পৰিসীমা আৰু কালি — প্ৰশ্ন উত্তৰ
HSLC Guru-ত আপোনাক স্বাগতম। এই পাঠত ASSEB Class 6 নতুন গণিতৰ ষষ্ঠ অধ্যায় পৰিসীমা আৰু কালিৰ সম্পূৰ্ণ সাৰাংশ, পাঠ্যপুথিৰ প্ৰতিটো “কৰ্তব্য কাৰ্য”ৰ সমাধান আৰু অতিৰিক্ত প্ৰশ্নোত্তৰ সৰল অসমীয়াত দিয়া হৈছে।
সাৰাংশ
কোনো বদ্ধ চিত্ৰৰ সীমাৰেখাৰ মুঠ দৈৰ্ঘ্যকে সেই চিত্ৰৰ পৰিসীমা বোলে। যিকোনো বহুভুজৰ সকলো বাহুৰ দৈৰ্ঘ্যৰ সমষ্টিয়েই ইয়াৰ পৰিসীমা। আয়তৰ পৰিসীমা তাৰ দৈৰ্ঘ্য আৰু প্ৰস্থৰ যোগফলৰ দুগুণ, বৰ্গৰ পৰিসীমা এটা বাহুৰ দৈৰ্ঘ্যৰ চাৰিগুণ, আৰু ত্ৰিভুজৰ পৰিসীমা ইয়াৰ তিনিওটা বাহুৰ দৈৰ্ঘ্যৰ সমষ্টি। সুষম বহুভুজৰ পৰিসীমা হ’ল বাহুৰ সংখ্যা আৰু এটা বাহুৰ দৈৰ্ঘ্যৰ পূৰণফল।
কোনো বদ্ধ চিত্ৰই ঘেৰি লোৱা সমতল অঞ্চলৰ পৰিমাণকে সেই চিত্ৰৰ কালি বোলে। কালি বৰ্গ এককত জোখা হয়। আয়তৰ কালি হ’ল ইয়াৰ দৈৰ্ঘ্য আৰু প্ৰস্থৰ পূৰণফল, আৰু বৰ্গৰ কালি হ’ল ইয়াৰ এটা বাহুক সেই বাহুৰেই পূৰণ কৰা ফল। আয়তক এটা কৰ্ণৰে দুটা সমান ত্ৰিভুজত ভাগ কৰিব পাৰি, সেয়ে ত্ৰিভুজৰ কালি সংশ্লিষ্ট আয়তৰ কালিৰ আধা।
দুটা বদ্ধ চিত্ৰৰ কালি একে হৈও পৰিসীমা বেলেগ হ’ব পাৰে, আকৌ পৰিসীমা একে হৈও কালি বেলেগ হ’ব পাৰে। অনিয়মীয়া আকৃতিৰ কালি একক বৰ্গ গণনা কৰি অনুমান কৰিব পাৰি, আৰু জটিল চিত্ৰক আয়ত আৰু ত্ৰিভুজত ভাঙি লৈ কালি নিৰ্ণয় কৰিব পাৰি।
Summary: This ASSEB Class 6 New Mathematics Chapter 6 “Perimeter and Area” (পৰিসীমা আৰু কালি) guide explains perimeter of a rectangle, square, triangle and regular polygon, the concept of area, area of a rectangle, square and triangle, estimation of area by counting unit squares, and real-life problems on fencing, flooring and cost. Every Work it Out (কৰ্তব্য কাৰ্য 6.1–6.8) exercise is solved step by step for Assam Board students.
গুৰুত্বপূৰ্ণ সূত্ৰসমূহ
- আয়তৰ পৰিসীমা = ২ × (দৈৰ্ঘ্য + প্ৰস্থ)
- বৰ্গৰ পৰিসীমা = ৪ × এটা বাহুৰ দৈৰ্ঘ্য
- ত্ৰিভুজৰ পৰিসীমা = তিনিওটা বাহুৰ দৈৰ্ঘ্যৰ সমষ্টি
- সুষম বহুভুজৰ পৰিসীমা = বাহুৰ সংখ্যা × এটা বাহুৰ দৈৰ্ঘ্য
- আয়তৰ কালি = দৈৰ্ঘ্য × প্ৰস্থ
- বৰ্গৰ কালি = বাহু × বাহু
- সমকোণী ত্ৰিভুজৰ কালি = ½ × ভূমি × উচ্চতা
পাঠ্যপুথিৰ প্ৰশ্ন আৰু উত্তৰ
পাঠৰ ভিতৰৰ কাৰ্য (সূত্ৰ পূৰণ)
আয়তৰ কালি = ……… আৰু বৰ্গৰ কালি = ………
উত্তৰঃ আয়তৰ কালি = দৈৰ্ঘ্য × প্ৰস্থ; বৰ্গৰ কালি = বাহু × বাহু।
এটা সমকোণী ত্ৰিভুজৰ সৈতে আন এটা একেই ত্ৰিভুজ যোগ কৰি আয়ত গঠন কৰা হ’ল। ভূমি ৪ চে.মি আৰু উচ্চতা ৩ চে.মি হ’লে আয়তটোৰ আৰু ত্ৰিভুজটোৰ কালি নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ আয়তটোৰ কালি $= 4 \times 3 = 12 \text{ sq cm}$। ত্ৰিভুজটোৰ কালি আয়তৰ কালিৰ আধা, গতিকে $= \tfrac{1}{2} \times 12 = 6 \text{ sq cm}$।
কৰ্তব্য কাৰ্য ৬.১
১। আয়ত এটাৰ দৈৰ্ঘ্য আৰু প্ৰস্থ ক্ৰমে ৬০ চে.মি. আৰু ২০ চে.মি. হ’লে, আয়তটোৰ পৰিসীমা উলিওৱা।
উত্তৰঃ পৰিসীমা $= 2 \times (\text{দৈৰ্ঘ্য} + \text{প্ৰস্থ}) = 2 \times (60 + 20) = 2 \times 80 = 160 \text{ cm}$। গতিকে আয়তটোৰ পৰিসীমা ১৬০ চে.মি.।
২। যদি আয়তাকৃতিৰ মজিয়া এখনৰ পৰিসীমা ৪০০ মিটাৰ আৰু দৈৰ্ঘ্য ১৫০ মিটাৰ হয়, তেন্তে মজিয়াখনৰ প্ৰস্থ নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ $2 \times (\text{দৈৰ্ঘ্য} + \text{প্ৰস্থ}) = 400$, গতিকে দৈৰ্ঘ্য + প্ৰস্থ $= 200$। এতেকে প্ৰস্থ $= 200 – 150 = 50 \text{ m}$। মজিয়াখনৰ প্ৰস্থ ৫০ মিটাৰ।
৩। এখন আয়তাকৃতিৰ পথাৰৰ দৈৰ্ঘ্য ২০০ মিটাৰ আৰু প্ৰস্থ ১৫০ মিটাৰ হ’লে, প্ৰতি মিটাৰত ২০ টকা হাৰত বেৰ দিয়াৰ খৰচ নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ পথাৰৰ পৰিসীমা $= 2 \times (200 + 150) = 2 \times 350 = 700 \text{ m}$। বেৰ দিয়াৰ খৰচ $= 700 \times 20 = 14000$ টকা। গতিকে মুঠ খৰচ ১৪,০০০ টকা।
৪। খালী ঠাই পূৰ কৰা:
উত্তৰঃ
(i) বৰ্গ এটাৰ পৰিসীমা = ১৬ চে.মি হ’লে, এটা বাহুৰ দৈৰ্ঘ্য $= 16 \div 4 = 4 \text{ cm}$।
(ii) আয়ত এটাৰ পৰিসীমা = ১৮ চে.মি আৰু প্ৰস্থ = ৩ চে.মি হ’লে, দৈৰ্ঘ্য + প্ৰস্থ $= 18 \div 2 = 9$, গতিকে দৈৰ্ঘ্য $= 9 – 3 = 6 \text{ cm}$।
(iii) তিনিটা বাহু ৩ চে.মি, ৪ চে.মি আৰু ৫ চে.মি হ’লে ত্ৰিভুজৰ পৰিসীমা $= 3 + 4 + 5 = 12 \text{ cm}$।
৫। এটা ত্ৰিভুজৰ দুটা বাহুৰ দৈৰ্ঘ্য ২১ চে.মি আৰু ১৫ চে.মি। যদি ইয়াৰ পৰিসীমা ৪৭ চে.মি হয়, তৃতীয় বাহুটোৰ দৈৰ্ঘ্য কিমান?
উত্তৰঃ তৃতীয় বাহু $= 47 – (21 + 15) = 47 – 36 = 11 \text{ cm}$। তৃতীয় বাহুটোৰ দৈৰ্ঘ্য ১১ চে.মি।
৬। ৬ চে.মি বাহুৰ এটা বৰ্গ এডাল তাঁৰেৰে সজা হৈছে। তাঁৰডাল পোন কৰি এটা আয়ত বনালে আয়তটোৰ সম্ভাব্য দৈৰ্ঘ্য আৰু প্ৰস্থ কি কি হ’ব পাৰে? (অন্ততঃ পাঁচটা সম্ভাৱনা লিখা)
উত্তৰঃ তাঁৰডালৰ দৈৰ্ঘ্য = বৰ্গৰ পৰিসীমা $= 4 \times 6 = 24 \text{ cm}$। আয়তৰ ক্ষেত্ৰত দৈৰ্ঘ্য + প্ৰস্থ $= 24 \div 2 = 12 \text{ cm}$। গতিকে সম্ভাব্য (দৈৰ্ঘ্য, প্ৰস্থ) হ’ল — (১১, ১), (১০, ২), (৯, ৩), (৮, ৪) আৰু (৭, ৫) চে.মি।
৭। প্ৰতি মিটাৰত ৩৫ টকা হাৰত বৰ্গাকৃতিৰ খেলপথাৰ এখনৰ চাৰিওফালে বেৰ দিয়াৰ মুঠ খৰচ ৪৪৮০ টকা হ’লে, খেলপথাৰখনৰ প্ৰতিটো বাহুৰ জোখ নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ খেলপথাৰখনৰ পৰিসীমা $= 4480 \div 35 = 128 \text{ m}$। বৰ্গৰ প্ৰতিটো বাহু $= 128 \div 4 = 32 \text{ m}$। গতিকে প্ৰতিটো বাহুৰ জোখ ৩২ মিটাৰ।
৮। এখন আয়তাকৃতিৰ পথাৰৰ দৈৰ্ঘ্য ১৫০ মিটাৰ আৰু প্ৰস্থ ১০০ মিটাৰ। এজন খেতিয়কে ইয়াৰ চাৰিওফালে চাৰিপাক ৰচীৰে বেৰ দিব বিচাৰিছে। মুঠ কিমান দৈৰ্ঘ্যৰ ৰচীৰ প্ৰয়োজন হ’ব?
উত্তৰঃ এপাক ৰচীৰ দৈৰ্ঘ্য = পথাৰৰ পৰিসীমা $= 2 \times (150 + 100) = 500 \text{ m}$। চাৰিপাকৰ বাবে মুঠ ৰচীৰ দৈৰ্ঘ্য $= 4 \times 500 = 2000 \text{ m}$। গতিকে ২০০০ মিটাৰ ৰচীৰ প্ৰয়োজন হ’ব।
কৰ্তব্য কাৰ্য ৬.২
১। ৯ চে.মি বাহুবিশিষ্ট এটা সমবাহু ত্ৰিভুজৰ পৰিসীমা নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ সমবাহু ত্ৰিভুজৰ পৰিসীমা $= 3 \times \text{বাহু} = 3 \times 9 = 27 \text{ cm}$। পৰিসীমা ২৭ চে.মি।
২। ৫৪ চে.মি পৰিসীমাৰ এটা সমবাহু ত্ৰিভুজৰ বাহুৰ দৈৰ্ঘ্য নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ বাহুৰ দৈৰ্ঘ্য = পৰিসীমা ÷ ৩ $= 54 \div 3 = 18 \text{ cm}$। প্ৰতিটো বাহুৰ দৈৰ্ঘ্য ১৮ চে.মি।
৩। তোমাৰ চাৰিওফালে থকা সুষম আকৃতিৰ বিভিন্ন বস্তুৰ পৰিসীমা নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ ইয়াক নিজে জুখি কৰিব লাগে। যিকোনো সুষম আকৃতিৰ বস্তুৰ এটা বাহু জুখি বাহুৰ সংখ্যাৰে পূৰণ কৰিলেই পৰিসীমা পোৱা যায়। যেনে — বৰ্গাকৃতিৰ মজিয়া টাইল এখনৰ বাহু ৩০ চে.মি হ’লে ইয়াৰ পৰিসীমা $= 4 \times 30 = 120 \text{ cm}$; সমবাহু ত্ৰিভুজ আকৃতিৰ চেট-স্কেয়াৰৰ বাহু ৮ চে.মি হ’লে পৰিসীমা $= 3 \times 8 = 24 \text{ cm}$।
কৰ্তব্য কাৰ্য ৬.৩
১। তলৰ চিত্ৰসমূহৰ পৰিসীমা নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ এইবোৰ সমকোণ থকা যৌগিক (L-আকৃতিৰ) চিত্ৰ। পৰিসীমা পাবলৈ চিত্ৰৰ চাৰিওফালৰ সকলো বাহুৰ দৈৰ্ঘ্য যোগ কৰিব লাগে।
চিত্ৰ (i): ইয়াৰ বাহুকেইটা ৪ চে.মি, ৬ চে.মি, ৬ চে.মি, ৪ চে.মি, ১০ চে.মি আৰু ১০ চে.মি। পৰিসীমা $= 4 + 6 + 6 + 4 + 10 + 10 = 40 \text{ cm}$।
চিত্ৰ (ii) আৰু (iii): একেদৰে প্ৰতিটো চিত্ৰৰ চাৰিওফালৰ প্ৰতিটো বাহুৰ দৈৰ্ঘ্য পোনে পোনে যোগ কৰিলেই পৰিসীমা পোৱা যায়। L বা ধাপ আকৃতিৰ চিত্ৰত থিয় আৰু শুৱনি বাহুবোৰ বেলেগে বেলেগে যোগ কৰি মুঠ পৰিসীমা উলিয়াব লাগে (উদাহৰণস্বৰূপে ওপৰৰ চিত্ৰত পৰিসীমা ৪০ চে.মি)।
কৰ্তব্য কাৰ্য ৬.৪
১। এখন আয়তাকৃতিৰ বাগিছাৰ কালি ৬০০ বৰ্গ মিটাৰ আৰু প্ৰস্থ ২০ মিটাৰ। বাগিছাখনৰ দৈৰ্ঘ্য কিমান?
উত্তৰঃ দৈৰ্ঘ্য = কালি ÷ প্ৰস্থ $= 600 \div 20 = 30 \text{ m}$। বাগিছাখনৰ দৈৰ্ঘ্য ৩০ মিটাৰ।
২। এখন আয়তাকৃতিৰ বৰ্ডৰ দৈৰ্ঘ্য ১৯০ চে.মি আৰু কালি ২২৮০০ বৰ্গ চে.মি হ’লে, বৰ্ডখনৰ পৰিসীমা নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ প্ৰস্থ = কালি ÷ দৈৰ্ঘ্য $= 22800 \div 190 = 120 \text{ cm}$। পৰিসীমা $= 2 \times (190 + 120) = 2 \times 310 = 620 \text{ cm}$। বৰ্ডখনৰ পৰিসীমা ৬২০ চে.মি।
৩। এখন মজিয়া ৫ মিটাৰ দীঘল আৰু ৪ মিটাৰ বহল। ৩ মিটাৰ বাহুৰ বৰ্গাকৃতিৰ এখন কাৰ্পেট মজিয়াখনত পাৰি দিয়া হ’ল। কাৰ্পেট পৰা নথকা মজিয়াৰ কালি নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ মজিয়াৰ কালি $= 5 \times 4 = 20 \text{ sq m}$। কাৰ্পেটৰ কালি $= 3 \times 3 = 9 \text{ sq m}$। কাৰ্পেট পৰা নথকা কালি $= 20 – 9 = 11 \text{ sq m}$। উত্তৰ ১১ বৰ্গ মিটাৰ।
৪। ২০০ মিটাৰ দীঘল আৰু ৫ মিটাৰ বহল এখন আয়তাকৃতিৰ দেৱাল প্ৰতি বৰ্গ মিটাৰত ৭ টকা হাৰত ৰং কৰাৰ খৰচ কিমান?
উত্তৰঃ দেৱালৰ কালি $= 200 \times 5 = 1000 \text{ sq m}$। ৰং কৰাৰ খৰচ $= 1000 \times 7 = 7000$ টকা। মুঠ খৰচ ৭,০০০ টকা।
৫। ৫ মিটাৰ দীঘল আৰু ৪ মিটাৰ বহল এটা মাটিত ১ মিটাৰ বাহুৰ পাঁচটা বৰ্গাকৃতিৰ ফুলনি খন্দা হ’ল। মাটিটোৰ বাকী অংশৰ কালি কিমান?
উত্তৰঃ মাটিটোৰ কালি $= 5 \times 4 = 20 \text{ sq m}$। পাঁচটা ফুলনিৰ কালি $= 5 \times (1 \times 1) = 5 \text{ sq m}$। বাকী অংশৰ কালি $= 20 – 5 = 15 \text{ sq m}$। উত্তৰ ১৫ বৰ্গ মিটাৰ।
৬। তলৰ চিত্ৰসমূহৰ কালি নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ চিত্ৰ দুটা ধাপ আকৃতিৰ যৌগিক চিত্ৰ। ইহঁতক কেইটামান আয়তত ভাঙি প্ৰতিটোৰ কালি (দৈৰ্ঘ্য × প্ৰস্থ) উলিয়াই যোগ কৰিলে গোটেই চিত্ৰৰ কালি পোৱা যায়। প্ৰতিটো ধাপ-খণ্ডৰ দৈৰ্ঘ্য আৰু প্ৰস্থ চিত্ৰত দিয়া জোখৰ পৰা লৈ, সেই সৰু আয়তবোৰৰ কালিৰ সমষ্টিয়েই সম্পূৰ্ণ চিত্ৰটোৰ কালি হ’ব।
৭। এটা বৰ্গৰ পৰিসীমা আৰু কালি সংখ্যাগতভাৱে সমান হ’লে ইয়াৰ বাহুৰ দৈৰ্ঘ্য নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ বাহু $a$ ধৰিলে, পৰিসীমা $= 4a$ আৰু কালি $= a \times a$। দুয়োটা সমান হ’লে $4a = a \times a$, গতিকে $a = 4$। বাহুৰ দৈৰ্ঘ্য ৪ একক (তেতিয়া পৰিসীমা = কালি = ১৬)।
৮। এখন আয়তাকৃতিৰ হাবিৰ জোখ ১২ কি.মি × ১০ কি.মি। অৰণ্য নিধনৰ ফলত হাবিখনৰ $\tfrac{3}{10}$ অংশ নষ্ট হ’ল। (ক) হাবিখনৰ মূল কালি কিমান আছিল? (খ) কিমান কালি নষ্ট হ’ল? (গ) বাকী থকা হাবিৰ কালি কিমান?
উত্তৰঃ (ক) মূল কালি $= 12 \times 10 = 120 \text{ sq km}$। (খ) নষ্ট হোৱা কালি $= \tfrac{3}{10} \times 120 = 36 \text{ sq km}$। (গ) বাকী থকা কালি $= 120 – 36 = 84 \text{ sq km}$।
৯। এখন নগৰৰ উদ্যানৰ কালি বৰ্তমান ১৩,২০০ বৰ্গ মিটাৰ, আৰু ইয়াৰ চাৰিওফালে ৩ মিটাৰ বহল বাট যোগ কৰি সম্প্ৰসাৰণ কৰা হ’ব। উদ্যানখন ১২০ মিটাৰ × ১১০ মিটাৰ আয়তাকৃতিৰ হ’লে — (ক) বৰ্তমান পৰিসীমা কিমান? (খ) বাট যোগ কৰাৰ পিছত নতুন পৰিসীমা কিমান হ’ব? (গ) বাটসহ নতুন কালি নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ (ক) বৰ্তমান পৰিসীমা $= 2 \times (120 + 110) = 2 \times 230 = 460 \text{ m}$। (খ) চাৰিওফালে ৩ মিটাৰ বাট যোগ কৰিলে নতুন জোখ $(120 + 6) \times (110 + 6) = 126 \times 116$; নতুন পৰিসীমা $= 2 \times (126 + 116) = 2 \times 242 = 484 \text{ m}$। (গ) বাটসহ নতুন কালি $= 126 \times 116 = 14616 \text{ sq m}$।
১০। এখন বিদ্যালয়ে ৩০ মিটাৰ দীঘল আৰু ১২ মিটাৰ বহল আয়তাকৃতিৰ চালত ছৌৰ পেনেল বহুৱাব বিচাৰিছে। প্ৰতিটো ছৌৰ পেনেলে ২ বৰ্গ মিটাৰ ঠাই লয়। (ক) চালৰ কালি কিমান? (খ) ঠাই নষ্ট নকৰাকৈ কিমানটা পেনেল বহাব পাৰি? (গ) প্ৰতিটো পেনেলে বছৰি ৫০ কি.গ্ৰা. কাৰ্বন নিৰ্গমন হ্ৰাস কৰিলে, এবছৰত মুঠ কিমান কাৰ্বন-ডাই-অক্সাইড নিৰ্গমন হ্ৰাস হ’ব?
উত্তৰঃ (ক) চালৰ কালি $= 30 \times 12 = 360 \text{ sq m}$। (খ) পেনেলৰ সংখ্যা $= 360 \div 2 = 180$টা। (গ) মুঠ হ্ৰাস $= 180 \times 50 = 9000 \text{ kg}$, অৰ্থাৎ এবছৰত ৯০০০ কি.গ্ৰা. কাৰ্বন-ডাই-অক্সাইড।
কৰ্তব্য কাৰ্য ৬.৫
১। তলত দিয়া চিত্ৰবোৰৰ (M, A, T, H আখৰ) পৰিসীমা থিয়/শুৱনি একক আৰু কৰ্ণ এককত লিখা।
উত্তৰঃ ফুটকিযুক্ত জালিকা কাগজত আখৰবোৰ বনোৱা হৈছে। এই ক্ষেত্ৰত এটা সৰু বৰ্গৰ কাষৰ দৈৰ্ঘ্যক এক থিয়/শুৱনি একক আৰু এটা সৰু বৰ্গৰ কৰ্ণৰ দৈৰ্ঘ্যক এক কৰ্ণ একক ধৰা হয়। আখৰৰ সীমাৰেখাত থকা থিয় বা শুৱনি ৰেখাৰ খণ্ডবোৰ গণনা কৰি থিয় এককত, আৰু হেলনীয়া (কৰ্ণ) ৰেখাৰ খণ্ডবোৰ গণনা কৰি কৰ্ণ এককত পৰিসীমা প্ৰকাশ কৰিব লাগে। T আৰু H আখৰত কোনো হেলনীয়া ৰেখা নাথাকে বাবে ইহঁতৰ পৰিসীমা কেৱল থিয়/শুৱনি এককতে পোৱা যায়; M আৰু A আখৰত হেলনীয়া ৰেখা থকা বাবে ইহঁতৰ পৰিসীমাত কৰ্ণ একক থাকিব। প্ৰতিটো আখৰৰ প্ৰকৃত মান নিৰ্ভৰ কৰে আখৰটো জালিকাত কিদৰে অঁকা হৈছে তাৰ ওপৰত — যেনে, এটা H আখৰৰ বাহিৰৰ সীমাত ২০টা থিয়/শুৱনি একক থাকিলে ইয়াৰ পৰিসীমা = ২০ থিয় একক।
কৰ্তব্য কাৰ্য ৬.৬
১। তলৰ চিত্ৰসমূহক ত্ৰিভুজ আৰু আয়তত ভাঙি প্ৰতিটোৰ কালি নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ চিত্ৰবোৰ জালিকা কাগজত অঁকা। প্ৰতিটো চিত্ৰক সুবিধামতে কেইখনমান আয়ত আৰু সমকোণী ত্ৰিভুজত ভাঙি লব লাগে। আয়তৰ কালি = দৈৰ্ঘ্য × প্ৰস্থ, আৰু সমকোণী ত্ৰিভুজৰ কালি = ½ × ভূমি × উচ্চতা সূত্ৰেৰে প্ৰতিটো খণ্ডৰ কালি উলিয়াই সেইবোৰ যোগ কৰিলে সম্পূৰ্ণ চিত্ৰটোৰ কালি পোৱা যায়। যেনে, এখন সামান্তৰিকক এটা আয়ত আৰু দুটা সমকোণী ত্ৰিভুজত ভাঙিব পাৰি; এখন পঞ্চভুজ-আকৃতিৰ ঘৰক এটা আয়ত আৰু ওপৰত এটা ত্ৰিভুজত ভাঙি লব পাৰি।
কৰ্তব্য কাৰ্য ৬.৭
১। তলৰ প্ৰহেলিকাটোত ‘?’ চিহ্নৰ ঠাইত বহিবলগীয়া হেৰোৱা মানবোৰ নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ চিত্ৰটো কেইখনমান লগলাগি থকা আয়তেৰে গঠিত। প্ৰতিটো আয়তৰ কালি = দৈৰ্ঘ্য × প্ৰস্থ সম্পৰ্ক ব্যৱহাৰ কৰি হেৰোৱা মান উলিওৱা হয়— যিটো আয়তৰ উচ্চতা ৩ চে.মি আৰু কালি ৩৬ বৰ্গ চে.মি, তাৰ বহল $= 36 \div 3 = 12 \text{ cm}$; যিটো আয়তৰ বাহু ৬ চে.মি আৰু ৪ চে.মি, তাৰ কালি $= 6 \times 4 = 24 \text{ sq cm}$; আৰু ৭ চে.মি বাহু জড়িত আয়তৰ বাকী জোখ চিত্ৰত দিয়া কাষৰ জোখৰ পৰা একেদৰে বাহিৰ কৰিব পাৰি।
২। ঋতুৰ আয়তাকৃতিৰ পাচলি বাগিছাখনৰ কিছুমান জোখ দিয়া আছে (ওপৰৰ বহল ১৮ মিটাৰ)। দিয়া জোখৰ সহায়ত ‘?’ চিহ্নিত হেৰোৱা জোখবোৰ নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ গোটেই বাগিছাখন এটা ডাঙৰ আয়ত, যাক পাচলিভেদে সৰু সৰু আয়তত ভগোৱা হৈছে। প্ৰতিটো খণ্ডৰ ক্ষেত্ৰত কালি = দৈৰ্ঘ্য × প্ৰস্থ সূত্ৰ প্ৰয়োগ কৰি, দিয়া কালিৰ পৰা হেৰোৱা বাহু বা দিয়া বাহুৰ পৰা হেৰোৱা কালি উলিওৱা হয়। ওপৰৰ মুঠ বহল ১৮ মিটাৰ হোৱা বাবে, ওচৰাওচৰি খণ্ডবোৰৰ বহলৰ যোগফল ১৮ মিটাৰ হ’ব লাগিব — এই চৰ্তেৰে আৰু দিয়া কালিবোৰ (যেনে টমেটোৰ কালি ৫৪ বৰ্গ মিটাৰ) ব্যৱহাৰ কৰি প্ৰতিটো ‘?’ৰ মান ক্ৰমে উলিয়াব পাৰি।
কৰ্তব্য কাৰ্য ৬.৮
১। এখন টেংগ্ৰাম আঁকি ৭ টুকুৰাত কাটি তলৰ প্ৰশ্নবোৰ অন্বেষণ কৰা — (ক) কেইটা টুকুৰাৰ কালি সমান? (খ) D টুকুৰা C বা E টুকুৰাতকৈ কিমানগুণ ডাঙৰ? (গ) D আৰু F টুকুৰাৰ কালি তুলনা কৰা। (ঘ) G আৰু F টুকুৰাৰ কালি তুলনা কৰা। (ঙ) A আৰু B টুকুৰাৰ কালি তুলনা কৰা। (চ) A টুকুৰাৰ কালি C টুকুৰাৰ কালিৰ কিমান? (ছ) সাতোটা টুকুৰাৰে গঠিত ডাঙৰ বৰ্গটোৰ কালি E টুকুৰাৰ কালিৰ এককত কিমান? (জ) এই ৭ টুকুৰাৰে এটা আয়ত গঠন কৰিলে ইয়াৰ কালি E-ৰ এককত কিমান হ’ব? (ঞ) এই ৭ টুকুৰাৰে গঠিত বৰ্গ আৰু আয়ত একে নে বেলেগ?
উত্তৰঃ সাধাৰণ টেংগ্ৰামত ৭টা টুকুৰা থাকে — দুটা ডাঙৰ ত্ৰিভুজ (A আৰু B), এটা মজলীয়া ত্ৰিভুজ (D), দুটা সৰু ত্ৰিভুজ (C আৰু E), এটা বৰ্গ (F) আৰু এটা সামান্তৰিক (G)। সৰু ত্ৰিভুজৰ কালিক ১ একক ধৰিলে — সৰু ত্ৰিভুজ = ১, বৰ্গ = ২, সামান্তৰিক = ২, মজলীয়া ত্ৰিভুজ = ২, ডাঙৰ ত্ৰিভুজ = ৪ একক; সৰ্বমুঠ = ১৬ একক। এতেকে —
- (ক) A ও B ৰ কালি সমান; C ও E ৰ কালি সমান; আৰু D, F ও G তিনিওটাৰ কালি সমান (২ একককৈ)।
- (খ) D টুকুৰা C বা E তকৈ ২ গুণ ডাঙৰ।
- (গ) D আৰু F ৰ কালি সমান।
- (ঘ) G আৰু F ৰ কালি সমান।
- (ঙ) A আৰু B ৰ কালি সমান।
- (চ) A ৰ কালি C ৰ কালিৰ ৪ গুণ।
- (ছ) ডাঙৰ বৰ্গটোৰ কালি = E ৰ কালিৰ ১৬ গুণ।
- (জ) ৭ টুকুৰাৰে গঠিত আয়তৰ কালিও = E ৰ কালিৰ ১৬ গুণ।
- (ঞ) বৰ্গ আৰু আয়তৰ কালি একে (১৬ একক), কেৱল আকৃতি বেলেগ।
২। এটা বৰ্গৰ বাহু ৬ চে.মি। বৰ্গটোৰ প্ৰতিটো বাহুৰ পৰা ভিতৰফালে ১ চে.মি দূৰত্বত এডাল এডাল ৰেখা আঁকিলে মাজত গঠিত হোৱা বৰ্গটোৰ কালি নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ প্ৰতিটো বাহুৰ পৰা ১ চে.মিকৈ ভিতৰলৈ সৰি অহাত মাজৰ বৰ্গৰ বাহু $= 6 – (1 + 1) = 4 \text{ cm}$। গতিকে মাজৰ বৰ্গটোৰ কালি $= 4 \times 4 = 16 \text{ sq cm}$।
৩। এখন আয়তাকৃতিৰ পথাৰৰ দৈৰ্ঘ্য আৰু বহল ক্ৰমে ৬০ মিটাৰ আৰু ৪৫ মিটাৰ। এজন খেলুৱৈয়ে পথাৰখনৰ চাৰিওফালে ১২ বাৰ দৌৰিলে কিমান দূৰত্ব অতিক্ৰম কৰিব?
উত্তৰঃ এপাকৰ দূৰত্ব = পৰিসীমা $= 2 \times (60 + 45) = 2 \times 105 = 210 \text{ m}$। ১২ বাৰৰ দূৰত্ব $= 12 \times 210 = 2520 \text{ m}$। গতিকে ২৫২০ মিটাৰ।
৪। দৈৰ্ঘ্য আৰু প্ৰস্থ ক্ৰমে ৩৪ চে.মি আৰু ২৩ চে.মিৰ এখন ফটোৰ চাৰিওফালে ফ্ৰেম দিবলৈ কিমান দৈৰ্ঘ্যৰ কাঠৰ পটি লাগিব?
উত্তৰঃ লাগতিয়াল কাঠৰ পটিৰ দৈৰ্ঘ্য = ফটোৰ পৰিসীমা $= 2 \times (34 + 23) = 2 \times 57 = 114 \text{ cm}$। ১১৪ চে.মি কাঠৰ পটি লাগিব।
৫। ৪২ চে.মি দীঘল এডাল ৰচীৰে আয়ত বনালে সম্ভাব্য দৈৰ্ঘ্য আৰু প্ৰস্থৰ যোৰবোৰ কি কি হ’ব পাৰে? গঠিত আয়তবোৰৰ কালিও নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ $2 \times (\text{দৈৰ্ঘ্য} + \text{প্ৰস্থ}) = 42$, গতিকে দৈৰ্ঘ্য + প্ৰস্থ $= 21 \text{ cm}$। কেইটামান সম্ভাৱনা আৰু সিহঁতৰ কালি — (২০, ১) → কালি ২০; (১৮, ৩) → কালি ৫৪; (১৫, ৬) → কালি ৯০; (১২, ৯) → কালি ১০৮; (১১, ১০) → কালি ১১০ বৰ্গ চে.মি। (লক্ষ্যণীয়— একে পৰিসীমা হ’লেও দৈৰ্ঘ্য-প্ৰস্থ ওচৰ চাপিলে কালি বাঢ়ে।)
৬। ১৫০ মিটাৰ বাহুৰ বৰ্গাকৃতিৰ উদ্যান এখনৰ চাৰিওফালে প্ৰতি মিটাৰত ২৫ টকা হাৰত বেৰ দিয়াৰ খৰচ নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ পৰিসীমা $= 4 \times 150 = 600 \text{ m}$। বেৰ দিয়াৰ খৰচ $= 600 \times 25 = 15000$ টকা। মুঠ খৰচ ১৫,০০০ টকা।
৭। ১৮০ মিটাৰ দীঘল আৰু ১৪৫ মিটাৰ বহল এখন আয়তাকৃতিৰ উদ্যানৰ চাৰিওফালে প্ৰতি মিটাৰত ২৪ টকা হাৰত বেৰ দিয়াৰ খৰচ নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ পৰিসীমা $= 2 \times (180 + 145) = 2 \times 325 = 650 \text{ m}$। খৰচ $= 650 \times 24 = 15600$ টকা। মুঠ খৰচ ১৫,৬০০ টকা।
৮। অৰুণে ৬৫ মিটাৰ বাহুৰ বৰ্গাকৃতিৰ উদ্যান এখনৰ চাৰিওফালে এপাক দৌৰিল। ৰীণাই ৭০ মিটাৰ দীঘল আৰু ৫৫ মিটাৰ বহল এখন আয়তাকৃতিৰ উদ্যানৰ চাৰিওফালে এপাক দৌৰিল। কোনে কম দূৰত্ব অতিক্ৰম কৰিলে?
উত্তৰঃ অৰুণৰ দূৰত্ব = বৰ্গৰ পৰিসীমা $= 4 \times 65 = 260 \text{ m}$। ৰীণাৰ দূৰত্ব = আয়তৰ পৰিসীমা $= 2 \times (70 + 55) = 250 \text{ m}$। যিহেতু $250 < 260$, ৰীণাই কম দূৰত্ব অতিক্ৰম কৰিলে।
৯। অনুপমে ১৪ মিটাৰ দীঘল আৰু ১২ মিটাৰ বহল এটা হলৰ মজিয়া বৰ্গাকৃতিৰ টাইলেৰে ঢাকিব বিচাৰে। প্ৰতিটো টাইলৰ বাহু ২ মিটাৰ হ’লে, মজিয়া ঢাকিবলৈ কিমানটা টাইল লাগিব?
উত্তৰঃ মজিয়াৰ কালি $= 14 \times 12 = 168 \text{ sq m}$। এটা টাইলৰ কালি $= 2 \times 2 = 4 \text{ sq m}$। প্ৰয়োজনীয় টাইলৰ সংখ্যা $= 168 \div 4 = 42$টা।
১০। ১১ মিটাৰ দীঘল আৰু ৬ মিটাৰ বহল এটা মাটিত ২ মিটাৰ বাহুৰ ছটা বৰ্গাকৃতিৰ ফুলনি খন্দা হ’ল। মাটিটোৰ বাকী অংশৰ কালি কিমান?
উত্তৰঃ মাটিটোৰ কালি $= 11 \times 6 = 66 \text{ sq m}$। ছটা ফুলনিৰ কালি $= 6 \times (2 \times 2) = 24 \text{ sq m}$। বাকী অংশৰ কালি $= 66 – 24 = 42 \text{ sq m}$। উত্তৰ ৪২ বৰ্গ মিটাৰ।
অতিৰিক্ত প্ৰশ্ন আৰু উত্তৰ
বহুবিকল্পীয় প্ৰশ্ন (MCQ)
১। আয়তৰ পৰিসীমাৰ শুদ্ধ সূত্ৰ কোনটো? (ক) দৈৰ্ঘ্য × প্ৰস্থ (খ) ২ × (দৈৰ্ঘ্য + প্ৰস্থ) (গ) ৪ × বাহু (ঘ) ½ × ভূমি × উচ্চতা
উত্তৰঃ (খ) ২ × (দৈৰ্ঘ্য + প্ৰস্থ)।
২। বৰ্গৰ পৰিসীমা = ? (ক) ২ × বাহু (খ) ৩ × বাহু (গ) ৪ × বাহু (ঘ) বাহু × বাহু
উত্তৰঃ (গ) ৪ × বাহু।
৩। ৫ চে.মি বাহুৰ এটা বৰ্গৰ পৰিসীমা কিমান? (ক) ১০ চে.মি (খ) ১৫ চে.মি (গ) ২০ চে.মি (ঘ) ২৫ চে.মি
উত্তৰঃ (গ) ২০ চে.মি।
৪। আয়তৰ কালিৰ সূত্ৰ কোনটো? (ক) দৈৰ্ঘ্য + প্ৰস্থ (খ) দৈৰ্ঘ্য × প্ৰস্থ (গ) ২ × (দৈৰ্ঘ্য + প্ৰস্থ) (ঘ) ৪ × বাহু
উত্তৰঃ (খ) দৈৰ্ঘ্য × প্ৰস্থ।
৫। সমবাহু ত্ৰিভুজৰ পৰিসীমা = ? (ক) ২ × বাহু (খ) ৩ × বাহু (গ) ৪ × বাহু (ঘ) বাহু + বাহু
উত্তৰঃ (খ) ৩ × বাহু।
৬। কালি জোখাৰ একক কি? (ক) মিটাৰ (খ) বৰ্গ একক (গ) ঘন একক (ঘ) কোনোটোৱেই নহয়
উত্তৰঃ (খ) বৰ্গ একক।
৭। ৬ মিটাৰ বাহুৰ এটা বৰ্গৰ কালি কিমান? (ক) ২৪ বৰ্গ মিটাৰ (খ) ১২ বৰ্গ মিটাৰ (গ) ৩৬ বৰ্গ মিটাৰ (ঘ) ৩০ বৰ্গ মিটাৰ
উত্তৰঃ (গ) ৩৬ বৰ্গ মিটাৰ।
৮। সুষম পঞ্চভুজৰ বাহুৰ সংখ্যা কিমান? (ক) ৩ (খ) ৪ (গ) ৫ (ঘ) ৬
উত্তৰঃ (গ) ৫।
৯। এখন আয়তক এটা কৰ্ণৰে ভাগ কৰিলে পোৱা প্ৰতিটো ত্ৰিভুজৰ কালি আয়তৰ কালিৰ কিমান অংশ? (ক) সমান (খ) দুগুণ (গ) আধা (ঘ) এক-তৃতীয়াংশ
উত্তৰঃ (গ) আধা।
১০। এটা আয়তৰ দৈৰ্ঘ্য ১০ চে.মি আৰু প্ৰস্থ ৫ চে.মি হ’লে পৰিসীমা কিমান? (ক) ১৫ চে.মি (খ) ৩০ চে.মি (গ) ৫০ চে.মি (ঘ) ২০ চে.মি
উত্তৰঃ (খ) ৩০ চে.মি।
খালী ঠাই পূৰ কৰা
১। পৰিসীমা হ’ল কোনো বদ্ধ চিত্ৰৰ __________ৰ জোখ।
উত্তৰঃ সীমাৰেখা।
২। আয়তৰ কালি = দৈৰ্ঘ্য × __________।
উত্তৰঃ প্ৰস্থ।
৩। বৰ্গৰ পৰিসীমা = ৪ × __________।
উত্তৰঃ এটা বাহুৰ দৈৰ্ঘ্য।
৪। একোটা পূৰ্ণ বৰ্গৰ কালি __________ বৰ্গ একক ধৰা হয়।
উত্তৰঃ ১।
৫। সমবাহু ত্ৰিভুজৰ তিনিওটা বাহু __________।
উত্তৰঃ সমান।
শুদ্ধ নে অশুদ্ধ লিখা
১। পৰিসীমা আৰু কালিৰ জোখাৰ একক একে।
উত্তৰঃ অশুদ্ধ। (পৰিসীমা দৈৰ্ঘ্যৰ এককত, কালি বৰ্গ এককত জোখা হয়।)
২। বৰ্গ এটা সুষম বহুভুজ।
উত্তৰঃ শুদ্ধ।
৩। একে কালিৰ দুটা চিত্ৰৰ পৰিসীমা বেলেগ হ’ব পাৰে।
উত্তৰঃ শুদ্ধ।
৪। ত্ৰিভুজৰ কালি = ভূমি × উচ্চতা।
উত্তৰঃ অশুদ্ধ। (ত্ৰিভুজৰ কালি = ½ × ভূমি × উচ্চতা।)
৫। আয়তৰ কালি বৰ্গ এককত জোখা হয়।
উত্তৰঃ শুদ্ধ।
চমু উত্তৰৰ প্ৰশ্ন
১। পৰিসীমা বুলিলে কি বুজা?
উত্তৰঃ কোনো সমতলত থকা এটা বদ্ধ চিত্ৰৰ সীমাৰেখাৰ মুঠ দৈৰ্ঘ্যকে সেই চিত্ৰৰ পৰিসীমা বোলে।
২। আয়ত আৰু বৰ্গৰ কালিৰ সূত্ৰ লিখা।
উত্তৰঃ আয়তৰ কালি = দৈৰ্ঘ্য × প্ৰস্থ; বৰ্গৰ কালি = বাহু × বাহু।
৩। এটা বৰ্গৰ বাহু ৭ চে.মি হ’লে ইয়াৰ কালি আৰু পৰিসীমা নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ কালি $= 7 \times 7 = 49 \text{ sq cm}$; পৰিসীমা $= 4 \times 7 = 28 \text{ cm}$।
৪। দুটা বদ্ধ চিত্ৰৰ কালি একে হ’লে সিহঁতৰ পৰিসীমাও একে হ’বই নে?
উত্তৰঃ নহয়। দুটা চিত্ৰৰ কালি একে হ’লেও ইহঁতৰ পৰিসীমা বেলেগ হ’ব পাৰে। যেনে, ৯টা একক বৰ্গৰে বনোৱা দুটা বেলেগ আকৃতিৰ চিত্ৰৰ কালি একেই (৯ বৰ্গ একক) হ’লেও এটাৰ পৰিসীমা ১৪ একক আৰু আনটোৰ ২০ একক হ’ব পাৰে।
শব্দাৰ্থ
| অসমীয়া শব্দ | English term | অৰ্থ |
|---|---|---|
| পৰিসীমা | Perimeter | বদ্ধ চিত্ৰৰ সীমাৰেখাৰ মুঠ দৈৰ্ঘ্য |
| কালি | Area | বদ্ধ চিত্ৰই ঘেৰি লোৱা সমতল অঞ্চলৰ পৰিমাণ |
| আয়ত | Rectangle | চাৰিটা সমকোণ থকা, বিপৰীত বাহু সমান চতুৰ্ভুজ |
| বৰ্গ | Square | চাৰিওটা বাহু সমান আৰু চাৰিটা সমকোণ থকা চিত্ৰ |
| ত্ৰিভুজ | Triangle | তিনিটা বাহুৰে গঠিত বদ্ধ চিত্ৰ |
| দৈৰ্ঘ্য | Length | বস্তুৰ দীঘৰ জোখ |
| প্ৰস্থ | Breadth | বস্তুৰ বহলৰ জোখ |
| সুষম বহুভুজ | Regular polygon | সকলো বাহু আৰু কোণ সমান থকা বহুভুজ |
| সমবাহু ত্ৰিভুজ | Equilateral triangle | তিনিওটা বাহু সমান থকা ত্ৰিভুজ |
| কৰ্ণ | Diagonal | বহুভুজৰ দুটা অসংলগ্ন চুক সংযোগ কৰা ৰেখা |
| বৰ্গ একক | Square unit | কালি জোখাৰ একক |