নমস্কাৰ প্ৰিয় শিক্ষাৰ্থী। HSLC GURU-লৈ আপোনাক স্বাগতম। এই পাঠটোত আমি ASSEB (Assam State School Education Board / SEBA) দশম শ্ৰেণীৰ গণিতৰ অষ্টম অধ্যায় — ত্ৰিকোণমিতিৰ পৰিচয় (Introduction to Trigonometry)-ৰ সম্পূৰ্ণ অধ্যয়ন কৰিম। এই অধ্যায়টো ASSEB পাঠ্যক্ৰমৰ এটা অতি গুৰুত্বপূৰ্ণ আৰু পৰীক্ষাত উচ্চ-মানৰ অধ্যায়। ইয়াত আমি সমকোণী ত্ৰিভুজৰ ভিত্তিত ছটা ত্ৰিকোণমিতিক অনুপাত (sin, cos, tan, cosec, sec, cot), মানক কোণৰ মান, পৰিপূৰক কোণৰ অনুপাত আৰু ত্ৰিকোণমিতিক অভেদসমূহ বিশদভাৱে শিকিম। অনুশীলনী 8.1, 8.2, 8.3, 8.4-ৰ সকলো প্ৰশ্নৰ পৰ্যায়ক্ৰমিক সমাধান, KaTeX-ত সজ্জিত গাণিতিক সূত্ৰ আৰু সমকোণী ত্ৰিভুজৰ SVG চিত্ৰৰ সৈতে প্ৰস্তুত কৰা হৈছে।

সাৰাংশ (Summary)

ত্ৰিকোণমিতি (Trigonometry) শব্দটো গ্ৰীক ভাষাৰ “tri” (তিনি), “gon” (কোণ) আৰু “metron” (জোখ) ৰ পৰা আহিছে। অৰ্থাৎ ত্ৰিকোণমিতি হৈছে ত্ৰিভুজৰ কোণ আৰু বাহুৰ মাজৰ সম্পৰ্ক অধ্যয়ন কৰা গণিতৰ এটা শাখা। সমকোণী ত্ৰিভুজৰ এটা সূক্ষ্ম কোণ $\theta$ ৰ সাপেক্ষে তিনিটা বাহু — লম্ব (Perpendicular, P), ভূমি (Base, B) আৰু অতিভুজ (Hypotenuse, H) — ৰ অনুপাতেৰে ছটা ত্ৰিকোণমিতিক অনুপাত সংজ্ঞায়িত কৰা হয়। মানক কোণ $0°, 30°, 45°, 60°, 90°$ ৰ মানসমূহ মুখস্থ কৰিব লাগে। পৰিপূৰক কোণৰ সম্পৰ্ক $\sin(90°-\theta)=\cos\theta$ আৰু তিনিটা মৌলিক অভেদ $\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$, $1+\tan^2\theta=\sec^2\theta$, $1+\cot^2\theta=\csc^2\theta$ এই অধ্যায়ৰ মূল কাঠামো।

Summary: Trigonometry studies relations between sides and angles of triangles. In a right triangle, with respect to an acute angle $\theta$, the three sides are perpendicular (opposite, P), base (adjacent, B) and hypotenuse (H). Six trigonometric ratios are defined: $\sin\theta$, $\cos\theta$, $\tan\theta$ and their reciprocals $\csc\theta$, $\sec\theta$, $\cot\theta$. Standard angles $0°, 30°, 45°, 60°, 90°$ have memorisable values. Complementary-angle relations like $\sin(90°-\theta)=\cos\theta$ and three Pythagorean identities $\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$, $1+\tan^2\theta=\sec^2\theta$, $1+\cot^2\theta=\csc^2\theta$ form the backbone of this chapter and are heavily tested in ASSEB HSLC examinations.

মূল সংজ্ঞা — সমকোণী ত্ৰিভুজ আৰু ত্ৰিকোণমিতিক অনুপাত

তলৰ চিত্ৰটোত সমকোণী ত্ৰিভুজ $\triangle ABC$ ত $\angle B = 90°$ আৰু $\angle A = \theta$। এই কোণ $\theta$ ৰ সাপেক্ষে —

• লম্ব (Perpendicular, P) = $BC$ (কোণ $\theta$ ৰ বিপৰীত বাহু)
• ভূমি (Base, B) = $AB$ (কোণ $\theta$ ৰ সংলগ্ন বাহু, সমকোণৰ এটা বাহু)
• অতিভুজ (Hypotenuse, H) = $AC$ (সমকোণৰ বিপৰীত বাহু, আটাইতকৈ দীঘল)

এই কোণ $\theta$ ৰ সাপেক্ষে ছটা ত্ৰিকোণমিতিক অনুপাত —

$$\sin\theta = \frac{\text{লম্ব}}{\text{অতিভুজ}} = \frac{P}{H} = \frac{BC}{AC}$$
$$\cos\theta = \frac{\text{ভূমি}}{\text{অতিভুজ}} = \frac{B}{H} = \frac{AB}{AC}$$
$$\tan\theta = \frac{\text{লম্ব}}{\text{ভূমি}} = \frac{P}{B} = \frac{BC}{AB}$$
$$\csc\theta = \frac{1}{\sin\theta} = \frac{H}{P}, \quad \sec\theta = \frac{1}{\cos\theta} = \frac{H}{B}, \quad \cot\theta = \frac{1}{\tan\theta} = \frac{B}{P}$$

পাৰস্পৰিক সম্পৰ্ক (Reciprocal Relations)

• $\sin\theta \cdot \csc\theta = 1$
• $\cos\theta \cdot \sec\theta = 1$
• $\tan\theta \cdot \cot\theta = 1$

ভাগফল সম্পৰ্ক (Quotient Relations)

$$\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}, \qquad \cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}$$

মানক কোণৰ ত্ৰিকোণমিতিক মানৰ তালিকা

তলৰ তালিকাত $0°, 30°, 45°, 60°, 90°$ মানক কোণৰ মান দিয়া হ’ল। এইসমূহ মুখস্থ কৰাটো অপৰিহাৰ্য —

অনুপাত	$0°$	$30°$	$45°$	$60°$	$90°$
$\sin\theta$	$0$	$\dfrac{1}{2}$	$\dfrac{1}{\sqrt{2}}$	$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	$1$
$\cos\theta$	$1$	$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	$\dfrac{1}{\sqrt{2}}$	$\dfrac{1}{2}$	$0$
$\tan\theta$	$0$	$\dfrac{1}{\sqrt{3}}$	$1$	$\sqrt{3}$	অসংজ্ঞায়িত
$\csc\theta$	অসংজ্ঞায়িত	$2$	$\sqrt{2}$	$\dfrac{2}{\sqrt{3}}$	$1$
$\sec\theta$	$1$	$\dfrac{2}{\sqrt{3}}$	$\sqrt{2}$	$2$	অসংজ্ঞায়িত
$\cot\theta$	অসংজ্ঞায়িত	$\sqrt{3}$	$1$	$\dfrac{1}{\sqrt{3}}$	$0$

স্মৰণ সংকেত: $\sin$ ৰ মান $0°$ ৰ পৰা $90°$ লৈ ক্ৰমে $0,\ \tfrac{1}{2},\ \tfrac{1}{\sqrt2},\ \tfrac{\sqrt3}{2},\ 1$ — অৰ্থাৎ $\sqrt{0/4},\ \sqrt{1/4},\ \sqrt{2/4},\ \sqrt{3/4},\ \sqrt{4/4}$। $\cos$ ৰ মান উলটাকৈ পঢ়িলেই হয়।

পৰিপূৰক কোণৰ ত্ৰিকোণমিতিক অনুপাত

দুটা কোণৰ যোগফল $90°$ হ’লে সিহঁতক পৰিপূৰক কোণ (Complementary Angles) বোলে। সমকোণী ত্ৰিভুজত $\angle A + \angle C = 90°$ হোৱা বাবে নিম্নোক্ত সম্পৰ্কসমূহ পোৱা যায় —

$$\sin(90°-\theta) = \cos\theta \qquad \cos(90°-\theta) = \sin\theta$$
$$\tan(90°-\theta) = \cot\theta \qquad \cot(90°-\theta) = \tan\theta$$
$$\sec(90°-\theta) = \csc\theta \qquad \csc(90°-\theta) = \sec\theta$$

ত্ৰিকোণমিতিক অভেদ (Trigonometric Identities)

সমকোণী ত্ৰিভুজত পিথাগোৰাছৰ উপপাদ্য $P^2 + B^2 = H^2$ ৰ পৰা তিনিটা মৌলিক অভেদ পোৱা যায় —

অভেদ	সূত্ৰ	উদ্ভৱ
প্ৰথম অভেদ	$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$	$P^2+B^2=H^2$ ক $H^2$ ৰে ভাগ
দ্বিতীয় অভেদ	$1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta$	$P^2+B^2=H^2$ ক $B^2$ ৰে ভাগ
তৃতীয় অভেদ	$1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta$	$P^2+B^2=H^2$ ক $P^2$ ৰে ভাগ

$$\boxed{\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1}$$
$$\boxed{1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta}$$
$$\boxed{1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta}$$

অনুশীলনী 8.1 — সমাধান

প্ৰশ্ন 1। $\triangle ABC$ ত $\angle B = 90°$, $AB = 24$ চে.মি. আৰু $BC = 7$ চে.মি.। নিৰ্ণয় কৰা — (i) $\sin A,\ \cos A$; (ii) $\sin C,\ \cos C$।

উত্তৰঃ পিথাগোৰাছৰ উপপাদ্যৰ পৰা —
$$AC^2 = AB^2 + BC^2 = 24^2 + 7^2 = 576 + 49 = 625 \Rightarrow AC = 25\ \text{চে.মি.}$$
কোণ $A$ ৰ সাপেক্ষে: লম্ব $= BC = 7$, ভূমি $= AB = 24$, অতিভুজ $= AC = 25$।
$$\sin A = \frac{BC}{AC} = \frac{7}{25}, \qquad \cos A = \frac{AB}{AC} = \frac{24}{25}$$
কোণ $C$ ৰ সাপেক্ষে: লম্ব $= AB = 24$, ভূমি $= BC = 7$, অতিভুজ $= AC = 25$।
$$\sin C = \frac{AB}{AC} = \frac{24}{25}, \qquad \cos C = \frac{BC}{AC} = \frac{7}{25}$$

প্ৰশ্ন 2। চিত্ৰত $\tan P – \cot R$-ৰ মান নিৰ্ণয় কৰা ($PQ = 12$, $PR = 13$, $\angle Q = 90°$)।

উত্তৰঃ $QR^2 = PR^2 – PQ^2 = 13^2 – 12^2 = 169 – 144 = 25 \Rightarrow QR = 5$।
$$\tan P = \frac{QR}{PQ} = \frac{5}{12}, \qquad \cot R = \frac{QR}{PQ} = \frac{5}{12}$$
$$\therefore \tan P – \cot R = \frac{5}{12} – \frac{5}{12} = 0$$

প্ৰশ্ন 3। যদি $\sin A = \dfrac{3}{4}$, তেন্তে $\cos A$ আৰু $\tan A$ ৰ মান নিৰ্ণয় কৰা।

উত্তৰঃ $\sin A = \dfrac{P}{H} = \dfrac{3}{4}$, ধৰা হ’ল $P = 3k,\ H = 4k$।
$$B^2 = H^2 – P^2 = 16k^2 – 9k^2 = 7k^2 \Rightarrow B = k\sqrt{7}$$
$$\cos A = \frac{B}{H} = \frac{\sqrt{7}}{4}, \qquad \tan A = \frac{P}{B} = \frac{3}{\sqrt{7}}$$

প্ৰশ্ন 4। $15\cot A = 8$ হ’লে $\sin A$ আৰু $\sec A$-ৰ মান নিৰ্ণয় কৰা।

উত্তৰঃ $\cot A = \dfrac{8}{15} = \dfrac{B}{P}$, ধৰা $B = 8k,\ P = 15k$।
$$H^2 = P^2 + B^2 = 225k^2 + 64k^2 = 289k^2 \Rightarrow H = 17k$$
$$\sin A = \frac{P}{H} = \frac{15}{17}, \qquad \sec A = \frac{H}{B} = \frac{17}{8}$$

প্ৰশ্ন 5। $\sec\theta = \dfrac{13}{12}$ দিয়া আছে। বাকী সকলো ত্ৰিকোণমিতিক অনুপাত নিৰ্ণয় কৰা।

উত্তৰঃ $\sec\theta = \dfrac{H}{B} = \dfrac{13}{12}$, ধৰা $H = 13k,\ B = 12k$।
$$P^2 = H^2 – B^2 = 169k^2 – 144k^2 = 25k^2 \Rightarrow P = 5k$$
$$\sin\theta = \frac{5}{13},\ \cos\theta = \frac{12}{13},\ \tan\theta = \frac{5}{12},\ \csc\theta = \frac{13}{5},\ \cot\theta = \frac{12}{5}$$

প্ৰশ্ন 6। যদি $\angle A$ আৰু $\angle B$ সূক্ষ্ম কোণ আৰু $\cos A = \cos B$, তেন্তে দেখুৱা যে $\angle A = \angle B$।

উত্তৰঃ $\triangle ABC$ ত $\angle C = 90°$ ধৰি, $\cos A = \dfrac{AC}{AB}$ আৰু $\cos B = \dfrac{BC}{AB}$।
$\cos A = \cos B \Rightarrow \dfrac{AC}{AB} = \dfrac{BC}{AB} \Rightarrow AC = BC$।
ত্ৰিভুজত সমান বাহুৰ বিপৰীতে কোণ সমান হয়, গতিকে $\angle B = \angle A$। (প্ৰমাণিত)

প্ৰশ্ন 7। যদি $\cot\theta = \dfrac{7}{8}$, তেন্তে নিৰ্ণয় কৰা — (i) $\dfrac{(1+\sin\theta)(1-\sin\theta)}{(1+\cos\theta)(1-\cos\theta)}$; (ii) $\cot^2\theta$।

উত্তৰঃ $\cot\theta = \dfrac{B}{P} = \dfrac{7}{8}$, $B=7k,\ P=8k$।
$H^2 = 49k^2 + 64k^2 = 113k^2$।
$\sin\theta = \dfrac{8}{\sqrt{113}},\ \cos\theta = \dfrac{7}{\sqrt{113}}$।
(i) $(1+\sin\theta)(1-\sin\theta) = 1-\sin^2\theta = \cos^2\theta = \dfrac{49}{113}$
$(1+\cos\theta)(1-\cos\theta) = 1-\cos^2\theta = \sin^2\theta = \dfrac{64}{113}$
$$\therefore \frac{(1+\sin\theta)(1-\sin\theta)}{(1+\cos\theta)(1-\cos\theta)} = \frac{49/113}{64/113} = \frac{49}{64}$$
(ii) $\cot^2\theta = \left(\dfrac{7}{8}\right)^2 = \dfrac{49}{64}$।

প্ৰশ্ন 8। যদি $3\cot A = 4$, পৰীক্ষা কৰা যে $\dfrac{1-\tan^2 A}{1+\tan^2 A} = \cos^2 A – \sin^2 A$ নে নহয়।

উত্তৰঃ $\cot A = \dfrac{4}{3} \Rightarrow \tan A = \dfrac{3}{4}$।
$B = 4k,\ P = 3k,\ H = 5k$, ফলত $\sin A = \dfrac{3}{5},\ \cos A = \dfrac{4}{5}$।
বাওঁফাল $= \dfrac{1-9/16}{1+9/16} = \dfrac{7/16}{25/16} = \dfrac{7}{25}$।
সোঁফাল $= \cos^2 A – \sin^2 A = \dfrac{16}{25} – \dfrac{9}{25} = \dfrac{7}{25}$।
$\therefore$ বাওঁফাল $=$ সোঁফাল। সিদ্ধান্তটো সঠিক। (প্ৰমাণিত)

প্ৰশ্ন 9। $\triangle ABC$ ত $\angle B = 90°$, $\tan A = \dfrac{1}{\sqrt{3}}$ হ’লে নিৰ্ণয় কৰা — (i) $\sin A\cos C + \cos A\sin C$; (ii) $\cos A\cos C – \sin A\sin C$।

উত্তৰঃ $\tan A = \dfrac{1}{\sqrt{3}} \Rightarrow A = 30°$, গতিকে $C = 60°$।
$\sin 30° = \dfrac{1}{2},\ \cos 30° = \dfrac{\sqrt{3}}{2},\ \sin 60° = \dfrac{\sqrt{3}}{2},\ \cos 60° = \dfrac{1}{2}$।
(i) $\sin A\cos C + \cos A\sin C = \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4} = 1$।
(ii) $\cos A\cos C – \sin A\sin C = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot\dfrac{1}{2} – \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2} = 0$।

প্ৰশ্ন 10। $\triangle PQR$ ত $\angle Q = 90°$, $PR + QR = 25$ চে.মি. আৰু $PQ = 5$ চে.মি.। $\sin P,\ \cos P,\ \tan P$-ৰ মান নিৰ্ণয় কৰা।

উত্তৰঃ ধৰা $QR = x$, তেন্তে $PR = 25-x$।
পিথাগোৰাছৰ উপপাদ্যৰ পৰা $PR^2 = PQ^2 + QR^2$
$(25-x)^2 = 25 + x^2 \Rightarrow 625 – 50x + x^2 = 25 + x^2 \Rightarrow 50x = 600 \Rightarrow x = 12$।
গতিকে $QR = 12$, $PR = 13$।
$$\sin P = \frac{QR}{PR} = \frac{12}{13},\ \cos P = \frac{PQ}{PR} = \frac{5}{13},\ \tan P = \frac{12}{5}$$

প্ৰশ্ন 11। তলৰ উক্তিসমূহ সঁচা নে মিছা যুক্তিসহ লিখা — (i) $\tan A$-ৰ মান সদায় $1$-তকৈ কম; (ii) কোনো এটা $A$-ৰ বাবে $\sec A = \dfrac{12}{5}$; (iii) $\cos A$ মানে $\cos$-ৰ লগত $A$-ৰ পূৰণ; (iv) $\cot A$ হৈছে $c,\ o,\ t$ আৰু $A$-ৰ পূৰণ; (v) কোনো এটা $\theta$-ৰ বাবে $\sin\theta = \dfrac{4}{3}$।

উত্তৰঃ
(i) মিছা। $\tan 60° = \sqrt{3} > 1$।
(ii) সঁচা। $\sec A \geq 1$ আৰু $\dfrac{12}{5} = 2.4 > 1$।
(iii) মিছা। $\cos A$ এটা ত্ৰিকোণমিতিক ফাংচন; ই $\cos$ আৰু $A$-ৰ পূৰণ নহয়।
(iv) মিছা। $\cot A$ এটা একক চিহ্ন; পূৰণ নহয়।
(v) মিছা। $\sin\theta$-ৰ মান $-1$ আৰু $1$-ৰ মাজত থাকে, $\dfrac{4}{3} > 1$।

অনুশীলনী 8.2 — সমাধান

প্ৰশ্ন 1। তলৰ মানসমূহ নিৰ্ণয় কৰা —

(i) $\sin 60° \cos 30° + \sin 30° \cos 60°$

উত্তৰঃ $= \dfrac{\sqrt{3}}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{4} = 1$।

(ii) $2\tan^2 45° + \cos^2 30° – \sin^2 60°$

উত্তৰঃ $= 2(1)^2 + \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 – \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = 2 + \dfrac{3}{4} – \dfrac{3}{4} = 2$।

(iii) $\dfrac{\cos 45°}{\sec 30° + \csc 30°}$

উত্তৰঃ $= \dfrac{1/\sqrt{2}}{2/\sqrt{3} + 2} = \dfrac{1/\sqrt{2}}{(2 + 2\sqrt{3})/\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}\cdot 2(1+\sqrt{3})} = \dfrac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}(1+\sqrt{3})}$।
লব আৰু হৰ $(\sqrt{3}-1)$ ৰে গুণ কৰি যুক্তিকৰণ কৰিলে $= \dfrac{3-\sqrt{3}}{4\sqrt{2}\cdot 1} = \dfrac{\sqrt{3}(\sqrt{3}-1)}{4\sqrt{2}} = \dfrac{3-\sqrt{3}}{4\sqrt{2}} = \dfrac{(3-\sqrt{3})\sqrt{2}}{8} = \dfrac{3\sqrt{2}-\sqrt{6}}{8}$।

(iv) $\dfrac{\sin 30° + \tan 45° – \csc 60°}{\sec 30° + \cos 60° + \cot 45°}$

উত্তৰঃ লব $= \dfrac{1}{2} + 1 – \dfrac{2}{\sqrt{3}} = \dfrac{3\sqrt{3} – 4}{2\sqrt{3}}$।
হৰ $= \dfrac{2}{\sqrt{3}} + \dfrac{1}{2} + 1 = \dfrac{4 + 3\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}$।
$$\therefore \frac{\text{লব}}{\text{হৰ}} = \frac{3\sqrt{3}-4}{3\sqrt{3}+4} = \frac{(3\sqrt{3}-4)^2}{(3\sqrt{3})^2-16} = \frac{27 – 24\sqrt{3} + 16}{27-16} = \frac{43-24\sqrt{3}}{11}$$

(v) $\dfrac{5\cos^2 60° + 4\sec^2 30° – \tan^2 45°}{\sin^2 30° + \cos^2 30°}$

উত্তৰঃ লব $= 5 \cdot \dfrac{1}{4} + 4 \cdot \dfrac{4}{3} – 1 = \dfrac{5}{4} + \dfrac{16}{3} – 1 = \dfrac{15 + 64 – 12}{12} = \dfrac{67}{12}$।
হৰ $= \sin^2 30° + \cos^2 30° = 1$।
$\therefore$ মান $= \dfrac{67}{12}$।

প্ৰশ্ন 2। বহু-বিকল্প প্ৰশ্ন (যুক্তিসহ সঠিক উত্তৰ বাছনি কৰা) —

(i) $\dfrac{2\tan 30°}{1 + \tan^2 30°}$ ৰ মান হ’ল — (A) $\sin 60°$ (B) $\cos 60°$ (C) $\tan 60°$ (D) $\sin 30°$।

উত্তৰঃ $\tan 30° = \dfrac{1}{\sqrt{3}}$, $\tan^2 30° = \dfrac{1}{3}$।
$\dfrac{2/\sqrt{3}}{1+1/3} = \dfrac{2/\sqrt{3}}{4/3} = \dfrac{2}{\sqrt{3}} \cdot \dfrac{3}{4} = \dfrac{6}{4\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \sin 60°$। সঠিক উত্তৰ (A) $\sin 60°$।

(ii) $\dfrac{1 – \tan^2 45°}{1 + \tan^2 45°}$ ৰ মান হ’ল — (A) $\tan 90°$ (B) $1$ (C) $\sin 45°$ (D) $0$।

উত্তৰঃ $\tan 45° = 1$, $\tan^2 45° = 1$।
$\dfrac{1-1}{1+1} = \dfrac{0}{2} = 0$। সঠিক উত্তৰ (D) $0$।

(iii) $\sin 2A = 2\sin A$ সত্য হ’ব যেতিয়া $A=$ — (A) $0°$ (B) $30°$ (C) $45°$ (D) $60°$।

উত্তৰঃ $A=0°$ হ’লে $\sin 0° = 0 = 2(0)$ সত্য। সঠিক উত্তৰ (A) $0°$।

(iv) $\dfrac{2\tan 30°}{1 – \tan^2 30°}$ ৰ মান হ’ল — (A) $\cos 60°$ (B) $\sin 60°$ (C) $\tan 60°$ (D) $\sin 30°$।

উত্তৰঃ $\dfrac{2/\sqrt{3}}{1 – 1/3} = \dfrac{2/\sqrt{3}}{2/3} = \dfrac{2}{\sqrt{3}} \cdot \dfrac{3}{2} = \sqrt{3} = \tan 60°$। সঠিক উত্তৰ (C) $\tan 60°$।

প্ৰশ্ন 3। $\tan(A+B) = \sqrt{3}$ আৰু $\tan(A-B) = \dfrac{1}{\sqrt{3}}$ ($A>B$, $0° < A+B \leq 90°$)। $A$ আৰু $B$ নিৰ্ণয় কৰা।

উত্তৰঃ $\tan(A+B) = \sqrt{3} = \tan 60° \Rightarrow A+B = 60°$।
$\tan(A-B) = \dfrac{1}{\sqrt{3}} = \tan 30° \Rightarrow A-B = 30°$।
যোগ কৰিলে $2A = 90° \Rightarrow A = 45°$। $\therefore B = 60° – 45° = 15°$।

প্ৰশ্ন 4। তলৰ উক্তিসমূহ সঁচা নে মিছা, যুক্তিসহ লিখা —
(i) $\sin(A+B) = \sin A + \sin B$।
(ii) $\theta$ বঢ়াৰ লগে লগে $\sin\theta$-ৰ মান বাঢ়ে।
(iii) $\theta$ বঢ়াৰ লগে লগে $\cos\theta$-ৰ মান বাঢ়ে।
(iv) $\sin\theta = \cos\theta$ সকলো $\theta$-ৰ বাবে।
(v) $A=0°$ হ’লে $\cot A$ অসংজ্ঞায়িত।

উত্তৰঃ
(i) মিছা। $A=B=30°$ লওঁ — $\sin 60° = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$, কিন্তু $\sin 30° + \sin 30° = 1 \neq \dfrac{\sqrt{3}}{2}$।
(ii) সঁচা। $\sin 0°=0,\ \sin 30°=\tfrac{1}{2},\ \sin 60°=\tfrac{\sqrt3}{2},\ \sin 90°=1$ — $\theta$ বঢ়াৰ লগে লগে $\sin\theta$ বাঢ়ে।
(iii) মিছা। $\cos 0°=1$, $\cos 90°=0$ — $\theta$ বঢ়াৰ লগে লগে $\cos\theta$ কমে।
(iv) মিছা। $\sin\theta = \cos\theta$ কেৱল $\theta = 45°$-ত হয়।
(v) সঁচা। $\cot 0° = \dfrac{\cos 0°}{\sin 0°} = \dfrac{1}{0}$ — অসংজ্ঞায়িত।

অনুশীলনী 8.3 — সমাধান

প্ৰশ্ন 1। মান নিৰ্ণয় কৰা —

(i) $\dfrac{\sin 18°}{\cos 72°}$

উত্তৰঃ $\cos 72° = \cos(90°-18°) = \sin 18°$। $\therefore \dfrac{\sin 18°}{\sin 18°} = 1$।

(ii) $\dfrac{\tan 26°}{\cot 64°}$

উত্তৰঃ $\cot 64° = \cot(90°-26°) = \tan 26°$। $\therefore$ মান $= \dfrac{\tan 26°}{\tan 26°} = 1$।

(iii) $\cos 48° – \sin 42°$

উত্তৰঃ $\cos 48° = \cos(90°-42°) = \sin 42°$। $\therefore \cos 48° – \sin 42° = 0$।

(iv) $\csc 31° – \sec 59°$

উত্তৰঃ $\sec 59° = \sec(90°-31°) = \csc 31°$। $\therefore$ মান $= 0$।

প্ৰশ্ন 2। দেখুৱা যে — (i) $\tan 48° \tan 23° \tan 42° \tan 67° = 1$; (ii) $\cos 38° \cos 52° – \sin 38° \sin 52° = 0$।

উত্তৰঃ (i) $\tan 67° = \cot 23°$ আৰু $\tan 42° = \cot 48°$।
$\therefore \tan 48°\tan 23°\tan 42°\tan 67° = \tan 48° \cdot \tan 23° \cdot \cot 48° \cdot \cot 23° = 1$।
(ii) $\cos 52° = \cos(90°-38°) = \sin 38°$ আৰু $\sin 52° = \cos 38°$।
$\therefore \cos 38°\cdot\sin 38° – \sin 38°\cdot\cos 38° = 0$।

প্ৰশ্ন 3। যদি $\tan 2A = \cot(A – 18°)$, য’ত $2A$ এটা সূক্ষ্ম কোণ, তেন্তে $A$-ৰ মান নিৰ্ণয় কৰা।

উত্তৰঃ $\tan 2A = \cot(90°-2A)$।
$\therefore \cot(90°-2A) = \cot(A-18°) \Rightarrow 90°-2A = A-18°$
$\Rightarrow 3A = 108° \Rightarrow A = 36°$।

প্ৰশ্ন 4। যদি $\tan A = \cot B$, তেন্তে দেখুৱা যে $A+B = 90°$।

উত্তৰঃ $\tan A = \cot B = \tan(90°-B)$।
$\therefore A = 90°-B \Rightarrow A+B = 90°$। (প্ৰমাণিত)

প্ৰশ্ন 5। যদি $\sec 4A = \csc(A-20°)$, য’ত $4A$ এটা সূক্ষ্ম কোণ, তেন্তে $A$-ৰ মান নিৰ্ণয় কৰা।

উত্তৰঃ $\sec 4A = \csc(90°-4A)$।
$\csc(90°-4A) = \csc(A-20°) \Rightarrow 90°-4A = A-20°$
$\Rightarrow 5A = 110° \Rightarrow A = 22°$।

প্ৰশ্ন 6। যদি $A,\ B,\ C$ এটা ত্ৰিভুজৰ ভিতৰৰ কোণ, তেন্তে দেখুৱা যে $\sin\left(\dfrac{B+C}{2}\right) = \cos\dfrac{A}{2}$।

উত্তৰঃ $A+B+C = 180° \Rightarrow B+C = 180°-A \Rightarrow \dfrac{B+C}{2} = 90° – \dfrac{A}{2}$।
$$\therefore \sin\left(\frac{B+C}{2}\right) = \sin\left(90°-\frac{A}{2}\right) = \cos\frac{A}{2}$$
(প্ৰমাণিত)

প্ৰশ্ন 7। $\sin 67° + \cos 75°$-ক $0°$ আৰু $45°$-ৰ মাজৰ কোণৰ ত্ৰিকোণমিতিক অনুপাতেৰে প্ৰকাশ কৰা।

উত্তৰঃ $\sin 67° = \sin(90°-23°) = \cos 23°$।
$\cos 75° = \cos(90°-15°) = \sin 15°$।
$\therefore \sin 67° + \cos 75° = \cos 23° + \sin 15°$।

অনুশীলনী 8.4 — সমাধান

প্ৰশ্ন 1। $\sec A$-ৰ অন্যান্য সকলো ত্ৰিকোণমিতিক অনুপাতক $\sec A$-ৰ ভাষাত প্ৰকাশ কৰা।

উত্তৰঃ
$\cos A = \dfrac{1}{\sec A}$।
$\sin^2 A = 1 – \cos^2 A = 1 – \dfrac{1}{\sec^2 A} = \dfrac{\sec^2 A – 1}{\sec^2 A}$।
$$\sin A = \frac{\sqrt{\sec^2 A – 1}}{\sec A}, \qquad \tan A = \frac{\sin A}{\cos A} = \sqrt{\sec^2 A – 1}$$
$$\csc A = \frac{\sec A}{\sqrt{\sec^2 A – 1}}, \qquad \cot A = \frac{1}{\sqrt{\sec^2 A – 1}}$$

প্ৰশ্ন 2। $\angle A$-ৰ অন্যান্য ত্ৰিকোণমিতিক অনুপাতক $\sin A$-ৰ ভাষাত প্ৰকাশ কৰা।

উত্তৰঃ
$\cos A = \sqrt{1 – \sin^2 A}$, $\tan A = \dfrac{\sin A}{\sqrt{1-\sin^2 A}}$।
$\csc A = \dfrac{1}{\sin A}$, $\sec A = \dfrac{1}{\sqrt{1-\sin^2 A}}$, $\cot A = \dfrac{\sqrt{1-\sin^2 A}}{\sin A}$।

প্ৰশ্ন 3। মান নিৰ্ণয় কৰা — (i) $\dfrac{\sin^2 63° + \sin^2 27°}{\cos^2 17° + \cos^2 73°}$; (ii) $\sin 25° \cos 65° + \cos 25° \sin 65°$।

উত্তৰঃ
(i) $\sin 27° = \cos 63°$, গতিকে লব $= \sin^2 63° + \cos^2 63° = 1$।
$\cos 73° = \sin 17°$, গতিকে হৰ $= \cos^2 17° + \sin^2 17° = 1$।
$\therefore$ মান $= \dfrac{1}{1} = 1$।
(ii) $\cos 65° = \sin 25°$, $\sin 65° = \cos 25°$।
$\therefore = \sin 25°\cdot\sin 25° + \cos 25°\cdot\cos 25° = \sin^2 25° + \cos^2 25° = 1$।

প্ৰশ্ন 4। সঠিক উত্তৰ বাছনি কৰা —

(i) $9\sec^2 A – 9\tan^2 A =$ — (A) $1$ (B) $9$ (C) $8$ (D) $0$।

উত্তৰঃ $9(\sec^2 A – \tan^2 A) = 9(1) = 9$। সঠিক উত্তৰ (B) $9$।

(ii) $(1+\tan\theta+\sec\theta)(1+\cot\theta-\csc\theta) =$ — (A) $0$ (B) $1$ (C) $2$ (D) $-1$।

উত্তৰঃ $\sin\theta\cos\theta$-ৰে গুণ-ভাগ কৰি বহিৰ্বিচ্ছেদ কৰিলে — সংক্ষেপে,
$\left(\dfrac{\sin\theta+\cos\theta+1}{\cos\theta}\right)\left(\dfrac{\cos\theta+\sin\theta-1}{\sin\theta}\right) = \dfrac{(\sin\theta+\cos\theta)^2-1}{\sin\theta\cos\theta}$
$= \dfrac{\sin^2\theta+\cos^2\theta+2\sin\theta\cos\theta-1}{\sin\theta\cos\theta} = \dfrac{2\sin\theta\cos\theta}{\sin\theta\cos\theta} = 2$। সঠিক উত্তৰ (C) $2$।

(iii) $(\sec A + \tan A)(1 – \sin A) =$ — (A) $\sec A$ (B) $\sin A$ (C) $\csc A$ (D) $\cos A$।

উত্তৰঃ $= \left(\dfrac{1}{\cos A}+\dfrac{\sin A}{\cos A}\right)(1-\sin A) = \dfrac{(1+\sin A)(1-\sin A)}{\cos A} = \dfrac{1-\sin^2 A}{\cos A} = \dfrac{\cos^2 A}{\cos A} = \cos A$। সঠিক উত্তৰ (D) $\cos A$।

(iv) $\dfrac{1+\tan^2 A}{1+\cot^2 A} =$ — (A) $\sec^2 A$ (B) $-1$ (C) $\cot^2 A$ (D) $\tan^2 A$।

উত্তৰঃ $\dfrac{\sec^2 A}{\csc^2 A} = \dfrac{1/\cos^2 A}{1/\sin^2 A} = \dfrac{\sin^2 A}{\cos^2 A} = \tan^2 A$। সঠিক উত্তৰ (D) $\tan^2 A$।

প্ৰশ্ন 5। তলৰ অভেদসমূহ প্ৰমাণ কৰা —

(i) $\left(\dfrac{1}{\csc\theta – \cot\theta}\right) – \dfrac{1}{\sin\theta} = \dfrac{1}{\sin\theta} – \dfrac{1}{\csc\theta + \cot\theta}$।

উত্তৰঃ উভয় ফাল $\dfrac{1}{\sin\theta}$ যোগ কৰি দেখুৱাব লাগে যে
$\dfrac{1}{\csc\theta-\cot\theta} + \dfrac{1}{\csc\theta+\cot\theta} = \dfrac{2}{\sin\theta}$।
বাওঁফাল $= \dfrac{(\csc\theta+\cot\theta)+(\csc\theta-\cot\theta)}{(\csc\theta-\cot\theta)(\csc\theta+\cot\theta)} = \dfrac{2\csc\theta}{\csc^2\theta-\cot^2\theta} = \dfrac{2\csc\theta}{1} = 2\csc\theta = \dfrac{2}{\sin\theta}$। (প্ৰমাণিত)

(ii) $\dfrac{\cos A}{1+\sin A} + \dfrac{1+\sin A}{\cos A} = 2\sec A$।

উত্তৰঃ বাওঁফাল $= \dfrac{\cos^2 A + (1+\sin A)^2}{\cos A\,(1+\sin A)} = \dfrac{\cos^2 A + 1 + 2\sin A + \sin^2 A}{\cos A\,(1+\sin A)}$
$= \dfrac{1 + 1 + 2\sin A}{\cos A\,(1+\sin A)} = \dfrac{2(1+\sin A)}{\cos A\,(1+\sin A)} = \dfrac{2}{\cos A} = 2\sec A$। (প্ৰমাণিত)

(iii) $\dfrac{\tan\theta}{1 – \cot\theta} + \dfrac{\cot\theta}{1 – \tan\theta} = 1 + \sec\theta\,\csc\theta$।

উত্তৰঃ বাওঁফাল $= \dfrac{\tan\theta}{1-\frac{1}{\tan\theta}} + \dfrac{\cot\theta}{1-\tan\theta} = \dfrac{\tan^2\theta}{\tan\theta-1} + \dfrac{\cot\theta}{1-\tan\theta}$
$= \dfrac{\tan^2\theta}{\tan\theta-1} – \dfrac{\cot\theta}{\tan\theta-1} = \dfrac{\tan^3\theta – 1}{\tan\theta\,(\tan\theta-1)}$ ($\cot\theta = 1/\tan\theta$ আৰু $a^3-b^3$ গুণনীয়ক)
$= \dfrac{(\tan\theta-1)(\tan^2\theta+\tan\theta+1)}{\tan\theta\,(\tan\theta-1)} = \dfrac{\tan^2\theta + \tan\theta + 1}{\tan\theta} = \tan\theta + 1 + \cot\theta$
$= 1 + (\tan\theta + \cot\theta) = 1 + \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta} + \dfrac{\cos\theta}{\sin\theta} = 1 + \dfrac{\sin^2\theta+\cos^2\theta}{\sin\theta\cos\theta} = 1 + \dfrac{1}{\sin\theta\cos\theta} = 1 + \sec\theta\csc\theta$। (প্ৰমাণিত)

(iv) $\dfrac{1+\sec A}{\sec A} = \dfrac{\sin^2 A}{1 – \cos A}$।

উত্তৰঃ সোঁফাল $= \dfrac{1-\cos^2 A}{1-\cos A} = \dfrac{(1-\cos A)(1+\cos A)}{1-\cos A} = 1+\cos A$।
বাওঁফাল $= \dfrac{1}{\sec A}+1 = \cos A + 1$। উভয় সমান। (প্ৰমাণিত)

(v) $\dfrac{\cos A – \sin A + 1}{\cos A + \sin A – 1} = \csc A + \cot A$।

উত্তৰঃ লব আৰু হৰক $\sin A$-ৰে ভাগ কৰি — বাওঁফাল $= \dfrac{\cot A – 1 + \csc A}{\cot A + 1 – \csc A}$।
$\cot^2 A – \csc^2 A = -1$ ব্যৱহাৰ কৰি লব $\times$ $\dfrac{(\cot A+\csc A)+1}{(\cot A+\csc A)+1}$ গুণ কৰিলে দেখা যায় বাওঁফাল $= \cot A + \csc A = \csc A + \cot A$। (প্ৰমাণিত)

(vi) $\sqrt{\dfrac{1+\sin A}{1-\sin A}} = \sec A + \tan A$।

উত্তৰঃ বাওঁফাল $= \sqrt{\dfrac{(1+\sin A)^2}{(1-\sin A)(1+\sin A)}} = \dfrac{1+\sin A}{\sqrt{1-\sin^2 A}} = \dfrac{1+\sin A}{\cos A} = \dfrac{1}{\cos A} + \dfrac{\sin A}{\cos A} = \sec A + \tan A$। (প্ৰমাণিত)

(vii) $\dfrac{\sin\theta – 2\sin^3\theta}{2\cos^3\theta – \cos\theta} = \tan\theta$।

উত্তৰঃ বাওঁফাল $= \dfrac{\sin\theta(1-2\sin^2\theta)}{\cos\theta(2\cos^2\theta-1)}$।
$1-2\sin^2\theta = \cos^2\theta-\sin^2\theta = 2\cos^2\theta-1$। গতিকে $= \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta} = \tan\theta$। (প্ৰমাণিত)

(viii) $(\sin A + \csc A)^2 + (\cos A + \sec A)^2 = 7 + \tan^2 A + \cot^2 A$।

উত্তৰঃ বাওঁফাল $= \sin^2 A + \csc^2 A + 2 + \cos^2 A + \sec^2 A + 2$
$= (\sin^2 A + \cos^2 A) + 4 + \csc^2 A + \sec^2 A$
$= 1 + 4 + (1+\cot^2 A) + (1+\tan^2 A) = 7 + \tan^2 A + \cot^2 A$। (প্ৰমাণিত)

(ix) $(\csc A – \sin A)(\sec A – \cos A) = \dfrac{1}{\tan A + \cot A}$।

উত্তৰঃ বাওঁফাল $= \left(\dfrac{1-\sin^2 A}{\sin A}\right)\left(\dfrac{1-\cos^2 A}{\cos A}\right) = \dfrac{\cos^2 A \cdot \sin^2 A}{\sin A\cos A} = \sin A\cos A$।
সোঁফাল $= \dfrac{1}{\frac{\sin A}{\cos A}+\frac{\cos A}{\sin A}} = \dfrac{\sin A\cos A}{\sin^2 A+\cos^2 A} = \sin A\cos A$। উভয় সমান। (প্ৰমাণিত)

(x) $\left(\dfrac{1+\tan^2 A}{1+\cot^2 A}\right) = \left(\dfrac{1-\tan A}{1-\cot A}\right)^2 = \tan^2 A$।

উত্তৰঃ প্ৰথম $= \dfrac{\sec^2 A}{\csc^2 A} = \dfrac{\sin^2 A}{\cos^2 A} = \tan^2 A$।
দ্বিতীয় $= \left(\dfrac{1-\tan A}{1-\frac{1}{\tan A}}\right)^2 = \left(\dfrac{\tan A(1-\tan A)}{\tan A-1}\right)^2 = (-\tan A)^2 = \tan^2 A$। (প্ৰমাণিত)

অতিৰিক্ত গুৰুত্বপূৰ্ণ প্ৰশ্ন (Additional Important Questions)

প্ৰশ্ন 1। $\sin 30° + \cos 60°$-ৰ মান কিমান?

উত্তৰঃ $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} = 1$।

প্ৰশ্ন 2। প্ৰমাণ কৰা যে $\tan^2\theta – \sin^2\theta = \tan^2\theta\,\sin^2\theta$।

উত্তৰঃ বাওঁফাল $= \dfrac{\sin^2\theta}{\cos^2\theta} – \sin^2\theta = \sin^2\theta\left(\dfrac{1}{\cos^2\theta} – 1\right) = \sin^2\theta\cdot\dfrac{1-\cos^2\theta}{\cos^2\theta} = \sin^2\theta\cdot\dfrac{\sin^2\theta}{\cos^2\theta} = \tan^2\theta\sin^2\theta$। (প্ৰমাণিত)

প্ৰশ্ন 3। $\sin\theta = \dfrac{12}{13}$ হ’লে $\cos\theta$ আৰু $\tan\theta$-ৰ মান নিৰ্ণয় কৰা।

উত্তৰঃ $\cos\theta = \sqrt{1-\sin^2\theta} = \sqrt{1-\dfrac{144}{169}} = \sqrt{\dfrac{25}{169}} = \dfrac{5}{13}$।
$\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta} = \dfrac{12/13}{5/13} = \dfrac{12}{5}$।

প্ৰশ্ন 4। যদি $A=30°$ আৰু $B=60°$, তেন্তে যাচাই কৰা যে $\sin(A+B) = \sin A\cos B + \cos A\sin B$।

উত্তৰঃ বাওঁফাল $= \sin 90° = 1$।
সোঁফাল $= \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4} = 1$। প্ৰমাণিত।

প্ৰশ্ন 5। প্ৰমাণ কৰা যে $\dfrac{1+\cos\theta}{\sin\theta} + \dfrac{\sin\theta}{1+\cos\theta} = 2\csc\theta$।

উত্তৰঃ বাওঁফাল $= \dfrac{(1+\cos\theta)^2+\sin^2\theta}{\sin\theta(1+\cos\theta)} = \dfrac{1+2\cos\theta+\cos^2\theta+\sin^2\theta}{\sin\theta(1+\cos\theta)} = \dfrac{2+2\cos\theta}{\sin\theta(1+\cos\theta)} = \dfrac{2(1+\cos\theta)}{\sin\theta(1+\cos\theta)} = \dfrac{2}{\sin\theta} = 2\csc\theta$। (প্ৰমাণিত)

প্ৰশ্ন 6। $\sec^2 30° + \csc^2 60°$-ৰ মান কিমান?

উত্তৰঃ $\sec 30° = \dfrac{2}{\sqrt{3}}$, $\csc 60° = \dfrac{2}{\sqrt{3}}$। মান $= \dfrac{4}{3}+\dfrac{4}{3} = \dfrac{8}{3}$।

প্ৰশ্ন 7। যদি $\tan\theta = \dfrac{3}{4}$, তেন্তে $\dfrac{1-\cos\theta}{1+\cos\theta}$-ৰ মান নিৰ্ণয় কৰা।

উত্তৰঃ $\tan\theta = \dfrac{3}{4} \Rightarrow P=3,\ B=4,\ H=5$। $\cos\theta = \dfrac{4}{5}$।
$\dfrac{1-4/5}{1+4/5} = \dfrac{1/5}{9/5} = \dfrac{1}{9}$।

প্ৰশ্ন 8। প্ৰমাণ কৰা যে $\sec^4\theta – \sec^2\theta = \tan^4\theta + \tan^2\theta$।

উত্তৰঃ বাওঁফাল $= \sec^2\theta(\sec^2\theta-1) = (1+\tan^2\theta)\cdot\tan^2\theta = \tan^2\theta + \tan^4\theta$। (প্ৰমাণিত)

শব্দাৰ্থ (Glossary)

অসমীয়া পদ	ইংৰাজী	অৰ্থ
ত্ৰিকোণমিতি	Trigonometry	ত্ৰিভুজৰ কোণ আৰু বাহুৰ সম্পৰ্কৰ অধ্যয়ন
সমকোণী ত্ৰিভুজ	Right-angled triangle	এটা কোণ $90°$ থকা ত্ৰিভুজ
লম্ব	Perpendicular (P)	কোণৰ বিপৰীত বাহু
ভূমি	Base (B)	কোণৰ সংলগ্ন বাহু
অতিভুজ	Hypotenuse (H)	সমকোণৰ বিপৰীত আৰু আটাইতকৈ দীঘল বাহু
ত্ৰিকোণমিতিক অনুপাত	Trigonometric ratio	সমকোণী ত্ৰিভুজত বাহুসমূহৰ অনুপাত
সাইন	Sine ($\sin$)	লম্ব / অতিভুজ
কোছাইন	Cosine ($\cos$)	ভূমি / অতিভুজ
টেনজেণ্ট	Tangent ($\tan$)	লম্ব / ভূমি
কোছেকেণ্ট	Cosecant ($\csc$)	$\sin$-ৰ ব্যুৎক্ৰম
ছেকেণ্ট	Secant ($\sec$)	$\cos$-ৰ ব্যুৎক্ৰম
কোটেনজেণ্ট	Cotangent ($\cot$)	$\tan$-ৰ ব্যুৎক্ৰম
মানক কোণ	Standard angle	$0°,30°,45°,60°,90°$
পৰিপূৰক কোণ	Complementary angles	যাৰ যোগফল $90°$
ত্ৰিকোণমিতিক অভেদ	Trigonometric identity	সকলো কোণৰ বাবে সত্য সমীকৰণ
পিথাগোৰাছৰ উপপাদ্য	Pythagoras theorem	$P^2+B^2=H^2$
পাৰস্পৰিক সম্পৰ্ক	Reciprocal relation	$\sin\theta\cdot\csc\theta=1$ আদি
ভাগফল সম্পৰ্ক	Quotient relation	$\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$
সূক্ষ্ম কোণ	Acute angle	$0°<\theta<90°$ থকা কোণ
অসংজ্ঞায়িত	Undefined	মান নথকা / নিৰ্ধাৰিত নহোৱা

সম্পূৰক উদাহৰণসমূহ (Solved Examples)

উদাহৰণ 1। সমকোণী ত্ৰিভুজ $\triangle ABC$ ত $\angle B=90°$, $AB=4$ চে.মি., $BC=3$ চে.মি.। কোণ $A$ আৰু $C$ ৰ ছটা ত্ৰিকোণমিতিক অনুপাত নিৰ্ণয় কৰা।

উত্তৰঃ পিথাগোৰাছৰ উপপাদ্যৰ পৰা $AC = \sqrt{AB^2+BC^2} = \sqrt{16+9} = \sqrt{25} = 5$ চে.মি.।
কোণ $A$-ৰ সাপেক্ষে: লম্ব $=BC=3$, ভূমি $=AB=4$, অতিভুজ $=AC=5$।
$\sin A = \dfrac{3}{5},\ \cos A = \dfrac{4}{5},\ \tan A = \dfrac{3}{4}$।
$\csc A = \dfrac{5}{3},\ \sec A = \dfrac{5}{4},\ \cot A = \dfrac{4}{3}$।
কোণ $C$-ৰ সাপেক্ষে: লম্ব $=AB=4$, ভূমি $=BC=3$।
$\sin C = \dfrac{4}{5},\ \cos C = \dfrac{3}{5},\ \tan C = \dfrac{4}{3},\ \csc C = \dfrac{5}{4},\ \sec C = \dfrac{5}{3},\ \cot C = \dfrac{3}{4}$।
লক্ষ্য কৰক যে $\sin A = \cos C$, $\cos A = \sin C$, $\tan A = \cot C$ — এইটোৱেই পৰিপূৰক কোণৰ সম্পৰ্ক।

উদাহৰণ 2। যদি $\sin\theta = \dfrac{a}{b}$, তেন্তে $\cos\theta$ আৰু $\tan\theta$-ৰ মান নিৰ্ণয় কৰা।

উত্তৰঃ $\sin\theta = \dfrac{P}{H} = \dfrac{a}{b} \Rightarrow P=a,\ H=b$।
$B^2 = H^2 – P^2 = b^2 – a^2 \Rightarrow B = \sqrt{b^2 – a^2}$।
$$\cos\theta = \frac{\sqrt{b^2-a^2}}{b}, \qquad \tan\theta = \frac{a}{\sqrt{b^2-a^2}}$$

উদাহৰণ 3। প্ৰমাণ কৰা যে $(\sin\theta+\cos\theta)^2 + (\sin\theta-\cos\theta)^2 = 2$।

উত্তৰঃ বাওঁফাল $= (\sin^2\theta + 2\sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta) + (\sin^2\theta – 2\sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta)$
$= 2\sin^2\theta + 2\cos^2\theta = 2(\sin^2\theta + \cos^2\theta) = 2(1) = 2$। (প্ৰমাণিত)

উদাহৰণ 4। $\sin 30° \cdot \cos 60° + \cos 30° \cdot \sin 60°$-ৰ মান নিৰ্ণয় কৰা।

উত্তৰঃ $= \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{4} = 1$।
লক্ষ্য কৰক যে এই মান $\sin(30°+60°) = \sin 90° = 1$ ৰ সমান (যৌগিক কোণ সূত্ৰ)।

উদাহৰণ 5। দেখুৱা যে $\sin^4\theta – \cos^4\theta = \sin^2\theta – \cos^2\theta = 2\sin^2\theta – 1 = 1 – 2\cos^2\theta$।

উত্তৰঃ $\sin^4\theta – \cos^4\theta = (\sin^2\theta+\cos^2\theta)(\sin^2\theta-\cos^2\theta) = 1\cdot(\sin^2\theta-\cos^2\theta) = \sin^2\theta-\cos^2\theta$।
$\sin^2\theta – \cos^2\theta = \sin^2\theta – (1-\sin^2\theta) = 2\sin^2\theta – 1$।
আকৌ $= (1-\cos^2\theta) – \cos^2\theta = 1 – 2\cos^2\theta$। (প্ৰমাণিত)

উদাহৰণ 6। $\dfrac{\sin\theta – \cos\theta + 1}{\sin\theta + \cos\theta – 1} = \dfrac{1}{\sec\theta – \tan\theta}$ প্ৰমাণ কৰা।

উত্তৰঃ বাওঁফালৰ লব আৰু হৰক $\cos\theta$ ৰে ভাগ কৰিলে —
বাওঁফাল $= \dfrac{\tan\theta – 1 + \sec\theta}{\tan\theta + 1 – \sec\theta}$।
লব আৰু হৰৰ লগত $(\sec\theta + \tan\theta)$ গুণ কৰি দেখুৱাব পাৰি বাওঁফাল $= \dfrac{1}{\sec\theta – \tan\theta}$ (যিহেতু $\sec^2\theta – \tan^2\theta = 1$)। (প্ৰমাণিত)

মুখস্থ কৰিবলগীয়া মূল সূত্ৰ-পত্ৰ

ক্ৰমিক	সূত্ৰ	মন্তব্য
1	$\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$	মৌলিক পিথাগোৰাছ অভেদ
2	$1+\tan^2\theta=\sec^2\theta$	$\sec^2\theta-\tan^2\theta=1$
3	$1+\cot^2\theta=\csc^2\theta$	$\csc^2\theta-\cot^2\theta=1$
4	$\sin(90°-\theta)=\cos\theta$	পৰিপূৰক কোণ
5	$\tan(90°-\theta)=\cot\theta$	পৰিপূৰক কোণ
6	$\sec(90°-\theta)=\csc\theta$	পৰিপূৰক কোণ
7	$\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$	ভাগফল সম্পৰ্ক
8	$\cot\theta=\dfrac{\cos\theta}{\sin\theta}$	ভাগফল সম্পৰ্ক
9	$\csc\theta\cdot\sin\theta=1$	পাৰস্পৰিক
10	$\sec\theta\cdot\cos\theta=1$	পাৰস্পৰিক
11	$\cot\theta\cdot\tan\theta=1$	পাৰস্পৰিক
12	$0\leq\sin\theta\leq 1$ ($0°\leq\theta\leq 90°$)	সীমা
13	$0\leq\cos\theta\leq 1$ ($0°\leq\theta\leq 90°$)	সীমা
14	$\sec\theta\geq 1,\ \csc\theta\geq 1$	সূক্ষ্ম কোণৰ বাবে

অধিক অভ্যাস প্ৰশ্ন (More Practice Questions)

প্ৰশ্ন 1। যদি $4\tan\theta = 3$, তেন্তে $\dfrac{4\sin\theta – \cos\theta}{4\sin\theta + \cos\theta}$-ৰ মান নিৰ্ণয় কৰা।

উত্তৰঃ $\tan\theta = \dfrac{3}{4}$। লব আৰু হৰক $\cos\theta$-ৰে ভাগ কৰিলে —
$\dfrac{4\tan\theta – 1}{4\tan\theta + 1} = \dfrac{4(3/4)-1}{4(3/4)+1} = \dfrac{3-1}{3+1} = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}$।

প্ৰশ্ন 2। প্ৰমাণ কৰা যে $\dfrac{\cos^2\theta}{1-\tan\theta} + \dfrac{\sin^3\theta}{\sin\theta – \cos\theta} = 1 + \sin\theta\cos\theta$।

উত্তৰঃ বাওঁফাল $= \dfrac{\cos^2\theta\cdot\cos\theta}{\cos\theta-\sin\theta} + \dfrac{\sin^3\theta}{\sin\theta-\cos\theta}$
$= \dfrac{-\cos^3\theta}{\sin\theta-\cos\theta} + \dfrac{\sin^3\theta}{\sin\theta-\cos\theta} = \dfrac{\sin^3\theta – \cos^3\theta}{\sin\theta-\cos\theta}$
$= \dfrac{(\sin\theta-\cos\theta)(\sin^2\theta+\sin\theta\cos\theta+\cos^2\theta)}{\sin\theta-\cos\theta} = 1+\sin\theta\cos\theta$। (প্ৰমাণিত)

প্ৰশ্ন 3। যদি $\tan\theta + \sin\theta = m$ আৰু $\tan\theta – \sin\theta = n$, তেন্তে দেখুৱা যে $m^2 – n^2 = 4\sqrt{mn}$।

উত্তৰঃ $m^2 – n^2 = (m+n)(m-n) = (2\tan\theta)(2\sin\theta) = 4\sin\theta\tan\theta$।
$mn = (\tan\theta+\sin\theta)(\tan\theta-\sin\theta) = \tan^2\theta-\sin^2\theta = \dfrac{\sin^2\theta}{\cos^2\theta}-\sin^2\theta = \sin^2\theta\cdot\dfrac{1-\cos^2\theta}{\cos^2\theta} = \sin^2\theta\cdot\tan^2\theta$।
$\therefore 4\sqrt{mn} = 4\sin\theta\tan\theta = m^2-n^2$। (প্ৰমাণিত)

প্ৰশ্ন 4। $\sin\theta = \dfrac{1}{2}$ হ’লে $\theta$-ৰ মান কিমান (যেতিয়া $0°\leq\theta\leq 90°$)?

উত্তৰঃ $\sin 30° = \dfrac{1}{2}$, গতিকে $\theta = 30°$।

প্ৰশ্ন 5। $\cos\theta = 0$ হ’লে $\theta=$?

উত্তৰঃ $\cos 90° = 0$, গতিকে $\theta = 90°$।

প্ৰশ্ন 6। $\tan A + \cot A = 2$ হ’লে $\tan^2 A + \cot^2 A$-ৰ মান নিৰ্ণয় কৰা।

উত্তৰঃ $(\tan A + \cot A)^2 = \tan^2 A + 2\tan A\cot A + \cot^2 A = \tan^2 A + 2 + \cot^2 A$।
$\therefore 4 = \tan^2 A + \cot^2 A + 2 \Rightarrow \tan^2 A + \cot^2 A = 2$।

প্ৰশ্ন 7। প্ৰমাণ কৰা যে $\dfrac{\tan\theta}{\sec\theta-1} + \dfrac{\tan\theta}{\sec\theta+1} = 2\csc\theta$।

উত্তৰঃ বাওঁফাল $= \tan\theta\left[\dfrac{(\sec\theta+1)+(\sec\theta-1)}{(\sec\theta-1)(\sec\theta+1)}\right] = \tan\theta\cdot\dfrac{2\sec\theta}{\sec^2\theta-1} = \tan\theta\cdot\dfrac{2\sec\theta}{\tan^2\theta}$
$= \dfrac{2\sec\theta}{\tan\theta} = \dfrac{2/\cos\theta}{\sin\theta/\cos\theta} = \dfrac{2}{\sin\theta} = 2\csc\theta$। (প্ৰমাণিত)

প্ৰশ্ন 8। $\sec\theta + \tan\theta = p$ হ’লে $\sin\theta$-ৰ মান $p$-ৰ ভাষাত নিৰ্ণয় কৰা।

উত্তৰঃ $\sec\theta – \tan\theta = \dfrac{1}{p}$ (যিহেতু $\sec^2\theta – \tan^2\theta = 1$)।
যোগ কৰি $2\sec\theta = p + \dfrac{1}{p} = \dfrac{p^2+1}{p}$, বিয়োগ কৰি $2\tan\theta = p – \dfrac{1}{p} = \dfrac{p^2-1}{p}$।
$\therefore \sin\theta = \dfrac{\tan\theta}{\sec\theta} = \dfrac{(p^2-1)/2p}{(p^2+1)/2p} = \dfrac{p^2-1}{p^2+1}$।

প্ৰশ্ন 9। প্ৰমাণ কৰা যে $\dfrac{\cos\theta}{1-\sin\theta} = \sec\theta + \tan\theta$।

উত্তৰঃ বাওঁফালৰ লব আৰু হৰক $(1+\sin\theta)$-ৰে গুণ কৰিলে —
$= \dfrac{\cos\theta(1+\sin\theta)}{(1-\sin\theta)(1+\sin\theta)} = \dfrac{\cos\theta(1+\sin\theta)}{1-\sin^2\theta} = \dfrac{\cos\theta(1+\sin\theta)}{\cos^2\theta} = \dfrac{1+\sin\theta}{\cos\theta} = \sec\theta + \tan\theta$। (প্ৰমাণিত)

প্ৰশ্ন 10। $\sin 30°\cos 30°\tan 60°$-ৰ মান কি?

উত্তৰঃ $= \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot\sqrt{3} = \dfrac{3}{4}$।

প্ৰশ্ন 11। যদি $\sin(A+B) = 1$ আৰু $\cos(A-B) = 1$, তেন্তে $A$ আৰু $B$ ৰ মান নিৰ্ণয় কৰা।

উত্তৰঃ $\sin(A+B) = 1 \Rightarrow A+B = 90°$।
$\cos(A-B) = 1 \Rightarrow A-B = 0°$।
$\therefore A = B = 45°$।

প্ৰশ্ন 12। প্ৰমাণ কৰা যে $\sec^2\theta + \csc^2\theta = \sec^2\theta\cdot\csc^2\theta$।

উত্তৰঃ বাওঁফাল $= \dfrac{1}{\cos^2\theta}+\dfrac{1}{\sin^2\theta} = \dfrac{\sin^2\theta+\cos^2\theta}{\sin^2\theta\cos^2\theta} = \dfrac{1}{\sin^2\theta\cos^2\theta} = \sec^2\theta\csc^2\theta$। (প্ৰমাণিত)

প্ৰশ্ন 13। $4\sin^2 60° + 3\tan^2 30° – 8\sin 45°\cos 45°$-ৰ মান নিৰ্ণয় কৰা।

উত্তৰঃ $= 4\cdot\dfrac{3}{4} + 3\cdot\dfrac{1}{3} – 8\cdot\dfrac{1}{\sqrt{2}}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{2}} = 3 + 1 – 4 = 0$।

প্ৰশ্ন 14। প্ৰমাণ কৰা যে $\dfrac{1+\cos\theta-\sin^2\theta}{\sin\theta(1+\cos\theta)} = \cot\theta$।

উত্তৰঃ লব $= 1 + \cos\theta – (1-\cos^2\theta) = \cos\theta + \cos^2\theta = \cos\theta(1+\cos\theta)$।
$\therefore$ বাওঁফাল $= \dfrac{\cos\theta(1+\cos\theta)}{\sin\theta(1+\cos\theta)} = \dfrac{\cos\theta}{\sin\theta} = \cot\theta$। (প্ৰমাণিত)

প্ৰশ্ন 15। $\cot^2 30° – 2\cos^2 60° – \dfrac{3}{4}\sec^2 45° – 4\csc^2 30°$-ৰ মান নিৰ্ণয় কৰা।

উত্তৰঃ $= 3 – 2\cdot\dfrac{1}{4} – \dfrac{3}{4}\cdot 2 – 4\cdot 4 = 3 – \dfrac{1}{2} – \dfrac{3}{2} – 16 = -15$।

আৰু গভীৰ অভ্যাস (Detailed Practice Set)

প্ৰশ্ন 16। $\triangle ABC$ ত $\angle B = 90°$ আৰু $\sin A = \dfrac{1}{2}$ হ’লে $\cos A,\ \tan A,\ \sec A,\ \csc A,\ \cot A$ ৰ মান নিৰ্ণয় কৰা।

উত্তৰঃ $\sin A = \dfrac{1}{2} = \dfrac{P}{H} \Rightarrow P=1k,\ H=2k$।
$B^2 = H^2 – P^2 = 4k^2 – k^2 = 3k^2 \Rightarrow B = k\sqrt{3}$।
$\cos A = \dfrac{B}{H} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$, $\tan A = \dfrac{1}{\sqrt{3}}$, $\sec A = \dfrac{2}{\sqrt{3}}$, $\csc A = 2$, $\cot A = \sqrt{3}$।
লক্ষ্য কৰক যে এই $A = 30°$।

প্ৰশ্ন 17। প্ৰমাণ কৰা যে $\sin^6\theta + \cos^6\theta = 1 – 3\sin^2\theta\cos^2\theta$।

উত্তৰঃ ধৰা $a = \sin^2\theta$, $b = \cos^2\theta$। তেতিয়া $a + b = 1$।
$a^3 + b^3 = (a+b)^3 – 3ab(a+b) = 1 – 3ab \cdot 1 = 1 – 3ab$।
$\therefore \sin^6\theta + \cos^6\theta = 1 – 3\sin^2\theta\cos^2\theta$। (প্ৰমাণিত)

প্ৰশ্ন 18। প্ৰমাণ কৰা যে $\dfrac{\sec\theta – 1}{\sec\theta + 1} = \left(\dfrac{1-\cos\theta}{1+\cos\theta}\right)$।

উত্তৰঃ বাওঁফাল $= \dfrac{\frac{1}{\cos\theta}-1}{\frac{1}{\cos\theta}+1} = \dfrac{(1-\cos\theta)/\cos\theta}{(1+\cos\theta)/\cos\theta} = \dfrac{1-\cos\theta}{1+\cos\theta}$ = সোঁফাল। (প্ৰমাণিত)

প্ৰশ্ন 19। যদি $x = a\sin\theta$ আৰু $y = b\cos\theta$, তেন্তে দেখুৱা যে $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$।

উত্তৰঃ $\dfrac{x}{a} = \sin\theta \Rightarrow \dfrac{x^2}{a^2} = \sin^2\theta$।
$\dfrac{y}{b} = \cos\theta \Rightarrow \dfrac{y^2}{b^2} = \cos^2\theta$।
যোগ কৰিলে $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2} = \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$। (প্ৰমাণিত)

প্ৰশ্ন 20। যদি $a\sin\theta + b\cos\theta = c$, তেন্তে দেখুৱা যে $a\cos\theta – b\sin\theta = \pm\sqrt{a^2+b^2-c^2}$।

উত্তৰঃ $(a\sin\theta+b\cos\theta)^2 + (a\cos\theta-b\sin\theta)^2 = a^2(\sin^2\theta+\cos^2\theta) + b^2(\cos^2\theta+\sin^2\theta) = a^2 + b^2$।
$\therefore c^2 + (a\cos\theta – b\sin\theta)^2 = a^2 + b^2$
$\Rightarrow (a\cos\theta – b\sin\theta)^2 = a^2 + b^2 – c^2$
$\Rightarrow a\cos\theta – b\sin\theta = \pm\sqrt{a^2+b^2-c^2}$। (প্ৰমাণিত)

প্ৰশ্ন 21। প্ৰমাণ কৰা যে $\sin\theta(1 + \tan\theta) + \cos\theta(1 + \cot\theta) = \sec\theta + \csc\theta$।

উত্তৰঃ বাওঁফাল $= \sin\theta + \dfrac{\sin^2\theta}{\cos\theta} + \cos\theta + \dfrac{\cos^2\theta}{\sin\theta}$
$= \dfrac{\sin\theta\cos\theta + \sin^2\theta}{\cos\theta} + \dfrac{\cos\theta\sin\theta + \cos^2\theta}{\sin\theta}$
$= \dfrac{\sin\theta(\cos\theta+\sin\theta)}{\cos\theta} + \dfrac{\cos\theta(\sin\theta+\cos\theta)}{\sin\theta}$
$= (\sin\theta+\cos\theta)\left(\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta} + \dfrac{\cos\theta}{\sin\theta}\right)$
$= (\sin\theta+\cos\theta)\cdot\dfrac{\sin^2\theta+\cos^2\theta}{\sin\theta\cos\theta} = (\sin\theta+\cos\theta)\cdot\dfrac{1}{\sin\theta\cos\theta}$
$= \dfrac{\sin\theta}{\sin\theta\cos\theta} + \dfrac{\cos\theta}{\sin\theta\cos\theta} = \dfrac{1}{\cos\theta} + \dfrac{1}{\sin\theta} = \sec\theta + \csc\theta$। (প্ৰমাণিত)

প্ৰশ্ন 22। যদি $\cos A + \cos^2 A = 1$, তেন্তে $\sin^2 A + \sin^4 A$-ৰ মান নিৰ্ণয় কৰা।

উত্তৰঃ $\cos A = 1 – \cos^2 A = \sin^2 A$।
$\therefore \sin^2 A + \sin^4 A = \sin^2 A + (\sin^2 A)^2 = \cos A + \cos^2 A = 1$।

প্ৰশ্ন 23। যদি $7\sin^2\theta + 3\cos^2\theta = 4$, তেন্তে $\tan\theta$-ৰ মান নিৰ্ণয় কৰা।

উত্তৰঃ $7\sin^2\theta + 3(1-\sin^2\theta) = 4$
$\Rightarrow 4\sin^2\theta + 3 = 4 \Rightarrow \sin^2\theta = \dfrac{1}{4} \Rightarrow \sin\theta = \dfrac{1}{2}$।
$\cos\theta = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$, গতিকে $\tan\theta = \dfrac{1}{\sqrt{3}}$।

প্ৰশ্ন 24। প্ৰমাণ কৰা যে $\dfrac{\cos\theta}{1+\sin\theta} + \tan\theta = \sec\theta$।

উত্তৰঃ বাওঁফাল $= \dfrac{\cos\theta}{1+\sin\theta} + \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta} = \dfrac{\cos^2\theta + \sin\theta(1+\sin\theta)}{\cos\theta(1+\sin\theta)}$
$= \dfrac{\cos^2\theta + \sin\theta + \sin^2\theta}{\cos\theta(1+\sin\theta)} = \dfrac{1 + \sin\theta}{\cos\theta(1+\sin\theta)} = \dfrac{1}{\cos\theta} = \sec\theta$। (প্ৰমাণিত)

প্ৰশ্ন 25। প্ৰমাণ কৰা যে $\dfrac{\tan A + \sec A – 1}{\tan A – \sec A + 1} = \dfrac{1+\sin A}{\cos A}$।

উত্তৰঃ বাওঁফালৰ লব $= \tan A + \sec A – (\sec^2 A – \tan^2 A) = \tan A + \sec A – (\sec A – \tan A)(\sec A + \tan A)$
$= (\sec A + \tan A)[1 – (\sec A – \tan A)] = (\sec A + \tan A)(1 – \sec A + \tan A)$।
গতিকে বাওঁফাল $= \dfrac{(\sec A + \tan A)(1 + \tan A – \sec A)}{(\tan A – \sec A + 1)} = \sec A + \tan A = \dfrac{1+\sin A}{\cos A}$। (প্ৰমাণিত)

প্ৰশ্ন 26। যদি $\sin\theta + \cos\theta = \sqrt{2}\cos\theta$, তেন্তে দেখুৱা যে $\cos\theta – \sin\theta = \sqrt{2}\sin\theta$।

উত্তৰঃ দিয়া আছে $\sin\theta = (\sqrt{2}-1)\cos\theta$।
$\sqrt{2}\sin\theta = \sqrt{2}(\sqrt{2}-1)\cos\theta = (2-\sqrt{2})\cos\theta$।
সোঁফাল $\sqrt{2}\sin\theta = (2-\sqrt{2})\cos\theta = \cos\theta\cdot(2-\sqrt{2})$।
বাওঁফাল $\cos\theta – \sin\theta = \cos\theta – (\sqrt{2}-1)\cos\theta = (1-\sqrt{2}+1)\cos\theta = (2-\sqrt{2})\cos\theta$।
$\therefore$ বাওঁফাল $=$ সোঁফাল। (প্ৰমাণিত)

প্ৰশ্ন 27। যদি $\cot\theta = \dfrac{15}{8}$, তেন্তে $\sin\theta,\ \cos\theta$ আৰু $\sec\theta$-ৰ মান নিৰ্ণয় কৰা।

উত্তৰঃ $\cot\theta = \dfrac{B}{P} = \dfrac{15}{8} \Rightarrow B=15k,\ P=8k$।
$H^2 = P^2+B^2 = 64+225 = 289 \Rightarrow H = 17k$।
$\sin\theta = \dfrac{8}{17},\ \cos\theta = \dfrac{15}{17},\ \sec\theta = \dfrac{17}{15}$।

প্ৰশ্ন 28। প্ৰমাণ কৰা যে $\dfrac{\sin\theta}{\cot\theta+\csc\theta} = 2 + \dfrac{\sin\theta}{\cot\theta-\csc\theta}$।

উত্তৰঃ বিচৰা সমীকৰণৰ পৰা — $\dfrac{\sin\theta}{\cot\theta+\csc\theta} – \dfrac{\sin\theta}{\cot\theta-\csc\theta} = 2$ দেখুৱাব লাগে।
বাওঁফাল $= \sin\theta\cdot\dfrac{(\cot\theta-\csc\theta)-(\cot\theta+\csc\theta)}{\cot^2\theta-\csc^2\theta} = \sin\theta\cdot\dfrac{-2\csc\theta}{-1} = 2\sin\theta\csc\theta = 2$। (প্ৰমাণিত)

প্ৰশ্ন 29। $\sin 90° + \cos 0° + \tan 45° + \cos 90° + \sin 0°$-ৰ মান কিমান?

উত্তৰঃ $= 1 + 1 + 1 + 0 + 0 = 3$।

প্ৰশ্ন 30। যদি $\sin(A-B) = \dfrac{1}{2}$ আৰু $\cos(A+B) = \dfrac{1}{2}$, তেন্তে $A,\ B$ ৰ মান নিৰ্ণয় কৰা।

উত্তৰঃ $\sin(A-B) = \dfrac{1}{2} \Rightarrow A-B = 30°$।
$\cos(A+B) = \dfrac{1}{2} \Rightarrow A+B = 60°$।
যোগ কৰিলে $2A = 90° \Rightarrow A = 45°$, $B = 15°$।

প্ৰশ্ন 31। প্ৰমাণ কৰা যে $\dfrac{\cos^2\theta}{\sin\theta} – \csc\theta + \sin\theta = -\sin\theta\cdot 0$ সমীকৰণৰ মান শূন্যৰ সমান।

উত্তৰঃ বাওঁফাল $= \dfrac{\cos^2\theta – 1 + \sin^2\theta}{\sin\theta} = \dfrac{(\cos^2\theta+\sin^2\theta) – 1}{\sin\theta} = \dfrac{1-1}{\sin\theta} = 0$। (প্ৰমাণিত)

প্ৰশ্ন 32। যদি $5\tan\theta = 4$, তেন্তে $\dfrac{5\sin\theta – 3\cos\theta}{5\sin\theta + 2\cos\theta}$-ৰ মান নিৰ্ণয় কৰা।

উত্তৰঃ $\tan\theta = \dfrac{4}{5}$। লব আৰু হৰক $\cos\theta$-ৰে ভাগ —
$\dfrac{5\tan\theta – 3}{5\tan\theta + 2} = \dfrac{5(4/5) – 3}{5(4/5) + 2} = \dfrac{4-3}{4+2} = \dfrac{1}{6}$।

প্ৰশ্ন 33। $\dfrac{\tan 65°}{\cot 25°}$-ৰ মান নিৰ্ণয় কৰা।

উত্তৰঃ $\cot 25° = \tan(90°-25°) = \tan 65°$, গতিকে মান $= 1$।

প্ৰশ্ন 34। প্ৰমাণ কৰা যে $\dfrac{\sin\theta-\cos\theta+1}{\sin\theta+\cos\theta-1} = \csc\theta + \cot\theta$ (যেতিয়া $\sin\theta\neq 0$)।

উত্তৰঃ লব আৰু হৰক $\sin\theta$-ৰে ভাগ — বাওঁফাল $= \dfrac{1-\cot\theta+\csc\theta}{1+\cot\theta-\csc\theta}$।
$\cot^2\theta – \csc^2\theta = -1$ ব্যৱহাৰ কৰি লব, হৰক $(1+\cot\theta+\csc\theta)$-ৰে গুণ কৰিলে দেখা যায় বাওঁফাল $= \csc\theta+\cot\theta$। (প্ৰমাণিত)

প্ৰশ্ন 35। $\sin 30°\cos 60°+\cos 30°\sin 60°$-ৰ মান নিৰ্ণয় কৰা।

উত্তৰঃ $= \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{4} = 1 = \sin 90°$।

ASSEB HSLC প্ৰশ্নৰ গাঁথনি (Question Pattern Guide)

প্ৰশ্নৰ ধৰণ	নম্বৰ	উদাহৰণ
একপদীয় (Very Short)	$1$	$\sin 30°$-ৰ মান কিমান?
চমু উত্তৰ (Short)	$2$	$\sin\theta = \dfrac{3}{5}$ হ’লে $\cos\theta$ নিৰ্ণয় কৰা।
মধ্যম উত্তৰ (Medium)	$3$	$\dfrac{\tan 26°}{\cot 64°}$-ৰ মান নিৰ্ণয় কৰা।
দীঘল উত্তৰ (Long)	$4-5$	অভেদ প্ৰমাণ — $\sec^4\theta-\sec^2\theta=\tan^4\theta+\tan^2\theta$।

সাধাৰণতে ASSEB HSLC গণিত প্ৰশ্নকাকতত ত্ৰিকোণমিতিৰ অধ্যায় ৮ ৰ পৰা প্ৰায় $8-10$ নম্বৰ ৰ প্ৰশ্ন আহে। ইয়াত একপদীয়, MCQ আৰু এটা দীঘল অভেদ প্ৰমাণ অন্তৰ্ভুক্ত থাকে।

উন্নত মানৰ অভ্যাস (Advanced Practice)

প্ৰশ্ন 36। প্ৰমাণ কৰা যে $\dfrac{\tan\theta + \sec\theta – 1}{\tan\theta – \sec\theta + 1} = \dfrac{\cos\theta}{1-\sin\theta}$।

উত্তৰঃ লব $= \tan\theta + \sec\theta – (\sec^2\theta – \tan^2\theta) = (\sec\theta + \tan\theta) – (\sec\theta + \tan\theta)(\sec\theta – \tan\theta)$
$= (\sec\theta + \tan\theta)[1 – \sec\theta + \tan\theta]$
$= (\sec\theta + \tan\theta)(\tan\theta – \sec\theta + 1)$।
$\therefore$ বাওঁফাল $= \sec\theta + \tan\theta = \dfrac{1+\sin\theta}{\cos\theta} = \dfrac{1+\sin\theta}{\cos\theta}\cdot\dfrac{1-\sin\theta}{1-\sin\theta} = \dfrac{\cos^2\theta}{\cos\theta(1-\sin\theta)} = \dfrac{\cos\theta}{1-\sin\theta}$। (প্ৰমাণিত)

প্ৰশ্ন 37। যদি $\sec\theta – \tan\theta = x$, তেন্তে $\sec\theta$ আৰু $\tan\theta$-ক $x$-ৰ ভাষাত প্ৰকাশ কৰা।

উত্তৰঃ $\sec\theta + \tan\theta = \dfrac{1}{\sec\theta – \tan\theta} = \dfrac{1}{x}$।
যোগ কৰি $2\sec\theta = x + \dfrac{1}{x} \Rightarrow \sec\theta = \dfrac{x^2+1}{2x}$।
বিয়োগ কৰি $-2\tan\theta = x – \dfrac{1}{x} \Rightarrow \tan\theta = \dfrac{1-x^2}{2x}$।

প্ৰশ্ন 38। প্ৰমাণ কৰা যে $\dfrac{\cos\theta}{\csc\theta+1} + \dfrac{\cos\theta}{\csc\theta-1} = 2\tan\theta$।

উত্তৰঃ বাওঁফাল $= \cos\theta\cdot\dfrac{(\csc\theta-1)+(\csc\theta+1)}{(\csc\theta+1)(\csc\theta-1)} = \cos\theta\cdot\dfrac{2\csc\theta}{\csc^2\theta-1} = \cos\theta\cdot\dfrac{2\csc\theta}{\cot^2\theta}$
$= \dfrac{2\cos\theta\csc\theta}{\cot^2\theta} = \dfrac{2\cos\theta\cdot\frac{1}{\sin\theta}}{\frac{\cos^2\theta}{\sin^2\theta}} = \dfrac{2\cos\theta}{\sin\theta}\cdot\dfrac{\sin^2\theta}{\cos^2\theta} = \dfrac{2\sin\theta}{\cos\theta} = 2\tan\theta$। (প্ৰমাণিত)

প্ৰশ্ন 39। যদি $\sec\theta + \tan\theta = 2$, তেন্তে $\sin\theta$-ৰ মান নিৰ্ণয় কৰা।

উত্তৰঃ $\sec\theta – \tan\theta = \dfrac{1}{2}$।
যোগ কৰি $2\sec\theta = \dfrac{5}{2} \Rightarrow \sec\theta = \dfrac{5}{4} \Rightarrow \cos\theta = \dfrac{4}{5}$।
$\sin\theta = \sqrt{1-\dfrac{16}{25}} = \dfrac{3}{5}$।

প্ৰশ্ন 40। প্ৰমাণ কৰা যে $\sin^2\theta\cos^2\theta(1+\tan^2\theta)(1+\cot^2\theta) = 1$।

উত্তৰঃ বাওঁফাল $= \sin^2\theta\cos^2\theta\cdot\sec^2\theta\cdot\csc^2\theta$
$= \sin^2\theta\cos^2\theta\cdot\dfrac{1}{\cos^2\theta}\cdot\dfrac{1}{\sin^2\theta} = 1$। (প্ৰমাণিত)

প্ৰশ্ন 41। যদি $A + B = 90°$, তেন্তে $\sqrt{\dfrac{\tan A\cdot\tan B + \tan A\cdot\cot B}{\sin A\cdot\sec B} – \dfrac{\sin^2 B}{\cos^2 A}} = ?$

উত্তৰঃ $A+B=90° \Rightarrow B = 90°-A$, $\tan B = \cot A$, $\cot B = \tan A$, $\sec B = \csc A$, $\sin B = \cos A$।
ভিতৰৰ অংশ $= \dfrac{\tan A\cot A + \tan^2 A}{\sin A\csc A} – \dfrac{\cos^2 A}{\cos^2 A}$
$= \dfrac{1+\tan^2 A}{1} – 1 = \sec^2 A – 1 = \tan^2 A$।
$\therefore$ মূল $= \tan A$।

প্ৰশ্ন 42। দেখুৱা যে $\tan 1°\cdot\tan 2°\cdot\tan 3° \cdots \tan 89° = 1$।

উত্তৰঃ $\tan 89° = \cot 1°$, $\tan 88° = \cot 2°$, …, $\tan 46° = \cot 44°$, $\tan 45° = 1$।
$\therefore$ গুণফল $= (\tan 1°\cdot\cot 1°)(\tan 2°\cdot\cot 2°)\cdots(\tan 44°\cdot\cot 44°)\cdot\tan 45°$
$= 1\cdot 1\cdots 1\cdot 1 = 1$। (প্ৰমাণিত)

প্ৰশ্ন 43। যদি $\cos 9\alpha = \sin\alpha$ আৰু $9\alpha < 90°$, তেন্তে $\tan 5\alpha$-ৰ মান নিৰ্ণয় কৰা।

উত্তৰঃ $\cos 9\alpha = \sin\alpha = \cos(90°-\alpha)$
$\Rightarrow 9\alpha = 90°-\alpha \Rightarrow 10\alpha = 90° \Rightarrow \alpha = 9°$।
$\therefore 5\alpha = 45°$, $\tan 5\alpha = \tan 45° = 1$।

প্ৰশ্ন 44। যদি $\sin\theta = \dfrac{a^2 – b^2}{a^2 + b^2}$, তেন্তে $\cos\theta$ আৰু $\tan\theta$ নিৰ্ণয় কৰা।

উত্তৰঃ $\cos^2\theta = 1 – \sin^2\theta = 1 – \dfrac{(a^2-b^2)^2}{(a^2+b^2)^2} = \dfrac{(a^2+b^2)^2 – (a^2-b^2)^2}{(a^2+b^2)^2} = \dfrac{4a^2 b^2}{(a^2+b^2)^2}$।
$\cos\theta = \dfrac{2ab}{a^2+b^2}$, $\tan\theta = \dfrac{a^2-b^2}{2ab}$।

প্ৰশ্ন 45। প্ৰমাণ কৰা যে $\sin^8\theta – \cos^8\theta = (\sin^2\theta – \cos^2\theta)(1 – 2\sin^2\theta\cos^2\theta)$।

উত্তৰঃ বাওঁফাল $= (\sin^4\theta-\cos^4\theta)(\sin^4\theta+\cos^4\theta)$
$= (\sin^2\theta-\cos^2\theta)(\sin^2\theta+\cos^2\theta)\cdot[(\sin^2\theta+\cos^2\theta)^2 – 2\sin^2\theta\cos^2\theta]$
$= (\sin^2\theta-\cos^2\theta)\cdot 1\cdot(1 – 2\sin^2\theta\cos^2\theta)$
$= (\sin^2\theta – \cos^2\theta)(1 – 2\sin^2\theta\cos^2\theta)$। (প্ৰমাণিত)

প্ৰশ্ন 46। প্ৰমাণ কৰা যে $\dfrac{1+\cos\theta-\sin^2\theta}{\sin\theta+\sin\theta\cos\theta} = \cot\theta$।

উত্তৰঃ লব $= 1 + \cos\theta – (1-\cos^2\theta) = \cos\theta(1+\cos\theta)$।
হৰ $= \sin\theta(1+\cos\theta)$।
$\therefore$ বাওঁফাল $= \dfrac{\cos\theta(1+\cos\theta)}{\sin\theta(1+\cos\theta)} = \cot\theta$। (প্ৰমাণিত)

প্ৰশ্ন 47। যদি $\tan\theta = \dfrac{p}{q}$, তেন্তে $\dfrac{p\sin\theta – q\cos\theta}{p\sin\theta + q\cos\theta}$-ৰ মান নিৰ্ণয় কৰা।

উত্তৰঃ লব আৰু হৰক $\cos\theta$-ৰে ভাগ —
$\dfrac{p\tan\theta – q}{p\tan\theta + q} = \dfrac{p\cdot(p/q) – q}{p\cdot(p/q)+q} = \dfrac{(p^2-q^2)/q}{(p^2+q^2)/q} = \dfrac{p^2-q^2}{p^2+q^2}$।

প্ৰশ্ন 48। যদি $\sin\theta + \sin^2\theta = 1$, তেন্তে $\cos^2\theta + \cos^4\theta$-ৰ মান নিৰ্ণয় কৰা।

উত্তৰঃ $\sin\theta = 1 – \sin^2\theta = \cos^2\theta$।
$\therefore \cos^2\theta + \cos^4\theta = \sin\theta + \sin^2\theta = 1$।

প্ৰশ্ন 49। প্ৰমাণ কৰা যে $\dfrac{\cot A + \csc A – 1}{\cot A – \csc A + 1} = \dfrac{1+\cos A}{\sin A}$।

উত্তৰঃ লবৰ পৰা $\csc^2 A – \cot^2 A = 1$ ব্যৱহাৰ — সাদৃশ্য প্ৰমাণ ক’ৰে যেনে অনুশীলনী 8.4 প্ৰশ্ন 5(v)। বাওঁফাল $= \csc A + \cot A = \dfrac{1+\cos A}{\sin A}$। (প্ৰমাণিত)

প্ৰশ্ন 50। যদি $\cos\theta + \sin\theta = \sqrt{2}\cos\theta$, তেন্তে $\cos\theta – \sin\theta$-ৰ মান নিৰ্ণয় কৰা।

উত্তৰঃ দিয়া আছে $\sin\theta = (\sqrt{2}-1)\cos\theta$।
$\cos\theta – \sin\theta = \cos\theta – (\sqrt{2}-1)\cos\theta = (2-\sqrt{2})\cos\theta = \sqrt{2}(\sqrt{2}-1)\cos\theta = \sqrt{2}\sin\theta$।

MCQ অভ্যাস (বহু-বিকল্প প্ৰশ্ন)

MCQ 1। $\sin 60°$-ৰ মান হ’ল — (A) $\dfrac{1}{2}$ (B) $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ (C) $1$ (D) $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$।

উত্তৰঃ (B) $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$।

MCQ 2। $\cos 0°$-ৰ মান কিমান? (A) $0$ (B) $1$ (C) $\dfrac{1}{2}$ (D) $\sqrt{3}$।

উত্তৰঃ (B) $1$।

MCQ 3। যদি $\sin\theta = \cos\theta$, তেন্তে $\theta=$? (A) $0°$ (B) $30°$ (C) $45°$ (D) $90°$।

উত্তৰঃ (C) $45°$।

MCQ 4। $\tan 0°$-ৰ মান — (A) $0$ (B) $1$ (C) অসংজ্ঞায়িত (D) $\sqrt{3}$।

উত্তৰঃ (A) $0$।

MCQ 5। $\sec 60°$-ৰ মান — (A) $1$ (B) $\sqrt{2}$ (C) $2$ (D) $\dfrac{2}{\sqrt{3}}$।

উত্তৰঃ (C) $2$।

MCQ 6। $\sin^2 30° + \cos^2 30°$-ৰ মান — (A) $0$ (B) $\dfrac{1}{2}$ (C) $1$ (D) $2$।

উত্তৰঃ (C) $1$।

MCQ 7। $\csc 90°$-ৰ মান — (A) $0$ (B) $1$ (C) $\sqrt{2}$ (D) অসংজ্ঞায়িত।

উত্তৰঃ (B) $1$।

MCQ 8। $\cot 90°$-ৰ মান — (A) $0$ (B) $1$ (C) অসংজ্ঞায়িত (D) $\sqrt{3}$।

উত্তৰঃ (A) $0$।

MCQ 9। $\tan 45°\cdot\cot 45°$-ৰ মান — (A) $0$ (B) $1$ (C) $2$ (D) $\dfrac{1}{2}$।

উত্তৰঃ (B) $1$।

MCQ 10। যদি $\sin A = \dfrac{1}{2}$, তেন্তে $A=$? (A) $0°$ (B) $30°$ (C) $45°$ (D) $60°$।

উত্তৰঃ (B) $30°$।

MCQ 11। $\sec^2\theta – \tan^2\theta$-ৰ মান — (A) $0$ (B) $1$ (C) $-1$ (D) $\sin^2\theta$।

উত্তৰঃ (B) $1$।

MCQ 12। $1 + \cot^2 A$-ৰ মান — (A) $\sin^2 A$ (B) $\cos^2 A$ (C) $\sec^2 A$ (D) $\csc^2 A$।

উত্তৰঃ (D) $\csc^2 A$।

MCQ 13। $\sin(90°-\theta)$ সমান — (A) $\sin\theta$ (B) $\cos\theta$ (C) $\tan\theta$ (D) $\sec\theta$।

উত্তৰঃ (B) $\cos\theta$।

MCQ 14। $\tan(90°-\theta)$ সমান — (A) $\sin\theta$ (B) $\cot\theta$ (C) $\sec\theta$ (D) $\csc\theta$।

উত্তৰঃ (B) $\cot\theta$।

MCQ 15। $\dfrac{\sin 30°}{\cos 60°}$-ৰ মান — (A) $0$ (B) $1$ (C) $\dfrac{1}{2}$ (D) $\sqrt{3}$।

উত্তৰঃ (B) $1$, কিয়নো $\sin 30° = \dfrac{1}{2} = \cos 60°$।

MCQ 16। $\cos 30°\cdot\sin 60° + \sin 30°\cdot\cos 60°$-ৰ মান — (A) $0$ (B) $\dfrac{1}{2}$ (C) $1$ (D) $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$।

উত্তৰঃ (C) $1$।

MCQ 17। সমকোণী ত্ৰিভুজত অতিভুজ হৈছে — (A) সৰুতম বাহু (B) সমকোণৰ সংলগ্ন বাহু (C) সমকোণৰ বিপৰীত বাহু (D) ভূমি।

উত্তৰঃ (C) সমকোণৰ বিপৰীত বাহু।

MCQ 18। $\sin\theta = \dfrac{P}{H}$-ত $P$-এ বুজায় — (A) ভূমি (B) লম্ব (C) অতিভুজ (D) কোন (D)।

উত্তৰঃ (B) লম্ব।

MCQ 19। $\tan\theta\cdot\cot\theta$-ৰ মান — (A) $0$ (B) $1$ (C) $\sin\theta$ (D) $\cos\theta$।

উত্তৰঃ (B) $1$।

MCQ 20। যদি $\cot A = \dfrac{12}{5}$, তেন্তে $\cos A=$? (A) $\dfrac{12}{13}$ (B) $\dfrac{5}{13}$ (C) $\dfrac{13}{12}$ (D) $\dfrac{13}{5}$।

উত্তৰঃ (A) $\dfrac{12}{13}$, কিয়নো $B=12,\ P=5,\ H=13$।

ত্ৰিকোণমিতিৰ ব্যৱহাৰিক প্ৰয়োগ

ত্ৰিকোণমিতিৰ মূল ধাৰণাসমূহ কেৱল গাণিতিক বিষয়তে সীমিত নহয়। বাস্তৱ জীৱনত ইয়াৰ বহুতো প্ৰয়োগ আছে —

• স্থাপত্য আৰু নিৰ্মাণ: ভৱনৰ উচ্চতা, ছালৰ ঢাল আৰু ভিতৰৰ কোণ নিৰ্ধাৰণ কৰা হয়।
• নাবিক বিজ্ঞান (Navigation): জাহাজ আৰু বিমানৰ পথ-নিৰ্দেশনাত ত্ৰিকোণমিতিক অনুপাত ব্যৱহাৰ হয়।
• জ্যোতিৰ্বিজ্ঞান: দূৰৱৰ্তী গ্ৰহ আৰু নক্ষত্ৰৰ দূৰত্ব মাপিবলৈ ত্ৰিকোণমিতি ব্যৱহাৰ হয়।
• প্ৰকৌশল: পোলৰ ডিজাইন, যান্ত্ৰিক ঘূৰ্ণন, বিদ্যুৎ সংকেত ইত্যাদিত ত্ৰিকোণমিতি অপৰিহাৰ্য।
• ভূগোল: মানচিত্ৰ অংকন আৰু GPS প্ৰযুক্তিত ত্ৰিকোণমিতিৰ ভূমিকা গুৰুত্বপূৰ্ণ।
• সংগীত আৰু শব্দ-তৰংগ: তৰংগৰ গাণিতিক বিশ্লেষণত $\sin$ আৰু $\cos$ ফাংচন কেন্দ্ৰীয়।

এই অধ্যায়ৰ ভিত্তি দৃঢ় হ’লে অধ্যায় ৯ (ত্ৰিকোণমিতিৰ কিছুমান প্ৰয়োগ — উচ্চতা আৰু দূৰত্ব) সহজ হৈ পৰিব।

স্মৰণ-সংকেত আৰু সাধাৰণ ভুল

• SOH-CAH-TOA: $\sin = \dfrac{\text{Opp}}{\text{Hyp}}$, $\cos = \dfrac{\text{Adj}}{\text{Hyp}}$, $\tan = \dfrac{\text{Opp}}{\text{Adj}}$।
• সাধাৰণ ভুল 1: $\sin\theta$-ৰ মান $1$-তকৈ ডাঙৰ লিখা — সূক্ষ্ম কোণৰ বাবে $0\leq\sin\theta\leq 1$।
• সাধাৰণ ভুল 2: $\sin(A+B) \neq \sin A + \sin B$।
• সাধাৰণ ভুল 3: $\sin^2\theta$-ৰ অৰ্থ $(\sin\theta)^2$, কিন্তু $\sin\theta^2$-ৰ অৰ্থ $\sin(\theta^2)$ — পাৰ্থক্য মন কৰিব।
• স্মৰণ: মানক কোণত $\sin$-ৰ মানসমূহ $\sqrt{0/4},\sqrt{1/4},\sqrt{2/4},\sqrt{3/4},\sqrt{4/4}$ হিচাপে মুখস্থ কৰক।
• পৰিপূৰক কোণ: “co” থকা ফাংচন আৰু “co” নথকা ফাংচন পৰস্পৰ পৰিৱৰ্তিত হয় — $\sin\leftrightarrow\cos$, $\tan\leftrightarrow\cot$, $\sec\leftrightarrow\csc$।

চমু-উত্তৰ অভ্যাস (Quick Q&A Drill)

Q1। $\sin 45°$-ৰ মান কি? উত্তৰঃ $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$।

Q2। $\cos 45°$-ৰ মান কি? উত্তৰঃ $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$।

Q3। $\tan 45°$-ৰ মান কি? উত্তৰঃ $1$।

Q4। $\sin 90°$-ৰ মান কি? উত্তৰঃ $1$।

Q5। $\cos 90°$-ৰ মান কি? উত্তৰঃ $0$।

Q6। $\tan 90°$-ৰ মান কি? উত্তৰঃ অসংজ্ঞায়িত।

Q7। $\csc 30°$-ৰ মান কি? উত্তৰঃ $2$।

Q8। $\sec 45°$-ৰ মান কি? উত্তৰঃ $\sqrt{2}$।

Q9। $\cot 60°$-ৰ মান কি? উত্তৰঃ $\dfrac{1}{\sqrt{3}}$।

Q10। $\sin\theta$-ৰ পাৰস্পৰিক ত্ৰিকোণমিতিক অনুপাত কি? উত্তৰঃ $\csc\theta$।

Q11। $\cos\theta$-ৰ পাৰস্পৰিক ত্ৰিকোণমিতিক অনুপাত কি? উত্তৰঃ $\sec\theta$।

Q12। $\tan\theta$-ৰ পাৰস্পৰিক ত্ৰিকোণমিতিক অনুপাত কি? উত্তৰঃ $\cot\theta$।

Q13। পিথাগোৰাছৰ উপপাদ্য কি? উত্তৰঃ $P^2 + B^2 = H^2$।

Q14। $\sin^2\theta + \cos^2\theta = ?$ উত্তৰঃ $1$।

Q15। $\sec^2\theta – \tan^2\theta = ?$ উত্তৰঃ $1$।

Q16। $\csc^2\theta – \cot^2\theta = ?$ উত্তৰঃ $1$।

Q17। $\cos(90°-30°) = ?$ উত্তৰঃ $\sin 30° = \dfrac{1}{2}$।

Q18। $\sin(90°-60°) = ?$ উত্তৰঃ $\cos 60° = \dfrac{1}{2}$।

Q19। $\tan(90°-45°) = ?$ উত্তৰঃ $\cot 45° = 1$।

Q20। $\sin\theta$-ৰ মানৰ পৰিসৰ ($0°\leq\theta\leq 90°$) কি? উত্তৰঃ $0\leq\sin\theta\leq 1$।

সম্পূৰ্ণ অভেদ-সংগ্ৰহ (Identity Compendium)

শ্ৰেণী	অভেদ
মৌলিক	$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$
মৌলিক	$\sec^2\theta – \tan^2\theta = 1$
মৌলিক	$\csc^2\theta – \cot^2\theta = 1$
উদ্ভূত	$\sin^4\theta + \cos^4\theta = 1 – 2\sin^2\theta\cos^2\theta$
উদ্ভূত	$\sin^6\theta + \cos^6\theta = 1 – 3\sin^2\theta\cos^2\theta$
উদ্ভূত	$\tan^2\theta – \sin^2\theta = \tan^2\theta\sin^2\theta$
উদ্ভূত	$\sec^4\theta – \sec^2\theta = \tan^4\theta + \tan^2\theta$
উদ্ভূত	$(\sin\theta+\cos\theta)^2 + (\sin\theta-\cos\theta)^2 = 2$
পৰিপূৰক	$\sin(90°-\theta) = \cos\theta$
পৰিপূৰক	$\cos(90°-\theta) = \sin\theta$
পৰিপূৰক	$\tan(90°-\theta) = \cot\theta$
পৰিপূৰক	$\cot(90°-\theta) = \tan\theta$
পৰিপূৰক	$\sec(90°-\theta) = \csc\theta$
পৰিপূৰক	$\csc(90°-\theta) = \sec\theta$

পঢ়াৰ পৰিকল্পনা (Study Plan)

এই অধ্যায়টো পৰীক্ষাৰ আগে আগে কেনেদৰে পঢ়িব লাগে তাৰ এটা সুপাৰিশকৃত পৰিকল্পনা —

দিন	লক্ষ্য	সমাপন কৰিব লগা কাম
$1$	সংজ্ঞা আয়ত্ত	সমকোণী ত্ৰিভুজ, P/B/H, ছটা ত্ৰিকোণমিতিক অনুপাতৰ সংজ্ঞা মুখস্থ
$2$	অনুশীলনী 8.1	আটাইকেইটা প্ৰশ্ন স্বহস্তে সমাধান
$3$	মানক কোণ	$0°,30°,45°,60°,90°$-ৰ ছটা অনুপাতৰ মান মুখস্থ + অনুশীলনী 8.2
$4$	পৰিপূৰক কোণ	$\sin(90°-\theta)=\cos\theta$ আদি সকলো সম্পৰ্ক + অনুশীলনী 8.3
$5$	অভেদ	তিনিটা মৌলিক অভেদ আৰু অনুশীলনী 8.4-ৰ অভেদ প্ৰমাণ
$6$	পুনৰীক্ষা	অতিৰিক্ত প্ৰশ্ন আৰু MCQ অভ্যাস
$7$	মক টেষ্ট	সম্পূৰ্ণ অধ্যায়ৰ ওপৰত $30$ নম্বৰৰ এটা স্ব-পৰীক্ষা

উপসংহাৰ (Conclusion)

ASSEB দশম শ্ৰেণীৰ গণিতৰ অধ্যায় ৮ — ত্ৰিকোণমিতিৰ পৰিচয় এটা ভিত্তি-গঢ়া অধ্যায়। ইয়াৰ ধাৰণাসমূহ একাদশ-দ্বাদশ শ্ৰেণীৰ গণিত, পদাৰ্থবিজ্ঞান আৰু প্ৰকৌশলত ব্যাপকভাৱে ব্যৱহৃত হয়। যিকোনো ত্ৰিকোণমিতিক প্ৰশ্নৰ মূল ৩টা পদক্ষেপ —

1. ত্ৰিভুজ চিনাক্ত কৰা: দিয়া কোণৰ সাপেক্ষে P, B, H বুজি লোৱা।
2. সঠিক অনুপাত বাছনি: $\sin,\cos,\tan$ ইত্যাদিৰ পৰা প্ৰয়োজনীয়টো বাছনি কৰা।
3. অভেদ প্ৰয়োগ: পিথাগোৰাছ অভেদ বা পৰিপূৰক কোণৰ সম্পৰ্কৰ পৰা সৰল কৰা।

মূল মন্ত্ৰ — মানক কোণৰ মান, পৰিপূৰক কোণৰ সম্পৰ্ক আৰু তিনিটা মৌলিক অভেদ ($\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$, $\sec^2\theta-\tan^2\theta=1$, $\csc^2\theta-\cot^2\theta=1$) মুখস্থ ৰাখক। নিয়মিত অভ্যাসেই সফলতাৰ চাবিকাঠি। ASSEB HSLC গণিত পৰীক্ষাত আপোনাৰ অপ্ৰতিম সাফল্যৰ বাবে HSLC GURU-ৰ ফালৰ পৰা শুভকামনা।

সাৰাংশ-পৰীক্ষা (Self-Check)

এই অধ্যায়টো শেষ কৰাৰ পাছত নিজকে এই প্ৰশ্নবোৰ সুধক — যদি সকলোবোৰৰ উত্তৰ “হয়” দিব পাৰে, তেন্তে অধ্যায়টো ভালদৰে আয়ত্ত হৈছে। যদি কোনোটোৰ “নহয়” হয়, তেন্তে সেই অংশটোলৈ আকৌ ঘূৰি যাওক।

• সমকোণী ত্ৰিভুজত কোনো এটা সূক্ষ্ম কোণৰ সাপেক্ষে P, B, H চিনাক্ত কৰিব পাৰোঁনে?
• ছটা ত্ৰিকোণমিতিক অনুপাতৰ সংজ্ঞা লিখিব পাৰোঁনে?
• $0°,30°,45°,60°,90°$-ৰ ছটা মানৰ তালিকা মুখস্থ আছেনে?
• পৰিপূৰক কোণৰ ছটা সম্পৰ্ক বুজি পাইছোনে?
• তিনিটা মৌলিক অভেদ মুখস্থ আছেনে?
• অনুশীলনী 8.4-ৰ যিকোনো অভেদ স্বহস্তে প্ৰমাণ কৰিব পাৰোঁনে?