সম্বন্ধ আৰু ফলন — প্ৰশ্ন উত্তৰ
HSLC Guru-লৈ আপোনাক স্বাগতম। এই পাঠত আমি ASSEB Class 12 গণিতৰ প্ৰথম অধ্যায় সম্বন্ধ আৰু ফলন (Relations and Functions)ৰ অনুশীলনী 1.1, অনুশীলনী 1.2 আৰু প্ৰথম অধ্যায়ৰ বিবিধ অনুশীলনীৰ সকলো প্ৰশ্নৰ সম্পূৰ্ণ, ধাপে ধাপে সমাধান পাঠ্যপুথিৰ ক্ৰম অনুসৰি দাঙি ধৰিছোঁ।
সাৰাংশ
এই অধ্যায়ত সংহতি এটাত সংজ্ঞাবদ্ধ বিভিন্ন প্ৰকাৰৰ সম্বন্ধ (relation) সম্পৰ্কে অধ্যয়ন কৰা হয়। সংহতি $A$ ত এটা সম্বন্ধ $R$ হ’ল $A \times A$ ৰ এটা উপসংহতি। যদি $A$ ৰ কোনো মৌল আন কোনো মৌলৰ লগত যুক্ত নহয় তেন্তে $R$ ক ৰিক্ত সম্বন্ধ ($R = \phi$) বোলা হয় আৰু প্ৰতিটো মৌল প্ৰতিটো মৌলৰ লগত যুক্ত হ’লে ইয়াক সৰ্বজনীন সম্বন্ধ ($R = A \times A$) বোলা হয়। এই দুয়োটাকে তুচ্ছ সম্বন্ধ বোলা হয়।
এটা সম্বন্ধ $R$ প্ৰতিফলনীয় (reflexive) হয় যদি সকলো $a$ ৰ বাবে $(a, a) \in R$; প্ৰতিসম (symmetric) হয় যদি $(a, b) \in R$ এ $(b, a) \in R$ সূচায়; আৰু সংক্ৰামক (transitive) হয় যদি $(a, b) \in R$ আৰু $(b, c) \in R$ এ $(a, c) \in R$ সূচায়। এই তিনিওটা ধৰ্ম একেলগে থাকিলে $R$ ক সমতুল্যতা সম্বন্ধ (equivalence relation) বোলা হয়, আৰু ই সংহতিটোক পৰস্পৰ অসংযুক্ত সমতুল্যতা শ্ৰেণীলৈ বিভক্ত কৰে।
ফলনৰ ক্ষেত্ৰত এটা ফলন $f : X \to Y$ ক একৈকী (one-one বা injective) বোলা হয় যদি ভিন্ন মৌলৰ প্ৰতিচ্ছায়াও ভিন্ন হয়, আৰু আচ্ছাদক (onto বা surjective) বোলা হয় যদি $Y$ ৰ প্ৰতিটো মৌল $X$ ৰ কোনো মৌলৰ প্ৰতিচ্ছায়া হয়। একৈকী আৰু আচ্ছাদক দুয়োটা হ’লে $f$ ক একৈকী-আচ্ছাদক (bijective) বোলা হয়। সসীম সংহতি $X$ ৰ বাবে $f : X \to X$ একৈকী হ’লেই আচ্ছাদক আৰু ইয়াৰ ওলোটাও সত্য।
দুটা ফলন $f : A \to B$ আৰু $g : B \to C$ ৰ সংযোজন (composition) $g \circ f : A \to C$ ক $(g \circ f)(x) = g(f(x))$ ৰে সংজ্ঞাবদ্ধ কৰা হয়। এটা ফলন $f$ প্ৰতিলোমনীয় (invertible) হয় যদি আৰু কেৱল যদি ই একৈকী আৰু আচ্ছাদক হয়; তেতিয়া ইয়াৰ প্ৰতিলোম $f^{-1}$ থাকে।
Summary: This page gives complete, step-by-step Assamese-medium solutions to ASSEB Class 12 Mathematics Chapter 1, Relations and Functions, covering Exercise 1.1, Exercise 1.2 and the Miscellaneous Exercise on Chapter 1. It explains empty, universal, reflexive, symmetric, transitive and equivalence relations, equivalence classes, one-one and onto functions, bijections, composition of functions and invertible functions.
পাঠ্যপুথিৰ প্ৰশ্ন আৰু উত্তৰ
অনুশীলনী 1.1
1. তলৰ সম্বন্ধবোৰৰ প্ৰতিটোৱে প্ৰতিফলনীয়, প্ৰতিসম আৰু সংক্ৰামক হয়নে নহয় থিৰ কৰা।
(i) $A = \{1, 2, 3, \dots, 13, 14\}$ সংহতিত সংজ্ঞাবদ্ধ সম্বন্ধ $R = \{(x, y) : 3x – y = 0\}$
উত্তৰঃ $3x – y = 0$ মানে $y = 3x$, গতিকে $R = \{(1, 3), (2, 6), (3, 9), (4, 12)\}$।
প্ৰতিফলনীয় নহয়: $(1, 1) \notin R$, কিয়নো $3(1) – 1 = 2 \ne 0$। প্ৰতিসম নহয়: $(1, 3) \in R$ কিন্তু $(3, 1) \notin R$, কিয়নো $3(3) – 1 = 8 \ne 0$। সংক্ৰামক নহয়: $(1, 3) \in R$ আৰু $(3, 9) \in R$, কিন্তু $(1, 9) \notin R$, কিয়নো $3(1) – 9 = -6 \ne 0$। গতিকে $R$ প্ৰতিফলনীয়, প্ৰতিসম বা সংক্ৰামক একোৱেই নহয়।
(ii) স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ সংহতি $\mathbb{N}$ অত সংজ্ঞাবদ্ধ সম্বন্ধ $R = \{(x, y) : y = x + 5$ আৰু $x < 4\}$
উত্তৰঃ $x \in \{1, 2, 3\}$, গতিকে $R = \{(1, 6), (2, 7), (3, 8)\}$।
প্ৰতিফলনীয় নহয়: $(1, 1) \notin R$, কিয়নো $1 \ne 1 + 5$। প্ৰতিসম নহয়: $(1, 6) \in R$ কিন্তু $(6, 1) \notin R$, কিয়নো $6 < 4$ সত্য নহয়। সংক্ৰামক: $R$ ত এনে কোনো $(x, y)$ আৰু $(y, z)$ যোৰ নাই যাতে দুয়োটাই $R$ ত থাকে (প্ৰতিটো প্ৰথম উপাদান $< 4$ কিন্তু দ্বিতীয় উপাদান $\ge 6$)। গতিকে $R$ শূন্যভাৱে সংক্ৰামক। সাৰাংশত, $R$ কেৱল সংক্ৰামক।
(iii) সংহতি $A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ অত সংজ্ঞাবদ্ধ সম্বন্ধ $R = \{(x, y) : y$ অৰ দ্বাৰা $x$ বিভাজ্য$\}$
উত্তৰঃ ইয়াত $(x, y) \in R$ মানে $x$ ক $y$ ৰ দ্বাৰা ভাগ কৰিব পাৰি (অৰ্থাৎ $x$ হ’ল $y$ ৰ গুণিতক)। প্ৰতিফলনীয়: সকলো $x$ নিজৰ দ্বাৰা বিভাজ্য, গতিকে $(x, x) \in R$। প্ৰতিসম নহয়: $(6, 2) \in R$ ($6$ ক $2$ ৰে ভাগ কৰিব পাৰি) কিন্তু $(2, 6) \notin R$ ($2$ ক $6$ ৰে ভাগ কৰিব নোৱাৰি)। সংক্ৰামক: $y$ ৰ দ্বাৰা $x$ আৰু $z$ ৰ দ্বাৰা $y$ বিভাজ্য হ’লে $z$ ৰ দ্বাৰা $x$ বিভাজ্য। গতিকে $R$ প্ৰতিফলনীয় আৰু সংক্ৰামক, কিন্তু প্ৰতিসম নহয়।
(iv) অখণ্ড সংখ্যাৰ সংহতি $\mathbb{Z}$ অত সংজ্ঞাবদ্ধ সম্বন্ধ $R = \{(x, y) : x – y$ এটা অখণ্ড সংখ্যা$\}$
উত্তৰঃ $x, y \in \mathbb{Z}$ হোৱাত $x – y$ সদায় এটা অখণ্ড সংখ্যা, গতিকে প্ৰতিটো যোৰ $R$ ত আছে। প্ৰতিফলনীয়: $x – x = 0$ অখণ্ড সংখ্যা, গতিকে $(x, x) \in R$। প্ৰতিসম: $x – y$ অখণ্ড হ’লে $y – x$-ও অখণ্ড, গতিকে $(y, x) \in R$। সংক্ৰামক: $x – y$ আৰু $y – z$ অখণ্ড হ’লে $x – z = (x – y) + (y – z)$-ও অখণ্ড। গতিকে $R$ প্ৰতিফলনীয়, প্ৰতিসম আৰু সংক্ৰামক (এটা সমতুল্যতা সম্বন্ধ)।
(v) এটা নিৰ্দিষ্ট সময়ত এখন চহৰৰ সকলো মানুহৰ সংহতি $A$ ত সংজ্ঞাবদ্ধ সম্বন্ধ:
(a) $R = \{(x, y) : x$ আৰু $y$ এ একে ঠাইতে কাম কৰে$\}$
উত্তৰঃ $x$ নিজৰ লগত একে ঠাইতে কাম কৰে (প্ৰতিফলনীয়); $x, y$ একে ঠাইতে কাম কৰিলে $y, x$-ও তেনেই (প্ৰতিসম); $x, y$ আৰু $y, z$ একে ঠাইতে কাম কৰিলে $x, z$-ও একে ঠাইতে (সংক্ৰামক)। গতিকে প্ৰতিফলনীয়, প্ৰতিসম আৰু সংক্ৰামক।
(b) $R = \{(x, y) : x$ আৰু $y$ এ একেটা চুবুৰীতে বাস কৰে$\}$
উত্তৰঃ ওপৰৰ (a)ৰ দৰেই — প্ৰতিফলনীয়, প্ৰতিসম আৰু সংক্ৰামক।
(c) $R = \{(x, y) : x, y$ তৈকৈ ঠিক $7$ ছে.মি. ওখ$\}$
উত্তৰঃ প্ৰতিফলনীয় নহয়: $x$ নিজতকৈ $7$ ছে.মি. ওখ হ’ব নোৱাৰে। প্ৰতিসম নহয়: $x$, $y$ তকৈ $7$ ছে.মি. ওখ হ’লে $y$, $x$ তকৈ $7$ ছে.মি. চাপৰ, ওখ নহয়। সংক্ৰামক নহয়: $x$, $y$ তকৈ $7$ আৰু $y$, $z$ তকৈ $7$ ছে.মি. ওখ হ’লে $x$, $z$ তকৈ $14$ ছে.মি. ওখ, $7$ নহয়। গতিকে একোৱেই নহয়।
(d) $R = \{(x, y) : x, y$ ৰ ঘৈণী$\}$
উত্তৰঃ প্ৰতিফলনীয় নহয়: $x$ নিজৰ ঘৈণী হ’ব নোৱাৰে। প্ৰতিসম নহয়: $x$, $y$ ৰ ঘৈণী হ’লে $y$ হ’ল $x$ ৰ স্বামী, ঘৈণী নহয়। সংক্ৰামক: $x$, $y$ ৰ ঘৈণী আৰু $y$, $z$ ৰ ঘৈণী এনে যোৰ থাকিব নোৱাৰে (এজন মানুহ একে সময়ত ঘৈণী আৰু স্বামী দুয়োটা হ’ব নোৱাৰে), গতিকে $R$ শূন্যভাৱে সংক্ৰামক। সাৰাংশত, $R$ প্ৰতিফলনীয় বা প্ৰতিসম নহয়, কেৱল সংক্ৰামক।
(e) $R = \{(x, y) : x, y$ ৰ পিতৃ$\}$
উত্তৰঃ প্ৰতিফলনীয় নহয়: $x$ নিজৰ পিতৃ হ’ব নোৱাৰে। প্ৰতিসম নহয়: $x$, $y$ ৰ পিতৃ হ’লে $y$, $x$ ৰ পিতৃ নহয় (সন্তান)। সংক্ৰামক নহয়: $x$, $y$ ৰ পিতৃ আৰু $y$, $z$ ৰ পিতৃ হ’লে $x$ হ’ল $z$ ৰ ককা, পিতৃ নহয়। গতিকে একোৱেই নহয়।
2. দেখুওৱা যে বাস্তৱ সংখ্যাৰ সংহতি $\mathbb{R}$ অত সংজ্ঞাবদ্ধ সম্বন্ধ $R = \{(a, b) : a \le b^2\}$ প্ৰতিফলনীয় নহয়, প্ৰতিসম নহয়, সংক্ৰামকো নহয়।
উত্তৰঃ প্ৰতিফলনীয় নহয়: $a = \frac{1}{2}$ ল’লে $\frac{1}{2} \le \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$ সত্য নহয়, গতিকে $\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right) \notin R$। প্ৰতিসম নহয়: $(1, 2) \in R$ কিয়নো $1 \le 2^2 = 4$, কিন্তু $(2, 1) \notin R$ কিয়নো $2 \le 1^2 = 1$ সত্য নহয়। সংক্ৰামক নহয়: $(3, 2) \in R$ কিয়নো $3 \le 4$, আৰু $(2, 1.5) \in R$ কিয়নো $2 \le (1.5)^2 = 2.25$, কিন্তু $(3, 1.5) \notin R$ কিয়নো $3 \le 2.25$ সত্য নহয়। গতিকে $R$ প্ৰতিফলনীয়, প্ৰতিসম বা সংক্ৰামক একোৱেই নহয়।
3. সংহতি $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ অত সংজ্ঞাবদ্ধ সম্বন্ধ $R = \{(a, b) : b = a + 1\}$ প্ৰতিফলনীয়, প্ৰতিসম, সংক্ৰামক হয় নে নহয় পৰীক্ষা কৰা।
উত্তৰঃ $R = \{(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 6)\}$। প্ৰতিফলনীয় নহয়: $(1, 1) \notin R$ কিয়নো $1 \ne 1 + 1$। প্ৰতিসম নহয়: $(1, 2) \in R$ কিন্তু $(2, 1) \notin R$। সংক্ৰামক নহয়: $(1, 2) \in R$ আৰু $(2, 3) \in R$, কিন্তু $(1, 3) \notin R$। গতিকে $R$ প্ৰতিফলনীয়, প্ৰতিসম বা সংক্ৰামক একোৱেই নহয়।
4. দেখুওৱা যে $\mathbb{R}$ অত সংজ্ঞাবদ্ধ সম্বন্ধ $R = \{(a, b) : a \le b\}$ প্ৰতিফলনীয় আৰু সংক্ৰামক, কিন্তু প্ৰতিসম নহয়।
উত্তৰঃ প্ৰতিফলনীয়: সকলো $a$ ৰ বাবে $a \le a$, গতিকে $(a, a) \in R$। সংক্ৰামক: $a \le b$ আৰু $b \le c$ হ’লে $a \le c$, গতিকে $(a, c) \in R$। প্ৰতিসম নহয়: $(1, 2) \in R$ কিয়নো $1 \le 2$, কিন্তু $(2, 1) \notin R$ কিয়নো $2 \le 1$ সত্য নহয়। গতিকে $R$ প্ৰতিফলনীয় আৰু সংক্ৰামক, কিন্তু প্ৰতিসম নহয়।
5. $\mathbb{R}$ অত সংজ্ঞাবদ্ধ সম্বন্ধ $R = \{(a, b) : a \le b^3\}$ প্ৰতিফলনীয়, প্ৰতিসম, সংক্ৰামক হয়নে নহয় পৰীক্ষা কৰা।
উত্তৰঃ প্ৰতিফলনীয় নহয়: $a = \frac{1}{2}$ ল’লে $\frac{1}{2} \le \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8}$ সত্য নহয়। প্ৰতিসম নহয়: $(1, 2) \in R$ কিয়নো $1 \le 2^3 = 8$, কিন্তু $(2, 1) \notin R$ কিয়নো $2 \le 1^3 = 1$ সত্য নহয়। সংক্ৰামক নহয়: $(100, 5) \in R$ কিয়নো $100 \le 5^3 = 125$, আৰু $(5, 2) \in R$ কিয়নো $5 \le 2^3 = 8$, কিন্তু $(100, 2) \notin R$ কিয়নো $100 \le 2^3 = 8$ সত্য নহয়। গতিকে $R$ প্ৰতিফলনীয়, প্ৰতিসম বা সংক্ৰামক একোৱেই নহয়।
6. দেখুওৱা যে $\{1, 2, 3\}$ সংহতিত সংজ্ঞাবদ্ধ সম্বন্ধ $R = \{(1, 2), (2, 1)\}$ প্ৰতিসম কিন্তু প্ৰতিফলনীয় নহয়, সংক্ৰামকো নহয়।
উত্তৰঃ প্ৰতিসম: $(1, 2) \in R$ আৰু ইয়াৰ ওলোটা যোৰ $(2, 1)$-ও $R$ ত আছে। প্ৰতিফলনীয় নহয়: $(1, 1), (2, 2), (3, 3) \notin R$। সংক্ৰামক নহয়: $(1, 2) \in R$ আৰু $(2, 1) \in R$, কিন্তু $(1, 1) \notin R$। গতিকে $R$ প্ৰতিসম, কিন্তু প্ৰতিফলনীয় বা সংক্ৰামক নহয়।
7. এখন কলেজৰ এটা পুথিভঁৰালৰ সকলো কিতাপৰ সংহতিটো $A$। দেখুওৱা যে $A$ ত সংজ্ঞাবদ্ধ সম্বন্ধ $R = \{(x, y) : x$ আৰু $y$ ৰ পৃষ্ঠাৰ সংখ্যা একে$\}$ এটা সমতুল্যতা সম্বন্ধ।
উত্তৰঃ প্ৰতিফলনীয়: যিকোনো কিতাপ $x$ ৰ পৃষ্ঠাৰ সংখ্যা নিজৰ সৈতে একে, গতিকে $(x, x) \in R$। প্ৰতিসম: $x$ আৰু $y$ ৰ পৃষ্ঠাৰ সংখ্যা একে হ’লে $y$ আৰু $x$ ৰো একে, গতিকে $(y, x) \in R$। সংক্ৰামক: $x, y$ ৰ পৃষ্ঠা একে আৰু $y, z$ ৰ পৃষ্ঠা একে হ’লে $x, z$ ৰো একে, গতিকে $(x, z) \in R$। তিনিওটা ধৰ্ম সত্য হোৱাত $R$ এটা সমতুল্যতা সম্বন্ধ।
8. দেখুওৱা যে $A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ সংহতিত সংজ্ঞাবদ্ধ সম্বন্ধ $R = \{(a, b) : |a – b|$ যুগ্ম$\}$ এটা সমতুল্যতা সম্বন্ধ। দেখুওৱা যে $\{1, 3, 5\}$ ৰ সকলোবোৰ মৌলৰ প্ৰত্যেক ইটোৰ লগত সিটো যুক্ত, $\{2, 4\}$ ৰ সকলোবোৰ মৌলৰ প্ৰত্যেক ইটোৰ লগত সিটো যুক্ত, কিন্তু $\{1, 3, 5\}$ ৰ কোনো মৌল $\{2, 4\}$ ৰ কোনো মৌলৰ লগত যুক্ত নহয়।
উত্তৰঃ প্ৰতিফলনীয়: $|a – a| = 0$ যুগ্ম, গতিকে $(a, a) \in R$। প্ৰতিসম: $|a – b| = |b – a|$, গতিকে $(a, b) \in R \Rightarrow (b, a) \in R$। সংক্ৰামক: $|a – b|$ যুগ্ম হ’লে $a, b$ একে বৰ্গৰ (দুয়ো যুগ্ম বা দুয়ো অযুগ্ম), $|b – c|$ যুগ্ম হ’লে $b, c$ একে বৰ্গৰ; গতিকে $a, c$-ও একে বৰ্গৰ আৰু $|a – c|$ যুগ্ম, অৰ্থাৎ $(a, c) \in R$। গতিকে $R$ সমতুল্যতা সম্বন্ধ।
$\{1, 3, 5\}$ ৰ মৌলবোৰ সকলোবোৰ অযুগ্ম, গতিকে যিকোনো দুটাৰ অন্তৰ যুগ্ম — প্ৰত্যেক ইটোৰ লগত সিটো যুক্ত। একেদৰে $\{2, 4\}$ ৰ মৌলবোৰ যুগ্ম, গতিকে প্ৰত্যেক ইটোৰ লগত সিটো যুক্ত। কিন্তু $\{1, 3, 5\}$ ৰ (অযুগ্ম) কোনো মৌল আৰু $\{2, 4\}$ ৰ (যুগ্ম) কোনো মৌলৰ অন্তৰ অযুগ্ম, গতিকে সিহঁত পৰস্পৰৰ লগত যুক্ত নহয়।
9. দেখুওৱা যে $A = \{x \in \mathbb{Z} : 0 \le x \le 12\}$ সংহতিত সংজ্ঞাবদ্ধ তলৰ সম্বন্ধ দুটাৰ প্ৰতিটোৱে সমতুল্যতা সম্বন্ধ। প্ৰত্যেক ক্ষেত্ৰতে $1$ অৰ লগত যুক্ত মৌলবোৰৰ সংহতি উলিওৱা।
(i) $R = \{(a, b) : |a – b|, 4$ অৰ এটা গুণিতক$\}$
উত্তৰঃ প্ৰতিফলনীয়: $|a – a| = 0 = 4 \times 0$, $4$ ৰ গুণিতক, গতিকে $(a, a) \in R$। প্ৰতিসম: $|a – b| = |b – a|$, গতিকে $(a, b) \in R \Rightarrow (b, a) \in R$। সংক্ৰামক: $|a – b|$ আৰু $|b – c|$ দুয়োটা $4$ ৰ গুণিতক হ’লে $|a – c|$-ও $4$ ৰ গুণিতক। গতিকে সমতুল্যতা সম্বন্ধ। $1$ অৰ লগত যুক্ত মৌল: $|x – 1|$, $4$ ৰ গুণিতক, অৰ্থাৎ $x – 1 \in \{0, 4, 8, \dots\}$, গতিকে সংহতিটো $\{1, 5, 9\}$।
(ii) $R = \{(a, b) : a = b\}$
উত্তৰঃ এইটো অভেদ সম্বন্ধ। $(a, a) \in R$ (প্ৰতিফলনীয়); $a = b \Rightarrow b = a$ (প্ৰতিসম); $a = b$ আৰু $b = c \Rightarrow a = c$ (সংক্ৰামক)। গতিকে সমতুল্যতা সম্বন্ধ। $1$ অৰ লগত যুক্ত মৌল কেৱল $1$ নিজেই, গতিকে সংহতিটো $\{1\}$।
10. এনে এটা সম্বন্ধৰ উদাহৰণ দিয়া যিটো
(i) প্ৰতিসম, কিন্তু প্ৰতিফলনীয় নহয়, সংক্ৰামকো নহয়;
উত্তৰঃ $\{1, 2, 3\}$ ত $R = \{(1, 2), (2, 1)\}$। ই প্ৰতিসম, কিন্তু $(1, 1) \notin R$ (প্ৰতিফলনীয় নহয়) আৰু $(1, 2), (2, 1) \in R$ হ’লেও $(1, 1) \notin R$ (সংক্ৰামক নহয়)।
(ii) সংক্ৰামক, কিন্তু প্ৰতিফলনীয় নহয়, প্ৰতিসমো নহয়;
উত্তৰঃ $\mathbb{R}$ ত $R = \{(a, b) : a < b\}$। $a < b$ আৰু $b < c \Rightarrow a < c$ (সংক্ৰামক); $a < a$ অসত্য (প্ৰতিফলনীয় নহয়); $1 < 2$ কিন্তু $2 < 1$ অসত্য (প্ৰতিসম নহয়)।
(iii) প্ৰতিফলনীয় আৰু প্ৰতিসম, কিন্তু সংক্ৰামক নহয়;
উত্তৰঃ $\{1, 2, 3\}$ ত $R = \{(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (2, 1), (2, 3), (3, 2)\}$। সকলো $(a, a)$ আছে (প্ৰতিফলনীয়); প্ৰতিটো ওলোটা যোৰ আছে (প্ৰতিসম); কিন্তু $(1, 2), (2, 3) \in R$ হ’লেও $(1, 3) \notin R$ (সংক্ৰামক নহয়)।
(iv) প্ৰতিফলনীয় আৰু সংক্ৰামক, কিন্তু প্ৰতিসম নহয়;
উত্তৰঃ $\mathbb{R}$ ত $R = \{(a, b) : a \le b\}$। $a \le a$ (প্ৰতিফলনীয়); $a \le b, b \le c \Rightarrow a \le c$ (সংক্ৰামক); $1 \le 2$ কিন্তু $2 \le 1$ অসত্য (প্ৰতিসম নহয়)।
(v) প্ৰতিসম আৰু সংক্ৰামক, কিন্তু প্ৰতিফলনীয় নহয়।
উত্তৰঃ $\{1, 2, 3\}$ ত $R = \{(1, 1), (2, 2), (1, 2), (2, 1)\}$। ই প্ৰতিসম আৰু সংক্ৰামক, কিন্তু $(3, 3) \notin R$ হোৱাত প্ৰতিফলনীয় নহয়।
11. দেখুওৱা যে এখন সমতলত থকা বিন্দুবোৰৰ সংহতি $A$ ত সংজ্ঞাবদ্ধ সম্বন্ধ $R = \{(P, Q) :$ মূল বিন্দুৰ পৰা $P$ বিন্দুৰ দূৰত্ব $=$ মূল বিন্দুৰ পৰা $Q$ বিন্দুৰ দূৰত্ব$\}$ এটা সমতুল্যতা সম্বন্ধ। আকৌ, দেখুওৱা যে $P \ne (0, 0)$ বিন্দুৰ লগত যুক্ত সকলো বিন্দুৰ সংহতি হ’ল মূল বিন্দু কেন্দ্ৰবিশিষ্ট আৰু $P$ ৰে যোৱা বৃত্ত।
উত্তৰঃ মূল বিন্দু $O$ ৰ পৰা $P$ ৰ দূৰত্বক $d(O, P)$ বুলি ধৰোঁ। প্ৰতিফলনীয়: $d(O, P) = d(O, P)$, গতিকে $(P, P) \in R$। প্ৰতিসম: $d(O, P) = d(O, Q) \Rightarrow d(O, Q) = d(O, P)$, গতিকে $(Q, P) \in R$। সংক্ৰামক: $d(O, P) = d(O, Q)$ আৰু $d(O, Q) = d(O, S) \Rightarrow d(O, P) = d(O, S)$। গতিকে $R$ সমতুল্যতা সম্বন্ধ।
$P \ne (0, 0)$ ৰ বাবে ধৰোঁ $d(O, P) = r > 0$। $P$ ৰ লগত যুক্ত প্ৰতিটো বিন্দু $Q$ ৰ বাবে $d(O, Q) = r$; অৰ্থাৎ মূল বিন্দুৰ পৰা $r$ দূৰত্বত থকা সকলো বিন্দু। এইটোৱেই হ’ল মূল বিন্দু কেন্দ্ৰবিশিষ্ট আৰু $P$ ৰে যোৱা $r$ ব্যাসাৰ্ধৰ বৃত্ত।
12. দেখুওৱা যে সকলো ত্ৰিভুজৰ সংহতি $A$ ত সংজ্ঞাবদ্ধ সম্বন্ধ $R = \{(T_1, T_2) : T_1, T_2$ ৰ সদৃশ$\}$ এটা সমতুল্যতা সম্বন্ধ। তিনিটা সমকোণী ত্ৰিভুজ $T_1, T_2, T_3$ লোৱা। $T_1$ অৰ বাহুকেইটা হ’ল $3, 4, 5$, $T_2$ ৰ বাহুকেইটা হ’ল $5, 12, 13$ আৰু $T_3$ ৰ বাহুকেইটা হ’ল $6, 8, 10$। $T_1, T_2, T_3$ ত্ৰিভুজ তিনিটাৰ কোনকেইটা যুক্ত?
উত্তৰঃ প্ৰতিফলনীয়: প্ৰতিটো ত্ৰিভুজ নিজৰ সৈতে সদৃশ, গতিকে $(T, T) \in R$। প্ৰতিসম: $T_1$ সদৃশ $T_2$ হ’লে $T_2$-ও সদৃশ $T_1$। সংক্ৰামক: $T_1$ সদৃশ $T_2$ আৰু $T_2$ সদৃশ $T_3$ হ’লে $T_1$ সদৃশ $T_3$। গতিকে $R$ সমতুল্যতা সম্বন্ধ।
দুটা ত্ৰিভুজ সদৃশ হয় যদি সিহঁতৰ বাহুবোৰ সমানুপাতিক। $T_3$ ৰ বাহু $6, 8, 10 = 2 \times (3, 4, 5)$, গতিকে $T_1$ আৰু $T_3$ ৰ বাহু সমানুপাতিক — $T_1$ সদৃশ $T_3$। $T_2$ ৰ বাহু $5, 12, 13$ আন কোনোটাৰ সৈতে সমানুপাতিক নহয়। গতিকে $T_1$ আৰু $T_3$ ত্ৰিভুজ দুটা পৰস্পৰ যুক্ত।
13. দেখুওৱা যে সকলো বহুভুজৰ সংহতি $A$ ত সংজ্ঞাবদ্ধ সম্বন্ধ $R = \{(P_1, P_2) : P_1$ আৰু $P_2$ ৰ বাহুৰ সংখ্যা একে$\}$ এটা সমতুল্যতা সম্বন্ধ। $3, 4, 5$ বাহুবিশিষ্ট সমকোণী ত্ৰিভুজ $T$ ৰ লগত যুক্ত $A$ ৰ সকলোবোৰ মৌলৰ সংহতিটো কি?
উত্তৰঃ প্ৰতিফলনীয়: প্ৰতিটো বহুভুজৰ বাহুৰ সংখ্যা নিজৰ সৈতে একে, গতিকে $(P, P) \in R$। প্ৰতিসম আৰু সংক্ৰামক-ও ওপৰৰ ৭ নং প্ৰশ্নৰ দৰেই সত্য (সমতা সম্বন্ধ)। গতিকে $R$ সমতুল্যতা সম্বন্ধ।
$T$ এটা ত্ৰিভুজ, অৰ্থাৎ ইয়াৰ বাহুৰ সংখ্যা $3$। $T$ ৰ লগত যুক্ত মৌলবোৰ হ’ল $A$ ৰ সেই সকলো বহুভুজ যাৰ বাহুৰ সংখ্যা $3$ — অৰ্থাৎ সকলো ত্ৰিভুজৰ সংহতি।
14. ধৰা হ’ল $XY$ সমতলত থকা সকলো ৰেখাৰ সংহতি $L$। দেখুওৱা যে $L$ ত সংজ্ঞাবদ্ধ সম্বন্ধ $R = \{(L_1, L_2) : L_1, L_2$ ৰ সমান্তৰাল$\}$ এটা সমতুল্যতা সম্বন্ধ। $y = 2x + 4$ ৰেখাৰ লগত যুক্ত সকলোবোৰ ৰেখাৰ সংহতিটো উলিওৱা।
উত্তৰঃ প্ৰতিফলনীয়: প্ৰতিটো ৰেখা নিজৰ সৈতে সমান্তৰাল, গতিকে $(L, L) \in R$। প্ৰতিসম: $L_1 \parallel L_2 \Rightarrow L_2 \parallel L_1$। সংক্ৰামক: $L_1 \parallel L_2$ আৰু $L_2 \parallel L_3 \Rightarrow L_1 \parallel L_3$। গতিকে $R$ সমতুল্যতা সম্বন্ধ।
$y = 2x + 4$ ৰেখাৰ ঢাল $2$। ইয়াৰ সৈতে সমান্তৰাল সকলো ৰেখাৰো ঢাল $2$। গতিকে যুক্ত ৰেখাবোৰৰ সংহতি হ’ল $\{y = 2x + c : c \in \mathbb{R}\}$।
15. $\{1, 2, 3, 4\}$ সংহতিত সংজ্ঞাবদ্ধ সম্বন্ধ $R$ এনেদৰে দিয়া আছে, $R = \{(1, 2), (2, 2), (1, 1), (4, 4), (1, 3), (3, 3), (3, 2)\}$। শুদ্ধ উত্তৰটো বাছি উলিওৱা।
(A) $R$ প্ৰতিফলনীয় আৰু প্ৰতিসম, কিন্তু সংক্ৰামক নহয়;
(B) $R$ প্ৰতিফলনীয় আৰু সংক্ৰামক, কিন্তু প্ৰতিসম নহয়;
(C) $R$ প্ৰতিসম আৰু সংক্ৰামক, কিন্তু প্ৰতিফলনীয় নহয়;
(D) $R$ এটা সমতুল্যতা সম্বন্ধ।
উত্তৰঃ শুদ্ধ উত্তৰ (B)। প্ৰতিফলনীয়: $(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)$ সকলো $R$ ত আছে। প্ৰতিসম নহয়: $(1, 2) \in R$ কিন্তু $(2, 1) \notin R$। সংক্ৰামক: সম্ভাৱ্য প্ৰতিটো শৃংখল পৰীক্ষা কৰিলে দেখা যায় প্ৰয়োজনীয় যোৰ উপস্থিত — যেনে $(1, 3) \in R, (3, 2) \in R$ আৰু $(1, 2) \in R$। গতিকে $R$ প্ৰতিফলনীয় আৰু সংক্ৰামক, কিন্তু প্ৰতিসম নহয়।
16. $\mathbb{N}$ অত সংজ্ঞাবদ্ধ সম্বন্ধ $R$ এনেদৰে দিয়া আছে, $R = \{(a, b) : a = b – 2, b > 6\}$। শুদ্ধ উত্তৰটো বাছি উলিওৱা।
(A) $(2, 4) \in R$ (B) $(3, 8) \in R$ (C) $(6, 8) \in R$ (D) $(8, 7) \in R$
উত্তৰঃ শুদ্ধ উত্তৰ (C)। $(6, 8)$ ত $b = 8 > 6$ আৰু $a = b – 2 = 8 – 2 = 6$ — চৰ্ত দুয়োটা সিদ্ধ। বাকীবোৰ: (A) ত $b = 4 > 6$ অসত্য; (B) ত $b – 2 = 6 \ne 3$; (D) ত $b – 2 = 5 \ne 8$। গতিকে কেৱল $(6, 8) \in R$।
অনুশীলনী 1.2
1. $f : \mathbb{R}_* \to \mathbb{R}_*$ ফলনটোৰ সংজ্ঞা এনেদৰে দিয়া আছে $f(x) = \frac{1}{x}$। দেখুওৱা যে ফলনটো একৈকী আৰু আচ্ছাদক। ইয়াত $\mathbb{R}_*$ হ’ল অশূন্য বাস্তৱ সংখ্যাৰ সংহতি। যদি আদিক্ষেত্ৰ $\mathbb{R}_*$ অৰ সলনি $\mathbb{N}$ হয় আৰু সহক্ষেত্ৰ $\mathbb{R}_*$ যেই থাকে, তেনেহ’লে ফলটো সত্য হ’বনে?
উত্তৰঃ একৈকী: $f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow \frac{1}{x_1} = \frac{1}{x_2} \Rightarrow x_1 = x_2$। গতিকে $f$ একৈকী। আচ্ছাদক: যিকোনো $y \in \mathbb{R}_*$ ৰ বাবে $x = \frac{1}{y} \in \mathbb{R}_*$ আছে যাতে $f\left(\frac{1}{y}\right) = y$। গতিকে $f$ আচ্ছাদক। এতেকে $f$ একৈকী আৰু আচ্ছাদক।
এতিয়া $g : \mathbb{N} \to \mathbb{R}_*$, $g(x) = \frac{1}{x}$ ল’লে $g$ একৈকী হয় ($\frac{1}{n_1} = \frac{1}{n_2} \Rightarrow n_1 = n_2$), কিন্তু আচ্ছাদক নহয়; যেনে $\frac{2}{3} \in \mathbb{R}_*$ ৰ বাবে $\frac{1}{n} = \frac{2}{3}$ দিয়া কোনো স্বাভাৱিক সংখ্যা $n$ নাই। গতিকে আদিক্ষেত্ৰ $\mathbb{N}$ হ’লে ফলনটো একৈকী হয়, কিন্তু আচ্ছাদক নহয় — ফলটো আৰু সত্য নহয়।
2. তলৰ ফলনবোৰ একৈকী আৰু আচ্ছাদক হয়নে পৰীক্ষা কৰা।
(i) $f : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$, $f(x) = x^2$
উত্তৰঃ একৈকী: $x_1, x_2 \in \mathbb{N}$ ত $x_1^2 = x_2^2 \Rightarrow x_1 = x_2$। গতিকে একৈকী। আচ্ছাদক নহয়: $2 \in \mathbb{N}$, কিন্তু $x^2 = 2$ দিয়া কোনো $x \in \mathbb{N}$ নাই। গতিকে একৈকী কিন্তু আচ্ছাদক নহয়।
(ii) $f : \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$, $f(x) = x^2$
উত্তৰঃ একৈকী নহয়: $f(-1) = 1 = f(1)$ কিন্তু $-1 \ne 1$। আচ্ছাদক নহয়: $-2 \in \mathbb{Z}$ ৰ বাবে $x^2 = -2$ দিয়া কোনো $x$ নাই (বৰ্গ সদায় $\ge 0$)। গতিকে একৈকীও নহয়, আচ্ছাদকো নহয়।
(iii) $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = x^2$
উত্তৰঃ একৈকী নহয়: $f(-1) = 1 = f(1)$। আচ্ছাদক নহয়: ঋণাত্মক সংখ্যা যেনে $-2$ পৰিসৰত নাই। গতিকে একৈকীও নহয়, আচ্ছাদকো নহয়।
(iv) $f : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$, $f(x) = x^3$
উত্তৰঃ একৈকী: $x_1^3 = x_2^3 \Rightarrow x_1 = x_2$। আচ্ছাদক নহয়: $2 \in \mathbb{N}$ কোনো স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ ঘন নহয়, গতিকে $x^3 = 2$ ৰ সমাধান $\mathbb{N}$ ত নাই। গতিকে একৈকী কিন্তু আচ্ছাদক নহয়।
(v) $f : \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$, $f(x) = x^3$
উত্তৰঃ একৈকী: $x_1^3 = x_2^3 \Rightarrow x_1 = x_2$। আচ্ছাদক নহয়: $2 \in \mathbb{Z}$ কোনো অখণ্ড সংখ্যাৰ ঘন নহয়। গতিকে একৈকী কিন্তু আচ্ছাদক নহয়।
3. প্ৰমাণ কৰা যে বৃহত্তম অখণ্ড ফলন (Greatest Integer Function) $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = [x]$ একৈকী নহয়, আচ্ছাদকো নহয়। $[x]$ এ $x$ তৈকৈ সৰু অথবা সমান বৃহত্তম অখণ্ড সংখ্যা বুজাইছে।
উত্তৰঃ একৈকী নহয়: $f(1.2) = [1.2] = 1$ আৰু $f(1.7) = [1.7] = 1$, অৰ্থাৎ $f(1.2) = f(1.7)$ কিন্তু $1.2 \ne 1.7$। আচ্ছাদক নহয়: $f$ ৰ পৰিসৰ কেৱল অখণ্ড সংখ্যাৰ সংহতি $\mathbb{Z}$; গতিকে $0.5$ ৰ দৰে অ-অখণ্ড সংখ্যা কোনো $x$ ৰ প্ৰতিচ্ছায়া নহয়। গতিকে $f$ একৈকীও নহয়, আচ্ছাদকো নহয়।
4. দেখুওৱা যে মাপাংক ফলন (Modulus Function) $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = |x|$ একৈকী নহয়, আচ্ছাদকো নহয়। $|x| = x$, যদি $x$ ধনাত্মক বা $0$ আৰু $|x| = -x$ যদি $x$ ঋণাত্মক।
উত্তৰঃ একৈকী নহয়: $f(-1) = |-1| = 1$ আৰু $f(1) = |1| = 1$, গতিকে $f(-1) = f(1)$ কিন্তু $-1 \ne 1$। আচ্ছাদক নহয়: সকলো $x$ ৰ বাবে $|x| \ge 0$, গতিকে ঋণাত্মক সংখ্যা যেনে $-2$ পৰিসৰত নাই। গতিকে $f$ একৈকীও নহয়, আচ্ছাদকো নহয়।
5. দেখুওৱা যে ছিগনাম ফলন (Signum Function) $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, য’ত $f(x) = 1$ যদি $x > 0$; $f(x) = 0$ যদি $x = 0$; আৰু $f(x) = -1$ যদি $x < 0$, একৈকী নহয়, আচ্ছাদকো নহয়।
উত্তৰঃ একৈকী নহয়: $f(1) = 1$ আৰু $f(2) = 1$, গতিকে $f(1) = f(2)$ কিন্তু $1 \ne 2$। আচ্ছাদক নহয়: $f$ ৰ পৰিসৰ কেৱল $\{-1, 0, 1\}$; গতিকে $2$ ৰ দৰে সংখ্যা কোনো $x$ ৰ প্ৰতিচ্ছায়া নহয়। গতিকে $f$ একৈকীও নহয়, আচ্ছাদকো নহয়।
6. ধৰা হ’ল $A = \{1, 2, 3\}$, $B = \{4, 5, 6, 7\}$ আৰু $f = \{(1, 4), (2, 5), (3, 6)\}$ $A$ ৰ পৰা $B$ লৈ এটা ফলন। দেখুওৱা যে $f$ একৈকী।
উত্তৰঃ $f(1) = 4$, $f(2) = 5$, $f(3) = 6$ — $A$ ৰ ভিন্ন মৌল তিনিটাৰ প্ৰতিচ্ছায়া তিনিটাও ভিন্ন। গতিকে ভিন্ন মৌলৰ প্ৰতিচ্ছায়া ভিন্ন হোৱাত $f$ একৈকী।
7. তলৰ ফলন দুটাৰ প্ৰতিটোৱে একৈকী, আচ্ছাদক বা দুয়োটাই হয়নে পৰীক্ষা কৰা। তোমাৰ উত্তৰৰ যুক্তিযুক্ততা প্ৰতিপন্ন কৰা।
(i) $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = 3 – 4x$
উত্তৰঃ একৈকী: $f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow 3 – 4x_1 = 3 – 4x_2 \Rightarrow x_1 = x_2$। আচ্ছাদক: যিকোনো $y \in \mathbb{R}$ ৰ বাবে $x = \frac{3 – y}{4} \in \mathbb{R}$ আছে যাতে $f(x) = y$। গতিকে $f$ একৈকী আৰু আচ্ছাদক, অৰ্থাৎ একৈকী-আচ্ছাদক (bijective)।
(ii) $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = 1 + x^2$
উত্তৰঃ একৈকী নহয়: $f(1) = 2 = f(-1)$ কিন্তু $1 \ne -1$। আচ্ছাদক নহয়: সকলো $x$ ৰ বাবে $1 + x^2 \ge 1$, গতিকে পৰিসৰ $[1, \infty)$; $0$ ৰ দৰে সংখ্যা প্ৰতিচ্ছায়া নহয়। গতিকে $f$ একৈকীও নহয়, আচ্ছাদকো নহয়।
8. ধৰা হ’ল $A$ আৰু $B$ দুটা সংহতি। দেখুওৱা যে $f : A \times B \to B \times A$, $f(a, b) = (b, a)$ এটা একৈকী আচ্ছাদক ফলন।
উত্তৰঃ একৈকী: $f(a_1, b_1) = f(a_2, b_2) \Rightarrow (b_1, a_1) = (b_2, a_2) \Rightarrow b_1 = b_2$ আৰু $a_1 = a_2 \Rightarrow (a_1, b_1) = (a_2, b_2)$। আচ্ছাদক: $B \times A$ ৰ যিকোনো মৌল $(b, a)$ ৰ বাবে $(a, b) \in A \times B$ আছে যাতে $f(a, b) = (b, a)$। গতিকে $f$ একৈকী আৰু আচ্ছাদক, অৰ্থাৎ একৈকী আচ্ছাদক ফলন।
9. $f : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ ফলনৰ সংজ্ঞা এনেদৰে দিয়া আছে: সকলো $n \in \mathbb{N}$ ৰ বাবে $f(n) = \frac{n + 1}{2}$ যদি $n$ অযুগ্ম আৰু $f(n) = \frac{n}{2}$ যদি $n$ যুগ্ম। $f$ ফলনটো একৈকী আচ্ছাদক হয়নে? তোমাৰ উত্তৰৰ যুক্তিযুক্ততা প্ৰতিপন্ন কৰা।
উত্তৰঃ কিছু মান চাওঁ: $f(1) = 1$, $f(2) = 1$, $f(3) = 2$, $f(4) = 2$, $f(5) = 3$, ইত্যাদি। একৈকী নহয়: $f(1) = 1 = f(2)$ কিন্তু $1 \ne 2$। আচ্ছাদক: যিকোনো $m \in \mathbb{N}$ ৰ বাবে $f(2m) = \frac{2m}{2} = m$ (আৰু $f(2m – 1) = \frac{2m}{2} = m$-ও), গতিকে $m$ ৰ এটা পূৰ্ব-প্ৰতিচ্ছায়া আছে — $f$ আচ্ছাদক। যিহেতু $f$ একৈকী নহয়, ই একৈকী আচ্ছাদক (bijective) নহয়।
10. ধৰা হ’ল $A = \mathbb{R} – \{3\}$ আৰু $B = \mathbb{R} – \{1\}$। $f : A \to B$, $f(x) = \frac{x – 2}{x – 3}$ ফলনটো লোৱা হ’ল। ফলনটো একৈকী আৰু আচ্ছাদক হয়নে? তোমাৰ উত্তৰৰ যুক্তিযুক্ততা প্ৰতিপন্ন কৰা।
উত্তৰঃ একৈকী: $f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow \frac{x_1 – 2}{x_1 – 3} = \frac{x_2 – 2}{x_2 – 3}$। তিৰ্যকভাৱে গুণ কৰি $(x_1 – 2)(x_2 – 3) = (x_2 – 2)(x_1 – 3)$, অৰ্থাৎ $x_1 x_2 – 3x_1 – 2x_2 + 6 = x_1 x_2 – 3x_2 – 2x_1 + 6$, ইয়াৰ পৰা $-3x_1 – 2x_2 = -3x_2 – 2x_1$, গতিকে $x_1 = x_2$।
আচ্ছাদক: $y \in B$ ল’লে $y = \frac{x – 2}{x – 3}$ ৰ পৰা $y(x – 3) = x – 2 \Rightarrow x(y – 1) = 3y – 2 \Rightarrow x = \frac{3y – 2}{y – 1}$। $y \ne 1$ হোৱাত $x$ সংজ্ঞাবদ্ধ, আৰু $x = 3$ হ’লে $3y – 2 = 3(y – 1) = 3y – 3$, অৰ্থাৎ $-2 = -3$ — অসম্ভৱ, গতিকে $x \ne 3$, অৰ্থাৎ $x \in A$। এই $x$ ৰ বাবে $f(x) = y$। গতিকে $f$ একৈকী আৰু আচ্ছাদক দুয়োটাই।
11. $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ ফলনটোৰ সংজ্ঞা এনেদৰে দিয়া আছে, $f(x) = x^4$। শুদ্ধ উত্তৰটো বাছি উলিওৱা।
(A) $f$ একৈকী আচ্ছাদক (B) $f$ বহু-এক আচ্ছাদক (C) $f$ একৈকী, কিন্তু আচ্ছাদক নহয় (D) $f$ একৈকী নহয়, আচ্ছাদকো নহয়
উত্তৰঃ শুদ্ধ উত্তৰ (D)। একৈকী নহয়: $f(1) = 1 = f(-1)$ কিন্তু $1 \ne -1$। আচ্ছাদক নহয়: সকলো $x$ ৰ বাবে $x^4 \ge 0$, গতিকে ঋণাত্মক সংখ্যা পৰিসৰত নাই। গতিকে $f$ একৈকী নহয়, আচ্ছাদকো নহয়।
12. $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ ফলনটোৰ সংজ্ঞা এনেদৰে দিয়া আছে, $f(x) = 3x$। শুদ্ধ উত্তৰটো বাছি উলিওৱা।
(A) $f$ একৈকী আচ্ছাদক (B) $f$ বহু-এক আচ্ছাদক (C) $f$ একৈকী, কিন্তু আচ্ছাদক নহয় (D) $f$ একৈকী নহয়, আচ্ছাদকো নহয়
উত্তৰঃ শুদ্ধ উত্তৰ (A)। একৈকী: $3x_1 = 3x_2 \Rightarrow x_1 = x_2$। আচ্ছাদক: যিকোনো $y \in \mathbb{R}$ ৰ বাবে $x = \frac{y}{3} \in \mathbb{R}$ আছে যাতে $f(x) = y$। গতিকে $f$ একৈকী আচ্ছাদক।
প্ৰথম অধ্যায়ৰ বিবিধ অনুশীলনী
1. $f : \mathbb{R} \to \{x \in \mathbb{R} : -1 < x < 1\}$ ফলনটোৰ সংজ্ঞা এনেদৰে দিয়া আছে $f(x) = \frac{x}{1 + |x|}$, $x \in \mathbb{R}$। দেখুওৱা যে ফলনটো একৈকী আৰু আচ্ছাদক।
উত্তৰঃ $x \ge 0$ হ’লে $f(x) = \frac{x}{1 + x}$ আৰু $x < 0$ হ’লে $f(x) = \frac{x}{1 – x}$। লক্ষ্য কৰা যে $x \ge 0$ হ’লে $f(x) \ge 0$ আৰু $x < 0$ হ’লে $f(x) < 0$।
একৈকী: $x_1, x_2 \ge 0$ আৰু $f(x_1) = f(x_2)$ হ’লে $\frac{x_1}{1 + x_1} = \frac{x_2}{1 + x_2} \Rightarrow x_1(1 + x_2) = x_2(1 + x_1) \Rightarrow x_1 = x_2$। একেদৰে $x_1, x_2 < 0$ হ’লেও $x_1 = x_2$। এটা ধনাত্মক আৰু আনটো ঋণাত্মক হ’লে প্ৰতিচ্ছায়া দুটাৰ চিন বেলেগ, গতিকে সমান হ’ব নোৱাৰে। গতিকে $f$ একৈকী।
আচ্ছাদক: $y \in (-1, 1)$ ল’লে — $0 \le y < 1$ হ’লে $x = \frac{y}{1 – y} \ge 0$ আৰু $f(x) = y$; আকৌ $-1 < y < 0$ হ’লে $x = \frac{y}{1 + y} < 0$ আৰু $f(x) = y$। গতিকে $(-1, 1)$ ৰ প্ৰতিটো মৌলৰ পূৰ্ব-প্ৰতিচ্ছায়া আছে — $f$ আচ্ছাদক। এতেকে $f$ একৈকী আৰু আচ্ছাদক।
2. দেখুওৱা যে $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = x^3$ ফলনটো একৈকী (injective)।
উত্তৰঃ $f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow x_1^3 = x_2^3 \Rightarrow x_1^3 – x_2^3 = 0 \Rightarrow (x_1 – x_2)(x_1^2 + x_1 x_2 + x_2^2) = 0$। দ্বিতীয় উৎপাদক $x_1^2 + x_1 x_2 + x_2^2 = \left(x_1 + \frac{x_2}{2}\right)^2 + \frac{3 x_2^2}{4}$ শূন্য হয় কেৱল $x_1 = x_2 = 0$ ত; অন্য ক্ষেত্ৰত ই ধনাত্মক। গতিকে $x_1 – x_2 = 0$, অৰ্থাৎ $x_1 = x_2$। এতেকে $f$ একৈকী।
3. এটা অৰিক্ত সংহতি $X$ দিয়া আছে। $X$ অৰ সকলো উপসংহতিৰ সংহতি $P(X)$ লোৱা হ’ল। $P(X)$ অত সম্বন্ধ $R$ এনেদৰে সংজ্ঞাবদ্ধ কৰা হ’ল: $P(X)$ অৰ উপসংহতি $A, B$ ৰ বাবে, $A\,R\,B$ যদি আৰু যদিহে $A \subset B$। $P(X)$ অত $R$ অৰ সমতুল্যতা সম্বন্ধ হয়নে? তোমাৰ উত্তৰৰ যুক্তিযুক্ততা প্ৰতিপন্ন কৰা।
উত্তৰঃ প্ৰতিফলনীয়: যিকোনো $A \in P(X)$ ৰ বাবে $A \subset A$, গতিকে $A\,R\,A$। প্ৰতিসম নহয়: $A \subset B$ হ’লেও $B \subset A$ হ’বই লাগে এনে নহয়। যেনে $X$ ৰ এটা মৌল ল’লে $A = \phi$, $B = X$ ত $A \subset B$ কিন্তু $B \not\subset A$; গতিকে $A\,R\,B$ হ’লেও $B\,R\,A$ নহয়। সংক্ৰামক: $A \subset B$ আৰু $B \subset C \Rightarrow A \subset C$, গতিকে সংক্ৰামক। যিহেতু $R$ প্ৰতিসম নহয়, ই সমতুল্যতা সম্বন্ধ নহয় (ই প্ৰতিফলনীয় আৰু সংক্ৰামক)।
4. $\{1, 2, 3, \dots, n\}$ সংহতিৰ পৰা একেটা সংহতিলৈকে সৰ্বমুঠ আচ্ছাদক ফলনৰ সংখ্যা উলিওৱা।
উত্তৰঃ এটা সসীম সংহতিৰ পৰা নিজলৈকে থকা যিকোনো আচ্ছাদক ফলন সদায় একৈকীও হয়, অৰ্থাৎ ই এটা একৈকী-আচ্ছাদক (bijective) ফলন বা বিন্যাস (permutation)। $\{1, 2, 3, \dots, n\}$ ৰ $n$-টা মৌলৰ বিন্যাসৰ সংখ্যা $n!$। গতিকে সৰ্বমুঠ আচ্ছাদক ফলনৰ সংখ্যা $n!$।
5. ধৰা হ’ল $A = \{-1, 0, 1, 2\}$, $B = \{-4, -2, 0, 2\}$ আৰু $f, g : A \to B$ ফলনৰ সংজ্ঞা এনেদৰে দিয়া আছে $f(x) = x^2 – x$, $x \in A$ আৰু $g(x) = 2\left|x – \frac{1}{2}\right| – 1$, $x \in A$। $f$ আৰু $g$ সমান হয়নে? তোমাৰ উত্তৰৰ যুক্তিযুক্ততা প্ৰতিপন্ন কৰা। [ইংগিতঃ দুটা ফলন $f : A \to B$ আৰু $g : A \to B$ ক সমান বুলি কোৱা হয় যদি সকলো $a \in A$ ৰ বাবে $f(a) = g(a)$।]
উত্তৰঃ $f$ ৰ মান: $f(-1) = 1 + 1 = 2$, $f(0) = 0$, $f(1) = 1 – 1 = 0$, $f(2) = 4 – 2 = 2$।
$g$ ৰ মান: $g(-1) = 2\left|-\frac{3}{2}\right| – 1 = 3 – 1 = 2$, $g(0) = 2 \cdot \frac{1}{2} – 1 = 0$, $g(1) = 2 \cdot \frac{1}{2} – 1 = 0$, $g(2) = 2 \cdot \frac{3}{2} – 1 = 2$।
সকলো $a \in A$ ৰ বাবে $f(a) = g(a)$ (যথাক্ৰমে $2, 0, 0, 2$)। গতিকে $f$ আৰু $g$ সমান ফলন।
6. ধৰা হ’ল $A = \{1, 2, 3\}$। যিবোৰ সম্বন্ধত $(1, 2)$ আৰু $(1, 3)$ আছে আৰু যিবোৰ প্ৰতিফলনীয় আৰু প্ৰতিসম, কিন্তু সংক্ৰামক নহয়, তেনে সম্বন্ধৰ সংখ্যা
(A) $1$ (B) $2$ (C) $3$ (D) $4$
উত্তৰঃ শুদ্ধ উত্তৰ (A) $1$। প্ৰতিফলনীয় হ’বলৈ $(1, 1), (2, 2), (3, 3)$ থাকিব লাগে; দিয়া আছে $(1, 2), (1, 3)$; আৰু প্ৰতিসম হ’বলৈ $(2, 1), (3, 1)$ থাকিব লাগে। গতিকে $R$ ত অন্ততঃ এই যোৰবোৰ আছে। বাকী থকা যোৰ $(2, 3)$ আৰু $(3, 2)$। যদি দুয়োটা যোগ কৰোঁ তেন্তে $R$ সৰ্বজনীন সম্বন্ধ হৈ সংক্ৰামক হৈ পৰে; আৰু কেৱল এটা যোগ কৰিলে প্ৰতিসম নাথাকে। গতিকে সংক্ৰামক নোহোৱাকৈ থাকিবলৈ কোনো যোৰ যোগ কৰিব নালাগে — এনে সম্বন্ধ ঠিক এটাই।
7. ধৰা হ’ল $A = \{1, 2, 3\}$। যিবোৰ সমতুল্যতা সম্বন্ধত $(1, 2)$ আছে, তেনে সমতুল্যতা সম্বন্ধৰ সংখ্যা
(A) $1$ (B) $2$ (C) $3$ (D) $4$
উত্তৰঃ শুদ্ধ উত্তৰ (B) $2$। সমতুল্যতা সম্বন্ধত $(1, 1), (2, 2), (3, 3)$ আৰু (দিয়া) $(1, 2)$, লগতে প্ৰতিসমতাৰ বাবে $(2, 1)$ থাকিব লাগে। সবাতোকৈ সৰু এনে সম্বন্ধ $R_1 = \{(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (2, 1)\}$ — এটা সমতুল্যতা সম্বন্ধ। যদি $(2, 3)$ (বা $3$ জড়িত যিকোনো যোৰ) যোগ কৰোঁ, তেন্তে প্ৰতিসমতা আৰু সংক্ৰামকতাৰ বাবে $(3, 2), (1, 3), (3, 1)$ সকলো যোগ কৰিব লাগি সৰ্বজনীন সম্বন্ধ পাওঁ — এইটোও এটা সমতুল্যতা সম্বন্ধ। গতিকে এনে সমতুল্যতা সম্বন্ধ ঠিক দুটা।
অতিৰিক্ত প্ৰশ্ন আৰু উত্তৰ
বহুবিকল্পযুক্ত প্ৰশ্ন (MCQ)
1. সংহতি $A = \{1, 2, 3\}$ ত সৰ্বজনীন সম্বন্ধত মুঠ কিমান ক্ৰমিত যোৰ থাকে?
(A) $3$ (B) $6$ (C) $9$ (D) $27$
উত্তৰঃ (C) $9$। সৰ্বজনীন সম্বন্ধ $= A \times A$, ইয়াত $3 \times 3 = 9$ টা যোৰ থাকে।
2. $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = x^2$ ফলনটো —
(A) একৈকী আৰু আচ্ছাদক (B) একৈকী কিন্তু আচ্ছাদক নহয় (C) আচ্ছাদক কিন্তু একৈকী নহয় (D) একৈকীও নহয়, আচ্ছাদকো নহয়
উত্তৰঃ (D)। $f(-1) = f(1) = 1$ হোৱাত একৈকী নহয়, আৰু ঋণাত্মক সংখ্যা পৰিসৰত নথকাত আচ্ছাদকো নহয়।
3. এটা ফলন একৈকী আৰু আচ্ছাদক দুয়োটা হ’লে ইয়াক কি বোলে?
(A) বহু-এক (B) একৈকী-আচ্ছাদক (bijective) (C) ধ্ৰুৱক (D) অভেদ
উত্তৰঃ (B) একৈকী-আচ্ছাদক (bijective)।
4. $\{1, 2, 3\}$ সংহতিত সংজ্ঞাবদ্ধ তলৰ কোনটো সম্বন্ধ প্ৰতিফলনীয়?
(A) $\{(1, 2)\}$ (B) $\{(1, 1), (2, 2)\}$ (C) $\{(1, 1), (2, 2), (3, 3)\}$ (D) $\phi$
উত্তৰঃ (C)। প্ৰতিফলনীয় হ’বলৈ $(1, 1), (2, 2), (3, 3)$ তিনিওটা যোৰ থাকিব লাগে।
5. দুটা ফলন $f : A \to B$ আৰু $g : B \to C$ ৰ সংযোজন $g \circ f$ ৰ আদিক্ষেত্ৰ কি?
(A) $A$ (B) $B$ (C) $C$ (D) $B \times C$
উত্তৰঃ (A) $A$। $g \circ f : A \to C$ হোৱাত ইয়াৰ আদিক্ষেত্ৰ $A$।
6. $\{1, 2, 3\}$ ৰ পৰা নিজলৈকে থকা মুঠ একৈকী ফলনৰ সংখ্যা কিমান?
(A) $3$ (B) $6$ (C) $9$ (D) $27$
উত্তৰঃ (B) $6$। এইবোৰ হ’ল তিনিটা মৌলৰ বিন্যাস, সংখ্যা $3! = 6$।
7. এটা সম্বন্ধ $R$ প্ৰতিসম হয় যদি —
(A) সকলো $a$ ৰ বাবে $(a, a) \in R$ (B) $(a, b) \in R \Rightarrow (b, a) \in R$ (C) $(a, b), (b, c) \in R \Rightarrow (a, c) \in R$ (D) $R = A \times A$
উত্তৰঃ (B)। $(a, b) \in R$ এ $(b, a) \in R$ সূচালে $R$ প্ৰতিসম।
8. $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = 2x + 3$ ফলনটো —
(A) একৈকী-আচ্ছাদক (B) কেৱল একৈকী (C) কেৱল আচ্ছাদক (D) একৈকীও নহয়, আচ্ছাদকো নহয়
উত্তৰঃ (A) একৈকী-আচ্ছাদক। $2x_1 + 3 = 2x_2 + 3 \Rightarrow x_1 = x_2$ (একৈকী); যিকোনো $y$ ৰ বাবে $x = \frac{y – 3}{2}$ (আচ্ছাদক)।
খালী ঠাই পূৰণ কৰা
1. সংহতি $A$ ত $R = A \times A$ হ’লে $R$ ক ______ সম্বন্ধ বোলা হয়।
উত্তৰঃ সৰ্বজনীন।
2. যদি সকলো $a$ ৰ বাবে $(a, a) \in R$ তেন্তে $R$ ______ সম্বন্ধ।
উত্তৰঃ প্ৰতিফলনীয়।
3. প্ৰতিফলনীয়, প্ৰতিসম আৰু সংক্ৰামক — এই তিনিওটা ধৰ্ম থকা সম্বন্ধক ______ সম্বন্ধ বোলে।
উত্তৰঃ সমতুল্যতা।
4. এটা ফলন $f$ প্ৰতিলোমনীয় হয় যদি আৰু কেৱল যদি ই একৈকী আৰু ______ হয়।
উত্তৰঃ আচ্ছাদক।
5. $\{1, 2, 3\}$ ৰ পৰা নিজলৈকে থকা আচ্ছাদক ফলনৰ সংখ্যা ______ ।
উত্তৰঃ $6$ ($3!$)।
সঁচা নে মিছা লিখা
1. এটা অৰিক্ত সংহতিত ৰিক্ত সম্বন্ধ প্ৰতিফলনীয় হয়।
উত্তৰঃ মিছা। অৰিক্ত সংহতিত কোনো $(a, a)$ যোৰ ৰিক্ত সম্বন্ধত নাথাকে, গতিকে ই প্ৰতিফলনীয় নহয়।
2. প্ৰতিটো আচ্ছাদক ফলন একৈকীও হয়।
উত্তৰঃ মিছা। যেনে $f : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ ত $f(1) = f(2) = 1$ দিয়া ফলন আচ্ছাদক হ’ব পাৰে কিন্তু একৈকী নহয়।
3. এটা সসীম সংহতিৰ পৰা নিজলৈকে থকা একৈকী ফলন সদায় আচ্ছাদক হয়।
উত্তৰঃ সঁচা। এইটো সসীম সংহতিৰ এটা বৈশিষ্ট্যপূৰ্ণ ধৰ্ম।
4. $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = x^3$ একৈকী।
উত্তৰঃ সঁচা। $x_1^3 = x_2^3 \Rightarrow x_1 = x_2$।
5. প্ৰতিটো সম্বন্ধ এটা ফলন।
উত্তৰঃ মিছা। প্ৰতিটো ফলন এটা সম্বন্ধ, কিন্তু প্ৰতিটো সম্বন্ধ ফলন নহয়।
চমু উত্তৰৰ প্ৰশ্ন
1. ৰিক্ত সম্বন্ধ আৰু সৰ্বজনীন সম্বন্ধৰ সংজ্ঞা দিয়া।
উত্তৰঃ সংহতি $A$ ত এটা সম্বন্ধ $R$ ক ৰিক্ত সম্বন্ধ বোলা হয় যদি $A$ ৰ কোনো মৌল আন কোনো মৌলৰ লগত যুক্ত নহয়, অৰ্থাৎ $R = \phi \subset A \times A$। আৰু $R$ ক সৰ্বজনীন সম্বন্ধ বোলা হয় যদি $A$ ৰ প্ৰতিটো মৌল প্ৰতিটো মৌলৰ লগত যুক্ত হয়, অৰ্থাৎ $R = A \times A$।
2. একৈকী আৰু আচ্ছাদক ফলনৰ সংজ্ঞা লিখা।
উত্তৰঃ এটা ফলন $f : X \to Y$ ক একৈকী (one-one) বোলা হয় যদি $X$ ৰ ভিন্ন মৌলৰ প্ৰতিচ্ছায়াও ভিন্ন হয়, অৰ্থাৎ $f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow x_1 = x_2$। $f$ ক আচ্ছাদক (onto) বোলা হয় যদি $Y$ ৰ প্ৰতিটো মৌল $y$ ৰ বাবে $X$ ত এনে এটা মৌল $x$ থাকে যাতে $f(x) = y$।
3. $A = \{1, 2, 3\}$ ত এটা সমতুল্যতা সম্বন্ধৰ উদাহৰণ দিয়া।
উত্তৰঃ $R = \{(1, 1), (2, 2), (3, 3)\}$ (অভেদ সম্বন্ধ) এটা সমতুল্যতা সম্বন্ধ — ই প্ৰতিফলনীয়, প্ৰতিসম আৰু সংক্ৰামক। (সৰ্বজনীন সম্বন্ধ $A \times A$-ও এটা সমতুল্যতা সম্বন্ধ।)
4. $f(x) = 2x$ আৰু $g(x) = x + 1$ ($f, g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$) হ’লে $(g \circ f)(x)$ আৰু $(f \circ g)(x)$ উলিওৱা।
উত্তৰঃ $(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(2x) = 2x + 1$ আৰু $(f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(x + 1) = 2(x + 1) = 2x + 2$। লক্ষ্য কৰা যে $g \circ f \ne f \circ g$।
শব্দাৰ্থ
| অসমীয়া শব্দ | English term | অৰ্থ |
|---|---|---|
| সম্বন্ধ | Relation | দুটা সংহতিৰ কাৰ্টেছীয় পূৰণৰ এটা উপসংহতি |
| ফলন | Function | প্ৰতিটো মৌলৰ ঠিক এটা প্ৰতিচ্ছায়া থকা বিশেষ সম্বন্ধ |
| ৰিক্ত সম্বন্ধ | Empty relation | কোনো মৌল আন কোনো মৌলৰ লগত যুক্ত নথকা সম্বন্ধ ($R = \phi$) |
| সৰ্বজনীন সম্বন্ধ | Universal relation | প্ৰতিটো মৌল প্ৰতিটো মৌলৰ লগত যুক্ত থকা সম্বন্ধ ($R = A \times A$) |
| প্ৰতিফলনীয় | Reflexive | সকলো $a$ ৰ বাবে $(a, a) \in R$ |
| প্ৰতিসম | Symmetric | $(a, b) \in R \Rightarrow (b, a) \in R$ |
| সংক্ৰামক | Transitive | $(a, b), (b, c) \in R \Rightarrow (a, c) \in R$ |
| সমতুল্যতা সম্বন্ধ | Equivalence relation | প্ৰতিফলনীয়, প্ৰতিসম আৰু সংক্ৰামক সম্বন্ধ |
| একৈকী | One-one / Injective | ভিন্ন মৌলৰ প্ৰতিচ্ছায়া ভিন্ন থকা ফলন |
| আচ্ছাদক | Onto / Surjective | সহক্ষেত্ৰৰ প্ৰতিটো মৌল কোনো এটাৰ প্ৰতিচ্ছায়া থকা ফলন |
| একৈকী-আচ্ছাদক | Bijective | একৈকী আৰু আচ্ছাদক দুয়োটা হোৱা ফলন |
| ফলনৰ সংযোজন | Composition of functions | $(g \circ f)(x) = g(f(x))$ |
| প্ৰতিলোমনীয় ফলন | Invertible function | প্ৰতিলোম $f^{-1}$ থকা (একৈকী আৰু আচ্ছাদক) ফলন |
| আদিক্ষেত্ৰ / সহক্ষেত্ৰ | Domain / Co-domain | ফলনৰ উৎস সংহতি আৰু লক্ষ্য সংহতি |