অনুকলৰ প্ৰয়োগ — প্ৰশ্ন উত্তৰ
HSLC Guru-লৈ আপোনাক স্বাগতম। এই পাঠত ASSEB Class 12 গণিতৰ (Mathematics) অষ্টম অধ্যায় অনুকলৰ প্ৰয়োগ (Application of Integrals)ৰ অনুশীলনী 8.1 আৰু 8 অধ্যায়ৰ সানমিহলি অনুশীলনীৰ প্ৰতিটো প্ৰশ্নৰ সম্পূৰ্ণ লৈখিক সমাধান, প্ৰয়োজনীয় বক্ৰ আৰু আচ্ছাদিত ক্ষেত্ৰৰ চিত্ৰৰ সৈতে দিয়া হৈছে।
সাৰাংশ
এই অধ্যায়ত আমি নিশ্চিত অনুকলৰ (definite integral) সহায়ত বিভিন্ন বক্ৰৰ দ্বাৰা আগুৰা ক্ষেত্ৰৰ কালি (area) নিৰ্ণয় কৰিবলৈ শিকো। মৌলিক জ্যামিতিৰ সূত্ৰই ত্ৰিভুজ, আয়ত আদি সৰল আকৃতিৰ কালি উলিয়াব পাৰিলেও বক্ৰৰ দ্বাৰা আগুৰা ক্ষেত্ৰৰ কালি উলিয়াবলৈ অনুকলন গণিতৰ প্ৰয়োজন হয়।
$y = f(x)$ বক্ৰ, $x$-অক্ষ আৰু $x = a$, $x = b$ ($b \gt a$) সৰলৰেখাই আগুৰা ক্ষেত্ৰৰ কালিক আমি $y$ উচ্চতা আৰু $dx$ প্ৰস্থবিশিষ্ট অসংখ্য পাতল উলম্ব ছটাৰ (vertical strips) সমষ্টি হিচাপে ভাবিব পাৰোঁ। প্ৰতিটো মৌলিক ছটাৰ কালি $dA = y\,dx$, গতিকে মুঠ কালি $A = \int_a^b y\,dx = \int_a^b f(x)\,dx$। একেদৰে, $x = g(y)$ বক্ৰ, $y$-অক্ষ আৰু $y = c$, $y = d$ সৰলৰেখাই আগুৰা ক্ষেত্ৰৰ কালি অনুভূমিক ছটা লৈ $A = \int_c^d x\,dy = \int_c^d g(y)\,dy$।
মন্তব্যঃ যদি বক্ৰটো $x$-অক্ষৰ তলত থাকে (অৰ্থাৎ $f(x) \lt 0$), তেন্তে অনুকলটো ঋণাত্মক হয়; সেই ক্ষেত্ৰত কালিৰ কেৱল পৰম মান (absolute value) $\left| \int_a^b f(x)\,dx \right|$ লোৱা হয়। বক্ৰৰ কিছু অংশ অক্ষৰ ওপৰত ($A_2 \gt 0$) আৰু কিছু অংশ তলত ($A_1 \lt 0$) থাকিলে মুঠ কালি $A = |A_1| + A_2$। উপবৃত্ত $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ ৰ কালি $\pi ab$ আৰু $a$ ব্যাসাৰ্ধৰ বৃত্তৰ কালি $\pi a^2$।
Summary: This page provides complete, step-by-step solutions to Exercise 8.1 and the Miscellaneous Exercise on Chapter 8 of ASSEB Class 12 Mathematics Chapter 8, Application of Integrals. It shows how to use definite integration to find the area bounded by curves, lines and axes — the area under a curve $A = \int_a^b y\,dx$, area of an ellipse ($\pi ab$) and circle ($\pi a^2$), areas of regions bounded by parabolas, cubics and modulus curves, and how to handle portions of a curve that lie below the x-axis by taking absolute values, each solution supported by a clearly shaded figure.
পাঠ্যপুথিৰ প্ৰশ্ন আৰু উত্তৰ
অনুশীলনী 8.1
1. $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$ উপবৃত্তই আগুৰা ক্ষেত্ৰৰ কালি নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ প্ৰদত্ত উপবৃত্তটো $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ ৰূপৰ, য’ত $a^2 = 16$ আৰু $b^2 = 9$; গতিকে $a = 4$, $b = 3$। উপবৃত্তটো দুয়োটা অক্ষ সাপেক্ষে সমমিত হোৱাবাবে ইয়াৰ মুঠ কালি প্ৰথম চোকৰ কালিৰ চাৰিগুণ।
প্ৰথম চোকত $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$ ৰ পৰা $y = \frac{3}{4}\sqrt{16 – x^2}$ (ধনাত্মক মান)। গতিকে
$$A = 4 \int_0^4 y\,dx = 4 \int_0^4 \frac{3}{4}\sqrt{16 – x^2}\,dx = 3 \int_0^4 \sqrt{16 – x^2}\,dx$$
$$A = 3 \left[ \frac{x}{2}\sqrt{16 – x^2} + \frac{16}{2}\sin^{-1}\frac{x}{4} \right]_0^4 = 3 \left[ (0 + 8\sin^{-1} 1) – 0 \right] = 3 \times 8 \times \frac{\pi}{2} = 12\pi$$
গতিকে নিৰ্ণেয় কালি $= 12\pi$ বৰ্গ একক। (সাধাৰণ সূত্ৰ $\pi ab = \pi \times 4 \times 3 = 12\pi$ ৰ সৈতে মিলিছে।)
2. $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} = 1$ উপবৃত্তই আগুৰা ক্ষেত্ৰৰ কালি নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ ইয়াত $a^2 = 4$, $b^2 = 9$; গতিকে $a = 2$, $b = 3$। উপবৃত্তটো দুয়োটা অক্ষ সাপেক্ষে সমমিত।
প্ৰথম চোকত $y = \frac{3}{2}\sqrt{4 – x^2}$। গতিকে
$$A = 4 \int_0^2 \frac{3}{2}\sqrt{4 – x^2}\,dx = 6 \int_0^2 \sqrt{4 – x^2}\,dx = 6 \left[ \frac{x}{2}\sqrt{4 – x^2} + 2\sin^{-1}\frac{x}{2} \right]_0^2$$
$$A = 6 \left[ (0 + 2\sin^{-1} 1) – 0 \right] = 6 \times 2 \times \frac{\pi}{2} = 6\pi$$
গতিকে নিৰ্ণেয় কালি $= 6\pi$ বৰ্গ একক। (সূত্ৰ $\pi ab = \pi \times 2 \times 3 = 6\pi$।)
শুদ্ধ উত্তৰ বাছনি কৰা (3 আৰু 4 নং প্ৰশ্নৰ ক্ষেত্ৰত)।
3. $x^2 + y^2 = 4$ বৃত্ত আৰু $x = 0$, $x = 2$ ৰেখা দুডালে আগুৰা ক্ষেত্ৰৰ প্ৰথম চোকত থকা অংশৰ কালি হ’ব ঃ
(A) $\pi$ (B) $\frac{\pi}{2}$ (C) $\frac{\pi}{3}$ (D) $\frac{\pi}{4}$
উত্তৰঃ শুদ্ধ উত্তৰ (A) $\pi$।
বৃত্তটোৰ ব্যাসাৰ্ধ $r = 2$। প্ৰথম চোকত $y = \sqrt{4 – x^2}$। নিৰ্ণেয় ক্ষেত্ৰটো হ’ল $x = 0$ ৰ পৰা $x = 2$ লৈ বৃত্তৰ তলৰ চতুৰ্থাংশ অংশ।
$$A = \int_0^2 \sqrt{4 – x^2}\,dx = \left[ \frac{x}{2}\sqrt{4 – x^2} + 2\sin^{-1}\frac{x}{2} \right]_0^2 = (0 + 2\sin^{-1} 1) – 0 = 2 \times \frac{\pi}{2} = \pi$$
ইয়াক বৃত্তৰ কালিৰ চতুৰ্থাংশ $\frac{1}{4}\pi r^2 = \frac{1}{4}\pi (2)^2 = \pi$ ৰ পৰাও পোৱা যায়। গতিকে উত্তৰ (A)।
4. $y^2 = 4x$ অধিবৃত্ত, $y$ অক্ষ আৰু $y = 3$ সৰলৰেখাডালে আগুৰা ক্ষেত্ৰৰ কালি হ’ব ঃ
(A) $2$ (B) $\frac{9}{4}$ (C) $\frac{9}{3}$ (D) $\frac{9}{2}$
উত্তৰঃ শুদ্ধ উত্তৰ (B) $\frac{9}{4}$।
ক্ষেত্ৰটো $y$-অক্ষৰ সাপেক্ষে থকাবাবে অনুভূমিক ছটা (horizontal strip) লোৱা সুবিধাজনক। $y^2 = 4x$ ৰ পৰা $x = \frac{y^2}{4}$। $y = 0$ ৰ পৰা $y = 3$ লৈ,
$$A = \int_0^3 x\,dy = \int_0^3 \frac{y^2}{4}\,dy = \frac{1}{4}\left[ \frac{y^3}{3} \right]_0^3 = \frac{1}{4} \times \frac{27}{3} = \frac{27}{12} = \frac{9}{4}$$
গতিকে নিৰ্ণেয় কালি $\frac{9}{4}$ বৰ্গ একক; উত্তৰ (B)।
8 অধ্যায়ৰ সানমিহলি অনুশীলনী
1. প্ৰদত্ত বক্ৰ আৰু প্ৰদত্ত সৰলৰেখাৰ মাজৰ অংশৰ কালি নিৰ্ণয় কৰাঃ
(i) $y = x^2$, $x = 1$, $x = 2$ আৰু $x$ অক্ষ
উত্তৰঃ $x = 1$ ৰ পৰা $x = 2$ লৈ $y = x^2$ বক্ৰটো $x$-অক্ষৰ ওপৰত থাকে, গতিকে নিৰ্ণেয় কালি ধনাত্মক।
$$A = \int_1^2 x^2\,dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_1^2 = \frac{8}{3} – \frac{1}{3} = \frac{7}{3}$$
গতিকে নিৰ্ণেয় কালি $\frac{7}{3}$ বৰ্গ একক।
(ii) $y = x^4$, $x = 1$, $x = 5$ আৰু $x$ অক্ষ
উত্তৰঃ $x = 1$ ৰ পৰা $x = 5$ লৈ $y = x^4$ বক্ৰটো $x$-অক্ষৰ ওপৰত থাকে।
(ওপৰৰ চিত্ৰটো আকৃতি বুজাবলৈহে দিয়া হৈছে, মাপ অনুসৰি নহয়।)
$$A = \int_1^5 x^4\,dx = \left[ \frac{x^5}{5} \right]_1^5 = \frac{5^5}{5} – \frac{1^5}{5} = \frac{3125}{5} – \frac{1}{5} = \frac{3124}{5}$$
গতিকে নিৰ্ণেয় কালি $\frac{3124}{5} = 624\frac{4}{5} = 624.8$ বৰ্গ একক।
2. $y = |x + 3|$ ৰ লেখ অংকন কৰা আৰু $\int_{-6}^{0} |x + 3|\,dx$ ৰ মান নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ $y = |x + 3|$ ফলনটো $V$-আকৃতিৰ; ইয়াৰ শীৰ্ষবিন্দু (vertex) $(-3, 0)$ ত। $x \ge -3$ হ’লে $y = x + 3$ আৰু $x \lt -3$ হ’লে $y = -(x + 3)$।
$-6$ ৰ পৰা $0$ লৈ শীৰ্ষবিন্দুটো $x = -3$ ত পৰে, গতিকে অনুকলটো দুটা ভাগত ভাঙি লব লাগে:
$$\int_{-6}^{0} |x + 3|\,dx = \int_{-6}^{-3} -(x + 3)\,dx + \int_{-3}^{0} (x + 3)\,dx$$
$$= -\left[ \frac{x^2}{2} + 3x \right]_{-6}^{-3} + \left[ \frac{x^2}{2} + 3x \right]_{-3}^{0} = -\left[ \left( \frac{9}{2} – 9 \right) – (18 – 18) \right] + \left[ 0 – \left( \frac{9}{2} – 9 \right) \right]$$
$$= -\left( -\frac{9}{2} \right) + \frac{9}{2} = \frac{9}{2} + \frac{9}{2} = 9$$
গতিকে $\int_{-6}^{0} |x + 3|\,dx = 9$। জ্যামিতিকভাৱেও ইয়াক দুটা সমকোণী ত্ৰিভুজৰ কালিৰ যোগফল $\frac{1}{2}(3)(3) + \frac{1}{2}(3)(3) = \frac{9}{2} + \frac{9}{2} = 9$ হিচাপে পোৱা যায়।
3. $x = 0$ আৰু $x = 2\pi$ ৰ মাজত থকা $y = \sin x$ বক্ৰই আগুৰা অংশৰ কালি নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ $0$ ৰ পৰা $\pi$ লৈ $\sin x \ge 0$ (বক্ৰ অক্ষৰ ওপৰত) আৰু $\pi$ ৰ পৰা $2\pi$ লৈ $\sin x \le 0$ (বক্ৰ অক্ষৰ তলত)। গতিকে দ্বিতীয় অংশৰ কালিৰ পৰম মান লব লাগে।
$$A = \int_0^{\pi} \sin x\,dx + \left| \int_{\pi}^{2\pi} \sin x\,dx \right| = \left[ -\cos x \right]_0^{\pi} + \left| \left[ -\cos x \right]_{\pi}^{2\pi} \right|$$
$$= (-\cos\pi + \cos 0) + \left| -\cos 2\pi + \cos\pi \right| = (1 + 1) + \left| -1 – 1 \right| = 2 + 2 = 4$$
গতিকে নিৰ্ণেয় কালি $4$ বৰ্গ একক।
শুদ্ধ উত্তৰ বাছনি কৰা (4 ৰ পৰা 5 লৈ)।
4. $y = x^3$ বক্ৰ, $x$ অক্ষ আৰু $x = -2$, $x = 1$ কোটিয়ে আগুৰা খণ্ডৰ কালি হ’ব ঃ
(A) $-9$ (B) $\frac{-15}{4}$ (C) $\frac{15}{4}$ (D) $\frac{17}{4}$
উত্তৰঃ শুদ্ধ উত্তৰ (D) $\frac{17}{4}$।
$-2$ ৰ পৰা $0$ লৈ $x^3 \le 0$ (অক্ষৰ তলত) আৰু $0$ ৰ পৰা $1$ লৈ $x^3 \ge 0$ (অক্ষৰ ওপৰত)। গতিকে
$$A = \left| \int_{-2}^{0} x^3\,dx \right| + \int_{0}^{1} x^3\,dx = \left| \left[ \frac{x^4}{4} \right]_{-2}^{0} \right| + \left[ \frac{x^4}{4} \right]_{0}^{1} = \left| 0 – \frac{16}{4} \right| + \frac{1}{4} = 4 + \frac{1}{4} = \frac{17}{4}$$
গতিকে নিৰ্ণেয় কালি $\frac{17}{4}$ বৰ্গ একক; উত্তৰ (D)। (যদি কেৱল $\int_{-2}^{1} x^3\,dx$ লোৱা হয়, তেন্তে $\frac{1}{4} – 4 = -\frac{15}{4}$ পোৱা যায় — কিন্তু কালি সদায় ধনাত্মক হোৱাবাবে (B) শুদ্ধ নহয়।)
5. $y = x\,|x|$ বক্ৰ, $x$ অক্ষ আৰু $x = -1$, $x = 1$ কোটিয়ে আগুৰা ক্ষেত্ৰৰ কালি হ’ব ঃ
(A) $0$ (B) $\frac{1}{3}$ (C) $\frac{2}{3}$ (D) $\frac{4}{3}$ [ইংগিত ঃ $y = x^2$ যদি $x \gt 0$ আৰু $y = -x^2$ যদি $x \lt 0$]
উত্তৰঃ শুদ্ধ উত্তৰ (C) $\frac{2}{3}$।
ইংগিত অনুসৰি $-1$ ৰ পৰা $0$ লৈ $y = -x^2$ (অক্ষৰ তলত) আৰু $0$ ৰ পৰা $1$ লৈ $y = x^2$ (অক্ষৰ ওপৰত)। গতিকে
$$A = \left| \int_{-1}^{0} (-x^2)\,dx \right| + \int_{0}^{1} x^2\,dx = \int_{-1}^{0} x^2\,dx + \int_{0}^{1} x^2\,dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{-1}^{0} + \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1}$$
$$= \left( 0 + \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{3} – 0 \right) = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$$
গতিকে নিৰ্ণেয় কালি $\frac{2}{3}$ বৰ্গ একক; উত্তৰ (C)।
অতিৰিক্ত প্ৰশ্ন আৰু উত্তৰ
বহু বিকল্পযুক্ত প্ৰশ্ন (MCQ)
1. $y = f(x)$ বক্ৰ, $x$-অক্ষ আৰু $x = a$, $x = b$ ($b \gt a$) সৰলৰেখাই আগুৰা ক্ষেত্ৰৰ কালি হ’ল —
(A) $\int_a^b y\,dx$ (B) $\int_a^b x\,dy$ (C) $\int_a^b y\,dy$ (D) $\int_a^b \frac{dy}{dx}\,dx$
উত্তৰঃ (A) $\int_a^b y\,dx$। উলম্ব ছটাৰ কালি $y\,dx$ যোগ কৰি এই সূত্ৰ পোৱা যায়।
2. $a$ ব্যাসাৰ্ধৰ বৃত্ত $x^2 + y^2 = a^2$ ৰ কালি —
(A) $\pi a$ (B) $2\pi a$ (C) $\pi a^2$ (D) $\frac{\pi a^2}{2}$
উত্তৰঃ (C) $\pi a^2$।
3. $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ উপবৃত্তই আগুৰা ক্ষেত্ৰৰ কালি —
(A) $\pi ab$ (B) $\pi(a + b)$ (C) $\pi a^2 b^2$ (D) $2\pi ab$
উত্তৰঃ (A) $\pi ab$।
4. $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$ উপবৃত্তৰ কালি —
(A) $9\pi$ (B) $20\pi$ (C) $40\pi$ (D) $16\pi$
উত্তৰঃ (B) $20\pi$। ইয়াত $a = 5$, $b = 4$; কালি $= \pi ab = \pi \times 5 \times 4 = 20\pi$।
5. $y = x^2$ বক্ৰ, $x$-অক্ষ আৰু $x = 0$, $x = 3$ সৰলৰেখাই আগুৰা ক্ষেত্ৰৰ কালি —
(A) $3$ (B) $9$ (C) $27$ (D) $6$
উত্তৰঃ (B) $9$। $\int_0^3 x^2\,dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^3 = \frac{27}{3} = 9$।
6. $x = g(y)$ বক্ৰ, $y$-অক্ষ আৰু $y = c$, $y = d$ সৰলৰেখাই আগুৰা ক্ষেত্ৰৰ কালি —
(A) $\int_c^d x\,dy$ (B) $\int_c^d y\,dx$ (C) $\int_c^d g(x)\,dx$ (D) $\int_c^d x\,dx$
উত্তৰঃ (A) $\int_c^d x\,dy$। $y$-অক্ষৰ সাপেক্ষে অনুভূমিক ছটা লোৱা হয়।
7. কোনো বক্ৰ $x = a$ ৰ পৰা $x = b$ লৈ $x$-অক্ষৰ তলত থাকিলে $\int_a^b f(x)\,dx$ অনুকলটো —
(A) ধনাত্মক হয় (B) ঋণাত্মক হয় (C) শূন্য হয় (D) অসংজ্ঞায়িত হয়
উত্তৰঃ (B) ঋণাত্মক হয়; সেয়ে কালি হিচাপে ইয়াৰ পৰম মান লোৱা হয়।
8. $y = 4 – x^2$ অধিবৃত্ত আৰু $x$-অক্ষে আগুৰা ক্ষেত্ৰৰ কালি —
(A) $\frac{16}{3}$ (B) $\frac{32}{3}$ (C) $8$ (D) $32$
উত্তৰঃ (B) $\frac{32}{3}$। বক্ৰটোৱে $x$-অক্ষক $x = \pm 2$ ত ছেদ কৰে; $A = \int_{-2}^{2} (4 – x^2)\,dx = \left[ 4x – \frac{x^3}{3} \right]_{-2}^{2} = \frac{16}{3} – \left( -\frac{16}{3} \right) = \frac{32}{3}$।
খালী ঠাই পূৰ কৰা
1. $y = f(x)$ বক্ৰ, $x$-অক্ষ আৰু $x = a$, $x = b$ সৰলৰেখাই আগুৰা ক্ষেত্ৰৰ কালি ______।
উত্তৰঃ $\int_a^b f(x)\,dx$।
2. $a$ ব্যাসাৰ্ধৰ বৃত্তৰ কালি ______।
উত্তৰঃ $\pi a^2$।
3. উপবৃত্ত $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ ৰ কালি ______।
উত্তৰঃ $\pi ab$।
4. উলম্ব ছটা বিবেচনা কৰিলে মৌলিক ছটাৰ কালি $dA = $ ______।
উত্তৰঃ $y\,dx$।
5. বক্ৰ $x$-অক্ষৰ তলত থাকিলে কালি হিচাপে অনুকলৰ ______ মান লোৱা হয়।
উত্তৰঃ পৰম (absolute)।
সত্য নে অসত্য লিখা
1. বৃত্ত আৰু উপবৃত্তৰ কালি নিশ্চিত অনুকলৰ সহায়ত উলিয়াব পাৰি।
উত্তৰঃ সত্য।
2. উপবৃত্ত $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ ৰ কালি $\pi(a + b)$।
উত্তৰঃ অসত্য। উপবৃত্তৰ কালি $\pi ab$।
3. $x$-অক্ষৰ তলত থকা বক্ৰৰ অংশৰ নিশ্চিত অনুকল ঋণাত্মক হয়।
উত্তৰঃ সত্য।
4. $y$-অক্ষৰ সাপেক্ষে ক্ষেত্ৰৰ কালি উলিয়াবলৈ অনুভূমিক ছটা লোৱা সুবিধাজনক।
উত্তৰঃ সত্য।
5. $y = \sin x$ ৰ $0$ ৰ পৰা $2\pi$ লৈ আগুৰা ক্ষেত্ৰৰ কালি $\int_0^{2\pi} \sin x\,dx$ ৰ সৈতে সমান।
উত্তৰঃ অসত্য। $\int_0^{2\pi} \sin x\,dx = 0$, কিন্তু কালি $4$; সেয়ে অংশ দুটাৰ পৰম মান লব লাগে।
চমু উত্তৰৰ প্ৰশ্ন
1. $y = f(x)$ বক্ৰৰ তলৰ ক্ষেত্ৰৰ কালিৰ সূত্ৰটো লিখি চমুকৈ ব্যাখ্যা কৰা।
উত্তৰঃ $y = f(x)$ বক্ৰ, $x$-অক্ষ আৰু $x = a$, $x = b$ সৰলৰেখাই আগুৰা ক্ষেত্ৰটোক $y$ উচ্চতা আৰু $dx$ প্ৰস্থবিশিষ্ট অসংখ্য পাতল উলম্ব ছটাত ভাগ কৰা হয়। এটা ছটাৰ কালি $dA = y\,dx$; সকলো ছটা যোগ কৰিলে মুঠ কালি $A = \int_a^b y\,dx = \int_a^b f(x)\,dx$ পোৱা যায়।
2. $y = 2x$ সৰলৰেখা, $x$-অক্ষ আৰু $x = 0$, $x = 4$ কোটিয়ে আগুৰা ক্ষেত্ৰৰ কালি নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ $A = \int_0^4 2x\,dx = \left[ x^2 \right]_0^4 = 16$ বৰ্গ একক। (ভূমি $4$ আৰু উচ্চতা $8$ থকা সমকোণী ত্ৰিভুজৰ কালি $\frac{1}{2} \times 4 \times 8 = 16$ ৰ সৈতে মিলে।)
3. $y = \sqrt{x}$ বক্ৰ, $x$-অক্ষ আৰু $x = 0$, $x = 4$ কোটিয়ে আগুৰা ক্ষেত্ৰৰ কালি নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ $A = \int_0^4 \sqrt{x}\,dx = \left[ \frac{2}{3} x^{3/2} \right]_0^4 = \frac{2}{3} \times 8 = \frac{16}{3}$ বৰ্গ একক।
4. $x$-অক্ষৰ তলত থকা বক্ৰৰ কালি উলিওৱাৰ সময়ত কি সতৰ্কতা লব লাগে?
উত্তৰঃ বক্ৰটো $x$-অক্ষৰ তলত থাকিলে ($f(x) \lt 0$) নিশ্চিত অনুকলটো ঋণাত্মক হয়, কিন্তু কালি কেতিয়াও ঋণাত্মক নহয়। সেয়ে সেই অংশৰ কালি হিচাপে অনুকলৰ পৰম মান লব লাগে। বক্ৰৰ কিছু অংশ ওপৰত আৰু কিছু অংশ তলত থাকিলে প্ৰতিটো অংশৰ কালি পৃথকে উলিয়াই তাৰ পৰম মানবোৰ যোগ কৰিব লাগে।
শব্দাৰ্থ
| অসমীয়া শব্দ | English term | অৰ্থ |
|---|---|---|
| অনুকলৰ প্ৰয়োগ | Application of Integrals | বক্ৰৰ দ্বাৰা আগুৰা ক্ষেত্ৰৰ কালি নিৰ্ণয়ত অনুকলৰ ব্যৱহাৰ |
| নিশ্চিত অনুকল | Definite integral | নিৰ্দিষ্ট সীমা $a$ ৰ পৰা $b$ লৈ অনুকলৰ মান, যি কালিৰ সমান |
| কালি | Area | কোনো আৱদ্ধ সমতলীয় ক্ষেত্ৰৰ পৰিমাপ (বৰ্গ এককত) |
| বক্ৰ | Curve | $y = f(x)$ বা $x = g(y)$ ৰে প্ৰকাশিত ৰেখা |
| উলম্ব ছটা | Vertical strip | $y$ উচ্চতা আৰু $dx$ প্ৰস্থবিশিষ্ট পাতল ছটা; কালি $y\,dx$ |
| অনুভূমিক ছটা | Horizontal strip | $x$ প্ৰস্থ আৰু $dy$ উচ্চতাবিশিষ্ট পাতল ছটা; কালি $x\,dy$ |
| মৌলিক কালি | Elementary area | এটা ছটাৰ কালি $dA = y\,dx$ |
| উপবৃত্ত | Ellipse | $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ বক্ৰ; কালি $\pi ab$ |
| বৃত্ত | Circle | $x^2 + y^2 = a^2$ বক্ৰ; কালি $\pi a^2$ |
| অধিবৃত্ত | Parabola | $y^2 = 4x$ আদি ৰূপৰ দ্বিঘাত বক্ৰ |
| পৰম মান | Absolute value | চিহ্ন উপেক্ষা কৰি লোৱা মান; ঋণাত্মক অনুকলক কালিলৈ ৰূপান্তৰত ব্যৱহৃত |
| সমমিত | Symmetric | অক্ষৰ সাপেক্ষে সমান দুই ভাগত বিভক্ত হোৱা ধৰ্ম |