Class 11 Economics Chapter 5 — কেন্দ্ৰীয় প্ৰবৃত্তিৰ মাপ (Measures of Central Tendency)
HSLC Guru-লৈ আদৰণি জনাইছোঁ। এই পাঠটোত ASSEB Class 11 Economics (Statistics for Economics) ৰ পঞ্চম অধ্যায় কেন্দ্ৰীয় প্ৰবৃত্তিৰ মাপ (Measures of Central Tendency)-ৰ সম্পূৰ্ণ প্ৰশ্নোত্তৰ, সাৰাংশ, সংজ্ঞা, সূত্ৰ, সংখ্যাগত উদাহৰণ আৰু অতিৰিক্ত অনুশীলন প্ৰশ্নসমূহ অসমীয়া মাধ্যমত প্ৰদান কৰা হৈছে। শিক্ষাৰ্থীসকলে এই পাঠটো অধ্যয়ন কৰি গড় (Mean), মধ্যিকা (Median), বহুলক (Mode), চতুৰ্থক (Quartile), দশমাংশ (Decile) আৰু শতাংশ (Percentile) সম্পৰ্কে স্পষ্ট ধাৰণা লাভ কৰিব পাৰিব।
সাৰাংশ (Summary in Assamese)
কেন্দ্ৰীয় প্ৰবৃত্তিৰ অৰ্থ: পৰিসংখ্যাত (Statistics) এটা তথ্য সমষ্টিৰ মাজভাগৰ চাৰিওফালে তথ্যসমূহে কেন্দ্ৰীভূত হোৱাৰ প্ৰৱণতাকে কেন্দ্ৰীয় প্ৰবৃত্তি (Central Tendency) বোলা হয়। এই কেন্দ্ৰীয় মানক প্ৰতিনিধিত্ব কৰা সংখ্যাটোক ‘গড়’ বা ‘Average’ বুলি কোৱা হয়। কেন্দ্ৰীয় প্ৰবৃত্তিৰ মাপে এটা সম্পূৰ্ণ তথ্য সমষ্টিক একক সংখ্যাৰে প্ৰকাশ কৰে, যাৰ ফলত তুলনা কৰা সহজ হয়। এজন উত্তম গড়ৰ গুণসমূহ হ’ল — স্পষ্টভাৱে সংজ্ঞায়িত, বুজিবলৈ সহজ, সকলো পৰ্যবেক্ষণৰ ওপৰত আধাৰিত, বীজগণিতীয়ভাৱে ব্যৱহাৰযোগ্য, চৰম মূল্যৰ দ্বাৰা প্ৰভাৱিত নোহোৱা আৰু নমুনা ভিন্নতাৰ পৰা মুক্ত হোৱা।
গাণিতিক গড় (Arithmetic Mean): ই হৈছে সকলো মূল্যৰ যোগফলক মুঠ পৰ্যবেক্ষণ সংখ্যাৰে ভাগ কৰি পোৱা মান। ব্যক্তিগত শ্ৰেণীৰ ক্ষেত্ৰত সূত্ৰটো হৈছে X̄ = ΣX / N। বিচ্ছিন্ন (Discrete) শ্ৰেণীৰ ক্ষেত্ৰত X̄ = ΣfX / Σf আৰু অবিচ্ছিন্ন (Continuous) শ্ৰেণীৰ ক্ষেত্ৰত X̄ = Σfm / Σf, য’ত m হৈছে শ্ৰেণী মধ্যবিন্দু (mid-value)। সংক্ষিপ্ত পদ্ধতিত X̄ = A + Σfd/Σf আৰু পদক্ষেপ-বিচ্যুতি পদ্ধতিত X̄ = A + (Σfd′/Σf) × C ব্যৱহাৰ কৰা হয়। ভাৰিত গড় (Weighted Mean): X̄w = ΣWX/ΣW, য’ত W প্ৰতিটো মূল্যৰ গুৰুত্ব বা ভাৰ। গাণিতিক গড়ৰ বৈশিষ্ট্য হ’ল — গড়ৰ পৰা বিচ্যুতিৰ যোগফল শূন্য (Σ(X−X̄)=0) আৰু বৰ্গ বিচ্যুতিৰ যোগফল নূন্যতম।
মধ্যিকা (Median): তথ্যসমূহ ক্ৰমিকভাৱে সজোৱাৰ পিছত মাজত পৰা মানটোৱেই মধ্যিকা। ব্যক্তিগত শ্ৰেণীত Median = (N+1)/2-তম মূল্য। অবিচ্ছিন্ন শ্ৰেণীত Median = L + [(N/2 − cf)/f] × h, য’ত L = মধ্যিকা শ্ৰেণীৰ নিম্ন সীমা, cf = পূৰ্বৱৰ্তী ক্ৰমিক সংখ্যা, f = মধ্যিকা শ্ৰেণীৰ বাৰংবাৰতা, h = শ্ৰেণী ব্যৱধান। ‘ওজাইভ (Ogive)’ পদ্ধতিৰে দুটা ক্ৰমিক বাৰংবাৰতা ৰেখা (less-than আৰু more-than) ৰ ছেদন বিন্দুৰ পৰা মধ্যিকা নিৰ্ণয় কৰা হয়। বহুলক (Mode): সৰ্বাধিক বাৰ পুনৰাবৃত্তি হোৱা মূল্যটোৱেই বহুলক। অবিচ্ছিন্ন শ্ৰেণীত Mode = L + [(f1 − f0)/(2f1 − f0 − f2)] × h। নিৰীক্ষণ পদ্ধতি (Inspection Method) আৰু সমষ্টিকৰণ পদ্ধতি (Grouping Method)ৰে বহুলক নিৰ্ণয় কৰা যায়।
সম্পৰ্ক: এটা মধ্যমভাৱে অসমান বণ্টনত গড়, মধ্যিকা আৰু বহুলকৰ মাজত সম্পৰ্ক হ’ল — Mode = 3 Median − 2 Mean। সমান্তৰ বণ্টনত Mean = Median = Mode। চতুৰ্থক (Quartile): তথ্যসমূহক চাৰিটা সমান অংশত বিভাজিত কৰা মান — Q1, Q2 (= মধ্যিকা), Q3। দশমাংশ (Decile): তথ্যসমূহক দহটা সমান অংশত বিভাজিত কৰা ন’টা মান (D1 ৰ পৰা D9)। শতাংশ (Percentile): তথ্যসমূহক এশটা সমান অংশত বিভাজিত কৰা নিৰ্ণায়ক ৯৯টা মান (P1 ৰ পৰা P99)। গাণিতিক গড়ৰ গুণ — সকলো মূল্যৰ ওপৰত নিৰ্ভৰশীল, বীজগণিতীয় ব্যৱহাৰ সহজ। দোষ — চৰম মূল্যৰ দ্বাৰা প্ৰভাৱিত হয়। মধ্যিকাৰ গুণ — চৰম মূল্যৰ পৰা মুক্ত। দোষ — সকলো মূল্যৰ ওপৰত নিৰ্ভৰশীল নহয়। বহুলকৰ গুণ — অতি সহজ আৰু গুণাত্মক তথ্যৰ বাবেও উপযোগী। দোষ — কেতিয়াবা সংজ্ঞায়িত নহয় বা বহু-মাত্ৰিক হয়।
Summary (in English)
Central Tendency refers to the tendency of data values to cluster around a central or middle value. The single value representing this centre is called an Average. A good average should be rigidly defined, easy to understand, based on all observations, suitable for further algebraic treatment, not unduly affected by extreme values, and based on adequate sampling. The three principal measures are the Arithmetic Mean, Median and Mode. The Arithmetic Mean is computed as X̄ = ΣX/N for individual data, X̄ = ΣfX/Σf for discrete data and X̄ = Σfm/Σf for continuous data; a weighted mean uses X̄w = ΣWX/ΣW. The Median is the positional middle value found from the (N+1)/2-th item or from L + [(N/2 − cf)/f] × h in continuous series. The Mode is the most frequent value, calculated by L + [(f1 − f0)/(2f1 − f0 − f2)] × h. In a moderately asymmetrical distribution, Mode = 3 Median − 2 Mean. Partition values like Quartiles, Deciles and Percentiles divide an ordered series into equal parts. Each measure has merits and demerits and is selected according to the nature of data and the purpose of analysis.
পাঠ্যপুথিৰ প্ৰশ্নোত্তৰ (Textbook Questions & Answers)
১ নম্বৰৰ প্ৰশ্ন (1-mark Questions)
প্ৰশ্ন ১। কেন্দ্ৰীয় প্ৰবৃত্তি (Central Tendency) মানে কি?
উত্তৰঃ এটা তথ্য সমষ্টিৰ মূল্যসমূহ এটা কেন্দ্ৰীয় মানৰ চাৰিওফালে কেন্দ্ৰীভূত হোৱাৰ প্ৰৱণতাকে কেন্দ্ৰীয় প্ৰবৃত্তি বুলি কোৱা হয়।
প্ৰশ্ন ২। গাণিতিক গড়ৰ সূত্ৰটো লিখা।
উত্তৰঃ ব্যক্তিগত শ্ৰেণীত X̄ = ΣX/N।
প্ৰশ্ন ৩। মধ্যিকা কাক বোলে?
উত্তৰঃ তথ্যসমূহ ক্ৰমিকভাৱে সজোৱাৰ পিছত মাজৰ স্থানত থকা মানটোক মধ্যিকা (Median) বোলে।
প্ৰশ্ন ৪। বহুলক কাক বোলে?
উত্তৰঃ এটা তথ্য সমষ্টিত যি মূল্যটো সৰ্বাধিকবাৰ পুনৰাবৃত্তি হয়, তাকেই বহুলক (Mode) বোলে।
প্ৰশ্ন ৫। ভাৰিত গড় (Weighted Mean) কি?
উত্তৰঃ প্ৰতিটো মূল্যৰ আপেক্ষিক গুৰুত্ব (W) ধৰি লৈ গণনা কৰা গড়কে ভাৰিত গড় বোলে। সূত্ৰ — X̄w = ΣWX/ΣW।
প্ৰশ্ন ৬। Mode = 3 Median − 2 Mean সম্পৰ্কটো কাৰ?
উত্তৰঃ এটা মধ্যমভাৱে অসমান (moderately asymmetrical) বণ্টনত গড়, মধ্যিকা আৰু বহুলকৰ মাজৰ এই সম্পৰ্কটো কাৰ্ল পিয়াৰছনে (Karl Pearson) প্ৰদান কৰিছিল।
প্ৰশ্ন ৭। মধ্যিকা = ?-তম পদ (ব্যক্তিগত শ্ৰেণীত)?
উত্তৰঃ মধ্যিকা = (N+1)/2-তম পদৰ মান।
প্ৰশ্ন ৮। চতুৰ্থক (Quartile) কেইটা?
উত্তৰঃ তিনিটা — Q1, Q2 আৰু Q3। ইয়াত Q2 = মধ্যিকা।
প্ৰশ্ন ৯। দশমাংশ আৰু শতাংশ কিমান?
উত্তৰঃ দশমাংশ ৯টা (D1–D9) আৰু শতাংশ ৯৯টা (P1–P99)।
প্ৰশ্ন ১০। ‘ওজাইভ (Ogive)’ কি?
উত্তৰঃ ক্ৰমিক বাৰংবাৰতাৰ লেখচিত্ৰক ওজাইভ বোলা হয়। ইয়াৰ দ্বাৰা মধ্যিকা, চতুৰ্থক আদি গ্ৰাফিক পদ্ধতিৰে নিৰ্ণয় কৰা যায়।
২–৩ নম্বৰৰ প্ৰশ্ন (Short Answer Questions)
প্ৰশ্ন ১। এজন উত্তম গড়ৰ গুণসমূহ লিখা।
উত্তৰঃ (i) স্পষ্টভাৱে সংজ্ঞায়িত হোৱা উচিত। (ii) বুজিবলৈ আৰু গণনা কৰিবলৈ সহজ হোৱা উচিত। (iii) সকলো পৰ্যবেক্ষণৰ ওপৰত আধাৰিত হোৱা উচিত। (iv) চৰম মূল্যৰ দ্বাৰা প্ৰভাৱিত নহ’ব লাগে। (v) পৰৱৰ্তী বীজগণিতীয় ব্যৱহাৰৰ বাবে উপযোগী হোৱা উচিত। (vi) নমুনা ভিন্নতাৰ পৰা মুক্ত হোৱা উচিত।
প্ৰশ্ন ২। গাণিতিক গড়ৰ দুটা গুণ আৰু দুটা দোষ লিখা।
উত্তৰঃ গুণ: (i) সকলো মূল্যৰ ওপৰত নিৰ্ভৰশীল হোৱা বাবে ই পূৰ্ণ প্ৰতিনিধিত্বমূলক। (ii) ই বীজগণিতীয়ভাৱে ব্যৱহাৰযোগ্য। দোষ: (i) চৰম মূল্যৰ দ্বাৰা ই বহু পৰিমাণে প্ৰভাৱিত হয়। (ii) গুণাত্মক তথ্যৰ ক্ষেত্ৰত ই গণনা কৰিব নোৱাৰি।
প্ৰশ্ন ৩। মধ্যিকাৰ ব্যৱহাৰিক গুৰুত্ব বুজাই লিখা।
উত্তৰঃ মধ্যিকা চৰম মূল্যৰ দ্বাৰা প্ৰভাৱিত নহয় বাবে আয়, মজুৰি, দাম আদিৰ দৰে অসমান বণ্টন আছে যিবোৰ তথ্যত মধ্যিকা অধিক উপযোগী। ই গুণাত্মক তথ্য (যেনে — সৌন্দৰ্য, যোগ্যতা)ৰ ক্ষেত্ৰতো ব্যৱহাৰ কৰিব পাৰি। গ্ৰাফিক পদ্ধতিৰে ওজাইভ ৰেখাৰে মধ্যিকা সহজে নিৰ্ণয় কৰিব পাৰি।
প্ৰশ্ন ৪। (সংখ্যাগত) ১০, ১৫, ২০, ২৫, ৩০ — এই মূল্যসমূহৰ গাণিতিক গড় উলিওৱা।
উত্তৰঃ ΣX = ১০+১৫+২০+২৫+৩০ = ১০০। N = ৫। গড় X̄ = ΣX/N = ১০০/৫ = ২০।
প্ৰশ্ন ৫। (সংখ্যাগত) ৫, ৭, ৯, ১১, ১৩, ১৫, ১৭ — এই মূল্যসমূহৰ মধ্যিকা উলিওৱা।
উত্তৰঃ N = ৭ (অযুগ্ম সংখ্যা)। মধ্যিকা = (N+1)/2 = (৭+১)/2 = ৪-তম পদ = ১১।
প্ৰশ্ন ৬। বহুলক কেইপ্ৰকাৰৰ?
উত্তৰঃ বহুলক প্ৰধানকৈ তিনি প্ৰকাৰৰ — (i) এক-মাত্ৰিক বহুলক (Unimodal) যিটো এটা মাত্ৰ মান হয়, (ii) দ্বি-মাত্ৰিক বহুলক (Bimodal) যিটো দুটা মান হয়, আৰু (iii) বহু-মাত্ৰিক বহুলক (Multimodal) যিটো একাধিক মান হয়।
প্ৰশ্ন ৭। চতুৰ্থক, দশমাংশ আৰু শতাংশৰ মাজত পাৰ্থক্য কি?
উত্তৰঃ চতুৰ্থকে এটা ক্ৰমিক তথ্যক চাৰিটা সমান অংশত বিভাজিত কৰে আৰু তিনিটা মান (Q1, Q2, Q3) দিয়ে। দশমাংশে দহটা সমান অংশত বিভাজিত কৰে আৰু ন’টা মান (D1 ৰ পৰা D9) দিয়ে। শতাংশই এশটা সমান অংশত বিভাজিত কৰে আৰু ৯৯টা মান (P1 ৰ পৰা P99) দিয়ে। এই তিনিও কেন্দ্ৰীয় প্ৰবৃত্তিৰ অৱস্থানগত মাপ (positional measures)।
প্ৰশ্ন ৮। (সংখ্যাগত) ১৫, ২০, ২৫, ৩০, ৩৫ — মূল্যসমূহৰ গাণিতিক গড় উলিওৱা।
উত্তৰঃ ΣX = ১৫+২০+২৫+৩০+৩৫ = ১২৫। N = ৫। X̄ = ΣX/N = ১২৫/৫ = ২৫।
৫–৬ নম্বৰৰ প্ৰশ্ন (Long Answer Questions)
প্ৰশ্ন ১। কেন্দ্ৰীয় প্ৰবৃত্তিৰ বিভিন্ন মাপসমূহৰ বিষয়ে আলোচনা কৰা।
উত্তৰঃ পৰিসংখ্যাত তথ্য সমষ্টিৰ এটা প্ৰতিনিধিত্বমূলক মান নিৰ্ণয় কৰিবলৈ যিবোৰ পৰিমাপ ব্যৱহাৰ কৰা হয়, সেইবোৰক কেন্দ্ৰীয় প্ৰবৃত্তিৰ মাপ বোলা হয়। প্ৰধান মাপসমূহ হ’ল — (i) গাণিতিক গড় (Arithmetic Mean): সকলো মূল্যৰ যোগফলক মুঠ পৰ্যবেক্ষণ সংখ্যাৰে ভাগ কৰি পোৱা মান। ই সকলো তথ্যৰ ওপৰত আধাৰিত। (ii) মধ্যিকা (Median): ক্ৰমিকভাৱে সজোৱা তথ্যৰ মাজৰ মান। চৰম মূল্যৰ পৰা মুক্ত। (iii) বহুলক (Mode): সৰ্বাধিক পুনৰাবৃত্তি হোৱা মান। গুণাত্মক তথ্যৰ ক্ষেত্ৰত উপযোগী। ইয়াৰ উপৰি (iv) জ্যামিতিক গড় (Geometric Mean) বৃদ্ধিৰ হাৰ মাপিবলৈ আৰু (v) ঐকমান্ত গড় (Harmonic Mean) বেগ-সদৃশ অনুপাতিক তথ্যৰ বাবে ব্যৱহাৰ কৰা হয়। অৱস্থানমূলক পৰিমাপ হিচাপে চতুৰ্থক, দশমাংশ, শতাংশ আদিও ব্যৱহৃত হয়।
প্ৰশ্ন ২। গাণিতিক গড়ৰ গুণ-দোষ আৰু গাণিতিক বৈশিষ্ট্যসমূহ লিখা।
উত্তৰঃ গুণ: (i) সংজ্ঞা স্পষ্ট আৰু গণনা সহজ। (ii) সকলো মূল্যৰ ওপৰত আধাৰিত। (iii) বীজগণিতীয় ব্যৱহাৰযোগ্য। (iv) নমুনা স্থিৰতা প্ৰদৰ্শন কৰে। দোষ: (i) চৰম মূল্যৰ দ্বাৰা প্ৰভাৱিত হয়। (ii) গুণাত্মক তথ্যৰ ক্ষেত্ৰত গণনা কৰিব নোৱাৰি। (iii) মুক্ত শ্ৰেণীৰ বণ্টনৰ ক্ষেত্ৰত ব্যৱহাৰ কৰিব নোৱাৰি। গাণিতিক বৈশিষ্ট্য: (i) গড়ৰ পৰা প্ৰতিটো মূল্যৰ বিচ্যুতিৰ যোগফল শূন্য, অৰ্থাৎ Σ(X−X̄) = 0। (ii) গড়ৰ পৰা বৰ্গ বিচ্যুতিৰ যোগফল নূন্যতম, অৰ্থাৎ Σ(X−X̄)² = minimum। (iii) সংযুক্ত গড় (Combined Mean) = (N1X̄1 + N2X̄2)/(N1+N2)।
প্ৰশ্ন ৩। (সংখ্যাগত) তলৰ অবিচ্ছিন্ন বণ্টনৰ পৰা গাণিতিক গড় নিৰ্ণয় কৰা।
| শ্ৰেণী (Class) | ০–১০ | ১০–২০ | ২০–৩০ | ৩০–৪০ | ৪০–৫০ |
|---|---|---|---|---|---|
| বাৰংবাৰতা (f) | ৫ | ১০ | ১৫ | ৭ | ৩ |
উত্তৰঃ মধ্যবিন্দু (m) — ৫, ১৫, ২৫, ৩৫, ৪৫। fm = ৫×৫=২৫, ১০×১৫=১৫০, ১৫×২৫=৩৭৫, ৭×৩৫=২৪৫, ৩×৪৫=১৩৫। Σf = ৫+১০+১৫+৭+৩ = ৪০। Σfm = ২৫+১৫০+৩৭৫+২৪৫+১৩৫ = ৯৩০। সূত্ৰঃ X̄ = Σfm/Σf = ৯৩০/৪০ = ২৩.২৫।
প্ৰশ্ন ৪। (সংখ্যাগত) তলৰ বণ্টনৰ পৰা মধ্যিকা নিৰ্ণয় কৰা।
| শ্ৰেণী | ০–১০ | ১০–২০ | ২০–৩০ | ৩০–৪০ | ৪০–৫০ |
|---|---|---|---|---|---|
| বাৰংবাৰতা (f) | ৫ | ৮ | ১২ | ১০ | ৫ |
উত্তৰঃ ক্ৰমিক বাৰংবাৰতা (cf): ৫, ১৩, ২৫, ৩৫, ৪০। N = ৪০। N/2 = ২০। ২০-তম পদ ‘২০–৩০’ শ্ৰেণীত পৰে। সেয়ে এইটোৱে মধ্যিকা শ্ৰেণী। L=২০, cf=১৩, f=১২, h=১০। Median = L + [(N/2 − cf)/f] × h = ২০ + [(২০−১৩)/১২] × ১০ = ২০ + (৭/১২)×১০ = ২০ + ৫.৮৩ = ২৫.৮৩।
প্ৰশ্ন ৫। মধ্যিকা আৰু বহুলক নিৰ্ণয় কৰাৰ গ্ৰাফিক পদ্ধতিসমূহ বুজাই লিখা।
উত্তৰঃ মধ্যিকা (গ্ৰাফিক পদ্ধতি): ‘less-than ogive’ আৰু ‘more-than ogive’ ৰেখা দুডালৰ ছেদন বিন্দুৰ পৰা x-অক্ষলৈ লম্ব টানিলে যি বিন্দুত মিলে সেইটোৱেই মধ্যিকা। বিকল্পভাৱে এটা ogive অংকণ কৰি y-অক্ষৰ N/2 বিন্দুৰ পৰা সমান্তৰাল ৰেখা টানি ogive ত মিলোৱা বিন্দুৰ পৰা x-অক্ষলৈ লম্ব টানিলেও মধ্যিকা পোৱা যায়। বহুলক (গ্ৰাফিক পদ্ধতি): বাৰংবাৰতা আয়তচিত্ৰ (Histogram) অংকণ কৰি সৰ্বাধিক উচ্চতাৰ আয়তটোৰ ওপৰৰ চাৰিকোণৰ পৰা পাৰ্শ্ববৰ্তী আয়তবোৰৰ সংলগ্ন কোণসমূহলৈ দুডাল ৰেখা টানি ছেদন বিন্দুৰ পৰা x-অক্ষলৈ লম্ব টানিলে যি বিন্দুত মিলে সেইটোৱেই বহুলক।
প্ৰশ্ন ৬। (সংখ্যাগত) তলৰ বণ্টনৰ পৰা বহুলক নিৰ্ণয় কৰা।
| শ্ৰেণী | ০–১০ | ১০–২০ | ২০–৩০ | ৩০–৪০ | ৪০–৫০ |
|---|---|---|---|---|---|
| বাৰংবাৰতা (f) | ৪ | ৮ | ১৫ | ৭ | ৩ |
উত্তৰঃ সৰ্বাধিক বাৰংবাৰতা = ১৫, যি ‘২০–৩০’ শ্ৰেণীত পৰে। সেয়ে বহুলক শ্ৰেণী = ২০–৩০। L=২০, f1=১৫, f0=৮, f2=৭, h=১০। সূত্ৰঃ Mode = L + [(f1 − f0)/(2f1 − f0 − f2)] × h = ২০ + [(১৫−৮)/(২×১৫−৮−৭)] × ১০ = ২০ + (৭/১৫) × ১০ = ২০ + ৪.৬৭ = ২৪.৬৭।
প্ৰশ্ন ৭। বিভিন্ন প্ৰকাৰৰ গড় (Mean) সংক্ষেপে বুজাই লিখা।
উত্তৰঃ পৰিসংখ্যাত ব্যৱহৃত গড় তিনি প্ৰকাৰৰ — (i) গাণিতিক গড় (Arithmetic Mean): X̄ = ΣX/N। এইটো সকলো সংখ্যাৰ সাধাৰণ গড়। সকলো মূল্যৰ ওপৰত আধাৰিত আৰু গণনা কৰিবলৈ সহজ। (ii) জ্যামিতিক গড় (Geometric Mean): GM = (X1 × X2 × … × Xn)^(1/n)। মূল্য সূচক, জনসংখ্যা বৃদ্ধিৰ হাৰ আদিৰ অধ্যয়নত উপযোগী। (iii) ঐকমান্ত গড় (Harmonic Mean): HM = N / Σ(1/X)। গতি, সময়, অনুপাত ইত্যাদিৰ অধ্যয়নত উপযোগী। সাধাৰণতে AM ≥ GM ≥ HM।
অতিৰিক্ত প্ৰশ্ন (Additional Questions)
বহুবৈকল্পিক প্ৰশ্ন (MCQ)
প্ৰশ্ন ১। গাণিতিক গড়ৰ সূত্ৰ —
(ক) ΣX × N (খ) ΣX/N (গ) N/ΣX (ঘ) কোনোটোৱে নহয়।
উত্তৰঃ (খ) ΣX/N।
প্ৰশ্ন ২। মাজৰ মানক বোলা হয় —
(ক) গড় (খ) মধ্যিকা (গ) বহুলক (ঘ) চতুৰ্থক।
উত্তৰঃ (খ) মধ্যিকা।
প্ৰশ্ন ৩। Mode = 3 Median − ?
(ক) Mean (খ) 2 Mean (গ) 2 Median (ঘ) Mean/2।
উত্তৰঃ (খ) 2 Mean।
প্ৰশ্ন ৪। চতুৰ্থক কেইটা?
(ক) ২ (খ) ৩ (গ) ৪ (ঘ) ৯।
উত্তৰঃ (খ) ৩।
প্ৰশ্ন ৫। দশমাংশ কেইটা?
(ক) ৯ (খ) ১০ (গ) ৯৯ (ঘ) ১০০।
উত্তৰঃ (ক) ৯।
প্ৰশ্ন ৬। Q2 ই হৈছে —
(ক) প্ৰথম চতুৰ্থক (খ) মধ্যিকা (গ) তৃতীয় চতুৰ্থক (ঘ) বহুলক।
উত্তৰঃ (খ) মধ্যিকা।
প্ৰশ্ন ৭। চৰম মূল্যৰ দ্বাৰা সৰ্বাধিক প্ৰভাৱিত হোৱা গড়টো —
(ক) মধ্যিকা (খ) বহুলক (গ) গাণিতিক গড় (ঘ) চতুৰ্থক।
উত্তৰঃ (গ) গাণিতিক গড়।
প্ৰশ্ন ৮। X̄ = A + Σfd/Σf — এইটো হৈছে —
(ক) প্ৰত্যক্ষ পদ্ধতি (খ) সংক্ষিপ্ত পদ্ধতি (গ) পদক্ষেপ পদ্ধতি (ঘ) ভাৰিত পদ্ধতি।
উত্তৰঃ (খ) সংক্ষিপ্ত পদ্ধতি।
প্ৰশ্ন ৯। অবিচ্ছিন্ন শ্ৰেণীত গড় = ?
(ক) ΣX/N (খ) Σfm/Σf (গ) ΣfX/Σf (ঘ) ΣWX/ΣW।
উত্তৰঃ (খ) Σfm/Σf।
প্ৰশ্ন ১০। গুণাত্মক তথ্যৰ ক্ষেত্ৰত উপযোগী গড়টো —
(ক) গাণিতিক গড় (খ) মধ্যিকা/বহুলক (গ) ঐকমান্ত গড় (ঘ) জ্যামিতিক গড়।
উত্তৰঃ (খ) মধ্যিকা/বহুলক।
প্ৰশ্ন ১১। P50 = ?
(ক) Q1 (খ) Q3 (গ) মধ্যিকা (ঘ) বহুলক।
উত্তৰঃ (গ) মধ্যিকা।
প্ৰশ্ন ১২। জ্যামিতিক গড়ৰ সূত্ৰ —
(ক) ΣX/N (খ) (X1·X2…Xn)^(1/n) (গ) N/Σ(1/X) (ঘ) ΣWX/ΣW।
উত্তৰঃ (খ) (X1·X2…Xn)^(1/n)।
শূন্যস্থান পূৰণ কৰা (Fill in the Blanks)
১। তথ্যসমূহৰ মাজৰ মানক ____ বোলা হয়। উত্তৰঃ মধ্যিকা।
২। Mode = 3 Median − ____। উত্তৰঃ 2 Mean।
৩। তথ্যসমূহক ১০টা সমান অংশত বিভাজিত কৰা মানক ____ বোলে। উত্তৰঃ দশমাংশ।
৪। ____ গড় বহিৰ্ভূত মূল্যৰ দ্বাৰা সৰ্বাধিক প্ৰভাৱিত হয়। উত্তৰঃ গাণিতিক।
৫। ভাৰিত গড়ৰ সূত্ৰ X̄w = ____। উত্তৰঃ ΣWX/ΣW।
শুদ্ধ/অশুদ্ধ লিখা (True/False)
১। মধ্যিকা চৰম মূল্যৰ দ্বাৰা প্ৰভাৱিত হয়। উত্তৰঃ অশুদ্ধ।
২। বহুলক একাধিক হ’ব পাৰে। উত্তৰঃ শুদ্ধ।
৩। গাণিতিক গড়ৰ পৰা বিচ্যুতিৰ যোগফল শূন্য। উত্তৰঃ শুদ্ধ।
৪। P50 = মধ্যিকা = Q2 = D5। উত্তৰঃ শুদ্ধ।
৫। গাণিতিক গড় গুণাত্মক তথ্যৰ বাবে উপযোগী। উত্তৰঃ অশুদ্ধ।
চমু উত্তৰৰ অতিৰিক্ত প্ৰশ্ন (Additional Short Q&A)
প্ৰশ্ন ১। কেতিয়া বহুলক ব্যৱহাৰ কৰা হয়?
উত্তৰঃ যেতিয়া তথ্য সমষ্টিত সৰ্বাধিক বাৰ পুনৰাবৃত্তি হোৱা মূল্যটো জনাৰ প্ৰয়োজন হয় (যেনে — সৰ্বাধিক বিক্ৰী হোৱা সাইজৰ বস্ত্ৰ, সৰ্বাধিক ব্যৱহাৰ হোৱা ব্ৰেণ্ড আদি), তেতিয়া বহুলক ব্যৱহাৰ কৰা হয়। গুণাত্মক তথ্যৰ ক্ষেত্ৰতো ই উপযুক্ত।
প্ৰশ্ন ২। চতুৰ্থক বিচ্যুতিৰ (Quartile Deviation) সূত্ৰ লিখা।
উত্তৰঃ Q.D. = (Q3 − Q1) / 2। ইয়াক অৰ্ধ-আন্তঃচতুৰ্থক পৰিসৰ (semi-interquartile range)ও বোলা হয়।
প্ৰশ্ন ৩। মুক্ত শ্ৰেণী (Open-end class) আছে যিবোৰ বণ্টনত কোনটো গড় উপযোগী আৰু কিয়?
উত্তৰঃ মুক্ত শ্ৰেণী থকা বণ্টনত মধ্যিকা আৰু বহুলক উপযোগী, কাৰণ এই দুটাৰ গণনাত শ্ৰেণীৰ চৰম সীমাৰ মূল্যৰ ব্যৱহাৰ নলাগে। গাণিতিক গড় গণনা কৰিবলৈ মধ্যবিন্দু (mid-value) লাগে যিটো মুক্ত শ্ৰেণীৰ বাবে নিৰ্ণয় কৰিব নোৱাৰি।
প্ৰশ্ন ৪। পৰিসংখ্যাত গড়ৰ গুৰুত্ব কি?
উত্তৰঃ গড়ে তথ্য সমষ্টিৰ এটা সংক্ষিপ্ত প্ৰতিনিধিত্বমূলক চিত্ৰ প্ৰদান কৰে; দুই বা ততোধিক সমষ্টিৰ মাজত তুলনা সহজ কৰে; নীতি প্ৰণয়ন আৰু পৰিকল্পনাৰ ভেটি দিয়ে; পৰৱৰ্তী পৰিসংখ্যাগত বিশ্লেষণৰ (যেনে — বিচ্যুতি, সম্পৰ্ক) আধাৰ হিচাপে কাম কৰে।
প্ৰশ্ন ৫। বহুলক নিৰ্ণয়ৰ ‘সমষ্টিকৰণ পদ্ধতি’ (Grouping Method) সংক্ষেপে বুজোৱা।
উত্তৰঃ যেতিয়া বাৰংবাৰতা সমাধিকৈ ছটিয়াই থাকে বা সৰ্বাধিক বাৰংবাৰতা স্পষ্ট নহয়, তেতিয়া ছটা স্তম্ভ থকা সমষ্টিকৰণ টেবুল অংকন কৰি বাৰংবাৰতাবোৰ যোৰাই-যোৰাই যোগ কৰা হয় আৰু পিছত বিশ্লেষণ টেবুল (Analysis Table)ৰ দ্বাৰা বহুলক শ্ৰেণী চিনাক্ত কৰা হয়। তাৰ পিছত সাধাৰণ সূত্ৰৰে বহুলক উলিওৱা হয়।
প্ৰশ্ন ৬। কেতিয়া আমি গাণিতিক গড় বৰ্জন কৰিম?
উত্তৰঃ (i) তথ্যত চৰম মূল্য থাকিলে; (ii) মুক্ত শ্ৰেণী থাকিলে; (iii) তথ্য গুণাত্মক হ’লে; (iv) সমষ্টিৰ অসংগত (skewed) বণ্টন হ’লে। এনে ক্ষেত্ৰত মধ্যিকা বা বহুলক বেছি উপযোগী।
শব্দাৰ্থ (Glossary)
| অসমীয়া | English | অৰ্থ |
|---|---|---|
| কেন্দ্ৰীয় প্ৰবৃত্তি | Central Tendency | মূল্যসমূহৰ মাজৰ চাৰিওফালে কেন্দ্ৰীভূত হোৱাৰ প্ৰৱণতা |
| গড় | Mean / Average | প্ৰতিনিধিত্বমূলক মান |
| মধ্যিকা | Median | ক্ৰমিক তথ্যৰ মাজৰ মান |
| বহুলক | Mode | সৰ্বাধিক পুনৰাবৃত্তি হোৱা মান |
| ভাৰিত গড় | Weighted Mean | গুৰুত্ব ধৰি লোৱা গড় |
| চতুৰ্থক | Quartile | চাৰি সমান অংশত বিভাজিত কৰা মান |
| দশমাংশ | Decile | দহ সমান অংশত বিভাজন |
| শতাংশ | Percentile | এশ সমান অংশত বিভাজন |
| বাৰংবাৰতা | Frequency | পুনৰাবৃত্তিৰ সংখ্যা |
| ক্ৰমিক বাৰংবাৰতা | Cumulative Frequency | ক্ৰম অনুসৰি জমা হোৱা বাৰংবাৰতা |
| ওজাইভ | Ogive | ক্ৰমিক বাৰংবাৰতা ৰেখা |
| মধ্যবিন্দু | Mid-value | শ্ৰেণী সীমাৰ গড় |
সূত্ৰ তালিকা (Important Formulae)
| মাপ | শ্ৰেণী | সূত্ৰ |
|---|---|---|
| গাণিতিক গড় | ব্যক্তিগত | X̄ = ΣX / N |
| গাণিতিক গড় | বিচ্ছিন্ন | X̄ = ΣfX / Σf |
| গাণিতিক গড় | অবিচ্ছিন্ন | X̄ = Σfm / Σf |
| সংক্ষিপ্ত পদ্ধতি | — | X̄ = A + Σfd/Σf |
| পদক্ষেপ পদ্ধতি | — | X̄ = A + (Σfd′/Σf) × C |
| ভাৰিত গড় | — | X̄w = ΣWX / ΣW |
| মধ্যিকা | ব্যক্তিগত | (N+1)/2-তম পদ |
| মধ্যিকা | অবিচ্ছিন্ন | L + [(N/2 − cf)/f] × h |
| বহুলক | অবিচ্ছিন্ন | L + [(f1 − f0)/(2f1 − f0 − f2)] × h |
| সম্পৰ্ক | — | Mode = 3 Median − 2 Mean |
| চতুৰ্থক (Qi) | — | L + [(iN/4 − cf)/f] × h |
| দশমাংশ (Di) | — | L + [(iN/10 − cf)/f] × h |
| শতাংশ (Pi) | — | L + [(iN/100 − cf)/f] × h |
| সংযুক্ত গড় | — | (N1X̄1 + N2X̄2)/(N1+N2) |
পদক্ষেপ-অনুসৰি সংখ্যাগত উদাহৰণ (Step-by-Step Numerical)
উদাহৰণ ১। (ভাৰিত গড়) এজন ছাত্ৰৰ পৰীক্ষাৰ ফলাফল — অসমীয়া ৬০ (ভাৰ ২), ইংৰাজী ৭০ (ভাৰ ৩), অৰ্থনীতি ৮০ (ভাৰ ৫)। ভাৰিত গড় উলিওৱা।
সমাধানঃ WX = (২×৬০) + (৩×৭০) + (৫×৮০) = ১২০ + ২১০ + ৪০০ = ৭৩০। ΣW = ২ + ৩ + ৫ = ১০। X̄w = ΣWX/ΣW = ৭৩০/১০ = ৭৩। সাধাৰণ গড় হ’ব (৬০+৭০+৮০)/৩ = ৭০, কিন্তু গুৰুত্ব ধৰিলে গড় ৭৩ হ’ল।
উদাহৰণ ২। (সংযুক্ত গড়) এটা শ্ৰেণীৰ ৩০ জন ছাত্ৰৰ গড় নম্বৰ ৬০ আৰু আনটো শ্ৰেণীৰ ২০ জনৰ গড় ৭০। দুই শ্ৰেণীৰ সংযুক্ত গড় উলিওৱা।
সমাধানঃ N1=৩০, X̄1=৬০, N2=২০, X̄2=৭০। X̄12 = (N1X̄1 + N2X̄2)/(N1+N2) = (৩০×৬০ + ২০×৭০)/(৩০+২০) = (১৮০০+১৪০০)/৫০ = ৩২০০/৫০ = ৬৪।
উদাহৰণ ৩। (Mean ৰ পৰা Mode উলিওৱা) এটা বণ্টনৰ Mean = ৪০ আৰু Median = ৪২। Mode উলিওৱা।
সমাধানঃ Mode = 3 Median − 2 Mean = ৩×৪২ − ২×৪০ = ১২৬ − ৮০ = ৪৬।
পৰীক্ষাৰ প্ৰস্তুতিৰ পৰামৰ্শ (Exam Preparation Tips)
- প্ৰতিটো গড়ৰ সংজ্ঞা, সূত্ৰ আৰু এটা সৰু সংখ্যাগত উদাহৰণ মুখস্থ ৰাখক।
- ব্যক্তিগত / বিচ্ছিন্ন / অবিচ্ছিন্ন শ্ৰেণীৰ পাৰ্থক্য বুজি লওক — শ্ৰেণীৰ ধৰণ চিনি পাবলৈ শিকক।
- সংখ্যাগত প্ৰশ্নত — তথ্যক টেবুলত সজাই, মধ্যবিন্দু (m) আৰু ক্ৰমিক বাৰংবাৰতা (cf) আগতেই উলিয়াই লওক।
- সূত্ৰ লিখাৰ সময়ত প্ৰতিটো প্ৰতীকৰ অৰ্থ লিখি দিয়ক — পৰীক্ষকে অতিৰিক্ত নম্বৰ দিয়ে।
- Mode = 3 Median − 2 Mean সম্পৰ্কটো এক-নম্বৰীয়া আৰু MCQ ত প্ৰায়েই আহে — মুখস্থ ৰাখক।
- চতুৰ্থক, দশমাংশ আৰু শতাংশৰ সূত্ৰ একে — কেৱল iN/4, iN/10 বা iN/100 সলনি হয়।
- আঁকিবলগীয়া অংশ থাকিলে (যেনে — ogive, histogram) স্কেল আৰু লেবেলিং স্পষ্টকৈ দিয়ক।
- প্ৰতিটো গড়ৰ অন্তত দুটা গুণ আৰু দুটা দোষ মনত ৰাখক।
মুখ্য বিন্দুসমূহ (Key Points to Remember)
- কেন্দ্ৰীয় প্ৰবৃত্তিৰ তিনিটা প্ৰধান মাপ — গাণিতিক গড়, মধ্যিকা আৰু বহুলক।
- মধ্যমভাৱে অসমান বণ্টনত Mode = 3 Median − 2 Mean।
- সমান্তৰ বণ্টনত Mean = Median = Mode।
- গড়ৰ পৰা বিচ্যুতিৰ যোগফল সদায় শূন্য — Σ(X−X̄) = 0।
- P50 = D5 = Q2 = মধ্যিকা।
আশা কৰোঁ এই অধ্যায়ৰ প্ৰশ্নোত্তৰ আপোনালোকৰ ASSEB Class 11 Economics পৰীক্ষাত সহায়ক হ’ব। অধিক অধ্যায়ৰ বাবে HSLC Guru (hslcguru.com) চাবলৈ নাপাহৰিব। শুভেচ্ছা ৰৈল।