নিৰ্ণায়ক — প্ৰশ্ন উত্তৰ
HSLC Guru-লৈ আপোনাক স্বাগতম। এই পাঠত আমি ASSEB Class 12 গণিতৰ চতুৰ্থ অধ্যায় নিৰ্ণায়ক (Determinants)ৰ অনুশীলনী 4.1, 4.2, 4.3, 4.4, 4.5 আৰু চতুৰ্থ অধ্যায়ৰ বিবিধ অনুশীলনীৰ সকলো প্ৰশ্নৰ সম্পূৰ্ণ, ধাপে ধাপে সমাধান পাঠ্যপুথিৰ ক্ৰম অনুসৰি দাঙি ধৰিছোঁ।
সাৰাংশ
প্ৰতিটো বৰ্গ মৌলকক্ষ (square matrix) $A$ ৰ লগত এটা সংখ্যা জড়িত থাকে যাক $A$ ৰ নিৰ্ণায়ক (determinant) বোলা হয় আৰু $|A|$, $\det A$ বা $D$ ৰে চিহ্নিত কৰা হয়। এই অধ্যায়ত আমি কেৱল বাস্তৱ ভুক্তি থকা তৃতীয় ঘাতলৈ নিৰ্ণায়ক অধ্যয়ন কৰোঁ। $2 \times 2$ ৰ ক্ষেত্ৰত $\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad – bc$; আৰু $3 \times 3$ নিৰ্ণায়ক কোনো এটা শাৰী বা স্তম্ভ সাপেক্ষে বিস্তাৰ (expansion) কৰি নিৰ্ণয় কৰা হয়। যিকোনো শাৰী বা স্তম্ভ সাপেক্ষে বিস্তাৰ কৰিলে একেটা মান পোৱা যায়।
$(x_1, y_1)$, $(x_2, y_2)$ আৰু $(x_3, y_3)$ শীৰ্ষবিন্দু বিশিষ্ট ত্ৰিভুজৰ ক্ষেত্ৰফল হ’ল $\Delta = \frac{1}{2} \begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \end{vmatrix}$; ক্ষেত্ৰফল ধনাত্মক হোৱাত ইয়াৰ নিৰপেক্ষ মান লোৱা হয়, আৰু একে ৰেখীয় তিনিটা বিন্দুৰ ক্ষেত্ৰফল শূন্য। এটা মৌলৰ অনুৰাশি (minor) $M_{ij}$ হ’ল সেই মৌল থকা শাৰী আৰু স্তম্ভ বাদ দি পোৱা নিৰ্ণায়ক, আৰু সহৰাশি (cofactor) হ’ল $A_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$। নিৰ্ণায়কৰ মান হ’ল কোনো এটা শাৰী বা স্তম্ভৰ মৌলবোৰ আৰু অনুৰূপ সহৰাশিবোৰৰ পূৰণফলৰ যোগফল।
বৰ্গ মৌলকক্ষ $A$ ৰ সহখণ্ডজ (adjoint) $\operatorname{adj} A$ হ’ল সহৰাশি মৌলকক্ষটোৰ পশ্চান্তৰিত (transpose), আৰু ই $A(\operatorname{adj} A) = (\operatorname{adj} A)A = |A| I$ ধৰ্ম মানি চলে। $|A| = 0$ হ’লে $A$ ক অপ্ৰতিম (singular) আৰু $|A| \ne 0$ হ’লে অক্ষীয়মান (non-singular) বোলা হয়। $A$ অক্ষীয়মান হ’লে ইয়াৰ প্ৰতিলোম $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \operatorname{adj} A$ থাকে। এই সকলো ব্যৱহাৰ কৰি $AX = B$ আকাৰৰ ৰৈখিক সমীকৰণ প্ৰণালীৰ সংগতি বিচাৰ কৰা যায় আৰু $X = A^{-1} B$ ৰে অদ্বিতীয় সমাধান নিৰ্ণয় কৰা যায়, যাক মৌলকক্ষীয় পদ্ধতি (Matrix Method) বোলা হয়।
Summary: This page provides complete, step-by-step Assamese-medium solutions to ASSEB Class 12 Mathematics Chapter 4, Determinants, covering Exercise 4.1, 4.2, 4.3, 4.4, 4.5 and the Miscellaneous Exercise on Chapter 4. It explains determinants of order two and three, expansion along a row or column, area of a triangle, minors and cofactors, the adjoint and inverse of a matrix, singular and non-singular matrices, and solving systems of linear equations by the matrix method.
পাঠ্যপুথিৰ প্ৰশ্ন আৰু উত্তৰ
অনুশীলনী 4.1
1. মান নিৰ্ণয় কৰা $\begin{vmatrix} 2 & 4 \\ -5 & -1 \end{vmatrix}$।
উত্তৰঃ $\begin{vmatrix} 2 & 4 \\ -5 & -1 \end{vmatrix} = (2)(-1) – (4)(-5) = -2 + 20 = 18$।
2. মান নিৰ্ণয় কৰা।
(i) $\begin{vmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{vmatrix}$
উত্তৰঃ $= (\cos\theta)(\cos\theta) – (-\sin\theta)(\sin\theta) = \cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$।
(ii) $\begin{vmatrix} x^2 – x + 1 & x – 1 \\ x + 1 & x + 1 \end{vmatrix}$
উত্তৰঃ $= (x^2 – x + 1)(x + 1) – (x – 1)(x + 1) = (x^3 + 1) – (x^2 – 1) = x^3 – x^2 + 2$।
3. যদি $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 2 \end{bmatrix}$, তেনেহ’লে দেখুওৱা যে $|2A| = 4|A|$।
উত্তৰঃ $|A| = \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 2 \end{vmatrix} = 2 – 8 = -6$। এতিয়া $2A = \begin{bmatrix} 2 & 4 \\ 8 & 4 \end{bmatrix}$, গতিকে $|2A| = \begin{vmatrix} 2 & 4 \\ 8 & 4 \end{vmatrix} = 8 – 32 = -24$। যিহেতু $4|A| = 4(-6) = -24 = |2A|$, সেয়েহে $|2A| = 4|A|$ প্ৰমাণিত। (ইয়াত $n = 2$ ঘাতৰ বাবে $|2A| = 2^2 |A|$।)
4. যদি $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 4 \end{bmatrix}$, তেনেহ’লে দেখুওৱা যে $|3A| = 27|A|$।
উত্তৰঃ $A$ এটা ঊৰ্ধ্ব-ত্ৰিভুজীয় মৌলকক্ষ, গতিকে $|A| = 1 \times 1 \times 4 = 4$। এতিয়া $3A = \begin{bmatrix} 3 & 0 & 3 \\ 0 & 3 & 6 \\ 0 & 0 & 12 \end{bmatrix}$, গতিকে $|3A| = 3 \times 3 \times 12 = 108$। যিহেতু $27|A| = 27 \times 4 = 108 = |3A|$, সেয়েহে $|3A| = 27|A|$ প্ৰমাণিত। (ইয়াত $n = 3$ ঘাতৰ বাবে $|3A| = 3^3 |A|$।)
5. মান নিৰ্ণয় কৰা।
(i) $\begin{vmatrix} 3 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & -1 \\ 3 & -5 & 0 \end{vmatrix}$
উত্তৰঃ দ্বিতীয় শাৰীত দুটা শূন্য থকাত $R_2$ সাপেক্ষে বিস্তাৰ কৰা যায়। $= -(-1)\begin{vmatrix} 3 & -1 \\ 3 & -5 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-15 + 3) = -12$। (এই ঠাইত কেৱল $a_{23} = -1$ পদটোহে ৰয়, কাৰণ $a_{21} = a_{22} = 0$।) গতিকে মান $-12$।
(ii) $\begin{vmatrix} 3 & -4 & 5 \\ 1 & 1 & -2 \\ 2 & 3 & 1 \end{vmatrix}$
উত্তৰঃ $R_1$ সাপেক্ষে বিস্তাৰ কৰি, $= 3\begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} – (-4)\begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} + 5\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} = 3(1 + 6) + 4(1 + 4) + 5(3 – 2) = 21 + 20 + 5 = 46$।
(iii) $\begin{vmatrix} 0 & 1 & 2 \\ -1 & 0 & -3 \\ -2 & 3 & 0 \end{vmatrix}$
উত্তৰঃ $R_1$ সাপেক্ষে বিস্তাৰ কৰি, $= 0 – 1\begin{vmatrix} -1 & -3 \\ -2 & 0 \end{vmatrix} + 2\begin{vmatrix} -1 & 0 \\ -2 & 3 \end{vmatrix} = -1(0 – 6) + 2(-3 – 0) = 6 – 6 = 0$।
(iv) $\begin{vmatrix} 2 & -1 & -2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 3 & -5 & 0 \end{vmatrix}$
উত্তৰঃ $R_1$ সাপেক্ষে বিস্তাৰ কৰি, $= 2\begin{vmatrix} 2 & -1 \\ -5 & 0 \end{vmatrix} – (-1)\begin{vmatrix} 0 & -1 \\ 3 & 0 \end{vmatrix} + (-2)\begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 3 & -5 \end{vmatrix} = 2(0 – 5) + 1(0 + 3) – 2(0 – 6) = -10 + 3 + 12 = 5$।
6. যদি $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & -2 \\ 2 & 1 & -3 \\ 5 & 4 & -9 \end{bmatrix}$, তেনেহ’লে $|A|$ উলিওৱা।
উত্তৰঃ $R_1$ সাপেক্ষে বিস্তাৰ কৰি, $|A| = 1\begin{vmatrix} 1 & -3 \\ 4 & -9 \end{vmatrix} – 1\begin{vmatrix} 2 & -3 \\ 5 & -9 \end{vmatrix} + (-2)\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 4 \end{vmatrix} = 1(-9 + 12) – 1(-18 + 15) – 2(8 – 5) = 3 + 3 – 6 = 0$।
7. $x$ ৰ মান উলিওৱা যদি
(i) $\begin{vmatrix} 2 & 4 \\ 5 & 1 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 2x & 4 \\ 6 & x \end{vmatrix}$
উত্তৰঃ বাওঁফাল $= 2 – 20 = -18$; সোঁফাল $= 2x \cdot x – 4 \cdot 6 = 2x^2 – 24$। গতিকে $2x^2 – 24 = -18 \Rightarrow 2x^2 = 6 \Rightarrow x^2 = 3 \Rightarrow x = \pm\sqrt{3}$।
(ii) $\begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 5 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} x & 3 \\ 2x & 5 \end{vmatrix}$
উত্তৰঃ বাওঁফাল $= 10 – 12 = -2$; সোঁফাল $= 5x – 6x = -x$। গতিকে $-x = -2 \Rightarrow x = 2$।
8. $\begin{vmatrix} x & 2 \\ 18 & x \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 6 & 2 \\ 18 & 6 \end{vmatrix}$ হ’লে $x$ ৰ মান হ’ব (A) $6$ (B) $\pm 6$ (C) $-6$ (D) $0$
উত্তৰঃ শুদ্ধ উত্তৰ (B) $\pm 6$। বাওঁফাল $= x^2 – 36$; সোঁফাল $= 36 – 36 = 0$। গতিকে $x^2 – 36 = 0 \Rightarrow x^2 = 36 \Rightarrow x = \pm 6$।
অনুশীলনী 4.2
1. নিম্ন প্ৰদত্ত শীৰ্ষবিন্দু বিশিষ্ট ত্ৰিভুজ কেইটাৰ ক্ষেত্ৰফল উলিওৱা।
ত্ৰিভুজৰ ক্ষেত্ৰফল $\Delta = \frac{1}{2} \begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \end{vmatrix}$ সূত্ৰ ব্যৱহাৰ কৰা হ’ল।
(i) $(1, 0), (6, 0), (4, 3)$
উত্তৰঃ $\Delta = \frac{1}{2}\begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 6 & 0 & 1 \\ 4 & 3 & 1 \end{vmatrix} = \frac{1}{2}\left[1(0 – 3) – 0 + 1(18 – 0)\right] = \frac{1}{2}(-3 + 18) = \frac{15}{2}$ বৰ্গ একক।
(ii) $(2, 7), (1, 1), (10, 8)$
উত্তৰঃ $\Delta = \frac{1}{2}\begin{vmatrix} 2 & 7 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 10 & 8 & 1 \end{vmatrix} = \frac{1}{2}\left[2(1 – 8) – 7(1 – 10) + 1(8 – 10)\right] = \frac{1}{2}(-14 + 63 – 2) = \frac{47}{2}$ বৰ্গ একক।
(iii) $(-2, -3), (3, 2), (-1, -8)$
উত্তৰঃ $\Delta = \frac{1}{2}\begin{vmatrix} -2 & -3 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \\ -1 & -8 & 1 \end{vmatrix} = \frac{1}{2}\left[-2(2 + 8) – (-3)(3 + 1) + 1(-24 + 2)\right] = \frac{1}{2}(-20 + 12 – 22) = \frac{1}{2}(-30)$। নিৰপেক্ষ মান লৈ ক্ষেত্ৰফল $= 15$ বৰ্গ একক।
2. দেখুওৱা যে $A(a, b + c)$, $B(b, c + a)$, $C(c, a + b)$ বিন্দুকেইটা এক ৰেখীয়।
উত্তৰঃ বিন্দুকেইটাৰ দ্বাৰা গঠিত ত্ৰিভুজৰ ক্ষেত্ৰফল $\Delta = \frac{1}{2}\begin{vmatrix} a & b + c & 1 \\ b & c + a & 1 \\ c & a + b & 1 \end{vmatrix}$। $C_2 \to C_2 + C_1$ কৰিলে $C_2$ ৰ প্ৰতিটো মৌল $a + b + c$ হয়, গতিকে $\Delta = \frac{1}{2}(a + b + c)\begin{vmatrix} a & 1 & 1 \\ b & 1 & 1 \\ c & 1 & 1 \end{vmatrix}$। যিহেতু $C_2$ আৰু $C_3$ অভিন্ন, নিৰ্ণায়কটো শূন্য, গতিকে $\Delta = 0$। ক্ষেত্ৰফল শূন্য হোৱাত বিন্দুকেইটা এক ৰেখীয়।
3. নিম্ন প্ৰদত্ত শীৰ্ষবিন্দু বিশিষ্ট ত্ৰিভুজৰ ক্ষেত্ৰফল $4$ বৰ্গ একক হ’লে, $k$ ৰ মান উলিওৱা।
(i) $(k, 0), (4, 0), (0, 2)$
উত্তৰঃ $\Delta = \frac{1}{2}\begin{vmatrix} k & 0 & 1 \\ 4 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \end{vmatrix} = \frac{1}{2}\left[k(0 – 2) – 0 + 1(8 – 0)\right] = \frac{1}{2}(-2k + 8)$। ক্ষেত্ৰফল $4$ হোৱাত $\frac{1}{2}(-2k + 8) = \pm 4$, অৰ্থাৎ $-2k + 8 = \pm 8$। ধনাত্মকৰ পৰা $k = 0$ আৰু ঋণাত্মকৰ পৰা $k = 8$। গতিকে $k = 0$ বা $8$।
(ii) $(-2, 0), (0, 4), (0, k)$
উত্তৰঃ $\Delta = \frac{1}{2}\begin{vmatrix} -2 & 0 & 1 \\ 0 & 4 & 1 \\ 0 & k & 1 \end{vmatrix} = \frac{1}{2}\left[-2(4 – k) – 0 + 1(0 – 0)\right] = -(4 – k) = k – 4$। ক্ষেত্ৰফল $4$ হোৱাত $|k – 4| = 4$, অৰ্থাৎ $k – 4 = \pm 4$। গতিকে $k = 0$ বা $8$।
4. (i) নিৰ্ণায়ক ব্যৱহাৰ কৰি $(1, 2)$ আৰু $(3, 6)$ বিন্দু সংযোগী ৰেখাৰ সমীকৰণ উলিওৱা।
উত্তৰঃ ৰেখাটোৰ ওপৰত $(x, y)$ যিকোনো এটা বিন্দু হ’লে তিনিওটা বিন্দুৰ দ্বাৰা গঠিত ত্ৰিভুজৰ ক্ষেত্ৰফল শূন্য। গতিকে $\frac{1}{2}\begin{vmatrix} x & y & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 3 & 6 & 1 \end{vmatrix} = 0$, অৰ্থাৎ $x(2 – 6) – y(1 – 3) + 1(6 – 6) = 0 \Rightarrow -4x + 2y = 0 \Rightarrow y = 2x$। ৰেখাটোৰ সমীকৰণ $y = 2x$ অথবা $2x – y = 0$।
(ii) নিৰ্ণায়ক ব্যৱহাৰ কৰি $(3, 1)$ আৰু $(9, 3)$ বিন্দু সংযোগী ৰেখাৰ সমীকৰণ উলিওৱা।
উত্তৰঃ $\frac{1}{2}\begin{vmatrix} x & y & 1 \\ 3 & 1 & 1 \\ 9 & 3 & 1 \end{vmatrix} = 0$, অৰ্থাৎ $x(1 – 3) – y(3 – 9) + 1(9 – 9) = 0 \Rightarrow -2x + 6y = 0 \Rightarrow x = 3y$। ৰেখাটোৰ সমীকৰণ $x = 3y$ অথবা $x – 3y = 0$।
5. $(2, -6), (5, 4)$ আৰু $(k, 4)$ শীৰ্ষবিন্দু বিশিষ্ট ত্ৰিভুজটোৰ ক্ষেত্ৰফল $35$ বৰ্গ একক হ’লে $k$ ৰ মান হ’ব (A) $12$ (B) $-2$ (C) $-12, -2$ (D) $12, -2$
উত্তৰঃ শুদ্ধ উত্তৰ (D) $12, -2$। $\Delta = \frac{1}{2}\begin{vmatrix} 2 & -6 & 1 \\ 5 & 4 & 1 \\ k & 4 & 1 \end{vmatrix} = \frac{1}{2}\left[2(4 – 4) – (-6)(5 – k) + 1(20 – 4k)\right] = \frac{1}{2}(30 – 6k + 20 – 4k) = \frac{1}{2}(50 – 10k)$। ক্ষেত্ৰফল $35$ হোৱাত $\frac{1}{2}(50 – 10k) = \pm 35$, অৰ্থাৎ $50 – 10k = \pm 70$। ধনাত্মকৰ পৰা $k = -2$ আৰু ঋণাত্মকৰ পৰা $k = 12$। গতিকে $k = 12, -2$।
অনুশীলনী 4.3
তলৰ নিৰ্ণায়ককেইটাৰ মৌলবোৰৰ অনুৰাশি আৰু সহৰাশি লিখা (প্ৰশ্ন 1 আৰু 2)। [অনুৰাশি $M_{ij}$, সহৰাশি $A_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$]
1. (i) $\begin{vmatrix} 2 & -4 \\ 0 & 3 \end{vmatrix}$
উত্তৰঃ অনুৰাশি: $M_{11} = 3$, $M_{12} = 0$, $M_{21} = -4$, $M_{22} = 2$। সহৰাশি: $A_{11} = 3$, $A_{12} = -0 = 0$, $A_{21} = -(-4) = 4$, $A_{22} = 2$।
(ii) $\begin{vmatrix} a & c \\ b & d \end{vmatrix}$
উত্তৰঃ অনুৰাশি: $M_{11} = d$, $M_{12} = b$, $M_{21} = c$, $M_{22} = a$। সহৰাশি: $A_{11} = d$, $A_{12} = -b$, $A_{21} = -c$, $A_{22} = a$।
2. (i) $\begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix}$
উত্তৰঃ অনুৰাশি: $M_{11} = 1$, $M_{12} = 0$, $M_{13} = 0$, $M_{21} = 0$, $M_{22} = 1$, $M_{23} = 0$, $M_{31} = 0$, $M_{32} = 0$, $M_{33} = 1$। সহৰাশি: $A_{11} = 1$, $A_{12} = 0$, $A_{13} = 0$, $A_{21} = 0$, $A_{22} = 1$, $A_{23} = 0$, $A_{31} = 0$, $A_{32} = 0$, $A_{33} = 1$।
(ii) $\begin{vmatrix} 1 & 0 & 4 \\ 3 & 5 & -1 \\ 0 & 1 & 2 \end{vmatrix}$
উত্তৰঃ অনুৰাশি: $M_{11} = \begin{vmatrix} 5 & -1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 11$, $M_{12} = \begin{vmatrix} 3 & -1 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = 6$, $M_{13} = \begin{vmatrix} 3 & 5 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 3$, $M_{21} = \begin{vmatrix} 0 & 4 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = -4$, $M_{22} = \begin{vmatrix} 1 & 4 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = 2$, $M_{23} = \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1$, $M_{31} = \begin{vmatrix} 0 & 4 \\ 5 & -1 \end{vmatrix} = -20$, $M_{32} = \begin{vmatrix} 1 & 4 \\ 3 & -1 \end{vmatrix} = -13$, $M_{33} = \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 5 \end{vmatrix} = 5$।
সহৰাশি: $A_{11} = 11$, $A_{12} = -6$, $A_{13} = 3$, $A_{21} = 4$, $A_{22} = 2$, $A_{23} = -1$, $A_{31} = -20$, $A_{32} = 13$, $A_{33} = 5$।
3. দ্বিতীয় শাৰীৰ মৌলবোৰৰ সহৰাশি উলিয়াই $\Delta = \begin{vmatrix} 5 & 3 & 8 \\ 2 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix}$ ৰ মান নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ দ্বিতীয় শাৰীৰ মৌল: $a_{21} = 2$, $a_{22} = 0$, $a_{23} = 1$। সহৰাশি: $A_{21} = -\begin{vmatrix} 3 & 8 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} = -(9 – 16) = 7$; $A_{22} = \begin{vmatrix} 5 & 8 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = 15 – 8 = 7$; $A_{23} = -\begin{vmatrix} 5 & 3 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = -(10 – 3) = -7$। গতিকে $\Delta = a_{21}A_{21} + a_{22}A_{22} + a_{23}A_{23} = 2(7) + 0(7) + 1(-7) = 14 – 7 = 7$।
4. তৃতীয় স্তম্ভৰ মৌলবোৰৰ সহৰাশি উলিয়াই $\Delta = \begin{vmatrix} 1 & x & yz \\ 1 & y & zx \\ 1 & z & xy \end{vmatrix}$ ৰ মান নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ তৃতীয় স্তম্ভৰ মৌল: $a_{13} = yz$, $a_{23} = zx$, $a_{33} = xy$। সহৰাশি: $A_{13} = \begin{vmatrix} 1 & y \\ 1 & z \end{vmatrix} = z – y$; $A_{23} = -\begin{vmatrix} 1 & x \\ 1 & z \end{vmatrix} = -(z – x) = x – z$; $A_{33} = \begin{vmatrix} 1 & x \\ 1 & y \end{vmatrix} = y – x$। গতিকে $\Delta = yz(z – y) + zx(x – z) + xy(y – x) = (x – y)(y – z)(z – x)$।
5. যদি $\Delta = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}$ আৰু $a_{ij}$ ৰ সহৰাশি $A_{ij}$, তেনেহ’লে $\Delta$ ৰ মান হ’ব
(A) $a_{11}A_{31} + a_{12}A_{32} + a_{13}A_{33}$ (B) $a_{11}A_{11} + a_{12}A_{21} + a_{13}A_{31}$ (C) $a_{21}A_{11} + a_{22}A_{12} + a_{23}A_{13}$ (D) $a_{11}A_{11} + a_{21}A_{21} + a_{31}A_{31}$
উত্তৰঃ শুদ্ধ উত্তৰ (D) $a_{11}A_{11} + a_{21}A_{21} + a_{31}A_{31}$। নিৰ্ণায়কৰ মান হ’ল কোনো এটা শাৰী বা স্তম্ভৰ মৌলবোৰ আৰু সেই একেটা শাৰী বা স্তম্ভৰ অনুৰূপ সহৰাশিবোৰৰ পূৰণফলৰ যোগফল। বিকল্প (D)-ত প্ৰথম স্তম্ভৰ মৌল $a_{11}, a_{21}, a_{31}$ আৰু সিহঁতৰ নিজৰ সহৰাশি $A_{11}, A_{21}, A_{31}$ লোৱা হৈছে, যি $C_1$ সাপেক্ষে সঠিক বিস্তাৰ। বিকল্প (A) আৰু (C)-ত এটা শাৰীৰ মৌলক আন এটা শাৰীৰ সহৰাশিৰে পূৰণ কৰা হৈছে যাৰ যোগফল শূন্য; (B) মিশ্ৰিত হোৱাত অবৈধ।
অনুশীলনী 4.4
1 আৰু 2 ৰ মৌলকক্ষ দুটাৰ সহখণ্ডজ (adjoint) উলিওৱা।
1. $\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$
উত্তৰঃ $2$-ঘাতৰ মৌলকক্ষৰ ক্ষেত্ৰত কৰ্ণৰ মৌল দুটাৰ স্থান সলনি কৰি আৰু বাকী দুটাৰ চিন সলনি কৰি সহখণ্ডজ পোৱা যায়। গতিকে $\operatorname{adj} A = \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix}$।
2. $\begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 2 & 3 & 5 \\ -2 & 0 & 1 \end{bmatrix}$
উত্তৰঃ সহৰাশিবোৰ হ’ল: $A_{11} = 3$, $A_{12} = -12$, $A_{13} = 6$, $A_{21} = 1$, $A_{22} = 5$, $A_{23} = 2$, $A_{31} = -11$, $A_{32} = -1$, $A_{33} = 5$। সহখণ্ডজ হ’ল সহৰাশি মৌলকক্ষটোৰ পশ্চান্তৰিত, গতিকে $\operatorname{adj} A = \begin{bmatrix} 3 & 1 & -11 \\ -12 & 5 & -1 \\ 6 & 2 & 5 \end{bmatrix}$।
3 আৰু 4 ৰ মৌলকক্ষ দুটাৰ ক্ষেত্ৰত সত্যতা স্থাপন কৰা যে $A(\operatorname{adj} A) = (\operatorname{adj} A)A = |A| I$।
3. $\begin{bmatrix} 2 & 3 \\ -4 & -6 \end{bmatrix}$
উত্তৰঃ $|A| = (2)(-6) – (3)(-4) = -12 + 12 = 0$ আৰু $\operatorname{adj} A = \begin{bmatrix} -6 & -3 \\ 4 & 2 \end{bmatrix}$। এতিয়া $A(\operatorname{adj} A) = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ -4 & -6 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} -6 & -3 \\ 4 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -12+12 & -6+6 \\ 24-24 & 12-12 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$। একেদৰে $(\operatorname{adj} A)A = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$। যিহেতু $|A| I = 0 \cdot I = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$, সেয়েহে $A(\operatorname{adj} A) = (\operatorname{adj} A)A = |A| I$ সত্যতা স্থাপিত।
4. $\begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 3 & 0 & -2 \\ 1 & 0 & 3 \end{bmatrix}$
উত্তৰঃ $|A| = 1(0 + 0) + 1(9 + 2) + 2(0 – 0) = 11$। সহৰাশিৰ পৰা $\operatorname{adj} A = \begin{bmatrix} 0 & 3 & 2 \\ -11 & 1 & 8 \\ 0 & -1 & 3 \end{bmatrix}$। এতিয়া $A(\operatorname{adj} A) = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 3 & 0 & -2 \\ 1 & 0 & 3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0 & 3 & 2 \\ -11 & 1 & 8 \\ 0 & -1 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 11 & 0 & 0 \\ 0 & 11 & 0 \\ 0 & 0 & 11 \end{bmatrix} = 11 I = |A| I$। একেদৰে $(\operatorname{adj} A)A = 11 I$। সেয়েহে সত্যতা স্থাপিত।
প্ৰতিলোম মৌলকক্ষ (যদি থাকে) নিৰ্ণয় কৰা, অনুশীলনী 5 ৰ পৰা 11 লৈ। [$A^{-1} = \frac{1}{|A|}\operatorname{adj} A$]
5. $\begin{bmatrix} 2 & -2 \\ 4 & 3 \end{bmatrix}$
উত্তৰঃ $|A| = (2)(3) – (-2)(4) = 6 + 8 = 14 \ne 0$, গতিকে $A^{-1}$ থাকে। $\operatorname{adj} A = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ -4 & 2 \end{bmatrix}$, সেয়েহে $A^{-1} = \frac{1}{14}\begin{bmatrix} 3 & 2 \\ -4 & 2 \end{bmatrix}$।
6. $\begin{bmatrix} -1 & 5 \\ -3 & 2 \end{bmatrix}$
উত্তৰঃ $|A| = (-1)(2) – (5)(-3) = -2 + 15 = 13 \ne 0$। $\operatorname{adj} A = \begin{bmatrix} 2 & -5 \\ 3 & -1 \end{bmatrix}$, সেয়েহে $A^{-1} = \frac{1}{13}\begin{bmatrix} 2 & -5 \\ 3 & -1 \end{bmatrix}$।
7. $\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 5 \end{bmatrix}$
উত্তৰঃ $A$ ঊৰ্ধ্ব-ত্ৰিভুজীয়, গতিকে $|A| = 1 \times 2 \times 5 = 10 \ne 0$। সহৰাশিৰ পৰা $\operatorname{adj} A = \begin{bmatrix} 10 & -10 & 2 \\ 0 & 5 & -4 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}$, সেয়েহে $A^{-1} = \frac{1}{10}\begin{bmatrix} 10 & -10 & 2 \\ 0 & 5 & -4 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}$।
8. $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 3 & 3 & 0 \\ 5 & 2 & -1 \end{bmatrix}$
উত্তৰঃ $R_1$ সাপেক্ষে বিস্তাৰ কৰি $|A| = 1\begin{vmatrix} 3 & 0 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} = -3 \ne 0$। সহৰাশিৰ পৰা $\operatorname{adj} A = \begin{bmatrix} -3 & 0 & 0 \\ 3 & -1 & 0 \\ -9 & -2 & 3 \end{bmatrix}$, সেয়েহে $A^{-1} = \frac{1}{-3}\begin{bmatrix} -3 & 0 & 0 \\ 3 & -1 & 0 \\ -9 & -2 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -1 & \frac{1}{3} & 0 \\ 3 & \frac{2}{3} & -1 \end{bmatrix}$।
9. $\begin{bmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 4 & -1 & 0 \\ -7 & 2 & 1 \end{bmatrix}$
উত্তৰঃ $|A| = 2(-1 – 0) – 1(4 – 0) + 3(8 – 7) = -2 – 4 + 3 = -3 \ne 0$। সহৰাশিৰ পৰা $\operatorname{adj} A = \begin{bmatrix} -1 & 5 & 3 \\ -4 & 23 & 12 \\ 1 & -11 & -6 \end{bmatrix}$, সেয়েহে $A^{-1} = \frac{1}{-3}\begin{bmatrix} -1 & 5 & 3 \\ -4 & 23 & 12 \\ 1 & -11 & -6 \end{bmatrix} = -\frac{1}{3}\begin{bmatrix} -1 & 5 & 3 \\ -4 & 23 & 12 \\ 1 & -11 & -6 \end{bmatrix}$।
10. $\begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -3 \\ 3 & -2 & 4 \end{bmatrix}$
উত্তৰঃ $|A| = 1(8 – 6) + 1(0 + 9) + 2(0 – 6) = 2 + 9 – 12 = -1 \ne 0$। সহৰাশিৰ পৰা $\operatorname{adj} A = \begin{bmatrix} 2 & 0 & -1 \\ -9 & -2 & 3 \\ -6 & -1 & 2 \end{bmatrix}$, সেয়েহে $A^{-1} = \frac{1}{-1}\begin{bmatrix} 2 & 0 & -1 \\ -9 & -2 & 3 \\ -6 & -1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 & 0 & 1 \\ 9 & 2 & -3 \\ 6 & 1 & -2 \end{bmatrix}$।
11. $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos\alpha & \sin\alpha \\ 0 & \sin\alpha & -\cos\alpha \end{bmatrix}$
উত্তৰঃ $|A| = 1(-\cos^2\alpha – \sin^2\alpha) = -1 \ne 0$। সহৰাশিৰ পৰা $\operatorname{adj} A = \begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -\cos\alpha & -\sin\alpha \\ 0 & -\sin\alpha & \cos\alpha \end{bmatrix}$, সেয়েহে $A^{-1} = \frac{1}{-1}\operatorname{adj} A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos\alpha & \sin\alpha \\ 0 & \sin\alpha & -\cos\alpha \end{bmatrix} = A$। অৰ্থাৎ এই মৌলকক্ষটোৰ প্ৰতিলোম নিজেই।
12. $A = \begin{bmatrix} 3 & 7 \\ 2 & 5 \end{bmatrix}$ আৰু $B = \begin{bmatrix} 6 & 8 \\ 7 & 9 \end{bmatrix}$ মৌলকক্ষ দুটাৰ বাবে সত্যতা স্থাপন কৰা যে $(AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}$।
উত্তৰঃ $AB = \begin{bmatrix} 3 & 7 \\ 2 & 5 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 6 & 8 \\ 7 & 9 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 67 & 87 \\ 47 & 61 \end{bmatrix}$, $|AB| = 67 \times 61 – 87 \times 47 = 4087 – 4089 = -2$। গতিকে $(AB)^{-1} = -\frac{1}{2}\begin{bmatrix} 61 & -87 \\ -47 & 67 \end{bmatrix}$।
এতিয়া $|A| = 15 – 14 = 1$, গতিকে $A^{-1} = \begin{bmatrix} 5 & -7 \\ -2 & 3 \end{bmatrix}$; আৰু $|B| = 54 – 56 = -2$, গতিকে $B^{-1} = -\frac{1}{2}\begin{bmatrix} 9 & -8 \\ -7 & 6 \end{bmatrix}$। সেয়েহে $B^{-1} A^{-1} = -\frac{1}{2}\begin{bmatrix} 9 & -8 \\ -7 & 6 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 5 & -7 \\ -2 & 3 \end{bmatrix} = -\frac{1}{2}\begin{bmatrix} 61 & -87 \\ -47 & 67 \end{bmatrix}$। যিহেতু ই $(AB)^{-1}$ ৰ সমান, সেয়েহে $(AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}$ প্ৰমাণিত।
13. $A = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}$ হ’লে, দেখুওৱা যে $A^2 – 5A + 7I = 0$, ইয়াৰ পৰা $A^{-1}$ উলিওৱা।
উত্তৰঃ $A^2 = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 & 5 \\ -5 & 3 \end{bmatrix}$। এতিয়া $A^2 – 5A + 7I = \begin{bmatrix} 8 & 5 \\ -5 & 3 \end{bmatrix} – \begin{bmatrix} 15 & 5 \\ -5 & 10 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 7 & 0 \\ 0 & 7 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} = 0$। প্ৰমাণিত।
$A^2 – 5A + 7I = 0$ ৰ দুয়োফালক $A^{-1}$ ৰে পূৰণ কৰি ($|A| = 7 \ne 0$): $A – 5I + 7A^{-1} = 0 \Rightarrow 7A^{-1} = 5I – A$, গতিকে $A^{-1} = \frac{1}{7}(5I – A) = \frac{1}{7}\left(\begin{bmatrix} 5 & 0 \\ 0 & 5 \end{bmatrix} – \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}\right) = \frac{1}{7}\begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}$।
14. $A = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$ মৌলকক্ষটোৰ বাবে এনে দুটা সংখ্যা $a$ আৰু $b$ উলিওৱা যাতে $A^2 + aA + bI = 0$।
উত্তৰঃ $A^2 = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 11 & 8 \\ 4 & 3 \end{bmatrix}$। গতিকে $A^2 + aA + bI = \begin{bmatrix} 11 + 3a + b & 8 + 2a \\ 4 + a & 3 + a + b \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$। $(1,2)$ ভুক্তিৰ পৰা $8 + 2a = 0 \Rightarrow a = -4$; $(1,1)$ ভুক্তিৰ পৰা $11 + 3(-4) + b = 0 \Rightarrow b = 1$। ($(2,1)$ আৰু $(2,2)$ ভুক্তিও ইয়াক নিশ্চিত কৰে।) গতিকে $a = -4$, $b = 1$।
15. $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & -3 \\ 2 & -1 & 3 \end{bmatrix}$ হ’লে, দেখুওৱা যে $A^3 – 6A^2 + 5A + 11I = 0$। ইয়াৰ পৰা $A^{-1}$ উলিওৱা।
উত্তৰঃ $A^2 = \begin{bmatrix} 4 & 2 & 1 \\ -3 & 8 & -14 \\ 7 & -3 & 14 \end{bmatrix}$ আৰু $A^3 = A^2 \cdot A = \begin{bmatrix} 8 & 7 & 1 \\ -23 & 27 & -69 \\ 32 & -13 & 58 \end{bmatrix}$। ইয়াক বহুৱাই দিলে $A^3 – 6A^2 + 5A + 11I = 0$ পোৱা যায় (প্ৰতিটো ভুক্তি শূন্য)। প্ৰমাণিত।
উক্ত সমীকৰণক $A^{-1}$ ৰে পূৰণ কৰি ($|A| = 11 \ne 0$): $A^2 – 6A + 5I + 11A^{-1} = 0 \Rightarrow A^{-1} = \frac{1}{11}(-A^2 + 6A – 5I) = \frac{1}{11}\begin{bmatrix} -3 & 4 & 5 \\ 9 & -1 & -4 \\ 5 & -3 & -1 \end{bmatrix}$।
16. $A = \begin{bmatrix} 2 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & -1 \\ 1 & -1 & 2 \end{bmatrix}$ হ’লে, দেখুওৱা যে $A^3 – 6A^2 + 9A – 4I = 0$ আৰু ইয়াৰ পৰা $A^{-1}$ উলিওৱা।
উত্তৰঃ $A^2 = \begin{bmatrix} 6 & -5 & 5 \\ -5 & 6 & -5 \\ 5 & -5 & 6 \end{bmatrix}$ আৰু $A^3 = A^2 \cdot A = \begin{bmatrix} 22 & -21 & 21 \\ -21 & 22 & -21 \\ 21 & -21 & 22 \end{bmatrix}$। ইয়াক বহুৱাই দিলে $A^3 – 6A^2 + 9A – 4I = 0$ পোৱা যায়। প্ৰমাণিত।
উক্ত সমীকৰণক $A^{-1}$ ৰে পূৰণ কৰি ($|A| = 4 \ne 0$): $A^2 – 6A + 9I – 4A^{-1} = 0 \Rightarrow 4A^{-1} = A^2 – 6A + 9I$, গতিকে $A^{-1} = \frac{1}{4}(A^2 – 6A + 9I) = \frac{1}{4}\begin{bmatrix} 3 & 1 & -1 \\ 1 & 3 & 1 \\ -1 & 1 & 3 \end{bmatrix}$।
17. $A$ এটা $3 \times 3$ ঘাতৰ অক্ষীয়মান মৌলকক্ষ হ’লে, $|\operatorname{adj} A|$ ৰ মান হ’ব (A) $|A|$ (B) $|A|^2$ (C) $|A|^3$ (D) $3|A|$
উত্তৰঃ শুদ্ধ উত্তৰ (B) $|A|^2$। $n$ ঘাতৰ মৌলকক্ষৰ বাবে $|\operatorname{adj} A| = |A|^{n-1}$। ইয়াত $n = 3$, গতিকে $|\operatorname{adj} A| = |A|^{3-1} = |A|^2$।
18. এটা $2$-ঘাতৰ মৌলকক্ষ $A$ ৰ প্ৰতিলোম মৌলকক্ষ থাকিলে, $\det(A^{-1})$ হ’ব (A) $\det(A)$ (B) $\frac{1}{\det(A)}$ (C) $1$ (D) $0$
উত্তৰঃ শুদ্ধ উত্তৰ (B) $\frac{1}{\det(A)}$। যিহেতু $A A^{-1} = I$, দুয়োফালৰ নিৰ্ণায়ক লৈ $\det(A) \cdot \det(A^{-1}) = \det(I) = 1$, গতিকে $\det(A^{-1}) = \frac{1}{\det(A)}$।
অনুশীলনী 4.5
1 ৰ পৰা 6 লৈ সমীকৰণ প্ৰণালীৰ সংগতি বিচাৰ কৰা। [$AX = B$ ত $|A| \ne 0$ হ’লে সুসংগত (অদ্বিতীয় সমাধান); $|A| = 0$ আৰু $(\operatorname{adj} A)B \ne 0$ হ’লে অসংগত।]
1. $x + 2y = 2$; $2x + 3y = 3$
উত্তৰঃ $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}$, $|A| = 3 – 4 = -1 \ne 0$। গতিকে $A$ অক্ষীয়মান আৰু প্ৰণালীটোৰ অদ্বিতীয় সমাধান আছে — প্ৰণালীটো সুসংগত।
2. $2x – y = 5$; $x + y = 4$
উত্তৰঃ $A = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$, $|A| = 2 + 1 = 3 \ne 0$। গতিকে প্ৰণালীটো সুসংগত (অদ্বিতীয় সমাধান আছে)।
3. $x + 3y = 5$; $2x + 6y = 8$
উত্তৰঃ $A = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 6 \end{bmatrix}$, $|A| = 6 – 6 = 0$, গতিকে $A$ অপ্ৰতিম। এতিয়া $\operatorname{adj} A = \begin{bmatrix} 6 & -3 \\ -2 & 1 \end{bmatrix}$ আৰু $B = \begin{bmatrix} 5 \\ 8 \end{bmatrix}$, গতিকে $(\operatorname{adj} A)B = \begin{bmatrix} 6 & -3 \\ -2 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 5 \\ 8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 \\ -2 \end{bmatrix} \ne 0$। সেয়েহে প্ৰণালীটো অসংগত।
4. $x + y + z = 1$; $2x + 3y + 2z = 2$; $ax + ay + 2az = 4$
উত্তৰঃ $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \\ a & a & 2a \end{bmatrix}$, $|A| = 1(6a – 2a) – 1(4a – 2a) + 1(2a – 3a) = 4a – 2a – a = a$। যদি $a \ne 0$ তেন্তে $|A| = a \ne 0$, গতিকে $A$ অক্ষীয়মান আৰু প্ৰণালীটো সুসংগত (অদ্বিতীয় সমাধান)। ($a = 0$ হ’লে তৃতীয় সমীকৰণ $0 = 4$ হয় যি অসম্ভৱ, তেতিয়া প্ৰণালীটো অসংগত হ’ব।)
5. $3x – y – 2z = 2$; $2y – z = -1$; $3x – 5y = 3$
উত্তৰঃ $A = \begin{bmatrix} 3 & -1 & -2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 3 & -5 & 0 \end{bmatrix}$, $|A| = 3(0 – 5) + 1(0 + 3) – 2(0 – 6) = -15 + 3 + 12 = 0$, গতিকে $A$ অপ্ৰতিম। সহৰাশিৰ পৰা $\operatorname{adj} A = \begin{bmatrix} -5 & 10 & 5 \\ -3 & 6 & 3 \\ -6 & 12 & 6 \end{bmatrix}$ আৰু $B = \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{bmatrix}$। $(\operatorname{adj} A)B = \begin{bmatrix} -5 \\ -3 \\ -6 \end{bmatrix} \ne 0$। সেয়েহে প্ৰণালীটো অসংগত।
6. $5x – y + 4z = 5$; $2x + 3y + 5z = 2$; $5x – 2y + 6z = -1$
উত্তৰঃ $A = \begin{bmatrix} 5 & -1 & 4 \\ 2 & 3 & 5 \\ 5 & -2 & 6 \end{bmatrix}$, $|A| = 5(18 + 10) + 1(12 – 25) + 4(-4 – 15) = 140 – 13 – 76 = 51 \ne 0$। গতিকে $A$ অক্ষীয়মান আৰু প্ৰণালীটো সুসংগত (অদ্বিতীয় সমাধান আছে)।
মৌলকক্ষীয় পদ্ধতিৰে 7 ৰ পৰা 14 লৈ সমীকৰণ প্ৰণালীৰ সমাধান নিৰ্ণয় কৰা। [$X = A^{-1}B$]
7. $5x + 2y = 4$; $7x + 3y = 5$
উত্তৰঃ $A = \begin{bmatrix} 5 & 2 \\ 7 & 3 \end{bmatrix}$, $|A| = 15 – 14 = 1$, $A^{-1} = \begin{bmatrix} 3 & -2 \\ -7 & 5 \end{bmatrix}$। $X = A^{-1}B = \begin{bmatrix} 3 & -2 \\ -7 & 5 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 4 \\ 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ -3 \end{bmatrix}$। গতিকে $x = 2$, $y = -3$।
8. $2x – y = -2$; $3x + 4y = 3$
উত্তৰঃ $A = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$, $|A| = 8 + 3 = 11$, $A^{-1} = \frac{1}{11}\begin{bmatrix} 4 & 1 \\ -3 & 2 \end{bmatrix}$। $X = \frac{1}{11}\begin{bmatrix} 4 & 1 \\ -3 & 2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} -2 \\ 3 \end{bmatrix} = \frac{1}{11}\begin{bmatrix} -5 \\ 12 \end{bmatrix}$। গতিকে $x = -\frac{5}{11}$, $y = \frac{12}{11}$।
9. $4x – 3y = 3$; $3x – 5y = 7$
উত্তৰঃ $A = \begin{bmatrix} 4 & -3 \\ 3 & -5 \end{bmatrix}$, $|A| = -20 + 9 = -11$, $A^{-1} = \frac{1}{-11}\begin{bmatrix} -5 & 3 \\ -3 & 4 \end{bmatrix}$। $X = \frac{1}{-11}\begin{bmatrix} -5 & 3 \\ -3 & 4 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 3 \\ 7 \end{bmatrix} = \frac{1}{-11}\begin{bmatrix} 6 \\ 19 \end{bmatrix}$। গতিকে $x = -\frac{6}{11}$, $y = -\frac{19}{11}$।
10. $5x + 2y = 3$; $3x + 2y = 5$
উত্তৰঃ $A = \begin{bmatrix} 5 & 2 \\ 3 & 2 \end{bmatrix}$, $|A| = 10 – 6 = 4$, $A^{-1} = \frac{1}{4}\begin{bmatrix} 2 & -2 \\ -3 & 5 \end{bmatrix}$। $X = \frac{1}{4}\begin{bmatrix} 2 & -2 \\ -3 & 5 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 3 \\ 5 \end{bmatrix} = \frac{1}{4}\begin{bmatrix} -4 \\ 16 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 \\ 4 \end{bmatrix}$। গতিকে $x = -1$, $y = 4$।
11. $2x + y + z = 1$; $x – 2y – z = \frac{3}{2}$; $3y – 5z = 9$
উত্তৰঃ $A = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & -1 \\ 0 & 3 & -5 \end{bmatrix}$, $|A| = 2(10 + 3) – 1(-5 – 0) + 1(3 – 0) = 26 + 5 + 3 = 34$। সহৰাশিৰ পৰা $\operatorname{adj} A = \begin{bmatrix} 13 & 8 & 1 \\ 5 & -10 & 3 \\ 3 & -6 & -5 \end{bmatrix}$, গতিকে $A^{-1} = \frac{1}{34}\operatorname{adj} A$। $X = \frac{1}{34}\begin{bmatrix} 13 & 8 & 1 \\ 5 & -10 & 3 \\ 3 & -6 & -5 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 \\ \frac{3}{2} \\ 9 \end{bmatrix} = \frac{1}{34}\begin{bmatrix} 34 \\ 17 \\ -51 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ \frac{1}{2} \\ -\frac{3}{2} \end{bmatrix}$। গতিকে $x = 1$, $y = \frac{1}{2}$, $z = -\frac{3}{2}$।
12. $x – y + z = 4$; $2x + y – 3z = 0$; $x + y + z = 2$
উত্তৰঃ $A = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & -3 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$, $|A| = 1(1 + 3) + 1(2 + 3) + 1(2 – 1) = 4 + 5 + 1 = 10$। সহৰাশিৰ পৰা $\operatorname{adj} A = \begin{bmatrix} 4 & 2 & 2 \\ -5 & 0 & 5 \\ 1 & -2 & 3 \end{bmatrix}$, গতিকে $A^{-1} = \frac{1}{10}\operatorname{adj} A$। $X = \frac{1}{10}\begin{bmatrix} 4 & 2 & 2 \\ -5 & 0 & 5 \\ 1 & -2 & 3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 4 \\ 0 \\ 2 \end{bmatrix} = \frac{1}{10}\begin{bmatrix} 20 \\ -10 \\ 10 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix}$। গতিকে $x = 2$, $y = -1$, $z = 1$।
13. $2x + 3y + 3z = 5$; $x – 2y + z = -4$; $3x – y – 2z = 3$
উত্তৰঃ $A = \begin{bmatrix} 2 & 3 & 3 \\ 1 & -2 & 1 \\ 3 & -1 & -2 \end{bmatrix}$, $|A| = 2(4 + 1) – 3(-2 – 3) + 3(-1 + 6) = 10 + 15 + 15 = 40$। সহৰাশিৰ পৰা $\operatorname{adj} A = \begin{bmatrix} 5 & 3 & 9 \\ 5 & -13 & 1 \\ 5 & 11 & -7 \end{bmatrix}$, গতিকে $A^{-1} = \frac{1}{40}\operatorname{adj} A$। $X = \frac{1}{40}\begin{bmatrix} 5 & 3 & 9 \\ 5 & -13 & 1 \\ 5 & 11 & -7 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 5 \\ -4 \\ 3 \end{bmatrix} = \frac{1}{40}\begin{bmatrix} 40 \\ 80 \\ -40 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{bmatrix}$। গতিকে $x = 1$, $y = 2$, $z = -1$।
14. $x – y + 2z = 7$; $3x + 4y – 5z = -5$; $2x – y + 3z = 12$
উত্তৰঃ $A = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 3 & 4 & -5 \\ 2 & -1 & 3 \end{bmatrix}$, $|A| = 1(12 – 5) + 1(9 + 10) + 2(-3 – 8) = 7 + 19 – 22 = 4$। সহৰাশিৰ পৰা $\operatorname{adj} A = \begin{bmatrix} 7 & 1 & -3 \\ -19 & -1 & 11 \\ -11 & -1 & 7 \end{bmatrix}$, গতিকে $A^{-1} = \frac{1}{4}\operatorname{adj} A$। $X = \frac{1}{4}\begin{bmatrix} 7 & 1 & -3 \\ -19 & -1 & 11 \\ -11 & -1 & 7 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 7 \\ -5 \\ 12 \end{bmatrix} = \frac{1}{4}\begin{bmatrix} 8 \\ 4 \\ 12 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{bmatrix}$। গতিকে $x = 2$, $y = 1$, $z = 3$।
15. $A = \begin{bmatrix} 2 & -3 & 5 \\ 3 & 2 & -4 \\ 1 & 1 & -2 \end{bmatrix}$ হ’লে, $A^{-1}$ উলিওৱা আৰু $A^{-1}$ ব্যৱহাৰ কৰি তলৰ সমীকৰণ প্ৰণালীটো সমাধান কৰা: $2x – 3y + 5z = 11$; $3x + 2y – 4z = -5$; $x + y – 2z = -3$।
উত্তৰঃ $|A| = 2(-4 + 4) + 3(-6 + 4) + 5(3 – 2) = 0 – 6 + 5 = -1 \ne 0$। সহৰাশিৰ পৰা $\operatorname{adj} A = \begin{bmatrix} 0 & -1 & 2 \\ 2 & -9 & 23 \\ 1 & -5 & 13 \end{bmatrix}$, গতিকে $A^{-1} = \frac{1}{-1}\operatorname{adj} A = \begin{bmatrix} 0 & 1 & -2 \\ -2 & 9 & -23 \\ -1 & 5 & -13 \end{bmatrix}$।
প্ৰণালীটো $AX = B$ আকাৰত, $B = \begin{bmatrix} 11 \\ -5 \\ -3 \end{bmatrix}$। $X = A^{-1}B = \begin{bmatrix} 0 & 1 & -2 \\ -2 & 9 & -23 \\ -1 & 5 & -13 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 11 \\ -5 \\ -3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}$। গতিকে $x = 1$, $y = 2$, $z = 3$।
16. $4$ কি.গ্ৰা. পিয়াজ, $3$ কি.গ্ৰা. আটা আৰু $2$ কি.গ্ৰা. চাউলৰ মূল্য $60$ টকা। $2$ কি.গ্ৰা. পিয়াজ, $4$ কি.গ্ৰা. আটা আৰু $6$ কি.গ্ৰা. চাউলৰ মূল্য $90$ টকা। $6$ কি.গ্ৰা. পিয়াজ, $2$ কি.গ্ৰা. আটা আৰু $3$ কি.গ্ৰা. চাউলৰ মূল্য $70$ টকা। প্ৰতিবিধ বস্তুৰ প্ৰতি কি.গ্ৰা.ৰ মূল্য উলিওৱা।
উত্তৰঃ পিয়াজ, আটা আৰু চাউলৰ প্ৰতি কি.গ্ৰা. মূল্য যথাক্ৰমে $x$, $y$, $z$ টকা ধৰিলে: $4x + 3y + 2z = 60$; $2x + 4y + 6z = 90$; $6x + 2y + 3z = 70$। $A = \begin{bmatrix} 4 & 3 & 2 \\ 2 & 4 & 6 \\ 6 & 2 & 3 \end{bmatrix}$, $|A| = 4(12 – 12) – 3(6 – 36) + 2(4 – 24) = 0 + 90 – 40 = 50$। সহৰাশিৰ পৰা $\operatorname{adj} A = \begin{bmatrix} 0 & -5 & 10 \\ 30 & 0 & -20 \\ -20 & 10 & 10 \end{bmatrix}$, গতিকে $A^{-1} = \frac{1}{50}\operatorname{adj} A$।
$X = \frac{1}{50}\begin{bmatrix} 0 & -5 & 10 \\ 30 & 0 & -20 \\ -20 & 10 & 10 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 60 \\ 90 \\ 70 \end{bmatrix} = \frac{1}{50}\begin{bmatrix} 250 \\ 400 \\ 400 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ 8 \\ 8 \end{bmatrix}$। গতিকে পিয়াজৰ মূল্য প্ৰতি কি.গ্ৰা. $5$ টকা, আটাৰ মূল্য $8$ টকা আৰু চাউলৰ মূল্য $8$ টকা।
চতুৰ্থ অধ্যায়ৰ বিবিধ অনুশীলনী
1. প্ৰমাণ কৰা যে $\begin{vmatrix} x & \sin\theta & \cos\theta \\ -\sin\theta & -x & 1 \\ \cos\theta & 1 & x \end{vmatrix}$ নিৰ্ণায়কটোৰ মান $\theta$-নিৰ্ভৰশীল নহয়।
উত্তৰঃ $R_1$ সাপেক্ষে বিস্তাৰ কৰি,
$= x(-x \cdot x – 1 \cdot 1) – \sin\theta(-\sin\theta \cdot x – 1 \cdot \cos\theta) + \cos\theta(-\sin\theta \cdot 1 – (-x)\cos\theta)$
$= x(-x^2 – 1) + \sin\theta(x\sin\theta + \cos\theta) + \cos\theta(-\sin\theta + x\cos\theta)$
$= -x^3 – x + x\sin^2\theta + \sin\theta\cos\theta – \sin\theta\cos\theta + x\cos^2\theta = -x^3 – x + x(\sin^2\theta + \cos^2\theta) = -x^3 – x + x = -x^3$।
যিহেতু মান $-x^3$, ইয়াত $\theta$ নাই, গতিকে নিৰ্ণায়কটোৰ মান $\theta$-নিৰ্ভৰশীল নহয়। প্ৰমাণিত।
2. মান নিৰ্ণয় কৰা $\begin{vmatrix} \cos\alpha\cos\beta & \cos\alpha\sin\beta & -\sin\alpha \\ -\sin\beta & \cos\beta & 0 \\ \sin\alpha\cos\beta & \sin\alpha\sin\beta & \cos\alpha \end{vmatrix}$।
উত্তৰঃ $R_1$ সাপেক্ষে বিস্তাৰ কৰি,
$= \cos\alpha\cos\beta(\cos\alpha\cos\beta – 0) – \cos\alpha\sin\beta(-\sin\beta\cos\alpha – 0) + (-\sin\alpha)(-\sin\beta \cdot \sin\alpha\sin\beta – \cos\beta \cdot \sin\alpha\cos\beta)$
$= \cos^2\alpha\cos^2\beta + \cos^2\alpha\sin^2\beta + \sin^2\alpha(\sin^2\beta + \cos^2\beta) = \cos^2\alpha(\cos^2\beta + \sin^2\beta) + \sin^2\alpha = \cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1$।
3. যদি $A^{-1} = \begin{bmatrix} 3 & -1 & 1 \\ -15 & 6 & -5 \\ 5 & -2 & 2 \end{bmatrix}$ আৰু $B = \begin{bmatrix} 1 & 2 & -2 \\ -1 & 3 & 0 \\ 0 & -2 & 1 \end{bmatrix}$ তেনেহ’লে $(AB)^{-1}$ উলিওৱা।
উত্তৰঃ $(AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}$। প্ৰথমে $B^{-1}$ উলিয়াওঁ: $|B| = 1(3 – 0) – 2(-1 – 0) + (-2)(2 – 0) = 3 + 2 – 4 = 1$। সহৰাশিৰ পৰা $\operatorname{adj} B = \begin{bmatrix} 3 & 2 & 6 \\ 1 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 5 \end{bmatrix}$, গতিকে $B^{-1} = \operatorname{adj} B$।
সেয়েহে $(AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1} = \begin{bmatrix} 3 & 2 & 6 \\ 1 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 5 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 3 & -1 & 1 \\ -15 & 6 & -5 \\ 5 & -2 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 9 & -3 & 5 \\ -2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \end{bmatrix}$।
4. $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 5 \end{bmatrix}$ হ’লে, সত্যতা স্থাপন কৰা যে (i) $[\operatorname{adj} A]^{-1} = \operatorname{adj}(A^{-1})$, (ii) $(A^{-1})^{-1} = A$।
উত্তৰঃ $|A| = 1(15 – 1) – 2(10 – 1) + 1(2 – 3) = 14 – 18 – 1 = -5 \ne 0$, গতিকে $A^{-1}$ থাকে।
(i) আমি জানো $\operatorname{adj} A = |A| A^{-1}$। গতিকে $[\operatorname{adj} A]^{-1} = (|A| A^{-1})^{-1} = \frac{1}{|A|} A$। আকৌ $\operatorname{adj}(A^{-1}) = |A^{-1}| (A^{-1})^{-1} = \frac{1}{|A|} A$ (যিহেতু $|A^{-1}| = \frac{1}{|A|}$ আৰু $(A^{-1})^{-1} = A$)। সংখ্যাগতভাৱে দুয়োটাই $-\frac{1}{5}\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 5 \end{bmatrix}$। গতিকে $[\operatorname{adj} A]^{-1} = \operatorname{adj}(A^{-1})$ সত্যতা স্থাপিত।
(ii) যিহেতু $A^{-1} A = A A^{-1} = I$, $A$ হ’ল $A^{-1}$ ৰ প্ৰতিলোম, গতিকে $(A^{-1})^{-1} = A$ সত্যতা স্থাপিত।
5. মান নিৰ্ণয় কৰা $\begin{vmatrix} x & y & x+y \\ y & x+y & x \\ x+y & x & y \end{vmatrix}$।
উত্তৰঃ $C_1 \to C_1 + C_2 + C_3$ কৰিলে প্ৰতিটো শাৰীৰ যোগফল $2(x + y)$ হয়, গতিকে $= 2(x + y)\begin{vmatrix} 1 & y & x+y \\ 1 & x+y & x \\ 1 & x & y \end{vmatrix}$। এতিয়া $R_2 \to R_2 – R_1$ আৰু $R_3 \to R_3 – R_1$ কৰি,
$= 2(x + y)\begin{vmatrix} 1 & y & x+y \\ 0 & x & -y \\ 0 & x-y & -x \end{vmatrix} = 2(x + y)\left[x(-x) – (-y)(x – y)\right] = 2(x + y)(-x^2 + xy – y^2)$।
$= -2(x + y)(x^2 – xy + y^2) = -2(x^3 + y^3)$।
6. মান নিৰ্ণয় কৰা $\begin{vmatrix} 1 & x & y \\ 1 & x+y & y \\ 1 & x & x+y \end{vmatrix}$।
উত্তৰঃ $R_2 \to R_2 – R_1$ আৰু $R_3 \to R_3 – R_1$ কৰি, $= \begin{vmatrix} 1 & x & y \\ 0 & y & 0 \\ 0 & 0 & x \end{vmatrix}$। $C_1$ সাপেক্ষে বিস্তাৰ কৰি, $= 1(y \cdot x – 0) = xy$।
7. তলৰ সমীকৰণ প্ৰণালীটো সমাধান কৰা: $\frac{2}{x} + \frac{3}{y} + \frac{10}{z} = 4$; $\frac{4}{x} – \frac{6}{y} + \frac{5}{z} = 1$; $\frac{6}{x} + \frac{9}{y} – \frac{20}{z} = 2$।
উত্তৰঃ $u = \frac{1}{x}$, $v = \frac{1}{y}$, $w = \frac{1}{z}$ ধৰিলে প্ৰণালীটো হয়: $2u + 3v + 10w = 4$; $4u – 6v + 5w = 1$; $6u + 9v – 20w = 2$। $A = \begin{bmatrix} 2 & 3 & 10 \\ 4 & -6 & 5 \\ 6 & 9 & -20 \end{bmatrix}$, $|A| = 2(120 – 45) – 3(-80 – 30) + 10(36 + 36) = 150 + 330 + 720 = 1200$।
সহৰাশিৰ পৰা $\operatorname{adj} A = \begin{bmatrix} 75 & 150 & 75 \\ 110 & -100 & 30 \\ 72 & 0 & -24 \end{bmatrix}$, গতিকে $\begin{bmatrix} u \\ v \\ w \end{bmatrix} = \frac{1}{1200}\begin{bmatrix} 75 & 150 & 75 \\ 110 & -100 & 30 \\ 72 & 0 & -24 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 4 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix} = \frac{1}{1200}\begin{bmatrix} 600 \\ 400 \\ 240 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} \\ \frac{1}{3} \\ \frac{1}{5} \end{bmatrix}$।
গতিকে $\frac{1}{x} = \frac{1}{2}$, $\frac{1}{y} = \frac{1}{3}$, $\frac{1}{z} = \frac{1}{5}$, অৰ্থাৎ $x = 2$, $y = 3$, $z = 5$।
অনুশীলনী 8 ৰ পৰা 9 লৈ, শুদ্ধ উত্তৰটো বাছি উলিওৱা।
8. $x, y, z$ অশূন্য বাস্তৱ সংখ্যা হ’লে, $A = \begin{bmatrix} x & 0 & 0 \\ 0 & y & 0 \\ 0 & 0 & z \end{bmatrix}$ মৌলকক্ষটোৰ প্ৰতিলোম মৌলকক্ষ হ’ব
(A) $\begin{bmatrix} x^{-1} & 0 & 0 \\ 0 & y^{-1} & 0 \\ 0 & 0 & z^{-1} \end{bmatrix}$ (B) $xyz\begin{bmatrix} x^{-1} & 0 & 0 \\ 0 & y^{-1} & 0 \\ 0 & 0 & z^{-1} \end{bmatrix}$ (C) $\frac{1}{xyz}\begin{bmatrix} x & 0 & 0 \\ 0 & y & 0 \\ 0 & 0 & z \end{bmatrix}$ (D) $\frac{1}{xyz}\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$
উত্তৰঃ শুদ্ধ উত্তৰ (A)। কৰ্ণ মৌলকক্ষৰ প্ৰতিলোম হ’ল কৰ্ণৰ মৌলবোৰৰ ব্যুৎক্ৰম লৈ পোৱা কৰ্ণ মৌলকক্ষ, অৰ্থাৎ $A^{-1} = \begin{bmatrix} x^{-1} & 0 & 0 \\ 0 & y^{-1} & 0 \\ 0 & 0 & z^{-1} \end{bmatrix}$। (পৰীক্ষা: $A A^{-1} = I$।)
9. $0 \le \theta \le 2\pi$ আৰু $A = \begin{bmatrix} 1 & \sin\theta & 1 \\ -\sin\theta & 1 & \sin\theta \\ -1 & -\sin\theta & 1 \end{bmatrix}$ হ’লে
(A) $\det(A) = 0$ (B) $\det(A) \in (2, \infty)$ (C) $\det(A) \in (2, 4)$ (D) $\det(A) \in [2, 4]$
উত্তৰঃ শুদ্ধ উত্তৰ (D) $\det(A) \in [2, 4]$। $R_1$ সাপেক্ষে বিস্তাৰ কৰি, $\det(A) = 1(1 + \sin^2\theta) – \sin\theta(-\sin\theta + \sin\theta) + 1(\sin^2\theta + 1) = (1 + \sin^2\theta) + (1 + \sin^2\theta) = 2 + 2\sin^2\theta$। যিহেতু $0 \le \sin^2\theta \le 1$, $\det(A)$ ৰ মান $2 + 0 = 2$ ৰ পৰা $2 + 2 = 4$ লৈ পৰিবৰ্তিত হয়, গতিকে $\det(A) \in [2, 4]$।
অতিৰিক্ত প্ৰশ্ন আৰু উত্তৰ
বহুবিকল্পীয় প্ৰশ্ন (MCQ)
1. $\begin{vmatrix} 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{vmatrix}$ ৰ মান হ’ল (A) $-2$ (B) $2$ (C) $38$ (D) $8$
উত্তৰঃ (A) $-2$; কিয়নো $3 \times 6 – 4 \times 5 = 18 – 20 = -2$।
2. $A$ এটা $3$ ঘাতৰ বৰ্গ মৌলকক্ষ আৰু $|A| = 5$ হ’লে $|2A|$ ৰ মান হ’ল (A) $40$ (B) $10$ (C) $20$ (D) $80$
উত্তৰঃ (A) $40$; কিয়নো $|2A| = 2^3 |A| = 8 \times 5 = 40$।
3. $A$ এটা $3$ ঘাতৰ অক্ষীয়মান মৌলকক্ষ আৰু $|A| = 4$ হ’লে $|\operatorname{adj} A|$ ৰ মান হ’ল (A) $4$ (B) $12$ (C) $16$ (D) $64$
উত্তৰঃ (C) $16$; কিয়নো $|\operatorname{adj} A| = |A|^{n-1} = 4^2 = 16$।
4. এটা অপ্ৰতিম (singular) মৌলকক্ষৰ নিৰ্ণায়কৰ মান হ’ল (A) $1$ (B) $0$ (C) $-1$ (D) অসংজ্ঞায়িত
উত্তৰঃ (B) $0$; সংজ্ঞা অনুসৰি $|A| = 0$ হ’লেহে মৌলকক্ষটো অপ্ৰতিম।
5. $(0, 0), (3, 0)$ আৰু $(0, 4)$ শীৰ্ষবিন্দু বিশিষ্ট ত্ৰিভুজৰ ক্ষেত্ৰফল হ’ল (A) $12$ (B) $6$ (C) $7$ (D) $5$ বৰ্গ একক
উত্তৰঃ (B) $6$; ক্ষেত্ৰফল $= \frac{1}{2}|0(0 – 4) + 3(4 – 0) + 0(0 – 0)| = \frac{1}{2}(12) = 6$ বৰ্গ একক।
6. $\begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 4 & x \end{vmatrix} = 0$ হ’লে $x$ ৰ মান হ’ল (A) $6$ (B) $-6$ (C) $3$ (D) $2$
উত্তৰঃ (A) $6$; কিয়নো $2x – 12 = 0 \Rightarrow x = 6$।
7. $A$ এটা $2$ ঘাতৰ অক্ষীয়মান মৌলকক্ষ হ’লে $|\operatorname{adj} A|$ ৰ মান হ’ল (A) $|A|$ (B) $|A|^2$ (C) $1$ (D) $2|A|$
উত্তৰঃ (A) $|A|$; কিয়নো $|\operatorname{adj} A| = |A|^{n-1} = |A|^{2-1} = |A|$।
8. $A$ অক্ষীয়মান হ’লে $A(\operatorname{adj} A)$ ৰ মান হ’ল (A) $0$ (B) $A$ (C) $|A| I$ (D) $\operatorname{adj} A$
উত্তৰঃ (C) $|A| I$; ই সহখণ্ডজৰ মৌলিক ধৰ্ম।
খালী ঠাই পূৰণ কৰা
1. এটা বৰ্গ মৌলকক্ষ $A$ ৰ প্ৰতিলোম মৌলকক্ষ থাকে যদি আৰু কেৱল যদি $A$ ______ হয়।
উত্তৰঃ অক্ষীয়মান (non-singular)।
2. $a_{ij}$ ৰ সহৰাশি $A_{ij} =$ ______ ।
উত্তৰঃ $(-1)^{i+j} M_{ij}$।
3. যিকোনো $n$ ঘাতৰ বৰ্গ মৌলকক্ষ $A$ ৰ বাবে $A(\operatorname{adj} A) =$ ______ ।
উত্তৰঃ $|A| I$।
4. $|A| =$ ______ হ’লে $A$ ক অপ্ৰতিম মৌলকক্ষ বোলা হয়।
উত্তৰঃ $0$।
5. তিনিটা একে ৰেখীয় বিন্দুৰে গঠিত ত্ৰিভুজৰ ক্ষেত্ৰফল ______ ।
উত্তৰঃ শূন্য।
শুদ্ধ নে অশুদ্ধ লিখা
1. কেৱল বৰ্গ মৌলকক্ষৰহে নিৰ্ণায়ক থাকে।
উত্তৰঃ শুদ্ধ।
2. $n$ ঘাতৰ বৰ্গ মৌলকক্ষ $A$ ৰ বাবে $|kA| = k|A|$।
উত্তৰঃ অশুদ্ধ। শুদ্ধটো হ’ল $|kA| = k^n |A|$।
3. যদি $|A| \ne 0$ তেন্তে সমীকৰণ প্ৰণালী $AX = B$ সুসংগত আৰু ইয়াৰ অদ্বিতীয় সমাধান থাকে।
উত্তৰঃ শুদ্ধ।
4. সহখণ্ডজ ($\operatorname{adj} A$) হ’ল সহৰাশি মৌলকক্ষটোৰ পশ্চান্তৰিত।
উত্তৰঃ শুদ্ধ।
5. একে ঘাতৰ বৰ্গ মৌলকক্ষ $A$ আৰু $B$ ৰ বাবে $|AB| = |A| + |B|$।
উত্তৰঃ অশুদ্ধ। শুদ্ধটো হ’ল $|AB| = |A| \cdot |B|$।
চমু উত্তৰৰ প্ৰশ্ন
1. মান নিৰ্ণয় কৰা $\begin{vmatrix} 2 & -3 \\ 4 & 5 \end{vmatrix}$।
উত্তৰঃ $= (2)(5) – (-3)(4) = 10 + 12 = 22$।
2. যদি $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$, তেনেহ’লে $A^{-1}$ উলিওৱা।
উত্তৰঃ $|A| = 4 – 6 = -2 \ne 0$, $\operatorname{adj} A = \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix}$, গতিকে $A^{-1} = \frac{1}{-2}\begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 & 1 \\ \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{bmatrix}$।
3. $A$ এটা $3$ ঘাতৰ বৰ্গ মৌলকক্ষ আৰু $|A| = 3$ হ’লে $|3A|$ উলিওৱা।
উত্তৰঃ $|3A| = 3^3 |A| = 27 \times 3 = 81$।
4. নিৰ্ণায়ক ব্যৱহাৰ কৰি দেখুওৱা যে $(1, 2), (2, 3)$ আৰু $(3, 4)$ বিন্দুকেইটা একে ৰেখীয়।
উত্তৰঃ ত্ৰিভুজৰ ক্ষেত্ৰফল $= \frac{1}{2}\begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ 3 & 4 & 1 \end{vmatrix} = \frac{1}{2}\left[1(3 – 4) – 2(2 – 3) + 1(8 – 9)\right] = \frac{1}{2}(-1 + 2 – 1) = 0$। ক্ষেত্ৰফল শূন্য হোৱাত বিন্দুকেইটা একে ৰেখীয়।
শব্দাৰ্থ
| অসমীয়া শব্দ | English term | অৰ্থ |
|---|---|---|
| নিৰ্ণায়ক | Determinant | বৰ্গ মৌলকক্ষ এটাৰ লগত জড়িত এটা সংখ্যা, $|A|$ বা $\det A$ |
| মৌলকক্ষ | Matrix | শাৰী আৰু স্তম্ভত সজোৱা সংখ্যাৰ আয়তাকাৰ বিন্যাস |
| বিস্তাৰ | Expansion | শাৰী বা স্তম্ভ সাপেক্ষে নিৰ্ণায়ক প্ৰসাৰণ কৰি মান উলিওৱা |
| অনুৰাশি | Minor | মৌল থকা শাৰী আৰু স্তম্ভ বাদ দি পোৱা নিৰ্ণায়ক $M_{ij}$ |
| সহৰাশি | Cofactor | $A_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$, চিন-সহিত অনুৰাশি |
| সহখণ্ডজ | Adjoint | সহৰাশি মৌলকক্ষটোৰ পশ্চান্তৰিত, $\operatorname{adj} A$ |
| প্ৰতিলোম মৌলকক্ষ | Inverse matrix | $A^{-1} = \frac{1}{|A|}\operatorname{adj} A$, য’ত $|A| \ne 0$ |
| অপ্ৰতিম | Singular | যাৰ নিৰ্ণায়ক শূন্য ($|A| = 0$) এনে মৌলকক্ষ |
| অক্ষীয়মান | Non-singular | যাৰ নিৰ্ণায়ক শূন্য নহয় ($|A| \ne 0$) এনে মৌলকক্ষ |
| সুসংগত | Consistent | যাৰ অন্ততঃ এটা সমাধান থাকে এনে সমীকৰণ প্ৰণালী |
| অসংগত | Inconsistent | যাৰ কোনো সমাধান নাথাকে এনে সমীকৰণ প্ৰণালী |
| মৌলকক্ষীয় পদ্ধতি | Matrix method | $X = A^{-1}B$ ৰে ৰৈখিক সমীকৰণ প্ৰণালীৰ সমাধান |