ত্ৰিবিমিতীয় জ্যামিতি — প্ৰশ্ন উত্তৰ
HSLC Guru-লৈ আপোনাক স্বাগতম। এই পাঠত ASSEB Class 12 গণিতৰ (Mathematics) একাদশ অধ্যায় ত্ৰিবিমিতীয় জ্যামিতি (Three Dimensional Geometry)ৰ অনুশীলনী 11.1, অনুশীলনী 11.2 আৰু অধ্যায়ৰ সানমিহলি অনুশীলনীৰ প্ৰতিটো প্ৰশ্নৰ সম্পূৰ্ণ লৈখিক সমাধান, প্ৰয়োজনীয় সূত্ৰ আৰু ছবিৰ সৈতে ক্ৰমে দিয়া হৈছে।
সাৰাংশ
এডাল দিশযুক্ত ৰেখাই $x$, $y$ আৰু $z$ অক্ষৰ ধনাত্মক দিশৰ সৈতে যি কোণ (দিশকোণ) সৃষ্টি কৰে, সেই কোণবোৰৰ কছাইন (cosine)-কেই ৰেখাডালৰ দিশাংক (direction cosines) বোলা হয় আৰু ইহঁতক $l$, $m$, $n$ ৰে সূচোৱা হয়। যিকোনো দিশযুক্ত ৰেখাৰ বাবে $l^2 + m^2 + n^2 = 1$। দিশাংকবোৰৰ সমানুপাতী যিকোনো তিনিটা সংখ্যাক ৰেখাডালৰ দিশানুপাত (direction ratios) বোলা হয়; দিশানুপাত $a$, $b$, $c$ হ’লে $l = \pm \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$, $m = \pm \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$, $n = \pm \frac{c}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$।
দুটা বিন্দু $P(x_1, y_1, z_1)$ আৰু $Q(x_2, y_2, z_2)$ সংযোগী ৰেখাখণ্ডৰ দিশাংকবোৰ হ’ল $\frac{x_2 – x_1}{PQ}$, $\frac{y_2 – y_1}{PQ}$, $\frac{z_2 – z_1}{PQ}$, য’ত $PQ = \sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2 + (z_2 – z_1)^2}$। এটা নিৰ্দিষ্ট বিন্দু $A$ (স্থিতি ভেক্টৰ $\vec{a}$)ৰ মাজেৰে যোৱা আৰু $\vec{b}$ ভেক্টৰৰ সমান্তৰাল ৰেখাডালৰ ভেক্টৰ সমীকৰণ $\vec{r} = \vec{a} + \lambda \vec{b}$; দিশানুপাত $a$, $b$, $c$ হ’লে কাৰ্টেজীয় ৰূপ $\frac{x – x_1}{a} = \frac{y – y_1}{b} = \frac{z – z_1}{c}$।
দিশানুপাত $a_1, b_1, c_1$ আৰু $a_2, b_2, c_2$ যুক্ত দুডাল ৰেখাৰ মাজৰ সূক্ষ্মকোণ $\theta$ হ’লে $\cos\theta = \left| \frac{a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2}\,\sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}} \right|$। ৰেখা দুডাল লম্ব হ’বলৈ $a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2 = 0$ আৰু সমান্তৰাল হ’বলৈ $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$।
যি ৰেখা দুডাল পৰস্পৰ সমান্তৰালো নহয় আৰু কটাকটিও নকৰে, সেইবোৰক বিষম ৰেখা (skew lines) বোলা হয়; ইহঁত পৃথক পৃথক সমতলত থাকে। $\vec{r} = \vec{a_1} + \lambda \vec{b_1}$ আৰু $\vec{r} = \vec{a_2} + \mu \vec{b_2}$ বিষম ৰেখা দুডালৰ মাজৰ ন্যূনতম দূৰত্ব $d = \left| \frac{(\vec{b_1} \times \vec{b_2}) \cdot (\vec{a_2} – \vec{a_1})}{|\vec{b_1} \times \vec{b_2}|} \right|$; সমান্তৰাল ৰেখা দুডালৰ ক্ষেত্ৰত $d = \left| \frac{\vec{b} \times (\vec{a_2} – \vec{a_1})}{|\vec{b}|} \right|$।
Summary: This page provides complete, step-by-step solutions to Exercise 11.1, Exercise 11.2 and the Miscellaneous Exercise of ASSEB Class 12 Mathematics Chapter 11, Three Dimensional Geometry. It covers direction cosines and direction ratios of a line, the collinearity of points, the vector and Cartesian equations of a line in space, the angle between two lines, and the shortest distance between skew and parallel lines, with every numerical answer worked out in full.
পাঠ্যপুথিৰ প্ৰশ্ন আৰু উত্তৰ
অনুশীলনী 11.1
1. এডাল ৰেখাই $x$, $y$ আৰু $z$ অক্ষৰ সৈতে যথাক্ৰমে $90°$, $135°$, $45°$ কোণ উৎপন্ন কৰিলে ইয়াৰ দিশাংকবোৰ উলিওৱা।
উত্তৰঃ দিশাংকবোৰ হ’ল ৰেখাডালে অক্ষবোৰৰ সৈতে সৃষ্টি কৰা কোণবোৰৰ কছাইন। ধৰা হ’ল দিশাংকবোৰ $l$, $m$, $n$। তেন্তে
$$l = \cos 90° = 0, \quad m = \cos 135° = -\frac{1}{\sqrt{2}}, \quad n = \cos 45° = \frac{1}{\sqrt{2}}$$
গতিকে বিচৰা দিশাংকবোৰ হ’ল $0$, $-\frac{1}{\sqrt{2}}$, $\frac{1}{\sqrt{2}}$। (পৰীক্ষাঃ $0^2 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$।)
2. এডাল ৰেখাই স্থানাংক অক্ষকেইটাডালৰ সৈতে একে কোণ সৃষ্টি কৰিলে, ইয়াৰ দিশাংকবোৰ উলিওৱা।
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল ৰেখাডালে প্ৰতিডাল অক্ষৰ সৈতে $\alpha$ কোণ সৃষ্টি কৰে। তেন্তে ইয়াৰ দিশাংকবোৰ $l = m = n = \cos\alpha$। যিহেতু $l^2 + m^2 + n^2 = 1$, সেয়েহে
$$\cos^2\alpha + \cos^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 \implies 3\cos^2\alpha = 1 \implies \cos\alpha = \pm\frac{1}{\sqrt{3}}$$
গতিকে বিচৰা দিশাংকবোৰ হ’ল $\pm\frac{1}{\sqrt{3}}$, $\pm\frac{1}{\sqrt{3}}$, $\pm\frac{1}{\sqrt{3}}$।
3. যদি এডাল ৰেখাৰ দিশানুপাতবোৰ $-18$, $12$, $-4$ হয়, তেন্তে ইয়াৰ দিশাংবোৰ কিমান?
উত্তৰঃ দিশানুপাত $a = -18$, $b = 12$, $c = -4$। গতিকে
$$\sqrt{a^2 + b^2 + c^2} = \sqrt{(-18)^2 + 12^2 + (-4)^2} = \sqrt{324 + 144 + 16} = \sqrt{484} = 22$$
সেয়েহে দিশাংকবোৰ হ’ল $\frac{-18}{22}$, $\frac{12}{22}$, $\frac{-4}{22}$ অৰ্থাৎ $-\frac{9}{11}$, $\frac{6}{11}$, $-\frac{2}{11}$।
4. দেখুওৱা যে, $(2, 3, 4)$, $(-1, -2, 1)$, $(5, 8, 7)$ বিন্দুবোৰ একেৰেখীয়।
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল $A(2, 3, 4)$, $B(-1, -2, 1)$ আৰু $C(5, 8, 7)$। $A$ আৰু $B$ সংযোগী ৰেখাৰ দিশানুপাতবোৰ হ’ল
$-1 – 2,\ -2 – 3,\ 1 – 4$ অৰ্থাৎ $-3,\ -5,\ -3$।
$B$ আৰু $C$ সংযোগী ৰেখাৰ দিশানুপাতবোৰ হ’ল
$5 – (-1),\ 8 – (-2),\ 7 – 1$ অৰ্থাৎ $6,\ 10,\ 6$।
এতিয়া $6, 10, 6 = -2 \times (-3, -5, -3)$; গতিকে $AB$ আৰু $BC$ ৰ দিশানুপাতবোৰ সমানুপাতিক, অৰ্থাৎ $AB \parallel BC$। কিন্তু $B$ বিন্দুটো $AB$ আৰু $BC$ উভয়ৰে সাধাৰণ বিন্দু। সেয়েহে $A$, $B$, $C$ বিন্দু তিনিটা একেৰেখীয়।
5. $(3, 5, -4)$, $(-1, 1, 2)$ আৰু $(-5, -5, -2)$ শীৰ্ষবিন্দু বিশিষ্ট ত্ৰিভুজৰ বাহুবোৰৰ দিশাংকবোৰ উলিওৱা।
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল ত্ৰিভুজটোৰ শীৰ্ষবিন্দু তিনিটা $A(3, 5, -4)$, $B(-1, 1, 2)$ আৰু $C(-5, -5, -2)$।
বাহু $AB$: দিশানুপাত $= (-1 – 3, 1 – 5, 2 + 4) = (-4, -4, 6)$ আৰু $|AB| = \sqrt{(-4)^2 + (-4)^2 + 6^2} = \sqrt{16 + 16 + 36} = \sqrt{68} = 2\sqrt{17}$। গতিকে $AB$ ৰ দিশাংকবোৰ হ’ল $-\frac{2}{\sqrt{17}}$, $-\frac{2}{\sqrt{17}}$, $\frac{3}{\sqrt{17}}$।
বাহু $BC$: দিশানুপাত $= (-5 + 1, -5 – 1, -2 – 2) = (-4, -6, -4)$ আৰু $|BC| = \sqrt{16 + 36 + 16} = \sqrt{68} = 2\sqrt{17}$। গতিকে $BC$ ৰ দিশাংকবোৰ হ’ল $-\frac{2}{\sqrt{17}}$, $-\frac{3}{\sqrt{17}}$, $-\frac{2}{\sqrt{17}}$।
বাহু $CA$: দিশানুপাত $= (3 + 5, 5 + 5, -4 + 2) = (8, 10, -2)$ আৰু $|CA| = \sqrt{64 + 100 + 4} = \sqrt{168} = 2\sqrt{42}$। গতিকে $CA$ ৰ দিশাংকবোৰ হ’ল $\frac{4}{\sqrt{42}}$, $\frac{5}{\sqrt{42}}$, $-\frac{1}{\sqrt{42}}$।
অনুশীলনী 11.2
1. দেখুওৱা যে, $\frac{12}{13}, \frac{-3}{13}, \frac{-4}{13}$; $\frac{4}{13}, \frac{12}{13}, \frac{3}{13}$; $\frac{3}{13}, \frac{-4}{13}, \frac{12}{13}$ দিশানুপাতযুক্ত ৰেখা তিনিডাল পৰস্পৰ লম্ব।
উত্তৰঃ $(l_1, m_1, n_1)$ আৰু $(l_2, m_2, n_2)$ দিশাংকযুক্ত দুডাল ৰেখা পৰস্পৰ লম্ব হয় যদি আৰু কেৱল যদি $l_1 l_2 + m_1 m_2 + n_1 n_2 = 0$। ৰেখা তিনিডালক ক্ৰমে $L_1$, $L_2$, $L_3$ বুলি ধৰি লওঁ।
$$L_1 \cdot L_2 = \frac{1}{169}\big(12 \times 4 + (-3) \times 12 + (-4) \times 3\big) = \frac{1}{169}(48 – 36 – 12) = 0$$
$$L_2 \cdot L_3 = \frac{1}{169}\big(4 \times 3 + 12 \times (-4) + 3 \times 12\big) = \frac{1}{169}(12 – 48 + 36) = 0$$
$$L_3 \cdot L_1 = \frac{1}{169}\big(3 \times 12 + (-4) \times (-3) + 12 \times (-4)\big) = \frac{1}{169}(36 + 12 – 48) = 0$$
প্ৰতিযোৰ ৰেখাৰ দিশাংকৰ গুণফলৰ যোগফল শূন্য হোৱাত ৰেখা তিনিডাল পৰস্পৰ লম্ব। (প্ৰমাণিত)
2. দেখুওৱা যে $(1, -1, 2)$ আৰু $(3, 4, -2)$ বিন্দু সংযোগী ৰেখাডাল $(0, 3, 2)$ আৰু $(3, 5, 6)$ বিন্দু সংযোগী ৰেখাডালৰ লম্ব।
উত্তৰঃ প্ৰথম ৰেখাৰ দিশানুপাত $= (3 – 1, 4 + 1, -2 – 2) = (2, 5, -4)$। দ্বিতীয় ৰেখাৰ দিশানুপাত $= (3 – 0, 5 – 3, 6 – 2) = (3, 2, 4)$। এতিয়া
$$a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2 = 2 \times 3 + 5 \times 2 + (-4) \times 4 = 6 + 10 – 16 = 0$$
দিশানুপাতৰ গুণফলৰ যোগফল শূন্য হোৱাত ৰেখা দুডাল পৰস্পৰ লম্ব। (প্ৰমাণিত)
3. দেখুওৱা যে $(4, 7, 8)$ আৰু $(2, 3, 4)$ বিন্দুৰ মাজেৰে যোৱা ৰেখাডাল $(-1, -2, 1)$ আৰু $(1, 2, 5)$ বিন্দুৰ মাজেৰে যোৱা ৰেখাডালৰ সমান্তৰাল।
উত্তৰঃ প্ৰথম ৰেখাৰ দিশানুপাত $= (2 – 4, 3 – 7, 4 – 8) = (-2, -4, -4)$। দ্বিতীয় ৰেখাৰ দিশানুপাত $= (1 + 1, 2 + 2, 5 – 1) = (2, 4, 4)$। এতিয়া
$$\frac{-2}{2} = \frac{-4}{4} = \frac{-4}{4} = -1$$
দুয়োডাল ৰেখাৰ দিশানুপাতবোৰ সমানুপাতিক হোৱাত ৰেখা দুডাল পৰস্পৰ সমান্তৰাল। (প্ৰমাণিত)
4. $(1, 2, 3)$ বিন্দুৰ মাজেৰে যোৱা আৰু $3\hat{i} + 2\hat{j} – 2\hat{k}$ ভেক্টৰৰ সমান্তৰাল ৰেখাডালৰ সমীকৰণ উলিওৱা।
উত্তৰঃ ৰেখাডাল $\vec{a} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$ স্থিতি ভেক্টৰযুক্ত বিন্দুৰ মাজেৰে যায় আৰু $\vec{b} = 3\hat{i} + 2\hat{j} – 2\hat{k}$ ৰ সমান্তৰাল। গতিকে ইয়াৰ ভেক্টৰ সমীকৰণ $\vec{r} = \vec{a} + \lambda \vec{b}$, অৰ্থাৎ
$$\vec{r} = (\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}) + \lambda(3\hat{i} + 2\hat{j} – 2\hat{k})$$
দিশানুপাত $3, 2, -2$ হোৱাত কাৰ্টেজীয় সমীকৰণটো হ’ল $\frac{x – 1}{3} = \frac{y – 2}{2} = \frac{z – 3}{-2}$।
5. $2\hat{i} – \hat{j} + 4\hat{k}$ স্থিতি ভেক্টৰযুক্ত বিন্দুৰ মাজেৰে আৰু $\hat{i} + 2\hat{j} – \hat{k}$ ভেক্টৰৰ দিশত এডাল ৰেখাৰ ভেক্টৰ আৰু কাৰ্টেজীয় সমীকৰণ উলিওৱা।
উত্তৰঃ ইয়াত $\vec{a} = 2\hat{i} – \hat{j} + 4\hat{k}$ আৰু $\vec{b} = \hat{i} + 2\hat{j} – \hat{k}$। গতিকে ভেক্টৰ সমীকৰণটো হ’ল
$$\vec{r} = (2\hat{i} – \hat{j} + 4\hat{k}) + \lambda(\hat{i} + 2\hat{j} – \hat{k})$$
বিন্দুটো $(2, -1, 4)$ আৰু দিশানুপাত $1, 2, -1$ হোৱাত কাৰ্টেজীয় সমীকৰণটো হ’ল $\frac{x – 2}{1} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z – 4}{-1}$।
6. $(-2, 4, -5)$ বিন্দুৰ মাজেৰে যোৱা আৰু $\frac{x + 3}{3} = \frac{y – 4}{5} = \frac{z + 8}{6}$ ৰেখাৰ সমান্তৰাল ৰেখাডালৰ সমীকৰণ উলিওৱা।
উত্তৰঃ প্ৰদত্ত ৰেখাৰ দিশানুপাত $3, 5, 6$। বিচৰা ৰেখাডাল ইয়াৰ সমান্তৰাল হোৱাত ইয়াৰো দিশানুপাত $3, 5, 6$। ৰেখাডাল $(-2, 4, -5)$ বিন্দুৰ মাজেৰে যায়, গতিকে ইয়াৰ কাৰ্টেজীয় সমীকৰণ হ’ল
$$\frac{x + 2}{3} = \frac{y – 4}{5} = \frac{z + 5}{6}$$
7. এডাল ৰেখাৰ কাৰ্টেজীয় সমীকৰণ $\frac{x – 5}{3} = \frac{y + 4}{7} = \frac{z – 6}{2}$ হ’লে ইয়াৰ ভেক্টৰ ৰূপ লিখা।
উত্তৰঃ প্ৰদত্ত সমীকৰণৰ পৰা ৰেখাডাল $(5, -4, 6)$ বিন্দুৰ মাজেৰে যায় আৰু ইয়াৰ দিশানুপাত $3, 7, 2$। গতিকে $\vec{a} = 5\hat{i} – 4\hat{j} + 6\hat{k}$ আৰু $\vec{b} = 3\hat{i} + 7\hat{j} + 2\hat{k}$। সেয়েহে ভেক্টৰ ৰূপটো হ’ল
$$\vec{r} = (5\hat{i} – 4\hat{j} + 6\hat{k}) + \lambda(3\hat{i} + 7\hat{j} + 2\hat{k})$$
8. নিম্নোক্ত ৰেখাৰ যোৰসমূহৰ মাজৰ কোণবোৰ উলিওৱাঃ
(i) $\vec{r} = 2\hat{i} – 5\hat{j} + \hat{k} + \lambda(3\hat{i} + 2\hat{j} + 6\hat{k})$ আৰু $\vec{r} = 7\hat{i} – 6\hat{k} + \mu(\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k})$
উত্তৰঃ ইয়াত $\vec{b_1} = 3\hat{i} + 2\hat{j} + 6\hat{k}$ আৰু $\vec{b_2} = \hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$। কোণ $\theta$ হ’লে $\cos\theta = \left| \frac{\vec{b_1} \cdot \vec{b_2}}{|\vec{b_1}||\vec{b_2}|} \right|$।
$$\cos\theta = \left| \frac{(3)(1) + (2)(2) + (6)(2)}{\sqrt{9 + 4 + 36}\,\sqrt{1 + 4 + 4}} \right| = \left| \frac{3 + 4 + 12}{\sqrt{49}\,\sqrt{9}} \right| = \frac{19}{7 \times 3} = \frac{19}{21}$$
গতিকে বিচৰা কোণটো $\theta = \cos^{-1}\left(\frac{19}{21}\right)$।
(ii) $\vec{r} = 3\hat{i} + \hat{j} – 2\hat{k} + \lambda(\hat{i} – \hat{j} – 2\hat{k})$ আৰু $\vec{r} = 2\hat{i} – \hat{j} – 56\hat{k} + \mu(3\hat{i} – 5\hat{j} – 4\hat{k})$
উত্তৰঃ ইয়াত $\vec{b_1} = \hat{i} – \hat{j} – 2\hat{k}$ আৰু $\vec{b_2} = 3\hat{i} – 5\hat{j} – 4\hat{k}$ (কোণটো কেৱল দিশ ভেক্টৰ দুটাৰ ওপৰত নিৰ্ভৰশীল)।
$$\cos\theta = \left| \frac{(1)(3) + (-1)(-5) + (-2)(-4)}{\sqrt{1 + 1 + 4}\,\sqrt{9 + 25 + 16}} \right| = \left| \frac{3 + 5 + 8}{\sqrt{6}\,\sqrt{50}} \right| = \frac{16}{\sqrt{6} \times 5\sqrt{2}} = \frac{16}{10\sqrt{3}} = \frac{8}{5\sqrt{3}}$$
গতিকে বিচৰা কোণটো $\theta = \cos^{-1}\left(\frac{8}{5\sqrt{3}}\right) = \cos^{-1}\left(\frac{8\sqrt{3}}{15}\right)$।
9. নিম্নোক্ত ৰেখাৰ যোৰসমূহৰ মাজৰ কোণবোৰ উলিওৱাঃ
(i) $\frac{x – 2}{2} = \frac{y – 1}{5} = \frac{z + 3}{-3}$ আৰু $\frac{x + 2}{-1} = \frac{y – 4}{8} = \frac{z – 5}{4}$
উত্তৰঃ প্ৰথম ৰেখাৰ দিশানুপাত $(2, 5, -3)$ আৰু দ্বিতীয় ৰেখাৰ দিশানুপাত $(-1, 8, 4)$। কোণ $\theta$ হ’লে
$$\cos\theta = \left| \frac{(2)(-1) + (5)(8) + (-3)(4)}{\sqrt{4 + 25 + 9}\,\sqrt{1 + 64 + 16}} \right| = \left| \frac{-2 + 40 – 12}{\sqrt{38}\,\sqrt{81}} \right| = \frac{26}{9\sqrt{38}}$$
গতিকে বিচৰা কোণটো $\theta = \cos^{-1}\left(\frac{26}{9\sqrt{38}}\right)$।
(ii) $\frac{x}{2} = \frac{y}{2} = \frac{z}{1}$ আৰু $\frac{x – 5}{4} = \frac{y – 2}{1} = \frac{z – 3}{8}$
উত্তৰঃ প্ৰথম ৰেখাৰ দিশানুপাত $(2, 2, 1)$ আৰু দ্বিতীয় ৰেখাৰ দিশানুপাত $(4, 1, 8)$। কোণ $\theta$ হ’লে
$$\cos\theta = \left| \frac{(2)(4) + (2)(1) + (1)(8)}{\sqrt{4 + 4 + 1}\,\sqrt{16 + 1 + 64}} \right| = \left| \frac{8 + 2 + 8}{\sqrt{9}\,\sqrt{81}} \right| = \frac{18}{3 \times 9} = \frac{18}{27} = \frac{2}{3}$$
গতিকে বিচৰা কোণটো $\theta = \cos^{-1}\left(\frac{2}{3}\right)$।
10. $p$ ৰ মান উলিওৱা যাতে $\frac{1 – x}{3} = \frac{7y – 14}{2p} = \frac{z – 3}{2}$ ৰেখাডাল $\frac{7 – 7x}{3p} = \frac{y – 5}{1} = \frac{6 – z}{5}$ ৰেখাডালৰ লম্ব হয়।
উত্তৰঃ প্ৰথম ৰেখাটো মানক ৰূপত লিখিলে —
$$\frac{1 – x}{3} = \frac{7y – 14}{2p} = \frac{z – 3}{2} \implies \frac{x – 1}{-3} = \frac{y – 2}{\frac{2p}{7}} = \frac{z – 3}{2}$$
গতিকে প্ৰথম ৰেখাৰ দিশানুপাত $\left(-3,\ \frac{2p}{7},\ 2\right)$। দ্বিতীয় ৰেখাটো —
$$\frac{7 – 7x}{3p} = \frac{y – 5}{1} = \frac{6 – z}{5} \implies \frac{x – 1}{-\frac{3p}{7}} = \frac{y – 5}{1} = \frac{z – 6}{-5}$$
গতিকে দ্বিতীয় ৰেখাৰ দিশানুপাত $\left(-\frac{3p}{7},\ 1,\ -5\right)$। ৰেখা দুডাল লম্ব হ’বলৈ $a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2 = 0$, অৰ্থাৎ
$$(-3)\left(-\frac{3p}{7}\right) + \frac{2p}{7}(1) + (2)(-5) = 0 \implies \frac{9p}{7} + \frac{2p}{7} – 10 = 0 \implies \frac{11p}{7} = 10$$
গতিকে $p = \frac{70}{11}$।
11. দেখুওৱা যে $\frac{x – 5}{7} = \frac{y + 2}{-5} = \frac{z}{1}$ আৰু $\frac{x}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z}{3}$ ৰেখা দুডাল পৰস্পৰ লম্ব হয়।
উত্তৰঃ প্ৰথম ৰেখাৰ দিশানুপাত $(7, -5, 1)$ আৰু দ্বিতীয় ৰেখাৰ দিশানুপাত $(1, 2, 3)$। এতিয়া
$$a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2 = (7)(1) + (-5)(2) + (1)(3) = 7 – 10 + 3 = 0$$
দিশানুপাতৰ গুণফলৰ যোগফল শূন্য হোৱাত ৰেখা দুডাল পৰস্পৰ লম্ব। (প্ৰমাণিত)
12. $\vec{r} = (\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}) + \lambda(\hat{i} – \hat{j} + \hat{k})$ আৰু $\vec{r} = 2\hat{i} – \hat{j} – \hat{k} + \mu(2\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k})$ ৰেখা দুডালৰ মাজৰ ন্যূনতম দূৰত্ব উলিওৱা।
উত্তৰঃ ইয়াত $\vec{a_1} = \hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$, $\vec{b_1} = \hat{i} – \hat{j} + \hat{k}$, $\vec{a_2} = 2\hat{i} – \hat{j} – \hat{k}$, $\vec{b_2} = 2\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}$।
$$\vec{a_2} – \vec{a_1} = (2 – 1)\hat{i} + (-1 – 2)\hat{j} + (-1 – 1)\hat{k} = \hat{i} – 3\hat{j} – 2\hat{k}$$
$$\vec{b_1} \times \vec{b_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(-2 – 1) – \hat{j}(2 – 2) + \hat{k}(1 + 2) = -3\hat{i} + 0\hat{j} + 3\hat{k}$$
গতিকে $|\vec{b_1} \times \vec{b_2}| = \sqrt{(-3)^2 + 0^2 + 3^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$ আৰু $(\vec{b_1} \times \vec{b_2}) \cdot (\vec{a_2} – \vec{a_1}) = (-3)(1) + (0)(-3) + (3)(-2) = -3 – 6 = -9$।
$$d = \left| \frac{(\vec{b_1} \times \vec{b_2}) \cdot (\vec{a_2} – \vec{a_1})}{|\vec{b_1} \times \vec{b_2}|} \right| = \frac{|-9|}{3\sqrt{2}} = \frac{9}{3\sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{2}$$
গতিকে ন্যূনতম দূৰত্ব $\frac{3\sqrt{2}}{2}$ একক।
13. $\frac{x + 1}{7} = \frac{y + 1}{-6} = \frac{z + 1}{1}$ আৰু $\frac{x – 3}{1} = \frac{y – 5}{-2} = \frac{z – 7}{1}$ ৰেখা দুডালৰ মাজৰ ন্যূনতম দূৰত্ব উলিওৱা।
উত্তৰঃ প্ৰথম ৰেখা $(x_1, y_1, z_1) = (-1, -1, -1)$ আৰু দিশানুপাত $(a_1, b_1, c_1) = (7, -6, 1)$; দ্বিতীয় ৰেখা $(x_2, y_2, z_2) = (3, 5, 7)$ আৰু দিশানুপাত $(a_2, b_2, c_2) = (1, -2, 1)$। কাৰ্টেজীয় সূত্ৰেৰে —
$$\begin{vmatrix} x_2 – x_1 & y_2 – y_1 & z_2 – z_1 \\ a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 4 & 6 & 8 \\ 7 & -6 & 1 \\ 1 & -2 & 1 \end{vmatrix}$$
$$= 4(-6 + 2) – 6(7 – 1) + 8(-14 + 6) = 4(-4) – 6(6) + 8(-8) = -16 – 36 – 64 = -116$$
হৰত থকা মানটো $\sqrt{(b_1 c_2 – b_2 c_1)^2 + (c_1 a_2 – c_2 a_1)^2 + (a_1 b_2 – a_2 b_1)^2}$, য’ত $b_1 c_2 – b_2 c_1 = -6 + 2 = -4$, $c_1 a_2 – c_2 a_1 = 1 – 7 = -6$ আৰু $a_1 b_2 – a_2 b_1 = -14 + 6 = -8$। গতিকে হৰ $= \sqrt{16 + 36 + 64} = \sqrt{116} = 2\sqrt{29}$।
$$d = \frac{|-116|}{2\sqrt{29}} = \frac{116}{2\sqrt{29}} = \frac{58}{\sqrt{29}} = 2\sqrt{29}$$
গতিকে ন্যূনতম দূৰত্ব $2\sqrt{29}$ একক।
14. দুডাল ৰেখাৰ ন্যূনতম দূৰত্ব উলিওৱা যদি ৰেখা দুডালৰ ভেক্টৰ সমীকৰণ দুটা ক্ৰমে $\vec{r} = (\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}) + \lambda(\hat{i} – 3\hat{j} + 2\hat{k})$ আৰু $\vec{r} = 4\hat{i} + 5\hat{j} + 6\hat{k} + \mu(2\hat{i} + 3\hat{j} + \hat{k})$।
উত্তৰঃ ইয়াত $\vec{a_1} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$, $\vec{b_1} = \hat{i} – 3\hat{j} + 2\hat{k}$, $\vec{a_2} = 4\hat{i} + 5\hat{j} + 6\hat{k}$, $\vec{b_2} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + \hat{k}$।
$$\vec{a_2} – \vec{a_1} = 3\hat{i} + 3\hat{j} + 3\hat{k}$$
$$\vec{b_1} \times \vec{b_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -3 & 2 \\ 2 & 3 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(-3 – 6) – \hat{j}(1 – 4) + \hat{k}(3 + 6) = -9\hat{i} + 3\hat{j} + 9\hat{k}$$
গতিকে $|\vec{b_1} \times \vec{b_2}| = \sqrt{81 + 9 + 81} = \sqrt{171} = 3\sqrt{19}$ আৰু $(\vec{b_1} \times \vec{b_2}) \cdot (\vec{a_2} – \vec{a_1}) = (-9)(3) + (3)(3) + (9)(3) = -27 + 9 + 27 = 9$।
$$d = \left| \frac{(\vec{b_1} \times \vec{b_2}) \cdot (\vec{a_2} – \vec{a_1})}{|\vec{b_1} \times \vec{b_2}|} \right| = \frac{9}{3\sqrt{19}} = \frac{3}{\sqrt{19}} = \frac{3\sqrt{19}}{19}$$
গতিকে ন্যূনতম দূৰত্ব $\frac{3}{\sqrt{19}}$ একক।
15. $\vec{r} = (1 – t)\hat{i} + (t – 2)\hat{j} + (3 – 2t)\hat{k}$ আৰু $\vec{r} = (s + 1)\hat{i} + (2s – 1)\hat{j} – (2s + 1)\hat{k}$ দুডাল ৰেখাৰ ভেক্টৰ সমীকৰণ হ’লে ৰেখা দুডালৰ মাজৰ ন্যূনতম দূৰত্ব উলিওৱা।
উত্তৰঃ প্ৰাচল অনুসৰি সজাই লিখিলে প্ৰথম ৰেখা $\vec{r} = (\hat{i} – 2\hat{j} + 3\hat{k}) + t(-\hat{i} + \hat{j} – 2\hat{k})$ আৰু দ্বিতীয় ৰেখা $\vec{r} = (\hat{i} – \hat{j} – \hat{k}) + s(\hat{i} + 2\hat{j} – 2\hat{k})$। গতিকে $\vec{a_1} = \hat{i} – 2\hat{j} + 3\hat{k}$, $\vec{b_1} = -\hat{i} + \hat{j} – 2\hat{k}$, $\vec{a_2} = \hat{i} – \hat{j} – \hat{k}$, $\vec{b_2} = \hat{i} + 2\hat{j} – 2\hat{k}$।
$$\vec{a_2} – \vec{a_1} = 0\hat{i} + \hat{j} – 4\hat{k}$$
$$\vec{b_1} \times \vec{b_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -1 & 1 & -2 \\ 1 & 2 & -2 \end{vmatrix} = \hat{i}(-2 + 4) – \hat{j}(2 + 2) + \hat{k}(-2 – 1) = 2\hat{i} – 4\hat{j} – 3\hat{k}$$
গতিকে $|\vec{b_1} \times \vec{b_2}| = \sqrt{4 + 16 + 9} = \sqrt{29}$ আৰু $(\vec{b_1} \times \vec{b_2}) \cdot (\vec{a_2} – \vec{a_1}) = (2)(0) + (-4)(1) + (-3)(-4) = -4 + 12 = 8$।
$$d = \left| \frac{(\vec{b_1} \times \vec{b_2}) \cdot (\vec{a_2} – \vec{a_1})}{|\vec{b_1} \times \vec{b_2}|} \right| = \frac{8}{\sqrt{29}} = \frac{8\sqrt{29}}{29}$$
গতিকে ন্যূনতম দূৰত্ব $\frac{8}{\sqrt{29}}$ একক।
11 অধ্যায়ৰ সানমিহলি অনুশীলনী
1. $a$, $b$, $c$ আৰু $b – c$, $c – a$, $a – b$ দিশানুপাতযুক্ত ৰেখা দুডালৰ মাজৰ কোণটো উলিওৱা।
উত্তৰঃ ৰেখা দুডালৰ দিশানুপাত ক্ৰমে $(a, b, c)$ আৰু $(b – c, c – a, a – b)$। মাজৰ কোণ $\theta$ হ’লে লবত থকা মানটো হ’ল দিশানুপাতৰ গুণফলৰ যোগফল —
$$a(b – c) + b(c – a) + c(a – b) = ab – ac + bc – ab + ac – bc = 0$$
যিহেতু $\cos\theta$ ৰ লব শূন্য, গতিকে $\cos\theta = 0$, অৰ্থাৎ $\theta = 90°$। সেয়েহে ৰেখা দুডাল পৰস্পৰ লম্ব।
2. মূলবিন্দুৰ মাজেৰে যোৱা আৰু $x$ অক্ষৰ সমান্তৰাল ৰেখাডালৰ সমীকৰণ উলিওৱা।
উত্তৰঃ $x$ অক্ষৰ সমান্তৰাল হোৱাত ৰেখাডালৰ দিশ $\hat{i}$, অৰ্থাৎ দিশানুপাত $(1, 0, 0)$। ৰেখাডাল মূলবিন্দু $(0, 0, 0)$ ৰ মাজেৰে যায়। গতিকে ইয়াৰ ভেক্টৰ সমীকৰণ $\vec{r} = \vec{0} + \lambda \hat{i}$, অৰ্থাৎ $\vec{r} = \lambda \hat{i}$। কাৰ্টেজীয় ৰূপত $\frac{x}{1} = \frac{y}{0} = \frac{z}{0}$, অৰ্থাৎ ৰেখাডাল হ’ল $y = 0$, $z = 0$।
3. যদি $\frac{x – 1}{-3} = \frac{y – 2}{2k} = \frac{z – 3}{2}$ আৰু $\frac{x – 1}{3k} = \frac{y – 1}{1} = \frac{z – 6}{-5}$ ৰেখা দুডাল পৰস্পৰ লম্ব হয়, তেন্তে $k$ ৰ মান উলিওৱা।
উত্তৰঃ প্ৰথম ৰেখাৰ দিশানুপাত $(-3, 2k, 2)$ আৰু দ্বিতীয় ৰেখাৰ দিশানুপাত $(3k, 1, -5)$। ৰেখা দুডাল লম্ব হ’বলৈ $a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2 = 0$, অৰ্থাৎ
$$(-3)(3k) + (2k)(1) + (2)(-5) = 0 \implies -9k + 2k – 10 = 0 \implies -7k = 10$$
গতিকে $k = -\frac{10}{7}$।
4. $\vec{r} = 6\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k} + \lambda(\hat{i} – 2\hat{j} + 2\hat{k})$ আৰু $\vec{r} = -4\hat{i} – \hat{k} + \mu(3\hat{i} – 2\hat{j} – 2\hat{k})$ ৰেখা দুডালৰ মাজৰ হ্ৰস্বতম দূৰত্ব নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ ইয়াত $\vec{a_1} = 6\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$, $\vec{b_1} = \hat{i} – 2\hat{j} + 2\hat{k}$, $\vec{a_2} = -4\hat{i} + 0\hat{j} – \hat{k}$, $\vec{b_2} = 3\hat{i} – 2\hat{j} – 2\hat{k}$।
$$\vec{a_2} – \vec{a_1} = (-4 – 6)\hat{i} + (0 – 2)\hat{j} + (-1 – 2)\hat{k} = -10\hat{i} – 2\hat{j} – 3\hat{k}$$
$$\vec{b_1} \times \vec{b_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -2 & 2 \\ 3 & -2 & -2 \end{vmatrix} = \hat{i}(4 + 4) – \hat{j}(-2 – 6) + \hat{k}(-2 + 6) = 8\hat{i} + 8\hat{j} + 4\hat{k}$$
গতিকে $|\vec{b_1} \times \vec{b_2}| = \sqrt{64 + 64 + 16} = \sqrt{144} = 12$ আৰু $(\vec{b_1} \times \vec{b_2}) \cdot (\vec{a_2} – \vec{a_1}) = (8)(-10) + (8)(-2) + (4)(-3) = -80 – 16 – 12 = -108$।
$$d = \left| \frac{(\vec{b_1} \times \vec{b_2}) \cdot (\vec{a_2} – \vec{a_1})}{|\vec{b_1} \times \vec{b_2}|} \right| = \frac{|-108|}{12} = \frac{108}{12} = 9$$
গতিকে ৰেখা দুডালৰ মাজৰ হ্ৰস্বতম দূৰত্ব $9$ একক।
5. $(1, 2, -4)$ বিন্দুৰে যোৱা আৰু $\frac{x – 8}{3} = \frac{y + 19}{-16} = \frac{z – 10}{7}$ আৰু $\frac{x – 15}{3} = \frac{y – 29}{8} = \frac{z – 5}{-5}$ ৰেখাদুডালৰ লম্বভাৱে থকা ৰেখাডালৰ ভেক্টৰ সমীকৰণ উলিওৱা।
উত্তৰঃ প্ৰদত্ত ৰেখা দুডালৰ দিশানুপাত ক্ৰমে $\vec{b_1} = 3\hat{i} – 16\hat{j} + 7\hat{k}$ আৰু $\vec{b_2} = 3\hat{i} + 8\hat{j} – 5\hat{k}$। বিচৰা ৰেখাডাল এই দুয়োডালৰ লম্ব হোৱাত ইয়াৰ দিশ $\vec{b_1} \times \vec{b_2}$ ৰ সমান্তৰাল।
$$\vec{b_1} \times \vec{b_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & -16 & 7 \\ 3 & 8 & -5 \end{vmatrix} = \hat{i}(80 – 56) – \hat{j}(-15 – 21) + \hat{k}(24 + 48) = 24\hat{i} + 36\hat{j} + 72\hat{k}$$
$24\hat{i} + 36\hat{j} + 72\hat{k} = 12(2\hat{i} + 3\hat{j} + 6\hat{k})$; গতিকে দিশ ভেক্টৰ হিচাপে $2\hat{i} + 3\hat{j} + 6\hat{k}$ লোৱা যায়। ৰেখাডাল $(1, 2, -4)$ বিন্দুৰে যায়, অৰ্থাৎ $\vec{a} = \hat{i} + 2\hat{j} – 4\hat{k}$। সেয়েহে বিচৰা ভেক্টৰ সমীকৰণটো হ’ল
$$\vec{r} = (\hat{i} + 2\hat{j} – 4\hat{k}) + \lambda(2\hat{i} + 3\hat{j} + 6\hat{k})$$
অতিৰিক্ত প্ৰশ্ন আৰু উত্তৰ
বহুবিকল্পযুক্ত প্ৰশ্ন (MCQ)
1. এডাল ৰেখাৰ দিশাংকবোৰ $l$, $m$, $n$ হ’লে $l^2 + m^2 + n^2$ ৰ মান —
(A) $0$ (B) $1$ (C) $2$ (D) $3$
উত্তৰঃ (B) $1$। যিকোনো ৰেখাৰ দিশাংকৰ বৰ্গৰ যোগফল সদায় $1$।
2. এডাল ৰেখাই $x$, $y$, $z$ অক্ষৰ সৈতে যথাক্ৰমে $90°$, $60°$, $30°$ কোণ সৃষ্টি কৰিলে ইয়াৰ দিশাংকবোৰ হ’ল —
(A) $0, \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}$ (B) $1, \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}$ (C) $0, \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}$ (D) $\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0$
উত্তৰঃ (A) $0, \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}$। কাৰণ $\cos 90° = 0$, $\cos 60° = \frac{1}{2}$, $\cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2}$।
3. $x$ অক্ষৰ দিশাংকবোৰ হ’ল —
(A) $0, 0, 1$ (B) $0, 1, 0$ (C) $1, 0, 0$ (D) $1, 1, 1$
উত্তৰঃ (C) $1, 0, 0$। $x$ অক্ষই $x$, $y$, $z$ অক্ষৰ সৈতে $0°$, $90°$, $90°$ কোণ সৃষ্টি কৰে।
4. $2, -1, -2$ দিশানুপাতযুক্ত ৰেখাৰ দিশাংকবোৰ হ’ল —
(A) $2, -1, -2$ (B) $\frac{2}{3}, -\frac{1}{3}, -\frac{2}{3}$ (C) $\frac{1}{3}, -\frac{1}{3}, -\frac{1}{3}$ (D) $\frac{2}{9}, -\frac{1}{9}, -\frac{2}{9}$
উত্তৰঃ (B) $\frac{2}{3}, -\frac{1}{3}, -\frac{2}{3}$। কাৰণ $\sqrt{2^2 + (-1)^2 + (-2)^2} = \sqrt{9} = 3$।
5. $a_1, b_1, c_1$ আৰু $a_2, b_2, c_2$ দিশানুপাতযুক্ত দুডাল ৰেখা পৰস্পৰ লম্ব হয় যদি —
(A) $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ (B) $a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2 = 0$ (C) $a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2 = 1$ (D) $a_1 + a_2 = 0$
উত্তৰঃ (B) $a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2 = 0$।
6. অন্তৰীক্ষত দুডাল ৰেখাই এটা বিন্দুত কটাকটি কৰিলে ইহঁতৰ মাজৰ ন্যূনতম দূৰত্ব হ’ব —
(A) $1$ (B) অসীম (C) $0$ (D) অনিৰ্ণেয়
উত্তৰঃ (C) $0$। কটাকটি কৰা ৰেখা দুডালৰ মাজৰ ন্যূনতম দূৰত্ব শূন্য।
7. $(1, 2, 2)$ আৰু $(2, 2, 1)$ দিশানুপাতযুক্ত ৰেখা দুডালৰ মাজৰ কোণৰ $\cos\theta$ হ’ল —
(A) $\frac{8}{9}$ (B) $\frac{4}{9}$ (C) $\frac{1}{3}$ (D) $\frac{2}{3}$
উত্তৰঃ (A) $\frac{8}{9}$। $\cos\theta = \frac{2 + 4 + 2}{\sqrt{9}\,\sqrt{9}} = \frac{8}{9}$।
8. $\vec{a}$ স্থিতি ভেক্টৰযুক্ত বিন্দুৰ মাজেৰে যোৱা আৰু $\vec{b}$ ভেক্টৰৰ সমান্তৰাল ৰেখাৰ ভেক্টৰ সমীকৰণ হ’ল —
(A) $\vec{r} = \vec{a} \cdot \vec{b}$ (B) $\vec{r} = \vec{a} \times \vec{b}$ (C) $\vec{r} = \vec{a} + \lambda \vec{b}$ (D) $\vec{r} = \lambda(\vec{a} + \vec{b})$
উত্তৰঃ (C) $\vec{r} = \vec{a} + \lambda \vec{b}$।
খালী ঠাই পূৰণ কৰা
1. এডাল ৰেখাৰ দিশাংকৰ বৰ্গৰ যোগফল ______ ৰ সমান।
উত্তৰঃ $1$।
2. $y$ অক্ষৰ দিশাংকবোৰ হ’ল ______ ।
উত্তৰঃ $0, 1, 0$।
3. যি ৰেখা দুডাল পৰস্পৰ সমান্তৰালো নহয় আৰু কটাকটিও নকৰে, সেইবোৰক ______ ৰেখা বোলে।
উত্তৰঃ বিষম (skew)।
4. দিশানুপাত $a$, $b$, $c$ হ’লে দিশাংক $l = $ ______ ।
উত্তৰঃ $\pm\frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$।
5. দুডাল ৰেখা পৰস্পৰ সমান্তৰাল হ’বলৈ ইহঁতৰ দিশানুপাতবোৰ ______ হ’ব লাগে।
উত্তৰঃ সমানুপাতিক।
সঁচা নে মিছা লিখা
1. অন্তৰীক্ষত এডাল প্ৰদত্ত ৰেখাৰ দুটা দিশাংক সংহতি থাকে।
উত্তৰঃ সঁচা। ৰেখাডাল দুটা বিপৰীত দিশত বঢ়াব পৰা হোৱাত ইয়াৰ দুটা দিশাংক সংহতি থাকে।
2. এডাল ৰেখাৰ দিশানুপাত অদ্বিতীয় (unique)।
উত্তৰঃ মিছা। এডাল ৰেখাৰ বাবে অসীমসংখ্যক দিশানুপাত সংহতি থাকে।
3. কটাকটি কৰা দুডাল ৰেখাৰ মাজৰ ন্যূনতম দূৰত্ব শূন্য।
উত্তৰঃ সঁচা।
4. বিষম ৰেখা দুডাল একেটা সমতলত থাকে।
উত্তৰঃ মিছা। বিষম ৰেখাবোৰ পৃথক পৃথক সমতলত থাকে।
5. $l^2 + m^2 + n^2 = 1$ সম্পৰ্কটো সকলো ৰেখাৰ দিশাংকৰ বাবে সত্য।
উত্তৰঃ সঁচা।
চমু উত্তৰৰ প্ৰশ্ন
1. দিশাংক আৰু দিশানুপাতৰ মাজৰ পাৰ্থক্য এটা বাক্যত লিখা।
উত্তৰঃ দিশাংক হ’ল ৰেখাডালে অক্ষবোৰৰ সৈতে সৃষ্টি কৰা কোণৰ কছাইন (যাৰ বৰ্গৰ যোগফল $1$), আৰু দিশানুপাত হ’ল এই দিশাংকবোৰৰ সমানুপাতী যিকোনো তিনিটা সংখ্যা।
2. $(2, 3, 5)$ আৰু $(-1, 3, 2)$ বিন্দুৰে যোৱা ৰেখাৰ দিশানুপাত উলিওৱা।
উত্তৰঃ দিশানুপাত $= (-1 – 2, 3 – 3, 2 – 5) = (-3, 0, -3)$, অৰ্থাৎ সৰল ৰূপত $(1, 0, 1)$।
3. এডাল ৰেখাই অক্ষবোৰৰ সৈতে $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ কোণ সৃষ্টি কৰিলে $\sin^2\alpha + \sin^2\beta + \sin^2\gamma$ ৰ মান কিমান?
উত্তৰঃ $\cos^2\alpha + \cos^2\beta + \cos^2\gamma = 1$ হোৱাত $\sin^2\alpha + \sin^2\beta + \sin^2\gamma = 3 – (\cos^2\alpha + \cos^2\beta + \cos^2\gamma) = 3 – 1 = 2$।
4. $\frac{x – 1}{2} = \frac{y – 2}{3} = \frac{z – 3}{4}$ ৰেখাডালৰ ভেক্টৰ সমীকৰণ লিখা।
উত্তৰঃ বিন্দু $(1, 2, 3)$ আৰু দিশানুপাত $2, 3, 4$; গতিকে $\vec{r} = (\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}) + \lambda(2\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k})$।
শব্দাৰ্থ
| অসমীয়া শব্দ | English term | অৰ্থ |
|---|---|---|
| দিশাংক | Direction cosines | ৰেখাডালে অক্ষবোৰৰ সৈতে সৃষ্টি কৰা কোণৰ কছাইন $l$, $m$, $n$ |
| দিশানুপাত | Direction ratios | দিশাংকৰ সমানুপাতী যিকোনো তিনিটা সংখ্যা $a$, $b$, $c$ |
| দিশকোণ | Direction angle | ৰেখাই অক্ষৰ ধনাত্মক দিশৰ সৈতে সৃষ্টি কৰা কোণ |
| স্থিতি ভেক্টৰ | Position vector | মূলবিন্দুৰ সাপেক্ষে এটা বিন্দুৰ স্থান নিৰ্দেশক ভেক্টৰ |
| ভেক্টৰ সমীকৰণ | Vector equation | $\vec{r} = \vec{a} + \lambda \vec{b}$ ৰূপৰ ৰেখাৰ সমীকৰণ |
| কাৰ্টেজীয় সমীকৰণ | Cartesian equation | $\frac{x – x_1}{a} = \frac{y – y_1}{b} = \frac{z – z_1}{c}$ ৰূপৰ সমীকৰণ |
| একেৰেখীয় | Collinear | একেডাল ৰেখাত থকা বিন্দুসমূহ |
| সমান্তৰাল ৰেখা | Parallel lines | দিশানুপাত সমানুপাতিক থকা ৰেখা |
| লম্ব ৰেখা | Perpendicular lines | $a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2 = 0$ সিদ্ধ কৰা ৰেখা |
| বিষম ৰেখা | Skew lines | সমান্তৰালো নহয়, কটাকটিও নকৰা, পৃথক সমতলৰ ৰেখা |
| ন্যূনতম দূৰত্ব | Shortest distance | দুডাল ৰেখাৰ উভয়ৰে লম্ব ৰেখাখণ্ডৰ দৈৰ্ঘ্য |
| মূলবিন্দু | Origin | স্থানাংক অক্ষবোৰ মিলা বিন্দু $(0, 0, 0)$ |