অৱকলজৰ প্ৰয়োগ — প্ৰশ্ন উত্তৰ
HSLC Guru-লৈ আপোনাক স্বাগতম। এই পাঠত আমি ASSEB Class 12 গণিতৰ ষষ্ঠ অধ্যায় অৱকলজৰ প্ৰয়োগ (Application of Derivatives)ৰ অনুশীলনী 6.1, অনুশীলনী 6.2, অনুশীলনী 6.3 আৰু ষষ্ঠ অধ্যায়ৰ বিবিধ অনুশীলনীৰ সকলো প্ৰশ্নৰ সম্পূৰ্ণ, ধাপে ধাপে সমাধান পাঠ্যপুথিৰ ক্ৰম অনুসৰি দাঙি ধৰিছোঁ।
সাৰাংশ
এই অধ্যায়ত অৱকলজৰ (derivative) বিভিন্ন প্ৰয়োগ অধ্যয়ন কৰা হয়। যদি এটা ৰাশি $y$ আন এটা ৰাশি $x$ ৰ লগত $y = f(x)$ নিয়মেৰে বিচৰণশীল হয়, তেন্তে $\frac{dy}{dx}$ এ $x$ সাপেক্ষে $y$ ৰ পৰিবৰ্তনৰ হাৰ বুজায়, আৰু $\frac{dy}{dx}$ ৰ $x = x_0$ ত থকা মানে সেই বিন্দুত পৰিবৰ্তনৰ হাৰ বুজায়। দুটা চলক $x$ আৰু $y$ যদি আন এটা চলক $t$ ৰ লগত বিচৰণশীল হয়, তেন্তে শৃংখল বিধিৰ (chain rule) পৰা $\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dt} \div \frac{dx}{dt}$, যদি $\frac{dx}{dt} \neq 0$। বৃত্তৰ কালি, ঘনৰ আয়তন, পৃষ্ঠ-কালি, প্ৰান্তিক ব্যয় আৰু প্ৰান্তিক আয়ৰ দৰে ৰাশিৰ পৰিবৰ্তনৰ হাৰ ইয়াৰ দ্বাৰা উলিওৱা হয়।
এটা অন্তৰালত ফলন এটা বৰ্ধমান (increasing) নে হ্ৰাসমান (decreasing) সেয়া অৱকলজেৰে নিৰ্ণয় কৰা হয়। যদি অন্তৰালটোত $f^{\prime}(x) > 0$ হয় তেন্তে ফলনটো বৰ্ধমান, আৰু $f^{\prime}(x) < 0$ হ’লে হ্ৰাসমান হয়; $f^{\prime}(x) = 0$ হ’লে ফলনটো ধ্ৰুৱক হয়। এই ধৰ্ম প্ৰমাণৰ বাবে পঞ্চম অধ্যায়ৰ মাধ্য মান উপপাদ্য ব্যৱহাৰ কৰা হয়।
ফলন এটাৰ স্থানীয় গৰিষ্ঠ (local maxima) আৰু স্থানীয় লঘিষ্ঠ (local minima) বিন্দু উলিয়াবলৈ প্ৰথম অৱকলজ পৰীক্ষা আৰু দ্বিতীয় অৱকলজ পৰীক্ষা ব্যৱহাৰ কৰা হয়। যিবোৰ বিন্দুত $f^{\prime}(c) = 0$ বা $f$ অৱকলনীয় নহয়, সেইবোৰক ক্ৰান্তিক বিন্দু (critical point) বোলা হয়। প্ৰথম অৱকলজ পৰীক্ষাত $f^{\prime}(x)$ ৰ চিন সলনি চাই বিন্দুটো স্থানীয় গৰিষ্ঠ, স্থানীয় লঘিষ্ঠ নে নতি বিন্দু (point of inflection) সেয়া থিৰ কৰা হয়। দ্বিতীয় অৱকলজ পৰীক্ষাত $f^{\prime}(c) = 0$ আৰু $f^{\prime\prime}(c) < 0$ হ’লে স্থানীয় গৰিষ্ঠ, $f^{\prime\prime}(c) > 0$ হ’লে স্থানীয় লঘিষ্ঠ পোৱা যায়।
বন্ধ অন্তৰাল $[a, b]$ ত সংজ্ঞাবদ্ধ অবিচ্ছিন্ন ফলনৰ পৰম গৰিষ্ঠ (absolute maximum) আৰু পৰম লঘিষ্ঠ (absolute minimum) মান উলিয়াবলৈ ক্ৰান্তিক বিন্দু আৰু মূৰ বিন্দুবোৰত $f$ ৰ মান নিৰ্ণয় কৰি সেইবোৰৰ ভিতৰত সৰ্বোচ্চ আৰু সৰ্বনিম্ন মান বাছি লোৱা হয়। এই ধাৰণাবোৰ জ্যামিতি, বিজ্ঞান, অভিযান্ত্ৰিক বিদ্যা আৰু অৰ্থনীতিৰ বহু প্ৰায়োগিক সমস্যাত ব্যৱহাৰ হয়।
Summary: This page provides complete, step-by-step Assamese-medium solutions to ASSEB Class 12 Mathematics Chapter 6, Application of Derivatives, covering Exercise 6.1, Exercise 6.2, Exercise 6.3 and the Miscellaneous Exercise on Chapter 6. It explains rate of change of quantities, increasing and decreasing functions, the first and second derivative tests for local maxima and minima, points of inflection, and absolute maximum and minimum values of a function on a closed interval.
পাঠ্যপুথিৰ প্ৰশ্ন আৰু উত্তৰ
অনুশীলনী 6.1
1. ব্যাসাৰ্ধ $r$ সাপেক্ষে এটা বৃত্তৰ কালিৰ পৰিবৰ্তনৰ হাৰ উলিওৱা যেতিয়া (a) $r = 3$ ছেমি (b) $r = 4$ ছেমি।
উত্তৰঃ বৃত্তৰ কালি $A = \pi r^2$। গতিকে ব্যাসাৰ্ধ সাপেক্ষে কালিৰ পৰিবৰ্তনৰ হাৰ $\frac{dA}{dr} = 2\pi r$।
(a) $r = 3$ হ’লে $\frac{dA}{dr} = 2\pi (3) = 6\pi$ বৰ্গ ছেমি প্ৰতি ছেমি।
(b) $r = 4$ হ’লে $\frac{dA}{dr} = 2\pi (4) = 8\pi$ বৰ্গ ছেমি প্ৰতি ছেমি।
2. এটা ঘনৰ আয়তন প্ৰতি ছেকেণ্ডত $8$ ছেমি³ হাৰে বাঢ়ে। কি হাৰত পৃষ্ঠ-কালি বাঢ়ে উলিওৱা, যেতিয়া এটা দাঁতিৰ দৈৰ্ঘ $12$ ছেমি।
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল দাঁতিৰ দৈৰ্ঘ $x$, আয়তন $V = x^3$ আৰু পৃষ্ঠ-কালি $S = 6x^2$। দিয়া আছে $\frac{dV}{dt} = 8$।
$\frac{dV}{dt} = 3x^2 \frac{dx}{dt} = 8$, গতিকে $\frac{dx}{dt} = \frac{8}{3x^2}$।
$\frac{dS}{dt} = 12x \frac{dx}{dt} = 12x \cdot \frac{8}{3x^2} = \frac{32}{x}$। $x = 12$ হ’লে $\frac{dS}{dt} = \frac{32}{12} = \frac{8}{3}$ বৰ্গ ছেমি প্ৰতি ছেকেণ্ড।
3. এটা বৃত্তৰ ব্যাসাৰ্ধ ছেকেণ্ডত $3$ ছেমি সমহাৰে বাঢ়ে। বৃত্তটোৰ কালি কি হাৰত বাঢ়ে উলিওৱা যেতিয়া ব্যাসাৰ্ধ $10$ ছেমি।
উত্তৰঃ $\frac{dr}{dt} = 3$ ছেমি প্ৰতি ছেকেণ্ড আৰু $A = \pi r^2$। গতিকে $\frac{dA}{dt} = 2\pi r \frac{dr}{dt} = 2\pi (10)(3) = 60\pi$ বৰ্গ ছেমি প্ৰতি ছেকেণ্ড, যেতিয়া $r = 10$।
4. এটা চলক ঘনৰ দাঁতি প্ৰতি ছেকেণ্ডত $3$ ছেমি হাৰে বাঢ়ে। ঘনটোৰ আয়তন কি হাৰত বাঢ়ে উলিওৱা যেতিয়া ইয়াৰ দাঁতিৰ দৈৰ্ঘ $10$ ছেমি।
উত্তৰঃ দাঁতি $x$ হ’লে $\frac{dx}{dt} = 3$ আৰু আয়তন $V = x^3$। গতিকে $\frac{dV}{dt} = 3x^2 \frac{dx}{dt} = 3(10)^2 (3) = 900$ ছেমি³ প্ৰতি ছেকেণ্ড, যেতিয়া $x = 10$।
5. স্থিৰ পানীৰ এটা হ্ৰদত এটা শিলগুটি পেলাই দিয়া হ’ল আৰু প্ৰতি ছেকেণ্ডত $5$ ছেমি দ্ৰুতিৰে টৌবোৰ বৃত্ত হিচাপে চলাচল কৰে। যি মুহূৰ্তত চক্ৰীয় টৌৰ ব্যাসাৰ্ধ $8$ ছেমি, সেই সময়ত অন্তৰ্গত কালি কি হাৰত বাঢ়ে?
উত্তৰঃ $\frac{dr}{dt} = 5$ ছেমি প্ৰতি ছেকেণ্ড আৰু কালি $A = \pi r^2$। গতিকে $\frac{dA}{dt} = 2\pi r \frac{dr}{dt} = 2\pi (8)(5) = 80\pi$ বৰ্গ ছেমি প্ৰতি ছেকেণ্ড, যেতিয়া $r = 8$।
6. এটা বৃত্তৰ ব্যাসাৰ্ধ ছেকেণ্ডত $0.7$ ছেমি হাৰে বাঢ়ে। ইয়াৰ পৰিধিৰ বৃদ্ধিৰ হাৰ কিমান?
উত্তৰঃ পৰিধি $C = 2\pi r$ আৰু $\frac{dr}{dt} = 0.7$। গতিকে $\frac{dC}{dt} = 2\pi \frac{dr}{dt} = 2\pi (0.7) = 1.4\pi$ ছেমি প্ৰতি ছেকেণ্ড।
7. এটা আয়তৰ দৈৰ্ঘ $x$, মিনিটত $5$ ছেমি হাৰে কমে আৰু প্ৰস্থ $y$, মিনিটত $4$ ছেমি হাৰে বাঢ়ে। যেতিয়া $x = 8$ ছেমি আৰু $y = 6$ ছেমি, আয়তটোৰ (a) পৰিসীমা, (b) কালিৰ পৰিবৰ্তনৰ হাৰ উলিওৱা।
উত্তৰঃ দৈৰ্ঘ কমি আছে গতিকে $\frac{dx}{dt} = -5$ আৰু প্ৰস্থ বাঢ়ি আছে গতিকে $\frac{dy}{dt} = 4$ (ছেমি প্ৰতি মিনিট)।
(a) পৰিসীমা $P = 2(x + y)$, গতিকে $\frac{dP}{dt} = 2\left(\frac{dx}{dt} + \frac{dy}{dt}\right) = 2(-5 + 4) = -2$ ছেমি প্ৰতি মিনিট। অৰ্থাৎ পৰিসীমা প্ৰতি মিনিটত $2$ ছেমিকৈ কমি আছে।
(b) কালি $A = xy$, গতিকে $\frac{dA}{dt} = x\frac{dy}{dt} + y\frac{dx}{dt} = 8(4) + 6(-5) = 32 – 30 = 2$ বৰ্গ ছেমি প্ৰতি মিনিট। অৰ্থাৎ কালি প্ৰতি মিনিটত $2$ বৰ্গ ছেমিকৈ বাঢ়ি আছে।
8. এটা বেলুন ফুলালেও গোলাকাৰ হৈ থাকে। প্ৰতি ছেকেণ্ডত $900$ ঘন ছেণ্টিমিটাৰ গেছ পাম্প কৰি বেলুনটো ফুলোৱা হ’ল। বেলুনটোৰ ব্যাসাৰ্ধ কি হাৰত বৃদ্ধি হয় উলিওৱা যেতিয়া ব্যাসাৰ্ধ $15$ ছেমি।
উত্তৰঃ গোলকৰ আয়তন $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ আৰু $\frac{dV}{dt} = 900$।
$\frac{dV}{dt} = 4\pi r^2 \frac{dr}{dt}$, গতিকে $900 = 4\pi (15)^2 \frac{dr}{dt} = 900\pi \frac{dr}{dt}$। গতিকে $\frac{dr}{dt} = \frac{1}{\pi}$ ছেমি প্ৰতি ছেকেণ্ড।
9. এটা বেলুন সদায় গোলাকাৰ হৈ থাকে আৰু ইয়াৰ ব্যাসাৰ্ধ পৰিবৰ্তনশীল। ইয়াৰ আয়তন ব্যাসাৰ্ধ সাপেক্ষে কি হাৰত বাঢ়ে উলিওৱা যেতিয়া ব্যাসাৰ্ধ $10$ ছেমি।
উত্তৰঃ $V = \frac{4}{3}\pi r^3$, গতিকে $\frac{dV}{dr} = 4\pi r^2 = 4\pi (10)^2 = 400\pi$ ছেমি³ প্ৰতি ছেমি, যেতিয়া $r = 10$।
10. $5$ মিটাৰ দৈৰ্ঘৰ এটা জখলা দেৱাল এখনত হালি আছে। প্ৰতি ছেকেণ্ডত $2$ ছেমি হাৰে জখলাডালৰ তলটো দেৱালখনৰ পৰা টানি অনা হ’ল। দেৱালখনৰ উচ্চতা কি হাৰত কমি আহে যেতিয়া জখলাৰ গুৰিটো দেৱালখনৰ পৰা $4$ মিটাৰ আঁতৰত থাকে?
উত্তৰঃ জখলাৰ গুৰিৰ দূৰত্ব $x$ আৰু দেৱালত উচ্চতা $y$ হ’লে $x^2 + y^2 = 25$ (দৈৰ্ঘ $5$ মিটাৰ)। ইয়াক $t$ সাপেক্ষে অৱকলন কৰি $2x\frac{dx}{dt} + 2y\frac{dy}{dt} = 0$, গতিকে $\frac{dy}{dt} = -\frac{x}{y}\frac{dx}{dt}$।
$x = 4$ হ’লে $y = \sqrt{25 – 16} = 3$ মিটাৰ। $\frac{dx}{dt} = 2$ ছেমি প্ৰতি ছেকেণ্ড। গতিকে $\frac{dy}{dt} = -\frac{4}{3}(2) = -\frac{8}{3}$ ছেমি প্ৰতি ছেকেণ্ড। অৰ্থাৎ দেৱালত উচ্চতা প্ৰতি ছেকেণ্ডত $\frac{8}{3}$ ছেমিকৈ কমি আহে।
11. এটা কণিকা $6y = x^3 + 2$ বক্ৰ চলাচল কৰে। বক্ৰটোৰ সেই বিন্দু (বোৰ) উলিওৱা য’ত $x$-স্থানাংকতকৈ $8$ গুণ বেছি বেগত $y$-স্থানাংক পৰিবৰ্তিত হয়।
উত্তৰঃ দিয়া আছে $\frac{dy}{dt} = 8\frac{dx}{dt}$। $6y = x^3 + 2$ ক $t$ সাপেক্ষে অৱকলন কৰি $6\frac{dy}{dt} = 3x^2\frac{dx}{dt}$, গতিকে $\frac{dy}{dt} = \frac{x^2}{2}\frac{dx}{dt}$।
গতিকে $\frac{x^2}{2} = 8$, অৰ্থাৎ $x^2 = 16$, গতিকে $x = 4$ বা $x = -4$।
$x = 4$ হ’লে $6y = 64 + 2 = 66$, গতিকে $y = 11$; বিন্দুটো $(4, 11)$। $x = -4$ হ’লে $6y = -64 + 2 = -62$, গতিকে $y = -\frac{31}{3}$; বিন্দুটো $\left(-4, -\frac{31}{3}\right)$।
12. এটা বায়ুৰ বুৰবুৰণিৰ ব্যাসাৰ্ধ প্ৰতি ছেকেণ্ডত $\frac{1}{2}$ ছেমিকৈ বাঢ়ে। বুৰবুৰণিটোৰ আয়তন কি হাৰত বাঢ়ে উলিওৱা যেতিয়া ব্যাসাৰ্ধ $1$ ছেমি।
উত্তৰঃ $\frac{dr}{dt} = \frac{1}{2}$ আৰু $V = \frac{4}{3}\pi r^3$। গতিকে $\frac{dV}{dt} = 4\pi r^2 \frac{dr}{dt} = 4\pi (1)^2 \left(\frac{1}{2}\right) = 2\pi$ ছেমি³ প্ৰতি ছেকেণ্ড, যেতিয়া $r = 1$।
13. এটা বেলুন সদায় গোলাকাৰ হৈ থাকে আৰু ইয়াৰ পৰিবৰ্তনশীল ব্যাস $\frac{3}{2}(2x + 1)$। $x$ সাপেক্ষে ইয়াৰ আয়তন পৰিবৰ্তনৰ হাৰ উলিওৱা।
উত্তৰঃ ব্যাস $\frac{3}{2}(2x + 1)$, গতিকে ব্যাসাৰ্ধ $r = \frac{3}{4}(2x + 1)$।
$V = \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot \frac{27}{64}(2x + 1)^3 = \frac{9\pi}{16}(2x + 1)^3$।
$\frac{dV}{dx} = \frac{9\pi}{16} \cdot 3(2x + 1)^2 \cdot 2 = \frac{27\pi}{8}(2x + 1)^2$।
14. এডাল পাইপৰ পৰা $12$ ছেমি³ প্ৰতি ছেকেণ্ড হাৰে বালি পৰি আছে। পৰা বালিবোৰে মাটিত এটা শংকুৰ সৃষ্টি কৰে আৰু শংকুটোৰ উচ্চতা সদায় ভূমিৰ ব্যাসাৰ্ধৰ এক-ষষ্ঠাংশ। কি হাৰত বালিৰ শংকুটোৰ উচ্চতা বাঢ়ে উলিওৱা যেতিয়া উচ্চতা $4$ ছেমি।
উত্তৰঃ দিয়া আছে $h = \frac{1}{6}r$, গতিকে $r = 6h$। শংকুৰ আয়তন $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\pi (6h)^2 h = 12\pi h^3$।
$\frac{dV}{dt} = 36\pi h^2 \frac{dh}{dt} = 12$, গতিকে $\frac{dh}{dt} = \frac{12}{36\pi h^2} = \frac{1}{3\pi h^2}$। $h = 4$ হ’লে $\frac{dh}{dt} = \frac{1}{3\pi (16)} = \frac{1}{48\pi}$ ছেমি প্ৰতি ছেকেণ্ড।
15. এটা সামগ্ৰীৰ $x$ একক উৎপাদনৰ মুঠ খৰচ $C(x)$ (টকাত) এনেদৰে দিয়া আছে $C(x) = 0.007x^3 – 0.003x^2 + 15x + 4000$। প্ৰান্তিক ব্যয় উলিওৱা যেতিয়া $17$ একক উৎপাদন হয়।
উত্তৰঃ প্ৰান্তিক ব্যয় $MC = \frac{dC}{dx} = 0.021x^2 – 0.006x + 15$।
$x = 17$ হ’লে $MC = 0.021(17)^2 – 0.006(17) + 15 = 6.069 – 0.102 + 15 = 20.967$ টকা।
16. এটা সামগ্ৰীৰ $x$ একক বিক্ৰী কৰি পোৱা মুঠ আয় $R(x)$ এনেদৰে দিয়া আছে $R(x) = 13x^2 + 26x + 15$। প্ৰান্তিক আয় উলিওৱা যেতিয়া $x = 7$।
উত্তৰঃ প্ৰান্তিক আয় $MR = \frac{dR}{dx} = 26x + 26$। $x = 7$ হ’লে $MR = 26(7) + 26 = 182 + 26 = 208$ টকা।
অনুশীলনী 17 আৰু 18 ত শুদ্ধ উত্তৰটো বাছি উলিওৱা।
17. $r = 6$ হ’লে, ব্যাসাৰ্ধ $r$ সাপেক্ষে এটা বৃত্তৰ কালিৰ পৰিবৰ্তনৰ হাৰ হ’ল
(A) $10\pi$ (B) $12\pi$ (C) $8\pi$ (D) $11\pi$
উত্তৰঃ (B) $12\pi$। $A = \pi r^2$ হ’লে $\frac{dA}{dr} = 2\pi r$; $r = 6$ ত $\frac{dA}{dr} = 2\pi (6) = 12\pi$।
18. এটা সামগ্ৰীৰ $x$ একক বিক্ৰী কৰি পোৱা মুঠ আয় $R(x) = 3x^2 + 36x + 5$। যেতিয়া $x = 15$, প্ৰান্তিক আয় হ’ল
(A) $116$ (B) $96$ (C) $90$ (D) $126$
উত্তৰঃ (D) $126$। $MR = \frac{dR}{dx} = 6x + 36$; $x = 15$ ত $MR = 6(15) + 36 = 90 + 36 = 126$।
অনুশীলনী 6.2
1. দেখুওৱা যে $f(x) = 3x + 17$ ৰ দ্বাৰা নিৰ্দিষ্ট ফলনটো $\mathbf{R}$ ত সতত বৰ্ধমান।
উত্তৰঃ $f^{\prime}(x) = 3 > 0$ সকলো $x \in \mathbf{R}$ ৰ বাবে। গতিকে $f$ ফলনটো $\mathbf{R}$ ত সতত বৰ্ধমান।
2. দেখুওৱা যে $f(x) = e^{2x}$ ৰ দ্বাৰা নিৰ্দিষ্ট ফলনটো $\mathbf{R}$ ত সতত বৰ্ধমান।
উত্তৰঃ $f^{\prime}(x) = 2e^{2x}$। যিহেতু সকলো $x$ ৰ বাবে $e^{2x} > 0$, গতিকে $f^{\prime}(x) > 0$। সেয়ে $f$ ফলনটো $\mathbf{R}$ ত সতত বৰ্ধমান।
3. দেখুওৱা যে $f(x) = \sin x$ ৰ দ্বাৰা নিৰ্দিষ্ট ফলনটো (a) $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ ত সতত বৰ্ধমান (b) $\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$ ত সতত হ্ৰাসমান (c) $(0, \pi)$ ত বৰ্ধমানো নহয়, হ্ৰাসমানো নহয়।
উত্তৰঃ $f^{\prime}(x) = \cos x$।
(a) $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ ত $\cos x > 0$, গতিকে $f^{\prime}(x) > 0$; সেয়ে $f$ সতত বৰ্ধমান।
(b) $\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$ ত $\cos x < 0$, গতিকে $f^{\prime}(x) < 0$; সেয়ে $f$ সতত হ্ৰাসমান।
(c) $(0, \pi)$ ত $f^{\prime}(x)$ এ চিন সলনি কৰে, গতিকে $f$ এই অন্তৰালত বৰ্ধমানো নহয়, হ্ৰাসমানো নহয়।
4. $f(x) = 2x^2 – 3x$ ৰ দ্বাৰা নিৰ্দিষ্ট $f$ ফলনটো কোন অন্তৰালত (a) সতত বৰ্ধমান (b) সতত হ্ৰাসমান উলিওৱা।
উত্তৰঃ $f^{\prime}(x) = 4x – 3$। $f^{\prime}(x) = 0$ ৰ পৰা $x = \frac{3}{4}$।
(a) $x > \frac{3}{4}$ ত $f^{\prime}(x) > 0$, গতিকে $\left(\frac{3}{4}, \infty\right)$ ত সতত বৰ্ধমান।
(b) $x < \frac{3}{4}$ ত $f^{\prime}(x) < 0$, গতিকে $\left(-\infty, \frac{3}{4}\right)$ ত সতত হ্ৰাসমান।
5. $f(x) = 2x^3 – 3x^2 – 36x + 7$ ৰ দ্বাৰা নিৰ্দিষ্ট $f$ ফলনটো কোন অন্তৰালত (a) সতত বৰ্ধমান (b) সতত হ্ৰাসমান।
উত্তৰঃ $f^{\prime}(x) = 6x^2 – 6x – 36 = 6(x – 3)(x + 2)$। $f^{\prime}(x) = 0$ ৰ পৰা $x = -2$ আৰু $x = 3$।
(a) $(-\infty, -2)$ আৰু $(3, \infty)$ ত $f^{\prime}(x) > 0$, গতিকে ইয়াত সতত বৰ্ধমান।
(b) $(-2, 3)$ ত $f^{\prime}(x) < 0$, গতিকে ইয়াত সতত হ্ৰাসমান।
6. অধোলিখিত ফলনবোৰ কোন অন্তৰালত সতত বৰ্ধমান বা হ্ৰাসমান উলিওৱা।
(a) $x^2 + 2x – 5$
উত্তৰঃ $f^{\prime}(x) = 2x + 2 = 2(x + 1)$। $x > -1$ ত বৰ্ধমান $(-1, \infty)$; $x < -1$ ত হ্ৰাসমান $(-\infty, -1)$।
(b) $10 – 6x – 2x^2$
উত্তৰঃ $f^{\prime}(x) = -6 – 4x = -2(2x + 3)$। $f^{\prime}(x) = 0$ ৰ পৰা $x = -\frac{3}{2}$। $x < -\frac{3}{2}$ ত বৰ্ধমান $\left(-\infty, -\frac{3}{2}\right)$; $x > -\frac{3}{2}$ ত হ্ৰাসমান $\left(-\frac{3}{2}, \infty\right)$।
(c) $-2x^3 – 9x^2 – 12x + 1$
উত্তৰঃ $f^{\prime}(x) = -6x^2 – 18x – 12 = -6(x + 1)(x + 2)$। $f^{\prime}(x) = 0$ ৰ পৰা $x = -1, -2$। $(-2, -1)$ ত $f^{\prime}(x) > 0$ (বৰ্ধমান); $(-\infty, -2)$ আৰু $(-1, \infty)$ ত $f^{\prime}(x) < 0$ (হ্ৰাসমান)।
(d) $6 – 9x – x^2$
উত্তৰঃ $f^{\prime}(x) = -9 – 2x = -(2x + 9)$। $f^{\prime}(x) = 0$ ৰ পৰা $x = -\frac{9}{2}$। $x < -\frac{9}{2}$ ত বৰ্ধমান $\left(-\infty, -\frac{9}{2}\right)$; $x > -\frac{9}{2}$ ত হ্ৰাসমান $\left(-\frac{9}{2}, \infty\right)$।
(e) $(x + 1)^3 (x – 3)^3$
উত্তৰঃ $f^{\prime}(x) = 3(x + 1)^2 (x – 3)^3 + 3(x + 1)^3 (x – 3)^2 = 3(x + 1)^2 (x – 3)^2 (2x – 2) = 6(x + 1)^2 (x – 3)^2 (x – 1)$। যিহেতু $(x + 1)^2 \geq 0$ আৰু $(x – 3)^2 \geq 0$, $f^{\prime}(x)$ ৰ চিন $(x – 1)$ ৰ চিনৰ সৈতে একে। গতিকে $f$ $(-\infty, 1)$ ত হ্ৰাসমান আৰু $(1, \infty)$ ত বৰ্ধমান ($x = -1, 3$ ত $f^{\prime}(x) = 0$)।
7. দেখুওৱা যে $y = \log(1 + x) – \frac{2x}{2 + x}$, $x > -1$, ইয়াৰ আদিক্ষেত্ৰত এটা $x$ ৰ বৰ্ধমান ফলন।
উত্তৰঃ $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + x} – \frac{(2 + x) \cdot 2 – 2x \cdot 1}{(2 + x)^2} = \frac{1}{1 + x} – \frac{4}{(2 + x)^2}$।
$= \frac{(2 + x)^2 – 4(1 + x)}{(1 + x)(2 + x)^2} = \frac{4 + 4x + x^2 – 4 – 4x}{(1 + x)(2 + x)^2} = \frac{x^2}{(1 + x)(2 + x)^2}$।
$x > -1$ ৰ বাবে $(1 + x) > 0$, $(2 + x)^2 > 0$ আৰু $x^2 \geq 0$, গতিকে $\frac{dy}{dx} \geq 0$। সেয়ে $y$ ইয়াৰ আদিক্ষেত্ৰত বৰ্ধমান ফলন।
8. $x$ কি মানৰ বাবে $y = [x(x – 2)]^2$ এটা বৰ্ধমান ফলন উলিওৱা।
উত্তৰঃ $\frac{dy}{dx} = 2[x(x – 2)](2x – 2) = 4x(x – 1)(x – 2)$।
ফলনটো বৰ্ধমান হ’বলৈ $\frac{dy}{dx} > 0$, অৰ্থাৎ $x(x – 1)(x – 2) > 0$। চিন বিশ্লেষণেৰে পোৱা যায় ই ধনাত্মক হয় যেতিয়া $0 < x < 1$ বা $x > 2$। গতিকে $y$ বৰ্ধমান $(0, 1)$ আৰু $(2, \infty)$ অন্তৰালত।
9. প্ৰমাণ কৰা যে $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ ত $y = \frac{4\sin \theta}{2 + \cos \theta} – \theta$ ফলনটো $\theta$ ৰ এটা বৰ্ধমান ফলন।
উত্তৰঃ $\frac{dy}{d\theta} = \frac{(2 + \cos\theta)(4\cos\theta) – 4\sin\theta(-\sin\theta)}{(2 + \cos\theta)^2} – 1 = \frac{8\cos\theta + 4\cos^2\theta + 4\sin^2\theta}{(2 + \cos\theta)^2} – 1$।
$= \frac{8\cos\theta + 4}{(2 + \cos\theta)^2} – 1 = \frac{8\cos\theta + 4 – (2 + \cos\theta)^2}{(2 + \cos\theta)^2} = \frac{4\cos\theta – \cos^2\theta}{(2 + \cos\theta)^2} = \frac{\cos\theta(4 – \cos\theta)}{(2 + \cos\theta)^2}$।
$\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ ত $\cos\theta \geq 0$ আৰু $(4 – \cos\theta) > 0$, লগতে হৰটো ধনাত্মক। গতিকে $\frac{dy}{d\theta} \geq 0$; সেয়ে $y$ এই অন্তৰালত বৰ্ধমান ফলন।
10. প্ৰমাণ কৰা যে $(0, \infty)$ ত ঘাতাংকীয় ফলনটো এটা সতত বৰ্ধমান ফলন।
উত্তৰঃ লগাৰিদম (ঘাতাংকীয়) ফলন $f(x) = \log x$ ৰ বাবে $f^{\prime}(x) = \frac{1}{x}$। $x > 0$ ৰ বাবে $\frac{1}{x} > 0$, গতিকে $f^{\prime}(x) > 0$। সেয়ে ফলনটো $(0, \infty)$ ত সতত বৰ্ধমান।
11. প্ৰমাণ কৰা যে $f(x) = x^2 – x + 1$ ৰ দ্বাৰা নিৰ্দিষ্ট $f$ ফলনটো $(-1, 1)$ ত সতত বৰ্ধমানো নহয়, সতত হ্ৰাসমানো নহয়।
উত্তৰঃ $f^{\prime}(x) = 2x – 1$। $f^{\prime}(x) = 0$ ৰ পৰা $x = \frac{1}{2}$।
$\left(-1, \frac{1}{2}\right)$ ত $f^{\prime}(x) < 0$ (হ্ৰাসমান) আৰু $\left(\frac{1}{2}, 1\right)$ ত $f^{\prime}(x) > 0$ (বৰ্ধমান)। যিহেতু $(-1, 1)$ ত $f^{\prime}(x)$ এ চিন সলনি কৰে, গতিকে $f$ এই অন্তৰালত বৰ্ধমানো নহয়, হ্ৰাসমানো নহয়।
12. অধোলিখিত ফলনবোৰৰ কোনবোৰ $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ অন্তৰালত সতত হ্ৰাসমান?
(A) $\cos x$ (B) $\cos 2x$ (C) $\cos 3x$ (D) $\tan x$
উত্তৰঃ (A) আৰু (B)।
(A) $\frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x < 0$ সমগ্ৰ $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ ত — হ্ৰাসমান।
(B) $\frac{d}{dx}(\cos 2x) = -2\sin 2x$; $x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ ত $2x \in (0, \pi)$, গতিকে $\sin 2x > 0$ আৰু ডেৰিভেটিভ ঋণাত্মক — হ্ৰাসমান।
(C) $\frac{d}{dx}(\cos 3x) = -3\sin 3x$; $3x \in \left(0, \frac{3\pi}{2}\right)$ ত $\sin 3x$ এ চিন সলনি কৰে, গতিকে সমগ্ৰ অন্তৰালত হ্ৰাসমান নহয়। (D) $\frac{d}{dx}(\tan x) = \sec^2 x > 0$ — বৰ্ধমান।
13. $f(x) = x^{100} + \sin x – 1$ ৰ দ্বাৰা নিৰ্দিষ্ট $f$ ফলনটো তলৰ কোনবোৰ অন্তৰালত সতত হ্ৰাসমান?
(A) $(0, 1)$ (B) $\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$ (C) $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ (D) এইবোৰৰ এটাও নহয়
উত্তৰঃ (D) এইবোৰৰ এটাও নহয়। $f^{\prime}(x) = 100x^{99} + \cos x$।
$(0, 1)$ ত $100x^{99} > 0$ আৰু $\cos x > 0$, গতিকে $f^{\prime}(x) > 0$ (বৰ্ধমান)। $\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$ আৰু $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ ততো $100x^{99}$ ৰ বৃহৎ ধনাত্মক মানৰ বাবে $f^{\prime}(x) > 0$। গতিকে কোনো অন্তৰালতে হ্ৰাসমান নহয়।
14. $f(x) = x^2 + ax + 1$ ৰ দ্বাৰা নিৰ্দিষ্ট $f$ ফলনটো $(1, 2)$ ত সতত বৰ্ধমান হ’লে $a$ ৰ সৰ্বনিম্ন মান উলিওৱা।
উত্তৰঃ $f^{\prime}(x) = 2x + a$। $(1, 2)$ ত সতত বৰ্ধমান হ’বলৈ $f^{\prime}(x) > 0$, অৰ্থাৎ $2x + a > 0$ সকলো $x \in (1, 2)$ ৰ বাবে। $2x$ ৰ সৰ্বনিম্ন মান $x \to 1$ ত $2$, গতিকে $2 + a \geq 0$, অৰ্থাৎ $a \geq -2$। সেয়ে $a$ ৰ সৰ্বনিম্ন মান $-2$।
15. ধৰা হ’ল $I$ এটা অন্তৰাল আৰু ই $(-1, 1)$ ৰ লগত অসংযুক্ত। প্ৰমাণ কৰা যে $f(x) = x + \frac{1}{x}$ ৰ দ্বাৰা নিৰ্দিষ্ট $f$ ফলনটো $I$ ত সতত বৰ্ধমান।
উত্তৰঃ $f^{\prime}(x) = 1 – \frac{1}{x^2} = \frac{x^2 – 1}{x^2}$। $I$ $(-1, 1)$ ৰ লগত অসংযুক্ত হোৱাত $|x| > 1$, অৰ্থাৎ $x^2 > 1$, গতিকে $x^2 – 1 > 0$ আৰু $x^2 > 0$। সেয়ে $f^{\prime}(x) > 0$; $f$ $I$ ত সতত বৰ্ধমান।
16. প্ৰমাণ কৰা যে $f(x) = \log \sin x$ ৰ দ্বাৰা নিৰ্দিষ্ট $f$ ফলনটো $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ ত সতত বৰ্ধমান আৰু $\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$ ত সতত হ্ৰাসমান।
উত্তৰঃ $f^{\prime}(x) = \frac{\cos x}{\sin x} = \cot x$।
$\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ ত $\cot x > 0$, গতিকে $f^{\prime}(x) > 0$ — সতত বৰ্ধমান। $\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$ ত $\cot x < 0$, গতিকে $f^{\prime}(x) < 0$ — সতত হ্ৰাসমান।
17. প্ৰমাণ কৰা যে $f(x) = \log |\cos x|$ ৰ দ্বাৰা নিৰ্দিষ্ট $f$ ফলনটো $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ ত সতত হ্ৰাসমান আৰু $\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$ ত সতত বৰ্ধমান।
উত্তৰঃ $f^{\prime}(x) = \frac{1}{\cos x}(-\sin x) = -\tan x$।
$\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ ত $\tan x > 0$, গতিকে $f^{\prime}(x) = -\tan x < 0$ — সতত হ্ৰাসমান। $\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$ ত $\tan x < 0$, গতিকে $f^{\prime}(x) = -\tan x > 0$ — সতত বৰ্ধমান।
18. প্ৰমাণ কৰা যে $f(x) = x^3 – 3x^2 + 3x – 100$ ৰ দ্বাৰা নিৰ্দিষ্ট ফলনটো $\mathbf{R}$ ত বৰ্ধমান।
উত্তৰঃ $f^{\prime}(x) = 3x^2 – 6x + 3 = 3(x^2 – 2x + 1) = 3(x – 1)^2 \geq 0$ সকলো $x \in \mathbf{R}$ ৰ বাবে। গতিকে $f$ $\mathbf{R}$ ত বৰ্ধমান।
19. যি অন্তৰালত $y = x^2 e^{-x}$ বৰ্ধমান সেইটো হ’ল
(A) $(-\infty, \infty)$ (B) $(-2, 0)$ (C) $(2, \infty)$ (D) $(0, 2)$
উত্তৰঃ (D) $(0, 2)$। $\frac{dy}{dx} = 2x e^{-x} + x^2(-e^{-x}) = e^{-x}(2x – x^2) = e^{-x} \cdot x(2 – x)$। যিহেতু $e^{-x} > 0$, চিন $x(2 – x)$ ৰ ওপৰত নিৰ্ভৰ কৰে, যি $0 < x < 2$ ত ধনাত্মক। গতিকে $y$ $(0, 2)$ ত বৰ্ধমান।
অনুশীলনী 6.3
1. অধোলিখিত ফলনবোৰৰ গৰিষ্ঠ আৰু লঘিষ্ঠ মান, যদি আছে উলিওৱা।
(i) $f(x) = (2x – 1)^2 + 3$
উত্তৰঃ $(2x – 1)^2 \geq 0$, গতিকে $f(x) \geq 3$। $x = \frac{1}{2}$ ত লঘিষ্ঠ মান $3$। গৰিষ্ঠ মান নাই।
(ii) $f(x) = 9x^2 + 12x + 2$
উত্তৰঃ $f(x) = 9\left(x + \frac{2}{3}\right)^2 – 2 \geq -2$। $x = -\frac{2}{3}$ ত লঘিষ্ঠ মান $-2$। গৰিষ্ঠ মান নাই।
(iii) $f(x) = -(x – 1)^2 + 10$
উত্তৰঃ $-(x – 1)^2 \leq 0$, গতিকে $f(x) \leq 10$। $x = 1$ ত গৰিষ্ঠ মান $10$। লঘিষ্ঠ মান নাই।
(iv) $g(x) = x^3 + 1$
উত্তৰঃ $x \to \infty$ ত $g(x) \to \infty$ আৰু $x \to -\infty$ ত $g(x) \to -\infty$। গতিকে ফলনটোৰ গৰিষ্ঠ মানো নাই, লঘিষ্ঠ মানো নাই।
2. অধোলিখিত ফলনবোৰৰ গৰিষ্ঠ আৰু লঘিষ্ঠ মান, যদি আছে, উলিওৱা।
(i) $f(x) = |x + 2| – 1$
উত্তৰঃ $|x + 2| \geq 0$, গতিকে $f(x) \geq -1$। $x = -2$ ত লঘিষ্ঠ মান $-1$। গৰিষ্ঠ মান নাই।
(ii) $g(x) = -|x + 1| + 3$
উত্তৰঃ $-|x + 1| \leq 0$, গতিকে $g(x) \leq 3$। $x = -1$ ত গৰিষ্ঠ মান $3$। লঘিষ্ঠ মান নাই।
(iii) $h(x) = \sin(2x) + 5$
উত্তৰঃ $-1 \leq \sin 2x \leq 1$, গতিকে $4 \leq h(x) \leq 6$। গৰিষ্ঠ মান $6$ (যেতিয়া $\sin 2x = 1$) আৰু লঘিষ্ঠ মান $4$ (যেতিয়া $\sin 2x = -1$)।
(iv) $f(x) = |\sin 4x + 3|$
উত্তৰঃ $-1 \leq \sin 4x \leq 1$, গতিকে $2 \leq \sin 4x + 3 \leq 4$; সদায় ধনাত্মক হোৱাত $f(x) = \sin 4x + 3$। গৰিষ্ঠ মান $4$ আৰু লঘিষ্ঠ মান $2$।
(v) $h(x) = x + 1$, $x \in (-1, 1)$
উত্তৰঃ মুক্ত অন্তৰাল $(-1, 1)$ ত ফলনটো সতত বৰ্ধমান কিন্তু মূৰ বিন্দু অন্তৰালত নাথাকে, গতিকে গৰিষ্ঠ মানো নাই, লঘিষ্ঠ মানো নাই।
3. অধোলিখিত ফলনবোৰৰ স্থানীয় গৰিষ্ঠ আৰু স্থানীয় লঘিষ্ঠ বিন্দু, যদি আছে, উলিওৱা। লগতে স্থানীয় গৰিষ্ঠ মান বা স্থানীয় লঘিষ্ঠ মান (যিটো হয়) উলিওৱা।
(i) $f(x) = x^2$
উত্তৰঃ $f^{\prime}(x) = 2x = 0$ ৰ পৰা $x = 0$। $f^{\prime\prime}(x) = 2 > 0$, গতিকে $x = 0$ স্থানীয় লঘিষ্ঠ বিন্দু, স্থানীয় লঘিষ্ঠ মান $f(0) = 0$।
(ii) $g(x) = x^3 – 3x$
উত্তৰঃ $g^{\prime}(x) = 3x^2 – 3 = 3(x – 1)(x + 1) = 0$ ৰ পৰা $x = \pm 1$। $g^{\prime\prime}(x) = 6x$। $x = 1$ ত $g^{\prime\prime} = 6 > 0$ — স্থানীয় লঘিষ্ঠ, মান $g(1) = -2$। $x = -1$ ত $g^{\prime\prime} = -6 < 0$ — স্থানীয় গৰিষ্ঠ, মান $g(-1) = 2$।
(iii) $h(x) = \sin x + \cos x$, $0 < x < \frac{\pi}{2}$
উত্তৰঃ $h^{\prime}(x) = \cos x – \sin x = 0$ ৰ পৰা $\tan x = 1$, অৰ্থাৎ $x = \frac{\pi}{4}$। $h^{\prime\prime}(x) = -\sin x – \cos x < 0$ ইয়াত। গতিকে $x = \frac{\pi}{4}$ স্থানীয় গৰিষ্ঠ বিন্দু, মান $h\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$।
(iv) $f(x) = \sin x – \cos x$, $0 < x < 2\pi$
উত্তৰঃ $f^{\prime}(x) = \cos x + \sin x = 0$ ৰ পৰা $\tan x = -1$, অৰ্থাৎ $x = \frac{3\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$। $f^{\prime\prime}(x) = -\sin x + \cos x$। $x = \frac{3\pi}{4}$ ত $f^{\prime\prime} = -\sqrt{2} < 0$ — স্থানীয় গৰিষ্ঠ, মান $\sqrt{2}$। $x = \frac{7\pi}{4}$ ত $f^{\prime\prime} = \sqrt{2} > 0$ — স্থানীয় লঘিষ্ঠ, মান $-\sqrt{2}$।
(v) $f(x) = x^3 – 6x^2 + 9x + 15$
উত্তৰঃ $f^{\prime}(x) = 3x^2 – 12x + 9 = 3(x – 1)(x – 3) = 0$ ৰ পৰা $x = 1, 3$। $f^{\prime\prime}(x) = 6x – 12$। $x = 1$ ত $f^{\prime\prime} = -6 < 0$ — স্থানীয় গৰিষ্ঠ, মান $f(1) = 19$। $x = 3$ ত $f^{\prime\prime} = 6 > 0$ — স্থানীয় লঘিষ্ঠ, মান $f(3) = 15$।
(vi) $g(x) = \frac{x}{2} + \frac{2}{x}$, $x > 0$
উত্তৰঃ $g^{\prime}(x) = \frac{1}{2} – \frac{2}{x^2} = 0$ ৰ পৰা $x^2 = 4$, অৰ্থাৎ $x = 2$ ($x > 0$)। $g^{\prime\prime}(x) = \frac{4}{x^3} > 0$ ইয়াত — স্থানীয় লঘিষ্ঠ, মান $g(2) = 1 + 1 = 2$।
(vii) $g(x) = \frac{1}{x^2 + 2}$
উত্তৰঃ $g^{\prime}(x) = \frac{-2x}{(x^2 + 2)^2} = 0$ ৰ পৰা $x = 0$। $x < 0$ ত $g^{\prime} > 0$ আৰু $x > 0$ ত $g^{\prime} < 0$, গতিকে $x = 0$ স্থানীয় গৰিষ্ঠ বিন্দু, মান $g(0) = \frac{1}{2}$।
(viii) $f(x) = x\sqrt{1 – x}$, $0 < x < 1$
উত্তৰঃ $f^{\prime}(x) = \sqrt{1 – x} – \frac{x}{2\sqrt{1 – x}} = \frac{2(1 – x) – x}{2\sqrt{1 – x}} = \frac{2 – 3x}{2\sqrt{1 – x}}$। $f^{\prime}(x) = 0$ ৰ পৰা $x = \frac{2}{3}$। ইয়াৰ বাওঁফালে $f^{\prime} > 0$, সোঁফালে $f^{\prime} < 0$ — স্থানীয় গৰিষ্ঠ বিন্দু, মান $f\left(\frac{2}{3}\right) = \frac{2}{3}\sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{2}{3\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{9}$।
4. প্ৰমাণ কৰা যে তলৰ ফলনবোৰৰ গৰিষ্ঠ বা লঘিষ্ঠ মান নাই।
(i) $f(x) = e^x$
উত্তৰঃ $f^{\prime}(x) = e^x > 0$ সকলো $x$ ৰ বাবে। কোনো ক্ৰান্তিক বিন্দু নাই আৰু ফলনটো সতত বৰ্ধমান, গতিকে গৰিষ্ঠ বা লঘিষ্ঠ মান নাই।
(ii) $g(x) = \log x$
উত্তৰঃ $g^{\prime}(x) = \frac{1}{x}$, যি আদিক্ষেত্ৰ $x > 0$ ত কেতিয়াও শূন্য নহয়। ফলনটো সতত বৰ্ধমান, গতিকে গৰিষ্ঠ বা লঘিষ্ঠ মান নাই।
(iii) $h(x) = x^3 + x^2 + x + 1$
উত্তৰঃ $h^{\prime}(x) = 3x^2 + 2x + 1$। ইয়াৰ নিৰ্ণায়ক $= 4 – 12 = -8 < 0$ আৰু অগ্ৰ সহগ ধনাত্মক, গতিকে $h^{\prime}(x) > 0$ সকলো $x$ ৰ বাবে। ফলনটো সতত বৰ্ধমান, গতিকে গৰিষ্ঠ বা লঘিষ্ঠ মান নাই।
5. অধোলিখিত ফলনবোৰৰ নিৰ্দিষ্ট অন্তৰালত পৰম গৰিষ্ঠ মান আৰু পৰম লঘিষ্ঠ মান উলিওৱা।
(i) $f(x) = x^3$, $x \in [-2, 2]$
উত্তৰঃ $f^{\prime}(x) = 3x^2 = 0$ ৰ পৰা $x = 0$। $f(-2) = -8$, $f(0) = 0$, $f(2) = 8$। পৰম গৰিষ্ঠ মান $8$ ($x = 2$), পৰম লঘিষ্ঠ মান $-8$ ($x = -2$)।
(ii) $f(x) = \sin x + \cos x$, $x \in [0, \pi]$
উত্তৰঃ $f^{\prime}(x) = \cos x – \sin x = 0$ ৰ পৰা $x = \frac{\pi}{4}$। $f(0) = 1$, $f\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2}$, $f(\pi) = -1$। পৰম গৰিষ্ঠ মান $\sqrt{2}$ ($x = \frac{\pi}{4}$), পৰম লঘিষ্ঠ মান $-1$ ($x = \pi$)।
(iii) $f(x) = 4x – \frac{1}{2}x^2$, $x \in \left[-2, \frac{9}{2}\right]$
উত্তৰঃ $f^{\prime}(x) = 4 – x = 0$ ৰ পৰা $x = 4$। $f(-2) = -8 – 2 = -10$, $f(4) = 16 – 8 = 8$, $f\left(\frac{9}{2}\right) = 18 – \frac{81}{8} = \frac{63}{8}$। পৰম গৰিষ্ঠ মান $8$ ($x = 4$), পৰম লঘিষ্ঠ মান $-10$ ($x = -2$)।
(iv) $f(x) = (x – 1)^2 + 3$, $x \in [-3, 1]$
উত্তৰঃ $f^{\prime}(x) = 2(x – 1) = 0$ ৰ পৰা $x = 1$। $f(-3) = 16 + 3 = 19$, $f(1) = 0 + 3 = 3$। পৰম গৰিষ্ঠ মান $19$ ($x = -3$), পৰম লঘিষ্ঠ মান $3$ ($x = 1$)।
6. এটা কোম্পেনীৰ গৰিষ্ঠ আয় উলিওৱা, য’ত আয়-ফলনটো (profit function) হ’ল $p(x) = 41 – 72x – 18x^2$।
উত্তৰঃ $p^{\prime}(x) = -72 – 36x = 0$ ৰ পৰা $x = -2$। $p^{\prime\prime}(x) = -36 < 0$, গতিকে $x = -2$ গৰিষ্ঠ বিন্দু। গৰিষ্ঠ আয় $p(-2) = 41 – 72(-2) – 18(4) = 41 + 144 – 72 = 113$।
7. $3x^4 – 8x^3 + 12x^2 – 48x + 25$ ফলনটোৰ $[0, 3]$ অন্তৰালত গৰিষ্ঠ মান আৰু লঘিষ্ঠ মান উলিওৱা।
উত্তৰঃ $f^{\prime}(x) = 12x^3 – 24x^2 + 24x – 48 = 12(x – 2)(x^2 + 2)$। $x^2 + 2 > 0$ সদায়, গতিকে ক্ৰান্তিক বিন্দু $x = 2$। $f(0) = 25$, $f(2) = 48 – 64 + 48 – 96 + 25 = -39$, $f(3) = 243 – 216 + 108 – 144 + 25 = 16$। পৰম গৰিষ্ঠ মান $25$ ($x = 0$), পৰম লঘিষ্ঠ মান $-39$ ($x = 2$)।
8. $[0, 2\pi]$ অন্তৰালৰ কোন (বোৰ) বিন্দুত $\sin 2x$ ফলনটোৱে গৰিষ্ঠ মান লয়?
উত্তৰঃ $\sin 2x$ ৰ গৰিষ্ঠ মান $1$, যি হয় যেতিয়া $2x = \frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}$, অৰ্থাৎ $x = \frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}$। এই দুয়োটা বিন্দু $[0, 2\pi]$ ত আছে। গতিকে গৰিষ্ঠ মান $x = \frac{\pi}{4}$ আৰু $x = \frac{5\pi}{4}$ ত লয়।
9. $\sin x + \cos x$ ফলনটোৰ গৰিষ্ঠ মান কি?
উত্তৰঃ $\sin x + \cos x = \sqrt{2}\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$। $\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$ ৰ গৰিষ্ঠ মান $1$, গতিকে গৰিষ্ঠ মান $\sqrt{2}$।
10. $[1, 3]$ অন্তৰালত $2x^3 – 24x + 107$ ফলনটোৰ গৰিষ্ঠ মান উলিওৱা। একেটা ফলনৰে $[-3, -1]$ অন্তৰালত গৰিষ্ঠ মান উলিওৱা।
উত্তৰঃ $f^{\prime}(x) = 6x^2 – 24 = 6(x – 2)(x + 2) = 0$ ৰ পৰা $x = \pm 2$।
$[1, 3]$ ত: $f(1) = 85$, $f(2) = 75$, $f(3) = 89$। গৰিষ্ঠ মান $89$ ($x = 3$)।
$[-3, -1]$ ত: $f(-3) = 125$, $f(-2) = 139$, $f(-1) = 129$। গৰিষ্ঠ মান $139$ ($x = -2$)।
11. দিয়া আছে যে $[0, 2]$ অন্তৰালৰ $x = 1$ বিন্দুত $x^4 – 62x^2 + ax + 9$ ফলনটোৱে গৰিষ্ঠ মান লয়। $a$ ৰ মান উলিওৱা।
উত্তৰঃ $f^{\prime}(x) = 4x^3 – 124x + a$। $x = 1$ এটা অন্তঃস্থ ক্ৰান্তিক বিন্দু হোৱাত $f^{\prime}(1) = 0$, অৰ্থাৎ $4 – 124 + a = 0$, গতিকে $a = 120$।
12. $[0, 2\pi]$ অন্তৰালত $x + \sin 2x$ ৰ গৰিষ্ঠ মান আৰু লঘিষ্ঠ মান উলিওৱা।
উত্তৰঃ $f^{\prime}(x) = 1 + 2\cos 2x = 0$ ৰ পৰা $\cos 2x = -\frac{1}{2}$, অৰ্থাৎ $x = \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$। এই ক্ৰান্তিক বিন্দু আৰু মূৰ বিন্দুত মান তুলনা কৰিলে সৰ্বোচ্চ মান মূৰ বিন্দু $x = 2\pi$ ত $f(2\pi) = 2\pi$ আৰু সৰ্বনিম্ন মান $x = 0$ ত $f(0) = 0$। গতিকে পৰম গৰিষ্ঠ মান $2\pi$ ($x = 2\pi$) আৰু পৰম লঘিষ্ঠ মান $0$ ($x = 0$)।
13. দুটা সংখ্যা উলিওৱা যাৰ যোগফল $24$ আৰু যাৰ পূৰণফল যিমান ডাঙৰ হ’ব পাৰে সিমান ডাঙৰ।
উত্তৰঃ এটা সংখ্যা $x$ হ’লে আনটো $24 – x$। পূৰণফল $P = x(24 – x) = 24x – x^2$। $P^{\prime} = 24 – 2x = 0$ ৰ পৰা $x = 12$; $P^{\prime\prime} = -2 < 0$, গতিকে গৰিষ্ঠ। সংখ্যা দুটা $12$ আৰু $12$, গৰিষ্ঠ পূৰণফল $144$।
14. দুটা ধনাত্মক সংখ্যা $x$ আৰু $y$ উলিওৱা যাতে $x + y = 60$ আৰু $xy^3$ গৰিষ্ঠ।
উত্তৰঃ $x = 60 – y$ দি $P = (60 – y)y^3 = 60y^3 – y^4$। $P^{\prime} = 180y^2 – 4y^3 = 4y^2(45 – y) = 0$ ৰ পৰা $y = 45$ ($y = 0$ তুচ্ছ)। $P^{\prime\prime} = 360y – 12y^2$, $y = 45$ ত $P^{\prime\prime} < 0$ — গৰিষ্ঠ। গতিকে $y = 45$, $x = 15$।
15. দুটা ধনাত্মক সংখ্যা $x$ আৰু $y$ উলিওৱা যাতে সিহঁতৰ যোগফল $35$ আৰু পূৰণফল $x^2 y^5$ গৰিষ্ঠ।
উত্তৰঃ $y = 35 – x$ দি $P = x^2 (35 – x)^5$। $\ln P = 2\ln x + 5\ln(35 – x)$ অৱকলন কৰি $\frac{2}{x} – \frac{5}{35 – x} = 0$, অৰ্থাৎ $2(35 – x) = 5x$, গতিকে $70 = 7x$, $x = 10$, $y = 25$। এই বিন্দুত $P$ গৰিষ্ঠ। গতিকে $x = 10$, $y = 25$।
16. দুটা ধনাত্মক সংখ্যা উলিওৱা যাতে সিহঁতৰ যোগফল $16$ আৰু সিহঁতৰ ঘনৰ যোগফল লঘিষ্ঠ।
উত্তৰঃ সংখ্যা দুটা $x$ আৰু $16 – x$। $S = x^3 + (16 – x)^3$। $S^{\prime} = 3x^2 – 3(16 – x)^2 = 0$ ৰ পৰা $x^2 = (16 – x)^2$, অৰ্থাৎ $x = 16 – x$, গতিকে $x = 8$। $S^{\prime\prime} = 6x + 6(16 – x) = 96 > 0$ — লঘিষ্ঠ। সংখ্যা দুটা $8$ আৰু $8$।
17. এখন বৰ্গাকাৰ টিনৰ প্ৰতিটো বাহুৰ দৈৰ্ঘ $18$ ছেমি। প্ৰতিটো কোণৰ পৰা একোটা সমান বৰ্গ কাটি আৰু flap বোৰ ভাঁজ কৰি এটা বাকচ গঠন কৰা হ’ল আৰু বাকচটোৰ ওপৰৰ অংশটো নাই। কাটিবলগীয়া বৰ্গটোৰ প্ৰতি বাহুৰ দৈৰ্ঘ কিমান হ’লে বাকচটোৰ আয়তন গৰিষ্ঠ হ’ব?
উত্তৰঃ কাটিব লগা বৰ্গৰ বাহু $x$ হ’লে বাকচৰ উচ্চতা $x$, ভূমিৰ বাহু $18 – 2x$। আয়তন $V = x(18 – 2x)^2$।
$V^{\prime} = (18 – 2x)^2 + x \cdot 2(18 – 2x)(-2) = (18 – 2x)[(18 – 2x) – 4x] = (18 – 2x)(18 – 6x)$। $V^{\prime} = 0$ ৰ পৰা $x = 9$ বা $x = 3$। $x = 9$ ত আয়তন শূন্য, গতিকে $x = 3$। $V^{\prime\prime} < 0$ ইয়াত। গতিকে কাটিবলগীয়া বৰ্গৰ বাহু $3$ ছেমি।
18. এখন আয়তাকাৰ টিনৰ প্ৰতি বাহুৰ দৈৰ্ঘ $45$ ছেমি আৰু বাহু $24$ ছেমি। প্ৰতিটো কোণৰ পৰা একোটা বৰ্গ কাটি আৰু বোৰ ভাঁজ কৰি এটা বাকচ গঠন কৰা হ’ল আৰু বাকচটোৰ ওপৰৰ অংশটো নাই। কাটিবলগীয়া বৰ্গটোৰ প্ৰতি বাহুৰ দৈৰ্ঘ কিমান হ’লে বাকচটোৰ আয়তন গৰিষ্ঠ হ’ব?
উত্তৰঃ কাটিব লগা বৰ্গৰ বাহু $x$ হ’লে আয়তন $V = x(45 – 2x)(24 – 2x) = 4x^3 – 138x^2 + 1080x$।
$V^{\prime} = 12x^2 – 276x + 1080 = 12(x – 5)(x – 18) = 0$ ৰ পৰা $x = 5$ বা $x = 18$। $x = 18$ হ’লে $24 – 2x < 0$ (অসম্ভৱ), গতিকে $x = 5$। $V^{\prime\prime} = 24x – 276$, $x = 5$ ত $V^{\prime\prime} = -156 < 0$ — গৰিষ্ঠ। গতিকে কাটিবলগীয়া বৰ্গৰ বাহু $5$ ছেমি।
19. দেখুওৱা যে এটা প্ৰদত্ত স্থিৰ বৃত্তত অন্তৰ্লিখিত আয়তবোৰৰ ভিতৰত বৰ্গটোৰ কালিয়েই সৰ্বোচ্চ।
উত্তৰঃ ব্যাসাৰ্ধ $a$ ৰ বৃত্তত অন্তৰ্লিখিত আয়তৰ কৰ্ণ বৃত্তৰ ব্যাস $2a$। বাহু $x$ আৰু $y$ হ’লে $x^2 + y^2 = 4a^2$। কালি $A = xy = x\sqrt{4a^2 – x^2}$। $A^2 = x^2(4a^2 – x^2)$ ৰ গৰিষ্ঠ মান উলিয়াবলৈ $\frac{d}{dx}(4a^2 x^2 – x^4) = 8a^2 x – 4x^3 = 0$, গতিকে $x^2 = 2a^2$, অৰ্থাৎ $x = a\sqrt{2}$ আৰু $y = \sqrt{4a^2 – 2a^2} = a\sqrt{2}$। যিহেতু $x = y$, আয়তটো এটা বৰ্গ। গতিকে বৰ্গৰ কালিয়েই সৰ্বোচ্চ।
20. দেখুওৱা যে প্ৰদত্ত পৃষ্ঠ আৰু গৰিষ্ঠ আয়তনৰ সম বৃত্তীয় বেলনৰ ক্ষেত্ৰত উচ্চতা, ভূমিৰ ব্যাসৰ সমান।
উত্তৰঃ ব্যাসাৰ্ধ $r$, উচ্চতা $h$ হ’লে সমগ্ৰ পৃষ্ঠ $S = 2\pi r^2 + 2\pi rh$ (স্থিৰ) আৰু আয়তন $V = \pi r^2 h$। $S$ ৰ পৰা $h = \frac{S – 2\pi r^2}{2\pi r}$, গতিকে $V = \frac{r(S – 2\pi r^2)}{2} = \frac{Sr – 2\pi r^3}{2}$। $\frac{dV}{dr} = \frac{S – 6\pi r^2}{2} = 0$ ৰ পৰা $S = 6\pi r^2$। তেতিয়া $h = \frac{6\pi r^2 – 2\pi r^2}{2\pi r} = 2r =$ ব্যাস। গতিকে উচ্চতা ভূমিৰ ব্যাসৰ সমান।
21. $100$ ঘন ছেণ্টিমিটাৰ প্ৰদত্ত আয়তনৰ সকলো বন্ধ বেলনাকাৰ পাত্ৰৰ (সম বৃত্তীয়) ভিতৰত সৰ্বনিম্ন পৃষ্ঠ-কালিৰ পাত্ৰৰ বিমা (dimensions) উলিওৱা।
উত্তৰঃ $V = \pi r^2 h = 100$, গতিকে $h = \frac{100}{\pi r^2}$। মুঠ পৃষ্ঠ $S = 2\pi r^2 + 2\pi rh = 2\pi r^2 + \frac{200}{r}$। $\frac{dS}{dr} = 4\pi r – \frac{200}{r^2} = 0$ ৰ পৰা $r^3 = \frac{50}{\pi}$, অৰ্থাৎ $r = \left(\frac{50}{\pi}\right)^{1/3}$। ইয়াৰ পৰা $h = \frac{100}{\pi r^2} = 2r$। গতিকে ব্যাসাৰ্ধ $\left(\frac{50}{\pi}\right)^{1/3}$ ছেমি আৰু উচ্চতা $2\left(\frac{50}{\pi}\right)^{1/3}$ ছেমি।
22. $28$ মিটাৰ দৈৰ্ঘৰ এডাল তাঁৰ দুটুকুৰা কৰা হ’ল। এটুকুৰাৰ পৰা এটা বৰ্গ কৰিব লাগে আৰু আন টুকুৰাৰ পৰা এটা বৃত্ত কৰিব লাগে। বৰ্গটো আৰু বৃত্তটোৰ সন্মিলিত কালি সৰ্বনিম্ন হ’ব লাগিলে টুকুৰা দুটাৰ প্ৰত্যেকৰে দৈৰ্ঘ কিমান?
উত্তৰঃ বৰ্গৰ বাবে $x$ মিটাৰ ল’লে বৃত্তৰ বাবে $28 – x$ মিটাৰ। বৰ্গৰ বাহু $\frac{x}{4}$, কালি $\frac{x^2}{16}$। বৃত্তৰ পৰিধি $28 – x = 2\pi r$, কালি $\frac{(28 – x)^2}{4\pi}$। মুঠ $A = \frac{x^2}{16} + \frac{(28 – x)^2}{4\pi}$।
$\frac{dA}{dx} = \frac{x}{8} – \frac{28 – x}{2\pi} = 0$ ৰ পৰা $2\pi x = 8(28 – x)$, গতিকে $x = \frac{112}{\pi + 4}$। গতিকে বৰ্গৰ বাবে $\frac{112}{\pi + 4}$ মিটাৰ আৰু বৃত্তৰ বাবে $\frac{28\pi}{\pi + 4}$ মিটাৰ।
23. প্ৰমাণ কৰা যে $R$ ব্যাসাৰ্ধৰ এটা গোলকত অন্তৰ্লিখিত কৰিব পৰা সৰ্বোচ্চ শংকুটোৰ আয়ত গোলকটোৰ আয়তনৰ $\frac{8}{27}$ অংশ।
উত্তৰঃ গোলকৰ কেন্দ্ৰৰ পৰা শংকুৰ ভূমি $x$ দূৰত্বত থাকিলে শংকুৰ উচ্চতা $h = R + x$ আৰু ভূমিৰ ব্যাসাৰ্ধ $r$ ত $r^2 = R^2 – x^2$। আয়তন $V = \frac{1}{3}\pi(R^2 – x^2)(R + x)$। $\frac{dV}{dx} = \frac{1}{3}\pi(R^2 – 2Rx – 3x^2) = 0$ ৰ পৰা $3x^2 + 2Rx – R^2 = 0$, গতিকে $x = \frac{R}{3}$।
তেতিয়া $h = R + \frac{R}{3} = \frac{4R}{3}$, $r^2 = R^2 – \frac{R^2}{9} = \frac{8R^2}{9}$। $V = \frac{1}{3}\pi \cdot \frac{8R^2}{9} \cdot \frac{4R}{3} = \frac{32}{81}\pi R^3$। গোলকৰ আয়তন $\frac{4}{3}\pi R^3$। অনুপাত $= \frac{32/81}{4/3} = \frac{8}{27}$। প্ৰমাণিত।
24. দেখুওৱা যে সৰ্বনিম্ন বক্ৰ পৃষ্ঠ আৰু প্ৰদত্ত আয়তনৰ সম বৃত্তীয় শংকুৰ উচ্চতা ভূমিৰ ব্যাসাৰ্ধৰ $\sqrt{2}$ গুণ।
উত্তৰঃ আয়তন $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$ স্থিৰ, গতিকে $h = \frac{3V}{\pi r^2}$। বক্ৰ পৃষ্ঠ $S = \pi r\sqrt{r^2 + h^2}$; গতিকে $S^2 = \pi^2 r^2(r^2 + h^2) = \pi^2 r^4 + \frac{9V^2}{r^2}$। $\frac{d(S^2)}{dr} = 4\pi^2 r^3 – \frac{18V^2}{r^3} = 0$ ৰ পৰা $4\pi^2 r^6 = 18V^2$। $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$ বহুৱাই $4\pi^2 r^6 = 18 \cdot \frac{1}{9}\pi^2 r^4 h^2 = 2\pi^2 r^4 h^2$, গতিকে $h^2 = 2r^2$, অৰ্থাৎ $h = \sqrt{2}\, r$। প্ৰমাণিত।
25. দেখুওৱা যে গৰিষ্ঠ আয়তনৰ আৰু প্ৰদত্ত এঢলীয়া উচ্চতাৰ (slant height) শংকুৰ উপ-শীৰ্ষকোণ $\tan^{-1}\sqrt{2}$।
উত্তৰঃ এঢলীয়া উচ্চতা $l$ স্থিৰ, উপ-শীৰ্ষকোণ $\alpha$ হ’লে $r = l\sin\alpha$, $h = l\cos\alpha$। আয়তন $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\pi l^3 \sin^2\alpha \cos\alpha$। $\frac{dV}{d\alpha} \propto 2\sin\alpha\cos^2\alpha – \sin^3\alpha = \sin\alpha(2\cos^2\alpha – \sin^2\alpha) = 0$ ৰ পৰা $2\cos^2\alpha = \sin^2\alpha$, অৰ্থাৎ $\tan^2\alpha = 2$, গতিকে $\alpha = \tan^{-1}\sqrt{2}$। প্ৰমাণিত।
26. দেখুওৱা যে প্ৰদত্ত পৃষ্ঠকালিৰ আৰু সৰ্বোচ্চ আয়তনৰ সম বৃত্তীয় শংকুৰ উপ-শীৰ্ষকোণ $\sin^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)$।
উত্তৰঃ মুঠ পৃষ্ঠ $S = \pi r^2 + \pi rl$ স্থিৰ, গতিকে $l = \frac{S – \pi r^2}{\pi r}$। আয়তন $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$ য’ত $h^2 = l^2 – r^2$। ইয়াক বহুৱাই $V^2 = \frac{1}{9}r^2 S(S – 2\pi r^2) = \frac{S}{9}(Sr^2 – 2\pi r^4)$। $\frac{d(V^2)}{dr} \propto 2Sr – 8\pi r^3 = 0$ ৰ পৰা $S = 4\pi r^2$।
তেতিয়া $l = \frac{4\pi r^2 – \pi r^2}{\pi r} = 3r$, আৰু $\sin\alpha = \frac{r}{l} = \frac{r}{3r} = \frac{1}{3}$, অৰ্থাৎ $\alpha = \sin^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)$। প্ৰমাণিত।
অনুশীলনী 27 ৰ পৰা 29 ত শুদ্ধ উত্তৰটো বাছি উলিওৱা।
27. $(0, 5)$ বিন্দুটোৰ পৰা নিম্নতম দূৰত্বত $x^2 = 2y$ বক্ৰটোৰ ওপৰত থকা বিন্দুটো হ’ল
(A) $(2\sqrt{2}, 4)$ (B) $(2\sqrt{2}, 0)$ (C) $(0, 0)$ (D) $(2, 2)$
উত্তৰঃ (A) $(2\sqrt{2}, 4)$। বক্ৰৰ বিন্দু $(x, y)$ ত $y = \frac{x^2}{2}$। দূৰত্বৰ বৰ্গ $D = x^2 + (y – 5)^2 = 2y + (y – 5)^2 = y^2 – 8y + 25$। $\frac{dD}{dy} = 2y – 8 = 0$ ৰ পৰা $y = 4$, গতিকে $x^2 = 8$, $x = \pm 2\sqrt{2}$। বিন্দুটো $(2\sqrt{2}, 4)$।
28. $x$ ৰ সকলো বাস্তৱ মানৰ বাবে $\frac{1 – x + x^2}{1 + x + x^2}$ ৰ লঘিষ্ঠ মান হ’ল
(A) $0$ (B) $1$ (C) $3$ (D) $\frac{1}{3}$
উত্তৰঃ (D) $\frac{1}{3}$। ধৰক $y = \frac{1 – x + x^2}{1 + x + x^2}$। অৱকলন কৰি ক্ৰান্তিক বিন্দু $x = \pm 1$ পোৱা যায়। $x = 1$ ত $y = \frac{1}{3}$ (লঘিষ্ঠ) আৰু $x = -1$ ত $y = 3$ (গৰিষ্ঠ)। গতিকে লঘিষ্ঠ মান $\frac{1}{3}$।
29. $[x(x – 1) + 1]^{1/3}$, $0 \leq x \leq 1$ ৰ গৰিষ্ঠ মান হ’ল
(A) $\left(\frac{1}{3}\right)^{1/3}$ (B) $\frac{1}{2}$ (C) $1$ (D) $0$
উত্তৰঃ (C) $1$। ধৰক $g(x) = x(x – 1) + 1 = x^2 – x + 1$। $[0, 1]$ ত $g^{\prime}(x) = 2x – 1 = 0$ ৰ পৰা $x = \frac{1}{2}$, য’ত $g = \frac{3}{4}$ (লঘিষ্ঠ)। মূৰ বিন্দুত $g(0) = 1$, $g(1) = 1$ (গৰিষ্ঠ)। গতিকে $g$ ৰ গৰিষ্ঠ মান $1$, আৰু $1^{1/3} = 1$।
ষষ্ঠ অধ্যায়ৰ বিবিধ অনুশীলনী
1. দেখুওৱা যে $f(x) = \frac{\log x}{x}$ ৰ দ্বাৰা নিৰ্দিষ্ট ফলনটোৰ $x = e$ ত গৰিষ্ঠ মান আছে।
উত্তৰঃ $f^{\prime}(x) = \frac{\frac{1}{x} \cdot x – \log x \cdot 1}{x^2} = \frac{1 – \log x}{x^2}$। $f^{\prime}(x) = 0$ ৰ পৰা $\log x = 1$, অৰ্থাৎ $x = e$। $x < e$ ত $\log x < 1$ গতিকে $f^{\prime} > 0$; $x > e$ ত $f^{\prime} < 0$। চিন ধনাত্মকৰ পৰা ঋণাত্মকলৈ সলনি হোৱাত $x = e$ গৰিষ্ঠ বিন্দু। গতিকে $x = e$ ত ফলনটোৰ গৰিষ্ঠ মান আছে।
2. এটা সমদ্বিবাহু ত্ৰিভুজৰ ভূমি $b$ স্থিৰ আৰু সমান বাহু দুটা ছেকেণ্ডত $3$ ছেমিকৈ হ্ৰাস পায়। কালি কি হাৰত হ্ৰাস পাব যেতিয়া সমান বাহু দুটা ভূমিৰ সমান হয়?
উত্তৰঃ সমান বাহু $a$ হ’লে উচ্চতা $\sqrt{a^2 – \frac{b^2}{4}}$ আৰু কালি $A = \frac{1}{2}b\sqrt{a^2 – \frac{b^2}{4}}$।
$\frac{dA}{dt} = \frac{1}{2}b \cdot \frac{a}{\sqrt{a^2 – \frac{b^2}{4}}} \cdot \frac{da}{dt}$। $\frac{da}{dt} = -3$ আৰু $a = b$ ত $\sqrt{a^2 – \frac{b^2}{4}} = \sqrt{\frac{3b^2}{4}} = \frac{b\sqrt{3}}{2}$। গতিকে $\frac{dA}{dt} = \frac{1}{2}b \cdot \frac{b}{\frac{b\sqrt{3}}{2}} \cdot (-3) = \frac{-3b}{\sqrt{3}} = -\sqrt{3}\, b$। অৰ্থাৎ কালি $\sqrt{3}\, b$ বৰ্গ ছেমি প্ৰতি ছেকেণ্ড হাৰত হ্ৰাস পায়।
3. $f(x) = \frac{4\sin x – 2x – x\cos x}{2 + \cos x}$ ৰ দ্বাৰা নিৰ্দিষ্ট $f$ ফলনটো কোন অন্তৰালত (i) বৰ্ধমান, (ii) হ্ৰাসমান নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ লক্ষ্য কৰা $-2x – x\cos x = -x(2 + \cos x)$, গতিকে $f(x) = \frac{4\sin x}{2 + \cos x} – x$। ইয়াক অৱকলন কৰি (অনুশীলনী 6.2 ৰ 9 নং ৰ দৰে) $f^{\prime}(x) = \frac{\cos x(4 – \cos x)}{(2 + \cos x)^2}$।
$(4 – \cos x) > 0$ আৰু হৰটো ধনাত্মক, গতিকে $f^{\prime}(x)$ ৰ চিন $\cos x$ ৰ চিনৰ সৈতে একে। $[0, 2\pi]$ ত $\cos x > 0$ হয় $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ আৰু $\left(\frac{3\pi}{2}, 2\pi\right)$ ত (বৰ্ধমান), আৰু $\cos x < 0$ হয় $\left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right)$ ত (হ্ৰাসমান)।
4. $f(x) = x^3 + \frac{1}{x^3}$, $x \neq 0$ ৰ দ্বাৰা নিৰ্দিষ্ট $f$ ফলনটো কোন অন্তৰালত (i) বৰ্ধমান, (ii) হ্ৰাসমান নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ $f^{\prime}(x) = 3x^2 – \frac{3}{x^4} = \frac{3(x^6 – 1)}{x^4} = \frac{3(x^2 – 1)(x^4 + x^2 + 1)}{x^4}$। $(x^4 + x^2 + 1) > 0$ আৰু $x^4 > 0$, গতিকে চিন $(x^2 – 1)$ ৰ ওপৰত নিৰ্ভৰ কৰে।
(i) $|x| > 1$ ত $f^{\prime} > 0$ — বৰ্ধমান $(-\infty, -1)$ আৰু $(1, \infty)$ ত। (ii) $|x| < 1$ ($x \neq 0$) ত $f^{\prime} < 0$ — হ্ৰাসমান $(-1, 0)$ আৰু $(0, 1)$ ত।
5. এটা সমদ্বিবাহু ত্ৰিভুজ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ উপবৃত্তত অন্তৰ্লিখিত কৰা হ’ল যাতে ইয়াৰ শীৰ্ষবিন্দু মুখ্য অক্ষৰ এটা মূৰত থাকে। ত্ৰিভুজটোৰ গৰিষ্ঠ কালি উলিওৱা।
উত্তৰঃ শীৰ্ষবিন্দু $(a, 0)$ ত ল’লে আন দুটা শীৰ্ষ $(x, y)$ আৰু $(x, -y)$ উপবৃত্তত থাকে। কালি $A = \frac{1}{2}(2y)(a – x) = y(a – x) = \frac{b}{a}(a – x)\sqrt{a^2 – x^2}$ (যিহেতু $y = \frac{b}{a}\sqrt{a^2 – x^2}$)।
$\frac{dA}{dx} = 0$ ৰ পৰা $x = -\frac{a}{2}$। তেতিয়া $A = \frac{b}{a}\left(a + \frac{a}{2}\right)\sqrt{a^2 – \frac{a^2}{4}} = \frac{b}{a} \cdot \frac{3a}{2} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{4}ab$। গতিকে গৰিষ্ঠ কালি $\frac{3\sqrt{3}}{4}ab$।
6. এটা টেংক নিৰ্মাণ কৰিব লাগে। টেংকটোৰ ভূমি আয়তাকাৰ আৰু পাৰ্শ্ব (side) আয়তাকাৰ, ওপৰখিনি খোলা, গভীৰতা $2$ মিটাৰ আৰু আয়তন $8$ মিটাৰ³। ভূমি নিৰ্মাণত প্ৰতি বৰ্গমিটাৰত খৰচ হয় $70$ টকা আৰু পাৰ্শ্ব (side) নিৰ্মাণত প্ৰতি বৰ্গমিটাৰত খৰচ হয় $45$ টকা। সৰ্বনিম্ন খৰচৰ টেংকৰ দাম কিমান?
উত্তৰঃ গভীৰতা $2$ মিটাৰ, আয়তন $8$ গতিকে ভূমিৰ কালি $= \frac{8}{2} = 4$ বৰ্গ মিটাৰ। ভূমিৰ বাহু $x$ আৰু $y$ ত $xy = 4$। ভূমিৰ খৰচ $70 \times 4 = 280$ টকা। পাৰ্শ্বৰ কালি $2(2x) + 2(2y) = 4(x + y)$, খৰচ $45 \times 4(x + y) = 180(x + y)$।
মুঠ খৰচ $C = 280 + 180\left(x + \frac{4}{x}\right)$। $\frac{dC}{dx} = 180\left(1 – \frac{4}{x^2}\right) = 0$ ৰ পৰা $x = 2$, $y = 2$। $C = 280 + 180(2 + 2) = 280 + 720 = 1000$ টকা। সৰ্বনিম্ন খৰচ $1000$ টকা।
7. এটা বৃত্ত আৰু এটা বৰ্গৰ পৰিসীমাৰ যোগফল $k$, য’ত $k$ এটা ধ্ৰুৱক। প্ৰমাণ কৰা যে সিহঁতৰ কালিৰ যোগফল ক্ষুদ্ৰতম হ’ব যেতিয়া বৰ্গটোৰ এটা বাহু বৃত্তটোৰ ব্যাসাৰ্ধৰ দুগুণ।
উত্তৰঃ বৃত্তৰ ব্যাসাৰ্ধ $r$, বৰ্গৰ বাহু $s$ হ’লে $2\pi r + 4s = k$, গতিকে $s = \frac{k – 2\pi r}{4}$। মুঠ কালি $A = \pi r^2 + s^2$। $\frac{dA}{dr} = 2\pi r + 2s \cdot \frac{ds}{dr} = 2\pi r – \pi s = 0$ ৰ পৰা $s = 2r$। গতিকে বৰ্গৰ বাহু বৃত্তৰ ব্যাসাৰ্ধৰ দুগুণ হ’লে কালিৰ যোগফল ক্ষুদ্ৰতম। প্ৰমাণিত।
8. এখন খিৰিকীৰ আকাৰ এনেধৰণৰ,— আয়ত আৰু ঠিক ওপৰখিনি অৰ্ধবৃত্তাকাৰ খোলা অংশ। খিৰিকীখনৰ মুঠ পৰিসীমা $10$ মিটাৰ। খিৰিকীখনৰ বিমা (dimensions) উলিওৱা যাতে খোলা অংশেৰে গৰিষ্ঠ পৰিমাণৰ পাহৰ প্ৰৱেশ কৰে।
উত্তৰঃ আয়তৰ প্ৰস্থ $2r$ (অৰ্ধবৃত্তৰ ব্যাস), উচ্চতা $h$, অৰ্ধবৃত্তৰ ব্যাসাৰ্ধ $r$। পৰিসীমা $2h + 2r + \pi r = 10$, গতিকে $h = 5 – r – \frac{\pi r}{2}$।
কালি $A = 2rh + \frac{1}{2}\pi r^2 = 10r – 2r^2 – \frac{\pi}{2}r^2$। $\frac{dA}{dr} = 10 – 4r – \pi r = 0$ ৰ পৰা $r = \frac{10}{4 + \pi}$। তেতিয়া $h = \frac{10}{4 + \pi}$। গতিকে অৰ্ধবৃত্তৰ ব্যাসাৰ্ধ $\frac{10}{4 + \pi}$ মিটাৰ, আয়তৰ প্ৰস্থ $\frac{20}{4 + \pi}$ মিটাৰ আৰু উচ্চতা $\frac{10}{4 + \pi}$ মিটাৰ।
9. এটা সমকোণী ত্ৰিভুজৰ অতিভুজত থকা এটা বিন্দু ত্ৰিভুজটোৰ বাহুৰ পৰা $a$ আৰু $b$ দূৰত্বত আছে। দেখুওৱা যে অতিভুজটোৰ লঘিষ্ঠ দৈৰ্ঘ $\left(a^{2/3} + b^{2/3}\right)^{3/2}$।
উত্তৰঃ অতিভুজে অনুভূমিক বাহুৰ সৈতে $\theta$ কোণ কৰিলে অতিভুজৰ দৈৰ্ঘ $L = a\,\text{cosec}\,\theta + b\sec\theta$। $\frac{dL}{d\theta} = -a\,\text{cosec}\,\theta\cot\theta + b\sec\theta\tan\theta = 0$ ৰ পৰা $b\sin^3\theta = a\cos^3\theta$, অৰ্থাৎ $\tan^3\theta = \frac{a}{b}$, গতিকে $\tan\theta = \left(\frac{a}{b}\right)^{1/3}$।
তেতিয়া $\sin\theta = \frac{a^{1/3}}{\sqrt{a^{2/3} + b^{2/3}}}$, $\cos\theta = \frac{b^{1/3}}{\sqrt{a^{2/3} + b^{2/3}}}$। বহুৱাই $L = a^{2/3}\sqrt{a^{2/3} + b^{2/3}} + b^{2/3}\sqrt{a^{2/3} + b^{2/3}} = \left(a^{2/3} + b^{2/3}\right)^{3/2}$। প্ৰমাণিত।
10. $f(x) = (x – 2)^4 (x + 1)^3$ ৰ দ্বাৰা নিৰ্দিষ্ট $f$ ফলনটোৰ কোনবোৰ বিন্দুত (i) স্থানীয় গৰিষ্ঠমান (ii) স্থানীয় লঘিষ্ঠ মান (iii) নতি বিন্দু আছে উলিওৱা।
উত্তৰঃ $f^{\prime}(x) = 4(x – 2)^3(x + 1)^3 + 3(x – 2)^4(x + 1)^2 = (x – 2)^3(x + 1)^2[4(x + 1) + 3(x – 2)] = (x – 2)^3(x + 1)^2(7x – 2)$। ক্ৰান্তিক বিন্দু $x = 2, -1, \frac{2}{7}$।
(i) $x = \frac{2}{7}$ ত $f^{\prime}$ এ ধনাত্মকৰ পৰা ঋণাত্মকলৈ সলনি হয় — স্থানীয় গৰিষ্ঠ। (ii) $x = 2$ ত $f^{\prime}$ এ ঋণাত্মকৰ পৰা ধনাত্মকলৈ সলনি হয় — স্থানীয় লঘিষ্ঠ। (iii) $x = -1$ ত $(x + 1)^2$ চিন সলনি নকৰে গতিকে $f^{\prime}$ এ চিন সলনি নকৰে — নতি বিন্দু।
11. $f(x) = \cos^2 x + \sin x$, $x \in [0, \pi]$ ৰ দ্বাৰা নিৰ্দিষ্ট $f$ ফলনটোৰ পৰম গৰিষ্ঠ আৰু পৰম লঘিষ্ঠ মান উলিওৱা।
উত্তৰঃ $f^{\prime}(x) = 2\cos x(-\sin x) + \cos x = \cos x(1 – 2\sin x) = 0$ ৰ পৰা $\cos x = 0$ (অৰ্থাৎ $x = \frac{\pi}{2}$) বা $\sin x = \frac{1}{2}$ (অৰ্থাৎ $x = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$)।
$f(0) = 1$, $f\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{3}{4} + \frac{1}{2} = \frac{5}{4}$, $f\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0 + 1 = 1$, $f\left(\frac{5\pi}{6}\right) = \frac{3}{4} + \frac{1}{2} = \frac{5}{4}$, $f(\pi) = 1$। পৰম গৰিষ্ঠ মান $\frac{5}{4}$ ($x = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$) আৰু পৰম লঘিষ্ঠ মান $1$ ($x = 0, \frac{\pi}{2}, \pi$)।
12. দেখুওৱা যে $r$ ব্যাসাৰ্ধৰ এটা গোলকত অন্তৰ্লিখিত কৰিব পৰা গৰিষ্ঠ আয়তনৰ এটা সম বৃত্তীয় শংকুৰ উন্নতি $\frac{4r}{3}$।
উত্তৰঃ গোলকৰ কেন্দ্ৰৰ পৰা শংকুৰ ভূমি $x$ দূৰত্বত থাকিলে উন্নতি $h = r + x$ আৰু ভূমিৰ ব্যাসাৰ্ধ $R$ ত $R^2 = r^2 – x^2$। আয়তন $V = \frac{1}{3}\pi(r^2 – x^2)(r + x)$। $\frac{dV}{dx} = \frac{1}{3}\pi(r^2 – 2rx – 3x^2) = 0$ ৰ পৰা $3x^2 + 2rx – r^2 = 0$, গতিকে $x = \frac{r}{3}$। গতিকে উন্নতি $h = r + \frac{r}{3} = \frac{4r}{3}$। প্ৰমাণিত।
13. ধৰা হ’ল $f$ ফলনটো $[a, b]$ ত সংজ্ঞাবদ্ধ যাতে সকলো $x \in (a, b)$ ৰ বাবে $f^{\prime}(x) > 0$। প্ৰমাণ কৰা যে $(a, b)$ ত $f$ এটা বৰ্ধমান ফলন।
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল $x_1, x_2 \in (a, b)$ য’ত $x_1 < x_2$। মাধ্য মান উপপাদ্যৰ পৰা $x_1$ আৰু $x_2$ ৰ মাজত এটা বিন্দু $c$ আছে যাতে $f(x_2) – f(x_1) = f^{\prime}(c)(x_2 – x_1)$। যিহেতু $f^{\prime}(c) > 0$ আৰু $x_2 – x_1 > 0$, গতিকে $f(x_2) – f(x_1) > 0$, অৰ্থাৎ $f(x_2) > f(x_1)$। সেয়ে $f$ $(a, b)$ ত বৰ্ধমান ফলন। প্ৰমাণিত।
14. দেখুওৱা যে $R$ ব্যাসাৰ্ধৰ এটা গোলকত অন্তৰ্লিখিত কৰিব পৰা গৰিষ্ঠ আয়তনৰ এটা বেলনৰ উন্নতি $\frac{2R}{\sqrt{3}}$। গৰিষ্ঠ আয়তনো উলিওৱা।
উত্তৰঃ বেলনৰ ব্যাসাৰ্ধ $x$, উচ্চতা $h$ হ’লে $x^2 + \frac{h^2}{4} = R^2$, গতিকে $x^2 = R^2 – \frac{h^2}{4}$। আয়তন $V = \pi x^2 h = \pi\left(R^2 – \frac{h^2}{4}\right)h = \pi R^2 h – \frac{\pi h^3}{4}$।
$\frac{dV}{dh} = \pi R^2 – \frac{3\pi h^2}{4} = 0$ ৰ পৰা $h^2 = \frac{4R^2}{3}$, অৰ্থাৎ $h = \frac{2R}{\sqrt{3}}$। গৰিষ্ঠ আয়তন $V = \pi\left(R^2 – \frac{R^2}{3}\right)\frac{2R}{\sqrt{3}} = \pi \cdot \frac{2R^2}{3} \cdot \frac{2R}{\sqrt{3}} = \frac{4\pi R^3}{3\sqrt{3}}$।
15. দেখুওৱা যে $h$ উচ্চতাৰ আৰু $\alpha$ উপ-শীৰ্ষকোণৰ এটা সম বৃত্তীয় শংকুত অন্তৰ্লিখিত কৰিব পৰা বৃহত্তম আয়তনৰ এটা বেলনৰ উচ্চতা শংকুটোৰ উচ্চতাৰ এক-তৃতীয়াংশ আৰু বেলনটোৰ বৃহত্তম আয়তন $\frac{4}{27}\pi h^3 \tan^2 \alpha$।
উত্তৰঃ শংকুৰ ভূমিৰ ব্যাসাৰ্ধ $R = h\tan\alpha$। বেলনৰ ব্যাসাৰ্ধ $x$, উচ্চতা $H$ হ’লে সদৃশ ত্ৰিভুজৰ পৰা $\frac{x}{R} = \frac{h – H}{h}$, গতিকে $x = \tan\alpha(h – H)$। আয়তন $V = \pi x^2 H = \pi \tan^2\alpha(h – H)^2 H$।
$\frac{dV}{dH} = \pi\tan^2\alpha(h – H)(h – 3H) = 0$ ৰ পৰা $H = \frac{h}{3}$ (শংকুৰ উচ্চতাৰ এক-তৃতীয়াংশ)। বৃহত্তম আয়তন $V = \pi\tan^2\alpha\left(\frac{2h}{3}\right)^2\frac{h}{3} = \frac{4}{27}\pi h^3 \tan^2\alpha$। প্ৰমাণিত।
16. $10$ মিটাৰ ব্যাসাৰ্ধৰ এটা বেলনীয় টেংক ঘণ্টাত $314$ ঘন মিটাৰ হাৰে ঘেঁহুৰে পূৰ কৰা হ’ল। তেনেহ’লে ঘেঁহুৰ গভীৰতা বৃদ্ধি হোৱাৰ হাৰ হ’ল
(A) $1$ মিটাৰ প্ৰতি ঘণ্টা (B) $0.1$ মিটাৰ প্ৰতি ঘণ্টা (C) $1.1$ মিটাৰ প্ৰতি ঘণ্টা (D) $0.5$ মিটাৰ প্ৰতি ঘণ্টা
উত্তৰঃ (A) $1$ মিটাৰ প্ৰতি ঘণ্টা। আয়তন $V = \pi r^2 h = \pi(10)^2 h = 100\pi h$। $\frac{dV}{dt} = 100\pi\frac{dh}{dt} = 314$, গতিকে $\frac{dh}{dt} = \frac{314}{100\pi} \approx \frac{314}{314} = 1$ মিটাৰ প্ৰতি ঘণ্টা।
অতিৰিক্ত প্ৰশ্ন আৰু উত্তৰ
নিৰ্বাচনী প্ৰশ্ন (MCQ)
1. এটা বৃত্তৰ ব্যাসাৰ্ধ $2$ ছেমি প্ৰতি ছেকেণ্ড হাৰে বাঢ়িলে $r = 6$ ছেমি ত কালিৰ বৃদ্ধিৰ হাৰ হ’ল
(A) $12\pi$ (B) $24\pi$ (C) $6\pi$ (D) $36\pi$
উত্তৰঃ (B) $24\pi$। $\frac{dA}{dt} = 2\pi r\frac{dr}{dt} = 2\pi(6)(2) = 24\pi$ বৰ্গ ছেমি প্ৰতি ছেকেণ্ড।
2. $f(x) = x^2 – 2x$ ফলনটো তলৰ কোন অন্তৰালত হ্ৰাসমান?
(A) $(1, \infty)$ (B) $(-\infty, 1)$ (C) $(-\infty, \infty)$ (D) $(0, 2)$
উত্তৰঃ (B) $(-\infty, 1)$। $f^{\prime}(x) = 2x – 2$; $x < 1$ ত $f^{\prime}(x) < 0$।
3. $f(x) = x^3$ ফলনটোৰ $x = 0$ বিন্দুটো এটা
(A) স্থানীয় গৰিষ্ঠ বিন্দু (B) স্থানীয় লঘিষ্ঠ বিন্দু (C) নতি বিন্দু (D) মূৰ বিন্দু
উত্তৰঃ (C) নতি বিন্দু। $f^{\prime}(x) = 3x^2$ এ $x = 0$ ত চিন সলনি নকৰে।
4. $\sin x + \cos x$ ৰ গৰিষ্ঠ মান হ’ল
(A) $1$ (B) $2$ (C) $\sqrt{2}$ (D) $\frac{1}{\sqrt{2}}$
উত্তৰঃ (C) $\sqrt{2}$।
5. $f(x) = e^x$ ফলনটো $\mathbf{R}$ ত
(A) সতত বৰ্ধমান (B) সতত হ্ৰাসমান (C) ধ্ৰুৱক (D) বৰ্ধমানো নহয়, হ্ৰাসমানো নহয়
উত্তৰঃ (A) সতত বৰ্ধমান। $f^{\prime}(x) = e^x > 0$ সকলো $x$ ৰ বাবে।
6. $f(x) = 2x^3 – 3x^2 – 12x + 5$ ফলনটোৰ $x = 2$ বিন্দুটো এটা
(A) স্থানীয় গৰিষ্ঠ বিন্দু (B) স্থানীয় লঘিষ্ঠ বিন্দু (C) নতি বিন্দু (D) ক্ৰান্তিক বিন্দু নহয়
উত্তৰঃ (B) স্থানীয় লঘিষ্ঠ বিন্দু। $f^{\prime}(x) = 6(x – 2)(x + 1)$, $f^{\prime\prime}(x) = 12x – 6$; $x = 2$ ত $f^{\prime\prime} = 18 > 0$।
7. দ্বিতীয় অৱকলজ পৰীক্ষা অনুসৰি $f^{\prime}(c) = 0$ আৰু $f^{\prime\prime}(c) < 0$ হ’লে $c$ এটা
(A) স্থানীয় লঘিষ্ঠ বিন্দু (B) স্থানীয় গৰিষ্ঠ বিন্দু (C) নতি বিন্দু (D) মূৰ বিন্দু
উত্তৰঃ (B) স্থানীয় গৰিষ্ঠ বিন্দু।
8. $[-2, 2]$ অন্তৰালত $f(x) = x^3$ ৰ পৰম গৰিষ্ঠ মান হ’ল
(A) $0$ (B) $2$ (C) $8$ (D) $-8$
উত্তৰঃ (C) $8$, যি $x = 2$ ত হয়।
খালী ঠাই পূৰ কৰা
1. এটা অন্তৰালত ফলন $f$ বৰ্ধমান হয় যদি সেই অন্তৰালত $f^{\prime}(x)$ ______ হয়।
উত্তৰঃ ধনাত্মক (অৰ্থাৎ $f^{\prime}(x) > 0$)।
2. যিবোৰ বিন্দুত $f^{\prime}(c) = 0$ বা $f$ অৱকলনীয় নহয়, সেইবোৰক $f$ ৰ ______ বিন্দু বোলা হয়।
উত্তৰঃ ক্ৰান্তিক।
3. দ্বিতীয় অৱকলজ পৰীক্ষাত $f^{\prime}(c) = 0$ আৰু $f^{\prime\prime}(c) > 0$ হ’লে $c$ এটা স্থানীয় ______ বিন্দু।
উত্তৰঃ লঘিষ্ঠ।
4. বৃত্তৰ কালি $A = \pi r^2$ ৰ ব্যাসাৰ্ধ সাপেক্ষে পৰিবৰ্তনৰ হাৰ ______।
উত্তৰঃ $2\pi r$।
5. যিটো বিন্দুত $f^{\prime}(x)$ এ চিন সলনি নকৰে, তাক ______ বিন্দু বোলা হয়।
উত্তৰঃ নতি (point of inflection)।
সঁচা নে মিছা লিখা
1. $f^{\prime}(x) > 0$ হ’লে ফলনটো হ্ৰাসমান।
উত্তৰঃ মিছা। $f^{\prime}(x) > 0$ হ’লে ফলনটো বৰ্ধমান।
2. এটা বন্ধ অন্তৰালত সংজ্ঞাবদ্ধ অবিচ্ছিন্ন ফলনৰ পৰম গৰিষ্ঠ আৰু পৰম লঘিষ্ঠ মান থাকে।
উত্তৰঃ সঁচা।
3. প্ৰতিটো ক্ৰান্তিক বিন্দু স্থানীয় গৰিষ্ঠ বা স্থানীয় লঘিষ্ঠ বিন্দু হয়।
উত্তৰঃ মিছা। ক্ৰান্তিক বিন্দু এটা নতি বিন্দুও হ’ব পাৰে।
4. প্ৰান্তিক ব্যয় হ’ল মুঠ ব্যয়ৰ উৎপাদন সাপেক্ষে অৱকলজ।
উত্তৰঃ সঁচা।
5. $\sin x + \cos x$ ৰ গৰিষ্ঠ মান $2$।
উত্তৰঃ মিছা। ইয়াৰ গৰিষ্ঠ মান $\sqrt{2}$।
চমু উত্তৰৰ প্ৰশ্ন
1. $f(x) = x^2 – 4x + 6$ কোন অন্তৰালত বৰ্ধমান?
উত্তৰঃ $f^{\prime}(x) = 2x – 4$; $x > 2$ ত $f^{\prime}(x) > 0$, গতিকে $(2, \infty)$ ত বৰ্ধমান।
2. দুটা ধনাত্মক সংখ্যাৰ যোগফল $20$ আৰু পূৰণফল গৰিষ্ঠ হ’লে সংখ্যা দুটা কি?
উত্তৰঃ $P = x(20 – x)$, $P^{\prime} = 20 – 2x = 0$ ৰ পৰা $x = 10$, আনটো $10$। সংখ্যা দুটা $10$ আৰু $10$।
3. $r = 7$ ছেমি ত বৃত্তৰ কালিৰ ব্যাসাৰ্ধ সাপেক্ষে পৰিবৰ্তনৰ হাৰ উলিওৱা।
উত্তৰঃ $\frac{dA}{dr} = 2\pi r = 2\pi(7) = 14\pi$ বৰ্গ ছেমি প্ৰতি ছেমি।
4. $f(x) = x^3 – 3x + 3$ ৰ স্থানীয় গৰিষ্ঠ আৰু স্থানীয় লঘিষ্ঠ মান উলিওৱা।
উত্তৰঃ $f^{\prime}(x) = 3x^2 – 3 = 3(x – 1)(x + 1) = 0$ ৰ পৰা $x = \pm 1$। $f^{\prime\prime}(x) = 6x$; $x = -1$ ত স্থানীয় গৰিষ্ঠ, মান $f(-1) = 5$; $x = 1$ ত স্থানীয় লঘিষ্ঠ, মান $f(1) = 1$।
শব্দাৰ্থ
| অসমীয়া শব্দ | English term | অৰ্থ |
|---|---|---|
| অৱকলজ | Derivative | এটা ফলনৰ পৰিবৰ্তনৰ হাৰ বুজোৱা ৰাশি |
| পৰিবৰ্তনৰ হাৰ | Rate of change | এটা ৰাশি আন এটাৰ সাপেক্ষে কিমান বেগেৰে সলনি হয় |
| শৃংখল বিধি | Chain rule | সংযোজিত ফলন অৱকলন কৰাৰ নিয়ম |
| প্ৰান্তিক ব্যয় | Marginal cost | উৎপাদন সাপেক্ষে মুঠ ব্যয়ৰ তাৎকালিক পৰিবৰ্তনৰ হাৰ |
| বৰ্ধমান ফলন | Increasing function | যিটোৰ মান $x$ বাঢ়িলে বাঢ়ে |
| হ্ৰাসমান ফলন | Decreasing function | যিটোৰ মান $x$ বাঢ়িলে কমে |
| ক্ৰান্তিক বিন্দু | Critical point | য’ত $f^{\prime}(x) = 0$ বা $f$ অৱকলনীয় নহয় |
| স্থানীয় গৰিষ্ঠ | Local maxima | ওচৰৰ অঞ্চলত ফলনৰ সৰ্বোচ্চ মান |
| স্থানীয় লঘিষ্ঠ | Local minima | ওচৰৰ অঞ্চলত ফলনৰ সৰ্বনিম্ন মান |
| নতি বিন্দু | Point of inflection | য’ত $f^{\prime}(x)$ চিন সলনি নকৰে |
| পৰম গৰিষ্ঠ | Absolute maximum | সমগ্ৰ অন্তৰালত ফলনৰ সৰ্বোচ্চ মান |
| পৰম লঘিষ্ঠ | Absolute minimum | সমগ্ৰ অন্তৰালত ফলনৰ সৰ্বনিম্ন মান |