প্ৰতিলোম ত্ৰিকোণমিতীয় ফলন — প্ৰশ্ন উত্তৰ
HSLC Guru-লৈ আপোনাক স্বাগতম। এই পাঠত আমি ASSEB Class 12 গণিতৰ দ্বিতীয় অধ্যায় প্ৰতিলোম ত্ৰিকোণমিতীয় ফলন (Inverse Trigonometric Functions)ৰ অনুশীলনী 2.1, অনুশীলনী 2.2 আৰু দ্বিতীয় অধ্যায়ৰ বিবিধ অনুশীলনীৰ সকলো প্ৰশ্নৰ সম্পূৰ্ণ, ধাপে ধাপে সমাধান পাঠ্যপুথিৰ ক্ৰম অনুসৰি দাঙি ধৰিছোঁ।
সাৰাংশ
একাদশ শ্ৰেণীত আমি শিকিছিলোঁ যে ছাইন, ক’ছাইন আদি ত্ৰিকোণমিতীয় ফলনবোৰ সিহঁতৰ স্বাভাৱিক আদিক্ষেত্ৰত একৈকী (one-one) নহয় আৰু আচ্ছাদক (onto) নহয়, সেয়ে সিহঁতৰ প্ৰতিলোম নাথাকে। এই অধ্যায়ত আমি ত্ৰিকোণমিতীয় ফলনৰ আদিক্ষেত্ৰ (domain) আৰু পৰিসৰত (range) উপযুক্ত সীমাবদ্ধতা আৰোপ কৰি সেইবোৰক একৈকী আৰু আচ্ছাদক কৰি লওঁ, যাতে সিহঁতৰ প্ৰতিলোম ফলন সংজ্ঞাবদ্ধ কৰিব পাৰি।
প্ৰতিটো প্ৰতিলোম ত্ৰিকোণমিতীয় ফলনৰ কেইবাটাও শাখা (branch) থাকে; পৰিসৰ হিচাপে যি নিৰ্দিষ্ট অন্তৰাল লোৱা হয় তাক মুখ্য মান শাখা (principal value branch) বোলে, আৰু সেই শাখাৰ ভিতৰত পোৱা মানটোক সেই ফলনৰ মুখ্য মান (principal value) বোলে। তলৰ সাৰণীত ছটা প্ৰতিলোম ত্ৰিকোণমিতীয় ফলনৰ আদিক্ষেত্ৰ আৰু মুখ্য মান শাখা (পৰিসৰ) দিয়া হ’ল।
| ফলন | আদিক্ষেত্ৰ | পৰিসৰ (মুখ্য মান শাখা) |
|---|---|---|
| $y = \sin^{-1} x$ | $[-1, 1]$ | $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ |
| $y = \cos^{-1} x$ | $[-1, 1]$ | $[0, \pi]$ |
| $y = \operatorname{cosec}^{-1} x$ | $\mathbb{R} – (-1, 1)$ | $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] – \{0\}$ |
| $y = \sec^{-1} x$ | $\mathbb{R} – (-1, 1)$ | $[0, \pi] – \left\{\frac{\pi}{2}\right\}$ |
| $y = \tan^{-1} x$ | $\mathbb{R}$ | $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ |
| $y = \cot^{-1} x$ | $\mathbb{R}$ | $(0, \pi)$ |
মনত ৰখা দৰকাৰ যে $\sin^{-1} x$ আৰু $(\sin x)^{-1}$ একে নহয়; প্ৰকৃততে $(\sin x)^{-1} = \frac{1}{\sin x}$, আৰু আন ত্ৰিকোণমিতীয় ফলনৰ ক্ষেত্ৰতো এই কথা প্ৰযোজ্য। আদিক্ষেত্ৰৰ উপযুক্ত মানৰ বাবে তলৰ ধৰ্মবোৰ সত্য: $\sin(\sin^{-1} x) = x$ যদি $-1 \le x \le 1$, আৰু $\sin^{-1}(\sin x) = x$ যদি $-\frac{\pi}{2} \le x \le \frac{\pi}{2}$। বাকী পাঁচোটা প্ৰতিলোম ত্ৰিকোণমিতীয় ফলনৰ বাবেও অনুৰূপ ধৰ্ম সত্য।
Summary: This page gives complete, step-by-step Assamese-medium solutions to ASSEB Class 12 Mathematics Chapter 2, Inverse Trigonometric Functions, covering Exercise 2.1, Exercise 2.2 and the Miscellaneous Exercise on Chapter 2. It explains the restriction of domains that makes sine, cosine, tangent, cotangent, secant and cosecant one-one and onto, the principal value branches of the six inverse trigonometric functions, and worked evaluations, simplifications, proofs of identities and solutions of equations involving inverse trigonometric functions.
পাঠ্যপুথিৰ প্ৰশ্ন আৰু উত্তৰ
অনুশীলনী 2.1
অধোলিখিতবোৰৰ মুখ্য মান উলিওৱা।
1. $\sin^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right)$
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল $\sin^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right) = y$। তেন্তে $\sin y = -\frac{1}{2}$, য’ত $y \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$। যিহেতু $\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2}$ আৰু $-\frac{\pi}{6} \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$, গতিকে মুখ্য মান $-\frac{\pi}{6}$।
2. $\cos^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল $\cos^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = y$। তেন্তে $\cos y = \frac{\sqrt{3}}{2}$, য’ত $y \in [0, \pi]$। যিহেতু $\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ আৰু $\frac{\pi}{6} \in [0, \pi]$, গতিকে মুখ্য মান $\frac{\pi}{6}$।
3. $\operatorname{cosec}^{-1}(2)$
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল $\operatorname{cosec}^{-1}(2) = y$। তেন্তে $\operatorname{cosec} y = 2$, অৰ্থাৎ $\sin y = \frac{1}{2}$, য’ত $y \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] – \{0\}$। যিহেতু $\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$, গতিকে মুখ্য মান $\frac{\pi}{6}$।
4. $\tan^{-1}\left(-\sqrt{3}\right)$
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল $\tan^{-1}\left(-\sqrt{3}\right) = y$। তেন্তে $\tan y = -\sqrt{3}$, য’ত $y \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$। যিহেতু $\tan\left(-\frac{\pi}{3}\right) = -\sqrt{3}$ আৰু $-\frac{\pi}{3} \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$, গতিকে মুখ্য মান $-\frac{\pi}{3}$।
5. $\cos^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right)$
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল $\cos^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right) = y$। তেন্তে $\cos y = -\frac{1}{2}$, য’ত $y \in [0, \pi]$। যিহেতু $\cos\frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2}$ আৰু $\frac{2\pi}{3} \in [0, \pi]$, গতিকে মুখ্য মান $\frac{2\pi}{3}$।
6. $\tan^{-1}(-1)$
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল $\tan^{-1}(-1) = y$। তেন্তে $\tan y = -1$, য’ত $y \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$। যিহেতু $\tan\left(-\frac{\pi}{4}\right) = -1$, গতিকে মুখ্য মান $-\frac{\pi}{4}$।
7. $\sec^{-1}\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)$
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল $\sec^{-1}\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right) = y$। তেন্তে $\sec y = \frac{2}{\sqrt{3}}$, অৰ্থাৎ $\cos y = \frac{\sqrt{3}}{2}$, য’ত $y \in [0, \pi] – \left\{\frac{\pi}{2}\right\}$। যিহেতু $\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, গতিকে মুখ্য মান $\frac{\pi}{6}$।
8. $\cot^{-1}\left(\sqrt{3}\right)$
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল $\cot^{-1}\left(\sqrt{3}\right) = y$। তেন্তে $\cot y = \sqrt{3}$, অৰ্থাৎ $\tan y = \frac{1}{\sqrt{3}}$, য’ত $y \in (0, \pi)$। যিহেতু $\cot\frac{\pi}{6} = \sqrt{3}$ আৰু $\frac{\pi}{6} \in (0, \pi)$, গতিকে মুখ্য মান $\frac{\pi}{6}$।
9. $\cos^{-1}\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল $\cos^{-1}\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = y$। তেন্তে $\cos y = -\frac{1}{\sqrt{2}}$, য’ত $y \in [0, \pi]$। যিহেতু $\cos\frac{3\pi}{4} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ আৰু $\frac{3\pi}{4} \in [0, \pi]$, গতিকে মুখ্য মান $\frac{3\pi}{4}$।
10. $\operatorname{cosec}^{-1}\left(-\sqrt{2}\right)$
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল $\operatorname{cosec}^{-1}\left(-\sqrt{2}\right) = y$। তেন্তে $\operatorname{cosec} y = -\sqrt{2}$, অৰ্থাৎ $\sin y = -\frac{1}{\sqrt{2}}$, য’ত $y \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] – \{0\}$। যিহেতু $\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{1}{\sqrt{2}}$, গতিকে মুখ্য মান $-\frac{\pi}{4}$।
অধোলিখিতবোৰৰ মান উলিওৱা।
11. $\tan^{-1}(1) + \cos^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right) + \sin^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right)$
উত্তৰঃ প্ৰতিটো পদৰ মুখ্য মান লওঁ: $\tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}$, $\cos^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{2\pi}{3}$ আৰু $\sin^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{\pi}{6}$। গতিকে যোগফল $= \frac{\pi}{4} + \frac{2\pi}{3} – \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi + 8\pi – 2\pi}{12} = \frac{9\pi}{12} = \frac{3\pi}{4}$।
12. $\cos^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) + 2\sin^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)$
উত্তৰঃ $\cos^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{3}$ আৰু $\sin^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{6}$। গতিকে মান $= \frac{\pi}{3} + 2 \times \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$।
13. যদি $\sin^{-1} x = y$, তেনেহ’লে
(A) $0 \le y \le \pi$ (B) $-\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2}$ (C) $0 < y < \pi$ (D) $-\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2}$
উত্তৰঃ শুদ্ধ উত্তৰ (B) $-\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2}$। $\sin^{-1}$ ৰ মুখ্য মান শাখাৰ পৰিসৰ হ’ল বন্ধ অন্তৰাল $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$, গতিকে $y$ এই অন্তৰালটোৰ ভিতৰত থাকে (দুয়োটা প্ৰান্ত অন্তৰ্ভুক্ত)।
14. $\tan^{-1}\sqrt{3} – \sec^{-1}(-2)$ সমান
(A) $\pi$ (B) $-\frac{\pi}{3}$ (C) $\frac{\pi}{3}$ (D) $\frac{2\pi}{3}$
উত্তৰঃ শুদ্ধ উত্তৰ (B) $-\frac{\pi}{3}$। $\tan^{-1}\sqrt{3} = \frac{\pi}{3}$। আকৌ $\sec^{-1}(-2) = y$ ধৰিলে $\cos y = -\frac{1}{2}$, $y \in [0, \pi] – \left\{\frac{\pi}{2}\right\}$, গতিকে $\sec^{-1}(-2) = \frac{2\pi}{3}$। সেয়ে $\tan^{-1}\sqrt{3} – \sec^{-1}(-2) = \frac{\pi}{3} – \frac{2\pi}{3} = -\frac{\pi}{3}$।
অনুশীলনী 2.2
প্ৰমাণ কৰা যে —
1. $3\sin^{-1} x = \sin^{-1}(3x – 4x^3)$, $x \in \left[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right]$
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল $x = \sin\theta$, তেন্তে $\theta = \sin^{-1} x$। যিহেতু $x \in \left[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right]$, সেয়ে $\theta \in \left[-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{6}\right]$ আৰু $3\theta \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$। ত্ৰিকোণমিতিৰ সূত্ৰ অনুসৰি $\sin 3\theta = 3\sin\theta – 4\sin^3\theta = 3x – 4x^3$। যিহেতু $3\theta$ টো $\sin^{-1}$ ৰ মুখ্য মান শাখাত আছে, গতিকে $3\theta = \sin^{-1}(3x – 4x^3)$, অৰ্থাৎ $3\sin^{-1} x = \sin^{-1}(3x – 4x^3)$।
2. $3\cos^{-1} x = \cos^{-1}(4x^3 – 3x)$, $x \in \left[\frac{1}{2}, 1\right]$
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল $x = \cos\theta$, তেন্তে $\theta = \cos^{-1} x$। যিহেতু $x \in \left[\frac{1}{2}, 1\right]$, সেয়ে $\theta \in \left[0, \frac{\pi}{3}\right]$ আৰু $3\theta \in [0, \pi]$। সূত্ৰ অনুসৰি $\cos 3\theta = 4\cos^3\theta – 3\cos\theta = 4x^3 – 3x$। যিহেতু $3\theta$ টো $\cos^{-1}$ ৰ মুখ্য মান শাখা $[0, \pi]$ ত আছে, গতিকে $3\theta = \cos^{-1}(4x^3 – 3x)$, অৰ্থাৎ $3\cos^{-1} x = \cos^{-1}(4x^3 – 3x)$।
তলৰ ফলনবোৰ সহজতম আকাৰত প্ৰকাশ কৰা।
3. $\tan^{-1}\dfrac{\sqrt{1+x^2} – 1}{x}$, $x \ne 0$
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল $x = \tan\theta$, তেন্তে $\theta = \tan^{-1} x$ আৰু $\sqrt{1+x^2} = \sqrt{1+\tan^2\theta} = \sec\theta$। গতিকে
$$\frac{\sqrt{1+x^2} – 1}{x} = \frac{\sec\theta – 1}{\tan\theta} = \frac{1 – \cos\theta}{\sin\theta} = \frac{2\sin^2\frac{\theta}{2}}{2\sin\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2}} = \tan\frac{\theta}{2}$$
সেয়েহে $\tan^{-1}\dfrac{\sqrt{1+x^2} – 1}{x} = \tan^{-1}\left(\tan\frac{\theta}{2}\right) = \frac{\theta}{2} = \frac{1}{2}\tan^{-1} x$।
4. $\tan^{-1}\left(\sqrt{\dfrac{1 – \cos x}{1 + \cos x}}\right)$, $x < \pi$
উত্তৰঃ $1 – \cos x = 2\sin^2\frac{x}{2}$ আৰু $1 + \cos x = 2\cos^2\frac{x}{2}$ ব্যৱহাৰ কৰি
$$\sqrt{\frac{1 – \cos x}{1 + \cos x}} = \sqrt{\frac{2\sin^2\frac{x}{2}}{2\cos^2\frac{x}{2}}} = \left|\tan\frac{x}{2}\right|$$
$0 < x < \pi$ হ’লে $\frac{x}{2} \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$, গতিকে $\tan\frac{x}{2} > 0$ আৰু $\left|\tan\frac{x}{2}\right| = \tan\frac{x}{2}$। সেয়েহে ফলনটো $= \tan^{-1}\left(\tan\frac{x}{2}\right) = \frac{x}{2}$।
5. $\tan^{-1}\left(\dfrac{\cos x – \sin x}{\cos x + \sin x}\right)$, $0 < x < \pi$
উত্তৰঃ লব আৰু হৰ দুয়োটাকে $\cos x$ ৰে ভাগ কৰিলে
$$\frac{\cos x – \sin x}{\cos x + \sin x} = \frac{1 – \tan x}{1 + \tan x} = \tan\left(\frac{\pi}{4} – x\right)$$
সেয়েহে ফলনটো $= \tan^{-1}\left(\tan\left(\frac{\pi}{4} – x\right)\right) = \frac{\pi}{4} – x$।
6. $\tan^{-1}\dfrac{x}{\sqrt{a^2 – x^2}}$, $|x| < a$
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল $x = a\sin\theta$, তেন্তে $\theta = \sin^{-1}\frac{x}{a}$ আৰু $\sqrt{a^2 – x^2} = \sqrt{a^2 – a^2\sin^2\theta} = a\cos\theta$। গতিকে
$$\frac{x}{\sqrt{a^2 – x^2}} = \frac{a\sin\theta}{a\cos\theta} = \tan\theta$$
সেয়েহে ফলনটো $= \tan^{-1}(\tan\theta) = \theta = \sin^{-1}\dfrac{x}{a}$।
7. $\tan^{-1}\left(\dfrac{3a^2 x – x^3}{a^3 – 3ax^2}\right)$, $a > 0$; $-\frac{a}{\sqrt{3}} \le x \le \frac{a}{\sqrt{3}}$
উত্তৰঃ লব আৰু হৰ দুয়োটাকে $a^3$ ৰে ভাগ কৰিলে ৰাশিটো হয় $\dfrac{3\left(\frac{x}{a}\right) – \left(\frac{x}{a}\right)^3}{1 – 3\left(\frac{x}{a}\right)^2}$। এতিয়া $\frac{x}{a} = \tan\theta$ ধৰিলে $\theta = \tan^{-1}\frac{x}{a}$ আৰু
$$\frac{3\tan\theta – \tan^3\theta}{1 – 3\tan^2\theta} = \tan 3\theta$$
$x \in \left[-\frac{a}{\sqrt{3}}, \frac{a}{\sqrt{3}}\right]$ হ’লে $\theta \in \left[-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{6}\right]$ আৰু $3\theta \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$। সেয়েহে ফলনটো $= \tan^{-1}(\tan 3\theta) = 3\theta = 3\tan^{-1}\dfrac{x}{a}$।
তলৰ প্ৰতিটোৰে মান উলিওৱা।
8. $\tan^{-1}\left[2\cos\left(2\sin^{-1}\frac{1}{2}\right)\right]$
উত্তৰঃ $\sin^{-1}\frac{1}{2} = \frac{\pi}{6}$, গতিকে $2\sin^{-1}\frac{1}{2} = \frac{\pi}{3}$। এতিয়া $\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$, সেয়ে $2\cos\frac{\pi}{3} = 1$। শেষত $\tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}$। গতিকে মান $\frac{\pi}{4}$।
9. $\tan\frac{1}{2}\left[\sin^{-1}\dfrac{2x}{1 + x^2} + \cos^{-1}\dfrac{1 – y^2}{1 + y^2}\right]$, $|x| < 1$, $y > 0$ আৰু $xy < 1$
উত্তৰঃ $\sin^{-1}\dfrac{2x}{1 + x^2} = 2\tan^{-1} x$ ($|x| < 1$ ৰ বাবে) আৰু $\cos^{-1}\dfrac{1 – y^2}{1 + y^2} = 2\tan^{-1} y$ ($y > 0$ ৰ বাবে)। গতিকে বন্ধনীৰ ভিতৰৰ ৰাশি $= 2\tan^{-1} x + 2\tan^{-1} y$, আৰু
$$\tan\frac{1}{2}\left(2\tan^{-1} x + 2\tan^{-1} y\right) = \tan\left(\tan^{-1} x + \tan^{-1} y\right) = \tan\left(\tan^{-1}\frac{x + y}{1 – xy}\right) = \frac{x + y}{1 – xy}$$
গতিকে মান $\dfrac{x + y}{1 – xy}$।
10. $\sin^{-1}\left(\sin\frac{2\pi}{3}\right)$
উত্তৰঃ $\frac{2\pi}{3} \notin \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$, গতিকে পোনে পোনে $\frac{2\pi}{3}$ লিখিব নোৱাৰি। কিন্তু $\sin\frac{2\pi}{3} = \sin\left(\pi – \frac{2\pi}{3}\right) = \sin\frac{\pi}{3}$ আৰু $\frac{\pi}{3} \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$। সেয়েহে $\sin^{-1}\left(\sin\frac{2\pi}{3}\right) = \frac{\pi}{3}$।
11. $\tan^{-1}\left(\tan\frac{3\pi}{4}\right)$
উত্তৰঃ $\frac{3\pi}{4} \notin \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$। কিন্তু $\tan\frac{3\pi}{4} = \tan\left(\frac{3\pi}{4} – \pi\right) = \tan\left(-\frac{\pi}{4}\right)$ আৰু $-\frac{\pi}{4} \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$। সেয়েহে $\tan^{-1}\left(\tan\frac{3\pi}{4}\right) = -\frac{\pi}{4}$।
12. $\tan\left(\sin^{-1}\frac{3}{5} + \cot^{-1}\frac{3}{2}\right)$
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল $A = \sin^{-1}\frac{3}{5}$, তেন্তে $\sin A = \frac{3}{5}$, $\cos A = \frac{4}{5}$, গতিকে $\tan A = \frac{3}{4}$। ধৰা হ’ল $B = \cot^{-1}\frac{3}{2}$, তেন্তে $\tan B = \frac{2}{3}$। গতিকে
$$\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 – \tan A \tan B} = \frac{\frac{3}{4} + \frac{2}{3}}{1 – \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{3}} = \frac{\frac{17}{12}}{\frac{1}{2}} = \frac{17}{6}$$
গতিকে মান $\dfrac{17}{6}$।
13. $\cos^{-1}\left(\cos\frac{7\pi}{6}\right)$ ৰ মান
(A) $\frac{7\pi}{6}$ (B) $\frac{5\pi}{6}$ (C) $\frac{\pi}{3}$ (D) $\frac{\pi}{6}$
উত্তৰঃ শুদ্ধ উত্তৰ (B) $\frac{5\pi}{6}$। $\frac{7\pi}{6} \notin [0, \pi]$, কিন্তু $\cos\frac{7\pi}{6} = \cos\left(2\pi – \frac{7\pi}{6}\right) = \cos\frac{5\pi}{6}$ আৰু $\frac{5\pi}{6} \in [0, \pi]$। সেয়েহে $\cos^{-1}\left(\cos\frac{7\pi}{6}\right) = \frac{5\pi}{6}$।
14. $\sin\left(\frac{\pi}{3} – \sin^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right)\right)$ ৰ মান
(A) $\frac{1}{2}$ (B) $\frac{1}{3}$ (C) $\frac{1}{4}$ (D) $1$
উত্তৰঃ শুদ্ধ উত্তৰ (D) $1$। $\sin^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{\pi}{6}$, গতিকে $\frac{\pi}{3} – \left(-\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2}$। সেয়ে ৰাশিটো $= \sin\frac{\pi}{2} = 1$।
15. $\tan^{-1}\sqrt{3} – \cot^{-1}\left(-\sqrt{3}\right)$ ৰ মান
(A) $\pi$ (B) $-\frac{\pi}{2}$ (C) $0$ (D) $2\sqrt{3}$
উত্তৰঃ শুদ্ধ উত্তৰ (B) $-\frac{\pi}{2}$। $\tan^{-1}\sqrt{3} = \frac{\pi}{3}$। আকৌ $\cot^{-1}\left(-\sqrt{3}\right) = y$ ধৰিলে $\cot y = -\sqrt{3}$, $y \in (0, \pi)$, গতিকে $y = \frac{5\pi}{6}$। সেয়েহে $\tan^{-1}\sqrt{3} – \cot^{-1}\left(-\sqrt{3}\right) = \frac{\pi}{3} – \frac{5\pi}{6} = -\frac{\pi}{2}$।
দ্বিতীয় অধ্যায়ৰ বিবিধ অনুশীলনী
অধোলিখিতবোৰৰ মান উলিওৱা।
1. $\cos^{-1}\left(\cos\frac{13\pi}{6}\right)$
উত্তৰঃ $\frac{13\pi}{6} = 2\pi + \frac{\pi}{6}$, গতিকে $\cos\frac{13\pi}{6} = \cos\frac{\pi}{6}$। যিহেতু $\frac{\pi}{6} \in [0, \pi]$, সেয়েহে $\cos^{-1}\left(\cos\frac{13\pi}{6}\right) = \frac{\pi}{6}$।
2. $\tan^{-1}\left(\tan\frac{7\pi}{6}\right)$
উত্তৰঃ $\frac{7\pi}{6} \notin \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$। কিন্তু $\tan\frac{7\pi}{6} = \tan\left(\frac{7\pi}{6} – \pi\right) = \tan\frac{\pi}{6}$ আৰু $\frac{\pi}{6} \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$। সেয়েহে $\tan^{-1}\left(\tan\frac{7\pi}{6}\right) = \frac{\pi}{6}$।
প্ৰমাণ কৰা যে —
3. $2\sin^{-1}\frac{3}{5} = \tan^{-1}\frac{24}{7}$
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল $\sin^{-1}\frac{3}{5} = \theta$, তেন্তে $\sin\theta = \frac{3}{5}$, $\cos\theta = \frac{4}{5}$, গতিকে $\tan\theta = \frac{3}{4}$। যিহেতু $\sin\theta = \frac{3}{5} < \frac{1}{\sqrt{2}}$, সেয়ে $\theta < \frac{\pi}{4}$ আৰু $2\theta < \frac{\pi}{2}$। এতিয়া
$$\tan 2\theta = \frac{2\tan\theta}{1 – \tan^2\theta} = \frac{2 \cdot \frac{3}{4}}{1 – \frac{9}{16}} = \frac{\frac{3}{2}}{\frac{7}{16}} = \frac{24}{7}$$
যিহেতু $2\theta \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$, গতিকে $2\theta = \tan^{-1}\frac{24}{7}$, অৰ্থাৎ $2\sin^{-1}\frac{3}{5} = \tan^{-1}\frac{24}{7}$।
4. $\sin^{-1}\frac{8}{17} + \sin^{-1}\frac{3}{5} = \tan^{-1}\frac{77}{36}$
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল $A = \sin^{-1}\frac{8}{17}$, তেন্তে $\sin A = \frac{8}{17}$, $\cos A = \frac{15}{17}$, $\tan A = \frac{8}{15}$। ধৰা হ’ল $B = \sin^{-1}\frac{3}{5}$, তেন্তে $\tan B = \frac{3}{4}$। এতিয়া
$$\tan(A + B) = \frac{\frac{8}{15} + \frac{3}{4}}{1 – \frac{8}{15} \cdot \frac{3}{4}} = \frac{\frac{77}{60}}{\frac{3}{5}} = \frac{77}{36}$$
$A$ আৰু $B$ দুয়োটা $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ ত থকাত আৰু $A + B < \frac{\pi}{2}$ হোৱাত $A + B = \tan^{-1}\frac{77}{36}$, অৰ্থাৎ $\sin^{-1}\frac{8}{17} + \sin^{-1}\frac{3}{5} = \tan^{-1}\frac{77}{36}$।
5. $\cos^{-1}\frac{4}{5} + \cos^{-1}\frac{12}{13} = \cos^{-1}\frac{33}{65}$
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল $A = \cos^{-1}\frac{4}{5}$, তেন্তে $\cos A = \frac{4}{5}$, $\sin A = \frac{3}{5}$। ধৰা হ’ল $B = \cos^{-1}\frac{12}{13}$, তেন্তে $\cos B = \frac{12}{13}$, $\sin B = \frac{5}{13}$। এতিয়া
$$\cos(A + B) = \cos A \cos B – \sin A \sin B = \frac{4}{5} \cdot \frac{12}{13} – \frac{3}{5} \cdot \frac{5}{13} = \frac{48 – 15}{65} = \frac{33}{65}$$
$A, B \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ হোৱাত $A + B \in (0, \pi)$, গতিকে $A + B = \cos^{-1}\frac{33}{65}$, অৰ্থাৎ $\cos^{-1}\frac{4}{5} + \cos^{-1}\frac{12}{13} = \cos^{-1}\frac{33}{65}$।
6. $\cos^{-1}\frac{12}{13} + \sin^{-1}\frac{3}{5} = \sin^{-1}\frac{56}{65}$
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল $A = \cos^{-1}\frac{12}{13}$, তেন্তে $\cos A = \frac{12}{13}$, $\sin A = \frac{5}{13}$। ধৰা হ’ল $B = \sin^{-1}\frac{3}{5}$, তেন্তে $\sin B = \frac{3}{5}$, $\cos B = \frac{4}{5}$। এতিয়া
$$\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B = \frac{5}{13} \cdot \frac{4}{5} + \frac{12}{13} \cdot \frac{3}{5} = \frac{20 + 36}{65} = \frac{56}{65}$$
$A + B \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ হোৱাত $A + B = \sin^{-1}\frac{56}{65}$, অৰ্থাৎ $\cos^{-1}\frac{12}{13} + \sin^{-1}\frac{3}{5} = \sin^{-1}\frac{56}{65}$।
7. $\tan^{-1}\frac{63}{16} = \sin^{-1}\frac{5}{13} + \cos^{-1}\frac{3}{5}$
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল $A = \sin^{-1}\frac{5}{13}$, তেন্তে $\sin A = \frac{5}{13}$, $\cos A = \frac{12}{13}$, $\tan A = \frac{5}{12}$। ধৰা হ’ল $B = \cos^{-1}\frac{3}{5}$, তেন্তে $\cos B = \frac{3}{5}$, $\sin B = \frac{4}{5}$, $\tan B = \frac{4}{3}$। এতিয়া
$$\tan(A + B) = \frac{\frac{5}{12} + \frac{4}{3}}{1 – \frac{5}{12} \cdot \frac{4}{3}} = \frac{\frac{21}{12}}{\frac{4}{9}} = \frac{7}{4} \cdot \frac{9}{4} = \frac{63}{16}$$
$A + B \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ হোৱাত $A + B = \tan^{-1}\frac{63}{16}$, অৰ্থাৎ $\sin^{-1}\frac{5}{13} + \cos^{-1}\frac{3}{5} = \tan^{-1}\frac{63}{16}$।
প্ৰমাণ কৰা যে —
8. $\tan^{-1}\sqrt{x} = \frac{1}{2}\cos^{-1}\left(\frac{1 – x}{1 + x}\right)$, $x \in [0, 1]$
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল $\sqrt{x} = \tan\theta$, তেন্তে $x = \tan^2\theta$ আৰু $\theta = \tan^{-1}\sqrt{x}$। $x \in [0, 1]$ হ’লে $\theta \in \left[0, \frac{\pi}{4}\right]$। এতিয়া
$$\frac{1 – x}{1 + x} = \frac{1 – \tan^2\theta}{1 + \tan^2\theta} = \cos 2\theta$$
যিহেতু $2\theta \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right] \subset [0, \pi]$, সেয়ে $\cos^{-1}\left(\frac{1 – x}{1 + x}\right) = 2\theta$। গতিকে $\frac{1}{2}\cos^{-1}\left(\frac{1 – x}{1 + x}\right) = \theta = \tan^{-1}\sqrt{x}$।
9. $\cot^{-1}\left(\dfrac{\sqrt{1 + \sin x} + \sqrt{1 – \sin x}}{\sqrt{1 + \sin x} – \sqrt{1 – \sin x}}\right) = \frac{x}{2}$, $x \in \left(0, \frac{\pi}{4}\right)$
উত্তৰঃ $1 \pm \sin x = \left(\cos\frac{x}{2} \pm \sin\frac{x}{2}\right)^2$ ব্যৱহাৰ কৰোঁ। $x \in \left(0, \frac{\pi}{4}\right)$ হ’লে $\frac{x}{2} \in \left(0, \frac{\pi}{8}\right)$, গতিকে $\cos\frac{x}{2} > \sin\frac{x}{2} > 0$, সেয়ে $\sqrt{1 + \sin x} = \cos\frac{x}{2} + \sin\frac{x}{2}$ আৰু $\sqrt{1 – \sin x} = \cos\frac{x}{2} – \sin\frac{x}{2}$। গতিকে
$$\frac{\sqrt{1 + \sin x} + \sqrt{1 – \sin x}}{\sqrt{1 + \sin x} – \sqrt{1 – \sin x}} = \frac{2\cos\frac{x}{2}}{2\sin\frac{x}{2}} = \cot\frac{x}{2}$$
সেয়েহে বাওঁফাল $= \cot^{-1}\left(\cot\frac{x}{2}\right) = \frac{x}{2}$ (প্ৰমাণিত)।
10. $\tan^{-1}\left(\dfrac{\sqrt{1 + x} – \sqrt{1 – x}}{\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 – x}}\right) = \frac{\pi}{4} – \frac{1}{2}\cos^{-1} x$, $-\frac{1}{\sqrt{2}} \le x \le 1$ [ইংগিত: $x = \cos 2\theta$ বুলি ধৰা]
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল $x = \cos 2\theta$, তেন্তে $2\theta = \cos^{-1} x$ আৰু $\theta = \frac{1}{2}\cos^{-1} x$। এতিয়া $1 + x = 2\cos^2\theta$ আৰু $1 – x = 2\sin^2\theta$, গতিকে $\sqrt{1 + x} = \sqrt{2}\cos\theta$ আৰু $\sqrt{1 – x} = \sqrt{2}\sin\theta$। সেয়ে
$$\frac{\sqrt{1 + x} – \sqrt{1 – x}}{\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 – x}} = \frac{\cos\theta – \sin\theta}{\cos\theta + \sin\theta} = \frac{1 – \tan\theta}{1 + \tan\theta} = \tan\left(\frac{\pi}{4} – \theta\right)$$
সেয়েহে বাওঁফাল $= \tan^{-1}\left(\tan\left(\frac{\pi}{4} – \theta\right)\right) = \frac{\pi}{4} – \theta = \frac{\pi}{4} – \frac{1}{2}\cos^{-1} x$ (প্ৰমাণিত)।
তলৰ সমীকৰণবোৰ সমাধান কৰা।
11. $2\tan^{-1}(\cos x) = \tan^{-1}(2\operatorname{cosec} x)$
উত্তৰঃ বাওঁফালত $2\tan^{-1}(\cos x) = \tan^{-1}\dfrac{2\cos x}{1 – \cos^2 x} = \tan^{-1}\dfrac{2\cos x}{\sin^2 x}$। সোঁফালত $\tan^{-1}(2\operatorname{cosec} x) = \tan^{-1}\dfrac{2}{\sin x}$। গতিকে
$$\frac{2\cos x}{\sin^2 x} = \frac{2}{\sin x} \implies \frac{\cos x}{\sin x} = 1 \implies \tan x = 1$$
সেয়েহে $x = \frac{\pi}{4}$।
12. $\tan^{-1}\dfrac{1 – x}{1 + x} = \frac{1}{2}\tan^{-1} x$, $(x > 0)$
উত্তৰঃ $\tan^{-1}\dfrac{1 – x}{1 + x} = \tan^{-1} 1 – \tan^{-1} x = \frac{\pi}{4} – \tan^{-1} x$ ব্যৱহাৰ কৰি সমীকৰণটো হয়
$$\frac{\pi}{4} – \tan^{-1} x = \frac{1}{2}\tan^{-1} x \implies \frac{\pi}{4} = \frac{3}{2}\tan^{-1} x \implies \tan^{-1} x = \frac{\pi}{6}$$
সেয়েহে $x = \tan\frac{\pi}{6} = \frac{1}{\sqrt{3}}$।
13. $\sin(\tan^{-1} x)$, $|x| < 1$ ৰ সমান
(A) $\frac{x}{\sqrt{1 – x^2}}$ (B) $\frac{1}{\sqrt{1 – x^2}}$ (C) $\frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}$ (D) $\frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}$
উত্তৰঃ শুদ্ধ উত্তৰ (D) $\dfrac{x}{\sqrt{1 + x^2}}$। ধৰা হ’ল $\theta = \tan^{-1} x$, তেন্তে $\tan\theta = x$। এটা সমকোণী ত্ৰিভুজত অতিভুজ $= \sqrt{1 + x^2}$, গতিকে $\sin\theta = \dfrac{x}{\sqrt{1 + x^2}}$।
14. $\sin^{-1}(1 – x) – 2\sin^{-1} x = \frac{\pi}{2}$, তেনেহ’লে $x$ ৰ মান
(A) $0, \frac{1}{2}$ (B) $1, \frac{1}{2}$ (C) $0$ (D) $\frac{1}{2}$
উত্তৰঃ শুদ্ধ উত্তৰ (C) $0$। সমীকৰণটোৰ পৰা $\sin^{-1}(1 – x) = \frac{\pi}{2} + 2\sin^{-1} x$। দুয়োফালৰ $\sin$ ল’লে $1 – x = \sin\left(\frac{\pi}{2} + 2\sin^{-1} x\right) = \cos(2\sin^{-1} x) = 1 – 2x^2$। গতিকে $1 – x = 1 – 2x^2$, অৰ্থাৎ $2x^2 – x = 0$, সেয়ে $x(2x – 1) = 0$, য’ৰ পৰা $x = 0$ বা $x = \frac{1}{2}$। এতিয়া $x = \frac{1}{2}$ ৰাখিলে বাওঁফাল $= \sin^{-1}\frac{1}{2} – 2\sin^{-1}\frac{1}{2} = \frac{\pi}{6} – \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{6} \ne \frac{\pi}{2}$, গতিকে ই গ্ৰহণযোগ্য নহয়। $x = 0$ ৰাখিলে বাওঁফাল $= \sin^{-1} 1 – 0 = \frac{\pi}{2}$, যি শুদ্ধ। সেয়েহে $x = 0$।
অতিৰিক্ত প্ৰশ্ন আৰু উত্তৰ
বহুবিকল্পযুক্ত প্ৰশ্ন (MCQ)
1. $\sin^{-1}\frac{1}{2} + \cos^{-1}\frac{1}{2}$ ৰ মান —
(A) $\pi$ (B) $\frac{\pi}{2}$ (C) $\frac{\pi}{3}$ (D) $\frac{\pi}{6}$
উত্তৰঃ (B) $\frac{\pi}{2}$। যিকোনো $x \in [-1, 1]$ ৰ বাবে $\sin^{-1} x + \cos^{-1} x = \frac{\pi}{2}$।
2. $\tan^{-1} 1 + \tan^{-1} 2 + \tan^{-1} 3$ ৰ মান —
(A) $\frac{\pi}{2}$ (B) $\pi$ (C) $0$ (D) $\frac{3\pi}{4}$
উত্তৰঃ (B) $\pi$। $\tan^{-1} 1 = \frac{\pi}{4}$ আৰু $\tan^{-1} 2 + \tan^{-1} 3 = \pi + \tan^{-1}\frac{2 + 3}{1 – 6} = \pi – \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$; যোগফল $\frac{\pi}{4} + \frac{3\pi}{4} = \pi$।
3. $\cos^{-1}\left(\cos\frac{2\pi}{3}\right)$ ৰ মান —
(A) $\frac{\pi}{3}$ (B) $\frac{2\pi}{3}$ (C) $-\frac{2\pi}{3}$ (D) $\frac{4\pi}{3}$
উত্তৰঃ (B) $\frac{2\pi}{3}$। যিহেতু $\frac{2\pi}{3} \in [0, \pi]$, গতিকে $\cos^{-1}\left(\cos\frac{2\pi}{3}\right) = \frac{2\pi}{3}$।
4. $\sec^{-1} x$ ফলনৰ আদিক্ষেত্ৰ —
(A) $[-1, 1]$ (B) $\mathbb{R}$ (C) $\mathbb{R} – (-1, 1)$ (D) $(-1, 1)$
উত্তৰঃ (C) $\mathbb{R} – (-1, 1)$। $\sec^{-1}$ কেৱল $|x| \ge 1$ ৰ বাবে সংজ্ঞাবদ্ধ।
5. $\sin^{-1}\left(\sin\frac{5\pi}{6}\right)$ ৰ মান —
(A) $\frac{5\pi}{6}$ (B) $\frac{\pi}{6}$ (C) $\frac{\pi}{3}$ (D) $-\frac{\pi}{6}$
উত্তৰঃ (B) $\frac{\pi}{6}$। $\sin\frac{5\pi}{6} = \sin\frac{\pi}{6}$ আৰু $\frac{\pi}{6} \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$।
6. $\tan^{-1}\sqrt{3} + \cot^{-1}\sqrt{3}$ ৰ মান —
(A) $\frac{\pi}{2}$ (B) $\frac{\pi}{3}$ (C) $\frac{2\pi}{3}$ (D) $\pi$
উত্তৰঃ (A) $\frac{\pi}{2}$। যিকোনো $x$ ৰ বাবে $\tan^{-1} x + \cot^{-1} x = \frac{\pi}{2}$।
7. $2\cos^{-1} x = \cos^{-1}(2x^2 – 1)$ কোন অন্তৰালত সত্য?
(A) $[-1, 1]$ (B) $[0, 1]$ (C) $[-1, 0]$ (D) $\mathbb{R}$
উত্তৰঃ (B) $[0, 1]$। $x = \cos\theta$ ($\theta \in [0, \pi]$) ল’লে $2\theta \in [0, \pi]$ হ’বলৈ $\theta \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ লাগে, অৰ্থাৎ $x \in [0, 1]$।
8. $\cos^{-1}\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ ৰ মুখ্য মান —
(A) $\frac{\pi}{6}$ (B) $\frac{5\pi}{6}$ (C) $\frac{7\pi}{6}$ (D) $-\frac{\pi}{6}$
উত্তৰঃ (B) $\frac{5\pi}{6}$। $\cos\frac{5\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ আৰু $\frac{5\pi}{6} \in [0, \pi]$।
খালী ঠাই পূৰ কৰা
1. $x \in [-1, 1]$ ৰ বাবে $\sin^{-1} x + \cos^{-1} x = $ ______।
উত্তৰঃ $\frac{\pi}{2}$।
2. $\tan^{-1} x$ ৰ মুখ্য মান শাখা হ’ল ______।
উত্তৰঃ $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$।
3. $\sin^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = $ ______।
উত্তৰঃ $\frac{\pi}{4}$।
4. $(\sin x)^{-1} = $ ______।
উত্তৰঃ $\frac{1}{\sin x} = \operatorname{cosec} x$।
5. $x \in [-1, 1]$ ৰ বাবে $\cos^{-1}(-x) = $ ______।
উত্তৰঃ $\pi – \cos^{-1} x$।
শুদ্ধ নে অশুদ্ধ লিখা
1. $\sin^{-1} x$ আৰু $(\sin x)^{-1}$ একে।
উত্তৰঃ অশুদ্ধ। $(\sin x)^{-1} = \frac{1}{\sin x}$, কিন্তু $\sin^{-1} x$ হ’ল প্ৰতিলোম ছাইন ফলন।
2. $\cos^{-1}$ ৰ মুখ্য মান শাখা $[0, \pi]$।
উত্তৰঃ শুদ্ধ।
3. $\tan^{-1}\left(\tan\frac{3\pi}{4}\right) = \frac{3\pi}{4}$।
উত্তৰঃ অশুদ্ধ। $\frac{3\pi}{4} \notin \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$; শুদ্ধ মান $-\frac{\pi}{4}$।
4. সকলো বাস্তৱ সংখ্যা $x$ ৰ বাবে $\sin^{-1}(\sin x) = x$।
উত্তৰঃ অশুদ্ধ। ই কেৱল $x \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ ৰ বাবেহে সত্য।
5. $\operatorname{cosec}^{-1} x$ ৰ আদিক্ষেত্ৰ $\mathbb{R} – (-1, 1)$।
উত্তৰঃ শুদ্ধ।
চমু উত্তৰৰ প্ৰশ্ন
1. $\tan^{-1}\sqrt{3} + \sec^{-1}(-2)$ ৰ মান উলিওৱা।
উত্তৰঃ $\tan^{-1}\sqrt{3} = \frac{\pi}{3}$ আৰু $\sec^{-1}(-2) = \frac{2\pi}{3}$। গতিকে যোগফল $= \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi}{3} = \pi$।
2. $\cos^{-1}\left(\cos\frac{5\pi}{3}\right)$ ৰ মান উলিওৱা।
উত্তৰঃ $\cos\frac{5\pi}{3} = \cos\left(2\pi – \frac{5\pi}{3}\right) = \cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$ আৰু $\frac{\pi}{3} \in [0, \pi]$। গতিকে $\cos^{-1}\left(\cos\frac{5\pi}{3}\right) = \frac{\pi}{3}$।
3. প্ৰমাণ কৰা যে $\sin^{-1}\frac{3}{5} + \sin^{-1}\frac{4}{5} = \frac{\pi}{2}$।
উত্তৰঃ $A = \sin^{-1}\frac{3}{5}$ আৰু $B = \sin^{-1}\frac{4}{5}$ ধৰিলে $\sin A = \frac{3}{5}$, $\cos A = \frac{4}{5}$, $\sin B = \frac{4}{5}$, $\cos B = \frac{3}{5}$। গতিকে $\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B = \frac{9}{25} + \frac{16}{25} = 1$। যিহেতু $A + B \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right]$, সেয়ে $A + B = \frac{\pi}{2}$।
4. $\tan^{-1}\frac{1}{2} + \tan^{-1}\frac{1}{3}$ ৰ মান উলিওৱা।
উত্তৰঃ $\tan^{-1}\frac{1}{2} + \tan^{-1}\frac{1}{3} = \tan^{-1}\dfrac{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}}{1 – \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}} = \tan^{-1}\dfrac{\frac{5}{6}}{\frac{5}{6}} = \tan^{-1} 1 = \frac{\pi}{4}$।
শব্দাৰ্থ
| অসমীয়া শব্দ | English term | অৰ্থ |
|---|---|---|
| প্ৰতিলোম ত্ৰিকোণমিতীয় ফলন | Inverse trigonometric function | সীমাবদ্ধ ত্ৰিকোণমিতীয় ফলনৰ প্ৰতিলোম, যেনে $\sin^{-1} x$, $\cos^{-1} x$ |
| আদিক্ষেত্ৰ | Domain | ফলনটো সংজ্ঞাবদ্ধ হোৱা ইনপুট মানৰ সংহতি |
| পৰিসৰ | Range | ফলনটোৱে ল’ব পৰা আউটপুট মানৰ সংহতি |
| মুখ্য মান শাখা | Principal value branch | প্ৰতিলোম ফলনৰ পৰিসৰ হিচাপে লোৱা নিৰ্দিষ্ট অন্তৰাল |
| মুখ্য মান | Principal value | মুখ্য মান শাখাত থকা প্ৰতিলোম ফলনৰ মান |
| একৈকী | One-one / Injective | ভিন্ন মৌলৰ প্ৰতিচ্ছায়া ভিন্ন থকা ফলন |
| আচ্ছাদক | Onto / Surjective | সহক্ষেত্ৰৰ প্ৰতিটো মৌল কোনো এটাৰ প্ৰতিচ্ছায়া থকা ফলন |
| প্ৰতিলোমনীয় ফলন | Invertible function | একৈকী আৰু আচ্ছাদক হোৱা বাবে প্ৰতিলোম থকা ফলন |
| অন্তৰাল | Interval | দুটা প্ৰান্তৰ মাজত থকা বাস্তৱ সংখ্যাৰ সংহতি, যেনে $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ |
| ছাইন ফলন | Sine function | $\sin : \mathbb{R} \to [-1, 1]$ ৰে সংজ্ঞাবদ্ধ ত্ৰিকোণমিতীয় ফলন |
| সহজতম আকাৰ | Simplest form | প্ৰতিলোম ত্ৰিকোণমিতীয় ৰাশিক আটাইতকৈ সৰল ৰূপত প্ৰকাশ কৰা |