সম্ভাৱিতা — প্ৰশ্ন উত্তৰ
HSLC Guru-লৈ আপোনাক স্বাগতম। এই পাঠত ASSEB Class 12 গণিতৰ (Mathematics) ত্ৰয়োদশ অধ্যায় সম্ভাৱিতা (Probability)ৰ অনুশীলনী 13.1, 13.2, 13.3 আৰু অধ্যায়টোৰ ওপৰত থকা সানমিহলি অনুশীলনীৰ প্ৰতিটো প্ৰশ্নৰ সম্পূৰ্ণ লৈখিক সমাধান পৰ্যায়ক্ৰমে দিয়া হৈছে। চৰ্তাধীন সম্ভাৱিতা, পূৰণ বিধি, স্বতন্ত্ৰ ঘটনা, মুঠ সম্ভাৱিতাৰ উপপাদ্য আৰু বেইজৰ উপপাদ্যৰ প্ৰয়োগ প্ৰতিটো উত্তৰতে বহলাই দেখুওৱা হৈছে।
সাৰাংশ
চৰ্তাধীন সম্ভাৱিতা (Conditional Probability) হ’ল কোনো এটা ঘটনা $F$ ঘটিছে বুলি জনাৰ পিছত আন এটা ঘটনা $E$ ঘটাৰ সম্ভাৱিতা, যাক $P(E \mid F)$ ৰে সূচোৱা হয় আৰু ইয়াক $P(E \mid F) = \dfrac{P(E \cap F)}{P(F)}$, $P(F) \neq 0$ সূত্ৰেৰে নিৰ্ণয় কৰা হয়। ইয়াৰ ধৰ্মসমূহ হ’ল $0 \leq P(E \mid F) \leq 1$, $P(E^{\prime} \mid F) = 1 – P(E \mid F)$ আৰু $P((E \cup F) \mid G) = P(E \mid G) + P(F \mid G) – P((E \cap F) \mid G)$।
পূৰণ বিধি (Multiplication Rule) অনুসৰি $P(E \cap F) = P(E)\,P(F \mid E) = P(F)\,P(E \mid F)$। দুটা ঘটনা $E$ আৰু $F$ ক স্বতন্ত্ৰ (Independent) বোলা হয় যদি এটাৰ সংঘটনে আনটোৰ সম্ভাৱিতা প্ৰভাৱিত নকৰে, অৰ্থাৎ $P(E \cap F) = P(E)\,P(F)$। স্বতন্ত্ৰ ঘটনাৰ ক্ষেত্ৰত $P(E \mid F) = P(E)$ আৰু $P(F \mid E) = P(F)$ হয়। পৰস্পৰ বিবৰ্জিত (mutually exclusive) আৰু স্বতন্ত্ৰ ধাৰণা দুটা সমান নহয়।
নিদৰ্শ স্থান $S$ ৰ পৰস্পৰ বিবৰ্জিত আৰু নিঃশেষী ঘটনা $E_1, E_2, \dots, E_n$ ৰ সংহতিক $S$ ৰ এটা বিভাজন (Partition) বোলা হয়। মুঠ সম্ভাৱিতাৰ উপপাদ্য মতে যিকোনো ঘটনা $A$ ৰ বাবে $P(A) = \sum_{j=1}^{n} P(E_j)\,P(A \mid E_j)$। ইয়াৰ ওপৰত ভিত্তি কৰি বেইজৰ উপপাদ্যই (Bayes’ Theorem) বিপৰীত সম্ভাৱিতা $P(E_i \mid A) = \dfrac{P(E_i)\,P(A \mid E_i)}{\sum_{j=1}^{n} P(E_j)\,P(A \mid E_j)}$ নিৰ্ণয় কৰিবলৈ সহায় কৰে।
Summary: This lesson provides complete step-by-step solutions to every question of Exercises 13.1, 13.2, 13.3 and the Miscellaneous Exercise of ASSEB Class 12 Mathematics Chapter 13, Probability. It covers conditional probability, the multiplication rule, independent events, the theorem of total probability and Bayes’ theorem, with each numerical answer fully worked out for Assam Board (ASSEB) Class 12 students.
পাঠ্যপুথিৰ প্ৰশ্ন আৰু উত্তৰ
অনুশীলনী 13.1
1. দুটা ঘটনা $E$ আৰু $F$ এনেভাৱে দিয়া আছে যে $P(E) = 0.6$, $P(F) = 0.3$ আৰু $P(E \cap F) = 0.2$; $P(E \mid F)$ আৰু $P(F \mid E)$ উলিওৱা।
উত্তৰঃ চৰ্তাধীন সম্ভাৱিতাৰ সংজ্ঞা অনুসৰি $P(E \mid F) = \dfrac{P(E \cap F)}{P(F)} = \dfrac{0.2}{0.3} = \dfrac{2}{3}$ আৰু $P(F \mid E) = \dfrac{P(E \cap F)}{P(E)} = \dfrac{0.2}{0.6} = \dfrac{1}{3}$।
2. $P(A \mid B)$ নিৰ্ণয় কৰা যদি $P(B) = 0.5$ আৰু $P(A \cap B) = 0.32$।
উত্তৰঃ $P(A \mid B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)} = \dfrac{0.32}{0.5} = 0.64 = \dfrac{16}{25}$।
3. যদি $P(A) = 0.8$, $P(B) = 0.5$ আৰু $P(B \mid A) = 0.4$ তেন্তে মান উলিওৱা — (i) $P(A \cap B)$ (ii) $P(A \mid B)$ (iii) $P(A \cup B)$।
উত্তৰঃ (i) পূৰণ বিধিৰ পৰা $P(A \cap B) = P(A)\,P(B \mid A) = 0.8 \times 0.4 = 0.32$।
(ii) $P(A \mid B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)} = \dfrac{0.32}{0.5} = 0.64$।
(iii) $P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B) = 0.8 + 0.5 – 0.32 = 0.98$।
4. $P(A \cup B)$ ৰ মান উলিওৱা, যদি $2P(A) = P(B) = \dfrac{5}{13}$ আৰু $P(A \mid B) = \dfrac{2}{5}$।
উত্তৰঃ দিয়া আছে $P(B) = \dfrac{5}{13}$ আৰু $2P(A) = \dfrac{5}{13}$, গতিকে $P(A) = \dfrac{5}{26}$। এতিয়া $P(A \cap B) = P(A \mid B)\,P(B) = \dfrac{2}{5} \times \dfrac{5}{13} = \dfrac{2}{13}$। সেয়েহে $P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B) = \dfrac{5}{26} + \dfrac{5}{13} – \dfrac{2}{13} = \dfrac{5}{26} + \dfrac{10}{26} – \dfrac{4}{26} = \dfrac{11}{26}$।
5. যদি $P(A) = \dfrac{6}{11}$, $P(B) = \dfrac{5}{11}$ আৰু $P(A \cup B) = \dfrac{7}{11}$ তেন্তে মান উলিওৱা — (i) $P(A \cap B)$ (ii) $P(A \mid B)$ (iii) $P(B \mid A)$।
উত্তৰঃ (i) $P(A \cap B) = P(A) + P(B) – P(A \cup B) = \dfrac{6}{11} + \dfrac{5}{11} – \dfrac{7}{11} = \dfrac{4}{11}$।
(ii) $P(A \mid B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)} = \dfrac{4/11}{5/11} = \dfrac{4}{5}$।
(iii) $P(B \mid A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)} = \dfrac{4/11}{6/11} = \dfrac{2}{3}$।
পৰৱৰ্তী প্ৰশ্ন 6 ৰপৰা 9 লৈ $P(E \mid F)$ ৰ মান উলিওৱা।
6. এটা মুদ্ৰা তিনিবাৰ টছ কৰা হ’ল, য’ত (i) $E$ : তৃতীয় টছত মুণ্ড, $F$ : প্ৰথম দুটা টছত মুণ্ড; (ii) $E$ : অতি কমেও দুটা মুণ্ড পোৱা ঘটনা, $F$ : অতি বেছি দুটা মুণ্ড পোৱা ঘটনা; (iii) $E$ : অতি বেছি দুটা পুচ্ছ পোৱা ঘটনা, $F$ : অতি কমেও এটা পুচ্ছ পোৱা ঘটনা।
উত্তৰঃ মুদ্ৰা তিনিবাৰ টছ কৰিলে নিদৰ্শ স্থান $S = \{HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT\}$, য’ত $H$ = মুণ্ড, $T$ = পুচ্ছ; প্ৰতিটো ফলাফলৰ সম্ভাৱিতা $\dfrac{1}{8}$।
(i) $E = \{HHH, HTH, THH, TTH\}$, $F = \{HHH, HHT\}$, $E \cap F = \{HHH\}$। গতিকে $P(E \mid F) = \dfrac{P(E \cap F)}{P(F)} = \dfrac{1/8}{2/8} = \dfrac{1}{2}$।
(ii) $E$ (অতি কমেও দুটা মুণ্ড) $= \{HHH, HHT, HTH, THH\}$, $F$ (অতি বেছি দুটা মুণ্ড, অৰ্থাৎ তিনিটা মুণ্ড বাদ) $= \{HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT\}$; $E \cap F = \{HHT, HTH, THH\}$। গতিকে $P(E \mid F) = \dfrac{3/8}{7/8} = \dfrac{3}{7}$।
(iii) $E$ (অতি বেছি দুটা পুচ্ছ, অৰ্থাৎ তিনিটা পুচ্ছ বাদ) $= \{HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH\}$, $F$ (অতি কমেও এটা পুচ্ছ) $= \{HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT\}$; $E \cap F$ = এটা বা দুটা পুচ্ছ থকা ফলাফলবোৰ $= \{HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH\}$ (6 টা)। গতিকে $P(E \mid F) = \dfrac{6/8}{7/8} = \dfrac{6}{7}$।
7. দুটা মুদ্ৰা এবাৰ টছ কৰা হ’ল, য’ত (i) $E$ : এটা মুদ্ৰাত পুচ্ছপ্ৰাপ্ত হোৱা ঘটনা, $F$ : এটা মুদ্ৰাত মুণ্ড প্ৰাপ্ত হোৱা ঘটনা; (ii) $E$ : পুচ্ছ প্ৰাপ্ত নোহোৱা ঘটনা, $F$ : মুণ্ড প্ৰাপ্ত নোহোৱা ঘটনা।
উত্তৰঃ নিদৰ্শ স্থান $S = \{HH, HT, TH, TT\}$।
(i) এটা মুদ্ৰাত পুচ্ছ (ঠিক এটা পুচ্ছ) $E = \{HT, TH\}$; এটা মুদ্ৰাত মুণ্ড (ঠিক এটা মুণ্ড) $F = \{HT, TH\}$; $E \cap F = \{HT, TH\}$। গতিকে $P(E \mid F) = \dfrac{2/4}{2/4} = 1$।
(ii) পুচ্ছ প্ৰাপ্ত নোহোৱা $E = \{HH\}$; মুণ্ড প্ৰাপ্ত নোহোৱা $F = \{TT\}$; $E \cap F = \phi$। গতিকে $P(E \mid F) = \dfrac{0}{1/4} = 0$।
8. এটা পাশি তিনিবাৰ দলিয়াই চোৱা হ’ল। $E$ : তৃতীয় দলিত 4 পোৱা ঘটনা, $F$ : প্ৰথম দুটা দলিত যথাক্ৰমে 6 আৰু 5 পোৱা ঘটনা।
উত্তৰঃ পাশি তিনিবাৰ দলিয়ালে মুঠ $6^3 = 216$ টা ফলাফল। $F = \{(6,5,1), (6,5,2), (6,5,3), (6,5,4), (6,5,5), (6,5,6)\}$, গতিকে $P(F) = \dfrac{6}{216}$। $E \cap F = \{(6,5,4)\}$, গতিকে $P(E \cap F) = \dfrac{1}{216}$। সেয়েহে $P(E \mid F) = \dfrac{1/216}{6/216} = \dfrac{1}{6}$।
9. এখন পাৰিবাৰিক ফটোৰ বাবে মাক, দেউতাক আৰু পুতেকে যাদৃচ্ছিকভাৱে শাৰী পাতিলে। $E$ : এমূৰত পুতেক থকা ঘটনা, $F$ : দেউতাক মাজত থকা ঘটনা।
উত্তৰঃ তিনিজন মানুহ শাৰীত থিয় হ’লে মুঠ $3! = 6$ টা সজ্জা। দেউতাক ($D$) মাজত থাকিলে সজ্জা দুটা — $(M, D, S)$ আৰু $(S, D, M)$, গতিকে $P(F) = \dfrac{2}{6}$। এই দুয়োটাতে পুতেক ($S$) এটা মূৰত আছে, গতিকে $E \cap F$ ৰো দুটা ফলাফল আৰু $P(E \cap F) = \dfrac{2}{6}$। সেয়েহে $P(E \mid F) = \dfrac{2/6}{2/6} = 1$।
10. এটা ক’লা আৰু এটা ৰঙা পাশি দলিয়াই চোৱা হ’ল। (a) ক’লা পাশিত 5 প্ৰাপ্ত হোৱা চৰ্ত সাপেক্ষে 9 তকৈ বেছি যোগফল প্ৰাপ্ত হোৱা ঘটনাৰ চৰ্তাধীন সম্ভাৱিতা নিৰ্ণয় কৰা। (b) ৰঙা পাশিত 4 তকৈ সৰু সংখ্যা প্ৰাপ্ত হোৱা চৰ্তসাপেক্ষে মুঠ যোগফল 8 পোৱা ঘটনাৰ চৰ্তাধীন সম্ভাৱিতা নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ (a) ধৰক $A$ = যোগফল $9$ তকৈ বেছি, $B$ = ক’লা পাশিত $5$। $B = \{(5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6)\}$ য’ত প্ৰথম সংখ্যাটো ক’লা পাশিৰ, গতিকে $n(B) = 6$। ইয়াৰ ভিতৰত যোগফল $9$ তকৈ বেছি হয় $(5,5)$ আৰু $(5,6)$ ত, গতিকে $n(A \cap B) = 2$। সেয়েহে $P(A \mid B) = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$।
(b) ধৰক $A$ = মুঠ যোগফল $8$, $B$ = ৰঙা পাশিত $4$ তকৈ সৰু সংখ্যা (অৰ্থাৎ $1, 2, 3$)। ৰঙা পাশিত $1, 2$ বা $3$ থকা ফলাফল $6 \times 3 = 18$ টা, গতিকে $n(B) = 18$। যোগফল $8$ আৰু ৰঙা পাশি $< 4$ হ’ব লাগে — $(6,2)$ আৰু $(5,3)$ (দ্বিতীয় সংখ্যাটো ৰঙা পাশিৰ), গতিকে $n(A \cap B) = 2$। সেয়েহে $P(A \mid B) = \dfrac{2}{18} = \dfrac{1}{9}$।
11. এটি নিখুঁত পাশি দলিয়াই চোৱা হ’ল। $E = \{1, 3, 5\}$, $F = \{2, 3\}$ আৰু $G = \{2, 3, 4, 5\}$ ঘটনাসমূহৰ ক্ষেত্ৰত নিৰ্ণয় কৰা — (i) $P(E \mid F)$ আৰু $P(F \mid E)$ (ii) $P(E \mid G)$ আৰু $P(G \mid E)$ (iii) $P((E \cup F) \mid G)$ আৰু $P((E \cap F) \mid G)$।
উত্তৰঃ এটা পাশিৰ নিদৰ্শ স্থান $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$; প্ৰতিটো ফলাফলৰ সম্ভাৱিতা $\dfrac{1}{6}$। $P(E) = \dfrac{3}{6}$, $P(F) = \dfrac{2}{6}$, $P(G) = \dfrac{4}{6}$।
(i) $E \cap F = \{3\}$, $P(E \cap F) = \dfrac{1}{6}$। $P(E \mid F) = \dfrac{1/6}{2/6} = \dfrac{1}{2}$, $P(F \mid E) = \dfrac{1/6}{3/6} = \dfrac{1}{3}$।
(ii) $E \cap G = \{3, 5\}$, $P(E \cap G) = \dfrac{2}{6}$। $P(E \mid G) = \dfrac{2/6}{4/6} = \dfrac{1}{2}$, $P(G \mid E) = \dfrac{2/6}{3/6} = \dfrac{2}{3}$।
(iii) $E \cup F = \{1, 2, 3, 5\}$, $(E \cup F) \cap G = \{2, 3, 5\}$, গতিকে $P((E \cup F) \cap G) = \dfrac{3}{6}$ আৰু $P((E \cup F) \mid G) = \dfrac{3/6}{4/6} = \dfrac{3}{4}$। $E \cap F = \{3\}$, $(E \cap F) \cap G = \{3\}$, গতিকে $P((E \cap F) \mid G) = \dfrac{1/6}{4/6} = \dfrac{1}{4}$।
12. প্ৰতিটো শিশুৰেই ল’ৰা বা ছোৱালী জন্ম লাভ কৰা ঘটনাটো সমসম্ভাব্য বুলি ধৰা হওক। যদি এটা পৰিয়ালৰ দুটি শিশু থাকে তেন্তে দুয়োটি শিশুৱে ছোৱালী হোৱাৰ চৰ্তাধীন সম্ভাৱিতা কিমান যদি দিয়া থাকে যে (i) কনিষ্ঠতম শিশুটো ছোৱালী হয়; (ii) কমেও এটি শিশু ছোৱালী হয়।
উত্তৰঃ (ডাঙৰ, সৰু) ক্ৰমত নিদৰ্শ স্থান $S = \{(b,b), (b,g), (g,b), (g,g)\}$, য’ত $b$ = ল’ৰা, $g$ = ছোৱালী; প্ৰতিটোৰ সম্ভাৱিতা $\dfrac{1}{4}$। দুয়োটা ছোৱালী হোৱা ঘটনা $E = \{(g,g)\}$।
(i) কনিষ্ঠতম (সৰু) শিশু ছোৱালী হোৱা ঘটনা $F = \{(b,g), (g,g)\}$, $E \cap F = \{(g,g)\}$। গতিকে $P(E \mid F) = \dfrac{1/4}{2/4} = \dfrac{1}{2}$।
(ii) কমেও এটি ছোৱালী হোৱা ঘটনা $F = \{(b,g), (g,b), (g,g)\}$, $E \cap F = \{(g,g)\}$। গতিকে $P(E \mid F) = \dfrac{1/4}{3/4} = \dfrac{1}{3}$।
13. এজন পৰীক্ষকৰ হাতত 300 টা সহজ সঁচা/মিছা ধৰণৰ, 200 টা কঠিন সঁচা/মিছা ধৰণৰ, 500 টা সহজ বহু বিকল্পযুক্ত (Multiple Choice) আৰু 400 টা কঠিন বহুবিকল্পযুক্ত প্ৰশ্নৰ এখন প্ৰশ্নকোষ (Question Bank) আছে। প্ৰশ্নকোষৰ পৰা এটা প্ৰশ্ন যাদৃচ্ছিকভাৱে বাছনি কৰিলে প্ৰশ্নটো সহজ হোৱাৰ সম্ভাৱিতা কিমান যদি ই এটা বহুবিকল্পযুক্ত প্ৰশ্ন বুলি ইতিমধ্যে জনা যায়?
উত্তৰঃ মুঠ প্ৰশ্ন $= 300 + 200 + 500 + 400 = 1400$। ধৰক $A$ = প্ৰশ্নটো সহজ, $B$ = প্ৰশ্নটো বহুবিকল্পযুক্ত। বহুবিকল্পযুক্ত প্ৰশ্নৰ মুঠ সংখ্যা $= 500 + 400 = 900$ আৰু ইয়াৰ ভিতৰত সহজ বহুবিকল্পযুক্ত প্ৰশ্ন $500$ টা। গতিকে $P(A \mid B) = \dfrac{n(A \cap B)}{n(B)} = \dfrac{500}{900} = \dfrac{5}{9}$।
14. দুটা পাশি দলিয়াই চোৱাৰ পিছত দুয়োটাতে পৃথক সংখ্যা প্ৰাপ্ত হোৱা বুলি দিয়া আছে। সংখ্যা দুটাৰ সমষ্টি 4 হোৱা ঘটনাটোৰ সম্ভাৱিতা নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ ধৰক $B$ = দুয়োটা পাশিত পৃথক সংখ্যা, $A$ = সংখ্যা দুটাৰ সমষ্টি $4$। পৃথক সংখ্যা থকা ফলাফল $= 36 – 6 = 30$, গতিকে $n(B) = 30$। সমষ্টি $4$ হোৱা পৃথক-সংখ্যাৰ ফলাফল $(1,3)$ আৰু $(3,1)$ [$(2,2)$ একে সংখ্যা হোৱাৰ বাবে বাদ], গতিকে $n(A \cap B) = 2$। সেয়েহে $P(A \mid B) = \dfrac{2}{30} = \dfrac{1}{15}$।
15. পাশি এটা দলিয়াই চোৱা পৰীক্ষাটো বিবেচনা কৰা হওক। যদি 3 ৰ গুণিতক সংখ্যা এটা প্ৰাপ্ত হয় তেন্তে পাশিটো আকৌ দলিয়াই চোৱা হয় আৰু যদি অন্য যিকোনো সংখ্যা প্ৰাপ্ত হয় তেন্তে এটা মুদ্ৰা টছ কৰা হয়। যদি দিয়া থাকে যে কমেও এবাৰ পাশিটোত 3 প্ৰাপ্ত হৈছে তেন্তে মুদ্ৰাটোত পুচ্ছপ্ৰাপ্ত হোৱা ঘটনাৰ চৰ্তাধীন সম্ভাৱিতা উলিওৱা।
উত্তৰঃ $3$ ৰ গুণিতক ($3$ বা $6$) ওলালে পাশি পুনৰ দলিওৱা হয়; আন সংখ্যা ($1, 2, 4, 5$) ওলালে মুদ্ৰা টছ কৰা হয়। ধৰক $A$ = কমেও এবাৰ পাশিত $3$ ওলায়, $B$ = মুদ্ৰাত পুচ্ছ ওলায়। ‘পাশিত $3$ ওলোৱা’ ফলাফলবোৰ কেৱল পাশি পুনৰ দলিওৱা শাখাতহে সম্ভৱ — $(3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6)$ আৰু $(6,3)$। এই সকলো ফলাফলতে পাশিহে দুবাৰ দলিওৱা হৈছে, মুদ্ৰা টছ কৰা হোৱা নাই। গতিকে ‘পাশিত $3$ ওলায়’ আৰু ‘মুদ্ৰাত পুচ্ছ’ ঘটনা দুটা একেলগে ঘটিব নোৱাৰে, অৰ্থাৎ $A \cap B = \phi$। সেয়েহে $P(B \mid A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)} = 0$।
প্ৰশ্ন 16 আৰু 17 ৰ প্ৰতিটোৰ ক্ষেত্ৰত শুদ্ধ উত্তৰ নিৰ্ণয় কৰাঃ
16. যদি $P(A) = \dfrac{1}{2}$, $P(B) = 0$, তেন্তে $P(A \mid B)$ ৰ মান — (A) $0$ (B) $\dfrac{1}{2}$ (C) সংজ্ঞাবদ্ধ নহয় (D) $1$।
উত্তৰঃ শুদ্ধ উত্তৰ (C) সংজ্ঞাবদ্ধ নহয়। কাৰণ $P(A \mid B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}$ কেৱল তেতিয়াহে সংজ্ঞাবদ্ধ যেতিয়া $P(B) \neq 0$। ইয়াত $P(B) = 0$ হোৱাৰ বাবে হৰটো শূন্য হয়, গতিকে $P(A \mid B)$ সংজ্ঞাবদ্ধ নহয়।
17. যদি $A$ আৰু $B$ ঘটনাৰ ক্ষেত্ৰত $P(A \mid B) = P(B \mid A)$ হয় তেন্তে — (A) $A \subset B$ কিন্তু $A \neq B$ (B) $A = B$ (C) $A \cap B = \phi$ (D) $P(A) = P(B)$।
উত্তৰঃ শুদ্ধ উত্তৰ (D) $P(A) = P(B)$। কাৰণ $P(A \mid B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}$ আৰু $P(B \mid A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}$। এই দুটা সমান হ’লে $\dfrac{P(A \cap B)}{P(B)} = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}$, অৰ্থাৎ $P(A \cap B) \neq 0$ হ’লে $P(A) = P(B)$।
অনুশীলনী 13.2
1. $P(A) = \dfrac{3}{5}$ আৰু $P(B) = \dfrac{1}{5}$ হ’লে $P(A \cap B)$ উলিওৱা যদি $A$ আৰু $B$ স্বতন্ত্ৰ হয়।
উত্তৰঃ $A$ আৰু $B$ স্বতন্ত্ৰ হোৱাৰ বাবে $P(A \cap B) = P(A)\,P(B) = \dfrac{3}{5} \times \dfrac{1}{5} = \dfrac{3}{25}$।
2. 52 পতীয়া তাচখেলাৰ থাক এটিৰ পৰা পুনৰ্স্থাপন নকৰাকৈ (without replacement) দুখন পাত যাদৃচ্ছিকভাৱে টনা হ’ল। দুয়োখন পাত ক’লা হোৱাৰ সম্ভাৱিতা নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ থাকত ক’লা পাত $26$ খন। প্ৰথম পাত ক’লা হোৱাৰ সম্ভাৱিতা $\dfrac{26}{52}$। প্ৰথমখন ঘূৰাই নিদিয়াকৈ দ্বিতীয় পাতো ক’লা হোৱাৰ সম্ভাৱিতা $\dfrac{25}{51}$। গতিকে দুয়োখন ক’লা হোৱাৰ সম্ভাৱিতা $= \dfrac{26}{52} \times \dfrac{25}{51} = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{25}{51} = \dfrac{25}{102}$।
3. পুনৰ্স্থাপন নকৰাকৈ যাদৃচ্ছিকভাৱে এবাকচ সুমথিৰাৰ পৰা তিনিটা সুমথিৰা উলিয়াই পৰীক্ষা কৰা হ’ল। যদি সুমথিৰা তিনিটাৰ আটাইকেইটাই ভাল হয় তেন্তে বাকচটো বিক্ৰীৰ বাবে অনুমোদন কৰা হয় আৰু অন্যথাই ইয়াক বাতিল কৰা হয়। 15 টা সুমথিৰা থকা বাকচ এটাৰ 12 টা ভাল আৰু 3 টা বেয়া হ’লে বাকচটো অনুমোদিত হোৱাৰ সম্ভাৱিতা উলিওৱা।
উত্তৰঃ বাকচটো অনুমোদিত হ’বলৈ উলিওৱা তিনিওটা সুমথিৰা ভাল হ’ব লাগিব। পুনৰ্স্থাপন নকৰাকৈ উলিয়ালে —
তিনিওটা সুমথিৰা ভাল হোৱাৰ সম্ভাৱিতা $= \dfrac{12}{15} \times \dfrac{11}{14} \times \dfrac{10}{13} = \dfrac{1320}{2730} = \dfrac{44}{91}$।
4. এটা নিখুঁত মুদ্ৰা আৰু এটা অবিকৃত (unbiased) পাশি একেলগে টছ কৰা হ’ল। মুদ্ৰাটোত মুণ্ড পোৱা ঘটনাক $A$ আৰু পাশিটোত 3 পোৱা ঘটনাক $B$ ৰে সূচালে, $A$ আৰু $B$ স্বতন্ত্ৰ হয়নে নহয় পৰীক্ষা কৰা।
উত্তৰঃ $P(A) = \dfrac{1}{2}$ (মুণ্ড পোৱা), $P(B) = \dfrac{1}{6}$ (পাশিত $3$ পোৱা)। মুদ্ৰা আৰু পাশিৰ ফলাফল ইটোৱে সিটোক প্ৰভাৱিত নকৰাৰ বাবে মুণ্ড আৰু $3$ একেলগে পোৱাৰ সম্ভাৱিতা $P(A \cap B) = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{12}$। যিহেতু $P(A)\,P(B) = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{12} = P(A \cap B)$, গতিকে $A$ আৰু $B$ স্বতন্ত্ৰ ঘটনা।
5. 1, 2, 3 ক ৰঙাৰে আৰু 4, 5, 6 ক সেউজীয়াৰে চিহ্নিত কৰা এটা পাশি টছ কৰা হ’ল। প্ৰাপ্ত সংখ্যাটো যুগ্ম হোৱা ঘটনাক $A$ আৰু ৰঙা হোৱা ঘটনাক $B$ ৰে সূচোৱা হ’ল। $A$ আৰু $B$ স্বতন্ত্ৰ হয়নে?
উত্তৰঃ $A$ (যুগ্ম) $= \{2, 4, 6\}$, গতিকে $P(A) = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$। $B$ (ৰঙা) $= \{1, 2, 3\}$, গতিকে $P(B) = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$। $A \cap B = \{2\}$, গতিকে $P(A \cap B) = \dfrac{1}{6}$। কিন্তু $P(A)\,P(B) = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4} \neq \dfrac{1}{6}$। গতিকে $A$ আৰু $B$ স্বতন্ত্ৰ নহয়।
6. ধৰা হ’ল, $E$ আৰু $F$ দুটা ঘটনা যাতে $P(E) = \dfrac{3}{5}$, $P(F) = \dfrac{3}{10}$ আৰু $P(E \cap F) = \dfrac{1}{5}$। $E$ আৰু $F$ স্বতন্ত্ৰ হয়নে?
উত্তৰঃ $P(E)\,P(F) = \dfrac{3}{5} \times \dfrac{3}{10} = \dfrac{9}{50}$। কিন্তু $P(E \cap F) = \dfrac{1}{5} = \dfrac{10}{50}$। যিহেতু $P(E \cap F) \neq P(E)\,P(F)$, গতিকে $E$ আৰু $F$ স্বতন্ত্ৰ নহয়।
7. $A$ আৰু $B$ দুটা ঘটনা এনেভাৱে দিয়া আছে যে $P(A) = \dfrac{1}{2}$, $P(A \cup B) = \dfrac{3}{5}$ আৰু $P(B) = p$। $p$ নিৰ্ণয় কৰা যাতে ঘটনা দুটা (i) পৰস্পৰ বিবৰ্জিত আৰু (ii) স্বতন্ত্ৰ হয়।
উত্তৰঃ (i) পৰস্পৰ বিবৰ্জিত হ’লে $P(A \cap B) = 0$, গতিকে $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$; অৰ্থাৎ $\dfrac{3}{5} = \dfrac{1}{2} + p$, ইয়াৰ পৰা $p = \dfrac{3}{5} – \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{10}$।
(ii) স্বতন্ত্ৰ হ’লে $P(A \cap B) = P(A)\,P(B) = \dfrac{1}{2}p$, গতিকে $P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A)\,P(B)$; অৰ্থাৎ $\dfrac{3}{5} = \dfrac{1}{2} + p – \dfrac{1}{2}p = \dfrac{1}{2} + \dfrac{p}{2}$, ইয়াৰ পৰা $\dfrac{p}{2} = \dfrac{1}{10}$, গতিকে $p = \dfrac{1}{5}$।
8. ধৰা হ’ল $A$ আৰু $B$ দুটা স্বতন্ত্ৰ ঘটনা যাতে $P(A) = 0.3$ আৰু $P(B) = 0.4$; নিৰ্ণয় কৰা — (i) $P(A \cap B)$ (ii) $P(A \cup B)$ (iii) $P(A \mid B)$ (iv) $P(B \mid A)$।
উত্তৰঃ (i) স্বতন্ত্ৰ হোৱাৰ বাবে $P(A \cap B) = P(A)\,P(B) = 0.3 \times 0.4 = 0.12$।
(ii) $P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B) = 0.3 + 0.4 – 0.12 = 0.58$।
(iii) স্বতন্ত্ৰ হোৱাৰ বাবে $P(A \mid B) = P(A) = 0.3$।
(iv) স্বতন্ত্ৰ হোৱাৰ বাবে $P(B \mid A) = P(B) = 0.4$।
9. যদি $A$ আৰু $B$ দুটা ঘটনা যাতে $P(A) = \dfrac{1}{4}$, $P(B) = \dfrac{1}{2}$ আৰু $P(A \cap B) = \dfrac{1}{8}$ তেন্তে P(A নহয় বা B নহয়) নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ মূল NCERT প্ৰশ্নটোৱে ‘$A$ নহয় আৰু $B$ নহয়’ অৰ্থাৎ $P(A^{\prime} \cap B^{\prime})$ বিচাৰিছে। $P(A^{\prime} \cap B^{\prime}) = P((A \cup B)^{\prime}) = 1 – P(A \cup B)$। এতিয়া $P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B) = \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{2} – \dfrac{1}{8} = \dfrac{2}{8} + \dfrac{4}{8} – \dfrac{1}{8} = \dfrac{5}{8}$। গতিকে $P(A^{\prime} \cap B^{\prime}) = 1 – \dfrac{5}{8} = \dfrac{3}{8}$।
টোকাঃ ছপা অসমীয়া প্ৰশ্নত ‘$A$ নহয় বা $B$ নহয়’ বুলি লিখা আছে। ইয়াক আক্ষৰিকভাৱে $P(A^{\prime} \cup B^{\prime}) = 1 – P(A \cap B) = 1 – \dfrac{1}{8} = \dfrac{7}{8}$ বুলি ল’ব পাৰি; কিন্তু NCERT-ৰ মূল প্ৰশ্ন অনুসৰি অভীষ্ট উত্তৰ $\dfrac{3}{8}$।
10. $A$ আৰু $B$ ঘটনা দুটা এনেকুৱা যে $P(A) = \dfrac{1}{2}$, $P(B) = \dfrac{7}{12}$ আৰু P(A নহয় বা B নহয়) $= \dfrac{1}{4}$। $A$ আৰু $B$ স্বতন্ত্ৰ হয় নে নহয় উল্লেখ কৰা।
উত্তৰঃ $P(A^{\prime} \cup B^{\prime}) = \dfrac{1}{4}$; দ্য মৰ্গানৰ নিয়মৰ পৰা $A^{\prime} \cup B^{\prime} = (A \cap B)^{\prime}$, গতিকে $P(A \cap B) = 1 – \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4}$। স্বতন্ত্ৰ হ’লে হ’ব লাগিছিল $P(A \cap B) = P(A)\,P(B) = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{7}{12} = \dfrac{7}{24}$। যিহেতু $\dfrac{3}{4} \neq \dfrac{7}{24}$, গতিকে $A$ আৰু $B$ স্বতন্ত্ৰ নহয়।
11. দুটা স্বতন্ত্ৰ ঘটনা $A$ আৰু $B$ এনেদৰে দিয়া আছে যে $P(A) = 0.3$, $P(B) = 0.6$; নিৰ্ণয় কৰা — (i) P(A আৰু B) (ii) P(A আৰু B নহয়) (iii) P(A বা B) (iv) P(A ও নহয় B ও নহয়)।
উত্তৰঃ (i) $P(A \cap B) = P(A)\,P(B) = 0.3 \times 0.6 = 0.18$।
(ii) $P(A \cap B^{\prime}) = P(A)\,P(B^{\prime}) = 0.3 \times (1 – 0.6) = 0.3 \times 0.4 = 0.12$।
(iii) $P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B) = 0.3 + 0.6 – 0.18 = 0.72$।
(iv) $P(A^{\prime} \cap B^{\prime}) = P(A^{\prime})\,P(B^{\prime}) = (1 – 0.3)(1 – 0.6) = 0.7 \times 0.4 = 0.28$।
12. এটা পাশি তিনিবাৰ টছ কৰা হ’ল। কমপক্ষে এবাৰ এটা অযুগ্ম সংখ্যা পোৱাৰ সম্ভাৱিতা উলিওৱা।
উত্তৰঃ প্ৰতিবাৰ অযুগ্ম সংখ্যা ($1, 3, 5$) পোৱাৰ সম্ভাৱিতা $\dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$, গতিকে যুগ্ম সংখ্যা পোৱাৰ সম্ভাৱিতাও $\dfrac{1}{2}$। তিনিওবাৰ যুগ্ম সংখ্যা পোৱাৰ সম্ভাৱিতা $= \left(\dfrac{1}{2}\right)^3 = \dfrac{1}{8}$। সেয়েহে কমপক্ষে এবাৰ অযুগ্ম সংখ্যা পোৱাৰ সম্ভাৱিতা $= 1 – \dfrac{1}{8} = \dfrac{7}{8}$।
13. এটা বাকচত থকা 10 টা ক’লা আৰু 8 টা ৰঙা বলৰ পৰা পুনৰ্স্থাপন নকৰাকৈ দুটা বল যাদৃচ্ছিকভাৱে উলিওৱা হ’ল। সম্ভাৱিতা নিৰ্ণয় কৰা যাতে, (i) দুয়োটা বল ৰঙা হয়; (ii) প্ৰথমটো ক’লা আৰু দ্বিতীয়টো ৰঙা হয়; (iii) এটা ক’লা আৰু আনটো ৰঙা হয়।
উত্তৰঃ বাকচত মুঠ $10 + 8 = 18$ টা বল। ছপা পাঠ্যপুথিৰ কথামতে পুনৰ্স্থাপন নকৰাকৈ উলিওৱা হৈছে —
(i) দুয়োটা ৰঙা: $\dfrac{8}{18} \times \dfrac{7}{17} = \dfrac{56}{306} = \dfrac{28}{153}$।
(ii) প্ৰথমটো ক’লা, দ্বিতীয়টো ৰঙা: $\dfrac{10}{18} \times \dfrac{8}{17} = \dfrac{80}{306} = \dfrac{40}{153}$।
(iii) এটা ক’লা আৰু আনটো ৰঙা = (প্ৰথমে ক’লা তাৰপাছত ৰঙা) + (প্ৰথমে ৰঙা তাৰপাছত ক’লা) $= \dfrac{10}{18} \times \dfrac{8}{17} + \dfrac{8}{18} \times \dfrac{10}{17} = \dfrac{80}{306} + \dfrac{80}{306} = \dfrac{160}{306} = \dfrac{80}{153}$।
টোকাঃ মূল NCERT প্ৰশ্নটোত ‘পুনৰ্স্থাপন কৰি (with replacement)’ উলিওৱা বুলি দিয়া আছে। সেই ক্ষেত্ৰত উত্তৰবোৰ হ’ব — (i) $\dfrac{16}{81}$, (ii) $\dfrac{20}{81}$, (iii) $\dfrac{40}{81}$।
14. $A$ আৰু $B$ যে এটা বিশেষ সমস্যা স্বতন্ত্ৰভাৱে সমাধান কৰাৰ সম্ভাৱিতা হ’ল ক্ৰমে $\dfrac{1}{2}$ আৰু $\dfrac{1}{3}$; যদি সমস্যাটো সমাধানৰ বাবে উভয়ে স্বতন্ত্ৰভাৱে চেষ্টা কৰে, তেন্তে সম্ভাৱিতা নিৰ্ণয় কৰা যাতে, (i) সমস্যাটোৰ সমাধান হয়; (ii) তেওঁলোকৰ ঠিক এজনে (exactly one of them) সমস্যাটোৰ সমাধান আগবঢ়ায়।
উত্তৰঃ $P(A) = \dfrac{1}{2}$, $P(B) = \dfrac{1}{3}$; ঘটনা দুটা স্বতন্ত্ৰ।
(i) সমস্যাটোৰ সমাধান হয় $= P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A)\,P(B) = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} – \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} – \dfrac{1}{6} = \dfrac{3 + 2 – 1}{6} = \dfrac{2}{3}$।
(ii) ঠিক এজনে সমাধান কৰে $= P(A)\,P(B^{\prime}) + P(A^{\prime})\,P(B) = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{6} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$।
15. ভালদৰে সানমিহলি কৰা 52 পতীয়া তাচপাতৰ থাক এটাৰ পৰা এখন পাত যাদৃচ্ছিকভাৱে টনা হ’ল। নিম্নোক্ত ক্ষেত্ৰসমূহৰ কোনবোৰত $E$ আৰু $F$ ঘটনা দুটা স্বতন্ত্ৰ হ’ব? (i) $E$ : টনা পাতটো ইস্কাপন, $F$ : টনা পাতটো টেক্কা (ace); (ii) $E$ : টনা পাতটো ক’লা, $F$ : টনা পাতটো চাহেব; (iii) $E$ : টনা পাতটো চাহেব বা মেম, $F$ : টনা পাতটো মেম বা গোলাম (jack)।
উত্তৰঃ (i) $P(E) = \dfrac{13}{52} = \dfrac{1}{4}$, $P(F) = \dfrac{4}{52} = \dfrac{1}{13}$; $E \cap F$ = ইস্কাপনৰ টেক্কা $= 1$ খন, গতিকে $P(E \cap F) = \dfrac{1}{52}$। $P(E)\,P(F) = \dfrac{1}{4} \times \dfrac{1}{13} = \dfrac{1}{52} = P(E \cap F)$; গতিকে $E$ আৰু $F$ স্বতন্ত্ৰ।
(ii) $P(E) = \dfrac{26}{52} = \dfrac{1}{2}$, $P(F) = \dfrac{4}{52} = \dfrac{1}{13}$; $E \cap F$ = ক’লা চাহেব $= 2$ খন, গতিকে $P(E \cap F) = \dfrac{2}{52} = \dfrac{1}{26}$। $P(E)\,P(F) = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{13} = \dfrac{1}{26} = P(E \cap F)$; গতিকে $E$ আৰু $F$ স্বতন্ত্ৰ।
(iii) $E$ (চাহেব বা মেম) $= 8$ খন, $P(E) = \dfrac{8}{52} = \dfrac{2}{13}$; $F$ (মেম বা গোলাম) $= 8$ খন, $P(F) = \dfrac{2}{13}$; $E \cap F$ = মেম $= 4$ খন, $P(E \cap F) = \dfrac{4}{52} = \dfrac{1}{13}$। $P(E)\,P(F) = \dfrac{2}{13} \times \dfrac{2}{13} = \dfrac{4}{169} \neq \dfrac{1}{13}$; গতিকে $E$ আৰু $F$ স্বতন্ত্ৰ নহয়।
16. এখন ছাত্ৰী নিবাসত ছাত্ৰীসকলৰ 60% যে হিন্দী, 40% যে ইংৰাজী আৰু 20% যে হিন্দী আৰু ইংৰাজী উভয়বিধ বাতৰি কাকত পঢ়ে। যাদৃচ্ছিকভাৱে এজনী ছাত্ৰী বাছনি কৰা হ’ল। (a) সম্ভাৱিতা উলিওৱা যাতে ছাত্ৰীগৰাকীয়ে হিন্দী বা ইংৰাজী কোনোবিধ বাতৰি কাকতকে নপঢ়ে। (b) যদি তেওঁ হিন্দী বাতৰি পঢ়ে তেন্তে ইংৰাজী বাতৰি পঢ়াৰ সম্ভাৱিতা নিৰ্ণয় কৰা। (c) যদি তেওঁ ইংৰাজী বাতৰি পঢ়ে তেন্তে তেওঁ হিন্দী বাতৰি পঢ়াৰ সম্ভাৱিতা নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ ধৰক $H$ = হিন্দী পঢ়া, $E$ = ইংৰাজী পঢ়া। $P(H) = 0.6$, $P(E) = 0.4$, $P(H \cap E) = 0.2$।
(a) কোনোবিধকে নপঢ়া $= P(H^{\prime} \cap E^{\prime}) = 1 – P(H \cup E) = 1 – (0.6 + 0.4 – 0.2) = 1 – 0.8 = 0.2$।
(b) $P(E \mid H) = \dfrac{P(H \cap E)}{P(H)} = \dfrac{0.2}{0.6} = \dfrac{1}{3}$।
(c) $P(H \mid E) = \dfrac{P(H \cap E)}{P(E)} = \dfrac{0.2}{0.4} = \dfrac{1}{2}$।
অনুশীলনী 17 আৰু 18 ৰ ক্ষেত্ৰত শুদ্ধ উত্তৰ বাছি উলিওৱাঃ
17. এযোৰ পাশি একেলগে টছ কৰাৰ পিছত প্ৰতিটোতে এটা যুগ্ম মৌলিক সংখ্যা পোৱাৰ সম্ভাৱিতা — (A) $0$ (B) $\dfrac{1}{3}$ (C) $\dfrac{1}{12}$ (D) $\dfrac{1}{36}$।
উত্তৰঃ শুদ্ধ উত্তৰ (D) $\dfrac{1}{36}$। একমাত্ৰ যুগ্ম মৌলিক সংখ্যা হ’ল $2$। প্ৰতিটো পাশিত $2$ পোৱাৰ সম্ভাৱিতা $\dfrac{1}{6}$, গতিকে দুয়োটাতে $2$ পোৱাৰ সম্ভাৱিতা $= \dfrac{1}{6} \times \dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{36}$।
18. দুটা ঘটনা $A$ আৰু $B$ স্বতন্ত্ৰ হ’ব যদি — (A) $A$ আৰু $B$ পৰস্পৰ বিবৰ্জিত হয়, (B) $P(A^{\prime}B^{\prime}) = [1 – P(A)][1 – P(B)]$, (C) $P(A) = P(B)$, (D) $P(A) + P(B) = 1$।
উত্তৰঃ শুদ্ধ উত্তৰ (B)। $A$ আৰু $B$ স্বতন্ত্ৰ হ’লে $A^{\prime}$ আৰু $B^{\prime}$ ও স্বতন্ত্ৰ হয়, গতিকে $P(A^{\prime} \cap B^{\prime}) = P(A^{\prime})\,P(B^{\prime}) = [1 – P(A)][1 – P(B)]$। ইয়াৰ বিপৰীতটোও সত্য, গতিকে এই চৰ্তটোৱে স্বতন্ত্ৰতাক নিৰ্দেশ কৰে।
অনুশীলনী 13.3
1. এটা পাত্ৰত 5 টা ৰঙা আৰু 5 টা ক’লা বল আছে। যাদৃচ্ছিকভাৱে নিৰ্বাচন কৰা বল এটাৰ ৰঙাটো টুকি থৈ পুনৰ পাত্ৰটোত ৰখা হ’ল। পুনৰ একে ৰঙৰ দুটা অতিৰিক্ত বল পাত্ৰটোত ৰখা হ’ল আৰু এতিয়া যাদৃচ্ছিকভাৱে এটা বল পাত্ৰটোৰ পৰা লোৱা হ’ল। দ্বিতীয় বলটো ৰঙা হোৱাৰ সম্ভাৱিতা কিমান?
উত্তৰঃ প্ৰথম বলটো ৰঙা বা ক’লা হ’ব পাৰে, প্ৰতিটোৰ সম্ভাৱিতা $\dfrac{5}{10} = \dfrac{1}{2}$।
যদি প্ৰথমটো ৰঙা হয় (সম্ভাৱিতা $\dfrac{1}{2}$): ঘূৰাই থোৱাৰ পিছত $2$ টা ৰঙা যোগ কৰিলে পাত্ৰত $7$ ৰঙা, $5$ ক’লা (মুঠ $12$); দ্বিতীয়টো ৰঙা হোৱাৰ সম্ভাৱিতা $\dfrac{7}{12}$।
যদি প্ৰথমটো ক’লা হয় (সম্ভাৱিতা $\dfrac{1}{2}$): পাত্ৰত $5$ ৰঙা, $7$ ক’লা (মুঠ $12$); দ্বিতীয়টো ৰঙা হোৱাৰ সম্ভাৱিতা $\dfrac{5}{12}$।
মুঠ সম্ভাৱিতাৰ উপপাদ্যৰ পৰা দ্বিতীয় বলটো ৰঙা হোৱাৰ সম্ভাৱিতা $= \dfrac{1}{2} \times \dfrac{7}{12} + \dfrac{1}{2} \times \dfrac{5}{12} = \dfrac{7}{24} + \dfrac{5}{24} = \dfrac{12}{24} = \dfrac{1}{2}$।
2. এখন মোনাত 4 টা ৰঙা আৰু 4 টা ক’লা আৰু আন এখন মোনাত 2 টা ৰঙা আৰু 6 টা ক’লা বল আছে। দুখন মোনাৰ পৰা এখন মোনা যাদৃচ্ছিকভাৱে বাছনি কৰি তাৰপৰা বল এটা লোৱাত বলটো ৰঙা পোৱা গ’ল। বলটো প্ৰথমখন মোনাৰ পৰা অহাৰ সম্ভাৱিতা উলিওৱা।
উত্তৰঃ ধৰক $E_1$ = প্ৰথম মোনা বাছনি, $E_2$ = দ্বিতীয় মোনা বাছনি, $A$ = ৰঙা বল লোৱা। $P(E_1) = P(E_2) = \dfrac{1}{2}$; $P(A \mid E_1) = \dfrac{4}{8} = \dfrac{1}{2}$, $P(A \mid E_2) = \dfrac{2}{8} = \dfrac{1}{4}$। বেইজৰ উপপাদ্যৰ পৰা —
$P(E_1 \mid A) = \dfrac{P(E_1)\,P(A \mid E_1)}{P(E_1)\,P(A \mid E_1) + P(E_2)\,P(A \mid E_2)} = \dfrac{\frac{1}{2} \times \frac{1}{2}}{\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \times \frac{1}{4}} = \dfrac{1/4}{1/4 + 1/8} = \dfrac{1/4}{3/8} = \dfrac{2}{3}$।
3. এখন মহাবিদ্যালয়ৰ ছাত্ৰসকলৰ 60% যে ছাত্ৰাবাসত আৰু 40% যে ছাত্ৰাবাসত নাথাকে বুলি জানিব পৰা গ’ল। আগৰ বছৰৰ ফলাফল অনুসৰি বছৰেকীয়া পৰীক্ষাত ছাত্ৰাবাসত থকা সকলো ছাত্ৰৰ 30% যে আৰু ছাত্ৰাবাসত নথকা ছাত্ৰসকলৰ 20% যে A গ্ৰেড পাইছিল। বছৰৰ অন্তত মহাবিদ্যালয়খনৰ যাদৃচ্ছিকভাৱে বাছনি কৰা এজন ছাত্ৰই A গ্ৰেড পালে। ছাত্ৰজন ছাত্ৰাবাসৰ আবাসী হোৱাৰ সম্ভাৱিতা কিমান?
উত্তৰঃ ধৰক $E_1$ = ছাত্ৰাবাসৰ আবাসী, $E_2$ = ছাত্ৰাবাসত নথকা, $A$ = A গ্ৰেড পোৱা। $P(E_1) = 0.6$, $P(E_2) = 0.4$; $P(A \mid E_1) = 0.3$, $P(A \mid E_2) = 0.2$।
$P(E_1 \mid A) = \dfrac{0.6 \times 0.3}{0.6 \times 0.3 + 0.4 \times 0.2} = \dfrac{0.18}{0.18 + 0.08} = \dfrac{0.18}{0.26} = \dfrac{9}{13}$।
4. বহু বিকল্পযুক্ত পৰীক্ষাৰ (Multiple Choice Test) প্ৰশ্নৰ উত্তৰ কৰোঁতে এজন ছাত্ৰই উত্তৰটো হয় জানে নহ’লে অনুমানৰ ওপৰত নিৰ্ভৰ কৰে। ধৰা হ’ল ছাত্ৰজনে উত্তৰটো জনাৰ সম্ভাৱিতা $\dfrac{3}{4}$ আৰু অনুমান সাপেক্ষে লিখাৰ সম্ভাৱিতা $\dfrac{1}{4}$। অনুমান সাপেক্ষে লিখা উত্তৰ শুদ্ধ হোৱাৰ সম্ভাৱিতা $\dfrac{1}{4}$ বুলি ধৰিলে যদি ছাত্ৰজনে উত্তৰটো শুদ্ধকৈ লিখে, তেন্তে তেওঁ যে উত্তৰটো জানে তাৰ সম্ভাৱিতা কিমান?
উত্তৰঃ ধৰক $E_1$ = ছাত্ৰই জানে, $E_2$ = অনুমান কৰে, $A$ = উত্তৰ শুদ্ধ। $P(E_1) = \dfrac{3}{4}$, $P(E_2) = \dfrac{1}{4}$; $P(A \mid E_1) = 1$ (জানিলে শুদ্ধই হ’ব), $P(A \mid E_2) = \dfrac{1}{4}$।
$P(E_1 \mid A) = \dfrac{\frac{3}{4} \times 1}{\frac{3}{4} \times 1 + \frac{1}{4} \times \frac{1}{4}} = \dfrac{3/4}{3/4 + 1/16} = \dfrac{3/4}{13/16} = \dfrac{12}{13}$।
5. এটা পৰীক্ষাগাৰৰ তেজৰ পৰীক্ষা এটা ৰোগ প্ৰকৃততে থকা মানুহৰ ক্ষেত্ৰত 99% ফলপ্ৰসূ হয়। এনে পৰীক্ষাই ৰোগবিহীন মানুহৰ 0.5% ৰ ক্ষেত্ৰতো ৰোগ থকা দেখুৱায়। যদি জনসাধাৰণৰ 0.1% ৰ ক্ষেত্ৰত ৰোগটো প্ৰকৃততে আছে তেন্তে এজন মানুহৰ তেজ পৰীক্ষাত ৰোগী বুলি সাব্যস্ত হোৱাৰ ক্ষেত্ৰত তেওঁ প্ৰকৃততে ৰোগী হোৱাৰ সম্ভাৱিতা কিমান?
উত্তৰঃ ধৰক $E$ = মানুহজন প্ৰকৃততে ৰোগী, $A$ = পৰীক্ষাত ধনাত্মক (ৰোগী দেখুৱায়)। $P(E) = 0.001$, $P(E^{\prime}) = 0.999$; $P(A \mid E) = 0.99$, $P(A \mid E^{\prime}) = 0.005$।
$P(E \mid A) = \dfrac{0.001 \times 0.99}{0.001 \times 0.99 + 0.999 \times 0.005} = \dfrac{0.00099}{0.00099 + 0.004995} = \dfrac{0.00099}{0.005985} = \dfrac{22}{133} \approx 0.1654$।
6. তিনিটা মুদ্ৰাৰ এটা দিমুণ্ড বিশিষ্ট (দুয়ো পিঠিত মুণ্ড থকা), দ্বিতীয়টো বিষম গঠনিযুক্ত, যাৰ টছ কাৰ্যত 75% মুণ্ড প্ৰাপ্ত হয় আৰু তৃতীয়টো নিখুঁত গঠনিযুক্ত। যাদৃচ্ছিকভাৱে মুদ্ৰা তিনিটাৰ এটা নিৰ্বাচন কৰি টছ কৰাত মুণ্ড পোৱা গ’ল। মুদ্ৰাটো দিমুণ্ড বিশিষ্ট হোৱাৰ সম্ভাৱিতা কিমান?
উত্তৰঃ ধৰক $E_1$ = দিমুণ্ড মুদ্ৰা, $E_2$ = বিষম মুদ্ৰা, $E_3$ = নিখুঁত মুদ্ৰা; $A$ = মুণ্ড পোৱা। $P(E_1) = P(E_2) = P(E_3) = \dfrac{1}{3}$; $P(A \mid E_1) = 1$, $P(A \mid E_2) = \dfrac{3}{4}$, $P(A \mid E_3) = \dfrac{1}{2}$।
$P(E_1 \mid A) = \dfrac{\frac{1}{3} \times 1}{\frac{1}{3} \times 1 + \frac{1}{3} \times \frac{3}{4} + \frac{1}{3} \times \frac{1}{2}} = \dfrac{1}{1 + \frac{3}{4} + \frac{1}{2}} = \dfrac{1}{\frac{9}{4}} = \dfrac{4}{9}$।
7. এক বীমা কোম্পানীয়ে 2000 জন স্কুটাৰ চালক, 4000 জন কাৰ চালক আৰু 6000 জন ট্ৰাক চালকৰ বাবে বীমা কৰোৱায়। এওঁলোকৰ ক্ষেত্ৰত দুৰ্ঘটনাৰ সম্ভাৱিতাবোৰ হ’ল যথাক্ৰমে 0.01, 0.03 আৰু 0.15। বীমাকৃত চালকসকলৰ এজন দুৰ্ঘটনাপ্ৰাপ্ত হ’লে, তেওঁ এজন স্কুটাৰ চালক হোৱাৰ সম্ভাৱিতা কিমান?
উত্তৰঃ মুঠ চালক $= 2000 + 4000 + 6000 = 12000$। ধৰক $E_1, E_2, E_3$ ক্ৰমে স্কুটাৰ, কাৰ, ট্ৰাক চালক বাছনি আৰু $A$ = দুৰ্ঘটনা। $P(E_1) = \dfrac{2000}{12000} = \dfrac{1}{6}$, $P(E_2) = \dfrac{1}{3}$, $P(E_3) = \dfrac{1}{2}$; $P(A \mid E_1) = 0.01$, $P(A \mid E_2) = 0.03$, $P(A \mid E_3) = 0.15$।
$P(E_1 \mid A) = \dfrac{\frac{1}{6}(0.01)}{\frac{1}{6}(0.01) + \frac{1}{3}(0.03) + \frac{1}{2}(0.15)}$; লব-হৰ দুয়োকে $6$ ৰে পূৰণ কৰি $= \dfrac{0.01}{0.01 + 0.06 + 0.45} = \dfrac{0.01}{0.52} = \dfrac{1}{52}$।
8. এটা কাৰখানাৰ দুটা মেচিন আছে ক্ৰমে A আৰু B। আগৰ তথ্যপাতিয়ে দেখুৱায় যে মুঠ উৎপাদিত সামগ্ৰীৰ মেচিন A ই 60% আৰু মেচিন B যে 40% উৎপাদন কৰে। তাৰোপৰি, মেচিন A আৰু মেচিন Bৰ উৎপাদিত সামগ্ৰীৰ ক্ৰমে 2% আৰু 1% ত্ৰুটিপূৰ্ণ হোৱা দেখা যায়। একেলগে থূপাই থোৱা সামগ্ৰীসমূহৰপৰা যাদৃচ্ছিকভাৱে বাছনি কৰা এবিধ সামগ্ৰী ত্ৰুটিপূৰ্ণ পোৱা গ’ল। সামগ্ৰীবিধ মেচিন B যে উৎপাদন কৰাৰ সম্ভাৱিতা কিমান?
উত্তৰঃ ধৰক $E_1$ = মেচিন A, $E_2$ = মেচিন B, $A$ = সামগ্ৰী ত্ৰুটিপূৰ্ণ। $P(E_1) = 0.6$, $P(E_2) = 0.4$; $P(A \mid E_1) = 0.02$, $P(A \mid E_2) = 0.01$।
$P(E_2 \mid A) = \dfrac{0.4 \times 0.01}{0.6 \times 0.02 + 0.4 \times 0.01} = \dfrac{0.004}{0.012 + 0.004} = \dfrac{0.004}{0.016} = \dfrac{1}{4}$।
9. কোনো এক সংস্থাৰ সঞ্চালকসমূহৰ সমিতিখনৰ (Board of Directors) আসনৰ বাবে দুটা দলে প্ৰতিযোগিতাত নামিল। প্ৰথম আৰু দ্বিতীয় দলে প্ৰতিযোগিতাত জয়ী হোৱাৰ সম্ভাৱিতা ক্ৰমে 0.6 আৰু 0.4। আকৌ, প্ৰথম দলে জয়ী হ’লে এবিধ নতুন উৎপাদন আৰম্ভ কৰাৰ সম্ভাৱিতা 0.7 আৰু দ্বিতীয় দল জয়ী হোৱাৰ ক্ষেত্ৰত অনুৰূপ সম্ভাৱিতা হ’ল 0.3। যদি সংস্থাটোৱে এবিধ নতুন উৎপাদন আৰম্ভ কৰে তেন্তে সেয়া দ্বিতীয় দলৰ দ্বাৰাই সাধিত হোৱাৰ সম্ভাৱিতা কিমান?
উত্তৰঃ ধৰক $E_1$ = প্ৰথম দল জয়ী, $E_2$ = দ্বিতীয় দল জয়ী, $A$ = নতুন উৎপাদন আৰম্ভ। $P(E_1) = 0.6$, $P(E_2) = 0.4$; $P(A \mid E_1) = 0.7$, $P(A \mid E_2) = 0.3$।
$P(E_2 \mid A) = \dfrac{0.4 \times 0.3}{0.6 \times 0.7 + 0.4 \times 0.3} = \dfrac{0.12}{0.42 + 0.12} = \dfrac{0.12}{0.54} = \dfrac{2}{9}$।
10. ধৰা, ছোৱালী এজনীয়ে এটা পাশি টছ কৰিছে। তেওঁ যদি 5 বা 6 পায় তেন্তে মুদ্ৰা এটা তিনিবাৰ টছ কৰে আৰু প্ৰাপ্ত মুণ্ডৰ সংখ্যা টুকি ৰাখে। যদি তেওঁ 1, 2, 3 বা 4 পায় তেন্তে মুদ্ৰা এটা এবাৰ টছ কৰে আৰু মুণ্ড বা পুচ্ছ যি পায় তাকেই টুকি ৰাখে। যদি তেওঁ সঠিকভাৱে এটা মুণ্ড লাভ কৰিছে তেন্তে পাশিটোত 1, 2, 3 বা 4 লাভ কৰাৰ সম্ভাৱিতা কিমান?
উত্তৰঃ ধৰক $E_1$ = পাশিত $5$ বা $6$ ($P(E_1) = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$), $E_2$ = পাশিত $1, 2, 3$ বা $4$ ($P(E_2) = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}$); $A$ = ঠিক এটা মুণ্ড পোৱা।
$E_1$ ত মুদ্ৰা $3$ বাৰ টছ কৰে, ঠিক এটা মুণ্ড: $P(A \mid E_1) = \binom{3}{1}\left(\dfrac{1}{2}\right)^3 = \dfrac{3}{8}$। $E_2$ ত মুদ্ৰা এবাৰ টছ কৰে: $P(A \mid E_2) = \dfrac{1}{2}$।
$P(E_2 \mid A) = \dfrac{\frac{2}{3} \times \frac{1}{2}}{\frac{1}{3} \times \frac{3}{8} + \frac{2}{3} \times \frac{1}{2}} = \dfrac{1/3}{\frac{1}{8} + \frac{1}{3}} = \dfrac{1/3}{\frac{11}{24}} = \dfrac{8}{11}$।
11. এজন পণ্য উৎপাদকৰ (manufacturer) তিনিগৰাকী মেচিন চালক আছে যেনে A, B আৰু C। প্ৰথম চালক A ই 1% ত্ৰুটিপূৰ্ণ পণ্য উৎপাদন কৰে য’ত অন্য দুগৰাকী চালক B আৰু C যে ক্ৰমে 5% আৰু 7% ত্ৰুটিপূৰ্ণ পণ্য উৎপাদন কৰে। চালক A মুঠ 50% চালক B মুঠ 30% আৰু চালক C মুঠ 20% সময়ৰ বাবে কামৰ দায়িত্বত থাকিল। ত্ৰুটিপূৰ্ণভাৱে উৎপাদিত এবিধ পণ্য সামগ্ৰী চালক A ৰ দ্বাৰা উৎপাদিত হোৱাৰ সম্ভাৱিতা কিমান?
উত্তৰঃ ধৰক $E_1, E_2, E_3$ ক্ৰমে চালক A, B, C কামত থকা আৰু $D$ = পণ্য ত্ৰুটিপূৰ্ণ। $P(E_1) = 0.5$, $P(E_2) = 0.3$, $P(E_3) = 0.2$; $P(D \mid E_1) = 0.01$, $P(D \mid E_2) = 0.05$, $P(D \mid E_3) = 0.07$।
$P(E_1 \mid D) = \dfrac{0.5 \times 0.01}{0.5 \times 0.01 + 0.3 \times 0.05 + 0.2 \times 0.07} = \dfrac{0.005}{0.005 + 0.015 + 0.014} = \dfrac{0.005}{0.034} = \dfrac{5}{34}$।
12. তাচখেলৰ 52 খন তাচপাতৰ এপাত তাচ হেৰাল। পেকেটটোৰ অৱশিষ্ট তাচপাতসমূহৰ পৰা দুখন তাচপাত টানি চোৱাত দুয়োখন ৰুহিতন (diamond) পোৱা গ’ল। হেৰোৱা তাচপাতটো ৰুহিতন হোৱাৰ সম্ভাৱিতা নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ ধৰক $E_1$ = হেৰোৱা পাত ৰুহিতন ($P(E_1) = \dfrac{13}{52} = \dfrac{1}{4}$), $E_2$ = হেৰোৱা পাত ৰুহিতন নহয় ($P(E_2) = \dfrac{39}{52} = \dfrac{3}{4}$); $A$ = অৱশিষ্ট $51$ খনৰ পৰা টনা দুয়োখন ৰুহিতন।
যদি হেৰোৱা পাত ৰুহিতন হয় তেন্তে বাকী $51$ খনত $12$ খন ৰুহিতন: $P(A \mid E_1) = \dfrac{\binom{12}{2}}{\binom{51}{2}} = \dfrac{66}{1275}$। যদি ৰুহিতন নহয় তেন্তে বাকী $51$ খনত $13$ খন ৰুহিতন: $P(A \mid E_2) = \dfrac{\binom{13}{2}}{\binom{51}{2}} = \dfrac{78}{1275}$।
$P(E_1 \mid A) = \dfrac{\frac{1}{4} \times \frac{66}{1275}}{\frac{1}{4} \times \frac{66}{1275} + \frac{3}{4} \times \frac{78}{1275}} = \dfrac{66}{66 + 3 \times 78} = \dfrac{66}{66 + 234} = \dfrac{66}{300} = \dfrac{11}{50}$।
13. A ই সঁচা কথা কোৱাৰ সম্ভাৱিতা $\dfrac{4}{5}$। এটা মুদ্ৰা টছ কৰা হ’ল। এটা মুণ্ড প্ৰাপ্ত হোৱা বুলি A ই জনালে। সঁচাকৈয়ে এটা মুণ্ড প্ৰাপ্ত হোৱাৰ সম্ভাৱিতা হ’ল — (A) $\dfrac{4}{5}$ (B) $\dfrac{1}{2}$ (C) $\dfrac{1}{5}$ (D) $\dfrac{2}{5}$।
উত্তৰঃ শুদ্ধ উত্তৰ (A) $\dfrac{4}{5}$। ধৰক $E_1$ = প্ৰকৃততে মুণ্ড ($P(E_1) = \dfrac{1}{2}$), $E_2$ = প্ৰকৃততে পুচ্ছ ($P(E_2) = \dfrac{1}{2}$); $B$ = A ই মুণ্ড বুলি জনায়। $P(B \mid E_1) = \dfrac{4}{5}$ (A সঁচা কয়), $P(B \mid E_2) = \dfrac{1}{5}$ (A মিছা কয়)।
$P(E_1 \mid B) = \dfrac{\frac{1}{2} \times \frac{4}{5}}{\frac{1}{2} \times \frac{4}{5} + \frac{1}{2} \times \frac{1}{5}} = \dfrac{4/10}{4/10 + 1/10} = \dfrac{4/10}{5/10} = \dfrac{4}{5}$।
14. যদি $A$ আৰু $B$ দুটা ঘটনা যাতে $A \subset B$ আৰু $P(B) \neq 0$, তেন্তে তলত উল্লেখ কৰা ফলকেইটাৰ কোনটো সত্য? (A) $P(A \mid B) = \dfrac{P(B)}{P(A)}$ (B) $P(A \mid B) < P(A)$ (C) $P(A \mid B) \geq P(A)$ (D) এইবোৰৰ এটাও নহয়।
উত্তৰঃ শুদ্ধ উত্তৰ (C) $P(A \mid B) \geq P(A)$। যিহেতু $A \subset B$, গতিকে $A \cap B = A$ আৰু $P(A \mid B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)} = \dfrac{P(A)}{P(B)}$। যিহেতু $0 < P(B) \leq 1$, গতিকে $\dfrac{P(A)}{P(B)} \geq P(A)$, অৰ্থাৎ $P(A \mid B) \geq P(A)$।
13 অধ্যায়ৰ ওপৰত সানমিহলি অনুশীলনী
1. $A$ আৰু $B$ দুটা ঘটনা যাতে $P(A) \neq 0$; $P(B \mid A)$ উলিওৱা যদি — (i) $A$, $B$ ৰ উপসংহতি (অৰ্থাৎ $A \subset B$); (ii) $A \cap B = \phi$।
উত্তৰঃ (i) $A \subset B$ হ’লে $A \cap B = A$, গতিকে $P(B \mid A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)} = \dfrac{P(A)}{P(A)} = 1$।
(ii) $A \cap B = \phi$ হ’লে $P(A \cap B) = 0$, গতিকে $P(B \mid A) = \dfrac{0}{P(A)} = 0$।
2. এহাল দম্পতীৰ দুটা সন্তান আছে। (i) উভয় সন্তানেই ল’ৰা হোৱাৰ সম্ভাৱিতা উলিওৱা যদি সিহঁতৰ কমেও এজন ল’ৰা বুলি জনা যায়। (ii) উভয় সন্তানেই কন্যা সন্তান হোৱাৰ সম্ভাৱিতা উলিওৱা যদি ডাঙৰ সন্তানটি কন্যা বুলি জনা যায়।
উত্তৰঃ (ডাঙৰ, সৰু) ক্ৰমত নিদৰ্শ স্থান $S = \{(b,b), (b,g), (g,b), (g,g)\}$, য’ত $b$ = ল’ৰা, $g$ = ছোৱালী।
(i) কমেও এজন ল’ৰা হোৱা ঘটনা $F = \{(b,b), (b,g), (g,b)\}$; উভয় ল’ৰা $E = \{(b,b)\}$। $P(E \mid F) = \dfrac{1/4}{3/4} = \dfrac{1}{3}$।
(ii) ডাঙৰ সন্তান কন্যা হোৱা ঘটনা $F = \{(g,b), (g,g)\}$; উভয় কন্যা $E = \{(g,g)\}$। $P(E \mid F) = \dfrac{1/4}{2/4} = \dfrac{1}{2}$।
3. ধৰা হওক, 5% পুৰুষ আৰু 0.25% মহিলাৰ ছাই বৰণীয়া চুলি আছে। যাদৃচ্ছিকভাৱে ছাইবৰণীয়া চুলিৰ ব্যক্তি এগৰাকী নিৰ্বাচন কৰা হ’ল। এই ব্যক্তিগৰাকী পুৰুষ হোৱাৰ সম্ভাৱিতা কিমান? (পুৰুষ আৰু মহিলাৰ সংখ্যা সমান বুলি ধৰিবা।)
উত্তৰঃ ধৰক $E_1$ = পুৰুষ বাছনি, $E_2$ = মহিলা বাছনি, $A$ = ছাইবৰণীয়া চুলি। $P(E_1) = P(E_2) = \dfrac{1}{2}$; $P(A \mid E_1) = 0.05$, $P(A \mid E_2) = 0.0025$।
$P(E_1 \mid A) = \dfrac{0.5 \times 0.05}{0.5 \times 0.05 + 0.5 \times 0.0025} = \dfrac{0.05}{0.05 + 0.0025} = \dfrac{0.05}{0.0525} = \dfrac{20}{21}$।
4. ধৰা হ’ল, 90% মানুহ সোঁহতীয়া। যাদৃচ্ছিকভাৱে বাছনি কৰা 10 জন মানুহৰ অতি বেছি 6 জন সোঁহতীয়া হোৱাৰ সম্ভাৱিতা কিমান?
উত্তৰঃ $X$ = সোঁহতীয়া মানুহৰ সংখ্যা হ’লে ই $n = 10$, $p = \dfrac{9}{10}$, $q = \dfrac{1}{10}$ ৰ দ্বিপদ বণ্টন মানে চলে। ‘অতি বেছি $6$ জন’ মানে $P(X \leq 6)$ —
$P(X \leq 6) = \sum_{r=0}^{6} \binom{10}{r}\left(\dfrac{9}{10}\right)^{r}\left(\dfrac{1}{10}\right)^{10-r} = 1 – \sum_{r=7}^{10} \binom{10}{r}\left(\dfrac{9}{10}\right)^{r}\left(\dfrac{1}{10}\right)^{10-r}$।
$\sum_{r=7}^{10}$ অংশটো $= \dfrac{120 \cdot 9^{7} + 45 \cdot 9^{8} + 10 \cdot 9^{9} + 9^{10}}{10^{10}} = \dfrac{9872048016}{10^{10}} \approx 0.9872$। গতিকে $P(X \leq 6) \approx 1 – 0.9872 = 0.0128$।
5. যাদৃচ্ছিকভাৱে বাছনি কৰা এটা লিপ্ ইয়েৰ (Leap year)ত 53 টা মঙলবাৰ থকাৰ সম্ভাৱিতা নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ লিপ্ ইয়েৰত $366$ দিন $= 52$ সপ্তাহ $+ 2$ দিন। এই বাকী $2$ টা দিন পৰপৰ থাকে আৰু সেয়া হ’ব পাৰে — (সোম, মঙল), (মঙল, বুধ), (বুধ, বৃহ), (বৃহ, শুক্ৰ), (শুক্ৰ, শনি), (শনি, দেও), (দেও, সোম) — মুঠ $7$ টা সমসম্ভাব্য ক্ষেত্ৰ। $53$ টা মঙলবাৰ পাবলৈ এই বাকী দুই দিনৰ এটা মঙলবাৰ হ’ব লাগিব — (সোম, মঙল) আৰু (মঙল, বুধ), অৰ্থাৎ $2$ টা অনুকূল ক্ষেত্ৰ। গতিকে সম্ভাৱিতা $= \dfrac{2}{7}$।
6. নিম্নোক্ত সাৰণিত উল্লেখ কৰা ধৰণে চাৰিটা বাকচ A, B, C আৰু D ত ৰঙীন মাৰ্বল থকা বুলি ধৰা হ’ল। বাকচকেইটাৰ এটা যাদৃচ্ছিকভাৱে বাছনি কৰা হ’ল আৰু এটা মাৰ্বল এই বাকচটোৰ পৰা লোৱা হ’ল। যদি মাৰ্বলটো ৰঙা হয় তেন্তে ই (i) বাকচ A (ii) বাকচ B (iii) বাকচ C ৰপৰা নিৰ্বাচিত হোৱাৰ সম্ভাৱিতা কিমান?
| বাকচ | ৰঙা | বগা | ক’লা |
|---|---|---|---|
| A | 1 | 6 | 3 |
| B | 6 | 2 | 2 |
| C | 8 | 1 | 1 |
| D | 0 | 6 | 4 |
উত্তৰঃ প্ৰতিটো বাকচৰ মুঠ মাৰ্বল $10$ টা আৰু প্ৰতিটো বাকচ বাছনিৰ সম্ভাৱিতা $\dfrac{1}{4}$। $A$ = ৰঙা মাৰ্বল লোৱা। $P(A \mid A_{\text{box}}) = \dfrac{1}{10}$, $P(A \mid B_{\text{box}}) = \dfrac{6}{10}$, $P(A \mid C_{\text{box}}) = \dfrac{8}{10}$, $P(A \mid D_{\text{box}}) = 0$।
মুঠ ৰঙা পোৱাৰ সম্ভাৱিতা $P(A) = \dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{10} + \dfrac{6}{10} + \dfrac{8}{10} + 0\right) = \dfrac{1}{4} \times \dfrac{15}{10} = \dfrac{3}{8}$।
(i) $P(A_{\text{box}} \mid A) = \dfrac{\frac{1}{4} \times \frac{1}{10}}{3/8} = \dfrac{1/40}{3/8} = \dfrac{1}{15}$।
(ii) $P(B_{\text{box}} \mid A) = \dfrac{\frac{1}{4} \times \frac{6}{10}}{3/8} = \dfrac{6/40}{3/8} = \dfrac{2}{5}$।
(iii) $P(C_{\text{box}} \mid A) = \dfrac{\frac{1}{4} \times \frac{8}{10}}{3/8} = \dfrac{8/40}{3/8} = \dfrac{8}{15}$।
7. ধৰি লোৱা, এজন ৰোগীৰ ‘হাৰ্ট এটাক’ (Heart attack) হোৱাৰ সম্ভাৱনা 40%। লগতে ধৰা হ’ল যে ধ্যান আৰু যোগ চৰ্চাই ‘হাৰ্ট এটাক’ৰ বিপদ 30% হ্ৰাস কৰে আৰু নিৰ্দিষ্ট ড্ৰাগছ সেৱনে 25% হ্ৰাস কৰে। একোবাৰত একোজন ৰোগীয়ে দুই বিকল্পৰ যিকোনো এটাহে বাছনি কৰিব পাৰে আৰু দুয়োটা বিকল্পৰে সম্ভাৱনা সমান। দেখা গ’ল যে দুই বিকল্পৰ কোনো এটা যাদৃচ্ছিকভাৱে বাছনি কৰাৰ অন্তত এজন ৰোগী ‘হাৰ্ট এটাক’ত পতিত হ’ল। ৰোগীজনে ধ্যান আৰু যোগচৰ্চা অনুসৰণ কৰাৰ সম্ভাৱিতা উলিওৱা।
উত্তৰঃ ধৰক $E_1$ = ধ্যান-যোগ বাছনি, $E_2$ = ড্ৰাগছ বাছনি; $A$ = হাৰ্ট এটাক হোৱা। $P(E_1) = P(E_2) = \dfrac{1}{2}$। ধ্যান-যোগে বিপদ $30\%$ হ্ৰাস কৰে, গতিকে $P(A \mid E_1) = 0.40 \times (1 – 0.30) = 0.40 \times 0.70 = 0.28$; ড্ৰাগছে $25\%$ হ্ৰাস কৰে, গতিকে $P(A \mid E_2) = 0.40 \times 0.75 = 0.30$।
$P(E_1 \mid A) = \dfrac{0.5 \times 0.28}{0.5 \times 0.28 + 0.5 \times 0.30} = \dfrac{0.14}{0.14 + 0.15} = \dfrac{0.14}{0.29} = \dfrac{14}{29}$।
8. দ্বিতীয় ঘাতৰ নিৰ্ণায়ক (Determinant) এটাৰ প্ৰতিটো মৌলই শূন্য নহ’লে এক। নিৰ্ণায়কটোৰ মান ধনাত্মক হোৱাৰ সম্ভাৱিতা কিমান? (নিৰ্ণায়কটোৰ প্ৰতিটো মৌলৰ বাছনিৰ সম্ভাৱনা $\dfrac{1}{2}$ আৰু এই বাছনি স্বতন্ত্ৰভাৱে কৰা বুলি ধৰিবা।)
উত্তৰঃ নিৰ্ণায়কটো $\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad – bc$; প্ৰতিটো মৌল $0$ বা $1$, প্ৰতিটোৰ সম্ভাৱিতা $\dfrac{1}{2}$। মান ধনাত্মক হ’বলৈ $ad – bc > 0$ লাগে, অৰ্থাৎ $ad = 1$ আৰু $bc = 0$।
$P(ad = 1) = P(a=1)\,P(d=1) = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4}$। $P(bc = 0) = 1 – P(bc = 1) = 1 – \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4}$। এই দুটা স্বতন্ত্ৰ হোৱাৰ বাবে মান ধনাত্মক হোৱাৰ সম্ভাৱিতা $= \dfrac{1}{4} \times \dfrac{3}{4} = \dfrac{3}{16}$।
9. এটা ইলেক্ট্ৰনিক সজ্জাৰ $A$ আৰু $B$ দুটা উপসজ্জা আছে। আগৰ পৰীক্ষণ পদ্ধতিৰপৰা নিম্নোক্ত সম্ভাৱিতাসমূহৰ বিষয়ে জনা বুলি ধৰা হ’ল — P(A বিফল হয়) = 0.2, P(B অকলে বিফল হয়) = 0.15, P(A আৰু B উভয়ে বিফল হয়) = 0.15। নিম্নোক্ত সম্ভাৱিতাসমূহ উলিওৱা — (i) P(A বিফল হয় | B বিফল হৈছে) (ii) P(A অকলে বিফল হয়)।
উত্তৰঃ $P(A \cap B) = 0.15$। $B$ বিফল হোৱাৰ সম্ভাৱিতা = ($B$ অকলে বিফল) + ($A$ আৰু $B$ উভয়ে বিফল) $= 0.15 + 0.15 = 0.30$, অৰ্থাৎ $P(B) = 0.30$।
(i) $P(A \mid B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)} = \dfrac{0.15}{0.30} = 0.5$।
(ii) $A$ অকলে বিফল হোৱাৰ সম্ভাৱিতা $= P(A) – P(A \cap B) = 0.2 – 0.15 = 0.05$।
10. মোনা I ত 3 টা ৰঙা আৰু 4 টা ক’লা আৰু মোনা II ত 4 টা ৰঙা আৰু 5 টা ক’লা বল আছে। মোনা I ৰপৰা মোনা II লৈ বল এটা স্থানান্তৰ কৰা হ’ল আৰু তাৰ পিছত মোনা II ৰপৰা এটা বল লোৱা হ’ল। এনেদৰে লোৱা বলটো ৰঙা পোৱা গ’ল। স্থানান্তৰিত কৰা বলটোৰ ৰং ক’লা হোৱাৰ সম্ভাৱিতা নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ ধৰক $E_1$ = স্থানান্তৰিত বল ৰঙা ($P(E_1) = \dfrac{3}{7}$), $E_2$ = স্থানান্তৰিত বল ক’লা ($P(E_2) = \dfrac{4}{7}$); $A$ = মোনা II ৰপৰা টনা বল ৰঙা।
ৰঙা স্থানান্তৰ হ’লে মোনা II ত $5$ ৰঙা, $5$ ক’লা (মুঠ $10$): $P(A \mid E_1) = \dfrac{5}{10} = \dfrac{1}{2}$। ক’লা স্থানান্তৰ হ’লে মোনা II ত $4$ ৰঙা, $6$ ক’লা: $P(A \mid E_2) = \dfrac{4}{10} = \dfrac{2}{5}$।
$P(E_2 \mid A) = \dfrac{\frac{4}{7} \times \frac{2}{5}}{\frac{4}{7} \times \frac{2}{5} + \frac{3}{7} \times \frac{1}{2}} = \dfrac{8/35}{8/35 + 3/14} = \dfrac{16/70}{16/70 + 15/70} = \dfrac{16}{31}$।
টোকাঃ ছপা পাঠ্যপুথিত ‘মোনা III ৰপৰা এটা বল লোৱা হ’ল’ বুলি লিখা আছে; ই মূলতে ‘মোনা II ৰপৰা’ৰ ছপা-ভুল, কাৰণ প্ৰশ্নত কেৱল মোনা I আৰু মোনা II আছে।
তলৰ প্ৰশ্নসমূহৰ প্ৰতিটোৰে শুদ্ধ উত্তৰটো বাছনি কৰাঃ
11. যদি দুটা ঘটনা $A$ আৰু $B$ ৰ ক্ষেত্ৰত $P(A) \neq 0$ আৰু $P(B \mid A) = 1$ তেন্তে — (A) $A \subset B$ (B) $B \subset A$ (C) $B = \phi$ (D) $A = \phi$।
উত্তৰঃ শুদ্ধ উত্তৰ (A) $A \subset B$। $P(B \mid A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)} = 1$ হ’লে $P(A \cap B) = P(A)$, যিয়ে $A \subset B$ ক নিৰ্দেশ কৰে।
12. যদি $P(A \mid B) > P(A)$ তেন্তে তলৰ কোনটো শুদ্ধ হ’ব? (A) $P(B \mid A) < P(B)$ (B) $P(A \cap B) < P(A) \cdot P(B)$ (C) $P(B \mid A) > P(B)$ (D) $P(B \mid A) = P(B)$।
উত্তৰঃ শুদ্ধ উত্তৰ (C) $P(B \mid A) > P(B)$। $P(A \mid B) > P(A)$ হ’লে $\dfrac{P(A \cap B)}{P(B)} > P(A)$, অৰ্থাৎ $P(A \cap B) > P(A)\,P(B)$। ইয়াক $P(A)$ ৰে ভাগ কৰিলে $\dfrac{P(A \cap B)}{P(A)} > P(B)$, অৰ্থাৎ $P(B \mid A) > P(B)$।
13. যদি দুটা ঘটনা $A$ আৰু $B$ ৰ ক্ষেত্ৰত $P(A) + P(B) – P(A \text{ and } B) = P(A)$ তেন্তে — (A) $P(B \mid A) = 1$ (B) $P(A \mid B) = 1$ (C) $P(B \mid A) = 0$ (D) $P(A \mid B) = 0$।
উত্তৰঃ শুদ্ধ উত্তৰ (B) $P(A \mid B) = 1$। দিয়া সম্পৰ্কটোৱে $P(B) – P(A \cap B) = 0$, অৰ্থাৎ $P(A \cap B) = P(B)$ দিয়ে। গতিকে $P(A \mid B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)} = \dfrac{P(B)}{P(B)} = 1$।
অতিৰিক্ত প্ৰশ্ন আৰু উত্তৰ
বহুবিকল্পযুক্ত প্ৰশ্ন (MCQ)
1. যদি $P(A) = 0.4$ আৰু $P(B \mid A) = 0.5$ তেন্তে $P(A \cap B) = $ — (A) $0.2$ (B) $0.8$ (C) $0.9$ (D) $0.1$।
উত্তৰঃ (A) $0.2$; কাৰণ $P(A \cap B) = P(A)\,P(B \mid A) = 0.4 \times 0.5 = 0.2$।
2. দুটা স্বতন্ত্ৰ ঘটনা $A$, $B$ ৰ বাবে $P(A) = 0.3$, $P(B) = 0.5$ হ’লে $P(A \cap B) = $ — (A) $0.8$ (B) $0.15$ (C) $0.2$ (D) $0.5$।
উত্তৰঃ (B) $0.15$; স্বতন্ত্ৰ হোৱাৰ বাবে $P(A \cap B) = P(A)\,P(B) = 0.3 \times 0.5 = 0.15$।
3. একেলগে দুটা পাশি দলিওৱাত যোগফল 7 হোৱাৰ সম্ভাৱিতা — (A) $\dfrac{1}{6}$ (B) $\dfrac{1}{9}$ (C) $\dfrac{5}{36}$ (D) $\dfrac{1}{12}$।
উত্তৰঃ (A) $\dfrac{1}{6}$; যোগফল $7$ হোৱা ফলাফল $6$ টা, গতিকে $\dfrac{6}{36} = \dfrac{1}{6}$।
4. যদি $A$ আৰু $B$ পৰস্পৰ বিবৰ্জিত হয় ($P(B) \neq 0$) তেন্তে $P(A \mid B) = $ — (A) $1$ (B) $0$ (C) $P(A)$ (D) $P(B)$।
উত্তৰঃ (B) $0$; পৰস্পৰ বিবৰ্জিত হ’লে $A \cap B = \phi$, গতিকে $P(A \mid B) = 0$।
5. বেইজৰ উপপাদ্যত $P(E_i)$ ক কি বোলা হয়? (A) পশ্চাৎ সম্ভাৱিতা (B) পূৰ্ব সম্ভাৱিতা (priori) (C) চৰ্তাধীন সম্ভাৱিতা (D) মুঠ সম্ভাৱিতা।
উত্তৰঃ (B) পূৰ্ব সম্ভাৱিতা; $P(E_i)$ ক হাইপ’থিছিছ $E_i$ ৰ পূৰ্ব (priori) সম্ভাৱিতা আৰু $P(E_i \mid A)$ ক পশ্চাৎ (posteriori) সম্ভাৱিতা বোলা হয়।
6. তিনিটা মুদ্ৰা একেলগে টছ কৰিলে নিদৰ্শ স্থানত মুঠ কিমান ফলাফল থাকে? (A) $6$ (B) $8$ (C) $9$ (D) $3$।
উত্তৰঃ (B) $8$; মুঠ ফলাফল $= 2^3 = 8$।
7. যদি $P(A) = \dfrac{7}{13}$, $P(B) = \dfrac{9}{13}$ আৰু $P(A \cap B) = \dfrac{4}{13}$ তেন্তে $P(A \mid B) = $ — (A) $\dfrac{4}{9}$ (B) $\dfrac{4}{7}$ (C) $\dfrac{9}{13}$ (D) $\dfrac{4}{13}$।
উত্তৰঃ (A) $\dfrac{4}{9}$; $P(A \mid B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)} = \dfrac{4/13}{9/13} = \dfrac{4}{9}$।
8. যাদৃচ্ছিকভাৱে বাছনি কৰা এটা সাধাৰণ (লিপ্ নোহোৱা) বছৰত 53 টা দেওবাৰ থকাৰ সম্ভাৱিতা — (A) $\dfrac{2}{7}$ (B) $\dfrac{1}{7}$ (C) $\dfrac{3}{7}$ (D) $\dfrac{53}{365}$।
উত্তৰঃ (B) $\dfrac{1}{7}$; সাধাৰণ বছৰত $365 = 52$ সপ্তাহ $+ 1$ দিন। বাকী $1$ দিনটো দেওবাৰ হ’লেহে $53$ টা দেওবাৰ হয়, গতিকে সম্ভাৱিতা $\dfrac{1}{7}$।
খালী ঠাই পূৰণ কৰা
1. $P(E \mid F) = \dfrac{P(E \cap F)}{\underline{\quad\quad}}$, যদি $P(F) \neq 0$। — উত্তৰঃ $P(F)$।
2. দুটা ঘটনা $E$ আৰু $F$ স্বতন্ত্ৰ হ’লে $P(E \cap F) = \underline{\quad\quad}$। — উত্তৰঃ $P(E)\,P(F)$।
3. $P(E^{\prime} \mid F) = \underline{\quad\quad}$। — উত্তৰঃ $1 – P(E \mid F)$।
4. নিদৰ্শ স্থানৰ পৰস্পৰ বিবৰ্জিত, নিঃশেষী আৰু অশূন্য সম্ভাৱিতাযুক্ত ঘটনাৰ সংহতিক নিদৰ্শ স্থানৰ এটা $\underline{\quad\quad}$ বোলা হয়। — উত্তৰঃ বিভাজন (partition)।
5. এটা যাদৃচ্ছিক পৰীক্ষাৰ সকলো সম্ভাৱ্য ফলাফলৰ সংহতিক $\underline{\quad\quad}$ বোলা হয়। — উত্তৰঃ নিদৰ্শ স্থান (sample space)।
সত্য নে অসত্য লিখা
1. যদি $A$ আৰু $B$ স্বতন্ত্ৰ হয় তেন্তে $A^{\prime}$ আৰু $B^{\prime}$ ও স্বতন্ত্ৰ। — উত্তৰঃ সত্য।
2. পৰস্পৰ বিবৰ্জিত (অশূন্য সম্ভাৱিতাৰ) ঘটনা সদায় স্বতন্ত্ৰ হয়। — উত্তৰঃ অসত্য।
3. যিকোনো দুটা ঘটনা $E$, $F$ ($P(F) \neq 0$) ৰ বাবে $0 \leq P(E \mid F) \leq 1$। — উত্তৰঃ সত্য।
4. $S$ নিদৰ্শ স্থান হ’লে $P(S \mid F) = 1$। — উত্তৰঃ সত্য।
5. যদি $P(A \mid B) = P(A)$ হয় তেন্তে $A$ আৰু $B$ স্বতন্ত্ৰ নহয়। — উত্তৰঃ অসত্য (এইটোৱেই স্বতন্ত্ৰতাৰ চৰ্ত)।
চমু উত্তৰৰ প্ৰশ্ন
1. চৰ্তাধীন সম্ভাৱিতাৰ সংজ্ঞা লিখা।
উত্তৰঃ একে নিদৰ্শ স্থানৰ দুটা ঘটনা $E$ আৰু $F$ ৰ ক্ষেত্ৰত, $F$ ঘটিছে বুলি জনাৰ পিছত $E$ ঘটাৰ চৰ্তাধীন সম্ভাৱিতা হ’ল $P(E \mid F) = \dfrac{P(E \cap F)}{P(F)}$, য’ত $P(F) \neq 0$।
2. স্বতন্ত্ৰ ঘটনা আৰু পৰস্পৰ বিবৰ্জিত ঘটনাৰ মাজৰ পাৰ্থক্য লিখা।
উত্তৰঃ দুটা ঘটনা স্বতন্ত্ৰ হয় যদি $P(E \cap F) = P(E)\,P(F)$ — ইয়াক সম্ভাৱিতাৰ ভাষাত সংজ্ঞায়িত কৰা হয় আৰু এওঁলোকৰ উমৈহতীয়া ফলাফল থাকিব পাৰে। আনহাতে পৰস্পৰ বিবৰ্জিত ঘটনাৰ কোনো উমৈহতীয়া ফলাফল নাথাকে ($E \cap F = \phi$) — ইয়াক ঘটনা (সংহতি) ৰ ভাষাত সংজ্ঞায়িত কৰা হয়। অশূন্য সম্ভাৱিতাৰ দুটা স্বতন্ত্ৰ ঘটনা কেতিয়াও পৰস্পৰ বিবৰ্জিত হ’ব নোৱাৰে।
3. মুঠ সম্ভাৱিতাৰ উপপাদ্যটো লিখা।
উত্তৰঃ যদি $\{E_1, E_2, \dots, E_n\}$ নিদৰ্শ স্থান $S$ ৰ এটা বিভাজন হয় আৰু প্ৰতিটোৰ সম্ভাৱিতা অশূন্য হয়, তেন্তে $S$ ৰ সৈতে জড়িত যিকোনো ঘটনা $A$ ৰ বাবে $P(A) = P(E_1)\,P(A \mid E_1) + P(E_2)\,P(A \mid E_2) + \dots + P(E_n)\,P(A \mid E_n) = \sum_{j=1}^{n} P(E_j)\,P(A \mid E_j)$।
4. এটা পাশি দুবাৰ দলিওৱা হ’ল। প্ৰথমবাৰ 4 ওলোৱা সাপেক্ষে দুয়োটাৰ যোগফল 8 হোৱাৰ চৰ্তাধীন সম্ভাৱিতা উলিওৱা।
উত্তৰঃ ধৰক $B$ = প্ৰথমবাৰ $4$ ($n(B) = 6$: $(4,1), (4,2), \dots, (4,6)$), $A$ = যোগফল $8$। $A \cap B$ ত প্ৰথমটো $4$ আৰু যোগফল $8$ হ’বলৈ দ্বিতীয়টো $4$ লাগে — কেৱল $(4,4)$, গতিকে $n(A \cap B) = 1$। সেয়েহে $P(A \mid B) = \dfrac{1}{6}$।
শব্দাৰ্থ
| অসমীয়া শব্দ | English Term | অৰ্থ |
|---|---|---|
| সম্ভাৱিতা | Probability | কোনো ঘটনা ঘটাৰ সম্ভাৱনাৰ পৰিমাপ |
| চৰ্তাধীন সম্ভাৱিতা | Conditional Probability | এটা ঘটনা ঘটা সাপেক্ষে আন এটা ঘটনাৰ সম্ভাৱিতা |
| নিদৰ্শ স্থান | Sample Space | এটা যাদৃচ্ছিক পৰীক্ষাৰ সকলো সম্ভাৱ্য ফলাফলৰ সংহতি |
| ঘটনা | Event | নিদৰ্শ স্থানৰ এটা উপসংহতি |
| স্বতন্ত্ৰ ঘটনা | Independent Events | এটাৰ সংঘটনে আনটোৰ সম্ভাৱিতা প্ৰভাৱিত নকৰা ঘটনা |
| পৰস্পৰ বিবৰ্জিত | Mutually Exclusive | উমৈহতীয়া ফলাফল নথকা ঘটনা |
| পূৰণ বিধি | Multiplication Rule | $P(E \cap F) = P(E)\,P(F \mid E)$ |
| বিভাজন | Partition | নিদৰ্শ স্থানৰ পৰস্পৰ বিবৰ্জিত, নিঃশেষী ঘটনাৰ সংহতি |
| মুঠ সম্ভাৱিতাৰ উপপাদ্য | Theorem of Total Probability | $P(A) = \sum P(E_j)\,P(A \mid E_j)$ |
| বেইজৰ উপপাদ্য | Bayes’ Theorem | বিপৰীত (পশ্চাৎ) সম্ভাৱিতা নিৰ্ণয়ৰ সূত্ৰ |
| নিঃশেষী | Exhaustive | সকলো ফলাফল সামৰি লোৱা ঘটনাসমূহ |
| যাদৃচ্ছিক চলক | Random Variable | নিদৰ্শ স্থানত সংজ্ঞায়িত বাস্তৱ-মান ফলন |