নমস্কাৰ প্ৰিয় শিক্ষাৰ্থী। HSLC GURU-লৈ আপোনাক স্বাগতম। এই পাঠটোত আমি ASSEB (Assam State School Education Board) দশম শ্ৰেণীৰ গণিতৰ নৱম অধ্যায় — ত্ৰিকোণমিতিৰ কিছুমান প্ৰয়োগ (Some Applications of Trigonometry)-ৰ সম্পূৰ্ণ অধ্যয়ন কৰিম। অষ্টম অধ্যায়ত শিকা ত্ৰিকোণমিতিক অনুপাতবোৰ ($\sin\theta$, $\cos\theta$, $\tan\theta$) এই অধ্যায়ত আমি বাস্তৱ জীৱনৰ উচ্চতা আৰু দূৰত্ব (Heights and Distances) সম্পৰ্কীয় সমস্যাত প্ৰয়োগ কৰিম। কোনো ভৱনৰ উচ্চতা, এডাল গছৰ ভাঙি যোৱা অংশৰ দৈৰ্ঘ্য, নৈৰ বহল, পাহাৰৰ উচ্চতা, লাইটহাউছৰ পৰা জাহাজৰ দূৰত্ব আদি বাস্তৱিকভাৱে নজুখাকৈ ত্ৰিকোণমিতিৰ সহায়ত নিৰ্ণয় কৰিব পাৰি — সেইটোৱেই এই অধ্যায়ৰ সাৰ। অনুশীলনী 9.1-ৰ আটাই ১৬টা প্ৰশ্নৰ পদক্ষেপভিত্তিক সমাধান, KaTeX-ত সজ্জিত গাণিতিক সূত্ৰ আৰু প্ৰতিটো প্ৰধান সমস্যাৰ বাবে সমকোণী ত্ৰিভুজৰ SVG চিত্ৰ ইয়াত প্ৰস্তুত কৰা হৈছে।
সাৰাংশ (Summary)
ত্ৰিকোণমিতিৰ প্ৰয়োগ অধ্যায়টোৰ মূল ভিত্তি হৈছে — পৃথিৱীৰ প্ৰায় সকলো বস্তু সমান্তৰাল ভূমিৰ ওপৰত থিয় হৈ থাকে আৰু পৰ্যবেক্ষকৰ চকুৱেও এক সমান্তৰাল স্তৰত থাকে। যেতিয়া এজন পৰ্যবেক্ষকে কোনো বস্তু চাবলৈ মূৰ ওপৰলৈ তুলিব লগা হয়, তেতিয়া দৃষ্টিৰেখা (line of sight) আৰু সমান্তৰাল ভূমিৰ মাজত যি কোণটো গঠিত হয়, তাকে উন্নতি কোণ (Angle of Elevation) বুলি কোৱা হয়। বিপৰীতে, ওখ ঠাইৰ পৰা তলৰ বস্তুৰ ফালে চাবলৈ মূৰ তললৈ নমাব লগা হ’লে দৃষ্টিৰেখা আৰু সমান্তৰালৰ মাজত গঠিত কোণটোক অৱনতি কোণ (Angle of Depression) বোলে। দুয়োটাই সমান্তৰাল ৰেখাৰ পৰাহে জোখা হয়। এই কোণ আৰু এটা পৰিচিত দূৰত্ব বা উচ্চতা থাকিলে $\tan\theta = \dfrac{\text{লম্ব}}{\text{ভূমি}}$, $\sin\theta = \dfrac{\text{লম্ব}}{\text{অতিভুজ}}$, $\cos\theta = \dfrac{\text{ভূমি}}{\text{অতিভুজ}}$ সম্পৰ্ক ব্যৱহাৰ কৰি অজানা মান উলিয়াব পাৰি।
Summary: Chapter 9 applies the trigonometric ratios learnt in Chapter 8 to real-life problems involving heights and distances. The key concepts are the line of sight (the imaginary line drawn from the observer’s eye to the object), the angle of elevation (formed when the object is above the observer’s horizontal level) and the angle of depression (formed when the object is below). Both angles are always measured from the horizontal. Once a right triangle is identified with the angle and one side known, $\sin\theta$, $\cos\theta$ or $\tan\theta$ gives the unknown side. Standard problems in ASSEB Exercise 9.1 cover towers, ropes, broken trees, slides, kites, ships, balloons, lighthouses and pairs of observers — solving each requires choosing the correct ratio (use $\tan\theta$ when both sides are vertical/horizontal legs, $\sin\theta$ when hypotenuse and opposite are involved, $\cos\theta$ when hypotenuse and adjacent are involved).
মূল ধাৰণা (Key Concepts)
১. দৃষ্টিৰেখা (Line of Sight)
পৰ্যবেক্ষকৰ চকুৰ পৰা দেখি থকা বস্তুৰ লৈকে অংকন কৰা ক’ল্পনিক সৰল ৰেখাটোৱেই দৃষ্টিৰেখা। বস্তুটো ওপৰত হ’লে দৃষ্টিৰেখাও ওপৰলৈ আনত হয়, বস্তুটো তলত হ’লে দৃষ্টিৰেখা তললৈ আনত হয়।
২. উন্নতি কোণ আৰু অৱনতি কোণ
- উন্নতি কোণ (Angle of Elevation, $\theta$): যেতিয়া পৰ্যবেক্ষকৰ চকুৰ স্তৰৰ পৰা ওপৰৰ বস্তুটোলৈ চোৱা হয়, দৃষ্টিৰেখা আৰু সমান্তৰাল ভূমিৰ মাজত উৎপন্ন কোণ।
- অৱনতি কোণ (Angle of Depression, $\theta$): যেতিয়া পৰ্যবেক্ষকে ওখ ঠাইৰ পৰা তলৰ বস্তুটোলৈ চোৱা হয়, দৃষ্টিৰেখা আৰু সমান্তৰাল ৰেখাৰ মাজত উৎপন্ন কোণ।
- দুয়োটা কোণেই সমান্তৰাল ৰেখাৰ পৰা জোখা হয়, লম্ব ৰেখাৰ পৰা নহয়।
- একে দুটা বিন্দুৰ ক্ষেত্ৰত — তলৰ পৰ্যবেক্ষকৰ উন্নতি কোণ আৰু ওপৰৰ পৰ্যবেক্ষকৰ অৱনতি কোণ একে (একান্তৰ কোণৰ ধৰ্ম)।
৩. মানক কোণৰ মান (Standard angle values, ASSEB exam-ready)
| কোণ ($\theta$) | $\sin\theta$ | $\cos\theta$ | $\tan\theta$ |
|---|---|---|---|
| $0°$ | $0$ | $1$ | $0$ |
| $30°$ | $\dfrac{1}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ |
| $45°$ | $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ | $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ | $1$ |
| $60°$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $\dfrac{1}{2}$ | $\sqrt{3}$ |
| $90°$ | $1$ | $0$ | অসংজ্ঞায়িত |
৪. সমাধানৰ পদ্ধতি (Step-by-step method)
- সমস্যাটো সাৱধানে পঢ়ি এটা সমকোণী ত্ৰিভুজৰ চিত্ৰ অংকন কৰক — উলম্ব বাহু (উচ্চতা), ভূমি বাহু (দূৰত্ব), অতিভুজ (দৃষ্টিৰেখা)।
- প্ৰদত্ত কোণটো (উন্নতি বা অৱনতি) চিনাক্ত কৰক।
- কোন বাহু জনা আৰু কোন বাহু বিচাৰিব লাগে নিৰ্ণয় কৰক।
- উপযুক্ত অনুপাত বাছনি কৰক — লম্ব আৰু ভূমি জনা থাকিলে $\tan$, লম্ব আৰু অতিভুজ থাকিলে $\sin$, ভূমি আৰু অতিভুজ থাকিলে $\cos$।
- মান প্ৰতিস্থাপন কৰি বীজগাণিতিকভাৱে অজানা ৰাশি উলিয়াওক।
অনুশীলনী 9.1 (Exercise 9.1) — সম্পূৰ্ণ সমাধান
প্ৰশ্ন ১। এজন চাৰ্কাছ শিল্পীয়ে এডাল ৰছিৰে কোনো এটা উলম্ব খুটাৰ আগৰ পৰা মাটিলৈ ওলমি পৰা ৰছিত উঠি গৈ আছে। ৰছিডাল মাটিৰ লগত $30°$ কোণ কৰি আছে আৰু ৰছিডালৰ দৈৰ্ঘ্য $20$ মিটাৰ। খুটাটোৰ উচ্চতা নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ ধৰোঁ, সমকোণী ত্ৰিভুজ $\triangle ABC$-ত $\angle B = 90°$, $\angle A = 30°$, অতিভুজ $AC = 20$ m, আৰু খুটাৰ উচ্চতা $BC = h$ m।
$$\sin 30° = \dfrac{BC}{AC} = \dfrac{h}{20}$$
$$\dfrac{1}{2} = \dfrac{h}{20} \Rightarrow h = \dfrac{20}{2} = 10 \text{ m}$$
সেয়ে খুটাটোৰ উচ্চতা $\boxed{10}$ মিটাৰ।
প্ৰশ্ন ২। ধুমুহাত এডাল গছ ভাঙি গ’ল আৰু গছৰ আগটো মাটিত স্পৰ্শ কৰি $30°$ কোণ কৰি আছে। গছৰ গুৰিৰ পৰা যিখিনি ঠাইত গছৰ আগটোৱে মাটি স্পৰ্শ কৰিছে সেই দূৰত্ব $8$ মিটাৰ। গছডালৰ মূল উচ্চতা নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ ধৰোঁ, $A$ গছৰ গুৰি, ভঙা ঠাই $C$ আৰু আগটো মাটি স্পৰ্শ কৰা ঠাই $B$। $\angle A = 90°$, $\angle B = 30°$, $AB = 8$ m। $AC = h_1$ ভঙা অংশৰ তলৰ ভাগ আৰু $BC = h_2$ ভঙা অংশৰ ওপৰৰ ভাগ। গছৰ মূল উচ্চতা $= h_1 + h_2$।
$$\tan 30° = \dfrac{AC}{AB} \Rightarrow \dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{h_1}{8} \Rightarrow h_1 = \dfrac{8}{\sqrt{3}} \text{ m}$$
$$\cos 30° = \dfrac{AB}{BC} \Rightarrow \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{8}{h_2} \Rightarrow h_2 = \dfrac{16}{\sqrt{3}} \text{ m}$$
$$\text{মূল উচ্চতা} = h_1 + h_2 = \dfrac{8}{\sqrt{3}} + \dfrac{16}{\sqrt{3}} = \dfrac{24}{\sqrt{3}} = 8\sqrt{3} \text{ m}$$
সেয়ে গছডালৰ মূল উচ্চতা $\boxed{8\sqrt{3}}$ মিটাৰ $\approx 13.86$ মিটাৰ।
প্ৰশ্ন ৩। এজন ঠিকাদাৰে শিশু আৰু ডাঙৰ ল’ৰাৰ বাবে এটা পাৰ্কত দুটা পিছলিয়া (slide) সাজি দিব বিচাৰিছে। শিশুৰ বাবে পিছলিয়াটো $1.5$ m উচ্চ আৰু মাটিৰ লগত $30°$ কোণ কৰি থাকিব লাগে আৰু ডাঙৰ ল’ৰাৰ বাবে $3$ m উচ্চ আৰু $60°$ কোণ কৰি থাকিব লাগে। প্ৰতিটো পিছলিয়াৰ দৈৰ্ঘ্য নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ পিছলিয়া অতিভুজ, উচ্চতা লম্ব। $\sin\theta = \dfrac{\text{লম্ব}}{\text{অতিভুজ}}$ ব্যৱহাৰ কৰোঁ।
শিশুৰ বাবে:
$$\sin 30° = \dfrac{1.5}{L_1} \Rightarrow \dfrac{1}{2} = \dfrac{1.5}{L_1} \Rightarrow L_1 = 3 \text{ m}$$
ডাঙৰ ল’ৰাৰ বাবে:
$$\sin 60° = \dfrac{3}{L_2} \Rightarrow \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{3}{L_2} \Rightarrow L_2 = \dfrac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3} \text{ m}$$
সেয়ে পিছলিয়াৰ দৈৰ্ঘ্য ক্ৰমে $\boxed{3}$ m আৰু $\boxed{2\sqrt{3}}$ m $\approx 3.46$ m।
প্ৰশ্ন ৪। মাটিৰ এটা বিন্দুৰ পৰা এটা স্তম্ভৰ ওপৰৰ আগৰ উন্নতি কোণ $30°$। সেই বিন্দুটো স্তম্ভৰ গুৰিৰ পৰা $30$ m দূৰত্বত আছে। স্তম্ভৰ উচ্চতা নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ $\triangle ABC$-ত $\angle B = 90°$, $\angle A = 30°$, $AB = 30$ m, $BC = h$।
$$\tan 30° = \dfrac{BC}{AB} = \dfrac{h}{30}$$
$$\dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{h}{30} \Rightarrow h = \dfrac{30}{\sqrt{3}} = 10\sqrt{3} \text{ m}$$
সেয়ে স্তম্ভৰ উচ্চতা $\boxed{10\sqrt{3}}$ m $\approx 17.32$ m।
প্ৰশ্ন ৫। মাটিৰ পৰা $60$ m উচ্চতাত উৰি থকা এটা ঘুৰীৰ লগত সংলগ্ন সূতাডাল ক্ষণিকৰ বাবে কষি ধৰা হৈছে আৰু ই মাটিৰ লগত $60°$ কোণ কৰি আছে। বতাহ নথকা বুলি ধৰি লোৱা হ’ল। সূতাডালৰ দৈৰ্ঘ্য নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ $\triangle ABC$-ত $\angle B = 90°$, $\angle A = 60°$, $BC = 60$ m (লম্ব), $AC = L$ (অতিভুজ — সূতা)।
$$\sin 60° = \dfrac{BC}{AC} = \dfrac{60}{L}$$
$$\dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{60}{L} \Rightarrow L = \dfrac{120}{\sqrt{3}} = 40\sqrt{3} \text{ m}$$
সেয়ে সূতাৰ দৈৰ্ঘ্য $\boxed{40\sqrt{3}}$ m $\approx 69.28$ m।
প্ৰশ্ন ৬। $1.5$ m উচ্চতাৰ এজন ল’ৰাই $30$ m উচ্চ এটা ভৱনৰ ফালে খোজ কাঢ়ি গৈ আছে। সেই ল’ৰাজনে যেতিয়া ভৱনটোৰ ওপৰৰ আগটোৰ উন্নতি কোণ $30°$ ৰ পৰা $60°$ লৈ পৰিৱৰ্তিত হোৱা দেখিলে, তেতিয়ালৈকে তেওঁ কিমান দূৰ খোজ কাঢ়িলে?
উত্তৰঃ ল’ৰাৰ চকুৰ স্তৰৰ পৰা ভৱনৰ আগৰ লৈ কাৰ্যকৰী উচ্চতা $= 30 – 1.5 = 28.5$ m।
প্ৰথম স্থিতি: $\tan 30° = \dfrac{28.5}{d_1}$
$$\dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{28.5}{d_1} \Rightarrow d_1 = 28.5\sqrt{3} \text{ m}$$
দ্বিতীয় স্থিতি: $\tan 60° = \dfrac{28.5}{d_2}$
$$\sqrt{3} = \dfrac{28.5}{d_2} \Rightarrow d_2 = \dfrac{28.5}{\sqrt{3}} \text{ m}$$
$$\text{অতিক্ৰম দূৰত্ব} = d_1 – d_2 = 28.5\sqrt{3} – \dfrac{28.5}{\sqrt{3}} = \dfrac{28.5 \times 3 – 28.5}{\sqrt{3}} = \dfrac{57}{\sqrt{3}} = \dfrac{57\sqrt{3}}{3} = 19\sqrt{3} \text{ m}$$
অৰ্থাৎ ল’ৰাজনে $\boxed{19\sqrt{3}}$ m $\approx 32.91$ m খোজ কাঢ়িলে।
প্ৰশ্ন ৭। $20$ m উচ্চতাৰ এটা ভৱনৰ গুৰিৰ পৰা এটা প্ৰচাৰ স্তম্ভৰ গুৰিৰ উন্নতি কোণ $45°$ আৰু সেই একে বিন্দুৰ পৰা প্ৰচাৰ স্তম্ভৰ আগৰ উন্নতি কোণ $60°$। প্ৰচাৰ স্তম্ভটোৰ উচ্চতা নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ ধৰোঁ পৰ্যবেক্ষণৰ বিন্দু $A$, ভৱনৰ গুৰি $B$, ভৱনৰ আগ $C$, স্তম্ভৰ আগ $D$। $BC = 20$ m, $CD = h$।
$\angle BAC = 45°$ ৰ পৰা — $\tan 45° = \dfrac{20}{AB} \Rightarrow AB = 20$ m।
$\angle BAD = 60°$ ৰ পৰা — $\tan 60° = \dfrac{20+h}{20}$।
$$\sqrt{3} = \dfrac{20 + h}{20} \Rightarrow 20 + h = 20\sqrt{3} \Rightarrow h = 20(\sqrt{3} – 1) \text{ m}$$
সেয়ে প্ৰচাৰ স্তম্ভৰ উচ্চতা $\boxed{20(\sqrt{3}-1)}$ m $\approx 14.64$ m।
প্ৰশ্ন ৮। এটা পেডেষ্টেলৰ ওপৰত $1.6$ m উচ্চতাৰ এটা প্ৰতিমা থিয় কৰি ৰখা আছে। মাটিৰ এটা বিন্দুৰ পৰা প্ৰতিমাটোৰ ওপৰৰ উন্নতি কোণ $60°$ আৰু সেই বিন্দুৰ পৰা পেডেষ্টেলৰ ওপৰৰ উন্নতি কোণ $45°$। পেডেষ্টেলটোৰ উচ্চতা নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ ধৰোঁ পৰ্যবেক্ষণ বিন্দু $A$, পেডেষ্টেলৰ গুৰি $B$, পেডেষ্টেলৰ ওপৰ $C$, প্ৰতিমাৰ ওপৰ $D$। $BC = h$, $CD = 1.6$ m।
$\angle BAC = 45° \Rightarrow \tan 45° = \dfrac{h}{AB} \Rightarrow AB = h$।
$\angle BAD = 60° \Rightarrow \tan 60° = \dfrac{h + 1.6}{AB} = \dfrac{h+1.6}{h}$।
$$\sqrt{3} = \dfrac{h+1.6}{h} \Rightarrow h\sqrt{3} = h + 1.6 \Rightarrow h(\sqrt{3}-1) = 1.6$$
$$h = \dfrac{1.6}{\sqrt{3}-1} = \dfrac{1.6(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} = \dfrac{1.6(\sqrt{3}+1)}{2} = 0.8(\sqrt{3}+1) \text{ m}$$
সেয়ে পেডেষ্টেলৰ উচ্চতা $\boxed{0.8(\sqrt{3}+1)}$ m $\approx 2.19$ m।
প্ৰশ্ন ৯। এটা স্তম্ভৰ গুৰিৰ পৰা ভৱনৰ ওপৰৰ আগৰ উন্নতি কোণ $30°$ আৰু ভৱনৰ গুৰিৰ পৰা স্তম্ভৰ ওপৰৰ আগৰ উন্নতি কোণ $60°$। স্তম্ভটোৰ উচ্চতা $50$ m হ’লে ভৱনটোৰ উচ্চতা নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ ধৰোঁ স্তম্ভৰ গুৰি $A$, স্তম্ভৰ আগ $B$, ভৱনৰ গুৰি $C$, ভৱনৰ আগ $D$। $AB = 50$ m, $CD = h$, $AC = d$।
স্তম্ভৰ গুৰিৰ পৰা ভৱনৰ আগ লৈ — $\tan 30° = \dfrac{h}{d} \Rightarrow d = h\sqrt{3}$।
ভৱনৰ গুৰিৰ পৰা স্তম্ভৰ আগ লৈ — $\tan 60° = \dfrac{50}{d} \Rightarrow d = \dfrac{50}{\sqrt{3}}$।
$$h\sqrt{3} = \dfrac{50}{\sqrt{3}} \Rightarrow h = \dfrac{50}{3} \text{ m} = 16\dfrac{2}{3} \text{ m}$$
সেয়ে ভৱনৰ উচ্চতা $\boxed{\dfrac{50}{3}}$ m $\approx 16.67$ m।
প্ৰশ্ন ১০। এটা $80$ m বহল ৰাস্তাৰ দুয়োপাৰে দুটা সমান উচ্চতাৰ স্তম্ভ থিয় কৰা আছে। দুয়োটা স্তম্ভৰ মাজৰ ৰাস্তাৰ এটা বিন্দুৰ পৰা স্তম্ভ দুটাৰ আগৰ উন্নতি কোণ ক্ৰমে $60°$ আৰু $30°$। স্তম্ভ দুটাৰ উচ্চতা আৰু বিন্দুৰ পৰা ইহঁতৰ অৱস্থানৰ দূৰত্ব নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ ধৰোঁ বিন্দু $P$, প্ৰথম স্তম্ভৰ গুৰিৰ পৰা $P$ ৰ দূৰত্ব $x$ m, সেয়ে দ্বিতীয় স্তম্ভৰ গুৰিৰ পৰা $P$ ৰ দূৰত্ব $(80-x)$ m। স্তম্ভৰ উচ্চতা $h$।
$60°$ ফালে — $\tan 60° = \dfrac{h}{x} \Rightarrow h = x\sqrt{3}$।
$30°$ ফালে — $\tan 30° = \dfrac{h}{80-x} \Rightarrow h = \dfrac{80-x}{\sqrt{3}}$।
$$x\sqrt{3} = \dfrac{80-x}{\sqrt{3}} \Rightarrow 3x = 80 – x \Rightarrow 4x = 80 \Rightarrow x = 20 \text{ m}$$
$$h = 20\sqrt{3} \text{ m}$$
সেয়ে স্তম্ভৰ উচ্চতা $\boxed{20\sqrt{3}}$ m $\approx 34.64$ m, আৰু $P$ ৰ পৰা স্তম্ভ দুটাৰ দূৰত্ব ক্ৰমে $\boxed{20}$ m আৰু $\boxed{60}$ m।
প্ৰশ্ন ১১। এটা সমান বহলৰ খালৰ এটা পাৰৰ ওপৰত এটা TV টাৱাৰ থিয় কৰি ৰখা আছে। টাৱাৰৰ ঠিক বিপৰীত পাৰৰ এটা বিন্দুৰ পৰা টাৱাৰৰ ওপৰৰ উন্নতি কোণ $60°$ আৰু সেই বিন্দুৰ পৰা প্ৰথম পাৰৰ ৰেখাত $20$ m দূৰত্বৰ আন এটা বিন্দুৰ পৰা একে টাৱাৰৰ ওপৰৰ উন্নতি কোণ $30°$। টাৱাৰৰ উচ্চতা আৰু খালৰ বহল নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ ধৰোঁ টাৱাৰৰ গুৰি $A$, টাৱাৰৰ ওপৰ $B$, খালৰ বিপৰীত পাৰৰ বিন্দু $C$, $C$ৰ পৰা $20$ m দূৰৰ বিন্দু $D$। খালৰ বহল $AC = w$, টাৱাৰ $AB = h$।
$C$ ৰ পৰা — $\tan 60° = \dfrac{h}{w} \Rightarrow h = w\sqrt{3}$।
$D$ ৰ পৰা — $\tan 30° = \dfrac{h}{w + 20} \Rightarrow h = \dfrac{w+20}{\sqrt{3}}$।
$$w\sqrt{3} = \dfrac{w+20}{\sqrt{3}} \Rightarrow 3w = w + 20 \Rightarrow w = 10 \text{ m}$$
$$h = 10\sqrt{3} \text{ m}$$
সেয়ে টাৱাৰৰ উচ্চতা $\boxed{10\sqrt{3}}$ m আৰু খালৰ বহল $\boxed{10}$ m।
প্ৰশ্ন ১২। $7$ m উচ্চতাৰ এটা ভৱনৰ ওপৰৰ পৰা এটা কেবল টাৱাৰৰ ওপৰৰ উন্নতি কোণ $60°$ আৰু সেই টাৱাৰৰ গুৰিৰ অৱনতি কোণ $45°$। টাৱাৰৰ উচ্চতা নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ ভৱনৰ আগ $P$, ভৱনৰ গুৰি $Q$, টাৱাৰৰ গুৰি $R$, টাৱাৰৰ ওপৰ $S$। $PQ = 7$ m, $QR = d$, $RS$ = টাৱাৰৰ মুঠ উচ্চতা $H$।
$45°$ অৱনতি ($P$ ৰ পৰা $R$ লৈ) — $\tan 45° = \dfrac{7}{d} \Rightarrow d = 7$ m।
$60°$ উন্নতি ($P$ ৰ পৰা $S$ লৈ): ভৱনৰ ওপৰৰ স্তৰৰ পৰা টাৱাৰৰ ওপৰৰ লৈ উলম্ব দূৰত্ব $= H – 7$।
$$\tan 60° = \dfrac{H – 7}{7} \Rightarrow \sqrt{3} = \dfrac{H-7}{7} \Rightarrow H – 7 = 7\sqrt{3} \Rightarrow H = 7 + 7\sqrt{3} = 7(\sqrt{3}+1) \text{ m}$$
সেয়ে টাৱাৰৰ মুঠ উচ্চতা $\boxed{7(\sqrt{3}+1)}$ m $\approx 19.12$ m।
প্ৰশ্ন ১৩। সমুদ্ৰৰ স্তৰৰ পৰা $75$ m উচ্চতাৰ এটা লাইটহাউছৰ ওপৰৰ পৰা দুখন জাহাজৰ অৱনতি কোণ ক্ৰমে $30°$ আৰু $45°$। যদি জাহাজ দুখন লাইটহাউছৰ একে ফালে এডাল সৰল ৰেখাত আছে, তেন্তে জাহাজ দুখনৰ মাজৰ দূৰত্ব নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ ধৰোঁ লাইটহাউছৰ ওপৰ $A$, গুৰি $B$, ওচৰৰ জাহাজ $P$, দূৰৰ জাহাজ $Q$। $AB = 75$ m। অৱনতি কোণ আৰু উন্নতি কোণ একে।
$P$ ৰ ক্ষেত্ৰত — $\tan 45° = \dfrac{75}{BP} \Rightarrow BP = 75$ m।
$Q$ ৰ ক্ষেত্ৰত — $\tan 30° = \dfrac{75}{BQ} \Rightarrow BQ = 75\sqrt{3}$ m।
$$PQ = BQ – BP = 75\sqrt{3} – 75 = 75(\sqrt{3} – 1) \text{ m}$$
সেয়ে জাহাজ দুখনৰ মাজৰ দূৰত্ব $\boxed{75(\sqrt{3}-1)}$ m $\approx 54.9$ m।
প্ৰশ্ন ১৪। $1.2$ m উচ্চতাৰ এজনী ছোৱালী সমান্তৰাল ভূমিৰ ওপৰত থিয় হৈ আছে। এটা বেলুন বতাহৰ লগত উৰি ভূমিৰ পৰা $88.2$ m উচ্চতাত আছে। ছোৱালীজনীৰ চকুৰ পৰা বেলুনটোৰ উন্নতি কোণ যিকোনো ক্ষণত $60°$। কিছু সময়ৰ পিছত উন্নতি কোণ $30°$ হ’ল। এই সময়ছোৱাত বেলুনটোৱে অতিক্ৰম কৰা দূৰত্ব নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ চকুৰ স্তৰৰ পৰা বেলুনৰ লৈকে কাৰ্যকৰী উচ্চতা $= 88.2 – 1.2 = 87$ m।
প্ৰথম স্থিতি: $\tan 60° = \dfrac{87}{d_1} \Rightarrow d_1 = \dfrac{87}{\sqrt{3}} = 29\sqrt{3}$ m।
দ্বিতীয় স্থিতি: $\tan 30° = \dfrac{87}{d_2} \Rightarrow d_2 = 87\sqrt{3}$ m।
$$\text{অতিক্ৰম দূৰত্ব} = d_2 – d_1 = 87\sqrt{3} – 29\sqrt{3} = 58\sqrt{3} \text{ m}$$
সেয়ে বেলুনটোৱে অতিক্ৰম কৰা দূৰত্ব $\boxed{58\sqrt{3}}$ m $\approx 100.46$ m।
প্ৰশ্ন ১৫। এটা টাৱাৰৰ ওপৰৰ পৰা সমান বেগেৰে টাৱাৰৰ গুৰিৰ ফালে আহি থকা এখন কাৰৰ অৱনতি কোণ $30°$। ছয় ছেকেণ্ডৰ পিছত সেই কাৰখনৰ অৱনতি কোণ $60°$ হ’ল। সেই কাৰখনে টাৱাৰৰ গুৰিত উপস্থিত হ’বলৈ আৰু কিমান সময় ল’ব?
উত্তৰঃ ধৰোঁ টাৱাৰৰ উচ্চতা $h$, প্ৰথম অৱস্থান $A$ (অৱনতি $30°$), $6$ ছেকেণ্ড পিছৰ অৱস্থান $B$ (অৱনতি $60°$), গুৰি $C$।
$\tan 30° = \dfrac{h}{AC} \Rightarrow AC = h\sqrt{3}$।
$\tan 60° = \dfrac{h}{BC} \Rightarrow BC = \dfrac{h}{\sqrt{3}}$।
$$AB = AC – BC = h\sqrt{3} – \dfrac{h}{\sqrt{3}} = \dfrac{3h – h}{\sqrt{3}} = \dfrac{2h}{\sqrt{3}}$$
$AB$ অতিক্ৰম কৰিবলৈ $6$ ছেকেণ্ড লাগে, সেয়ে কাৰৰ বেগ $v = \dfrac{2h}{6\sqrt{3}} = \dfrac{h}{3\sqrt{3}}$।
$BC$ অতিক্ৰমৰ সময় $= \dfrac{BC}{v} = \dfrac{h/\sqrt{3}}{h/(3\sqrt{3})} = \dfrac{h}{\sqrt{3}} \times \dfrac{3\sqrt{3}}{h} = 3$ ছেকেণ্ড।
সেয়ে কাৰখনে গুৰিত উপস্থিত হ’বলৈ আৰু $\boxed{3}$ ছেকেণ্ড সময় ল’ব।
প্ৰশ্ন ১৬। এটা টাৱাৰৰ গুৰিৰ পৰা একে ৰেখাত $4$ m আৰু $9$ m দূৰত্বৰ দুটা বিন্দুৰ পৰা টাৱাৰৰ ওপৰৰ উন্নতি কোণ পৰিপূৰক (complementary)। প্ৰমাণ কৰা যে টাৱাৰৰ উচ্চতা $6$ m।
উত্তৰঃ ধৰোঁ টাৱাৰৰ গুৰি $A$, ওপৰ $D$, $AD = h$। বিন্দু $B$ ত $AB = 4$ m, কোণ $\angle ABD = (90°-\theta)$ আৰু বিন্দু $C$ ত $AC = 9$ m, কোণ $\angle ACD = \theta$ (পৰিপূৰক)।
$B$ ৰ পৰা — $\tan(90°-\theta) = \dfrac{h}{4} \Rightarrow \cot\theta = \dfrac{h}{4}$।
$C$ ৰ পৰা — $\tan\theta = \dfrac{h}{9}$।
আমি জানো $\tan\theta \cdot \cot\theta = 1$, সেয়ে —
$$\dfrac{h}{9} \times \dfrac{h}{4} = 1 \Rightarrow h^2 = 36 \Rightarrow h = 6 \text{ m}$$
সেয়ে টাৱাৰৰ উচ্চতা $\boxed{6}$ m। (প্ৰমাণিত)
অতিৰিক্ত প্ৰশ্ন আৰু উত্তৰ (Additional Questions)
বহু-বিকল্প প্ৰশ্ন (MCQ)
১। এজন পৰ্যবেক্ষকে এটা বস্তু ওপৰত চাবলৈ তেওঁৰ মূৰ ওপৰলৈ তুলিব লগা হ’ল। দৃষ্টিৰেখা আৰু সমান্তৰাল ভূমিৰ মাজৰ কোণটোক বোলে — (ক) অৱনতি কোণ (খ) উন্নতি কোণ (গ) সমকোণ (ঘ) সূক্ষ্ম কোণ
উত্তৰঃ (খ) উন্নতি কোণ।
২। উন্নতি আৰু অৱনতি কোণ কেতিয়াও কোনৰ পৰা জোখা হয়? (ক) উলম্ব (খ) সমান্তৰাল (গ) দৃষ্টিৰেখা (ঘ) মূৰৰ পৰা
উত্তৰঃ (খ) সমান্তৰাল।
৩। $20$ m দূৰত্বৰ এটা টাৱাৰৰ উন্নতি কোণ $60°$ হ’লে টাৱাৰৰ উচ্চতা — (ক) $20\sqrt{3}$ m (খ) $20/\sqrt{3}$ m (গ) $40$ m (ঘ) $10\sqrt{3}$ m
উত্তৰঃ (ক) $20\sqrt{3}$ m, কাৰণ $\tan 60° = h/20 \Rightarrow h = 20\sqrt{3}$।
৪। লাইটহাউছৰ ওপৰৰ পৰা সমুদ্ৰত থকা জাহাজৰ অৱনতি কোণ $\theta$, জাহাজৰ পৰা লাইটহাউছৰ ওপৰৰ উন্নতি কোণ — (ক) $90°-\theta$ (খ) $\theta$ (গ) $90°$ (ঘ) $180°-\theta$
উত্তৰঃ (খ) $\theta$ (একান্তৰ কোণৰ ধৰ্ম)।
৫। উন্নতি কোণ $30°$ ৰ পৰা $60°$ লৈ বঢ়িলে পৰ্যবেক্ষকৰ পৰা বস্তুৰ দূৰত্ব — (ক) বাঢ়িল (খ) কমিল (গ) সমান (ঘ) দ্বিগুণ
উত্তৰঃ (খ) কমিল (পৰ্যবেক্ষক বস্তুৰ ওচৰ চাপি গৈছে)।
খালী ঠাই পূৰণ কৰা
১। পৰ্যবেক্ষকৰ চকুৰ পৰা বস্তুৰ লৈকে অংকন কৰা ৰেখাটোক ___________ বুলি কোৱা হয়। উত্তৰঃ দৃষ্টিৰেখা।
২। বস্তু পৰ্যবেক্ষকৰ চকুৰ স্তৰতকৈ ওপৰত থাকিলে ___________ কোণ গঠন হয়। উত্তৰঃ উন্নতি।
৩। $\tan 45° = $ ___________। উত্তৰঃ $1$।
৪। $30°$ আৰু $60°$ পৰস্পৰ ___________ কোণ। উত্তৰঃ পৰিপূৰক।
সঁচা/মিছা
১। উন্নতি কোণ সদায় উলম্ব ৰেখাৰ পৰা জোখা হয়। উত্তৰঃ মিছা।
২। অৱনতি কোণ আৰু উন্নতি কোণ একে দুটা বিন্দুৰ মাজত সমান। উত্তৰঃ সঁচা।
৩। উন্নতি কোণ $90°$ হ’বই নোৱাৰে। উত্তৰঃ সঁচা ($90°$ হ’লে দৃষ্টিৰেখা উলম্ব হৈ যায়)।
সংক্ষিপ্ত উত্তৰৰ প্ৰশ্ন
১। উন্নতি কোণ আৰু অৱনতি কোণৰ মাজত পাৰ্থক্য লিখা।
উত্তৰঃ বস্তু পৰ্যবেক্ষকৰ চকুৰ স্তৰৰ ওপৰত হ’লে উৎপন্ন হোৱা কোণ উন্নতি কোণ; বস্তু চকুৰ স্তৰৰ তলত হ’লে উৎপন্ন হোৱা কোণ অৱনতি কোণ। দুয়োটাই সমান্তৰাল ৰেখাৰ পৰা জোখা হয়।
২। এটা $50$ m উচ্চ টাৱাৰৰ ওপৰৰ পৰা মাটিত থকা এটা বিন্দুৰ অৱনতি কোণ $45°$। সেই বিন্দুৰ পৰা টাৱাৰৰ গুৰিৰ দূৰত্ব নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ $\tan 45° = 50/d \Rightarrow d = 50$ m।
৩। যদি এটা স্তম্ভৰ ছায়াৰ দৈৰ্ঘ্য স্তম্ভৰ উচ্চতাৰ সমান হয়, তেন্তে সূৰ্যৰ উন্নতি কোণ কিমান?
উত্তৰঃ $\tan\theta = h/h = 1 \Rightarrow \theta = 45°$।
৪। এটা ভৱনৰ ছায়া ভৱনৰ উচ্চতাতকৈ $\sqrt{3}$ গুণ দীঘল। সূৰ্যৰ উন্নতি কোণ নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ $\tan\theta = h/(h\sqrt{3}) = 1/\sqrt{3} \Rightarrow \theta = 30°$।
৫। $100$ m উচ্চ এটা পাহাৰৰ ওপৰৰ পৰা সমুদ্ৰত থকা এখন জাহাজৰ অৱনতি কোণ $30°$। জাহাজৰ পৰা পাহাৰৰ গুৰিৰ দূৰত্ব নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ $\tan 30° = 100/d \Rightarrow d = 100\sqrt{3}$ m $\approx 173.2$ m।
শব্দাৰ্থ (Glossary)
| অসমীয়া পৰিভাষা | English Term | সংজ্ঞা / Definition |
|---|---|---|
| দৃষ্টিৰেখা | Line of Sight | পৰ্যবেক্ষকৰ চকুৰ পৰা বস্তুৰ লৈকে অংকন কৰা ক’ল্পনিক সৰল ৰেখা। |
| উন্নতি কোণ | Angle of Elevation | বস্তু চকুৰ স্তৰৰ ওপৰত থাকিলে দৃষ্টিৰেখা আৰু সমান্তৰালৰ মাজৰ কোণ। |
| অৱনতি কোণ | Angle of Depression | বস্তু চকুৰ স্তৰৰ তলত থাকিলে দৃষ্টিৰেখা আৰু সমান্তৰালৰ মাজৰ কোণ। |
| সমান্তৰাল | Horizontal | ভূমিৰ সৈতে সমান্তৰালভাৱে থকা ৰেখা বা স্তৰ। |
| উলম্ব | Vertical | সমান্তৰালৰ লগত $90°$ কোণ কৰা ৰেখা। |
| পৰিপূৰক কোণ | Complementary Angles | যোগফল $90°$ হোৱা দুটা কোণ। |
| সমকোণী ত্ৰিভুজ | Right Triangle | এটা কোণ $90°$ থকা ত্ৰিভুজ। |
| অতিভুজ | Hypotenuse | সমকোণী ত্ৰিভুজত সমকোণৰ বিপৰীত বাহু (আটাইতকৈ দীঘল)। |
| লম্ব | Perpendicular / Opposite | সূক্ষ্ম কোণৰ বিপৰীত বাহু। |
| ভূমি | Base / Adjacent | সূক্ষ্ম কোণৰ সংলগ্ন বাহু (অতিভুজ নহয়)। |
| লাইটহাউছ | Lighthouse | সাগৰৰ পাৰৰ ওপৰত থকা পোহৰৰ সংকেত স্তম্ভ। |
| পেডেষ্টেল | Pedestal | প্ৰতিমা বা মূৰ্তি থিয় কৰি ৰখা ভিত্তি। |
| প্ৰচাৰ স্তম্ভ | Transmission Tower | সংকেত / সম্প্ৰচাৰৰ বাবে ব্যৱহৃত উচ্চ ধাতুৰ স্তম্ভ। |
পৰীক্ষাৰ ইংগিত (ASSEB Exam Tips)
- প্ৰতিটো প্ৰশ্নৰ ক্ষেত্ৰত আগতে এটা পৰিষ্কাৰ সমকোণী ত্ৰিভুজৰ চিত্ৰ অংকন কৰা — চিত্ৰৰ বাবে এক/দুই নম্বৰ সদায়ে পোৱা যায়।
- উন্নতি / অৱনতি কোণ ভূল ঠাইত নাৰাখিব — সমান্তৰাল ৰেখাৰ ওপৰত হে চিহ্নিত কৰা।
- মান প্ৰতিস্থাপনৰ সময়ত $\sqrt{3}$ ৰ মান অনুমান কৰাত $\sqrt{3}\approx 1.732$ ব্যৱহাৰ কৰা।
- উত্তৰ যেতিয়া $\sqrt{3}$ বা ভগ্নাংশযুক্ত আকাৰত থাকে, এটাকৈ বাকী মানক দশমিক আকাৰত প্ৰকাশ কৰিলে অতিৰিক্ত নম্বৰ পোৱা যায়।
- একে চিত্ৰত একাধিক কোণ থাকিলে চিন্তা কৰি দুটা ত্ৰিভুজ পৃথক কৰা — এটা চলকক আৰু এটা ত্ৰিভুজত প্ৰকাশ কৰি বাকীটোত প্ৰতিস্থাপন কৰাটোৱেই কৌশল।
- প্ৰশ্ন ১৬-ৰ ধৰণৰ “পৰিপূৰক কোণ” সম্পৰ্কীয় প্ৰমাণমূলক প্ৰশ্ন প্ৰায় পৰীক্ষাত আহে — $\tan\theta\cdot\cot\theta = 1$ অভেদৰ ব্যৱহাৰ মনত ৰাখিব।
অতিৰিক্ত সমাধান কৰা প্ৰশ্ন (Additional Worked Problems — ASSEB pattern)
তলত ASSEB HSLC বোৰ্ডৰ পূৰ্বৰ প্ৰশ্নকাকতৰ আৰ্হিত সংকলিত আৰু সম্ভাৱ্য আদৰ্শ প্ৰশ্নসমূহৰ সমাধান প্ৰস্তুত কৰা হৈছে। প্ৰতিটো প্ৰশ্নৰ লগত সমকোণী ত্ৰিভুজৰ চিত্ৰ আৰু সম্পূৰ্ণ পদক্ষেপ দিয়া হৈছে।
অতিৰিক্ত প্ৰশ্ন ১। এটা $100$ মিটাৰ উচ্চ পাহাৰৰ ওপৰৰ পৰা দেখা পোৱা সমান্তৰাল ভূমিৰ এটা বিন্দুৰ অৱনতি কোণ $30°$। সেই বিন্দুৰ পৰা পাহাৰৰ গুৰিৰ দূৰত্ব কিমান?
উত্তৰঃ পাহাৰৰ ওপৰ $A$, গুৰি $B$, ভূমি বিন্দু $P$। $AB = 100$ m, $\angle APB = 30°$ (অৱনতি = উন্নতি)।
$$\tan 30° = \dfrac{AB}{BP} \Rightarrow \dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{100}{BP} \Rightarrow BP = 100\sqrt{3} \text{ m} \approx 173.2 \text{ m}$$
পাহাৰৰ গুৰিৰ পৰা বিন্দুটোৰ দূৰত্ব $\boxed{100\sqrt{3}}$ m।
অতিৰিক্ত প্ৰশ্ন ২। মাটিৰ পৰা $30$ m উচ্চ এটা ভৱনৰ ওপৰৰ পৰা মাটিত থকা এটা গাড়ীৰ অৱনতি কোণ $60°$। কিছু সময় পিছত গাড়ীখন ভৱনৰ ফালে আগবাঢ়িল আৰু অৱনতি কোণ $45°$ হ’ল। গাড়ীখনে অতিক্ৰম কৰা দূৰত্ব নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ ভৱনৰ ওপৰ $T$, গুৰি $B$, প্ৰথম অৱস্থান $A_1$ (অৱনতি $45°$), পিছৰ অৱস্থান $A_2$ (অৱনতি $60°$)। $TB = 30$ m।
$\tan 45° = \dfrac{30}{BA_1} \Rightarrow BA_1 = 30$ m।
$\tan 60° = \dfrac{30}{BA_2} \Rightarrow BA_2 = \dfrac{30}{\sqrt{3}} = 10\sqrt{3}$ m।
$$A_1A_2 = BA_1 – BA_2 = 30 – 10\sqrt{3} = 10(3 – \sqrt{3}) \text{ m}$$
গাড়ীখনে অতিক্ৰম কৰা দূৰত্ব $\boxed{10(3-\sqrt{3})}$ m $\approx 12.68$ m।
অতিৰিক্ত প্ৰশ্ন ৩। সমান্তৰাল ভূমিৰ ওপৰত থিয় হৈ থকা এটা স্তম্ভৰ ছায়া তাৰ উচ্চতাতকৈ $\sqrt{3}$ গুণ দীঘল। সূৰ্যৰ উন্নতি কোণ নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ ধৰোঁ স্তম্ভৰ উচ্চতা $h$, ছায়া $\sqrt{3}h$, সূৰ্যৰ উন্নতি কোণ $\theta$।
$$\tan\theta = \dfrac{h}{\sqrt{3}h} = \dfrac{1}{\sqrt{3}} \Rightarrow \theta = 30°$$
সেয়ে সূৰ্যৰ উন্নতি কোণ $\boxed{30°}$।
অতিৰিক্ত প্ৰশ্ন ৪। এটা ভৱনৰ ওপৰৰ পৰা $20$ m দূৰত্বত থকা এটা স্তম্ভৰ ওপৰৰ আগৰ উন্নতি কোণ $45°$ আৰু সেই স্তম্ভৰ গুৰিৰ অৱনতি কোণ $60°$। ভৱনৰ উচ্চতা আৰু স্তম্ভৰ উচ্চতা নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ ভৱনৰ আগ $A$, গুৰি $G$, স্তম্ভৰ গুৰি $B$, ওপৰ $C$। আনুভূমিক দূৰত্ব $GB = 20$ m। ভৱনৰ উচ্চতা $h_b$, স্তম্ভৰ উচ্চতা $h_p$।
$60°$ অৱনতি — $\tan 60° = \dfrac{h_b}{20} \Rightarrow h_b = 20\sqrt{3}$ m।
$45°$ উন্নতি — $\tan 45° = \dfrac{h_p – h_b}{20} \Rightarrow h_p – h_b = 20$ m।
সেয়ে স্তম্ভৰ উচ্চতা $h_p = 20\sqrt{3} + 20 = 20(\sqrt{3}+1)$ m $\approx 54.64$ m।
ভৱন $\boxed{20\sqrt{3}}$ m, স্তম্ভ $\boxed{20(\sqrt{3}+1)}$ m।
অতিৰিক্ত প্ৰশ্ন ৫। মাটিৰ এটা বিন্দুৰ পৰা $h$ মিটাৰ উচ্চতাৰ এটা টাৱাৰৰ ওপৰৰ আগৰ উন্নতি কোণ $30°$। সেই বিন্দুৰ পৰা টাৱাৰৰ ফালে $20$ m খোজ কাঢ়িলে উন্নতি কোণ $60°$ হয়। টাৱাৰৰ উচ্চতা নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ ধৰোঁ পিছৰ অৱস্থানৰ পৰা টাৱাৰৰ গুৰিৰ দূৰত্ব $d$। আগৰ অৱস্থানৰ পৰা $d+20$।
$\tan 60° = \dfrac{h}{d} \Rightarrow d = \dfrac{h}{\sqrt{3}}$।
$\tan 30° = \dfrac{h}{d+20} \Rightarrow d + 20 = h\sqrt{3}$।
$$h\sqrt{3} – \dfrac{h}{\sqrt{3}} = 20 \Rightarrow \dfrac{3h – h}{\sqrt{3}} = 20 \Rightarrow \dfrac{2h}{\sqrt{3}} = 20 \Rightarrow h = 10\sqrt{3} \text{ m}$$
টাৱাৰৰ উচ্চতা $\boxed{10\sqrt{3}}$ m $\approx 17.32$ m।
অতিৰিক্ত প্ৰশ্ন ৬। এটা পাহাৰৰ ওপৰৰ পৰা মাটিৰ এটা বিন্দুৰ অৱনতি কোণ $60°$ আৰু সেই একে বিন্দুৰ পৰা পাহাৰৰ ফালে $50$ m গৈ পোৱা আন এটা বিন্দুৰ অৱনতি কোণ $30°$ — যিটো বিন্দু পাহাৰৰ গুৰিৰ পৰা দূৰৈত আছে। পাহাৰৰ উচ্চতা নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ ধৰোঁ পাহাৰৰ ওপৰ $T$, গুৰি $B$, ওচৰৰ বিন্দু $P_1$, দূৰৰ বিন্দু $P_2$। $P_1P_2 = 50$ m, $TB = h$।
$\tan 60° = \dfrac{h}{BP_1} \Rightarrow BP_1 = \dfrac{h}{\sqrt{3}}$।
$\tan 30° = \dfrac{h}{BP_2} \Rightarrow BP_2 = h\sqrt{3}$।
$$P_1P_2 = BP_2 – BP_1 = h\sqrt{3} – \dfrac{h}{\sqrt{3}} = \dfrac{2h}{\sqrt{3}} = 50$$
$$h = \dfrac{50\sqrt{3}}{2} = 25\sqrt{3} \text{ m} \approx 43.30 \text{ m}$$
পাহাৰৰ উচ্চতা $\boxed{25\sqrt{3}}$ m।
অতিৰিক্ত প্ৰশ্ন ৭। এটা গছৰ গুৰিৰ পৰা $20$ m দূৰত্বৰ এটা বিন্দুৰ পৰা গছৰ আগৰ উন্নতি কোণ $30°$। গছৰ উচ্চতা নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ
$$\tan 30° = \dfrac{h}{20} \Rightarrow h = \dfrac{20}{\sqrt{3}} = \dfrac{20\sqrt{3}}{3} \approx 11.55 \text{ m}$$
সেয়ে গছৰ উচ্চতা $\boxed{\dfrac{20\sqrt{3}}{3}}$ m।
অতিৰিক্ত প্ৰশ্ন ৮। দুটা ভৱনৰ মাজৰ দূৰত্ব $50$ m। সৰু ভৱনৰ ওপৰৰ পৰা ডাঙৰ ভৱনৰ ওপৰৰ উন্নতি কোণ $30°$ আৰু ডাঙৰ ভৱনৰ গুৰিৰ অৱনতি কোণ $45°$। দুয়োটা ভৱনৰ উচ্চতা নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ ধৰোঁ সৰু ভৱনৰ উচ্চতা $h_1$, ডাঙৰৰ উচ্চতা $h_2$।
$\tan 45° = \dfrac{h_1}{50} \Rightarrow h_1 = 50$ m।
$\tan 30° = \dfrac{h_2 – h_1}{50} \Rightarrow h_2 – 50 = \dfrac{50}{\sqrt{3}} = \dfrac{50\sqrt{3}}{3}$।
$$h_2 = 50 + \dfrac{50\sqrt{3}}{3} = \dfrac{150 + 50\sqrt{3}}{3} = \dfrac{50(3+\sqrt{3})}{3} \text{ m}$$
সৰু ভৱন $\boxed{50}$ m, ডাঙৰ ভৱন $\boxed{\dfrac{50(3+\sqrt{3})}{3}}$ m $\approx 78.87$ m।
অতিৰিক্ত প্ৰশ্ন ৯। এজন মানুহে এটা ভৱনৰ ওপৰৰ পৰা মাটিত থকা এটা বিন্দুৰ অৱনতি কোণ পৰীক্ষা কৰি $30°$ পালে। সেই মানুহজনে ভৱনৰ ওপৰত $10$ m তললৈ নামি গৈ পুনৰ অৱনতি কোণ $45°$ পালে। ভৱনৰ মুঠ উচ্চতা নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ ধৰোঁ ভৱনৰ উচ্চতা $h$, মানুহজনৰ পৰৱৰ্তী অৱস্থানৰ উচ্চতা $h-10$, বিন্দুৰ পৰা ভৱনৰ গুৰিৰ আনুভূমিক দূৰত্ব $d$।
প্ৰথম স্থিতি — $\tan 30° = \dfrac{h}{d} \Rightarrow d = h\sqrt{3}$।
দ্বিতীয় স্থিতি — $\tan 45° = \dfrac{h-10}{d} \Rightarrow d = h – 10$।
$$h\sqrt{3} = h – 10 \Rightarrow h(\sqrt{3} – 1) = -10 \Rightarrow h = \dfrac{-10}{\sqrt{3}-1}$$
ঋণাত্মক — অৰ্থাৎ মানুহ তললৈ নমাৰ ফলত নৈ আনুভূমিক দূৰত্ব ভিন্ন হ’ব নাপাৰে। বিভ্ৰান্তি এৰাবলৈ — পৰীক্ষা প্ৰশ্নৰ এই ধৰণৰ সংস্কৰণত সাধাৰণতে অৱনতি কোণ বঢ়ে (যিহেতু মানুহ তললৈ নমিলে কোণ ছোট হোৱাৰ কথা — ভুল প্ৰশ্ন প্ৰাচ ASSEB ছাঁপত উপস্থিত হ’বলৈ পাৰে)। সঠিক ক্ষেত্ৰত $30°$ ৰ পৰিৱৰ্তে $60°$ হ’ব।
অতিৰিক্ত প্ৰশ্ন ১০। এটা ৰাস্তাৰ মাজৰ এটা বিন্দুৰ পৰা ৰাস্তাৰ দুয়োপাৰে থকা দুটা একে উচ্চতাৰ স্তম্ভৰ আগৰ উন্নতি কোণ $30°$ আৰু $60°$। যদি স্তম্ভ দুটাৰ মাজৰ দূৰত্ব $100$ m হয়, তেন্তে স্তম্ভৰ উচ্চতা আৰু বিন্দুটোৰ অৱস্থান নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ অনুশীলনী 9.1 প্ৰশ্ন ১০ ৰ অনুৰূপ। ধৰোঁ বিন্দু $P$, $60°$ ফালে দূৰত্ব $x$, $30°$ ফালে দূৰত্ব $100-x$, উচ্চতা $h$।
$$h = x\sqrt{3} = \dfrac{100-x}{\sqrt{3}} \Rightarrow 3x = 100 – x \Rightarrow x = 25 \text{ m}, \quad h = 25\sqrt{3} \text{ m}$$
স্তম্ভৰ উচ্চতা $\boxed{25\sqrt{3}}$ m, বিন্দুৰ পৰা ক্ৰমে $25$ m আৰু $75$ m।
অতিৰিক্ত প্ৰশ্ন ১১। এটা সমান দীৰ্ঘতাৰ স্তম্ভ এটা ভৱনৰ ওপৰৰ পৰা $h$ m তলৈ আগ ওলাই আছে। ভৱনৰ গুৰিৰ পৰা $20$ m দূৰৰ এটা বিন্দুৰ পৰা স্তম্ভৰ আগৰ উন্নতি কোণ $60°$ আৰু ভৱনৰ আগৰ উন্নতি কোণ $45°$। স্তম্ভ আৰু ভৱনৰ উচ্চতা নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ ধৰোঁ ভৱনৰ উচ্চতা $H$ আৰু স্তম্ভৰ উচ্চতা $h$ (ভৱনৰ ওপৰত)।
$\tan 45° = \dfrac{H}{20} \Rightarrow H = 20$ m।
$\tan 60° = \dfrac{H+h}{20} \Rightarrow 20 + h = 20\sqrt{3} \Rightarrow h = 20(\sqrt{3}-1)$ m।
ভৱনৰ উচ্চতা $\boxed{20}$ m, স্তম্ভৰ উচ্চতা $\boxed{20(\sqrt{3}-1)}$ m।
অতিৰিক্ত প্ৰশ্ন ১২। এটা পাৰ্কৰ মাজত এটা ফাউণ্টেইন আছে। পাৰ্কৰ এটা পাৰৰ পৰা ফাউণ্টেইনৰ আগৰ উন্নতি কোণ $30°$ আৰু সেইটোৰ পৰা $40$ m কাষ চাপি গ’লে কোণ $60°$ হৈ যায়। ফাউণ্টেইনৰ উচ্চতা নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ অনুৰূপ পদ্ধতিৰে $\dfrac{2h}{\sqrt{3}} = 40 \Rightarrow h = 20\sqrt{3}$ m। সেয়ে ফাউণ্টেইনৰ উচ্চতা $\boxed{20\sqrt{3}}$ m।
সম্পৰ্কীয় ধাৰণা: পৰিপূৰক কোণ আৰু একান্তৰ কোণ
চিত্ৰাংকন এই অধ্যায়ৰ মূল কথা। তলৰ এই দুই-ৰেখাৰ চিত্ৰটোৱে অৱনতি আৰু উন্নতি কোণৰ সমতা স্পষ্ট কৰে।
এই চিত্ৰত $A$-ৰ পৰা $B$ চাবলৈ অৱনতি কোণ $\alpha$, আৰু $B$-ৰ পৰা $A$ চাবলৈ উন্নতি কোণো $\alpha$ (সমান্তৰাল ৰেখা ছেদকৰ একান্তৰ কোণ সমান)। এই কাৰণে অধ্যায়ৰ অনেক প্ৰশ্নত অৱনতি কোণৰ স্থানত উন্নতি কোণৰ সমান মান লৈ গণনা কৰিব পাৰি।
সাধাৰণ ভুল আৰু সাৱধানতা (Common Mistakes)
- কোণৰ অৱস্থান ভুল — ছাত্ৰসকলে প্ৰায়ে অৱনতি কোণ উলম্ব ৰেখাৰ পৰা চিহ্নিত কৰে; কিন্তু ই সদায় সমান্তৰাল ৰেখাৰ পৰা।
- উচ্চতা/দূৰত্ব ভুল প্ৰতিস্থাপন — কোণৰ সাপেক্ষে বিপৰীত আৰু সংলগ্ন বাহু পাৰ্থক্য কৰি ল’ব লাগে।
- $\sqrt{3}$ ৰ ৰেচিওনালাইজেশন — $\dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$ আকাৰত লিখি ল’লে দশমিকৰ গণনা সহজ হয়।
- চকুৰ স্তৰ যোগ-বিয়োগ — পৰ্যবেক্ষকৰ উচ্চতা থাকিলে (যেনে প্ৰশ্ন ৬, ১৪) সেই উচ্চতা মূল উচ্চতাৰ পৰা বিয়োগ কৰিহে কাৰ্যকৰী উচ্চতা পাব।
- একক একে ৰাখা — সকলো জোখ মিটাৰত (m) ৰাখক, লগতে চূড়ান্ত উত্তৰ মিটাৰতেই দিয়ক যদি প্ৰশ্নই অন্য একক বিচৰা নাই।
আৰু কিছু MCQ — অভ্যাসৰ বাবে
৬। সূৰ্য পূৱৰ পৰা ওপৰলৈ উঠিলে এটা স্তম্ভৰ ছায়া — (ক) কমে (খ) বাঢ়ে (গ) সমান থাকে (ঘ) শূন্য হৈ যায়
উত্তৰঃ (ক) কমে — কাৰণ উন্নতি কোণ বঢ়াৰ লগে লগে $\tan\theta$ বাঢ়ে আৰু ছায়া $h/\tan\theta$ কমে।
৭। $30°$ উন্নতি কোণৰ ক্ষেত্ৰত $\tan 30°$ ৰ মান — (ক) $\sqrt{3}$ (খ) $1$ (গ) $1/\sqrt{3}$ (ঘ) $0$
উত্তৰঃ (গ) $1/\sqrt{3}$।
৮। এটা স্তম্ভৰ উচ্চতা $h$ আৰু এটা বিন্দুৰ পৰা উন্নতি কোণ $45°$। বিন্দু আৰু স্তম্ভৰ গুৰিৰ দূৰত্ব — (ক) $h$ (খ) $h\sqrt{3}$ (গ) $h/\sqrt{3}$ (ঘ) $2h$
উত্তৰঃ (ক) $h$।
৯। লাইটহাউছৰ পৰা সমুদ্ৰৰ এখন জাহাজৰ অৱনতি কোণ $30°$ ৰ পৰা $45°$ লৈ বঢ়িল। জাহাজখন — (ক) লাইটহাউছৰ ওচৰলৈ আহিল (খ) দূৰলৈ গ’ল (গ) থিৰ আছে (ঘ) উৰি গ’ল
উত্তৰঃ (ক) লাইটহাউছৰ ওচৰলৈ আহিল।
১০। যদি এটা স্তম্ভ মাটিত $h$ m উচ্চ আৰু পৰ্যবেক্ষকৰ উন্নতি কোণ $60°$ হয়, তেন্তে পৰ্যবেক্ষক আৰু গুৰিৰ দূৰত্ব — (ক) $h$ (খ) $h\sqrt{3}$ (গ) $h/\sqrt{3}$ (ঘ) $2h$
উত্তৰঃ (গ) $h/\sqrt{3}$ — কাৰণ $\tan 60° = h/d$।
মুখ্য সূত্ৰৰ সাৰাংশ (Formula Summary)
| সমস্যাৰ ধৰণ | প্ৰয়োগ কৰিব লগা সূত্ৰ |
|---|---|
| উচ্চতা আৰু আনুভূমিক দূৰত্ব দুয়ো | $\tan\theta = \dfrac{\text{উচ্চতা}}{\text{দূৰত্ব}}$ |
| উচ্চতা আৰু অতিভুজ (যেনে ৰছি, সূতা) | $\sin\theta = \dfrac{\text{উচ্চতা}}{\text{অতিভুজ}}$ |
| আনুভূমিক দূৰত্ব আৰু অতিভুজ | $\cos\theta = \dfrac{\text{দূৰত্ব}}{\text{অতিভুজ}}$ |
| পৰিপূৰক কোণ ($\theta + \phi = 90°$) | $\tan\theta \cdot \tan\phi = 1$ আৰু $\sin\theta = \cos\phi$ |
| অৱনতি ↔ উন্নতি (একে দুটা বিন্দু) | $\angle_{\text{অৱনতি}} = \angle_{\text{উন্নতি}}$ (একান্তৰ) |
| $\sqrt{3}$ ৰ আনুমানিক মান | $\sqrt{3} \approx 1.732$, $1/\sqrt{3} \approx 0.577$ |
প্ৰতিদিনৰ জীৱনত ত্ৰিকোণমিতিৰ প্ৰয়োগ (Real-world Applications)
উচ্চতা আৰু দূৰত্বৰ সমস্যাবোৰ কেৱল পাঠ্যপুথিৰ অভ্যাস নহয় — বাস্তৱ জীৱনৰ অসংখ্য ক্ষেত্ৰত এই ধাৰণাবোৰ ব্যৱহাৰ হয়। তলত কিছুমান উদাহৰণ —
- স্থপত্যবিদ্যা (Architecture) — ভৱনৰ উচ্চতা, ছাদৰ ঢাল আৰু খিৰিকীৰ পৰা দেখা পোৱা দৃষ্টিৰেখাৰ পৰিকল্পনা ত্ৰিকোণমিতিৰ ভিত্তিত হয়।
- নেভিগেশন (Navigation) — সাগৰত জাহাজে আৰু আকাশত উৰাজাহাজে নিজৰ স্থান নিৰ্ধাৰণ কৰিবলৈ ত্ৰিকোণমিতিক গণনা ব্যৱহাৰ কৰে। GPS-প্ৰৱৰ্তনৰ আগতে লাইটহাউছ আৰু ষ্টাৰ-ছাইটিং পদ্ধতি ত্ৰিকোণমিতিৰ ওপৰতেই নিৰ্ভৰশীল আছিল।
- সমীক্ষণ (Surveying) — মাটি জোখা, পৰ্বতৰ উচ্চতা নিৰ্ণয়, নৈৰ বহল পৰিমাপ — এই সকলোতে থিওডোলাইট নামৰ যন্ত্ৰ আৰু ত্ৰিকোণমিতি ব্যৱহাৰ কৰা হয়।
- জ্যোতিৰ্বিজ্ঞান (Astronomy) — তৰাৰ পৰা পৃথিৱীৰ দূৰত্ব, গ্ৰহৰ আকাৰ আৰু চন্দ্ৰ-পৃথিৱীৰ দূৰত্ব আদি ত্ৰিকোণমিতি (পেৰালেক্স পদ্ধতি)ৰ সহায়ত নিৰ্ণয় কৰা হয়।
- খেলধেমা (Sports) — গল্ফ বা ক্ৰিকেটৰ বল কোন কোণত মাৰিলে কিমান দূৰ যাব, বাষ্কেটবল হুপত পেলাবলৈ কোন কোণ লাগে — এই সকলোতেই ত্ৰিকোণমিতিৰ প্ৰয়োগ আছে।
- পদাৰ্থ বিজ্ঞান (Physics) — প্ৰক্ষেপণৰ পথ (projectile motion), আনত পৃষ্ঠ (inclined plane), আলোকৰ প্ৰতিসৰণ আদিত ত্ৰিকোণমিতিৰ সূত্ৰ অপৰিহাৰ্য।
ইতিহাসৰ পাত: ত্ৰিকোণমিতিৰ আৰম্ভণি
ত্ৰিকোণমিতিৰ ভেঁটি স্থাপন কৰোঁতা গ্ৰীক জ্যোতিৰ্বিজ্ঞানী হিপ্পাৰ্কাছ (Hipparchus, খ্ৰীষ্টপূৰ্ব ১৯০–১২০) ক প্ৰথম ত্ৰিকোণমিতিক টেবুল নিৰ্মাতা বুলি গণ্য কৰা হয়। ভাৰতীয় গণিতৰে আৰ্যভট্ট (৪৭৬–৫৫০ খ্ৰী) তেওঁৰ আৰ্যভটীয় গ্ৰন্থত $\sin\theta$ ৰ মান লোৱাৰ পদ্ধতি (ज्या-অৰ্ধজ্যা) প্ৰৱৰ্তন কৰিছিল। বৰাহমিহিৰ, ব্ৰহ্মগুপ্ত আৰু ভাস্কৰাচাৰ্য (II) এ ত্ৰিকোণমিতিৰ সংজ্ঞা আৰু সূত্ৰৰ বিস্তৃত বিকাশ কৰিছিল। মধ্যযুগৰ ইছলামিক গণিতবিদসকল আৰু পিছত ইউৰোপীয় গণিতবিদসকলে এই বিষয়টো বহল পৰিসৰৰ গণিতৰ এটা শাখালৈ বঢ়াই দিলে। উচ্চতা-দূৰত্ব সম্পৰ্কীয় বাস্তৱ সমস্যা সমাধানত ত্ৰিকোণমিতিৰ সফল প্ৰয়োগ ভাৰতীয় ৰেলপথ আৰু পৰ্বত-সমীক্ষণ (Great Trigonometric Survey of India, ১৮০২) ৰ সময়ত প্ৰচুৰভাৱে কৰা হৈছিল — সেই সমীক্ষণৰ ফলতেই মাউণ্ট এভাৰেষ্টৰ উচ্চতা প্ৰথম $8848$ m বুলি নিৰ্ণয় হৈছিল।
মূল কথা সাৰ-সংক্ষেপ (Quick Recap)
- দৃষ্টিৰেখা = পৰ্যবেক্ষকৰ চকুৰ পৰা বস্তুলৈ অংকন কৰা ক’ল্পনিক ৰেখা।
- উন্নতি কোণ — বস্তু ওপৰত, সমান্তৰাল ৰেখাৰ পৰা ওপৰলৈ জোখা।
- অৱনতি কোণ — বস্তু তলত, সমান্তৰাল ৰেখাৰ পৰা তললৈ জোখা।
- একে দুটা বিন্দুৰ মাজত উন্নতি = অৱনতি (একান্তৰ কোণ)।
- $\tan, \sin, \cos$ — কোনটো ব্যৱহাৰ কৰিব তাক বিচাৰিবলৈ — কোন বাহু জনা আছে আৰু কোনটো বিচাৰিব লাগে চাব লাগে।
- চিত্ৰ অংকন কৰাটো প্ৰথম পদক্ষেপ — চিত্ৰ ছাড়া উত্তৰ ভুল হোৱাৰ সম্ভাৱনা বেছি।
- শেষৰ উত্তৰ ৰেচিওনাল আকাৰত (যেনে $20\sqrt{3}$, $7(\sqrt{3}+1)$) আৰু লগতে দশমিক আকাৰত দিয়ক।
HSLC GURU-ত আৰু পঢ়ক: দশম শ্ৰেণীৰ গণিতৰ আন আন অধ্যায়ৰ সম্পূৰ্ণ সমাধানৰ বাবে আমাৰ ৱেবছাইটৰ Class 10 Mathematics বিভাগটো চাওক। আগৰ অধ্যায় ত্ৰিকোণমিতিৰ পৰিচয় ভালদৰে আয়ত্ত কৰি ল’লেহে এই অধ্যায়টো সহজ হ’ব। লগতে অনুশীলনী 9.1-ৰ আটাই ১৬টা প্ৰশ্নকে নিয়মিতভাৱে অনুশীলন কৰিলে ASSEB HSLC গণিত পৰীক্ষাত উচ্চতা আৰু দূৰত্ব সম্পৰ্কীয় প্ৰশ্নবোৰ অতি সহজে সমাধান কৰিব পাৰিব। প্ৰতিটো সমাধানৰ আগতে এটা পৰিষ্কাৰ সমকোণী ত্ৰিভুজ অংকন কৰাটো অভ্যাস কৰক — পৰীক্ষাত পূৰ্ণ নম্বৰ পোৱাৰ সেইটোৱেই আটাইতকৈ সিদ্ধ পদ্ধতি।