অৱকল সমীকৰণ — প্ৰশ্ন উত্তৰ
HSLC Guru-লৈ আপোনাক স্বাগতম। এই পাঠত আমি ASSEB Class 12 গণিতৰ নৱম অধ্যায় অৱকল সমীকৰণ (Differential Equations)ৰ অনুশীলনী 9.1, অনুশীলনী 9.2, অনুশীলনী 9.3, অনুশীলনী 9.4, অনুশীলনী 9.5 আৰু 9 অধ্যায়ৰ সানমিহলি অনুশীলনীৰ সকলো প্ৰশ্নৰ সম্পূৰ্ণ, ধাপে ধাপে সমাধান পাঠ্যপুথিৰ ক্ৰম অনুসৰি দাঙি ধৰিছোঁ।
সাৰাংশ
স্বতন্ত্ৰ চলক সাপেক্ষে পৰতন্ত্ৰ চলকৰ অৱকল (derivative) যুক্ত থকা সমীকৰণক অৱকল সমীকৰণ বোলা হয়, যেনে $\frac{dy}{dx} = g(x)$। এটা অৱকল সমীকৰণৰ ক্ৰম (order) হ’ল সমীকৰণটোত জড়িত উচ্চতম ক্ৰমৰ অৱকলটোৰ ক্ৰম। অৱকল সমীকৰণক ইয়াৰ অৱকলবোৰৰ ($y^{\prime}, y^{\prime\prime}, y^{\prime\prime\prime}$ আদিৰ) বহুপদ সমীকৰণ হিচাপে প্ৰকাশ কৰিব পাৰিলে ইয়াৰ মাত্ৰা (degree) সংজ্ঞাবদ্ধ হয়, আৰু ই হ’ল উচ্চতম ক্ৰমৰ অৱকলটোৰ উচ্চতম ধনাত্মক অখণ্ড ঘাত। ক্ৰম আৰু মাত্ৰা সদায় ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যা।
অৱকল সমীকৰণটোক সিদ্ধ কৰা ফলনক ইয়াৰ সমাধান বোলা হয়। ক্ৰমৰ সমান সংখ্যক যাদৃচ্ছিক ধ্ৰুৱক (arbitrary constant) থকা সমাধানটোক সাধাৰণ সমাধান (general solution) আৰু যাদৃচ্ছিক ধ্ৰুৱক নথকা সমাধানক বিশেষ সমাধান (particular solution) বোলা হয়। নিৰ্দিষ্ট ফলন এটাৰ পৰা অৱকল সমীকৰণ গঠন কৰিবলৈ ফলনটোত থকা যাদৃচ্ছিক ধ্ৰুৱকৰ সংখ্যাৰ সমানসংখ্যকবাৰ অৱকল লৈ ধ্ৰুৱকবোৰ অপনয়ন কৰা হয়।
প্ৰথম ক্ৰম-প্ৰথম মাত্ৰাৰ অৱকল সমীকৰণ সমাধানৰ তিনিটা মূল পদ্ধতি আছে। (১) চলক পৃথকীকৰণ (variables separable): $\frac{dy}{dx} = h(y) \cdot g(x)$ ৰূপত সজাই $\frac{1}{h(y)}\, dy = g(x)\, dx$ লিখি দুয়োপক্ষ অনুকল কৰা হয়। (২) সমমাত্ৰিক অৱকল সমীকৰণ (homogeneous): $\frac{dy}{dx} = g\left(\frac{y}{x}\right)$ ৰূপৰ ক্ষেত্ৰত $y = vx$ প্ৰতিস্থাপন কৰা হয়। (৩) ৰৈখিক অৱকল সমীকৰণ (linear): $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ ৰূপৰ ক্ষেত্ৰত অনুকলন গুণক $\text{(I.F.)} = e^{\int P\, dx}$ উলিয়াই সমাধান $y \cdot \text{(I.F.)} = \int (Q \cdot \text{I.F.})\, dx + C$ পোৱা যায়।
Summary: This page gives complete, step-by-step Assamese-medium solutions to ASSEB Class 12 Mathematics Chapter 9, Differential Equations, covering Exercise 9.1, 9.2, 9.3, 9.4, 9.5 and the Miscellaneous Exercise on Chapter 9. It explains the order and degree of a differential equation, general and particular solutions, formation of differential equations, and the three methods of solving first order first degree equations — variables separable, homogeneous equations using the substitution y = vx, and linear equations using the integrating factor.
পাঠ্যপুথিৰ প্ৰশ্ন আৰু উত্তৰ
অনুশীলনী 9.1
অনুশীলনী 1 পৰা 10 লৈ অৱকল সমীকৰণসমূহৰ ক্ৰম আৰু মাত্ৰা (যদি থাকে) নিৰ্ণয় কৰা।
1. $\frac{d^4y}{dx^4} + \sin(y^{\prime\prime\prime}) = 0$
উত্তৰঃ উচ্চতম ক্ৰমৰ অৱকল হ’ল $\frac{d^4y}{dx^4}$, গতিকে ক্ৰম $= 4$। কিন্তু সমীকৰণটোত $\sin(y^{\prime\prime\prime})$ থকাত ই অৱকলবোৰৰ বহুপদ সমীকৰণ নহয়, সেয়েহে মাত্ৰা সংজ্ঞাবদ্ধ নহয়।
2. $y^{\prime} + 5y = 0$
উত্তৰঃ উচ্চতম ক্ৰমৰ অৱকল $y^{\prime}$, গতিকে ক্ৰম $= 1$। ই $y^{\prime}$ ত বহুপদ আৰু ইয়াৰ উচ্চতম ঘাত $1$, গতিকে মাত্ৰা $= 1$।
3. $\left(\frac{ds}{dt}\right)^4 + 3s\frac{d^2s}{dt^2} = 0$
উত্তৰঃ উচ্চতম ক্ৰমৰ অৱকল $\frac{d^2s}{dt^2}$, গতিকে ক্ৰম $= 2$। ই অৱকলবোৰৰ বহুপদ আৰু $\frac{d^2s}{dt^2}$ ৰ উচ্চতম ঘাত $1$, গতিকে মাত্ৰা $= 1$।
4. $\left(\frac{d^2y}{dx^2}\right)^2 + \cos\left(\frac{dy}{dx}\right) = 0$
উত্তৰঃ উচ্চতম ক্ৰমৰ অৱকল $\frac{d^2y}{dx^2}$, গতিকে ক্ৰম $= 2$। কিন্তু $\cos\left(\frac{dy}{dx}\right)$ থকাত ই অৱকলবোৰৰ বহুপদ নহয়, সেয়েহে মাত্ৰা সংজ্ঞাবদ্ধ নহয়।
5. $\frac{d^2y}{dx^2} = \cos 3x + \sin 3x$
উত্তৰঃ উচ্চতম ক্ৰমৰ অৱকল $\frac{d^2y}{dx^2}$, গতিকে ক্ৰম $= 2$। ই $\frac{d^2y}{dx^2}$ ত বহুপদ আৰু উচ্চতম ঘাত $1$, গতিকে মাত্ৰা $= 1$।
6. $(y^{\prime\prime\prime})^2 + (y^{\prime\prime})^3 + (y^{\prime})^4 + y^5 = 0$
উত্তৰঃ উচ্চতম ক্ৰমৰ অৱকল $y^{\prime\prime\prime}$, গতিকে ক্ৰম $= 3$। ই অৱকলবোৰৰ বহুপদ আৰু $y^{\prime\prime\prime}$ ৰ উচ্চতম ঘাত $2$, গতিকে মাত্ৰা $= 2$।
7. $y^{\prime\prime\prime} + 2y^{\prime\prime} + y^{\prime} = 0$
উত্তৰঃ উচ্চতম ক্ৰমৰ অৱকল $y^{\prime\prime\prime}$, গতিকে ক্ৰম $= 3$। ই অৱকলবোৰৰ বহুপদ আৰু $y^{\prime\prime\prime}$ ৰ উচ্চতম ঘাত $1$, গতিকে মাত্ৰা $= 1$।
8. $y^{\prime} + y = e^x$
উত্তৰঃ উচ্চতম ক্ৰমৰ অৱকল $y^{\prime}$, গতিকে ক্ৰম $= 1$। ই $y^{\prime}$ ত বহুপদ আৰু উচ্চতম ঘাত $1$, গতিকে মাত্ৰা $= 1$।
9. $y^{\prime\prime} + (y^{\prime})^2 + 2y = 0$
উত্তৰঃ উচ্চতম ক্ৰমৰ অৱকল $y^{\prime\prime}$, গতিকে ক্ৰম $= 2$। ই অৱকলবোৰৰ বহুপদ আৰু $y^{\prime\prime}$ ৰ উচ্চতম ঘাত $1$, গতিকে মাত্ৰা $= 1$।
10. $y^{\prime\prime} + 2y^{\prime} + \sin y = 0$
উত্তৰঃ উচ্চতম ক্ৰমৰ অৱকল $y^{\prime\prime}$, গতিকে ক্ৰম $= 2$। ইয়াত $\sin y$ পৰতন্ত্ৰ চলক $y$ ৰ ফলন (অৱকল নহয়), গতিকে ই অৱকলবোৰৰ বহুপদ আৰু $y^{\prime\prime}$ ৰ উচ্চতম ঘাত $1$, সেয়েহে মাত্ৰা $= 1$।
11. $\left(\frac{d^2y}{dx^2}\right)^3 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2 + \sin\left(\frac{dy}{dx}\right) + 1 = 0$ অৱকল সমীকৰণটোৰ মাত্ৰা—
(A) $3$ (B) $2$ (C) $1$ (D) সংজ্ঞাবদ্ধ নহয়
উত্তৰঃ শুদ্ধ উত্তৰ (D) সংজ্ঞাবদ্ধ নহয়। সমীকৰণটোত $\sin\left(\frac{dy}{dx}\right)$ থকাত ই অৱকলবোৰৰ বহুপদ সমীকৰণ নহয়, সেয়েহে ইয়াৰ মাত্ৰা সংজ্ঞাবদ্ধ নহয়।
12. $2x^2\frac{d^2y}{dx^2} – 3\frac{dy}{dx} + y = 0$ অৱকল সমীকৰণটোৰ ক্ৰম—
(A) $2$ (B) $1$ (C) $0$ (D) সংজ্ঞাবদ্ধ নহয়
উত্তৰঃ শুদ্ধ উত্তৰ (A) $2$। সমীকৰণটোত থকা উচ্চতম ক্ৰমৰ অৱকল $\frac{d^2y}{dx^2}$, সেয়েহে ইয়াৰ ক্ৰম $2$।
অনুশীলনী 9.2
অনুশীলনী 1 ৰপৰা 10 লৈ প্ৰত্যেকৰ ক্ষেত্ৰত প্ৰত্যায়ন কৰা যে প্ৰদত্ত ফলনসমূহ (প্ৰকাশ বা অন্তৰ্নিহিত) অনুৰূপ অৱকল সমীকৰণৰ বাবে একোটা সমাধান।
1. $y = e^x + 1$ : $y^{\prime\prime} – y^{\prime} = 0$
উত্তৰঃ $y = e^x + 1$ অৱকল কৰি $y^{\prime} = e^x$ আৰু $y^{\prime\prime} = e^x$। গতিকে $y^{\prime\prime} – y^{\prime} = e^x – e^x = 0$। সেয়েহে প্ৰদত্ত ফলনটো অৱকল সমীকৰণটোৰ এটা সমাধান।
2. $y = x^2 + 2x + C$ : $y^{\prime} – 2x – 2 = 0$
উত্তৰঃ অৱকল কৰি $y^{\prime} = 2x + 2$। গতিকে $y^{\prime} – 2x – 2 = (2x + 2) – 2x – 2 = 0$। সেয়েহে প্ৰদত্ত ফলনটো এটা সমাধান।
3. $y = \cos x + C$ : $y^{\prime} + \sin x = 0$
উত্তৰঃ অৱকল কৰি $y^{\prime} = -\sin x$। গতিকে $y^{\prime} + \sin x = -\sin x + \sin x = 0$। সেয়েহে প্ৰদত্ত ফলনটো এটা সমাধান।
4. $y = \sqrt{1 + x^2}$ : $y^{\prime} = \frac{xy}{1 + x^2}$
উত্তৰঃ অৱকল কৰি $y^{\prime} = \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}$। এতিয়া $\frac{xy}{1 + x^2} = \frac{x\sqrt{1 + x^2}}{1 + x^2} = \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}$। গতিকে $y^{\prime} = \frac{xy}{1 + x^2}$ সিদ্ধ হয়, ফলনটো এটা সমাধান।
5. $y = Ax$ : $xy^{\prime} = y\ (x \ne 0)$
উত্তৰঃ অৱকল কৰি $y^{\prime} = A$। গতিকে $xy^{\prime} = Ax = y$। সেয়েহে প্ৰদত্ত ফলনটো এটা সমাধান।
6. $y = x \sin x$ : $xy^{\prime} = y + x\sqrt{x^2 – y^2}\ (x \ne 0$ আৰু $x > y$ বা $x < -y)$
উত্তৰঃ অৱকল কৰি $y^{\prime} = \sin x + x \cos x$, গতিকে $xy^{\prime} = x \sin x + x^2 \cos x$। আনহাতে $\sqrt{x^2 – y^2} = \sqrt{x^2 – x^2\sin^2 x} = x\sqrt{\cos^2 x} = x\cos x$ (উপযুক্ত ক্ষেত্ৰত)। গতিকে $y + x\sqrt{x^2 – y^2} = x \sin x + x \cdot x\cos x = x \sin x + x^2\cos x = xy^{\prime}$। সেয়েহে ফলনটো এটা সমাধান।
7. $xy = \log y + C$ : $y^{\prime} = \frac{y^2}{1 – xy}\ (xy \ne 1)$
উত্তৰঃ $xy = \log y + C$ ৰ উভয়পক্ষ অৱকল কৰি $y + xy^{\prime} = \frac{y^{\prime}}{y}$। গতিকে $y = \frac{y^{\prime}}{y} – xy^{\prime} = y^{\prime}\left(\frac{1 – xy}{y}\right)$, অৰ্থাৎ $y^{\prime} = \frac{y^2}{1 – xy}$। সেয়েহে ফলনটো এটা সমাধান।
8. $y – \cos y = x$ : $(y \sin y + \cos y + x) y^{\prime} = y$
উত্তৰঃ উভয়পক্ষ অৱকল কৰি $y^{\prime} + \sin y \cdot y^{\prime} = 1$, অৰ্থাৎ $y^{\prime}(1 + \sin y) = 1$। এতিয়া $x = y – \cos y$ হোৱাত $y \sin y + \cos y + x = y \sin y + \cos y + y – \cos y = y(1 + \sin y)$। গতিকে বাঁওপক্ষ $= y(1 + \sin y) \cdot y^{\prime} = y(1 + \sin y) \cdot \frac{1}{1 + \sin y} = y$। সেয়েহে ফলনটো এটা সমাধান।
9. $x + y = \tan^{-1} y$ : $y^2 y^{\prime} + y^2 + 1 = 0$
উত্তৰঃ উভয়পক্ষ অৱকল কৰি $1 + y^{\prime} = \frac{y^{\prime}}{1 + y^2}$। গতিকে $(1 + y^{\prime})(1 + y^2) = y^{\prime}$, অৰ্থাৎ $1 + y^2 + y^{\prime} + y^2 y^{\prime} = y^{\prime}$, যিয়ে দিয়ে $y^2 y^{\prime} + y^2 + 1 = 0$। সেয়েহে ফলনটো এটা সমাধান।
10. $y = \sqrt{a^2 – x^2},\ x \in (-a, a)$ : $x + y\frac{dy}{dx} = 0\ (y \ne 0)$
উত্তৰঃ অৱকল কৰি $\frac{dy}{dx} = \frac{-x}{\sqrt{a^2 – x^2}} = \frac{-x}{y}$। গতিকে $x + y\frac{dy}{dx} = x + y \cdot \left(\frac{-x}{y}\right) = x – x = 0$। সেয়েহে ফলনটো এটা সমাধান।
11. চতুৰ্থ ক্ৰমৰ অৱকল সমীকৰণ এটাৰ সাধাৰণ সমাধানত যাদৃচ্ছিক ধ্ৰুৱকৰ সংখ্যা—
(A) $0$ (B) $2$ (C) $3$ (D) $4$
উত্তৰঃ শুদ্ধ উত্তৰ (D) $4$। সাধাৰণ সমাধানত থকা যাদৃচ্ছিক ধ্ৰুৱকৰ সংখ্যা অৱকল সমীকৰণটোৰ ক্ৰমৰ সমান হয়, গতিকে চতুৰ্থ ক্ৰমৰ বাবে ই $4$।
12. তৃতীয় ক্ৰমৰ অৱকল সমীকৰণ এটাৰ বিশেষ সমাধানত যাদৃচ্ছিক ধ্ৰুৱকৰ সংখ্যা—
(A) $3$ (B) $2$ (C) $1$ (D) $0$
উত্তৰঃ শুদ্ধ উত্তৰ (D) $0$। বিশেষ সমাধানত কোনো যাদৃচ্ছিক ধ্ৰুৱক নাথাকে, গতিকে ইয়াৰ সংখ্যা $0$।
অনুশীলনী 9.3
অনুশীলনী 1 ৰপৰা 10 লৈ প্ৰতিটো অৱকল সমীকৰণৰ বাবে সাধাৰণ সমাধান উলিওৱা।
1. $\frac{dy}{dx} = \frac{1 – \cos x}{1 + \cos x}$
উত্তৰঃ $1 – \cos x = 2\sin^2\frac{x}{2}$ আৰু $1 + \cos x = 2\cos^2\frac{x}{2}$ ব্যৱহাৰ কৰি $\frac{dy}{dx} = \tan^2\frac{x}{2} = \sec^2\frac{x}{2} – 1$। উভয়পক্ষ অনুকল কৰি $y = \int\left(\sec^2\frac{x}{2} – 1\right) dx = 2\tan\frac{x}{2} – x + C$।
2. $\frac{dy}{dx} = \sqrt{4 – y^2}\ (-2 < y < 2)$
উত্তৰঃ চলক পৃথক কৰি $\frac{dy}{\sqrt{4 – y^2}} = dx$। অনুকল কৰি $\sin^{-1}\frac{y}{2} = x + C$, অৰ্থাৎ $y = 2\sin(x + C)$।
3. $\frac{dy}{dx} + y = 1\ (y \ne 1)$
উত্তৰঃ $\frac{dy}{dx} = 1 – y$, গতিকে $\frac{dy}{1 – y} = dx$। অনুকল কৰি $-\log|1 – y| = x + C_1$, অৰ্থাৎ $\log|1 – y| = -x – C_1$, যিয়ে দিয়ে $1 – y = C e^{-x}$ বা $y = 1 – C e^{-x}$।
4. $\sec^2 x \tan y\, dx + \sec^2 y \tan x\, dy = 0$
উত্তৰঃ $\tan x \tan y$ ৰে হৰণ কৰি $\frac{\sec^2 x}{\tan x} dx + \frac{\sec^2 y}{\tan y} dy = 0$। অনুকল কৰি $\log|\tan x| + \log|\tan y| = \log C$, অৰ্থাৎ $\tan x \cdot \tan y = C$।
5. $(e^x + e^{-x}) dy – (e^x – e^{-x}) dx = 0$
উত্তৰঃ $dy = \frac{e^x – e^{-x}}{e^x + e^{-x}} dx$। যিহেতু $\frac{d}{dx}(e^x + e^{-x}) = e^x – e^{-x}$, অনুকল কৰি $y = \log(e^x + e^{-x}) + C$।
6. $\frac{dy}{dx} = (1 + x^2)(1 + y^2)$
উত্তৰঃ চলক পৃথক কৰি $\frac{dy}{1 + y^2} = (1 + x^2) dx$। অনুকল কৰি $\tan^{-1} y = x + \frac{x^3}{3} + C$।
7. $y \log y\, dx – x\, dy = 0$
উত্তৰঃ চলক পৃথক কৰি $\frac{dx}{x} = \frac{dy}{y \log y}$। অনুকল কৰি $\log|x| = \log|\log y| + \log C$ (কিয়নো $\int\frac{dy}{y \log y} = \log|\log y|$), যিয়ে দিয়ে $\log y = C x$।
8. $x^5 \frac{dy}{dx} = -y^5$
উত্তৰঃ চলক পৃথক কৰি $\frac{dy}{y^5} = -\frac{dx}{x^5}$। অনুকল কৰি $\frac{y^{-4}}{-4} = \frac{x^{-4}}{4} + C_1$, অৰ্থাৎ $-\frac{1}{4y^4} – \frac{1}{4x^4} = C_1$। $-4$ ৰে গুণ কৰি সাধাৰণ সমাধান $x^{-4} + y^{-4} = C$।
9. $\frac{dy}{dx} = \sin^{-1} x$
উত্তৰঃ $y = \int \sin^{-1} x\, dx$। খণ্ডশঃ অনুকলনৰ দ্বাৰা $\int \sin^{-1} x\, dx = x\sin^{-1} x – \int\frac{x}{\sqrt{1 – x^2}} dx = x\sin^{-1} x + \sqrt{1 – x^2} + C$। গতিকে $y = x\sin^{-1} x + \sqrt{1 – x^2} + C$।
10. $e^x \tan y\, dx + (1 – e^x) \sec^2 y\, dy = 0$
উত্তৰঃ $\frac{e^x}{1 – e^x} dx + \frac{\sec^2 y}{\tan y} dy = 0$। অনুকল কৰি $-\log|1 – e^x| + \log|\tan y| = \log C$ (কিয়নো $\frac{d}{dx}(1 – e^x) = -e^x$)। গতিকে $\frac{\tan y}{1 – e^x} = C$, অৰ্থাৎ $\tan y = C(1 – e^x)$।
অনুশীলনী 11 ৰপৰা 14 লৈ প্ৰতিটো অৱকল সমীকৰণৰ বাবে প্ৰদত্ত চৰ্ত সিদ্ধ কৰাকৈ একোটা বিশেষ সমাধান উলিওৱা।
11. $(x^3 + x^2 + x + 1)\frac{dy}{dx} = 2x^2 + x$; $y = 1$ যেতিয়া $x = 0$
উত্তৰঃ $x^3 + x^2 + x + 1 = (x + 1)(x^2 + 1)$। গতিকে $dy = \frac{2x^2 + x}{(x + 1)(x^2 + 1)} dx$। আংশিক ভগ্নাংশে $\frac{2x^2 + x}{(x + 1)(x^2 + 1)} = \frac{1/2}{x + 1} + \frac{\frac{3}{2}x – \frac{1}{2}}{x^2 + 1}$। অনুকল কৰি
$$y = \frac{1}{2}\log|x + 1| + \frac{3}{4}\log(x^2 + 1) – \frac{1}{2}\tan^{-1} x + C$$
$x = 0, y = 1$ বহুৱাই $1 = 0 + 0 – 0 + C$, গতিকে $C = 1$। বিশেষ সমাধান $y = \frac{1}{2}\log|x + 1| + \frac{3}{4}\log(x^2 + 1) – \frac{1}{2}\tan^{-1} x + 1$।
12. $x(x^2 – 1)\frac{dy}{dx} = 1$; $y = 0$ যেতিয়া $x = 2$
উত্তৰঃ $dy = \frac{dx}{x(x – 1)(x + 1)}$। আংশিক ভগ্নাংশে $\frac{1}{x(x – 1)(x + 1)} = -\frac{1}{x} + \frac{1}{2(x – 1)} + \frac{1}{2(x + 1)}$। অনুকল কৰি $y = -\log|x| + \frac{1}{2}\log|x – 1| + \frac{1}{2}\log|x + 1| + K = \frac{1}{2}\log\left|\frac{x^2 – 1}{x^2}\right| + K$। $x = 2, y = 0$ বহুৱাই $0 = \frac{1}{2}\log\frac{3}{4} + K$, গতিকে $K = \frac{1}{2}\log\frac{4}{3}$। বিশেষ সমাধান $y = \frac{1}{2}\log\left|\frac{4(x^2 – 1)}{3x^2}\right|$।
13. $\cos\left(\frac{dy}{dx}\right) = a\ (a \in \mathbb{R})$; $y = 1$ যেতিয়া $x = 0$
উত্তৰঃ $\frac{dy}{dx} = \cos^{-1} a$, গতিকে $dy = \cos^{-1} a\, dx$। অনুকল কৰি $y = x\cos^{-1} a + C$। $x = 0, y = 1$ বহুৱাই $C = 1$। গতিকে $y = x\cos^{-1} a + 1$, অৰ্থাৎ $\frac{y – 1}{x} = \cos^{-1} a$ বা $\cos\left(\frac{y – 1}{x}\right) = a$।
14. $\frac{dy}{dx} = y \tan x$; $y = 1$ যেতিয়া $x = 0$
উত্তৰঃ $\frac{dy}{y} = \tan x\, dx$। অনুকল কৰি $\log|y| = \log|\sec x| + C_1$, অৰ্থাৎ $y = C\sec x$। $x = 0, y = 1$ বহুৱাই $C = 1$। বিশেষ সমাধান $y = \sec x$।
15. $(0, 0)$ বিন্দুৰে অতিক্ৰম কৰা বক্ৰ এডালৰ সমীকৰণ উলিওৱা যাৰ অৱকল সমীকৰণ হ’ল, $y^{\prime} = e^x \sin x$.
উত্তৰঃ $y = \int e^x \sin x\, dx = \frac{e^x(\sin x – \cos x)}{2} + C$। $(0, 0)$ বহুৱাই $0 = \frac{1 \cdot (0 – 1)}{2} + C = -\frac{1}{2} + C$, গতিকে $C = \frac{1}{2}$। বক্ৰৰ সমীকৰণ $y = \frac{1}{2}\left[e^x(\sin x – \cos x) + 1\right]$, অৰ্থাৎ $2y – 1 = e^x(\sin x – \cos x)$।
16. $xy\frac{dy}{dx} = (x + 2)(y + 2)$ অৱকল সমীকৰণৰ বাবে $(1, -1)$ বিন্দুৰে অতিক্ৰম কৰা সমাধান বক্ৰডাল নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ চলক পৃথক কৰি $\frac{y}{y + 2} dy = \frac{x + 2}{x} dx$। $\frac{y}{y + 2} = 1 – \frac{2}{y + 2}$ আৰু $\frac{x + 2}{x} = 1 + \frac{2}{x}$। অনুকল কৰি $y – 2\log|y + 2| = x + 2\log|x| + C$। $(1, -1)$ বহুৱাই $-1 – 2\log 1 = 1 + 2\log 1 + C$, গতিকে $C = -2$। বক্ৰৰ সমীকৰণ $y – x + 2 = 2\log|x(y + 2)|$।
17. $(0, -2)$ বিন্দুৰে যোৱা এডাল বক্ৰৰ সমীকৰণ নিৰ্ণয় কৰা যদি দিয়া থাকে যে বক্ৰডালৰ যিকোনো বিন্দু $(x, y)$ ত স্পৰ্শকৰ প্ৰৱণতা আৰু বিন্দুটোৰ $y$ স্থানাংকৰ গুণফল বিন্দুটোৰ $x$ স্থানাংকৰ সমান।
উত্তৰঃ চৰ্তমতে $y \cdot \frac{dy}{dx} = x$, গতিকে $y\, dy = x\, dx$। অনুকল কৰি $\frac{y^2}{2} = \frac{x^2}{2} + C_1$, অৰ্থাৎ $y^2 = x^2 + C$। $(0, -2)$ বহুৱাই $4 = 0 + C$, গতিকে $C = 4$। বক্ৰৰ সমীকৰণ $y^2 – x^2 = 4$।
18. এডাল বক্ৰৰ যিকোনো বিন্দু $(x, y)$ ত স্পৰ্শকৰ প্ৰৱণতা, স্পৰ্শবিন্দু আৰু $(-4, -3)$ বিন্দু সংযোগী ৰেখাখণ্ডৰ প্ৰৱণতাৰ দুগুণ হ’লে, বক্ৰডালৰ সমীকৰণ নিৰ্ণয় কৰা যদি দিয়া থাকে যে ই $(-2, 1)$ বিন্দুৰে অতিক্ৰম কৰে।
উত্তৰঃ স্পৰ্শবিন্দু $(x, y)$ আৰু $(-4, -3)$ সংযোগী ৰেখাখণ্ডৰ প্ৰৱণতা $\frac{y + 3}{x + 4}$। চৰ্তমতে $\frac{dy}{dx} = 2 \cdot \frac{y + 3}{x + 4}$। চলক পৃথক কৰি $\frac{dy}{y + 3} = \frac{2\, dx}{x + 4}$। অনুকল কৰি $\log|y + 3| = 2\log|x + 4| + C_1$, অৰ্থাৎ $y + 3 = C(x + 4)^2$। $(-2, 1)$ বহুৱাই $4 = C(2)^2 = 4C$, গতিকে $C = 1$। বক্ৰৰ সমীকৰণ $y + 3 = (x + 4)^2$।
19. ফুলাই থকা অৱস্থাত গোলাকাৰ বেলুন এটাৰ আয়তন নিৰ্দিষ্ট (constant) হাৰে পৰিৱৰ্তন হয়। যদি আৰম্ভণিতে ইয়াৰ ব্যাসাৰ্ধ $3$ একক আৰু $3$ ছেকেণ্ডৰ পাছত ই $6$ একক হয় তেন্তে $t$ ছেকেণ্ডৰ পাছত বেলুনটোৰ ব্যাসাৰ্ধ উলিওৱা।
উত্তৰঃ আয়তন $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ আৰু $\frac{dV}{dt} = k$ (ধ্ৰুৱক)। গতিকে $V = kt + C_1$, অৰ্থাৎ $\frac{4}{3}\pi r^3 = kt + C_1$। $t = 0, r = 3$: $\frac{4}{3}\pi(27) = C_1$, গতিকে $C_1 = 36\pi$। $t = 3, r = 6$: $\frac{4}{3}\pi(216) = 3k + 36\pi$, অৰ্থাৎ $288\pi = 3k + 36\pi$, গতিকে $k = 84\pi$। এতিয়া $\frac{4}{3}\pi r^3 = 84\pi t + 36\pi$, উভয়পক্ষক $\frac{3}{4\pi}$ ৰে গুণ কৰি $r^3 = 63t + 27$, অৰ্থাৎ $r = (63t + 27)^{1/3}$।
20. বেংক এটাত বছৰি $r\%$ হাৰে অবিৰতভাৱে মূলধন বৃদ্ধি হয়। যদি $100$ টকা $10$ বছৰত ইয়াৰ দিগুণ হয় তেন্তে $r$ ৰ মান উলিওৱা। $(\log_e 2 = 0.6931)$
উত্তৰঃ $\frac{dP}{dt} = \frac{r}{100}P$, চলক পৃথক কৰি $\frac{dP}{P} = \frac{r}{100} dt$। অনুকল কৰি $P = P_0\, e^{rt/100}$। $P_0 = 100$; $t = 10$ ত $P = 200$: $200 = 100\, e^{10r/100} = 100\, e^{r/10}$, গতিকে $2 = e^{r/10}$, অৰ্থাৎ $\frac{r}{10} = \log_e 2 = 0.6931$, যিয়ে দিয়ে $r = 6.931 \approx 6.93$।
21. এটা বেংকত বছৰি $5\%$ হাৰে অবিৰতভাৱে মূলধন বৃদ্ধি হয়। $1000$ টকা পৰিমাণৰ ধন বেংকটোত জমা থোৱা হ’ল; $10$ বছৰৰ পাছত ইয়াৰ মূল্য কিমান হ’ব? $(e^{0.5} = 1.648)$
উত্তৰঃ ওপৰৰ দৰেই $P = P_0\, e^{rt/100}$। $P_0 = 1000$, $r = 5$, $t = 10$: $P = 1000\, e^{5 \times 10/100} = 1000\, e^{0.5} = 1000 \times 1.648 = 1648$। গতিকে $10$ বছৰৰ পাছত ধনৰ পৰিমাণ $1648$ টকা।
22. এটা বেক্টেৰিয়া পৰীক্ষা কাৰ্যত বেক্টেৰিয়াৰ মুঠ পৰিমাণ হ’ল $1{,}00{,}000$; এই সংখ্যা $2$ ঘণ্টাত $10\%$ হাৰে বৃদ্ধি হয়। কিমান ঘণ্টাত এই পৰিমাণ $2{,}00{,}000$ হ’ব, যদি বেক্টেৰিয়াৰ বৃদ্ধিৰ হাৰ মজুত থকা সংখ্যাৰ সমানুপাতিক হয়।
উত্তৰঃ ধৰোঁ $t$ সময়ত সংখ্যা $N$। $\frac{dN}{dt} = kN$, গতিকে $N = N_0\, e^{kt}$, য’ত $N_0 = 100000$। $t = 2$ ত $N = 110000$ ($10\%$ বৃদ্ধি): $110000 = 100000\, e^{2k}$, অৰ্থাৎ $e^{2k} = \frac{11}{10}$, গতিকে $k = \frac{1}{2}\log\frac{11}{10}$। $N = 200000$ হ’বলৈ $2 = e^{kt}$, অৰ্থাৎ $t = \frac{\log 2}{k} = \frac{2\log 2}{\log(11/10)} \approx 14.5$ ঘণ্টা।
23. $\frac{dy}{dx} = e^{x+y}$ অৱকল সমীকৰণৰ সাধাৰণ সমাধান—
(A) $e^x + e^{-y} = C$ (B) $e^x + e^y = C$ (C) $e^{-x} + e^y = C$ (D) $e^{-x} + e^{-y} = C$
উত্তৰঃ শুদ্ধ উত্তৰ (A)। $\frac{dy}{dx} = e^x \cdot e^y$, গতিকে $e^{-y}\, dy = e^x\, dx$। অনুকল কৰি $-e^{-y} = e^x + C_1$, অৰ্থাৎ $e^x + e^{-y} = C$।
অনুশীলনী 9.4
অনুশীলনী 1ৰপৰা 10 লৈ প্ৰত্যেকতে দেখুওৱা যে প্ৰদত্ত অৱকল সমীকৰণটো সমমাত্ৰিক আৰু সেইবোৰৰ প্ৰতিটোৰে সমাধান উলিওৱা।
1. $(x^2 + xy) dy = (x^2 + y^2) dx$
উত্তৰঃ $\frac{dy}{dx} = \frac{x^2 + y^2}{x^2 + xy}$; লব আৰু হৰ দুয়োটা $2$ মাত্ৰাৰ সমমাত্ৰিক ফলন, গতিকে ই সমমাত্ৰিক। $y = vx$ বহুৱাই $v + x\frac{dv}{dx} = \frac{1 + v^2}{1 + v}$। গতিকে $x\frac{dv}{dx} = \frac{1 + v^2}{1 + v} – v = \frac{1 – v}{1 + v}$। চলক পৃথক কৰি $\frac{1 + v}{1 – v} dv = \frac{dx}{x}$, অৰ্থাৎ $\left(-1 + \frac{2}{1 – v}\right) dv = \frac{dx}{x}$। অনুকল কৰি $-v – 2\log|1 – v| = \log|x| + C$। $v = \frac{y}{x}$ বহুৱাই সৰল কৰিলে সাধাৰণ সমাধান $(x – y)^2 = Cx\, e^{-y/x}$ পোৱা যায়।
2. $y^{\prime} = \frac{x + y}{x}$
উত্তৰঃ $\frac{dy}{dx} = 1 + \frac{y}{x}$, সমমাত্ৰিক। $y = vx$ বহুৱাই $v + x\frac{dv}{dx} = 1 + v$, গতিকে $x\frac{dv}{dx} = 1$, অৰ্থাৎ $dv = \frac{dx}{x}$। অনুকল কৰি $v = \log|x| + C$। $v = \frac{y}{x}$ বহুৱাই $y = x(\log|x| + C)$।
3. $(x – y) dy – (x + y) dx = 0$
উত্তৰঃ $\frac{dy}{dx} = \frac{x + y}{x – y}$, সমমাত্ৰিক। $y = vx$ বহুৱাই $v + x\frac{dv}{dx} = \frac{1 + v}{1 – v}$, গতিকে $x\frac{dv}{dx} = \frac{1 + v^2}{1 – v}$। চলক পৃথক কৰি $\frac{1 – v}{1 + v^2} dv = \frac{dx}{x}$। অনুকল কৰি $\tan^{-1} v – \frac{1}{2}\log(1 + v^2) = \log|x| + C$। $v = \frac{y}{x}$ বহুৱাই সৰল কৰিলে $\tan^{-1}\frac{y}{x} = \frac{1}{2}\log(x^2 + y^2) + C$।
4. $(x^2 – y^2) dx + 2xy\, dy = 0$
উত্তৰঃ $\frac{dy}{dx} = \frac{y^2 – x^2}{2xy}$, সমমাত্ৰিক। $y = vx$ বহুৱাই $v + x\frac{dv}{dx} = \frac{v^2 – 1}{2v}$, গতিকে $x\frac{dv}{dx} = -\frac{v^2 + 1}{2v}$। চলক পৃথক কৰি $\frac{2v}{v^2 + 1} dv = -\frac{dx}{x}$। অনুকল কৰি $\log(v^2 + 1) = -\log|x| + C_1$, অৰ্থাৎ $(v^2 + 1)x = C$। $v = \frac{y}{x}$ বহুৱাই $x^2 + y^2 = Cx$।
5. $x^2 \frac{dy}{dx} = x^2 – 2y^2 + xy$
উত্তৰঃ $\frac{dy}{dx} = 1 – 2\left(\frac{y}{x}\right)^2 + \frac{y}{x}$, সমমাত্ৰিক। $y = vx$ বহুৱাই $v + x\frac{dv}{dx} = 1 – 2v^2 + v$, গতিকে $x\frac{dv}{dx} = 1 – 2v^2$। চলক পৃথক কৰি $\frac{dv}{1 – 2v^2} = \frac{dx}{x}$। অনুকল কৰি $\frac{1}{2\sqrt{2}}\log\left|\frac{1 + \sqrt{2}\,v}{1 – \sqrt{2}\,v}\right| = \log|x| + C$। $v = \frac{y}{x}$ বহুৱাই $\frac{1}{2\sqrt{2}}\log\left|\frac{x + \sqrt{2}\,y}{x – \sqrt{2}\,y}\right| = \log|x| + C$।
6. $x\, dy – y\, dx = \sqrt{x^2 + y^2}\, dx$
উত্তৰঃ $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} + \sqrt{1 + \left(\frac{y}{x}\right)^2}$, সমমাত্ৰিক। $y = vx$ বহুৱাই $v + x\frac{dv}{dx} = v + \sqrt{1 + v^2}$, গতিকে $x\frac{dv}{dx} = \sqrt{1 + v^2}$। চলক পৃথক কৰি $\frac{dv}{\sqrt{1 + v^2}} = \frac{dx}{x}$। অনুকল কৰি $\log\left|v + \sqrt{1 + v^2}\right| = \log|x| + C$। $v = \frac{y}{x}$ বহুৱাই $y + \sqrt{x^2 + y^2} = Cx^2$।
7. $\left\{x\cos\left(\frac{y}{x}\right) + y\sin\left(\frac{y}{x}\right)\right\} y\, dx = \left\{y\sin\left(\frac{y}{x}\right) – x\cos\left(\frac{y}{x}\right)\right\} x\, dy$
উত্তৰঃ $y = vx$ বহুৱাই সৰল কৰিলে $\frac{dy}{dx} = \frac{v(\cos v + v\sin v)}{v\sin v – \cos v}$। গতিকে $x\frac{dv}{dx} = \frac{v(\cos v + v\sin v)}{v\sin v – \cos v} – v = \frac{2v\cos v}{v\sin v – \cos v}$। চলক পৃথক কৰি $\frac{v\sin v – \cos v}{v\cos v} dv = \frac{2\, dx}{x}$, অৰ্থাৎ $\left(\tan v – \frac{1}{v}\right) dv = \frac{2\, dx}{x}$। অনুকল কৰি $\log|\sec v| – \log|v| = 2\log|x| + \log C$, অৰ্থাৎ $\frac{\sec v}{v} = Cx^2$। $v = \frac{y}{x}$ বহুৱাই $\sec\frac{y}{x} = Cxy$, অৰ্থাৎ $xy\cos\frac{y}{x} = C$।
8. $x\frac{dy}{dx} – y + x\sin\left(\frac{y}{x}\right) = 0$
উত্তৰঃ $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} – \sin\frac{y}{x}$, সমমাত্ৰিক। $y = vx$ বহুৱাই $v + x\frac{dv}{dx} = v – \sin v$, গতিকে $x\frac{dv}{dx} = -\sin v$। চলক পৃথক কৰি $\operatorname{cosec} v\, dv = -\frac{dx}{x}$। অনুকল কৰি $\log\left|\tan\frac{v}{2}\right| = -\log|x| + \log C$, অৰ্থাৎ $x\tan\frac{v}{2} = C$। $v = \frac{y}{x}$ বহুৱাই $x\tan\frac{y}{2x} = C$।
9. $y\, dx + x\log\left(\frac{y}{x}\right) dy – 2x\, dy = 0$
উত্তৰঃ $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x\left(2 – \log\frac{y}{x}\right)}$, সমমাত্ৰিক। $y = vx$ বহুৱাই $v + x\frac{dv}{dx} = \frac{v}{2 – \log v}$, গতিকে $x\frac{dv}{dx} = \frac{v(\log v – 1)}{2 – \log v}$। চলক পৃথক কৰি $\frac{2 – \log v}{v(\log v – 1)} dv = \frac{dx}{x}$। $t = \log v$ বহুৱাই $\left(-1 + \frac{1}{t – 1}\right) dt = \frac{dx}{x}$, অনুকল কৰি $-\log v + \log|\log v – 1| = \log|x| + C$। সৰল কৰিলে $\log\frac{y}{x} – 1 = Cy$ পোৱা যায়।
10. $\left(1 + e^{x/y}\right) dx + e^{x/y}\left(1 – \frac{x}{y}\right) dy = 0$
উত্তৰঃ ইয়াত $\frac{dx}{dy}$ ৰ ৰূপত ই সমমাত্ৰিক। $x = vy$ বহুৱাই $\frac{dx}{dy} = v + y\frac{dv}{dy} = -\frac{e^v(1 – v)}{1 + e^v}$। গতিকে $y\frac{dv}{dy} = -\frac{v + e^v}{1 + e^v}$। চলক পৃথক কৰি $\frac{1 + e^v}{v + e^v} dv = -\frac{dy}{y}$। যিহেতু $\frac{d}{dv}(v + e^v) = 1 + e^v$, অনুকল কৰি $\log|v + e^v| = -\log|y| + C$, অৰ্থাৎ $y(v + e^v) = C$। $v = \frac{x}{y}$ বহুৱাই $x + y\, e^{x/y} = C$।
অনুশীলনী 11 ৰ পৰা 15 লৈ অৱকল সমীকৰণ প্ৰতিটোৰ বাবে প্ৰদত্ত চৰ্ত সিদ্ধ কৰাকৈ বিশেষ সমাধান উলিওৱা।
11. $(x + y) dy + (x – y) dx = 0$; $y = 1$ যেতিয়া $x = 1$
উত্তৰঃ $\frac{dy}{dx} = \frac{y – x}{x + y}$, সমমাত্ৰিক। $y = vx$ বহুৱাই $v + x\frac{dv}{dx} = \frac{v – 1}{1 + v}$, গতিকে $x\frac{dv}{dx} = -\frac{1 + v^2}{1 + v}$। চলক পৃথক কৰি $\frac{1 + v}{1 + v^2} dv = -\frac{dx}{x}$। অনুকল কৰি $\tan^{-1} v + \frac{1}{2}\log(1 + v^2) = -\log|x| + C$। $v = \frac{y}{x}$ বহুৱাই $\tan^{-1}\frac{y}{x} + \frac{1}{2}\log(x^2 + y^2) = C$। $x = 1, y = 1$ বহুৱাই $C = \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2}\log 2$। বিশেষ সমাধান $\frac{1}{2}\log(x^2 + y^2) + \tan^{-1}\frac{y}{x} = \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2}\log 2$।
12. $x^2 dy + (xy + y^2) dx = 0$; $y = 1$ যেতিয়া $x = 1$
উত্তৰঃ $\frac{dy}{dx} = -\frac{xy + y^2}{x^2}$, সমমাত্ৰিক। $y = vx$ বহুৱাই $v + x\frac{dv}{dx} = -(v + v^2)$, গতিকে $x\frac{dv}{dx} = -v(2 + v)$। চলক পৃথক কৰি $\frac{dv}{v(v + 2)} = -\frac{dx}{x}$, অৰ্থাৎ $\frac{1}{2}\left(\frac{1}{v} – \frac{1}{v + 2}\right) dv = -\frac{dx}{x}$। অনুকল কৰি $\frac{1}{2}\log\left|\frac{v}{v + 2}\right| = -\log|x| + C_1$, যিয়ে দিয়ে $\frac{y}{y + 2x} = \frac{C}{x^2}$। $x = 1, y = 1$ বহুৱাই $\frac{1}{3} = C$। বিশেষ সমাধান $\frac{y}{y + 2x} = \frac{1}{3x^2}$, অৰ্থাৎ $3x^2 y = y + 2x$।
13. $\left[x\sin^2\left(\frac{y}{x}\right) – y\right] dx + x\, dy = 0$; $y = \frac{\pi}{4}$ যেতিয়া $x = 1$
উত্তৰঃ $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} – \sin^2\frac{y}{x}$, সমমাত্ৰিক। $y = vx$ বহুৱাই $v + x\frac{dv}{dx} = v – \sin^2 v$, গতিকে $x\frac{dv}{dx} = -\sin^2 v$। চলক পৃথক কৰি $\operatorname{cosec}^2 v\, dv = -\frac{dx}{x}$। অনুকল কৰি $-\cot v = -\log|x| + C$, অৰ্থাৎ $\cot v = \log|x| + C_1$। $v = \frac{y}{x}$ বহুৱাই $\cot\frac{y}{x} = \log|x| + C_1$। $x = 1, y = \frac{\pi}{4}$ বহুৱাই $\cot\frac{\pi}{4} = 0 + C_1$, গতিকে $C_1 = 1$। বিশেষ সমাধান $\cot\frac{y}{x} = \log|x| + 1$।
14. $\frac{dy}{dx} – \frac{y}{x} + \operatorname{cosec}\left(\frac{y}{x}\right) = 0$; $y = 0$ যেতিয়া $x = 1$
উত্তৰঃ $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} – \operatorname{cosec}\frac{y}{x}$, সমমাত্ৰিক। $y = vx$ বহুৱাই $v + x\frac{dv}{dx} = v – \operatorname{cosec} v$, গতিকে $x\frac{dv}{dx} = -\operatorname{cosec} v$। চলক পৃথক কৰি $\sin v\, dv = -\frac{dx}{x}$। অনুকল কৰি $-\cos v = -\log|x| + C$, অৰ্থাৎ $\cos v = \log|x| + C_1$। $v = \frac{y}{x}$ বহুৱাই $\cos\frac{y}{x} = \log|x| + C_1$। $x = 1, y = 0$ বহুৱাই $\cos 0 = 0 + C_1$, গতিকে $C_1 = 1$। বিশেষ সমাধান $\cos\frac{y}{x} = \log|x| + 1$, অৰ্থাৎ $\cos\frac{y}{x} = \log|ex|$।
15. $2xy + y^2 – 2x^2\frac{dy}{dx} = 0$; $y = 2$ যেতিয়া $x = 1$
উত্তৰঃ $\frac{dy}{dx} = \frac{2xy + y^2}{2x^2}$, সমমাত্ৰিক। $y = vx$ বহুৱাই $v + x\frac{dv}{dx} = v + \frac{v^2}{2}$, গতিকে $x\frac{dv}{dx} = \frac{v^2}{2}$। চলক পৃথক কৰি $\frac{dv}{v^2} = \frac{dx}{2x}$। অনুকল কৰি $-\frac{1}{v} = \frac{1}{2}\log|x| + C$। $v = \frac{y}{x}$ বহুৱাই $-\frac{x}{y} = \frac{1}{2}\log|x| + C$। $x = 1, y = 2$ বহুৱাই $-\frac{1}{2} = 0 + C$, গতিকে $C = -\frac{1}{2}$। গতিকে $\frac{x}{y} = \frac{1}{2}(1 – \log|x|)$, অৰ্থাৎ $y = \frac{2x}{1 – \log|x|}$।
16. $\frac{dx}{dy} = h\left(\frac{x}{y}\right)$ আকাৰৰ সমমাত্ৰিক অৱকল সমীকৰণ সমাধানৰ বাবে প্ৰতিস্থাপন সূত্ৰটো হ’ল—
(A) $y = vx$ (B) $v = yx$ (C) $x = vy$ (D) $x = v$
উত্তৰঃ শুদ্ধ উত্তৰ (C) $x = vy$। $\frac{dx}{dy}$ ৰ ৰূপত থকা সমমাত্ৰিক সমীকৰণৰ বাবে $x = vy$ প্ৰতিস্থাপন ব্যৱহাৰ কৰা হয়।
17. তলৰ কোনটো অৱকল সমীকৰণ সমমাত্ৰিক?
(A) $(4x + 6y + 5) dy – (3y + 2x + 4) dx = 0$
(B) $(xy) dx – (x^3 + y^3) dy = 0$
(C) $(x^3 + 2y^2) dx + 2xy\, dy = 0$
(D) $y^2 dx + (x^2 – xy – y^2) dy = 0$
উত্তৰঃ শুদ্ধ উত্তৰ (D)। (D) ত $\frac{dy}{dx} = \frac{-y^2}{x^2 – xy – y^2}$; লব আৰু হৰ দুয়োটা $2$ মাত্ৰাৰ সমমাত্ৰিক ফলন, গতিকে ই শূন্য মাত্ৰাৰ সমমাত্ৰিক। (A) ত ধ্ৰুৱক পদ, (B) আৰু (C) ত লব-হৰৰ মাত্ৰা বেলেগ হোৱাত সেইবোৰ সমমাত্ৰিক নহয়।
অনুশীলনী 9.5
অনুশীলনী 1 ৰ পৰা 12 লৈ প্ৰতিটো অৱকল সমীকৰণৰ সাধাৰণ সমাধান উলিওৱা।
1. $\frac{dy}{dx} + 2y = \sin x$
উত্তৰঃ ইয়াত $P = 2$, $Q = \sin x$; অনুকলন গুণক $\text{I.F.} = e^{\int 2\, dx} = e^{2x}$। গতিকে $y\, e^{2x} = \int e^{2x}\sin x\, dx + C = \frac{e^{2x}(2\sin x – \cos x)}{5} + C$। অৰ্থাৎ $y = \frac{1}{5}(2\sin x – \cos x) + C\, e^{-2x}$।
2. $\frac{dy}{dx} + 3y = e^{-2x}$
উত্তৰঃ $P = 3$, $\text{I.F.} = e^{3x}$। $y\, e^{3x} = \int e^{3x} \cdot e^{-2x}\, dx + C = \int e^x\, dx + C = e^x + C$। গতিকে $y = e^{-2x} + C\, e^{-3x}$।
3. $\frac{dy}{dx} + \frac{y}{x} = x^2$
উত্তৰঃ $P = \frac{1}{x}$, $\text{I.F.} = e^{\int dx/x} = e^{\log x} = x$। $y \cdot x = \int x \cdot x^2\, dx + C = \frac{x^4}{4} + C$। গতিকে $y = \frac{x^3}{4} + \frac{C}{x}$।
4. $\frac{dy}{dx} + (\sec x) y = \tan x\ \left(0 \le x < \frac{\pi}{2}\right)$
উত্তৰঃ $P = \sec x$, $\text{I.F.} = e^{\int \sec x\, dx} = e^{\log|\sec x + \tan x|} = \sec x + \tan x$। গতিকে $y(\sec x + \tan x) = \int \tan x(\sec x + \tan x)\, dx + C = \int(\sec x\tan x + \sec^2 x – 1)\, dx + C = \sec x + \tan x – x + C$।
5. $\cos^2 x\frac{dy}{dx} + y = \tan x\ \left(0 \le x < \frac{\pi}{2}\right)$
উত্তৰঃ $\cos^2 x$ ৰে হৰণ কৰি $\frac{dy}{dx} + \sec^2 x \cdot y = \tan x\sec^2 x$। $P = \sec^2 x$, $\text{I.F.} = e^{\int \sec^2 x\, dx} = e^{\tan x}$। $y\, e^{\tan x} = \int \tan x\sec^2 x\, e^{\tan x}\, dx + C$। $t = \tan x$ বহুৱাই $\int t\, e^t\, dt = e^t(t – 1)$, গতিকে $y\, e^{\tan x} = e^{\tan x}(\tan x – 1) + C$, অৰ্থাৎ $y = (\tan x – 1) + C\, e^{-\tan x}$।
6. $x\frac{dy}{dx} + 2y = x^2\log x$
উত্তৰঃ $x$ ৰে হৰণ কৰি $\frac{dy}{dx} + \frac{2}{x}y = x\log x$। $P = \frac{2}{x}$, $\text{I.F.} = e^{2\log x} = x^2$। $y\, x^2 = \int x^2 \cdot x\log x\, dx + C = \int x^3\log x\, dx + C = \frac{x^4}{4}\log x – \frac{x^4}{16} + C$। গতিকে $y = \frac{x^2}{4}\log x – \frac{x^2}{16} + \frac{C}{x^2}$।
7. $x\log x\frac{dy}{dx} + y = \frac{2}{x}\log x$
উত্তৰঃ $x\log x$ ৰে হৰণ কৰি $\frac{dy}{dx} + \frac{1}{x\log x}y = \frac{2}{x^2}$। $P = \frac{1}{x\log x}$, $\text{I.F.} = e^{\int dx/(x\log x)} = e^{\log|\log x|} = \log x$। $y\log x = \int \frac{2}{x^2}\log x\, dx + C = -\frac{2}{x}(1 + \log x) + C$। গতিকে $y\log x = C – \frac{2}{x}(1 + \log x)$।
8. $(1 + x^2) dy + 2xy\, dx = \cot x\, dx\ (x \ne 0)$
উত্তৰঃ $\frac{dy}{dx} + \frac{2x}{1 + x^2}y = \frac{\cot x}{1 + x^2}$। $\text{I.F.} = e^{\int 2x/(1 + x^2)\, dx} = e^{\log(1 + x^2)} = 1 + x^2$। $y(1 + x^2) = \int \frac{\cot x}{1 + x^2}(1 + x^2)\, dx + C = \int \cot x\, dx + C = \log|\sin x| + C$।
9. $x\frac{dy}{dx} + y – x + xy\cot x = 0\ (x \ne 0)$
উত্তৰঃ $x$ ৰে হৰণ কৰি $\frac{dy}{dx} + \left(\frac{1}{x} + \cot x\right)y = 1$। $\text{I.F.} = e^{\int(1/x + \cot x)\, dx} = e^{\log x + \log\sin x} = x\sin x$। $y\, x\sin x = \int x\sin x\, dx + C = \sin x – x\cos x + C$। গতিকে $y = \frac{1}{x} – \cot x + \frac{C}{x\sin x}$।
10. $(x + y)\frac{dy}{dx} = 1$
উত্তৰঃ ওলোটাই লিখি $\frac{dx}{dy} = x + y$, অৰ্থাৎ $\frac{dx}{dy} – x = y$ — এইটো $x$ ত ৰৈখিক। $P_1 = -1$, $\text{I.F.} = e^{-y}$। $x\, e^{-y} = \int y\, e^{-y}\, dy + C = -e^{-y}(y + 1) + C$। গতিকে $x = C\, e^y – y – 1$।
11. $y\, dx + (x – y^2) dy = 0$
উত্তৰঃ $\frac{dx}{dy} + \frac{x}{y} = y$ — $x$ ত ৰৈখিক। $P_1 = \frac{1}{y}$, $\text{I.F.} = e^{\int dy/y} = y$। $x \cdot y = \int y \cdot y\, dy + C = \frac{y^3}{3} + C$। গতিকে $x = \frac{y^2}{3} + \frac{C}{y}$।
12. $(x + 3y^2)\frac{dy}{dx} = y\ (y > 0)$
উত্তৰঃ ওলোটাই লিখি $\frac{dx}{dy} = \frac{x + 3y^2}{y} = \frac{x}{y} + 3y$, অৰ্থাৎ $\frac{dx}{dy} – \frac{x}{y} = 3y$ — $x$ ত ৰৈখিক। $P_1 = -\frac{1}{y}$, $\text{I.F.} = e^{-\log y} = \frac{1}{y}$। $\frac{x}{y} = \int 3y \cdot \frac{1}{y}\, dy + C = 3y + C$। গতিকে $x = 3y^2 + Cy$।
অনুশীলনী 13 ৰপৰা 15 লৈ প্ৰতিটো অৱকল সমীকৰণৰ বাবে প্ৰদত্ত চৰ্ত সিদ্ধ কৰাকৈ একোটা বিশেষ সমাধান উলিওৱা।
13. $\frac{dy}{dx} + 2y\tan x = \sin x$; $y = 0$ যেতিয়া $x = \frac{\pi}{3}$
উত্তৰঃ $P = 2\tan x$, $\text{I.F.} = e^{\int 2\tan x\, dx} = e^{2\log|\sec x|} = \sec^2 x$। $y\sec^2 x = \int \sin x\sec^2 x\, dx + C = \sec x + C$। গতিকে $y = \cos x + C\cos^2 x$। $x = \frac{\pi}{3}, y = 0$ বহুৱাই $0 = \frac{1}{2} + C \cdot \frac{1}{4}$, গতিকে $C = -2$। বিশেষ সমাধান $y = \cos x – 2\cos^2 x$।
14. $(1 + x^2)\frac{dy}{dx} + 2xy = \frac{1}{1 + x^2}$; $y = 0$ যেতিয়া $x = 1$
উত্তৰঃ $\frac{dy}{dx} + \frac{2x}{1 + x^2}y = \frac{1}{(1 + x^2)^2}$। $\text{I.F.} = 1 + x^2$। $y(1 + x^2) = \int \frac{1}{(1 + x^2)^2}(1 + x^2)\, dx + C = \int \frac{dx}{1 + x^2} + C = \tan^{-1} x + C$। $x = 1, y = 0$ বহুৱাই $0 = \frac{\pi}{4} + C$, গতিকে $C = -\frac{\pi}{4}$। বিশেষ সমাধান $y(1 + x^2) = \tan^{-1} x – \frac{\pi}{4}$।
15. $\frac{dy}{dx} – 3y\cot x = \sin 2x$; $y = 2$ যেতিয়া $x = \frac{\pi}{2}$
উত্তৰঃ $P = -3\cot x$, $\text{I.F.} = e^{-3\int \cot x\, dx} = e^{-3\log|\sin x|} = \frac{1}{\sin^3 x}$। $\frac{y}{\sin^3 x} = \int \frac{\sin 2x}{\sin^3 x}\, dx + C = \int \frac{2\cos x}{\sin^2 x}\, dx + C = -\frac{2}{\sin x} + C$। গতিকে $y = -2\sin^2 x + C\sin^3 x$। $x = \frac{\pi}{2}, y = 2$ বহুৱাই $2 = -2 + C$, গতিকে $C = 4$। বিশেষ সমাধান $y = 4\sin^3 x – 2\sin^2 x$।
16. মূলবিন্দুৰ মাজেৰে অতিক্ৰম কৰা বক্ৰ এডালৰ সমীকৰণ উলিওৱা যদি দিয়া থাকে যে বক্ৰডালৰ যিকোনো বিন্দু $(x, y)$ ত স্পৰ্শকৰ প্ৰৱণতা বিন্দুটোৰ স্থানাংক দুটাৰ সমষ্টিৰ সমান।
উত্তৰঃ চৰ্তমতে $\frac{dy}{dx} = x + y$, অৰ্থাৎ $\frac{dy}{dx} – y = x$ — ৰৈখিক। $\text{I.F.} = e^{-x}$। $y\, e^{-x} = \int x\, e^{-x}\, dx + C = -e^{-x}(x + 1) + C$, গতিকে $y = -(x + 1) + C\, e^x$। মূলবিন্দু $(0, 0)$ বহুৱাই $0 = -1 + C$, গতিকে $C = 1$। বক্ৰৰ সমীকৰণ $y = e^x – x – 1$।
17. $(0, 2)$ বিন্দুৰে যোৱা এডাল বক্ৰৰ সমীকৰণ উলিওৱা যদি দিয়া থাকে যে বক্ৰডালৰ যিকোনো বিন্দুত স্থানাংক দুটাৰ সমষ্টি সেই বিন্দুত স্পৰ্শকৰ প্ৰৱণতাৰ মাপাংকতকৈ $5$ বেছি হয়।
উত্তৰঃ চৰ্তমতে স্থানাংকৰ সমষ্টি প্ৰৱণতাতকৈ $5$ বেছি, অৰ্থাৎ $(x + y) – \frac{dy}{dx} = 5$, যিয়ে দিয়ে $\frac{dy}{dx} = x + y – 5$, অৰ্থাৎ $\frac{dy}{dx} – y = x – 5$ — ৰৈখিক। $\text{I.F.} = e^{-x}$। $y\, e^{-x} = \int(x – 5)e^{-x}\, dx + C = -e^{-x}(x – 4) + C$, গতিকে $y = 4 – x + C\, e^x$। $(0, 2)$ বহুৱাই $2 = 4 – 0 + C$, গতিকে $C = -2$। বক্ৰৰ সমীকৰণ $y = 4 – x – 2e^x$।
18. অৱকল সমীকৰণ $x\frac{dy}{dx} – y = 2x^2$ ৰ অনুকলন গুণক হ’ল—
(A) $e^{-x}$ (B) $e^{-y}$ (C) $\frac{1}{x}$ (D) $x$
উত্তৰঃ শুদ্ধ উত্তৰ (C) $\frac{1}{x}$। $x$ ৰে হৰণ কৰি $\frac{dy}{dx} – \frac{y}{x} = 2x$, $P = -\frac{1}{x}$। $\text{I.F.} = e^{\int -dx/x} = e^{-\log x} = \frac{1}{x}$।
19. অৱকল সমীকৰণ $(1 – y^2)\frac{dx}{dy} + yx = ay\ (-1 < y < 1)$ ৰ অনুকলন গুণক হ’ল—
(A) $\frac{1}{y^2 – 1}$ (B) $\frac{1}{\sqrt{y^2 – 1}}$ (C) $\frac{1}{1 – y^2}$ (D) $\frac{1}{\sqrt{1 – y^2}}$
উত্তৰঃ শুদ্ধ উত্তৰ (D) $\frac{1}{\sqrt{1 – y^2}}$। $\frac{dx}{dy} + \frac{y}{1 – y^2}x = \frac{ay}{1 – y^2}$, $P_1 = \frac{y}{1 – y^2}$। $\int \frac{y}{1 – y^2}\, dy = -\frac{1}{2}\log(1 – y^2)$, গতিকে $\text{I.F.} = e^{-\frac{1}{2}\log(1 – y^2)} = (1 – y^2)^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{1 – y^2}}$।
9 অধ্যায়ৰ সানমিহলি অনুশীলনী
1. তলত উল্লেখ কৰা প্ৰতিটো অৱকল সমীকৰণৰ ক্ৰম আৰু মাত্ৰা উল্লেখ কৰা (যদি সংজ্ঞায়িত হয়)।
(i) $\frac{d^2y}{dx^2} + 5x\left(\frac{dy}{dx}\right)^2 – 6y = \log x$
উত্তৰঃ উচ্চতম ক্ৰমৰ অৱকল $\frac{d^2y}{dx^2}$, গতিকে ক্ৰম $= 2$। ই অৱকলবোৰৰ বহুপদ আৰু $\frac{d^2y}{dx^2}$ ৰ উচ্চতম ঘাত $1$, গতিকে মাত্ৰা $= 1$।
(ii) $\left(\frac{dy}{dx}\right)^3 – 4\left(\frac{dy}{dx}\right)^2 + 7y = \sin x$
উত্তৰঃ উচ্চতম ক্ৰমৰ অৱকল $\frac{dy}{dx}$, গতিকে ক্ৰম $= 1$। ই $\frac{dy}{dx}$ ত বহুপদ আৰু উচ্চতম ঘাত $3$, গতিকে মাত্ৰা $= 3$।
(iii) $\frac{d^4y}{dx^4} – \sin\left(\frac{d^3y}{dx^3}\right) = 0$
উত্তৰঃ উচ্চতম ক্ৰমৰ অৱকল $\frac{d^4y}{dx^4}$, গতিকে ক্ৰম $= 4$। কিন্তু $\sin\left(\frac{d^3y}{dx^3}\right)$ থকাত ই অৱকলবোৰৰ বহুপদ নহয়, সেয়েহে মাত্ৰা সংজ্ঞাবদ্ধ নহয়।
2. তলত প্ৰতিটো অনুশীলনীৰ বাবে প্ৰত্যায়ন কৰা যে প্ৰদত্ত ফলনটো (অন্তৰ্নিহিত বা প্ৰকাশ্য) অনুৰূপ অৱকল সমীকৰণ সমাধান।
(i) $xy = a\, e^x + b\, e^{-x} + x^2$ : $x\frac{d^2y}{dx^2} + 2\frac{dy}{dx} – xy + x^2 – 2 = 0$
উত্তৰঃ $xy = a\, e^x + b\, e^{-x} + x^2$ অৱকল কৰি $y + xy^{\prime} = a\, e^x – b\, e^{-x} + 2x$। পুনৰ অৱকল কৰি $2y^{\prime} + xy^{\prime\prime} = a\, e^x + b\, e^{-x} + 2$। এতিয়া $a\, e^x + b\, e^{-x} = xy – x^2$ বহুৱাই $2y^{\prime} + xy^{\prime\prime} = xy – x^2 + 2$, অৰ্থাৎ $x\frac{d^2y}{dx^2} + 2\frac{dy}{dx} – xy + x^2 – 2 = 0$। প্ৰত্যায়িত হ’ল।
(ii) $y = e^x(a\cos x + b\sin x)$ : $\frac{d^2y}{dx^2} – 2\frac{dy}{dx} + 2y = 0$
উত্তৰঃ $y^{\prime} = e^x[(a + b)\cos x + (b – a)\sin x]$ আৰু $y^{\prime\prime} = e^x[2b\cos x – 2a\sin x]$। গতিকে $y^{\prime\prime} – 2y^{\prime} + 2y = e^x[(2b – 2(a + b) + 2a)\cos x + (-2a – 2(b – a) + 2b)\sin x] = e^x[0 + 0] = 0$। প্ৰত্যায়িত হ’ল।
(iii) $y = x\sin 3x$ : $\frac{d^2y}{dx^2} + 9y – 6\cos 3x = 0$
উত্তৰঃ $y^{\prime} = \sin 3x + 3x\cos 3x$, $y^{\prime\prime} = 6\cos 3x – 9x\sin 3x$। গতিকে $y^{\prime\prime} + 9y – 6\cos 3x = 6\cos 3x – 9x\sin 3x + 9x\sin 3x – 6\cos 3x = 0$। প্ৰত্যায়িত হ’ল।
(iv) $x^2 = 2y^2\log y$ : $(x^2 + y^2)\frac{dy}{dx} – xy = 0$
উত্তৰঃ $x^2 = 2y^2\log y$ অৱকল কৰি $2x = y^{\prime}\, y(2\log y + 1)$। যিহেতু $2\log y = \frac{x^2}{y^2}$, গতিকে $2\log y + 1 = \frac{x^2 + y^2}{y^2}$, অৰ্থাৎ $x = y^{\prime} \cdot \frac{x^2 + y^2}{y}$। ইয়াক পুনৰ সজাই $(x^2 + y^2)\frac{dy}{dx} = xy$, অৰ্থাৎ $(x^2 + y^2)\frac{dy}{dx} – xy = 0$। প্ৰত্যায়িত হ’ল।
3. প্ৰমাণ কৰা যে $(x^3 – 3xy^2) dx = (y^3 – 3x^2y) dy$ অৱকল সমীকৰণৰ সাধাৰণ সমাধানটো হ’ল, $x^2 – y^2 = c(x^2 + y^2)^2$ য’ত $c$ এটা প্ৰাচল।
উত্তৰঃ $x^2 – y^2 = c(x^2 + y^2)^2$ ৰ উভয়পক্ষ $x$ সাপেক্ষে অৱকল কৰি $2x – 2y y^{\prime} = 4c(x^2 + y^2)(x + y y^{\prime})$। $c = \frac{x^2 – y^2}{(x^2 + y^2)^2}$ বহুৱাই $(2x – 2y y^{\prime})(x^2 + y^2) = 4(x^2 – y^2)(x + y y^{\prime})$। বিস্তাৰ কৰি সৰল কৰিলে $-x^3 + 3xy^2 – 3x^2y y^{\prime} + y^3 y^{\prime} = 0$, অৰ্থাৎ $y^{\prime}(y^3 – 3x^2y) = x^3 – 3xy^2$, যিয়ে দিয়ে $(x^3 – 3xy^2) dx = (y^3 – 3x^2y) dy$। গতিকে দিয়া সম্পৰ্কটোৱেই সাধাৰণ সমাধান। প্ৰমাণিত হ’ল।
4. $\frac{dy}{dx} + \sqrt{\frac{1 – y^2}{1 – x^2}} = 0$ অৱকল সমীকৰণৰ সাধাৰণ সমাধান উলিওৱা।
উত্তৰঃ $\frac{dy}{dx} = -\sqrt{\frac{1 – y^2}{1 – x^2}}$, চলক পৃথক কৰি $\frac{dy}{\sqrt{1 – y^2}} = -\frac{dx}{\sqrt{1 – x^2}}$। অনুকল কৰি $\sin^{-1} y = -\sin^{-1} x + C$, অৰ্থাৎ $\sin^{-1} x + \sin^{-1} y = C$।
5. দেখুওৱা যে $\frac{dy}{dx} + \frac{y^2 + y + 1}{x^2 + x + 1} = 0$ অৱকল সমীকৰণৰ সাধাৰণ সমাধান হ’ল $(x + y + 1) = A(1 – x – y – 2xy)$, য’ত $A$ এটা প্ৰাচল।
উত্তৰঃ চলক পৃথক কৰি $\frac{dy}{y^2 + y + 1} = -\frac{dx}{x^2 + x + 1}$। অনুকল কৰি $\frac{2}{\sqrt{3}}\tan^{-1}\frac{2y + 1}{\sqrt{3}} = -\frac{2}{\sqrt{3}}\tan^{-1}\frac{2x + 1}{\sqrt{3}} + C_1$, অৰ্থাৎ $\tan^{-1}\frac{2x + 1}{\sqrt{3}} + \tan^{-1}\frac{2y + 1}{\sqrt{3}} = C_2$। দুয়োপক্ষৰ $\tan$ লৈ সৰল কৰিলে $\frac{\sqrt{3}(x + y + 1)}{1 – x – y – 2xy} = \tan C_2 = $ ধ্ৰুৱক, যিয়ে দিয়ে $(x + y + 1) = A(1 – x – y – 2xy)$। প্ৰমাণিত হ’ল।
6. $\left(0, \frac{\pi}{4}\right)$ বিন্দুৰে যোৱা বক্ৰডালৰ সমীকৰণ উলিওৱা যাৰ অৱকল সমীকৰণটো হ’ল, $\sin x\cos y\, dx + \cos x\sin y\, dy = 0$.
উত্তৰঃ $\cos x\cos y$ ৰে হৰণ কৰি $\tan x\, dx + \tan y\, dy = 0$। অনুকল কৰি $-\log|\cos x| – \log|\cos y| = C_1$, অৰ্থাৎ $\cos x\cos y = C$। $\left(0, \frac{\pi}{4}\right)$ বহুৱাই $\cos 0\cos\frac{\pi}{4} = C$, গতিকে $C = \frac{1}{\sqrt{2}}$। বক্ৰৰ সমীকৰণ $\cos x\cos y = \frac{1}{\sqrt{2}}$।
7. $(1 + e^{2x}) dy + (1 + y^2) e^x\, dx = 0$ অৱকল সমীকৰণটোৰ সমাধান উলিওৱা যদি দিয়া থাকে যে $y = 1$ যেতিয়া $x = 0$.
উত্তৰঃ $\frac{dy}{1 + y^2} = -\frac{e^x}{1 + e^{2x}} dx$। $t = e^x$ বহুৱাই $\int \frac{e^x}{1 + e^{2x}} dx = \tan^{-1}(e^x)$। গতিকে $\tan^{-1} y = -\tan^{-1}(e^x) + C$, অৰ্থাৎ $\tan^{-1} y + \tan^{-1}(e^x) = C$। $x = 0, y = 1$ বহুৱাই $\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = C$, গতিকে $C = \frac{\pi}{2}$। সমাধান $\tan^{-1} y + \tan^{-1}(e^x) = \frac{\pi}{2}$।
8. $y\, e^{x/y}\, dx = \left(x\, e^{x/y} + y^2\right) dy\ (y \ne 0)$ অৱকল সমীকৰণটোৰ সমাধান উলিওৱা।
উত্তৰঃ $\frac{dx}{dy} = \frac{x}{y} + y\, e^{-x/y}$, সমমাত্ৰিক। $x = vy$ বহুৱাই $v + y\frac{dv}{dy} = v + y\, e^{-v}$, গতিকে $y\frac{dv}{dy} = y\, e^{-v}$, অৰ্থাৎ $e^v\, dv = dy$। অনুকল কৰি $e^v = y + C$। $v = \frac{x}{y}$ বহুৱাই $e^{x/y} = y + C$।
9. সমীকৰণ $(x – y)(dx + dy) = dx – dy$ ৰ বিশেষ সমাধান উলিওৱা যদি দিয়া থাকে যে $y = -1$ যেতিয়া $x = 0$. (ইংগিত $x – y = t$ বহুওৱা)
উত্তৰঃ $t = x – y$ বহুৱাই $\frac{dt}{dx} = 1 – \frac{dy}{dx}$। $dx$ ৰে হৰণ কৰি $t\left(1 + \frac{dy}{dx}\right) = 1 – \frac{dy}{dx}$, অৰ্থাৎ $t\left(2 – \frac{dt}{dx}\right) = \frac{dt}{dx}$, যিয়ে দিয়ে $\frac{dt}{dx} = \frac{2t}{1 + t}$। চলক পৃথক কৰি $\left(\frac{1}{t} + 1\right) dt = 2\, dx$। অনুকল কৰি $\log|t| + t = 2x + C$, অৰ্থাৎ $\log|x – y| + (x – y) = 2x + C$, যিয়ে দিয়ে $\log|x – y| = x + y + C$। $x = 0, y = -1$ বহুৱাই $\log 1 = -1 + C$, গতিকে $C = 1$। বিশেষ সমাধান $\log|x – y| = x + y + 1$।
10. $\left[\frac{e^{-2\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} – \frac{y}{\sqrt{x}}\right]\frac{dx}{dy} = 1\ (x \ne 0)$ অৱকল সমীকৰণটোৰ সমাধান উলিওৱা।
উত্তৰঃ ওলোটাই লিখি $\frac{dy}{dx} = \frac{e^{-2\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} – \frac{y}{\sqrt{x}}$, অৰ্থাৎ $\frac{dy}{dx} + \frac{y}{\sqrt{x}} = \frac{e^{-2\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}$ — ৰৈখিক। $P = \frac{1}{\sqrt{x}}$, $\text{I.F.} = e^{\int x^{-1/2}\, dx} = e^{2\sqrt{x}}$। $y\, e^{2\sqrt{x}} = \int \frac{e^{-2\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}\, e^{2\sqrt{x}}\, dx + C = \int \frac{dx}{\sqrt{x}} + C = 2\sqrt{x} + C$। সমাধান $y\, e^{2\sqrt{x}} = 2\sqrt{x} + C$।
11. $\frac{dy}{dx} + y\cot x = 4x\operatorname{cosec} x\ (x \ne 0)$ অৱকল সমীকৰণটোৰ বিশেষ সমাধান উলিওৱা, য’ত দিয়া আছে যে $y = 0$ যেতিয়া $x = \frac{\pi}{2}$.
উত্তৰঃ $P = \cot x$, $\text{I.F.} = e^{\int \cot x\, dx} = e^{\log\sin x} = \sin x$। $y\sin x = \int 4x\operatorname{cosec} x \cdot \sin x\, dx + C = \int 4x\, dx + C = 2x^2 + C$। $x = \frac{\pi}{2}, y = 0$ বহুৱাই $0 = 2 \cdot \frac{\pi^2}{4} + C$, গতিকে $C = -\frac{\pi^2}{2}$। বিশেষ সমাধান $y\sin x = 2x^2 – \frac{\pi^2}{2}$।
12. অৱকল সমীকৰণ $(x + 1)\frac{dy}{dx} = 2e^{-y} – 1$ ৰ সাধাৰণ সমাধান উলিওৱা, য’ত দিয়া আছে যে $y = 0$ যেতিয়া $x = 0$.
উত্তৰঃ $\frac{dy}{2e^{-y} – 1} = \frac{dx}{x + 1}$। বাঁওপক্ষৰ লব-হৰক $e^y$ ৰে গুণ কৰি $\frac{e^y\, dy}{2 – e^y} = \frac{dx}{x + 1}$। $u = 2 – e^y$ বহুৱাই বাঁওপক্ষ $\int \frac{e^y\, dy}{2 – e^y} = -\log|2 – e^y|$। গতিকে $-\log|2 – e^y| = \log|x + 1| + C_1$। $x = 0, y = 0$ বহুৱাই $C_1 = 0$। সেয়েহে $\log|2 – e^y| = -\log|x + 1|$, অৰ্থাৎ $2 – e^y = \frac{1}{x + 1}$, যিয়ে দিয়ে $e^y = \frac{2x + 1}{x + 1}$ (য’ত $x \ne -1$)।
13. অৱকল সমীকৰণ $\frac{y\, dx – x\, dy}{y} = 0$ ৰ সাধাৰণ সমাধান হ’ল—
(A) $xy = C$ (B) $x = Cy^2$ (C) $y = Cx$ (D) $y = Cx^2$
উত্তৰঃ শুদ্ধ উত্তৰ (C) $y = Cx$। $y\, dx – x\, dy = 0$ ত $\frac{dy}{y} = \frac{dx}{x}$, অনুকল কৰি $\log y = \log x + \log C$, অৰ্থাৎ $y = Cx$।
14. $\frac{dx}{dy} + P_1 x = Q_1$ ৰূপৰ অৱকল সমীকৰণৰ সাধাৰণ সমাধান হ’ল—
(A) $y\, e^{\int P_1\, dy} = \int\left(Q_1 e^{\int P_1\, dy}\right) dy + C$
(B) $y \cdot e^{\int P_1\, dx} = \int\left(Q_1 e^{\int P_1\, dx}\right) dx + C$
(C) $x\, e^{\int P_1\, dy} = \int\left(Q_1 e^{\int P_1\, dy}\right) dy + C$
(D) $x\, e^{\int P_1\, dx} = \int\left(Q_1 e^{\int P_1\, dx}\right) dx + C$
উত্তৰঃ শুদ্ধ উত্তৰ (C)। $\frac{dx}{dy} + P_1 x = Q_1$ ৰ অনুকলন গুণক $e^{\int P_1\, dy}$, আৰু সমাধান $x\, e^{\int P_1\, dy} = \int\left(Q_1 e^{\int P_1\, dy}\right) dy + C$।
15. $e^x\, dy + (y\, e^x + 2x) dx = 0$ অৱকল সমীকৰণৰ সাধাৰণ সমাধান হ’ল—
(A) $x\, e^y + x^2 = C$ (B) $x\, e^y + y^2 = C$ (C) $y\, e^x + x^2 = C$ (D) $y\, e^y + x^2 = C$
উত্তৰঃ শুদ্ধ উত্তৰ (C) $y\, e^x + x^2 = C$। $y\, e^x + x^2 = C$ অৱকল কৰিলে $e^x\, dy + y\, e^x\, dx + 2x\, dx = 0$, অৰ্থাৎ $e^x\, dy + (y\, e^x + 2x) dx = 0$ — এইটোৱেই দিয়া সমীকৰণ।
অতিৰিক্ত প্ৰশ্ন আৰু উত্তৰ
বিকল্প বাছনি প্ৰশ্ন (MCQ)
1. অৱকল সমীকৰণ $\frac{d^2y}{dx^2} + \left(\frac{dy}{dx}\right)^3 + y = 0$ ৰ ক্ৰম আৰু মাত্ৰা যথাক্ৰমে—
(A) $2, 1$ (B) $2, 3$ (C) $3, 2$ (D) $1, 3$
উত্তৰঃ (A) $2, 1$। উচ্চতম ক্ৰমৰ অৱকল $\frac{d^2y}{dx^2}$ (ক্ৰম $2$), আৰু ইয়াৰ উচ্চতম ঘাত $1$ (মাত্ৰা $1$)।
2. অৱকল সমীকৰণ $\left(\frac{dy}{dx}\right)^2 + \frac{dy}{dx} – \sin^2 y = 0$ ৰ মাত্ৰা—
(A) $1$ (B) $2$ (C) $3$ (D) সংজ্ঞাবদ্ধ নহয়
উত্তৰঃ (B) $2$। $\sin^2 y$ পৰতন্ত্ৰ চলকৰ ফলন হোৱাত ই অৱকলবোৰৰ বহুপদ, আৰু $\frac{dy}{dx}$ ৰ উচ্চতম ঘাত $2$।
3. $\frac{dy}{dx} = e^x$ অৱকল সমীকৰণৰ সাধাৰণ সমাধান—
(A) $y = e^x$ (B) $y = e^x + C$ (C) $y = e^{-x} + C$ (D) $y = xe^x + C$
উত্তৰঃ (B) $y = e^x + C$। উভয়পক্ষ অনুকল কৰিলে পোৱা যায়।
4. $n$ ক্ৰমৰ অৱকল সমীকৰণ এটাৰ সাধাৰণ সমাধানত যাদৃচ্ছিক ধ্ৰুৱকৰ সংখ্যা—
(A) $n – 1$ (B) $n$ (C) $n + 1$ (D) $0$
উত্তৰঃ (B) $n$। যাদৃচ্ছিক ধ্ৰুৱকৰ সংখ্যা ক্ৰমৰ সমান হয়।
5. $\frac{dy}{dx} + y = e^x$ ৰৈখিক অৱকল সমীকৰণৰ অনুকলন গুণক—
(A) $e^{-x}$ (B) $e^x$ (C) $x$ (D) $e^{2x}$
উত্তৰঃ (B) $e^x$। $P = 1$, $\text{I.F.} = e^{\int 1\, dx} = e^x$।
6. অৱকল সমীকৰণ $\frac{dy}{dx} = \frac{1 + y^2}{1 + x^2}$ ৰ সাধাৰণ সমাধান—
(A) $\tan^{-1} y – \tan^{-1} x = C$ (B) $\tan^{-1} y + \tan^{-1} x = C$ (C) $y = x + C$ (D) $y – x = Cxy$
উত্তৰঃ (A) $\tan^{-1} y – \tan^{-1} x = C$। $\frac{dy}{1 + y^2} = \frac{dx}{1 + x^2}$ অনুকল কৰিলে পোৱা যায়।
7. $y = A\cos x + B\sin x$ পৰিয়ালটো সূচোৱা অৱকল সমীকৰণৰ ক্ৰম—
(A) $1$ (B) $2$ (C) $3$ (D) $0$
উত্তৰঃ (B) $2$। দুটা যাদৃচ্ছিক ধ্ৰুৱক ($A, B$) থকাত অৱকল সমীকৰণটোৰ ক্ৰম $2$ ($\frac{d^2y}{dx^2} + y = 0$)।
8. $x\frac{dy}{dx} = y$ অৱকল সমীকৰণৰ সাধাৰণ সমাধান—
(A) $y = Cx$ (B) $y = C + x$ (C) $xy = C$ (D) $y = Cx^2$
উত্তৰঃ (A) $y = Cx$। $\frac{dy}{y} = \frac{dx}{x}$ অনুকল কৰিলে $\log y = \log x + \log C$, অৰ্থাৎ $y = Cx$।
খালী ঠাই পূৰণ কৰা
1. অৱকল সমীকৰণ এটাৰ মাত্ৰা সংজ্ঞাবদ্ধ হয় কেৱল যেতিয়া ই অৱকলবোৰৰ __________ সমীকৰণ হয়।
উত্তৰঃ বহুপদ।
2. $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ ৰৈখিক অৱকল সমীকৰণৰ অনুকলন গুণক হ’ল __________।
উত্তৰঃ $e^{\int P\, dx}$।
3. সমমাত্ৰিক অৱকল সমীকৰণ $\frac{dy}{dx} = g\left(\frac{y}{x}\right)$ সমাধানৰ বাবে ব্যৱহৃত প্ৰতিস্থাপন হ’ল __________।
উত্তৰঃ $y = vx$।
4. $n$ ক্ৰমৰ অৱকল সমীকৰণৰ সাধাৰণ সমাধানত __________ টা যাদৃচ্ছিক ধ্ৰুৱক থাকে।
উত্তৰঃ $n$।
5. $\frac{dy}{dx} = e^{x – y}$ ৰ চলক পৃথক কৰিলে $e^y\, dy = $ __________ $dx$।
উত্তৰঃ $e^x$।
সত্য নে অসত্য লিখা
1. অৱকল সমীকৰণৰ ক্ৰম সদায় ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যা হয়।
উত্তৰঃ সত্য।
2. প্ৰতিটো অৱকল সমীকৰণৰ মাত্ৰা সংজ্ঞাবদ্ধ হয়।
উত্তৰঃ অসত্য। অৱকলবোৰৰ বহুপদ নোহোৱা সমীকৰণৰ (যেনে $\sin(y^{\prime})$ থকা) মাত্ৰা সংজ্ঞাবদ্ধ নহয়।
3. এটা অৱকল সমীকৰণৰ বিশেষ সমাধানত কোনো যাদৃচ্ছিক ধ্ৰুৱক নাথাকে।
উত্তৰঃ সত্য।
4. $\frac{dy}{dx} + y\tan x = \sec x$ এটা সমমাত্ৰিক অৱকল সমীকৰণ।
উত্তৰঃ অসত্য। ই এটা প্ৰথম ক্ৰমৰ ৰৈখিক অৱকল সমীকৰণ।
5. চলক পৃথকীকৰণ পদ্ধতিত $y$ থকা পদবোৰ $dy$ ৰ লগত আৰু $x$ থকা পদবোৰ $dx$ ৰ লগত ৰখা হয়।
উত্তৰঃ সত্য।
চমু উত্তৰৰ প্ৰশ্ন
1. অৱকল সমীকৰণ $\frac{d^3y}{dx^3} + x^2\left(\frac{d^2y}{dx^2}\right)^3 = 0$ ৰ ক্ৰম আৰু মাত্ৰা উলিওৱা।
উত্তৰঃ উচ্চতম ক্ৰমৰ অৱকল $\frac{d^3y}{dx^3}$, গতিকে ক্ৰম $= 3$। ই অৱকলবোৰৰ বহুপদ আৰু $\frac{d^3y}{dx^3}$ ৰ উচ্চতম ঘাত $1$, গতিকে মাত্ৰা $= 1$।
2. $\frac{dy}{dx} = \frac{x}{y}$ অৱকল সমীকৰণৰ সাধাৰণ সমাধান উলিওৱা।
উত্তৰঃ চলক পৃথক কৰি $y\, dy = x\, dx$। অনুকল কৰি $\frac{y^2}{2} = \frac{x^2}{2} + C_1$, অৰ্থাৎ $y^2 – x^2 = C$।
3. $\frac{dy}{dx} = 1 + x + y + xy$ অৱকল সমীকৰণৰ সাধাৰণ সমাধান উলিওৱা।
উত্তৰঃ $1 + x + y + xy = (1 + x)(1 + y)$, গতিকে $\frac{dy}{1 + y} = (1 + x)\, dx$। অনুকল কৰি $\log|1 + y| = x + \frac{x^2}{2} + C$।
4. অৱকল সমীকৰণ $\frac{dy}{dx} + \frac{2}{x}y = x^2$ ৰ অনুকলন গুণক উলিওৱা।
উত্তৰঃ $P = \frac{2}{x}$, গতিকে $\text{I.F.} = e^{\int (2/x)\, dx} = e^{2\log x} = x^2$।
শব্দাৰ্থ
| অসমীয়া শব্দ | English term | অৰ্থ |
|---|---|---|
| অৱকল সমীকৰণ | Differential equation | পৰতন্ত্ৰ চলকৰ অৱকল যুক্ত থকা সমীকৰণ |
| ক্ৰম | Order | সমীকৰণটোত থকা উচ্চতম ক্ৰমৰ অৱকলটোৰ ক্ৰম |
| মাত্ৰা | Degree | উচ্চতম ক্ৰমৰ অৱকলটোৰ উচ্চতম ধনাত্মক অখণ্ড ঘাত |
| সাধাৰণ সমাধান | General solution | ক্ৰমৰ সমান সংখ্যক যাদৃচ্ছিক ধ্ৰুৱক থকা সমাধান |
| বিশেষ সমাধান | Particular solution | যাদৃচ্ছিক ধ্ৰুৱক নথকা সমাধান |
| যাদৃচ্ছিক ধ্ৰুৱক | Arbitrary constant | সমাধানত যিকোনো মান ল’ব পৰা ধ্ৰুৱক |
| চলক পৃথকীকৰণ | Variables separable | $x$ আৰু $y$ ৰ পদ পৃথক কৰি সমাধান কৰা পদ্ধতি |
| সমমাত্ৰিক ফলন | Homogeneous function | $F(\lambda x, \lambda y) = \lambda^n F(x, y)$ সিদ্ধ কৰা ফলন |
| ৰৈখিক অৱকল সমীকৰণ | Linear differential equation | $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ ৰূপৰ সমীকৰণ |
| অনুকলন গুণক | Integrating Factor (I.F.) | ৰৈখিক সমীকৰণ সমাধানৰ বাবে ব্যৱহৃত গুণক $e^{\int P\, dx}$ |
| স্পৰ্শকৰ প্ৰৱণতা | Slope of tangent | বক্ৰৰ কোনো বিন্দুত $\frac{dy}{dx}$ ৰ মান |