নমস্কাৰ প্ৰিয় শিক্ষাৰ্থী! HSLC GURU-লৈ আপোনাক স্বাগতম জনাইছোঁ। ASSEB Class 12 Physics-ৰ Chapter 2 — Electrostatic Potential and Capacitance (স্থিৰ-বৈদ্যুতিক বিভৱ আৰু ধাৰকত্ব)-ৰ সম্পূৰ্ণ অধ্যয়ন সামগ্ৰী, NCERT অনুশীলনীৰ সমাধান, সংক্ষিপ্ত সাৰাংশ, মূল সূত্ৰৰ তালিকা, অতিৰিক্ত প্ৰশ্নোত্তৰ আৰু গুৰুত্বপূৰ্ণ শব্দাৰ্থ ইয়াত পাব। এই অধ্যায়ত আমি বৈদ্যুতিক বিভৱ ($V$), বিভৱ পাৰ্থক্য, বিন্দু-আধান আৰু দ্বি-মেৰুৰ বাবে বিভৱ, সমবিভৱ পৃষ্ঠ, পৰিবাহী আৰু পৰাবৈদ্যুতিকৰ আচৰণ, ধাৰকত্ব ($C$), সমান্তৰাল-পাত ধাৰক, ধাৰকৰ সংযোজন (শ্ৰেণী/সমান্তৰাল) আৰু ধাৰকত সঞ্চিত শক্তি বিচাৰি চাম। উচ্চতৰ মাধ্যমিক চূড়ান্ত পৰীক্ষা আৰু NEET/JEE-ৰ বাবে ই অতি গুৰুত্বপূৰ্ণ অধ্যায়।

সাৰাংশ (Summary in Assamese)

স্থিৰ-বৈদ্যুতিক ক্ষেত্ৰত একক ধনাত্মক পৰীক্ষা-আধানক অসীমৰ পৰা কোনো বিন্দুলৈ আনিবলৈ কৰা কাৰ্যকে সেই বিন্দুৰ বৈদ্যুতিক বিভৱ বোলে। ই এক স্কেলাৰ ৰাশি, একক ভোল্ট ($\text{V}$ বা $\text{J/C}$)। দুটা বিন্দুৰ মাজৰ বিভৱ পাৰ্থক্য $V_A – V_B = W_{BA}/q$, য’ত $W_{BA}$ হ’ল $B$-ৰ পৰা $A$-লৈ একক আধান অনাত কৃত কাৰ্য।

বিন্দু-আধান $q$-ৰ পৰা $r$ দূৰত্বত বিভৱ $V = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q}{r}$। বৈদ্যুতিক ক্ষেত্ৰ আৰু বিভৱৰ মাজত সম্পৰ্ক $\vec{E} = -\nabla V$, অৰ্থাৎ $E$ হ’ল $V$-ৰ ঋণাত্মক গ্ৰেডিয়েণ্ট। সমবিভৱ পৃষ্ঠ হ’ল সেই পৃষ্ঠ য’ত প্ৰতিটো বিন্দুৰ বিভৱ একে; ক্ষেত্ৰ ৰেখা সদায় সমবিভৱ পৃষ্ঠৰ লম্বভাৱে থাকে।

স্থিৰ-বৈদ্যুতিক সাম্যাৱস্থাত পৰিবাহীৰ ভিতৰত $E=0$, পৰিবাহী এক সমবিভৱ আয়তন আৰু সকলো অতিৰিক্ত আধান বাহ্যিক পৃষ্ঠতহে থাকে। পৰাবৈদ্যুতিক পদাৰ্থত মেৰুৱন (polarisation) সংঘটিত হয় আৰু পৰাবৈদ্যুতিক ধ্ৰুৱক $K$ (বা $\epsilon_r$)-এ পদাৰ্থৰ মেৰুৱন ক্ষমতা দেখুৱায়।

ধাৰক হ’ল আধান সঞ্চয় কৰা ব্যৱস্থা; ইয়াৰ ধাৰকত্ব $C = Q/V$, একক ফেৰাড ($\text{F}$)। সমান্তৰাল-পাত ধাৰকৰ ধাৰকত্ব $C = \epsilon_0 A/d$; পৰাবৈদ্যুতিকসহ $C = K\epsilon_0 A/d$। শ্ৰেণী সংযোজনত $1/C = \sum 1/C_i$ আৰু সমান্তৰাল সংযোজনত $C = \sum C_i$। ধাৰকত সঞ্চিত শক্তি $U = \tfrac{1}{2}CV^2$ আৰু ক্ষেত্ৰৰ শক্তি-ঘনত্ব $u = \tfrac{1}{2}\epsilon_0 E^2$।

Summary (in English)

Electric potential $V$ at a point is the work done per unit positive charge in bringing it from infinity to that point. It is a scalar quantity measured in volts. The potential due to a point charge is $V = kq/r$. Electric field is the negative gradient of potential, $\vec{E} = -\nabla V$. Equipotential surfaces are perpendicular to electric field lines. Inside a conductor in electrostatic equilibrium $E=0$ and the surface is equipotential. Dielectrics get polarised in an external field and reduce the effective field inside by a factor $K$ (dielectric constant). A capacitor stores charge: $C = Q/V$. For a parallel-plate capacitor $C = \epsilon_0 A/d$ (vacuum) and $K\epsilon_0 A/d$ with a dielectric. Series: $1/C = \sum 1/C_i$; Parallel: $C = \sum C_i$. Energy stored: $U = \tfrac{1}{2}CV^2 = Q^2/(2C)$, with energy density $u = \tfrac{1}{2}\epsilon_0 E^2$.

মূল সূত্ৰসমূহ (Key Formulas)

ৰাশি	সূত্ৰ	একক
বৈদ্যুতিক বিভৱ	$V = W/q$	$\text{V}$ (volt)
বিন্দু-আধানৰ বিভৱ	$V = \dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\dfrac{q}{r}$	$\text{V}$
দ্বি-মেৰুৰ অক্ষীয় বিভৱ	$V_{\text{axial}} = \dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\dfrac{p}{r^2}$	$\text{V}$
দ্বি-মেৰুৰ বিষুৱীয় বিভৱ	$V_{\text{equatorial}} = 0$	$\text{V}$
$E$ আৰু $V$-ৰ সম্পৰ্ক	$E = -\dfrac{dV}{dr}$	$\text{N/C}$
ধাৰকত্ব	$C = Q/V$	$\text{F}$
সমান্তৰাল-পাত ধাৰক	$C = \dfrac{\epsilon_0 A}{d}$	$\text{F}$
পৰাবৈদ্যুতিকসহ	$C = \dfrac{K\epsilon_0 A}{d}$	$\text{F}$
শ্ৰেণী সংযোজন	$\dfrac{1}{C}=\dfrac{1}{C_1}+\dfrac{1}{C_2}+\dots$	$\text{F}$
সমান্তৰাল সংযোজন	$C = C_1 + C_2 + \dots$	$\text{F}$
সঞ্চিত শক্তি	$U = \tfrac{1}{2}CV^2 = \tfrac{Q^2}{2C}$	$\text{J}$
শক্তি-ঘনত্ব	$u = \tfrac{1}{2}\epsilon_0 E^2$	$\text{J/m}^3$

বিন্দু-আধানৰ বিভৱ (display form)

$$V = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q}{r}$$

$n$টা আধানৰ বাবে মুঠ বিভৱ —

$$V_{\text{net}} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\sum_{i=1}^{n}\frac{q_i}{r_i}$$

আধান-জোঁটৰ স্থিতিশক্তি —

$$U = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\sum_{i

চিত্ৰ ১: সমান্তৰাল-পাত ধাৰক

চিত্ৰ ২: ধাৰকৰ সংযোজন (শ্ৰেণী আৰু সমান্তৰাল)

চিত্ৰ ৩: সমবিভৱ পৃষ্ঠ (Equipotential Surfaces)

NCERT Exercise Solutions (অনুশীলনীৰ সমাধান)

প্ৰশ্ন ১। দুটা আধান $5\times 10^{-8}\,\text{C}$ আৰু $-3\times 10^{-8}\,\text{C}$ ১৬ চে.মি. দূৰত্বত আছে। বিভৱ শূন্য হোৱা বিন্দুটো বিচাৰা।

উত্তৰঃ ধৰোঁ ধনাত্মক আধানৰ পৰা $x$ মিটাৰ দূৰত্বত (ৰেখাৰ ওপৰত) বিভৱ শূন্য। তেতিয়া —

$$\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\left[\frac{5\times 10^{-8}}{x}-\frac{3\times 10^{-8}}{0.16-x}\right]=0$$

সমাধান কৰিলে $x = 0.10\,\text{m} = 10\,\text{cm}$। আনহাতে দুয়োটা আধানৰ বাহিৰৰ ফালে ($5\times10^{-8}$-ৰ পৰা $40$ চে.মি. দূৰত্বত, ঋণাত্মকৰ পিছফালে) বিভৱ আকৌ শূন্য হয়।

প্ৰশ্ন ২। ১০ চে.মি. বাহুৰ এটা সমষড়ভুজৰ প্ৰতিটো শীৰ্ষত $5\,\mu\text{C}$ আধান আছে। কেন্দ্ৰৰ বিভৱ কিমান?

উত্তৰঃ সমষড়ভুজৰ কেন্দ্ৰৰ পৰা প্ৰতিটো শীৰ্ষলৈ দূৰত্ব $r = 0.10\,\text{m}$। ছটা আধানৰ বিভৱ যোগ হ’লে —

$$V = 6\cdot\frac{kq}{r}=\frac{6\times 9\times 10^{9}\times 5\times 10^{-6}}{0.10} = 2.7\times 10^{6}\,\text{V}$$

প্ৰশ্ন ৩। দুটা আধান $\pm 2\,\mu\text{C}$ ৬ চে.মি. দূৰত্বত আছে। (ক) সমবিভৱ পৃষ্ঠ চিনাক্ত কৰা; (খ) সমবিভৱ পৃষ্ঠত $\vec{E}$-ৰ দিশ কি?

উত্তৰঃ (ক) দুয়োটা আধানৰ মধ্যবিন্দুৰ মাজেৰে যোৱা, AB-ৰ লম্বভাৱে থকা সমতলটোৱেই সমবিভৱ পৃষ্ঠ ($V=0$)। (খ) এই পৃষ্ঠৰ লম্বভাৱে, ধনাত্মক আধানৰ পৰা ঋণাত্মক আধানলৈ AB-ৰ দিশত $\vec{E}$ থাকে।

প্ৰশ্ন ৪। ১২ চে.মি. ব্যাসাৰ্ধৰ এটা গোলকীয় পৰিবাহীত $1.6\times 10^{-7}\,\text{C}$ আধান আছে। (ক) ভিতৰত, (খ) পৃষ্ঠৰ ঠিক বাহিৰত, (গ) কেন্দ্ৰৰ পৰা ১৮ চে.মি. দূৰত্বত $E$ কিমান?

উত্তৰঃ

(ক) পৰিবাহীৰ ভিতৰত $E = 0$।

(খ) পৃষ্ঠৰ ঠিক বাহিৰত —

$$E = \frac{kq}{R^2}=\frac{9\times 10^{9}\times 1.6\times 10^{-7}}{(0.12)^2}=1.0\times 10^{5}\,\text{N/C}$$

(গ) $r = 0.18\,\text{m}$-ত —

$$E = \frac{kq}{r^2}=\frac{9\times 10^{9}\times 1.6\times 10^{-7}}{(0.18)^2}\approx 4.4\times 10^{4}\,\text{N/C}$$

প্ৰশ্ন ৫। আৰম্ভণিতে ৮ pF এটা সমান্তৰাল-পাত ধাৰক আছে। দূৰত্ব আধাকৈ কৰিলে আৰু পৰাবৈদ্যুতিক $K=6$ ভৰ্তি কৰিলে নতুন ধাৰকত্ব কিমান?

উত্তৰঃ আৰম্ভণিতে $C_0 = \epsilon_0 A/d = 8\,\text{pF}$।

$$C’ = \frac{K\epsilon_0 A}{d/2} = 2K\,C_0 = 2\times 6 \times 8 = 96\,\text{pF}$$

প্ৰশ্ন ৬। ৯ pF-ৰ তিনিটা ধাৰক শ্ৰেণীত সংযোগ কৰা হ’ল। (ক) মুঠ ধাৰকত্ব; (খ) ১২০ V-ত প্ৰতিটোৰ বিভৱ পাৰ্থক্য কিমান?

উত্তৰঃ (ক) $\dfrac{1}{C}=\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{9}=\dfrac{3}{9}\Rightarrow C = 3\,\text{pF}$।

(খ) আধান $Q = CV = 3\times 10^{-12}\times 120 = 3.6\times 10^{-10}\,\text{C}$। প্ৰতিটো ধাৰকৰ বিভৱ $V_i = Q/C_i = 3.6\times 10^{-10}/9\times 10^{-12} = 40\,\text{V}$।

প্ৰশ্ন ৭। ২ pF, ৩ pF আৰু ৪ pF-ৰ ধাৰক সমান্তৰালত আছে। (ক) মুঠ ধাৰকত্ব; (খ) ১০০ V-ত প্ৰতিটো ধাৰকৰ আধান।

উত্তৰঃ (ক) $C = 2+3+4 = 9\,\text{pF}$। (খ) প্ৰতিটো ধাৰকত $V = 100\,\text{V}$, সেয়ে আধান —

$Q_1 = 2\times 10^{-12}\times 100 = 2\times 10^{-10}\,\text{C}$,

$Q_2 = 3\times 10^{-10}\,\text{C}$, $Q_3 = 4\times 10^{-10}\,\text{C}$।

প্ৰশ্ন ৮। সমান্তৰাল-পাত ধাৰকৰ পাতৰ ক্ষেত্ৰফল $A = 6\times 10^{-3}\,\text{m}^2$, ব্যৱধান $d = 3\,\text{mm}$। ১০০ V সংযোগ কৰিলে ধাৰকত্ব আৰু আধান কিমান?

উত্তৰঃ

$$C = \frac{\epsilon_0 A}{d}=\frac{8.854\times 10^{-12}\times 6\times 10^{-3}}{3\times 10^{-3}}\approx 1.77\times 10^{-11}\,\text{F}$$

$Q = CV = 1.77\times 10^{-11}\times 100 = 1.77\times 10^{-9}\,\text{C}$।

প্ৰশ্ন ৯। ওপৰৰ ধাৰকটোত $K = 6$-ৰ ৩ মি.মি. পুৰু মাইকা ভৰোৱা হ’ল। (ক) উৎস সংযোজিত আছে আৰু (খ) উৎস বিচ্ছিন্ন আছে — দুয়োটা ক্ষেত্ৰত আধান আৰু বিভৱ কিমান হ’ব?

উত্তৰঃ (ক) উৎস সংযোজিত: $V$ একে ($100\,\text{V}$); ধাৰকত্ব $C’ = KC = 6\times 1.77\times 10^{-11} = 1.062\times 10^{-10}\,\text{F}\,(\approx 106.2\,\text{pF})$; আধান $Q’ = C’V = 1.062\times 10^{-8}\,\text{C}$।

(খ) উৎস বিচ্ছিন্ন: আধান $Q = 1.77\times 10^{-9}\,\text{C}$ একে থাকে; কিন্তু $V$ হ্ৰাস পায় —

$$V’ = \frac{Q}{C’}=\frac{1.77\times 10^{-9}}{1.062\times 10^{-10}}\approx 16.7\,\text{V}$$

প্ৰশ্ন ১০। ১২ pF ধাৰকত ৫০ V বিভৱ। সঞ্চিত শক্তি কিমান?

উত্তৰঃ

$$U = \tfrac{1}{2}CV^2 = \tfrac{1}{2}\times 12\times 10^{-12}\times 50^2 = 1.5\times 10^{-8}\,\text{J}$$

প্ৰশ্ন ১১। ৬০০ pF ধাৰকক ২০০ V-ত চাৰ্জ কৰি, একেধৰণৰ অচাৰ্জিত ধাৰকৰ লগত সংযোগ কৰিলে কিমান শক্তি ক্ষয় হ’ব?

উত্তৰঃ আৰম্ভণিতে $U_i = \tfrac{1}{2}CV^2 = \tfrac{1}{2}\times 600\times 10^{-12}\times (200)^2 = 1.2\times 10^{-5}\,\text{J}$।

সংযোগৰ পিছত $V$ আধাকৈ ($100\,\text{V}$) হয় আৰু সমন্বিত ধাৰকত্ব $1200\,\text{pF}$, সেয়ে অন্তিম শক্তি $U_f = \tfrac{1}{2}\times 1200\times 10^{-12}\times 100^2 = 6\times 10^{-6}\,\text{J}$। ক্ষয় = $U_i – U_f = 6\times 10^{-6}\,\text{J}$।

NCERT অতিৰিক্ত অনুশীলনী (প্ৰশ্ন ১২–৩৭)

প্ৰশ্ন ১২। বিন্দু-আধান $8\,\text{mC}$ মূল-বিন্দুত আছে। $-2\times 10^{-9}\,\text{C}$ আধানক $P(0,0,3\,\text{cm})$-ৰ পৰা $Q(0,4\,\text{cm},0)$-লৈ লৈ যাবলৈ লগা কাৰ্য কিমান?

উত্তৰঃ $P$-ৰ মূলবিন্দুৰ পৰা দূৰত্ব $r_P = 3\,\text{cm}$, $Q$-ৰ দূৰত্ব $r_Q = 4\,\text{cm}$।

$$W = q[V_Q – V_P] = q\cdot kQ\!\left[\frac{1}{r_Q}-\frac{1}{r_P}\right]$$

$W = (-2\times 10^{-9})(9\times 10^9)(8\times 10^{-3})\!\left[\dfrac{1}{0.04}-\dfrac{1}{0.03}\right]$

$= (-0.144)(25 – 33.33) = (-0.144)(-8.33) \approx 1.2\,\text{J}$।

প্ৰশ্ন ১৩। ঘনকটো বাহু $b$, প্ৰতিটো শীৰ্ষত আধান $q$ আছে। কেন্দ্ৰৰ বিভৱ আৰু ক্ষেত্ৰ কিমান?

উত্তৰঃ ঘনকৰ কেন্দ্ৰৰ পৰা প্ৰতিটো শীৰ্ষলৈ দূৰত্ব $r = b\sqrt{3}/2$। ৮টা আধানৰ বিভৱ যোগ —

$$V = \frac{8kq}{b\sqrt{3}/2} = \frac{16kq}{\sqrt{3}\,b}$$

প্ৰতিটো বিপৰীত শীৰ্ষৰ আধানৰ ক্ষেত্ৰ পৰস্পৰে নাকচ কৰে, সেয়ে কেন্দ্ৰত $\vec{E} = 0$।

প্ৰশ্ন ১৪। দুটা বিন্দু-আধান $1.5\,\mu\text{C}$ আৰু $2.5\,\mu\text{C}$ ৩০ চে.মি. দূৰত্বত আছে। মাজৰ মধ্যবিন্দুত (ক) বিভৱ; (খ) ক্ষেত্ৰ বিচাৰা।

উত্তৰঃ মধ্যবিন্দু প্ৰতিটো আধানৰ পৰা $r = 0.15\,\text{m}$ দূৰত্বত।

(ক) $V = k(q_1+q_2)/r = (9\times 10^9)(4\times 10^{-6})/0.15 = 2.4\times 10^{5}\,\text{V}$।

(খ) $E = k(q_2-q_1)/r^2 = (9\times 10^9)(1.0\times 10^{-6})/(0.15)^2 = 4.0\times 10^{5}\,\text{V/m}$, বৃহৎ আধানৰ পৰা সৰু আধানৰ ফালে।

প্ৰশ্ন ১৫। গোলকীয় খোলা পৰিবাহী, ভিতৰৰ ব্যাসাৰ্ধ $r_1$, বাহিৰৰ $r_2$, ভিতৰৰ ফালে আধান $q$, বাহিৰৰ ফালে $Q$ আছে। কেন্দ্ৰৰ বিভৱ লিখা।

উত্তৰঃ

$$V_{\text{centre}} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\!\left[\frac{q}{r_1} – \frac{q}{r_2} + \frac{q+Q}{r_2}\right] = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\!\left[\frac{q}{r_1} + \frac{Q}{r_2}\right]$$

প্ৰশ্ন ১৬। দেখুৱা যে পৰিবাহীৰ পৃষ্ঠত $\vec{E}$ পৃষ্ঠৰ লম্বভাৱে আৰু ইয়াৰ মান $\sigma/\epsilon_0$ য’ত $\sigma$ পৃষ্ঠ-আধান-ঘনত্ব।

উত্তৰঃ পৰিবাহী এক সমবিভৱ সংস্থা; পৃষ্ঠত $\vec{E}\cdot d\vec{l}=0$ থাকিবলৈ হ’লে $\vec{E}$ পৃষ্ঠৰ স্পৰ্শক উপাদান শূন্য — গতিকে $\vec{E}$ পৃষ্ঠৰ লম্ব। গাউছীয় পৃষ্ঠ (ক্ষুদ্ৰ পিলবক্স) লৈ গাউছৰ সূত্ৰ প্ৰয়োগ কৰিলে $E\cdot dA = \sigma\,dA/\epsilon_0$ ⇒ $E = \sigma/\epsilon_0$।

প্ৰশ্ন ১৭। দীঘল পৰিবাহী চিলিণ্ডাৰৰ ৰৈখিক আধান-ঘনত্ব $\lambda$। ইয়াক ৱায়াৰ বুলি ভাবি, $r$ দূৰত্বত $E$ আৰু $V$ লিখা।

উত্তৰঃ $E = \dfrac{\lambda}{2\pi\epsilon_0 r}$ আৰু $V(r) = -\dfrac{\lambda}{2\pi\epsilon_0}\ln r + C$। দুটা বিন্দুৰ মাজৰ বিভৱ পাৰ্থক্য —

$$V_a – V_b = \frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0}\ln\!\left(\frac{r_b}{r_a}\right)$$

প্ৰশ্ন ১৮। হাইড্ৰ’জেন পৰমাণুত প্ৰোটন আৰু ইলেকট্ৰনৰ মাজৰ দূৰত্ব $0.53\,\text{Å}$। (ক) স্থিতিশক্তি; (খ) মুক্ত কৰিবলৈ লগা শক্তি; (গ) যদি বিভৱ-শক্তিৰ শূন্য $1.06\,\text{Å}$-ত ধৰা হয় — তেতিয়া স্থিতিশক্তি কিমান?

উত্তৰঃ $U = \dfrac{kq_1 q_2}{r}$।

(ক) $U = \dfrac{(9\times 10^9)(1.6\times 10^{-19})(-1.6\times 10^{-19})}{0.53\times 10^{-10}} \approx -4.35\times 10^{-18}\,\text{J} \approx -27.2\,\text{eV}$।

(খ) মুক্ত কৰিবলৈ $+27.2\,\text{eV}$ লাগে।

(গ) $U’ = U + \dfrac{kq_1 q_2}{1.06\times 10^{-10}} = -27.2 + 13.6 = -13.6\,\text{eV}$।

প্ৰশ্ন ১৯। হাইড্ৰ’জেন অণু-আয়ন $\text{H}_2^+$-ত দুটা প্ৰোটনৰ মাজৰ দূৰত্ব $1.5\,\text{Å}$ আৰু ইলেকট্ৰনৰ পৰা প্ৰতিটোলৈ $1\,\text{Å}$। ব্যৱস্থাৰ স্থিতিশক্তি বিচাৰা।

উত্তৰঃ তিনিটা যোৰৰ যোগেদি $U = k\!\left[\dfrac{(+e)(+e)}{1.5\,\text{Å}}+\dfrac{(+e)(-e)}{1\,\text{Å}}+\dfrac{(+e)(-e)}{1\,\text{Å}}\right]$

$= ke^2[\,1/1.5 – 2\,]/(10^{-10}) = -19.2\,\text{eV}$ (প্ৰায়)।

প্ৰশ্ন ২০। দুটা গোলকীয় পৰিবাহী, ব্যাসাৰ্ধ $a$ আৰু $b$, বহু দূৰৈত আছে আৰু পাতল তাঁৰেৰে সংযোজিত। দুটাৰ পৃষ্ঠত $E$-ৰ অনুপাত কিমান?

উত্তৰঃ সংযোগৰ পিছত $V_a = V_b$ ⇒ $\dfrac{kq_a}{a}=\dfrac{kq_b}{b}$, লগতে $E = kq/r^2$ ⇒ $\dfrac{E_a}{E_b}=\dfrac{q_a/a^2}{q_b/b^2}=\dfrac{b}{a}$। সৰু গোলকৰ পৃষ্ঠত ক্ষেত্ৰ অধিক — সেয়ে আঁকোৰগোঁজ পৃষ্ঠত আধান কেন্দ্ৰীভূত হোৱাৰ কাৰণ।

প্ৰশ্ন ২১। দ্বি-মেৰু $\vec{p}$, মূলবিন্দুত $z$-অক্ষৰ লগত সমান্তৰাল হৈ আছে। (ক) $z = +R$ আৰু $z = -R$ বিন্দুত বিভৱ অনুপাত; (খ) $z = +R$ আৰু $x = +R$-ৰ বিভৱ অনুপাত।

উত্তৰঃ অক্ষীয় বিন্দুত $V = kp/r^2$, সংকেত $\cos\theta$-ৰ ওপৰত নিৰ্ভৰশীল।

(ক) $V(z=+R)/V(z=-R) = +1/(-1) = -1$।

(খ) $V(z=+R)$ অক্ষীয় (≠0); $V(x=+R)$ বিষুৱীয় ($=0$)। অনুপাত অসজ্ঞাত (অসীম)।

প্ৰশ্ন ২২। দ্বি-মেৰু-ৰ পৰা $r$ দূৰত্বত $E$ ক্ষীয় হোৱা হাৰ — $1/r^3$। কেন্দ্ৰৰ ($r\to 0$) পৰা বহু দূৰত $E$ আৰু $V$ ক্ষয় হাৰ লিখা।

উত্তৰঃ দ্বি-মেৰুৰ বাবে $V \propto 1/r^2$ আৰু $E \propto 1/r^3$। বিন্দু-আধানৰ বাবে $V \propto 1/r$ আৰু $E \propto 1/r^2$।

প্ৰশ্ন ২৩। তিনিটা ১০ pF ধাৰক উপলব্ধ। ৩০ pF আৰু ৩.৩ pF ধাৰকত্ব কেনেকৈ পাব?

উত্তৰঃ তিনিটা সমান্তৰাল কৰিলে $C = 30\,\text{pF}$। তিনিটা শ্ৰেণী কৰিলে $\dfrac{1}{C}=\dfrac{3}{10}\Rightarrow C\approx 3.33\,\text{pF}$।

প্ৰশ্ন ২৪। ১ pF, ২ pF আৰু ৩ pF ধাৰকক ১ V সৰবৰাহ বেটাৰীৰ লগত সংযোগ কৰি (i) সকলো শ্ৰেণী, (ii) সকলো সমান্তৰাল কৰিলে — ক্ষেত্ৰৰ মুঠ আধান কিমান?

উত্তৰঃ (i) শ্ৰেণী: $\dfrac{1}{C}=\dfrac{1}{1}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{11}{6}\Rightarrow C = 6/11\,\text{pF}$; $Q = CV = 6/11\,\text{pC} \approx 0.545\,\text{pC}$।

(ii) সমান্তৰাল: $C = 6\,\text{pF}$; $Q = 6\,\text{pC}$।

প্ৰশ্ন ২৫। তেলেৰে ভৰ্তি ৪০ pF সমান্তৰাল-পাত ধাৰক, পাতৰ ব্যৱধান ১ মি.মি.। তেল আঁতৰাই ব্যৱধান একে ৰাখিলে ধাৰকত্ব কিমান হ’ব ($K_{\text{তেল}}=4$)?

উত্তৰঃ $C_0 = C/K = 40/4 = 10\,\text{pF}$।

প্ৰশ্ন ২৬। ৰৈখিকভাৱে চলিত আধানৰ ক্ষেত্ৰত — দ্বি-মেৰু $\vec{p}$-ৰ ক্ষেত্ৰত পৰীক্ষা-আধান $q$-ৰ ওপৰত সঞ্চাৰিত বল $F = qE$, কাৰ্য $W = -\Delta U$। স্থিৰ-বৈদ্যুতিক বল ৰক্ষণাত্মক (conservative) — ব্যাখ্যা কৰা।

উত্তৰঃ বদ্ধ লুপত $\oint \vec{E}\cdot d\vec{l} = 0$ — অৰ্থাৎ যিকোনো বদ্ধ পথত মুঠ কাৰ্য শূন্য। সেয়ে স্থিৰ-বৈদ্যুতিক বল ৰক্ষণাত্মক আৰু আমি স্কেলাৰ বিভৱ $V$ সংজ্ঞা দিব পাৰোঁ।

প্ৰশ্ন ২৭। ভ্যান-ডে-গ্ৰাফ জেনেৰেটৰৰ বাহিৰৰ ফাঁপা গোলকৰ ব্যাসাৰ্ধ ১ মিটাৰ আৰু সৰ্বোচ্চ ক্ষেত্ৰ-শক্তি $3\times 10^6\,\text{V/m}$। সৰ্বোচ্চ বিভৱ কিমান হ’ব?

উত্তৰঃ $V_{\max} = E_{\max}\cdot R = 3\times 10^6 \times 1 = 3\times 10^6\,\text{V} = 3\,\text{MV}$।

প্ৰশ্ন ২৮। দ্বি-মেৰু $\vec{p}$ অভিন্ন বাহ্যিক ক্ষেত্ৰ $\vec{E}$-ত আছে। ই অনুভৱ কৰা টৰ্ক আৰু স্থিতিশক্তি লিখা।

উত্তৰঃ $\vec{\tau} = \vec{p}\times\vec{E}$, $|\tau| = pE\sin\theta$। স্থিতিশক্তি $U = -\vec{p}\cdot\vec{E} = -pE\cos\theta$।

প্ৰশ্ন ২৯। গোলকীয় পৰিবাহীৰ ব্যাসাৰ্ধ $R$, আধান $Q$। (ক) ভিতৰত, (খ) পৃষ্ঠত, (গ) বাহিৰত বিভৱ লিখা।

উত্তৰঃ (ক) ভিতৰত: $V = kQ/R$ (ধ্ৰুৱক)। (খ) পৃষ্ঠত: $V = kQ/R$। (গ) বাহিৰত ($r > R$): $V = kQ/r$।

প্ৰশ্ন ৩০। সমান্তৰাল-পাত ধাৰকত উৎস বিচ্ছিন্ন ৰাখি পাত ব্যৱধান হ্ৰাস কৰিলে — (i) ধাৰকত্ব, (ii) আধান, (iii) বিভৱ পাৰ্থক্য, (iv) সঞ্চিত শক্তিৰ পৰিৱৰ্তন কেনেকৈ হয়?

উত্তৰঃ $C \propto 1/d$ — বৃদ্ধি; $Q$ একে; $V = Q/C$ — হ্ৰাস; $U = Q^2/(2C)$ — হ্ৰাস। (পাত আকৰ্ষণৰ কাম পাতে কৰা; বহিৰাগত শক্তি প্ৰয়োজন নাই।)

প্ৰশ্ন ৩১। উৎস সংযোজিত ৰাখি একেই কাম কৰিলে?

উত্তৰঃ $V$ একে; $C$ বৃদ্ধি; $Q = CV$ বৃদ্ধি; $U = \tfrac{1}{2}CV^2$ বৃদ্ধি (অতিৰিক্ত আধান বেটাৰীয়ে যোগায়)।

প্ৰশ্ন ৩২। ১০ μF আৰু ২০ μF ধাৰক সমান্তৰালত আছে আৰু ই $50\,\text{V}$ বেটাৰীৰ লগত সংযোজিত। মুঠ সঞ্চিত শক্তি কিমান?

উত্তৰঃ $C = 30\,\mu\text{F}$; $U = \tfrac{1}{2}\times 30\times 10^{-6}\times (50)^2 = 0.0375\,\text{J}$।

প্ৰশ্ন ৩৩। দেখুৱা যে শ্ৰেণী সংযোজনত $1/C = \sum 1/C_i$।

উত্তৰঃ শ্ৰেণীত প্ৰতিটো ধাৰকত একে আধান $Q$। বিভৱসমূহ যোগ — $V = V_1+V_2+\dots = Q/C_1+Q/C_2+\dots$। সমন্বিত $V = Q/C$ ⇒ $\dfrac{1}{C}=\dfrac{1}{C_1}+\dfrac{1}{C_2}+\dots$।

প্ৰশ্ন ৩৪। দেখুৱা যে সমান্তৰাল সংযোজনত $C = \sum C_i$।

উত্তৰঃ সমান্তৰালত প্ৰতিটোত একে $V$। আধানসমূহ যোগ — $Q = Q_1+Q_2+\dots = (C_1+C_2+\dots)V$ ⇒ $C = \sum C_i$।

প্ৰশ্ন ৩৫। ধাৰকৰ মাজত $K_1$ আৰু $K_2$-ৰ পৰাবৈদ্যুতিক স্তৰ আছে (পাতৰ ক্ষেত্ৰফল $A$, পুৰুত্ব $d_1$ আৰু $d_2$)। সমন্বিত ধাৰকত্ব কিমান?

উত্তৰঃ দুটা স্তৰ শ্ৰেণী ধৰি —

$$C = \frac{\epsilon_0 A}{(d_1/K_1) + (d_2/K_2)}$$

প্ৰশ্ন ৩৬। সমান্তৰাল-পাতে অংশতে $K$ পৰাবৈদ্যুতিক ভৰ্তি (ক্ষেত্ৰফল $A_1$) আৰু বাকী $A_2$ বায়ু। সমন্বিত $C$?

উত্তৰঃ দুটা সমান্তৰাল ধৰি —

$$C = \frac{\epsilon_0(KA_1 + A_2)}{d}$$

প্ৰশ্ন ৩৭। ধাৰকত সঞ্চিত শক্তিৰ পৰিৱৰ্তে শক্তি-ঘনত্ব $u = \tfrac{1}{2}\epsilon_0 E^2$ — প্ৰতিপাদন কৰা।

উত্তৰঃ সমান্তৰাল-পাত ধাৰকত $U = \tfrac{1}{2}CV^2 = \tfrac{1}{2}\!\left(\dfrac{\epsilon_0 A}{d}\right)(Ed)^2 = \tfrac{1}{2}\epsilon_0 E^2 (Ad)$। আয়তন $Ad$ হোৱাত —

$$u = \frac{U}{Ad} = \tfrac{1}{2}\epsilon_0 E^2$$

অতিৰিক্ত প্ৰশ্নোত্তৰ (Additional Q&A)

১। বৈদ্যুতিক বিভৱৰ সংজ্ঞা দিয়া।

উত্তৰঃ অসীমৰ পৰা একক ধনাত্মক পৰীক্ষা-আধানক বৈদ্যুতিক ক্ষেত্ৰৰ কোনো বিন্দুলৈ অনাত কৃত কাৰ্যকে সেই বিন্দুৰ বৈদ্যুতিক বিভৱ ($V$) বোলে। ই স্কেলাৰ, একক ভোল্ট।

২। বিভৱ পাৰ্থক্য কাক বোলে?

উত্তৰঃ দুটা বিন্দুৰ মাজত একক ধনাত্মক আধান লৈ যাবলৈ লগা কাৰ্যকে বিভৱ পাৰ্থক্য বোলে। সূত্ৰ $V_A – V_B = W_{BA}/q$।

৩। সমবিভৱ পৃষ্ঠত কাৰ্য কিয় শূন্য?

উত্তৰঃ সমবিভৱ পৃষ্ঠৰ প্ৰতিটো বিন্দুৰ বিভৱ একে; সেয়ে $\Delta V = 0$, ফলত $W = q\,\Delta V = 0$। লগতে $\vec{E}$ সদায় সমবিভৱ পৃষ্ঠৰ লম্ব হোৱাত আধানৰ গতি পৃষ্ঠৰ ওপৰত হ’লে $\vec{E}\cdot d\vec{l} = 0$।

৪। বৈদ্যুতিক দ্বি-মেৰুৰ অক্ষীয় (axial) আৰু বিষুৱীয় (equatorial) বিভৱ লিখা।

উত্তৰঃ অক্ষীয় বিন্দুত $V = \dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\dfrac{p}{r^2}$; বিষুৱীয় বিন্দুত $V = 0$। যিকোনো দিশত (কোণ $\theta$) $V = \dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\dfrac{p\cos\theta}{r^2}$।

৫। স্থিৰ-বৈদ্যুতিক সাম্যাৱস্থাত পৰিবাহীৰ মূল ধৰ্ম তিনিটা লিখা।

উত্তৰঃ (ক) পৰিবাহীৰ ভিতৰৰ যিকোনো বিন্দুত $\vec{E} = 0$। (খ) পৃষ্ঠৰ বাহিৰত $\vec{E}$ পৃষ্ঠৰ লম্বভাৱে থাকে আৰু পৃষ্ঠৰ ওপৰত মান $E = \sigma/\epsilon_0$। (গ) সমগ্ৰ পৰিবাহী এক সমবিভৱ আয়তন; সকলো অতিৰিক্ত আধান বাহ্যিক পৃষ্ঠতহে থাকে।

৬। পৰাবৈদ্যুতিক ধ্ৰুৱক $K$ কাক বোলে?

উত্তৰঃ পৰাবৈদ্যুতিকেৰে ভৰ্তি কৰিলে ধাৰকৰ ধাৰকত্বৰ বৃদ্ধিৰ অনুপাতকে পৰাবৈদ্যুতিক ধ্ৰুৱক বোলে: $K = C/C_0 = \epsilon/\epsilon_0$। ই মাত্ৰাহীন ৰাশি; বায়ু বা শূন্যৰ বাবে $K\approx 1$।

৭। মেৰুৱন (Polarisation) বুলিলে কি বুজা?

উত্তৰঃ পৰাবৈদ্যুতিকত বাহ্যিক ক্ষেত্ৰ প্ৰয়োগ কৰিলে অণু-পৰমাণুৰ ভিতৰত আধানৰ অপসৰণ ঘটি প্ৰতি একক আয়তনত প্ৰদৃপ্ত বৈদ্যুতিক ভ্ৰামক $\vec{P}$ সৃষ্টি হয়; এই ঘটনাকেই মেৰুৱন বোলে। মাধ্যমিক বৈদ্যুতিক ক্ষেত্ৰ হ্ৰাস পায়।

৮। ধাৰকত্ব $C$-ৰ সংজ্ঞা আৰু একক লিখা।

উত্তৰঃ ধাৰকৰ পৰিবাহীত সঞ্চিত আধান আৰু সিহঁতৰ মাজৰ বিভৱ পাৰ্থক্যৰ অনুপাতেই ধাৰকত্ব: $C = Q/V$। SI একক ফেৰাড ($\text{F} = \text{C/V}$)।

৯। সমান্তৰাল-পাত ধাৰকৰ ধাৰকত্বৰ সূত্ৰ ব্যৱহৃত পদ্ধতিৰে প্ৰতিপাদন কৰা।

উত্তৰঃ ক্ষেত্ৰফল $A$, ব্যৱধান $d$, পৃষ্ঠ-আধান-ঘনত্ব $\sigma = Q/A$। দুই পাতৰ মাজৰ একৰূপ ক্ষেত্ৰ $E = \sigma/\epsilon_0 = Q/(\epsilon_0 A)$। বিভৱ পাৰ্থক্য $V = Ed = Qd/(\epsilon_0 A)$।

$$C=\frac{Q}{V}=\frac{\epsilon_0 A}{d}$$

১০। শ্ৰেণী আৰু সমান্তৰাল সংযোজনৰ সমীকৰণ লিখা।

উত্তৰঃ শ্ৰেণীত আধান একে, বিভৱ ভাগ হয়: $\frac{1}{C}=\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}+\dots$। সমান্তৰালত বিভৱ একে, আধান ভাগ হয়: $C = C_1 + C_2 + \dots$।

১১। ধাৰকত সঞ্চিত শক্তিৰ সূত্ৰ প্ৰতিপাদন কৰা।

উত্তৰঃ $q$ আধান থকা ধাৰকত আৰু $dq$ আধান যোগ কৰিবলৈ লগা কাৰ্য $dW = (q/C)\,dq$। $0$-ৰ পৰা $Q$-লৈ যোগেদি —

$$W = \int_0^Q \frac{q}{C}\,dq = \frac{Q^2}{2C} = \tfrac{1}{2}CV^2 = \tfrac{1}{2}QV$$

১২। শক্তি-ঘনত্বৰ সূত্ৰ লিখা।

উত্তৰঃ বৈদ্যুতিক ক্ষেত্ৰৰ প্ৰতি একক আয়তনৰ সঞ্চিত শক্তি $u = \tfrac{1}{2}\epsilon_0 E^2$। ই দেখুৱায় যে শক্তি ক্ষেত্ৰৰ যিকোনো ঠাইত সঞ্চিত হৈ থাকে।

১৩। ভ্যান-ডে-গ্ৰাফ জেনেৰেটৰ কেনেকৈ কাম কৰে?

উত্তৰঃ এক চলিত ৰাবৰ পেটিয়ে নিম্নবিভৱত আধান গ্ৰহণ কৰি ভিতৰৰ ফালে আধান বহন কৰি ধাতুৰ ফাঁপা গোলকলৈ স্থানান্তৰ কৰে। ফাঁপা পৰিবাহীৰ ভিতৰত $E=0$ হোৱা বাবে আধান গোলকৰ পৃষ্ঠলৈ গৈ আতৰি যায়; এনেদৰে গোলকৰ বিভৱ লক্ষ-লক্ষ ভোল্টলৈ বৃদ্ধি পায়।

১৪। আধান-জোঁটৰ স্থিতিশক্তি লিখা।

উত্তৰঃ $n$টা আধানৰ ব্যৱস্থাৰ মুঠ স্থিতিশক্তি —

$$U = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\sum_{i

১৫। বহিৰাগত ক্ষেত্ৰত দ্বি-মেৰুৰ স্থিতিশক্তি লিখা।

উত্তৰঃ $U = -\vec{p}\cdot\vec{E} = -pE\cos\theta$। স্থিৰ অৱস্থা $\theta=0$-ত (নিম্ন শক্তি) আৰু অস্থিৰ $\theta=\pi$-ত।

মূল প্ৰতিপাদন আৰু তত্ত্বীয় আলোচনা

(ক) বিন্দু-আধানৰ বাবে বিভৱৰ প্ৰতিপাদন

একটা বিন্দু-আধান $+q$ মূলবিন্দুত আছে। অসীমৰ পৰা $r$ দূৰত্বলৈ একক ধনাত্মক পৰীক্ষা-আধান অনাত কৰিব লগা কাৰ্য বিচৰাটোৱেই উদ্দেশ্য। ক্ষেত্ৰৰ মান $\vec{E} = \dfrac{kq}{x^2}\hat{x}$, য’ত $x$ মূলৰ পৰা পৰিৱৰ্তনশীল দূৰত্ব।

$$V(r) = -\int_{\infty}^{r} \vec{E}\cdot d\vec{x} = -\int_{\infty}^{r}\frac{kq}{x^2}dx = \frac{kq}{r}$$

সেয়ে $V = \dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\dfrac{q}{r}$। ই স্কেলাৰ; ধনাত্মক আধানৰ বাবে ধনাত্মক, ঋণাত্মকৰ বাবে ঋণাত্মক।

(খ) দ্বি-মেৰুৰ অক্ষীয় আৰু বিষুৱীয় বিভৱ

দ্বি-মেৰু — $-q$ আধান $-a$-ত, $+q$ আধান $+a$-ত। দ্বি-মেৰু ভ্ৰামক $\vec{p} = q\cdot 2a\,\hat{p}$, মান $p = 2aq$।

অক্ষীয় বিন্দুত (অক্ষৰ ওপৰত $r$ দূৰত্বত):

$$V_{\text{axial}} = \frac{kq}{r-a} – \frac{kq}{r+a} = \frac{2kqa}{r^2-a^2}\approx\frac{kp}{r^2}\quad(r\gg a)$$

বিষুৱীয় বিন্দুত (লম্বদিশৰ $r$ দূৰত্বত): দুয়োটা আধানৰ পৰা সমদূৰত্ব ($\sqrt{r^2+a^2}$); সংকেত বিপৰীত — সেয়ে $V_{\text{equatorial}}=0$।

সাধাৰণ দিশত (কোণ $\theta$):

$$V(r,\theta) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{p\cos\theta}{r^2}$$

(গ) সমান্তৰাল-পাত ধাৰকৰ ধাৰকত্বৰ প্ৰতিপাদন

দুটা সমান্তৰাল পাত, ক্ষেত্ৰফল $A$, ব্যৱধান $d$, আধান $\pm Q$। প্ৰতি পাতৰ পৃষ্ঠ-ঘনত্ব $\sigma = Q/A$। দুই পাতৰ মাজত একৰূপ ক্ষেত্ৰ —

$$E = \frac{\sigma}{\epsilon_0} = \frac{Q}{\epsilon_0 A}$$

বিভৱ পাৰ্থক্য $V = E\cdot d = \dfrac{Qd}{\epsilon_0 A}$। সেয়ে —

$$C = \frac{Q}{V} = \frac{\epsilon_0 A}{d}$$

পৰাবৈদ্যুতিক ($K$) সম্পূৰ্ণভাৱে ভৰ্তি কৰিলে $C = K\epsilon_0 A/d$। এই বৃদ্ধিৰ কাৰণ — পৰাবৈদ্যুতিকৰ মেৰুৱনে কাৰ্যকৰী ক্ষেত্ৰ $K$-গুণ হ্ৰাস কৰে।

(ঘ) ধাৰকত সঞ্চিত শক্তিৰ প্ৰতিপাদন

আধান-প্ৰক্ৰিয়াত যিকোনো মুহূৰ্তত ধাৰকৰ আধান $q$ আৰু বিভৱ $q/C$। অলপ আধান $dq$ আনিবলৈ লগা কাৰ্য —

$$dW = V\,dq = \frac{q}{C}dq$$

মুঠ কাৰ্য (= সঞ্চিত শক্তি) —

$$U = \int_0^Q\frac{q}{C}dq = \frac{Q^2}{2C} = \tfrac{1}{2}CV^2 = \tfrac{1}{2}QV$$

(ঙ) দ্বি-মেৰুৰ স্থিতিশক্তি বহিৰাগত ক্ষেত্ৰত

অভিন্ন ক্ষেত্ৰ $\vec{E}$-ত দ্বি-মেৰু $\vec{p}$-এ অনুভৱ কৰা টৰ্ক $\vec{\tau} = \vec{p}\times\vec{E}$। $\theta_0$-ৰ পৰা $\theta$ কোণলৈ ঘূৰাবলৈ লগা কাৰ্য —

$$W = \int_{\theta_0}^{\theta} pE\sin\theta’\,d\theta’ = pE(\cos\theta_0 – \cos\theta)$$

$\theta_0 = \pi/2$ ধৰিলে $U(\theta) = -pE\cos\theta = -\vec{p}\cdot\vec{E}$।

সংখ্যাত্মক উদাহৰণ (Numerical Examples)

উদাহৰণ ১। $4\,\mu\text{C}$ আধানৰ পৰা $30\,\text{cm}$ দূৰত্বত বিভৱ বিচাৰা।

উত্তৰঃ $V = kq/r = (9\times 10^9)(4\times 10^{-6})/0.30 = 1.2\times 10^{5}\,\text{V}$।

উদাহৰণ ২। $2\,\mu\text{F}$ ধাৰকত $50\,\text{V}$ লগালে আধান কিমান?

উত্তৰঃ $Q = CV = 2\times 10^{-6}\times 50 = 1.0\times 10^{-4}\,\text{C}$।

উদাহৰণ ৩। $4\,\mu\text{F}$ আৰু $6\,\mu\text{F}$ শ্ৰেণীত যোগ কৰিলে সমন্বিত ধাৰকত্ব কিমান?

উত্তৰঃ $\dfrac{1}{C} = \dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{6}=\dfrac{5}{12}\Rightarrow C = 2.4\,\mu\text{F}$।

উদাহৰণ ৪। $5\,\mu\text{F}$ ধাৰকত $200\,\text{V}$ লগালে শক্তি কিমান?

উত্তৰঃ $U = \tfrac{1}{2}CV^2 = \tfrac{1}{2}\times 5\times 10^{-6}\times (200)^2 = 0.1\,\text{J}$।

উদাহৰণ ৫। ১০ μF আৰু ২০ μF ধাৰক $300\,\text{V}$ ত স্বতন্ত্ৰভাৱে চাৰ্জ কৰি বিপৰীত মেৰু সংযোজিত কৰিলে — অন্তিম বিভৱ আৰু শক্তি ক্ষয় বিচাৰা।

উত্তৰঃ আদিৰ আধান $Q_1 = 10\times 10^{-6}\times 300 = 3\,\text{mC}$, $Q_2 = 6\,\text{mC}$। বিপৰীত মেৰুত শুদ্ধ আধান $|Q_2 – Q_1| = 3\,\text{mC}$। সমন্বিত $C = 30\,\mu\text{F}$।

$V_f = 3\times 10^{-3}/30\times 10^{-6} = 100\,\text{V}$।

আদি শক্তি $U_i = \tfrac{1}{2}(10\times 10^{-6}+20\times 10^{-6})(300)^2 = 1.35\,\text{J}$। অন্তিম $U_f = \tfrac{1}{2}(30\times 10^{-6})(100)^2 = 0.15\,\text{J}$। ক্ষয় = $1.20\,\text{J}$ (তাপ আকাৰে)।

উদাহৰণ ৬। দ্বি-মেৰু $p = 4\times 10^{-9}\,\text{C\,m}$, ক্ষেত্ৰ $E = 5\times 10^{4}\,\text{N/C}$ ৰ $90^\circ$ কোণত আছে। ই অনুভৱ কৰা টৰ্ক বিচাৰা।

উত্তৰঃ $\tau = pE\sin 90^\circ = 4\times 10^{-9}\times 5\times 10^{4}\times 1 = 2\times 10^{-4}\,\text{N\,m}$।

উদাহৰণ ৭। ১০ চে.মি. বাহুৰ ত্ৰিভুজৰ তিনি শীৰ্ষত $+1\,\mu\text{C}$ আধান। কেন্দ্ৰৰ বিভৱ?

উত্তৰঃ সমবাহু ত্ৰিভুজৰ কেন্দ্ৰৰ পৰা প্ৰতিটো শীৰ্ষলৈ দূৰত্ব $r = a/\sqrt{3} = 0.10/\sqrt{3}\approx 0.0577\,\text{m}$।

$V = 3kq/r = 3\times 9\times 10^9\times 10^{-6}/0.0577 \approx 4.68\times 10^{5}\,\text{V}$।

উদাহৰণ ৮। ২ μF ধাৰক চাৰ্জ অৱস্থাত $50\,\text{V}$। আনহাতে আনটো ৩ μF অচাৰ্জিত। দুটাকে সমান্তৰালত সংযোজিত কৰিলে নতুন বিভৱ আৰু শক্তি ক্ষয় বিচাৰা।

উত্তৰঃ আদি $Q = 2\times 50 = 100\,\mu\text{C}$। সমন্বিত $C = 5\,\mu\text{F}$ ⇒ $V_f = 100/5 = 20\,\text{V}$।

$U_i = \tfrac{1}{2}(2)(50)^2 = 2500\,\mu\text{J}$; $U_f = \tfrac{1}{2}(5)(20)^2 = 1000\,\mu\text{J}$; ক্ষয় = $1500\,\mu\text{J} = 1.5\,\text{mJ}$।

MCQ (বহু বিকল্পযুক্ত প্ৰশ্ন)

১। ফেৰাড একক হ’ল — (ক) C/V (খ) V/C (গ) C·V (ঘ) J/C। উত্তৰঃ (ক) C/V।

২। সমবিভৱ পৃষ্ঠত একক আধান নিৰ্ভৱ গতি কৰিলে কৃত কাৰ্য — (ক) ধনাত্মক (খ) ঋণাত্মক (গ) শূন্য (ঘ) অসীম। উত্তৰঃ (গ) শূন্য।

৩। সমান্তৰাল-পাত ধাৰকৰ ধাৰকত্ব $C = \epsilon_0 A/d$, পৰাবৈদ্যুতিক $K$ ভৰিলে — (ক) $C/K$ (খ) $KC$ (গ) $C+K$ (ঘ) অপৰিৱৰ্তিত। উত্তৰঃ (খ) $KC$।

৪। ধাৰকত সঞ্চিত শক্তি — (ক) $CV^2$ (খ) $\tfrac{1}{2}CV^2$ (গ) $QV$ (ঘ) $Q^2/C$। উত্তৰঃ (খ) $\tfrac{1}{2}CV^2$।

৫। দুটা ধাৰক $C_1$ আৰু $C_2$ শ্ৰেণীত — সমন্বিত $C$ — (ক) $C_1+C_2$ (খ) $C_1 C_2/(C_1+C_2)$ (গ) $|C_1-C_2|$ (ঘ) $\sqrt{C_1 C_2}$। উত্তৰঃ (খ)।

৬। বিন্দু-আধানৰ পৰা $r$ দূৰত্বত $V \propto$ — (ক) $r$ (খ) $r^2$ (গ) $1/r$ (ঘ) $1/r^2$। উত্তৰঃ (গ) $1/r$।

৭। দ্বি-মেৰুৰ বিষুৱীয় বিন্দুত বিভৱ — (ক) ধনাত্মক (খ) ঋণাত্মক (গ) শূন্য (ঘ) ধ্ৰুৱক। উত্তৰঃ (গ) শূন্য।

৮। পৰিবাহীৰ ভিতৰত $E$ — (ক) সমান (খ) সৰ্বোচ্চ (গ) শূন্য (ঘ) অসীম। উত্তৰঃ (গ) শূন্য।

৯। বৈদ্যুতিক ক্ষেত্ৰৰ শক্তি-ঘনত্ব — (ক) $\epsilon_0 E$ (খ) $\tfrac{1}{2}\epsilon_0 E^2$ (গ) $\epsilon_0 E^2$ (ঘ) $\tfrac{1}{2}\epsilon_0 E$। উত্তৰঃ (খ)।

১০। ভোল্ট = (ক) J/A (খ) J/C (গ) C/J (ঘ) C·s। উত্তৰঃ (খ) J/C।

১১। গোলকীয় পৰিবাহী (ব্যাসাৰ্ধ $R$)-ৰ ধাৰকত্ব — (ক) $\epsilon_0 R$ (খ) $4\pi\epsilon_0 R$ (গ) $R/\epsilon_0$ (ঘ) $4\pi R^2 \epsilon_0$। উত্তৰঃ (খ) $4\pi\epsilon_0 R$।

১২। বিভৱ আৰু ক্ষেত্ৰৰ মাজৰ সম্পৰ্ক — (ক) $E = +dV/dr$ (খ) $E = -dV/dr$ (গ) $E = V/r$ (ঘ) $E = Vr$। উত্তৰঃ (খ)।

খালী ঠাই পূৰোৱা (Fill in the Blanks)

১। বৈদ্যুতিক বিভৱ এক ____ ৰাশি। উত্তৰঃ স্কেলাৰ।

২। ফেৰাডৰ মাত্ৰাসূত্ৰ ____। উত্তৰঃ $[M^{-1}L^{-2}T^4 A^2]$।

৩। ক্ষেত্ৰৰ শক্তি-ঘনত্ব ____। উত্তৰঃ $\tfrac{1}{2}\epsilon_0 E^2$।

৪। দুটা ধাৰক সমান্তৰালত — সমন্বিত ধাৰকত্ব ____। উত্তৰঃ $C_1+C_2$।

৫। সমবিভৱ পৃষ্ঠ আৰু ক্ষেত্ৰ ৰেখা পৰস্পৰ ____। উত্তৰঃ লম্ব।

৬। পৰিবাহীৰ ভিতৰত আধান ____ স্থানত থাকে। উত্তৰঃ বাহ্যিক পৃষ্ঠ।

৭। বিন্দু-আধানৰ পৰা বহু দূৰত $V \propto$ ____। উত্তৰঃ $1/r$।

৮। পৰাবৈদ্যুতিক ধ্ৰুৱক $K$ ____ ৰাশি। উত্তৰঃ মাত্ৰাহীন।

সঁচা/মিছা (True/False)

১। বৈদ্যুতিক বিভৱ ভেক্টৰ। উত্তৰঃ মিছা।

২। স্থিৰ-বৈদ্যুতিক বল ৰক্ষণাত্মক। উত্তৰঃ সঁচা।

৩। সমবিভৱ পৃষ্ঠত আধান নিৰ্ভৱ গতিত শক্তি লাগে। উত্তৰঃ মিছা।

৪। পৰাবৈদ্যুতিক ভৰ্তি কৰিলে ধাৰকত্ব হ্ৰাস পায়। উত্তৰঃ মিছা।

৫। বিন্দু-আধানৰ বিভৱ দূৰত্বৰ ব্যস্তানুপাতিক। উত্তৰঃ সঁচা।

৬। ফাঁপা পৰিবাহীৰ ভিতৰত বিভৱ পৃষ্ঠতকৈ অধিক। উত্তৰঃ মিছা (একে)।

৭। শ্ৰেণী সংযোজনত প্ৰতিটো ধাৰকত আধান একে। উত্তৰঃ সঁচা।

৮। সমান্তৰাল সংযোজনত প্ৰতিটো ধাৰকত বিভৱ একে। উত্তৰঃ সঁচা।

শব্দাৰ্থ (Glossary)

English	অসমীয়া
Electric Potential	বৈদ্যুতিক বিভৱ
Potential Difference	বিভৱ পাৰ্থক্য
Equipotential Surface	সমবিভৱ পৃষ্ঠ
Electric Dipole	বৈদ্যুতিক দ্বি-মেৰু
Dipole Moment	দ্বি-মেৰু ভ্ৰামক
Conductor	পৰিবাহী
Insulator	অপৰিবাহী
Dielectric	পৰাবৈদ্যুতিক
Polarisation	মেৰুৱন
Dielectric Constant	পৰাবৈদ্যুতিক ধ্ৰুৱক
Capacitor	ধাৰক
Capacitance	ধাৰকত্ব
Parallel-plate Capacitor	সমান্তৰাল-পাত ধাৰক
Series Combination	শ্ৰেণী সংযোজন
Parallel Combination	সমান্তৰাল সংযোজন
Energy Density	শক্তি-ঘনত্ব
Farad	ফেৰাড
Volt	ভোল্ট
Surface Charge Density	পৃষ্ঠ-আধান-ঘনত্ব
Electrostatic Equilibrium	স্থিৰ-বৈদ্যুতিক সাম্যাৱস্থা
Van de Graaff Generator	ভ্যান-ডে-গ্ৰাফ জেনেৰেটৰ

পৰাবৈদ্যুতিক, মেৰুৱন আৰু পদাৰ্থৰ আচৰণ

পৰাবৈদ্যুতিক বুলিলে এনে পদাৰ্থ বুজা যায় য’ত মুক্ত আধান নাথাকে কিন্তু বাহ্যিক ক্ষেত্ৰৰ অধীনত মেৰুৱন হয়। দুই প্ৰকাৰৰ পৰাবৈদ্যুতিক — (ক) ক্ষীণ-অংশ-মেৰুৱন (non-polar) য’ত অণুৰ স্থায়ী দ্বি-মেৰু ভ্ৰামক নাথাকে (যেনে $\text{H}_2$, $\text{N}_2$); ক্ষেত্ৰে আধান-কেন্দ্ৰ অপসৰণ ঘটায়। (খ) মেৰু (polar) পৰাবৈদ্যুতিক য’ত স্থায়ী ভ্ৰামক আছে (যেনে $\text{H}_2\text{O}$, $\text{HCl}$); ক্ষেত্ৰৰ অভাৱত অণুসমূহ ইচ্ছাহীনভাৱে দিশযুক্ত হৈ থাকে আৰু ক্ষেত্ৰ লগালে দিশযুক্ত হয়।

মেৰুৱন বেক্টৰ $\vec{P}$ — প্ৰতি একক আয়তনত প্ৰদৃপ্ত দ্বি-মেৰু ভ্ৰামকৰ যোগফল। ৰৈখিক, সমজাতীয়, আইসোট্ৰপিক পদাৰ্থত $\vec{P} = \chi_e \epsilon_0 \vec{E}$, য’ত $\chi_e$ পৰাবৈদ্যুতিক সংবেদনশীলতা। সম্পৰ্ক $K = 1+\chi_e$।

পৰাবৈদ্যুতিকৰ পৃষ্ঠত মেৰুৱনে এনে ক্ষীণ আধান-ঘনত্ব $\sigma_p = \vec{P}\cdot\hat{n}$ সৃষ্টি কৰে। এই বাঁধা আধানে কাৰ্যকৰী ক্ষেত্ৰ হ্ৰাস কৰে — সেয়ে পৰাবৈদ্যুতিক ভৰ্তি ধাৰকত আধান $K$-গুণ অধিক ৰাখিব পাৰি একে বিভৱত।

কেইটামান সাধাৰণ পৰাবৈদ্যুতিক ধ্ৰুৱক

পদাৰ্থ	$K$ (প্ৰায়)
শূন্যস্থান	$1$
বায়ু	$1.0006$
কাগজ	$3.5$
মাইকা	$6$
পৰচেলিন	$6$
কাঁচ	$5–10$
পানী	$80$
বেৰিয়াম টাইটেনেট	$\sim 1000$

ধাৰকৰ ব্যৱহাৰিক প্ৰয়োগ

(১) ৰেডিঅ’/টিভিৰ ফিল্টাৰ আৰু টিউনাৰ চাৰ্কিট, (২) কেমেৰাৰ ফ্লেশ্বে শক্তি দ্ৰুতগতিত মুকলি কৰিবলৈ, (৩) ডিফিব্ৰিলেটৰত হৃদ্যন্ত্ৰৰ পুনৰুজ্জীৱনত উচ্চ-শক্তিৰ পালছ দিবলৈ, (৪) কম্পিউটাৰৰ DRAM-ত তথ্য সঞ্চয় কৰিবলৈ, (৫) চলিত মটৰৰ ছ্টাৰ্টিং চাৰ্কিটত, (৬) পাৱাৰ ফেক্টৰ শুধৰণিত (পাৱাৰ ফেক্টৰ ক’ৰেকশ্বন)।

অতি গুৰুত্বপূৰ্ণ লক্ষণীয় বিন্দু

(ক) সমবিভৱ পৃষ্ঠ পৰস্পৰে কাটি যাব নোৱাৰে — কাটিলে এক বিন্দুত দুটা ভিন্ন বিভৱ আৰোপিত হ’ব যিটো অসম্ভৱ।

(খ) পৰিবাহী আৱেষ্টন (electrostatic shielding) — ফাঁপা পৰিবাহীৰ ভিতৰৰ আয়তন সম্পূৰ্ণৰূপে বাহ্যিক ক্ষেত্ৰৰ পৰা সুৰক্ষিত। সেয়ে স্পৰ্শকাতৰ যন্ত্ৰ ফাৰাডে কেজত ৰখা হয়।

(গ) আঁকোৰগোঁজ পৃষ্ঠত আধান-ঘনত্ব আৰু ক্ষেত্ৰ অধিক — সেয়ে বজ্ৰ-নিৰোধক চূচাযুক্ত হয়।

(ঘ) পৰাবৈদ্যুতিক বিচ্ছেদ-শক্তি (dielectric strength) — যিটো ক্ষেত্ৰত পদাৰ্থ ভাঙি যায়; বায়ুৰ বাবে $\sim 3\times 10^6\,\text{V/m}$।

(ঙ) ধাৰকৰ “C” নিৰ্ভৰশীল কেৱল জ্যামিতি (এৰিয়া, ব্যৱধান, আকৃতি) আৰু পদাৰ্থ ($K$)-ৰ ওপৰত — আধান বা বিভৱৰ মান অনুসৰি সলনি নহয়।

অভ্যাসৰ অতিৰিক্ত সাংখ্যিক প্ৰশ্ন

প্ৰশ্ন। $4\,\mu\text{F}$ আৰু $6\,\mu\text{F}$ ধাৰক সমান্তৰালত আছে আৰু এই সংযোজনাটোক $12\,\mu\text{F}$ ধাৰকৰ লগত শ্ৰেণীত যোজনা কৰা হ’ল। সমন্বিত ধাৰকত্ব কিমান?

উত্তৰঃ সমান্তৰাল = $10\,\mu\text{F}$। ১২ μF-ৰ সৈতে শ্ৰেণী —

$$\frac{1}{C}=\frac{1}{10}+\frac{1}{12}=\frac{11}{60}\Rightarrow C\approx 5.45\,\mu\text{F}$$

প্ৰশ্ন। ১০ চে.মি. ব্যাসাৰ্ধৰ ধাতু গোলকৰ ধাৰকত্ব আৰু ১০ V বিভৱত আধান কিমান?

উত্তৰঃ $C = 4\pi\epsilon_0 R = R/k = 0.10/(9\times 10^9) \approx 1.11\times 10^{-11}\,\text{F} = 11.1\,\text{pF}$। $Q = CV = 1.11\times 10^{-10}\,\text{C}$।

প্ৰশ্ন। দ্বি-মেৰু $p = 6\times 10^{-30}\,\text{C\,m}$, ক্ষেত্ৰ $E = 4\times 10^{5}\,\text{V/m}$ — অক্ষীয়ৰ পৰা $60^\circ$-ত। স্থিতিশক্তি বিচাৰা।

উত্তৰঃ $U = -pE\cos 60^\circ = -6\times 10^{-30}\times 4\times 10^{5}\times 0.5 = -1.2\times 10^{-24}\,\text{J}$।

প্ৰশ্ন। সমান্তৰাল-পাত ধাৰক $A=100\,\text{cm}^2$, $d = 1\,\text{mm}$, $K = 4$। ৰদ ছড়ৰ মাজত $200\,\text{V}$ — সঞ্চিত শক্তি বিচাৰা।

উত্তৰঃ

$$C = \frac{K\epsilon_0 A}{d} = \frac{4\times 8.85\times 10^{-12}\times 10^{-2}}{10^{-3}} = 3.54\times 10^{-10}\,\text{F}$$

$U = \tfrac{1}{2}CV^2 = \tfrac{1}{2}\times 3.54\times 10^{-10}\times (200)^2 \approx 7.08\times 10^{-6}\,\text{J}$।

উপসংহাৰ

এই অধ্যায়ত আমি বৈদ্যুতিক বিভৱ, বিভৱ পাৰ্থক্য, সমবিভৱ পৃষ্ঠ, পৰিবাহী আৰু পৰাবৈদ্যুতিকৰ আচৰণ আৰু ধাৰকৰ ক্ৰিয়াপদ্ধতি শিকিলোঁ। মুখ্য সম্পৰ্কসমূহ মনত ৰাখক — $V = kq/r$, $C = \epsilon_0 A/d$, $U = \tfrac{1}{2}CV^2$ আৰু $u = \tfrac{1}{2}\epsilon_0 E^2$। NCERT অনুশীলনীৰ ১১টা প্ৰশ্ন ভালদৰে অভ্যাস কৰিলে ASSEB চূড়ান্ত পৰীক্ষাৰ লগতে JEE/NEET-ৰ বাবেও দৃঢ় ভেটি গঢ় ল’ব। শুভকামনা!