সংখ্যাৰ সৈতে খেলা — প্ৰশ্ন উত্তৰ
HSLC Guru-লৈ আপোনাক স্বাগতম। এই পাঠত ASSEB Class 6 নতুন গণিতৰ তৃতীয় অধ্যায় সংখ্যাৰ সৈতে খেলাৰ পাঠ্যপুথিৰ সকলো কৰ্তব্য কাৰ্য (Work it Out ৩.১ৰ পৰা ৩.৯) প্ৰশ্নৰ সম্পূৰ্ণ, ধাপে ধাপে কৰা সমাধান আৰু কিছুমান অতিৰিক্ত অনুশীলনী সহজ অসমীয়াত দিয়া হৈছে।
সাৰাংশ
সংখ্যা আমাৰ দৈনন্দিন জীৱনৰ অবিচ্ছেদ্য অংগ — গণনা, বজাৰ, সময় চোৱা, খেল আদি সকলোতে আমি সংখ্যা ব্যৱহাৰ কৰোঁ। এই অধ্যায়ত সংখ্যাৰে খেলি খেলি নতুন নতুন কথা শিকা হৈছে — যাদু কোষ (Magic Cells), সংখ্যাৰেখাত সংখ্যাৰ অৱস্থান, অংকৰ সৈতে খেলা, অংকৰ সমষ্টি, পেলিন্ড্ৰম সংখ্যা, কাপ্ৰেকাৰ ধ্ৰুৱক, ১০৮৯ সংখ্যা, ঘড়ী আৰু কেলেণ্ডাৰ, মানসিক গণিত, কলাটজ কনজেকচাৰ, গণিত-যাদু আৰু অনুমান।
এই অধ্যায়ৰ কেইটামান আকৰ্ষণীয় ফল হ’ল — ১ অংকৰ সংখ্যা ৯টা, ২ অংকৰ ৯০টা, ৩ অংকৰ ৯০০টা, ৪ অংকৰ ৯০০০টা আৰু ৫ অংকৰ ৯০০০০টা। যিবোৰ সংখ্যা বাওঁফালৰ পৰা সোঁফালে আৰু সোঁফালৰ পৰা বাওঁফালে একেদৰে পঢ়া যায় সেইবোৰক পেলিন্ড্ৰম সংখ্যা বোলে (যেনে ৬৬, ২৮২, ৩৬৩)। যিকোনো ৪ অংকৰ সংখ্যা (অন্ততঃ দুটা অংক বেলেগ) লৈ ডাঙৰ-সৰু সজাই বিয়োগ কৰি গ’লে সদায় ৬১৭৪ (কাপ্ৰেকাৰ ধ্ৰুৱক) পোৱা যায়।
জাৰ্মান গণিতজ্ঞ লথাৰ কলাটজে ১৯৩৭ চনত এটা অনুমান আগবঢ়ায় — যিকোনো সংখ্যা লৈ, যুগ্ম হ’লে দুই ভাগ কৰি আৰু অযুগ্ম হ’লে তিনিগুণ কৰি এক যোগ কৰি গ’লে শেষত সদায় ১ পোৱা যায়। এই অধ্যায়ত ২৪-ঘণ্টা আৰু ১২-ঘণ্টা ঘড়ীৰ সময় সলনি কৰা, তাৰিখৰ বিভিন্ন প্ৰকাৰ (British, American, ISO) আৰু দৈনন্দিন জীৱনত অনুমানৰ প্ৰয়োজনীয়তাও শিকা হৈছে।
Summary: This page gives complete, worked answers to every Work it Out exercise (3.1 to 3.9) of ASSEB Class 6 New Mathematics Chapter 3, Playing with Numbers (সংখ্যাৰ সৈতে খেলা), covering magic cells, numbers on the number line, playing with digits and digit sums, palindromic numbers, the Kaprekar constant 6174, the number 1089, the 12-hour and 24-hour clock and date formats, mental math, the Collatz conjecture, math magic and estimation, along with extra MCQs, fill in the blanks, true or false and short answer questions.
পাঠ্যপুথিৰ প্ৰশ্ন আৰু উত্তৰ
লুড় খেলা — আৰম্ভণিৰ প্ৰশ্নবোৰ
দহজন ল’ৰা-ছোৱালীয়ে লুড় খেলি প্ৰতিজনে এবাৰকৈ ডাইচ পেলাই এই সংখ্যাবোৰ পালে — 3, 2, 6, 1, 5, 4, 2, 4, 2, 1।
১। তেওঁলোকৰ কেইজনে যুগ্ম সংখ্যা পালে?
উত্তৰঃ যুগ্ম সংখ্যাবোৰ হ’ল 2, 6, 4, 2, 4, 2 — গতিকে ৬ জনে যুগ্ম সংখ্যা পালে।
২। তেওঁলোকৰ কেইজনে অযুগ্ম সংখ্যা পালে?
উত্তৰঃ অযুগ্ম সংখ্যাবোৰ হ’ল 3, 1, 5, 1 — গতিকে ৪ জনে অযুগ্ম সংখ্যা পালে।
৩। সংখ্যাবোৰ ঊৰ্ধ্বক্ৰমত (উজান ক্ৰমত) সজোৱা।
উত্তৰঃ 1, 1, 2, 2, 2, 3, 4, 4, 5, 6।
৪। যাৰ যোগফল যুগ্ম, এনে কিমান জোঁটা ক্ৰমিক সংখ্যা আছে?
উত্তৰঃ ক্ৰমিক জোঁটাবোৰৰ যোগফল — 3+2=5, 2+6=8, 6+1=7, 1+5=6, 5+4=9, 4+2=6, 2+4=6, 4+2=6, 2+1=3। ইয়াৰ ভিতৰত যোগফল যুগ্ম হোৱা জোঁটা হ’ল (2,6), (1,5), (4,2), (2,4), (4,2) — গতিকে ৫ জোঁটা।
৫। যাৰ যোগফল অযুগ্ম, এনে কিমান জোঁটা ক্ৰমিক সংখ্যা আছে?
উত্তৰঃ ওপৰৰ ৯ জোঁটাৰ ভিতৰত বাকী ৪ জোঁটাৰ যোগফল অযুগ্ম — (3,2), (6,1), (5,4), (2,1)।
৬। কোন সংখ্যা আটাইতকৈ বেছি আৰু কোন আটাইতকৈ কম বাৰ ওলাল?
উত্তৰঃ 2 সংখ্যাটো আটাইতকৈ বেছি (৩ বাৰ) ওলাল। 3, 5 আৰু 6 প্ৰতিটো আটাইতকৈ কম, অৰ্থাৎ মাত্ৰ এবাৰকৈ ওলাল।
৭। তেওঁলোকে পোৱা আটাইতকৈ ডাঙৰ আৰু আটাইতকৈ সৰু সংখ্যাৰ পাৰ্থক্য কিমান?
উত্তৰঃ আটাইতকৈ ডাঙৰ সংখ্যা 6 আৰু আটাইতকৈ সৰু 1; পাৰ্থক্য = 6 − 1 = 5।
যাদু কোষ (Magic Cells) — নিয়মটো
এটা কোষ ৰং কৰা হয় যদি তাত থকা সংখ্যাটো ইয়াৰ দুয়োফালৰ কাষৰ কোষৰ সংখ্যাতকৈ সৰু হয়। কিনাৰত থকা (এফালে মাত্ৰ এটা কাষৰ কোষ থকা) সংখ্যাটো ৰং কৰা হয় যদি ই সেই এটা কাষৰ সংখ্যাতকৈ সৰু হয়। উদাহৰণস্বৰূপে, তলৰ তালিকাত 12 ৰং কৰা হৈছে কিয়নো ই 65 আৰু 31 দুয়োটাতকৈ সৰু; 205 ৰং কৰা হৈছে কিয়নো ইয়াৰ মাত্ৰ এটা কাষৰ কোষ (582) আছে আৰু 205 < 582।
| শাৰী | সংখ্যা | |||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| ওপৰৰ শাৰী | 45 | 82 | 77 | 65 | 12 | 31 | 30 | 36 |
| তলৰ শাৰী | 205 | 582 | 631 | 350 | 795 | 699 | 114 | 203 |
নিয়ম অনুসৰি ৰং হ’ব লগা কোষবোৰ (দুয়োফালৰ কাষতকৈ সৰু): ওপৰৰ শাৰীত 45, 12, 30 আৰু তলৰ শাৰীত 205, 350, 114 — মুঠ ৬টা কোষ।
কৰ্তব্য কাৰ্য ৩.১
১। তলৰ যাদু কোষবোৰত ওপৰত আলোচনা কৰা একেই আৰ্হি ব্যৱহাৰ কৰি সংখ্যাবোৰ ৰং কৰা: 9843, 794, 4732, 3971, 2587, 8753, 8947, 9107, 456, 997।
উত্তৰঃ যিটো সংখ্যা তাৰ দুয়োফালৰ কাষতকৈ সৰু, সেইটোহে ৰং হ’ব। পৰীক্ষা কৰিলে — 794 (9843 আৰু 4732তকৈ সৰু), 2587 (3971 আৰু 8753তকৈ সৰু) আৰু 456 (9107 আৰু 997তকৈ সৰু) ৰং হ’ব। গতিকে ৰং হোৱা কোষ 794, 2587, 456 — মুঠ ৩টা।
২। তলৰ যাদু কোষবোৰ মাত্ৰ ৪ অংকৰ সংখ্যাৰে একেই আৰ্হি মানি পূৰ কৰা: 3986, ___, 6837, ___, 8105, ___, 7516।
উত্তৰঃ খালী ঠাইবোৰত কাষৰ দুয়োটা সংখ্যাতকৈ সৰু ৪ অংকৰ সংখ্যা বহুৱালেই আৰ্হিটো মিলে। এটা সম্ভাৱ্য উত্তৰ — 3986, 1234, 6837, 2345, 8105, 3456, 7516। ইয়াত ৰং হোৱা কোষবোৰ হ’ল 1234, 2345 আৰু 3456 (প্ৰতিটোৱে তাৰ দুয়োফালৰ কাষতকৈ সৰু)। এনে বহু ধৰণে পূৰ কৰিব পাৰি।
৩। 1,000ৰ পৰা 10,000ৰ ভিতৰৰ সংখ্যা পুনৰাবৃত্তি নকৰাকৈ লৈ যিমান ধৰণে সম্ভৱ যাদু কোষ গঠন কৰা। এনে ৯টা কোষৰ ভিতৰত কেইটা সংখ্যা ৰং হয়?
উত্তৰঃ ডাঙৰ-সৰু সংখ্যা এৰাএৰিকৈ বহুৱালে বেছিকৈ কোষ ৰং হয়। উদাহৰণস্বৰূপে, ভিন্ন ৪ অংকৰ সংখ্যাৰে গঠন কৰা এটা শাৰী — 5000, 1200, 8000, 2300, 9000, 3400, 7000, 1500, 6000। ইয়াত 1200, 2300, 3400 আৰু 1500 (দুয়োফালৰ কাষতকৈ সৰু) ৰং হয়, অৰ্থাৎ ৯টা কোষৰ ভিতৰত ৪টা সংখ্যা ৰং হয়। কোন সংখ্যা ক’ত বহে তাৰ ওপৰত ৰং হোৱা কোষৰ সংখ্যা নিৰ্ভৰ কৰে; ৯টা কোষত অনধিক ৪টা কোষ ৰং হ’ব পাৰে।
৪। প্ৰশ্ন নং ১ৰ তালিকাত সংখ্যাটো তাৰ কাষৰ কোষবোৰতকৈ ডাঙৰ হ’লে সেই কোষটো ৰং কৰা।
উত্তৰঃ এইবাৰ দুয়োফালৰ কাষতকৈ ডাঙৰ সংখ্যাবোৰ ৰং হ’ব — 9843 (কিনাৰ, 794তকৈ ডাঙৰ), 4732 (794 আৰু 3971তকৈ ডাঙৰ), 9107 (8947 আৰু 456তকৈ ডাঙৰ) আৰু 997 (কিনাৰ, 456তকৈ ডাঙৰ)। গতিকে ৰং হোৱা কোষ 9843, 4732, 9107, 997 — মুঠ ৪টা।
কৰ্তব্য কাৰ্য ৩.২ (সংখ্যাৰেখা)
১। তলৰ সংখ্যাৰেখাবোৰত থকা স্বাভাৱিক সংখ্যাবোৰ লক্ষ্য কৰি খালী ঠাইবোৰ পূৰ কৰা।
উত্তৰঃ প্ৰতিটো সংখ্যাৰেখাত দুটা জনা সংখ্যা আৰু সিহঁতৰ মাজত থকা সমান দাগৰ সংখ্যাৰ পৰা ব্যৱধান উলিয়াই খালী ঠাই পূৰ কৰা হয়—
- (a) 4000 আৰু 12000ৰ মাজত প্ৰতিটো ধাপ 2000: 4000, 6000, 8000, 10000, 12000।
- (b) 26945 আৰু 26947 পৰপৰ স্বাভাৱিক সংখ্যা হোৱাবাবে প্ৰতিটো ধাপ 1: …, 26944, 26945, 26946, 26947, 26948, …
- (c) 1743, 1837 আৰু 1978ৰ মাজৰ ব্যৱধান সমান, প্ৰতিটো ধাপ 47: 1743, 1790, 1837, 1884, 1931, 1978।
অংকৰ সৈতে খেলা — সংখ্যাৰ মুঠ গণনা
তলৰ তালিকাখন ওপৰৰ আৰ্হি অনুসৰি পূৰ কৰা। (যেনে, ৪ অংকৰ সংখ্যা 1000ৰ পৰা 9999লৈ, অৰ্থাৎ (9999 − 1000) + 1 = 9000টা।)
| ১ অংকৰ সংখ্যা (1–9) | ২ অংকৰ সংখ্যা (10–99) | ৩ অংকৰ সংখ্যা (100–999) | ৪ অংকৰ সংখ্যা (1000–9999) | ৫ অংকৰ সংখ্যা (10000–99999) |
|---|---|---|---|---|
| 9 | 90 | 900 | 9000 | 90000 |
কৰ্তব্য কাৰ্য ৩.৩ (অংকৰ সমষ্টি)
১। অংকৰ সমষ্টি 12 হোৱাকৈ আৰু পাঁচটা সংখ্যা লিখা।
উত্তৰঃ 39, 48, 84, 156 আৰু 903 (প্ৰতিটোৰ অংকৰ সমষ্টি 12 — যেনে 1+5+6 = 12, 9+0+3 = 12)।
২। অংকৰ সমষ্টি 12 হোৱা দুই অংকৰ আটাইতকৈ ডাঙৰ সংখ্যাটো কি?
উত্তৰঃ দহক অংক যিমান পাৰি ডাঙৰ ল’লে সংখ্যাটো ডাঙৰ হয়; 9 + 3 = 12, গতিকে উত্তৰ 93।
৩। খালী ঠাই পূৰ কৰা।
- (i) তিনি অংকৰ সংখ্যা 1 6 __ ৰ অংকৰ সমষ্টি 13 → 1 + 6 + __ = 13, গতিকে অংকটো 6; সংখ্যাটো 166।
- (ii) চাৰি অংকৰ সংখ্যা 2 __ 7 5 ৰ অংকৰ সমষ্টি 17 → 2 + __ + 7 + 5 = 17, গতিকে অংকটো 3; সংখ্যাটো 2375।
- (iii) পাঁচ অংকৰ সংখ্যা __ 9 4 6 5 ৰ অংকৰ সমষ্টি 30 → __ + 24 = 30, গতিকে অংকটো 6; সংখ্যাটো 69465।
- (iv) ছয় অংকৰ সংখ্যা 5 __ 6 __ 3 8 ৰ অংকৰ সমষ্টি 31 → দুয়োটা খালী অংকৰ যোগফল = 31 − 22 = 9। এনে জোঁটা হ’ল (0,9), (1,8), …, (9,0) — মুঠ ১০টা ছয় অংকৰ সংখ্যা গঠন কৰিব পাৰি (যেনে 546538)।
৪। যিবোৰ তিনি অংকৰ সংখ্যাৰ অংক ক্ৰমিক অযুগ্ম (যেনে 135), সেইবোৰৰ অংকৰ সমষ্টি নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ এনে সংখ্যা হ’ল 135, 357, 579। অংকৰ সমষ্টি ক্ৰমে 1+3+5 = 9, 3+5+7 = 15, 5+7+9 = 21।
৫। যিবোৰ তিনি অংকৰ সংখ্যাৰ অংক ক্ৰমিক যুগ্ম, সেইবোৰৰ অংকৰ সমষ্টি নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ এনে সংখ্যা হ’ল 024, 246, 468। অংকৰ সমষ্টি ক্ৰমে 0+2+4 = 6, 2+4+6 = 12, 4+6+8 = 18।
৬। ওপৰৰ দুটা সমস্যাত (প্ৰশ্ন নং ৪ আৰু ৫) কিবা আৰ্হি দেখিছানে? অংকৰ সমষ্টিসমূহ কোনো নিৰ্দিষ্ট সংখ্যাৰে বিভাজ্য নেকি?
উত্তৰঃ হয়। ক্ৰমিক অযুগ্ম বা যুগ্ম তিনিটা অংকৰ ক্ষেত্ৰত অংকৰ সমষ্টি সদায় মাজৰ অংকৰ তিনিগুণ (যেনে 357ত 3 × 5 = 15)। সেয়ে অংকৰ সমষ্টিসমূহ সদায় ৩ ৰে বিভাজ্য।
৭। প্ৰশ্ন নং ৪ আৰু ৫-ত উল্লেখ কৰা সংখ্যাবোৰৰ অংকৰ ক্ৰম ওলোটা কৰি অংকৰ সমষ্টি উলিওৱা।
উত্তৰঃ অংকৰ ক্ৰম ওলোটা কৰিলেও অংকবোৰ একেই থাকে, গতিকে অংকৰ সমষ্টি নাসলনি — যেনে 135 → 531ৰ সমষ্টিও 9, 246 → 642ৰ সমষ্টিও 12। ওলোটা কৰিলে সমষ্টি একেই থাকে।
সংখ্যাত অংকৰ অনুসন্ধান
1ৰ পৰা 100লৈ অংক 3 বিশবাৰ ওলায়। এই ব্যৱধানত অংক 5 কেইবাৰ ওলায়? অংক 8 কেইবাৰ? আৰু ‘0’ কেইবাৰ? 1ৰ পৰা 9লৈ অংকবোৰৰ ওলোৱাত কিবা সাদৃশ্য আছেনে?
উত্তৰঃ 1ৰ পৰা 100লৈ — অংক 5 ওলায় ২০ বাৰ (এককত 5, 15, …, 95 = ১০ বাৰ আৰু দহকত 50–59 = ১০ বাৰ); ঠিক তেনেদৰে অংক 8 ওলায় ২০ বাৰ। অংক 0 ওলায় ১১ বাৰ (10, 20, …, 90 = ৯ বাৰ আৰু 100ত দুটা 0)। সাদৃশ্য — 1ৰ পৰা 9লৈ প্ৰতিটো অংক (100ৰ বাবে অংক 1 একবাৰ বেছি বাদ দিলে) সমানে ২০ বাৰকৈ ওলায়; মাত্ৰ 0 কম বাৰ ওলায়।
সংখ্যাৰ প্ৰক্ৰিয়াসমূহ — উপযুক্ত সংখ্যা বহুওৱা
তলৰ প্ৰতিটোৰ বাবে উপযুক্ত সংখ্যা বহুওৱা। (এইবোৰ বহু ধৰণে কৰিব পাৰি; এটাকৈ উদাহৰণ দিয়া হ’ল।)
| বিচৰা কথা | এটা উদাহৰণ |
|---|---|
| ৩ অংক + ৩ অংক = ৪ অংকৰ সংখ্যা | 500 + 700 = 1200 |
| ৪ অংক − ৩ অংক = ৩ অংকৰ সংখ্যা | 1200 − 500 = 700 |
| ৬ অংক + ৬ অংক = ৬ অংকৰ সংখ্যা | 500000 + 400000 = 900000 |
| ৫ অংক − ৫ অংক = ৩ অংকৰ সংখ্যা | 10500 − 10200 = 300 |
| ৬ অংক − ৫ অংক = 437125 | 500000 − 62875 = 437125 |
| ৪ অংক + ৫ অংক = 47126তকৈ ডাঙৰ সংখ্যা | 9000 + 40000 = 49000 |
কৰ্তব্য কাৰ্য ৩.৪ (পেলিন্ড্ৰম সংখ্যা)
যিটো সংখ্যা বাওঁফালৰ পৰা আৰু সোঁফালৰ পৰা একেদৰে পঢ়া যায় সেইটোৱে পেলিন্ড্ৰম সংখ্যা (যেনে 363, 5335)। কোনো সংখ্যাৰ অংক ওলোটাই যোগ কৰি গ’লে পেলিন্ড্ৰম সংখ্যা পোৱা যায়।
১। 78, 489 আৰু 3467ৰ পৰা গঠন হোৱা পেলিন্ড্ৰম সংখ্যাটো উলিওৱা।
উত্তৰঃ প্ৰতিবাৰ অংক ওলোটাই যোগ কৰি গ’লে—
- 78 → 78 + 87 = 165 → 165 + 561 = 726 → 726 + 627 = 1353 → 1353 + 3531 = 4884 (পেলিন্ড্ৰম)।
- 489 → 489 + 984 = 1473 → 1473 + 3741 = 5214 → 5214 + 4125 = 9339 (পেলিন্ড্ৰম)।
- 3467 → 3467 + 7643 = 11110 → 11110 + 1111 = 12221 (পেলিন্ড্ৰম)।
২। ধাঁধাটো সমাধান কৰা: মই এটা 5-অংকৰ পেলিন্ড্ৰম সংখ্যা। মোৰ একক অংকটো দহক অংকতকৈ 1 কম। একক আৰু দহক অংকৰ পূৰণফল শতক অংক। আটাই অংকৰ যোগফল 16। মই কোন?
উত্তৰঃ পেলিন্ড্ৰমটো abcba ৰূপৰ, য’ত একক অংক = a, দহক অংক = b। চৰ্তমতে a = b − 1 আৰু শতক অংক c = a × b, আৰু 2a + 2b + c = 16। ইয়াক সমাধান কৰিলে a = 2, b = 3, c = 2 × 3 = 6। গতিকে সংখ্যাটো 23632 (2+3+6+3+2 = 16, শুদ্ধ)।
৩। 5 অংকৰ আটাইতকৈ সৰু আৰু আটাইতকৈ ডাঙৰ পেলিন্ড্ৰম সংখ্যা দুটাৰ যোগফল কিমান? দুয়োটাৰ পাৰ্থক্য কিমান?
উত্তৰঃ আটাইতকৈ সৰু 5-অংকৰ পেলিন্ড্ৰম = 10001; আটাইতকৈ ডাঙৰ = 99999। যোগফল = 10001 + 99999 = 110000; পাৰ্থক্য = 99999 − 10001 = 89998।
কৰ্তব্য কাৰ্য ৩.৫ (কাপ্ৰেকাৰ ধ্ৰুৱক)
যিকোনো ৪ অংকৰ সংখ্যা (অন্ততঃ দুটা অংক বেলেগ) লৈ B = অংকবোৰ সজাই পোৱা আটাইতকৈ ডাঙৰ সংখ্যা, C = আটাইতকৈ সৰু সংখ্যা, D = B − C — এই প্ৰক্ৰিয়া বাৰম্বাৰ কৰিলে সদায় 6174 (কাপ্ৰেকাৰ ধ্ৰুৱক) পোৱা যায়।
১। 4 অংকৰ সংখ্যা 1435, 8751 আৰু 8632ৰ ওপৰত প্ৰক্ৰিয়াটো চেষ্টা কৰা।
- 8632 → 8632 − 2368 = 6264 → 6642 − 2466 = 4176 → 7641 − 1467 = 6174 (৩ ৰাউণ্ড)।
- 8751 → 8751 − 1578 = 7173 → 7731 − 1377 = 6354 → 6543 − 3456 = 3087 → 8730 − 378 = 8352 → 8532 − 2358 = 6174 (৫ ৰাউণ্ড)।
- 1435 → 5431 − 1345 = 4086 → 8640 − 468 = 8172 → 8721 − 1278 = 7443 → 7443 − 3447 = 3996 → 9963 − 3699 = 6264 → 4176 → 6174 (৭ ৰাউণ্ড)।
২। আৰু কেইটামান 4 অংকৰ সংখ্যা লৈ ‘কাপ্ৰেকাৰ ধ্ৰুৱক’ পাবলৈ চেষ্টা কৰা।
উত্তৰঃ যিকোনো এনে সংখ্যা ল’লেও একেই ফল পোৱা যায়। যেনে 3524 → 5432 − 2345 = 3087 → 8730 − 378 = 8352 → 8532 − 2358 = 6174। অন্ততঃ দুটা বেলেগ অংক থকা যিকোনো ৪ অংকৰ সংখ্যাই শেষত 6174তে গৈ ৰয়।
৩। 9632 সংখ্যাটোৱে কাপ্ৰেকাৰ ধ্ৰুৱকলৈ পাবলৈ কিমান ৰাউণ্ড লয়?
উত্তৰঃ 9632 → 7263 → 5265 → 3996 → 6264 → 4176 → 6174 — গতিকে ৬ ৰাউণ্ড লয়।
৪। কিছুমান 3 অংকৰ সংখ্যা লৈ একেই প্ৰক্ৰিয়াৰে ‘কাপ্ৰেকাৰ ধ্ৰুৱক’ পাবলৈ চেষ্টা কৰা।
উত্তৰঃ ৩ অংকৰ ক্ষেত্ৰত একেই প্ৰক্ৰিয়াই সদায় 495লৈ লৈ যায়। যেনে 352 → 532 − 235 = 297 → 972 − 279 = 693 → 963 − 369 = 594 → 954 − 459 = 495। গতিকে ৩ অংকৰ কাপ্ৰেকাৰ ধ্ৰুৱক হ’ল 495।
কৰ্তব্য কাৰ্য ৩.৬ (1089 সংখ্যা)
যিকোনো ৩ অংকৰ সংখ্যা (প্ৰথম আৰু তৃতীয় অংকৰ পাৰ্থক্য অন্ততঃ 2) লৈ — B = অংক ওলোটোৱা সংখ্যা, C = ডাঙৰৰ পৰা সৰু বিয়োগ, D = C ওলোটোৱা সংখ্যা, E = C + D — সদায় 1089 পোৱা যায়। এই ধৰণৰ খেল অসমৰ প্ৰাচীন ‘কৈথলি অংক’ ব্যৱস্থাত আছিল, যাক দণ্ডিৰাম দত্তই ৰচনা কৰিছিল।
১। 3 অংকৰ সংখ্যা 281, 164 আৰু 752ৰ ওপৰত প্ৰক্ৰিয়াটো চেষ্টা কৰা।
- 164 → 461 − 164 = 297 → 297 + 792 = 1089।
- 752 → 752 − 257 = 495 → 495 + 594 = 1089।
- 281 → ইয়াৰ প্ৰথম আৰু তৃতীয় অংকৰ পাৰ্থক্য মাত্ৰ 1, গতিকে 281 − 182 = 99; ইয়াক তিনি অংকৰ 099 ধৰি 099 + 990 = 1089।
কৰ্তব্য কাৰ্য ৩.৭ (ঘড়ী আৰু কেলেণ্ডাৰ)
২৪-ঘণ্টা ঘড়ীৰ সময়ৰ পৰা 12:00 ঘণ্টা বিয়োগ কৰিলে 12-ঘণ্টা ঘড়ীৰ p.m. সময় পোৱা যায়; 12:00 ঘণ্টালৈকে সলনি কৰিব নালাগে।
১। ২৪-ঘণ্টা ঘড়ীৰ সময়বোৰ 12-ঘণ্টা ঘড়ীলৈ সলনি কৰা: 5:10 hrs, 11:45 hrs, 15:40 hrs, 18:20 hrs, 17:45 hrs, 22:10 hrs।
| ২৪-ঘণ্টা | ১২-ঘণ্টা |
|---|---|
| 5:10 hrs | 5:10 a.m. |
| 11:45 hrs | 11:45 a.m. |
| 15:40 hrs | 3:40 p.m. |
| 18:20 hrs | 6:20 p.m. |
| 17:45 hrs | 5:45 p.m. |
| 22:10 hrs | 10:10 p.m. |
২। 12-ঘণ্টা ঘড়ীৰ সময়বোৰ 24-ঘণ্টা ঘড়ীলৈ সলনি কৰা: 1:45 a.m., 4:45 p.m., 3:20 p.m., 9:35 p.m.।
| ১২-ঘণ্টা | ২৪-ঘণ্টা |
|---|---|
| 1:45 a.m. | 01:45 hrs |
| 4:45 p.m. | 16:45 hrs |
| 3:20 p.m. | 15:20 hrs |
| 9:35 p.m. | 21:35 hrs |
৩। 12-ঘণ্টা আৰু 24-ঘণ্টা ঘড়ীত পেলিন্ড্ৰম আৰ্হি মানি চলা কিছুমান সময় নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ ১২-ঘণ্টা ঘড়ীত — 1:01, 2:02, 3:03, 10:01, 11:11, 12:21 আদি (যেনে 12:21 = 1221, ওলোটাই পঢ়িলেও একেই)। ২৪-ঘণ্টা ঘড়ীত — 01:10, 02:20, 12:21, 13:31, 20:02, 21:12, 23:32 আদি।
৪। 24-ঘণ্টা ঘড়ীত আটাইতকৈ সৰু আৰু আটাইতকৈ ডাঙৰ পেলিন্ড্ৰম সংখ্যাৰ সময়বোৰ লিখা।
উত্তৰঃ আটাইতকৈ সৰু পেলিন্ড্ৰম সময় = 00:00 আৰু আটাইতকৈ ডাঙৰ = 23:32।
৫। 24-ঘণ্টাৰ পৰা 12-ঘণ্টালৈ সলনি কৰিলে পেলিন্ড্ৰম সংখ্যা দিয়া কিছুমান সময় লিখা।
উত্তৰঃ যেনে 13:31 hrs → 1:31 p.m. (131), 14:02 hrs → 2:02 p.m. (202), 15:03 hrs → 3:03 p.m. (303) — সলনি কৰাৰ পিছত সময়বোৰ পেলিন্ড্ৰম সংখ্যা হয়।
মানসিক গণিত
মাজৰ স্তম্ভৰ সংখ্যাবোৰ (17000, 200, 4200, 50000, 2000) যোগ বা বিয়োগ কৰি বাওঁ আৰু সোঁ স্তম্ভৰ বাকী সংখ্যাবোৰ পোৱা। (উদাহৰণ: 6400 = 4200 + 2000 + 200; 47400 = 50000 − 2000 − 200 − 200 − 200।)
| সংখ্যা | এটা সম্ভাৱ্য উপায় |
|---|---|
| 23400 | 17000 + 4200 + 2000 + 200 |
| 15000 | 17000 − 2000 |
| 8400 | 4200 + 4200 |
| 63200 | 50000 + 17000 − 4200 + 200 + 200 |
| 1400 | 2000 − 200 − 200 − 200 |
| 58800 | 50000 + 4200 + 4200 + 200 + 200 |
| 19200 | 17000 + 2000 + 200 |
| 56200 | 50000 + 4200 + 2000 |
কৰ্তব্য কাৰ্য ৩.৮ (কলাটজ কনজেকচাৰ)
১। কলাটজ কনজেকচাৰৰ ওপৰত ভিত্তি কৰি 18, 25, 31, 42 আৰু 100 সংখ্যাকেইটাৰ বাবে এটা আকৃতি আঁকা।
উত্তৰঃ নিয়ম — যুগ্ম হ’লে 2 ৰে ভাগ কৰা, অযুগ্ম হ’লে 3 ৰে গুণ কৰি 1 যোগ কৰা; 1 নোপোৱালৈকে চলোৱা। প্ৰতিটোৰ কলাটজ অনুক্ৰম—
- 42 → 21 → 64 → 32 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1।
- 18 → 9 → 28 → 14 → 7 → 22 → 11 → 34 → 17 → 52 → 26 → 13 → 40 → 20 → 10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1।
- 25 → 76 → 38 → 19 → 58 → 29 → 88 → 44 → 22 → 11 → 34 → 17 → 52 → 26 → 13 → 40 → 20 → 10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1।
- 100 → 50 → 25 → 76 → 38 → 19 → 58 → 29 → 88 → 44 → 22 → 11 → 34 → 17 → 52 → 26 → 13 → 40 → 20 → 10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1।
- 31 → 94 → 47 → 142 → 71 → 214 → 107 → 322 → 161 → 484 → … (বহু ধাপৰ পিছত) … → 16 → 8 → 4 → 2 → 1 (মুঠ ১০৬ ধাপ)।
প্ৰতিটো অনুক্ৰমকে এটা এটা ডাল হিচাপে সজাই ল’লে সিহঁত শেষত একেই লেজ … 16, 8, 4, 2, 1-ত লগ লাগি এটা গছৰ দৰে আকৃতি সৃষ্টি কৰে।
গণিত-যাদু
যাদু ১: 0ৰ পৰা 10ৰ ভিতৰৰ এটা সংখ্যা ভাবা → 2 ৰে গুণ কৰা → তাত 2 যোগ কৰি 5 ৰে গুণ কৰা → 1 বিয়োগ কৰা → এককৰ অংক সদায় 9 হয়। যেনে 8 → 8 × 2 = 16 → (16 + 2) × 5 = 90 → 90 − 1 = 89 → এককৰ অংক 9।
যাদু ২: অংক পুনৰাবৃত্তি নথকা এটা 3 অংকৰ সংখ্যা ভাবা → অংক ওলোটোৱা → ডাঙৰটোৰ পৰা সৰুটো বিয়োগ কৰা → ফলৰ অংককেইটা যোগ কৰা → সদায় 18 পোৱা যায়। যেনে 376 → 673 → 673 − 376 = 297 → 2 + 9 + 7 = 18।
কৰ্তব্য কাৰ্য ৩.৯ (অনুমান)
১। তলৰ কথাবোৰ অনুমান কৰিবলৈ চেষ্টা কৰা। (অনুমান হুবহু নহয় — যুক্তিসংগত আন্দাজহে; বিদ্যালয় আৰু ঠাই অনুসৰি উত্তৰ সলনি হ’ব পাৰে।)
- (a) বিদ্যালয়ৰ মুঠ শিক্ষাৰ্থী — যদি প্ৰতি শ্ৰেণীত প্ৰায় 40 জনকৈ, 12টা শ্ৰেণী হ’লে প্ৰায় 480–500 জন।
- (b) বিদ্যালয় আৰু ঘৰৰ দূৰত্ব — যেনে প্ৰায় 2 কিলোমিটাৰ।
- (c) এসপ্তাহত খোৱা পানীৰ পৰিমাণ — দিনে প্ৰায় 2–3 লিটাৰকৈ, 7 দিনত প্ৰায় 15–20 লিটাৰ।
- (d) গাঁও বা অঞ্চলটোৰ মুঠ জনসংখ্যা — যেনে প্ৰায় 2000 জন।
- (e) খেলপথাৰৰ দৈৰ্ঘ্য — যেনে প্ৰায় 100 মিটাৰ।
- (f) সীমাই 1 কেজি আপেল আৰু 2 কেজি কমলা কিনিবলৈ ₹200 আন্দাজ কৰিছে। যদি আপেল প্ৰতি কেজি ₹120 আৰু কমলা প্ৰতি কেজি ₹60, তেন্তে খৰচ = 120 + 120 = ₹240 — গতিকে ₹200 বৰ কম হ’ব পাৰে; দামৰ ওপৰত নিৰ্ভৰ কৰি অনুমানটো শুধৰাব লাগে।
- (g) ৰোশনে 1 কিলোমিটাৰ 10 মিনিটত দৌৰিব পাৰে বুলি ভাবিছে, অৰ্থাৎ ঘণ্টাত 6 কিলোমিটাৰ — ষষ্ঠ শ্ৰেণীৰ ছাত্ৰ এজনৰ বাবে এইটো যুক্তিসংগত, গতিকে মই একমত।
- (h) আজিৰ উষ্ণতা আৰু কালিতকৈ বেছি গৰম নে নহয় — ঋতু আৰু দিনৰ অৱস্থাৰ ওপৰত নিৰ্ভৰ কৰি অনুমান কৰা।
- (i) আজি বিদ্যালয়ত উপস্থিত ছাত্ৰ-ছাত্ৰী — সাধাৰণতে মুঠৰ প্ৰায় 90%, যেনে 500ৰ ভিতৰত প্ৰায় 450 জন।
অতিৰিক্ত প্ৰশ্ন আৰু উত্তৰ
বহুবৈকল্পিক প্ৰশ্ন (MCQ)
১। কাপ্ৰেকাৰ ধ্ৰুৱকটো হ’ল — (ক) 1089 (খ) 6174 (গ) 495 (ঘ) 1000
উত্তৰঃ (খ) 6174
২। ৩ অংকৰ কাপ্ৰেকাৰ ধ্ৰুৱকটো হ’ল — (ক) 495 (খ) 594 (গ) 6174 (ঘ) 297
উত্তৰঃ (ক) 495
৩। তলৰ কোনটো পেলিন্ড্ৰম সংখ্যা? (ক) 123 (খ) 231 (গ) 363 (ঘ) 450
উত্তৰঃ (গ) 363
৪। ৪ অংকৰ সংখ্যা মুঠ কেইটা? (ক) 900 (খ) 9000 (গ) 90000 (ঘ) 1000
উত্তৰঃ (খ) 9000
৫। কলাটজ কনজেকচাৰত অযুগ্ম সংখ্যা এটালৈ কি কৰা হয়? (ক) 2 ৰে ভাগ (খ) 3 ৰে গুণ কৰি 1 যোগ (গ) 1 বিয়োগ (ঘ) 2 যোগ
উত্তৰঃ (খ) 3 ৰে গুণ কৰি 1 যোগ
৬। 17:45 hrs (২৪-ঘণ্টা) সময়টো 12-ঘণ্টা ঘড়ীত হ’ল — (ক) 7:45 a.m. (খ) 5:45 a.m. (গ) 5:45 p.m. (ঘ) 7:45 p.m.
উত্তৰঃ (গ) 5:45 p.m.
৭। আটাইতকৈ সৰু 5 অংকৰ পেলিন্ড্ৰম সংখ্যাটো — (ক) 10000 (খ) 10001 (গ) 11111 (ঘ) 12321
উত্তৰঃ (খ) 10001
৮। 1089 সংখ্যাৰ খেলটোৰ লগত জড়িত অসমৰ প্ৰাচীন অংক ব্যৱস্থাটো — (ক) কৈথলি অংক (খ) দশমিক (গ) ৰোমান (ঘ) বাইনেৰী
উত্তৰঃ (ক) কৈথলি অংক
৯। 1ৰ পৰা 100লৈ অংক 5 কেইবাৰ ওলায়? (ক) 10 (খ) 11 (গ) 20 (ঘ) 21
উত্তৰঃ (গ) 20
১০। কলাটজ অনুক্ৰমৰ শেষৰ সংখ্যাটো সদায় — (ক) 0 (খ) 1 (গ) 2 (ঘ) 6174
উত্তৰঃ (খ) 1
খালী ঠাই পূৰোৱা
- যিটো সংখ্যা বাওঁ আৰু সোঁফালৰ পৰা একেদৰে পঢ়া যায় তাক ______ সংখ্যা বোলে। (পেলিন্ড্ৰম)
- ২ অংকৰ সংখ্যা মুঠ ______টা। (90)
- যিকোনো ৪ অংকৰ সংখ্যাৰ (অন্ততঃ দুটা অংক বেলেগ) কাপ্ৰেকাৰ প্ৰক্ৰিয়াৰ ফল ______। (6174)
- ২৪-ঘণ্টা ঘড়ীৰ সময়ৰ পৰা ______ বিয়োগ কৰিলে p.m. সময় পোৱা যায়। (12:00 ঘণ্টা)
- কলাটজ কনজেকচাৰটো ______ চনত লথাৰ কলাটজে আগবঢ়াইছিল। (1937)
শুদ্ধ নে অশুদ্ধ লিখা
- 363 এটা পেলিন্ড্ৰম সংখ্যা। — শুদ্ধ
- ৩ অংকৰ সংখ্যা মুঠ 999টা। — অশুদ্ধ (900টা)
- কলাটজ অনুক্ৰমত যুগ্ম সংখ্যা এটাক 2 ৰে ভাগ কৰা হয়। — শুদ্ধ
- ছটা অংকৰ যিকোনো সংখ্যাৰ কাপ্ৰেকাৰ প্ৰক্ৰিয়াৰ ফল 6174। — অশুদ্ধ (6174 চাৰি অংকৰ বাবে)
- 16:10 hrs মানে 4:10 p.m.। — শুদ্ধ
চমু প্ৰশ্ন-উত্তৰ
১। পেলিন্ড্ৰম সংখ্যা কি? দুটা উদাহৰণ দিয়া।
উত্তৰঃ যিটো সংখ্যা বাওঁফালৰ পৰা সোঁফাললৈ আৰু সোঁফালৰ পৰা বাওঁফাললৈ একেদৰে পঢ়া যায় তাকেই পেলিন্ড্ৰম সংখ্যা বোলে। যেনে 363 আৰু 5335।
২। কাপ্ৰেকাৰ ধ্ৰুৱক পোৱাৰ প্ৰক্ৰিয়াটো চমুকৈ লিখা।
উত্তৰঃ এটা ৪ অংকৰ সংখ্যা (অন্ততঃ দুটা অংক বেলেগ) লৈ অংকবোৰ ডাঙৰৰ পৰা সৰুকৈ সজাই আটাইতকৈ ডাঙৰ (B) আৰু আটাইতকৈ সৰু (C) সংখ্যা গঠন কৰি D = B − C উলিওৱা হয়। এই প্ৰক্ৰিয়া বাৰম্বাৰ চলালে সদায় 6174তে গৈ ৰয়।
৩। 13ৰ কলাটজ অনুক্ৰমটো লিখা।
উত্তৰঃ 13 → 40 → 20 → 10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1।
৪। 22:00 hrs সময়টো 12-ঘণ্টা ঘড়ীত কি হ’ব?
উত্তৰঃ 22:00 hrs − 12:00 hrs = 10:00 p.m.।
৫। অনুমান বুলিলে কি বুজা? এটা উদাহৰণ দিয়া।
উত্তৰঃ হুবহু হিচাপ নকৰি যুক্তিসংগত আন্দাজেৰে কোনো পৰিমাণৰ ওচৰা-ওচৰি মান উলিওৱাটোৱে অনুমান। যেনে বাছখন 3 ঘণ্টাত 120 কি.মি. গ’লে ঘণ্টাত প্ৰায় 40 কি.মি. বেগত গৈছে বুলি ধৰি বাকী পথৰ সময় আন্দাজ কৰা।
শব্দাৰ্থ
| অসমীয়া শব্দ | English term | অৰ্থ |
|---|---|---|
| যুগ্ম সংখ্যা | Even number | 2 ৰে বিভাজ্য সংখ্যা (2, 4, 6, …) |
| অযুগ্ম সংখ্যা | Odd number | 2 ৰে বিভাজ্য নোহোৱা সংখ্যা (1, 3, 5, …) |
| সংখ্যাৰেখা | Number line | সংখ্যাৰ অৱস্থান দেখুওৱা সমান ব্যৱধানৰ ৰেখা |
| অংক | Digit | সংখ্যা গঠন কৰা 0–9 চিহ্ন |
| অংকৰ সমষ্টি | Digit sum | সংখ্যাটোৰ সকলো অংক যোগ কৰি পোৱা মান |
| পেলিন্ড্ৰম সংখ্যা | Palindromic number | দুয়োফালৰ পৰা একেদৰে পঢ়া যোৱা সংখ্যা |
| কাপ্ৰেকাৰ ধ্ৰুৱক | Kaprekar constant | ৪ অংকৰ সংখ্যাৰ যাদুকৰী ফল 6174 |
| কলাটজ কনজেকচাৰ | Collatz Conjecture | যুগ্ম হ’লে ভাগ, অযুগ্ম হ’লে 3n+1 কৰি 1 পোৱা নিয়ম |
| অনুমান | Estimation | যুক্তিসংগত আন্দাজেৰে ওচৰৰ মান উলিওৱা |
| কৈথলি অংক | Kaithali Anka | অসমৰ প্ৰাচীন অংক আৰু জোখ-মাপৰ ব্যৱস্থা |