HSLC Guru

Class 12 Mathematics Chapter 7 Question Answer | অনুকল | ASSEB

অনুকল — প্ৰশ্ন উত্তৰ

HSLC Guru-ত আপোনাক স্বাগতম। এই পাঠত ASSEB Class 12 গণিতৰ সপ্তম অধ্যায় অনুকল (Integrals)ৰ পাঠ্যপুথিৰ আটাইবোৰ অনুশীলনীৰ প্ৰশ্নৰ সম্পূৰ্ণ ধৰণে কৰি দেখুওৱা সমাধান দিয়া হৈছে। প্ৰতিটো অনুকলৰ খোজ-খোজে হোৱা সমাধানৰ লগতে বহুবিকল্পীয় প্ৰশ্নৰ শুদ্ধ উত্তৰ আৰু তাৰ যুক্তিও সন্নিবিষ্ট কৰা হৈছে।

সাৰাংশ

অনুকল হ’ল অৱকলনৰ বিপৰীত ক্ৰিয়া। যদি কোনো ফলন $F(x)$-ৰ অৱকলজ $F^{\prime}(x) = f(x)$ হয়, তেন্তে $F(x)$-ক $f(x)$-ৰ এটা প্ৰতি অৱকলজ (anti-derivative) বা অনিৰ্দিষ্ট অনুকল বোলা হয় আৰু লিখা হয় $\int f(x)\,dx = F(x) + C$, য’ত $C$ এটা যিকোনো অনুকলনীয় ধ্ৰুৱক। এই অধ্যায়ত মৌলিক অনুকল সূত্ৰসমূহ, যেনে $\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ ($n \neq -1$), $\int \frac{1}{x}\,dx = \log|x| + C$, $\int e^x\,dx = e^x + C$ আৰু ত্ৰিকোণমিতিক ফলনৰ অনুকলবোৰ পৰ্যবেক্ষণ পদ্ধতিৰে নিৰ্ণয় কৰা হৈছে।

জটিল ফলনৰ অনুকল নিৰ্ণয়ৰ বাবে তিনিটা মুখ্য পদ্ধতি ব্যৱহাৰ কৰা হয়— প্ৰতিস্থাপন পদ্ধতি (Integration by Substitution), আংশিক ভগ্নাংশ পদ্ধতি (Integration using Partial Fractions) আৰু খণ্ড অনুকলন পদ্ধতি (Integration by Parts)। ত্ৰিকোণমিতিক অভেদ ব্যৱহাৰ কৰি $\sin^2 x$, $\cos^2 x$, $\sin^3 x$ আদিৰ অনুকল সৰল ৰূপলৈ অনা হয় আৰু বৰ্গৰ সম্পূৰ্ণ (completing the square) পদ্ধতিৰে $\frac{1}{ax^2 + bx + c}$ আৰু $\frac{1}{\sqrt{ax^2 + bx + c}}$ আকাৰৰ অনুকল প্ৰামাণিক সূত্ৰলৈ ৰূপান্তৰিত কৰা হয়।

কিছুমান বিশেষ ফলনৰ প্ৰামাণিক অনুকল সূত্ৰ হ’ল— $\int \frac{dx}{x^2 – a^2} = \frac{1}{2a}\log\left|\frac{x – a}{x + a}\right| + C$, $\int \frac{dx}{x^2 + a^2} = \frac{1}{a}\tan^{-1}\frac{x}{a} + C$, $\int \frac{dx}{\sqrt{a^2 – x^2}} = \sin^{-1}\frac{x}{a} + C$ আৰু $\int \frac{dx}{\sqrt{x^2 + a^2}} = \log\left|x + \sqrt{x^2 + a^2}\right| + C$। এই সূত্ৰসমূহৰ প্ৰয়োগেৰে অধ্যায়টোৰ অনুশীলনীৰ প্ৰশ্নবোৰৰ সমাধান কৰা হৈছে।

Summary: This page provides complete, step-by-step solutions to the textbook exercises of ASSEB Class 12 Mathematics Chapter 7, Integrals (অনুকল). It covers anti-derivatives found by inspection, integration by substitution, integration using trigonometric identities and the standard formulae for integrals of some particular functions, with every result verified and each multiple-choice answer justified.

পাঠ্যপুথিৰ প্ৰশ্ন আৰু উত্তৰ

অনুশীলনী 7.1

পৰ্যবেক্ষণ পদ্ধতিৰ সহায়ত তলৰ ফলনসমূহৰ প্ৰতি অৱকলজ (অথবা অনুকল) নিৰ্ণয় কৰা (প্ৰশ্ন ১-৫) ঃ

1. $\sin 2x$

উত্তৰঃ আমি জানো $\frac{d}{dx}(\cos 2x) = -2\sin 2x$, গতিকে $\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{2}\cos 2x\right) = \sin 2x$। সেয়েহে $\int \sin 2x\,dx = -\frac{1}{2}\cos 2x + C$।

2. $\cos 3x$

উত্তৰঃ যিহেতু $\frac{d}{dx}(\sin 3x) = 3\cos 3x$, সেয়েহে $\int \cos 3x\,dx = \frac{1}{3}\sin 3x + C$।

3. $e^{2x}$

উত্তৰঃ যিহেতু $\frac{d}{dx}(e^{2x}) = 2e^{2x}$, সেয়েহে $\int e^{2x}\,dx = \frac{1}{2}e^{2x} + C$।

4. $(ax + b)^2$

উত্তৰঃ যিহেতু $\frac{d}{dx}\left[\frac{(ax + b)^3}{3a}\right] = \frac{3(ax + b)^2 \cdot a}{3a} = (ax + b)^2$, সেয়েহে $\int (ax + b)^2\,dx = \frac{(ax + b)^3}{3a} + C$।

5. $\sin 2x – 4\, e^{3x}$

উত্তৰঃ $\int (\sin 2x – 4 e^{3x})\,dx = -\frac{1}{2}\cos 2x – 4 \cdot \frac{1}{3}e^{3x} + C = -\frac{1}{2}\cos 2x – \frac{4}{3}e^{3x} + C$।

তলৰ অনুকলসমূহ নিৰ্ণয় কৰা (প্ৰশ্ন ৬-২০) ঃ

6. $\int (4 e^{3x} + 1)\,dx$

উত্তৰঃ $\int (4 e^{3x} + 1)\,dx = 4 \cdot \frac{1}{3}e^{3x} + x + C = \frac{4}{3}e^{3x} + x + C$।

7. $\int x^2\left(1 – \frac{1}{x^2}\right)\,dx$

উত্তৰঃ $x^2\left(1 – \frac{1}{x^2}\right) = x^2 – 1$। সেয়েহে $\int (x^2 – 1)\,dx = \frac{x^3}{3} – x + C$।

8. $\int (ax^2 + bx + c)\,dx$

উত্তৰঃ $\int (ax^2 + bx + c)\,dx = \frac{ax^3}{3} + \frac{bx^2}{2} + cx + C$।

9. $\int (2x^2 + e^x)\,dx$

উত্তৰঃ $\int (2x^2 + e^x)\,dx = \frac{2x^3}{3} + e^x + C$।

10. $\int \left(\sqrt{x} – \frac{1}{\sqrt{x}}\right)^2\,dx$

উত্তৰঃ বৰ্গ বিস্তাৰ কৰি পাওঁ $\left(\sqrt{x} – \frac{1}{\sqrt{x}}\right)^2 = x – 2 + \frac{1}{x}$। সেয়েহে

$$\int \left(x – 2 + \frac{1}{x}\right)\,dx = \frac{x^2}{2} – 2x + \log|x| + C$$

11. $\int \frac{x^3 + 5x^2 – 4}{x^2}\,dx$

উত্তৰঃ ভাগ কৰি পাওঁ $\frac{x^3 + 5x^2 – 4}{x^2} = x + 5 – 4x^{-2}$। সেয়েহে

$$\int (x + 5 – 4x^{-2})\,dx = \frac{x^2}{2} + 5x + \frac{4}{x} + C$$

12. $\int \frac{x^3 + 3x + 4}{\sqrt{x}}\,dx$

উত্তৰঃ $\frac{x^3 + 3x + 4}{\sqrt{x}} = x^{5/2} + 3x^{1/2} + 4x^{-1/2}$। সেয়েহে

$$\int (x^{5/2} + 3x^{1/2} + 4x^{-1/2})\,dx = \frac{2}{7}x^{7/2} + 2x^{3/2} + 8\sqrt{x} + C$$

13. $\int \frac{x^3 – x^2 + x – 1}{x – 1}\,dx$

উত্তৰঃ লবটো উৎপাদকত বিশ্লেষণ কৰি পাওঁ $x^3 – x^2 + x – 1 = x^2(x – 1) + (x – 1) = (x – 1)(x^2 + 1)$। সেয়েহে $\frac{x^3 – x^2 + x – 1}{x – 1} = x^2 + 1$ আৰু

$$\int (x^2 + 1)\,dx = \frac{x^3}{3} + x + C$$

14. $\int (1 – x)\sqrt{x}\,dx$

উত্তৰঃ $(1 – x)\sqrt{x} = x^{1/2} – x^{3/2}$। সেয়েহে

$$\int (x^{1/2} – x^{3/2})\,dx = \frac{2}{3}x^{3/2} – \frac{2}{5}x^{5/2} + C$$

15. $\int \sqrt{x}\,(3x^2 + 2x + 3)\,dx$

উত্তৰঃ $\sqrt{x}\,(3x^2 + 2x + 3) = 3x^{5/2} + 2x^{3/2} + 3x^{1/2}$। সেয়েহে

$$\int (3x^{5/2} + 2x^{3/2} + 3x^{1/2})\,dx = \frac{6}{7}x^{7/2} + \frac{4}{5}x^{5/2} + 2x^{3/2} + C$$

16. $\int (2x – 3\cos x + e^x)\,dx$

উত্তৰঃ $\int (2x – 3\cos x + e^x)\,dx = x^2 – 3\sin x + e^x + C$।

17. $\int (2x^2 – 3\sin x + 5\sqrt{x})\,dx$

উত্তৰঃ $\int (2x^2 – 3\sin x + 5\sqrt{x})\,dx = \frac{2x^3}{3} + 3\cos x + \frac{10}{3}x^{3/2} + C$।

18. $\int \sec x\,(\sec x + \tan x)\,dx$

উত্তৰঃ $\sec x(\sec x + \tan x) = \sec^2 x + \sec x \tan x$। সেয়েহে $\int (\sec^2 x + \sec x \tan x)\,dx = \tan x + \sec x + C$।

19. $\int \frac{\sec^2 x}{\operatorname{cosec}^2 x}\,dx$

উত্তৰঃ $\frac{\sec^2 x}{\operatorname{cosec}^2 x} = \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} = \tan^2 x = \sec^2 x – 1$। সেয়েহে $\int (\sec^2 x – 1)\,dx = \tan x – x + C$।

20. $\int \frac{2 – 3\sin x}{\cos^2 x}\,dx$

উত্তৰঃ $\frac{2 – 3\sin x}{\cos^2 x} = \frac{2}{\cos^2 x} – \frac{3\sin x}{\cos^2 x} = 2\sec^2 x – 3\sec x \tan x$। সেয়েহে

$$\int (2\sec^2 x – 3\sec x \tan x)\,dx = 2\tan x – 3\sec x + C$$

শুদ্ধ উত্তৰ নিৰ্ণয় কৰা (প্ৰশ্ন ২১ আৰু ২২) ঃ

21. $\left(\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}}\right)$-ৰ প্ৰতি অৱকলজৰ মান —

(A) $\frac{1}{3}x^{1/3} + 2x^{1/2} + C$    (B) $\frac{2}{3}x^{2/3} + \frac{1}{2}x^2 + C$    (C) $\frac{2}{3}x^{3/2} + 2x^{1/2} + C$    (D) $\frac{3}{2}x^{3/2} + \frac{1}{2}x^{1/2} + C$

উত্তৰঃ শুদ্ধ উত্তৰ (C)। $\int \left(x^{1/2} + x^{-1/2}\right)\,dx = \frac{x^{3/2}}{3/2} + \frac{x^{1/2}}{1/2} + C = \frac{2}{3}x^{3/2} + 2x^{1/2} + C$।

22. যদি $\frac{d}{dx} f(x) = 4x^3 – \frac{3}{x^4}$ যাতে $f(2) = 0$, তেন্তে $f(x)$-ৰ মান হ’ব —

(A) $x^4 + \frac{1}{x^3} – \frac{129}{8}$    (B) $x^3 + \frac{1}{x^4} + \frac{129}{8}$    (C) $x^4 + \frac{1}{x^3} + \frac{129}{8}$    (D) $x^3 + \frac{1}{x^4} – \frac{129}{8}$

উত্তৰঃ শুদ্ধ উত্তৰ (A)। $f(x) = \int \left(4x^3 – 3x^{-4}\right)\,dx = x^4 + \frac{1}{x^3} + C$। এতিয়া $f(2) = 0$ দিয়া আছে, গতিকে $16 + \frac{1}{8} + C = 0$, অৰ্থাৎ $C = -\frac{129}{8}$। সেয়েহে $f(x) = x^4 + \frac{1}{x^3} – \frac{129}{8}$।

অনুশীলনী 7.2

তলৰ ফলনসমূহৰ অনুকল নিৰ্ণয় কৰা (প্ৰশ্ন ১-৩৭) ঃ

1. $\dfrac{2x}{1 + x^2}$

উত্তৰঃ ধৰা হ’ল $1 + x^2 = t$, যাতে $2x\,dx = dt$। সেয়েহে $\int \frac{2x}{1 + x^2}\,dx = \int \frac{dt}{t} = \log|t| + C = \log(1 + x^2) + C$।

2. $\dfrac{(\log x)^2}{x}$

উত্তৰঃ ধৰা হ’ল $\log x = t$, যাতে $\frac{1}{x}\,dx = dt$। সেয়েহে $\int \frac{(\log x)^2}{x}\,dx = \int t^2\,dt = \frac{t^3}{3} + C = \frac{(\log x)^3}{3} + C$।

3. $\dfrac{1}{x + x \log x}$

উত্তৰঃ $\frac{1}{x + x\log x} = \frac{1}{x(1 + \log x)}$। ধৰা হ’ল $1 + \log x = t$, যাতে $\frac{1}{x}\,dx = dt$। সেয়েহে $\int \frac{dt}{t} = \log|1 + \log x| + C$।

4. $\sin x\,\sin(\cos x)$

উত্তৰঃ ধৰা হ’ল $\cos x = t$, যাতে $-\sin x\,dx = dt$। সেয়েহে $\int \sin x\,\sin(\cos x)\,dx = -\int \sin t\,dt = \cos t + C = \cos(\cos x) + C$।

5. $\sin(ax + b)\cos(ax + b)$

উত্তৰঃ $\sin(ax + b)\cos(ax + b) = \frac{1}{2}\sin 2(ax + b)$। সেয়েহে

$$\int \tfrac{1}{2}\sin 2(ax + b)\,dx = \frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{\cos 2(ax + b)}{2a}\right) + C = -\frac{1}{4a}\cos 2(ax + b) + C$$

6. $\sqrt{ax + b}$

উত্তৰঃ ধৰা হ’ল $ax + b = t$, যাতে $a\,dx = dt$। সেয়েহে $\int \sqrt{ax + b}\,dx = \frac{1}{a}\int t^{1/2}\,dt = \frac{1}{a} \cdot \frac{2}{3}t^{3/2} + C = \frac{2}{3a}(ax + b)^{3/2} + C$।

7. $x\sqrt{x + 2}$

উত্তৰঃ ধৰা হ’ল $x + 2 = t$, তেন্তে $x = t – 2$ আৰু $dx = dt$। সেয়েহে

$$\int (t – 2)\sqrt{t}\,dt = \int (t^{3/2} – 2t^{1/2})\,dt = \frac{2}{5}(x + 2)^{5/2} – \frac{4}{3}(x + 2)^{3/2} + C$$

8. $x\sqrt{1 + 2x^2}$

উত্তৰঃ ধৰা হ’ল $1 + 2x^2 = t$, যাতে $4x\,dx = dt$। সেয়েহে $\int x\sqrt{1 + 2x^2}\,dx = \frac{1}{4}\int t^{1/2}\,dt = \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3}t^{3/2} + C = \frac{1}{6}(1 + 2x^2)^{3/2} + C$।

9. $(4x + 2)\sqrt{x^2 + x + 1}$

উত্তৰঃ $4x + 2 = 2(2x + 1)$ আৰু $\frac{d}{dx}(x^2 + x + 1) = 2x + 1$। ধৰা হ’ল $x^2 + x + 1 = t$, যাতে $(2x + 1)\,dx = dt$। সেয়েহে

$$\int 2(2x + 1)\sqrt{x^2 + x + 1}\,dx = 2\int t^{1/2}\,dt = \frac{4}{3}(x^2 + x + 1)^{3/2} + C$$

10. $\dfrac{1}{x – \sqrt{x}}$

উত্তৰঃ $\frac{1}{x – \sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{x}(\sqrt{x} – 1)}$। ধৰা হ’ল $\sqrt{x} = t$, তেন্তে $x = t^2$ আৰু $dx = 2t\,dt$। সেয়েহে

$$\int \frac{2t}{t(t – 1)}\,dt = \int \frac{2}{t – 1}\,dt = 2\log|t – 1| + C = 2\log\left|\sqrt{x} – 1\right| + C$$

11. $\dfrac{x}{\sqrt{x + 4}}$, $x > 0$

উত্তৰঃ ধৰা হ’ল $x + 4 = t$, তেন্তে $x = t – 4$ আৰু $dx = dt$। সেয়েহে

$$\int \frac{t – 4}{\sqrt{t}}\,dt = \int (t^{1/2} – 4t^{-1/2})\,dt = \frac{2}{3}(x + 4)^{3/2} – 8\sqrt{x + 4} + C$$

12. $(x^3 – 1)^{1/3}\,x^5$

উত্তৰঃ ধৰা হ’ল $x^3 – 1 = t$, তেন্তে $x^3 = t + 1$ আৰু $3x^2\,dx = dt$। এতিয়া $x^5\,dx = x^3 \cdot x^2\,dx = (t + 1)\frac{dt}{3}$। সেয়েহে

$$\frac{1}{3}\int t^{1/3}(t + 1)\,dt = \frac{1}{3}\int (t^{4/3} + t^{1/3})\,dt = \frac{1}{7}(x^3 – 1)^{7/3} + \frac{1}{4}(x^3 – 1)^{4/3} + C$$

13. $\dfrac{x^2}{(2 + 3x^3)^3}$

উত্তৰঃ ধৰা হ’ল $2 + 3x^3 = t$, যাতে $9x^2\,dx = dt$। সেয়েহে

$$\frac{1}{9}\int t^{-3}\,dt = \frac{1}{9} \cdot \frac{t^{-2}}{-2} + C = -\frac{1}{18(2 + 3x^3)^2} + C$$

14. $\dfrac{1}{x(\log x)^m}$, $x > 0$, $m \neq 1$

উত্তৰঃ ধৰা হ’ল $\log x = t$, যাতে $\frac{1}{x}\,dx = dt$। সেয়েহে

$$\int t^{-m}\,dt = \frac{t^{-m + 1}}{1 – m} + C = \frac{(\log x)^{1 – m}}{1 – m} + C$$

15. $\dfrac{x}{9 – 4x^2}$

উত্তৰঃ ধৰা হ’ল $9 – 4x^2 = t$, যাতে $-8x\,dx = dt$। সেয়েহে $\int \frac{x}{9 – 4x^2}\,dx = -\frac{1}{8}\int \frac{dt}{t} = -\frac{1}{8}\log|9 – 4x^2| + C$।

16. $e^{2x + 3}$

উত্তৰঃ $\int e^{2x + 3}\,dx = \frac{1}{2}e^{2x + 3} + C$।

17. $\dfrac{x}{e^{x^2}}$

উত্তৰঃ $\frac{x}{e^{x^2}} = x\,e^{-x^2}$। ধৰা হ’ল $-x^2 = t$, যাতে $-2x\,dx = dt$। সেয়েহে $\int x\,e^{-x^2}\,dx = -\frac{1}{2}\int e^t\,dt = -\frac{1}{2}e^{-x^2} + C$।

18. $\dfrac{e^{\tan^{-1} x}}{1 + x^2}$

উত্তৰঃ ধৰা হ’ল $\tan^{-1} x = t$, যাতে $\frac{1}{1 + x^2}\,dx = dt$। সেয়েহে $\int \frac{e^{\tan^{-1} x}}{1 + x^2}\,dx = \int e^t\,dt = e^t + C = e^{\tan^{-1} x} + C$।

19. $\dfrac{e^{2x} – 1}{e^{2x} + 1}$

উত্তৰঃ লব আৰু হৰক $e^{x}$-ৰে ভাগ কৰি পাওঁ $\frac{e^{2x} – 1}{e^{2x} + 1} = \frac{e^x – e^{-x}}{e^x + e^{-x}}$। ধৰা হ’ল $e^x + e^{-x} = t$, যাতে $(e^x – e^{-x})\,dx = dt$। সেয়েহে $\int \frac{dt}{t} = \log(e^x + e^{-x}) + C$।

20. $\dfrac{e^{2x} – e^{-2x}}{e^{2x} + e^{-2x}}$

উত্তৰঃ ধৰা হ’ল $e^{2x} + e^{-2x} = t$, যাতে $2(e^{2x} – e^{-2x})\,dx = dt$। সেয়েহে $\int \frac{e^{2x} – e^{-2x}}{e^{2x} + e^{-2x}}\,dx = \frac{1}{2}\int \frac{dt}{t} = \frac{1}{2}\log(e^{2x} + e^{-2x}) + C$।

21. $\tan^2(2x – 3)$

উত্তৰঃ $\tan^2(2x – 3) = \sec^2(2x – 3) – 1$। সেয়েহে

$$\int [\sec^2(2x – 3) – 1]\,dx = \frac{1}{2}\tan(2x – 3) – x + C$$

22. $\sec^2(7 – 4x)$

উত্তৰঃ ধৰা হ’ল $7 – 4x = t$, যাতে $-4\,dx = dt$। সেয়েহে $\int \sec^2(7 – 4x)\,dx = -\frac{1}{4}\int \sec^2 t\,dt = -\frac{1}{4}\tan(7 – 4x) + C$।

23. $\dfrac{\sin^{-1} x}{\sqrt{1 – x^2}}$

উত্তৰঃ ধৰা হ’ল $\sin^{-1} x = t$, যাতে $\frac{1}{\sqrt{1 – x^2}}\,dx = dt$। সেয়েহে $\int \frac{\sin^{-1} x}{\sqrt{1 – x^2}}\,dx = \int t\,dt = \frac{t^2}{2} + C = \frac{(\sin^{-1} x)^2}{2} + C$।

24. $\dfrac{2\cos x – 3\sin x}{6\cos x + 4\sin x}$

উত্তৰঃ লক্ষ্য কৰা যে $\frac{d}{dx}(6\cos x + 4\sin x) = -6\sin x + 4\cos x = 2(2\cos x – 3\sin x)$। গতিকে লবটো হৰৰ অৱকলজৰ আধা। ধৰা হ’ল $6\cos x + 4\sin x = t$, যাতে $2(2\cos x – 3\sin x)\,dx = dt$। সেয়েহে

$$\int \frac{2\cos x – 3\sin x}{6\cos x + 4\sin x}\,dx = \frac{1}{2}\int \frac{dt}{t} = \frac{1}{2}\log|6\cos x + 4\sin x| + C$$

25. $\dfrac{1}{\cos^2 x\,(1 – \tan x)^2}$

উত্তৰঃ $\frac{1}{\cos^2 x\,(1 – \tan x)^2} = \frac{\sec^2 x}{(1 – \tan x)^2}$। ধৰা হ’ল $1 – \tan x = t$, যাতে $-\sec^2 x\,dx = dt$। সেয়েহে

$$-\int \frac{dt}{t^2} = \frac{1}{t} + C = \frac{1}{1 – \tan x} + C$$

26. $\dfrac{\cos \sqrt{x}}{\sqrt{x}}$

উত্তৰঃ ধৰা হ’ল $\sqrt{x} = t$, যাতে $\frac{1}{2\sqrt{x}}\,dx = dt$, অৰ্থাৎ $\frac{1}{\sqrt{x}}\,dx = 2\,dt$। সেয়েহে $\int \frac{\cos \sqrt{x}}{\sqrt{x}}\,dx = 2\int \cos t\,dt = 2\sin t + C = 2\sin \sqrt{x} + C$।

27. $\sqrt{\sin 2x}\,\cos 2x$

উত্তৰঃ ধৰা হ’ল $\sin 2x = t$, যাতে $2\cos 2x\,dx = dt$। সেয়েহে $\int \sqrt{\sin 2x}\,\cos 2x\,dx = \frac{1}{2}\int t^{1/2}\,dt = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}t^{3/2} + C = \frac{1}{3}(\sin 2x)^{3/2} + C$।

28. $\dfrac{\cos x}{\sqrt{1 + \sin x}}$

উত্তৰঃ ধৰা হ’ল $1 + \sin x = t$, যাতে $\cos x\,dx = dt$। সেয়েহে $\int \frac{\cos x}{\sqrt{1 + \sin x}}\,dx = \int \frac{dt}{\sqrt{t}} = 2\sqrt{t} + C = 2\sqrt{1 + \sin x} + C$।

29. $\cot x\,\log \sin x$

উত্তৰঃ ধৰা হ’ল $\log \sin x = t$, যাতে $\frac{\cos x}{\sin x}\,dx = \cot x\,dx = dt$। সেয়েহে $\int \cot x\,\log \sin x\,dx = \int t\,dt = \frac{t^2}{2} + C = \frac{(\log \sin x)^2}{2} + C$।

30. $\dfrac{\sin x}{1 + \cos x}$

উত্তৰঃ ধৰা হ’ল $1 + \cos x = t$, যাতে $-\sin x\,dx = dt$। সেয়েহে $\int \frac{\sin x}{1 + \cos x}\,dx = -\int \frac{dt}{t} = -\log|1 + \cos x| + C$।

31. $\dfrac{\sin x}{(1 + \cos x)^2}$

উত্তৰঃ ধৰা হ’ল $1 + \cos x = t$, যাতে $-\sin x\,dx = dt$। সেয়েহে $\int \frac{\sin x}{(1 + \cos x)^2}\,dx = -\int \frac{dt}{t^2} = \frac{1}{t} + C = \frac{1}{1 + \cos x} + C$।

32. $\dfrac{1}{1 + \cot x}$

উত্তৰঃ $\frac{1}{1 + \cot x} = \frac{\sin x}{\sin x + \cos x}$। লবটো লিখো $\sin x = \frac{1}{2}[(\sin x + \cos x) – (\cos x – \sin x)]$, গতিকে $\frac{\sin x}{\sin x + \cos x} = \frac{1}{2} – \frac{1}{2} \cdot \frac{\cos x – \sin x}{\sin x + \cos x}$। যিহেতু $\frac{d}{dx}(\sin x + \cos x) = \cos x – \sin x$,

$$\int \frac{dx}{1 + \cot x} = \frac{x}{2} – \frac{1}{2}\log|\sin x + \cos x| + C$$

33. $\dfrac{1}{1 – \tan x}$

উত্তৰঃ $\frac{1}{1 – \tan x} = \frac{\cos x}{\cos x – \sin x}$। লবটো লিখো $\cos x = \frac{1}{2}[(\cos x – \sin x) + (\cos x + \sin x)]$, গতিকে $\frac{\cos x}{\cos x – \sin x} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\cos x + \sin x}{\cos x – \sin x}$। যিহেতু $\frac{d}{dx}(\cos x – \sin x) = -(\cos x + \sin x)$,

$$\int \frac{dx}{1 – \tan x} = \frac{x}{2} – \frac{1}{2}\log|\cos x – \sin x| + C$$

34. $\dfrac{\sqrt{\tan x}}{\sin x\,\cos x}$

উত্তৰঃ লব-হৰক $\cos^2 x$-ৰে গুণ কৰি পাওঁ $\frac{\sqrt{\tan x}}{\sin x\,\cos x} = \frac{\sqrt{\tan x}\,\sec^2 x}{\tan x} = \frac{\sec^2 x}{\sqrt{\tan x}}$। ধৰা হ’ল $\tan x = t$, যাতে $\sec^2 x\,dx = dt$। সেয়েহে

$$\int \frac{dt}{\sqrt{t}} = 2\sqrt{t} + C = 2\sqrt{\tan x} + C$$

35. $\dfrac{(1 + \log x)^2}{x}$

উত্তৰঃ ধৰা হ’ল $1 + \log x = t$, যাতে $\frac{1}{x}\,dx = dt$। সেয়েহে $\int \frac{(1 + \log x)^2}{x}\,dx = \int t^2\,dt = \frac{t^3}{3} + C = \frac{(1 + \log x)^3}{3} + C$।

36. $\dfrac{(x + 1)(x + \log x)^2}{x}$

উত্তৰঃ $\frac{(x + 1)(x + \log x)^2}{x} = (x + \log x)^2\left(1 + \frac{1}{x}\right)$। ধৰা হ’ল $x + \log x = t$, যাতে $\left(1 + \frac{1}{x}\right)dx = dt$। সেয়েহে

$$\int t^2\,dt = \frac{t^3}{3} + C = \frac{(x + \log x)^3}{3} + C$$

37. $\dfrac{x^3\,\sin(\tan^{-1} x^4)}{1 + x^8}$

উত্তৰঃ ধৰা হ’ল $\tan^{-1} x^4 = t$, যাতে $\frac{4x^3}{1 + x^8}\,dx = dt$, অৰ্থাৎ $\frac{x^3}{1 + x^8}\,dx = \frac{dt}{4}$। সেয়েহে

$$\frac{1}{4}\int \sin t\,dt = -\frac{1}{4}\cos t + C = -\frac{1}{4}\cos(\tan^{-1} x^4) + C$$

শুদ্ধ উত্তৰ বাছনি কৰা (প্ৰশ্ন ৩৮ আৰু ৩৯) ঃ

38. $\displaystyle \int \frac{10x^9 + 10^x \log_e 10}{x^{10} + 10^x}\,dx$-ৰ মান —

(A) $10^x – x^{10} + C$    (B) $10^x + x^{10} + C$    (C) $(10^x – x^{10})^{-1} + C$    (D) $\log(10^x + x^{10}) + C$

উত্তৰঃ শুদ্ধ উত্তৰ (D)। যিহেতু $\frac{d}{dx}(x^{10} + 10^x) = 10x^9 + 10^x \log_e 10$, লবটো হৰৰ অৱকলজৰ সমান। সেয়েহে $\int \frac{d(x^{10} + 10^x)}{x^{10} + 10^x} = \log(10^x + x^{10}) + C$।

39. $\displaystyle \int \frac{dx}{\sin^2 x\,\cos^2 x}$-ৰ মান —

(A) $\tan x + \cot x + C$    (B) $\tan x – \cot x + C$    (C) $\tan x\,\cot x + C$    (D) $\tan x – \cot 2x + C$

উত্তৰঃ শুদ্ধ উত্তৰ (B)। $\frac{1}{\sin^2 x\,\cos^2 x} = \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin^2 x\,\cos^2 x} = \sec^2 x + \operatorname{cosec}^2 x$। সেয়েহে $\int (\sec^2 x + \operatorname{cosec}^2 x)\,dx = \tan x – \cot x + C$।

অনুশীলনী 7.3

তলৰ ফলনসমূহৰ অনুকল নিৰ্ণয় কৰা (প্ৰশ্ন ১-২২) ঃ

1. $\sin^2(2x + 5)$

উত্তৰঃ $\sin^2(2x + 5) = \frac{1 – \cos(4x + 10)}{2}$। সেয়েহে

$$\int \frac{1 – \cos(4x + 10)}{2}\,dx = \frac{x}{2} – \frac{1}{8}\sin(4x + 10) + C$$

2. $\sin 3x\,\cos 4x$

উত্তৰঃ $\sin 3x\,\cos 4x = \frac{1}{2}[\sin 7x – \sin x]$। সেয়েহে

$$\frac{1}{2}\int (\sin 7x – \sin x)\,dx = -\frac{1}{14}\cos 7x + \frac{1}{2}\cos x + C$$

3. $\cos 2x\,\cos 4x\,\cos 6x$

উত্তৰঃ প্ৰথমে $\cos 4x\,\cos 6x = \frac{1}{2}(\cos 10x + \cos 2x)$, ইয়াক $\cos 2x$-ৰে গুণ কৰি সৰল কৰি পাওঁ

$$\cos 2x\,\cos 4x\,\cos 6x = \frac{1}{4}(1 + \cos 4x + \cos 8x + \cos 12x)$$

সেয়েহে অনুকল $= \frac{x}{4} + \frac{1}{16}\sin 4x + \frac{1}{32}\sin 8x + \frac{1}{48}\sin 12x + C$।

4. $\sin^3(2x + 1)$

উত্তৰঃ $\int \sin^3(2x + 1)\,dx = \int [1 – \cos^2(2x + 1)]\sin(2x + 1)\,dx$। ধৰা হ’ল $\cos(2x + 1) = t$, যাতে $-2\sin(2x + 1)\,dx = dt$। সেয়েহে

$$-\frac{1}{2}\int (1 – t^2)\,dt = -\frac{1}{2}\cos(2x + 1) + \frac{1}{6}\cos^3(2x + 1) + C$$

5. $\sin^3 x\,\cos^3 x$

উত্তৰঃ $\sin^3 x\,\cos^3 x = \sin^3 x\,(1 – \sin^2 x)\cos x$। ধৰা হ’ল $\sin x = t$, যাতে $\cos x\,dx = dt$। সেয়েহে

$$\int t^3(1 – t^2)\,dt = \int (t^3 – t^5)\,dt = \frac{\sin^4 x}{4} – \frac{\sin^6 x}{6} + C$$

6. $\sin x\,\sin 2x\,\sin 3x$

উত্তৰঃ $\sin x\,\sin 3x = \frac{1}{2}(\cos 2x – \cos 4x)$, ইয়াক $\sin 2x$-ৰে গুণ কৰি পাওঁ $\sin x\,\sin 2x\,\sin 3x = \frac{1}{4}(\sin 2x + \sin 4x – \sin 6x)$। সেয়েহে

$$\int \frac{1}{4}(\sin 2x + \sin 4x – \sin 6x)\,dx = -\frac{1}{8}\cos 2x – \frac{1}{16}\cos 4x + \frac{1}{24}\cos 6x + C$$

7. $\sin 4x\,\sin 8x$

উত্তৰঃ $\sin 4x\,\sin 8x = \frac{1}{2}(\cos 4x – \cos 12x)$। সেয়েহে

$$\frac{1}{2}\int (\cos 4x – \cos 12x)\,dx = \frac{1}{8}\sin 4x – \frac{1}{24}\sin 12x + C$$

8. $\dfrac{1 – \cos x}{1 + \cos x}$

উত্তৰঃ $\frac{1 – \cos x}{1 + \cos x} = \frac{2\sin^2 (x/2)}{2\cos^2 (x/2)} = \tan^2 \frac{x}{2} = \sec^2 \frac{x}{2} – 1$। সেয়েহে $\int \left(\sec^2 \frac{x}{2} – 1\right)dx = 2\tan \frac{x}{2} – x + C$।

9. $\dfrac{\cos x}{1 + \cos x}$

উত্তৰঃ $\frac{\cos x}{1 + \cos x} = 1 – \frac{1}{1 + \cos x} = 1 – \frac{1}{2}\sec^2 \frac{x}{2}$। সেয়েহে $\int \left(1 – \frac{1}{2}\sec^2 \frac{x}{2}\right)dx = x – \tan \frac{x}{2} + C$।

10. $\sin^4 x$

উত্তৰঃ $\sin^4 x = \left(\frac{1 – \cos 2x}{2}\right)^2 = \frac{3}{8} – \frac{1}{2}\cos 2x + \frac{1}{8}\cos 4x$। সেয়েহে

$$\int \sin^4 x\,dx = \frac{3x}{8} – \frac{1}{4}\sin 2x + \frac{1}{32}\sin 4x + C$$

11. $\cos^4 2x$

উত্তৰঃ $\cos^4 2x = \left(\frac{1 + \cos 4x}{2}\right)^2 = \frac{3}{8} + \frac{1}{2}\cos 4x + \frac{1}{8}\cos 8x$। সেয়েহে

$$\int \cos^4 2x\,dx = \frac{3x}{8} + \frac{1}{8}\sin 4x + \frac{1}{64}\sin 8x + C$$

12. $\dfrac{\sin^2 x}{1 + \cos x}$

উত্তৰঃ $\frac{\sin^2 x}{1 + \cos x} = \frac{1 – \cos^2 x}{1 + \cos x} = \frac{(1 – \cos x)(1 + \cos x)}{1 + \cos x} = 1 – \cos x$। সেয়েহে $\int (1 – \cos x)\,dx = x – \sin x + C$।

13. $\dfrac{\cos 2x – \cos 2\alpha}{\cos x – \cos \alpha}$

উত্তৰঃ $\cos 2x – \cos 2\alpha = (2\cos^2 x – 1) – (2\cos^2 \alpha – 1) = 2(\cos x – \cos \alpha)(\cos x + \cos \alpha)$। গতিকে ভগ্নাংশটো $= 2(\cos x + \cos \alpha)$। সেয়েহে

$$\int 2(\cos x + \cos \alpha)\,dx = 2\sin x + 2x\cos \alpha + C$$

14. $\dfrac{\cos x – \sin x}{1 + \sin 2x}$

উত্তৰঃ $1 + \sin 2x = \sin^2 x + \cos^2 x + 2\sin x\cos x = (\sin x + \cos x)^2$। ধৰা হ’ল $\sin x + \cos x = t$, যাতে $(\cos x – \sin x)\,dx = dt$। সেয়েহে

$$\int \frac{dt}{t^2} = -\frac{1}{t} + C = -\frac{1}{\sin x + \cos x} + C$$

15. $\tan^3 2x\,\sec 2x$

উত্তৰঃ $\tan^3 2x\,\sec 2x = (\sec^2 2x – 1)\sec 2x\,\tan 2x$। ধৰা হ’ল $\sec 2x = u$, যাতে $2\sec 2x\,\tan 2x\,dx = du$। সেয়েহে

$$\frac{1}{2}\int (u^2 – 1)\,du = \frac{1}{6}\sec^3 2x – \frac{1}{2}\sec 2x + C$$

16. $\tan^4 x$

উত্তৰঃ $\tan^4 x = \tan^2 x(\sec^2 x – 1) = \tan^2 x\,\sec^2 x – (\sec^2 x – 1)$। সেয়েহে

$$\int (\tan^2 x\,\sec^2 x – \sec^2 x + 1)\,dx = \frac{\tan^3 x}{3} – \tan x + x + C$$

17. $\dfrac{\sin^3 x + \cos^3 x}{\sin^2 x\,\cos^2 x}$

উত্তৰঃ $\frac{\sin^3 x + \cos^3 x}{\sin^2 x\,\cos^2 x} = \frac{\sin x}{\cos^2 x} + \frac{\cos x}{\sin^2 x} = \sec x\,\tan x + \operatorname{cosec} x\,\cot x$। সেয়েহে

$$\int (\sec x\,\tan x + \operatorname{cosec} x\,\cot x)\,dx = \sec x – \operatorname{cosec} x + C$$

18. $\dfrac{\cos 2x + 2\sin^2 x}{\cos^2 x}$

উত্তৰঃ $\cos 2x = 1 – 2\sin^2 x$, গতিকে $\cos 2x + 2\sin^2 x = 1$। সেয়েহে ভগ্নাংশটো $= \frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x$ আৰু $\int \sec^2 x\,dx = \tan x + C$।

19. $\dfrac{1}{\sin x\,\cos^3 x}$

উত্তৰঃ লব-হৰক $\cos^4 x$-ৰে ভাগ কৰি পাওঁ $\frac{1}{\sin x\,\cos^3 x} = \frac{\sec^4 x}{\tan x} = \frac{(1 + \tan^2 x)\sec^2 x}{\tan x}$। ধৰা হ’ল $\tan x = t$, যাতে $\sec^2 x\,dx = dt$। সেয়েহে

$$\int \frac{1 + t^2}{t}\,dt = \int \left(\frac{1}{t} + t\right)dt = \log|\tan x| + \frac{\tan^2 x}{2} + C$$

20. $\dfrac{\cos 2x}{(\cos x + \sin x)^2}$

উত্তৰঃ $\cos 2x = \cos^2 x – \sin^2 x = (\cos x – \sin x)(\cos x + \sin x)$, গতিকে ভগ্নাংশটো $= \frac{\cos x – \sin x}{\cos x + \sin x}$। ধৰা হ’ল $\cos x + \sin x = t$, যাতে $(\cos x – \sin x)\,dx = dt$। সেয়েহে $\int \frac{dt}{t} = \log|\cos x + \sin x| + C$।

21. $\sin^{-1}(\cos x)$

উত্তৰঃ $\cos x = \sin\left(\frac{\pi}{2} – x\right)$, গতিকে $0 \le x \le \pi$-ৰ বাবে $\sin^{-1}(\cos x) = \frac{\pi}{2} – x$। সেয়েহে

$$\int \left(\frac{\pi}{2} – x\right)dx = \frac{\pi x}{2} – \frac{x^2}{2} + C$$

22. $\dfrac{1}{\cos(x – a)\cos(x – b)}$

উত্তৰঃ $\sin(a – b) = \sin[(x – b) – (x – a)]$ ব্যৱহাৰ কৰি লিখো

$$\frac{1}{\cos(x – a)\cos(x – b)} = \frac{1}{\sin(a – b)}[\tan(x – b) – \tan(x – a)]$$

সেয়েহে অনুকল $= \frac{1}{\sin(a – b)}\log\left|\dfrac{\cos(x – a)}{\cos(x – b)}\right| + C$।

শুদ্ধ উত্তৰ বাছনি কৰা (প্ৰশ্ন ২৩ আৰু ২৪) ঃ

23. $\displaystyle \int \frac{\sin^2 x – \cos^2 x}{\sin^2 x\,\cos^2 x}\,dx$-ৰ মান —

(A) $\tan x + \cot x + C$    (B) $\tan x + \operatorname{cosec} x + C$    (C) $-\tan x + \cot x + C$    (D) $\tan x + \sec x + C$

উত্তৰঃ শুদ্ধ উত্তৰ (A)। $\frac{\sin^2 x – \cos^2 x}{\sin^2 x\,\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x} – \frac{1}{\sin^2 x} = \sec^2 x – \operatorname{cosec}^2 x$। সেয়েহে $\int (\sec^2 x – \operatorname{cosec}^2 x)\,dx = \tan x + \cot x + C$।

24. $\displaystyle \int \frac{e^x(1 + x)}{\cos^2(e^x x)}\,dx$-ৰ মান —

(A) $-\cot(e^x x) + C$    (B) $\tan(x e^x) + C$    (C) $\tan(e^x) + C$    (D) $\cot(e^x) + C$

উত্তৰঃ শুদ্ধ উত্তৰ (B)। ধৰা হ’ল $x\,e^x = t$, তেন্তে $(e^x + x e^x)\,dx = e^x(1 + x)\,dx = dt$। সেয়েহে $\int \frac{dt}{\cos^2 t} = \int \sec^2 t\,dt = \tan t + C = \tan(x e^x) + C$।

অনুশীলনী 7.4

তলৰ ফলনসমূহৰ অনুকল নিৰ্ণয় কৰা (প্ৰশ্ন ১-২৩) ঃ

1. $\dfrac{3x^2}{x^6 + 1}$

উত্তৰঃ ধৰা হ’ল $x^3 = t$, যাতে $3x^2\,dx = dt$। সেয়েহে $\int \frac{3x^2}{x^6 + 1}\,dx = \int \frac{dt}{t^2 + 1} = \tan^{-1} t + C = \tan^{-1}(x^3) + C$।

2. $\dfrac{1}{\sqrt{1 + 4x^2}}$

উত্তৰঃ $\frac{1}{\sqrt{1 + 4x^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 + (2x)^2}}$। ধৰা হ’ল $2x = t$, যাতে $2\,dx = dt$। সেয়েহে

$$\frac{1}{2}\int \frac{dt}{\sqrt{t^2 + 1}} = \frac{1}{2}\log\left|2x + \sqrt{1 + 4x^2}\right| + C$$

3. $\dfrac{1}{\sqrt{(2 – x)^2 + 1}}$

উত্তৰঃ ধৰা হ’ল $2 – x = t$, যাতে $-dx = dt$। সেয়েহে

$$-\int \frac{dt}{\sqrt{t^2 + 1}} = -\log\left|(2 – x) + \sqrt{(2 – x)^2 + 1}\right| + C$$

4. $\dfrac{1}{\sqrt{9 – 25x^2}}$

উত্তৰঃ $\frac{1}{\sqrt{9 – 25x^2}} = \frac{1}{\sqrt{3^2 – (5x)^2}}$। ধৰা হ’ল $5x = t$, যাতে $5\,dx = dt$। সেয়েহে $\frac{1}{5}\int \frac{dt}{\sqrt{9 – t^2}} = \frac{1}{5}\sin^{-1}\frac{5x}{3} + C$।

5. $\dfrac{3x}{1 + 2x^4}$

উত্তৰঃ ধৰা হ’ল $x^2 = t$, যাতে $2x\,dx = dt$। সেয়েহে $\int \frac{3x}{1 + 2x^4}\,dx = \frac{3}{2}\int \frac{dt}{1 + 2t^2}$। যিহেতু $\int \frac{dt}{1 + 2t^2} = \frac{1}{\sqrt{2}}\tan^{-1}(\sqrt{2}\,t)$,

$$\int \frac{3x}{1 + 2x^4}\,dx = \frac{3}{2\sqrt{2}}\tan^{-1}(\sqrt{2}\,x^2) + C$$

6. $\dfrac{x^2}{1 – x^6}$

উত্তৰঃ ধৰা হ’ল $x^3 = t$, যাতে $3x^2\,dx = dt$। সেয়েহে $\int \frac{x^2}{1 – x^6}\,dx = \frac{1}{3}\int \frac{dt}{1 – t^2} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}\log\left|\frac{1 + t}{1 – t}\right| + C = \frac{1}{6}\log\left|\frac{1 + x^3}{1 – x^3}\right| + C$।

7. $\dfrac{x – 1}{\sqrt{x^2 – 1}}$

উত্তৰঃ $\frac{x – 1}{\sqrt{x^2 – 1}} = \frac{x}{\sqrt{x^2 – 1}} – \frac{1}{\sqrt{x^2 – 1}}$। প্ৰথমটোৰ বাবে $x^2 – 1 = t$ ধৰি পাওঁ $\int \frac{x}{\sqrt{x^2 – 1}}\,dx = \sqrt{x^2 – 1}$; দ্বিতীয়টো প্ৰামাণিক সূত্ৰ। সেয়েহে

$$\int \frac{x – 1}{\sqrt{x^2 – 1}}\,dx = \sqrt{x^2 – 1} – \log\left|x + \sqrt{x^2 – 1}\right| + C$$

8. $\dfrac{x^2}{\sqrt{x^6 + a^6}}$

উত্তৰঃ ধৰা হ’ল $x^3 = t$, যাতে $3x^2\,dx = dt$। সেয়েহে $\int \frac{x^2}{\sqrt{x^6 + a^6}}\,dx = \frac{1}{3}\int \frac{dt}{\sqrt{t^2 + (a^3)^2}} = \frac{1}{3}\log\left|x^3 + \sqrt{x^6 + a^6}\right| + C$।

9. $\dfrac{\sec^2 x}{\sqrt{\tan^2 x + 4}}$

উত্তৰঃ ধৰা হ’ল $\tan x = t$, যাতে $\sec^2 x\,dx = dt$। সেয়েহে $\int \frac{\sec^2 x}{\sqrt{\tan^2 x + 4}}\,dx = \int \frac{dt}{\sqrt{t^2 + 2^2}} = \log\left|\tan x + \sqrt{\tan^2 x + 4}\right| + C$।

10. $\dfrac{1}{\sqrt{x^2 + 2x + 2}}$

উত্তৰঃ বৰ্গ সম্পূৰ্ণ কৰি পাওঁ $x^2 + 2x + 2 = (x + 1)^2 + 1$। সেয়েহে

$$\int \frac{dx}{\sqrt{(x + 1)^2 + 1}} = \log\left|(x + 1) + \sqrt{x^2 + 2x + 2}\right| + C$$

11. $\dfrac{1}{9x^2 + 6x + 5}$

উত্তৰঃ $9x^2 + 6x + 5 = (3x + 1)^2 + 4$। ধৰা হ’ল $3x + 1 = t$, যাতে $3\,dx = dt$। সেয়েহে

$$\frac{1}{3}\int \frac{dt}{t^2 + 2^2} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}\tan^{-1}\frac{t}{2} + C = \frac{1}{6}\tan^{-1}\frac{3x + 1}{2} + C$$

12. $\dfrac{1}{\sqrt{7 – 6x – x^2}}$

উত্তৰঃ $7 – 6x – x^2 = 16 – (x + 3)^2$। সেয়েহে

$$\int \frac{dx}{\sqrt{4^2 – (x + 3)^2}} = \sin^{-1}\frac{x + 3}{4} + C$$

13. $\dfrac{1}{\sqrt{(x – 1)(x – 2)}}$

উত্তৰঃ $(x – 1)(x – 2) = x^2 – 3x + 2 = \left(x – \frac{3}{2}\right)^2 – \left(\frac{1}{2}\right)^2$। সেয়েহে

$$\int \frac{dx}{\sqrt{\left(x – \frac{3}{2}\right)^2 – \left(\frac{1}{2}\right)^2}} = \log\left|\left(x – \frac{3}{2}\right) + \sqrt{x^2 – 3x + 2}\right| + C$$

14. $\dfrac{1}{\sqrt{8 + 3x – x^2}}$

উত্তৰঃ বৰ্গ সম্পূৰ্ণ কৰি পাওঁ $8 + 3x – x^2 = \frac{41}{4} – \left(x – \frac{3}{2}\right)^2$। সেয়েহে

$$\int \frac{dx}{\sqrt{\left(\frac{\sqrt{41}}{2}\right)^2 – \left(x – \frac{3}{2}\right)^2}} = \sin^{-1}\frac{2x – 3}{\sqrt{41}} + C$$

15. $\dfrac{1}{\sqrt{(x – a)(x – b)}}$

উত্তৰঃ $(x – a)(x – b) = x^2 – (a + b)x + ab = \left(x – \frac{a + b}{2}\right)^2 – \left(\frac{a – b}{2}\right)^2$। সেয়েহে

$$\int \frac{dx}{\sqrt{\left(x – \frac{a + b}{2}\right)^2 – \left(\frac{a – b}{2}\right)^2}} = \log\left|\left(x – \frac{a + b}{2}\right) + \sqrt{(x – a)(x – b)}\right| + C$$

16. $\dfrac{4x + 1}{\sqrt{2x^2 + x – 3}}$

উত্তৰঃ লক্ষ্য কৰা যে $\frac{d}{dx}(2x^2 + x – 3) = 4x + 1$, অৰ্থাৎ লবটো হৰৰ ভিতৰৰ ৰাশিটোৰ অৱকলজৰ সমান। ধৰা হ’ল $2x^2 + x – 3 = t$, যাতে $(4x + 1)\,dx = dt$। সেয়েহে $\int \frac{dt}{\sqrt{t}} = 2\sqrt{t} + C = 2\sqrt{2x^2 + x – 3} + C$।

17. $\dfrac{x + 2}{\sqrt{x^2 – 1}}$

উত্তৰঃ $\frac{x + 2}{\sqrt{x^2 – 1}} = \frac{x}{\sqrt{x^2 – 1}} + \frac{2}{\sqrt{x^2 – 1}}$। সেয়েহে

$$\int \frac{x + 2}{\sqrt{x^2 – 1}}\,dx = \sqrt{x^2 – 1} + 2\log\left|x + \sqrt{x^2 – 1}\right| + C$$

18. $\dfrac{5x – 2}{1 + 2x + 3x^2}$

উত্তৰঃ লিখো $5x – 2 = A\frac{d}{dx}(3x^2 + 2x + 1) + B = A(6x + 2) + B$। সহগ তুলনা কৰি $6A = 5$ আৰু $2A + B = -2$, অৰ্থাৎ $A = \frac{5}{6}$, $B = -\frac{11}{3}$। আকৌ $3x^2 + 2x + 1 = 3\left[\left(x + \frac{1}{3}\right)^2 + \frac{2}{9}\right]$। সেয়েহে

$$\int \frac{5x – 2}{1 + 2x + 3x^2}\,dx = \frac{5}{6}\log|3x^2 + 2x + 1| – \frac{11}{3\sqrt{2}}\tan^{-1}\frac{3x + 1}{\sqrt{2}} + C$$

19. $\dfrac{6x + 7}{\sqrt{(x – 5)(x – 4)}}$

উত্তৰঃ $(x – 5)(x – 4) = x^2 – 9x + 20$। লিখো $6x + 7 = A(2x – 9) + B$, ইয়াৰ পৰা $A = 3$, $B = 34$। সেয়েহে

$$\int \frac{6x + 7}{\sqrt{x^2 – 9x + 20}}\,dx = 6\sqrt{x^2 – 9x + 20} + 34\log\left|\left(x – \frac{9}{2}\right) + \sqrt{x^2 – 9x + 20}\right| + C$$

20. $\dfrac{x + 2}{\sqrt{4x – x^2}}$

উত্তৰঃ লিখো $x + 2 = A(4 – 2x) + B$, ইয়াৰ পৰা $A = -\frac{1}{2}$, $B = 4$। আকৌ $4x – x^2 = 4 – (x – 2)^2$। সেয়েহে

$$\int \frac{x + 2}{\sqrt{4x – x^2}}\,dx = -\sqrt{4x – x^2} + 4\sin^{-1}\frac{x – 2}{2} + C$$

21. $\dfrac{x + 2}{\sqrt{x^2 + 2x + 3}}$

উত্তৰঃ লিখো $x + 2 = A(2x + 2) + B$, ইয়াৰ পৰা $A = \frac{1}{2}$, $B = 1$। আকৌ $x^2 + 2x + 3 = (x + 1)^2 + 2$। সেয়েহে

$$\int \frac{x + 2}{\sqrt{x^2 + 2x + 3}}\,dx = \sqrt{x^2 + 2x + 3} + \log\left|(x + 1) + \sqrt{x^2 + 2x + 3}\right| + C$$

22. $\dfrac{x + 3}{x^2 – 2x – 5}$

উত্তৰঃ লিখো $x + 3 = A(2x – 2) + B$, ইয়াৰ পৰা $A = \frac{1}{2}$, $B = 4$। আকৌ $x^2 – 2x – 5 = (x – 1)^2 – (\sqrt{6})^2$। সেয়েহে

$$\int \frac{x + 3}{x^2 – 2x – 5}\,dx = \frac{1}{2}\log|x^2 – 2x – 5| + \frac{2}{\sqrt{6}}\log\left|\frac{x – 1 – \sqrt{6}}{x – 1 + \sqrt{6}}\right| + C$$

23. $\dfrac{5x + 3}{\sqrt{x^2 + 4x + 10}}$

উত্তৰঃ লিখো $5x + 3 = A(2x + 4) + B$, ইয়াৰ পৰা $A = \frac{5}{2}$, $B = -7$। আকৌ $x^2 + 4x + 10 = (x + 2)^2 + 6$। সেয়েহে

$$\int \frac{5x + 3}{\sqrt{x^2 + 4x + 10}}\,dx = 5\sqrt{x^2 + 4x + 10} – 7\log\left|(x + 2) + \sqrt{x^2 + 4x + 10}\right| + C$$

শুদ্ধ উত্তৰ বাছনি কৰা (প্ৰশ্ন ২৪ আৰু ২৫) ঃ

24. $\displaystyle \int \frac{dx}{x^2 + 2x + 2}$-ৰ মান —

(A) $x\tan^{-1}(x + 1) + C$    (B) $\tan^{-1}(x + 1) + C$    (C) $(x + 1)\tan^{-1} x + C$    (D) $\tan^{-1} x + C$

উত্তৰঃ শুদ্ধ উত্তৰ (B)। $x^2 + 2x + 2 = (x + 1)^2 + 1$, গতিকে $\int \frac{dx}{(x + 1)^2 + 1} = \tan^{-1}(x + 1) + C$।

25. $\displaystyle \int \frac{dx}{\sqrt{9x – 4x^2}}$-ৰ মান —

(A) $\frac{1}{9}\sin^{-1}\left(\frac{9x – 8}{8}\right) + C$    (B) $\frac{1}{2}\sin^{-1}\left(\frac{8x – 9}{9}\right) + C$    (C) $\frac{1}{3}\sin^{-1}\left(\frac{9x – 8}{8}\right) + C$    (D) $\frac{1}{2}\sin^{-1}\left(\frac{9x – 8}{9}\right) + C$

উত্তৰঃ শুদ্ধ উত্তৰ (B)। $9x – 4x^2 = \frac{81}{16} – 4\left(x – \frac{9}{8}\right)^2$, গতিকে $\sqrt{9x – 4x^2} = 2\sqrt{\left(\frac{9}{8}\right)^2 – \left(x – \frac{9}{8}\right)^2}$। সেয়েহে

$$\int \frac{dx}{\sqrt{9x – 4x^2}} = \frac{1}{2}\sin^{-1}\frac{x – \frac{9}{8}}{\frac{9}{8}} + C = \frac{1}{2}\sin^{-1}\left(\frac{8x – 9}{9}\right) + C$$

অনুশীলনী 7.5

1 ৰ পৰা 21 লৈ পৰিমেয় ফলনসমূহৰ অনুকল নিৰ্ণয় কৰাঃ

1. $\dfrac{x}{(x+1)(x+2)}$

উত্তৰঃ আংশিক ভগ্নাংশত বিশ্লেষণ কৰি ধৰোঁ $\dfrac{x}{(x+1)(x+2)} = \dfrac{A}{x+1} + \dfrac{B}{x+2}$। গতিকে $x = A(x+2) + B(x+1)$। $x = -1$ বহুৱাই $A = -1$ আৰু $x = -2$ বহুৱাই $B = 2$ পাওঁ।

$$\int \dfrac{x}{(x+1)(x+2)}\,dx = -\log|x+1| + 2\log|x+2| + C$$

2. $\dfrac{1}{x^2 – 9}$

উত্তৰঃ $x^2 – 9 = (x-3)(x+3)$। প্ৰামাণিক সূত্ৰ $\int \dfrac{dx}{x^2 – a^2} = \dfrac{1}{2a}\log\left|\dfrac{x-a}{x+a}\right|$ ত $a = 3$ বহুৱাই পাওঁ,

$$\int \dfrac{dx}{x^2 – 9} = \dfrac{1}{6}\log\left|\dfrac{x-3}{x+3}\right| + C$$

3. $\dfrac{3x – 1}{(x-1)(x-2)(x-3)}$

উত্তৰঃ ধৰোঁ $\dfrac{3x-1}{(x-1)(x-2)(x-3)} = \dfrac{A}{x-1} + \dfrac{B}{x-2} + \dfrac{C}{x-3}$। তেন্তে $3x – 1 = A(x-2)(x-3) + B(x-1)(x-3) + C(x-1)(x-2)$। ক্ৰমে $x = 1, 2, 3$ বহুৱাই $A = 1$, $B = -5$, $C = 4$ পাওঁ।

$$\int \dfrac{3x-1}{(x-1)(x-2)(x-3)}\,dx = \log|x-1| – 5\log|x-2| + 4\log|x-3| + C$$

4. $\dfrac{x}{(x-1)(x-2)(x-3)}$

উত্তৰঃ ধৰোঁ $\dfrac{x}{(x-1)(x-2)(x-3)} = \dfrac{A}{x-1} + \dfrac{B}{x-2} + \dfrac{C}{x-3}$। তেন্তে $x = A(x-2)(x-3) + B(x-1)(x-3) + C(x-1)(x-2)$। ক্ৰমে $x = 1, 2, 3$ বহুৱাই $A = \dfrac{1}{2}$, $B = -2$, $C = \dfrac{3}{2}$ পাওঁ।

$$\int \dfrac{x}{(x-1)(x-2)(x-3)}\,dx = \dfrac{1}{2}\log|x-1| – 2\log|x-2| + \dfrac{3}{2}\log|x-3| + C$$

5. $\dfrac{2x}{x^2 + 3x + 2}$

উত্তৰঃ $x^2 + 3x + 2 = (x+1)(x+2)$। ধৰোঁ $\dfrac{2x}{(x+1)(x+2)} = \dfrac{A}{x+1} + \dfrac{B}{x+2}$, তেন্তে $2x = A(x+2) + B(x+1)$। $x = -1$ বহুৱাই $A = -2$ আৰু $x = -2$ বহুৱাই $B = 4$ পাওঁ।

$$\int \dfrac{2x}{x^2 + 3x + 2}\,dx = -2\log|x+1| + 4\log|x+2| + C$$

6. $\dfrac{1 – x^2}{x(1 – 2x)}$

উত্তৰঃ লব আৰু হৰ দুয়োটাৰে ঘাত $2$; গতিকে প্ৰথমে ভাগ কৰি আৰু আংশিক ভগ্নাংশত বিশ্লেষণ কৰি পাওঁ,

$$\dfrac{1 – x^2}{x(1 – 2x)} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{x} + \dfrac{3}{2(1 – 2x)}$$

গতিকে অনুকল কৰি পাওঁ,

$$\int \dfrac{1 – x^2}{x(1 – 2x)}\,dx = \dfrac{x}{2} + \log|x| – \dfrac{3}{4}\log|1 – 2x| + C$$

7. $\dfrac{x}{(x^2 + 1)(x – 1)}$

উত্তৰঃ ধৰোঁ $\dfrac{x}{(x^2+1)(x-1)} = \dfrac{Ax + B}{x^2 + 1} + \dfrac{C}{x – 1}$। তেন্তে $x = (Ax+B)(x-1) + C(x^2+1)$। সহগ তুলনা কৰি $A = -\dfrac{1}{2}$, $B = \dfrac{1}{2}$, $C = \dfrac{1}{2}$ পাওঁ।

$$\int \dfrac{x}{(x^2+1)(x-1)}\,dx = \dfrac{1}{2}\log|x-1| – \dfrac{1}{4}\log(x^2+1) + \dfrac{1}{2}\tan^{-1} x + C$$

8. $\dfrac{x}{(x-1)^2 (x+2)}$

উত্তৰঃ ধৰোঁ $\dfrac{x}{(x-1)^2(x+2)} = \dfrac{A}{x-1} + \dfrac{B}{(x-1)^2} + \dfrac{C}{x+2}$। তেন্তে $x = A(x-1)(x+2) + B(x+2) + C(x-1)^2$। ইয়াৰ পৰা $A = \dfrac{2}{9}$, $B = \dfrac{1}{3}$, $C = -\dfrac{2}{9}$ পাওঁ।

$$\int \dfrac{x}{(x-1)^2(x+2)}\,dx = \dfrac{2}{9}\log|x-1| – \dfrac{1}{3(x-1)} – \dfrac{2}{9}\log|x+2| + C$$

9. $\dfrac{3x + 5}{x^3 – x^2 – x + 1}$

উত্তৰঃ $x^3 – x^2 – x + 1 = (x-1)^2(x+1)$। ধৰোঁ $\dfrac{3x+5}{(x-1)^2(x+1)} = \dfrac{A}{x-1} + \dfrac{B}{(x-1)^2} + \dfrac{C}{x+1}$। ইয়াৰ পৰা $A = -\dfrac{1}{2}$, $B = 4$, $C = \dfrac{1}{2}$ পাওঁ।

$$\int \dfrac{3x+5}{x^3 – x^2 – x + 1}\,dx = -\dfrac{1}{2}\log|x-1| – \dfrac{4}{x-1} + \dfrac{1}{2}\log|x+1| + C$$

10. $\dfrac{2x – 3}{(x^2 – 1)(2x + 3)}$

উত্তৰঃ $x^2 – 1 = (x-1)(x+1)$। ধৰোঁ $\dfrac{2x-3}{(x-1)(x+1)(2x+3)} = \dfrac{A}{x-1} + \dfrac{B}{x+1} + \dfrac{C}{2x+3}$। ইয়াৰ পৰা $A = -\dfrac{1}{10}$, $B = \dfrac{5}{2}$, $C = -\dfrac{24}{5}$ পাওঁ।

$$\int \dfrac{2x-3}{(x^2-1)(2x+3)}\,dx = -\dfrac{1}{10}\log|x-1| + \dfrac{5}{2}\log|x+1| – \dfrac{12}{5}\log|2x+3| + C$$

11. $\dfrac{5x}{(x+1)(x^2 – 4)}$

উত্তৰঃ $x^2 – 4 = (x-2)(x+2)$। ধৰোঁ $\dfrac{5x}{(x+1)(x-2)(x+2)} = \dfrac{A}{x+1} + \dfrac{B}{x-2} + \dfrac{C}{x+2}$। ইয়াৰ পৰা $A = \dfrac{5}{3}$, $B = \dfrac{5}{6}$, $C = -\dfrac{5}{2}$ পাওঁ।

$$\int \dfrac{5x}{(x+1)(x^2-4)}\,dx = \dfrac{5}{3}\log|x+1| + \dfrac{5}{6}\log|x-2| – \dfrac{5}{2}\log|x+2| + C$$

12. $\dfrac{x^3 + x + 1}{x^2 – 1}$

উত্তৰঃ লবৰ ঘাত হৰতকৈ ডাঙৰ; ভাগ কৰি পাওঁ $\dfrac{x^3 + x + 1}{x^2 – 1} = x + \dfrac{2x + 1}{x^2 – 1}$। আৰু $\dfrac{2x+1}{(x-1)(x+1)} = \dfrac{3}{2(x-1)} + \dfrac{1}{2(x+1)}$।

$$\int \dfrac{x^3 + x + 1}{x^2 – 1}\,dx = \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{3}{2}\log|x-1| + \dfrac{1}{2}\log|x+1| + C$$

13. $\dfrac{2}{(1 – x)(1 + x^2)}$

উত্তৰঃ ধৰোঁ $\dfrac{2}{(1-x)(1+x^2)} = \dfrac{A}{1-x} + \dfrac{Bx + C}{1 + x^2}$। সহগ তুলনা কৰি $A = 1$, $B = 1$, $C = 1$ পাওঁ। গতিকে ফলনটো $\dfrac{1}{1-x} + \dfrac{x + 1}{1 + x^2}$।

$$\int \dfrac{2}{(1-x)(1+x^2)}\,dx = -\log|1-x| + \dfrac{1}{2}\log(1 + x^2) + \tan^{-1} x + C$$

14. $\dfrac{3x – 1}{(x + 2)^2}$

উত্তৰঃ $x + 2 = u$ প্ৰতিস্থাপন কৰি $3x – 1 = 3u – 7$ পাওঁ, গতিকে $\dfrac{3x-1}{(x+2)^2} = \dfrac{3}{u} – \dfrac{7}{u^2}$।

$$\int \dfrac{3x – 1}{(x+2)^2}\,dx = 3\log|x+2| + \dfrac{7}{x + 2} + C$$

15. $\dfrac{1}{x^4 – 1}$

উত্তৰঃ $x^4 – 1 = (x^2 – 1)(x^2 + 1)$, গতিকে $\dfrac{1}{x^4 – 1} = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{x^2 – 1} – \dfrac{1}{x^2 + 1}\right)$।

$$\int \dfrac{dx}{x^4 – 1} = \dfrac{1}{4}\log\left|\dfrac{x – 1}{x + 1}\right| – \dfrac{1}{2}\tan^{-1} x + C$$

16. $\dfrac{1}{x(x^n + 1)}$   [ইংগিতঃ লব আৰু হৰ উভয়কে $x^{n-1}$ ৰে পূৰণ কৰা আৰু $x^n = t$ বহুওৱা]

উত্তৰঃ লব আৰু হৰক $x^{n-1}$ ৰে পূৰণ কৰি $\dfrac{x^{n-1}}{x^n(x^n + 1)}$ পাওঁ। $x^n = t$ ধৰিলে $n x^{n-1}\,dx = dt$। গতিকে অনুকলটো $\dfrac{1}{n}\displaystyle\int \dfrac{dt}{t(t + 1)} = \dfrac{1}{n}\displaystyle\int\left(\dfrac{1}{t} – \dfrac{1}{t+1}\right)dt$ হয়।

$$\int \dfrac{dx}{x(x^n + 1)} = \dfrac{1}{n}\log\left|\dfrac{x^n}{x^n + 1}\right| + C$$

17. $\dfrac{\cos x}{(1 – \sin x)(2 – \sin x)}$   [ইংগিতঃ $\sin x = t$ বহুওৱা]

উত্তৰঃ $\sin x = t$ ধৰিলে $\cos x\,dx = dt$। তেন্তে অনুকলটো $\displaystyle\int \dfrac{dt}{(1 – t)(2 – t)}$ হয়। আংশিক ভগ্নাংশত $\dfrac{1}{(1-t)(2-t)} = \dfrac{1}{1-t} – \dfrac{1}{2-t}$।

$$\int \dfrac{\cos x}{(1 – \sin x)(2 – \sin x)}\,dx = \log\left|\dfrac{2 – \sin x}{1 – \sin x}\right| + C$$

18. $\dfrac{(x^2 + 1)(x^2 + 2)}{(x^2 + 3)(x^2 + 4)}$

উত্তৰঃ লব আৰু হৰৰ ঘাত সমান; ভাগ কৰি আৰু আংশিক ভগ্নাংশ ব্যৱহাৰ কৰি পাওঁ,

$$\dfrac{(x^2+1)(x^2+2)}{(x^2+3)(x^2+4)} = 1 + \dfrac{2}{x^2 + 3} – \dfrac{6}{x^2 + 4}$$

$$\int \dfrac{(x^2+1)(x^2+2)}{(x^2+3)(x^2+4)}\,dx = x + \dfrac{2}{\sqrt{3}}\tan^{-1}\dfrac{x}{\sqrt{3}} – 3\tan^{-1}\dfrac{x}{2} + C$$

19. $\dfrac{2x}{(x^2 + 1)(x^2 + 3)}$

উত্তৰঃ $x^2 = u$ ধৰিলে $2x\,dx = du$। তেন্তে অনুকলটো $\displaystyle\int \dfrac{du}{(u+1)(u+3)} = \dfrac{1}{2}\displaystyle\int\left(\dfrac{1}{u+1} – \dfrac{1}{u+3}\right)du$ হয়।

$$\int \dfrac{2x}{(x^2+1)(x^2+3)}\,dx = \dfrac{1}{2}\log\left(\dfrac{x^2 + 1}{x^2 + 3}\right) + C$$

20. $\dfrac{1}{x(x^4 – 1)}$

উত্তৰঃ লব আৰু হৰক $x^3$ ৰে পূৰণ কৰি $\dfrac{x^3}{x^4(x^4 – 1)}$ পাওঁ। $x^4 = t$ ধৰিলে $4x^3\,dx = dt$। তেন্তে অনুকলটো $\dfrac{1}{4}\displaystyle\int \dfrac{dt}{t(t – 1)}$ হয়।

$$\int \dfrac{dx}{x(x^4 – 1)} = \dfrac{1}{4}\log\left|\dfrac{x^4 – 1}{x^4}\right| + C$$

21. $\dfrac{1}{e^x – 1}$   [ইংগিতঃ $e^x = t$ ধৰা]

উত্তৰঃ $e^x = t$ ধৰিলে $e^x\,dx = dt$, অৰ্থাৎ $dx = \dfrac{dt}{t}$। তেন্তে অনুকলটো $\displaystyle\int \dfrac{dt}{t(t – 1)} = \displaystyle\int\left(\dfrac{1}{t-1} – \dfrac{1}{t}\right)dt$ হয়।

$$\int \dfrac{dx}{e^x – 1} = \log\left|\dfrac{e^x – 1}{e^x}\right| + C = \log|e^x – 1| – x + C$$

শুদ্ধ উত্তৰ বাছনি কৰা (22 আৰু 23ৰ ক্ষেত্ৰত)।

22. $\displaystyle\int \dfrac{x\,dx}{(x-1)(x-2)}$ ৰ মান

  • (A) $\log\left|\dfrac{(x-1)^2}{x-2}\right| + C$
  • (B) $\log\left|\dfrac{(x-2)^2}{x-1}\right| + C$
  • (C) $\log\left|\left(\dfrac{x-1}{x-2}\right)^2\right| + C$
  • (D) $\log|(x-1)(x-2)| + C$

উত্তৰঃ (B)। আংশিক ভগ্নাংশত $\dfrac{x}{(x-1)(x-2)} = \dfrac{-1}{x-1} + \dfrac{2}{x-2}$, গতিকে অনুকলটো $-\log|x-1| + 2\log|x-2| = \log\left|\dfrac{(x-2)^2}{x-1}\right| + C$।

23. $\displaystyle\int \dfrac{dx}{x(x^2 + 1)}$ ৰ মান

  • (A) $\log|x| – \dfrac{1}{2}\log(x^2 + 1) + C$
  • (B) $\log|x| + \dfrac{1}{2}\log(x^2 + 1) + C$
  • (C) $-\log|x| + \dfrac{1}{2}\log(x^2 + 1) + C$
  • (D) $\dfrac{1}{2}\log|x| + \log(x^2 + 1) + C$

উত্তৰঃ (A)। $\dfrac{1}{x(x^2+1)} = \dfrac{1}{x} – \dfrac{x}{x^2 + 1}$, গতিকে অনুকলটো $\log|x| – \dfrac{1}{2}\log(x^2 + 1) + C$।

অনুশীলনী 7.6

1 ৰ পৰা 22 লৈ ফলনসমূহৰ অনুকল নিৰ্ণয় কৰাঃ (খণ্ড অনুকল সূত্ৰ $\displaystyle\int u\,v\,dx = u\displaystyle\int v\,dx – \displaystyle\int\left[\dfrac{du}{dx}\displaystyle\int v\,dx\right]dx$ ব্যৱহাৰ কৰা হ’ব।)

1. $x \sin x$

উত্তৰঃ প্ৰথম ফলন $x$ আৰু দ্বিতীয় ফলন $\sin x$ লৈ খণ্ড অনুকল কৰি পাওঁ, $\displaystyle\int x \sin x\,dx = x(-\cos x) – \displaystyle\int (-\cos x)\,dx$।

$$\int x \sin x\,dx = -x\cos x + \sin x + C$$

2. $x \sin 3x$

উত্তৰঃ প্ৰথম ফলন $x$, দ্বিতীয় ফলন $\sin 3x$ লৈ পাওঁ, $\displaystyle\int x \sin 3x\,dx = x\left(-\dfrac{\cos 3x}{3}\right) – \displaystyle\int\left(-\dfrac{\cos 3x}{3}\right)dx$।

$$\int x \sin 3x\,dx = -\dfrac{x\cos 3x}{3} + \dfrac{\sin 3x}{9} + C$$

3. $x^2 e^x$

উত্তৰঃ প্ৰথম ফলন $x^2$, দ্বিতীয় ফলন $e^x$ লৈ পাওঁ, $\displaystyle\int x^2 e^x\,dx = x^2 e^x – \displaystyle\int 2x\,e^x\,dx = x^2 e^x – 2(x e^x – e^x)$।

$$\int x^2 e^x\,dx = e^x(x^2 – 2x + 2) + C$$

4. $x \log x$

উত্তৰঃ প্ৰথম ফলন $\log x$, দ্বিতীয় ফলন $x$ লৈ পাওঁ, $\displaystyle\int x \log x\,dx = (\log x)\dfrac{x^2}{2} – \displaystyle\int \dfrac{1}{x}\cdot\dfrac{x^2}{2}\,dx$।

$$\int x \log x\,dx = \dfrac{x^2}{2}\log x – \dfrac{x^2}{4} + C$$

5. $x \log 2x$

উত্তৰঃ প্ৰথম ফলন $\log 2x$, দ্বিতীয় ফলন $x$ লৈ পাওঁ। যিহেতু $\dfrac{d}{dx}\log 2x = \dfrac{1}{x}$,

$$\int x \log 2x\,dx = \dfrac{x^2}{2}\log 2x – \dfrac{x^2}{4} + C$$

6. $x^2 \log x$

উত্তৰঃ প্ৰথম ফলন $\log x$, দ্বিতীয় ফলন $x^2$ লৈ পাওঁ, $\displaystyle\int x^2 \log x\,dx = (\log x)\dfrac{x^3}{3} – \displaystyle\int \dfrac{1}{x}\cdot\dfrac{x^3}{3}\,dx$।

$$\int x^2 \log x\,dx = \dfrac{x^3}{3}\log x – \dfrac{x^3}{9} + C$$

7. $x \sin^{-1} x$

উত্তৰঃ প্ৰথম ফলন $\sin^{-1} x$, দ্বিতীয় ফলন $x$ লৈ পাওঁ, $\displaystyle\int x \sin^{-1} x\,dx = \dfrac{x^2}{2}\sin^{-1} x – \dfrac{1}{2}\displaystyle\int \dfrac{x^2}{\sqrt{1 – x^2}}\,dx$। ইয়াত $\displaystyle\int \dfrac{x^2}{\sqrt{1 – x^2}}\,dx = \dfrac{1}{2}\left(\sin^{-1} x – x\sqrt{1 – x^2}\right)$।

$$\int x \sin^{-1} x\,dx = \dfrac{2x^2 – 1}{4}\sin^{-1} x + \dfrac{x\sqrt{1 – x^2}}{4} + C$$

8. $x \tan^{-1} x$

উত্তৰঃ প্ৰথম ফলন $\tan^{-1} x$, দ্বিতীয় ফলন $x$ লৈ পাওঁ, $\displaystyle\int x \tan^{-1} x\,dx = \dfrac{x^2}{2}\tan^{-1} x – \dfrac{1}{2}\displaystyle\int \dfrac{x^2}{1 + x^2}\,dx$, য’ত $\displaystyle\int \dfrac{x^2}{1 + x^2}\,dx = x – \tan^{-1} x$।

$$\int x \tan^{-1} x\,dx = \dfrac{x^2 + 1}{2}\tan^{-1} x – \dfrac{x}{2} + C$$

9. $x \cos^{-1} x$

উত্তৰঃ প্ৰথম ফলন $\cos^{-1} x$, দ্বিতীয় ফলন $x$ লৈ পাওঁ, $\displaystyle\int x \cos^{-1} x\,dx = \dfrac{x^2}{2}\cos^{-1} x + \dfrac{1}{2}\displaystyle\int \dfrac{x^2}{\sqrt{1 – x^2}}\,dx$।

$$\int x \cos^{-1} x\,dx = \dfrac{2x^2 – 1}{4}\cos^{-1} x – \dfrac{x\sqrt{1 – x^2}}{4} + C$$

10. $(\sin^{-1} x)^2$

উত্তৰঃ প্ৰথম ফলন $(\sin^{-1} x)^2$, দ্বিতীয় ফলন $1$ লৈ পাওঁ, $\displaystyle\int (\sin^{-1} x)^2\,dx = x(\sin^{-1} x)^2 – 2\displaystyle\int \dfrac{x\sin^{-1} x}{\sqrt{1 – x^2}}\,dx$। দ্বিতীয় অনুকলটো পুনৰ খণ্ড অনুকল কৰি পাওঁ $-\sqrt{1 – x^2}\,\sin^{-1} x + x$।

$$\int (\sin^{-1} x)^2\,dx = x(\sin^{-1} x)^2 + 2\sqrt{1 – x^2}\,\sin^{-1} x – 2x + C$$

11. $\dfrac{x \cos^{-1} x}{\sqrt{1 – x^2}}$

উত্তৰঃ প্ৰথম ফলন $\cos^{-1} x$ আৰু দ্বিতীয় ফলন $\dfrac{x}{\sqrt{1 – x^2}}$ লৈ পাওঁ। যিহেতু $\displaystyle\int \dfrac{x}{\sqrt{1 – x^2}}\,dx = -\sqrt{1 – x^2}$,

$$\int \dfrac{x \cos^{-1} x}{\sqrt{1 – x^2}}\,dx = -\sqrt{1 – x^2}\,\cos^{-1} x – x + C$$

12. $x \sec^2 x$

উত্তৰঃ প্ৰথম ফলন $x$, দ্বিতীয় ফলন $\sec^2 x$ লৈ পাওঁ, $\displaystyle\int x \sec^2 x\,dx = x\tan x – \displaystyle\int \tan x\,dx$।

$$\int x \sec^2 x\,dx = x\tan x + \log|\cos x| + C$$

13. $\tan^{-1} x$

উত্তৰঃ প্ৰথম ফলন $\tan^{-1} x$, দ্বিতীয় ফলন $1$ লৈ পাওঁ, $\displaystyle\int \tan^{-1} x\,dx = x\tan^{-1} x – \displaystyle\int \dfrac{x}{1 + x^2}\,dx$।

$$\int \tan^{-1} x\,dx = x\tan^{-1} x – \dfrac{1}{2}\log(1 + x^2) + C$$

14. $x(\log x)^2$

উত্তৰঃ প্ৰথম ফলন $(\log x)^2$, দ্বিতীয় ফলন $x$ লৈ পাওঁ, $\displaystyle\int x(\log x)^2\,dx = \dfrac{x^2}{2}(\log x)^2 – \displaystyle\int x\log x\,dx$।

$$\int x(\log x)^2\,dx = \dfrac{x^2}{2}(\log x)^2 – \dfrac{x^2}{2}\log x + \dfrac{x^2}{4} + C$$

15. $(x^2 + 1)\log x$

উত্তৰঃ প্ৰথম ফলন $\log x$, দ্বিতীয় ফলন $x^2 + 1$ লৈ পাওঁ (য’ত $\displaystyle\int (x^2 + 1)\,dx = \dfrac{x^3}{3} + x$),

$$\int (x^2 + 1)\log x\,dx = \left(\dfrac{x^3}{3} + x\right)\log x – \dfrac{x^3}{9} – x + C$$

16. $e^x(\sin x + \cos x)$

উত্তৰঃ $f(x) = \sin x$ ধৰিলে $f^{\prime}(x) = \cos x$; গতিকে অনুকলটো $e^x[f(x) + f^{\prime}(x)]$ আকাৰৰ। সূত্ৰ $\displaystyle\int e^x[f(x) + f^{\prime}(x)]\,dx = e^x f(x) + C$ ব্যৱহাৰ কৰি,

$$\int e^x(\sin x + \cos x)\,dx = e^x \sin x + C$$

17. $\dfrac{x e^x}{(1 + x)^2}$

উত্তৰঃ $\dfrac{x}{(1 + x)^2} = \dfrac{1}{1 + x} – \dfrac{1}{(1 + x)^2}$। $f(x) = \dfrac{1}{1 + x}$ ধৰিলে $f^{\prime}(x) = -\dfrac{1}{(1 + x)^2}$, গতিকে অনুকলটো $e^x[f(x) + f^{\prime}(x)]$ আকাৰৰ।

$$\int \dfrac{x e^x}{(1 + x)^2}\,dx = \dfrac{e^x}{1 + x} + C$$

18. $e^x\left(\dfrac{1 + \sin x}{1 + \cos x}\right)$

উত্তৰঃ $1 + \cos x = 2\cos^2\dfrac{x}{2}$ আৰু $1 + \sin x = 1 + 2\sin\dfrac{x}{2}\cos\dfrac{x}{2}$ ব্যৱহাৰ কৰি পাওঁ $\dfrac{1 + \sin x}{1 + \cos x} = \tan\dfrac{x}{2} + \dfrac{1}{2}\sec^2\dfrac{x}{2}$। $f(x) = \tan\dfrac{x}{2}$ ধৰিলে $f^{\prime}(x) = \dfrac{1}{2}\sec^2\dfrac{x}{2}$।

$$\int e^x\left(\dfrac{1 + \sin x}{1 + \cos x}\right)dx = e^x \tan\dfrac{x}{2} + C$$

19. $e^x\left(\dfrac{1}{x} – \dfrac{1}{x^2}\right)$

উত্তৰঃ $f(x) = \dfrac{1}{x}$ ধৰিলে $f^{\prime}(x) = -\dfrac{1}{x^2}$, গতিকে অনুকলটো $e^x[f(x) + f^{\prime}(x)]$ আকাৰৰ।

$$\int e^x\left(\dfrac{1}{x} – \dfrac{1}{x^2}\right)dx = \dfrac{e^x}{x} + C$$

20. $\dfrac{(x – 3) e^x}{(x – 1)^3}$

উত্তৰঃ $\dfrac{x – 3}{(x – 1)^3} = \dfrac{1}{(x – 1)^2} – \dfrac{2}{(x – 1)^3}$। $f(x) = \dfrac{1}{(x – 1)^2}$ ধৰিলে $f^{\prime}(x) = -\dfrac{2}{(x – 1)^3}$, গতিকে অনুকলটো $e^x[f(x) + f^{\prime}(x)]$ আকাৰৰ।

$$\int \dfrac{(x – 3) e^x}{(x – 1)^3}\,dx = \dfrac{e^x}{(x – 1)^2} + C$$

21. $e^{2x} \sin x$

উত্তৰঃ $I = \displaystyle\int e^{2x}\sin x\,dx$ ধৰি দুবাৰ খণ্ড অনুকল কৰি পাওঁ $I = \dfrac{e^{2x}\sin x}{2} – \dfrac{e^{2x}\cos x}{4} – \dfrac{I}{4}$, অৰ্থাৎ $\dfrac{5}{4}I = \dfrac{e^{2x}}{4}(2\sin x – \cos x)$।

$$\int e^{2x}\sin x\,dx = \dfrac{e^{2x}}{5}(2\sin x – \cos x) + C$$

22. $\sin^{-1}\left(\dfrac{2x}{1 + x^2}\right)$

উত্তৰঃ $x = \tan\theta$ ধৰিলে $\sin^{-1}\left(\dfrac{2x}{1 + x^2}\right) = \sin^{-1}(\sin 2\theta) = 2\theta = 2\tan^{-1} x$। গতিকে $\displaystyle\int \sin^{-1}\left(\dfrac{2x}{1 + x^2}\right)dx = 2\displaystyle\int \tan^{-1} x\,dx$ আৰু খণ্ড অনুকল কৰি পাওঁ,

$$\int \sin^{-1}\left(\dfrac{2x}{1 + x^2}\right)dx = 2x\tan^{-1} x – \log(1 + x^2) + C$$

শুদ্ধ উত্তৰ বাছনি কৰা (23 আৰু 24ৰ ক্ষেত্ৰত)।

23. $\displaystyle\int x^2 e^{x^3}\,dx$ ৰ মান

  • (A) $\dfrac{1}{3} e^{x^3} + C$
  • (B) $\dfrac{1}{3} e^{x^2} + C$
  • (C) $\dfrac{1}{2} e^{x^3} + C$
  • (D) $\dfrac{1}{2} e^{x^2} + C$

উত্তৰঃ (A)। $x^3 = t$ ধৰিলে $3x^2\,dx = dt$, গতিকে অনুকলটো $\dfrac{1}{3}\displaystyle\int e^t\,dt = \dfrac{1}{3} e^{x^3} + C$।

24. $\displaystyle\int e^x \sec x(1 + \tan x)\,dx$ ৰ মান

  • (A) $e^x \cos x + C$
  • (B) $e^x \sec x + C$
  • (C) $e^x \sin x + C$
  • (D) $e^x \tan x + C$

উত্তৰঃ (B)। অনুকলটো $\displaystyle\int e^x(\sec x + \sec x\tan x)\,dx$। $f(x) = \sec x$ ধৰিলে $f^{\prime}(x) = \sec x\tan x$, গতিকে ই $e^x f(x) + C = e^x \sec x + C$।

অনুশীলনী 7.7

1 ৰ পৰা 9 লৈ ফলনসমূহৰ অনুকল নিৰ্ণয় কৰা। তলৰ প্ৰামাণিক সূত্ৰ তিনিটা ব্যৱহাৰ কৰা হ’বঃ

$$\int \sqrt{a^2 – x^2}\,dx = \dfrac{x}{2}\sqrt{a^2 – x^2} + \dfrac{a^2}{2}\sin^{-1}\dfrac{x}{a} + C$$

$$\int \sqrt{x^2 + a^2}\,dx = \dfrac{x}{2}\sqrt{x^2 + a^2} + \dfrac{a^2}{2}\log\left|x + \sqrt{x^2 + a^2}\right| + C$$

$$\int \sqrt{x^2 – a^2}\,dx = \dfrac{x}{2}\sqrt{x^2 – a^2} – \dfrac{a^2}{2}\log\left|x + \sqrt{x^2 – a^2}\right| + C$$

1. $\sqrt{4 – x^2}$

উত্তৰঃ ইয়াত $a = 2$। প্ৰথম সূত্ৰ ব্যৱহাৰ কৰি পাওঁ,

$$\int \sqrt{4 – x^2}\,dx = \dfrac{x}{2}\sqrt{4 – x^2} + 2\sin^{-1}\dfrac{x}{2} + C$$

2. $\sqrt{1 – 4x^2}$

উত্তৰঃ $2x = u$ ধৰিলে $dx = \dfrac{du}{2}$, গতিকে $\displaystyle\int \sqrt{1 – 4x^2}\,dx = \dfrac{1}{2}\displaystyle\int \sqrt{1 – u^2}\,du$।

$$\int \sqrt{1 – 4x^2}\,dx = \dfrac{x}{2}\sqrt{1 – 4x^2} + \dfrac{1}{4}\sin^{-1}(2x) + C$$

3. $\sqrt{x^2 + 4x + 6}$

উত্তৰঃ $x^2 + 4x + 6 = (x + 2)^2 + 2$। $x + 2 = y$ ধৰি দ্বিতীয় সূত্ৰত $a^2 = 2$ ব্যৱহাৰ কৰি পাওঁ,

$$\int \sqrt{x^2 + 4x + 6}\,dx = \dfrac{x + 2}{2}\sqrt{x^2 + 4x + 6} + \log\left|x + 2 + \sqrt{x^2 + 4x + 6}\right| + C$$

4. $\sqrt{x^2 + 4x + 1}$

উত্তৰঃ $x^2 + 4x + 1 = (x + 2)^2 – 3$। $x + 2 = y$ ধৰি তৃতীয় সূত্ৰত $a^2 = 3$ ব্যৱহাৰ কৰি পাওঁ,

$$\int \sqrt{x^2 + 4x + 1}\,dx = \dfrac{x + 2}{2}\sqrt{x^2 + 4x + 1} – \dfrac{3}{2}\log\left|x + 2 + \sqrt{x^2 + 4x + 1}\right| + C$$

5. $\sqrt{1 – 4x – x^2}$

উত্তৰঃ $1 – 4x – x^2 = 5 – (x + 2)^2$। $x + 2 = y$ ধৰি প্ৰথম সূত্ৰত $a^2 = 5$ ব্যৱহাৰ কৰি পাওঁ,

$$\int \sqrt{1 – 4x – x^2}\,dx = \dfrac{x + 2}{2}\sqrt{1 – 4x – x^2} + \dfrac{5}{2}\sin^{-1}\dfrac{x + 2}{\sqrt{5}} + C$$

6. $\sqrt{x^2 + 4x – 5}$

উত্তৰঃ $x^2 + 4x – 5 = (x + 2)^2 – 9$। $x + 2 = y$ ধৰি তৃতীয় সূত্ৰত $a^2 = 9$ ব্যৱহাৰ কৰি পাওঁ,

$$\int \sqrt{x^2 + 4x – 5}\,dx = \dfrac{x + 2}{2}\sqrt{x^2 + 4x – 5} – \dfrac{9}{2}\log\left|x + 2 + \sqrt{x^2 + 4x – 5}\right| + C$$

7. $\sqrt{1 + 3x – x^2}$

উত্তৰঃ $1 + 3x – x^2 = \dfrac{13}{4} – \left(x – \dfrac{3}{2}\right)^2$। $x – \dfrac{3}{2} = y$ ধৰি প্ৰথম সূত্ৰত $a^2 = \dfrac{13}{4}$ ব্যৱহাৰ কৰি পাওঁ,

$$\int \sqrt{1 + 3x – x^2}\,dx = \dfrac{2x – 3}{4}\sqrt{1 + 3x – x^2} + \dfrac{13}{8}\sin^{-1}\dfrac{2x – 3}{\sqrt{13}} + C$$

8. $\sqrt{x^2 + 3x}$

উত্তৰঃ $x^2 + 3x = \left(x + \dfrac{3}{2}\right)^2 – \dfrac{9}{4}$। $x + \dfrac{3}{2} = y$ ধৰি তৃতীয় সূত্ৰত $a^2 = \dfrac{9}{4}$ ব্যৱহাৰ কৰি পাওঁ,

$$\int \sqrt{x^2 + 3x}\,dx = \dfrac{2x + 3}{4}\sqrt{x^2 + 3x} – \dfrac{9}{8}\log\left|x + \dfrac{3}{2} + \sqrt{x^2 + 3x}\right| + C$$

9. $\sqrt{1 + \dfrac{x^2}{9}}$

উত্তৰঃ $\sqrt{1 + \dfrac{x^2}{9}} = \dfrac{1}{3}\sqrt{9 + x^2}$। দ্বিতীয় সূত্ৰত $a^2 = 9$ ব্যৱহাৰ কৰি পাওঁ,

$$\int \sqrt{1 + \dfrac{x^2}{9}}\,dx = \dfrac{x}{6}\sqrt{x^2 + 9} + \dfrac{3}{2}\log\left|x + \sqrt{x^2 + 9}\right| + C$$

শুদ্ধ উত্তৰ বাছনি কৰা (10 আৰু 11ৰ ক্ষেত্ৰত)।

10. $\displaystyle\int \sqrt{1 + x^2}\,dx$ ৰ মান

  • (A) $\dfrac{x}{2}\sqrt{1 + x^2} + \dfrac{1}{2}\log\left|x + \sqrt{1 + x^2}\right| + C$
  • (B) $\dfrac{2}{3}(1 + x^2)^{3/2} + C$
  • (C) $\dfrac{2}{3}x(1 + x^2)^{3/2} + C$
  • (D) $\dfrac{x^2}{2}\sqrt{1 + x^2} + \dfrac{1}{2}x^2\log\left|x + \sqrt{1 + x^2}\right| + C$

উত্তৰঃ (A)। দ্বিতীয় সূত্ৰত $a = 1$ বহুৱাই সৰাসৰি এই ফল পোৱা যায়।

11. $\displaystyle\int \sqrt{x^2 – 8x + 7}\,dx$ ৰ মান

  • (A) $\dfrac{1}{2}(x – 4)\sqrt{x^2 – 8x + 7} + 9\log\left|x – 4 + \sqrt{x^2 – 8x + 7}\right| + C$
  • (B) $\dfrac{1}{2}(x + 4)\sqrt{x^2 – 8x + 7} + 9\log\left|x + 4 + \sqrt{x^2 – 8x + 7}\right| + C$
  • (C) $\dfrac{1}{2}(x – 4)\sqrt{x^2 – 8x + 7} – 3\sqrt{2}\log\left|x – 4 + \sqrt{x^2 – 8x + 7}\right| + C$
  • (D) $\dfrac{1}{2}(x – 4)\sqrt{x^2 – 8x + 7} – \dfrac{9}{2}\log\left|x – 4 + \sqrt{x^2 – 8x + 7}\right| + C$

উত্তৰঃ (D)। $x^2 – 8x + 7 = (x – 4)^2 – 9$। $x – 4 = y$ ধৰি তৃতীয় সূত্ৰত $a^2 = 9$ বহুৱাই এই ফল পোৱা যায়।

অনুশীলনী 7.8

1 ৰ পৰা 20 লৈ নিশ্চিত অনুকলসমূহৰ মান নিৰ্ণয় কৰা।

1. $\displaystyle\int_{-1}^{1} (x + 1)\,dx$

উত্তৰঃ $\displaystyle\int_{-1}^{1}(x + 1)\,dx = \left[\dfrac{x^2}{2} + x\right]_{-1}^{1} = \left(\dfrac{1}{2} + 1\right) – \left(\dfrac{1}{2} – 1\right) = 2$।

2. $\displaystyle\int_{2}^{3} \dfrac{1}{x}\,dx$

উত্তৰঃ $\displaystyle\int_{2}^{3}\dfrac{1}{x}\,dx = \left[\log x\right]_{2}^{3} = \log 3 – \log 2 = \log\dfrac{3}{2}$।

3. $\displaystyle\int_{1}^{2} (4x^3 – 5x^2 + 6x + 9)\,dx$

উত্তৰঃ $\displaystyle\int_{1}^{2}(4x^3 – 5x^2 + 6x + 9)\,dx = \left[x^4 – \dfrac{5x^3}{3} + 3x^2 + 9x\right]_{1}^{2} = \dfrac{98}{3} – \dfrac{34}{3} = \dfrac{64}{3}$।

4. $\displaystyle\int_{0}^{\pi/4} \sin 2x\,dx$

উত্তৰঃ $\displaystyle\int_{0}^{\pi/4}\sin 2x\,dx = \left[-\dfrac{\cos 2x}{2}\right]_{0}^{\pi/4} = -\dfrac{1}{2}\cos\dfrac{\pi}{2} + \dfrac{1}{2}\cos 0 = \dfrac{1}{2}$।

5. $\displaystyle\int_{0}^{\pi/2} \cos 2x\,dx$

উত্তৰঃ $\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\cos 2x\,dx = \left[\dfrac{\sin 2x}{2}\right]_{0}^{\pi/2} = \dfrac{\sin \pi}{2} – \dfrac{\sin 0}{2} = 0$।

6. $\displaystyle\int_{4}^{5} e^x\,dx$

উত্তৰঃ $\displaystyle\int_{4}^{5} e^x\,dx = \left[e^x\right]_{4}^{5} = e^5 – e^4 = e^4(e – 1)$।

7. $\displaystyle\int_{0}^{\pi/4} \tan x\,dx$

উত্তৰঃ $\displaystyle\int_{0}^{\pi/4}\tan x\,dx = \left[-\log|\cos x|\right]_{0}^{\pi/4} = -\log\dfrac{1}{\sqrt{2}} + \log 1 = \dfrac{1}{2}\log 2$।

8. $\displaystyle\int_{\pi/6}^{\pi/4} \operatorname{cosec} x\,dx$

উত্তৰঃ $\displaystyle\int \operatorname{cosec} x\,dx = \log|\operatorname{cosec} x – \cot x|$। গতিকে,

$$\int_{\pi/6}^{\pi/4} \operatorname{cosec} x\,dx = \log(\sqrt{2} – 1) – \log(2 – \sqrt{3}) = \log\dfrac{\sqrt{2} – 1}{2 – \sqrt{3}}$$

9. $\displaystyle\int_{0}^{1} \dfrac{dx}{\sqrt{1 – x^2}}$

উত্তৰঃ $\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{dx}{\sqrt{1 – x^2}} = \left[\sin^{-1} x\right]_{0}^{1} = \dfrac{\pi}{2} – 0 = \dfrac{\pi}{2}$।

10. $\displaystyle\int_{0}^{1} \dfrac{dx}{1 + x^2}$

উত্তৰঃ $\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{dx}{1 + x^2} = \left[\tan^{-1} x\right]_{0}^{1} = \dfrac{\pi}{4} – 0 = \dfrac{\pi}{4}$।

11. $\displaystyle\int_{2}^{3} \dfrac{dx}{x^2 – 1}$

উত্তৰঃ $\displaystyle\int \dfrac{dx}{x^2 – 1} = \dfrac{1}{2}\log\left|\dfrac{x – 1}{x + 1}\right|$। গতিকে,

$$\int_{2}^{3}\dfrac{dx}{x^2 – 1} = \dfrac{1}{2}\left[\log\dfrac{1}{2} – \log\dfrac{1}{3}\right] = \dfrac{1}{2}\log\dfrac{3}{2}$$

12. $\displaystyle\int_{0}^{\pi/2} \cos^2 x\,dx$

উত্তৰঃ $\cos^2 x = \dfrac{1 + \cos 2x}{2}$ ব্যৱহাৰ কৰি, $\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\cos^2 x\,dx = \left[\dfrac{x}{2} + \dfrac{\sin 2x}{4}\right]_{0}^{\pi/2} = \dfrac{\pi}{4}$।

13. $\displaystyle\int_{2}^{3} \dfrac{x\,dx}{x^2 + 1}$

উত্তৰঃ $\displaystyle\int_{2}^{3}\dfrac{x\,dx}{x^2 + 1} = \left[\dfrac{1}{2}\log(x^2 + 1)\right]_{2}^{3} = \dfrac{1}{2}(\log 10 – \log 5) = \dfrac{1}{2}\log 2$।

14. $\displaystyle\int_{0}^{1} \dfrac{2x + 3}{5x^2 + 1}\,dx$

উত্তৰঃ অনুকলটোক ভাগ কৰি লওঁ। $\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{2x}{5x^2 + 1}\,dx = \left[\dfrac{1}{5}\log(5x^2 + 1)\right]_{0}^{1} = \dfrac{1}{5}\log 6$ আৰু $\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{3}{5x^2 + 1}\,dx = \left[\dfrac{3}{\sqrt{5}}\tan^{-1}(\sqrt{5}\,x)\right]_{0}^{1} = \dfrac{3}{\sqrt{5}}\tan^{-1}\sqrt{5}$।

$$\int_{0}^{1}\dfrac{2x + 3}{5x^2 + 1}\,dx = \dfrac{1}{5}\log 6 + \dfrac{3}{\sqrt{5}}\tan^{-1}\sqrt{5}$$

15. $\displaystyle\int_{0}^{1} x e^{x^2}\,dx$

উত্তৰঃ $x^2 = t$ ধৰিলে $2x\,dx = dt$; সীমা $x = 0 \Rightarrow t = 0$, $x = 1 \Rightarrow t = 1$। গতিকে $\displaystyle\int_{0}^{1} x e^{x^2}\,dx = \dfrac{1}{2}\displaystyle\int_{0}^{1} e^t\,dt = \dfrac{1}{2}(e – 1)$।

16. $\displaystyle\int_{1}^{2} \dfrac{5x^2}{x^2 + 4x + 3}\,dx$

উত্তৰঃ ভাগ কৰি আৰু আংশিক ভগ্নাংশত বিশ্লেষণ কৰি পাওঁ $\dfrac{5x^2}{x^2 + 4x + 3} = 5 + \dfrac{5}{2(x + 1)} – \dfrac{45}{2(x + 3)}$। গতিকে,

$$\int_{1}^{2}\dfrac{5x^2}{x^2 + 4x + 3}\,dx = \left[5x + \dfrac{5}{2}\log|x + 1| – \dfrac{45}{2}\log|x + 3|\right]_{1}^{2} = 5 + \dfrac{5}{2}\log\dfrac{3}{2} – \dfrac{45}{2}\log\dfrac{5}{4}$$

17. $\displaystyle\int_{0}^{\pi/4} (2\sec^2 x + x^3 + 2)\,dx$

উত্তৰঃ $\displaystyle\int_{0}^{\pi/4}(2\sec^2 x + x^3 + 2)\,dx = \left[2\tan x + \dfrac{x^4}{4} + 2x\right]_{0}^{\pi/4} = 2 + \dfrac{\pi}{2} + \dfrac{\pi^4}{1024}$।

18. $\displaystyle\int_{0}^{\pi} \left(\sin^2\dfrac{x}{2} – \cos^2\dfrac{x}{2}\right)dx$

উত্তৰঃ $\sin^2\dfrac{x}{2} – \cos^2\dfrac{x}{2} = -\cos x$। গতিকে $\displaystyle\int_{0}^{\pi}(-\cos x)\,dx = \left[-\sin x\right]_{0}^{\pi} = 0$।

19. $\displaystyle\int_{0}^{2} \dfrac{6x + 3}{x^2 + 4}\,dx$

উত্তৰঃ ভাগ কৰি লওঁ। $\displaystyle\int_{0}^{2}\dfrac{6x}{x^2 + 4}\,dx = \left[3\log(x^2 + 4)\right]_{0}^{2} = 3\log 2$ আৰু $\displaystyle\int_{0}^{2}\dfrac{3}{x^2 + 4}\,dx = \left[\dfrac{3}{2}\tan^{-1}\dfrac{x}{2}\right]_{0}^{2} = \dfrac{3\pi}{8}$।

$$\int_{0}^{2}\dfrac{6x + 3}{x^2 + 4}\,dx = 3\log 2 + \dfrac{3\pi}{8}$$

20. $\displaystyle\int_{0}^{1} \left(x e^x + \sin\dfrac{\pi x}{4}\right)dx$

উত্তৰঃ $\displaystyle\int_{0}^{1} x e^x\,dx = \left[e^x(x – 1)\right]_{0}^{1} = 0 – (-1) = 1$ আৰু $\displaystyle\int_{0}^{1}\sin\dfrac{\pi x}{4}\,dx = \left[-\dfrac{4}{\pi}\cos\dfrac{\pi x}{4}\right]_{0}^{1} = \dfrac{4}{\pi}\left(1 – \dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)$।

$$\int_{0}^{1}\left(x e^x + \sin\dfrac{\pi x}{4}\right)dx = 1 + \dfrac{4}{\pi}\left(1 – \dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)$$

শুদ্ধ উত্তৰ বাছনি কৰা (21 আৰু 22ৰ ক্ষেত্ৰত)।

21. $\displaystyle\int_{1}^{\sqrt{3}} \dfrac{dx}{1 + x^2}$ ৰ মান

  • (A) $\dfrac{\pi}{3}$
  • (B) $\dfrac{2\pi}{3}$
  • (C) $\dfrac{\pi}{6}$
  • (D) $\dfrac{\pi}{12}$

উত্তৰঃ (D)। $\displaystyle\int_{1}^{\sqrt{3}}\dfrac{dx}{1 + x^2} = \left[\tan^{-1} x\right]_{1}^{\sqrt{3}} = \tan^{-1}\sqrt{3} – \tan^{-1} 1 = \dfrac{\pi}{3} – \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\pi}{12}$।

22. $\displaystyle\int_{0}^{2/3} \dfrac{dx}{4 + 9x^2}$ ৰ মান

  • (A) $\dfrac{\pi}{6}$
  • (B) $\dfrac{\pi}{12}$
  • (C) $\dfrac{\pi}{24}$
  • (D) $\dfrac{\pi}{4}$

উত্তৰঃ (C)। $\displaystyle\int_{0}^{2/3}\dfrac{dx}{4 + 9x^2} = \left[\dfrac{1}{6}\tan^{-1}\dfrac{3x}{2}\right]_{0}^{2/3} = \dfrac{1}{6}\tan^{-1} 1 = \dfrac{1}{6}\cdot\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\pi}{24}$।

অনুশীলনী 7.9

প্ৰতিস্থাপন পদ্ধতি প্ৰয়োগ কৰি 1 ৰপৰা 8 লৈ অনুকলসমূহৰ মান নিৰ্ণয় কৰাঃ

1. $\int_0^1 \dfrac{x}{x^2 + 1}\,dx$

উত্তৰঃ ধৰা হ’ল $t = x^2 + 1$, তেতিয়া $dt = 2x\,dx$। সীমা সলনি হয়ঃ $x = 0$ ত $t = 1$ আৰু $x = 1$ ত $t = 2$। গতিকে অনুকলটো হয় $\dfrac{1}{2}\int_1^2 \dfrac{dt}{t} = \dfrac{1}{2}\big[\log t\big]_1^2 = \dfrac{1}{2}\log 2$।

2. $\int_0^{\pi/2} \sqrt{\sin\phi}\,\cos^5\phi\,d\phi$

উত্তৰঃ $\cos^5\phi = (1 – \sin^2\phi)^2\cos\phi$। ধৰা হ’ল $t = \sin\phi$, তেতিয়া $dt = \cos\phi\,d\phi$; সীমা $0$ ৰপৰা $1$ লৈ। গতিকে অনুকলটো হয় $\int_0^1 \sqrt{t}\,(1 – t^2)^2\,dt = \int_0^1 \left(t^{1/2} – 2t^{5/2} + t^{9/2}\right)dt = \dfrac{2}{3} – \dfrac{4}{7} + \dfrac{2}{11} = \dfrac{64}{231}$।

3. $\int_0^1 \sin^{-1}\left(\dfrac{2x}{1 + x^2}\right)dx$

উত্তৰঃ $0 \le x \le 1$ ৰ বাবে $\sin^{-1}\dfrac{2x}{1 + x^2} = 2\tan^{-1}x$। খণ্ডশঃ অনুকলনেৰে $\int \tan^{-1}x\,dx = x\tan^{-1}x – \dfrac{1}{2}\log(1 + x^2)$। গতিকে মান $= 2\left[x\tan^{-1}x – \dfrac{1}{2}\log(1 + x^2)\right]_0^1 = 2\left(\dfrac{\pi}{4} – \dfrac{1}{2}\log 2\right) = \dfrac{\pi}{2} – \log 2$।

4. $\int_0^2 x\sqrt{x + 2}\,dx$ ($x + 2 = t^2$ ধৰা)

উত্তৰঃ $x + 2 = t^2$ ধৰিলে $x = t^2 – 2$, $dx = 2t\,dt$ আৰু $\sqrt{x + 2} = t$। সীমা $x = 0$ ত $t = \sqrt{2}$, $x = 2$ ত $t = 2$। গতিকে মান $= \int_{\sqrt{2}}^{2} (t^2 – 2)\,t\cdot 2t\,dt = 2\int_{\sqrt{2}}^{2} (t^4 – 2t^2)\,dt = 2\left[\dfrac{t^5}{5} – \dfrac{2t^3}{3}\right]_{\sqrt{2}}^{2} = \dfrac{32 + 16\sqrt{2}}{15}$।

5. $\int_0^{\pi/2} \dfrac{\sin x}{1 + \cos^2 x}\,dx$

উত্তৰঃ ধৰা হ’ল $t = \cos x$, তেতিয়া $dt = -\sin x\,dx$। সীমা $x = 0$ ত $t = 1$, $x = \dfrac{\pi}{2}$ ত $t = 0$। গতিকে মান $= \int_0^1 \dfrac{dt}{1 + t^2} = \big[\tan^{-1}t\big]_0^1 = \dfrac{\pi}{4}$।

6. $\int_0^2 \dfrac{dx}{x + 4 – x^2}$

উত্তৰঃ হৰটো বৰ্গ পূৰণ কৰিলে $x + 4 – x^2 = \dfrac{17}{4} – \left(x – \dfrac{1}{2}\right)^2$। গতিকে $\int_0^2 \dfrac{dx}{\left(\frac{\sqrt{17}}{2}\right)^2 – \left(x – \frac{1}{2}\right)^2} = \dfrac{1}{\sqrt{17}}\left[\log\left|\dfrac{\sqrt{17} + 2x – 1}{\sqrt{17} – 2x + 1}\right|\right]_0^2 = \dfrac{1}{\sqrt{17}}\log\dfrac{5 + \sqrt{17}}{5 – \sqrt{17}}$।

7. $\int_{-1}^{1} \dfrac{dx}{x^2 + 2x + 5}$

উত্তৰঃ $x^2 + 2x + 5 = (x + 1)^2 + 2^2$। গতিকে $\int_{-1}^{1} \dfrac{dx}{(x + 1)^2 + 2^2} = \left[\dfrac{1}{2}\tan^{-1}\dfrac{x + 1}{2}\right]_{-1}^{1} = \dfrac{1}{2}\tan^{-1}1 – \dfrac{1}{2}\tan^{-1}0 = \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\pi}{8}$।

8. $\int_1^2 \left(\dfrac{1}{x} – \dfrac{1}{2x^2}\right)e^{2x}\,dx$

উত্তৰঃ লক্ষ্য কৰা যে $\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{e^{2x}}{2x}\right) = e^{2x}\left(\dfrac{1}{x} – \dfrac{1}{2x^2}\right)$। গতিকে মান $= \left[\dfrac{e^{2x}}{2x}\right]_1^2 = \dfrac{e^4}{4} – \dfrac{e^2}{2}$।

শুদ্ধ উত্তৰ বাছনি কৰা (9 আৰু 10 ৰ ক্ষেত্ৰত)।

9. $\int_{1/3}^{1} \dfrac{(x – x^3)^{1/3}}{x^4}\,dx$ ৰ মান

(A) 6    (B) 0    (C) 3    (D) 4

উত্তৰঃ শুদ্ধ উত্তৰ (A) 6। $x – x^3 = x^3\left(\dfrac{1}{x^2} – 1\right)$ হোৱাত $\dfrac{(x – x^3)^{1/3}}{x^4} = \dfrac{1}{x^3}\left(\dfrac{1}{x^2} – 1\right)^{1/3}$। ধৰা হ’ল $t = \dfrac{1}{x^2} – 1$, তেতিয়া $dt = -\dfrac{2}{x^3}\,dx$; সীমা $x = \dfrac{1}{3}$ ত $t = 8$, $x = 1$ ত $t = 0$। গতিকে মান $= \dfrac{1}{2}\int_0^8 t^{1/3}\,dt = \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{3}{4}\big[t^{4/3}\big]_0^8 = \dfrac{3}{8}\cdot 16 = 6$।

10. যদি $f(x) = \int_0^x t\sin t\,dt$ হয়, তেন্তে $f^{\prime}(x)$ ৰ মান

(A) $\cos x + x\sin x$    (B) $x\sin x$    (C) $x\cos x$    (D) $\sin x + x\cos x$

উত্তৰঃ শুদ্ধ উত্তৰ (B) $x\sin x$। অনুকলৰ প্ৰথম মৌলিক উপপাদ্য অনুসৰি, যদি $f(x) = \int_0^x t\sin t\,dt$ হয় তেন্তে $f^{\prime}(x)$ হৈছে অনুকল্যটোৰ ওপৰ সীমাত মান, অৰ্থাৎ $f^{\prime}(x) = x\sin x$।

অনুশীলনী 7.10

নিশ্চিত অনুকলৰ ধৰ্ম ব্যৱহাৰ কৰি 1 ৰপৰা 19 লৈ অনুকলসমূহৰ মান নিৰ্ণয় কৰাঃ

1. $\int_0^{\pi/2} \cos^2 x\,dx$

উত্তৰঃ $\cos^2 x = \dfrac{1 + \cos 2x}{2}$ হোৱাত মান $= \dfrac{1}{2}\int_0^{\pi/2} (1 + \cos 2x)\,dx = \dfrac{1}{2}\left[x + \dfrac{\sin 2x}{2}\right]_0^{\pi/2} = \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\pi}{2} = \dfrac{\pi}{4}$।

2. $\int_0^{\pi/2} \dfrac{\sqrt{\sin x}}{\sqrt{\sin x} + \sqrt{\cos x}}\,dx$

উত্তৰঃ ধৰা হ’ল $I$ ইয়াৰ মান। $P_4$ ধৰ্ম অৰ্থাৎ $\int_0^a f(x)\,dx = \int_0^a f(a – x)\,dx$ প্ৰয়োগ কৰি $I = \int_0^{\pi/2} \dfrac{\sqrt{\cos x}}{\sqrt{\cos x} + \sqrt{\sin x}}\,dx$। দুটা যোগ কৰি $2I = \int_0^{\pi/2} 1\,dx = \dfrac{\pi}{2}$, গতিকে $I = \dfrac{\pi}{4}$।

3. $\int_0^{\pi/2} \dfrac{\sin^{3/2} x}{\sin^{3/2} x + \cos^{3/2} x}\,dx$

উত্তৰঃ $P_4$ প্ৰয়োগ কৰি $I = \int_0^{\pi/2} \dfrac{\cos^{3/2} x}{\cos^{3/2} x + \sin^{3/2} x}\,dx$। যোগ কৰি $2I = \int_0^{\pi/2} 1\,dx = \dfrac{\pi}{2}$, গতিকে $I = \dfrac{\pi}{4}$।

4. $\int_0^{\pi/2} \dfrac{\cos^5 x}{\sin^5 x + \cos^5 x}\,dx$

উত্তৰঃ $P_4$ প্ৰয়োগ কৰি $I = \int_0^{\pi/2} \dfrac{\sin^5 x}{\cos^5 x + \sin^5 x}\,dx$। যোগ কৰি $2I = \int_0^{\pi/2} 1\,dx = \dfrac{\pi}{2}$, গতিকে $I = \dfrac{\pi}{4}$।

5. $\int_{-5}^{5} |x + 2|\,dx$

উত্তৰঃ $x = -2$ ত চিহ্ন সলনি হয়। $-5 \le x \le -2$ ত $|x + 2| = -(x + 2)$ আৰু $-2 \le x \le 5$ ত $|x + 2| = x + 2$। গতিকে মান $= \int_{-5}^{-2} -(x + 2)\,dx + \int_{-2}^{5} (x + 2)\,dx = \dfrac{9}{2} + \dfrac{49}{2} = 29$।

6. $\int_2^8 |x – 5|\,dx$

উত্তৰঃ $x = 5$ ত চিহ্ন সলনি হয়। মান $= \int_2^5 (5 – x)\,dx + \int_5^8 (x – 5)\,dx = \dfrac{9}{2} + \dfrac{9}{2} = 9$।

7. $\int_0^1 x(1 – x)^n\,dx$

উত্তৰঃ $P_4$ প্ৰয়োগ কৰি $I = \int_0^1 (1 – x)\,x^n\,dx = \int_0^1 (x^n – x^{n+1})\,dx = \dfrac{1}{n + 1} – \dfrac{1}{n + 2} = \dfrac{1}{(n + 1)(n + 2)}$।

8. $\int_0^{\pi/4} \log(1 + \tan x)\,dx$

উত্তৰঃ $P_4$ প্ৰয়োগ কৰি ($a = \dfrac{\pi}{4}$), $\tan\left(\dfrac{\pi}{4} – x\right) = \dfrac{1 – \tan x}{1 + \tan x}$ হোৱাত $1 + \tan\left(\dfrac{\pi}{4} – x\right) = \dfrac{2}{1 + \tan x}$। গতিকে $I = \int_0^{\pi/4} \log\dfrac{2}{1 + \tan x}\,dx = \dfrac{\pi}{4}\log 2 – I$, অৰ্থাৎ $2I = \dfrac{\pi}{4}\log 2$, গতিকে $I = \dfrac{\pi}{8}\log 2$।

9. $\int_0^2 x\sqrt{2 – x}\,dx$

উত্তৰঃ $P_4$ প্ৰয়োগ কৰি $I = \int_0^2 (2 – x)\sqrt{x}\,dx = \int_0^2 \left(2x^{1/2} – x^{3/2}\right)dx = \left[\dfrac{4}{3}x^{3/2} – \dfrac{2}{5}x^{5/2}\right]_0^2 = \dfrac{8\sqrt{2}}{3} – \dfrac{8\sqrt{2}}{5} = \dfrac{16\sqrt{2}}{15}$।

10. $\int_0^{\pi/2} (2\log\sin x – \log\sin 2x)\,dx$

উত্তৰঃ $\sin 2x = 2\sin x\cos x$ হোৱাত $2\log\sin x – \log\sin 2x = \log\tan x – \log 2$। যিহেতু $\int_0^{\pi/2} \log\tan x\,dx = 0$ ($P_4$ ৰ দ্বাৰা), গতিকে $I = -\int_0^{\pi/2} \log 2\,dx = -\dfrac{\pi}{2}\log 2$।

11. $\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \sin^2 x\,dx$

উত্তৰঃ $\sin^2 x$ এটা যুগ্ম ফলন, গতিকে $P_7$(i) ৰ দ্বাৰা $I = 2\int_0^{\pi/2} \sin^2 x\,dx = 2\cdot\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\pi}{2}$।

12. $\int_0^{\pi} \dfrac{x\,dx}{1 + \sin x}$

উত্তৰঃ $P_3$ প্ৰয়োগ কৰি $I = \int_0^{\pi} \dfrac{(\pi – x)\,dx}{1 + \sin x}$; যোগ কৰি $2I = \pi\int_0^{\pi} \dfrac{dx}{1 + \sin x}$। এতিয়া $\dfrac{1}{1 + \sin x} = \sec^2 x – \sec x\tan x$ হোৱাত $\int_0^{\pi} \dfrac{dx}{1 + \sin x} = \big[\tan x – \sec x\big]_0^{\pi} = 1 – (-1) = 2$। গতিকে $2I = 2\pi$, অৰ্থাৎ $I = \pi$।

13. $\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \sin^7 x\,dx$

উত্তৰঃ $\sin^7(-x) = -\sin^7 x$, গতিকে $\sin^7 x$ এটা অযুগ্ম ফলন। $P_7$(ii) ৰ দ্বাৰা $I = 0$।

14. $\int_0^{2\pi} \cos^5 x\,dx$

উত্তৰঃ $\cos^5(2\pi – x) = \cos^5 x$ হোৱাত $P_6$ ৰ দ্বাৰা $I = 2\int_0^{\pi} \cos^5 x\,dx$। আকৌ $[0, \pi]$ ত $\cos^5(\pi – x) = -\cos^5 x$ হোৱাত $\int_0^{\pi} \cos^5 x\,dx = 0$। গতিকে $I = 0$।

15. $\int_0^{\pi/2} \dfrac{\sin x – \cos x}{1 + \sin x\cos x}\,dx$

উত্তৰঃ $P_4$ প্ৰয়োগ কৰি $I = \int_0^{\pi/2} \dfrac{\cos x – \sin x}{1 + \sin x\cos x}\,dx = -I$। গতিকে $2I = 0$, অৰ্থাৎ $I = 0$।

16. $\int_0^{\pi} \log(1 + \cos x)\,dx$

উত্তৰঃ $P_3$ প্ৰয়োগ কৰি $I = \int_0^{\pi} \log(1 – \cos x)\,dx$; যোগ কৰি $2I = \int_0^{\pi} \log(1 – \cos^2 x)\,dx = \int_0^{\pi} \log\sin^2 x\,dx = 2\int_0^{\pi} \log\sin x\,dx = 2(-\pi\log 2) = -2\pi\log 2$। গতিকে $I = -\pi\log 2$।

17. $\int_0^a \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + \sqrt{a – x}}\,dx$

উত্তৰঃ $P_4$ প্ৰয়োগ কৰি $I = \int_0^a \dfrac{\sqrt{a – x}}{\sqrt{a – x} + \sqrt{x}}\,dx$; যোগ কৰি $2I = \int_0^a 1\,dx = a$, গতিকে $I = \dfrac{a}{2}$।

18. $\int_0^4 |x – 1|\,dx$

উত্তৰঃ $x = 1$ ত চিহ্ন সলনি হয়। মান $= \int_0^1 (1 – x)\,dx + \int_1^4 (x – 1)\,dx = \dfrac{1}{2} + \dfrac{9}{2} = 5$।

19. দেখুওৱা যে $\int_0^a f(x)\,g(x)\,dx = 2\int_0^a f(x)\,dx$, য’ত $f$ আৰু $g$ ক তলত দিয়া ধৰণে ব্যাখ্যা কৰা হৈছেঃ $f(x) = f(a – x)$ আৰু $g(x) + g(a – x) = 4$।

উত্তৰঃ ধৰা হ’ল $I = \int_0^a f(x)\,g(x)\,dx$। $P_4$ প্ৰয়োগ কৰি আৰু $f(a – x) = f(x)$ ব্যৱহাৰ কৰি $I = \int_0^a f(a – x)\,g(a – x)\,dx = \int_0^a f(x)\,g(a – x)\,dx$। দুটা যোগ কৰি $2I = \int_0^a f(x)\big[g(x) + g(a – x)\big]\,dx = \int_0^a f(x)\cdot 4\,dx = 4\int_0^a f(x)\,dx$। গতিকে $I = 2\int_0^a f(x)\,dx$ (প্ৰমাণিত)।

শুদ্ধ উত্তৰটো বাছনি কৰা (20 আৰু 21 ৰ বাবে)।

20. $\int_{-\pi/2}^{\pi/2} (x^3 + x\cos x + \tan^5 x + 1)\,dx$ ৰ মান

(A) 0    (B) 2    (C) $\pi$    (D) 1

উত্তৰঃ শুদ্ধ উত্তৰ (C) $\pi$। $x^3$, $x\cos x$ আৰু $\tan^5 x$ প্ৰতিটোৱে অযুগ্ম ফলন, গতিকে প্ৰতিসম সীমাত ইহঁতৰ অনুকল $0$। কেৱল $\int_{-\pi/2}^{\pi/2} 1\,dx = \pi$ থাকে। গতিকে মান $\pi$।

21. $\int_0^{\pi/2} \log\left(\dfrac{4 + 3\sin x}{4 + 3\cos x}\right)dx$ ৰ মান

(A) 2    (B) $\dfrac{3}{4}$    (C) 0    (D) $-2$

উত্তৰঃ শুদ্ধ উত্তৰ (C) 0। $P_4$ প্ৰয়োগ কৰি $x$ ৰ ঠাইত $\dfrac{\pi}{2} – x$ প্ৰতিস্থাপন কৰিলে অনুকল্যটো $\log\dfrac{4 + 3\cos x}{4 + 3\sin x} = -\log\dfrac{4 + 3\sin x}{4 + 3\cos x}$ হয়। গতিকে $I = -I$, অৰ্থাৎ $I = 0$।

7 অধ্যায়ৰ সানমিহলি অনুশীলনী

1 ৰপৰা 23 লৈ ফলনসমূহৰ অনুকল নিৰ্ণয় কৰাঃ

1. $\dfrac{1}{x – x^3}$

উত্তৰঃ $x – x^3 = x(1 – x)(1 + x)$। আংশিক ভগ্নাংশত $\dfrac{1}{x(1 – x)(1 + x)} = \dfrac{1}{x} + \dfrac{1/2}{1 – x} – \dfrac{1/2}{1 + x}$। গতিকে অনুকল $= \log|x| – \dfrac{1}{2}\log|1 – x^2| + C$।

2. $\dfrac{1}{\sqrt{x + a} + \sqrt{x + b}}$

উত্তৰঃ লব-হৰ যুক্তিসংগত কৰি (হৰক $\sqrt{x + a} – \sqrt{x + b}$ ৰে পূৰণ কৰি) পোৱা যায় $\dfrac{\sqrt{x + a} – \sqrt{x + b}}{a – b}$। গতিকে অনুকল $= \dfrac{1}{a – b}\int\left(\sqrt{x + a} – \sqrt{x + b}\right)dx = \dfrac{2}{3(a – b)}\left[(x + a)^{3/2} – (x + b)^{3/2}\right] + C$।

3. $\dfrac{1}{x\sqrt{ax – x^2}}$ [ইংগিতঃ $x = \dfrac{a}{t}$]

উত্তৰঃ $x = \dfrac{a}{t}$ ধৰিলে $dx = -\dfrac{a}{t^2}\,dt$ আৰু $x\sqrt{ax – x^2} = \dfrac{a^2\sqrt{t – 1}}{t^2}$। গতিকে অনুকল $= -\dfrac{1}{a}\int \dfrac{dt}{\sqrt{t – 1}} = -\dfrac{2}{a}\sqrt{t – 1} + C = -\dfrac{2}{a}\sqrt{\dfrac{a – x}{x}} + C$।

4. $\dfrac{1}{x^2(x^4 + 1)^{3/4}}$

উত্তৰঃ $(x^4 + 1)^{3/4} = x^3\left(1 + \dfrac{1}{x^4}\right)^{3/4}$ হোৱাত অনুকল্যটো $= \dfrac{1}{x^5\left(1 + \frac{1}{x^4}\right)^{3/4}}$। ধৰা হ’ল $t = 1 + \dfrac{1}{x^4}$, তেতিয়া $dt = -\dfrac{4}{x^5}\,dx$। গতিকে অনুকল $= -\dfrac{1}{4}\int t^{-3/4}\,dt = -t^{1/4} + C = -\left(1 + \dfrac{1}{x^4}\right)^{1/4} + C$।

5. $\dfrac{1}{x^{1/2} + x^{1/3}}$ [ইংগিতঃ $x = t^6$]

উত্তৰঃ $x = t^6$ ধৰিলে $dx = 6t^5\,dt$ আৰু অনুকল্যটো $= \dfrac{6t^5}{t^3 + t^2}\,dt = \dfrac{6t^3}{t + 1}\,dt = 6\left(t^2 – t + 1 – \dfrac{1}{t + 1}\right)dt$। গতিকে অনুকল $= 2t^3 – 3t^2 + 6t – 6\log|t + 1| + C = 2\sqrt{x} – 3x^{1/3} + 6x^{1/6} – 6\log\left(1 + x^{1/6}\right) + C$।

6. $\dfrac{5x}{(x + 1)(x^2 + 9)}$

উত্তৰঃ আংশিক ভগ্নাংশত $\dfrac{5x}{(x + 1)(x^2 + 9)} = \dfrac{-1/2}{x + 1} + \dfrac{\frac{1}{2}x + \frac{9}{2}}{x^2 + 9}$। গতিকে অনুকল $= -\dfrac{1}{2}\log|x + 1| + \dfrac{1}{4}\log(x^2 + 9) + \dfrac{3}{2}\tan^{-1}\dfrac{x}{3} + C$।

7. $\dfrac{\sin x}{\sin(x – a)}$

উত্তৰঃ $\sin x = \sin\big[(x – a) + a\big] = \sin(x – a)\cos a + \cos(x – a)\sin a$ লিখিলে $\dfrac{\sin x}{\sin(x – a)} = \cos a + \sin a\cot(x – a)$। গতিকে অনুকল $= x\cos a + \sin a\log|\sin(x – a)| + C$।

8. $\dfrac{e^{5\log x} – e^{4\log x}}{e^{3\log x} – e^{2\log x}}$

উত্তৰঃ $e^{n\log x} = x^n$ হোৱাত অনুকল্যটো $= \dfrac{x^5 – x^4}{x^3 – x^2} = \dfrac{x^4(x – 1)}{x^2(x – 1)} = x^2$। গতিকে অনুকল $= \dfrac{x^3}{3} + C$।

9. $\dfrac{\cos x}{\sqrt{4 – \sin^2 x}}$

উত্তৰঃ ধৰা হ’ল $t = \sin x$, তেতিয়া $dt = \cos x\,dx$। গতিকে অনুকল $= \int \dfrac{dt}{\sqrt{2^2 – t^2}} = \sin^{-1}\dfrac{t}{2} + C = \sin^{-1}\dfrac{\sin x}{2} + C$।

10. $\dfrac{\sin^8 x – \cos^8 x}{1 – 2\sin^2 x\cos^2 x}$

উত্তৰঃ লব $= (\sin^4 x – \cos^4 x)(\sin^4 x + \cos^4 x) = -\cos 2x\,(1 – 2\sin^2 x\cos^2 x)$। গতিকে অনুকল্যটো $= -\cos 2x$, আৰু অনুকল $= -\dfrac{\sin 2x}{2} + C$।

11. $\dfrac{1}{\cos(x + a)\cos(x + b)}$

উত্তৰঃ $\sin(a – b) = \sin\big[(x + a) – (x + b)\big]$ ব্যৱহাৰ কৰি $\dfrac{1}{\cos(x + a)\cos(x + b)} = \dfrac{1}{\sin(a – b)}\big[\tan(x + a) – \tan(x + b)\big]$। গতিকে অনুকল $= \dfrac{1}{\sin(a – b)}\log\left|\dfrac{\cos(x + b)}{\cos(x + a)}\right| + C$।

12. $\dfrac{x^3}{\sqrt{1 – x^8}}$

উত্তৰঃ ধৰা হ’ল $t = x^4$, তেতিয়া $dt = 4x^3\,dx$। গতিকে অনুকল $= \dfrac{1}{4}\int \dfrac{dt}{\sqrt{1 – t^2}} = \dfrac{1}{4}\sin^{-1}(x^4) + C$।

13. $\dfrac{e^x}{(1 + e^x)(2 + e^x)}$

উত্তৰঃ ধৰা হ’ল $t = e^x$, তেতিয়া $dt = e^x\,dx$। $\dfrac{1}{(1 + t)(2 + t)} = \dfrac{1}{1 + t} – \dfrac{1}{2 + t}$ হোৱাত অনুকল $= \log\left|\dfrac{1 + e^x}{2 + e^x}\right| + C$।

14. $\dfrac{1}{(x^2 + 1)(x^2 + 4)}$

উত্তৰঃ $\dfrac{1}{(x^2 + 1)(x^2 + 4)} = \dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{x^2 + 1} – \dfrac{1}{x^2 + 4}\right)$। গতিকে অনুকল $= \dfrac{1}{3}\tan^{-1}x – \dfrac{1}{6}\tan^{-1}\dfrac{x}{2} + C$।

15. $\cos^3 x\,e^{\log\sin x}$

উত্তৰঃ $e^{\log\sin x} = \sin x$ হোৱাত অনুকল্যটো $= \cos^3 x\sin x$। ধৰা হ’ল $t = \cos x$, তেতিয়া $dt = -\sin x\,dx$। গতিকে অনুকল $= -\int t^3\,dt = -\dfrac{\cos^4 x}{4} + C$।

16. $e^{3\log x}(x^4 + 1)^{-1}$

উত্তৰঃ $e^{3\log x} = x^3$ হোৱাত অনুকল্যটো $= \dfrac{x^3}{x^4 + 1}$। ধৰা হ’ল $t = x^4 + 1$, তেতিয়া $dt = 4x^3\,dx$। গতিকে অনুকল $= \dfrac{1}{4}\log(x^4 + 1) + C$।

17. $f^{\prime}(ax + b)\,[f(ax + b)]^n$

উত্তৰঃ ধৰা হ’ল $t = f(ax + b)$, তেতিয়া $dt = a\,f^{\prime}(ax + b)\,dx$। গতিকে অনুকল $= \dfrac{1}{a}\int t^n\,dt = \dfrac{[f(ax + b)]^{n+1}}{a(n + 1)} + C$।

18. $\dfrac{1}{\sqrt{\sin^3 x\,\sin(x + \alpha)}}$

উত্তৰঃ $\sin^3 x\,\sin(x + \alpha) = \sin^4 x\,(\cos\alpha + \cot x\sin\alpha)$ হোৱাত অনুকল্যটো $= \dfrac{\text{cosec}^2 x}{\sqrt{\cos\alpha + \cot x\sin\alpha}}$। ধৰা হ’ল $t = \cos\alpha + \cot x\sin\alpha$, তেতিয়া $dt = -\text{cosec}^2 x\,\sin\alpha\,dx$। গতিকে অনুকল $= -\dfrac{2}{\sin\alpha}\sqrt{\dfrac{\sin(x + \alpha)}{\sin x}} + C$।

19. $\sqrt{\dfrac{1 – \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}}$

উত্তৰঃ ধৰা হ’ল $\sqrt{x} = t$, তেতিয়া $x = t^2$, $dx = 2t\,dt$ আৰু $\sqrt{\dfrac{1 – t}{1 + t}} = \dfrac{1 – t}{\sqrt{1 – t^2}}$। গতিকে অনুকল $= 2\int \dfrac{t(1 – t)}{\sqrt{1 – t^2}}\,dt = -2\sqrt{1 – t^2} + t\sqrt{1 – t^2} – \sin^{-1}t + C$। $t$ ৰ ঠাইত $\sqrt{x}$ প্ৰতিস্থাপন কৰিলে $= \sqrt{1 – x}\left(\sqrt{x} – 2\right) – \sin^{-1}\sqrt{x} + C$।

20. $\dfrac{2 + \sin 2x}{1 + \cos 2x}\,e^x$

উত্তৰঃ $1 + \cos 2x = 2\cos^2 x$ আৰু $\sin 2x = 2\sin x\cos x$ হোৱাত অনুকল্যটো $= e^x\left(\tan x + \sec^2 x\right)$। ই $e^x\big[f(x) + f^{\prime}(x)\big]$ ৰূপৰ, য’ত $f(x) = \tan x$। গতিকে অনুকল $= e^x\tan x + C$।

21. $\dfrac{x^2 + x + 1}{(x + 1)^2(x + 2)}$

উত্তৰঃ আংশিক ভগ্নাংশত $\dfrac{x^2 + x + 1}{(x + 1)^2(x + 2)} = \dfrac{-2}{x + 1} + \dfrac{1}{(x + 1)^2} + \dfrac{3}{x + 2}$। গতিকে অনুকল $= -2\log|x + 1| – \dfrac{1}{x + 1} + 3\log|x + 2| + C$।

22. $\tan^{-1}\sqrt{\dfrac{1 – x}{1 + x}}$

উত্তৰঃ $x = \cos\theta$ ধৰিলে $\sqrt{\dfrac{1 – \cos\theta}{1 + \cos\theta}} = \tan\dfrac{\theta}{2}$, গতিকে অনুকল্যটো $= \dfrac{\theta}{2}$ আৰু $dx = -\sin\theta\,d\theta$। খণ্ডশঃ অনুকলনেৰে $I = -\dfrac{1}{2}\int \theta\sin\theta\,d\theta = \dfrac{1}{2}\theta\cos\theta – \dfrac{1}{2}\sin\theta + C = \dfrac{1}{2}x\cos^{-1}x – \dfrac{1}{2}\sqrt{1 – x^2} + C$।

23. $\dfrac{\sqrt{x^2 + 1}\,\big[\log(x^2 + 1) – 2\log x\big]}{x^4}$

উত্তৰঃ $\log(x^2 + 1) – 2\log x = \log\left(1 + \dfrac{1}{x^2}\right)$ আৰু $\dfrac{\sqrt{x^2 + 1}}{x^4} = \dfrac{1}{x^3}\sqrt{1 + \dfrac{1}{x^2}}$। ধৰা হ’ল $t = 1 + \dfrac{1}{x^2}$, তেতিয়া $dt = -\dfrac{2}{x^3}\,dx$। গতিকে অনুকল $= -\dfrac{1}{2}\int \sqrt{t}\,\log t\,dt = \dfrac{1}{3}\left(1 + \dfrac{1}{x^2}\right)^{3/2}\left[\dfrac{2}{3} – \log\left(1 + \dfrac{1}{x^2}\right)\right] + C$।

24 ৰপৰা 31 লৈ নিশ্চিত অনুকলসমূহৰ মান নিৰ্ণয় কৰাঃ

24. $\int_{\pi/2}^{\pi} e^x\left(\dfrac{1 – \sin x}{1 – \cos x}\right)dx$

উত্তৰঃ $\dfrac{1 – \sin x}{1 – \cos x} = \dfrac{1}{2}\text{cosec}^2\dfrac{x}{2} – \cot\dfrac{x}{2}$, ই $e^x\big[f(x) + f^{\prime}(x)\big]$ ৰূপৰ য’ত $f(x) = -\cot\dfrac{x}{2}$। গতিকে মান $= \left[-e^x\cot\dfrac{x}{2}\right]_{\pi/2}^{\pi} = 0 – \left(-e^{\pi/2}\cot\dfrac{\pi}{4}\right) = e^{\pi/2}$।

25. $\int_0^{\pi/4} \dfrac{\sin x\cos x}{\cos^4 x + \sin^4 x}\,dx$

উত্তৰঃ লব $= \dfrac{1}{2}\sin 2x$ আৰু হৰ $= 1 – \dfrac{1}{2}\sin^2 2x$ হোৱাত অনুকল্যটো $= \dfrac{\sin 2x}{1 + \cos^2 2x}$। ধৰা হ’ল $u = \cos 2x$, তেতিয়া $du = -2\sin 2x\,dx$; সীমা $x = 0$ ত $u = 1$, $x = \dfrac{\pi}{4}$ ত $u = 0$। গতিকে মান $= \dfrac{1}{2}\int_0^1 \dfrac{du}{1 + u^2} = \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\pi}{8}$।

26. $\int_0^{\pi/2} \dfrac{\cos^2 x\,dx}{\cos^2 x + 4\sin^2 x}$

উত্তৰঃ লব-হৰ $\cos^2 x$ ৰে ভাগ কৰি অনুকল্যটো $= \dfrac{1}{1 + 4\tan^2 x}$। $t = \tan x$ ধৰিলে মান $= \int_0^{\infty} \dfrac{dt}{(1 + t^2)(1 + 4t^2)} = \int_0^{\infty}\left(\dfrac{-1/3}{1 + t^2} + \dfrac{4/3}{1 + 4t^2}\right)dt = -\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{\pi}{2} + \dfrac{4}{3}\cdot\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\pi}{6}$।

27. $\int_{\pi/6}^{\pi/3} \dfrac{\sin x + \cos x}{\sqrt{\sin 2x}}\,dx$

উত্তৰঃ ধৰা হ’ল $t = \sin x – \cos x$, তেতিয়া $dt = (\cos x + \sin x)\,dx$ আৰু $\sin 2x = 1 – t^2$। সীমা $x = \dfrac{\pi}{6}$ ত $t = \dfrac{1 – \sqrt{3}}{2}$, $x = \dfrac{\pi}{3}$ ত $t = \dfrac{\sqrt{3} – 1}{2}$। গতিকে মান $= \int \dfrac{dt}{\sqrt{1 – t^2}} = \big[\sin^{-1}t\big] = 2\sin^{-1}\left(\dfrac{\sqrt{3} – 1}{2}\right)$।

28. $\int_0^1 \dfrac{dx}{\sqrt{1 + x} – \sqrt{x}}$

উত্তৰঃ লব-হৰ যুক্তিসংগত কৰিলে $\dfrac{1}{\sqrt{1 + x} – \sqrt{x}} = \sqrt{1 + x} + \sqrt{x}$। গতিকে মান $= \int_0^1 \left(\sqrt{1 + x} + \sqrt{x}\right)dx = \left[\dfrac{2}{3}(1 + x)^{3/2} + \dfrac{2}{3}x^{3/2}\right]_0^1 = \dfrac{4\sqrt{2}}{3}$।

29. $\int_0^{\pi/4} \dfrac{\sin x + \cos x}{9 + 16\sin 2x}\,dx$

উত্তৰঃ ধৰা হ’ল $t = \sin x – \cos x$, তেতিয়া $dt = (\cos x + \sin x)\,dx$ আৰু $9 + 16\sin 2x = 25 – 16t^2$। সীমা $x = 0$ ত $t = -1$, $x = \dfrac{\pi}{4}$ ত $t = 0$। গতিকে মান $= \int_{-1}^{0} \dfrac{dt}{25 – 16t^2} = \dfrac{1}{40}\left[\log\left|\dfrac{5 + 4t}{5 – 4t}\right|\right]_{-1}^{0} = \dfrac{1}{40}\log 9 = \dfrac{1}{20}\log 3$।

30. $\int_0^{\pi/2} \sin 2x\,\tan^{-1}(\sin x)\,dx$

উত্তৰঃ ধৰা হ’ল $t = \sin x$, তেতিয়া $\sin 2x\,dx = 2t\,dt$; সীমা $0$ ৰপৰা $1$ লৈ। খণ্ডশঃ অনুকলনেৰে মান $= \int_0^1 2t\tan^{-1}t\,dt = \big[t^2\tan^{-1}t\big]_0^1 – \int_0^1 \dfrac{t^2}{1 + t^2}\,dt = \dfrac{\pi}{4} – \left(1 – \dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{\pi}{2} – 1$।

31. $\int_1^4 \big[|x – 1| + |x – 2| + |x – 3|\big]\,dx$

উত্তৰঃ প্ৰতিটো পদ পৃথকে অনুকল কৰি $\int_1^4 |x – 1|\,dx = \dfrac{9}{2}$, $\int_1^4 |x – 2|\,dx = \dfrac{5}{2}$ আৰু $\int_1^4 |x – 3|\,dx = \dfrac{5}{2}$। গতিকে যোগফল $= \dfrac{9}{2} + \dfrac{5}{2} + \dfrac{5}{2} = \dfrac{19}{2}$।

প্ৰমাণ কৰা (32 ৰপৰা 37 লৈ)।

32. $\int_1^3 \dfrac{dx}{x^2(x + 1)} = \dfrac{2}{3} + \log\dfrac{2}{3}$

উত্তৰঃ আংশিক ভগ্নাংশত $\dfrac{1}{x^2(x + 1)} = -\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x^2} + \dfrac{1}{x + 1}$। গতিকে অনুকল $= \left[\log\dfrac{x + 1}{x} – \dfrac{1}{x}\right]_1^3 = \left(\log\dfrac{4}{3} – \dfrac{1}{3}\right) – (\log 2 – 1) = \dfrac{2}{3} + \log\dfrac{2}{3}$ (প্ৰমাণিত)।

33. $\int_0^1 x\,e^x\,dx = 1$

উত্তৰঃ খণ্ডশঃ অনুকলনেৰে $\int x\,e^x\,dx = e^x(x – 1)$। গতিকে $\big[e^x(x – 1)\big]_0^1 = 0 – (-1) = 1$ (প্ৰমাণিত)।

34. $\int_{-1}^{1} x^{17}\cos^4 x\,dx = 0$

উত্তৰঃ $x^{17}$ অযুগ্ম আৰু $\cos^4 x$ যুগ্ম, গতিকে গুণফল $x^{17}\cos^4 x$ এটা অযুগ্ম ফলন। প্ৰতিসম সীমা $[-1, 1]$ ত অযুগ্ম ফলনৰ অনুকল $0$ (প্ৰমাণিত)।

35. $\int_0^{\pi/2} \sin^3 x\,dx = \dfrac{2}{3}$

উত্তৰঃ $\sin^3 x = \sin x(1 – \cos^2 x)$। $t = \cos x$ ধৰিলে $\int_0^{\pi/2} \sin^3 x\,dx = \int_0^1 (1 – t^2)\,dt = \left[t – \dfrac{t^3}{3}\right]_0^1 = 1 – \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{3}$ (প্ৰমাণিত)।

36. $\int_0^{\pi/4} 2\tan^3 x\,dx = 1 – \log 2$

উত্তৰঃ $\tan^3 x = \tan x\sec^2 x – \tan x$ হোৱাত $\int 2\tan^3 x\,dx = \tan^2 x + 2\log|\cos x|$। গতিকে $\big[\tan^2 x + 2\log|\cos x|\big]_0^{\pi/4} = (1 – \log 2) – 0 = 1 – \log 2$ (প্ৰমাণিত)।

37. $\int_0^1 \sin^{-1}x\,dx = \dfrac{\pi}{2} – 1$

উত্তৰঃ খণ্ডশঃ অনুকলনেৰে $\int \sin^{-1}x\,dx = x\sin^{-1}x + \sqrt{1 – x^2}$। গতিকে $\big[x\sin^{-1}x + \sqrt{1 – x^2}\big]_0^1 = \dfrac{\pi}{2} – 1$ (প্ৰমাণিত)।

শুদ্ধ উত্তৰ বাছনি কৰা (38 ৰপৰা 40 লৈ)।

38. $\int \dfrac{dx}{e^x + e^{-x}}$ ৰ মান

(A) $\tan^{-1}(e^x) + C$    (B) $\tan^{-1}(e^{-x}) + C$    (C) $\log(e^x – e^{-x}) + C$    (D) $\log(e^x + e^{-x}) + C$

উত্তৰঃ শুদ্ধ উত্তৰ (A) $\tan^{-1}(e^x) + C$। লব-হৰ $e^x$ ৰে পূৰণ কৰি $\dfrac{e^x}{e^{2x} + 1}$। $t = e^x$ ধৰিলে $\int \dfrac{dt}{t^2 + 1} = \tan^{-1}(e^x) + C$।

39. $\int \dfrac{\cos 2x}{(\sin x + \cos x)^2}\,dx$ ৰ মান

(A) $\dfrac{-1}{\sin x + \cos x} + C$    (B) $\log|\sin x + \cos x| + C$    (C) $\log|\sin x – \cos x| + C$    (D) $\dfrac{1}{(\sin x + \cos x)^2}$

উত্তৰঃ শুদ্ধ উত্তৰ (B) $\log|\sin x + \cos x| + C$। $\cos 2x = (\cos x – \sin x)(\cos x + \sin x)$ হোৱাত অনুকল্যটো $= \dfrac{\cos x – \sin x}{\sin x + \cos x}$। $u = \sin x + \cos x$ ধৰিলে $\int \dfrac{du}{u} = \log|\sin x + \cos x| + C$।

40. যদি $f(a + b – x) = f(x)$ হয়, তেতিয়াহ’লে $\int_a^b x\,f(x)\,dx$ ৰ মান

(A) $\dfrac{a + b}{2}\int_a^b f(b – x)\,dx$    (B) $\dfrac{a + b}{2}\int_a^b f(b + x)\,dx$    (C) $\dfrac{b – a}{2}\int_a^b f(x)\,dx$    (D) $\dfrac{a + b}{2}\int_a^b f(x)\,dx$

উত্তৰঃ শুদ্ধ উত্তৰ (D) $\dfrac{a + b}{2}\int_a^b f(x)\,dx$। ধৰা হ’ল $I = \int_a^b x\,f(x)\,dx$। $P_3$ প্ৰয়োগ কৰি আৰু $f(a + b – x) = f(x)$ ব্যৱহাৰ কৰি $I = \int_a^b (a + b – x)f(x)\,dx$। যোগ কৰি $2I = (a + b)\int_a^b f(x)\,dx$, গতিকে $I = \dfrac{a + b}{2}\int_a^b f(x)\,dx$।

অতিৰিক্ত প্ৰশ্ন আৰু উত্তৰ

বহুবিকল্পযুক্ত প্ৰশ্ন (MCQ)

1. $\int \dfrac{1}{x}\,dx$ ৰ মান হ’ল —

(A) $\log|x| + C$    (B) $-\dfrac{1}{x^2} + C$    (C) $x\log x + C$    (D) $\dfrac{1}{x^2} + C$

উত্তৰঃ (A) $\log|x| + C$।

2. $\int \sec^2 x\,dx$ ৰ মান হ’ল —

(A) $\sec x + C$    (B) $\tan x + C$    (C) $\cot x + C$    (D) $\log|\sec x| + C$

উত্তৰঃ (B) $\tan x + C$।

3. $\int \dfrac{dx}{1 + x^2}$ ৰ মান হ’ল —

(A) $\sin^{-1}x + C$    (B) $\log(1 + x^2) + C$    (C) $\tan^{-1}x + C$    (D) $\dfrac{1}{1 + x^2} + C$

উত্তৰঃ (C) $\tan^{-1}x + C$।

4. $\int \dfrac{dx}{\sqrt{1 – x^2}}$ ৰ মান হ’ল —

(A) $\tan^{-1}x + C$    (B) $\sin^{-1}x + C$    (C) $\sec^{-1}x + C$    (D) $\log|x| + C$

উত্তৰঃ (B) $\sin^{-1}x + C$।

5. $\int \tan x\,dx$ ৰ মান হ’ল —

(A) $\sec^2 x + C$    (B) $\log|\cos x| + C$    (C) $\log|\sec x| + C$    (D) $\log|\sin x| + C$

উত্তৰঃ (C) $\log|\sec x| + C$।

6. $\int_0^{\pi/2} \sin x\,dx$ ৰ মান হ’ল —

(A) 0    (B) 1    (C) $-1$    (D) $\dfrac{\pi}{2}$

উত্তৰঃ (B) 1, কিয়নো $\big[-\cos x\big]_0^{\pi/2} = 0 – (-1) = 1$।

7. $\int a^x\,dx$ ($a > 0$, $a \ne 1$) ৰ মান হ’ল —

(A) $a^x + C$    (B) $\dfrac{a^x}{\log a} + C$    (C) $x\,a^{x-1} + C$    (D) $a^x\log a + C$

উত্তৰঃ (B) $\dfrac{a^x}{\log a} + C$।

8. যদি $f$ এটা অযুগ্ম ফলন হয়, তেন্তে $\int_{-a}^{a} f(x)\,dx$ ৰ মান হ’ল —

(A) $2\int_0^a f(x)\,dx$    (B) $a$    (C) 0    (D) $\int_0^a f(x)\,dx$

উত্তৰঃ (C) 0।

খালী ঠাই পূৰ কৰা

1. অনুকলন হ’ল ______ ৰ বিপৰীত প্ৰক্ৰিয়া।

উত্তৰঃ অৱকলন।

2. $\int \cos x\,dx = $ ______।

উত্তৰঃ $\sin x + C$।

3. $\int_a^a f(x)\,dx = $ ______।

উত্তৰঃ $0$।

4. $\int e^x\big[f(x) + f^{\prime}(x)\big]\,dx = $ ______।

উত্তৰঃ $e^x f(x) + C$।

5. অনিশ্চিত অনুকলত থকা ধ্ৰুৱক $C$ ক ______ ধ্ৰুৱক বোলে।

উত্তৰঃ অনুকল ধ্ৰুৱক (constant of integration)।

সত্য/অসত্য লিখা

1. $\int \dfrac{1}{x}\,dx = \log|x| + C$।

উত্তৰঃ সত্য।

2. $\int_{-a}^{a} x^3\,dx = 0$।

উত্তৰঃ সত্য, কিয়নো $x^3$ এটা অযুগ্ম ফলন।

3. $\dfrac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt = f(a)$।

উত্তৰঃ অসত্য; শুদ্ধ মান হ’ল $f(x)$।

4. $\int_0^{\pi} \sin x\,dx = 0$।

উত্তৰঃ অসত্য; শুদ্ধ মান হ’ল $2$।

5. যুগ্ম ফলন $f$ ৰ বাবে $\int_{-a}^{a} f(x)\,dx = 2\int_0^a f(x)\,dx$।

উত্তৰঃ সত্য।

চমু উত্তৰৰ প্ৰশ্ন

1. মান নিৰ্ণয় কৰাঃ $\int \dfrac{2x}{x^2 + 1}\,dx$।

উত্তৰঃ $t = x^2 + 1$ ধৰিলে $dt = 2x\,dx$, গতিকে অনুকল $= \int \dfrac{dt}{t} = \log(x^2 + 1) + C$।

2. মান নিৰ্ণয় কৰাঃ $\int_0^1 x^2\,dx$।

উত্তৰঃ $\left[\dfrac{x^3}{3}\right]_0^1 = \dfrac{1}{3}$।

3. মান নিৰ্ণয় কৰাঃ $\int e^{2x}\,dx$।

উত্তৰঃ $\dfrac{e^{2x}}{2} + C$।

4. খণ্ডশঃ অনুকলনৰ সূত্ৰটো লিখা।

উত্তৰঃ দুটা ফলন $u$ আৰু $v$ ৰ বাবে $\int u\,v\,dx = u\int v\,dx – \int\left[\dfrac{du}{dx}\int v\,dx\right]dx$; অৰ্থাৎ (প্ৰথম ফলন × দ্বিতীয় ফলনৰ অনুকল) $-$ {প্ৰথম ফলনৰ অৱকলজ × দ্বিতীয় ফলনৰ অনুকল}ৰ অনুকল।

শব্দাৰ্থ

অসমীয়া শব্দEnglish termঅৰ্থ
অনুকলIntegralএটা ফলনৰ অনুকলন প্ৰক্ৰিয়াৰ ফল
অনুকলনIntegrationঅৱকলনৰ বিপৰীত প্ৰক্ৰিয়া
অনিশ্চিত অনুকলIndefinite integralঅনুকল ধ্ৰুৱকসহ সাধাৰণ অনুকল
নিশ্চিত অনুকলDefinite integralদুটা সীমাৰ মাজত সংজ্ঞাবদ্ধ, এটা নিৰ্দিষ্ট মানৰ অনুকল
অনুকল ধ্ৰুৱকConstant of integrationঅনিশ্চিত অনুকলত যোগ হোৱা ধ্ৰুৱক $C$
অনুকল্যIntegrandঅনুকল চিহ্নৰ ভিতৰত থকা ফলন
প্ৰতিস্থাপনSubstitutionচলক সলাই অনুকল সৰল কৰা পদ্ধতি
আংশিক ভগ্নাংশPartial fractionsপৰিমেয় ফলনক সৰল ভগ্নাংশত ভঙা পদ্ধতি
খণ্ডশঃ অনুকলনIntegration by partsদুটা ফলনৰ গুণফলৰ অনুকলনৰ সূত্ৰ
যুগ্ম ফলনEven function$f(-x) = f(x)$ ধৰ্মৰ ফলন
অযুগ্ম ফলনOdd function$f(-x) = -f(x)$ ধৰ্মৰ ফলন
মৌলিক উপপাদ্যFundamental theoremঅনুকল আৰু অৱকলনৰ সম্বন্ধ স্থাপন কৰা উপপাদ্য

Leave a Comment

© 2026. All Rights Reserved.