মৌলকক্ষ — প্ৰশ্ন উত্তৰ
HSLC Guru-ত আপোনাক স্বাগতম। এই পাঠত ASSEB (Assam State School Education Board) Class 12 গণিতৰ তৃতীয় অধ্যায় মৌলকক্ষ (Matrices) ৰ প্ৰতিটো অনুশীলনীৰ সম্পূৰ্ণ সমাধান শাৰী-স্তম্ভৰ গণনাসহ দিয়া হৈছে।
সাৰাংশ
মৌলকক্ষ (Matrix) হ’ল সংখ্যা বা ফলনৰ এটা ক্ৰম সাপেক্ষ আয়তীয় অনুবিন্যাস। $m$ টা শাৰী আৰু $n$ টা স্তম্ভ থকা মৌলকক্ষ এটাক $m \times n$ ঘাতৰ মৌলকক্ষ বোলা হয় আৰু ইয়াৰ মুঠ মৌলৰ সংখ্যা $mn$। মৌলকক্ষটোৰ প্ৰতিটো সংখ্যা বা ফলনক ইয়াৰ মৌল (element) বা প্ৰবিষ্টি (entry) বোলা হয় আৰু $i$-তম শাৰী আৰু $j$-তম স্তম্ভৰ মৌলটো $a_{ij}$ ৰে বুজোৱা হয়।
মাত্ৰ এটা স্তম্ভ থকা মৌলকক্ষক স্তম্ভ মৌলকক্ষ, মাত্ৰ এটা শাৰী থকাটোক শাৰী মৌলকক্ষ, আৰু শাৰী আৰু স্তম্ভৰ সংখ্যা সমান থকাটোক বৰ্গ মৌলকক্ষ বোলা হয়। কৰ্ণৰ বাহিৰৰ সকলো মৌল শূন্য হ’লে বিকৰ্ণ মৌলকক্ষ, বিকৰ্ণ মৌলকক্ষৰ কৰ্ণৰ মৌলবোৰ সমান হ’লে স্কেলাৰ মৌলকক্ষ, আৰু কৰ্ণৰ মৌলবোৰ $1$ আৰু আন সকলো মৌল শূন্য হ’লে অভেদ মৌলকক্ষ ($I$) পোৱা যায়। আটাইবোৰ মৌল শূন্য হ’লে ইয়াক শূন্য মৌলকক্ষ ($O$) বোলা হয়।
একে ঘাতৰ দুটা মৌলকক্ষৰ অনুৰূপ মৌলবোৰ যোগ কৰি যোগফল পোৱা যায়। এটা মৌলকক্ষক স্কেলাৰ $k$ ৰে পূৰণ কৰিলে প্ৰতিটো মৌল $k$ ৰে পূৰণ হয়। দুটা মৌলকক্ষ $A$ আৰু $B$ ৰ পূৰণফল $AB$ সংজ্ঞাবদ্ধ হয় যদিহে $A$ ৰ স্তম্ভ সংখ্যা $B$ ৰ শাৰী সংখ্যাৰ সমান হয়। মৌলকক্ষৰ পূৰণ সাধাৰণতে ক্ৰমবিনিময় নহয়, অৰ্থাৎ সাধাৰণতে $AB \neq BA$।
মৌলকক্ষ এটাৰ শাৰী আৰু স্তম্ভ সালসলনি কৰি পোৱা মৌলকক্ষক ইয়াৰ পক্ষান্তৰিত মৌলকক্ষ ($A^{\prime}$ বা $A^{T}$) বোলা হয়। যদি $A^{\prime} = A$ হয় তেন্তে $A$ সমমিত, আৰু যদি $A^{\prime} = -A$ হয় তেন্তে $A$ বিষম-সমমিত মৌলকক্ষ। যিকোনো বৰ্গ মৌলকক্ষক এটা সমমিত আৰু এটা বিষম-সমমিত মৌলকক্ষৰ যোগফলৰূপে প্ৰকাশ কৰিব পাৰি। যদি $AB = BA = I$ হয়, তেন্তে $B$ ক $A$ ৰ প্ৰতিলোম মৌলকক্ষ ($A^{-1}$) বোলা হয় আৰু প্ৰতিলোম মৌলকক্ষ থাকিলে সেইটো অদ্বিতীয় হয়।
Summary: This ASSEB Class 12 Mathematics Chapter 3 Matrices solution answers every textbook question with full matrix arithmetic. It covers the order of a matrix, types of matrices (row, column, square, diagonal, scalar, identity and zero matrices), equality of matrices, addition, scalar multiplication and multiplication of matrices, transpose, symmetric and skew symmetric matrices and invertible matrices, with step-by-step worked answers for Exercises 3.1, 3.2, 3.3, 3.4 and the miscellaneous exercise.
পাঠ্যপুথিৰ প্ৰশ্ন আৰু উত্তৰ
অনুশীলনী 3.1
1. মৌলকক্ষ $A = \begin{bmatrix} 2 & 5 & 19 & -7 \\ 35 & -2 & \frac{5}{2} & 12 \\ \sqrt{3} & 1 & -5 & 17 \end{bmatrix}$ হ’লে, (i) মৌলকক্ষটোৰ ঘাত লিখা, (ii) মৌলকক্ষটোৰ মৌলৰ সংখ্যা লিখা, (iii) $a_{13}, a_{21}, a_{33}, a_{24}, a_{23}$ মৌলকেইটা লিখা।
উত্তৰঃ মৌলকক্ষ $A$ ত $3$ টা শাৰী আৰু $4$ টা স্তম্ভ আছে।
(i) মৌলকক্ষটোৰ ঘাত $= 3 \times 4$।
(ii) মৌলৰ সংখ্যা $= 3 \times 4 = 12$।
(iii) $a_{13} = 19$, $a_{21} = 35$, $a_{33} = -5$, $a_{24} = 12$, $a_{23} = \frac{5}{2}$।
2. এটা মৌলকক্ষৰ মৌলৰ সংখ্যা $24$ হ’লে, ইয়াৰ সম্ভৱপৰ ঘাত কি কি হ’ব পাৰে? ইয়াৰ মৌলৰ সংখ্যা $13$ হ’লে কি হ’ব?
উত্তৰঃ $m \times n$ ঘাতৰ মৌলকক্ষ এটাত $mn$ টা মৌল থাকে। গতিকে $24$ টা মৌলৰ বাবে $mn = 24$ হ’ব লাগে। গুণফল $24$ হোৱা স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ ক্ৰমিক যোৰবোৰ হ’ল $(1, 24), (24, 1), (2, 12), (12, 2), (3, 8), (8, 3), (4, 6), (6, 4)$।
গতিকে সম্ভৱপৰ ঘাতবোৰ হ’ল $1 \times 24$, $24 \times 1$, $2 \times 12$, $12 \times 2$, $3 \times 8$, $8 \times 3$, $4 \times 6$, $6 \times 4$ — মুঠ $8$ টা।
মৌলৰ সংখ্যা $13$ হ’লে, $13$ এটা মৌলিক সংখ্যা, গতিকে যোৰ কেৱল $(1, 13)$ আৰু $(13, 1)$। সম্ভৱপৰ ঘাত $1 \times 13$ আৰু $13 \times 1$ — মুঠ $2$ টা।
3. $18$ টা মৌলবিশিষ্ট মৌলকক্ষ এটাৰ ঘাত কি কি হ’ব পাৰে? মৌলৰ সংখ্যা $5$ হ’লে কি হ’ব?
উত্তৰঃ গুণফল $18$ হোৱা যোৰবোৰ হ’ল $(1, 18), (18, 1), (2, 9), (9, 2), (3, 6), (6, 3)$। গতিকে সম্ভৱপৰ ঘাত $1 \times 18$, $18 \times 1$, $2 \times 9$, $9 \times 2$, $3 \times 6$, $6 \times 3$ — মুঠ $6$ টা।
মৌলৰ সংখ্যা $5$ হ’লে, $5$ এটা মৌলিক সংখ্যা, গতিকে যোৰ $(1, 5)$ আৰু $(5, 1)$। সম্ভৱপৰ ঘাত $1 \times 5$ আৰু $5 \times 1$ — মুঠ $2$ টা।
4. এটা $2 \times 2$ মৌলকক্ষ $A = [a_{ij}]$ ৰ মৌলবোৰ তলত দিয়া ধৰণে থকাকৈ গঠন কৰা — (i) $a_{ij} = \frac{(i+j)^2}{2}$, (ii) $a_{ij} = \frac{i}{j}$, (iii) $a_{ij} = \frac{(i+2j)^2}{2}$।
উত্তৰঃ $2 \times 2$ মৌলকক্ষ $A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}$।
(i) $a_{11} = \frac{(1+1)^2}{2} = 2$, $a_{12} = \frac{(1+2)^2}{2} = \frac{9}{2}$, $a_{21} = \frac{(2+1)^2}{2} = \frac{9}{2}$, $a_{22} = \frac{(2+2)^2}{2} = 8$।
$$A = \begin{bmatrix} 2 & \frac{9}{2} \\ \frac{9}{2} & 8 \end{bmatrix}$$
(ii) $a_{11} = \frac{1}{1} = 1$, $a_{12} = \frac{1}{2}$, $a_{21} = \frac{2}{1} = 2$, $a_{22} = \frac{2}{2} = 1$।
$$A = \begin{bmatrix} 1 & \frac{1}{2} \\ 2 & 1 \end{bmatrix}$$
(iii) $a_{11} = \frac{(1+2)^2}{2} = \frac{9}{2}$, $a_{12} = \frac{(1+4)^2}{2} = \frac{25}{2}$, $a_{21} = \frac{(2+2)^2}{2} = 8$, $a_{22} = \frac{(2+4)^2}{2} = 18$।
$$A = \begin{bmatrix} \frac{9}{2} & \frac{25}{2} \\ 8 & 18 \end{bmatrix}$$
5. এটা $3 \times 4$ মৌলকক্ষ গঠন কৰা, যাৰ মৌল দিয়া আছে — (i) $a_{ij} = \frac{1}{2}|-3i + j|$, (ii) $a_{ij} = 2i – j$।
উত্তৰঃ ইয়াত $i = 1, 2, 3$ আৰু $j = 1, 2, 3, 4$।
(i) $a_{11} = \frac{1}{2}|-3+1| = 1$, $a_{12} = \frac{1}{2}|-3+2| = \frac{1}{2}$, $a_{13} = \frac{1}{2}|-3+3| = 0$, $a_{14} = \frac{1}{2}|-3+4| = \frac{1}{2}$; $a_{21} = \frac{1}{2}|-6+1| = \frac{5}{2}$, $a_{22} = \frac{1}{2}|-6+2| = 2$, $a_{23} = \frac{1}{2}|-6+3| = \frac{3}{2}$, $a_{24} = \frac{1}{2}|-6+4| = 1$; $a_{31} = \frac{1}{2}|-9+1| = 4$, $a_{32} = \frac{1}{2}|-9+2| = \frac{7}{2}$, $a_{33} = \frac{1}{2}|-9+3| = 3$, $a_{34} = \frac{1}{2}|-9+4| = \frac{5}{2}$।
$$A = \begin{bmatrix} 1 & \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} \\ \frac{5}{2} & 2 & \frac{3}{2} & 1 \\ 4 & \frac{7}{2} & 3 & \frac{5}{2} \end{bmatrix}$$
(ii) $a_{ij} = 2i – j$ দিয়ে শাৰীবোৰ যথাক্ৰমে $i = 1$: $1, 0, -1, -2$; $i = 2$: $3, 2, 1, 0$; $i = 3$: $5, 4, 3, 2$।
$$A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 & -2 \\ 3 & 2 & 1 & 0 \\ 5 & 4 & 3 & 2 \end{bmatrix}$$
6. তলৰ সমীকৰণবোৰৰ পৰা $x, y$ আৰু $z$ ৰ মান নিৰ্ণয় কৰা — (i) $\begin{bmatrix} 4 & 3 \\ x & 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} y & z \\ 1 & 5 \end{bmatrix}$, (ii) $\begin{bmatrix} x+y & 2 \\ 5+z & xy \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & 2 \\ 5 & 8 \end{bmatrix}$, (iii) $\begin{bmatrix} x+y+z \\ x+z \\ y+z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 9 \\ 5 \\ 7 \end{bmatrix}$।
উত্তৰঃ সমান মৌলকক্ষৰ অনুৰূপ মৌলবোৰ সমান কৰি পোৱা যায়।
(i) $y = 4$, $z = 3$, $x = 1$।
(ii) $x + y = 6$, $xy = 8$ আৰু $5 + z = 5 \Rightarrow z = 0$। $x + y = 6$ আৰু $xy = 8$ ৰ পৰা $x, y$ হ’ল $t^2 – 6t + 8 = 0$ অৰ্থাৎ $(t-2)(t-4) = 0$ ৰ মূল। গতিকে $x = 2, y = 4$ অথবা $x = 4, y = 2$; আৰু $z = 0$।
(iii) $x + y + z = 9$, $x + z = 5$, $y + z = 7$। প্ৰথম আৰু দ্বিতীয় সমীকৰণৰ পৰা $y = 9 – 5 = 4$; তৃতীয়ৰ পৰা $z = 7 – 4 = 3$; আৰু $x = 5 – 3 = 2$। গতিকে $x = 2, y = 4, z = 3$।
7. তলৰ সমীকৰণৰ পৰা $a, b, c$ আৰু $d$ ৰ মান উলিওৱা — $\begin{bmatrix} a-b & 2a+c \\ 2a-b & 3c+d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 5 \\ 0 & 13 \end{bmatrix}$।
উত্তৰঃ অনুৰূপ মৌলবোৰ সমান কৰিলে $a – b = -1$, $2a + c = 5$, $2a – b = 0$, $3c + d = 13$।
$2a – b = 0 \Rightarrow b = 2a$। ইয়াক $a – b = -1$ ত বহুৱাই $a – 2a = -1 \Rightarrow a = 1$, গতিকে $b = 2$। $2a + c = 5 \Rightarrow 2 + c = 5 \Rightarrow c = 3$। $3c + d = 13 \Rightarrow 9 + d = 13 \Rightarrow d = 4$। গতিকে $a = 1, b = 2, c = 3, d = 4$।
8. $A = [a_{ij}]_{m \times n}$ এটা বৰ্গ মৌলকক্ষ, যদিহে — (A) $m < n$ (B) $m > n$ (C) $m = n$ (D) এইবোৰৰ এটাও নহয়।
উত্তৰঃ শুদ্ধ উত্তৰ (C) $m = n$। বৰ্গ মৌলকক্ষত শাৰীৰ সংখ্যা আৰু স্তম্ভৰ সংখ্যা সমান হয়, গতিকে $m = n$ হ’ব লাগিব।
9. $x$ আৰু $y$ ৰ কি মানৰ বাবে $\begin{bmatrix} 3x+7 & 5 \\ y+1 & 2-3x \end{bmatrix}$ আৰু $\begin{bmatrix} 0 & y-2 \\ 8 & 4 \end{bmatrix}$ মৌলকক্ষ দুটা সমান হ’ব? (A) $x = \frac{-1}{3}, y = 7$ (B) $x, y$ ৰ মান নিৰ্ণয় অসম্ভৱ (C) $y = 7, x = \frac{-2}{3}$ (D) $x = \frac{-1}{3}, y = \frac{-2}{3}$।
উত্তৰঃ শুদ্ধ উত্তৰ (B) $x, y$ ৰ মান নিৰ্ণয় অসম্ভৱ। মৌলবোৰ সমান কৰিলে $(1,1)$ মৌলৰ পৰা $3x + 7 = 0 \Rightarrow x = -\frac{7}{3}$, কিন্তু $(2,2)$ মৌলৰ পৰা $2 – 3x = 4 \Rightarrow x = -\frac{2}{3}$। এই দুটা মান বেলেগ হোৱাত $x$ ৰ কোনো এটা মান দুয়োটা চৰ্ত পূৰণ কৰিব নোৱাৰে, গতিকে $x, y$ নিৰ্ণয় কৰা অসম্ভৱ।
10. মৌলবোৰ $0$ বা $1$ লৈ গঠন কৰিব পৰা $3 \times 3$ ঘাতৰ সম্ভৱপৰ মৌলকক্ষৰ সংখ্যা হ’ল — (A) $27$ (B) $18$ (C) $81$ (D) $512$।
উত্তৰঃ শুদ্ধ উত্তৰ (D) $512$। $3 \times 3$ মৌলকক্ষত $9$ টা মৌল থাকে আৰু প্ৰতিটো মৌলে $0$ বা $1$ — এই $2$ টা মানৰ পৰা এটা ল’ব পাৰে। গতিকে সম্ভৱপৰ মৌলকক্ষৰ সংখ্যা $2^9 = 512$।
অনুশীলনী 3.2
1. $A = \begin{bmatrix} 2 & 4 \\ 3 & 2 \end{bmatrix}$, $B = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ -2 & 5 \end{bmatrix}$, $C = \begin{bmatrix} -2 & 5 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$ হ’লে তলৰ মৌলকক্ষবোৰ উলিওৱা — (i) $A + B$ (ii) $A – B$ (iii) $3A – C$ (iv) $AB$ (v) $BA$।
উত্তৰঃ
(i) $$A + B = \begin{bmatrix} 2+1 & 4+3 \\ 3-2 & 2+5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 7 \\ 1 & 7 \end{bmatrix}$$
(ii) $$A – B = \begin{bmatrix} 2-1 & 4-3 \\ 3+2 & 2-5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 5 & -3 \end{bmatrix}$$
(iii) $$3A – C = \begin{bmatrix} 6 & 12 \\ 9 & 6 \end{bmatrix} – \begin{bmatrix} -2 & 5 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 & 7 \\ 6 & 2 \end{bmatrix}$$
(iv) $$AB = \begin{bmatrix} 2 & 4 \\ 3 & 2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 3 \\ -2 & 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2-8 & 6+20 \\ 3-4 & 9+10 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -6 & 26 \\ -1 & 19 \end{bmatrix}$$
(v) $$BA = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ -2 & 5 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 2 & 4 \\ 3 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2+9 & 4+6 \\ -4+15 & -8+10 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 11 & 10 \\ 11 & 2 \end{bmatrix}$$
2. যোগফলবোৰ উলিওৱা — (i) $\begin{bmatrix} a & b \\ -b & a \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} a & b \\ b & a \end{bmatrix}$, (ii) $\begin{bmatrix} a^2+b^2 & b^2+c^2 \\ a^2+c^2 & a^2+b^2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 2ab & 2bc \\ -2ac & -2ab \end{bmatrix}$, (iii) $\begin{bmatrix} -1 & 4 & -6 \\ 8 & 5 & 16 \\ 2 & 8 & 5 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 12 & 7 & 6 \\ 8 & 0 & 5 \\ 3 & 2 & 4 \end{bmatrix}$, (iv) $\begin{bmatrix} \cos^2 x & \sin^2 x \\ \sin^2 x & \cos^2 x \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} \sin^2 x & \cos^2 x \\ \cos^2 x & \sin^2 x \end{bmatrix}$।
উত্তৰঃ
(i) $$\begin{bmatrix} a+a & b+b \\ -b+b & a+a \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2a & 2b \\ 0 & 2a \end{bmatrix}$$
(ii) অনুৰূপ মৌলবোৰ যোগ কৰিলে $$\begin{bmatrix} a^2+b^2+2ab & b^2+c^2+2bc \\ a^2+c^2-2ac & a^2+b^2-2ab \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (a+b)^2 & (b+c)^2 \\ (a-c)^2 & (a-b)^2 \end{bmatrix}$$
(iii) $$\begin{bmatrix} 11 & 11 & 0 \\ 16 & 5 & 21 \\ 5 & 10 & 9 \end{bmatrix}$$
(iv) $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ ব্যৱহাৰ কৰি $$\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$$
3. পূৰণফলবোৰ উলিওৱা — (i) $\begin{bmatrix} a & b \\ -b & a \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a & -b \\ b & a \end{bmatrix}$, (ii) $\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 2 & 3 & 4 \end{bmatrix}$, (iii) $\begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{bmatrix}$, (iv) $\begin{bmatrix} 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 5 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & -3 & 5 \\ 0 & 2 & 4 \\ 3 & 0 & 5 \end{bmatrix}$, (v) $\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ -1 & 2 & 1 \end{bmatrix}$, (vi) $\begin{bmatrix} 3 & -1 & 3 \\ -1 & 0 & 2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 2 & -3 \\ 1 & 0 \\ 3 & 1 \end{bmatrix}$।
উত্তৰঃ
(i) $$\begin{bmatrix} a^2+b^2 & -ab+ab \\ -ab+ab & b^2+a^2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a^2+b^2 & 0 \\ 0 & a^2+b^2 \end{bmatrix}$$
(ii) ইয়াত $3 \times 1$ আৰু $1 \times 3$ ৰ পূৰণফল $3 \times 3$ হ’ব $$\begin{bmatrix} 2 & 3 & 4 \\ 4 & 6 & 8 \\ 6 & 9 & 12 \end{bmatrix}$$
(iii) $$\begin{bmatrix} 1-4 & 2-6 & 3-2 \\ 2+6 & 4+9 & 6+3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -3 & -4 & 1 \\ 8 & 13 & 9 \end{bmatrix}$$
(iv) $$\begin{bmatrix} 2+0+12 & -6+6+0 & 10+12+20 \\ 3+0+15 & -9+8+0 & 15+16+25 \\ 4+0+18 & -12+10+0 & 20+20+30 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 14 & 0 & 42 \\ 18 & -1 & 56 \\ 22 & -2 & 70 \end{bmatrix}$$
(v) $$\begin{bmatrix} 2-1 & 0+2 & 2+1 \\ 3-2 & 0+4 & 3+2 \\ -1-1 & 0+2 & -1+1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 4 & 5 \\ -2 & 2 & 0 \end{bmatrix}$$
(vi) $$\begin{bmatrix} 6-1+9 & -9+0+3 \\ -2+0+6 & 3+0+2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 14 & -6 \\ 4 & 5 \end{bmatrix}$$
4. দিয়া আছে $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & -3 \\ 5 & 0 & 2 \\ 1 & -1 & 1 \end{bmatrix}$, $B = \begin{bmatrix} 3 & -1 & 2 \\ 4 & 2 & 5 \\ 2 & 0 & 3 \end{bmatrix}$ আৰু $C = \begin{bmatrix} 4 & 1 & 2 \\ 0 & 3 & 2 \\ 1 & -2 & 3 \end{bmatrix}$। $(A+B)$ আৰু $(B-C)$ উলিওৱা। লগতে দেখুওৱা যে $A + (B – C) = (A + B) – C$।
উত্তৰঃ
$$A + B = \begin{bmatrix} 4 & 1 & -1 \\ 9 & 2 & 7 \\ 3 & -1 & 4 \end{bmatrix}$$
$$B – C = \begin{bmatrix} -1 & -2 & 0 \\ 4 & -1 & 3 \\ 1 & 2 & 0 \end{bmatrix}$$
এতিয়া $$A + (B – C) = \begin{bmatrix} 0 & 0 & -3 \\ 9 & -1 & 5 \\ 2 & 1 & 1 \end{bmatrix}$$
আৰু $$(A + B) – C = \begin{bmatrix} 0 & 0 & -3 \\ 9 & -1 & 5 \\ 2 & 1 & 1 \end{bmatrix}$$
গতিকে $A + (B – C) = (A + B) – C$ (প্ৰমাণিত)।
5. $A = \begin{bmatrix} \frac{2}{3} & 1 & \frac{5}{3} \\ \frac{1}{3} & \frac{2}{3} & \frac{4}{3} \\ \frac{7}{3} & 2 & \frac{2}{3} \end{bmatrix}$ আৰু $B = \begin{bmatrix} \frac{2}{5} & \frac{3}{5} & 1 \\ \frac{1}{5} & \frac{2}{5} & \frac{4}{5} \\ \frac{7}{5} & \frac{6}{5} & \frac{2}{5} \end{bmatrix}$ হ’লে $3A – 5B$ উলিওৱা।
উত্তৰঃ $$3A = \begin{bmatrix} 2 & 3 & 5 \\ 1 & 2 & 4 \\ 7 & 6 & 2 \end{bmatrix}, \quad 5B = \begin{bmatrix} 2 & 3 & 5 \\ 1 & 2 & 4 \\ 7 & 6 & 2 \end{bmatrix}$$
গতিকে $$3A – 5B = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} = O$$ (শূন্য মৌলকক্ষ)।
6. সৰল কৰা — $\cos\theta \begin{bmatrix} \cos\theta & \sin\theta \\ -\sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix} + \sin\theta \begin{bmatrix} \sin\theta & -\cos\theta \\ \cos\theta & \sin\theta \end{bmatrix}$।
উত্তৰঃ $$\begin{bmatrix} \cos^2\theta & \sin\theta\cos\theta \\ -\sin\theta\cos\theta & \cos^2\theta \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} \sin^2\theta & -\sin\theta\cos\theta \\ \sin\theta\cos\theta & \sin^2\theta \end{bmatrix}$$
$$= \begin{bmatrix} \cos^2\theta + \sin^2\theta & 0 \\ 0 & \cos^2\theta + \sin^2\theta \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = I$$
7. $X$ আৰু $Y$ নিৰ্ণয় কৰা — (i) $X + Y = \begin{bmatrix} 7 & 0 \\ 2 & 5 \end{bmatrix}$ আৰু $X – Y = \begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}$, (ii) $2X + 3Y = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 0 \end{bmatrix}$ আৰু $3X + 2Y = \begin{bmatrix} 2 & -2 \\ -1 & 5 \end{bmatrix}$।
উত্তৰঃ
(i) দুয়োটা সমীকৰণ যোগ কৰিলে $2X = \begin{bmatrix} 10 & 0 \\ 2 & 8 \end{bmatrix}$, গতিকে $$X = \begin{bmatrix} 5 & 0 \\ 1 & 4 \end{bmatrix}$$
বিয়োগ কৰিলে $2Y = \begin{bmatrix} 4 & 0 \\ 2 & 2 \end{bmatrix}$, গতিকে $$Y = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$$
(ii) প্ৰথমটোক $3$ ৰে আৰু দ্বিতীয়টোক $2$ ৰে পূৰণ কৰি বিয়োগ কৰিলে $5Y = \begin{bmatrix} 2 & 13 \\ 14 & -10 \end{bmatrix}$, গতিকে $$Y = \begin{bmatrix} \frac{2}{5} & \frac{13}{5} \\ \frac{14}{5} & -2 \end{bmatrix}$$
প্ৰথমটোক $2$ ৰে আৰু দ্বিতীয়টোক $3$ ৰে পূৰণ কৰি বিয়োগ কৰিলে $5X = \begin{bmatrix} 2 & -12 \\ -11 & 15 \end{bmatrix}$, গতিকে $$X = \begin{bmatrix} \frac{2}{5} & \frac{-12}{5} \\ \frac{-11}{5} & 3 \end{bmatrix}$$
8. $X$ নিৰ্ণয় কৰা, যদি $Y = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 4 \end{bmatrix}$ আৰু $2X + Y = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -3 & 2 \end{bmatrix}$।
উত্তৰঃ $2X = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -3 & 2 \end{bmatrix} – \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 & -2 \\ -4 & -2 \end{bmatrix}$, গতিকে $$X = \begin{bmatrix} -1 & -1 \\ -2 & -1 \end{bmatrix}$$
9. $2\begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 0 & x \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} y & 0 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 1 & 8 \end{bmatrix}$ হ’লে $x$ আৰু $y$ ৰ মান উলিওৱা।
উত্তৰঃ বাওঁফাল সৰল কৰিলে $\begin{bmatrix} 2+y & 6 \\ 1 & 2x+2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 1 & 8 \end{bmatrix}$। অনুৰূপ মৌল সমান কৰিলে $2 + y = 5 \Rightarrow y = 3$ আৰু $2x + 2 = 8 \Rightarrow x = 3$। গতিকে $x = 3, y = 3$।
10. $x, y, z$ আৰু $t$ ৰ বাবে সমাধান কৰা — $2\begin{bmatrix} x & z \\ y & t \end{bmatrix} + 3\begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} = 3\begin{bmatrix} 3 & 5 \\ 4 & 6 \end{bmatrix}$।
উত্তৰঃ সৰল কৰিলে $\begin{bmatrix} 2x+3 & 2z-3 \\ 2y & 2t+6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 9 & 15 \\ 12 & 18 \end{bmatrix}$। গতিকে $2x + 3 = 9 \Rightarrow x = 3$; $2z – 3 = 15 \Rightarrow z = 9$; $2y = 12 \Rightarrow y = 6$; $2t + 6 = 18 \Rightarrow t = 6$। গতিকে $x = 3, y = 6, z = 9, t = 6$।
11. $x\begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix} + y\begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 10 \\ 5 \end{bmatrix}$ হ’লে $x$ আৰু $y$ ৰ মান উলিওৱা।
উত্তৰঃ বাওঁফাল $\begin{bmatrix} 2x-y \\ 3x+y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 10 \\ 5 \end{bmatrix}$ দিয়ে $2x – y = 10$ আৰু $3x + y = 5$। যোগ কৰিলে $5x = 15 \Rightarrow x = 3$; তেতিয়া $y = 2x – 10 = -4$। গতিকে $x = 3, y = -4$।
12. দিয়া আছে $3\begin{bmatrix} x & y \\ z & w \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x & 6 \\ -1 & 2w \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 4 & x+y \\ z+w & 3 \end{bmatrix}$, $x, y, z$ আৰু $w$ উলিওৱা।
উত্তৰঃ সৰল কৰিলে $\begin{bmatrix} 3x & 3y \\ 3z & 3w \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x+4 & 6+x+y \\ -1+z+w & 2w+3 \end{bmatrix}$। অনুৰূপ মৌল সমান কৰিলে —
$3x = x + 4 \Rightarrow x = 2$; $3w = 2w + 3 \Rightarrow w = 3$; $3y = 6 + x + y \Rightarrow 2y = 6 + 2 = 8 \Rightarrow y = 4$; $3z = -1 + z + w \Rightarrow 2z = w – 1 = 2 \Rightarrow z = 1$। গতিকে $x = 2, y = 4, z = 1, w = 3$।
13. $F(x) = \begin{bmatrix} \cos x & -\sin x & 0 \\ \sin x & \cos x & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ হ’লে দেখুওৱা যে $F(x)\,F(y) = F(x+y)$।
উত্তৰঃ $$F(x)\,F(y) = \begin{bmatrix} \cos x & -\sin x & 0 \\ \sin x & \cos x & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \cos y & -\sin y & 0 \\ \sin y & \cos y & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$
$$= \begin{bmatrix} \cos x \cos y – \sin x \sin y & -(\cos x \sin y + \sin x \cos y) & 0 \\ \sin x \cos y + \cos x \sin y & \cos x \cos y – \sin x \sin y & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$
যোগ-সূত্ৰ ব্যৱহাৰ কৰিলে $$= \begin{bmatrix} \cos(x+y) & -\sin(x+y) & 0 \\ \sin(x+y) & \cos(x+y) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = F(x+y)$$ (প্ৰমাণিত)।
14. দেখুওৱা যে — (i) $\begin{bmatrix} 5 & -1 \\ 6 & 7 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \neq \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 5 & -1 \\ 6 & 7 \end{bmatrix}$, (ii) $\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} -1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ 2 & 3 & 4 \end{bmatrix} \neq \begin{bmatrix} -1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ 2 & 3 & 4 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{bmatrix}$।
উত্তৰঃ
(i) বাওঁফাল $$\begin{bmatrix} 5 & -1 \\ 6 & 7 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 & 1 \\ 33 & 34 \end{bmatrix}$$
সোঁফাল $$\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 5 & -1 \\ 6 & 7 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 16 & 5 \\ 39 & 25 \end{bmatrix}$$ দুয়োটা সমান নহয়।
(ii) বাওঁফাল $$\begin{bmatrix} 5 & 8 & 14 \\ 0 & -1 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$
সোঁফাল $$\begin{bmatrix} -1 & -1 & -3 \\ 1 & 0 & 0 \\ 6 & 11 & 6 \end{bmatrix}$$ দুয়োটা সমান নহয়।
15. $A = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \\ 1 & -1 & 0 \end{bmatrix}$ হ’লে $A^2 – 5A + 6I$ উলিওৱা।
উত্তৰঃ $$A^2 = A \cdot A = \begin{bmatrix} 5 & -1 & 2 \\ 9 & -2 & 5 \\ 0 & -1 & -2 \end{bmatrix}$$
$$A^2 – 5A + 6I = \begin{bmatrix} 5 & -1 & 2 \\ 9 & -2 & 5 \\ 0 & -1 & -2 \end{bmatrix} – \begin{bmatrix} 10 & 0 & 5 \\ 10 & 5 & 15 \\ 5 & -5 & 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 6 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & 6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -1 & -3 \\ -1 & -1 & -10 \\ -5 & 4 & 4 \end{bmatrix}$$
16. $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 1 \\ 2 & 0 & 3 \end{bmatrix}$ হ’লে দেখুওৱা যে $A^3 – 6A^2 + 7A + 2I = 0$।
উত্তৰঃ $$A^2 = \begin{bmatrix} 5 & 0 & 8 \\ 2 & 4 & 5 \\ 8 & 0 & 13 \end{bmatrix}, \quad A^3 = A \cdot A^2 = \begin{bmatrix} 21 & 0 & 34 \\ 12 & 8 & 23 \\ 34 & 0 & 55 \end{bmatrix}$$
$$A^3 – 6A^2 + 7A + 2I = \begin{bmatrix} 21 & 0 & 34 \\ 12 & 8 & 23 \\ 34 & 0 & 55 \end{bmatrix} – \begin{bmatrix} 30 & 0 & 48 \\ 12 & 24 & 30 \\ 48 & 0 & 78 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 7 & 0 & 14 \\ 0 & 14 & 7 \\ 14 & 0 & 21 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}$$
$$= \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} = 0$$ (প্ৰমাণিত)।
17. যদি $A = \begin{bmatrix} 3 & -2 \\ 4 & -2 \end{bmatrix}$ আৰু $I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ আৰু $A^2 = kA – 2I$, তেনেহ’লে $k$ ৰ মান উলিওৱা।
উত্তৰঃ $$A^2 = \begin{bmatrix} 3 & -2 \\ 4 & -2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 3 & -2 \\ 4 & -2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 4 & -4 \end{bmatrix}$$
$$kA – 2I = \begin{bmatrix} 3k-2 & -2k \\ 4k & -2k-2 \end{bmatrix}$$ অনুৰূপ মৌল সমান কৰিলে $3k – 2 = 1 \Rightarrow k = 1$ (আন সকলো মৌলেও $k = 1$ দিয়ে)। গতিকে $k = 1$।
18. যদি $A = \begin{bmatrix} 0 & -\tan\frac{\alpha}{2} \\ \tan\frac{\alpha}{2} & 0 \end{bmatrix}$ আৰু $I$ এটা $2$ ঘাতৰ অভেদ মৌলকক্ষ, দেখুওৱা যে $I + A = (I – A)\begin{bmatrix} \cos\alpha & -\sin\alpha \\ \sin\alpha & \cos\alpha \end{bmatrix}$।
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল $t = \tan\frac{\alpha}{2}$। তেন্তে $\cos\alpha = \frac{1-t^2}{1+t^2}$ আৰু $\sin\alpha = \frac{2t}{1+t^2}$।
বাওঁফাল $I + A = \begin{bmatrix} 1 & -t \\ t & 1 \end{bmatrix}$।
সোঁফাল $$(I – A)\begin{bmatrix} \cos\alpha & -\sin\alpha \\ \sin\alpha & \cos\alpha \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & t \\ -t & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \cos\alpha & -\sin\alpha \\ \sin\alpha & \cos\alpha \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos\alpha + t\sin\alpha & -\sin\alpha + t\cos\alpha \\ -t\cos\alpha + \sin\alpha & t\sin\alpha + \cos\alpha \end{bmatrix}$$
$t = \tan\frac{\alpha}{2}$ ৰ মান বহুৱাই সৰল কৰিলে $\cos\alpha + t\sin\alpha = \frac{1-t^2 + 2t^2}{1+t^2} = 1$, $-\sin\alpha + t\cos\alpha = \frac{-2t + t – t^3}{1+t^2} = -t$, $-t\cos\alpha + \sin\alpha = \frac{-t + t^3 + 2t}{1+t^2} = t$, আৰু $t\sin\alpha + \cos\alpha = \frac{2t^2 + 1 – t^2}{1+t^2} = 1$। গতিকে সোঁফাল $= \begin{bmatrix} 1 & -t \\ t & 1 \end{bmatrix} = I + A$ (প্ৰমাণিত)।
19. এটা ট্ৰাষ্ট (trust) এ $30{,}000$ টকা দুবিধ বণ্ডত খটুৱাব লাগে। প্ৰথম বিধ বণ্ডৰ পৰা বছৰি $5\%$ সুত আৰু দ্বিতীয় বিধৰ পৰা বছৰি $7\%$ সুত পোৱা যায়। মৌলকক্ষৰ পূৰণ ব্যৱহাৰ কৰি কোনবিধ বণ্ডত কিমান টকা খটুৱাব লাগিব নিৰ্ণয় কৰা, যদিহে ট্ৰাষ্টটোৰে বছৰি লাভ কৰা মুঠ সুত (a) $1800$ টকা, (b) $2000$ টকা হ’ব লাগে।
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল প্ৰথম বণ্ডত $x$ টকা আৰু দ্বিতীয় বণ্ডত $(30000 – x)$ টকা খটোৱা হ’ল। মৌলকক্ষৰ পূৰণেৰে বছৰি পোৱা সুত $\begin{bmatrix} x & 30000-x \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \frac{5}{100} \\ \frac{7}{100} \end{bmatrix} = \frac{5x}{100} + \frac{7(30000-x)}{100}$।
(a) $\frac{5x}{100} + \frac{7(30000-x)}{100} = 1800 \Rightarrow 5x + 210000 – 7x = 180000 \Rightarrow -2x = -30000 \Rightarrow x = 15000$। গতিকে প্ৰথম বণ্ডত $15{,}000$ টকা আৰু দ্বিতীয় বণ্ডত $15{,}000$ টকা।
(b) $5x + 210000 – 7x = 200000 \Rightarrow -2x = -10000 \Rightarrow x = 5000$। গতিকে প্ৰথম বণ্ডত $5{,}000$ টকা আৰু দ্বিতীয় বণ্ডত $25{,}000$ টকা।
20. এখন বিদ্যালয়ৰ কিতাপৰ দোকানত $10$ ডজন ৰসায়ন বিজ্ঞানৰ কিতাপ, $4$ ডজন পদাৰ্থবিজ্ঞানৰ কিতাপ আৰু $10$ ডজন অৰ্থনীতিৰ কিতাপ আছে। কিতাপ কেইবিধৰ বিক্ৰী মূল্য যথাক্ৰমে $80$ টকা, $60$ টকা আৰু $40$ টকা। মৌলকক্ষৰ বীজগণিত ব্যৱহাৰ কৰি, আটাইবোৰ কিতাপ বিক্ৰী কৰি দোকানখনে মুঠ কিমান টকা পাব নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ কিতাপৰ সংখ্যা: ৰসায়ন $= 10 \times 12 = 120$, পদাৰ্থবিজ্ঞান $= 4 \times 12 = 48$, অৰ্থনীতি $= 10 \times 12 = 120$। মৌলকক্ষৰ পূৰণেৰে মুঠ ধন —
$$\begin{bmatrix} 120 & 48 & 120 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 80 \\ 60 \\ 40 \end{bmatrix} = 120 \times 80 + 48 \times 60 + 120 \times 40 = 9600 + 2880 + 4800 = 17280$$
গতিকে দোকানখনে মুঠ $17{,}280$ টকা পাব।
$X, Y, Z, W$ আৰু $P$ যথাক্ৰমে $2 \times n$, $3 \times k$, $2 \times p$, $n \times 3$ আৰু $p \times k$ ঘাতৰ মৌলকক্ষ। অনুশীলনী 21 আৰু 22 ৰ পৰা শুদ্ধ উত্তৰ নিৰ্ণয় কৰা।
21. $PY + WY$ সংজ্ঞাবদ্ধ হ’ব যদিহে — (A) $k = 3, p = n$ (B) $k$ ৰ মান যিকোনো, $p = 2$ (C) $p$ ৰ মান যিকোনো, $k = 3$ (D) $k = 2, p = 3$।
উত্তৰঃ শুদ্ধ উত্তৰ (A) $k = 3, p = n$। $P$ হ’ল $p \times k$ আৰু $Y$ হ’ল $3 \times k$; $PY$ সংজ্ঞাবদ্ধ হ’বলৈ $P$ ৰ স্তম্ভ সংখ্যা $Y$ ৰ শাৰী সংখ্যাৰ সমান হ’ব লাগে, গতিকে $k = 3$। তেতিয়া $PY$ ৰ ঘাত $p \times 3$। $W$ হ’ল $n \times 3$, $WY$ ৰ ঘাত $n \times 3$। যোগ $PY + WY$ সংজ্ঞাবদ্ধ হ’বলৈ দুয়োটাৰ ঘাত সমান হ’ব লাগে, গতিকে $p = n$।
22. $n = p$ হ’লে $7X – 5Z$ ৰ ঘাত হ’ব — (A) $p \times 2$ (B) $2 \times n$ (C) $n \times 3$ (D) $p \times n$।
উত্তৰঃ শুদ্ধ উত্তৰ (B) $2 \times n$। $X$ হ’ল $2 \times n$ আৰু $Z$ হ’ল $2 \times p$। $n = p$ হোৱাত দুয়োটা $2 \times n$ ঘাতৰ, গতিকে $7X – 5Z$ ও $2 \times n$ ঘাতৰ।
অনুশীলনী 3.3
1. প্ৰদত্ত মৌলকক্ষবোৰৰ পক্ষান্তৰিত মৌলকক্ষ উলিওৱা — (i) $\begin{bmatrix} 5 \\ \frac{1}{2} \\ -1 \end{bmatrix}$, (ii) $\begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}$, (iii) $\begin{bmatrix} -1 & 5 & 6 \\ \sqrt{3} & 5 & 6 \\ 2 & 3 & -1 \end{bmatrix}$।
উত্তৰঃ শাৰী আৰু স্তম্ভ সালসলনি কৰিলে —
(i) $\begin{bmatrix} 5 & \frac{1}{2} & -1 \end{bmatrix}$, (ii) $\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 3 \end{bmatrix}$, (iii) $\begin{bmatrix} -1 & \sqrt{3} & 2 \\ 5 & 5 & 3 \\ 6 & 6 & -1 \end{bmatrix}$।
2. $A = \begin{bmatrix} -1 & 2 & 3 \\ 5 & 7 & 9 \\ -2 & 1 & 1 \end{bmatrix}$ আৰু $B = \begin{bmatrix} -4 & 1 & -5 \\ 1 & 2 & 0 \\ 1 & 3 & 1 \end{bmatrix}$ হ’লে দেখুওৱা যে (i) $(A+B)^{\prime} = A^{\prime} + B^{\prime}$, (ii) $(A-B)^{\prime} = A^{\prime} – B^{\prime}$।
উত্তৰঃ
(i) $A + B = \begin{bmatrix} -5 & 3 & -2 \\ 6 & 9 & 9 \\ -1 & 4 & 2 \end{bmatrix}$, গতিকে $(A+B)^{\prime} = \begin{bmatrix} -5 & 6 & -1 \\ 3 & 9 & 4 \\ -2 & 9 & 2 \end{bmatrix}$।
আকৌ $A^{\prime} + B^{\prime} = \begin{bmatrix} -1 & 5 & -2 \\ 2 & 7 & 1 \\ 3 & 9 & 1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -4 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ -5 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -5 & 6 & -1 \\ 3 & 9 & 4 \\ -2 & 9 & 2 \end{bmatrix}$। গতিকে $(A+B)^{\prime} = A^{\prime} + B^{\prime}$।
(ii) $A – B = \begin{bmatrix} 3 & 1 & 8 \\ 4 & 5 & 9 \\ -3 & -2 & 0 \end{bmatrix}$, গতিকে $(A-B)^{\prime} = \begin{bmatrix} 3 & 4 & -3 \\ 1 & 5 & -2 \\ 8 & 9 & 0 \end{bmatrix}$; আৰু $A^{\prime} – B^{\prime} = \begin{bmatrix} 3 & 4 & -3 \\ 1 & 5 & -2 \\ 8 & 9 & 0 \end{bmatrix}$। গতিকে $(A-B)^{\prime} = A^{\prime} – B^{\prime}$।
3. $A^{\prime} = \begin{bmatrix} 3 & 4 \\ -1 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ আৰু $B = \begin{bmatrix} -1 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{bmatrix}$ হ’লে দেখুওৱা যে (i) $(A+B)^{\prime} = A^{\prime} + B^{\prime}$, (ii) $(A-B)^{\prime} = A^{\prime} – B^{\prime}$।
উত্তৰঃ ইয়াত $A = (A^{\prime})^{\prime} = \begin{bmatrix} 3 & -1 & 0 \\ 4 & 2 & 1 \end{bmatrix}$।
(i) $A + B = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 5 & 4 & 4 \end{bmatrix}$, গতিকে $(A+B)^{\prime} = \begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 4 \\ 1 & 4 \end{bmatrix}$; আৰু $A^{\prime} + B^{\prime} = \begin{bmatrix} 3 & 4 \\ -1 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 2 & 2 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 4 \\ 1 & 4 \end{bmatrix}$। গতিকে দুয়ো সমান।
(ii) $A – B = \begin{bmatrix} 4 & -3 & -1 \\ 3 & 0 & -2 \end{bmatrix}$, গতিকে $(A-B)^{\prime} = \begin{bmatrix} 4 & 3 \\ -3 & 0 \\ -1 & -2 \end{bmatrix}$; আৰু $A^{\prime} – B^{\prime} = \begin{bmatrix} 4 & 3 \\ -3 & 0 \\ -1 & -2 \end{bmatrix}$। গতিকে দুয়ো সমান।
4. $A^{\prime} = \begin{bmatrix} -2 & 3 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$ আৰু $B = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$ হ’লে $(A + 2B)^{\prime}$ উলিওৱা।
উত্তৰঃ $A = (A^{\prime})^{\prime} = \begin{bmatrix} -2 & 1 \\ 3 & 2 \end{bmatrix}$, $2B = \begin{bmatrix} -2 & 0 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}$। গতিকে $A + 2B = \begin{bmatrix} -4 & 1 \\ 5 & 6 \end{bmatrix}$ আৰু $$(A + 2B)^{\prime} = \begin{bmatrix} -4 & 5 \\ 1 & 6 \end{bmatrix}$$
5. মৌলকক্ষ $A$ আৰু $B$ ৰ বাবে সত্যাপন কৰা যে $(AB)^{\prime} = B^{\prime}A^{\prime}$ — (i) $A = \begin{bmatrix} 1 \\ -4 \\ 3 \end{bmatrix}$, $B = \begin{bmatrix} -1 & 2 & 1 \end{bmatrix}$, (ii) $A = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix}$, $B = \begin{bmatrix} 1 & 5 & 7 \end{bmatrix}$।
উত্তৰঃ
(i) $AB = \begin{bmatrix} -1 & 2 & 1 \\ 4 & -8 & -4 \\ -3 & 6 & 3 \end{bmatrix}$, গতিকে $(AB)^{\prime} = \begin{bmatrix} -1 & 4 & -3 \\ 2 & -8 & 6 \\ 1 & -4 & 3 \end{bmatrix}$। আৰু $B^{\prime}A^{\prime} = \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & -4 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 4 & -3 \\ 2 & -8 & 6 \\ 1 & -4 & 3 \end{bmatrix} = (AB)^{\prime}$।
(ii) $AB = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 5 & 7 \\ 2 & 10 & 14 \end{bmatrix}$, গতিকে $(AB)^{\prime} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 0 & 5 & 10 \\ 0 & 7 & 14 \end{bmatrix}$। আৰু $B^{\prime}A^{\prime} = \begin{bmatrix} 1 \\ 5 \\ 7 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 0 & 5 & 10 \\ 0 & 7 & 14 \end{bmatrix} = (AB)^{\prime}$।
6. (i) যদি $A = \begin{bmatrix} \cos\alpha & \sin\alpha \\ -\sin\alpha & \cos\alpha \end{bmatrix}$, দেখুওৱা যে $A^{\prime}A = I$। (ii) যদি $A = \begin{bmatrix} \sin\alpha & \cos\alpha \\ -\cos\alpha & \sin\alpha \end{bmatrix}$, দেখুওৱা যে $A^{\prime}A = I$।
উত্তৰঃ
(i) $A^{\prime} = \begin{bmatrix} \cos\alpha & -\sin\alpha \\ \sin\alpha & \cos\alpha \end{bmatrix}$, গতিকে $$A^{\prime}A = \begin{bmatrix} \cos^2\alpha + \sin^2\alpha & 0 \\ 0 & \sin^2\alpha + \cos^2\alpha \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = I$$
(ii) $A^{\prime} = \begin{bmatrix} \sin\alpha & -\cos\alpha \\ \cos\alpha & \sin\alpha \end{bmatrix}$, গতিকে $$A^{\prime}A = \begin{bmatrix} \sin^2\alpha + \cos^2\alpha & 0 \\ 0 & \cos^2\alpha + \sin^2\alpha \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = I$$
7. (i) দেখুওৱা যে $A = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 5 \\ -1 & 2 & 1 \\ 5 & 1 & 3 \end{bmatrix}$ এটা সমমিত মৌলকক্ষ। (ii) দেখুওৱা যে $A = \begin{bmatrix} 0 & 1 & -1 \\ -1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \end{bmatrix}$ এটা বিষম-সমমিত মৌলকক্ষ।
উত্তৰঃ
(i) $A^{\prime} = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 5 \\ -1 & 2 & 1 \\ 5 & 1 & 3 \end{bmatrix} = A$। যিহেতু $A^{\prime} = A$, গতিকে $A$ সমমিত মৌলকক্ষ।
(ii) $A^{\prime} = \begin{bmatrix} 0 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \\ -1 & 1 & 0 \end{bmatrix} = -A$। যিহেতু $A^{\prime} = -A$, গতিকে $A$ বিষম-সমমিত মৌলকক্ষ।
8. $A = \begin{bmatrix} 1 & 5 \\ 6 & 7 \end{bmatrix}$ হ’লে সত্যাপন কৰা যে (i) $(A + A^{\prime})$ এটা সমমিত মৌলকক্ষ, (ii) $(A – A^{\prime})$ এটা বিষম-সমমিত মৌলকক্ষ।
উত্তৰঃ $A^{\prime} = \begin{bmatrix} 1 & 6 \\ 5 & 7 \end{bmatrix}$।
(i) $A + A^{\prime} = \begin{bmatrix} 2 & 11 \\ 11 & 14 \end{bmatrix}$; ইয়াৰ পক্ষান্তৰিত $\begin{bmatrix} 2 & 11 \\ 11 & 14 \end{bmatrix} = A + A^{\prime}$, গতিকে ই সমমিত।
(ii) $A – A^{\prime} = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$; ইয়াৰ পক্ষান্তৰিত $\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix} = -(A – A^{\prime})$, গতিকে ই বিষম-সমমিত।
9. $A = \begin{bmatrix} 0 & a & b \\ -a & 0 & c \\ -b & -c & 0 \end{bmatrix}$ হ’লে $\frac{1}{2}(A + A^{\prime})$ আৰু $\frac{1}{2}(A – A^{\prime})$ উলিওৱা।
উত্তৰঃ $A^{\prime} = \begin{bmatrix} 0 & -a & -b \\ a & 0 & -c \\ b & c & 0 \end{bmatrix}$।
$A + A^{\prime} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$, গতিকে $\frac{1}{2}(A + A^{\prime}) = O$ (শূন্য মৌলকক্ষ)।
$A – A^{\prime} = \begin{bmatrix} 0 & 2a & 2b \\ -2a & 0 & 2c \\ -2b & -2c & 0 \end{bmatrix}$, গতিকে $\frac{1}{2}(A – A^{\prime}) = \begin{bmatrix} 0 & a & b \\ -a & 0 & c \\ -b & -c & 0 \end{bmatrix} = A$।
10. তলৰ মৌলকক্ষবোৰ সমমিত আৰু বিষম-সমমিত মৌলকক্ষৰ সমষ্টি হিচাপে প্ৰকাশ কৰা — (i) $\begin{bmatrix} 3 & 5 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}$, (ii) $\begin{bmatrix} 6 & -2 & 2 \\ -2 & 3 & -1 \\ 2 & -1 & 3 \end{bmatrix}$, (iii) $\begin{bmatrix} 3 & 3 & -1 \\ -2 & -2 & 1 \\ -4 & -5 & 2 \end{bmatrix}$, (iv) $\begin{bmatrix} 1 & 5 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}$।
উত্তৰঃ যিকোনো বৰ্গ মৌলকক্ষ $A = P + Q$ য’ত $P = \frac{1}{2}(A + A^{\prime})$ সমমিত আৰু $Q = \frac{1}{2}(A – A^{\prime})$ বিষম-সমমিত।
(i) $$A = \begin{bmatrix} 3 & 3 \\ 3 & -1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & 2 \\ -2 & 0 \end{bmatrix}$$
(ii) মৌলকক্ষটো ইতিমধ্যে সমমিত ($A^{\prime} = A$), গতিকে $$A = \begin{bmatrix} 6 & -2 & 2 \\ -2 & 3 & -1 \\ 2 & -1 & 3 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$$
(iii) $$A = \begin{bmatrix} 3 & \frac{1}{2} & -\frac{5}{2} \\ \frac{1}{2} & -2 & -2 \\ -\frac{5}{2} & -2 & 2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & \frac{5}{2} & \frac{3}{2} \\ -\frac{5}{2} & 0 & 3 \\ -\frac{3}{2} & -3 & 0 \end{bmatrix}$$
(iv) $$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & 3 \\ -3 & 0 \end{bmatrix}$$
11. যদি $A, B$ একে ঘাতৰ সমমিত মৌলকক্ষ, তেনেহ’লে $AB – BA$ মৌলকক্ষটো — (A) বিষম-সমমিত (B) সমমিত (C) শূন্য মৌলকক্ষ (D) অভেদ মৌলকক্ষ।
উত্তৰঃ শুদ্ধ উত্তৰ (A) বিষম-সমমিত। $A, B$ সমমিত হোৱাত $A^{\prime} = A$, $B^{\prime} = B$। এতিয়া $(AB – BA)^{\prime} = (AB)^{\prime} – (BA)^{\prime} = B^{\prime}A^{\prime} – A^{\prime}B^{\prime} = BA – AB = -(AB – BA)$। গতিকে $AB – BA$ বিষম-সমমিত।
12. যদি $A = \begin{bmatrix} \cos\alpha & -\sin\alpha \\ \sin\alpha & \cos\alpha \end{bmatrix}$, আৰু $A + A^{\prime} = I$ হ’ব, যদিহে $\alpha$ ৰ মান — (A) $\frac{\pi}{6}$ (B) $\frac{\pi}{3}$ (C) $\pi$ (D) $\frac{3\pi}{2}$।
উত্তৰঃ শুদ্ধ উত্তৰ (B) $\frac{\pi}{3}$। $A^{\prime} = \begin{bmatrix} \cos\alpha & \sin\alpha \\ -\sin\alpha & \cos\alpha \end{bmatrix}$, গতিকে $A + A^{\prime} = \begin{bmatrix} 2\cos\alpha & 0 \\ 0 & 2\cos\alpha \end{bmatrix} = I$। ইয়াৰ পৰা $2\cos\alpha = 1 \Rightarrow \cos\alpha = \frac{1}{2} \Rightarrow \alpha = \frac{\pi}{3}$।
অনুশীলনী 3.4
1. মৌলকক্ষ $A$ আৰু $B$ এটা আনটোৰ প্ৰতিলোম মৌলকক্ষ হ’ব যদিহে — (A) $AB = BA$ (B) $AB = BA = 0$ (C) $AB = 0, BA = I$ (D) $AB = BA = I$।
উত্তৰঃ শুদ্ধ উত্তৰ (D) $AB = BA = I$। প্ৰতিলোম মৌলকক্ষৰ সংজ্ঞা অনুসৰি, দুটা বৰ্গ মৌলকক্ষ $A$ আৰু $B$ ৰ বাবে $AB = BA = I$ হ’লেহে $B$ ক $A$ ৰ প্ৰতিলোম মৌলকক্ষ ($A^{-1}$) বোলা হয়।
তৃতীয় অধ্যায়ৰ বিবিধ অনুশীলনী
1. $A$ আৰু $B$ সমমিত মৌলকক্ষ হ’লে, প্ৰমাণ কৰা যে $AB – BA$ এটা বিষম-সমমিত মৌলকক্ষ।
উত্তৰঃ $A, B$ সমমিত হোৱাত $A^{\prime} = A$ আৰু $B^{\prime} = B$। এতিয়া $(AB – BA)^{\prime} = (AB)^{\prime} – (BA)^{\prime} = B^{\prime}A^{\prime} – A^{\prime}B^{\prime} = BA – AB = -(AB – BA)$। যিহেতু $(AB – BA)^{\prime} = -(AB – BA)$, গতিকে $AB – BA$ এটা বিষম-সমমিত মৌলকক্ষ (প্ৰমাণিত)।
2. দেখুওৱা যে $A$ মৌলকক্ষটো সমমিত বা বিষম-সমমিত হোৱা সাপেক্ষে, $B^{\prime}AB$ মৌলকক্ষটোও সমমিত বা বিষম-সমমিত হ’ব।
উত্তৰঃ $(B^{\prime}AB)^{\prime} = B^{\prime}A^{\prime}(B^{\prime})^{\prime} = B^{\prime}A^{\prime}B$।
যদি $A$ সমমিত, তেন্তে $A^{\prime} = A$, গতিকে $(B^{\prime}AB)^{\prime} = B^{\prime}AB$, অৰ্থাৎ $B^{\prime}AB$ সমমিত।
যদি $A$ বিষম-সমমিত, তেন্তে $A^{\prime} = -A$, গতিকে $(B^{\prime}AB)^{\prime} = B^{\prime}(-A)B = -B^{\prime}AB$, অৰ্থাৎ $B^{\prime}AB$ বিষম-সমমিত (প্ৰমাণিত)।
3. $A = \begin{bmatrix} 0 & 2y & z \\ x & y & -z \\ x & -y & z \end{bmatrix}$ মৌলকক্ষটোৰে $A^{\prime}A = I$ সমীকৰণটো সিদ্ধ কৰিলে $x, y$ আৰু $z$ ৰ মান উলিওৱা।
উত্তৰঃ $A^{\prime} = \begin{bmatrix} 0 & x & x \\ 2y & y & -y \\ z & -z & z \end{bmatrix}$। এতিয়া
$$A^{\prime}A = \begin{bmatrix} 2x^2 & 0 & 0 \\ 0 & 6y^2 & 0 \\ 0 & 0 & 3z^2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$
অনুৰূপ মৌল সমান কৰিলে $2x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm\frac{1}{\sqrt{2}}$; $6y^2 = 1 \Rightarrow y = \pm\frac{1}{\sqrt{6}}$; $3z^2 = 1 \Rightarrow z = \pm\frac{1}{\sqrt{3}}$।
4. $x$ ৰ কি মানৰ বাবে $\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0 \\ 2 \\ x \end{bmatrix} = 0$?
উত্তৰঃ প্ৰথমে $\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & 2 & 4 \end{bmatrix}$।
তাৰ পিছত $\begin{bmatrix} 6 & 2 & 4 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0 \\ 2 \\ x \end{bmatrix} = 0 + 4 + 4x = 4 + 4x$। ইয়াক $0$ ৰ সমান কৰিলে $4 + 4x = 0 \Rightarrow x = -1$।
5. $A = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}$ হ’লে দেখুওৱা যে $A^2 – 5A + 7I = 0$।
উত্তৰঃ $A^2 = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 & 5 \\ -5 & 3 \end{bmatrix}$।
$$A^2 – 5A + 7I = \begin{bmatrix} 8 & 5 \\ -5 & 3 \end{bmatrix} – \begin{bmatrix} 15 & 5 \\ -5 & 10 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 7 & 0 \\ 0 & 7 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} = 0$$ (প্ৰমাণিত)।
6. $x$ ৰ মান উলিওৱা, যদি $\begin{bmatrix} x & -5 & -1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 1 \\ 2 & 0 & 3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ 4 \\ 1 \end{bmatrix} = O$।
উত্তৰঃ প্ৰথমে $\begin{bmatrix} x & -5 & -1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 1 \\ 2 & 0 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x-2 & -10 & 2x-8 \end{bmatrix}$।
তাৰ পিছত $\begin{bmatrix} x-2 & -10 & 2x-8 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ 4 \\ 1 \end{bmatrix} = (x-2)x – 40 + (2x-8) = x^2 – 48$। ইয়াক $0$ ৰ সমান কৰিলে $x^2 – 48 = 0 \Rightarrow x = \pm 4\sqrt{3}$।
7. এজন উৎপাদনকাৰীয়ে উৎপাদন কৰা তিনিবিধ সামগ্ৰী $x, y, z$ দুখন বজাৰত বিক্ৰী কৰে। বস্তুকেইবিধৰ বাৰ্ষিক বিক্ৰীৰ সংখ্যা: বজাৰ I ত $x = 10{,}000$, $y = 2{,}000$, $z = 18{,}000$; বজাৰ II ত $x = 6{,}000$, $y = 20{,}000$, $z = 8{,}000$। (a) যদি $x, y, z$ সামগ্ৰীকেইটাৰ প্ৰতিটোৰ বিক্ৰী মূল্য যথাক্ৰমে $2.50$ টকা, $1.50$ টকা আৰু $1.00$ টকা হয়, মৌলকক্ষৰ বীজগণিতৰ সহায়ত প্ৰতিখন বজাৰৰ পৰা পোৱা মুঠ ধন নিৰ্ণয় কৰা। (b) যদি উক্ত সামগ্ৰী তিনিটাৰ উৎপাদন খৰচ যথাক্ৰমে $2.00$ টকা, $1.00$ টকা আৰু $50$ পইচা হয়, মুঠ লাভ নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ (a) বিক্ৰী সংখ্যাৰ মৌলকক্ষ আৰু বিক্ৰী মূল্যৰ মৌলকক্ষৰ পূৰণ —
$$\begin{bmatrix} 10000 & 2000 & 18000 \\ 6000 & 20000 & 8000 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 2.50 \\ 1.50 \\ 1.00 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 25000 + 3000 + 18000 \\ 15000 + 30000 + 8000 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 46000 \\ 53000 \end{bmatrix}$$
গতিকে বজাৰ I ৰ পৰা পোৱা মুঠ ধন $46{,}000$ টকা আৰু বজাৰ II ৰ পৰা $53{,}000$ টকা।
(b) উৎপাদন খৰচৰ মৌলকক্ষৰ পূৰণ —
$$\begin{bmatrix} 10000 & 2000 & 18000 \\ 6000 & 20000 & 8000 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 2.00 \\ 1.00 \\ 0.50 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 20000 + 2000 + 9000 \\ 12000 + 20000 + 4000 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 31000 \\ 36000 \end{bmatrix}$$
লাভ $=$ বিক্ৰীৰ ধন $-$ খৰচ। বজাৰ I ত $46000 – 31000 = 15000$ টকা আৰু বজাৰ II ত $53000 – 36000 = 17000$ টকা। গতিকে মুঠ লাভ $= 15000 + 17000 = 32{,}000$ টকা।
8. $X$ মৌলকক্ষটো উলিওৱা, যদি $X\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -7 & -8 & -9 \\ 2 & 4 & 6 \end{bmatrix}$।
উত্তৰঃ সোঁফালৰ পূৰণফল $2 \times 3$ আৰু দিয়া মৌলকক্ষটো $2 \times 3$ হোৱাত $X$ এটা $2 \times 2$ মৌলকক্ষ হ’ব লাগিব। ধৰা হ’ল $X = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$।
তেন্তে $\begin{bmatrix} a+4b & 2a+5b & 3a+6b \\ c+4d & 2c+5d & 3c+6d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -7 & -8 & -9 \\ 2 & 4 & 6 \end{bmatrix}$। প্ৰথম শাৰীৰ পৰা $a + 4b = -7$ আৰু $2a + 5b = -8$; সমাধান কৰিলে $b = -2, a = 1$। দ্বিতীয় শাৰীৰ পৰা $c + 4d = 2$ আৰু $2c + 5d = 4$; সমাধান কৰিলে $d = 0, c = 2$। গতিকে $$X = \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 2 & 0 \end{bmatrix}$$
9. যদি $A = \begin{bmatrix} \alpha & \beta \\ \gamma & -\alpha \end{bmatrix}$ ৰ বাবে $A^2 = I$ হয়, তেনেহ’লে — (A) $1 + \alpha^2 + \beta\gamma = 0$ (B) $1 – \alpha^2 + \beta\gamma = 0$ (C) $1 – \alpha^2 – \beta\gamma = 0$ (D) $1 + \alpha^2 – \beta\gamma = 0$।
উত্তৰঃ শুদ্ধ উত্তৰ (C) $1 – \alpha^2 – \beta\gamma = 0$। $A^2 = \begin{bmatrix} \alpha^2 + \beta\gamma & 0 \\ 0 & \beta\gamma + \alpha^2 \end{bmatrix} = I$। ইয়াৰ পৰা $\alpha^2 + \beta\gamma = 1$, অৰ্থাৎ $1 – \alpha^2 – \beta\gamma = 0$।
10. $A$ মৌলকক্ষটো যদি সমমিত আৰু বিষম-সমমিত, দুয়োটা হয়, তেনেহ’লে — (A) $A$ এটা বিকৰ্ণ মৌলকক্ষ (B) $A$ এটা শূন্য মৌলকক্ষ (C) $A$ এটা বৰ্গ মৌলকক্ষ (D) এইকেইটাৰ এটাও নহয়।
উত্তৰঃ শুদ্ধ উত্তৰ (B) $A$ এটা শূন্য মৌলকক্ষ। $A$ সমমিত হ’লে $A^{\prime} = A$ আৰু বিষম-সমমিত হ’লে $A^{\prime} = -A$। গতিকে $A = -A \Rightarrow 2A = 0 \Rightarrow A = O$।
11. $A$ এটা বৰ্গ মৌলকক্ষ আৰু $A^2 = A$ হ’লে, $(I + A)^3 – 7A$ হ’ব — (A) $A$ (B) $I – A$ (C) $I$ (D) $3A$।
উত্তৰঃ শুদ্ধ উত্তৰ (C) $I$। $(I + A)^3 = I + 3A + 3A^2 + A^3$। যিহেতু $A^2 = A$, তেন্তে $A^3 = A^2 \cdot A = A \cdot A = A$। গতিকে $(I + A)^3 = I + 3A + 3A + A = I + 7A$। সেয়েহে $(I + A)^3 – 7A = I + 7A – 7A = I$।
অতিৰিক্ত প্ৰশ্ন আৰু উত্তৰ
বহুবৈকল্পিক প্ৰশ্ন (MCQ)
1. $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$ মৌলকক্ষটোৰ ঘাত হ’ল — (A) $1 \times 2$ (B) $2 \times 2$ (C) $4 \times 1$ (D) $2 \times 1$।
উত্তৰঃ (B) $2 \times 2$।
2. শাৰী আৰু স্তম্ভৰ সংখ্যা সমান থকা মৌলকক্ষক কি বোলা হয়? (A) শাৰী মৌলকক্ষ (B) স্তম্ভ মৌলকক্ষ (C) বৰ্গ মৌলকক্ষ (D) শূন্য মৌলকক্ষ।
উত্তৰঃ (C) বৰ্গ মৌলকক্ষ।
3. $A$ এটা $3 \times 4$ আৰু $B$ এটা $4 \times 2$ মৌলকক্ষ হ’লে, $AB$ ৰ ঘাত হ’ব — (A) $3 \times 2$ (B) $4 \times 4$ (C) $2 \times 3$ (D) সংজ্ঞাবদ্ধ নহয়।
উত্তৰঃ (A) $3 \times 2$।
4. এটা বিষম-সমমিত মৌলকক্ষৰ কৰ্ণৰ মৌলবোৰ কেনেকুৱা? (A) সকলো $1$ (B) সকলো $0$ (C) সকলো সমান (D) সকলো ঋণাত্মক।
উত্তৰঃ (B) সকলো $0$।
5. $A$ এটা সমমিত মৌলকক্ষ হ’লে $A^{\prime}$ কি? (A) $-A$ (B) $A$ (C) $I$ (D) $O$।
উত্তৰঃ (B) $A$।
6. এটা $4 \times 3$ মৌলকক্ষত মুঠ কিমান মৌল থাকে? (A) $7$ (B) $12$ (C) $43$ (D) $1$।
উত্তৰঃ (B) $12$।
7. $\begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}$ মৌলকক্ষটো এটা — (A) অভেদ মৌলকক্ষ (B) স্কেলাৰ মৌলকক্ষ (C) শূন্য মৌলকক্ষ (D) শাৰী মৌলকক্ষ।
উত্তৰঃ (B) স্কেলাৰ মৌলকক্ষ।
8. $A$ এটা $m \times n$ আৰু $B$ এটা $n \times m$ মৌলকক্ষ হ’লে $AB$ ৰ ঘাত হ’ব — (A) $m \times m$ (B) $n \times n$ (C) $m \times n$ (D) $n \times m$।
উত্তৰঃ (A) $m \times m$।
খালী ঠাই পূৰণ কৰা
1. মাত্ৰ এটা শাৰী থকা মৌলকক্ষক ______ মৌলকক্ষ বোলা হয়।
উত্তৰঃ শাৰী (পংক্তীয়)।
2. এটা মৌলকক্ষ $A$ ৰ পক্ষান্তৰিতৰ পক্ষান্তৰিত অৰ্থাৎ $(A^{\prime})^{\prime} = $ ______।
উত্তৰঃ $A$।
3. $A$ প্ৰতিলোমনীয় হ’লে আৰু $B = A^{-1}$ হ’লে $AB = BA = $ ______।
উত্তৰঃ $I$ (অভেদ মৌলকক্ষ)।
4. কৰ্ণৰ প্ৰতিটো মৌল $1$ আৰু আন সকলো মৌল শূন্য থকা বৰ্গ মৌলকক্ষক ______ মৌলকক্ষ বোলা হয়।
উত্তৰঃ অভেদ।
5. যিকোনো ধ্ৰুৱক $k$ ৰ বাবে $(kA)^{\prime} = $ ______।
উত্তৰঃ $kA^{\prime}$।
শুদ্ধ নে অশুদ্ধ লিখা
1. মৌলকক্ষৰ পূৰণ সদায় ক্ৰমবিনিময় হয়।
উত্তৰঃ অশুদ্ধ। সাধাৰণতে $AB \neq BA$।
2. প্ৰতিটো অভেদ মৌলকক্ষ এটা স্কেলাৰ মৌলকক্ষ।
উত্তৰঃ শুদ্ধ।
3. বেলেগ ঘাতৰ দুটা মৌলকক্ষৰ যোগফল সংজ্ঞাবদ্ধ।
উত্তৰঃ অশুদ্ধ। যোগৰ বাবে দুটা মৌলকক্ষৰ ঘাত একে হ’ব লাগে।
4. যিকোনো বৰ্গ মৌলকক্ষক এটা সমমিত আৰু এটা বিষম-সমমিত মৌলকক্ষৰ যোগফলৰূপে প্ৰকাশ কৰিব পাৰি।
উত্তৰঃ শুদ্ধ।
5. $AB = O$ হ’লে হয় $A = O$ নহয় $B = O$ হ’বই লাগিব।
উত্তৰঃ অশুদ্ধ। দুটা অশূন্য মৌলকক্ষৰ পূৰণফলো শূন্য মৌলকক্ষ হ’ব পাৰে।
চমু উত্তৰৰ প্ৰশ্ন
1. $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$ হ’লে $A^{\prime}$ উলিওৱা।
উত্তৰঃ শাৰী আৰু স্তম্ভ সালসলনি কৰিলে $$A^{\prime} = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}$$
2. $A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{bmatrix}$ আৰু $B = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}$ হ’লে $A + B$ উলিওৱা।
উত্তৰঃ $$A + B = \begin{bmatrix} 3 & 3 \\ 3 & 5 \end{bmatrix}$$
3. এটা $2 \times 2$ মৌলকক্ষ $A = [a_{ij}]$ গঠন কৰা য’ত $a_{ij} = i + j$।
উত্তৰঃ $a_{11} = 2, a_{12} = 3, a_{21} = 3, a_{22} = 4$, গতিকে $$A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$$
4. $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ হ’লে $A^2$ উলিওৱা।
উত্তৰঃ $A$ এটা অভেদ মৌলকক্ষ, গতিকে $$A^2 = A \cdot A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = I$$
শব্দাৰ্থ
| অসমীয়া শব্দ | English term | অৰ্থ |
|---|---|---|
| মৌলকক্ষ | Matrix | সংখ্যা বা ফলনৰ ক্ৰম সাপেক্ষ আয়তীয় অনুবিন্যাস |
| শাৰী | Row | মৌলকক্ষৰ আনুভূমিক ৰেখা |
| স্তম্ভ | Column | মৌলকক্ষৰ উলম্ব ৰেখা |
| ঘাত | Order | শাৰী আৰু স্তম্ভৰ সংখ্যা (m × n) |
| মৌল / প্ৰবিষ্টি | Element / Entry | মৌলকক্ষৰ প্ৰতিটো সংখ্যা বা ফলন |
| বৰ্গ মৌলকক্ষ | Square matrix | শাৰী আৰু স্তম্ভৰ সংখ্যা সমান থকা মৌলকক্ষ |
| বিকৰ্ণ মৌলকক্ষ | Diagonal matrix | কৰ্ণৰ বাহিৰৰ সকলো মৌল শূন্য থকা বৰ্গ মৌলকক্ষ |
| অভেদ মৌলকক্ষ | Identity matrix | কৰ্ণৰ মৌল ১ আৰু আন সকলো শূন্য থকা মৌলকক্ষ |
| শূন্য মৌলকক্ষ | Zero / Null matrix | আটাইবোৰ মৌল শূন্য থকা মৌলকক্ষ |
| পক্ষান্তৰিত মৌলকক্ষ | Transpose | শাৰী আৰু স্তম্ভ সালসলনি কৰি পোৱা মৌলকক্ষ |
| সমমিত মৌলকক্ষ | Symmetric matrix | যাৰ বাবে A′ = A |
| বিষম-সমমিত মৌলকক্ষ | Skew symmetric matrix | যাৰ বাবে A′ = −A |
| প্ৰতিলোম মৌলকক্ষ | Inverse matrix | AB = BA = I হ’লে B হ’ল A ৰ প্ৰতিলোম |
| পূৰণফল | Product | দুটা মৌলকক্ষৰ গুণফল |