HSLC Guru-লৈ স্বাগতম — ASSEB Class 12 Physics Chapter 1

প্ৰিয় ছাত্ৰ-ছাত্ৰীসকল, HSLC Guru-ৰ এই পৃষ্ঠালৈ আপোনাক স্বাগতম জনাইছোঁ। ইয়াত আপুনি ASSEB (Assam State School Education Board) দ্বাৰা অনুমোদিত দ্বাদশ শ্ৰেণীৰ পদাৰ্থ বিজ্ঞানৰ প্ৰথম অধ্যায় বৈদ্যুতিক আধান আৰু বিদ্যুৎক্ষেত্ৰ (Electric Charges and Fields)-ৰ সম্পূৰ্ণ প্ৰশ্নোত্তৰ, NCERT অনুশীলনীৰ সমাধান, সংখ্যাগত সমস্যা, MCQ আৰু পৰীক্ষাৰ বাবে প্ৰয়োজনীয় সকলো গুৰুত্বপূৰ্ণ ধাৰণা পাব। আমাৰ সকলো উপাদান অসমীয়া মাধ্যমৰ ছাত্ৰ-ছাত্ৰীৰ বাবে বিশেষভাৱে প্ৰস্তুত কৰা হৈছে।

---

সাৰাংশ (Summary)

বৈদ্যুতিক আধান (Electric Charge) হৈছে পদাৰ্থৰ এক মৌলিক ধৰ্ম যাৰ ফলত পদাৰ্থই বৈদ্যুতিক আৰু চুম্বকীয় প্ৰভাৱ অনুভৱ কৰে। আধান দুই প্ৰকাৰৰ — ধনাত্মক (positive) আৰু ঋণাত্মক (negative)। সমজাতীয় আধানৰ মাজত বিকৰ্ষণ আৰু বিজাতীয় আধানৰ মাজত আকৰ্ষণ ক্ৰিয়া কৰে। আধানৰ তিনিটা মৌলিক ধৰ্ম হ’ল — সংৰক্ষণশীলতা (conservation), যোজ্যতা (additivity) আৰু কোৱাণ্টমীকৰণ (quantisation)। আধান সদায় ইলেকট্ৰনৰ আধান $e = 1.6 \times 10^{-19}$ কুলম্বৰ পূৰ্ণ গুণিতক ৰূপত পোৱা যায়।

দুটা বিন্দু আধানৰ মাজৰ বল কুলম্বৰ সূত্ৰৰ দ্বাৰা নিৰূপিত হয় — বল আধান দুটাৰ গুণফলৰ সমানুপাতিক আৰু তেওঁলোকৰ মাজৰ দূৰত্বৰ বৰ্গৰ ব্যস্তানুপাতিক। বিদ্যুৎক্ষেত্ৰ (Electric Field) হৈছে একক ধনাত্মক পৰীক্ষামূলক আধানৰ ওপৰত প্ৰযুক্ত বল। বিদ্যুৎক্ষেত্ৰ ৰেখাসমূহে ক্ষেত্ৰৰ দিশ আৰু পৰিমাণ চিত্ৰিত কৰে। বৈদ্যুতিক ডাইপল (Electric Dipole) হৈছে সমান পৰিমাণৰ কিন্তু বিপৰীত প্ৰকৃতিৰ দুটা আধানৰ যুটি যিবোৰ এক ক্ষুদ্ৰ দূৰত্বত অৱস্থিত।

অবিচ্ছিন্ন আধান বিতৰণৰ ক্ষেত্ৰত আধান ৰেখা ঘনত্ব ($\lambda$), পৃষ্ঠ ঘনত্ব ($\sigma$) আৰু আয়তন ঘনত্ব ($\rho$)-ৰে প্ৰকাশ কৰা হয়। বৈদ্যুতিক ফ্লাক্স (Electric Flux) হৈছে কোনো পৃষ্ঠেৰে অতিক্ৰম কৰা বিদ্যুৎক্ষেত্ৰ ৰেখাৰ মুঠ সংখ্যাৰ পৰিমাপ। গাউছৰ সূত্ৰে (Gauss’s Law) এক বদ্ধ পৃষ্ঠেৰে নিৰ্গত মুঠ ফ্লাক্স আৰু পৃষ্ঠৰ ভিতৰৰ মুঠ আধানৰ মাজৰ সম্পৰ্ক প্ৰকাশ কৰে। এই সূত্ৰ ব্যৱহাৰ কৰি অসীম ৰেখা আধান, অসীম পৃষ্ঠ আধান আৰু গোলকীয় আৱৰণৰ বাবে বিদ্যুৎক্ষেত্ৰ সহজে নিৰ্ণয় কৰিব পাৰি।

এই অধ্যায়টোৱে স্থিৰ-বিদ্যুৎবিজ্ঞানৰ (Electrostatics) ভেটি গঢ়ি তোলে আৰু পৰৱৰ্তী অধ্যায়সমূহ — বৈদ্যুতিক বিভৱ, ধাৰিত্ৰ আৰু কাৰেণ্ট বিদ্যুতৰ অধ্যয়নৰ বাবে অপৰিহাৰ্য।

English Summary: ASSEB Class 12 Physics Chapter 1 covers electric charges, Coulomb’s law, electric fields, dipoles, flux, Gauss’s law and applications.

---

মূল সূত্ৰ আৰু ধাৰণা (Key Formulas and Concepts)

১. আধানৰ কোৱাণ্টমীকৰণ (Quantisation of Charge)

যিকোনো বস্তুৱে ধাৰণ কৰা মুঠ আধান ইলেকট্ৰনৰ আধানৰ পূৰ্ণ গুণিতক ৰূপত পোৱা যায়:

$$q = ne, \quad n = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \ldots$$

য’ত $e = 1.6 \times 10^{-19}$ C ইলেকট্ৰনৰ আধানৰ মান।

২. কুলম্বৰ সূত্ৰ (Coulomb’s Law)

$r$ দূৰত্বত থকা দুটা বিন্দু আধান $q_1$ আৰু $q_2$ ৰ মাজত কাৰ্য কৰা বল:

$$\vec{F} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q_1 q_2}{r^2}\hat{r}$$

য’ত $\frac{1}{4\pi\epsilon_0} = 9 \times 10^9$ N·m²/C² আৰু $\epsilon_0 = 8.854 \times 10^{-12}$ C²/N·m² বায়ু বা শূন্যতাৰ পাৰভেদ্যতা (permittivity)।

৩. উপৰিপাতন নীতি (Superposition Principle)

একাধিক আধানৰ দ্বাৰা কোনো এক আধানৰ ওপৰত প্ৰযুক্ত মুঠ বল প্ৰতিটো আধানে পৃথক ৰূপে প্ৰয়োগ কৰা বলৰ ভেক্টৰ যোগফলৰ সমান।

$$\vec{F}_1 = \vec{F}_{12} + \vec{F}_{13} + \cdots + \vec{F}_{1n} = \sum_{i=2}^{n} \vec{F}_{1i}$$

৪. বিদ্যুৎক্ষেত্ৰ (Electric Field)

একক ধনাত্মক পৰীক্ষামূলক আধানৰ ওপৰত প্ৰযুক্ত বলৰ পৰিমাপ:

$$\vec{E} = \lim_{q_0 \to 0} \frac{\vec{F}}{q_0}$$

$r$ দূৰত্বত থকা বিন্দু আধান $Q$-ৰ বাবে বিদ্যুৎক্ষেত্ৰ:

$$\vec{E} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q}{r^2}\hat{r}$$

SI একক — N/C বা V/m।

৫. বিদ্যুৎক্ষেত্ৰ ৰেখাৰ ধৰ্ম

• ক্ষেত্ৰ ৰেখাসমূহ ধনাত্মক আধানৰ পৰা ওলায় আৰু ঋণাত্মক আধানৰ ভিতৰত সোমায়।
• দুটা ক্ষেত্ৰ ৰেখা পৰস্পৰে কেতিয়াও কাটি নাযায়।
• ক্ষেত্ৰ ৰেখা সদায় অবিচ্ছিন্ন আৰু মুক্ত বক্ৰ।
• স্থিৰ-বিদ্যুৎ ক্ষেত্ৰত ক্ষেত্ৰ ৰেখাই বদ্ধ লুপ গঠন নকৰে।
• ক্ষেত্ৰ ৰেখাৰ ঘনত্বে ক্ষেত্ৰৰ পৰিমাণ সূচায়।

৬. বৈদ্যুতিক ডাইপল আৰু ডাইপল মোমেণ্ট

সমান পৰিমাণৰ বিপৰীত প্ৰকৃতিৰ দুটা আধান $+q$ আৰু $-q$ যিবোৰ $2a$ দূৰত্বত আছে, ইহঁতৰ যুটিক ডাইপল বুলি কোৱা হয়। ডাইপল মোমেণ্ট:

$$\vec{p} = q \cdot 2\vec{a}$$

দিশ ঋণাত্মক আধানৰ পৰা ধনাত্মক আধানলৈ। SI একক — কুলম্ব·মিটাৰ (C·m)।

৭. ডাইপলৰ অক্ষত বিদ্যুৎক্ষেত্ৰ ($r \gg a$)

$$\vec{E}_{\text{axial}} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{2\vec{p}}{r^3}$$

৮. ডাইপলৰ বিষুৱ ৰেখাত বিদ্যুৎক্ষেত্ৰ

$$\vec{E}_{\text{equatorial}} = -\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{\vec{p}}{r^3}$$

লক্ষ্য কৰক — অক্ষীয় ক্ষেত্ৰ বিষুৱ ক্ষেত্ৰৰ দুগুণ আৰু বিপৰীত দিশৰ।

৯. সমান বিদ্যুৎক্ষেত্ৰত ডাইপলৰ ওপৰত টৰ্ক

$$\vec{\tau} = \vec{p} \times \vec{E}, \quad \tau = pE\sin\theta$$

১০. বৈদ্যুতিক ফ্লাক্স

$$\Phi = \vec{E} \cdot \vec{A} = EA\cos\theta$$

SI একক — N·m²/C বা V·m।

১১. গাউছৰ সূত্ৰ (Gauss’s Law)

$$\oint \vec{E} \cdot d\vec{A} = \frac{q_{\text{enc}}}{\epsilon_0}$$

এক বদ্ধ পৃষ্ঠেৰে নিৰ্গত মুঠ বৈদ্যুতিক ফ্লাক্স পৃষ্ঠৰ ভিতৰত আৱদ্ধ মুঠ আধানৰ $1/\epsilon_0$ গুণৰ সমান।

১২. গাউছৰ সূত্ৰৰ প্ৰয়োগ

(ক) অসীম দীঘল ৰেখা আধান ($\lambda$ = ৰেখা ঘনত্ব):

$$E = \frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0 r}$$

(খ) অসীম পাতল আধানিত পৃষ্ঠ ($\sigma$ = পৃষ্ঠ ঘনত্ব):

$$E = \frac{\sigma}{2\epsilon_0}$$

(গ) সমভাৱে আধানিত গোলকীয় আৱৰণ:

$$E_{\text{out}} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q}{r^2} \quad (r > R), \qquad E_{\text{in}} = 0 \quad (r < R)$$

---

NCERT অনুশীলনীৰ প্ৰশ্ন আৰু উত্তৰ (NCERT Exercise Solutions)

প্ৰশ্ন ১.১: বায়ুত $30$ ছেমি দূৰত্বত থকা $2 \times 10^{-7}$ C আৰু $3 \times 10^{-7}$ C আধানযুক্ত দুটা ক্ষুদ্ৰ গোলকৰ মাজৰ বল কিমান?

উত্তৰঃ দিয়া আছে $q_1 = 2 \times 10^{-7}$ C, $q_2 = 3 \times 10^{-7}$ C, $r = 0.30$ m। কুলম্বৰ সূত্ৰৰ পৰা:

$$F = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q_1 q_2}{r^2} = \frac{9 \times 10^9 \times 2 \times 10^{-7} \times 3 \times 10^{-7}}{(0.30)^2}$$

$$F = \frac{5.4 \times 10^{-4}}{0.09} = 6 \times 10^{-3} \text{ N}$$

সমজাতীয় আধান হোৱাৰ বাবে বল বিকৰ্ষণমূলক।

প্ৰশ্ন ১.২: বায়ুত দুটা বিন্দু আধানৰ মাজৰ বিকৰ্ষণ বল $0.2$ N। আধান দুটা $0.4$ μC আৰু $0.8$ μC হ’লে দূৰত্ব নিৰ্ণয় কৰা।

উত্তৰঃ $F = \frac{kq_1q_2}{r^2}$ ৰ পৰা $r^2 = \frac{kq_1q_2}{F}$।

$$r^2 = \frac{9 \times 10^9 \times 0.4 \times 10^{-6} \times 0.8 \times 10^{-6}}{0.2} = 1.44 \times 10^{-2}$$

$r = 0.12$ m = $12$ ছেমি।

প্ৰশ্ন ১.৩: $\frac{k e^2}{Gm_e m_p}$ অনুপাতটোৰ মাত্ৰাহীনতা পৰীক্ষা কৰা। ই কি বুজায়?

উত্তৰঃ $ke^2$ ৰ মাত্ৰা = N·m² আৰু $Gm_e m_p$ ৰ মাত্ৰা = N·m²। সেয়ে অনুপাতটো মাত্ৰাহীন। এই অনুপাতটোৱে ইলেকট্ৰন আৰু প্ৰট’নৰ মাজত বৈদ্যুতিক বল আৰু মহাকৰ্ষীয় বলৰ অনুপাত প্ৰকাশ কৰে যাৰ মান প্ৰায় $2.4 \times 10^{39}$, যিয়ে দেখুৱায় বৈদ্যুতিক বল মহাকৰ্ষীয় বলতকৈ বহু বেছি শক্তিশালী।

প্ৰশ্ন ১.৪ (ক): “আধানৰ কোৱাণ্টমীকৰণৰ অৰ্থ কি?” ব্যাখ্যা কৰা।

উত্তৰঃ আধানৰ কোৱাণ্টমীকৰণৰ অৰ্থ হ’ল যিকোনো বস্তুৰ মুঠ আধান এক মৌলিক আধান $e$-ৰ পূৰ্ণ গুণিতক ৰূপত হয়, অৰ্থাৎ $q = ne$ য’ত $n$ পূৰ্ণ সংখ্যা। আধান $e/2$ বা $e/3$ আদি ভগ্নাংশ ৰূপত পোৱা নাযায়।

প্ৰশ্ন ১.৪ (খ): বৃহৎ স্কেলৰ আধান বিবেচনা কৰোঁতে আধানৰ কোৱাণ্টমীকৰণ কিয় উপেক্ষা কৰিব পাৰি?

উত্তৰঃ মৌলিক আধান $e = 1.6 \times 10^{-19}$ C অতি ক্ষুদ্ৰ। বৃহৎ স্কেলৰ আধানত (যেনে $1$ μC = $6.25 \times 10^{12}$ ইলেকট্ৰন) সংখ্যা $n$ বৃহৎ হোৱাৰ বাবে আধানক অবিচ্ছিন্ন বুলি গণ্য কৰিব পাৰি।

প্ৰশ্ন ১.৫: ৰে’চমেৰে ঘঁহা কাঁচৰ ৰডে ৰে’চমৰ টুকুৰাৰ পৰা ধনাত্মক আধান লাভ কৰে। আধানৰ সংৰক্ষণ ব্যাখ্যা কৰা।

উত্তৰঃ ঘৰ্ষণৰ সময়ত কাঁচৰ ৰডৰ পৰা ৰে’চমলৈ ইলেকট্ৰন স্থানান্তৰ হয়, ফলত কাঁচৰ ৰডে ধনাত্মক আৰু ৰে’চমে সমপৰিমাণৰ ঋণাত্মক আধান লাভ কৰে। দুয়োটাৰ মুঠ আধান শূন্য, যিয়ে আধানৰ সংৰক্ষণ নীতি প্ৰমাণ কৰে।

প্ৰশ্ন ১.৬: চাৰিটা বিন্দু আধান $q_A = 2$ μC, $q_B = -5$ μC, $q_C = 2$ μC, $q_D = -5$ μC এটা বৰ্গৰ ABCD ৰ চাৰিটা চুকত আছে যাৰ বাহুৰ দৈৰ্ঘ্য $10$ ছেমি। বৰ্গৰ কেন্দ্ৰত থকা $1$ μC আধানৰ ওপৰত প্ৰযুক্ত বল কিমান?

উত্তৰঃ বিকৰ্ণৰ পৰা কেন্দ্ৰৰ দূৰত্ব $r = 5\sqrt{2}$ ছেমি। $q_A$ আৰু $q_C$ সমজাতীয় হোৱাৰ বাবে আৰু কেন্দ্ৰৰ পৰা সমান দূৰত্বত থকাৰ বাবে তেওঁলোকৰ বল পৰস্পৰে নাকচ হয়। একেদৰে $q_B$ আৰু $q_D$-ৰ বলো নাকচ হয়। সেয়েহে কেন্দ্ৰৰ আধানৰ ওপৰত মুঠ বল = $0$ N।

প্ৰশ্ন ১.৭ (ক): স্থিৰ-বিদ্যুৎ ক্ষেত্ৰৰ ৰেখা অবিচ্ছিন্ন বক্ৰ কিয় হয়?

উত্তৰঃ ক্ষেত্ৰ ৰেখাই কোনো এক বিন্দুত পৰীক্ষামূলক আধানৰ ওপৰত প্ৰযুক্ত বলৰ দিশ দেখুৱায়। পৰীক্ষামূলক আধান এটা বিন্দুৰ পৰা আনটো বিন্দুলৈ অবিচ্ছিন্নভাৱে গতি কৰাৰ বাবে ক্ষেত্ৰ ৰেখাও অবিচ্ছিন্ন।

প্ৰশ্ন ১.৭ (খ): দুটা ক্ষেত্ৰ ৰেখা কেতিয়াও কাটাকাটি নকৰে কিয়?

উত্তৰঃ যদি দুটা ৰেখাই কাটাকাটি কৰে তেন্তে কাটা বিন্দুত ক্ষেত্ৰৰ দুটা দিশ থাকিব, কিন্তু এটা বিন্দুত বিদ্যুৎক্ষেত্ৰৰ মাত্ৰ এটাই দিশ থাকিব পাৰে। সেয়েহে দুটা ক্ষেত্ৰ ৰেখা কেতিয়াও কাটি নাযায়।

প্ৰশ্ন ১.৮: $20$ ছেমি ব্যৱধানত থকা দুটা বিন্দু আধান $q_A = 3$ μC আৰু $q_B = -3$ μC বায়ুত স্থাপিত। (ক) AB-ৰ মধ্যবিন্দু O-ত বিদ্যুৎক্ষেত্ৰ কিমান? (খ) O-ত স্থাপিত $1.5 \times 10^{-9}$ C পৰীক্ষা আধানে অনুভৱ কৰা বল কিমান?

উত্তৰঃ $r = 10$ ছেমি = $0.10$ m। প্ৰতিটো আধানৰ বাবে O-ত ক্ষেত্ৰ:

$$E = \frac{kq}{r^2} = \frac{9 \times 10^9 \times 3 \times 10^{-6}}{(0.10)^2} = 2.7 \times 10^6 \text{ N/C}$$

দুয়োটা ক্ষেত্ৰৰ দিশ একে (B-ৰ ফালে) হোৱাৰ বাবে মুঠ ক্ষেত্ৰ $E = 2 \times 2.7 \times 10^6 = 5.4 \times 10^6$ N/C, A ৰ পৰা B-ৰ ফালে। (খ) বল $F = qE = 1.5 \times 10^{-9} \times 5.4 \times 10^6 = 8.1 \times 10^{-3}$ N, A-ৰ ফালে।

প্ৰশ্ন ১.৯: এটা ব্যৱস্থাত দুটা আধান $q_A = 2.5 \times 10^{-7}$ C আৰু $q_B = -2.5 \times 10^{-7}$ C যথাক্ৰমে A $(0,0,-15$ ছেমি$)$ আৰু B $(0,0,+15$ ছেমি$)$ বিন্দুত আছে। ব্যৱস্থাটোৰ মুঠ আধান আৰু বৈদ্যুতিক ডাইপল মোমেণ্ট কিমান?

উত্তৰঃ মুঠ আধান = $q_A + q_B = 0$। ডাইপল মোমেণ্ট:

$$p = q \times 2a = 2.5 \times 10^{-7} \times 0.30 = 7.5 \times 10^{-8} \text{C}\cdot\text{m}$$

দিশ ঋণাত্মক z-অক্ষৰ ফালে (B-ৰ পৰা A-লৈ)।

প্ৰশ্ন ১.১০: $4 \times 10^{-9}$ C·m ডাইপল মোমেণ্টৰ এটা ডাইপল $5 \times 10^4$ N/C মানৰ সমান বাহ্যিক ক্ষেত্ৰৰ সৈতে ৩০° কোণত আছে। ডাইপলৰ ওপৰত প্ৰযুক্ত টৰ্কৰ পৰিমাণ নিৰ্ণয় কৰা।

উত্তৰঃ $\tau = pE\sin\theta$।

$$\tau = 4 \times 10^{-9} \times 5 \times 10^4 \times \sin 30° = 2 \times 10^{-4} \times 0.5 = 10^{-4} \text{N}\cdot\text{m}$$

প্ৰশ্ন ১.১১: পলিথিনৰ এটা টুকুৰাৰে ঘঁহাৰ পিছত পশমে $3 \times 10^{-7}$ C ঋণাত্মক আধান পায়। (ক) কিমান ইলেকট্ৰন পশমৰ পৰা পলিথিনলৈ স্থানান্তৰ হ’ল? (খ) পশমৰ পৰা পলিথিনলৈ ভৰ স্থানান্তৰ হয় নে?

উত্তৰঃ (ক) $n = q/e = 3 \times 10^{-7}/1.6 \times 10^{-19} = 1.875 \times 10^{12}$ ইলেকট্ৰন। (খ) হয়, কিন্তু অতি কম। ভৰ স্থানান্তৰ = $n \times m_e = 1.875 \times 10^{12} \times 9.1 \times 10^{-31} = 1.7 \times 10^{-18}$ kg, যি প্ৰায় উপেক্ষণীয়।

প্ৰশ্ন ১.১২: দুটা সিজু গোলক A আৰু B প্ৰতিটোত $6.5 \times 10^{-7}$ C আধান আছে আৰু সিহঁতৰ মাজৰ দূৰত্ব $50$ ছেমি। (ক) মাজৰ বিকৰ্ষণ বল কিমান? (খ) যদি প্ৰতিটোৰ আধান দুগুণ আৰু দূৰত্ব আধা কৰা হয় তেন্তে বল কিমান হ’ব?

উত্তৰঃ (ক) $F = \frac{9 \times 10^9 \times (6.5 \times 10^{-7})^2}{(0.50)^2} = 1.52 \times 10^{-2}$ N। (খ) $q’ = 2q$, $r’ = r/2$, সেয়েহে $F’ = \frac{k(2q)(2q)}{(r/2)^2} = 16F = 0.243$ N।

প্ৰশ্ন ১.১৩: প্ৰশ্ন ১.১২ ৰ দুটা সিজু আধানিত গোলকক স্পৰ্শ কৰাই পুনৰ পূৰ্বৰ স্থানত (৫০ ছেমি দূৰত্বত) ৰখা হ’ল। দুটা গোলকৰ মাজৰ বল কিমান?

উত্তৰঃ স্পৰ্শ কৰাৰ পিছত আধান সমানে ভাগ হয় — প্ৰতিটোৰ আধান $q’ = 6.5 \times 10^{-7}$ C। (গোলক একে আকাৰৰ বুলি ধৰি)। সেয়েহে বল একে — $1.52 \times 10^{-2}$ N।

প্ৰশ্ন ১.১৪: চিত্ৰত দেখুৱা সমান বিদ্যুৎক্ষেত্ৰত তিনিটা আধানিত কণা যাত্ৰাপথ লাভ কৰে। কোনটো কণাই (ক) ধনাত্মক আধান, (খ) ঋণাত্মক আধান লৈছে? (গ) কোনৰ আধান-আৰু-ভৰ অনুপাত সৰ্বাধিক?

উত্তৰঃ ক্ষেত্ৰৰ দিশলৈ যাত্ৰা কৰা কণাটো ঋণাত্মক, বিপৰীত দিশলৈ যোৱাটো ধনাত্মক। যাৰ যাত্ৰাপথ সৰ্বাধিক বক্ৰ ($q/m$ ৰ ওপৰত নিৰ্ভৰ কৰে), তাৰ আধান-ভৰ অনুপাত সৰ্বাধিক।

প্ৰশ্ন ১.১৫: এটা সমান বিদ্যুৎক্ষেত্ৰ $\vec{E} = 3 \times 10^3 \hat{i}$ N/C দিয়া আছে। (ক) এই ক্ষেত্ৰৰ সৈতে লম্বভাৱে থকা $10$ ছেমি বাহুৰ বৰ্গাকৃতিৰ পৃষ্ঠেৰে ফ্লাক্স কিমান? (খ) যদি স্বাভাৱিকটোৱে x-অক্ষৰ সৈতে $60°$ কোণ কৰে?

উত্তৰঃ (ক) $A = (0.10)^2 = 10^{-2}$ m², $\Phi = EA\cos 0° = 3 \times 10^3 \times 10^{-2} = 30$ N·m²/C। (খ) $\Phi = EA\cos 60° = 30 \times 0.5 = 15$ N·m²/C।

প্ৰশ্ন ১.১৬: প্ৰশ্ন ১.১৫ৰ ক্ষেত্ৰত $20$ ছেমি বাহুৰ ঘনকৰ মাজেৰে পাৰ হোৱা মুঠ ফ্লাক্স কিমান?

উত্তৰঃ ঘনকৰ ভিতৰত কোনো আধান নাই, সেয়েহে গাউছৰ সূত্ৰৰ মতে মুঠ ফ্লাক্স $\Phi = 0$।

প্ৰশ্ন ১.১৭: এটা ব্লেক বক্সৰ ভিতৰত আধান বিতৰণ আছে। বক্সৰ পৃষ্ঠেৰে নিৰ্গত মুঠ ফ্লাক্স $-1.0 \times 10^3$ N·m²/C। বক্সৰ ভিতৰৰ মুঠ আধান কিমান?

উত্তৰঃ $q = \epsilon_0 \Phi = 8.854 \times 10^{-12} \times (-1.0 \times 10^3) = -8.854 \times 10^{-9}$ C ≈ $-8.85$ nC।

প্ৰশ্ন ১.১৮: $10$ ছেমি বাহুৰ এটা বৰ্গাকাৰ পৃষ্ঠৰ কেন্দ্ৰৰ পৰা $5$ ছেমি লম্বভাৱে ওপৰত $+10$ μC আধান এটা ৰখা হৈছে। বৰ্গৰ মাজেৰে বৈদ্যুতিক ফ্লাক্স কিমান?

উত্তৰঃ বৰ্গাকাৰ পৃষ্ঠটোক $10$ ছেমি বাহুৰ ঘনকৰ এটা ফালি বুলি ধৰিলে আধান কেন্দ্ৰত হ’ব। গাউছৰ সূত্ৰৰ মতে মুঠ ফ্লাক্স $q/\epsilon_0$ আৰু ছটা ফালিৰ বাবে সমানে ভাগ হোৱাৰ বাবে এটা ফালিৰ ফ্লাক্স:

$$\Phi = \frac{1}{6} \cdot \frac{q}{\epsilon_0} = \frac{10 \times 10^{-6}}{6 \times 8.854 \times 10^{-12}} = 1.88 \times 10^5 \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}$$

প্ৰশ্ন ১.১৯: $9.0$ ছেমি প্ৰান্তৰ বদ্ধ গাউছীয় ঘনকৰ কেন্দ্ৰত $2.0$ μC আধান। ঘনকৰ পৃষ্ঠেৰে নিৰ্গত মুঠ ফ্লাক্স কিমান?

উত্তৰঃ $\Phi = q/\epsilon_0 = 2.0 \times 10^{-6}/8.854 \times 10^{-12} = 2.26 \times 10^5$ N·m²/C। ঘনকৰ আকাৰ কোনো প্ৰভাৱ পেলোৱা নাই।

প্ৰশ্ন ১.২০: এটা বিন্দু আধানৰ চাৰিও ফালে $10$ ছেমি ব্যাসাৰ্ধৰ গোলকীয় গাউছীয় পৃষ্ঠেৰে $-1.0 \times 10^3$ N·m²/C ফ্লাক্স ওলোৱা পোৱা গ’ল। (ক) যদি ব্যাসাৰ্ধ দুগুণ কৰা হয়, ফ্লাক্স কিমান হ’ব? (খ) আধান কিমান?

উত্তৰঃ (ক) ফ্লাক্স ব্যাসাৰ্ধৰ ওপৰত নিৰ্ভৰ নকৰে, সেয়েহে $\Phi = -1.0 \times 10^3$ N·m²/C একেই থাকিব। (খ) $q = \epsilon_0 \Phi = -8.85$ nC।

প্ৰশ্ন ১.২১: এটা পৰিবাহী গোলকৰ পৃষ্ঠত আধান $1.5 \times 10^3$ N/C ক্ষেত্ৰ উৎপন্ন কৰে যাৰ দিশ কেন্দ্ৰৰ ফালে। গোলকৰ ব্যাসাৰ্ধ $10$ ছেমি হ’লে নিকা আধানৰ মান নিৰ্ণয় কৰা।

উত্তৰঃ $E = kq/r^2$, সেয়েহে $q = Er^2/k$।

$$q = \frac{1.5 \times 10^3 \times (0.10)^2}{9 \times 10^9} = 1.67 \times 10^{-9} \text{ C}$$

ক্ষেত্ৰ কেন্দ্ৰৰ ফালে হোৱাৰ বাবে আধান ঋণাত্মক — $q = -1.67$ nC।

প্ৰশ্ন ১.২২: $2.4$ মিটাৰ ব্যাসৰ এটা সমভাৱে আধানিত পৰিবাহী গোলকৰ পৃষ্ঠ আধান ঘনত্ব $80.0$ μC/m²। (ক) গোলকৰ ওপৰত মুঠ আধান কিমান? (খ) গোলকৰ পৃষ্ঠেৰে ওলোৱা মুঠ ফ্লাক্স কিমান?

উত্তৰঃ ব্যাসাৰ্ধ $r = 1.2$ m। ক্ষেত্ৰফল $A = 4\pi r^2 = 4\pi \times 1.44 = 18.10$ m²। (ক) মুঠ আধান $q = \sigma A = 80 \times 10^{-6} \times 18.10 = 1.45 \times 10^{-3}$ C। (খ) ফ্লাক্স $\Phi = q/\epsilon_0 = 1.45 \times 10^{-3}/8.854 \times 10^{-12} = 1.64 \times 10^8$ N·m²/C।

প্ৰশ্ন ১.২৩: এটা অসীম ৰেখা আধানে $2$ ছেমি দূৰত্বত $9 \times 10^4$ N/C ক্ষেত্ৰ উৎপন্ন কৰে। ৰেখা আধান ঘনত্ব নিৰ্ণয় কৰা।

উত্তৰঃ $E = \lambda/(2\pi\epsilon_0 r)$ ৰ পৰা $\lambda = 2\pi\epsilon_0 E r$।

$$\lambda = \frac{Er}{2 \times 9 \times 10^9} = \frac{9 \times 10^4 \times 0.02}{18 \times 10^9} = 10^{-7} \text{ C/m}$$

প্ৰশ্ন ১.২৪: দুটা সমান্তৰাল সমান-আকাৰৰ পৰিবাহী প্লেটত পৃষ্ঠ আধান ঘনত্ব $\sigma = 17.0 \times 10^{-22}$ C/m² আছে। ক্ষেত্ৰ — (ক) প্লেটৰ বাহিৰত? (খ) প্লেটৰ মাজত?

উত্তৰঃ (ক) প্লেটৰ বাহিৰত ক্ষেত্ৰ শূন্য (দুয়োটা প্লেটৰ ক্ষেত্ৰ নাকচ হয়)। (খ) প্লেটৰ মাজত:

$$E = \sigma/\epsilon_0 = \frac{17 \times 10^{-22}}{8.854 \times 10^{-12}} = 1.92 \times 10^{-10} \text{ N/C}$$

---

অতিৰিক্ত প্ৰশ্ন উত্তৰ (Additional Q&A)

বহু বিকল্পীয় প্ৰশ্ন (MCQ)

১। বৈদ্যুতিক আধানৰ SI একক কি?
(ক) এম্পিয়াৰ (খ) কুলম্ব (গ) ভল্ট (ঘ) ফেৰাড

উত্তৰঃ (খ) কুলম্ব

২। ১ কুলম্ব আধান কিমান ইলেকট্ৰনৰ আধানৰ সমান?
(ক) $6.25 \times 10^{18}$ (খ) $1.6 \times 10^{19}$ (গ) $9 \times 10^9$ (ঘ) $1.6 \times 10^{-19}$

উত্তৰঃ (ক) $6.25 \times 10^{18}$

৩। কুলম্বৰ সূত্ৰত $1/(4\pi\epsilon_0)$ ৰ মান বায়ুত —
(ক) $9 \times 10^9$ N·m²/C² (খ) $9 \times 10^{-9}$ N·m²/C² (গ) $8.854 \times 10^{-12}$ (ঘ) $1.6 \times 10^{-19}$

উত্তৰঃ (ক) $9 \times 10^9$ N·m²/C²

৪। বিদ্যুৎক্ষেত্ৰৰ SI একক —
(ক) N/C (খ) C/N (গ) V·m (ঘ) C·m

উত্তৰঃ (ক) N/C (বা V/m)

৫। বৈদ্যুতিক ডাইপল মোমেণ্টৰ SI একক —
(ক) C/m (খ) C·m (গ) C·m² (ঘ) N/C

উত্তৰঃ (খ) C·m

৬। ডাইপলৰ অক্ষীয় বিন্দুত ক্ষেত্ৰ ($r \gg a$) —
(ক) $kp/r^3$ (খ) $2kp/r^3$ (গ) $kp/r^2$ (ঘ) $kp/(2r^3)$

উত্তৰঃ (খ) $2kp/r^3$

৭। সমান বিদ্যুৎক্ষেত্ৰত ডাইপলৰ ওপৰত প্ৰযুক্ত মুঠ বল —
(ক) $pE$ (খ) $pE\sin\theta$ (গ) $pE\cos\theta$ (ঘ) শূন্য

উত্তৰঃ (ঘ) শূন্য

৮। গাউছৰ সূত্ৰৰ গাণিতিক ৰূপ —
(ক) $\oint \vec{E} \cdot d\vec{A} = q\epsilon_0$ (খ) $\oint \vec{E} \cdot d\vec{A} = q/\epsilon_0$ (গ) $\Phi = qE$ (ঘ) $\Phi = q\epsilon_0$

উত্তৰঃ (খ) $\oint \vec{E} \cdot d\vec{A} = q/\epsilon_0$

৯। অসীম পাতল আধানিত পৃষ্ঠৰ বিদ্যুৎক্ষেত্ৰ —
(ক) $\sigma/\epsilon_0$ (খ) $\sigma/(2\epsilon_0)$ (গ) $\lambda/(2\pi\epsilon_0 r)$ (ঘ) $kq/r^2$

উত্তৰঃ (খ) $\sigma/(2\epsilon_0)$

১০। আধানিত পৰিবাহী গোলকৰ ভিতৰত বিদ্যুৎক্ষেত্ৰ —
(ক) $kq/r^2$ (খ) সৰ্বাধিক (গ) শূন্য (ঘ) ধ্ৰুৱক

উত্তৰঃ (গ) শূন্য

১১। দুটা বিন্দু আধানৰ মাজৰ দূৰত্ব দুগুণ কৰিলে কুলম্ব বল —
(ক) ২ গুণ হ’ব (খ) ৪ গুণ হ’ব (গ) ১/২ গুণ হ’ব (ঘ) ১/৪ গুণ হ’ব

উত্তৰঃ (ঘ) ১/৪ গুণ হ’ব

১২। বৈদ্যুতিক ফ্লাক্স এটা —
(ক) ভেক্টৰ ৰাশি (খ) স্কেলাৰ ৰাশি (গ) মাত্ৰাহীন (ঘ) তৃতীয় কোটিৰ ৰাশি

উত্তৰঃ (খ) স্কেলাৰ ৰাশি

খালী ঠাই পূৰণ কৰা (Fill in the Blanks)

1. আধানৰ কোৱাণ্টমীকৰণ অনুসাৰে $q = $ ______ ($ne$)।
2. মৌলিক আধানৰ মান $e = $ ______ কুলম্ব ($1.6 \times 10^{-19}$)।
3. বৈদ্যুতিক ডাইপল মোমেণ্টৰ দিশ ______ৰ পৰা ______লৈ (ঋণাত্মক, ধনাত্মক)।
4. সমান বিদ্যুৎক্ষেত্ৰত ডাইপলৰ ওপৰত প্ৰযুক্ত টৰ্কৰ পৰিমাণ ______ (pE sinθ)।
5. $\frac{1}{4\pi\epsilon_0}$ ৰ মান বায়ুত প্ৰায় ______ N·m²/C² ($9 \times 10^9$)।
6. অসীম দীঘল পৰিবাহী তাৰৰ পৰা $r$ দূৰত্বত বিদ্যুৎক্ষেত্ৰ ______ ($\lambda/2\pi\epsilon_0 r$)।
7. সমান্তৰাল প্লেট কাপাচিটাৰৰ মাজত বিদ্যুৎক্ষেত্ৰ ______ ($\sigma/\epsilon_0$)।
8. আধানিত পৰিবাহীৰ ভিতৰত বিদ্যুৎক্ষেত্ৰ সদায় ______ (শূন্য)।

শুদ্ধ/অশুদ্ধ (True/False)

ক্ৰম	উক্তি	উত্তৰ
১	আধান এক ভেক্টৰ ৰাশি।	অশুদ্ধ
২	সমজাতীয় আধান পৰস্পৰে আকৰ্ষণ কৰে।	অশুদ্ধ
৩	বিদ্যুৎক্ষেত্ৰ ৰেখা পৰস্পৰে কাটাকাটি কৰিব পাৰে।	অশুদ্ধ
৪	আধান সংৰক্ষিত হয়।	শুদ্ধ
৫	সমান বিদ্যুৎক্ষেত্ৰত ডাইপলৰ ওপৰত প্ৰযুক্ত মুঠ বল শূন্য।	শুদ্ধ
৬	গাউছৰ সূত্ৰৰ ফ্লাক্স গাউছীয় পৃষ্ঠৰ আকাৰৰ ওপৰত নিৰ্ভৰ কৰে।	অশুদ্ধ
৭	আধান এক স্কেলাৰ ৰাশি।	শুদ্ধ
৮	আধানিত পৰিবাহী গোলকৰ ভিতৰত ক্ষেত্ৰ অশূন্য।	অশুদ্ধ

চমু উত্তৰৰ প্ৰশ্ন (Short Answer)

প্ৰশ্ন ১। কুলম্বৰ সূত্ৰ লিখা।

উত্তৰঃ দুটা স্থিৰ বিন্দু আধান $q_1$ আৰু $q_2$-ৰ মাজৰ বল আধান দুটাৰ গুণফলৰ সমানুপাতিক আৰু তেওঁলোকৰ মাজৰ দূৰত্ব $r$-ৰ বৰ্গৰ ব্যস্তানুপাতিক — $F = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q_1 q_2}{r^2}$।

প্ৰশ্ন ২। আধানৰ কোৱাণ্টমীকৰণ ব্যাখ্যা কৰা।

উত্তৰঃ যিকোনো আধানিত বস্তুৰ আধান মৌলিক আধান $e = 1.6 \times 10^{-19}$ C-ৰ পূৰ্ণ গুণিতক — $q = ne$ য’ত $n = 0, \pm1, \pm2, \ldots$।

প্ৰশ্ন ৩। বৈদ্যুতিক ডাইপল মোমেণ্ট কি?

উত্তৰঃ ডাইপল মোমেণ্ট হ’ল ডাইপলৰ যিকোনো এটা আধানৰ পৰিমাণ আৰু আধান দুটাৰ মাজৰ দূৰত্বৰ গুণফল। $\vec{p} = q \cdot 2\vec{a}$, ঋণাত্মক আধানৰ পৰা ধনাত্মক আধানৰ ফালে দিশ।

প্ৰশ্ন ৪। বিদ্যুৎক্ষেত্ৰ ৰেখাৰ চাৰিটা ধৰ্ম লিখা।

উত্তৰঃ (ক) ক্ষেত্ৰ ৰেখা ধনাত্মক আধানৰ পৰা ওলায় আৰু ঋণাত্মক আধানত সোমায়। (খ) দুটা ক্ষেত্ৰ ৰেখা পৰস্পৰক কাটি নাযায়। (গ) ক্ষেত্ৰ ৰেখাৰ স্থানীয় ঘনত্বে ক্ষেত্ৰৰ পৰিমাণ সূচায়। (ঘ) স্থিৰ-বিদ্যুৎ ক্ষেত্ৰৰ ৰেখাই বদ্ধ লুপ গঠন নকৰে।

প্ৰশ্ন ৫। আধানৰ যোজ্যতা (additivity) কি?

উত্তৰঃ এক ব্যৱস্থাৰ মুঠ আধান ব্যৱস্থাত থকা সকলো বিন্দু আধানৰ বীজগণিতীয় যোগফলৰ সমান — $Q = q_1 + q_2 + \cdots + q_n$।

প্ৰশ্ন ৬। উপৰিপাতন নীতি বিবৃতি দিয়া।

উত্তৰঃ একাধিক আধানৰ দ্বাৰা কোনো এক আধানৰ ওপৰত প্ৰযুক্ত মুঠ বল প্ৰতিটো আধানে স্বতন্ত্ৰভাৱে প্ৰয়োগ কৰা বলৰ ভেক্টৰ যোগফলৰ সমান।

প্ৰশ্ন ৭। বৈদ্যুতিক ফ্লাক্সৰ সংজ্ঞা দিয়া।

উত্তৰঃ কোনো এক পৃষ্ঠেৰে অতিক্ৰম কৰা মুঠ ক্ষেত্ৰ ৰেখাৰ সংখ্যা — $\Phi = \vec{E}\cdot\vec{A} = EA\cos\theta$। SI একক N·m²/C।

প্ৰশ্ন ৮। ডাইপলৰ ক্ষেত্ৰৰ পৰিমাণ ডাইপল অক্ষত আৰু বিষুৱৰেখাত তুলনা কৰা।

উত্তৰঃ অক্ষীয় ক্ষেত্ৰ $E_a = \frac{2kp}{r^3}$ আৰু বিষুৱ ক্ষেত্ৰ $E_e = \frac{kp}{r^3}$। অৰ্থাৎ $E_a = 2E_e$ আৰু দুয়োটা ক্ষেত্ৰৰ দিশ পৰস্পৰৰ বিপৰীত।

দীঘল উত্তৰৰ প্ৰশ্ন (Long Answer)

প্ৰশ্ন ১। ডাইপলৰ অক্ষীয় বিন্দুত বিদ্যুৎক্ষেত্ৰৰ গাণিতিক ৰাশি প্ৰতিপাদন কৰা।

উত্তৰঃ ধৰোঁ ডাইপলৰ কেন্দ্ৰৰ পৰা $r$ দূৰত্বত অক্ষৰ ওপৰত এটা বিন্দু P আছে। ডাইপলৰ অৰ্ধ-দৈৰ্ঘ্য $a$।

$+q$ আধানৰ দ্বাৰা P-ত ক্ষেত্ৰ:

$$E_+ = \frac{kq}{(r-a)^2}$$ (P-ৰ ফালে)

$-q$ আধানৰ দ্বাৰা P-ত ক্ষেত্ৰ:

$$E_- = \frac{kq}{(r+a)^2}$$ (ডাইপলৰ ফালে)

মুঠ ক্ষেত্ৰ:

$$E = E_+ – E_- = kq\left[\frac{1}{(r-a)^2} – \frac{1}{(r+a)^2}\right] = \frac{kq \cdot 4ra}{(r^2-a^2)^2}$$

$r \gg a$ হ’লে $a^2$ উপেক্ষা কৰিব পাৰি — $E = \frac{4kqra}{r^4} = \frac{2k(2qa)}{r^3} = \frac{2kp}{r^3}$।

প্ৰশ্ন ২। গাউছৰ সূত্ৰ ব্যৱহাৰ কৰি অসীম দীঘল ৰেখা আধানৰ বিদ্যুৎক্ষেত্ৰ প্ৰতিপাদন কৰা।

উত্তৰঃ ধৰোঁ অসীম দীঘল ৰেখা আধানৰ ৰেখা ঘনত্ব $\lambda$। ৰেখা আধানৰ চাৰিও ফালে $r$ ব্যাসাৰ্ধ আৰু $L$ দৈৰ্ঘ্যৰ এটা চিলিন্দ্ৰিকেল গাউছীয় পৃষ্ঠ ধৰোঁ। বক্ৰ পৃষ্ঠত $\vec{E}$ আৰু $d\vec{A}$ একে দিশৰ; দুই সমতল মুখত $\vec{E} \perp d\vec{A}$।

$$\oint \vec{E}\cdot d\vec{A} = E(2\pi r L) = \frac{q_{\text{enc}}}{\epsilon_0} = \frac{\lambda L}{\epsilon_0}$$

$$E = \frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0 r}$$

দিশ ৰেখাৰ পৰা ৰেডিয়েলি বাহিৰৰ ফালে (যদি $\lambda > 0$)।

প্ৰশ্ন ৩। গাউছৰ সূত্ৰ ব্যৱহাৰ কৰি সমভাৱে আধানিত গোলকীয় আৱৰণৰ বাহিৰত আৰু ভিতৰত বিদ্যুৎক্ষেত্ৰ প্ৰতিপাদন কৰা।

উত্তৰঃ ধৰোঁ $R$ ব্যাসাৰ্ধৰ গোলকীয় আৱৰণৰ মুঠ আধান $q$।

(ক) বাহিৰত ($r > R$): $r$ ব্যাসাৰ্ধৰ এটা গাউছীয় গোলক ধৰি —

$$E(4\pi r^2) = q/\epsilon_0 \Rightarrow E = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q}{r^2}$$

অৰ্থাৎ আৱৰণে কেন্দ্ৰত স্থিত বিন্দু আধানৰ দৰে কাম কৰে।

(খ) ভিতৰত ($r < R$): গাউছীয় পৃষ্ঠৰ ভিতৰত আধান শূন্য, সেয়েহে $E = 0$।

প্ৰশ্ন ৪। সমান বিদ্যুৎক্ষেত্ৰত ডাইপলৰ ওপৰত প্ৰযুক্ত টৰ্কৰ ৰাশি প্ৰতিপাদন কৰা।

উত্তৰঃ ধৰোঁ $\vec{E}$ সমান বিদ্যুৎক্ষেত্ৰত ডাইপল মোমেণ্ট $\vec{p}$ থকা ডাইপলে $\theta$ কোণ কৰে। দুয়োটা আধানৰ ওপৰত বল $qE$ আৰু সমপৰিমাণ-বিপৰীত। সেয়েহে নিকা বল শূন্য কিন্তু এক টৰ্ক উৎপন্ন হয়।

$$\tau = \text{বল} \times \text{লম্ব দূৰত্ব} = qE \times 2a\sin\theta = pE\sin\theta$$

ভেক্টৰ ৰূপত — $\vec{\tau} = \vec{p} \times \vec{E}$।

---

শব্দাৰ্থ (Glossary)

অসমীয়া পৰিভাষা	English Term	চমু ব্যাখ্যা
বৈদ্যুতিক আধান	Electric Charge	পদাৰ্থৰ মৌলিক ধৰ্ম
কুলম্বৰ সূত্ৰ	Coulomb’s Law	দুটা আধানৰ মাজৰ বলৰ সূত্ৰ
উপৰিপাতন নীতি	Superposition Principle	ভেক্টৰ যোগৰ নীতি
বিদ্যুৎক্ষেত্ৰ	Electric Field	একক আধানে অনুভৱ কৰা বল
ক্ষেত্ৰ ৰেখা	Field Lines	ক্ষেত্ৰ চিত্ৰিত কৰা ৰেখা
বৈদ্যুতিক ডাইপল	Electric Dipole	সমান-বিপৰীত দুটা আধানৰ যুটি
ডাইপল মোমেণ্ট	Dipole Moment	$p = q \cdot 2a$
টৰ্ক	Torque	আৱৰ্তন উৎপন্নকাৰী বল
আধান কোৱাণ্টমীকৰণ	Quantisation of Charge	$q = ne$
আধান সংৰক্ষণ	Conservation of Charge	মুঠ আধান অপৰিৱৰ্তিত
ৰেখা ঘনত্ব	Linear Density (λ)	একক দৈৰ্ঘ্যত আধান
পৃষ্ঠ ঘনত্ব	Surface Density (σ)	একক ক্ষেত্ৰফলত আধান
আয়তন ঘনত্ব	Volume Density (ρ)	একক আয়তনত আধান
বৈদ্যুতিক ফ্লাক্স	Electric Flux	$\Phi = \vec{E}\cdot\vec{A}$
গাউছৰ সূত্ৰ	Gauss’s Law	$\oint \vec{E}\cdot d\vec{A} = q/\epsilon_0$
গাউছীয় পৃষ্ঠ	Gaussian Surface	কাল্পনিক বদ্ধ পৃষ্ঠ
পাৰভেদ্যতা	Permittivity (ε₀)	মুক্ত স্থানৰ ধ্ৰুৱক
মৌলিক আধান	Elementary Charge (e)	$1.6 \times 10^{-19}$ C

---

অতিৰিক্ত সংখ্যাগত সমস্যা (Additional Numerical Problems)

সংখ্যাগত ১। দুটা সিজু আধান $+5$ μC আৰু $-3$ μC বায়ুত $20$ ছেমি দূৰত্বত আছে। ইহঁতৰ মাজৰ বল কিমান?

উত্তৰঃ কুলম্বৰ সূত্ৰৰ পৰা:

$$F = \frac{kq_1 q_2}{r^2} = \frac{9\times 10^9 \times 5\times 10^{-6}\times 3\times 10^{-6}}{(0.20)^2}$$

$$F = \frac{0.135}{0.04} = 3.375 \text{ N (আকৰ্ষণমূলক)}$$

সংখ্যাগত ২। এটা ক্ষুদ্ৰ গোলকত $-2$ μC আধান আছে। এই গোলকত কিমানটা অতিৰিক্ত ইলেকট্ৰন আছে?

উত্তৰঃ $n = q/e = 2\times 10^{-6}/1.6\times 10^{-19} = 1.25\times 10^{13}$ ইলেকট্ৰন।

সংখ্যাগত ৩। $4\times 10^{-6}$ C আধানৰ পৰা $20$ ছেমি দূৰত্বত বিদ্যুৎক্ষেত্ৰ কিমান?

উত্তৰঃ $E = kq/r^2 = (9\times 10^9 \times 4\times 10^{-6})/(0.20)^2 = 9\times 10^5$ N/C।

সংখ্যাগত ৪। এটা ডাইপলৰ আধান $\pm 4$ nC আৰু আধান দুটাৰ মাজৰ দূৰত্ব $4$ ছেমি। ডাইপল মোমেণ্ট কিমান?

উত্তৰঃ $p = q \times 2a = 4\times 10^{-9}\times 4\times 10^{-2} = 1.6\times 10^{-10}$ C·m।

সংখ্যাগত ৫। এটা ডাইপলৰ মোমেণ্ট $2\times 10^{-9}$ C·m। কেন্দ্ৰৰ পৰা $1$ মিটাৰ দূৰত্বত অক্ষৰ ওপৰত ক্ষেত্ৰ কিমান?

উত্তৰঃ

$$E = \frac{2kp}{r^3} = \frac{2\times 9\times 10^9\times 2\times 10^{-9}}{1^3} = 36 \text{ N/C}$$

সংখ্যাগত ৬। এটা ৰেখা আধানৰ ৰেখা ঘনত্ব $\lambda = 5\times 10^{-6}$ C/m। ৰেখাৰ পৰা $10$ ছেমি দূৰত্বত ক্ষেত্ৰ কিমান?

উত্তৰঃ

$$E = \frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0 r} = \frac{2\times 9\times 10^9 \times 5\times 10^{-6}}{0.10} = 9\times 10^5 \text{ N/C}$$

সংখ্যাগত ৭। এটা পৃষ্ঠ আধান ঘনত্ব $\sigma = 2\times 10^{-6}$ C/m² থকা পাতল পৃষ্ঠৰ ওচৰত ক্ষেত্ৰ কিমান?

উত্তৰঃ

$$E = \frac{\sigma}{2\epsilon_0} = \frac{2\times 10^{-6}}{2\times 8.854\times 10^{-12}} = 1.13\times 10^5 \text{ N/C}$$

সংখ্যাগত ৮। ১ মিলিকুলম্ব ($1$ mC) আধানে এটা গাউছীয় পৃষ্ঠৰ ভিতৰত আছে। মুঠ ফ্লাক্স কিমান?

উত্তৰঃ

$$\Phi = q/\epsilon_0 = \frac{10^{-3}}{8.854\times 10^{-12}} = 1.13\times 10^8 \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}$$

গুৰুত্বপূৰ্ণ ধাৰণাসমূহ (Important Concepts)

আধানৰ মৌলিক ধৰ্মসমূহ

• যোজ্যতা (Additivity): এক ব্যৱস্থাত আধান এক বীজগণিতীয় ৰাশি যিটো বীজগণিতীয় যোগ ক্ৰিয়াক মানি চলে।
• সংৰক্ষণশীলতা (Conservation): এক বিচ্ছিন্ন ব্যৱস্থাত মুঠ আধান সদায় অপৰিৱৰ্তিত থাকে।
• কোৱাণ্টমীকৰণ (Quantisation): আধান $e$-ৰ পূৰ্ণ গুণিতক ৰূপত পোৱা যায় ($q = ne$)।

পৰিবাহী আৰু অপৰিবাহী

পৰিবাহী (Conductors): এনে পদাৰ্থ য’ত মুক্ত ইলেকট্ৰন থাকে আৰু সিহঁতে আধান বহন কৰিব পাৰে। উদাহৰণ — ধাতু, লৱণৰ দ্ৰৱ।

অপৰিবাহী (Insulators): এনে পদাৰ্থ য’ত মুক্ত ইলেকট্ৰন নাথাকে। উদাহৰণ — কাঁচ, ৰবৰ, প্লাষ্টিক।

আধানীকৰণৰ পদ্ধতি

1. ঘৰ্ষণৰ দ্বাৰা আধানীকৰণ — দুটা বস্তু পৰস্পৰে ঘঁহা গ’লে ইলেকট্ৰন স্থানান্তৰ হৈ আধান উৎপন্ন হয়।
2. পৰিবহণৰ দ্বাৰা আধানীকৰণ — আধানিত আৰু অনাধানিত পৰিবাহী স্পৰ্শ কৰিলে আধান ভাগ-বাঁটি যায়।
3. প্ৰৱৰ্তনৰ দ্বাৰা আধানীকৰণ — আধানিত বস্তু এটা ওচৰলৈ আনিলে দ্বিতীয় পৰিবাহীত বিপৰীত আধান উৎপন্ন হয়।

কুলম্বৰ সূত্ৰৰ ভেক্টৰ ৰূপ

$\vec{r}_{12}$ — আধান ১ৰ পৰা আধান ২লৈ স্থিতি ভেক্টৰ। আধান ২ৰ ওপৰত আধান ১ৰ দ্বাৰা প্ৰযুক্ত বল:

$$\vec{F}_{21} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q_1 q_2}{r_{12}^2}\hat{r}_{12}$$

নিউটনৰ তৃতীয় সূত্ৰ অনুসৰি $\vec{F}_{12} = -\vec{F}_{21}$।

মাধ্যমৰ প্ৰভাৱ

আপেক্ষিক পাৰভেদ্যতা $\epsilon_r$ থকা মাধ্যমত কুলম্ব বল হ্ৰাস পায়:

$$F_{\text{মাধ্যম}} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0\epsilon_r}\frac{q_1 q_2}{r^2} = \frac{F_{\text{বায়ু}}}{\epsilon_r}$$

অবিচ্ছিন্ন আধান বিতৰণ

বিন্দু আধানৰ পৰিৱৰ্তে যেতিয়া আধান এক ৰেখা, পৃষ্ঠ বা আয়তনত বিতৰিত হয়, তেতিয়া তিনি প্ৰকাৰৰ আধান ঘনত্ব ব্যৱহাৰ কৰা হয়:

• ৰেখীয় আধান ঘনত্ব: $\lambda = dq/dl$ (একক — C/m)
• পৃষ্ঠ আধান ঘনত্ব: $\sigma = dq/dA$ (একক — C/m²)
• আয়তন আধান ঘনত্ব: $\rho = dq/dV$ (একক — C/m³)

অবিচ্ছিন্ন বিতৰণৰ ক্ষেত্ৰত মুঠ ক্ষেত্ৰ:

$$\vec{E} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int \frac{dq}{r^2}\hat{r}$$

গাউছৰ সূত্ৰৰ গুৰুত্ব আৰু সীমাবদ্ধতা

• গাউছৰ সূত্ৰ যিকোনো বদ্ধ পৃষ্ঠৰ বাবে প্ৰযোজ্য।
• সমমিতি (symmetry) থকা ক্ষেত্ৰত ক্ষেত্ৰ নিৰ্ণয়ৰ এক শক্তিশালী সঁজুলি।
• পৃষ্ঠৰ বাহিৰৰ আধানে মুঠ ফ্লাক্সত অৱদান নিদিয়ে।
• পৃষ্ঠৰ বাহিৰৰ আধানে পৃষ্ঠৰ ভিতৰৰ ক্ষেত্ৰ পেলায়, কিন্তু মুঠ ফ্লাক্সত ইহঁতৰ অৱদান শূন্য।

পৰীক্ষাত প্ৰায় অহা প্ৰশ্ন

• কুলম্বৰ সূত্ৰৰ বিবৃতি আৰু ভেক্টৰ ৰূপ লিখা।
• ডাইপলৰ অক্ষীয় ক্ষেত্ৰ প্ৰতিপাদন কৰা।
• গাউছৰ সূত্ৰ বিবৃতি দিয়া আৰু অসীম পৃষ্ঠ বা ৰেখা আধানৰ বাবে প্ৰয়োগ দেখুওৱা।
• সমান ক্ষেত্ৰত ডাইপলৰ ওপৰত টৰ্ক প্ৰতিপাদন কৰা।
• আধানৰ মৌলিক ধৰ্ম তিনিটা লিখা।

অধিক চমু প্ৰশ্ন উত্তৰ (More Short Q&A)

প্ৰশ্ন ১। এক ইলেকট্ৰনৰ আধানৰ মান লিখা।

উত্তৰঃ $-1.6 \times 10^{-19}$ কুলম্ব।

প্ৰশ্ন ২। আধানৰ যোজ্যতা মানে কি?

উত্তৰঃ এটা ব্যৱস্থাত থকা সকলো আধানৰ বীজগণিতীয় যোগফলৰ সমান মুঠ আধান। ইয়াত আধান এটা স্কেলাৰ ৰাশি ৰূপত যোগ হয়।

প্ৰশ্ন ৩। আধান সংৰক্ষণ মানে কি?

উত্তৰঃ এক বিচ্ছিন্ন ব্যৱস্থাৰ মুঠ আধান সদায় ধ্ৰুৱ থাকে। আধান সৃষ্টি বা ধ্বংস হ’ব নোৱাৰে, কেৱল স্থানান্তৰ হ’ব পাৰে।

প্ৰশ্ন ৪। বিদ্যুৎক্ষেত্ৰৰ মাত্ৰা সূত্ৰ লিখা।

উত্তৰঃ $[E] = [F]/[Q] = [\text{MLT}^{-3}\text{A}^{-1}]$।

প্ৰশ্ন ৫। ডাইপলৰ অক্ষীয় ক্ষেত্ৰ আৰু বিষুৱ ক্ষেত্ৰৰ অনুপাত কি?

উত্তৰঃ $E_{\text{axial}} : E_{\text{equatorial}} = 2 : 1$ (পৰিমাণৰ দিশত), দিশ পৰস্পৰৰ বিপৰীত।

প্ৰশ্ন ৬। বদ্ধ পৃষ্ঠৰ ভিতৰত ডাইপল থাকিলে মুঠ ফ্লাক্স কিমান?

উত্তৰঃ ডাইপলৰ মুঠ আধান শূন্য, সেয়েহে গাউছৰ সূত্ৰ অনুসৰি মুঠ ফ্লাক্স $\Phi = 0$।

প্ৰশ্ন ৭। অসীম দীঘল আধানিত তাৰৰ পৰা $r$ দূৰত্বত ক্ষেত্ৰ কি ৰূপত পৰিৱৰ্তিত হয়?

উত্তৰঃ $E \propto 1/r$ — অৰ্থাৎ ক্ষেত্ৰ দূৰত্বৰ ব্যস্তানুপাতিক।

প্ৰশ্ন ৮। অসীম পৃষ্ঠৰ পৰা ক্ষেত্ৰ কি ৰূপত পৰিৱৰ্তিত হয়?

উত্তৰঃ $E = \sigma/(2\epsilon_0)$ — অৰ্থাৎ পৃষ্ঠৰ পৰা দূৰত্বৰ ওপৰত নিৰ্ভৰ নকৰে; ক্ষেত্ৰ সমান।

প্ৰশ্ন ৯। আধানিত পৰিবাহী গোলকৰ ভিতৰত আৰু পৃষ্ঠত ক্ষেত্ৰ কেনে?

উত্তৰঃ ভিতৰত $E = 0$ আৰু পৃষ্ঠত $E = \sigma/\epsilon_0$ (পৃষ্ঠ আধান ঘনত্ব $\sigma$)।

প্ৰশ্ন ১০। ডাইপলে স্থিৰ অৱস্থা কেতিয়া লাভ কৰে?

উত্তৰঃ যেতিয়া $\vec{p}$ আৰু $\vec{E}$ এই দিশ একে হয় ($\theta = 0°$)। তেতিয়া $\tau = 0$ আৰু শক্তি ন্যূনতম।

HSLC Guru-ত আপোনাক ASSEB-ৰ সকলো শ্ৰেণীৰ অধ্যায়ৰ বিশদ অসমীয়া সমাধান পোৱা যাব। অধ্যয়ন কৰি যাওক, সফলতা নিশ্চিত!