ভেক্টৰ বীজগণিত — প্ৰশ্ন উত্তৰ
HSLC Guru-লৈ আপোনাক স্বাগতম। এই পাঠত ASSEB Class 12 গণিতৰ দশম অধ্যায় ভেক্টৰ বীজগণিত (Vector Algebra)ৰ অনুশীলনী 10.1, 10.2, 10.3, 10.4 আৰু অধ্যায়টোৰ সানমিহলি অনুশীলনীৰ সকলো প্ৰশ্নৰ সম্পূৰ্ণ সমাধান পৰ্যায়ক্ৰমে দিয়া হৈছে।
সাৰাংশ
যি ৰাশিৰ মান আৰু দিশ দুয়োটা থাকে তাক ভেক্টৰ বোলে; কেৱল মান থকা ৰাশিক স্কেলাৰ (আদিশ ৰাশি) বোলে। $P(x, y, z)$ বিন্দুৰ অৱস্থান ভেক্টৰ হ’ল $\vec{OP} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$ আৰু ইয়াৰ মান $|\vec{OP}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$। ভেক্টৰটোৱে $x$, $y$, $z$ অক্ষৰ লগত কৰা কোণ $\alpha, \beta, \gamma$-ৰ কোচাইনক দিশাংক $l, m, n$ বোলে; দিশানুপাত $a, b, c$-ৰ সৈতে ইয়াৰ সম্বন্ধ $l = \frac{a}{r}, m = \frac{b}{r}, n = \frac{c}{r}$ আৰু $l^2 + m^2 + n^2 = 1$।
ত্ৰিভুজ বিধি আৰু সামান্তৰিক বিধিৰে ভেক্টৰ যোগ কৰা হয়। এটা ভেক্টৰক স্কেলাৰ $\lambda$-ৰে পূৰণ কৰিলে ইয়াৰ মান $|\lambda|$ গুণ হয় আৰু $\lambda$ ধনাত্মক বা ঋণাত্মক অনুসৰি দিশ একে বা বিপৰীত থাকে। $\vec{a}$-ৰ দিশৰ একক ভেক্টৰ $\hat{a} = \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}$। $P$ আৰু $Q$ ($\vec{a}, \vec{b}$) সংযোগী ৰেখাখণ্ডক $m : n$ অনুপাতত বিভাজন কৰা $R$ বিন্দুৰ অৱস্থান ভেক্টৰ অন্তৰ্বিভাজনত $\frac{m\vec{b} + n\vec{a}}{m + n}$ আৰু বহিৰ্বিভাজনত $\frac{m\vec{b} – n\vec{a}}{m – n}$।
দুটা ভেক্টৰৰ স্কেলাৰ (ডট) পূৰণ $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3$; ইয়াৰ ফল এটা সংখ্যা আৰু $\vec{a} \perp \vec{b}$ হ’লে $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$। ভেক্টৰ (ক্ৰছ) পূৰণ $\vec{a} \times \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta\,\hat{n}$, য’ত $\hat{n}$ হ’ল $\vec{a}$ আৰু $\vec{b}$ থকা সমতলৰ ওপৰত লম্ব একক ভেক্টৰ; উপাংশ আকাৰত $\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix}$। $\vec{a}$ আৰু $\vec{b}$ সন্নিহিত বাহু হ’লে ত্ৰিভুজৰ কালি $\frac{1}{2}|\vec{a} \times \vec{b}|$ আৰু সামান্তৰিকৰ কালি $|\vec{a} \times \vec{b}|$।
Summary: This page gives complete, step-by-step Assamese-medium solutions to ASSEB Class 12 Mathematics Chapter 10, Vector Algebra. It covers every printed question of Exercises 10.1, 10.2, 10.3, 10.4 and the Miscellaneous Exercise on Chapter 10 — position vectors, magnitude and direction cosines, addition of vectors, section formula, scalar (dot) product, projection, vector (cross) product, and areas of triangles and parallelograms — with worked answers and extra practice questions for board-exam revision.
পাঠ্যপুথিৰ প্ৰশ্ন আৰু উত্তৰ
অনুশীলনী 10.1
1. উত্তৰৰ 30° পূবে 40 কি.মি. বিস্থাপন লৈখিকভাৱে প্ৰদৰ্শন কৰা।
উত্তৰঃ এখন উপযুক্ত স্কেল (যেনে 10 কি.মি. = 1 একক) লৈ, মূলবিন্দু $O$-ত N, S, E, W দিশ থকা এখন লৈখিক চিত্ৰ আঁকা হয়। উত্তৰ (N) দিশৰপৰা পূবলৈ (E) 30° কোণত এডাল ৰেখা টানি তাত 40 কি.মি.-ৰ সমান দৈৰ্ঘ্যৰ (4 একক) $\vec{OP}$ ভেক্টৰটো আঁকিলেই নিৰ্ণেয় বিস্থাপন পোৱা যায়। কাঁড়ৰ আগটোৱে দিশ বুজায়।
2. তলৰ জোখবোৰ স্কেলাৰ আৰু ভেক্টৰত শ্ৰেণী বিভাজন কৰা।
(i) 10 কি.গ্ৰা. (ii) উত্তৰ-পশ্চিমে 2 মিটাৰ (iii) 40° (iv) 40 ৱাট (v) $10^{-19}$ কুলম্ব (coulomb) (vi) 20 মি./ছে²
উত্তৰঃ (i) ভৰ — স্কেলাৰ। (ii) দিশযুক্ত দূৰত্ব (বিস্থাপন) — ভেক্টৰ। (iii) কোণ — স্কেলাৰ। (iv) ক্ষমতা — স্কেলাৰ। (v) বৈদ্যুতিক আধান — স্কেলাৰ। (vi) ত্বৰণ — ভেক্টৰ। (কেৱল (ii) আৰু (vi)-ত দিশ জড়িত হোৱাবাবে সেই দুটা ভেক্টৰ ৰাশি, বাকীবোৰ স্কেলাৰ।)
3. অধোলিখিতবোৰ স্কেলাৰ আৰু ভেক্টৰ ৰাশিত শ্ৰেণী বিভাজন কৰা।
(i) পৰ্যায়কাল (ii) দূৰত্ব (iii) বল (iv) বেগ (v) সম্পাদিত কাৰ্য
উত্তৰঃ (i) পৰ্যায়কাল — স্কেলাৰ। (ii) দূৰত্ব — স্কেলাৰ। (iii) বল — ভেক্টৰ। (iv) বেগ — ভেক্টৰ। (v) সম্পাদিত কাৰ্য — স্কেলাৰ। (বল আৰু বেগৰ দিশ থকাবাবে ই ভেক্টৰ; বাকীবোৰ স্কেলাৰ।)
4. চিত্ৰ 10.6-ত (এটা বৰ্গ) তলৰ ভেক্টৰবোৰ চিনাক্ত কৰা। (i) সমাদি (ii) সমান (iii) একৰেখীয় কিন্তু সমান নহয়।
উত্তৰঃ চিত্ৰত $\vec{a}$ (ওপৰৰ বাহু, সোঁফালে), $\vec{b}$ (সোঁ বাহু, তললৈ), $\vec{c}$ (তলৰ বাহু, বাওঁফালে) আৰু $\vec{d}$ (বাওঁ বাহু, তললৈ)।
(i) সমাদি ভেক্টৰ: $\vec{a}$ আৰু $\vec{d}$ — দুয়োটাৰে আদি বিন্দু ওপৰৰ বাওঁ চুক একে।
(ii) সমান ভেক্টৰ: $\vec{b}$ আৰু $\vec{d}$ — দুয়োটাই তললৈ মুখ কৰা আৰু বৰ্গৰ বাহু হোৱাবাবে মান একে, গতিকে সমান।
(iii) একৰেখীয় কিন্তু সমান নহয়: $\vec{a}$ আৰু $\vec{c}$ — দুয়োটা অনুভূমিক (একে ৰেখাৰ সমান্তৰাল) কিন্তু দিশ বিপৰীত, সেয়ে একৰেখীয় হ’লেও সমান নহয়।
5. তলত কোনবোৰ সঁচা আৰু কোনবোৰ মিছা।
(i) $\vec{a}$ আৰু $-\vec{a}$ একৰেখীয়। (ii) দুটা একৰেখীয় ভেক্টৰৰ মাপ সদায় সমান। (iii) একে মাপ বিশিষ্ট দুটা ভেক্টৰ একৰেখীয়। (iv) একে মাপ বিশিষ্ট দুটা একৰেখীয় ভেক্টৰ সমান।
উত্তৰঃ
(i) সঁচা। $-\vec{a}$ ভেক্টৰটো $\vec{a}$-ৰ একে ৰেখাৰ (বা সমান্তৰাল ৰেখাৰ) ওপৰত থাকে, কেৱল দিশ বিপৰীত — গতিকে সিহঁত একৰেখীয়।
(ii) মিছা। একৰেখীয় ভেক্টৰবোৰ কেৱল সমান্তৰাল হ’লেই হয়; সিহঁতৰ মাপ বেলেগ বেলেগ হ’ব পাৰে।
(iii) মিছা। একে মাপ থকা দুটা ভেক্টৰ বেলেগ বেলেগ দিশত মুখ কৰি থাকিব পাৰে, গতিকে সিহঁত একৰেখীয় হ’বই লাগে বুলি নাই।
(iv) মিছা। একে মাপ থকা দুটা একৰেখীয় ভেক্টৰৰ দিশ বিপৰীত হ’ব পাৰে (যেনে $\vec{a}$ আৰু $-\vec{a}$); তেতিয়া সিহঁত সমান নহয়।
অনুশীলনী 10.2
1. অধোলিখিত ভেক্টৰবোৰৰ মান উলিওৱাঃ $\vec{a} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$; $\vec{b} = 2\hat{i} – 7\hat{j} – 3\hat{k}$; $\vec{c} = \frac{1}{\sqrt{3}}\hat{i} + \frac{1}{\sqrt{3}}\hat{j} – \frac{1}{\sqrt{3}}\hat{k}$
উত্তৰঃ মান হ’ল উপাংশবোৰৰ বৰ্গৰ যোগফলৰ বৰ্গমূল।
$|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}$
$|\vec{b}| = \sqrt{2^2 + (-7)^2 + (-3)^2} = \sqrt{4 + 49 + 9} = \sqrt{62}$
$|\vec{c}| = \sqrt{\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 + \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 + \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2} = \sqrt{\frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3}} = 1$
2. একে মান বিশিষ্ট দুটা পৃথক ভেক্টৰ লিখা।
উত্তৰঃ $\vec{a} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$ আৰু $\vec{b} = 3\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$ লওক। দুয়োটাৰে মান $\sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14}$, কিন্তু উপাংশ বেলেগ হোৱাবাবে ভেক্টৰ দুটা পৃথক। (এনে বহুতো উদাহৰণ সম্ভৱ, যেনে $\hat{i}$ আৰু $\hat{j}$।)
3. একে দিশ বিশিষ্ট দুটা পৃথক ভেক্টৰ লিখা।
উত্তৰঃ $\vec{a} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ আৰু $\vec{b} = 2\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$ লওক। $\vec{b} = 2\vec{a}$ হোৱাবাবে দুয়োটাৰ দিশ একে, কিন্তু মান বেলেগ হোৱাবাবে ভেক্টৰ দুটা পৃথক।
4. $2\hat{i} + 3\hat{j}$ আৰু $x\hat{i} + y\hat{j}$ ভেক্টৰ দুটা সমান। $x$ আৰু $y$-ৰ মান উলিওৱা।
উত্তৰঃ দুটা ভেক্টৰ সমান হ’বলৈ সিহঁতৰ অনুৰূপ উপাংশবোৰ সমান হ’ব লাগে। গতিকে $x = 2$ আৰু $y = 3$।
5. এটা ভেক্টৰৰ আদি বিন্দু $(2, 1)$ আৰু প্ৰান্ত বিন্দু $(-5, 7)$। ভেক্টৰটোৰ স্কেলাৰ আৰু ভেক্টৰ উপাংশ উলিওৱা।
উত্তৰঃ ভেক্টৰটো = (প্ৰান্ত বিন্দু) − (আদি বিন্দু)।
$\vec{v} = (-5 – 2)\hat{i} + (7 – 1)\hat{j} = -7\hat{i} + 6\hat{j}$
স্কেলাৰ উপাংশ: $-7$ আৰু $6$। ভেক্টৰ উপাংশ: $-7\hat{i}$ আৰু $6\hat{j}$।
6. $\vec{a} = \hat{i} – 2\hat{j} + \hat{k}$, $\vec{b} = -2\hat{i} + 4\hat{j} + 5\hat{k}$ আৰু $\vec{c} = \hat{i} – 6\hat{j} – 7\hat{k}$. ভেক্টৰ তিনিটাৰ যোগফল উলিওৱা।
উত্তৰঃ অনুৰূপ উপাংশবোৰ যোগ কৰি,
$\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = (1 – 2 + 1)\hat{i} + (-2 + 4 – 6)\hat{j} + (1 + 5 – 7)\hat{k} = 0\hat{i} – 4\hat{j} – \hat{k} = -4\hat{j} – \hat{k}$
7. $\vec{a} = \hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}$ ভেক্টৰটোৰ দিশৰ একক ভেক্টৰ উলিওৱা।
উত্তৰঃ $|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{6}$
$\hat{a} = \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|} = \frac{1}{\sqrt{6}}(\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}) = \frac{1}{\sqrt{6}}\hat{i} + \frac{1}{\sqrt{6}}\hat{j} + \frac{2}{\sqrt{6}}\hat{k}$
8. $P$ আৰু $Q$ বিন্দু দুটা ক্ৰমে $(1, 2, 3)$ আৰু $(4, 5, 6)$। $\overrightarrow{PQ}$ ভেক্টৰৰ দিশৰ একক ভেক্টৰটো উলিওৱা।
উত্তৰঃ $\overrightarrow{PQ} = (4 – 1)\hat{i} + (5 – 2)\hat{j} + (6 – 3)\hat{k} = 3\hat{i} + 3\hat{j} + 3\hat{k}$
$|\overrightarrow{PQ}| = \sqrt{3^2 + 3^2 + 3^2} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$
$\widehat{PQ} = \frac{3\hat{i} + 3\hat{j} + 3\hat{k}}{3\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}\hat{i} + \frac{1}{\sqrt{3}}\hat{j} + \frac{1}{\sqrt{3}}\hat{k}$
9. $\vec{a} = 2\hat{i} – \hat{j} + 2\hat{k}$ আৰু $\vec{b} = -\hat{i} + \hat{j} – \hat{k}$ ভেক্টৰ দুটা দিয়া আছে। $\vec{a} + \vec{b}$ ভেক্টৰটোৰ দিশত একক ভেক্টৰটো উলিওৱা।
উত্তৰঃ $\vec{a} + \vec{b} = (2 – 1)\hat{i} + (-1 + 1)\hat{j} + (2 – 1)\hat{k} = \hat{i} + \hat{k}$
$|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{2}$
নিৰ্ণেয় একক ভেক্টৰ $= \frac{\hat{i} + \hat{k}}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}\hat{i} + \frac{1}{\sqrt{2}}\hat{k}$
10. $5\hat{i} – \hat{j} + 2\hat{k}$ ভেক্টৰৰ দিশত এনে এটা ভেক্টৰ উলিওৱা যাৰ মান 8 একক।
উত্তৰঃ $|5\hat{i} – \hat{j} + 2\hat{k}| = \sqrt{25 + 1 + 4} = \sqrt{30}$
নিৰ্ণেয় ভেক্টৰ $= 8 \times \frac{5\hat{i} – \hat{j} + 2\hat{k}}{\sqrt{30}} = \frac{40}{\sqrt{30}}\hat{i} – \frac{8}{\sqrt{30}}\hat{j} + \frac{16}{\sqrt{30}}\hat{k}$
11. দেখুওৱা যে $2\hat{i} – 3\hat{j} + 4\hat{k}$ আৰু $-4\hat{i} + 6\hat{j} – 8\hat{k}$ ভেক্টৰ দুটা একৰেখীয়।
উত্তৰঃ $\vec{a} = 2\hat{i} – 3\hat{j} + 4\hat{k}$ আৰু $\vec{b} = -4\hat{i} + 6\hat{j} – 8\hat{k}$ লওক। লক্ষ্য কৰা যে
$\vec{b} = -4\hat{i} + 6\hat{j} – 8\hat{k} = -2(2\hat{i} – 3\hat{j} + 4\hat{k}) = -2\vec{a}$
$\vec{b} = \lambda\vec{a}$ (য’ত $\lambda = -2$) হোৱাবাবে ভেক্টৰ দুটা একৰেখীয়। (উপাংশৰ অনুপাত $\frac{-4}{2} = \frac{6}{-3} = \frac{-8}{4} = -2$ সমানও এই কথা প্ৰমাণ কৰে।)
12. $\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$ ভেক্টৰটোৰ দিশাংক উলিওৱা।
উত্তৰঃ $|\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{14}$
দিশাংক হ’ল উপাংশবোৰক মানৰে ভাগ কৰা মান, অৰ্থাৎ $\left(\frac{1}{\sqrt{14}}, \frac{2}{\sqrt{14}}, \frac{3}{\sqrt{14}}\right)$।
13. $A(1, 2, -3)$ আৰু $B(-1, -2, 1)$ বিন্দু সংযোগী $A$-ৰপৰা $B$-লৈ দিশযুক্ত ভেক্টৰটোৰ দিশাংক উলিওৱা।
উত্তৰঃ $\overrightarrow{AB} = (-1 – 1)\hat{i} + (-2 – 2)\hat{j} + (1 – (-3))\hat{k} = -2\hat{i} – 4\hat{j} + 4\hat{k}$
$|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(-2)^2 + (-4)^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16 + 16} = \sqrt{36} = 6$
গতিকে দিশাংক $= \left(\frac{-2}{6}, \frac{-4}{6}, \frac{4}{6}\right) = \left(-\frac{1}{3}, -\frac{2}{3}, \frac{2}{3}\right)$।
14. দেখুওৱা $\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ ভেক্টৰটো OX, OY আৰু OZ অক্ষৰ লগত সমভাৱে হেলনীয়া।
উত্তৰঃ $\vec{r} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$, $|\vec{r}| = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}$। ইয়াৰ দিশাংক
$\cos\alpha = \frac{1}{\sqrt{3}}, \quad \cos\beta = \frac{1}{\sqrt{3}}, \quad \cos\gamma = \frac{1}{\sqrt{3}}$
তিনিওটা দিশ কোণৰ কোচাইন সমান, গতিকে $\alpha = \beta = \gamma$। সেয়ে ভেক্টৰটো তিনিওটা অক্ষৰ লগত সমভাৱে হেলনীয়া (প্ৰতিটো কোণ $\cos^{-1}\frac{1}{\sqrt{3}}$)।
15. $P$ আৰু $Q$ বিন্দু দুটাৰ অৱস্থান ভেক্টৰ ক্ৰমে $\hat{i} + 2\hat{j} – \hat{k}$ আৰু $-\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$। $R$ বিন্দুৱে $P, Q$ বিন্দুদ্বয় সংযোগী ৰেখাখণ্ডক $2 : 1$ অনুপাতত (i) অন্তৰ্বিভক্ত (ii) বহিৰ্বিভক্ত কৰে। $R$ বিন্দুৰ অৱস্থান ভেক্টৰ উলিওৱা।
উত্তৰঃ $\vec{a} = \hat{i} + 2\hat{j} – \hat{k}$ (P-ৰ) আৰু $\vec{b} = -\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ (Q-ৰ), $m : n = 2 : 1$।
(i) অন্তৰ্বিভাজন: $\overrightarrow{OR} = \frac{m\vec{b} + n\vec{a}}{m + n} = \frac{2(-\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) + 1(\hat{i} + 2\hat{j} – \hat{k})}{2 + 1} = \frac{-\hat{i} + 4\hat{j} + \hat{k}}{3} = -\frac{1}{3}\hat{i} + \frac{4}{3}\hat{j} + \frac{1}{3}\hat{k}$
(ii) বহিৰ্বিভাজন: $\overrightarrow{OR} = \frac{m\vec{b} – n\vec{a}}{m – n} = \frac{2(-\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) – 1(\hat{i} + 2\hat{j} – \hat{k})}{2 – 1} = -3\hat{i} + 0\hat{j} + 3\hat{k} = -3\hat{i} + 3\hat{k}$
16. $P(2, 3, 4)$ আৰু $Q(4, 1, -2)$ বিন্দুসংযোগী ভেক্টৰৰ মধ্যবিন্দুৰ অৱস্থান ভেক্টৰ উলিওৱা।
উত্তৰঃ মধ্যবিন্দুৰ অৱস্থান ভেক্টৰ $= \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}$।
$= \frac{(2\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}) + (4\hat{i} + \hat{j} – 2\hat{k})}{2} = \frac{6\hat{i} + 4\hat{j} + 2\hat{k}}{2} = 3\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$
17. $A, B$ আৰু $C$ বিন্দুৰ অৱস্থান ভেক্টৰ ক্ৰমে $\vec{a} = 3\hat{i} – 4\hat{j} – 4\hat{k}$, $\vec{b} = 2\hat{i} – \hat{j} + \hat{k}$ আৰু $\vec{c} = \hat{i} – 3\hat{j} – 5\hat{k}$। দেখুওৱা যে বিন্দু তিনিটাই এটা সমকোণী ত্ৰিভুজ গঠন কৰে।
উত্তৰঃ $\overrightarrow{AB} = \vec{b} – \vec{a} = (2 – 3)\hat{i} + (-1 + 4)\hat{j} + (1 + 4)\hat{k} = -\hat{i} + 3\hat{j} + 5\hat{k}$
$\overrightarrow{BC} = \vec{c} – \vec{b} = (1 – 2)\hat{i} + (-3 + 1)\hat{j} + (-5 – 1)\hat{k} = -\hat{i} – 2\hat{j} – 6\hat{k}$
$\overrightarrow{CA} = \vec{a} – \vec{c} = (3 – 1)\hat{i} + (-4 + 3)\hat{j} + (-4 + 5)\hat{k} = 2\hat{i} – \hat{j} + \hat{k}$
এতিয়া $|\overrightarrow{AB}|^2 = 1 + 9 + 25 = 35$, $|\overrightarrow{BC}|^2 = 1 + 4 + 36 = 41$, $|\overrightarrow{CA}|^2 = 4 + 1 + 1 = 6$।
যিহেতু $|\overrightarrow{BC}|^2 = |\overrightarrow{AB}|^2 + |\overrightarrow{CA}|^2$ ($41 = 35 + 6$), পিথাগৰাছৰ উপপাদ্য অনুসৰি $A$ শীৰ্ষত সমকোণ থাকে। গতিকে বিন্দু তিনিটাই এটা সমকোণী ত্ৰিভুজ গঠন কৰে।
18. ABC ত্ৰিভুজত (চিত্ৰ 10.18) তলৰ কোনটো সত্য নহয়?
(A) $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CA} = \vec{0}$ (B) $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} – \overrightarrow{AC} = \vec{0}$ (C) $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} – \overrightarrow{CA} = \vec{0}$ (D) $\overrightarrow{AB} – \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{CA} = \vec{0}$
উত্তৰঃ শুদ্ধ উত্তৰ (C)।
ত্ৰিভুজ বিধিমতে $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$। ইয়াৰ পৰা (A): $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{AC} – \overrightarrow{AC} = \vec{0}$ (সত্য); (B): $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} – \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AC} – \overrightarrow{AC} = \vec{0}$ (সত্য); (D): $-\overrightarrow{CB} = \overrightarrow{BC}$ হোৱাবাবে $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CA} = \vec{0}$ (সত্য)। কিন্তু (C)-ত $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} – \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{AC} – \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{AC} \neq \vec{0}$। গতিকে (C) সত্য নহয়।
19. যদি $\vec{a}$ আৰু $\vec{b}$ দুটা একৰেখীয় ভেক্টৰ, তলৰ কোনটো সত্য নহয়?
(A) $\vec{b} = \lambda\vec{a}$, কোনো এটা স্কেলাৰ $\lambda$-ৰ বাবে (B) $\vec{a} = \pm\vec{b}$ (C) $\vec{a}$ আৰু $\vec{b}$-ৰ অনুৰূপ উপাংশ সমানুপাতিক। (D) দুয়োটা ভেক্টৰ $\vec{a}$ আৰু $\vec{b}$-ৰ দিশ একে, কিন্তু মান বেলেগ বেলেগ।
উত্তৰঃ শুদ্ধ উত্তৰ (C)।
একৰেখীয় ভেক্টৰৰ সংজ্ঞামতে (A) সত্য; আৰু $\vec{b} = \lambda\vec{a}$ হ’লে $b_1 = \lambda a_1, b_2 = \lambda a_2, b_3 = \lambda a_3$, অৰ্থাৎ অনুৰূপ উপাংশবোৰ সমানুপাতিক হয়। NCERT-ৰ মূল প্ৰশ্নত বিকল্প (C) হ’ল “অনুৰূপ উপাংশ সমানুপাতিক নহয়”, যিটো একৰেখীয় ভেক্টৰৰ বাবে মিছা কথা — সেয়ে সত্য নোহোৱা বিকল্প (C)। (অসমীয়া ছপাত (C)-ৰ পৰা “নহয়” বাদ পৰিছে; শুদ্ধ উত্তৰ (C)।)
অনুশীলনী 10.3
1. $\vec{a}$ আৰু $\vec{b}$ ভেক্টৰ দুটাৰ মান ক্ৰমে $\sqrt{3}$ আৰু $2$ আৰু $\vec{a} \cdot \vec{b} = \sqrt{6}$। ভেক্টৰ দুটাৰ মাজৰ কোণ উলিওৱা।
উত্তৰঃ $\cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|} = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3} \cdot 2} = \frac{\sqrt{6}}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$
গতিকে $\theta = \frac{\pi}{4}$।
2. $\hat{i} – 2\hat{j} + 3\hat{k}$ আৰু $3\hat{i} – 2\hat{j} + \hat{k}$ ভেক্টৰ দুটাৰ মাজৰ কোণ উলিওৱা।
উত্তৰঃ $\vec{a} = \hat{i} – 2\hat{j} + 3\hat{k}$, $\vec{b} = 3\hat{i} – 2\hat{j} + \hat{k}$।
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(3) + (-2)(-2) + (3)(1) = 3 + 4 + 3 = 10$
$|\vec{a}| = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14}, \quad |\vec{b}| = \sqrt{9 + 4 + 1} = \sqrt{14}$
$\cos\theta = \frac{10}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{14}} = \frac{10}{14} = \frac{5}{7}$, গতিকে $\theta = \cos^{-1}\frac{5}{7}$।
3. $\hat{i} + \hat{j}$ ভেক্টৰত $\hat{i} – \hat{j}$ ভেক্টৰৰ অভিক্ষেপ উলিওৱা।
উত্তৰঃ $\hat{b} = \hat{i} + \hat{j}$-ৰ দিশত $\vec{a} = \hat{i} – \hat{j}$-ৰ অভিক্ষেপ $= \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|}$।
$= \frac{(1)(1) + (-1)(1)}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{1 – 1}{\sqrt{2}} = 0$
অভিক্ষেপ $0$ (ভেক্টৰ দুটা পৰস্পৰ লম্ব)।
4. $7\hat{i} – \hat{j} + 8\hat{k}$ ভেক্টৰত $\hat{i} + 3\hat{j} + 7\hat{k}$ ভেক্টৰৰ অভিক্ষেপ উলিওৱা।
উত্তৰঃ $\vec{a} = \hat{i} + 3\hat{j} + 7\hat{k}$-ৰ অভিক্ষেপ $\vec{b} = 7\hat{i} – \hat{j} + 8\hat{k}$-ৰ দিশত $= \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|}$।
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(7) + (3)(-1) + (7)(8) = 7 – 3 + 56 = 60$
$|\vec{b}| = \sqrt{49 + 1 + 64} = \sqrt{114}$
অভিক্ষেপ $= \frac{60}{\sqrt{114}}$।
5. দেখুওৱা যে অধোলিখিত ভেক্টৰ তিনিটাৰ প্ৰতিটোৱে একক ভেক্টৰ: $\frac{1}{7}(2\hat{i} + 3\hat{j} + 6\hat{k})$, $\frac{1}{7}(3\hat{i} – 6\hat{j} + 2\hat{k})$, $\frac{1}{7}(6\hat{i} + 2\hat{j} – 3\hat{k})$। আকৌ, দেখুওৱা যে সিহঁত পৰস্পৰ লম্ব।
উত্তৰঃ $\vec{a} = \frac{1}{7}(2\hat{i} + 3\hat{j} + 6\hat{k})$, $\vec{b} = \frac{1}{7}(3\hat{i} – 6\hat{j} + 2\hat{k})$, $\vec{c} = \frac{1}{7}(6\hat{i} + 2\hat{j} – 3\hat{k})$।
$|\vec{a}| = \frac{1}{7}\sqrt{2^2 + 3^2 + 6^2} = \frac{1}{7}\sqrt{4 + 9 + 36} = \frac{\sqrt{49}}{7} = 1$। একেদৰে $|\vec{b}| = \frac{1}{7}\sqrt{9 + 36 + 4} = 1$ আৰু $|\vec{c}| = \frac{1}{7}\sqrt{36 + 4 + 9} = 1$। গতিকে তিনিওটা একক ভেক্টৰ।
$\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{1}{49}\big[(2)(3) + (3)(-6) + (6)(2)\big] = \frac{1}{49}(6 – 18 + 12) = 0$
$\vec{b} \cdot \vec{c} = \frac{1}{49}\big[(3)(6) + (-6)(2) + (2)(-3)\big] = \frac{1}{49}(18 – 12 – 6) = 0$
$\vec{c} \cdot \vec{a} = \frac{1}{49}\big[(6)(2) + (2)(3) + (-3)(6)\big] = \frac{1}{49}(12 + 6 – 18) = 0$
স্কেলাৰ পূৰণবোৰ শূন্য হোৱাবাবে ভেক্টৰ তিনিটা পৰস্পৰ লম্ব।
6. যদি $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} – \vec{b}) = 8$ আৰু $|\vec{a}| = 8|\vec{b}|$, $|\vec{a}|$ আৰু $|\vec{b}|$ উলিওৱা।
উত্তৰঃ $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} – \vec{b}) = |\vec{a}|^2 – |\vec{b}|^2 = 8$।
$|\vec{a}| = 8|\vec{b}|$ বহুৱাই, $(8|\vec{b}|)^2 – |\vec{b}|^2 = 8 \Rightarrow 64|\vec{b}|^2 – |\vec{b}|^2 = 8 \Rightarrow 63|\vec{b}|^2 = 8$।
$|\vec{b}| = \sqrt{\frac{8}{63}} = \frac{2\sqrt{14}}{21}$ আৰু $|\vec{a}| = 8|\vec{b}| = \frac{16\sqrt{14}}{21}$।
7. $(3\vec{a} – 5\vec{b}) \cdot (2\vec{a} + 7\vec{b})$ পূৰণফলটো উলিওৱা।
উত্তৰঃ স্কেলাৰ পূৰণৰ বিতৰণ ধৰ্ম ব্যৱহাৰ কৰি,
$(3\vec{a} – 5\vec{b}) \cdot (2\vec{a} + 7\vec{b}) = 6(\vec{a} \cdot \vec{a}) + 21(\vec{a} \cdot \vec{b}) – 10(\vec{b} \cdot \vec{a}) – 35(\vec{b} \cdot \vec{b})$
$= 6|\vec{a}|^2 + 11(\vec{a} \cdot \vec{b}) – 35|\vec{b}|^2$ (যিহেতু $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$)।
8. $\vec{a}$ আৰু $\vec{b}$ ভেক্টৰ দুটাৰ মান একে, সিহঁতৰ মাজৰ কোণটো $60°$ আৰু সিহঁতৰ স্কেলাৰ পূৰণ $\frac{1}{2}$। ভেক্টৰ দুটাৰ মান উলিওৱা।
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল $|\vec{a}| = |\vec{b}| = x$। তেন্তে $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos 60° = x^2 \cdot \frac{1}{2}$।
দিয়া আছে $\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{1}{2}$, গতিকে $\frac{1}{2}x^2 = \frac{1}{2} \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = 1$। সেয়ে $|\vec{a}| = |\vec{b}| = 1$।
9. এটা একক ভেক্টৰ $\vec{a}$-ৰ বাবে $(\vec{x} – \vec{a}) \cdot (\vec{x} + \vec{a}) = 12$ হ’লে $|\vec{x}|$ উলিওৱা।
উত্তৰঃ $(\vec{x} – \vec{a}) \cdot (\vec{x} + \vec{a}) = |\vec{x}|^2 – |\vec{a}|^2 = 12$।
$\vec{a}$ একক ভেক্টৰ হোৱাবাবে $|\vec{a}| = 1$, গতিকে $|\vec{x}|^2 – 1 = 12 \Rightarrow |\vec{x}|^2 = 13 \Rightarrow |\vec{x}| = \sqrt{13}$।
10. $\vec{a} = 2\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$, $\vec{b} = -\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$ আৰু $\vec{c} = 3\hat{i} + \hat{j}$ তিনিটা ভেক্টৰ আৰু $\vec{a} + \lambda\vec{b}$, $\vec{c}$-ৰ ওপৰত লম্ব। $\lambda$-ৰ মান উলিওৱা।
উত্তৰঃ $\vec{a} + \lambda\vec{b} = (2 – \lambda)\hat{i} + (2 + 2\lambda)\hat{j} + (3 + \lambda)\hat{k}$।
ই $\vec{c} = 3\hat{i} + \hat{j}$-ৰ ওপৰত লম্ব হ’লে $(\vec{a} + \lambda\vec{b}) \cdot \vec{c} = 0$।
$3(2 – \lambda) + 1(2 + 2\lambda) + 0(3 + \lambda) = 0 \Rightarrow 6 – 3\lambda + 2 + 2\lambda = 0 \Rightarrow 8 – \lambda = 0$
গতিকে $\lambda = 8$।
11. দুটা অশূন্য ভেক্টৰ $\vec{a}$ আৰু $\vec{b}$-ৰ বাবে দেখুওৱা যে $|\vec{a}|\vec{b} + |\vec{b}|\vec{a}$, $|\vec{a}|\vec{b} – |\vec{b}|\vec{a}$-ৰ ওপৰত লম্ব।
উত্তৰঃ দুটা ভেক্টৰ লম্ব হ’বলৈ সিহঁতৰ স্কেলাৰ পূৰণ শূন্য হ’ব লাগে।
$(|\vec{a}|\vec{b} + |\vec{b}|\vec{a}) \cdot (|\vec{a}|\vec{b} – |\vec{b}|\vec{a})$
$= |\vec{a}|^2(\vec{b} \cdot \vec{b}) – |\vec{a}||\vec{b}|(\vec{b} \cdot \vec{a}) + |\vec{b}||\vec{a}|(\vec{a} \cdot \vec{b}) – |\vec{b}|^2(\vec{a} \cdot \vec{a})$
$= |\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 – |\vec{b}|^2 |\vec{a}|^2 = 0$ (মাজৰ দুটা পদ কাটাকাটি যায়, যিহেতু $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$)।
স্কেলাৰ পূৰণ শূন্য হোৱাবাবে ভেক্টৰ দুটা পৰস্পৰ লম্ব।
12. যদি $\vec{a} \cdot \vec{a} = 0$ আৰু $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ তেনেহ’লে $\vec{b}$ ভেক্টৰটো সম্বন্ধে কি সিদ্ধান্তত উপনীত হ’ব পাৰি?
উত্তৰঃ $\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2 = 0$ হ’লে $|\vec{a}| = 0$, অৰ্থাৎ $\vec{a} = \vec{0}$ (শূন্য ভেক্টৰ)। এতিয়া $\vec{a} = \vec{0}$ হোৱাবাবে যিকোনো ভেক্টৰ $\vec{b}$-ৰ বাবেই $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{0} \cdot \vec{b} = 0$ হ’ব। গতিকে $\vec{b}$ সম্পৰ্কে কোনো নিৰ্দিষ্ট সিদ্ধান্ত ল’ব নোৱাৰি — $\vec{b}$ যিকোনো ভেক্টৰ হ’ব পাৰে।
13. $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ তিনিটা একক ভেক্টৰ আৰু $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{0}$, $\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}$ উলিওৱা।
উত্তৰঃ $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{0}$ হোৱাবাবে $|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}|^2 = 0$।
$|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = 0$
একক ভেক্টৰ হোৱাবাবে $|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = 1$, গতিকে $1 + 1 + 1 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = 0$।
$\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a} = -\frac{3}{2}$।
14. যদি $\vec{a} = \vec{0}$ বা $\vec{b} = \vec{0}$, তেনেহ’লে $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ কিন্তু বিপৰীততো সত্য নহ’ব পাৰে। এটা উদাহৰণেৰে উত্তৰৰ সত্যতা প্ৰতিপন্ন কৰা।
উত্তৰঃ $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ হ’লেই $\vec{a}$ বা $\vec{b}$ শূন্য ভেক্টৰ হ’বই লাগে বুলি নাই — দুয়োটা অশূন্য হৈয়ো পৰস্পৰ লম্ব হ’ব পাৰে।
উদাহৰণ: $\vec{a} = \hat{i}$ আৰু $\vec{b} = \hat{j}$ লওক। দুয়োটা অশূন্য, তথাপি $\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(0) + (0)(1) + (0)(0) = 0$। গতিকে বিপৰীত সিদ্ধান্ত সদায় সত্য নহয়।
15. ABC ত্ৰিভুজৰ শীৰ্ষবিন্দু $A, B, C$ ক্ৰমে $(1, 2, 3), (-1, 0, 0), (0, 1, 2)$। $\angle ABC$ উলিওৱা। [$\overrightarrow{BA}$ আৰু $\overrightarrow{BC}$-ৰ মাজৰ কোণ হ’ল $\angle ABC$]
উত্তৰঃ $\overrightarrow{BA} = A – B = (1 + 1)\hat{i} + (2 – 0)\hat{j} + (3 – 0)\hat{k} = 2\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$
$\overrightarrow{BC} = C – B = (0 + 1)\hat{i} + (1 – 0)\hat{j} + (2 – 0)\hat{k} = \hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}$
$\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} = (2)(1) + (2)(1) + (3)(2) = 2 + 2 + 6 = 10$
$|\overrightarrow{BA}| = \sqrt{4 + 4 + 9} = \sqrt{17}, \quad |\overrightarrow{BC}| = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6}$
$\cos(\angle ABC) = \frac{10}{\sqrt{17} \cdot \sqrt{6}} = \frac{10}{\sqrt{102}}$, গতিকে $\angle ABC = \cos^{-1}\frac{10}{\sqrt{102}}$।
16. দেখুওৱা যে $A(1, 2, 7), B(2, 6, 3)$ আৰু $C(3, 10, -1)$ বিন্দুকেইটা একৰেখীয়।
উত্তৰঃ $\overrightarrow{AB} = (2 – 1)\hat{i} + (6 – 2)\hat{j} + (3 – 7)\hat{k} = \hat{i} + 4\hat{j} – 4\hat{k}$
$\overrightarrow{BC} = (3 – 2)\hat{i} + (10 – 6)\hat{j} + (-1 – 3)\hat{k} = \hat{i} + 4\hat{j} – 4\hat{k}$
লক্ষ্য কৰা যে $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BC}$; সিহঁত সমান্তৰাল আৰু B সাধাৰণ বিন্দু হোৱাবাবে $A, B, C$ একৰেখীয়। (আৰু $|\overrightarrow{AC}| = |\overrightarrow{AB}| + |\overrightarrow{BC}|$ও ধৰে।)
17. দেখুওৱা যে $2\hat{i} – \hat{j} + \hat{k}$, $\hat{i} – 3\hat{j} – 5\hat{k}$ আৰু $3\hat{i} – 4\hat{j} – 4\hat{k}$ ভেক্টৰ তিনিটাই এটা সমকোণী ত্ৰিভুজৰ শীৰ্ষবিন্দু গঠন কৰে।
উত্তৰঃ $A(2, -1, 1)$, $B(1, -3, -5)$, $C(3, -4, -4)$ লওক।
$\overrightarrow{AB} = -\hat{i} – 2\hat{j} – 6\hat{k}$, $|\overrightarrow{AB}|^2 = 1 + 4 + 36 = 41$
$\overrightarrow{BC} = 2\hat{i} – \hat{j} + \hat{k}$, $|\overrightarrow{BC}|^2 = 4 + 1 + 1 = 6$
$\overrightarrow{CA} = -\hat{i} + 3\hat{j} + 5\hat{k}$, $|\overrightarrow{CA}|^2 = 1 + 9 + 25 = 35$
যিহেতু $|\overrightarrow{AB}|^2 = |\overrightarrow{BC}|^2 + |\overrightarrow{CA}|^2$ ($41 = 6 + 35$), $C$ শীৰ্ষত সমকোণ থাকে। গতিকে বিন্দু তিনিটাই এটা সমকোণী ত্ৰিভুজ গঠন কৰে।
18. $\vec{a}$ এটা অশূন্য ভেক্টৰ আৰু ইয়াৰ মান ‘$a$’ আৰু $\lambda$ এটা অশূন্য স্কেলাৰ। তেনেহ’লে $\lambda\vec{a}$ এটা একক ভেক্টৰ যদি
(A) $\lambda = 1$ (B) $\lambda = -1$ (C) $a = |\lambda|$ (D) $a = 1/|\lambda|$
উত্তৰঃ শুদ্ধ উত্তৰ (D)।
$\lambda\vec{a}$ একক ভেক্টৰ হ’লে $|\lambda\vec{a}| = 1 \Rightarrow |\lambda||\vec{a}| = 1 \Rightarrow |\lambda|\,a = 1 \Rightarrow a = \frac{1}{|\lambda|}$। গতিকে বিকল্প (D) শুদ্ধ।
অনুশীলনী 10.4
1. যদি $\vec{a} = \hat{i} – 7\hat{j} + 7\hat{k}$ আৰু $\vec{b} = 3\hat{i} – 2\hat{j} + 2\hat{k}$, তেন্তে $|\vec{a} \times \vec{b}|$ উলিওৱা।
উত্তৰঃ $\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -7 & 7 \\ 3 & -2 & 2 \end{vmatrix}$
$= \hat{i}\big[(-7)(2) – (7)(-2)\big] – \hat{j}\big[(1)(2) – (7)(3)\big] + \hat{k}\big[(1)(-2) – (-7)(3)\big]$
$= \hat{i}(-14 + 14) – \hat{j}(2 – 21) + \hat{k}(-2 + 21) = 0\hat{i} + 19\hat{j} + 19\hat{k}$
$|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{0^2 + 19^2 + 19^2} = \sqrt{722} = 19\sqrt{2}$
2. $\vec{a} + \vec{b}$ আৰু $\vec{a} – \vec{b}$ ভেক্টৰ দুটাৰ প্ৰত্যেকৰে লগত লম্ব হোৱা এটা একক ভেক্টৰ উলিওৱা, য’ত $\vec{a} = 3\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$ আৰু $\vec{b} = \hat{i} + 2\hat{j} – 2\hat{k}$।
উত্তৰঃ $\vec{a} + \vec{b} = 4\hat{i} + 4\hat{j} + 0\hat{k}$ আৰু $\vec{a} – \vec{b} = 2\hat{i} + 0\hat{j} + 4\hat{k}$।
দুয়োটাৰে লগত লম্ব ভেক্টৰটো $= (\vec{a} + \vec{b}) \times (\vec{a} – \vec{b}) = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 4 & 4 & 0 \\ 2 & 0 & 4 \end{vmatrix}$
$= \hat{i}(16 – 0) – \hat{j}(16 – 0) + \hat{k}(0 – 8) = 16\hat{i} – 16\hat{j} – 8\hat{k}$
ইয়াৰ মান $= \sqrt{16^2 + 16^2 + 8^2} = \sqrt{576} = 24$। গতিকে নিৰ্ণেয় একক ভেক্টৰ
$= \pm\frac{16\hat{i} – 16\hat{j} – 8\hat{k}}{24} = \pm\frac{1}{3}(2\hat{i} – 2\hat{j} – \hat{k})$
3. $\vec{a}$ এটা একক ভেক্টৰ আৰু ই $\hat{i}$-ৰ লগত $\frac{\pi}{3}$ কোণ, $\hat{j}$-ৰ লগত $\frac{\pi}{4}$ কোণ আৰু $\hat{k}$-ৰ লগত এটা সূক্ষ্মকোণ $\theta$ কৰে। $\theta$ উলিওৱা আৰু ইয়াৰ সহায়ত $\vec{a}$-ৰ উপাংশ উলিওৱা।
উত্তৰঃ দিশাংকৰ সম্বন্ধ $\cos^2\alpha + \cos^2\beta + \cos^2\gamma = 1$ ব্যৱহাৰ কৰি,
$\cos^2\frac{\pi}{3} + \cos^2\frac{\pi}{4} + \cos^2\theta = 1 \Rightarrow \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 + \cos^2\theta = 1$
$\frac{1}{4} + \frac{1}{2} + \cos^2\theta = 1 \Rightarrow \cos^2\theta = \frac{1}{4} \Rightarrow \cos\theta = \frac{1}{2}$ ($\theta$ সূক্ষ্মকোণ)।
গতিকে $\theta = \frac{\pi}{3}$। $\vec{a}$-ৰ উপাংশ (দিশাংক) হ’ল $\left(\cos\frac{\pi}{3}, \cos\frac{\pi}{4}, \cos\frac{\pi}{3}\right) = \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{2}\right)$, অৰ্থাৎ $\vec{a} = \frac{1}{2}\hat{i} + \frac{1}{\sqrt{2}}\hat{j} + \frac{1}{2}\hat{k}$।
4. দেখুওৱা যে $(\vec{a} – \vec{b}) \times (\vec{a} + \vec{b}) = 2(\vec{a} \times \vec{b})$।
উত্তৰঃ বিতৰণ ধৰ্ম প্ৰয়োগ কৰি,
$(\vec{a} – \vec{b}) \times (\vec{a} + \vec{b}) = \vec{a} \times \vec{a} + \vec{a} \times \vec{b} – \vec{b} \times \vec{a} – \vec{b} \times \vec{b}$
$\vec{a} \times \vec{a} = \vec{0}$, $\vec{b} \times \vec{b} = \vec{0}$ আৰু $\vec{b} \times \vec{a} = -(\vec{a} \times \vec{b})$ হোৱাবাবে,
$= \vec{0} + \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{b} – \vec{0} = 2(\vec{a} \times \vec{b})$। (প্ৰমাণিত)
5. যদি $(2\hat{i} + 6\hat{j} + 27\hat{k}) \times (\hat{i} + \lambda\hat{j} + \mu\hat{k}) = \vec{0}$, $\lambda$ আৰু $\mu$ উলিওৱা।
উত্তৰঃ দুটা ভেক্টৰৰ ক্ৰছ পূৰণ শূন্য হ’লে সিহঁত সমান্তৰাল, অৰ্থাৎ অনুৰূপ উপাংশবোৰ সমানুপাতিক:
$\frac{2}{1} = \frac{6}{\lambda} = \frac{27}{\mu}$
$\frac{6}{\lambda} = 2 \Rightarrow \lambda = 3$ আৰু $\frac{27}{\mu} = 2 \Rightarrow \mu = \frac{27}{2}$।
6. দিয়া আছে, $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ আৰু $\vec{a} \times \vec{b} = \vec{0}$। $\vec{a}$ আৰু $\vec{b}$ ভেক্টৰ দুটা সম্বন্ধে তুমি কি সিদ্ধান্ত ল’বা?
উত্তৰঃ $\vec{a}, \vec{b}$ দুয়োটা অশূন্য বুলি ধৰা হ’ল। তেন্তে $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ মানে $\vec{a} \perp \vec{b}$ আৰু $\vec{a} \times \vec{b} = \vec{0}$ মানে $\vec{a} \parallel \vec{b}$ — এটা ভেক্টৰ যুগল একেসময়তে পৰস্পৰ লম্ব আৰু সমান্তৰাল হ’ব নোৱাৰে। গতিকে $\vec{a}$ আৰু $\vec{b}$-ৰ অন্ততঃ এটা শূন্য ভেক্টৰ ($\vec{a} = \vec{0}$ বা $\vec{b} = \vec{0}$) হ’বই লাগিব।
7. $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ ভেক্টৰ তিনিটা এনেদৰে দিয়া আছে $a_1\hat{i} + a_2\hat{j} + a_3\hat{k}$, $b_1\hat{i} + b_2\hat{j} + b_3\hat{k}$, $c_1\hat{i} + c_2\hat{j} + c_3\hat{k}$। দেখুওৱা যে $\vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c}$।
উত্তৰঃ $\vec{b} + \vec{c} = (b_1 + c_1)\hat{i} + (b_2 + c_2)\hat{j} + (b_3 + c_3)\hat{k}$।
$\vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c}) = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 + c_1 & b_2 + c_2 & b_3 + c_3 \end{vmatrix}$
$\hat{i}$-ৰ উপাংশ $= a_2(b_3 + c_3) – a_3(b_2 + c_2) = (a_2 b_3 – a_3 b_2) + (a_2 c_3 – a_3 c_2)$।
একেদৰে $\hat{j}$ আৰু $\hat{k}$-ৰ উপাংশবোৰো দুটা অংশত ভাঙিব পাৰি। এই দুটা অংশ ক্ৰমে $\vec{a} \times \vec{b}$ আৰু $\vec{a} \times \vec{c}$-ৰ উপাংশৰ সৈতে মিলে। গতিকে $\vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c}$। (প্ৰমাণিত)
8. যদি $\vec{a} = \vec{0}$ বা $\vec{b} = \vec{0}$, তেনেহ’লে $\vec{a} \times \vec{b} = \vec{0}$। ইয়াৰ বিপৰীততো সত্যনে? এটা উদাহৰণসহ তোমাৰ উত্তৰৰ যুক্তিযুক্ততা প্ৰতিপন্ন কৰা।
উত্তৰঃ বিপৰীত কথাটো সত্য নহয়। $\vec{a} \times \vec{b} = \vec{0}$ হ’লেই $\vec{a}$ বা $\vec{b}$ শূন্য হ’বই লাগে বুলি নাই — দুয়োটা অশূন্য হৈয়ো সমান্তৰাল (একৰেখীয়) হ’লে ক্ৰছ পূৰণ শূন্য হয়।
উদাহৰণ: $\vec{a} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ আৰু $\vec{b} = 2\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$ লওক। দুয়োটা অশূন্য, কিন্তু $\vec{b} = 2\vec{a}$ (সমান্তৰাল) হোৱাবাবে $\vec{a} \times \vec{b} = \vec{0}$। গতিকে বিপৰীত সিদ্ধান্ত সদায় সত্য নহয়।
9. এটা ত্ৰিভুজৰ শীৰ্ষবিন্দুৰ স্থানাংক $A(1, 1, 2), B(2, 3, 5)$ আৰু $C(1, 5, 5)$। ত্ৰিভুজটোৰ কালি উলিওৱা।
উত্তৰঃ $\overrightarrow{AB} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$ আৰু $\overrightarrow{AC} = 0\hat{i} + 4\hat{j} + 3\hat{k}$।
$\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(6 – 12) – \hat{j}(3 – 0) + \hat{k}(4 – 0) = -6\hat{i} – 3\hat{j} + 4\hat{k}$
$|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}| = \sqrt{36 + 9 + 16} = \sqrt{61}$
ত্ৰিভুজৰ কালি $= \frac{1}{2}|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}| = \frac{\sqrt{61}}{2}$ বৰ্গ একক।
10. এটা সামান্তৰিকৰ দুটা সন্নিহিত বাহু $\vec{a} = \hat{i} – \hat{j} + 3\hat{k}$ আৰু $\vec{b} = 2\hat{i} – 7\hat{j} + \hat{k}$ ভেক্টৰ দুটাৰে দিয়া আছে। সামান্তৰিকটোৰ কালি উলিওৱা।
উত্তৰঃ সামান্তৰিকৰ কালি $= |\vec{a} \times \vec{b}|$।
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -1 & 3 \\ 2 & -7 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(-1 + 21) – \hat{j}(1 – 6) + \hat{k}(-7 + 2) = 20\hat{i} + 5\hat{j} – 5\hat{k}$
$|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{400 + 25 + 25} = \sqrt{450} = 15\sqrt{2}$ বৰ্গ একক।
11. $\vec{a}$ আৰু $\vec{b}$ দুটা ভেক্টৰ আৰু $|\vec{a}| = 3$ আৰু $|\vec{b}| = \frac{\sqrt{2}}{3}$, তেনেহ’লে $\vec{a} \times \vec{b}$ এটা একক ভেক্টৰ হ’ব যদি $\vec{a}$ আৰু $\vec{b}$-ৰ মাজৰ কোণ
(A) $\pi/6$ (B) $\pi/4$ (C) $\pi/3$ (D) $\pi/2$
উত্তৰঃ শুদ্ধ উত্তৰ (B)।
$|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta = 3 \times \frac{\sqrt{2}}{3} \times \sin\theta = \sqrt{2}\sin\theta$। একক ভেক্টৰ হ’বলৈ $\sqrt{2}\sin\theta = 1 \Rightarrow \sin\theta = \frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow \theta = \frac{\pi}{4}$।
12. এটা আয়তৰ শীৰ্ষবিন্দু $A, B, C$ আৰু $D$-ৰ অৱস্থান ভেক্টৰ ক্ৰমে $-\hat{i} + \frac{1}{2}\hat{j} + 4\hat{k}$, $\hat{i} + \frac{1}{2}\hat{j} + 4\hat{k}$, $\hat{i} – \frac{1}{2}\hat{j} + 4\hat{k}$ আৰু $-\hat{i} – \frac{1}{2}\hat{j} + 4\hat{k}$। আয়তক্ষেত্ৰটোৰ কালি,
(A) $\frac{1}{2}$ (B) $1$ (C) $2$ (D) $4$
উত্তৰঃ শুদ্ধ উত্তৰ (C)।
$\overrightarrow{AB} = (1 – (-1))\hat{i} + 0\hat{j} + 0\hat{k} = 2\hat{i}$, গতিকে $|\overrightarrow{AB}| = 2$।
$\overrightarrow{BC} = 0\hat{i} + \left(-\frac{1}{2} – \frac{1}{2}\right)\hat{j} + 0\hat{k} = -\hat{j}$, গতিকে $|\overrightarrow{BC}| = 1$।
আয়তক্ষেত্ৰটোৰ কালি $= |\overrightarrow{AB}| \times |\overrightarrow{BC}| = 2 \times 1 = 2$ বৰ্গ একক।
10 অধ্যায়ৰ সানমিহলি অনুশীলনী
1. XY সমতলত থকা এটা একক ভেক্টৰ লিখা, যিটোৱে $x$ অক্ষৰ ধনাত্মক দিশৰ লগত $30°$ কোণ কৰে।
উত্তৰঃ XY সমতলত $x$ অক্ষৰ লগত $\theta$ কোণ কৰা একক ভেক্টৰ হ’ল $\cos\theta\,\hat{i} + \sin\theta\,\hat{j}$।
$\theta = 30°$ বহুৱাই, নিৰ্ণেয় একক ভেক্টৰ $= \cos 30°\,\hat{i} + \sin 30°\,\hat{j} = \frac{\sqrt{3}}{2}\hat{i} + \frac{1}{2}\hat{j}$।
2. $P(x_1, y_1, z_1)$ আৰু $Q(x_2, y_2, z_2)$ বিন্দু সংযোগী ভেক্টৰৰ স্কেলাৰ উপাংশ আৰু মান উলিওৱা।
উত্তৰঃ $\overrightarrow{PQ} = (x_2 – x_1)\hat{i} + (y_2 – y_1)\hat{j} + (z_2 – z_1)\hat{k}$।
স্কেলাৰ উপাংশ: $(x_2 – x_1)$, $(y_2 – y_1)$, $(z_2 – z_1)$।
মান: $|\overrightarrow{PQ}| = \sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2 + (z_2 – z_1)^2}$।
3. এজনী ছোৱালীয়ে পশ্চিম দিশত 4 কি.মি. খোজকাঢ়িলে। তাৰ পিছত তাই উত্তৰৰ $30°$ পূব দিশত 3 কি.মি. খোজ কাঢ়িলে। যাত্ৰাৰ আদি বিন্দুৰপৰা ছোৱালীজনীৰ বিস্থাপন নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ $\hat{i}$-ক পূব আৰু $\hat{j}$-ক উত্তৰ দিশ ধৰা হ’ল। আদি বিন্দু $O$-ৰপৰা পশ্চিমলৈ 4 কি.মি.:
$\overrightarrow{OA} = -4\hat{i}$
“উত্তৰৰ $30°$ পূব” মানে উত্তৰ দিশৰ লগত $30°$ কোণত পূবফালে; ই $x$ অক্ষৰ লগত $60°$ কোণ কৰে। গতিকে
$\overrightarrow{AB} = 3\cos 60°\,\hat{i} + 3\sin 60°\,\hat{j} = \frac{3}{2}\hat{i} + \frac{3\sqrt{3}}{2}\hat{j}$
মুঠ বিস্থাপন $\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AB} = \left(-4 + \frac{3}{2}\right)\hat{i} + \frac{3\sqrt{3}}{2}\hat{j} = -\frac{5}{2}\hat{i} + \frac{3\sqrt{3}}{2}\hat{j}$
মান $= \sqrt{\left(\frac{5}{2}\right)^2 + \left(\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{27}{4}} = \sqrt{13}$ কি.মি.।
4. যদি $\vec{a} = \vec{b} + \vec{c}$, তেন্তে $|\vec{a}| = |\vec{b}| + |\vec{c}|$ সত্য হয়নে? তোমাৰ উত্তৰৰ যুক্তিযুক্ততা প্ৰতিপন্ন কৰা।
উত্তৰঃ সদায় সত্য নহয়। ইয়াক কেৱল তেতিয়াহে সত্য হয় যেতিয়া $\vec{b}$ আৰু $\vec{c}$ একে দিশৰ (সমান্তৰাল, একে মুখী) হয়।
উদাহৰণ: $\vec{b} = \hat{i}$ আৰু $\vec{c} = \hat{j}$ লওক। তেন্তে $\vec{a} = \hat{i} + \hat{j}$ আৰু $|\vec{a}| = \sqrt{2} \approx 1.41$; কিন্তু $|\vec{b}| + |\vec{c}| = 1 + 1 = 2$। যিহেতু $\sqrt{2} \neq 2$, কথাটো সাধাৰণতে সত্য নহয়। (প্ৰকৃততে ত্ৰিভুজ অসমিকা অনুসৰি $|\vec{a}| \leq |\vec{b}| + |\vec{c}|$।)
5. $x$-ৰ কি মানৰ বাবে $x(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$ একক ভেক্টৰ হ’ব নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ একক ভেক্টৰ হ’বলৈ $|x(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})| = 1$।
$|x|\sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = 1 \Rightarrow |x|\sqrt{3} = 1 \Rightarrow |x| = \frac{1}{\sqrt{3}}$।
গতিকে $x = \pm\frac{1}{\sqrt{3}}$।
6. এটা ভেক্টৰৰ মান 5 একক আৰু ই $\vec{a} = 2\hat{i} + 3\hat{j} – \hat{k}$ আৰু $\vec{b} = \hat{i} – 2\hat{j} + \hat{k}$ ভেক্টৰ দুটাৰ লব্ধৰ সমান্তৰাল। ভেক্টৰটো উলিওৱা।
উত্তৰঃ লব্ধ $\vec{r} = \vec{a} + \vec{b} = (2 + 1)\hat{i} + (3 – 2)\hat{j} + (-1 + 1)\hat{k} = 3\hat{i} + \hat{j}$।
$|\vec{r}| = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}$। মান 5 একক আৰু $\vec{r}$-ৰ সমান্তৰাল ভেক্টৰ
$= \pm 5 \cdot \frac{3\hat{i} + \hat{j}}{\sqrt{10}} = \pm\frac{5}{\sqrt{10}}(3\hat{i} + \hat{j}) = \pm\frac{\sqrt{10}}{2}(3\hat{i} + \hat{j})$
7. যদি $\vec{a} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$, $\vec{b} = 2\hat{i} – \hat{j} + 3\hat{k}$ আৰু $\vec{c} = \hat{i} – 2\hat{j} + \hat{k}$, $2\vec{a} – \vec{b} + 3\vec{c}$ ভেক্টৰৰ সমান্তৰাল এটা একক ভেক্টৰ উলিওৱা।
উত্তৰঃ $2\vec{a} = 2\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$, $3\vec{c} = 3\hat{i} – 6\hat{j} + 3\hat{k}$।
$2\vec{a} – \vec{b} + 3\vec{c} = (2 – 2 + 3)\hat{i} + (2 + 1 – 6)\hat{j} + (2 – 3 + 3)\hat{k} = 3\hat{i} – 3\hat{j} + 2\hat{k}$
মান $= \sqrt{9 + 9 + 4} = \sqrt{22}$। নিৰ্ণেয় একক ভেক্টৰ $= \frac{1}{\sqrt{22}}(3\hat{i} – 3\hat{j} + 2\hat{k})$।
8. দেখুওৱা যে $A(1, -2, -8), B(5, 0, -2)$ আৰু $C(11, 3, 7)$ বিন্দুকেইটা একৰেখীয় আৰু $B$ বিন্দুৱে $AC$-ক কি অনুপাতত ভাগ কৰে উলিওৱা।
উত্তৰঃ $\overrightarrow{AB} = (5 – 1)\hat{i} + (0 + 2)\hat{j} + (-2 + 8)\hat{k} = 4\hat{i} + 2\hat{j} + 6\hat{k}$
$\overrightarrow{BC} = (11 – 5)\hat{i} + (3 – 0)\hat{j} + (7 + 2)\hat{k} = 6\hat{i} + 3\hat{j} + 9\hat{k}$
লক্ষ্য কৰা যে $\overrightarrow{BC} = \frac{3}{2}\overrightarrow{AB}$; সিহঁত সমান্তৰাল আৰু $B$ সাধাৰণ বিন্দু হোৱাবাবে $A, B, C$ একৰেখীয়।
$B$-ৱে $AC$-ক $\overrightarrow{AB} : \overrightarrow{BC} = 4 : 6 = 2 : 3$ অনুপাতত (অন্তৰ্ভাগে) ভাগ কৰে।
9. $P$ আৰু $Q$-ৰ অৱস্থান ভেক্টৰ ক্ৰমে $(2\vec{a} + \vec{b})$ আৰু $(\vec{a} – 3\vec{b})$। এই বিন্দুদ্বয় সংযোগী ৰেখাখণ্ডক $R$ বিন্দুৱে $1 : 2$ অনুপাতত বহিৰ্ভাৱে বিভক্ত কৰে। $R$ বিন্দুৰ অৱস্থান ভেক্টৰ উলিওৱা। আকৌ দেখুওৱা যে $RQ$ ৰেখাখণ্ডৰ $P$ মধ্যবিন্দু।
উত্তৰঃ $\vec{p} = 2\vec{a} + \vec{b}$ (P), $\vec{q} = \vec{a} – 3\vec{b}$ (Q), বহিৰ্বিভাজন $m : n = 1 : 2$।
$\overrightarrow{OR} = \frac{m\vec{q} – n\vec{p}}{m – n} = \frac{1(\vec{a} – 3\vec{b}) – 2(2\vec{a} + \vec{b})}{1 – 2} = \frac{\vec{a} – 3\vec{b} – 4\vec{a} – 2\vec{b}}{-1} = \frac{-3\vec{a} – 5\vec{b}}{-1} = 3\vec{a} + 5\vec{b}$
এতিয়া $RQ$-ৰ মধ্যবিন্দুৰ অৱস্থান ভেক্টৰ $= \frac{\overrightarrow{OR} + \vec{q}}{2} = \frac{(3\vec{a} + 5\vec{b}) + (\vec{a} – 3\vec{b})}{2} = \frac{4\vec{a} + 2\vec{b}}{2} = 2\vec{a} + \vec{b} = \vec{p}$।
এইটোৱে $P$-ৰ অৱস্থান ভেক্টৰৰ সৈতে মিলে, গতিকে $P$ হ’ল $RQ$ ৰেখাখণ্ডৰ মধ্যবিন্দু।
10. এটা সামান্তৰিকৰ দুটা সন্নিহিত বাহু হ’ল $2\hat{i} – 4\hat{j} + 5\hat{k}$ আৰু $\hat{i} – 2\hat{j} – 3\hat{k}$। ইয়াৰ কৰ্ণৰ সমান্তৰাল একক ভেক্টৰ উলিওৱা। ইয়াৰ কালিও উলিওৱা।
উত্তৰঃ $\vec{a} = 2\hat{i} – 4\hat{j} + 5\hat{k}$, $\vec{b} = \hat{i} – 2\hat{j} – 3\hat{k}$। এটা কৰ্ণ $\vec{a} + \vec{b} = 3\hat{i} – 6\hat{j} + 2\hat{k}$।
$|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{9 + 36 + 4} = \sqrt{49} = 7$। কৰ্ণৰ সমান্তৰাল একক ভেক্টৰ $= \frac{1}{7}(3\hat{i} – 6\hat{j} + 2\hat{k})$।
কালিৰ বাবে $\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -4 & 5 \\ 1 & -2 & -3 \end{vmatrix} = \hat{i}(12 + 10) – \hat{j}(-6 – 5) + \hat{k}(-4 + 4) = 22\hat{i} + 11\hat{j} + 0\hat{k}$
$|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{22^2 + 11^2} = \sqrt{484 + 121} = \sqrt{605} = 11\sqrt{5}$। গতিকে সামান্তৰিকৰ কালি $= 11\sqrt{5}$ বৰ্গ একক।
11. দেখুওৱা যে OX, OY আৰু OZ অক্ষৰ লগত সমভাৱে হেলনীয়া এটা ভেক্টৰৰ দিশানুপাত $\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}$।
উত্তৰঃ এটা ভেক্টৰে OX, OY, OZ অক্ষৰ লগত ক্ৰমে $\alpha, \beta, \gamma$ কোণ কৰক আৰু তাৰ দিশাংক $l = \cos\alpha, m = \cos\beta, n = \cos\gamma$।
সমভাৱে হেলনীয়া হোৱাবাবে $\alpha = \beta = \gamma$, গতিকে $l = m = n$।
দিশাংকৰ ধৰ্ম $l^2 + m^2 + n^2 = 1$ ব্যৱহাৰ কৰি $3l^2 = 1 \Rightarrow l^2 = \frac{1}{3} \Rightarrow l = \pm\frac{1}{\sqrt{3}}$।
গতিকে সমভাৱে হেলনীয়া ভেক্টৰৰ দিশাংক $\left(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}\right)$ (বা ইয়াৰ ঋণাত্মক)। [টোকা: এই $\frac{1}{\sqrt{3}}$ মানবোৰ প্ৰকৃততে দিশাংক (direction cosines)।]
12. ধৰা হ’ল $\vec{a} = \hat{i} + 4\hat{j} + 2\hat{k}$, $\vec{b} = 3\hat{i} – 2\hat{j} + 7\hat{k}$ আৰু $\vec{c} = 2\hat{i} – \hat{j} + 4\hat{k}$। $\vec{d}$ ভেক্টৰটো $\vec{a}$ আৰু $\vec{b}$ উভয়ৰে ওপৰত লম্ব আৰু $\vec{c} \cdot \vec{d} = 15$। $\vec{d}$ উলিওৱা।
উত্তৰঃ $\vec{d}$ যিহেতু $\vec{a}$ আৰু $\vec{b}$ উভয়ৰে ওপৰত লম্ব, সেয়ে $\vec{d}$ হ’ল $\vec{a} \times \vec{b}$-ৰ সমান্তৰাল, অৰ্থাৎ $\vec{d} = \lambda(\vec{a} \times \vec{b})$।
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 4 & 2 \\ 3 & -2 & 7 \end{vmatrix} = \hat{i}(28 + 4) – \hat{j}(7 – 6) + \hat{k}(-2 – 12) = 32\hat{i} – \hat{j} – 14\hat{k}$
গতিকে $\vec{d} = \lambda(32\hat{i} – \hat{j} – 14\hat{k})$। এতিয়া $\vec{c} \cdot \vec{d} = 15$:
$\lambda\big[(2)(32) + (-1)(-1) + (4)(-14)\big] = 15 \Rightarrow \lambda(64 + 1 – 56) = 15 \Rightarrow 9\lambda = 15 \Rightarrow \lambda = \frac{5}{3}$
$\vec{d} = \frac{5}{3}(32\hat{i} – \hat{j} – 14\hat{k}) = \frac{160}{3}\hat{i} – \frac{5}{3}\hat{j} – \frac{70}{3}\hat{k}$।
13. $2\hat{i} + 4\hat{j} – 5\hat{k}$ আৰু $\lambda\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$ ভেক্টৰৰ যোগফলৰ দিশৰ একক ভেক্টৰৰ সৈতে $\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ ভেক্টৰৰ স্কেলাৰ পূৰণ 1। $\lambda$-ৰ মান উলিওৱা।
উত্তৰঃ যোগফল $\vec{s} = (2 + \lambda)\hat{i} + 6\hat{j} – 2\hat{k}$। ইয়াৰ দিশৰ একক ভেক্টৰ $\hat{s} = \frac{\vec{s}}{|\vec{s}|}$।
$(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) \cdot \hat{s} = 1 \Rightarrow \frac{(2 + \lambda) + 6 – 2}{\sqrt{(2 + \lambda)^2 + 36 + 4}} = 1 \Rightarrow \frac{\lambda + 6}{\sqrt{(2 + \lambda)^2 + 40}} = 1$
দুয়োফালে বৰ্গ কৰি, $(\lambda + 6)^2 = (2 + \lambda)^2 + 40 \Rightarrow \lambda^2 + 12\lambda + 36 = \lambda^2 + 4\lambda + 44$।
$8\lambda = 8 \Rightarrow \lambda = 1$।
14. $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ তিনিটা সমমানৰ পৰস্পৰ লম্ব ভেক্টৰ। দেখুওৱা যে $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$ ভেক্টৰটো $\vec{a}, \vec{b}$ আৰু $\vec{c}$-ৰ সৈতে সমভাৱে হেলনীয়া।
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল $|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = k$ আৰু $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{c} = \vec{c} \cdot \vec{a} = 0$ (পৰস্পৰ লম্ব)।
$|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = k^2 + k^2 + k^2 + 0 = 3k^2$
গতিকে $|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}| = k\sqrt{3}$।
$\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$-ৱে $\vec{a}$-ৰ লগত কৰা কোণ $\theta_1$ হ’লে $\cos\theta_1 = \frac{(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) \cdot \vec{a}}{|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}||\vec{a}|} = \frac{|\vec{a}|^2 + 0 + 0}{k\sqrt{3} \cdot k} = \frac{k^2}{k^2\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$।
একেদৰে $\vec{b}$ আৰু $\vec{c}$-ৰ লগত কৰা কোণৰ কোচাইনো $\frac{1}{\sqrt{3}}$। তিনিওটা কোণ সমান হোৱাবাবে $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$ ভেক্টৰটো $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$-ৰ সৈতে সমভাৱে হেলনীয়া। (প্ৰমাণিত)
15. প্ৰমাণ কৰা যে $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2$ যদি আৰু যদিহে $\vec{a}, \vec{b}$ লম্ব; $\vec{a} \neq \vec{0}, \vec{b} \neq \vec{0}$।
উত্তৰঃ স্কেলাৰ পূৰণৰ বিতৰণ ধৰ্ম প্ৰয়োগ কৰি,
$(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = \vec{a} \cdot \vec{a} + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + \vec{b} \cdot \vec{b} = |\vec{a}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2$
এইটো $|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2$-ৰ সমান হ’ব যদি আৰু যদিহে $2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 0$, অৰ্থাৎ $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$। যিহেতু $\vec{a}, \vec{b}$ অশূন্য, ই মানে $\vec{a} \perp \vec{b}$। গতিকে প্ৰদত্ত সমতা সত্য হয় যদি আৰু কেৱল যদিহে $\vec{a}$ আৰু $\vec{b}$ পৰস্পৰ লম্ব। (প্ৰমাণিত)
16 ৰপৰা 19 অনুশীলনী কেইটাত শুদ্ধ উত্তৰটো বাছি উলিওৱা।
16. $\vec{a}$ আৰু $\vec{b}$ ভেক্টৰ দুটাৰ কোণ $\theta$ হ’লে $\vec{a} \cdot \vec{b} \geq 0$ হ’ব যদি,
(A) $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ (B) $0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$ (C) $0 < \theta < \pi$ (D) $0 \leq \theta \leq \pi$
উত্তৰঃ শুদ্ধ উত্তৰ (B)। $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta \geq 0$ হ’বলৈ $\cos\theta \geq 0$ লাগে, যিটো $0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$-ত সত্য।
17. $\vec{a}$ আৰু $\vec{b}$ দুটা একক ভেক্টৰ আৰু $\theta$ সিহঁতৰ মাজৰ কোণ। তেনেহ’লে $\vec{a} + \vec{b}$ এটা একক ভেক্টৰ হ’ব যদি,
(A) $\theta = \frac{\pi}{4}$ (B) $\theta = \frac{\pi}{3}$ (C) $\theta = \frac{\pi}{2}$ (D) $\theta = \frac{2\pi}{3}$
উত্তৰঃ শুদ্ধ উত্তৰ (D)। $|\vec{a} + \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + 2|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta = 1 + 1 + 2\cos\theta$। একক ভেক্টৰ হ’বলৈ $|\vec{a} + \vec{b}|^2 = 1$, গতিকে $2 + 2\cos\theta = 1 \Rightarrow \cos\theta = -\frac{1}{2} \Rightarrow \theta = \frac{2\pi}{3}$।
18. $\hat{i} \cdot (\hat{j} \times \hat{k}) + \hat{j} \cdot (\hat{i} \times \hat{k}) + \hat{k} \cdot (\hat{i} \times \hat{j})$-ৰ মান
(A) $0$ (B) $-1$ (C) $1$ (D) $3$
উত্তৰঃ শুদ্ধ উত্তৰ (C)। $\hat{j} \times \hat{k} = \hat{i}$, গতিকে $\hat{i} \cdot \hat{i} = 1$; $\hat{i} \times \hat{k} = -\hat{j}$, গতিকে $\hat{j} \cdot (-\hat{j}) = -1$; $\hat{i} \times \hat{j} = \hat{k}$, গতিকে $\hat{k} \cdot \hat{k} = 1$। যোগফল $= 1 – 1 + 1 = 1$।
19. $\vec{a}$ আৰু $\vec{b}$ ভেক্টৰ দুটাৰ মাজৰ কোণ $\theta$ তেনেহ’লে $|\vec{a} \cdot \vec{b}| = |\vec{a} \times \vec{b}|$ হ’ব যদি $\theta$-ৰ মান,
(A) $0$ (B) $\frac{\pi}{4}$ (C) $\frac{\pi}{2}$ (D) $\pi$
উত্তৰঃ শুদ্ধ উত্তৰ (B)। $|\vec{a} \cdot \vec{b}| = |\vec{a}||\vec{b}||\cos\theta|$ আৰু $|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta$। সমান হ’লে $|\cos\theta| = \sin\theta \Rightarrow \tan\theta = 1 \Rightarrow \theta = \frac{\pi}{4}$।
অতিৰিক্ত প্ৰশ্ন আৰু উত্তৰ
বহু বিকল্পযুক্ত প্ৰশ্ন (MCQ)
1. $|\vec{a}| = 3$, $|\vec{b}| = 4$ আৰু $\vec{a} \cdot \vec{b} = 6$ হ’লে ভেক্টৰ দুটাৰ মাজৰ কোণ —
(A) $\frac{\pi}{6}$ (B) $\frac{\pi}{3}$ (C) $\frac{\pi}{4}$ (D) $\frac{\pi}{2}$
উত্তৰঃ (B) $\frac{\pi}{3}$। $\cos\theta = \frac{6}{3 \times 4} = \frac{1}{2}$, গতিকে $\theta = \frac{\pi}{3}$।
2. $|\hat{i} \times \hat{j}|$-ৰ মান —
(A) $0$ (B) $1$ (C) $\hat{k}$ (D) $-1$
উত্তৰঃ (B) $1$। $\hat{i} \times \hat{j} = \hat{k}$ আৰু $|\hat{k}| = 1$।
3. $2\hat{i} – \hat{j} + 2\hat{k}$ ভেক্টৰৰ মান —
(A) $3$ (B) $\sqrt{5}$ (C) $\sqrt{7}$ (D) $9$
উত্তৰঃ (A) $3$। $\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{9} = 3$।
4. দুটা অশূন্য ভেক্টৰ $\vec{a}$ আৰু $\vec{b}$ পৰস্পৰ লম্ব হ’লে —
(A) $\vec{a} \times \vec{b} = \vec{0}$ (B) $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ (C) $\vec{a} = \vec{b}$ (D) $\vec{a} = -\vec{b}$
উত্তৰঃ (B) $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$। লম্ব ভেক্টৰৰ স্কেলাৰ পূৰণ শূন্য।
5. $\hat{j} \times \hat{i}$-ৰ মান —
(A) $\hat{k}$ (B) $-\hat{k}$ (C) $\hat{i}$ (D) $0$
উত্তৰঃ (B) $-\hat{k}$। ভেক্টৰ পূৰণ ক্ৰমবিনিময় নহয়, $\hat{j} \times \hat{i} = -(\hat{i} \times \hat{j}) = -\hat{k}$।
6. $\vec{a}$ আৰু $\vec{b}$ সন্নিহিত বাহু হোৱা ত্ৰিভুজৰ কালি —
(A) $|\vec{a} \times \vec{b}|$ (B) $\frac{1}{2}|\vec{a} \times \vec{b}|$ (C) $|\vec{a} \cdot \vec{b}|$ (D) $\frac{1}{2}(\vec{a} \cdot \vec{b})$
উত্তৰঃ (B) $\frac{1}{2}|\vec{a} \times \vec{b}|$।
7. $\hat{i} \cdot (\hat{i} \times \hat{j})$-ৰ মান —
(A) $1$ (B) $\hat{k}$ (C) $0$ (D) $-1$
উত্তৰঃ (C) $0$। $\hat{i} \times \hat{j} = \hat{k}$ আৰু $\hat{i} \cdot \hat{k} = 0$।
8. $x$-অক্ষৰ দিশত থকা একক ভেক্টৰৰ দিশাংক —
(A) $(0, 0, 1)$ (B) $(0, 1, 0)$ (C) $(1, 0, 0)$ (D) $\left(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}\right)$
উত্তৰঃ (C) $(1, 0, 0)$। $x$-অক্ষে $x$ অক্ষৰ লগত $0°$, বাকী দুটাৰ লগত $90°$ কোণ কৰে।
খালী ঠাই পূৰণ কৰা
1. এটা একক ভেক্টৰৰ মান ______। উত্তৰঃ $1$।
2. $\hat{i} \times \hat{i} = $ ______। উত্তৰঃ $\vec{0}$ (শূন্য ভেক্টৰ)।
3. দুটা ভেক্টৰৰ স্কেলাৰ পূৰণ এটা ______ ৰাশি। উত্তৰঃ স্কেলাৰ (আদিশ)।
4. $P(x, y, z)$ বিন্দুৰ অৱস্থান ভেক্টৰ ______। উত্তৰঃ $x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$।
5. ভেক্টৰ দুটাৰ মাজৰ কোণ $90°$ হ’লে সিহঁতৰ স্কেলাৰ পূৰণ ______। উত্তৰঃ $0$।
সঁচা নে মিছা লিখা
1. দুটা ভেক্টৰৰ ভেক্টৰ পূৰণ এটা স্কেলাৰ ৰাশি। উত্তৰঃ মিছা (ই এটা ভেক্টৰ)।
2. দিশাংকৰ বাবে $l^2 + m^2 + n^2 = 1$। উত্তৰঃ সঁচা।
3. সকলো ভেক্টৰৰ বাবে $\vec{a} \times \vec{b} = \vec{b} \times \vec{a}$। উত্তৰঃ মিছা ($\vec{a} \times \vec{b} = -\vec{b} \times \vec{a}$)।
4. শূন্য ভেক্টৰৰ কোনো নিৰ্দিষ্ট দিশ নাথাকে। উত্তৰঃ সঁচা।
5. যিকোনো দুটা ভেক্টৰৰ বাবে $|\vec{a} \cdot \vec{b}| \leq |\vec{a}||\vec{b}|$। উত্তৰঃ সঁচা (কছি-স্বৰাৰ্ৰ্ব অসমিকা)।
চমু উত্তৰৰ প্ৰশ্ন
1. $2\hat{i} + 3\hat{j} – 6\hat{k}$ ভেক্টৰৰ দিশৰ একক ভেক্টৰ উলিওৱা।
উত্তৰঃ $|2\hat{i} + 3\hat{j} – 6\hat{k}| = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7$। একক ভেক্টৰ $= \frac{1}{7}(2\hat{i} + 3\hat{j} – 6\hat{k})$।
2. $\hat{i}$ আৰু $\hat{i} + \hat{j}$ ভেক্টৰ দুটাৰ মাজৰ কোণ উলিওৱা।
উত্তৰঃ $\cos\theta = \frac{\hat{i} \cdot (\hat{i} + \hat{j})}{|\hat{i}||\hat{i} + \hat{j}|} = \frac{1}{1 \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$, গতিকে $\theta = \frac{\pi}{4}$।
3. $\hat{i} + \hat{j}$ আৰু $\hat{j} + \hat{k}$ সন্নিহিত বাহু হোৱা সামান্তৰিকৰ কালি উলিওৱা।
উত্তৰঃ $(\hat{i} + \hat{j}) \times (\hat{j} + \hat{k}) = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(1) – \hat{j}(1) + \hat{k}(1) = \hat{i} – \hat{j} + \hat{k}$। কালি $= \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}$ বৰ্গ একক।
4. দেখুওৱা যে $2\hat{i} – \hat{j} + \hat{k}$ আৰু $3\hat{i} + 2\hat{j} – 4\hat{k}$ ভেক্টৰ দুটা পৰস্পৰ লম্ব।
উত্তৰঃ $(2\hat{i} – \hat{j} + \hat{k}) \cdot (3\hat{i} + 2\hat{j} – 4\hat{k}) = (2)(3) + (-1)(2) + (1)(-4) = 6 – 2 – 4 = 0$। স্কেলাৰ পূৰণ শূন্য হোৱাবাবে ভেক্টৰ দুটা পৰস্পৰ লম্ব।
শব্দাৰ্থ
| অসমীয়া শব্দ | English term | অৰ্থ |
|---|---|---|
| ভেক্টৰ | Vector | মান আৰু দিশ দুয়োটা থকা ৰাশি |
| আদিশ ৰাশি / স্কেলাৰ | Scalar | কেৱল মান থকা ৰাশি |
| অৱস্থান ভেক্টৰ | Position vector | মূলবিন্দু সাপেক্ষে বিন্দুৰ ভেক্টৰ |
| দিশাংক | Direction cosines | ভেক্টৰে অক্ষৰ লগত কৰা কোণৰ কোচাইন |
| দিশানুপাত | Direction ratios | দিশাংকৰ সমানুপাতিক সংখ্যা |
| একক ভেক্টৰ | Unit vector | মান এক থকা ভেক্টৰ |
| শূন্য ভেক্টৰ | Zero (null) vector | আদি আৰু প্ৰান্ত বিন্দু একে থকা ভেক্টৰ |
| একৰেখীয় ভেক্টৰ | Collinear vectors | একে ৰেখাৰ সমান্তৰাল ভেক্টৰ |
| স্কেলাৰ (ডট) পূৰণ | Scalar (dot) product | $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$ |
| ভেক্টৰ (ক্ৰছ) পূৰণ | Vector (cross) product | $\vec{a} \times \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta\,\hat{n}$ |
| অভিক্ষেপ | Projection | এটা ভেক্টৰৰ আন এটাৰ ওপৰত পৰা ছাঁ |
| বিভাজন সূত্ৰ | Section formula | ৰেখাখণ্ড বিভাজন কৰা বিন্দুৰ অৱস্থান ভেক্টৰ |