ৰৈখিক প্ৰগ্ৰেমিং — প্ৰশ্ন উত্তৰ
HSLC Guru-লৈ আপোনাক স্বাগতম। এই পাঠত ASSEB Class 12 গণিতৰ (Mathematics) দ্বাদশ অধ্যায় ৰৈখিক প্ৰগ্ৰেমিং (Linear Programming)ৰ অনুশীলনী 12.1ৰ প্ৰতিটো প্ৰশ্নৰ সম্পূৰ্ণ লৈখিক সমাধান, ব্যৱহাৰ্য ক্ষেত্ৰৰ লেখচিত্ৰ আৰু কৌণিক বিন্দুৰ মানৰ তালিকাৰ সৈতে দিয়া হৈছে।
সাৰাংশ
ৰৈখিক প্ৰগ্ৰেমিং সমস্যা (Linear Programming Problem) হ’ল এনে এটা সমস্যা য’ত কেইবাটাও চলকৰ এটা ৰৈখিক ফলনৰ — যাক উদ্দিষ্ট ফলন (objective function) $Z = ax + by$ বোলা হয় — সৰ্বোত্তম মান (সৰ্বোচ্চ বা সৰ্বনিম্ন) উলিওৱা হয়, যেতিয়া চলকসমূহ অঋণাত্মক আৰু কিছুমান ৰৈখিক অসমিকা বা সীমাবদ্ধতা (constraints)ৰ দ্বাৰা নিয়ন্ত্ৰিত হয়। চলক $x$ আৰু $y$ ক নিৰ্ণয় চল (decision variable) বোলা হয় আৰু $x \ge 0$, $y \ge 0$ অসমিকা দুটাক অঋণাত্মক সীমাবদ্ধতা বোলা হয়।
সকলো সীমাবদ্ধতাই (অঋণাত্মক সীমাবদ্ধতা ধৰি) নিৰ্ধাৰণ কৰা উমৈহতীয়া ক্ষেত্ৰটোক সমস্যাটোৰ ব্যৱহাৰ্য ক্ষেত্ৰ (feasible region) বোলা হয়; এই ক্ষেত্ৰৰ প্ৰতিটো বিন্দুৱেই এটা ব্যৱহাৰ্য সমাধান। ব্যৱহাৰ্য ক্ষেত্ৰটোক এটা বৃত্তৰ ভিতৰত আৱদ্ধ কৰিব পাৰিলে ইয়াক পৰিবদ্ধ (bounded), অন্যথা অপৰিবদ্ধ (unbounded) বোলা হয়। উপপাদ্য অনুসৰি উদ্দিষ্ট ফলনৰ সৰ্বোত্তম মান — যদি থাকে — সদায় ব্যৱহাৰ্য ক্ষেত্ৰৰ কোনো এটা কৌণিক বিন্দু (শীৰ্ষবিন্দু)ত প্ৰাপ্ত হয়।
কৌণিক বিন্দু পদ্ধতিৰে (Corner Point Method) সমাধান কৰিবলৈ প্ৰথমে ব্যৱহাৰ্য ক্ষেত্ৰটো অঁকা হয় আৰু ইয়াৰ কৌণিক বিন্দুবোৰ নিৰ্ণয় কৰা হয়। তাৰ পিছত প্ৰতিটো কৌণিক বিন্দুত $Z = ax + by$ ৰ মান উলিওৱা হয়। ক্ষেত্ৰটো পৰিবদ্ধ হ’লে এই মানবোৰৰ ভিতৰত সৰ্ববৃহৎটোৱেই সৰ্বোচ্চ মান আৰু ক্ষুদ্ৰতমটোৱেই সৰ্বনিম্ন মান। ক্ষেত্ৰটো অপৰিবদ্ধ হ’লে $M$ মানটো সৰ্বোচ্চ হয় কেৱল যেতিয়া $ax + by \gt M$ মুক্ত অৰ্ধ-সমতলৰ ব্যৱহাৰ্য ক্ষেত্ৰৰ সৈতে কোনো উমৈহতীয়া বিন্দু নাথাকে; একেদৰে $m$ মানটো সৰ্বনিম্ন হয় যেতিয়া $ax + by \lt m$ অৰ্ধ-সমতলৰ কোনো উমৈহতীয়া বিন্দু নাথাকে।
Summary: This page gives the complete graphical solutions to Exercise 12.1 of ASSEB Class 12 Mathematics Chapter 12, Linear Programming. Each linear programming problem is solved by the Corner Point Method — drawing the feasible region as a labelled figure, evaluating the objective function Z = ax + by at every corner point, and identifying the maximum or minimum value, covering bounded, unbounded, multiple-optimal-solution and infeasible (no feasible region) cases.
পাঠ্যপুথিৰ প্ৰশ্ন আৰু উত্তৰ
অনুশীলনী 12.1
নিম্নোক্ত ৰৈখিক প্ৰগ্ৰেমিং সমস্যাবোৰৰ লৈখিক সমাধান আগবঢ়োৱা।
1. $x + y \le 4$, $x \ge 0$, $y \ge 0$ সীমাবদ্ধতা সাপেক্ষে $Z = 3x + 4y$ ৰ সৰ্বনিম্ন মান উলিওৱা।
উত্তৰঃ $x + y = 4$ ৰেখাডাল $(4, 0)$ আৰু $(0, 4)$ বিন্দুৰে যায়। $x \ge 0$, $y \ge 0$ আৰু $x + y \le 4$ সিদ্ধ কৰা উমৈহতীয়া ক্ষেত্ৰটো হ’ল $O(0,0)$, $(4, 0)$ আৰু $(0, 4)$ শীৰ্ষবিন্দুবিশিষ্ট এটা ত্ৰিভুজাকাৰ পৰিবদ্ধ ক্ষেত্ৰ।
| কৌণিক বিন্দু | $Z = 3x + 4y$ ৰ মান |
|---|---|
| $(0, 0)$ | $0$ |
| $(4, 0)$ | $12$ |
| $(0, 4)$ | $16$ |
গতিকে $Z$ ৰ সৰ্বনিম্ন মান $= 0$, যি মূলবিন্দু $(0, 0)$ ত প্ৰাপ্ত হয়।
মন্তব্যঃ ছপা অসমীয়া পাঠ্যপুথিত এই প্ৰশ্নত “সৰ্বনিম্ন মান” বিচৰা হৈছে (মূল NCERT সংস্কৰণত “সৰ্বোচ্চ মান” — Maximise বিচৰা হৈছে)। ক্ষেত্ৰটো পৰিবদ্ধ হোৱাবাবে দুয়োটা মানেই আছে: সৰ্বোচ্চ মান $= 16$, যি $(0, 4)$ বিন্দুত প্ৰাপ্ত হয়।
2. $x + 2y \le 8$, $3x + 2y \le 12$, $x \ge 0$, $y \ge 0$ সাপেক্ষে $Z = -3x + 4y$ ৰ সৰ্বনিম্ন মান উলিওৱা।
উত্তৰঃ $x + 2y = 8$ ৰেখাডাল $(8, 0)$, $(0, 4)$ বিন্দুৰে আৰু $3x + 2y = 12$ ৰেখাডাল $(4, 0)$, $(0, 6)$ বিন্দুৰে যায়। এই দুডাল ৰেখাৰ ছেদবিন্দু $(2, 3)$। ব্যৱহাৰ্য ক্ষেত্ৰটো পৰিবদ্ধ, যাৰ শীৰ্ষবিন্দুবোৰ $O(0,0)$, $(4, 0)$, $(2, 3)$ আৰু $(0, 4)$।
| কৌণিক বিন্দু | $Z = -3x + 4y$ ৰ মান |
|---|---|
| $(0, 0)$ | $0$ |
| $(4, 0)$ | $-12$ |
| $(2, 3)$ | $6$ |
| $(0, 4)$ | $16$ |
গতিকে $Z$ ৰ সৰ্বনিম্ন মান $= -12$, যি $(4, 0)$ বিন্দুত প্ৰাপ্ত হয়।
3. $3x + 5y \le 15$, $5x + 2y \le 10$, $x \ge 0$, $y \ge 0$ সাপেক্ষে $Z = 5x + 3y$ ৰ সৰ্বোচ্চ মান উলিওৱা।
উত্তৰঃ $3x + 5y = 15$ ৰেখাডাল $(5, 0)$, $(0, 3)$ বিন্দুৰে আৰু $5x + 2y = 10$ ৰেখাডাল $(2, 0)$, $(0, 5)$ বিন্দুৰে যায়। এই দুডাল ৰেখা সমাধান কৰিলে ছেদবিন্দু $\left(\frac{20}{19}, \frac{45}{19}\right)$ পোৱা যায়। ব্যৱহাৰ্য ক্ষেত্ৰটো পৰিবদ্ধ, যাৰ শীৰ্ষবিন্দুবোৰ $O(0,0)$, $(2, 0)$, $\left(\frac{20}{19}, \frac{45}{19}\right)$ আৰু $(0, 3)$।
| কৌণিক বিন্দু | $Z = 5x + 3y$ ৰ মান |
|---|---|
| $(0, 0)$ | $0$ |
| $(2, 0)$ | $10$ |
| $\left(\frac{20}{19}, \frac{45}{19}\right)$ | $\frac{235}{19}$ |
| $(0, 3)$ | $9$ |
গতিকে $Z$ ৰ সৰ্বোচ্চ মান $= \frac{235}{19} \approx 12.37$, যি $\left(\frac{20}{19}, \frac{45}{19}\right)$ বিন্দুত প্ৰাপ্ত হয়।
4. $Z = 3x + 5y$ ৰ সৰ্বনিম্ন মান উলিওৱা য’ত $x + 3y \ge 3$, $x + y \ge 2$, $x, y \ge 0$।
উত্তৰঃ $x + 3y = 3$ ৰেখাডাল $(3, 0)$, $(0, 1)$ বিন্দুৰে আৰু $x + y = 2$ ৰেখাডাল $(2, 0)$, $(0, 2)$ বিন্দুৰে যায়। এই দুডাল ৰেখাৰ ছেদবিন্দু $\left(\frac{3}{2}, \frac{1}{2}\right)$। ব্যৱহাৰ্য ক্ষেত্ৰটো অপৰিবদ্ধ (অসীমলৈ বিস্তৃত), যাৰ কৌণিক বিন্দুবোৰ $(0, 2)$, $\left(\frac{3}{2}, \frac{1}{2}\right)$ আৰু $(3, 0)$।
| কৌণিক বিন্দু | $Z = 3x + 5y$ ৰ মান |
|---|---|
| $(0, 2)$ | $10$ |
| $\left(\frac{3}{2}, \frac{1}{2}\right)$ | $7$ |
| $(3, 0)$ | $9$ |
ক্ষেত্ৰটো অপৰিবদ্ধ হোৱাবাবে ক্ষুদ্ৰতম মান $7$ কে সৰ্বনিম্ন বুলি ক’বলৈ আমি $3x + 5y \lt 7$ মুক্ত অৰ্ধ-সমতলখন পৰীক্ষা কৰোঁ; ইয়াৰ ব্যৱহাৰ্য ক্ষেত্ৰৰ সৈতে কোনো উমৈহতীয়া বিন্দু নাই। গতিকে $Z$ ৰ সৰ্বনিম্ন মান $= 7$, যি $\left(\frac{3}{2}, \frac{1}{2}\right)$ বিন্দুত প্ৰাপ্ত হয়।
5. $x + 2y \le 10$, $3x + y \le 15$, $x, y \ge 0$ সাপেক্ষে $Z = 3x + 2y$ ৰ সৰ্বোচ্চ মান উলিওৱা।
উত্তৰঃ $x + 2y = 10$ ৰেখাডাল $(10, 0)$, $(0, 5)$ বিন্দুৰে আৰু $3x + y = 15$ ৰেখাডাল $(5, 0)$, $(0, 15)$ বিন্দুৰে যায়। এই দুডাল ৰেখাৰ ছেদবিন্দু $(4, 3)$। ব্যৱহাৰ্য ক্ষেত্ৰটো পৰিবদ্ধ, যাৰ শীৰ্ষবিন্দুবোৰ $O(0,0)$, $(5, 0)$, $(4, 3)$ আৰু $(0, 5)$।
| কৌণিক বিন্দু | $Z = 3x + 2y$ ৰ মান |
|---|---|
| $(0, 0)$ | $0$ |
| $(5, 0)$ | $15$ |
| $(4, 3)$ | $18$ |
| $(0, 5)$ | $10$ |
গতিকে $Z$ ৰ সৰ্বোচ্চ মান $= 18$, যি $(4, 3)$ বিন্দুত প্ৰাপ্ত হয়।
6. $2x + y \ge 3$, $x + 2y \ge 6$, $x, y \ge 0$ সাপেক্ষে $Z = x + 2y$ ৰ সৰ্বনিম্ন মান উলিওৱা। দেখুওৱা যে $Z$ ৰ সৰ্বনিম্ন মান দুটাতকৈ অধিক বিন্দুত প্ৰাপ্ত হয়।
উত্তৰঃ $2x + y = 3$ ৰেখাডাল $\left(\frac{3}{2}, 0\right)$, $(0, 3)$ বিন্দুৰে আৰু $x + 2y = 6$ ৰেখাডাল $(6, 0)$, $(0, 3)$ বিন্দুৰে যায় — দুয়োডাল ৰেখা $(0, 3)$ বিন্দুত মিলিত হয়। ব্যৱহাৰ্য ক্ষেত্ৰটো অপৰিবদ্ধ, যাৰ কৌণিক বিন্দু দুটা $(0, 3)$ আৰু $(6, 0)$।
| কৌণিক বিন্দু | $Z = x + 2y$ ৰ মান |
|---|---|
| $(0, 3)$ | $6$ |
| $(6, 0)$ | $6$ |
দুয়োটা কৌণিক বিন্দুতে $Z = 6$। অপৰিবদ্ধ ক্ষেত্ৰ হ’লেও $x + 2y \lt 6$ অৰ্ধ-সমতলৰ ব্যৱহাৰ্য ক্ষেত্ৰৰ সৈতে কোনো উমৈহতীয়া বিন্দু নাই, গতিকে $Z$ ৰ সৰ্বনিম্ন মান $= 6$। যিহেতু $(0, 3)$ আৰু $(6, 0)$ সংযোগকাৰী ৰেখাখণ্ডটো (অৰ্থাৎ $x + 2y = 6$ ৰেখাৰ অংশ) ব্যৱহাৰ্য ক্ষেত্ৰৰ প্ৰান্ত, সেই ৰেখাখণ্ডৰ প্ৰতিটো বিন্দুতে $Z = 6$ হয়। সেয়েহে $Z$ ৰ সৰ্বনিম্ন মান দুটাতকৈ অধিক (আচলতে অসীম সংখ্যক) বিন্দুত প্ৰাপ্ত হয়।
7. $x + 2y \le 120$, $x + y \ge 60$, $x – 2y \ge 0$, $x, y \ge 0$ সাপেক্ষে $Z = 5x + 10y$ ৰ সৰ্বোচ্চ আৰু সৰ্বনিম্ন মান উলিওৱা।
উত্তৰঃ $x + 2y = 120$ ৰেখাডাল $(120, 0)$, $(0, 60)$ বিন্দুৰে, $x + y = 60$ ৰেখাডাল $(60, 0)$, $(0, 60)$ বিন্দুৰে আৰু $x – 2y = 0$ ৰেখাডাল মূলবিন্দু আৰু $(120, 60)$ বিন্দুৰে যায়। ব্যৱহাৰ্য ক্ষেত্ৰটো পৰিবদ্ধ, যাৰ শীৰ্ষবিন্দুবোৰ $(60, 0)$, $(120, 0)$, $(60, 30)$ আৰু $(40, 20)$।
| কৌণিক বিন্দু | $Z = 5x + 10y$ ৰ মান |
|---|---|
| $(60, 0)$ | $300$ |
| $(120, 0)$ | $600$ |
| $(60, 30)$ | $600$ |
| $(40, 20)$ | $400$ |
গতিকে $Z$ ৰ সৰ্বনিম্ন মান $= 300$, যি $(60, 0)$ বিন্দুত প্ৰাপ্ত হয়। $Z$ ৰ সৰ্বোচ্চ মান $= 600$, যি $(120, 0)$ আৰু $(60, 30)$ — দুয়োটা শীৰ্ষবিন্দুতে প্ৰাপ্ত হয়; সেয়েহে এই দুটা বিন্দু সংযোগকাৰী ৰেখাখণ্ডৰ প্ৰতিটো বিন্দুতে $Z$ ৰ মান $600$।
8. $x + 2y \ge 100$, $2x – y \le 0$, $2x + y \le 200$; $x, y \ge 0$ সাপেক্ষে $Z = x + 2y$ ৰ সৰ্বনিম্ন আৰু সৰ্বোচ্চ মান উলিওৱা।
উত্তৰঃ $x + 2y = 100$ ৰেখাডাল $(100, 0)$, $(0, 50)$ বিন্দুৰে, $2x – y = 0$ ৰেখাডাল মূলবিন্দু আৰু $(100, 200)$ বিন্দুৰে আৰু $2x + y = 200$ ৰেখাডাল $(100, 0)$, $(0, 200)$ বিন্দুৰে যায়। ব্যৱহাৰ্য ক্ষেত্ৰটো পৰিবদ্ধ, যাৰ শীৰ্ষবিন্দুবোৰ $(0, 50)$, $(20, 40)$, $(50, 100)$ আৰু $(0, 200)$।
| কৌণিক বিন্দু | $Z = x + 2y$ ৰ মান |
|---|---|
| $(0, 50)$ | $100$ |
| $(20, 40)$ | $100$ |
| $(50, 100)$ | $250$ |
| $(0, 200)$ | $400$ |
গতিকে $Z$ ৰ সৰ্বনিম্ন মান $= 100$, যি $(0, 50)$ আৰু $(20, 40)$ — দুয়োটা শীৰ্ষবিন্দুতে প্ৰাপ্ত হয়; সেয়েহে এই দুটা বিন্দু সংযোগকাৰী ($x + 2y = 100$ ৰেখাৰ) ৰেখাখণ্ডৰ প্ৰতিটো বিন্দুতে $Z = 100$। $Z$ ৰ সৰ্বোচ্চ মান $= 400$, যি $(0, 200)$ বিন্দুত প্ৰাপ্ত হয়।
9. সীমাবদ্ধতা $x \ge 3$, $x + y \ge 5$, $x + 2y \ge 6$, $y \ge 0$ সাপেক্ষে $Z = -x + 2y$ ৰ সৰ্বোচ্চ মান উলিওৱা।
উত্তৰঃ $x = 3$ এডাল থিয় ৰেখা, $x + y = 5$ ৰেখাডাল $(5, 0)$, $(0, 5)$ বিন্দুৰে আৰু $x + 2y = 6$ ৰেখাডাল $(6, 0)$, $(0, 3)$ বিন্দুৰে যায়। ব্যৱহাৰ্য ক্ষেত্ৰটো অপৰিবদ্ধ, যাৰ কৌণিক বিন্দুবোৰ $(3, 2)$, $(4, 1)$ আৰু $(6, 0)$।
| কৌণিক বিন্দু | $Z = -x + 2y$ ৰ মান |
|---|---|
| $(3, 2)$ | $1$ |
| $(4, 1)$ | $-2$ |
| $(6, 0)$ | $-6$ |
কৌণিক বিন্দুবোৰত $Z$ ৰ বৃহত্তম মান $1$ ($(3, 2)$ ত)। কিন্তু ক্ষেত্ৰটো অপৰিবদ্ধ, গতিকে $-x + 2y \gt 1$ মুক্ত অৰ্ধ-সমতলখন পৰীক্ষা কৰিব লাগে। $x = 3$ ৰেখাত $y$ ৰ মান যিমানেই ডাঙৰ কৰোঁ, $Z = -3 + 2y$ সিমানেই বাঢ়ি যায় (উদাহৰণ, $(3, 100)$ ত $Z = 197$)। এই অৰ্ধ-সমতলৰ ব্যৱহাৰ্য ক্ষেত্ৰৰ সৈতে উমৈহতীয়া বিন্দু আছে। সেয়েহে দিয়া সীমাবদ্ধতা সাপেক্ষে $Z$ ৰ কোনো সৰ্বোচ্চ মান নাই।
10. $x – y \le -1$, $-x + y \le 0$, $x, y \ge 0$ সাপেক্ষে $Z = x + y$ ৰ সৰ্বোচ্চ মান উলিওৱা।
উত্তৰঃ $x – y \le -1$ অসমিকাটোৱে $y \ge x + 1$ বুজায় (অৰ্থাৎ $y = x + 1$ ৰেখাৰ ওপৰৰ অঞ্চল) আৰু $-x + y \le 0$ অসমিকাটোৱে $y \le x$ বুজায় (অৰ্থাৎ $y = x$ ৰেখাৰ তলৰ অঞ্চল)। কিন্তু $y \ge x + 1$ হ’লে $y \gt x$, যিটো $y \le x$ ৰ সৈতে একেলগে সম্ভৱ নহয়। গতিকে দুয়োটা অসমিকা একে সময়ত সিদ্ধ কৰা কোনো বিন্দু নাই।
যিহেতু দুয়োডাল ৰেখা সমান্তৰাল আৰু বিচৰা অঞ্চল দুটাৰ কোনো উমৈহতীয়া অংশ নাই, সমস্যাটোৰ কোনো ব্যৱহাৰ্য ক্ষেত্ৰ নাই, গতিকে কোনো ব্যৱহাৰ্য সমাধানো নাই। সেয়েহে $Z = x + y$ ৰ কোনো সৰ্বোচ্চ মান নাই।
অতিৰিক্ত প্ৰশ্ন আৰু উত্তৰ
বহু বিকল্পযুক্ত প্ৰশ্ন (MCQ)
1. ৰৈখিক প্ৰগ্ৰেমিং সমস্যাত উদ্দিষ্ট ফলন $Z = ax + by$ ৰ সৰ্বোত্তম মান সদায় ক’ত প্ৰাপ্ত হয়?
(A) ব্যৱহাৰ্য ক্ষেত্ৰৰ ভিতৰৰ যিকোনো বিন্দুত (B) কৌণিক বিন্দুত (C) মূলবিন্দুত (D) অক্ষৰ ওপৰত
উত্তৰঃ (B) কৌণিক বিন্দুত। উপপাদ্য অনুসৰি সৰ্বোত্তম মান — যদি থাকে — ব্যৱহাৰ্য ক্ষেত্ৰৰ কোনো এটা কৌণিক বিন্দুত (শীৰ্ষবিন্দুত) প্ৰাপ্ত হয়।
2. এটা ৰৈখিক প্ৰগ্ৰেমিং সমস্যাৰ ব্যৱহাৰ্য ক্ষেত্ৰ সদায় —
(A) অবতল (B) উত্তল (Convex) (C) বৃত্তাকাৰ (D) খোলা
উত্তৰঃ (B) উত্তল (Convex)।
3. যদি ব্যৱহাৰ্য ক্ষেত্ৰ পৰিবদ্ধ হয়, তেন্তে উদ্দিষ্ট ফলনৰ —
(A) কেৱল সৰ্বোচ্চ মান থাকে (B) কেৱল সৰ্বনিম্ন মান থাকে (C) সৰ্বোচ্চ আৰু সৰ্বনিম্ন দুয়োটা মানেই থাকে (D) কোনো মানেই নাথাকে
উত্তৰঃ (C) সৰ্বোচ্চ আৰু সৰ্বনিম্ন দুয়োটা মানেই থাকে, আৰু প্ৰতিটোৱে কৌণিক বিন্দুত প্ৰাপ্ত হয়।
4. $x \ge 0$, $y \ge 0$ সীমাবদ্ধতা দুটাক কি বোলা হয়?
(A) উদ্দিষ্ট ফলন (B) অঋণাত্মক সীমাবদ্ধতা (C) নিৰ্ণয় চল (D) ব্যৱহাৰ্য সমাধান
উত্তৰঃ (B) অঋণাত্মক সীমাবদ্ধতা (non-negative constraints)।
5. কৌণিক বিন্দু $(4, 3)$ ত $Z = 3x + 2y$ ৰ মান কিমান?
(A) 12 (B) 17 (C) 18 (D) 6
উত্তৰঃ (C) 18, কিয়নো $3(4) + 2(3) = 12 + 6 = 18$।
6. তলৰ কোনটো ৰৈখিক প্ৰগ্ৰেমিং সমস্যাৰ উপাদান নহয়?
(A) উদ্দিষ্ট ফলন (B) সীমাবদ্ধতা (C) নিৰ্ণয় চল (D) অৱকলজ
উত্তৰঃ (D) অৱকলজ (derivative)। অৱকলজ ৰৈখিক প্ৰগ্ৰেমিঙৰ অংশ নহয়।
7. এটা অপৰিবদ্ধ (unbounded) ব্যৱহাৰ্য ক্ষেত্ৰৰ ক্ষেত্ৰত উদ্দিষ্ট ফলনৰ —
(A) সদায় সৰ্বোচ্চ মান থাকে (B) সদায় সৰ্বনিম্ন মান থাকে (C) সৰ্বোচ্চ বা সৰ্বনিম্ন মান নাথাকিবও পাৰে (D) কোনো কৌণিক বিন্দু নাথাকে
উত্তৰঃ (C) সৰ্বোচ্চ বা সৰ্বনিম্ন মান নাথাকিবও পাৰে।
8. যদি দুটা কৌণিক বিন্দুত উদ্দিষ্ট ফলনৰ একে সৰ্বোচ্চ মান পোৱা যায়, তেন্তে সেই মান —
(A) কেৱল সেই দুটা বিন্দুতে পোৱা যায় (B) সিহঁত সংযোগকাৰী ৰেখাখণ্ডৰ প্ৰতিটো বিন্দুতে পোৱা যায় (C) ক’তো পোৱা নাযায় (D) কেৱল মূলবিন্দুত পোৱা যায়
উত্তৰঃ (B) সিহঁত সংযোগকাৰী ৰেখাখণ্ডৰ প্ৰতিটো বিন্দুতে পোৱা যায় (বহুমান বিশিষ্ট সৰ্বোত্তম সমাধান)।
খালী ঠাই পূৰ কৰা
1. $Z = ax + by$ ফলনটোক ______ ফলন বোলা হয়।
উত্তৰঃ উদ্দিষ্ট (objective)।
2. ব্যৱহাৰ্য ক্ষেত্ৰটোক এটা বৃত্তৰ ভিতৰত আৱদ্ধ কৰিব পাৰিলে ইয়াক ______ বোলা হয়।
উত্তৰঃ পৰিবদ্ধ (bounded)।
3. চলক $x$ আৰু $y$ ক ______ চল বোলা হয়।
উত্তৰঃ নিৰ্ণয় (decision)।
4. ব্যৱহাৰ্য ক্ষেত্ৰৰ বাহিৰৰ অঞ্চলক ______ ক্ষেত্ৰ বোলা হয়।
উত্তৰঃ অব্যৱহাৰ্য (infeasible)।
5. simplex পদ্ধতি ______ চনত G. B. Dantzig-এ আগবঢ়াইছিল।
উত্তৰঃ 1947।
সত্য নে অসত্য লিখা
1. ৰৈখিক প্ৰগ্ৰেমিং সমস্যাৰ ব্যৱহাৰ্য ক্ষেত্ৰ সদায় উত্তল।
উত্তৰঃ সত্য।
2. অপৰিবদ্ধ ক্ষেত্ৰৰ ক্ষেত্ৰত উদ্দিষ্ট ফলনৰ সদায় সৰ্বোচ্চ মান থাকে।
উত্তৰঃ অসত্য। অপৰিবদ্ধ ক্ষেত্ৰত সৰ্বোচ্চ মান নাথাকিবও পাৰে।
3. উদ্দিষ্ট ফলনৰ সৰ্বোত্তম মান কৌণিক বিন্দুত প্ৰাপ্ত হয়।
উত্তৰঃ সত্য।
4. $x \ge 0$, $y \ge 0$ ক অঋণাত্মক সীমাবদ্ধতা বোলা হয়।
উত্তৰঃ সত্য।
5. যদি কোনো ব্যৱহাৰ্য ক্ষেত্ৰ নাথাকে, তেন্তেও সমস্যাটোৰ ব্যৱহাৰ্য সমাধান থাকে।
উত্তৰঃ অসত্য। ব্যৱহাৰ্য ক্ষেত্ৰ নাথাকিলে কোনো ব্যৱহাৰ্য সমাধানো নাথাকে।
চমু উত্তৰৰ প্ৰশ্ন
1. ৰৈখিক প্ৰগ্ৰেমিং সমস্যা মানে কি?
উত্তৰঃ ৰৈখিক প্ৰগ্ৰেমিং সমস্যা হ’ল এনে এটা সমস্যা য’ত কেইবাটাও চলকৰ এটা ৰৈখিক ফলনৰ (উদ্দিষ্ট ফলন) সৰ্বোত্তম মান (সৰ্বোচ্চ বা সৰ্বনিম্ন) উলিওৱা হয়, যেতিয়া চলকসমূহ অঋণাত্মক আৰু কিছুমান ৰৈখিক অসমিকা (সীমাবদ্ধতা)ৰ দ্বাৰা নিয়ন্ত্ৰিত হয়।
2. উদ্দিষ্ট ফলন আৰু সীমাবদ্ধতা মানে কি?
উত্তৰঃ যি ৰৈখিক ফলন $Z = ax + by$ ৰ সৰ্বোত্তম মান উলিয়াব লাগে তাকেই উদ্দিষ্ট ফলন বোলা হয়। আনহাতে, চলকসমূহৰ ওপৰত আৰোপিত ৰৈখিক অসমিকা বা সমীকৰণ বা চৰ্তসমূহক সীমাবদ্ধতা বোলা হয়।
3. পৰিবদ্ধ আৰু অপৰিবদ্ধ ব্যৱহাৰ্য ক্ষেত্ৰৰ পাৰ্থক্য কি?
উত্তৰঃ ব্যৱহাৰ্য ক্ষেত্ৰটোক এটা বৃত্তৰ ভিতৰত আৱদ্ধ কৰিব পাৰিলে ইয়াক পৰিবদ্ধ (bounded) বোলা হয়, আৰু তেতিয়া উদ্দিষ্ট ফলনৰ সৰ্বোচ্চ আৰু সৰ্বনিম্ন দুয়োটা মানেই থাকে। ক্ষেত্ৰটো যিকোনো দিশত অসীমলৈ বিস্তৃত হ’লে ইয়াক অপৰিবদ্ধ (unbounded) বোলা হয়, আৰু তেতিয়া সৰ্বোচ্চ বা সৰ্বনিম্ন মান নাথাকিবও পাৰে।
4. কৌণিক বিন্দু পদ্ধতিৰ পদক্ষেপবোৰ চমুকৈ লিখা।
উত্তৰঃ (i) ব্যৱহাৰ্য ক্ষেত্ৰটো অঁকা আৰু ইয়াৰ কৌণিক বিন্দুবোৰ নিৰ্ণয় কৰা। (ii) প্ৰতিটো কৌণিক বিন্দুত $Z = ax + by$ ৰ মান উলিওৱা। (iii) পৰিবদ্ধ ক্ষেত্ৰ হ’লে এই মানবোৰৰ বৃহত্তমটোৱেই সৰ্বোচ্চ আৰু ক্ষুদ্ৰতমটোৱেই সৰ্বনিম্ন। (iv) অপৰিবদ্ধ ক্ষেত্ৰ হ’লে $ax + by \gt M$ বা $ax + by \lt m$ অৰ্ধ-সমতলে ব্যৱহাৰ্য ক্ষেত্ৰৰ সৈতে উমৈহতীয়া বিন্দু ৰাখে নে নাই পৰীক্ষা কৰি সৰ্বোত্তম মানৰ অস্তিত্ব নিশ্চিত কৰা।
শব্দাৰ্থ
| অসমীয়া শব্দ | English term | অৰ্থ |
|---|---|---|
| ৰৈখিক প্ৰগ্ৰেমিং | Linear Programming | ৰৈখিক ফলনৰ সৰ্বোত্তম মান উলিওৱা পদ্ধতি |
| উদ্দিষ্ট ফলন | Objective function | যি ৰৈখিক ফলন $Z = ax + by$ ৰ সৰ্বোত্তম মান উলিয়াব লাগে |
| সীমাবদ্ধতা | Constraints | চলকৰ ওপৰত আৰোপিত ৰৈখিক অসমিকা বা চৰ্ত |
| নিৰ্ণয় চল | Decision variable | উদ্দিষ্ট ফলনৰ চলক $x$ আৰু $y$ |
| অঋণাত্মক সীমাবদ্ধতা | Non-negative constraints | $x \ge 0$, $y \ge 0$ চৰ্ত |
| ব্যৱহাৰ্য ক্ষেত্ৰ | Feasible region | সকলো সীমাবদ্ধতাই সিদ্ধ কৰা উমৈহতীয়া ক্ষেত্ৰ |
| ব্যৱহাৰ্য সমাধান | Feasible solution | ব্যৱহাৰ্য ক্ষেত্ৰৰ যিকোনো বিন্দু |
| সৰ্বোত্তম সমাধান | Optimal solution | যি বিন্দুত উদ্দিষ্ট ফলনৰ সৰ্বোত্তম মান পোৱা যায় |
| কৌণিক বিন্দু | Corner point / Vertex | দুডাল প্ৰান্ত ৰেখা কটাকটি কৰা বিন্দু (শীৰ্ষবিন্দু) |
| পৰিবদ্ধ ক্ষেত্ৰ | Bounded region | বৃত্তৰ ভিতৰত আৱদ্ধ কৰিব পৰা ব্যৱহাৰ্য ক্ষেত্ৰ |
| অপৰিবদ্ধ ক্ষেত্ৰ | Unbounded region | অসীমলৈ বিস্তৃত ব্যৱহাৰ্য ক্ষেত্ৰ |
| উত্তল বহুভুজ | Convex polygon | যাৰ ভিতৰৰ যিকোনো দুটা বিন্দু সংযোগকাৰী ৰেখাখণ্ড ক্ষেত্ৰৰ ভিতৰতে থাকে |