস্থ 2 চেমি (5 ≠ 2 × 2) আয়তক দুটা অভিন্ন বৰ্গত ভাগ কৰিব নোৱাৰি। (খ) তিনিটা অভিন্ন বৰ্গত ভাগ কৰিবলৈ দৈৰ্ঘ্য প্ৰস্থৰ ঠিক তিনিগুণ হ’ব লাগে; গতিকে যেনে দৈৰ্ঘ্য 7 চেমি, প্ৰস্থ 2 চেমি (7 ≠ 3 × 2) আয়তক তিনিটা অভিন্ন বৰ্গত ভাগ কৰিব নোৱাৰি।
বৃত্তৰ ভিতৰত আৰু বাহিৰত বৰ্গ
বৃত্ত এটাৰ ভিতৰত বৰ্গ এটা কেনেকৈ অংকন কৰিব পাৰি?
উত্তৰঃ এটা বৃত্তৰ পৰস্পৰ লম্ব দুডাল ব্যাস আঁকিব লাগে। ব্যাস দুডালৰ চাৰিটা মূৰৰ বিন্দু (বৃত্তৰ ওপৰত থকা) ক্ৰমে সংযোগ কৰিলে বৃত্তৰ ভিতৰত এটা বৰ্গ পোৱা যায়।
8.5 আয়ত আৰু বৰ্গৰ কৰ্ণ
আয়ত বা বৰ্গৰ কৰ্ণ (diagonal) মানে কি? কৰ্ণ দুডালৰ দৈৰ্ঘ্য জুখিলে কি পোৱা যায়?
উত্তৰঃ আয়ত ABCD-ত বিপৰীত শীৰ্ষবিন্দু A আৰু C, লগতে B আৰু D সংযোগ কৰা ৰেখাখণ্ড AC আৰু BD-কে কৰ্ণ বোলে। জুখি চালে দেখা যায় আয়ত বা বৰ্গৰ কৰ্ণ দুডাল সমান দৈৰ্ঘ্যৰ। কৰ্ণই প্ৰতিযোৰ বিপৰীত কোণক দুটা সৰু কোণত ভাগ কৰে।
উদাহৰণ ১
এনে এটা আয়ত অংকন কৰা যাৰ এটা কৰ্ণই বিপৰীত কোণক 40° আৰু 50°-ত ভাগ কৰে।
উত্তৰঃ স্তৰ ১: যিকোনো দৈৰ্ঘ্যৰ এটা ৰেখা AB আঁকা (A আৰু B প্ৰথম আৰু দ্বিতীয় শীৰ্ষবিন্দু)। স্তৰ ২: চাঁদাৰে A বিন্দুত 40°-ৰ এটা কোণ আঁকি ৰশ্মি AE টানা। স্তৰ ৩: B বিন্দুত AB-ৰ এটা লম্ব BC আঁকা; এই লম্ব BC আৰু ৰেখা AE-ৰ ছেদবিন্দুৱেই তৃতীয় শীৰ্ষবিন্দু C। স্তৰ ৪: A বিন্দুত AB-ৰ আন এটা লম্ব AF আঁকা। স্তৰ ৫: C বিন্দুত BC-ৰ লম্ব টানিলে সেয়া AF-ক D বিন্দুত কাটিব — এইটোৱেই চতুৰ্থ শীৰ্ষবিন্দু; গতিকে আয়ত ABCD পোৱা গ’ল। এতিয়া ∠CAD জুখিলে সেয়া 50° পোৱা যায় (কিয়নো ∠A = 90° আৰু ∠BAC = 40°, গতিকে ∠CAD = 90° − 40° = 50°)।
উদাহৰণ ২
এনে এটা আয়ত অংকন কৰা যাৰ এটা বাহুৰ দৈৰ্ঘ্য 4 চেমি আৰু এটা কৰ্ণৰ দৈৰ্ঘ্য 5 চেমি।
উত্তৰঃ স্তৰ ১: 4 চেমি দৈৰ্ঘ্যৰ ৰেখাখণ্ড AB আঁকা। স্তৰ ২: B বিন্দুত AB-ৰ লম্ব এডাল ৰেখা আঁকা; তৃতীয় শীৰ্ষবিন্দু C এই লম্বটোতে থাকিব। স্তৰ ৩: কৰ্ণ 5 চেমি বাবে কম্পাছ 5 চেমি খুলি A-ত আগ থৈ চাপ কাটিলে সেই চাপে লম্বটোক C বিন্দুত কাটিব (AC = 5 চেমি কৰ্ণ); তেতিয়া BC = $\sqrt{5^2 – 4^2} = \sqrt{25 – 16} = \sqrt{9} = 3$ চেমি। স্তৰ ৪: A-ত AB-ৰ লম্ব আৰু C-ত BC-ৰ লম্ব টানিলে সেই দুটা লম্ব D বিন্দুত কাটিব — এইটোৱেই চতুৰ্থ শীৰ্ষবিন্দু। গতিকে 4 চেমি × 3 চেমি বাহুৰ, 5 চেমি কৰ্ণৰ আয়ত ABCD পোৱা গ’ল।
অংকন কৰি চাওঁ (কৰ্ণ)
১। এনে এটা আয়ত অংকন কৰা যাৰ এটা কৰ্ণই বিপৰীত কোণক (ক) 20° আৰু 70°-ত (খ) 30° আৰু 60°-ত ভাগ কৰে।
উত্তৰঃ উদাহৰণ ১-ৰ একেই পদ্ধতি — (ক) A বিন্দুত 20°-ৰ কোণ আঁকি ৰশ্মি টানা, B-ত লম্ব টানি C পোৱা, তাৰ পিছত চতুৰ্থ শীৰ্ষবিন্দু D উলিওৱা; তেতিয়া বাকী কোণ ∠CAD = 90° − 20° = 70° হয়। (খ) একেদৰে A-ত 30°-ৰ কোণ আঁকিলে বাকী কোণ ∠CAD = 90° − 30° = 60° হয়। (দুয়োটা ক্ষেত্ৰতে কোণ দুটাৰ যোগফল 90° হোৱা বাবেহে ইয়াক অংকন কৰিব পাৰি।)
8.6 দুটা প্ৰদত্ত বিন্দুৰ পৰা সমদূৰৱৰ্তী বিন্দু (ৰকেট অংকন)
দুটা প্ৰদত্ত বিন্দু B আৰু C-ৰ পৰা সমান দূৰত্বত (4 চেমি) থকা বিন্দু A কম্পাছৰ সহায়ত কেনেকৈ বিচাৰি উলিয়াব পাৰি? (ৰকেট অংকনৰ জৰিয়তে)
উত্তৰঃ ৰকেটটোৰ মাজৰ আকৃতি DECB এটা আয়ত (BC = DE = 4 চেমি, BD = CE = 6 চেমি)। এতিয়া B আৰু C দুয়োটাৰ পৰা 4 চেমি সমদূৰৱৰ্তী বিন্দু A বিচাৰিবলৈ —
- পদ্ধতি ১: B কেন্দ্ৰ লৈ 4 চেমি ব্যাসাৰ্ধৰ এটা বৃত্ত আৰু C কেন্দ্ৰ লৈ 4 চেমি ব্যাসাৰ্ধৰ আন এটা বৃত্ত আঁকা। বৃত্ত দুটা দুটা বিন্দুত ছেদ কৰে; আয়তৰ ওপৰত থকা ছেদবিন্দুটোৱেই বিচৰা বিন্দু A।
- পদ্ধতি ২: গোটেই বৃত্ত নাঁকি, B আৰু C-ৰ পৰা 4 চেমি ব্যাসাৰ্ধৰ দুটা চাপ কাটিলেও হয়; চাপ দুটা য’ত ছেদ কৰে সেয়াই A। তাৰ পিছত AB আৰু AC সংযোগ কৰি জুখি চোৱা — দুয়োটা 4 চেমি হয়।
একেই ধৰণে D আৰু E দুয়োটাৰ পৰা 3 চেমি সমদূৰৱৰ্তী বিন্দু P বিচাৰিবলৈ D কেন্দ্ৰ আৰু E কেন্দ্ৰ লৈ 3 চেমি ব্যাসাৰ্ধৰ দুটা চাপ (বা বৃত্ত) কাটিব লাগে; আয়তৰ ভিতৰৰ ছেদবিন্দুটোৱেই P। শেষত A-B, A-C, P-D, P-E সংযোগ কৰিলে ৰকেটটো সম্পূৰ্ণ হয়।
অংকন কৰি চাওঁ (সমদূৰৱৰ্তী বিন্দু)
১। 6 চেমি বাহুৰ এটা বৰ্গ অংকন কৰা। ইয়াৰ কৰ্ণ চিনাক্ত কৰা। স্কেলেৰে কৰ্ণ জুখিব পাৰানে? কৰ্ণৰ সমান জোখৰ এডাল ৰেখা আঁকিব লাগিলে কেনেকৈ আঁকিবা?
উত্তৰঃ 6 চেমি বাহুৰ বৰ্গৰ কৰ্ণৰ দৈৰ্ঘ্য = $6\sqrt{2} \approx 8.49$ চেমি — গতিকে স্কেলেৰেও জুখিব পাৰি (প্ৰায় 8 চেমি 5 মিমি)। কিন্তু হুবহু সমান জোখৰ ৰেখা আঁকিবলৈ ভাল উপায় হ’ল কম্পাছ ব্যৱহাৰ কৰা — কম্পাছৰ দুয়ো আগ কৰ্ণৰ দুই মূৰত ৰাখি জোখটো লৈ, তাৰ পিছত এডাল ৰেখাত সেই জোখ চাপ কাটি স্থানান্তৰ কৰিলেই কৰ্ণৰ সমান দৈৰ্ঘ্যৰ ৰেখা পোৱা যায়।
২। এনে চাৰিবাহুৰ আকৃতি আছেনে যাৰ বিপৰীত বাহু সমান কিন্তু ই আয়ত নহয়? থাকিলে সেয়া অংকন কৰিব পাৰানে?
উত্তৰঃ হয়, আছে — সেয়া হ’ল সামান্তৰিক (parallelogram)। ইংগিত অনুসৰি: 6 চেমি আৰু 4 চেমিৰ দুটা বাহু লোৱা; C কেন্দ্ৰ লৈ 4 চেমি ব্যাসাৰ্ধৰ চাপ, আৰু A কেন্দ্ৰ লৈ 6 চেমি ব্যাসাৰ্ধৰ চাপ কাটিলে দুয়ো চাপৰ ছেদবিন্দু D পোৱা যায়। AD আৰু CD জুখিলে সিহঁত ক্ৰমে BC আৰু AB-ৰ সমান — এই চতুৰ্ভুজৰ বিপৰীত বাহু সমান হয় কিন্তু কোণ 90° নহয়, গতিকে ই আয়ত নহয়।
৩। আগৰ ধাৰণাবোৰ ব্যৱহাৰ কৰি এটা চিলিণ্ডাৰ (cylinder) অংকন কৰা।
উত্তৰঃ ইংগিত অনুসৰি: 4 চেমিৰ এডাল ৰেখা PQ লোৱা। PQ-ৰ ওপৰ-তলত উপযুক্ত ঠাইত দুটা বিন্দু A আৰু B বাছি লোৱা য’ত কম্পাছৰ আগ ৰাখি দুটা বক্ৰ (চাপ) এনেকৈ আঁকা যাতে সিহঁত পৰস্পৰ ভালদৰে লাগি ধৰে (P আৰু Q-ৰ ওপৰ-তলে সৰু অৰ্ধ-বৃত্তীয় বক্ৰ)। PQ-ৰ পৰা উপযুক্ত দূৰত্বত আন এডাল ৰেখা RS লৈ একেদৰে বক্ৰ আঁকা। শেষত PQ আৰু RS ৰেখা দুডাল মচি পেলালে চিলিণ্ডাৰৰ আকৃতি পোৱা যায়।
অতিৰিক্ত প্ৰশ্ন আৰু উত্তৰ
বহুবৈকল্পিক প্ৰশ্ন (MCQ)
১। বৃত্তৰ কেন্দ্ৰৰ পৰা বৃত্তৰ ওপৰৰ যিকোনো বিন্দুৰ দূৰত্বক কি বোলে? (ক) ব্যাস (খ) ব্যাসাৰ্ধ (গ) কৰ্ণ (ঘ) চাপ
উত্তৰঃ (খ) ব্যাসাৰ্ধ
২। বৃত্তৰ কেন্দ্ৰৰ মাজেৰে বৃত্তৰ ওপৰৰ দুটা বিন্দু সংযোগ কৰা ৰেখাখণ্ডক কি বোলে? (ক) ব্যাসাৰ্ধ (খ) চাপ (গ) ব্যাস (ঘ) বাহু
উত্তৰঃ (গ) ব্যাস
৩। বৰ্গৰ প্ৰতিটো কোণৰ জোখ — (ক) 60° (খ) 90° (গ) 100° (ঘ) 45°
উত্তৰঃ (খ) 90°
৪। 6 চেমি বাহুৰ বৰ্গৰ কৰ্ণৰ দৈৰ্ঘ্য প্ৰায় — (ক) 6 চেমি (খ) 8.49 চেমি (গ) 12 চেমি (ঘ) 36 চেমি
উত্তৰঃ (খ) 8.49 চেমি
৫। এটা আয়তৰ এটা বাহু 4 চেমি আৰু কৰ্ণ 5 চেমি হ’লে আনটো বাহু কিমান? (ক) 1 চেমি (খ) 2 চেমি (গ) 3 চেমি (ঘ) 9 চেমি
উত্তৰঃ (গ) 3 চেমি
৬। দুটা প্ৰদত্ত বিন্দুৰ পৰা সমদূৰৱৰ্তী বিন্দু বিচাৰিবলৈ কি ব্যৱহাৰ কৰা সুবিধাজনক? (ক) কেৱল স্কেল (খ) কম্পাছ (গ) পেঞ্চিল (ঘ) ৰবৰ
উত্তৰঃ (খ) কম্পাছ
৭। আয়তৰ বিপৰীত বাহুবোৰ — (ক) অসমান (খ) সমান (গ) লম্ব (ঘ) বক্ৰ
উত্তৰঃ (খ) সমান
৮। দুটা সৰ্বসম 45°-45°-90° চেট স্কোৱাৰ কৰ্ণৰ কাষত মিলাই বহুৱালে পোৱা চতুৰ্ভুজটো — (ক) আয়ত (খ) বৰ্গ (গ) ত্ৰিভুজ (ঘ) সামান্তৰিক
উত্তৰঃ (খ) বৰ্গ
৯। দুটা সৰ্বসম 30°-60°-90° চেট স্কোৱাৰ কৰ্ণৰ কাষত মিলাই বহুৱালে পোৱা চতুৰ্ভুজটো — (ক) বৰ্গ (খ) আয়ত (গ) বৃত্ত (ঘ) ট্ৰেপিজিয়াম
উত্তৰঃ (খ) আয়ত
১০। 10 চেমি ভূমিৰেখাত দুটা একে অৰ্ধবৃত্তীয় ঢৌ আঁকিলে প্ৰতিটোৰ ব্যাসাৰ্ধ — (ক) 5 চেমি (খ) 2.5 চেমি (গ) 10 চেমি (ঘ) 1 চেমি
উত্তৰঃ (খ) 2.5 চেমি
খালী ঠাই পূৰোৱা
- বৃত্তৰ ওপৰৰ সকলো বিন্দু কেন্দ্ৰৰ পৰা ______ দূৰত্বত থাকে। (সমান)
- বৃত্তৰ ব্যাস = 2 × ______। (ব্যাসাৰ্ধ)
- বৰ্গৰ সকলো ______ সমান। (বাহু)
- আয়তৰ প্ৰতিটো কোণ ______। (90°)
- আয়ত বা বৰ্গৰ বিপৰীত শীৰ্ষবিন্দু সংযোগ কৰা ৰেখাখণ্ডক ______ বোলে। (কৰ্ণ)
শুদ্ধ নে অশুদ্ধ লিখা
- বৃত্তৰ ব্যাস তাৰ ব্যাসাৰ্ধৰ দুগুণ। — শুদ্ধ
- ঘূৰণীয়া আয়ত এটা আৰু আয়ত নহয়। — অশুদ্ধ (ঘূৰালেও ই আয়তেই থাকে)
- বৰ্গৰ সকলো বাহু আৰু সকলো কোণ সমান। — শুদ্ধ
- এটা চতুৰ্ভুজৰ সকলো কোণ 90° হ’লে ইয়াৰ বিপৰীত বাহু সদায় সমান হয়। — শুদ্ধ
- দুটা বিন্দুৰ পৰা সমান ব্যাসাৰ্ধৰ দুটা চাপ কটালে সিহঁতৰ ছেদবিন্দু দুয়ো বিন্দুৰ পৰা সমদূৰৱৰ্তী হয়। — শুদ্ধ
চমু প্ৰশ্ন-উত্তৰ
১। বৃত্তৰ ব্যাসাৰ্ধ আৰু ব্যাসৰ সংজ্ঞা লিখা।
উত্তৰঃ কেন্দ্ৰৰ পৰা বৃত্তৰ ওপৰৰ যিকোনো বিন্দুৰ দূৰত্বক ব্যাসাৰ্ধ বোলে। কেন্দ্ৰৰ মাজেৰে বৃত্তৰ ওপৰৰ দুটা বিন্দু সংযোগ কৰা ৰেখাখণ্ডক ব্যাস বোলে (ব্যাস = 2 × ব্যাসাৰ্ধ)।
২। বৰ্গ আৰু আয়তৰ পাৰ্থক্য কি?
উত্তৰঃ দুয়োটাৰে সকলো কোণ 90°। কিন্তু বৰ্গৰ সকলো বাহু সমান, আনহাতে আয়তৰ কেৱল বিপৰীত বাহুহে সমান (আনকাষৰ দুটা বাহু বেলেগ দৈৰ্ঘ্যৰ হ’ব পাৰে)। গতিকে প্ৰতিটো বৰ্গই আয়ত, কিন্তু প্ৰতিটো আয়ত বৰ্গ নহয়।
৩। 6 চেমি বাহুৰ বৰ্গৰ কৰ্ণৰ দৈৰ্ঘ্য উলিওৱা।
উত্তৰঃ কৰ্ণ = $\sqrt{6^2 + 6^2} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2} \approx 8.49$ চেমি।
৪। দুটা প্ৰদত্ত বিন্দুৰ পৰা সমদূৰৱৰ্তী বিন্দু কম্পাছেৰে কেনেকৈ বিচাৰি উলিয়াবা?
উত্তৰঃ প্ৰতিটো প্ৰদত্ত বিন্দুক কেন্দ্ৰ ধৰি একেই ব্যাসাৰ্ধৰ চাপ (বা বৃত্ত) আঁকিব লাগে। চাপ দুটা য’ত ছেদ কৰে সেই ছেদবিন্দুটোৱেই দুয়ো প্ৰদত্ত বিন্দুৰ পৰা সমান দূৰত্বত থাকে; সেয়াই বিচৰা সমদূৰৱৰ্তী বিন্দু।
শব্দাৰ্থ
| অসমীয়া শব্দ | English term | অৰ্থ |
|---|---|---|
| অংকন | Construction | স্কেল-কম্পাছেৰে জ্যামিতিক আকৃতি আঁকা |
| কম্পাছ | Compass | বৃত্ত আৰু চাপ আঁকিবলৈ ব্যৱহৃত সঁজুলি |
| চাঁদা | Protractor | কোণ জুখিবলৈ আৰু আঁকিবলৈ ব্যৱহৃত সঁজুলি |
| বৃত্ত | Circle | কেন্দ্ৰৰ পৰা সমান দূৰত্বত থকা বিন্দুৰে গঠিত বক্ৰ |
| ব্যাসাৰ্ধ | Radius | কেন্দ্ৰৰ পৰা বৃত্তৰ ওপৰৰ বিন্দুৰ দূৰত্ব |
| ব্যাস | Diameter | কেন্দ্ৰৰ মাজেৰে যোৱা জ্যা (= 2 × ব্যাসাৰ্ধ) |
| কৰ্ণ | Diagonal | বিপৰীত শীৰ্ষবিন্দু সংযোগ কৰা ৰেখাখণ্ড |
| লম্ব | Perpendicular | 90° কোণত থিয় হৈ থকা ৰেখা |
| অৰ্ধবৃত্ত | Half circle / Semicircle | বৃত্তৰ আধা অংশ |
| সমদূৰৱৰ্তী বিন্দু | Equidistant point | দুটা বিন্দুৰ পৰা সমান দূৰত্বত থকা বিন্দু |
| শীৰ্ষবিন্দু | Vertex | আকৃতিৰ কোণৰ বিন্দু |