নমস্কাৰ প্ৰিয় শিক্ষাৰ্থী! HSLC GURU-ত আপোনাক স্বাগতম। এই পৃষ্ঠাত আমি ASSEB (AHSEC) দ্বাদশ শ্ৰেণীৰ পদাৰ্থ বিজ্ঞান (Physics) পাঠ্যক্ৰমৰ সপ্তম অধ্যায় — পৰিৱৰ্তী প্ৰৱাহ (Alternating Current / AC)-ৰ সম্পূৰ্ণ সাৰাংশ, মূল সূত্ৰাৱলী, অনুশীলনীৰ প্ৰশ্নোত্তৰ, অতিৰিক্ত প্ৰশ্ন আৰু শব্দাৰ্থ বিশদভাৱে আলোচনা কৰিছোঁ। অসমীয়া মাধ্যমৰ ছাত্ৰ-ছাত্ৰীৰ বাবে এই অধ্যায়টো অতি গুৰুত্বপূৰ্ণ — কাৰণ গৃহস্থালীৰ পৰা শিল্পপ্ৰতিষ্ঠানলৈ সকলোতে A.C. ধাৰা ব্যৱহাৰ হয়।
সাৰাংশ (Summary)
যিকোনো বিদ্যুৎ প্ৰৱাহ যাৰ মান আৰু দিশ সময়ৰ লগে লগে চক্ৰীয়ভাৱে (periodically) সলনি হয়, তাকে পৰিৱৰ্তী প্ৰৱাহ (Alternating Current, AC) বুলি কোৱা হয়। সাধাৰণতে A.C. ভোল্টেজক জ্যামিতীয় চাইন (sine) ফলনেৰে প্ৰকাশ কৰা হয়—
$$v = v_m \sin\omega t$$
য’ত $v_m$ হ’ল সৰ্বোচ্চ (peak) ভোল্টেজ আৰু $\omega = 2\pi f$ হ’ল কৌণিক কম্পাংক। ইয়াৰ ফলত পৰিবাহকৰ মাজেৰে প্ৰৱাহিত হোৱা ধাৰাটিও—
$$i = i_m \sin(\omega t – \phi)$$
আকৃতিৰ হয়, য’ত $\phi$ হ’ল ভোল্টেজ আৰু ধাৰাৰ মাজৰ ফেজ-পাৰ্থক্য (phase difference)। অৰ্ধচক্ৰৰ পিছত ধাৰাৰ দিশ ওলোটা হোৱাৰ বাবে এটা সম্পূৰ্ণ চক্ৰৰ ওপৰত A.C.-ৰ গড় মান শূন্য (mean value = 0)। সেইবাবে A.C.-ৰ কাৰ্যকৰী মান বুজাবলৈ মূল-মাধ্য-বৰ্গ মান বা RMS Value ব্যৱহাৰ কৰা হয়—
$$i_{\text{rms}} = \dfrac{i_m}{\sqrt{2}}, \qquad V_{\text{rms}} = \dfrac{V_m}{\sqrt{2}}$$
ভাৰতত গৃহস্থালীৰ A.C. ভোল্টেজ $V_{\text{rms}} = 220$ V আৰু $f = 50$ Hz; অৰ্থাৎ peak মান $V_m \approx 311$ V। বিভিন্ন উপাদানৰ মাজেৰে A.C. ধাৰা প্ৰৱাহ হ’লে ভিন্ন ফেজ-আচৰণ দেখা যায়—বিশুদ্ধ ৰোধকত (pure resistor) ভোল্টেজ আৰু ধাৰা একে ফেজত (in phase), বিশুদ্ধ আৱেশকত (inductor) ভোল্টেজ ধাৰাতকৈ $90°$ আগুৱাই থাকে আৰু বিশুদ্ধ ধাৰকত (capacitor) ধাৰা ভোল্টেজতকৈ $90°$ আগুৱাই থাকে। LCR ক্ৰম-পৰিপথত (series LCR circuit) এই তিনিও উপাদান লগ লাগি বিশেষ অৱস্থা—অনুনাদ (Resonance) সৃষ্টি কৰে। অনুনাদৰ সময়ত পৰিপথটোৱে সৰ্বনিম্ন ৰোধকতা (impedance = R) দেখুৱায় আৰু ধাৰা সৰ্বোচ্চ হয়। ট্ৰান্সফৰ্মাৰ (Transformer) এই অধ্যায়ৰ এক ব্যৱহাৰিক প্ৰয়োগ—যিয়ে A.C. ভোল্টেজক অপৰিৱৰ্তিত শক্তিৰ সৈতে বঢ়োৱা (step-up) বা কমোৱা (step-down) কাৰ্য কৰে।
মূল সূত্ৰাৱলী (Key Formulas)
| ৰাশি (Quantity) | সূত্ৰ (Formula) | মন্তব্য (Remark) |
|---|---|---|
| A.C. ভোল্টেজ | $v = v_m \sin\omega t$ | $\omega = 2\pi f$ |
| A.C. ধাৰা | $i = i_m \sin(\omega t – \phi)$ | $\phi$ = ফেজ পাৰ্থক্য |
| RMS ধাৰা | $i_{\text{rms}} = i_m/\sqrt{2}$ | $\approx 0.707\, i_m$ |
| RMS ভোল্টেজ | $V_{\text{rms}} = V_m/\sqrt{2}$ | $\approx 0.707\, V_m$ |
| আৱেশকীয় প্ৰতিঘাত | $X_L = \omega L = 2\pi f L$ | একক: $\Omega$ |
| ধাৰকীয় প্ৰতিঘাত | $X_C = 1/(\omega C) = 1/(2\pi f C)$ | একক: $\Omega$ |
| LCR-ৰ ৰোধকতা | $Z = \sqrt{R^2 + (X_L – X_C)^2}$ | impedance |
| ফেজ কোণ | $\tan\phi = (X_L – X_C)/R$ | $X_L > X_C$ হ’লে আৱেশকীয় |
| অনুনাদ কম্পাংক | $f_0 = 1/(2\pi\sqrt{LC})$ | $X_L = X_C$ |
| গুণাংক কাৰক (Q-factor) | $Q = \omega_0 L / R = 1/(\omega_0 R C)$ | মাত্ৰাহীন |
| গড় শক্তি | $P_{\text{avg}} = V_{\text{rms}} I_{\text{rms}} \cos\phi$ | $\cos\phi$ = power factor |
| আদৰ্শ ট্ৰান্সফৰ্মাৰ | $V_s/V_p = N_s/N_p = I_p/I_s$ | $P_p = P_s$ |
চিত্ৰ ১: LCR পৰিপথৰ ফেজ ডায়াগ্ৰাম (Phasor Diagram)
অনুশীলনীৰ প্ৰশ্নোত্তৰ (Exercise Question Answers)
প্ৰশ্ন ১। 100 Ω ৰোধৰ এটা ৰোধক 220 V, 50 Hz যোগানৰ লগত সংযুক্ত। (ক) পৰিপথত RMS ধাৰা কিমান? (খ) এটা সম্পূৰ্ণ চক্ৰত ক্ষয় হোৱা গড় শক্তি কিমান?
উত্তৰঃ দিয়া আছে $V_{\text{rms}} = 220$ V, $R = 100\,\Omega$।
(ক) $I_{\text{rms}} = V_{\text{rms}}/R = 220/100 = 2.20$ A।
(খ) ৰোধকত $\phi = 0$, $\cos\phi = 1$।
$$P_{\text{avg}} = V_{\text{rms}} I_{\text{rms}} \cos\phi = 220 \times 2.20 \times 1 = 484 \text{ W}$$
প্ৰশ্ন ২। (ক) এটা A.C. যোগানৰ peak ভোল্টেজ 300 V। RMS ভোল্টেজ কিমান? (খ) এটা A.C. পৰিপথত RMS ধাৰা 10 A। peak ধাৰা কিমান?
উত্তৰঃ
(ক) $V_{\text{rms}} = V_m/\sqrt{2} = 300/\sqrt{2} = 212.13$ V।
(খ) $i_m = \sqrt{2}\, I_{\text{rms}} = \sqrt{2}\times 10 = 14.14$ A।
প্ৰশ্ন ৩। 44 mH আৱেশাংকৰ এটা আৱেশক 220 V, 50 Hz A.C. যোগানৰ লগত সংযুক্ত। পৰিপথৰ RMS ধাৰা নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ $L = 44\times10^{-3}$ H, $f = 50$ Hz।
$$X_L = 2\pi f L = 2\pi \times 50 \times 44\times 10^{-3} = 13.82\,\Omega$$
$$I_{\text{rms}} = \dfrac{V_{\text{rms}}}{X_L} = \dfrac{220}{13.82} = 15.92 \text{ A}$$
প্ৰশ্ন ৪। 60 μF ধাৰিতাৰ এটা ধাৰক 110 V, 60 Hz A.C. যোগানৰ লগত সংযুক্ত। পৰিপথৰ RMS ধাৰা নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ $C = 60 \times 10^{-6}$ F।
$$X_C = \dfrac{1}{2\pi f C} = \dfrac{1}{2\pi \times 60 \times 60\times 10^{-6}} = 44.21\,\Omega$$
$$I_{\text{rms}} = \dfrac{V_{\text{rms}}}{X_C} = \dfrac{110}{44.21} = 2.49 \text{ A}$$
প্ৰশ্ন ৫। প্ৰশ্ন ৩ আৰু ৪-ত এটা সম্পূৰ্ণ চক্ৰৰ ওপৰত আৱেশক আৰু ধাৰকে গ্ৰহণ কৰা গড় শক্তি কিমান হ’ব? ব্যাখ্যা কৰা।
উত্তৰঃ বিশুদ্ধ আৱেশক আৰু বিশুদ্ধ ধাৰক—দুয়োৰ ক্ষেত্ৰতে ভোল্টেজ আৰু ধাৰাৰ মাজৰ ফেজ-পাৰ্থক্য $\phi = 90°$ অৰ্থাৎ $\cos\phi = 0$। সেইবাবে এটা সম্পূৰ্ণ চক্ৰত গড় শক্তি—
$$P_{\text{avg}} = V_{\text{rms}} I_{\text{rms}} \cos 90° = 0$$
প্ৰথম অৰ্ধচক্ৰত উপাদানে শক্তি সঞ্চয় কৰে আৰু পিছৰ অৰ্ধচক্ৰত পুনৰ যোগানলৈ ঘূৰাই দিয়ে। এই ধাৰাক ৱাটহীন ধাৰা (Wattless current) বুলি কোৱা হয়।
প্ৰশ্ন ৬। 2.0 H আৱেশক, 32 μF ধাৰক আৰু 10 Ω ৰোধকেৰে গঠিত LCR ক্ৰম পৰিপথটোৰ অনুনাদ কৌণিক কম্পাংক নিৰ্ণয় কৰা। Q-কাৰকৰ মানো নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ $L = 2.0$ H, $C = 32\times 10^{-6}$ F, $R = 10\,\Omega$।
$$\omega_0 = \dfrac{1}{\sqrt{LC}} = \dfrac{1}{\sqrt{2.0 \times 32\times 10^{-6}}} = \dfrac{1}{8\times 10^{-3}} = 125 \text{ rad/s}$$
$$Q = \dfrac{\omega_0 L}{R} = \dfrac{125 \times 2.0}{10} = 25$$
প্ৰশ্ন ৭। 30 μF ধাৰিতা সম্পন্ন এটা চাৰ্জিত ধাৰকক 27 mH আৱেশাংকৰ এটা আৱেশকৰ লগত সংযুক্ত কৰা হ’ল। পৰিপথটোৰ মুক্ত দোলনৰ কৌণিক কম্পাংক কিমান?
উত্তৰঃ $C = 30\times 10^{-6}$ F, $L = 27\times 10^{-3}$ H।
$$\omega = \dfrac{1}{\sqrt{LC}} = \dfrac{1}{\sqrt{27\times 10^{-3}\times 30\times 10^{-6}}}$$
$$\omega = \dfrac{1}{\sqrt{8.1\times 10^{-7}}} \approx 1.11 \times 10^{3} \text{ rad/s}$$
প্ৰশ্ন ৮। যদি প্ৰাৰম্ভিকতে ধাৰকটোক 6 mC চাৰ্জ দিয়া হৈছিল, তেন্তে আৰম্ভণিত পৰিপথটোত মুঠ শক্তি কিমান? পিছত ই কেনেদৰে সংৰক্ষিত হ’ব?
উত্তৰঃ $Q_0 = 6\times 10^{-3}$ C, $C = 30\times 10^{-6}$ F।
$$U = \dfrac{Q_0^{2}}{2C} = \dfrac{(6\times 10^{-3})^{2}}{2\times 30\times 10^{-6}} = \dfrac{36\times 10^{-6}}{60\times 10^{-6}} = 0.6 \text{ J}$$
মুক্ত LC দোলনত ৰোধ অনুপস্থিত হ’লে শক্তিৰ মুঠ মান অপৰিৱৰ্তিত থাকে—যিকোনো মুহূৰ্তত ই ধাৰকৰ বৈদ্যুতিক শক্তি আৰু আৱেশকৰ চুম্বকীয় শক্তিৰ মাজত আদান-প্ৰদান হৈ থাকে।
প্ৰশ্ন ৯। এটা ক্ৰম LCR পৰিপথত $R = 20\,\Omega$, $L = 1.5$ H আৰু $C = 35\,\mu$F। পৰিপথটো এটা পৰিৱৰ্তনশীল কম্পাংকৰ 200 V যোগানৰ লগত যুক্ত। যেতিয়া যোগানৰ কম্পাংক পৰিপথটোৰ স্বাভাৱিক কম্পাংকৰ সমান হয়, তেতিয়া এটা সম্পূৰ্ণ চক্ৰত পৰিপথে স্থানান্তৰ কৰা গড় শক্তি কিমান?
উত্তৰঃ অনুনাদৰ সময়ত $X_L = X_C$, $Z = R$ আৰু $\cos\phi = 1$।
$$I_{\text{rms}} = \dfrac{V_{\text{rms}}}{R} = \dfrac{200}{20} = 10 \text{ A}$$
$$P_{\text{avg}} = V_{\text{rms}} I_{\text{rms}} \cos\phi = 200 \times 10 \times 1 = 2000 \text{ W} = 2 \text{ kW}$$
প্ৰশ্ন ১০। এটা ৰেডিঅ’ MW সম্প্ৰচাৰ ব্যান্ডটোৰ ফালিক (800 kHz – 1200 kHz) মিলোৱাৰ বাবে $C$ পৰিৱৰ্তন কৰিব পাৰি। যদি ইয়াৰ LC পৰিপথত আৱেশাংক $L = 200\,\mu$H, তেন্তে $C$-ৰ পৰিসৰ কিমান হ’ব লাগে?
উত্তৰঃ অনুনাদ চৰ্ত: $f_0 = 1/(2\pi\sqrt{LC})$, সেয়েহে $C = 1/(4\pi^{2} f_0^{2} L)$।
$f_0 = 1200$ kHz-ৰ বাবে—
$$C_1 = \dfrac{1}{4\pi^{2} (1200\times 10^{3})^{2} \times 200\times 10^{-6}} \approx 87.9 \text{ pF}$$
$f_0 = 800$ kHz-ৰ বাবে—
$$C_2 = \dfrac{1}{4\pi^{2} (800\times 10^{3})^{2} \times 200\times 10^{-6}} \approx 197.8 \text{ pF}$$
সুতৰাং $C$-ৰ পৰিসৰ প্ৰায় $88$ pF–$198$ pF।
প্ৰশ্ন ১১। এটা LCR ক্ৰম পৰিপথত $R = 40\,\Omega$, $L = 5.0$ H আৰু $C = 80\,\mu$F। পৰিপথটোক $230$ V পৰিৱৰ্তনশীল কম্পাংকৰ যোগানৰ লগত সংযুক্ত কৰা হৈছে। (ক) উৎসৰ কম্পাংক কিমান হ’ব লাগে যাতে পৰিপথত অনুনাদ ঘটে? (খ) অনুনাদৰ সময়ত পৰিপথৰ ৰোধকতা আৰু ধাৰাৰ আম্প্লিট্যুড নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ
(ক) $\omega_0 = 1/\sqrt{LC} = 1/\sqrt{5.0\times 80\times 10^{-6}} = 1/\sqrt{4\times 10^{-4}} = 50$ rad/s।
(খ) অনুনাদত $Z = R = 40\,\Omega$।
$$I_m = \dfrac{V_m}{R} = \dfrac{\sqrt{2}\times 230}{40} = \dfrac{325.27}{40} \approx 8.13 \text{ A}$$
চিত্ৰ ২: অনুনাদ বক্ৰ (Resonance Curve)
প্ৰশ্ন ১২। ছোৱাল আৰু লৰাই সকলোৱে কৈছে—A.C.-ৰ peak ভোল্টেজ আৰু RMS ভোল্টেজ একে মান নহয়। কিয়?
উত্তৰঃ A.C. ভোল্টেজ $v = v_m \sin\omega t$ চাইন আকৃতিৰ। ইয়াৰ peak মান $v_m$ মুহূৰ্তীয়, কিন্তু ৰোধকত উৎপন্ন গড় তাপ ($P = i^2 R$) হিচাপত সমতুল্য DC মানক RMS বুলি কোৱা হয়। গণনাত ই হ’ল $V_m/\sqrt{2} = 0.707\, V_m$। সেইবাবে দুয়োটা মান একে নহয়।
প্ৰশ্ন ১৩। এটা চাৰ্জিত $30\,\mu$F ধাৰিতাৰ ধাৰকক $27$ mH আৱেশকৰ লগত সংযুক্ত কৰিলে অপ্ৰতিৰোধ্য (undamped) দোলন উৎপন্ন হয়। চাৰ্জ পৰিৱৰ্তন কেনেদৰে হ’ব লিখা।
উত্তৰঃ $\omega = 1/\sqrt{LC} \approx 1.11\times 10^{3}$ rad/s।
$$Q(t) = Q_0 \cos\omega t$$
য’ত $Q_0 = 6$ mC প্ৰাৰম্ভিক চাৰ্জ। ধাৰাৰ ৰূপ—
$$i(t) = -\dfrac{dQ}{dt} = Q_0 \omega \sin\omega t$$
চিত্ৰ ৩: ট্ৰান্সফৰ্মাৰৰ পৰিকল্পনা (Transformer Schematic)
প্ৰশ্ন ১৪। 4400 V প্ৰাথমিক ভোল্টেজত চলোৱা এটা step-down ট্ৰান্সফৰ্মাৰৰ প্ৰাথমিক কুণ্ডলীত $4000$ পাক আছে। গৌণ কুণ্ডলীত পাকৰ সংখ্যা $200$ হ’লে গৌণ ভোল্টেজ কিমান?
উত্তৰঃ $V_s = V_p (N_s/N_p) = 4400 \times (200/4000) = 220$ V।
প্ৰশ্ন ১৫। এটা আদৰ্শ ট্ৰান্সফৰ্মাৰে 220 V লাইনৰ পৰা $11$ kV লৈ ভোল্টেজ বঢ়ায়। যদি প্ৰাথমিক কুণ্ডলীৰ ধাৰা $50$ A হয়, গৌণ কুণ্ডলীৰ ধাৰা কিমান?
উত্তৰঃ আদৰ্শ ট্ৰান্সফৰ্মাৰত $V_p I_p = V_s I_s$।
$$I_s = \dfrac{V_p I_p}{V_s} = \dfrac{220 \times 50}{11000} = 1 \text{ A}$$
উপাদান-ভেদে A.C. পৰিপথৰ আচৰণ (Behaviour by Element)
(১) বিশুদ্ধ ৰোধকীয় পৰিপথ (Pure Resistive Circuit)
ধৰক $v = v_m\sin\omega t$। ওহ্মৰ সূত্ৰ মতে—
$$i = \dfrac{v}{R} = \dfrac{v_m}{R}\sin\omega t = i_m\sin\omega t$$
অৰ্থাৎ ভোল্টেজ আৰু ধাৰা একে ফেজত ($\phi = 0$)। তাত্ক্ষণিক শক্তি $p = vi = v_m i_m \sin^{2}\omega t$ — সদায় ধনাত্মক, সেয়েহে শক্তি নিৰন্তৰে ৰোধকত তাপ হিচাপে ক্ষয় হয়।
$$P_{\text{avg}} = \dfrac{v_m i_m}{2} = V_{\text{rms}} I_{\text{rms}}$$
(২) বিশুদ্ধ আৱেশকীয় পৰিপথ (Pure Inductive Circuit)
আৱেশকৰ মাজেৰে ধাৰা $i = i_m\sin\omega t$ হ’লে ভোল্টেজ $v = L\, di/dt = i_m \omega L\cos\omega t = v_m\sin(\omega t + \pi/2)$।
অৰ্থাৎ ভোল্টেজে ধাৰাতকৈ ৯০° আগুৱাই থাকে। $X_L = \omega L = 2\pi f L$ — উচ্চ কম্পাংকত আৱেশকে ভাল বাধা দিয়ে। DC-ত ($f = 0$) আৱেশকে বাধা নিদিয়ে।
$P_{\text{avg}} = V_{\text{rms}} I_{\text{rms}} \cos 90° = 0$ — শক্তি ক্ষয় শূন্য।
(৩) বিশুদ্ধ ধাৰকীয় পৰিপথ (Pure Capacitive Circuit)
ধাৰকত $q = Cv$, সেয়েহে $i = dq/dt = C\,dv/dt$। যদি $v = v_m\sin\omega t$ তেন্তে $i = C v_m \omega\cos\omega t = i_m\sin(\omega t + \pi/2)$।
ইয়াত ধাৰাই ভোল্টেজতকৈ ৯০° আগুৱাই থাকে। $X_C = 1/(\omega C)$ — উচ্চ কম্পাংকত ধাৰকে কম বাধা দিয়ে। DC-ত ধাৰকে অসীম বাধা দিয়ে (পূৰ্ণ ব্লক)।
$P_{\text{avg}} = 0$ — বিশুদ্ধ ধাৰকতো শক্তি ক্ষয় শূন্য।
(৪) তিনিও উপাদানৰ তুলনা
| উপাদান | প্ৰতিঘাত | ফেজ | গড় শক্তি |
|---|---|---|---|
| ৰোধক $R$ | $R$ (কম্পাংকনিৰপেক্ষ) | $\phi = 0$ | $V_{\text{rms}}I_{\text{rms}}$ |
| আৱেশক $L$ | $X_L = \omega L$ | $V$ ৯০° আগত | $0$ |
| ধাৰক $C$ | $X_C = 1/(\omega C)$ | $I$ ৯০° আগত | $0$ |
সংখ্যাগত সমস্যা — অধিক উদাহৰণ (More Numerical Problems)
প্ৰশ্ন ১৬। 220 V, 50 Hz যোগানৰ লগত $R = 30\,\Omega$, $L = 0.1$ H, আৰু $C = 50\,\mu$F-ৰ এটা LCR ক্ৰম পৰিপথ সংযুক্ত আছে। (ক) প্ৰতিঘাতবোৰ, (খ) ৰোধকতা, (গ) RMS ধাৰা, (ঘ) ফেজ কোণ, (ঙ) গড় শক্তি নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ $\omega = 2\pi f = 2\pi \times 50 = 100\pi \approx 314.16$ rad/s।
(ক) $X_L = \omega L = 314.16 \times 0.1 = 31.42\,\Omega$;
$X_C = 1/(\omega C) = 1/(314.16 \times 50\times 10^{-6}) = 63.66\,\Omega$।
(খ) $$Z = \sqrt{R^{2} + (X_L – X_C)^{2}} = \sqrt{30^{2} + (31.42 – 63.66)^{2}} = \sqrt{900 + 1039.42} = 44.04\,\Omega$$
(গ) $I_{\text{rms}} = V_{\text{rms}}/Z = 220/44.04 = 4.99 \approx 5.0$ A।
(ঘ) $\tan\phi = (X_L – X_C)/R = -32.24/30 = -1.075$, সেয়েহে $\phi = -47.1°$ (ধাৰা ভোল্টেজতকৈ আগুৱাই — পৰিপথ ধাৰকীয়)।
(ঙ) $\cos\phi = R/Z = 30/44.04 = 0.681$।
$$P_{\text{avg}} = V_{\text{rms}} I_{\text{rms}} \cos\phi = 220 \times 5.0 \times 0.681 \approx 749 \text{ W}$$
প্ৰশ্ন ১৭। এটা চাইন কাৰিকৰী A.C. উৎসৰ সমীকৰণ $v(t) = 311\sin(100\pi t)$ V। (ক) Peak ভোল্টেজ, (খ) RMS ভোল্টেজ, (গ) কম্পাংক, (ঘ) পৰ্যায়কাল নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ
(ক) $V_m = 311$ V।
(খ) $V_{\text{rms}} = 311/\sqrt{2} \approx 220$ V।
(গ) $\omega = 100\pi$ rad/s, সেয়েহে $f = \omega/(2\pi) = 50$ Hz।
(ঘ) $T = 1/f = 1/50 = 0.02$ s = 20 ms।
প্ৰশ্ন ১৮। এটা ক্ৰম LCR পৰিপথৰ অনুনাদ কম্পাংক 600 Hz। যদি $L$ চাৰিগুণ আৰু $C$ এক-চতুৰ্থাংশ কৰা হয়, তেন্তে নতুন অনুনাদ কম্পাংক কিমান হ’ব?
উত্তৰঃ $f_0 \propto 1/\sqrt{LC}$।
$$f_0′ = \dfrac{1}{2\pi\sqrt{(4L)(C/4)}} = \dfrac{1}{2\pi\sqrt{LC}} = f_0 = 600 \text{ Hz}$$
অৰ্থাৎ অনুনাদ কম্পাংক অপৰিৱৰ্তিত, কাৰণ $LC$ গুণফল একে।
প্ৰশ্ন ১৯। এটা LC দোলিত পৰিপথত $L = 25$ mH, $C = 10\,\mu$F। ধাৰকটোক $200$ V লৈ চাৰ্জ কৰি আৱেশকৰ লগত সংযুক্ত কৰা হ’ল। (ক) দোলনৰ কম্পাংক, (খ) সৰ্বোচ্চ ধাৰা নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ
(ক) $$f = \dfrac{1}{2\pi\sqrt{LC}} = \dfrac{1}{2\pi\sqrt{25\times 10^{-3}\times 10\times 10^{-6}}} = \dfrac{1}{2\pi \times 5\times 10^{-4}} \approx 318.3 \text{ Hz}$$
(খ) শক্তি সংৰক্ষণ: $\tfrac{1}{2}CV^{2} = \tfrac{1}{2}LI_{\max}^{2}$।
$$I_{\max} = V\sqrt{C/L} = 200\sqrt{10\times 10^{-6}/(25\times 10^{-3})} = 200 \times 0.02 = 4.0 \text{ A}$$
প্ৰশ্ন ২০। 100 Ω ৰোধক, $0.5$ H আৱেশক আৰু $10\,\mu$F ধাৰক ক্ৰমে $200$ V, $50$ Hz যোগানৰ লগত শ্ৰেণীত যুক্ত। প্ৰতিটো উপাদানৰ ভোল্টেজ পতন নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ $\omega = 100\pi$ rad/s।
$X_L = 100\pi \times 0.5 = 157.08\,\Omega$;
$X_C = 1/(100\pi \times 10\times 10^{-6}) = 318.31\,\Omega$;
$Z = \sqrt{100^{2} + (157.08 – 318.31)^{2}} = \sqrt{10000 + 25994} = 189.7\,\Omega$।
$I_{\text{rms}} = 200/189.7 = 1.054$ A।
$V_R = IR = 1.054 \times 100 = 105.4$ V; $V_L = IX_L = 1.054 \times 157.08 = 165.6$ V; $V_C = IX_C = 1.054 \times 318.31 = 335.5$ V।
লক্ষণীয় যে $V_L$ আৰু $V_C$ পৃথকে $200$ V-তকৈ অধিক হ’ব পাৰে — এনে আচৰণ A.C.-ত স্বাভাৱিক কাৰণ এই দুই ভোল্টেজ ১৮০° বিপৰীত ফেজত থাকে।
মুখ্য সূত্ৰৰ ব্যুৎপত্তি (Important Derivations)
(ক) চাইন A.C.-ৰ RMS মান
ধৰক $i = i_m \sin\omega t$। সম্পূৰ্ণ চক্ৰত গড় $\langle i^{2}\rangle$—
$$\langle i^{2}\rangle = \dfrac{1}{T}\int_{0}^{T} i_m^{2}\sin^{2}\omega t\, dt = \dfrac{i_m^{2}}{T}\int_{0}^{T}\dfrac{1 – \cos 2\omega t}{2}\, dt = \dfrac{i_m^{2}}{2}$$
সেয়েহে $i_{\text{rms}} = \sqrt{\langle i^{2}\rangle} = i_m/\sqrt{2}$।
(খ) বিশুদ্ধ আৱেশকত ভোল্টেজ-ধাৰাৰ সম্পৰ্ক
আৱেশকৰ মাজেৰে $i = i_m \sin\omega t$ বহালে আৱেশকীয় EMF—
$$v = L\dfrac{di}{dt} = L\, i_m \omega \cos\omega t = i_m \omega L\, \sin\!\left(\omega t + \tfrac{\pi}{2}\right)$$
সেয়েহে peak ভোল্টেজ $v_m = i_m \omega L$ আৰু আৱেশকীয় প্ৰতিঘাত $X_L = v_m/i_m = \omega L$। ভোল্টেজে ধাৰাতকৈ $\pi/2$ ৰেডিয়ান (বা $90°$) আগুৱাই থাকে।
(গ) বিশুদ্ধ ধাৰকত ভোল্টেজ-ধাৰাৰ সম্পৰ্ক
ধাৰকত $q = Cv$, সেয়েহে $i = dq/dt = C\, dv/dt$। যদি $v = v_m \sin\omega t$—
$$i = C v_m \omega \cos\omega t = \dfrac{v_m}{1/(\omega C)}\sin\!\left(\omega t + \tfrac{\pi}{2}\right)$$
সেয়েহে $X_C = 1/(\omega C)$ আৰু ধাৰাই ভোল্টেজতকৈ $90°$ আগুৱাই থাকে।
(ঘ) LCR ক্ৰম পৰিপথ — ফেজ ভেক্টৰ পদ্ধতি
ক্ৰম পৰিপথত একে ধাৰা $i$ প্ৰতিটো উপাদানৰে যায়। $i$-ক $x$-অক্ষত ৰাখি ফেজ ভেক্টৰ আঁকি পাওঁ:
$V_R = IR$ ($i$-ৰ লগত একে দিশে), $V_L = IX_L$ ($+y$ অক্ষৰ ফালে), $V_C = IX_C$ ($-y$ অক্ষৰ ফালে)। নেট ভোল্টেজৰ আকাৰ—
$$V = \sqrt{V_R^{2} + (V_L – V_C)^{2}} = I\sqrt{R^{2} + (X_L – X_C)^{2}} = IZ$$
সেয়েহে $Z = \sqrt{R^{2} + (X_L – X_C)^{2}}$ আৰু $\tan\phi = (X_L – X_C)/R$।
(ঙ) অনুনাদ আৰু গুণাংক কাৰক
অনুনাদ অৱস্থাত $X_L = X_C \Rightarrow \omega_0 L = 1/(\omega_0 C) \Rightarrow \omega_0 = 1/\sqrt{LC}$।
গুণাংক কাৰক হ’ল প্ৰতি চক্ৰত সঞ্চিত শক্তি আৰু ক্ষয় হোৱা শক্তিৰ অনুপাতৰ $2\pi$ গুণ:
$$Q = \dfrac{\omega_0 L}{R} = \dfrac{1}{\omega_0 R C} = \dfrac{1}{R}\sqrt{\dfrac{L}{C}}$$
$Q = \omega_0/2\Delta\omega$, য’ত $2\Delta\omega$ হ’ল band-width। উচ্চ $Q$ হ’লে অনুনাদ তীক্ষ্ণ।
(চ) AC পৰিপথত গড় শক্তি
$v = v_m\sin\omega t$, $i = i_m\sin(\omega t – \phi)$।
$$P = vi = v_m i_m \sin\omega t \sin(\omega t – \phi) = \dfrac{v_m i_m}{2}[\cos\phi – \cos(2\omega t – \phi)]$$
এটা চক্ৰৰ গড়—দ্বিতীয় পদৰ গড় শূন্য, সেয়েহে—
$$P_{\text{avg}} = \dfrac{v_m i_m}{2}\cos\phi = V_{\text{rms}} I_{\text{rms}} \cos\phi$$
(ছ) আদৰ্শ ট্ৰান্সফৰ্মাৰ — ভোল্টেজ আৰু ধাৰাৰ অনুপাত
একে চুম্বকীয় ফ্লাক্স $\phi$ প্ৰতিটো পাকৰ মাজেৰে যায় বুলি ধৰি লওক। প্ৰাথমিকত উৎপন্ন EMF $\varepsilon_p = -N_p\, d\phi/dt$ আৰু গৌণত $\varepsilon_s = -N_s\, d\phi/dt$, সেয়েহে—
$$\dfrac{V_s}{V_p} = \dfrac{N_s}{N_p}$$
ক্ষতিহীনতাৰ অৱস্থাত $V_p I_p = V_s I_s$, সেয়েহে $I_p/I_s = N_s/N_p$। অৰ্থাৎ ভোল্টেজ বঢ়ালে ধাৰা সমপৰিমাণে কমে।
অতিৰিক্ত প্ৰশ্নোত্তৰ (Additional Q&A)
প্ৰশ্ন ১। RMS ধাৰা মানে কি?
উত্তৰঃ এটা সম্পূৰ্ণ চক্ৰত A.C. ধাৰাৰ বৰ্গৰ গড়ৰ বৰ্গমূলক RMS (Root-Mean-Square) ধাৰা বোলে। ই DC-ৰ সমতুল্য তাপ-উৎপাদনকাৰী মান। $i_{\text{rms}} = i_m/\sqrt{2}$।
প্ৰশ্ন ২। ৱাটহীন ধাৰা (Wattless current) কি?
উত্তৰঃ A.C. পৰিপথত যি ধাৰাই গড় শক্তি ক্ষয় কৰিব নোৱাৰে—অৰ্থাৎ $\cos\phi = 0$ আৰু $P_{\text{avg}} = 0$—তাকে ৱাটহীন ধাৰা বোলে। বিশুদ্ধ আৱেশক বা বিশুদ্ধ ধাৰকত এনে ধাৰা পোৱা যায়।
প্ৰশ্ন ৩। শক্তি কাৰক (Power factor) কি?
উত্তৰঃ A.C. পৰিপথত আভাসী শক্তি ($V_{\text{rms}} I_{\text{rms}}$)-ৰ লগত প্ৰকৃত শক্তিৰ অনুপাতক শক্তি কাৰক বোলে: $\cos\phi = R/Z$। ই $0$-ৰ পৰা $1$-ৰ মাজৰ যিকোনো মান হ’ব পাৰে।
প্ৰশ্ন ৪। আৱেশকীয় প্ৰতিঘাত (Inductive reactance) আৰু ধাৰকীয় প্ৰতিঘাত (Capacitive reactance)-ৰ মাজত পাৰ্থক্য লিখা।
| আৱেশকীয় প্ৰতিঘাত $X_L$ | ধাৰকীয় প্ৰতিঘাত $X_C$ |
|---|---|
| $X_L = \omega L$, কম্পাংকৰ সমানুপাতিক | $X_C = 1/(\omega C)$, কম্পাংকৰ ব্যস্তানুপাতিক |
| উচ্চ কম্পাংকত বাধা বাঢ়ে | উচ্চ কম্পাংকত বাধা কমে |
| ভোল্টেজ ধাৰাৰ আগত $90°$ | ভোল্টেজ ধাৰাৰ পিছত $90°$ |
| DC-ত $X_L = 0$ (ছ’ৰ্ট) | DC-ত $X_C = \infty$ (ব্লক) |
প্ৰশ্ন ৫। অনুনাদৰ সময়ত LCR পৰিপথৰ আচৰণ বৰ্ণনা কৰা।
উত্তৰঃ অনুনাদ অৱস্থাত $X_L = X_C$ আৰু $\omega_0 = 1/\sqrt{LC}$। তেতিয়া—
(ক) ৰোধকতা সৰ্বনিম্ন: $Z_{\min} = R$।
(খ) ধাৰা সৰ্বোচ্চ: $I_{\max} = V/R$।
(গ) ভোল্টেজ আৰু ধাৰা একে ফেজত ($\phi = 0$)।
(ঘ) শক্তি কাৰক $\cos\phi = 1$।
(ঙ) পৰিপথে বিশুদ্ধ ৰোধকীয় আচৰণ দেখুৱায়।
প্ৰশ্ন ৬। গুণাংক কাৰক $Q$-ৰ ভৌতিক তাৎপৰ্য কি?
উত্তৰঃ $Q$-কাৰকে অনুনাদ পৰিপথৰ তীক্ষ্ণতা (sharpness) বুজায়। উচ্চ $Q$ মানে অনুনাদ বক্ৰ অতি সংকীৰ্ণ আৰু পৰিপথটো নিৰ্বাচনী—ই কেৱল এটা বিশেষ কম্পাংকতে শক্তিশালী সঁহাৰি দিয়ে। ৰেডিঅ’ টিউনিঙত উচ্চ $Q$ গুৰুত্বপূৰ্ণ।
প্ৰশ্ন ৭। ট্ৰান্সফৰ্মাৰে A.C.-ত কেনেকৈ কাম কৰে কিন্তু DC-ত নহয়?
উত্তৰঃ ট্ৰান্সফৰ্মাৰৰ কাৰ্যনীতি পাৰস্পৰিক আৱেশন (mutual induction)-ৰ ওপৰত নিৰ্ভৰশীল। কাৰ্যৰ বাবে চুম্বকীয় ফ্লাক্স পৰিৱৰ্তনশীল হ’ব লাগে। A.C.-ৰ মান নিৰন্তৰে সলনি হোৱাৰ বাবে ফ্লাক্সো সলনি হয় আৰু গৌণ কুণ্ডলীত EMF উৎপন্ন হয়। DC-ৰ মান স্থিৰ থকাৰ বাবে $d\phi/dt = 0$, সেয়েহে গৌণ কুণ্ডলীত EMF উৎপন্ন নহয়।
প্ৰশ্ন ৮। ট্ৰান্সফৰ্মাৰৰ শক্তি ক্ষতিৰ চাৰিটা প্ৰধান উৎস উল্লেখ কৰা।
উত্তৰঃ (ক) তামৰ ক্ষতি ($I^2R$)—কুণ্ডলীৰ ৰোধত উৎপন্ন তাপ। (খ) আয়ৰণ/ক’ৰ ক্ষতি—এডি ধাৰা (Eddy current) আৰু হিষ্টেৰেচিচ ক্ষতি। (গ) ফ্লাক্স লিকেজ—কিছু ফ্লাক্স গৌণ কুণ্ডলীলৈ নাযায়। (ঘ) আৱেশন ক্ষতি (humming)। লেমিনেচন ক’ৰ আৰু নৰম আয়ৰণে এই ক্ষতিবোৰ কমাব পাৰে।
প্ৰশ্ন ৯। ক্ৰম LCR পৰিপথত কোনো এটা ধাৰক জোৰাৰ ফলত শক্তি কাৰক বঢ়াব পাৰি। কিয়?
উত্তৰঃ অধিকাংশ ইণ্ডাষ্ট্ৰিয়েল লোড (যেনে মটৰ) আৱেশকীয়, যাৰ বাবে $X_L > X_C$ আৰু $\phi$ বেছি (low power factor)। ধাৰক জোৰিলে $X_C$ বাঢ়ে, ফলত $(X_L – X_C)$ কমি $\phi$ ও কমে আৰু $\cos\phi \to 1$-লৈ গতি কৰে। ইয়াকে power factor correction বোলে।
প্ৰশ্ন ১০। DC-তকৈ A.C. সঞ্চালনৰ সুবিধা কি?
উত্তৰঃ (ক) ট্ৰান্সফৰ্মাৰেৰে A.C. ভোল্টেজ সহজে বঢ়াব বা কমাব পাৰি। (খ) উচ্চ ভোল্টেজত সঞ্চালন কৰিলে $I^2R$ ক্ষতি কম হয়। (গ) উৎপাদন সহজ। (ঘ) মটৰ আদিৰ ব্যৱহাৰ সহজ।
প্ৰশ্ন ১১। চুটি প্ৰশ্ন: $X_L = X_C$ হ’লে ফেজ-পাৰ্থক্য কিমান?
উত্তৰঃ $\tan\phi = (X_L – X_C)/R = 0$, সেয়েহে $\phi = 0$।
প্ৰশ্ন ১২। গৃহস্থালীৰ A.C. মেইনছৰ কম্পাংক $50$ Hz হ’লে এটা চক্ৰত কিমান বাৰ ভোল্টেজ শূন্য হয়?
উত্তৰঃ এটা চক্ৰত $2$ বাৰ ($\omega t = 0, \pi$)। সেকেণ্ডত $50 \times 2 = 100$ বাৰ।
প্ৰশ্ন ১৩। চক্ৰটোৰ গড় মান শূন্য হোৱা সত্ত্বেও A.C. ধাৰাই বাল্ব কেনেকৈ জ্বলায়?
উত্তৰঃ বাল্বৰ ফিলামেণ্টত উৎপন্ন তাপ $i^{2}R$-ৰ সমানুপাতিক। বৰ্গ-মান সদায় ধনাত্মক, সেয়েহে গড় তাপ অশূন্য আৰু বাল্ব জ্বলে। RMS মান এই সমতুল্য ধাৰাকেই বুজায়।
প্ৰশ্ন ১৪। চাইন কাৰিকৰী A.C. ভোল্টেজত peak মান $282.84$ V হ’লে RMS মান কিমান?
উত্তৰঃ $V_{\text{rms}} = 282.84/\sqrt{2} \approx 200$ V।
প্ৰশ্ন ১৫। কোনো এটা পৰিপথত $V = 200\sin(100\pi t)$ আৰু $i = 5\sin(100\pi t – \pi/3)$ হ’লে গড় শক্তি নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ $V_m = 200$ V, $i_m = 5$ A, $\phi = \pi/3$, $\cos\phi = 0.5$।
$$P_{\text{avg}} = \tfrac{1}{2} V_m i_m \cos\phi = 0.5 \times 200 \times 5 \times 0.5 = 250 \text{ W}$$
আৰু সংখ্যাগত সমস্যা (Additional Numerical Problems)
প্ৰশ্ন ২১। 50 Hz কম্পাংকৰ A.C. উৎসৰ লগত $25\,\mu$F ধাৰিতাৰ এটা ধাৰক যুক্ত। ধাৰকটোৰ প্ৰতিঘাত নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ $$X_C = \dfrac{1}{2\pi f C} = \dfrac{1}{2\pi \times 50 \times 25\times 10^{-6}} = \dfrac{1}{7.854\times 10^{-3}} \approx 127.3\,\Omega$$
প্ৰশ্ন ২২। এটা LR ক্ৰম পৰিপথত $R = 50\,\Omega$ আৰু $L = 0.2$ H। 50 Hz, $200$ V যোগানত পৰিপথৰ ৰোধকতা আৰু RMS ধাৰা নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ $X_L = 2\pi \times 50 \times 0.2 = 62.83\,\Omega$।
$$Z = \sqrt{R^{2} + X_L^{2}} = \sqrt{50^{2} + 62.83^{2}} = \sqrt{2500 + 3947.6} = 80.30\,\Omega$$
$I_{\text{rms}} = 200/80.30 = 2.49$ A।
প্ৰশ্ন ২৩। উপৰোক্ত LR পৰিপথত শক্তি কাৰক আৰু গড় শক্তি কিমান?
উত্তৰঃ $\cos\phi = R/Z = 50/80.30 = 0.623$।
$P_{\text{avg}} = V_{\text{rms}} I_{\text{rms}} \cos\phi = 200 \times 2.49 \times 0.623 \approx 310 \text{ W}$।
প্ৰশ্ন ২৪। এটা LCR পৰিপথৰ অনুনাদ কম্পাংক 60 Hz, $R = 8\,\Omega$, $L = 50$ mH। (ক) $C$ নিৰ্ণয় কৰা, (খ) Q-কাৰক, (গ) Bandwidth ($2\Delta\omega$)।
উত্তৰঃ
(ক) $\omega_0 = 2\pi \times 60 = 376.99$ rad/s।
$$C = \dfrac{1}{\omega_0^{2} L} = \dfrac{1}{(376.99)^{2}\times 0.05} \approx 1.41\times 10^{-4} \text{ F} = 141\,\mu\text{F}$$
(খ) $Q = \omega_0 L/R = 376.99 \times 0.05/8 = 2.36$।
(গ) Bandwidth $= \omega_0/Q = 376.99/2.36 \approx 159.7$ rad/s।
প্ৰশ্ন ২৫। এটা ট্ৰান্সফৰ্মাৰৰ প্ৰাথমিক কুণ্ডলীত $200$ পাক আৰু গৌণ কুণ্ডলীত $50$ পাক আছে। যদি প্ৰাথমিকত $V_p = 240$ V লোৱা হয়, গৌণ ভোল্টেজ আৰু ই step-up নে step-down — কওক।
উত্তৰঃ $V_s = V_p (N_s/N_p) = 240 \times 50/200 = 60$ V। গৌণ পাক কম, সেয়েহে ই step-down ট্ৰান্সফৰ্মাৰ।
প্ৰশ্ন ২৬। বিদ্যুৎ কোম্পানীয়ে $11000$ V লাইনত $100$ A ধাৰাৰে শক্তি প্ৰেৰণ কৰে। লাইনৰ মুঠ ৰোধ $0.5\,\Omega$ হ’লে শক্তি ক্ষতি কিমান শতাংশ?
উত্তৰঃ মুঠ প্ৰেৰিত শক্তি $P = VI = 11000 \times 100 = 1.1\times 10^{6}$ W।
লাইন ক্ষতি $P_{\text{loss}} = I^{2}R = 100^{2}\times 0.5 = 5000$ W।
শতাংশ $= 5000/1.1\times 10^{6}\times 100\% \approx 0.45\%$ — উচ্চ ভোল্টেজ সঞ্চালনৰ এই কাৰণতে গুৰুত্ব।
প্ৰশ্ন ২৭। এটা ক্ৰম LCR পৰিপথে $50$ Hz যোগানৰ লগত যুক্ত। $L = 100$ mH, $R = 50\,\Omega$ আৰু $X_C = 60\,\Omega$। ফেজ কোণ নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ $X_L = 2\pi \times 50 \times 0.1 = 31.42\,\Omega$।
$\tan\phi = (X_L – X_C)/R = (31.42 – 60)/50 = -0.572$, $\phi = -29.7°$।
$\phi$ ঋণাত্মক — ধাৰাই ভোল্টেজতকৈ আগুৱাই থাকে; পৰিপথ ধাৰকীয়।
প্ৰশ্ন ২৮। এটা পৰিপথত $V_{\text{rms}} = 100$ V, $I_{\text{rms}} = 5$ A আৰু গড় শক্তি $400$ W। শক্তি কাৰক আৰু পৰিপথৰ ৰোধকতা কিমান?
উত্তৰঃ $\cos\phi = P/(V I) = 400/(100\times 5) = 0.8$।
$Z = V/I = 100/5 = 20\,\Omega$।
প্ৰশ্ন ২৯। 80 mH আৱেশকৰ লগত শ্ৰেণীত $100\,\mu$F ধাৰক যুক্ত। দোলনৰ কম্পাংক আৰু পৰ্যায়কাল নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ
$$f = \dfrac{1}{2\pi\sqrt{LC}} = \dfrac{1}{2\pi\sqrt{80\times 10^{-3}\times 100\times 10^{-6}}} = \dfrac{1}{2\pi\sqrt{8\times 10^{-6}}} \approx 56.27 \text{ Hz}$$
$T = 1/f = 1/56.27 \approx 17.78$ ms।
প্ৰশ্ন ৩০। এটা চাৰ্জিত ধাৰকৰ ($Q_0 = 5$ mC, $C = 50\,\mu$F) লগত $20$ mH আৱেশক যোগ কৰা হ’ল। (ক) দোলন কম্পাংক, (খ) সৰ্বোচ্চ ধাৰা, (গ) মুঠ শক্তি নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ
(ক) $\omega = 1/\sqrt{LC} = 1/\sqrt{20\times 10^{-3}\times 50\times 10^{-6}} = 1/\sqrt{10^{-6}} = 1000$ rad/s; $f = 159.2$ Hz।
(খ) প্ৰাৰম্ভিক শক্তি $U = Q_0^{2}/(2C) = (5\times 10^{-3})^{2}/(2\times 50\times 10^{-6}) = 0.25$ J।
(গ) সৰ্বোচ্চ ধাৰাত মুঠ শক্তি আৱেশকত: $\tfrac{1}{2}LI_{\max}^{2} = 0.25$, সেয়েহে $I_{\max} = \sqrt{0.5/0.02} = 5$ A।
বহু-বিকল্পীয় প্ৰশ্ন (MCQ)
১। বিশুদ্ধ আৱেশকত ভোল্টেজ আৰু ধাৰাৰ ফেজ-পাৰ্থক্য—
(ক) $0$
(খ) $\pi/2$ (ভোল্টেজ আগত)
(গ) $\pi/2$ (ধাৰা আগত)
(ঘ) $\pi$
উত্তৰঃ (খ) $\pi/2$, ভোল্টেজে ধাৰাৰ আগত থাকে।
২। চাইন A.C.-ৰ peak মান $V_m$ হ’লে গড় (mean) মান এটা সম্পূৰ্ণ চক্ৰত—
(ক) $V_m$ (খ) $V_m/2$ (গ) $V_m/\sqrt{2}$ (ঘ) $0$
উত্তৰঃ (ঘ) $0$।
৩। LCR ক্ৰম পৰিপথত অনুনাদৰ সময়ত ৰোধকতা—
(ক) সৰ্বোচ্চ (খ) সৰ্বনিম্ন আৰু $R$-ৰ সমান (গ) শূন্য (ঘ) অসীম
উত্তৰঃ (খ) সৰ্বনিম্ন আৰু $R$-ৰ সমান।
৪। কম্পাংক $f$ দ্বিগুণ কৰিলে ধাৰকীয় প্ৰতিঘাত—
(ক) দ্বিগুণ হয় (খ) আধা হয় (গ) চাৰিগুণ হয় (ঘ) অপৰিৱৰ্তিত থাকে
উত্তৰঃ (খ) আধা হয়, কাৰণ $X_C \propto 1/f$।
৫। ৱাটহীন ধাৰাৰ ক্ষেত্ৰত শক্তি কাৰক—
(ক) $1$ (খ) $0.707$ (গ) $0$ (ঘ) $0.5$
উত্তৰঃ (গ) $0$।
৬। ট্ৰান্সফৰ্মাৰৰ আদৰ্শ দক্ষতা—
(ক) $50\%$ (খ) $75\%$ (গ) $90\%$ (ঘ) $100\%$
উত্তৰঃ (ঘ) $100\%$ (আদৰ্শ ট্ৰান্সফৰ্মাৰত শক্তি ক্ষতি শূন্য)।
৭। অনুনাদ কম্পাংক $f_0$ নিৰ্ভৰশীল—
(ক) কেৱল $L$-ৰ ওপৰত (খ) কেৱল $C$-ৰ ওপৰত (গ) $L$ আৰু $C$ দুয়োৰে ওপৰত (ঘ) $R$, $L$, $C$ তিনিওটাৰ ওপৰত
উত্তৰঃ (গ) $L$ আৰু $C$ দুয়োৰে ওপৰত, $R$-ৰ ওপৰত নহয়।
৮। চাইন A.C.-ৰ এটা চক্ৰত peak ভোল্টেজ কিমান বাৰ পোৱা যায়?
(ক) এবাৰ (খ) দুবাৰ (গ) চাৰিবাৰ (ঘ) কেতিয়াও নহয়
উত্তৰঃ (খ) দুবাৰ — এবাৰ ধনাত্মক, এবাৰ ঋণাত্মক।
৯। যদি LCR পৰিপথত $R = 0$ হয়, অনুনাদৰ Q-কাৰক—
(ক) $0$ (খ) সসীম (গ) অসীম (ঘ) $1$
উত্তৰঃ (গ) অসীম, কাৰণ $Q = \omega_0 L/R$।
১০। DC ভোল্টেজত আদৰ্শ ধাৰকৰ প্ৰতিঘাত—
(ক) $0$ (খ) সসীম (গ) অসীম (ঘ) $R$-ৰ সমান
উত্তৰঃ (গ) অসীম, কাৰণ $X_C = 1/(\omega C)$ আৰু DC-ত $\omega = 0$।
খালী ঠাই পূৰণ (Fill in the Blanks)
১। ভাৰতত গৃহস্থালীৰ A.C. কম্পাংক ____ Hz। উত্তৰঃ $50$।
২। চাইন A.C.-ৰ RMS মান peak মানৰ ____ গুণ। উত্তৰঃ $1/\sqrt{2}$ বা $0.707$।
৩। বিশুদ্ধ ধাৰকত ধাৰা ভোল্টেজতকৈ ____ আগুৱাই থাকে। উত্তৰঃ $90°$।
৪। অনুনাদ কম্পাংকৰ সূত্ৰ $f_0 = $ ____। উত্তৰঃ $1/(2\pi\sqrt{LC})$।
৫। ট্ৰান্সফৰ্মাৰৰ ক’ৰ লেমিনেচন কৰাৰ বাবে ____ ক্ষতি কমে। উত্তৰঃ এডি ধাৰা।
৬। শক্তি কাৰক $\cos\phi$-ৰ মান $1$ হ’লে পৰিপথ ____ আচৰণ দেখুৱায়। উত্তৰঃ বিশুদ্ধ ৰোধকীয়।
৭। বিশুদ্ধ আৱেশকীয় বা ধাৰকীয় পৰিপথত গড় শক্তি ____। উত্তৰঃ শূন্য।
৮। ট্ৰান্সফৰ্মাৰে ____ ভোল্টেজত কাম কৰে। উত্তৰঃ A.C.।
প্ৰয়োগ আৰু সম্ভাৱনাময় ক্ষেত্ৰ (Applications)
(ক) বিদ্যুৎ সঞ্চালন: উৎপাদন কেন্দ্ৰৰ পৰা গ্ৰাহকলৈ বিদ্যুৎ পৰিবহণৰ বাবে A.C. আটাইতকৈ উপযোগী। step-up ট্ৰান্সফৰ্মাৰে ভোল্টেজ $11000$ V বা ততোধিকলৈ বঢ়ায় যাতে লাইনৰ $I^{2}R$ ক্ষতি কম হয়। শেষত step-down ট্ৰান্সফৰ্মাৰে $220$ V-লৈ ভোল্টেজ কমাই গ্ৰাহকলৈ পঠায়।
(খ) ৰেডিঅ’ টিউনিং: ৰেডিঅ’ ৰিচিভাৰৰ ভিতৰৰ LC পৰিপথৰ অনুনাদ কম্পাংক বিচৰা ষ্টেচনৰ কম্পাংকৰ সমান কৰিলে কেৱল সেই ষ্টেচনৰ চিগনেলহে বহিৰ্গত হয়। ভেৰিয়েবল ধাৰকেৰে $C$ সলনি কৰি $f_0$ মিলোৱা হয়।
(গ) গৃহস্থালী যন্ত্ৰপাতি: ফেন, পাম্প, মিক্সাৰ আদি ইণ্ডাকচন মটৰ A.C.-ত চলে। এই সকলোতে ট্ৰান্সফৰ্মাৰ আৰু ৰেক্টিফায়াৰ থাকিব পাৰে।
(ঘ) ইণ্ডাষ্ট্ৰিয়েল হিটিং: উচ্চ-কম্পাংকৰ A.C.-ৰ সহায়ত মেটেলৰ পৃষ্ঠতলত হিট ট্ৰীটমেণ্ট দিয়া হয় (Induction heating)।
(ঙ) চিকিত্সা যন্ত্ৰপাতি: X-ray যন্ত্ৰ, MRI, ECG, ডাইথাৰ্মী—সকলোৱে A.C.-ৰ বিভিন্ন ৰূপ ব্যৱহাৰ কৰে।
A.C. জেনাৰেটৰৰ মূল ধাৰণা (AC Generator: Brief)
A.C. জেনাৰেটৰে যান্ত্ৰিক শক্তিক বৈদ্যুতিক শক্তিলৈ ৰূপান্তৰ কৰে—ফেৰাডে’ৰ আৱেশন নিয়মৰ ভিত্তিত। এটা সমান চুম্বকীয় ক্ষেত্ৰ $B$-ত $N$ পাকৰ এক কুণ্ডলী $A$-কালি, $\omega$ কৌণিক বেগেৰে ঘূৰি থাকিলে ফ্লাক্স—
$$\Phi(t) = N B A \cos\omega t$$
আৰু আৱেশিত EMF—
$$\varepsilon = -\dfrac{d\Phi}{dt} = N B A \omega \sin\omega t = \varepsilon_0 \sin\omega t$$
য’ত $\varepsilon_0 = N B A \omega$ peak EMF। স্লিপ-ৰিং (Slip-rings) আৰু ব্ৰাছ (Brushes)-এ বাহিৰৰ পৰিপথলৈ এই A.C. EMF প্ৰৱাহ কৰে।
সঁচা/মিছা (True/False)
১। বিশুদ্ধ আৱেশকত শক্তি ক্ষয় হয়। — মিছা। বিশুদ্ধ আৱেশকত শক্তি কেৱল চুম্বকীয় ক্ষেত্ৰত সঞ্চিত হয়, ক্ষয় নহয়।
২। অনুনাদৰ সময়ত $X_L = X_C$। — সঁচা।
৩। RMS মান গড় (mean) মানৰ সমান। — মিছা। RMS = বৰ্গ-গড়ৰ বৰ্গমূল; AC-ৰ গড় শূন্য।
৪। ট্ৰান্সফৰ্মাৰে DC ভোল্টেজো ৰূপান্তৰ কৰিব পাৰে। — মিছা।
৫। step-down ট্ৰান্সফৰ্মাৰৰ গৌণ কুণ্ডলীৰ পাকৰ সংখ্যা প্ৰাথমিকতকৈ অধিক। — মিছা। step-down-ত গৌণৰ পাক কম।
৬। উচ্চ Q-কাৰক মানে অনুনাদ বক্ৰ তীক্ষ্ণ। — সঁচা।
৭। শক্তি কাৰক সদায় $0$ আৰু $1$-ৰ মাজত। — সঁচা।
৮। অনুনাদ কম্পাংকত পৰিপথে সৰ্বোচ্চ ৰোধকতা দেখুৱায়। — মিছা; ই সৰ্বনিম্ন।
শব্দাৰ্থ (Glossary)
| ইংৰাজী (English) | অসমীয়া (Assamese) |
|---|---|
| Alternating Current (AC) | পৰিৱৰ্তী প্ৰৱাহ |
| Direct Current (DC) | সমপ্ৰৱাহ |
| Peak value | শীৰ্ষমান |
| Mean / Average value | গড় মান |
| RMS value | মূল-মাধ্য-বৰ্গ মান |
| Phase | ফেজ / কলা |
| Phase difference | ফেজ পাৰ্থক্য |
| Phasor | ফেজ ভেক্টৰ |
| Inductor | আৱেশক |
| Capacitor | ধাৰক |
| Resistor | ৰোধক |
| Reactance | প্ৰতিঘাত |
| Impedance | ৰোধকতা |
| Inductive reactance | আৱেশকীয় প্ৰতিঘাত |
| Capacitive reactance | ধাৰকীয় প্ৰতিঘাত |
| Resonance | অনুনাদ |
| Resonant frequency | অনুনাদ কম্পাংক |
| Quality factor | গুণাংক কাৰক |
| Bandwidth | বেণ্ড প্ৰস্থ |
| Sharpness | তীক্ষ্ণতা |
| Power factor | শক্তি কাৰক |
| Wattless current | ৱাটহীন ধাৰা |
| Average power | গড় শক্তি |
| Apparent power | আভাসী শক্তি |
| Transformer | ট্ৰান্সফৰ্মাৰ |
| Step-up transformer | উত্থাপক ট্ৰান্সফৰ্মাৰ |
| Step-down transformer | অৱনতিক ট্ৰান্সফৰ্মাৰ |
| Primary coil | প্ৰাথমিক কুণ্ডলী |
| Secondary coil | গৌণ কুণ্ডলী |
| Mutual induction | পাৰস্পৰিক আৱেশন |
| Eddy current | এডি ধাৰা |
| Hysteresis | হিষ্টেৰেচিচ |
| Damped oscillation | ক্ষীণায়মান দোলন |
| Undamped oscillation | অপ্ৰতিৰোধ্য দোলন |
| Angular frequency | কৌণিক কম্পাংক |
| Cycle | চক্ৰ |
| Frequency | কম্পাংক |
| Magnetic flux | চুম্বকীয় ফ্লাক্স |
গুৰুত্বপূৰ্ণ পৰীক্ষা-প্ৰশ্ন (Important Exam Questions)
প্ৰশ্ন: A.C.-ৰ RMS মানৰ সংজ্ঞা দিয়া। RMS মান বুলিলে এনে DC ধাৰাক বুজোৱা হয়, যিয়ে দিয়া A.C. ধাৰাটোৱে যিদৰে ৰোধকত তাপ উৎপন্ন কৰিব, ঠিক সিদৰে একে সময়ত একে পৰিমাণৰ তাপ উৎপন্ন কৰিব পাৰে। চাইন A.C.-ৰ বাবে $i_{\text{rms}} = i_m/\sqrt{2}$।
প্ৰশ্ন: কেইবিধ সাধাৰণ ট্ৰান্সফৰ্মাৰৰ ক্ষতি আৰু সিহঁতক কেনেদৰে কম কৰিব পাৰি বুজোৱা।
উত্তৰঃ
(i) তাম্ৰ ক্ষতি ($I^{2}R$): কুণ্ডলীৰ ৰোধক উৎপন্ন তাপ। সমাধান — অধিক ব্যাসৰ তামৰ তাঁৰ ব্যৱহাৰ আৰু ভাল পৰিবাহকতা।
(ii) আয়ৰণ ক’ৰৰ এডি ধাৰা ক্ষতি: ক’ৰত প্ৰৱাহিত হোৱা ঘূৰণীয়া ধাৰা ($I^{2}R$ আকৃতিৰ ক্ষতি)। সমাধান — পাতল লেমিনেচন ক’ৰ (laminated core) ব্যৱহাৰ।
(iii) হিষ্টেৰেচিচ ক্ষতি: চুম্বকীয় ক্ষেত্ৰৰ পৰিৱৰ্তনৰ লগে লগে আয়ৰণ ক’ৰ পুনঃপুন চুম্বকিত হোৱাৰ বাবে শক্তি ক্ষয়। সমাধান — ছিলিকন ষ্টীল আদি কম হিষ্টেৰেচিচ ক্ষতিৰ পদাৰ্থ ব্যৱহাৰ।
(iv) ফ্লাক্স লিকেজ: প্ৰাথমিক কুণ্ডলীৰ পৰা উৎপন্ন কিছু ফ্লাক্স গৌণ কুণ্ডলীত প্ৰৱেশ নকৰে। সমাধান — ক’ৰৰ ভাল ৰূপৰেখা আৰু কুণ্ডলীৰ সঘন প্ৰদক্ষিণ।
প্ৰশ্ন: এটা সিৰিয়েল LCR পৰিপথৰ ৰোধকতা $Z$ আৰু ফেজ কোণ $\phi$-ৰ সমীকৰণ গাণিতিকভাৱে ব্যুৎপন্ন কৰা।
উত্তৰঃ ক্ৰম পৰিপথত $V = V_R + V_L + V_C$ (ভেক্টৰ যোগ)। ফেজ ভেক্টৰ পদ্ধতি অনুসৰি $V_R$ আৰু $i$-ৰ ফেজ একে; $V_L$ ই $V_R$-ৰ আগত $90°$, $V_C$ ই $V_R$-ৰ পিছত $90°$। সেয়েহে নেট ভোল্টেজৰ মান—
$$V = \sqrt{V_R^{2} + (V_L – V_C)^{2}}$$
$V = IZ$, $V_R = IR$, $V_L = IX_L$, $V_C = IX_C$ বহালে—
$$Z = \sqrt{R^{2} + (X_L – X_C)^{2}}$$
আৰু $\tan\phi = (V_L – V_C)/V_R = (X_L – X_C)/R$।
প্ৰশ্ন: চাইন ভোল্টেজ আৰু ধাৰাৰ গ্ৰাফেৰে ফেজ-পাৰ্থক্য বুজোৱা।
উত্তৰঃ বিশুদ্ধ আৱেশকীয় পৰিপথত ভোল্টেজৰ গ্ৰাফ ধাৰাৰ গ্ৰাফতকৈ এ-চতুৰ্থাংশ চক্ৰ আগত ($\pi/2$ rad বা $T/4$ সময়)। ধাৰকীয় পৰিপথত ধাৰা আগত একেদৰে $T/4$ সময়। ৰোধকীয় পৰিপথত দুয়োটাই একেলগে চূড়ান্ত আৰু শূন্যলৈ যায়।
প্ৰশ্ন: ৰোধক, আৱেশক আৰু ধাৰক প্ৰতিটোৰ মাজেৰে DC আৰু AC কেনেদৰে যায়—তুলনা কৰা।
| উপাদান | DC ($\omega = 0$) | AC |
|---|---|---|
| ৰোধক $R$ | $Z = R$, ধাৰা প্ৰৱাহিত হয় | $Z = R$, একে আচৰণ |
| আৱেশক $L$ | $X_L = 0$, ছ’ৰ্ট চাৰ্কিট | $X_L = \omega L$, কম্পাংকৰ সৈতে বঢ়ে |
| ধাৰক $C$ | $X_C = \infty$, ব্লক | $X_C = 1/(\omega C)$, কম্পাংকৰ সৈতে কমে |
আশাকৰোঁ এই অধ্যায়ৰ সাৰসংক্ষেপ আৰু প্ৰশ্নোত্তৰে আপোনাক ASSEB Class 12 Physics-ৰ পৰিৱৰ্তী প্ৰৱাহ অধ্যায়টো ভালদৰে আয়ত্ত কৰাত সহায় কৰিব। ভাল কৰি অনুশীলন কৰক, সংখ্যাগত সমস্যাবোৰ নিজে সমাধান কৰাৰ অভ্যাস ৰাখক—তেতিয়াহে পৰীক্ষাত শ্ৰেষ্ঠতম ফল লাভ কৰিব। শুভকামনা ৰ’ল!