অবিচ্ছিন্নতা আৰু অৱকলনীয়তা — প্ৰশ্ন উত্তৰ
HSLC Guru-ত আপোনাক স্বাগতম। এই পাঠত ASSEB Class 12 গণিতৰ পঞ্চম অধ্যায় “অবিচ্ছিন্নতা আৰু অৱকলনীয়তা (Continuity and Differentiability)”-ৰ প্ৰতিটো অনুশীলনীৰ পাঠ্যপুথিৰ প্ৰশ্নৰ সম্পূৰ্ণ, ধাপে ধাপে সমাধান দিয়া হৈছে। ইয়াত অবিচ্ছিন্নতা পৰীক্ষা, অৱকলনীয়তা, শৃংখল বিধি, অন্তৰ্নিহিত ফলন আৰু প্ৰতিলোম ত্ৰিকোণমিতীয়, সূচকীয় আৰু ঘাতাংকীয় ফলনৰ অৱকলজ উলিওৱাৰ প্ৰতিটো পদক্ষেপ বুজাই দিয়া হৈছে।
সাৰাংশ
এটা $f$ ফলন ইয়াৰ আদিক্ষেত্ৰৰ কোনো এটা বিন্দু $c$-ত অবিচ্ছিন্ন বুলি কোৱা হয় যদি $\lim_{x \to c} f(x) = f(c)$, অৰ্থাৎ $c$-ত বাওঁহতীয়া সীমা, সোঁহতীয়া সীমা আৰু ফলনটোৰ মান তিনিওটা সমান হয়। এটা ফলন কোনো অন্তৰালৰ প্ৰতিটো বিন্দুত অবিচ্ছিন্ন হ’লে ইয়াক সেই অন্তৰালত অবিচ্ছিন্ন বোলা হয়। দুটা অবিচ্ছিন্ন ফলনৰ যোগ, বিয়োগ, পূৰণ আৰু (হৰ শূন্য নোহোৱা ঠাইত) হৰণ পুনৰ অবিচ্ছিন্ন হয়; লগতে দুটা অবিচ্ছিন্ন ফলনৰ সংযোজনো অবিচ্ছিন্ন হয়। বহুপদ ফলন, পৰিমেয় ফলন আৰু ত্ৰিকোণমিতীয় ফলনবোৰ ইহঁতৰ আদিক্ষেত্ৰত অবিচ্ছিন্ন।
এটা $f$ ফলন ইয়াৰ আদিক্ষেত্ৰৰ $c$ বিন্দুত অৱকলনীয় হয় যদি তলৰ সীমাটো বিদ্যমান হয়: $f^{\prime}(c) = \lim_{h \to 0} \frac{f(c+h) – f(c)}{h}$। প্ৰতিটো অৱকলনীয় ফলন অবিচ্ছিন্ন হয়, কিন্তু ইয়াৰ বিপৰীতটো সদায় সত্য নহয় (যেনে $f(x) = |x|$ ফলনটো $x = 0$-ত অবিচ্ছিন্ন হ’লেও অৱকলনীয় নহয়)। যৌগিক ফলনৰ অৱকলজ উলিয়াবলৈ শৃংখল বিধি ব্যৱহাৰ হয়: যদি $y = f(t)$ আৰু $t = g(x)$, তেন্তে $\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dt} \cdot \frac{dt}{dx}$।
যেতিয়া $x$ আৰু $y$-ৰ সম্বন্ধ $y = f(x)$ আকাৰত সহজে প্ৰকাশ কৰিব নোৱাৰি, তেতিয়া সম্বন্ধটো উভয় পক্ষত $x$ সাপেক্ষে অৱকলন কৰি অন্তৰ্নিহিত ফলনৰ অৱকলজ পোৱা যায়। প্ৰতিলোম ত্ৰিকোণমিতীয় ফলনৰ অৱকলজবোৰ হ’ল $\frac{d}{dx}(\sin^{-1} x) = \frac{1}{\sqrt{1 – x^2}}$, $\frac{d}{dx}(\cos^{-1} x) = \frac{-1}{\sqrt{1 – x^2}}$ আৰু $\frac{d}{dx}(\tan^{-1} x) = \frac{1}{1 + x^2}$। সূচকীয় আৰু ঘাতাংকীয় ফলনৰ বাবে $\frac{d}{dx}(e^x) = e^x$ আৰু $\frac{d}{dx}(\log x) = \frac{1}{x}$। $y = [u(x)]^{v(x)}$ ধৰণৰ ফলনৰ অৱকলজ উলিয়াবলৈ উভয় পক্ষত লগ লৈ ঘাতাংকীয় অৱকলন পদ্ধতি ব্যৱহাৰ কৰা হয়।
Summary: This page gives complete, step-by-step solutions to ASSEB Class 12 Mathematics Chapter 5, Continuity and Differentiability. It covers testing continuity of functions, the algebra of continuous functions, differentiability, the chain rule, derivatives of implicit functions and inverse trigonometric functions, and the differentiation of exponential and logarithmic functions, following the prescribed ASSEB Class 12 Mathematics textbook.
পাঠ্যপুথিৰ প্ৰশ্ন আৰু উত্তৰ
অনুশীলনী 5.1
1. প্ৰমাণ কৰা যে $f(x) = 5x – 3$ ফলনটো $x = 0$, $x = -3$ আৰু $x = 5$-ত অবিচ্ছিন্ন।
উত্তৰঃ $f(x) = 5x – 3$ এটা বহুপদ ফলন, গতিকে যিকোনো বিন্দু $c$-ত ইয়াৰ সীমা প্ৰতিস্থাপনৰ দ্বাৰাই পোৱা যায় আৰু $\lim_{x \to c} f(x) = 5c – 3 = f(c)$।
$x = 0$-ত: $\lim_{x \to 0} (5x – 3) = -3 = f(0)$। $x = -3$-ত: $\lim_{x \to -3} (5x – 3) = -18 = f(-3)$। $x = 5$-ত: $\lim_{x \to 5} (5x – 3) = 22 = f(5)$। তিনিওটা বিন্দুতে $\lim_{x \to c} f(x) = f(c)$ হোৱা বাবে $f$ অবিচ্ছিন্ন। (প্ৰমাণিত)
2. $f(x) = 2x^2 – 1$ ফলনৰ $x = 3$-ত অবিচ্ছিন্নতা পৰীক্ষা কৰা।
উত্তৰঃ $f$ এটা বহুপদ ফলন। $\lim_{x \to 3} (2x^2 – 1) = 2(3)^2 – 1 = 18 – 1 = 17$ আৰু $f(3) = 2(3)^2 – 1 = 17$। যিহেতু $\lim_{x \to 3} f(x) = f(3)$, গতিকে $f$ ফলনটো $x = 3$-ত অবিচ্ছিন্ন।
3. তলৰ ফলনবোৰৰ অবিচ্ছিন্নতা পৰীক্ষা কৰা।
(a) $f(x) = x – 5$
উত্তৰঃ এইটো এটা বহুপদ ফলন, ইয়াৰ আদিক্ষেত্ৰ $\mathbb{R}$। যিকোনো বাস্তৱ সংখ্যা $c$-ৰ বাবে $\lim_{x \to c} (x – 5) = c – 5 = f(c)$। গতিকে $f$ প্ৰতিটো বাস্তৱ বিন্দুত অবিচ্ছিন্ন।
(b) $f(x) = \dfrac{1}{x – 5}$, $x \ne 5$
উত্তৰঃ ইয়াৰ আদিক্ষেত্ৰ $\mathbb{R} – \{5\}$। যিকোনো $c \ne 5$-ৰ বাবে $\lim_{x \to c} \dfrac{1}{x – 5} = \dfrac{1}{c – 5} = f(c)$। গতিকে $f$ ইয়াৰ আদিক্ষেত্ৰৰ প্ৰতিটো বিন্দুত অবিচ্ছিন্ন। ($x = 5$ আদিক্ষেত্ৰত নাই।)
(c) $f(x) = \dfrac{x^2 – 25}{x + 5}$, $x \ne -5$
উত্তৰঃ ইয়াৰ আদিক্ষেত্ৰ $\mathbb{R} – \{-5\}$। ই এটা পৰিমেয় ফলন আৰু আদিক্ষেত্ৰত হৰ শূন্য নহয়, গতিকে যিকোনো $c \ne -5$-ৰ বাবে $\lim_{x \to c} f(x) = \dfrac{c^2 – 25}{c + 5} = f(c)$। গতিকে $f$ ইয়াৰ আদিক্ষেত্ৰৰ প্ৰতিটো বিন্দুত অবিচ্ছিন্ন।
(d) $f(x) = |x – 5|$
উত্তৰঃ মডুলাস ফলন সকলো বাস্তৱ সংখ্যাত অবিচ্ছিন্ন আৰু $x – 5$ও অবিচ্ছিন্ন; দুটা অবিচ্ছিন্ন ফলনৰ সংযোজন অবিচ্ছিন্ন হয়। গতিকে $f(x) = |x – 5|$ প্ৰতিটো বাস্তৱ বিন্দুত অবিচ্ছিন্ন।
4. প্ৰমাণ কৰা যে $f(x) = x^n$ ফলনটো $x = n$-ত অবিচ্ছিন্ন, য’ত $n$ এটা ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যা।
উত্তৰঃ $f(x) = x^n$ এটা বহুপদ ফলন। $\lim_{x \to n} x^n = n^n$ আৰু $f(n) = n^n$। যিহেতু $\lim_{x \to n} f(x) = f(n)$, গতিকে $f$ ফলনটো $x = n$-ত অবিচ্ছিন্ন। (প্ৰমাণিত)
5. $f$ ফলনটোৰ সংজ্ঞা এনেদৰে দিয়া আছে —
$$f(x) = \begin{cases} x, & x \le 1 \\ 5, & x > 1 \end{cases}$$
ফলনটো $x = 0$, $x = 1$, $x = 2$-ত অবিচ্ছিন্ন হয়নে?
উত্তৰঃ $x = 0$-ত: $0$-ৰ ওচৰত $f(x) = x$, গতিকে $\lim_{x \to 0} f(x) = 0 = f(0)$ — অবিচ্ছিন্ন।
$x = 1$-ত: $f(1) = 1$। বাওঁহতীয়া সীমা $\lim_{x \to 1^-} x = 1$, সোঁহতীয়া সীমা $\lim_{x \to 1^+} 5 = 5$। দুয়োটা সীমা সমান নহয়, গতিকে $f$ ফলনটো $x = 1$-ত অবিচ্ছিন্ন নহয়।
$x = 2$-ত: $2$-ৰ ওচৰত $f(x) = 5$, গতিকে $\lim_{x \to 2} f(x) = 5 = f(2)$ — অবিচ্ছিন্ন।
$f$ ফলনৰ সংজ্ঞা তলত দিয়া ধৰণে দিয়া আছে। $f$-ৰ বিচ্ছিন্নতাৰ সকলো বিন্দু উলিওৱা। (প্ৰশ্ন 6 ৰ পৰা 13)
6. $$f(x) = \begin{cases} 2x + 3, & x \le 2 \\ 2x – 3, & x > 2 \end{cases}$$
উত্তৰঃ $x \ne 2$-ত $f$ ৰৈখিক ফলন হোৱা বাবে অবিচ্ছিন্ন। $x = 2$-ত পৰীক্ষা কৰোঁ: $f(2) = 2(2) + 3 = 7$। বাওঁহতীয়া সীমা $\lim_{x \to 2^-} (2x + 3) = 7$, সোঁহতীয়া সীমা $\lim_{x \to 2^+} (2x – 3) = 1$। দুয়োটা সীমা সমান নহয়, গতিকে $f$ কেৱল $x = 2$-ত বিচ্ছিন্ন।
7. $$f(x) = \begin{cases} |x| + 3, & x \le -3 \\ -2x, & -3 < x < 3 \\ 6x + 2, & x \ge 3 \end{cases}$$
উত্তৰঃ $x = -3$ আৰু $x = 3$ বিন্দুবোৰত পৰীক্ষা কৰোঁ; বাকী ঠাইত প্ৰতিটো টুকুৰা অবিচ্ছিন্ন।
$x = -3$-ত: $f(-3) = |-3| + 3 = 6$। বাওঁহতীয়া সীমা $\lim_{x \to -3^-} (|x| + 3) = 3 + 3 = 6$, সোঁহতীয়া সীমা $\lim_{x \to -3^+} (-2x) = 6$। তিনিওটা সমান, গতিকে $x = -3$-ত অবিচ্ছিন্ন।
$x = 3$-ত: $f(3) = 6(3) + 2 = 20$। বাওঁহতীয়া সীমা $\lim_{x \to 3^-} (-2x) = -6$, সোঁহতীয়া সীমা $\lim_{x \to 3^+} (6x + 2) = 20$। $-6 \ne 20$, গতিকে $f$ কেৱল $x = 3$-ত বিচ্ছিন্ন।
8. $$f(x) = \begin{cases} \dfrac{|x|}{x}, & x \ne 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases}$$
উত্তৰঃ $x > 0$-ৰ বাবে $\dfrac{|x|}{x} = 1$ আৰু $x < 0$-ৰ বাবে $\dfrac{|x|}{x} = -1$। $x = 0$-ত $f(0) = 0$। বাওঁহতীয়া সীমা $\lim_{x \to 0^-} f(x) = -1$, সোঁহতীয়া সীমা $\lim_{x \to 0^+} f(x) = 1$। দুয়ো সমান নহয়, গতিকে $f$ কেৱল $x = 0$-ত বিচ্ছিন্ন; আন সকলো বিন্দুত অবিচ্ছিন্ন।
9. $$f(x) = \begin{cases} \dfrac{x}{|x|}, & x < 0 \\ -1, & x \ge 0 \end{cases}$$
উত্তৰঃ $x < 0$-ৰ বাবে $|x| = -x$, গতিকে $\dfrac{x}{|x|} = \dfrac{x}{-x} = -1$। আকৌ $x \ge 0$-ৰ বাবেও $f(x) = -1$। গতিকে সকলো $x$-ৰ বাবে $f(x) = -1$, অৰ্থাৎ $f$ এটা ধ্ৰুৱক ফলন। ধ্ৰুৱক ফলন সকলো বাস্তৱ বিন্দুত অবিচ্ছিন্ন, গতিকে $f$-ৰ কোনো বিচ্ছিন্নতাৰ বিন্দু নাই।
10. $$f(x) = \begin{cases} x + 1, & x \ge 1 \\ x^2 + 1, & x < 1 \end{cases}$$
উত্তৰঃ $x = 1$-ত পৰীক্ষা কৰোঁ। $f(1) = 1 + 1 = 2$। বাওঁহতীয়া সীমা $\lim_{x \to 1^-} (x^2 + 1) = 2$, সোঁহতীয়া সীমা $\lim_{x \to 1^+} (x + 1) = 2$। তিনিওটা সমান, গতিকে $x = 1$-ত অবিচ্ছিন্ন। বাকী ঠাইত বহুপদ ফলন হোৱা বাবে অবিচ্ছিন্ন। গতিকে $f$-ৰ কোনো বিচ্ছিন্নতাৰ বিন্দু নাই।
11. $$f(x) = \begin{cases} x^3 – 3, & x \le 2 \\ x^2 + 1, & x > 2 \end{cases}$$
উত্তৰঃ $x = 2$-ত পৰীক্ষা কৰোঁ। $f(2) = 2^3 – 3 = 5$। বাওঁহতীয়া সীমা $\lim_{x \to 2^-} (x^3 – 3) = 5$, সোঁহতীয়া সীমা $\lim_{x \to 2^+} (x^2 + 1) = 5$। তিনিওটা সমান, গতিকে $x = 2$-ত অবিচ্ছিন্ন। বাকী ঠাইত বহুপদ ফলন হোৱা বাবে অবিচ্ছিন্ন। গতিকে $f$-ৰ কোনো বিচ্ছিন্নতাৰ বিন্দু নাই।
12. $$f(x) = \begin{cases} x^{10} – 1, & x \le 1 \\ x^2, & x > 1 \end{cases}$$
উত্তৰঃ $x = 1$-ত পৰীক্ষা কৰোঁ। $f(1) = 1^{10} – 1 = 0$। বাওঁহতীয়া সীমা $\lim_{x \to 1^-} (x^{10} – 1) = 0$, সোঁহতীয়া সীমা $\lim_{x \to 1^+} x^2 = 1$। $0 \ne 1$, গতিকে $f$ কেৱল $x = 1$-ত বিচ্ছিন্ন; আন সকলো বিন্দুত অবিচ্ছিন্ন।
13. $$f(x) = \begin{cases} x + 5, & x \le 1 \\ x – 5, & x > 1 \end{cases}$$ ৰ দ্বাৰা সংজ্ঞাবদ্ধ ফলনটো অবিচ্ছিন্ন হয়নে?
উত্তৰঃ $x = 1$-ত পৰীক্ষা কৰোঁ। $f(1) = 1 + 5 = 6$। বাওঁহতীয়া সীমা $\lim_{x \to 1^-} (x + 5) = 6$, সোঁহতীয়া সীমা $\lim_{x \to 1^+} (x – 5) = -4$। $6 \ne -4$, গতিকে $f$ ফলনটো $x = 1$-ত বিচ্ছিন্ন। সেয়েহে ই এটা অবিচ্ছিন্ন ফলন নহয় (কেৱল $x = 1$-ত বিচ্ছিন্ন)।
$f$ ফলনৰ অবিচ্ছিন্নতা বিচাৰ কৰা। (প্ৰশ্ন 14 ৰ পৰা 16)
14. $$f(x) = \begin{cases} 3, & 0 \le x \le 1 \\ 4, & 1 < x < 3 \\ 5, & 3 \le x \le 10 \end{cases}$$
উত্তৰঃ $f$-ৰ আদিক্ষেত্ৰ $[0, 10]$। প্ৰতিটো টুকুৰাত $f$ ধ্ৰুৱক হোৱা বাবে ভিতৰত অবিচ্ছিন্ন; সংযোগ বিন্দু $x = 1$ আৰু $x = 3$-ত পৰীক্ষা কৰোঁ।
$x = 1$-ত: $f(1) = 3$, বাওঁহতীয়া সীমা $= 3$, সোঁহতীয়া সীমা $\lim_{x \to 1^+} 4 = 4$। $3 \ne 4$ — বিচ্ছিন্ন। $x = 3$-ত: $f(3) = 5$, বাওঁহতীয়া সীমা $\lim_{x \to 3^-} 4 = 4$, সোঁহতীয়া সীমা $= 5$। $4 \ne 5$ — বিচ্ছিন্ন। গতিকে $f$ কেৱল $x = 1$ আৰু $x = 3$-ত বিচ্ছিন্ন, আন সকলো ঠাইত অবিচ্ছিন্ন।
15. $$f(x) = \begin{cases} 2x, & x < 0 \\ 0, & 0 \le x \le 1 \\ 4x, & x > 1 \end{cases}$$
উত্তৰঃ সংযোগ বিন্দু $x = 0$ আৰু $x = 1$-ত পৰীক্ষা কৰোঁ।
$x = 0$-ত: $f(0) = 0$, বাওঁহতীয়া সীমা $\lim_{x \to 0^-} 2x = 0$, সোঁহতীয়া সীমা $= 0$ — অবিচ্ছিন্ন। $x = 1$-ত: $f(1) = 0$, বাওঁহতীয়া সীমা $= 0$, সোঁহতীয়া সীমা $\lim_{x \to 1^+} 4x = 4$। $0 \ne 4$ — বিচ্ছিন্ন। গতিকে $f$ কেৱল $x = 1$-ত বিচ্ছিন্ন, আন সকলো ঠাইত অবিচ্ছিন্ন।
16. $$f(x) = \begin{cases} -2, & x \le -1 \\ 2x, & -1 < x \le 1 \\ 2, & x > 1 \end{cases}$$
উত্তৰঃ সংযোগ বিন্দু $x = -1$ আৰু $x = 1$-ত পৰীক্ষা কৰোঁ।
$x = -1$-ত: $f(-1) = -2$, বাওঁহতীয়া সীমা $= -2$, সোঁহতীয়া সীমা $\lim_{x \to -1^+} 2x = -2$ — অবিচ্ছিন্ন। $x = 1$-ত: $f(1) = 2(1) = 2$, বাওঁহতীয়া সীমা $\lim_{x \to 1^-} 2x = 2$, সোঁহতীয়া সীমা $= 2$ — অবিচ্ছিন্ন। গতিকে $f$ প্ৰতিটো বাস্তৱ বিন্দুত অবিচ্ছিন্ন; কোনো বিচ্ছিন্নতাৰ বিন্দু নাই।
17. $f$ ফলনৰ সংজ্ঞা এনেদৰে দিয়া আছে —
$$f(x) = \begin{cases} ax + 1, & x \le 3 \\ bx + 3, & x > 3 \end{cases}$$
ফলনটো $x = 3$-ত অবিচ্ছিন্ন হ’লে $a$ আৰু $b$-ৰ মাজৰ সম্বন্ধ উলিওৱা।
উত্তৰঃ $x = 3$-ত অবিচ্ছিন্নতাৰ বাবে বাওঁহতীয়া সীমা $=$ সোঁহতীয়া সীমা $= f(3)$ হ’ব লাগে। $f(3) = 3a + 1$ (বাওঁহতীয়া সীমাও ইয়াৰ সমান)। সোঁহতীয়া সীমা $\lim_{x \to 3^+} (bx + 3) = 3b + 3$। গতিকে $3a + 1 = 3b + 3$, অৰ্থাৎ $3a = 3b + 2$, অৰ্থাৎ $a = b + \dfrac{2}{3}$। এইটোৱেই $a$ আৰু $b$-ৰ মাজৰ সম্বন্ধ।
18. $\lambda$-ৰ কি মানৰ বাবে তলৰ সংজ্ঞাকৃত ফলনটো $x = 0$-ত অবিচ্ছিন্ন হ’ব? $x = 1$-ত অবিচ্ছিন্নতা সম্বন্ধে কি ক’বা?
$$f(x) = \begin{cases} \lambda(x^2 – 2x), & x \le 0 \\ 4x + 1, & x > 0 \end{cases}$$
উত্তৰঃ $x = 0$-ত: $f(0) = \lambda(0 – 0) = 0$ আৰু বাওঁহতীয়া সীমা $\lim_{x \to 0^-} \lambda(x^2 – 2x) = 0$। সোঁহতীয়া সীমা $\lim_{x \to 0^+} (4x + 1) = 1$। অবিচ্ছিন্নতাৰ বাবে $0 = 1$ হ’ব লাগিলহেঁতেন, যিটো অসম্ভৱ। গতিকে $\lambda$-ৰ কোনো মানৰ বাবেই $f$ ফলনটো $x = 0$-ত অবিচ্ছিন্ন নহয়।
$x = 1$-ত: $1$-ৰ ওচৰত $f(x) = 4x + 1$, যিটো এটা ৰৈখিক (বহুপদ) ফলন আৰু সকলো ঠাইত অবিচ্ছিন্ন। গতিকে $\lambda$-ৰ যিকোনো মানৰ বাবে $f$ ফলনটো $x = 1$-ত অবিচ্ছিন্ন।
19. দেখুওৱা যে $g(x) = x – [x]$-ৰ দ্বাৰা সংজ্ঞাকৃত ফলনটো সকলো অখণ্ড বিন্দুত বিচ্ছিন্ন। ইয়াত $[x]$-এ $x$ তকৈ সৰু অথবা সমান বৃহত্তম অখণ্ড সংখ্যা বুজাইছে।
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল $n$ এটা যিকোনো অখণ্ড সংখ্যা। $g(n) = n – [n] = n – n = 0$।
বাওঁহতীয়া সীমা: $x \to n^-$ হ’লে $x$ হ’ল $(n-1, n)$-ৰ ভিতৰত, গতিকে $[x] = n – 1$ আৰু $\lim_{x \to n^-} (x – [x]) = n – (n – 1) = 1$। সোঁহতীয়া সীমা: $x \to n^+$ হ’লে $[x] = n$, গতিকে $\lim_{x \to n^+} (x – [x]) = n – n = 0$। যিহেতু বাওঁহতীয়া সীমা $1 \ne 0 =$ সোঁহতীয়া সীমা, গতিকে $g$ প্ৰতিটো অখণ্ড বিন্দুত বিচ্ছিন্ন। (প্ৰমাণিত)
20. $f(x) = x^2 – \sin x + 5$-ৰ দ্বাৰা সংজ্ঞাকৃত ফলনটো $x = \pi$-ত অবিচ্ছিন্ন হয়নে?
উত্তৰঃ $x^2$, $\sin x$ আৰু ধ্ৰুৱক ফলন $5$ প্ৰতিটোৱে সকলো ঠাইত অবিচ্ছিন্ন; অবিচ্ছিন্ন ফলনৰ যোগ আৰু বিয়োগ অবিচ্ছিন্ন হয়, গতিকে $f$ সকলো ঠাইত অবিচ্ছিন্ন। বিশেষকৈ $\lim_{x \to \pi} (x^2 – \sin x + 5) = \pi^2 – \sin \pi + 5 = \pi^2 – 0 + 5 = \pi^2 + 5 = f(\pi)$। গতিকে $f$ ফলনটো $x = \pi$-ত অবিচ্ছিন্ন।
21. তলৰ ফলনবোৰৰ অবিচ্ছিন্নতা বিচাৰ কৰা।
উত্তৰঃ আমি জানো যে $\sin x$ আৰু $\cos x$ দুয়োটা সকলো বাস্তৱ সংখ্যাত অবিচ্ছিন্ন ফলন। অবিচ্ছিন্ন ফলনৰ যোগ, বিয়োগ আৰু পূৰণ অবিচ্ছিন্ন হয়। গতিকে —
(a) $f(x) = \sin x + \cos x$ অবিচ্ছিন্ন ফলনৰ যোগ, গতিকে সকলো $x$-ত অবিচ্ছিন্ন।
(b) $f(x) = \sin x – \cos x$ অবিচ্ছিন্ন ফলনৰ বিয়োগ, গতিকে সকলো $x$-ত অবিচ্ছিন্ন।
(c) $f(x) = \sin x \cdot \cos x$ অবিচ্ছিন্ন ফলনৰ পূৰণ, গতিকে সকলো $x$-ত অবিচ্ছিন্ন।
22. cosine, cosecant, secant আৰু cotangent ফলনৰ অবিচ্ছিন্নতা বিচাৰ কৰা।
উত্তৰঃ $\cos x$ সকলো বাস্তৱ সংখ্যাত অবিচ্ছিন্ন। বাকীবোৰ $\sin x$ আৰু $\cos x$-ৰ পৰিমেয় (ভাগফল) ৰূপত থকা বাবে হৰ শূন্য নোহোৱা ঠাইত অবিচ্ছিন্ন:
$\operatorname{cosec} x = \dfrac{1}{\sin x}$ অবিচ্ছিন্ন য’ত $\sin x \ne 0$, অৰ্থাৎ $x \ne n\pi$ ($n \in \mathbb{Z}$)। $\sec x = \dfrac{1}{\cos x}$ অবিচ্ছিন্ন য’ত $\cos x \ne 0$, অৰ্থাৎ $x \ne (2n + 1)\dfrac{\pi}{2}$। $\cot x = \dfrac{\cos x}{\sin x}$ অবিচ্ছিন্ন য’ত $\sin x \ne 0$, অৰ্থাৎ $x \ne n\pi$। এই বাদ দিয়া বিন্দুবোৰতহে ফলনবোৰ সংজ্ঞাবদ্ধ নহয় (বিচ্ছিন্ন)।
23. $f$-ৰ সংজ্ঞা এনেদৰে দিয়া আছে —
$$f(x) = \begin{cases} \dfrac{\sin x}{x}, & x < 0 \\ x + 1, & x \ge 0 \end{cases}$$
$f$-ৰ বিচ্ছিন্নতাৰ সকলোবোৰ বিন্দু উলিওৱা।
উত্তৰঃ $x = 0$-ত পৰীক্ষা কৰোঁ। $f(0) = 0 + 1 = 1$। বাওঁহতীয়া সীমা $\lim_{x \to 0^-} \dfrac{\sin x}{x} = 1$ (মানক সীমা), সোঁহতীয়া সীমা $\lim_{x \to 0^+} (x + 1) = 1$। তিনিওটা সমান, গতিকে $x = 0$-ত অবিচ্ছিন্ন। $x < 0$-ত $\dfrac{\sin x}{x}$ আৰু $x > 0$-ত $x + 1$ অবিচ্ছিন্ন। গতিকে $f$-ৰ কোনো বিচ্ছিন্নতাৰ বিন্দু নাই — ই সকলো ঠাইত অবিচ্ছিন্ন।
24. $f$ ফলনৰ সংজ্ঞা এনেদৰে দিয়া আছে —
$$f(x) = \begin{cases} x^2 \sin \dfrac{1}{x}, & x \ne 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases}$$
ফলনটো অবিচ্ছিন্ন হয়নে স্থিৰ কৰা।
উত্তৰঃ $x \ne 0$-ত $x^2$ আৰু $\sin \dfrac{1}{x}$ অবিচ্ছিন্ন, গতিকে ইহঁতৰ পূৰণো অবিচ্ছিন্ন। এতিয়া $x = 0$-ত পৰীক্ষা কৰোঁ। সকলো $x$-ৰ বাবে $\left| \sin \dfrac{1}{x} \right| \le 1$, গতিকে $\left| x^2 \sin \dfrac{1}{x} \right| \le x^2$। যিহেতু $x \to 0$ হ’লে $x^2 \to 0$, স্যাণ্ডউইচ উপপাদ্যৰ দ্বাৰা $\lim_{x \to 0} x^2 \sin \dfrac{1}{x} = 0 = f(0)$। গতিকে $x = 0$-তো অবিচ্ছিন্ন। সেয়েহে $f$ এটা অবিচ্ছিন্ন ফলন।
25. $f$-ৰ সংজ্ঞা এনেদৰে দিয়া আছে —
$$f(x) = \begin{cases} \sin x – \cos x, & x \ne 0 \\ -1, & x = 0 \end{cases}$$
$f$-ৰ অবিচ্ছিন্নতা পৰীক্ষা কৰা।
উত্তৰঃ $x \ne 0$-ত $\sin x – \cos x$ অবিচ্ছিন্ন ফলনৰ বিয়োগ হোৱা বাবে অবিচ্ছিন্ন। $x = 0$-ত: $f(0) = -1$ আৰু $\lim_{x \to 0} (\sin x – \cos x) = \sin 0 – \cos 0 = 0 – 1 = -1 = f(0)$। গতিকে $x = 0$-তো অবিচ্ছিন্ন। সেয়েহে $f$ প্ৰতিটো বাস্তৱ বিন্দুত অবিচ্ছিন্ন।
প্ৰশ্ন 26 ৰ পৰা 29 লৈ নিৰ্দিষ্ট বিন্দুবোৰত $f$ ফলন অবিচ্ছিন্ন হ’লে $k$-ৰ মান উলিওৱা।
26. $$f(x) = \begin{cases} \dfrac{k \cos x}{\pi – 2x}, & x \ne \dfrac{\pi}{2} \\ 3, & x = \dfrac{\pi}{2} \end{cases}$$ $x = \dfrac{\pi}{2}$ বিন্দুত।
উত্তৰঃ অবিচ্ছিন্নতাৰ বাবে $\lim_{x \to \pi/2} \dfrac{k \cos x}{\pi – 2x} = f\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 3$ হ’ব লাগে। $x = \dfrac{\pi}{2} + h$ ধৰোঁ; $h \to 0$ হ’লে $x \to \dfrac{\pi}{2}$। $\cos\left(\dfrac{\pi}{2} + h\right) = -\sin h$ আৰু $\pi – 2x = \pi – 2\left(\dfrac{\pi}{2} + h\right) = -2h$। গতিকে
$$\lim_{h \to 0} \frac{k(-\sin h)}{-2h} = \frac{k}{2} \lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h} = \frac{k}{2}$$
গতিকে $\dfrac{k}{2} = 3$, অৰ্থাৎ $k = 6$।
27. $$f(x) = \begin{cases} kx^2, & x \le 2 \\ 3, & x > 2 \end{cases}$$ $x = 2$ বিন্দুত।
উত্তৰঃ $x = 2$-ত অবিচ্ছিন্নতাৰ বাবে বাওঁহতীয়া সীমা $=$ সোঁহতীয়া সীমা। $f(2) = k(2)^2 = 4k$ (বাওঁহতীয়া সীমাও ইয়াৰ সমান), সোঁহতীয়া সীমা $\lim_{x \to 2^+} 3 = 3$। গতিকে $4k = 3$, অৰ্থাৎ $k = \dfrac{3}{4}$।
28. $$f(x) = \begin{cases} kx + 1, & x \le \pi \\ \cos x, & x > \pi \end{cases}$$ $x = \pi$ বিন্দুত।
উত্তৰঃ $f(\pi) = k\pi + 1$ (বাওঁহতীয়া সীমাও ইয়াৰ সমান), সোঁহতীয়া সীমা $\lim_{x \to \pi^+} \cos x = \cos \pi = -1$। অবিচ্ছিন্নতাৰ বাবে $k\pi + 1 = -1$, অৰ্থাৎ $k\pi = -2$, গতিকে $k = -\dfrac{2}{\pi}$।
29. $$f(x) = \begin{cases} kx + 1, & x \le 5 \\ 3x – 5, & x > 5 \end{cases}$$ $x = 5$ বিন্দুত।
উত্তৰঃ $f(5) = 5k + 1$ (বাওঁহতীয়া সীমাও ইয়াৰ সমান), সোঁহতীয়া সীমা $\lim_{x \to 5^+} (3x – 5) = 10$। অবিচ্ছিন্নতাৰ বাবে $5k + 1 = 10$, অৰ্থাৎ $5k = 9$, গতিকে $k = \dfrac{9}{5}$।
30. তলৰ সংজ্ঞাকৃত ফলনটো অবিচ্ছিন্ন হ’লে $a$ আৰু $b$-ৰ মান উলিওৱা।
$$f(x) = \begin{cases} 5, & x \le 2 \\ ax + b, & 2 < x < 10 \\ 21, & x \ge 10 \end{cases}$$
উত্তৰঃ $f$ অবিচ্ছিন্ন হ’বলৈ সংযোগ বিন্দু $x = 2$ আৰু $x = 10$-ত সীমাবোৰ মিলিব লাগে।
$x = 2$-ত: $f(2) = 5$ আৰু সোঁহতীয়া সীমা $\lim_{x \to 2^+} (ax + b) = 2a + b$। গতিকে $2a + b = 5$ … (i)
$x = 10$-ত: $f(10) = 21$ আৰু বাওঁহতীয়া সীমা $\lim_{x \to 10^-} (ax + b) = 10a + b$। গতিকে $10a + b = 21$ … (ii)
(ii) ৰ পৰা (i) বিয়োগ কৰি: $8a = 16$, অৰ্থাৎ $a = 2$। (i)-ত বহুৱাই $b = 5 – 2(2) = 1$। গতিকে $a = 2$, $b = 1$।
31. দেখুওৱা যে $f(x) = \cos(x^2)$-ৰ দ্বাৰা সংজ্ঞাবদ্ধ ফলনটো অবিচ্ছিন্ন ফলন।
উত্তৰঃ ধৰোঁ $g(x) = x^2$ আৰু $h(x) = \cos x$। $g$ এটা বহুপদ ফলন হোৱা বাবে অবিচ্ছিন্ন আৰু $h$ও অবিচ্ছিন্ন। $f(x) = \cos(x^2) = (h \circ g)(x)$। দুটা অবিচ্ছিন্ন ফলনৰ সংযোজন অবিচ্ছিন্ন হয়, গতিকে $f$ এটা অবিচ্ছিন্ন ফলন। (প্ৰমাণিত)
32. দেখুওৱা যে $f(x) = |\cos x|$-ৰ দ্বাৰা সংজ্ঞাবদ্ধ ফলনটো অবিচ্ছিন্ন ফলন।
উত্তৰঃ ধৰোঁ $g(x) = \cos x$ আৰু $h(x) = |x|$। $g$ আৰু $h$ দুয়োটা অবিচ্ছিন্ন। $f(x) = |\cos x| = (h \circ g)(x)$ হ’ল দুটা অবিচ্ছিন্ন ফলনৰ সংযোজন, গতিকে $f$ অবিচ্ছিন্ন ফলন। (প্ৰমাণিত)
33. $\sin |x|$ অবিচ্ছিন্ন ফলন হয়নে নহয় পৰীক্ষা কৰা।
উত্তৰঃ ধৰোঁ $g(x) = |x|$ আৰু $h(x) = \sin x$। $g$ (মডুলাস ফলন) আৰু $h$ দুয়োটা সকলো ঠাইত অবিচ্ছিন্ন। $\sin |x| = (h \circ g)(x)$ হ’ল দুটা অবিচ্ছিন্ন ফলনৰ সংযোজন, গতিকে $\sin |x|$ এটা অবিচ্ছিন্ন ফলন।
34. $f(x) = |x| – |x + 1|$-ৰ দ্বাৰা সংজ্ঞাবদ্ধ $f$ ফলনৰ বিচ্ছিন্নতাৰ সকলো বিন্দু উলিওৱা।
উত্তৰঃ $|x|$ আৰু $|x + 1|$ দুয়োটা মডুলাস ফলন আৰু প্ৰতিটো বাস্তৱ বিন্দুত অবিচ্ছিন্ন। দুটা অবিচ্ছিন্ন ফলনৰ বিয়োগ অবিচ্ছিন্ন হয়, গতিকে $f(x) = |x| – |x + 1|$ প্ৰতিটো বাস্তৱ বিন্দুত অবিচ্ছিন্ন। সেয়েহে $f$-ৰ কোনো বিচ্ছিন্নতাৰ বিন্দু নাই।
অনুশীলনী 5.2
প্ৰশ্ন 1 ৰ পৰা 8 লৈ ফলনবোৰৰ $x$ সাপেক্ষে অৱকলজ উলিওৱা।
1. $\sin(x^2 + 5)$
উত্তৰঃ শৃংখল বিধিৰ সহায়ত, $\dfrac{d}{dx}\sin(x^2 + 5) = \cos(x^2 + 5) \cdot \dfrac{d}{dx}(x^2 + 5) = \cos(x^2 + 5) \cdot 2x = 2x \cos(x^2 + 5)$।
2. $\cos(\sin x)$
উত্তৰঃ $\dfrac{d}{dx}\cos(\sin x) = -\sin(\sin x) \cdot \dfrac{d}{dx}(\sin x) = -\sin(\sin x) \cdot \cos x = -\cos x \, \sin(\sin x)$।
3. $\sin(ax + b)$
উত্তৰঃ $\dfrac{d}{dx}\sin(ax + b) = \cos(ax + b) \cdot \dfrac{d}{dx}(ax + b) = \cos(ax + b) \cdot a = a \cos(ax + b)$।
4. $\sec(\tan \sqrt{x})$
উত্তৰঃ তিনিটা ফলনৰ সংযোজন। শৃংখল বিধি বাৰম্বাৰ প্ৰয়োগ কৰি —
$$\frac{d}{dx}\sec(\tan \sqrt{x}) = \sec(\tan \sqrt{x}) \tan(\tan \sqrt{x}) \cdot \sec^2(\sqrt{x}) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}$$
অৰ্থাৎ $\dfrac{d}{dx}\sec(\tan \sqrt{x}) = \dfrac{\sec(\tan \sqrt{x}) \, \tan(\tan \sqrt{x}) \, \sec^2 \sqrt{x}}{2\sqrt{x}}$।
5. $\dfrac{\sin(ax + b)}{\cos(cx + d)}$
উত্তৰঃ $u = \sin(ax + b)$, $v = \cos(cx + d)$ ধৰোঁ। তেন্তে $u^{\prime} = a\cos(ax + b)$ আৰু $v^{\prime} = -c\sin(cx + d)$। হৰণ বিধিৰে —
$$\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right) = \frac{u^{\prime}v – uv^{\prime}}{v^2} = \frac{a\cos(ax + b)\cos(cx + d) + c\sin(ax + b)\sin(cx + d)}{\cos^2(cx + d)}$$
6. $\cos x^3 \cdot \sin^2(x^5)$
উত্তৰঃ $u = \cos(x^3)$, $v = \sin^2(x^5) = [\sin(x^5)]^2$ ধৰোঁ। $u^{\prime} = -\sin(x^3) \cdot 3x^2 = -3x^2 \sin(x^3)$ আৰু $v^{\prime} = 2\sin(x^5) \cdot \cos(x^5) \cdot 5x^4 = 10x^4 \sin(x^5)\cos(x^5)$। পূৰণ বিধিৰে $\dfrac{d}{dx}(uv) = u^{\prime}v + uv^{\prime}$:
$$\frac{d}{dx}\big[\cos x^3 \sin^2 x^5\big] = -3x^2 \sin(x^3)\sin^2(x^5) + 10x^4 \cos(x^3)\sin(x^5)\cos(x^5)$$
7. $2\sqrt{\cot(x^2)}$
উত্তৰঃ $y = 2\sqrt{\cot(x^2)} = 2[\cot(x^2)]^{1/2}$ ধৰোঁ। শৃংখল বিধিৰে —
$$\frac{dy}{dx} = 2 \cdot \frac{1}{2}[\cot(x^2)]^{-1/2} \cdot \big(-\operatorname{cosec}^2(x^2)\big) \cdot 2x = \frac{-2x \operatorname{cosec}^2(x^2)}{\sqrt{\cot(x^2)}}$$
8. $\cos(\sqrt{x})$
উত্তৰঃ $\dfrac{d}{dx}\cos(\sqrt{x}) = -\sin(\sqrt{x}) \cdot \dfrac{d}{dx}(\sqrt{x}) = -\sin(\sqrt{x}) \cdot \dfrac{1}{2\sqrt{x}} = \dfrac{-\sin \sqrt{x}}{2\sqrt{x}}$।
9. প্ৰমাণ কৰা যে $f(x) = |x – 1|$, $x \in \mathbb{R}$-ৰ দ্বাৰা সংজ্ঞাবদ্ধ $f$ ফলনটো $x = 1$ বিন্দুত অৱকলনীয় নহয়।
উত্তৰঃ $f(1) = |1 – 1| = 0$। $x = 1$-ত অৱকলজৰ সংজ্ঞা প্ৰয়োগ কৰোঁ।
বাওঁহতীয়া অৱকলজ: $\lim_{h \to 0^-} \dfrac{f(1 + h) – f(1)}{h} = \lim_{h \to 0^-} \dfrac{|h|}{h}$। $h < 0$ হ’লে $|h| = -h$, গতিকে ইয়াৰ মান $\dfrac{-h}{h} = -1$।
সোঁহতীয়া অৱকলজ: $\lim_{h \to 0^+} \dfrac{|h|}{h}$। $h > 0$ হ’লে $|h| = h$, গতিকে ইয়াৰ মান $\dfrac{h}{h} = 1$।
বাওঁহতীয়া অৱকলজ $-1 \ne 1$ সোঁহতীয়া অৱকলজ, গতিকে সীমাটো বিদ্যমান নহয়। সেয়েহে $f$ ফলনটো $x = 1$-ত অৱকলনীয় নহয়। (প্ৰমাণিত)
10. প্ৰমাণ কৰা যে $f(x) = [x]$, $0 < x < 3$-ৰ দ্বাৰা সংজ্ঞাবদ্ধ বৃহত্তম অখণ্ড ফলনটো $x = 1$ আৰু $x = 2$-ত অৱকলনীয় নহয়।
উত্তৰঃ বৃহত্তম অখণ্ড ফলন $x = 1$ আৰু $x = 2$ (অখণ্ড বিন্দু)-ত অবিচ্ছিন্ন নহয়, আৰু যিটো ফলন কোনো বিন্দুত অবিচ্ছিন্ন নহয়, সেইটো তাত অৱকলনীয়ও নহয়। তথাপি অৱকলজৰ সংজ্ঞাৰে প্ৰত্যক্ষভাৱে দেখুৱাওঁ।
$x = 1$-ত: $f(1) = [1] = 1$। বাওঁহতীয়া অৱকলজ: $h \to 0^-$ হ’লে $1 + h \in (0, 1)$, গতিকে $[1 + h] = 0$ আৰু $\dfrac{f(1 + h) – f(1)}{h} = \dfrac{0 – 1}{h} = \dfrac{-1}{h}$, যিটো $h \to 0^-$-ত অসীমলৈ যায় (বিদ্যমান নহয়)। সোঁহতীয়া অৱকলজ: $h \to 0^+$ হ’লে $[1 + h] = 1$, গতিকে $\dfrac{1 – 1}{h} = 0$। দুয়ো সমান নহয়, গতিকে $x = 1$-ত অৱকলনীয় নহয়।
$x = 2$-ত: $f(2) = [2] = 2$। বাওঁহতীয়া অৱকলজ: $h \to 0^-$ হ’লে $2 + h \in (1, 2)$, গতিকে $[2 + h] = 1$ আৰু $\dfrac{1 – 2}{h} = \dfrac{-1}{h}$, যিটো বিদ্যমান নহয়। সোঁহতীয়া অৱকলজ: $[2 + h] = 2$, গতিকে $\dfrac{2 – 2}{h} = 0$। দুয়ো সমান নহয়, গতিকে $x = 2$-তো অৱকলনীয় নহয়। (প্ৰমাণিত)
অনুশীলনী 5.3
অধোলিখিতবোৰৰ $\dfrac{dy}{dx}$ উলিওৱা।
1. $2x + 3y = \sin x$
উত্তৰঃ উভয় পক্ষ $x$ সাপেক্ষে অৱকলন কৰি: $2 + 3\dfrac{dy}{dx} = \cos x$। গতিকে $3\dfrac{dy}{dx} = \cos x – 2$, অৰ্থাৎ $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{\cos x – 2}{3}$।
2. $2x + 3y = \sin y$
উত্তৰঃ উভয় পক্ষ $x$ সাপেক্ষে অৱকলন কৰি: $2 + 3\dfrac{dy}{dx} = \cos y \dfrac{dy}{dx}$। গতিকে $2 = (\cos y – 3)\dfrac{dy}{dx}$, অৰ্থাৎ $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{2}{\cos y – 3}$।
3. $ax + by^2 = \cos y$
উত্তৰঃ উভয় পক্ষ অৱকলন কৰি: $a + 2by\dfrac{dy}{dx} = -\sin y \dfrac{dy}{dx}$। গতিকে $(2by + \sin y)\dfrac{dy}{dx} = -a$, অৰ্থাৎ $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{-a}{2by + \sin y}$।
4. $xy + y^2 = \tan x + y$
উত্তৰঃ উভয় পক্ষ অৱকলন কৰি (পূৰণ বিধিৰে $xy$-ৰ অৱকলজ $y + x\dfrac{dy}{dx}$): $y + x\dfrac{dy}{dx} + 2y\dfrac{dy}{dx} = \sec^2 x + \dfrac{dy}{dx}$।
$\dfrac{dy}{dx}$ থকা পদবোৰ একেফালে আনি: $(x + 2y – 1)\dfrac{dy}{dx} = \sec^2 x – y$, অৰ্থাৎ $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{\sec^2 x – y}{x + 2y – 1}$।
5. $x^2 + xy + y^2 = 100$
উত্তৰঃ উভয় পক্ষ অৱকলন কৰি: $2x + \left(y + x\dfrac{dy}{dx}\right) + 2y\dfrac{dy}{dx} = 0$। গতিকে $(x + 2y)\dfrac{dy}{dx} = -(2x + y)$, অৰ্থাৎ $\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{2x + y}{x + 2y}$।
6. $x^3 + x^2 y + xy^2 + y^3 = 81$
উত্তৰঃ উভয় পক্ষ অৱকলন কৰি: $3x^2 + \left(2xy + x^2\dfrac{dy}{dx}\right) + \left(y^2 + 2xy\dfrac{dy}{dx}\right) + 3y^2\dfrac{dy}{dx} = 0$।
$\dfrac{dy}{dx}$-ৰ পদবোৰ একত্ৰিত কৰি: $(x^2 + 2xy + 3y^2)\dfrac{dy}{dx} = -(3x^2 + 2xy + y^2)$, অৰ্থাৎ $\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{3x^2 + 2xy + y^2}{x^2 + 2xy + 3y^2}$।
7. $\sin^2 y + \cos(xy) = k$
উত্তৰঃ উভয় পক্ষ অৱকলন কৰি: $2\sin y \cos y \dfrac{dy}{dx} – \sin(xy)\left(y + x\dfrac{dy}{dx}\right) = 0$, অৰ্থাৎ $\sin 2y \dfrac{dy}{dx} – y\sin(xy) – x\sin(xy)\dfrac{dy}{dx} = 0$।
গতিকে $\big(\sin 2y – x\sin(xy)\big)\dfrac{dy}{dx} = y\sin(xy)$, অৰ্থাৎ $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{y\sin(xy)}{\sin 2y – x\sin(xy)}$।
8. $\sin^2 x + \cos^2 y = 1$
উত্তৰঃ উভয় পক্ষ অৱকলন কৰি: $2\sin x \cos x + 2\cos y(-\sin y)\dfrac{dy}{dx} = 0$, অৰ্থাৎ $\sin 2x – \sin 2y \dfrac{dy}{dx} = 0$। গতিকে $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{\sin 2x}{\sin 2y}$।
9. $y = \sin^{-1}\left(\dfrac{2x}{1 + x^2}\right)$
উত্তৰঃ $x = \tan\theta$ ধৰোঁ। তেন্তে $\dfrac{2x}{1 + x^2} = \dfrac{2\tan\theta}{1 + \tan^2\theta} = \sin 2\theta$। গতিকে $y = \sin^{-1}(\sin 2\theta) = 2\theta = 2\tan^{-1} x$।
এতিয়া অৱকলন কৰি $\dfrac{dy}{dx} = 2 \cdot \dfrac{1}{1 + x^2} = \dfrac{2}{1 + x^2}$।
10. $y = \tan^{-1}\left(\dfrac{3x – x^3}{1 – 3x^2}\right)$, $-\dfrac{1}{\sqrt{3}} < x < \dfrac{1}{\sqrt{3}}$
উত্তৰঃ $x = \tan\theta$ ধৰোঁ। তেন্তে $\dfrac{3x – x^3}{1 – 3x^2} = \dfrac{3\tan\theta – \tan^3\theta}{1 – 3\tan^2\theta} = \tan 3\theta$। গতিকে $y = \tan^{-1}(\tan 3\theta) = 3\theta = 3\tan^{-1} x$।
এতিয়া $\dfrac{dy}{dx} = 3 \cdot \dfrac{1}{1 + x^2} = \dfrac{3}{1 + x^2}$।
11. $y = \cos^{-1}\left(\dfrac{1 – x^2}{1 + x^2}\right)$, $0 < x < 1$
উত্তৰঃ $x = \tan\theta$ ধৰোঁ ($\theta \in \left(0, \dfrac{\pi}{4}\right)$)। তেন্তে $\dfrac{1 – x^2}{1 + x^2} = \dfrac{1 – \tan^2\theta}{1 + \tan^2\theta} = \cos 2\theta$। গতিকে $y = \cos^{-1}(\cos 2\theta) = 2\theta = 2\tan^{-1} x$।
এতিয়া $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{2}{1 + x^2}$।
12. $y = \sin^{-1}\left(\dfrac{1 – x^2}{1 + x^2}\right)$, $0 < x < 1$
উত্তৰঃ $x = \tan\theta$ ধৰোঁ। তেন্তে $\dfrac{1 – x^2}{1 + x^2} = \cos 2\theta = \sin\left(\dfrac{\pi}{2} – 2\theta\right)$। গতিকে $y = \dfrac{\pi}{2} – 2\theta = \dfrac{\pi}{2} – 2\tan^{-1} x$।
এতিয়া $\dfrac{dy}{dx} = 0 – 2 \cdot \dfrac{1}{1 + x^2} = -\dfrac{2}{1 + x^2}$।
13. $y = \cos^{-1}\left(\dfrac{2x}{1 + x^2}\right)$, $-1 < x < 1$
উত্তৰঃ $x = \tan\theta$ ধৰোঁ ($\theta \in \left(-\dfrac{\pi}{4}, \dfrac{\pi}{4}\right)$)। তেন্তে $\dfrac{2x}{1 + x^2} = \sin 2\theta = \cos\left(\dfrac{\pi}{2} – 2\theta\right)$। গতিকে $y = \dfrac{\pi}{2} – 2\theta = \dfrac{\pi}{2} – 2\tan^{-1} x$।
এতিয়া $\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{2}{1 + x^2}$।
14. $y = \sin^{-1}\left(2x\sqrt{1 – x^2}\right)$, $-\dfrac{1}{\sqrt{2}} < x < \dfrac{1}{\sqrt{2}}$
উত্তৰঃ $x = \sin\theta$ ধৰোঁ ($\theta \in \left(-\dfrac{\pi}{4}, \dfrac{\pi}{4}\right)$)। তেন্তে $2x\sqrt{1 – x^2} = 2\sin\theta\cos\theta = \sin 2\theta$। গতিকে $y = \sin^{-1}(\sin 2\theta) = 2\theta = 2\sin^{-1} x$।
এতিয়া $\dfrac{dy}{dx} = 2 \cdot \dfrac{1}{\sqrt{1 – x^2}} = \dfrac{2}{\sqrt{1 – x^2}}$।
15. $y = \sec^{-1}\left(\dfrac{1}{2x^2 – 1}\right)$, $0 < x < \dfrac{1}{\sqrt{2}}$
উত্তৰঃ $x = \cos\theta$ ধৰোঁ। তেন্তে $2x^2 – 1 = 2\cos^2\theta – 1 = \cos 2\theta$, গতিকে $\dfrac{1}{2x^2 – 1} = \dfrac{1}{\cos 2\theta} = \sec 2\theta$। সেয়ে $y = \sec^{-1}(\sec 2\theta) = 2\theta = 2\cos^{-1} x$।
এতিয়া $\dfrac{dy}{dx} = 2 \cdot \left(-\dfrac{1}{\sqrt{1 – x^2}}\right) = -\dfrac{2}{\sqrt{1 – x^2}}$।
অনুশীলনী 5.4
অধোলিখিতবোৰৰ $x$ সাপেক্ষে অৱকলজ উলিওৱা।
1. $\dfrac{e^x}{\sin x}$
উত্তৰঃ হৰণ বিধিৰে —
$$\frac{d}{dx}\left(\frac{e^x}{\sin x}\right) = \frac{e^x \sin x – e^x \cos x}{\sin^2 x} = \frac{e^x(\sin x – \cos x)}{\sin^2 x}$$
2. $e^{\sin^{-1} x}$
উত্তৰঃ শৃংখল বিধিৰে $\dfrac{d}{dx}e^{\sin^{-1} x} = e^{\sin^{-1} x} \cdot \dfrac{d}{dx}(\sin^{-1} x) = e^{\sin^{-1} x} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{1 – x^2}} = \dfrac{e^{\sin^{-1} x}}{\sqrt{1 – x^2}}$।
3. $e^{x^3}$
উত্তৰঃ $\dfrac{d}{dx}e^{x^3} = e^{x^3} \cdot \dfrac{d}{dx}(x^3) = e^{x^3} \cdot 3x^2 = 3x^2 e^{x^3}$।
4. $\sin(\tan^{-1} e^{-x})$
উত্তৰঃ শৃংখল বিধি বাৰম্বাৰ প্ৰয়োগ কৰি —
$$\frac{d}{dx}\sin(\tan^{-1} e^{-x}) = \cos(\tan^{-1} e^{-x}) \cdot \frac{1}{1 + (e^{-x})^2} \cdot \frac{d}{dx}(e^{-x}) = \frac{-e^{-x}\cos(\tan^{-1} e^{-x})}{1 + e^{-2x}}$$
5. $\log(\cos e^x)$
উত্তৰঃ শৃংখল বিধিৰে —
$$\frac{d}{dx}\log(\cos e^x) = \frac{1}{\cos e^x} \cdot (-\sin e^x) \cdot e^x = -e^x \tan(e^x)$$
6. $e^x + e^{x^2} + \dots + e^{x^5}$
উত্তৰঃ প্ৰতিটো পদ $e^{x^k}$-ৰ অৱকলজ $e^{x^k} \cdot k x^{k-1}$। গতিকে —
$$\frac{d}{dx}\big(e^x + e^{x^2} + e^{x^3} + e^{x^4} + e^{x^5}\big) = e^x + 2x\,e^{x^2} + 3x^2 e^{x^3} + 4x^3 e^{x^4} + 5x^4 e^{x^5}$$
7. $\sqrt{e^{\sqrt{x}}}$, $x > 0$
উত্তৰঃ $y = \sqrt{e^{\sqrt{x}}} = \left(e^{\sqrt{x}}\right)^{1/2}$ ধৰোঁ। শৃংখল বিধিৰে —
$$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2}\left(e^{\sqrt{x}}\right)^{-1/2} \cdot e^{\sqrt{x}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{\left(e^{\sqrt{x}}\right)^{1/2}}{4\sqrt{x}} = \frac{\sqrt{e^{\sqrt{x}}}}{4\sqrt{x}}$$
8. $\log(\log x)$, $x > 1$
উত্তৰঃ শৃংখল বিধিৰে $\dfrac{d}{dx}\log(\log x) = \dfrac{1}{\log x} \cdot \dfrac{d}{dx}(\log x) = \dfrac{1}{\log x} \cdot \dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{x \log x}$।
9. $\dfrac{\cos x}{\log x}$, $x > 0$
উত্তৰঃ হৰণ বিধিৰে —
$$\frac{d}{dx}\left(\frac{\cos x}{\log x}\right) = \frac{-\sin x \cdot \log x – \cos x \cdot \dfrac{1}{x}}{(\log x)^2} = -\frac{x \sin x \log x + \cos x}{x (\log x)^2}$$
10. $\cos(\log x + e^x)$, $x > 0$
উত্তৰঃ শৃংখল বিধিৰে —
$$\frac{d}{dx}\cos(\log x + e^x) = -\sin(\log x + e^x) \cdot \left(\frac{1}{x} + e^x\right) = -\left(\frac{1}{x} + e^x\right)\sin(\log x + e^x)$$
অনুশীলনী 5.5
1 ৰ পৰা 11 নম্বৰলৈ অনুশীলনীত থকা ফলনবোৰৰ $x$ সাপেক্ষে অৱকলজ উলিওৱা।
1. $\cos x \cdot \cos 2x \cdot \cos 3x$
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল $y = \cos x \cos 2x \cos 3x$। ঘাতাংকীয় অৱকলন প্ৰয়োগ কৰি উভয় পক্ষত $\log$ লওঁ।
$$\log y = \log(\cos x) + \log(\cos 2x) + \log(\cos 3x)$$
$x$ সাপেক্ষে অৱকলন কৰি পাওঁ
$$\frac{1}{y}\frac{dy}{dx} = -\tan x – 2\tan 2x – 3\tan 3x$$
$$\frac{dy}{dx} = -\cos x \cos 2x \cos 3x\,(\tan x + 2\tan 2x + 3\tan 3x)$$
2. $\sqrt{\dfrac{(x-1)(x-2)}{(x-3)(x-4)(x-5)}}$
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল $y = \sqrt{\dfrac{(x-1)(x-2)}{(x-3)(x-4)(x-5)}}$। $\log$ লৈ পাওঁ
$$\log y = \frac{1}{2}\left[\log(x-1) + \log(x-2) – \log(x-3) – \log(x-4) – \log(x-5)\right]$$
অৱকলন কৰি
$$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{(x-1)(x-2)}{(x-3)(x-4)(x-5)}}\left[\frac{1}{x-1} + \frac{1}{x-2} – \frac{1}{x-3} – \frac{1}{x-4} – \frac{1}{x-5}\right]$$
3. $(\log x)^{\cos x}$
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল $y = (\log x)^{\cos x}$। $\log y = \cos x \cdot \log(\log x)$। অৱকলন কৰি
$$\frac{1}{y}\frac{dy}{dx} = -\sin x \cdot \log(\log x) + \cos x \cdot \frac{1}{\log x}\cdot\frac{1}{x}$$
$$\frac{dy}{dx} = (\log x)^{\cos x}\left[\frac{\cos x}{x\log x} – \sin x\,\log(\log x)\right]$$
4. $x^{x} – 2^{\sin x}$
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল $u = x^{x}$ আৰু $v = 2^{\sin x}$। $\log u = x\log x$ ৰ পৰা $\dfrac{du}{dx} = x^{x}(1 + \log x)$ আৰু $\dfrac{dv}{dx} = 2^{\sin x}\log 2 \cdot \cos x$।
$$\frac{dy}{dx} = x^{x}(1 + \log x) – 2^{\sin x}\cos x\,\log 2$$
5. $(x+3)^{2}\cdot(x+4)^{3}\cdot(x+5)^{4}$
উত্তৰঃ $\log y = 2\log(x+3) + 3\log(x+4) + 4\log(x+5)$। অৱকলন কৰি
$$\frac{dy}{dx} = (x+3)^{2}(x+4)^{3}(x+5)^{4}\left[\frac{2}{x+3} + \frac{3}{x+4} + \frac{4}{x+5}\right]$$
সৰল কৰি ইয়াক এনেদৰেও লিখিব পাৰি
$$\frac{dy}{dx} = (x+3)(x+4)^{2}(x+5)^{3}(9x^{2} + 70x + 133)$$
6. $\left(x + \dfrac{1}{x}\right)^{x} + x^{\left(1 + \frac{1}{x}\right)}$
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল $u = \left(x + \dfrac{1}{x}\right)^{x}$ আৰু $v = x^{\left(1 + \frac{1}{x}\right)}$।
$\log u = x\log\left(x + \dfrac{1}{x}\right)$ ৰ পৰা
$$\frac{du}{dx} = \left(x + \frac{1}{x}\right)^{x}\left[\log\left(x + \frac{1}{x}\right) + \frac{x^{2}-1}{x^{2}+1}\right]$$
$\log v = \left(1 + \dfrac{1}{x}\right)\log x$ ৰ পৰা
$$\frac{dv}{dx} = x^{\left(1 + \frac{1}{x}\right)}\cdot\frac{x + 1 – \log x}{x^{2}}$$
গতিকে $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{du}{dx} + \dfrac{dv}{dx}$।
7. $(\log x)^{x} + x^{\log x}$
উত্তৰঃ $u = (\log x)^{x}$ ৰ বাবে $\log u = x\log(\log x)$, গতিকে $\dfrac{du}{dx} = (\log x)^{x}\left[\log(\log x) + \dfrac{1}{\log x}\right]$।
$v = x^{\log x}$ ৰ বাবে $\log v = (\log x)^{2}$, গতিকে $\dfrac{dv}{dx} = 2x^{\log x – 1}\log x$।
$$\frac{dy}{dx} = (\log x)^{x}\left[\log(\log x) + \frac{1}{\log x}\right] + 2x^{\log x – 1}\log x$$
8. $(\sin x)^{x} + \sin^{-1}\sqrt{x}$
উত্তৰঃ $u = (\sin x)^{x}$ ৰ বাবে $\log u = x\log(\sin x)$, গতিকে $\dfrac{du}{dx} = (\sin x)^{x}(x\cot x + \log\sin x)$।
$\dfrac{d}{dx}\sin^{-1}\sqrt{x} = \dfrac{1}{\sqrt{1-x}}\cdot\dfrac{1}{2\sqrt{x}} = \dfrac{1}{2\sqrt{x – x^{2}}}$।
$$\frac{dy}{dx} = (\sin x)^{x}(x\cot x + \log\sin x) + \frac{1}{2\sqrt{x – x^{2}}}$$
9. $x^{\sin x} + (\sin x)^{\cos x}$
উত্তৰঃ $u = x^{\sin x}$ ৰ বাবে $\log u = \sin x\,\log x$, গতিকে $\dfrac{du}{dx} = x^{\sin x}\left(\cos x\,\log x + \dfrac{\sin x}{x}\right)$।
$v = (\sin x)^{\cos x}$ ৰ বাবে $\log v = \cos x\,\log(\sin x)$, গতিকে $\dfrac{dv}{dx} = (\sin x)^{\cos x}\left(\cos x\cot x – \sin x\,\log\sin x\right)$।
$$\frac{dy}{dx} = x^{\sin x}\left(\cos x\,\log x + \frac{\sin x}{x}\right) + (\sin x)^{\cos x}\left(\cos x\cot x – \sin x\,\log\sin x\right)$$
10. $x^{x\cos x} + \dfrac{x^{2}+1}{x^{2}-1}$
উত্তৰঃ $u = x^{x\cos x}$ ৰ বাবে $\log u = x\cos x\,\log x$, গতিকে
$$\frac{du}{dx} = x^{x\cos x}\left[\cos x(1 + \log x) – x\sin x\,\log x\right]$$
ভাগফল বিধিৰে $\dfrac{d}{dx}\dfrac{x^{2}+1}{x^{2}-1} = \dfrac{-4x}{(x^{2}-1)^{2}}$।
$$\frac{dy}{dx} = x^{x\cos x}\left[\cos x(1 + \log x) – x\sin x\,\log x\right] – \frac{4x}{(x^{2}-1)^{2}}$$
11. $(x\cos x)^{x} + (x\sin x)^{\frac{1}{x}}$
উত্তৰঃ $u = (x\cos x)^{x}$ ৰ বাবে $\log u = x\left[\log x + \log\cos x\right]$, গতিকে $\dfrac{du}{dx} = (x\cos x)^{x}\left[1 – x\tan x + \log(x\cos x)\right]$।
$v = (x\sin x)^{\frac{1}{x}}$ ৰ বাবে $\log v = \dfrac{1}{x}\left[\log x + \log\sin x\right]$, গতিকে $\dfrac{dv}{dx} = (x\sin x)^{\frac{1}{x}}\cdot\dfrac{1 + x\cot x – \log(x\sin x)}{x^{2}}$।
$$\frac{dy}{dx} = (x\cos x)^{x}\left[1 – x\tan x + \log(x\cos x)\right] + (x\sin x)^{\frac{1}{x}}\cdot\frac{1 + x\cot x – \log(x\sin x)}{x^{2}}$$
12 ৰ পৰা 15 নম্বৰলৈ অনুশীলনীত থকা ফলনবোৰৰ $\dfrac{dy}{dx}$ উলিওৱা।
12. $x^{y} + y^{x} = 1$
উত্তৰঃ $x^{y}$ আৰু $y^{x}$ উভয়ক $x$ সাপেক্ষে অৱকলন কৰি পাওঁ
$$x^{y}\left(\frac{dy}{dx}\log x + \frac{y}{x}\right) + y^{x}\left(\log y + \frac{x}{y}\frac{dy}{dx}\right) = 0$$
$\dfrac{dy}{dx}$ ৰ বাবে সমাধান কৰি
$$\frac{dy}{dx} = -\frac{y\,x^{y-1} + y^{x}\log y}{x^{y}\log x + x\,y^{x-1}}$$
13. $y^{x} = x^{y}$
উত্তৰঃ উভয় পক্ষত $\log$ লৈ $x\log y = y\log x$ পাওঁ। অৱকলন কৰি
$$\log y + \frac{x}{y}\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dx}\log x + \frac{y}{x}$$
$$\frac{dy}{dx} = \frac{y(x\log y – y)}{x(y\log x – x)}$$
14. $(\cos x)^{y} = (\cos y)^{x}$
উত্তৰঃ $\log$ লৈ $y\log\cos x = x\log\cos y$। অৱকলন কৰি
$$\frac{dy}{dx}\log\cos x – y\tan x = \log\cos y – x\tan y\,\frac{dy}{dx}$$
$$\frac{dy}{dx} = \frac{\log\cos y + y\tan x}{\log\cos x + x\tan y}$$
15. $xy = e^{(x-y)}$
উত্তৰঃ $\log$ লৈ $\log x + \log y = x – y$ পাওঁ। অৱকলন কৰি
$$\frac{1}{x} + \frac{1}{y}\frac{dy}{dx} = 1 – \frac{dy}{dx}$$
$$\frac{dy}{dx} = \frac{y(x-1)}{x(1+y)}$$
16. $f(x) = (1 + x)(1 + x^{2})(1 + x^{4})(1 + x^{8})$ ৰ দ্বাৰা নিৰ্দিষ্ট ফলনটোৰ অৱকলজ উলিওৱা আৰু ইয়াৰ পৰা $f^{\prime}(1)$ উলিওৱা।
উত্তৰঃ $\log f = \log(1+x) + \log(1+x^{2}) + \log(1+x^{4}) + \log(1+x^{8})$। অৱকলন কৰি
$$f^{\prime}(x) = f(x)\left[\frac{1}{1+x} + \frac{2x}{1+x^{2}} + \frac{4x^{3}}{1+x^{4}} + \frac{8x^{7}}{1+x^{8}}\right]$$
$x = 1$ ত $f(1) = 2\cdot2\cdot2\cdot2 = 16$ আৰু বন্ধনীৰ মান $\dfrac{1}{2} + 1 + 2 + 4 = \dfrac{15}{2}$। গতিকে
$$f^{\prime}(1) = 16 \times \frac{15}{2} = 120$$
17. তলত উল্লেখ কৰা তিনিটা উপায়েৰে $(x^{2} – 5x + 8)(x^{3} + 7x + 9)$ ৰ অৱকলজ উলিওৱা, (i) পূৰণ বিধি ব্যৱহাৰ কৰি, (ii) পূৰণটোক প্ৰসাৰণ কৰি এটা মাত্ৰ বহুপদ হিচাপে প্ৰকাশ কৰি, (iii) ঘাতাংকীয় অৱকলনৰ সহায়ত। আটাইকেইটাৰ পৰা একে উত্তৰ পোৱা যাবনে?
উত্তৰঃ (i) পূৰণ বিধিঃ
$$\frac{dy}{dx} = (2x – 5)(x^{3} + 7x + 9) + (x^{2} – 5x + 8)(3x^{2} + 7) = 5x^{4} – 20x^{3} + 45x^{2} – 52x + 11$$
(ii) প্ৰসাৰণ কৰিঃ পূৰণটো প্ৰসাৰণ কৰিলে $y = x^{5} – 5x^{4} + 15x^{3} – 26x^{2} + 11x + 72$ পোৱা যায়, গতিকে
$$\frac{dy}{dx} = 5x^{4} – 20x^{3} + 45x^{2} – 52x + 11$$
(iii) ঘাতাংকীয় অৱকলনঃ $\log y = \log(x^{2}-5x+8) + \log(x^{3}+7x+9)$ ৰ পৰা
$$\frac{dy}{dx} = y\left[\frac{2x-5}{x^{2}-5x+8} + \frac{3x^{2}+7}{x^{3}+7x+9}\right] = 5x^{4} – 20x^{3} + 45x^{2} – 52x + 11$$
তিনিওটা উপায়ে একে উত্তৰ দিয়ে।
18. $u, v$ আৰু $w$ হ’ল $x$ ৰ ফলন। দেখুওৱা যে $\dfrac{d}{dx}(u\cdot v\cdot w) = \dfrac{du}{dx}v\cdot w + u\cdot\dfrac{dv}{dx}\cdot w + u\cdot v\dfrac{dw}{dx}$ — দুটা উপায়েৰে দেখুৱাবা: প্ৰথমতে পূৰণ বিধিৰ পৌনঃপুনিক প্ৰয়োগৰ দ্বাৰা, দ্বিতীয়তে ঘাতাংকীয় অৱকলনৰ সহায়ত।
উত্তৰঃ উপায় ১ (পূৰণ বিধিৰ পৌনঃপুনিক প্ৰয়োগ): $p = uv$ ধৰিলে $\dfrac{d}{dx}(uvw) = \dfrac{d}{dx}(pw) = \dfrac{dp}{dx}w + p\dfrac{dw}{dx}$। কিন্তু $\dfrac{dp}{dx} = \dfrac{du}{dx}v + u\dfrac{dv}{dx}$, গতিকে
$$\frac{d}{dx}(uvw) = \frac{du}{dx}vw + u\frac{dv}{dx}w + uv\frac{dw}{dx}$$
উপায় ২ (ঘাতাংকীয় অৱকলন): $y = uvw$ ধৰি $\log y = \log u + \log v + \log w$। অৱকলন কৰি $\dfrac{1}{y}\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{u}\dfrac{du}{dx} + \dfrac{1}{v}\dfrac{dv}{dx} + \dfrac{1}{w}\dfrac{dw}{dx}$। $y = uvw$ ৰে পূৰণ কৰি
$$\frac{dy}{dx} = vw\frac{du}{dx} + uw\frac{dv}{dx} + uv\frac{dw}{dx}$$
অনুশীলনী 5.6
অনুশীলনী 1 ৰ পৰা 10 লৈ সমীকৰণবোৰৰ দ্বাৰা $x$ আৰু $y$ প্ৰাচলিকভাৱে সংযুক্ত। প্ৰাচল অপনয়ন নকৰাকৈ $\dfrac{dy}{dx}$ উলিওৱা।
1. $x = 2at^{2},\ y = at^{4}$
উত্তৰঃ $\dfrac{dx}{dt} = 4at$ আৰু $\dfrac{dy}{dt} = 4at^{3}$। গতিকে
$$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{4at^{3}}{4at} = t^{2}$$
2. $x = a\cos\theta,\ y = b\cos\theta$
উত্তৰঃ $\dfrac{dx}{d\theta} = -a\sin\theta$ আৰু $\dfrac{dy}{d\theta} = -b\sin\theta$। গতিকে
$$\frac{dy}{dx} = \frac{-b\sin\theta}{-a\sin\theta} = \frac{b}{a}$$
3. $x = \sin t,\ y = \cos 2t$
উত্তৰঃ $\dfrac{dx}{dt} = \cos t$ আৰু $\dfrac{dy}{dt} = -2\sin 2t = -4\sin t\cos t$। গতিকে
$$\frac{dy}{dx} = \frac{-4\sin t\cos t}{\cos t} = -4\sin t$$
4. $x = 4t,\ y = \dfrac{4}{t}$
উত্তৰঃ $\dfrac{dx}{dt} = 4$ আৰু $\dfrac{dy}{dt} = -\dfrac{4}{t^{2}}$। গতিকে
$$\frac{dy}{dx} = \frac{-4/t^{2}}{4} = -\frac{1}{t^{2}}$$
5. $x = \cos\theta – \cos 2\theta,\ y = \sin\theta – \sin 2\theta$
উত্তৰঃ $\dfrac{dx}{d\theta} = -\sin\theta + 2\sin 2\theta$ আৰু $\dfrac{dy}{d\theta} = \cos\theta – 2\cos 2\theta$। গতিকে
$$\frac{dy}{dx} = \frac{\cos\theta – 2\cos 2\theta}{2\sin 2\theta – \sin\theta}$$
6. $x = a(\theta – \sin\theta),\ y = a(1 + \cos\theta)$
উত্তৰঃ $\dfrac{dx}{d\theta} = a(1 – \cos\theta)$ আৰু $\dfrac{dy}{d\theta} = -a\sin\theta$। গতিকে
$$\frac{dy}{dx} = \frac{-a\sin\theta}{a(1 – \cos\theta)} = \frac{-2\sin\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2}}{2\sin^{2}\frac{\theta}{2}} = -\cot\frac{\theta}{2}$$
7. $x = \dfrac{\sin^{3}t}{\sqrt{\cos 2t}},\ y = \dfrac{\cos^{3}t}{\sqrt{\cos 2t}}$
উত্তৰঃ অৱকলন কৰি (সৰল কৰাৰ পাছত)
$$\frac{dx}{dt} = \frac{\cos t\sin t\sin 3t}{(\cos 2t)^{3/2}},\qquad \frac{dy}{dt} = \frac{-\cos t\sin t\cos 3t}{(\cos 2t)^{3/2}}$$
গতিকে
$$\frac{dy}{dx} = \frac{-\cos 3t}{\sin 3t} = -\cot 3t$$
8. $x = a\left(\cos t + \log\tan\dfrac{t}{2}\right),\ y = a\sin t$
উত্তৰঃ $\dfrac{d}{dt}\log\tan\dfrac{t}{2} = \dfrac{1}{\sin t}$ ব্যৱহাৰ কৰি
$$\frac{dx}{dt} = a\left(-\sin t + \frac{1}{\sin t}\right) = \frac{a\cos^{2}t}{\sin t},\qquad \frac{dy}{dt} = a\cos t$$
গতিকে
$$\frac{dy}{dx} = \frac{a\cos t}{a\cos^{2}t/\sin t} = \tan t$$
9. $x = a\sec\theta,\ y = b\tan\theta$
উত্তৰঃ $\dfrac{dx}{d\theta} = a\sec\theta\tan\theta$ আৰু $\dfrac{dy}{d\theta} = b\sec^{2}\theta$। গতিকে
$$\frac{dy}{dx} = \frac{b\sec^{2}\theta}{a\sec\theta\tan\theta} = \frac{b}{a}\cdot\frac{\sec\theta}{\tan\theta} = \frac{b}{a}\operatorname{cosec}\theta$$
10. $x = a(\cos\theta + \theta\sin\theta),\ y = a(\sin\theta – \theta\cos\theta)$
উত্তৰঃ $\dfrac{dx}{d\theta} = a(-\sin\theta + \sin\theta + \theta\cos\theta) = a\theta\cos\theta$ আৰু $\dfrac{dy}{d\theta} = a(\cos\theta – \cos\theta + \theta\sin\theta) = a\theta\sin\theta$। গতিকে
$$\frac{dy}{dx} = \frac{a\theta\sin\theta}{a\theta\cos\theta} = \tan\theta$$
11. যদি $x = \sqrt{a^{\sin^{-1}t}},\ y = \sqrt{a^{\cos^{-1}t}}$, দেখুওৱা যে $\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{y}{x}$।
উত্তৰঃ $x = a^{\frac{1}{2}\sin^{-1}t}$, গতিকে $\log x = \dfrac{1}{2}\sin^{-1}t\,\log a$ আৰু
$$\frac{dx}{dt} = x\cdot\frac{\log a}{2\sqrt{1 – t^{2}}}$$
একেদৰে $y = a^{\frac{1}{2}\cos^{-1}t}$ ৰ পৰা $\dfrac{dy}{dt} = -y\cdot\dfrac{\log a}{2\sqrt{1 – t^{2}}}$। গতিকে
$$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{-y\,\frac{\log a}{2\sqrt{1-t^{2}}}}{x\,\frac{\log a}{2\sqrt{1-t^{2}}}} = -\frac{y}{x}$$
অনুশীলনী 5.7
1 ৰ পৰা 10 নম্বৰলৈ অনুশীলনীত থকা ফলনবোৰৰ দ্বিতীয় ঘাতৰ অৱকলজ উলিওৱা।
1. $x^{2} + 3x + 2$
উত্তৰঃ $\dfrac{dy}{dx} = 2x + 3$, গতিকে $\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} = 2$।
2. $x^{20}$
উত্তৰঃ $\dfrac{dy}{dx} = 20x^{19}$, গতিকে $\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} = 380x^{18}$।
3. $x\cdot\cos x$
উত্তৰঃ $\dfrac{dy}{dx} = \cos x – x\sin x$, গতিকে
$$\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = -\sin x – (\sin x + x\cos x) = -(2\sin x + x\cos x)$$
4. $\log x$
উত্তৰঃ $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{x}$, গতিকে $\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} = -\dfrac{1}{x^{2}}$।
5. $x^{3}\log x$
উত্তৰঃ $\dfrac{dy}{dx} = 3x^{2}\log x + x^{2}$, গতিকে
$$\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = 6x\log x + 3x + 2x = x(6\log x + 5)$$
6. $e^{x}\sin 5x$
উত্তৰঃ $\dfrac{dy}{dx} = e^{x}(\sin 5x + 5\cos 5x)$, গতিকে
$$\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = e^{x}(\sin 5x + 5\cos 5x) + e^{x}(5\cos 5x – 25\sin 5x) = 2e^{x}(5\cos 5x – 12\sin 5x)$$
7. $e^{6x}\cos 3x$
উত্তৰঃ $\dfrac{dy}{dx} = e^{6x}(6\cos 3x – 3\sin 3x)$, গতিকে
$$\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = e^{6x}(27\cos 3x – 36\sin 3x) = 9e^{6x}(3\cos 3x – 4\sin 3x)$$
8. $\tan^{-1}x$
উত্তৰঃ $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{1 + x^{2}}$, গতিকে
$$\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = -\frac{2x}{(1 + x^{2})^{2}}$$
9. $\log(\log x)$
উত্তৰঃ $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{x\log x}$, গতিকে
$$\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = -\frac{1 + \log x}{x^{2}(\log x)^{2}}$$
10. $\sin(\log x)$
উত্তৰঃ $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{\cos(\log x)}{x}$, গতিকে
$$\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = -\frac{\sin(\log x) + \cos(\log x)}{x^{2}}$$
11. যদি $y = 5\cos x – 3\sin x$, প্ৰমাণ কৰা যে $\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} + y = 0$।
উত্তৰঃ $\dfrac{dy}{dx} = -5\sin x – 3\cos x$ আৰু $\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} = -5\cos x + 3\sin x = -(5\cos x – 3\sin x) = -y$। গতিকে $\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} + y = 0$।
12. যদি $y = \cos^{-1}x$, অকল $y$ ৰ মাধ্যমত $\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}$ উলিওৱা।
উত্তৰঃ $\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{1}{\sqrt{1 – x^{2}}}$। পুনৰ অৱকলন কৰি
$$\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = -\frac{x}{(1 – x^{2})^{3/2}}$$
$x = \cos y$ আৰু $1 – x^{2} = \sin^{2}y$ বহুৱাই, অকল $y$ ৰ মাধ্যমত
$$\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = -\frac{\cos y}{\sin^{3}y}$$
13. যদি $y = 3\cos(\log x) + 4\sin(\log x)$, দেখুওৱা যে $x^{2}y_{2} + xy_{1} + y = 0$।
উত্তৰঃ $y_{1} = \dfrac{-3\sin(\log x) + 4\cos(\log x)}{x}$, গতিকে $xy_{1} = -3\sin(\log x) + 4\cos(\log x)$।
পুনৰ অৱকলন কৰি $x^{2}y_{2} = -7\cos(\log x) – \sin(\log x)$ পোৱা যায়। গতিকে
$$x^{2}y_{2} + xy_{1} + y = \left[-7\cos(\log x) – \sin(\log x)\right] + \left[-3\sin(\log x) + 4\cos(\log x)\right] + \left[3\cos(\log x) + 4\sin(\log x)\right] = 0$$
14. যদি $y = Ae^{mx} + Be^{nx}$, দেখুওৱা যে $\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} – (m + n)\dfrac{dy}{dx} + mny = 0$।
উত্তৰঃ $\dfrac{dy}{dx} = Ame^{mx} + Bne^{nx}$ আৰু $\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} = Am^{2}e^{mx} + Bn^{2}e^{nx}$।
$Ae^{mx}$ ৰ সহগ $m^{2} – (m+n)m + mn = 0$ আৰু $Be^{nx}$ ৰ সহগ $n^{2} – (m+n)n + mn = 0$। গতিকে $\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} – (m+n)\dfrac{dy}{dx} + mny = 0$।
15. যদি $y = 500e^{7x} + 600e^{-7x}$, দেখুওৱা যে $\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} = 49y$।
উত্তৰঃ $\dfrac{dy}{dx} = 3500e^{7x} – 4200e^{-7x}$, গতিকে
$$\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = 24500e^{7x} + 29400e^{-7x} = 49(500e^{7x} + 600e^{-7x}) = 49y$$
16. যদি $e^{y}(x + 1) = 1$, দেখুওৱা যে $\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} = \left(\dfrac{dy}{dx}\right)^{2}$।
উত্তৰঃ $e^{y} = \dfrac{1}{x+1}$, গতিকে $y = -\log(x + 1)$। তেতিয়া $\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{1}{x+1}$ আৰু $\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} = \dfrac{1}{(x+1)^{2}}$। যিহেতু $\left(\dfrac{dy}{dx}\right)^{2} = \dfrac{1}{(x+1)^{2}}$, গতিকে $\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} = \left(\dfrac{dy}{dx}\right)^{2}$।
17. যদি $y = (\tan^{-1}x)^{2}$, দেখুওৱা যে $(x^{2} + 1)^{2}y_{2} + 2x(x^{2} + 1)y_{1} = 2$।
উত্তৰঃ $y_{1} = \dfrac{2\tan^{-1}x}{1 + x^{2}}$, গতিকে $(1 + x^{2})y_{1} = 2\tan^{-1}x$। পুনৰ অৱকলন কৰি
$$(1 + x^{2})y_{2} + 2xy_{1} = \frac{2}{1 + x^{2}}$$
উভয় পক্ষক $(1 + x^{2})$ ৰে পূৰণ কৰি $(x^{2} + 1)^{2}y_{2} + 2x(x^{2} + 1)y_{1} = 2$।
পঞ্চম অধ্যায়ৰ বিবিধ অনুশীলনী
1 ৰ পৰা 11 নম্বৰলৈ অনুশীলনীত থকা ফলনবোৰৰ $x$ সাপেক্ষে অৱকলজ উলিওৱা।
1. $(3x^{2} – 9x + 5)^{9}$
উত্তৰঃ শৃংখল বিধিৰে
$$\frac{dy}{dx} = 9(3x^{2} – 9x + 5)^{8}(6x – 9) = 27(2x – 3)(3x^{2} – 9x + 5)^{8}$$
2. $\sin^{3}x + \cos^{6}x$
উত্তৰঃ $\dfrac{dy}{dx} = 3\sin^{2}x\cos x + 6\cos^{5}x(-\sin x)$, গতিকে
$$\frac{dy}{dx} = 3\sin x\cos x(\sin x – 2\cos^{4}x)$$
3. $(5x)^{3\cos 2x}$
উত্তৰঃ $\log y = 3\cos 2x\cdot\log(5x)$। অৱকলন কৰি
$$\frac{dy}{dx} = (5x)^{3\cos 2x}\left[\frac{3\cos 2x}{x} – 6\sin 2x\,\log(5x)\right]$$
4. $\sin^{-1}(x\sqrt{x}),\ 0 \le x \le 1$
উত্তৰঃ $x\sqrt{x} = x^{3/2}$, গতিকে $y = \sin^{-1}(x^{3/2})$ আৰু
$$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1 – x^{3}}}\cdot\frac{3}{2}x^{1/2} = \frac{3\sqrt{x}}{2\sqrt{1 – x^{3}}}$$
5. $\dfrac{\cos^{-1}\frac{x}{2}}{\sqrt{2x + 7}},\ -2 < x < 2$
উত্তৰঃ ভাগফল বিধি প্ৰয়োগ কৰোঁ। $\dfrac{d}{dx}\cos^{-1}\dfrac{x}{2} = -\dfrac{1}{\sqrt{4 – x^{2}}}$ আৰু $\dfrac{d}{dx}\sqrt{2x + 7} = \dfrac{1}{\sqrt{2x + 7}}$। গতিকে
$$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sqrt{4 – x^{2}}\,\sqrt{2x + 7}} – \frac{\cos^{-1}\frac{x}{2}}{(2x + 7)^{3/2}}$$
6. $\cot^{-1}\left[\dfrac{\sqrt{1 + \sin x} + \sqrt{1 – \sin x}}{\sqrt{1 + \sin x} – \sqrt{1 – \sin x}}\right],\ 0 < x < \dfrac{\pi}{2}$
উত্তৰঃ $0 < x < \dfrac{\pi}{2}$ ৰ বাবে $\sqrt{1 + \sin x} = \cos\dfrac{x}{2} + \sin\dfrac{x}{2}$ আৰু $\sqrt{1 – \sin x} = \cos\dfrac{x}{2} – \sin\dfrac{x}{2}$। গতিকে ভিতৰৰ ৰাশিটো
$$\frac{2\cos\frac{x}{2}}{2\sin\frac{x}{2}} = \cot\frac{x}{2}$$
গতিকে $y = \cot^{-1}\left(\cot\dfrac{x}{2}\right) = \dfrac{x}{2}$ আৰু $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{2}$।
7. $(\log x)^{\log x},\ x > 1$
উত্তৰঃ $\log y = \log x\cdot\log(\log x)$। অৱকলন কৰি
$$\frac{1}{y}\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x}\log(\log x) + \log x\cdot\frac{1}{\log x}\cdot\frac{1}{x} = \frac{1}{x}\left[1 + \log(\log x)\right]$$
$$\frac{dy}{dx} = (\log x)^{\log x}\cdot\frac{1 + \log(\log x)}{x}$$
8. $\cos(a\cos x + b\sin x)$, যিকোনো ধ্ৰুৱক $a$ আৰু $b$ ৰ বাবে।
উত্তৰঃ শৃংখল বিধিৰে
$$\frac{dy}{dx} = -\sin(a\cos x + b\sin x)\cdot(-a\sin x + b\cos x) = (a\sin x – b\cos x)\sin(a\cos x + b\sin x)$$
9. $(\sin x – \cos x)^{(\sin x – \cos x)},\ \dfrac{\pi}{4} < x < \dfrac{3\pi}{4}$
উত্তৰঃ এই অন্তৰালত $\sin x – \cos x > 0$। $\log y = (\sin x – \cos x)\log(\sin x – \cos x)$ ৰ পৰা
$$\frac{dy}{dx} = (\sin x – \cos x)^{(\sin x – \cos x)}(\cos x + \sin x)\left[1 + \log(\sin x – \cos x)\right]$$
10. $x^{x} + x^{a} + a^{x} + a^{a}$, যিকোনো নিৰ্দিষ্ট $a > 0$ আৰু $x > 0$ ৰ বাবে।
উত্তৰঃ প্ৰতিটো পদ পৃথকে অৱকলন কৰোঁ: $\dfrac{d}{dx}x^{x} = x^{x}(1 + \log x)$, $\dfrac{d}{dx}x^{a} = ax^{a-1}$, $\dfrac{d}{dx}a^{x} = a^{x}\log a$ আৰু $\dfrac{d}{dx}a^{a} = 0$। গতিকে
$$\frac{dy}{dx} = x^{x}(1 + \log x) + ax^{a-1} + a^{x}\log a$$
11. $x^{x^{2} – 3} + (x – 3)^{x^{2}},\ x > 3$ ৰ বাবে।
উত্তৰঃ $u = x^{x^{2} – 3}$ ৰ বাবে $\log u = (x^{2} – 3)\log x$, গতিকে $\dfrac{du}{dx} = x^{x^{2} – 3}\left[2x\log x + \dfrac{x^{2} – 3}{x}\right]$।
$v = (x – 3)^{x^{2}}$ ৰ বাবে $\log v = x^{2}\log(x – 3)$, গতিকে $\dfrac{dv}{dx} = (x – 3)^{x^{2}}\left[2x\log(x – 3) + \dfrac{x^{2}}{x – 3}\right]$। গতিকে
$$\frac{dy}{dx} = x^{x^{2} – 3}\left[2x\log x + \frac{x^{2} – 3}{x}\right] + (x – 3)^{x^{2}}\left[2x\log(x – 3) + \frac{x^{2}}{x – 3}\right]$$
12. যদি $y = 12(1 – \cos t),\ x = 10(t – \sin t),\ -\dfrac{\pi}{2} < t < \dfrac{\pi}{2}$, $\dfrac{dy}{dx}$ উলিওৱা।
উত্তৰঃ $\dfrac{dy}{dt} = 12\sin t$ আৰু $\dfrac{dx}{dt} = 10(1 – \cos t)$। গতিকে
$$\frac{dy}{dx} = \frac{12\sin t}{10(1 – \cos t)} = \frac{6}{5}\cdot\frac{2\sin\frac{t}{2}\cos\frac{t}{2}}{2\sin^{2}\frac{t}{2}} = \frac{6}{5}\cot\frac{t}{2}$$
13. যদি $y = \sin^{-1}x + \sin^{-1}\sqrt{1 – x^{2}},\ -1 \le x \le 1$, $\dfrac{dy}{dx}$ উলিওৱা।
উত্তৰঃ $0 < x < 1$ ৰ বাবে $x = \sin\theta$ ধৰিলে $\sqrt{1 – x^{2}} = \cos\theta = \sin\left(\dfrac{\pi}{2} – \theta\right)$, গতিকে $\sin^{-1}\sqrt{1 – x^{2}} = \dfrac{\pi}{2} – \theta = \dfrac{\pi}{2} – \sin^{-1}x$। তেতিয়া
$$y = \sin^{-1}x + \frac{\pi}{2} – \sin^{-1}x = \frac{\pi}{2}$$
এটা ধ্ৰুৱক হোৱাৰ বাবে $\dfrac{dy}{dx} = 0$ ($0 < x < 1$ ৰ বাবে)।
14. যদি $x\sqrt{1 + y} + y\sqrt{1 + x} = 0,\ -1 < x < 1$, প্ৰমাণ কৰা যে $\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{1}{(1 + x)^{2}}$।
উত্তৰঃ $x\sqrt{1 + y} = -y\sqrt{1 + x}$ ৰ উভয় পক্ষ বৰ্গ কৰি $x^{2}(1 + y) = y^{2}(1 + x)$ পাওঁ, অৰ্থাৎ $x^{2} – y^{2} = xy(y – x)$, অৰ্থাৎ $(x – y)(x + y + xy) = 0$। যিহেতু $x \ne y$, গতিকে $x + y + xy = 0$, অৰ্থাৎ
$$y = -\frac{x}{1 + x}$$
অৱকলন কৰি $\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{(1 + x) – x}{(1 + x)^{2}} = -\dfrac{1}{(1 + x)^{2}}$।
15. যদি $(x – a)^{2} + (y – b)^{2} = c^{2},\ c > 0$, প্ৰমাণ কৰা যে $\dfrac{\left[1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^{2}\right]^{3/2}}{\frac{d^{2}y}{dx^{2}}}$ এটা $a$ আৰু $b$ ৰ পৰা মুক্ত ধ্ৰুৱক।
উত্তৰঃ অৱকলন কৰি $(x – a) + (y – b)\dfrac{dy}{dx} = 0$। পুনৰ অৱকলন কৰি $1 + \left(\dfrac{dy}{dx}\right)^{2} + (y – b)\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} = 0$, গতিকে
$$y – b = -\frac{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^{2}}{\frac{d^{2}y}{dx^{2}}},\qquad x – a = -(y – b)\frac{dy}{dx}$$
ইহঁতক মূল সমীকৰণত বহুৱাই $(y – b)^{2}\left[1 + \left(\dfrac{dy}{dx}\right)^{2}\right] = c^{2}$ পোৱা যায়, গতিকে
$$\frac{\left[1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^{2}\right]^{3}}{\left(\frac{d^{2}y}{dx^{2}}\right)^{2}} = c^{2} \quad\Rightarrow\quad \frac{\left[1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^{2}\right]^{3/2}}{\frac{d^{2}y}{dx^{2}}} = \pm c$$
যি $a$ আৰু $b$ ৰ পৰা মুক্ত এটা ধ্ৰুৱক।
16. যদি $\cos y = x\cos(a + y)$, $\cos a \ne \pm 1$, প্ৰমাণ কৰা যে $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{\cos^{2}(a + y)}{\sin a}$।
উত্তৰঃ $x = \dfrac{\cos y}{\cos(a + y)}$। $y$ সাপেক্ষে অৱকলন কৰি
$$\frac{dx}{dy} = \frac{-\sin y\cos(a + y) + \cos y\sin(a + y)}{\cos^{2}(a + y)} = \frac{\sin(a + y – y)}{\cos^{2}(a + y)} = \frac{\sin a}{\cos^{2}(a + y)}$$
গতিকে $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{dx/dy} = \dfrac{\cos^{2}(a + y)}{\sin a}$।
17. যদি $x = a(\cos t + t\sin t)$ আৰু $y = a(\sin t – t\cos t)$, $\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}$ উলিওৱা।
উত্তৰঃ $\dfrac{dx}{dt} = at\cos t$ আৰু $\dfrac{dy}{dt} = at\sin t$, গতিকে $\dfrac{dy}{dx} = \tan t$। পুনৰ অৱকলন কৰি
$$\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = \frac{d}{dt}(\tan t)\cdot\frac{dt}{dx} = \sec^{2}t\cdot\frac{1}{at\cos t} = \frac{\sec^{3}t}{at}$$
18. যদি $f(x) = |x|^{3}$, দেখুওৱা যে সকলো বাস্তৱ $x$ ৰ বাবে $f^{\prime\prime}(x)$ স্থিত হয় আৰু এইটো উলিওৱা।
উত্তৰঃ $f(x) = |x|^{3} = x^{2}|x|$। $x \ge 0$ ৰ বাবে $f(x) = x^{3}$, গতিকে $f^{\prime}(x) = 3x^{2}$; $x < 0$ ৰ বাবে $f(x) = -x^{3}$, গতিকে $f^{\prime}(x) = -3x^{2}$। উভয়কে একেলগে $f^{\prime}(x) = 3x|x|$ লিখিব পাৰি (আৰু $f^{\prime}(0) = 0$)।
পুনৰ অৱকলন কৰি $x > 0$ ত $f^{\prime\prime}(x) = 6x$ আৰু $x < 0$ ত $f^{\prime\prime}(x) = -6x$; $x = 0$ ত দুয়োফালৰ সীমা $0$ হয়। গতিকে সকলো বাস্তৱ $x$ ৰ বাবে $f^{\prime\prime}(x) = 6|x|$ স্থিত হয়।
19. $\sin(A + B) = \sin A\cos B + \cos A\sin B$ ব্যৱহাৰ কৰি আৰু অৱকলনৰ সহায়ত ক’ছাইনৰ যোগৰ সূত্ৰটো উলিওৱা।
উত্তৰঃ $B$ ক ধ্ৰুৱক ধৰি উভয় পক্ষক $A$ সাপেক্ষে অৱকলন কৰোঁ। বাওঁপক্ষ $\dfrac{d}{dA}\sin(A + B) = \cos(A + B)$; সোঁপক্ষ $\dfrac{d}{dA}(\sin A\cos B + \cos A\sin B) = \cos A\cos B – \sin A\sin B$। গতিকে
$$\cos(A + B) = \cos A\cos B – \sin A\sin B$$
20. এনেকুৱা ফলন আছেনে যিটো সকলো বিন্দুতে অবিচ্ছিন্ন, কিন্তু মাত্ৰ দুটা বিন্দুত অৱকলনীয় নহয়? তোমাৰ উত্তৰৰ যুক্তিযুক্ততা প্ৰতিপন্ন কৰা।
উত্তৰঃ হয়, এনে ফলন আছে। উদাহৰণস্বৰূপে $f(x) = |x| + |x – 1|$ লওঁ। ই দুটা অবিচ্ছিন্ন ফলনৰ যোগফল হোৱাৰ বাবে সকলো বিন্দুতে অবিচ্ছিন্ন। কিন্তু $x = 0$ আৰু $x = 1$ ত ইয়াৰ লেখত কোণ (corner) আছে বাবে ইয়াৰ বাওঁ আৰু সোঁফালৰ অৱকলজ পৃথক, গতিকে ইয়াক অকল এই দুটা বিন্দুতে অৱকলনীয় নহয়; আন সকলো বিন্দুত ই অৱকলনীয়।
21. যদি $y = \begin{vmatrix} f(x) & g(x) & h(x) \\ l & m & n \\ a & b & c \end{vmatrix}$, প্ৰমাণ কৰা যে $\dfrac{dy}{dx} = \begin{vmatrix} f^{\prime}(x) & g^{\prime}(x) & h^{\prime}(x) \\ l & m & n \\ a & b & c \end{vmatrix}$।
উত্তৰঃ নিৰ্ণায়কটো বিস্তাৰ কৰি $y = f(x)(mc – nb) – g(x)(lc – na) + h(x)(lb – ma)$ পোৱা যায়, য’ত $l, m, n, a, b, c$ ধ্ৰুৱক। $x$ সাপেক্ষে অৱকলন কৰি
$$\frac{dy}{dx} = f^{\prime}(x)(mc – nb) – g^{\prime}(x)(lc – na) + h^{\prime}(x)(lb – ma) = \begin{vmatrix} f^{\prime}(x) & g^{\prime}(x) & h^{\prime}(x) \\ l & m & n \\ a & b & c \end{vmatrix}$$
22. যদি $y = e^{a\cos^{-1}x},\ -1 \le x \le 1$, দেখুওৱা যে $(1 – x^{2})\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} – x\dfrac{dy}{dx} – a^{2}y = 0$।
উত্তৰঃ $\dfrac{dy}{dx} = e^{a\cos^{-1}x}\cdot a\cdot\left(-\dfrac{1}{\sqrt{1 – x^{2}}}\right) = -\dfrac{ay}{\sqrt{1 – x^{2}}}$, গতিকে $\sqrt{1 – x^{2}}\,\dfrac{dy}{dx} = -ay$। এইটো অৱকলন কৰি
$$\frac{-x}{\sqrt{1 – x^{2}}}\frac{dy}{dx} + \sqrt{1 – x^{2}}\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = -a\frac{dy}{dx}$$
উভয় পক্ষক $\sqrt{1 – x^{2}}$ ৰে পূৰণ কৰি আৰু $\sqrt{1 – x^{2}}\,\dfrac{dy}{dx} = -ay$ বহুৱাই
$$(1 – x^{2})\frac{d^{2}y}{dx^{2}} – x\frac{dy}{dx} = -a\sqrt{1 – x^{2}}\frac{dy}{dx} = a^{2}y$$
গতিকে $(1 – x^{2})\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} – x\dfrac{dy}{dx} – a^{2}y = 0$।
অতিৰিক্ত প্ৰশ্ন আৰু উত্তৰ
বহুবিকল্পীয় প্ৰশ্ন (MCQ)
1. $\dfrac{d}{dx}(x^{x})$ ৰ মান হ’ল —
(A) $x^{x}$ (B) $x^{x}\log x$ (C) $x^{x}(1 + \log x)$ (D) $x\cdot x^{x-1}$
উত্তৰঃ (C) $x^{x}(1 + \log x)$। $\log y = x\log x$ ৰ পৰা $\dfrac{1}{y}\dfrac{dy}{dx} = \log x + 1$, গতিকে $\dfrac{dy}{dx} = x^{x}(1 + \log x)$।
2. যদি $x = at^{2},\ y = 2at$, তেন্তে $\dfrac{dy}{dx} = $ —
(A) $t$ (B) $\dfrac{1}{t}$ (C) $\dfrac{1}{2t}$ (D) $2t$
উত্তৰঃ (B) $\dfrac{1}{t}$। কাৰণ $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{2a}{2at} = \dfrac{1}{t}$।
3. $\dfrac{d^{2}}{dx^{2}}(\sin x)$ ৰ মান হ’ল —
(A) $\cos x$ (B) $-\sin x$ (C) $-\cos x$ (D) $\sin x$
উত্তৰঃ (B) $-\sin x$। প্ৰথম অৱকলজ $\cos x$, দ্বিতীয় অৱকলজ $-\sin x$।
4. $\dfrac{d}{dx}(\tan^{-1}x)$ ৰ মান হ’ল —
(A) $\dfrac{1}{1 + x^{2}}$ (B) $\dfrac{1}{1 – x^{2}}$ (C) $\dfrac{1}{\sqrt{1 – x^{2}}}$ (D) $-\dfrac{1}{1 + x^{2}}$
উত্তৰঃ (A) $\dfrac{1}{1 + x^{2}}$।
5. এটা বিন্দুত অৱকলনীয় ফলন সেই বিন্দুত নিশ্চয়কৈ —
(A) অবিচ্ছিন্ন (B) অসংজ্ঞায়িত (C) ধ্ৰুৱক (D) শূন্য
উত্তৰঃ (A) অবিচ্ছিন্ন। প্ৰতিটো অৱকলনীয় ফলন অবিচ্ছিন্ন, কিন্তু ইয়াৰ বিপৰীতটো সদায় সত্য নহয়।
6. $\dfrac{d}{dx}(a^{x})$ ৰ মান হ’ল —
(A) $a^{x}$ (B) $x\,a^{x-1}$ (C) $a^{x}\log a$ (D) $\dfrac{a^{x}}{\log a}$
উত্তৰঃ (C) $a^{x}\log a$।
7. যদি $x = a\cos\theta,\ y = a\sin\theta$, তেন্তে $\dfrac{dy}{dx} = $ —
(A) $\tan\theta$ (B) $-\cot\theta$ (C) $\cot\theta$ (D) $-\tan\theta$
উত্তৰঃ (B) $-\cot\theta$। কাৰণ $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{a\cos\theta}{-a\sin\theta} = -\cot\theta$।
8. যদি $y = e^{x}$, তেন্তে $\dfrac{d^{n}y}{dx^{n}} = $ —
(A) $e^{x}$ (B) $ne^{x}$ (C) $n!\,e^{x}$ (D) $0$
উত্তৰঃ (A) $e^{x}$। $e^{x}$ ৰ যিকোনো ঘাতৰ অৱকলজ $e^{x}$।
শূন্যস্থান পূৰণ কৰা
1. যদি $y = x^{n}$ হয়, তেন্তে $\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} = $ ________ ।
উত্তৰঃ $n(n – 1)x^{n-2}$
2. প্ৰতিটো অৱকলনীয় ফলন ________ হয়।
উত্তৰঃ অবিচ্ছিন্ন
3. $\dfrac{d}{dx}(\sin^{-1}x) = $ ________ ।
উত্তৰঃ $\dfrac{1}{\sqrt{1 – x^{2}}}$
4. প্ৰাচলিক আকাৰত $x = f(t),\ y = g(t)$ হ’লে $\dfrac{dy}{dx} = $ ________ ।
উত্তৰঃ $\dfrac{g^{\prime}(t)}{f^{\prime}(t)}$ (যেতিয়া $f^{\prime}(t) \ne 0$)
5. $f(x) = [u(x)]^{v(x)}$ আকৃতিৰ ফলন অৱকলন কৰাৰ উত্তম পদ্ধতিটো হ’ল ________ ।
উত্তৰঃ ঘাতাংকীয় অৱকলন
সঁচা নে মিছা লিখা
1. প্ৰতিটো অবিচ্ছিন্ন ফলন অৱকলনীয় হয়।
উত্তৰঃ মিছা। উদাহৰণস্বৰূপে $f(x) = |x|$ সকলো ঠাইতে অবিচ্ছিন্ন হ’লেও $x = 0$ ত অৱকলনীয় নহয়।
2. $\dfrac{d}{dx}(\cos^{-1}x) = -\dfrac{1}{\sqrt{1 – x^{2}}}$।
উত্তৰঃ সঁচা।
3. দুটা অবিচ্ছিন্ন ফলনৰ ভাগফল সদায় অবিচ্ছিন্ন হয়।
উত্তৰঃ মিছা। ভাগফল অকল সেই বিন্দুবোৰত অবিচ্ছিন্ন য’ত হৰটো শূন্য নহয়।
4. $\dfrac{d}{dx}(e^{x}) = e^{x}$।
উত্তৰঃ সঁচা।
5. $f(x) = |x|$ ফলনটো $x = 0$ ত অৱকলনীয়।
উত্তৰঃ মিছা। $x = 0$ ত বাওঁফালৰ অৱকলজ $-1$ আৰু সোঁফালৰ অৱকলজ $1$ হোৱাৰ বাবে ই অৱকলনীয় নহয়।
চমু উত্তৰৰ প্ৰশ্ন
1. $y = x^{\sin x}$ অৱকলন কৰা।
উত্তৰঃ $\log y = \sin x\log x$। অৱকলন কৰি $\dfrac{1}{y}\dfrac{dy}{dx} = \cos x\log x + \dfrac{\sin x}{x}$, গতিকে $\dfrac{dy}{dx} = x^{\sin x}\left(\cos x\log x + \dfrac{\sin x}{x}\right)$।
2. যদি $x = t^{2},\ y = t^{3}$, তেন্তে $\dfrac{dy}{dx}$ উলিওৱা।
উত্তৰঃ $\dfrac{dx}{dt} = 2t$ আৰু $\dfrac{dy}{dt} = 3t^{2}$, গতিকে $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{3t^{2}}{2t} = \dfrac{3t}{2}$।
3. যদি $y = \log(\sin x)$, তেন্তে $\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}$ উলিওৱা।
উত্তৰঃ $\dfrac{dy}{dx} = \cot x$, গতিকে $\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} = -\operatorname{cosec}^{2}x$।
4. শৃংখল বিধি ব্যৱহাৰ কৰি $\sin(x^{2})$ অৱকলন কৰা।
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল $u = x^{2}$, তেন্তে $y = \sin u$। শৃংখল বিধিৰে $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy}{du}\cdot\dfrac{du}{dx} = \cos u\cdot 2x = 2x\cos(x^{2})$।
শব্দাৰ্থ
| অসমীয়া শব্দ | English term | অৰ্থ |
|---|---|---|
| অবিচ্ছিন্নতা | Continuity | এটা বিন্দুত ফলনৰ সীমা আৰু মান সমান হোৱা ধৰ্ম |
| অৱকলনীয়তা | Differentiability | এটা বিন্দুত ফলনৰ অৱকলজ স্থিত হোৱা ধৰ্ম |
| অৱকলজ | Derivative | ফলনৰ পৰিৱৰ্তনৰ হাৰ, $\dfrac{dy}{dx}$ |
| ঘাতাংকীয় অৱকলন | Logarithmic differentiation | $\log$ লৈ $[u(x)]^{v(x)}$ আকৃতিৰ ফলন অৱকলন কৰা পদ্ধতি |
| শৃংখল বিধি | Chain rule | সংযোজিত ফলন অৱকলন কৰাৰ নিয়ম |
| পূৰণ বিধি | Product rule | দুটা ফলনৰ পূৰণফলৰ অৱকলজ উলিওৱা নিয়ম |
| ভাগফল বিধি | Quotient rule | দুটা ফলনৰ ভাগফলৰ অৱকলজ উলিওৱা নিয়ম |
| প্ৰাচল | Parameter | দুটা চলকক সংযোগ কৰা তৃতীয় চলক |
| প্ৰাচলিক আকাৰ | Parametric form | $x = f(t),\ y = g(t)$ ৰূপত প্ৰকাশ কৰা সম্বন্ধ |
| দ্বিতীয় ঘাতৰ অৱকলজ | Second order derivative | অৱকলজৰ পুনৰ অৱকলজ, $\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}$ |
| অন্তৰ্নিহিত ফলন | Implicit function | $x$ আৰু $y$ ৰ সম্বন্ধ স্পষ্টভাৱে প্ৰকাশ নোহোৱা ফলন |