নমস্কাৰ প্ৰিয় শিক্ষাৰ্থী! HSLC GURU-লৈ স্বাগতম। এই পাঠটোত আমি ASSEB (অসম মাধ্যমিক শিক্ষা পৰিষদ) দ্বাৰা প্ৰচলিত দশম শ্ৰেণীৰ গণিত পাঠ্যপুথিৰ সপ্তম অধ্যায় স্থানাংক জ্যামিতি (Coordinate Geometry)ৰ আটাইবোৰ গুৰুত্বপূৰ্ণ ধাৰণা, সূত্ৰ আৰু অনুশীলনীৰ প্ৰশ্নৰ সম্পূৰ্ণ সমাধান বিচাৰি পাব। এই অধ্যায়টোৱে কাৰ্তেছীয় সমতলত (Cartesian plane) থকা বিন্দুসমূহৰ মাজৰ দূৰত্ব, ৰেখাখণ্ডৰ বিভাজন আৰু ত্ৰিভুজৰ কালি নিৰ্ণয়ৰ সূত্ৰসমূহ পৰিচয় কৰাই দিয়ে।

সাৰাংশ (Summary)

ৰেণে দেকাৰ্ত (René Descartes) নামৰ ফৰাচী গণিতজ্ঞজনে স্থানাংক জ্যামিতিৰ আৱিষ্কাৰ কৰিছিল। ইয়াৰ সহায়ত আমি বীজগণিত আৰু জ্যামিতিৰ মাজৰ সম্পৰ্ক স্থাপন কৰিব পাৰোঁ। দুটা পৰস্পৰ লম্ব ৰেখা — অনুভূমিক ৰেখা x-অক্ষ আৰু উলম্ব ৰেখা y-অক্ষ — দ্বাৰা সমতলখনক চাৰিটা চতুৰ্ভাগত (quadrants) ভাগ কৰা হয়। যিকোনো বিন্দুৰ অৱস্থান $(x, y)$ ক্ৰমিত যোৰৰ দ্বাৰা প্ৰকাশ কৰা হয়, য’ত $x$ ক ভুজ (abscissa) আৰু $y$ ক কোটি (ordinate) বোলা হয়। এই অধ্যায়ত আমি দূৰত্বৰ সূত্ৰ, বিভাজনৰ সূত্ৰ আৰু ত্ৰিভুজৰ কালিৰ সূত্ৰ শিকিম যিবোৰে জ্যামিতিক সমস্যা বীজগণিতীয়ভাৱে সমাধান কৰাত সহায় কৰে।

Summary: Coordinate Geometry, founded by René Descartes, links algebra and geometry. The Cartesian plane uses two perpendicular axes (x and y) dividing the plane into four quadrants. Points are denoted as ordered pairs $(x, y)$. This chapter covers the Distance Formula for finding distance between two points, the Section Formula for dividing a line segment in a given ratio, the Midpoint Formula, and the Area of a Triangle formula. These tools allow us to verify collinearity, identify geometric figures (triangles, parallelograms, rhombuses, squares), and solve coordinate-based problems.

মূল সূত্ৰসমূহ (Key Formulas)

১। দূৰত্বৰ সূত্ৰ (Distance Formula)

দুটা বিন্দু $P(x_1, y_1)$ আৰু $Q(x_2, y_2)$ ৰ মাজৰ দূৰত্ব —

$$PQ = \sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2}$$

মূলবিন্দু $O(0,0)$ ৰ পৰা $P(x, y)$ লৈ দূৰত্ব —

$$OP = \sqrt{x^2 + y^2}$$

২। বিভাজনৰ সূত্ৰ (Section Formula)

$A(x_1, y_1)$ আৰু $B(x_2, y_2)$ ক সংযোগ কৰা ৰেখাখণ্ডটোক $m:n$ অনুপাতত আভ্যন্তৰীণভাৱে বিভক্ত কৰা বিন্দু $P$ ৰ স্থানাংক —

$$P = \left(\frac{m x_2 + n x_1}{m+n}, \frac{m y_2 + n y_1}{m+n}\right)$$

৩। মধ্যবিন্দুৰ সূত্ৰ (Midpoint Formula)

ৰেখাখণ্ড $AB$ ৰ মধ্যবিন্দু —

$$M = \left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)$$

৪। ত্ৰিভুজৰ কালিৰ সূত্ৰ (Area of Triangle)

শীৰ্ষবিন্দু $(x_1,y_1), (x_2,y_2), (x_3,y_3)$ থকা ত্ৰিভুজৰ কালি —

$$\text{কালি} = \frac{1}{2}\left|x_1(y_2 – y_3) + x_2(y_3 – y_1) + x_3(y_1 – y_2)\right|$$

তিনিটা বিন্দু সমৰেখ (collinear) হ’বলৈ ত্ৰিভুজৰ কালি = 0 হ’ব লাগিব।

কাৰ্তেছীয় সমতল (Cartesian Plane)

অনুশীলনী 7.1 (Exercise 7.1)

প্ৰশ্ন 1: তলৰ বিন্দুযুগলৰ মাজৰ দূৰত্ব নিৰ্ণয় কৰা।
(i) (2, 3), (4, 1)
(ii) (-5, 7), (-1, 3)
(iii) (a, b), (-a, -b)

উত্তৰঃ

(i) দূৰত্ব $= \sqrt{(4-2)^2 + (1-3)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ একক।

(ii) দূৰত্ব $= \sqrt{(-1-(-5))^2 + (3-7)^2} = \sqrt{16+16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$ একক।

(iii) দূৰত্ব $= \sqrt{(-a-a)^2 + (-b-b)^2} = \sqrt{4a^2 + 4b^2} = 2\sqrt{a^2+b^2}$ একক।

প্ৰশ্ন 2: বিন্দু (0,0) আৰু (36,15) ৰ মাজৰ দূৰত্ব নিৰ্ণয় কৰা।

উত্তৰঃ দূৰত্ব $= \sqrt{36^2 + 15^2} = \sqrt{1296 + 225} = \sqrt{1521} = 39$ একক।

প্ৰশ্ন 3: (1, 5), (2, 3) আৰু (-2, -11) বিন্দু তিনিটা সমৰেখ হয় নে নহয় পৰীক্ষা কৰা।

উত্তৰঃ ধৰোঁ A(1,5), B(2,3), C(-2,-11)।

$AB = \sqrt{(2-1)^2 + (3-5)^2} = \sqrt{1+4} = \sqrt{5}$

$BC = \sqrt{(-2-2)^2 + (-11-3)^2} = \sqrt{16+196} = \sqrt{212}$

$AC = \sqrt{(-2-1)^2 + (-11-5)^2} = \sqrt{9+256} = \sqrt{265}$

যিহেতু $AB + BC \neq AC$, সেয়ে বিন্দু তিনিটা সমৰেখ নহয়।

প্ৰশ্ন 4: (5,-2), (6,4) আৰু (7,-2) বিন্দু তিনিটাই এটা সমদ্বিবাহু ত্ৰিভুজ গঠন কৰে নেকি পৰীক্ষা কৰা।

উত্তৰঃ ধৰোঁ A(5,-2), B(6,4), C(7,-2)।

$AB = \sqrt{(6-5)^2 + (4+2)^2} = \sqrt{1+36} = \sqrt{37}$

$BC = \sqrt{(7-6)^2 + (-2-4)^2} = \sqrt{1+36} = \sqrt{37}$

$AC = \sqrt{(7-5)^2 + 0} = 2$

যিহেতু $AB = BC = \sqrt{37}$, সেয়ে ত্ৰিভুজ ABC এটা সমদ্বিবাহু ত্ৰিভুজ।

প্ৰশ্ন 5: এখন শ্ৰেণীকোঠাত চাৰিজন বন্ধু ক্ৰমে A, B, C, D বিন্দুত বহি আছে। চম্পা আৰু চামিৰা শ্ৰেণীত সোমাই কেইমিনিটমান চাই থাকি চামিৰাই চম্পাক সুধিলে — ‘এই বিন্দু চাৰিটাই এটা বৰ্গক্ষেত্ৰ গঠন কৰিছে নেকি?’ যেতিয়া A(3,4), B(6,7), C(9,4), D(6,1)। চম্পাৰ উত্তৰ কি হ’ব?

উত্তৰঃ

$AB = \sqrt{(6-3)^2 + (7-4)^2} = \sqrt{9+9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$

$BC = \sqrt{(9-6)^2 + (4-7)^2} = \sqrt{9+9} = 3\sqrt{2}$

$CD = \sqrt{(6-9)^2 + (1-4)^2} = \sqrt{9+9} = 3\sqrt{2}$

$DA = \sqrt{(3-6)^2 + (4-1)^2} = \sqrt{9+9} = 3\sqrt{2}$

$AC = \sqrt{(9-3)^2 + (4-4)^2} = 6$

$BD = \sqrt{(6-6)^2 + (1-7)^2} = 6$

চাৰিওটা বাহু সমান আৰু দুয়োটা কৰ্ণ সমান। সেয়ে ABCD এটা বৰ্গক্ষেত্ৰ। চম্পাৰ উত্তৰ — হয়।

প্ৰশ্ন 6: তলৰ বিন্দুসমূহে গঠন কৰা চতুৰ্ভুজৰ ধৰণ নিৰ্ণয় কৰা।
(i) (-1,-2), (1,0), (-1,2), (-3,0)
(ii) (-3,5), (3,1), (0,3), (-1,-4)
(iii) (4,5), (7,6), (4,3), (1,2)

উত্তৰঃ

(i) ধৰোঁ A(-1,-2), B(1,0), C(-1,2), D(-3,0)।

$AB = \sqrt{4+4} = 2\sqrt{2}$, $BC = \sqrt{4+4} = 2\sqrt{2}$, $CD = \sqrt{4+4} = 2\sqrt{2}$, $DA = \sqrt{4+4} = 2\sqrt{2}$

$AC = \sqrt{0+16} = 4$, $BD = \sqrt{16+0} = 4$

সকলো বাহু সমান আৰু কৰ্ণ দুটা সমান। গতিকে ABCD এটা বৰ্গক্ষেত্ৰ।

(ii) ধৰোঁ A(-3,5), B(3,1), C(0,3), D(-1,-4)।

$AB = \sqrt{36+16} = \sqrt{52}$, $BC = \sqrt{9+4} = \sqrt{13}$, $AC = \sqrt{9+4} = \sqrt{13}$

$AC + BC = 2\sqrt{13} = \sqrt{52} = AB$, গতিকে A, B, C সমৰেখ। সেয়ে ABCD চতুৰ্ভুজ গঠন কৰিব নোৱাৰে।

(iii) ধৰোঁ A(4,5), B(7,6), C(4,3), D(1,2)।

$AB = \sqrt{9+1} = \sqrt{10}$, $BC = \sqrt{9+9} = \sqrt{18}$, $CD = \sqrt{9+1} = \sqrt{10}$, $DA = \sqrt{9+9} = \sqrt{18}$

$AC = \sqrt{0+4} = 2$, $BD = \sqrt{36+16} = \sqrt{52}$

বিপৰীত বাহু সমান কিন্তু কৰ্ণ অসমান। গতিকে ABCD এটা সামন্তৰিক।

প্ৰশ্ন 7: x-অক্ষৰ ওপৰত (2,-5) আৰু (-2,9) ৰ পৰা সমদূৰৱৰ্তী বিন্দুৰ স্থানাংক নিৰ্ণয় কৰা।

উত্তৰঃ ধৰোঁ x-অক্ষৰ ওপৰৰ বিন্দু $P(x, 0)$।

$PA = PB$ ⇒ $PA^2 = PB^2$

$(x-2)^2 + 25 = (x+2)^2 + 81$

$x^2 – 4x + 4 + 25 = x^2 + 4x + 4 + 81$

$-8x = 56$ ⇒ $x = -7$

সেয়ে বিচৰা বিন্দু $(-7, 0)$।

প্ৰশ্ন 8: y ৰ মান নিৰ্ণয় কৰা যাতে P(2,-3) আৰু Q(10, y) ৰ মাজৰ দূৰত্ব 10 একক হয়।

উত্তৰঃ $PQ^2 = 100$

$(10-2)^2 + (y+3)^2 = 100$

$64 + (y+3)^2 = 100$

$(y+3)^2 = 36$ ⇒ $y+3 = \pm 6$

$y = 3$ অথবা $y = -9$।

প্ৰশ্ন 9: যদি Q(0,1) আৰু P(5,-3) ৰ পৰা সমদূৰৱৰ্তী হয় তেন্তে x ৰ মান নিৰ্ণয় কৰা য’ত Q ৰ x-স্থানাংক $x$। QR আৰু PR দূৰত্বও বাহিৰ কৰা য’ত R(x, 6)।

উত্তৰঃ $QP = QR$ ⇒ $\sqrt{25 + 16} = \sqrt{x^2 + 25}$

$41 = x^2 + 25$ ⇒ $x^2 = 16$ ⇒ $x = \pm 4$

$x = 4$ হ’লে $R(4,6)$, $QR = \sqrt{16+25} = \sqrt{41}$, $PR = \sqrt{1+81} = \sqrt{82}$।

$x = -4$ হ’লে $R(-4,6)$, $QR = \sqrt{16+25} = \sqrt{41}$, $PR = \sqrt{81+81} = 9\sqrt{2}$।

প্ৰশ্ন 10: x আৰু y ৰ মাজত সম্পৰ্ক স্থাপন কৰা যাতে $(x, y)$ বিন্দুটো $(3, 6)$ আৰু $(-3, 4)$ ৰ পৰা সমদূৰৱৰ্তী হয়।

উত্তৰঃ $(x-3)^2 + (y-6)^2 = (x+3)^2 + (y-4)^2$

$x^2 – 6x + 9 + y^2 – 12y + 36 = x^2 + 6x + 9 + y^2 – 8y + 16$

$-6x – 12y + 36 = 6x – 8y + 16$

$-12x – 4y + 20 = 0$ ⇒ $3x + y = 5$।

অনুশীলনী 7.2 (Exercise 7.2)

প্ৰশ্ন 1: (-1, 7) আৰু (4, -3) বিন্দু দুটাক সংযোগ কৰা ৰেখাখণ্ডটোক 2:3 অনুপাতত আভ্যন্তৰীণভাৱে বিভক্ত কৰা বিন্দুৰ স্থানাংক নিৰ্ণয় কৰা।

উত্তৰঃ বিভাজনৰ সূত্ৰৰ সহায়ত —

$x = \dfrac{2 \times 4 + 3 \times (-1)}{2+3} = \dfrac{8-3}{5} = 1$

$y = \dfrac{2 \times (-3) + 3 \times 7}{5} = \dfrac{-6+21}{5} = 3$

সেয়ে বিন্দুটো $(1, 3)$।

প্ৰশ্ন 2: (4,-1) আৰু (-2,-3) বিন্দু দুটাক সংযোগ কৰা ৰেখাখণ্ডক ত্ৰিথা সমান অংশত বিভক্ত কৰা বিন্দু দুটাৰ স্থানাংক নিৰ্ণয় কৰা।

উত্তৰঃ ধৰোঁ P আৰু Q এ AB ক ত্ৰিথা সমান অংশত বিভক্ত কৰে।

P এ AB ক $1:2$ অনুপাতত বিভক্ত কৰে —

$P = \left(\dfrac{1 \times (-2) + 2 \times 4}{3}, \dfrac{1 \times (-3) + 2 \times (-1)}{3}\right) = \left(\dfrac{6}{3}, \dfrac{-5}{3}\right) = \left(2, -\dfrac{5}{3}\right)$

Q এ AB ক $2:1$ অনুপাতত বিভক্ত কৰে —

$Q = \left(\dfrac{2 \times (-2) + 1 \times 4}{3}, \dfrac{2 \times (-3) + 1 \times (-1)}{3}\right) = \left(0, -\dfrac{7}{3}\right)$

প্ৰশ্ন 3: এখন খেলপথাৰত নিয়াল্লিছ লাইন অনুসৰি পৰিৱেশ অধ্যয়নৰ ক্লাছ চলিছে। ছাত্ৰীসকলক চাৰি শাৰীত আৰু চাৰিটা স্তম্ভত থিয় কৰোৱা হৈছে। প্ৰতিটো শাৰী আৰু স্তম্ভৰ মাজত 1 m ব্যৱধান। AD ৰেখাত নিয়মীয়াকৈ এখন ফুলপাৰি লগোৱা হৈছে। AD ৰ ওপৰত A আৰু D ৰ পৰা সমদূৰৱৰ্তী P আৰু Q ক্ৰমে $\dfrac{1}{4}AD$ আৰু $\dfrac{1}{2}AD$ ত আছে। যদি A(2,1), B(8,3), C(8,7), D(2,5), P আৰু Q ৰ স্থানাংক নিৰ্ণয় কৰা।

উত্তৰঃ $P = \left(\dfrac{2 \times 1 + 6 \times 1}{4}, \dfrac{1 \times 5 + 3 \times 1}{4}\right)$ — সংশোধিত গণনাৰে P(AP:PD = 1:3) —

$P = \left(\dfrac{1 \times 2 + 3 \times 2}{4}, \dfrac{1 \times 5 + 3 \times 1}{4}\right) = \left(2, 2\right)$

$Q$ এ AD ৰ মধ্যবিন্দু — $Q = \left(\dfrac{2+2}{2}, \dfrac{1+5}{2}\right) = (2, 3)$

প্ৰশ্ন 4: $A(-2,-2)$ আৰু $B(2,-4)$ বিন্দু দুটাক সংযোগ কৰা ৰেখাখণ্ডক $P$ এ এনেদৰে বিভক্ত কৰে যাতে $AP = \dfrac{3}{7}AB$। P ৰ স্থানাংক নিৰ্ণয় কৰা।

উত্তৰঃ $AP : PB = 3:4$।

$P = \left(\dfrac{3 \times 2 + 4 \times (-2)}{7}, \dfrac{3 \times (-4) + 4 \times (-2)}{7}\right) = \left(\dfrac{-2}{7}, \dfrac{-20}{7}\right)$

প্ৰশ্ন 5: (1,-5) আৰু (-4,5) ৰ মাজৰ ৰেখাখণ্ডক x-অক্ষই কোন অনুপাতত বিভক্ত কৰে? বিভাজন বিন্দুৰ স্থানাংকও নিৰ্ণয় কৰা।

উত্তৰঃ ধৰোঁ x-অক্ষই $k:1$ অনুপাতত বিভক্ত কৰে। তেতিয়া বিভাজন বিন্দুৰ y-স্থানাংক 0।

$\dfrac{k \times 5 + 1 \times (-5)}{k+1} = 0$ ⇒ $5k = 5$ ⇒ $k = 1$

সেয়ে অনুপাত $1:1$, অৰ্থাৎ x-অক্ষই AB ক সমদ্বিভাজন কৰে।

x-স্থানাংক $= \dfrac{1 \times (-4) + 1 \times 1}{2} = -\dfrac{3}{2}$

সেয়ে বিভাজন বিন্দু $\left(-\dfrac{3}{2}, 0\right)$।

প্ৰশ্ন 6: যদি (1,2), (4,y), (x,6) আৰু (3,5) ক্ৰমে এটা সামন্তৰিকৰ শীৰ্ষবিন্দু, তেন্তে x আৰু y ৰ মান নিৰ্ণয় কৰা।

উত্তৰঃ সামন্তৰিকৰ কৰ্ণদ্বয়ৰ মধ্যবিন্দু একে।

AC ৰ মধ্যবিন্দু $= \left(\dfrac{1+x}{2}, \dfrac{2+6}{2}\right) = \left(\dfrac{1+x}{2}, 4\right)$

BD ৰ মধ্যবিন্দু $= \left(\dfrac{4+3}{2}, \dfrac{y+5}{2}\right) = \left(\dfrac{7}{2}, \dfrac{y+5}{2}\right)$

$\dfrac{1+x}{2} = \dfrac{7}{2}$ ⇒ $x = 6$; $\dfrac{y+5}{2} = 4$ ⇒ $y = 3$।

প্ৰশ্ন 7: AB ব্যাসৰ এটা বৃত্তৰ কেন্দ্ৰ (2,-3); B(1,4)। A ৰ স্থানাংক নিৰ্ণয় কৰা।

উত্তৰঃ ধৰোঁ $A(x,y)$। কেন্দ্ৰটো AB ৰ মধ্যবিন্দু।

$\dfrac{x+1}{2} = 2$ ⇒ $x = 3$; $\dfrac{y+4}{2} = -3$ ⇒ $y = -10$

সেয়ে $A(3, -10)$।

প্ৰশ্ন 8: যদি A আৰু B ক্ৰমে (-2,-2) আৰু (2,-4), $AP = \dfrac{3}{7}AB$ আৰু P, AB ৰেখাখণ্ডৰ ওপৰত আছে, তেন্তে P ৰ স্থানাংক নিৰ্ণয় কৰা।

উত্তৰঃ প্ৰশ্ন 4 ৰ সদৃশ। $P = \left(-\dfrac{2}{7}, -\dfrac{20}{7}\right)$।

প্ৰশ্ন 9: A(-2,2) আৰু B(2,8) ৰ মাজত ৰেখাখণ্ডটোক চাৰিটা সমান অংশত বিভক্ত কৰা বিন্দুসমূহৰ স্থানাংক নিৰ্ণয় কৰা।

উত্তৰঃ মধ্যবিন্দু $M = (0, 5)$।

AM ৰ মধ্যবিন্দু $P_1 = \left(-1, \dfrac{7}{2}\right)$।

MB ৰ মধ্যবিন্দু $P_3 = \left(1, \dfrac{13}{2}\right)$।

সেয়ে বিন্দু তিনিটা $\left(-1, \dfrac{7}{2}\right), (0,5), \left(1, \dfrac{13}{2}\right)$।

প্ৰশ্ন 10: এটা ৰম্বছৰ শীৰ্ষবিন্দু ক্ৰমে (3,0), (4,5), (-1,4) আৰু (-2,-1) হ’লে কালি নিৰ্ণয় কৰা।

উত্তৰঃ ৰম্বছৰ কালি $= \dfrac{1}{2} \times d_1 \times d_2$।

$d_1 = AC = \sqrt{(-1-3)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{16+16} = 4\sqrt{2}$

$d_2 = BD = \sqrt{(-2-4)^2 + (-1-5)^2} = \sqrt{36+36} = 6\sqrt{2}$

কালি $= \dfrac{1}{2} \times 4\sqrt{2} \times 6\sqrt{2} = 24$ বৰ্গ একক।

অনুশীলনী 7.3 (Exercise 7.3)

প্ৰশ্ন 1: তলৰ শীৰ্ষবিন্দুসমূহযুক্ত ত্ৰিভুজৰ কালি নিৰ্ণয় কৰা।
(i) (2,3), (-1,0), (2,-4)
(ii) (-5,-1), (3,-5), (5,2)

উত্তৰঃ

(i) কালি $= \dfrac{1}{2}|2(0-(-4)) + (-1)(-4-3) + 2(3-0)|$

$= \dfrac{1}{2}|8 + 7 + 6| = \dfrac{21}{2}$ বৰ্গ একক।

(ii) কালি $= \dfrac{1}{2}|(-5)(-5-2) + 3(2-(-1)) + 5(-1-(-5))|$

$= \dfrac{1}{2}|35 + 9 + 20| = 32$ বৰ্গ একক।

প্ৰশ্ন 2: তলৰ ক্ষেত্ৰত k ৰ মান নিৰ্ণয় কৰা যাতে বিন্দু তিনিটা সমৰেখ হয়।
(i) (7,-2), (5,1), (3,k)
(ii) (8,1), (k,-4), (2,-5)

উত্তৰঃ সমৰেখ হ’বলৈ ত্ৰিভুজৰ কালি = 0।

(i) $7(1-k) + 5(k-(-2)) + 3(-2-1) = 0$

$7 – 7k + 5k + 10 – 9 = 0$ ⇒ $-2k + 8 = 0$ ⇒ $k = 4$।

(ii) $8(-4-(-5)) + k(-5-1) + 2(1-(-4)) = 0$

$8 – 6k + 10 = 0$ ⇒ $6k = 18$ ⇒ $k = 3$।

প্ৰশ্ন 3: ত্ৰিভুজ ABC ৰ শীৰ্ষবিন্দু A(0,-1), B(2,1), C(0,3) ৰ বাহুৰ মধ্যবিন্দু সংযোগ কৰি যি ত্ৰিভুজ পোৱা যায় তাৰ কালি নিৰ্ণয় কৰা। ABC ৰ কালিৰ লগত অনুপাত নিৰ্ণয় কৰা।

উত্তৰঃ AB ৰ মধ্যবিন্দু $D = (1, 0)$, BC ৰ মধ্যবিন্দু $E = (1, 2)$, AC ৰ মধ্যবিন্দু $F = (0, 1)$।

ABC ৰ কালি $= \dfrac{1}{2}|0(1-3) + 2(3-(-1)) + 0(-1-1)| = \dfrac{1}{2} \times 8 = 4$ বৰ্গ একক।

DEF ৰ কালি $= \dfrac{1}{2}|1(2-1) + 1(1-0) + 0(0-2)| = \dfrac{1}{2} \times 2 = 1$ বৰ্গ একক।

অনুপাত $= 1:4$।

প্ৰশ্ন 4: চতুৰ্ভুজ ABCD ৰ কালি নিৰ্ণয় কৰা য’ত A(-4,-2), B(-3,-5), C(3,-2), D(2,3)।

উত্তৰঃ কৰ্ণ AC এ চতুৰ্ভুজক ABC আৰু ACD ত ভাগ কৰে।

$\Delta ABC = \dfrac{1}{2}|(-4)(-5-(-2)) + (-3)(-2-(-2)) + 3(-2-(-5))| = \dfrac{1}{2}|12+0+9| = \dfrac{21}{2}$

$\Delta ACD = \dfrac{1}{2}|(-4)(-2-3) + 3(3-(-2)) + 2(-2-(-2))| = \dfrac{1}{2}|20+15+0| = \dfrac{35}{2}$

চতুৰ্ভুজৰ কালি $= \dfrac{21}{2} + \dfrac{35}{2} = 28$ বৰ্গ একক।

প্ৰশ্ন 5: ত্ৰিভুজ ABC ত A(4,-6), B(3,-2), C(5,2)। দেখুওৱা যে AD মধ্যমাই ত্ৰিভুজটোক সমান কালিৰ দুটা ত্ৰিভুজত বিভক্ত কৰে।

উত্তৰঃ BC ৰ মধ্যবিন্দু $D = (4, 0)$।

$\Delta ABD = \dfrac{1}{2}|4(-2-0) + 3(0-(-6)) + 4(-6-(-2))| = \dfrac{1}{2}|-8+18-16| = 3$

$\Delta ACD = \dfrac{1}{2}|4(2-0) + 5(0-(-6)) + 4(-6-2)| = \dfrac{1}{2}|8+30-32| = 3$

সেয়ে $\Delta ABD = \Delta ACD$, প্ৰমাণিত।

অনুশীলনী 7.4 (Exercise 7.4 – ঐচ্ছিক)

প্ৰশ্ন 1: A(2,-2) আৰু B(3,7) ক সংযোগ কৰা ৰেখাখণ্ডটোক $2x + y – 4 = 0$ ৰেখাই কোন অনুপাতত বিভক্ত কৰে?

উত্তৰঃ ধৰোঁ অনুপাত $k:1$।

বিভাজন বিন্দু $\left(\dfrac{3k+2}{k+1}, \dfrac{7k-2}{k+1}\right)$।

ৰেখাত প্ৰতিস্থাপন কৰি — $2 \cdot \dfrac{3k+2}{k+1} + \dfrac{7k-2}{k+1} – 4 = 0$

$2(3k+2) + (7k-2) – 4(k+1) = 0$

$6k + 4 + 7k – 2 – 4k – 4 = 0$ ⇒ $9k – 2 = 0$ ⇒ $k = \dfrac{2}{9}$

অনুপাত $= 2:9$।

প্ৰশ্ন 2: x আৰু y ৰ মাজত সম্পৰ্ক বিচাৰা যাতে বিন্দু (x,y), (1,2), (7,0) সমৰেখ হয়।

উত্তৰঃ কালি = 0:

$x(2-0) + 1(0-y) + 7(y-2) = 0$

$2x – y + 7y – 14 = 0$ ⇒ $2x + 6y = 14$ ⇒ $x + 3y = 7$।

প্ৰশ্ন 3: ত্ৰিভুজৰ শীৰ্ষবিন্দু (6,-6), (3,-7), (3,3) ৰ পৰিকেন্দ্ৰৰ স্থানাংক নিৰ্ণয় কৰা।

উত্তৰঃ ধৰোঁ পৰিকেন্দ্ৰ $O(x, y)$। $OA = OB = OC$।

$OA^2 = OB^2$: $(x-6)^2 + (y+6)^2 = (x-3)^2 + (y+7)^2$

$-12x + 36 + 12y + 36 = -6x + 9 + 14y + 49$

$-6x – 2y + 14 = 0$ ⇒ $3x + y = 7$ … (i)

$OB^2 = OC^2$: $(x-3)^2 + (y+7)^2 = (x-3)^2 + (y-3)^2$

$(y+7)^2 = (y-3)^2$ ⇒ $14y + 49 = -6y + 9$ ⇒ $20y = -40$ ⇒ $y = -2$।

(i) ৰ পৰা $3x = 9$ ⇒ $x = 3$। সেয়ে পৰিকেন্দ্ৰ $(3, -2)$।

প্ৰশ্ন 4: এটা বৰ্গক্ৰীড়াপথাৰৰ এক চুকত $A(-1,1)$ আৰু আনটো চুক $B(2,4)$। বৰ্গৰ আন দুটা শীৰ্ষবিন্দুৰ স্থানাংক নিৰ্ণয় কৰা।

উত্তৰঃ AB কৰ্ণ ধৰিলে কেন্দ্ৰ $\left(\dfrac{1}{2}, \dfrac{5}{2}\right)$, বাহু $\dfrac{AB}{\sqrt{2}} = \dfrac{3\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 3$।

আন কৰ্ণৰ শীৰ্ষবিন্দু — কেন্দ্ৰৰ পৰা সমান দূৰত্বত আৰু লম্ব দিশত। কৰ্ণৰ মাজৰ লম্ব দিশত স্থানাংক $\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{\sqrt{2}}\cos 135°, \dfrac{5}{2}+\dfrac{3}{\sqrt{2}}\sin 135°\right) = (-1, 4)$ আৰু $(2, 1)$।

প্ৰশ্ন 5: ত্ৰিভুজ ABC ৰ শীৰ্ষবিন্দু A(4,2), B(6,5), C(1,4) ৰ বাহুৰ মধ্যবিন্দু সংযোগ কৰি যি ত্ৰিভুজ পোৱা যায়, তাৰ কালি ABC ৰ কালিৰ এক চতুৰ্থাংশ — ইয়াক প্ৰমাণ কৰা। ত্ৰিভুজ ABC ৰ কেন্দ্ৰকও নিৰ্ণয় কৰা।

উত্তৰঃ কেন্দ্ৰক $G = \left(\dfrac{4+6+1}{3}, \dfrac{2+5+4}{3}\right) = \left(\dfrac{11}{3}, \dfrac{11}{3}\right)$।

মধ্যমা AD য়ত $D$ এ BC ৰ মধ্যবিন্দু $\left(\dfrac{7}{2}, \dfrac{9}{2}\right)$। $G$ এ AD ক $2:1$ অনুপাতত বিভক্ত কৰে।

মধ্যবিন্দু সংযোগ কৰি গঠিত ত্ৰিভুজৰ কালি $= \dfrac{1}{4} \times \Delta ABC$ — মধ্যবিন্দু-উপপাদ্যৰ পৰা।

অতিৰিক্ত প্ৰশ্ন (Additional Questions)

প্ৰশ্ন: $(\sqrt{3}, \sqrt{2})$ আৰু $(2\sqrt{6}, \sqrt{2})$ ৰ মাজৰ দূৰত্ব নিৰ্ণয় কৰা।

উত্তৰঃ y-স্থানাংক একে। দূৰত্ব $= |2\sqrt{6} – \sqrt{3}|$ একক।

প্ৰশ্ন: কোন চতুৰ্ভাগত $(-3, 5)$ বিন্দুটো অৱস্থিত?

উত্তৰঃ $x < 0, y > 0$ — দ্বিতীয় চতুৰ্ভাগ (II Quadrant)।

প্ৰশ্ন: $A(0,4), B(0,-4), C(3,0), D(-3,0)$ এ কেনে চতুৰ্ভুজ গঠন কৰে?

উত্তৰঃ $AB = 8$, $CD = 6$ — কৰ্ণদ্বয় পৰস্পৰ লম্ব আৰু সমদ্বিভাজিত। সেয়ে এটা ৰম্বছ।

প্ৰশ্ন: $(0, -1), (2, 1), (0, 3)$ এ কেনে ত্ৰিভুজ গঠন কৰে?

উত্তৰঃ $AB = \sqrt{4+4} = 2\sqrt{2}$, $BC = 2\sqrt{2}$, $AC = 4$।

$AB^2 + BC^2 = 8+8 = 16 = AC^2$ — সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্ৰিভুজ।

প্ৰশ্ন: $(2,3)$ আৰু $(4,7)$ ক সংযোগ কৰা ৰেখাখণ্ডৰ মধ্যবিন্দু নিৰ্ণয় কৰা।

উত্তৰঃ $M = \left(\dfrac{2+4}{2}, \dfrac{3+7}{2}\right) = (3, 5)$।

প্ৰশ্ন: ত্ৰিভুজৰ কেন্দ্ৰক (centroid) ৰ সূত্ৰ লিখা।

উত্তৰঃ শীৰ্ষবিন্দু $(x_1,y_1), (x_2,y_2), (x_3,y_3)$ থকা ত্ৰিভুজৰ কেন্দ্ৰক —

$$G = \left(\dfrac{x_1+x_2+x_3}{3}, \dfrac{y_1+y_2+y_3}{3}\right)$$

প্ৰশ্ন: y-অক্ষৰ ওপৰৰ এটা বিন্দু $(5,-2)$ আৰু $(-3,2)$ ৰ পৰা সমদূৰৱৰ্তী হ’লে বিন্দুটোৰ স্থানাংক নিৰ্ণয় কৰা।

উত্তৰঃ ধৰোঁ বিন্দু $P(0, y)$।

$25 + (y+2)^2 = 9 + (y-2)^2$

$25 + y^2 + 4y + 4 = 9 + y^2 – 4y + 4$

$8y = -16$ ⇒ $y = -2$। বিন্দু $(0, -2)$।

প্ৰশ্ন: $(8, 6)$ ৰ পৰা মূলবিন্দুলৈ দূৰত্ব নিৰ্ণয় কৰা।

উত্তৰঃ $\sqrt{64+36} = \sqrt{100} = 10$ একক।

প্ৰশ্ন: $(6,-4)$ আৰু $(-2,2)$ ক সংযোগ কৰা ৰেখাখণ্ডটো $y$-অক্ষই কোন অনুপাতত বিভক্ত কৰে?

উত্তৰঃ y-অক্ষত x = 0।

$\dfrac{k(-2) + 1(6)}{k+1} = 0$ ⇒ $-2k + 6 = 0$ ⇒ $k = 3$।

অনুপাত $3:1$।

উদাহৰণসহ অতিৰিক্ত আলোচনা (Detailed Worked Examples)

উদাহৰণ 1 — দূৰত্বৰ সূত্ৰৰ প্ৰয়োগ

প্ৰশ্ন: $A(2, 0), B(9, 1), C(11, 6), D(4, 5)$ এ এটা ৰম্বছ গঠন কৰে নেকি দেখুৱা।

উত্তৰঃ

$AB = \sqrt{(9-2)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{49+1} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$

$BC = \sqrt{(11-9)^2 + (6-1)^2} = \sqrt{4+25} = \sqrt{29}$

$CD = \sqrt{(4-11)^2 + (5-6)^2} = \sqrt{49+1} = \sqrt{50}$

$DA = \sqrt{(2-4)^2 + (0-5)^2} = \sqrt{4+25} = \sqrt{29}$

যিহেতু $AB = CD$ আৰু $BC = DA$ কিন্তু চাৰিওটা বাহু সমান নহয়, ই ৰম্বছ নহয়। ই এটা সামন্তৰিক হ’ব পাৰে। কৰ্ণ পৰীক্ষা কৰোঁ —

$AC = \sqrt{(11-2)^2 + (6-0)^2} = \sqrt{81+36} = \sqrt{117}$

$BD = \sqrt{(4-9)^2 + (5-1)^2} = \sqrt{25+16} = \sqrt{41}$

কৰ্ণ অসমান, সেয়ে ই এটা সামন্তৰিক (parallelogram), ৰম্বছ নহয়।

উদাহৰণ 2 — বিভাজন বিন্দুৰ অনুপাত

প্ৰশ্ন: $A(-3, -1)$ আৰু $B(-8, -9)$ ক সংযোগ কৰা ৰেখাখণ্ডটোৰ ওপৰৰ বিন্দু $P\left(-\dfrac{30}{7}, \dfrac{55}{7}\right)$ এ AB ক কোন অনুপাতত বিভক্ত কৰে?

উত্তৰঃ ধৰোঁ অনুপাত $k:1$।

$\dfrac{-8k – 3}{k+1} = -\dfrac{30}{7}$

$7(-8k – 3) = -30(k+1)$ ⇒ $-56k – 21 = -30k – 30$ ⇒ $-26k = -9$ ⇒ $k = \dfrac{9}{26}$

সেয়ে অনুপাত $9:26$।

উদাহৰণ 3 — পৰিকেন্দ্ৰ নিৰ্ণয়

প্ৰশ্ন: ত্ৰিভুজ ABC ৰ শীৰ্ষবিন্দু $A(7, 8), B(-2, 3), C(-3, 0)$ হ’লে পৰিকেন্দ্ৰ নিৰ্ণয় কৰা।

উত্তৰঃ ধৰোঁ পৰিকেন্দ্ৰ $O(x, y)$।

$OA = OB$ ⇒ $(x-7)^2 + (y-8)^2 = (x+2)^2 + (y-3)^2$

$x^2 – 14x + 49 + y^2 – 16y + 64 = x^2 + 4x + 4 + y^2 – 6y + 9$

$-18x – 10y + 100 = 0$ ⇒ $9x + 5y = 50$ … (i)

$OB = OC$ ⇒ $(x+2)^2 + (y-3)^2 = (x+3)^2 + y^2$

$4x + 4 – 6y + 9 = 6x + 9$ ⇒ $-2x – 6y + 4 = 0$ ⇒ $x + 3y = 2$ … (ii)

(ii) ৰ পৰা $x = 2 – 3y$। (i) ত প্ৰতিস্থাপন কৰি — $9(2-3y) + 5y = 50$ ⇒ $18 – 27y + 5y = 50$ ⇒ $-22y = 32$ ⇒ $y = -\dfrac{16}{11}$।

$x = 2 – 3 \times \left(-\dfrac{16}{11}\right) = 2 + \dfrac{48}{11} = \dfrac{70}{11}$

পৰিকেন্দ্ৰ $\left(\dfrac{70}{11}, -\dfrac{16}{11}\right)$।

উদাহৰণ 4 — ত্ৰিভুজৰ কালি (বিশেষ)

প্ৰশ্ন: $A(1, -1), B(-4, 6), C(-3, -5)$ শীৰ্ষবিন্দু থকা ত্ৰিভুজৰ কালি নিৰ্ণয় কৰা।

উত্তৰঃ

কালি $= \dfrac{1}{2}|1 \cdot (6-(-5)) + (-4) \cdot (-5-(-1)) + (-3) \cdot (-1-6)|$

$= \dfrac{1}{2}|1 \cdot 11 + (-4)(-4) + (-3)(-7)|$

$= \dfrac{1}{2}|11 + 16 + 21| = \dfrac{48}{2} = 24$ বৰ্গ একক।

উদাহৰণ 5 — কেন্দ্ৰক বিচাৰি উলিওৱা

প্ৰশ্ন: ত্ৰিভুজ ABC ৰ শীৰ্ষবিন্দু $A(2, 1), B(-1, 4), C(2, 7)$। কেন্দ্ৰক $G$ নিৰ্ণয় কৰা।

উত্তৰঃ

$G = \left(\dfrac{2 + (-1) + 2}{3}, \dfrac{1 + 4 + 7}{3}\right) = \left(1, 4\right)$।

BC ৰ মধ্যবিন্দু $D = \left(\dfrac{1}{2}, \dfrac{11}{2}\right)$। $G$ এ $AD$ ক $2:1$ অনুপাতত বিভক্ত কৰিব লাগে।

পৰীক্ষা — $\left(\dfrac{2 \times \frac{1}{2} + 1 \times 2}{3}, \dfrac{2 \times \frac{11}{2} + 1 \times 1}{3}\right) = (1, 4)$ ✓।

উদাহৰণ 6 — সমান্তৰ ত্ৰিভুজৰ চতুৰ্থ শীৰ্ষবিন্দু

প্ৰশ্ন: যদি A(-2,-1), B(1,0), C(4,3) আৰু D(1,2) এটা চতুৰ্ভুজৰ শীৰ্ষবিন্দু, তেন্তে ই সামন্তৰিক হয় নে নহয় চাবা।

উত্তৰঃ

$AB = \sqrt{9+1} = \sqrt{10}$; $BC = \sqrt{9+9} = \sqrt{18}$; $CD = \sqrt{9+1} = \sqrt{10}$; $DA = \sqrt{9+9} = \sqrt{18}$।

বিপৰীত বাহু সমান। AC কৰ্ণৰ মধ্যবিন্দু $\left(1, 1\right)$ আৰু BD ৰ মধ্যবিন্দু $\left(1, 1\right)$ — সমান। গতিকে ABCD এটা সামন্তৰিক।

উদাহৰণ 7 — সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্ৰিভুজ

প্ৰশ্ন: $P(2,-2), Q(8,4), R(5,7)$ এ সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্ৰিভুজ গঠন কৰে নেকি চাবা।

উত্তৰঃ

$PQ = \sqrt{36+36} = 6\sqrt{2}$, $QR = \sqrt{9+9} = 3\sqrt{2}$, $PR = \sqrt{9+81} = \sqrt{90} = 3\sqrt{10}$।

$PQ^2 = 72$, $QR^2 = 18$, $PR^2 = 90$ — $PQ^2 + QR^2 = 90 = PR^2$।

সেয়ে $\angle Q = 90°$। কিন্তু $PQ \neq QR$ গতিকে ই সমদ্বিবাহু নহয় — এটা সাধাৰণ সমকোণী ত্ৰিভুজ।

বহুনিৰ্বাচনী প্ৰশ্ন (MCQs)

প্ৰশ্ন 1: (-3, 5) বিন্দুটো কোন চতুৰ্ভাগত আছে?
(A) প্ৰথম (B) দ্বিতীয় (C) তৃতীয় (D) চতুৰ্থ

উত্তৰঃ (B) দ্বিতীয় চতুৰ্ভাগ।

প্ৰশ্ন 2: (0, -3) আৰু (0, 4) ৰ মাজৰ দূৰত্ব —
(A) 1 (B) 7 (C) -7 (D) 5

উত্তৰঃ (B) 7 একক।

প্ৰশ্ন 3: x-অক্ষৰ ওপৰৰ বিন্দুৰ y-স্থানাংক —
(A) 0 (B) 1 (C) যিকোনো বাস্তৱ সংখ্যা (D) -1

উত্তৰঃ (A) 0।

প্ৰশ্ন 4: $(-4, -7)$ ৰ পৰা মূলবিন্দুলৈ দূৰত্ব —
(A) $\sqrt{65}$ (B) $\sqrt{15}$ (C) $\sqrt{17}$ (D) $\sqrt{11}$

উত্তৰঃ (A) $\sqrt{16+49} = \sqrt{65}$।

প্ৰশ্ন 5: $(2, -3)$ আৰু $(-1, -4)$ ৰ মধ্যবিন্দু —
(A) $\left(\dfrac{1}{2}, -\dfrac{7}{2}\right)$ (B) $(1, -7)$ (C) $\left(\dfrac{3}{2}, \dfrac{7}{2}\right)$ (D) $\left(-\dfrac{1}{2}, -\dfrac{7}{2}\right)$

উত্তৰঃ (A) $\left(\dfrac{1}{2}, -\dfrac{7}{2}\right)$।

প্ৰশ্ন 6: $(2, 3), (4, k), (6, -3)$ সমৰেখ হ’লে k ৰ মান —
(A) 0 (B) 1 (C) -1 (D) 4

উত্তৰঃ (A) সমৰেখ হ’বলৈ ত্ৰিভুজৰ কালি = 0।

$2(k+3) + 4(-3-3) + 6(3-k) = 0$

$2k + 6 – 24 + 18 – 6k = 0$ ⇒ $-4k = 0$ ⇒ $k = 0$।

প্ৰশ্ন 7: এটা ত্ৰিভুজৰ শীৰ্ষবিন্দু (1, 2), (3, 4), (5, 6) ৰ কালি —
(A) 0 (B) 2 (C) 4 (D) 6

উত্তৰঃ (A) ভৰি দেখা যায় বিন্দু তিনিটা সমৰেখ গতিকে কালি = 0।

প্ৰশ্ন 8: A(2,3) আৰু B(4,1) ক সংযোগ কৰা ৰেখাখণ্ডৰ y-অক্ষই বিভাজনৰ অনুপাত —
(A) 1:2 আভ্যন্তৰীণ (B) 1:2 বাহিৰীণ (C) 2:1 আভ্যন্তৰীণ (D) এৰি যাব

উত্তৰঃ y-অক্ষই কাটিবলৈ x = 0।

$\dfrac{4k+2}{k+1} = 0$ ⇒ $k = -\dfrac{1}{2}$ — অৰ্থাৎ বাহিৰীণ বিভাজন। (B) 1:2 বাহিৰীণ অনুপাতত।

প্ৰশ্ন 9: ত্ৰিভুজ ABC ত A(-1,0), B(5,-2), C(8,2) হ’লে কেন্দ্ৰক —
(A) (4,0) (B) (12,0) (C) (4,1) (D) (3,0)

উত্তৰঃ $G = \left(\dfrac{-1+5+8}{3}, \dfrac{0-2+2}{3}\right) = (4, 0)$ — (A)।

প্ৰশ্ন 10: $(0, 5)$ আৰু $(-5, 0)$ ৰ মাজৰ দূৰত্ব —
(A) 5 (B) $5\sqrt{2}$ (C) $2\sqrt{5}$ (D) 10

উত্তৰঃ (B) $\sqrt{25 + 25} = 5\sqrt{2}$।

চমু প্ৰশ্ন (Short Answer Questions)

প্ৰশ্ন: A(-1,2), B(2,5), C(-5,6) সমৰেখ হয় নেকি চাবা।

উত্তৰঃ কালি $= \dfrac{1}{2}|(-1)(5-6) + 2(6-2) + (-5)(2-5)|$ $= \dfrac{1}{2}|1 + 8 + 15| = 12 \neq 0$।

সেয়ে বিন্দু তিনিটা সমৰেখ নহয়।

প্ৰশ্ন: $(2, 5)$ আৰু $(-3, 4)$ ৰ পৰা সমদূৰৱৰ্তী এটা বিন্দু x-অক্ষৰ ওপৰত পোৱা গ’লে স্থানাংক বাহিৰ কৰা।

উত্তৰঃ ধৰোঁ বিন্দুটো $(x, 0)$।

$(x-2)^2 + 25 = (x+3)^2 + 16$

$x^2 – 4x + 4 + 25 = x^2 + 6x + 9 + 16$

$-10x = -4$ ⇒ $x = \dfrac{2}{5}$।

বিন্দু $\left(\dfrac{2}{5}, 0\right)$।

প্ৰশ্ন: $A(7, -3), B(5, 3), C(3, -1)$ এটা সমদ্বিবাহু ত্ৰিভুজ গঠন কৰে নেকি চাবা।

উত্তৰঃ $AB = \sqrt{4+36} = \sqrt{40}$, $BC = \sqrt{4+16} = \sqrt{20}$, $AC = \sqrt{16+4} = \sqrt{20}$।

$BC = AC = 2\sqrt{5}$ — সমদ্বিবাহু ত্ৰিভুজ।

প্ৰশ্ন: $(2,-2)$ আৰু $(-7,4)$ ক সংযোগ কৰা ৰেখাখণ্ডটোক ত্ৰিথা সমভাগ কৰা বিন্দু দুটাৰ স্থানাংক নিৰ্ণয় কৰা।

উত্তৰঃ $P_1 = \left(\dfrac{1 \cdot (-7) + 2 \cdot 2}{3}, \dfrac{1 \cdot 4 + 2 \cdot (-2)}{3}\right) = (-1, 0)$।

$P_2 = \left(\dfrac{2 \cdot (-7) + 1 \cdot 2}{3}, \dfrac{2 \cdot 4 + 1 \cdot (-2)}{3}\right) = (-4, 2)$।

প্ৰশ্ন: এটা ত্ৰিভুজৰ মধ্যবিন্দু সংযোগ কৰি গঠিত ত্ৰিভুজৰ কালি, মূল ত্ৰিভুজৰ কালিৰ কিমান অংশ?

উত্তৰঃ মধ্যবিন্দু-উপপাদ্য (Midpoint Theorem) অনুসৰি, মধ্যবিন্দু সংযোগ কৰি গঠিত ত্ৰিভুজৰ কালি মূল ত্ৰিভুজৰ কালিৰ এক চতুৰ্থাংশ ($\dfrac{1}{4}$)।

প্ৰশ্ন: $A(3, 0), B(-1, 0), C(-1, -4), D(3, -4)$ এ কেনে চতুৰ্ভুজ গঠন কৰে?

উত্তৰঃ $AB = 4, BC = 4, CD = 4, DA = 4$ — চাৰিওটা বাহু সমান।

$AC = \sqrt{16+16} = 4\sqrt{2}$, $BD = \sqrt{16+16} = 4\sqrt{2}$ — কৰ্ণ সমান। গতিকে এটা বৰ্গক্ষেত্ৰ।

প্ৰশ্ন: ত্ৰিভুজ $ABC$ ৰ শীৰ্ষবিন্দু $A(0, 0), B(8, 0), C(0, 6)$। কালি আৰু পৰিকেন্দ্ৰ নিৰ্ণয় কৰা।

উত্তৰঃ কালি $= \dfrac{1}{2} |0(0-6) + 8(6-0) + 0(0-0)| = 24$ বৰ্গ একক।

সমকোণী ত্ৰিভুজ $\angle A = 90°$ গতিকে পৰিকেন্দ্ৰ অতিভুজ BC ৰ মধ্যবিন্দু — $(4, 3)$।

প্ৰশ্ন: যদি $(1,1), (-2,7), (3,-3)$ সমৰেখ হয় তেন্তে ক্ৰছ-পৰীক্ষা কৰা।

উত্তৰঃ কালি $= \dfrac{1}{2}|1(7-(-3)) + (-2)(-3-1) + 3(1-7)|$ $= \dfrac{1}{2}|10 + 8 – 18| = 0$।

সেয়ে সমৰেখ।

প্ৰশ্ন: A(2,3) আৰু B(8,9) ৰ মাজত ৰেখাখণ্ডক 2:3 অনুপাতত বাহিৰীণভাৱে বিভক্ত কৰা বিন্দুৰ স্থানাংক বাহিৰ কৰা।

উত্তৰঃ বাহিৰীণ বিভাজনৰ সূত্ৰ —

$P = \left(\dfrac{m x_2 – n x_1}{m-n}, \dfrac{m y_2 – n y_1}{m-n}\right) = \left(\dfrac{2 \cdot 8 – 3 \cdot 2}{2-3}, \dfrac{2 \cdot 9 – 3 \cdot 3}{2-3}\right) = (-10, -9)$।

দীঘল প্ৰশ্ন (Long Answer Questions)

প্ৰশ্ন: ত্ৰিভুজ ABC ৰ শীৰ্ষবিন্দু $A(4, -3), B(8, 5), C(0, 7)$। মধ্যমাৰ দৈৰ্ঘ্য আৰু কেন্দ্ৰক নিৰ্ণয় কৰা।

উত্তৰঃ

BC ৰ মধ্যবিন্দু $D = (4, 6)$।

মধ্যমা $AD = \sqrt{(4-4)^2 + (6+3)^2} = 9$ একক।

AC ৰ মধ্যবিন্দু $E = (2, 2)$, মধ্যমা $BE = \sqrt{(2-8)^2 + (2-5)^2} = \sqrt{36+9} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$।

AB ৰ মধ্যবিন্দু $F = (6, 1)$, মধ্যমা $CF = \sqrt{(6-0)^2 + (1-7)^2} = \sqrt{36+36} = 6\sqrt{2}$।

কেন্দ্ৰক $G = \left(\dfrac{4+8+0}{3}, \dfrac{-3+5+7}{3}\right) = (4, 3)$।

প্ৰশ্ন: $A(3, -5), B(-7, 4), C(10, -2)$ শীৰ্ষবিন্দু থকা ত্ৰিভুজৰ কালি বিচাৰি, ই সমৰেখ হয় নে চাবা।

উত্তৰঃ কালি $= \dfrac{1}{2}|3(4-(-2)) + (-7)(-2-(-5)) + 10(-5-4)|$ $= \dfrac{1}{2}|18 – 21 – 90| = \dfrac{93}{2}$ বৰ্গ একক।

কালি $\neq 0$ সেয়ে সমৰেখ নহয়।

প্ৰশ্ন: A(1,-1), B(-4,2k), C(-k,-5) এটা সমকোণী ত্ৰিভুজ য’ত $\angle B = 90°$ — k ৰ মান নিৰ্ণয় কৰা।

উত্তৰঃ পিথাগোৰাছৰ উপপাদ্য $AB^2 + BC^2 = AC^2$।

$AB^2 = (-4-1)^2 + (2k+1)^2 = 25 + 4k^2 + 4k + 1 = 4k^2 + 4k + 26$।

$BC^2 = (-k+4)^2 + (-5-2k)^2 = k^2 – 8k + 16 + 25 + 20k + 4k^2 = 5k^2 + 12k + 41$।

$AC^2 = (-k-1)^2 + (-5+1)^2 = k^2 + 2k + 1 + 16 = k^2 + 2k + 17$।

$4k^2 + 4k + 26 + 5k^2 + 12k + 41 = k^2 + 2k + 17$

$8k^2 + 14k + 50 = 0$ ⇒ $4k^2 + 7k + 25 = 0$ — বাস্তৱ সমাধান নাই।

(এটা ভিন্ন কোণত $\angle B$ সমকোণ হ’বলৈ চৰ্ত পুনৰীক্ষা কৰিব লাগিব।)

প্ৰশ্ন: $A(-3, 0), B(4, 0), C(4, 4), D(-3, 4)$ এ কেনে চতুৰ্ভুজ গঠন কৰে?

উত্তৰঃ $AB = 7$, $BC = 4$, $CD = 7$, $DA = 4$।

$AC = \sqrt{49 + 16} = \sqrt{65}$, $BD = \sqrt{49 + 16} = \sqrt{65}$।

বিপৰীত বাহু সমান, কৰ্ণদ্বয় সমান কিন্তু সংলগ্ন বাহু অসমান। সেয়ে এটা আয়তক্ষেত্ৰ (Rectangle)।

প্ৰশ্ন: এটা ত্ৰিভুজৰ শীৰ্ষবিন্দু $A(0, 0), B(5, 0), C(0, 12)$। কেন্দ্ৰক, পৰিকেন্দ্ৰ আৰু লম্বকেন্দ্ৰ নিৰ্ণয় কৰা।

উত্তৰঃ

কেন্দ্ৰক $G = \left(\dfrac{5}{3}, 4\right)$।

$\angle A = 90°$ সমকোণী ত্ৰিভুজ। পৰিকেন্দ্ৰ অতিভুজ BC ৰ মধ্যবিন্দু $\left(\dfrac{5}{2}, 6\right)$।

সমকোণী ত্ৰিভুজত লম্বকেন্দ্ৰ সমকোণৰ শীৰ্ষবিন্দু — $(0, 0)$।

প্ৰশ্ন: এটা ত্ৰিভুজৰ মধ্যৱিন্দু সংযোগ কৰা ত্ৰিভুজৰ কালি মূল ত্ৰিভুজৰ এক চতুৰ্থাংশ — A(-2,3), B(4,-1), C(2,5) ৰ ক্ষেত্ৰত প্ৰমাণ কৰা।

উত্তৰঃ

ABC ৰ কালি $= \dfrac{1}{2}|(-2)(-1-5) + 4(5-3) + 2(3-(-1))| = \dfrac{1}{2}|12 + 8 + 8| = 14$ বৰ্গ একক।

মধ্যবিন্দু — AB ৰ $D = (1, 1)$, BC ৰ $E = (3, 2)$, CA ৰ $F = (0, 4)$।

DEF ৰ কালি $= \dfrac{1}{2}|1(2-4) + 3(4-1) + 0(1-2)| = \dfrac{1}{2}|-2+9+0| = \dfrac{7}{2}$।

$\dfrac{\Delta DEF}{\Delta ABC} = \dfrac{7/2}{14} = \dfrac{1}{4}$ — প্ৰমাণিত।

প্ৰশ্ন: $A(2, 1), B(8, 1), C(8, 7), D(2, 7)$ এটা বৰ্গক্ষেত্ৰ ABCD ৰ চাৰিওটা শীৰ্ষবিন্দুৰ স্থানাংক। কালি, পৰিসীমা আৰু কৰ্ণৰ দৈৰ্ঘ্য নিৰ্ণয় কৰা।

উত্তৰঃ বাহু $AB = 6$ একক। কালি $= 6^2 = 36$ বৰ্গ একক। পৰিসীমা $= 24$ একক। কৰ্ণ $AC = \sqrt{36+36} = 6\sqrt{2}$ একক।

সঁচা–মিছা (True/False)

1. মূলবিন্দুৰ স্থানাংক (1, 1)। উত্তৰঃ মিছা — মূলবিন্দু (0, 0)।
2. x-অক্ষৰ ওপৰৰ যিকোনো বিন্দুৰ y-স্থানাংক শূন্য। উত্তৰঃ সঁচা।
3. মধ্যবিন্দু সূত্ৰটো হ’ল বিভাজন সূত্ৰৰ এটা বিশেষ ক্ষেত্ৰ য’ত $m=n$। উত্তৰঃ সঁচা।
4. সমৰেখ বিন্দু তিনিটাৰে গঠিত ত্ৰিভুজৰ কালি 1। উত্তৰঃ মিছা — কালি 0।
5. $(a, b)$ আৰু $(b, a)$ একে বিন্দু (যদি $a \neq b$)। উত্তৰঃ মিছা।
6. কোনো বিন্দুৰ ভুজ ঋণাত্মক হ’লে ই দ্বিতীয় বা তৃতীয় চতুৰ্ভাগত আছে। উত্তৰঃ সঁচা।
7. দূৰত্ব সদায় ধনাত্মক। উত্তৰঃ সঁচা।
8. সামন্তৰিকৰ কৰ্ণদ্বয়ৰ মধ্যবিন্দু একে। উত্তৰঃ সঁচা।

ৰিক্ত স্থান পূৰণ (Fill in the Blanks)

1. মূলবিন্দুৰ স্থানাংক ____। উত্তৰঃ $(0, 0)$।
2. $x$-অক্ষৰ ওপৰৰ বিন্দু $(a, b)$ ৰ ____ স্থানাংক ০। উত্তৰঃ $b = 0$।
3. $(2, 0)$ আৰু $(0, 3)$ ৰ মাজৰ দূৰত্ব ____ একক। উত্তৰঃ $\sqrt{13}$।
4. $(x_1, y_1), (x_2, y_2)$ ক $m:n$ অনুপাতত আভ্যন্তৰীণভাৱে বিভক্ত কৰা বিন্দুৰ x-স্থানাংক ____। উত্তৰঃ $\dfrac{mx_2 + nx_1}{m+n}$।
5. ত্ৰিভুজৰ মধ্যমাসমূহ ____ বিন্দুত মিলিত হয়। উত্তৰঃ কেন্দ্ৰক।
6. সমৰেখ হ’বলৈ ত্ৰিভুজৰ কালি ____। উত্তৰঃ $0$।
7. ৰম্বছৰ কালি = ____। উত্তৰঃ $\dfrac{1}{2} d_1 d_2$।
8. $(0, 0)$ ৰ পৰা $(p, q)$ লৈ দূৰত্ব ____। উত্তৰঃ $\sqrt{p^2 + q^2}$।

অনুশীলনীৰ অতিৰিক্ত সমস্যা (Extra Problems on Coordinate Geometry)

সমস্যা 1 — সমদূৰৱৰ্তী বিন্দু

প্ৰশ্ন: x-অক্ষত $(2, -5)$ আৰু $(-2, 9)$ ৰ পৰা সমদূৰৱৰ্তী বিন্দুৰ স্থানাংক নিৰ্ণয় কৰা।

উত্তৰঃ ধৰোঁ x-অক্ষত বিন্দুটো $P(x, 0)$।

$PA^2 = PB^2$ ⇒ $(x-2)^2 + 25 = (x+2)^2 + 81$

$x^2 – 4x + 4 + 25 = x^2 + 4x + 4 + 81$

$-8x = 56$ ⇒ $x = -7$।

সেয়ে বিন্দুটো $(-7, 0)$।

সমস্যা 2 — ত্ৰিভুজৰ পৰিসীমা

প্ৰশ্ন: ত্ৰিভুজ ABC ৰ শীৰ্ষবিন্দু $A(0, -1), B(2, 1), C(0, 3)$। পৰিসীমা আৰু কালি বিচাৰা।

উত্তৰঃ

$AB = \sqrt{4+4} = 2\sqrt{2}$, $BC = \sqrt{4+4} = 2\sqrt{2}$, $AC = \sqrt{0+16} = 4$।

পৰিসীমা $= 2\sqrt{2} + 2\sqrt{2} + 4 = 4\sqrt{2} + 4 = 4(\sqrt{2}+1)$ একক।

কালি $= \dfrac{1}{2}|0(1-3) + 2(3-(-1)) + 0(-1-1)| = \dfrac{1}{2} \times 8 = 4$ বৰ্গ একক।

$AB^2 + BC^2 = 16 = AC^2$ — এটা সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্ৰিভুজ।

সমস্যা 3 — অনুপাতেৰে বিভাজন

প্ৰশ্ন: $A(1, -5)$ আৰু $B(-4, 5)$ ক সংযোগ কৰা ৰেখাখণ্ডটোক $x$-অক্ষই কোন অনুপাতত বিভক্ত কৰে?

উত্তৰঃ ধৰোঁ অনুপাত $k:1$। বিভাজন বিন্দুৰ y-স্থানাংক ০।

$\dfrac{5k – 5}{k+1} = 0$ ⇒ $5k = 5$ ⇒ $k = 1$।

অনুপাত $1:1$ — অৰ্থাৎ x-অক্ষই AB ক সমদ্বিভাজন কৰে।

x-স্থানাংক $= \dfrac{-4+1}{2} = -\dfrac{3}{2}$। বিভাজন বিন্দু $\left(-\dfrac{3}{2}, 0\right)$।

সমস্যা 4 — চতুৰ্ভুজৰ ধৰণ চিনাক্তকৰণ

প্ৰশ্ন: A(1, 7), B(4, 2), C(-1, -1), D(-4, 4) এ কেনে চতুৰ্ভুজ গঠন কৰে?

উত্তৰঃ

$AB = \sqrt{9+25} = \sqrt{34}$, $BC = \sqrt{25+9} = \sqrt{34}$, $CD = \sqrt{9+25} = \sqrt{34}$, $DA = \sqrt{25+9} = \sqrt{34}$।

$AC = \sqrt{4+64} = \sqrt{68}$, $BD = \sqrt{64+4} = \sqrt{68}$।

চাৰিওটা বাহু সমান, কৰ্ণদ্বয় সমান। সেয়ে এটা বৰ্গক্ষেত্ৰ।

সমস্যা 5 — সামন্তৰিকৰ চতুৰ্থ শীৰ্ষ

প্ৰশ্ন: তিনিটা শীৰ্ষবিন্দু $A(-2, 3), B(6, 7), C(8, 3)$। সামন্তৰিক ABCD ৰ চতুৰ্থ শীৰ্ষবিন্দু D নিৰ্ণয় কৰা।

উত্তৰঃ সামন্তৰিকৰ কৰ্ণদ্বয়ৰ মধ্যবিন্দু একে।

AC ৰ মধ্যবিন্দু $= \left(\dfrac{-2+8}{2}, \dfrac{3+3}{2}\right) = (3, 3)$।

ধৰোঁ $D(x, y)$। BD ৰ মধ্যবিন্দু $\left(\dfrac{6+x}{2}, \dfrac{7+y}{2}\right) = (3, 3)$।

$\dfrac{6+x}{2} = 3$ ⇒ $x = 0$; $\dfrac{7+y}{2} = 3$ ⇒ $y = -1$।

সেয়ে $D(0, -1)$।

সমস্যা 6 — কালি আৰু কেন্দ্ৰক

প্ৰশ্ন: ত্ৰিভুজ ABC ৰ শীৰ্ষবিন্দু $A(2, 1), B(4, 3), C(2, 5)$। কালি, পৰিসীমা আৰু কেন্দ্ৰক বিচাৰা।

উত্তৰঃ

কালি $= \dfrac{1}{2}|2(3-5) + 4(5-1) + 2(1-3)| = \dfrac{1}{2}|-4+16-4| = 4$ বৰ্গ একক।

$AB = \sqrt{4+4} = 2\sqrt{2}$, $BC = \sqrt{4+4} = 2\sqrt{2}$, $AC = \sqrt{0+16} = 4$।

পৰিসীমা $= 4\sqrt{2} + 4$ একক। কেন্দ্ৰক $G = \left(\dfrac{8}{3}, 3\right)$।

সমস্যা 7 — চাৰিটা বিন্দু সমকেন্দ্ৰিক বৃত্তত

প্ৰশ্ন: $A(2, 4), B(2, -2), C(-1, 1)$ মূলবিন্দুৰ পৰা সমদূৰৱৰ্তী হয় নেকি চাবা।

উত্তৰঃ

$OA = \sqrt{4+16} = \sqrt{20}$, $OB = \sqrt{4+4} = \sqrt{8}$, $OC = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}$।

সমান নহয়। সেয়ে A, B, C তিনিটা মূলবিন্দুৰ পৰা সমদূৰৱৰ্তী নহয়।

সমস্যা 8 — বিন্দুক ত্ৰিথা সমান অংশত বিভাজন

প্ৰশ্ন: $A(-2, 2)$ আৰু $B(2, 8)$ ক সংযোগ কৰা ৰেখাখণ্ডটোক চাৰিটা সমান অংশত বিভক্ত কৰা বিন্দুৰ স্থানাংক নিৰ্ণয় কৰা।

উত্তৰঃ ধৰোঁ $P_1, P_2, P_3$ এ AB ক চাৰিটা সমান অংশত বিভক্ত কৰে।

$P_2$ এ AB ৰ মধ্যবিন্দু — $P_2 = (0, 5)$।

$P_1$ এ $AP_2$ ৰ মধ্যবিন্দু — $P_1 = \left(-1, \dfrac{7}{2}\right)$।

$P_3$ এ $P_2 B$ ৰ মধ্যবিন্দু — $P_3 = \left(1, \dfrac{13}{2}\right)$।

সমস্যা 9 — ব্যাসৰ মূৰৰ স্থানাংক

প্ৰশ্ন: এটা বৃত্তৰ কেন্দ্ৰ $(2, -3)$ আৰু এটা ব্যাসৰ মূৰ $(1, 4)$। আনটো মূৰৰ স্থানাংক নিৰ্ণয় কৰা।

উত্তৰঃ ধৰোঁ আনটো মূৰ $(x, y)$। কেন্দ্ৰ মধ্যবিন্দু।

$\dfrac{x+1}{2} = 2$ ⇒ $x = 3$; $\dfrac{y+4}{2} = -3$ ⇒ $y = -10$।

আনটো মূৰ $(3, -10)$।

সমস্যা 10 — ত্ৰিভুজৰ মধ্যবিন্দু সংযোগৰ ত্ৰিভুজ

প্ৰশ্ন: ত্ৰিভুজ ABC ৰ শীৰ্ষবিন্দু $A(2, 1), B(-2, 3), C(4, -3)$। বাহুৰ মধ্যবিন্দু সংযোগ কৰি গঠিত ত্ৰিভুজৰ পৰিসীমা নিৰ্ণয় কৰা।

উত্তৰঃ

$D$ AB ৰ মধ্যবিন্দু $= (0, 2)$, $E$ BC ৰ মধ্যবিন্দু $= (1, 0)$, $F$ AC ৰ মধ্যবিন্দু $= (3, -1)$।

$DE = \sqrt{1+4} = \sqrt{5}$, $EF = \sqrt{4+1} = \sqrt{5}$, $DF = \sqrt{9+9} = 3\sqrt{2}$।

পৰিসীমা $= 2\sqrt{5} + 3\sqrt{2}$ একক।

মূল ধাৰণা পুনৰাবৃত্তি (Conceptual Revision)

চতুৰ্ভাগৰ চিন (Quadrant Signs)

চতুৰ্ভাগ	x-চিন	y-চিন	উদাহৰণ
I	+	+	(3, 4)
II	–	+	(-3, 4)
III	–	–	(-3, -4)
IV	+	–	(3, -4)

বিশেষ অৱস্থা

• x-অক্ষৰ ওপৰৰ বিন্দু — $(a, 0)$
• y-অক্ষৰ ওপৰৰ বিন্দু — $(0, b)$
• মূলবিন্দু — $(0, 0)$
• $x = 0$ ৰেখা — y-অক্ষ
• $y = 0$ ৰেখা — x-অক্ষ

চতুৰ্ভুজৰ চিনাক্তকৰণ পদ্ধতি

আকৃতি	চৰ্ত (বাহু)	চৰ্ত (কৰ্ণ)
সামন্তৰিক	বিপৰীত বাহু সমান	মধ্যবিন্দু একে
আয়তক্ষেত্ৰ	বিপৰীত বাহু সমান	কৰ্ণ সমান
ৰম্বছ	চাৰিও বাহু সমান	কৰ্ণ পৰস্পৰ লম্ব
বৰ্গক্ষেত্ৰ	চাৰিও বাহু সমান	কৰ্ণ সমান আৰু লম্ব
ট্ৰাপিজিয়াম	এযোৰ বিপৰীত বাহু সমান্তৰ	—

ত্ৰিভুজৰ চিনাক্তকৰণ পদ্ধতি

ত্ৰিভুজৰ ধৰণ	চৰ্ত
সমদ্বিবাহু	দুটা বাহু সমান
সমভুজ	তিনিও বাহু সমান
সমকোণী	$a^2 + b^2 = c^2$ (পিথাগোৰাছ)
সমদ্বিবাহু সমকোণী	সমদ্বিবাহু + সমকোণী
স্কেলিন	তিনিও বাহু অসমান

আৰু কেইটামান অভ্যাস প্ৰশ্ন (More Practice Questions)

প্ৰশ্ন: $(0, 5)$ ৰ পৰা মূলবিন্দুলৈ দূৰত্ব কিমান?

উত্তৰঃ $\sqrt{0+25} = 5$ একক।

প্ৰশ্ন: $(-5, 0)$ ৰ পৰা মূলবিন্দুলৈ দূৰত্ব কিমান?

উত্তৰঃ $\sqrt{25+0} = 5$ একক।

প্ৰশ্ন: $(a, 0)$ আৰু $(0, b)$ ৰ মাজৰ দূৰত্ব কিমান?

উত্তৰঃ $\sqrt{a^2 + b^2}$ একক।

প্ৰশ্ন: $A(3, 4), B(-2, 3), C(0, -2)$ এটা ত্ৰিভুজ গঠন কৰে নেকি? কেনে ধৰণৰ?

উত্তৰঃ

$AB = \sqrt{25+1} = \sqrt{26}$, $BC = \sqrt{4+25} = \sqrt{29}$, $AC = \sqrt{9+36} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$।

সকলো বাহু অসমান। সেয়ে এটা স্কেলিন ত্ৰিভুজ।

প্ৰশ্ন: $P(1, 2)$ আৰু $Q(4, 6)$ ৰ মাজৰ দূৰত্ব নিৰ্ণয় কৰা।

উত্তৰঃ $PQ = \sqrt{9+16} = 5$ একক।

প্ৰশ্ন: $A(0, 6), B(0, -2)$ আৰু $C(3, 2)$ এটা সমদ্বিবাহু ত্ৰিভুজ গঠন কৰে নেকি?

উত্তৰঃ $AB = 8$, $BC = \sqrt{9+16} = 5$, $AC = \sqrt{9+16} = 5$।

$BC = AC = 5$, সেয়ে সমদ্বিবাহু।

প্ৰশ্ন: $(a+b, b-a)$ আৰু $(a-b, a+b)$ ৰ মাজৰ দূৰত্ব নিৰ্ণয় কৰা।

উত্তৰঃ দূৰত্ব $= \sqrt{((a-b)-(a+b))^2 + ((a+b)-(b-a))^2}$

$= \sqrt{(-2b)^2 + (2a)^2} = \sqrt{4a^2 + 4b^2} = 2\sqrt{a^2+b^2}$ একক।

প্ৰশ্ন: $(0, 0), (5, 0), (5, 12), (0, 12)$ এ কেনে চতুৰ্ভুজ গঠন কৰে?

উত্তৰঃ $AB = 5$, $BC = 12$, $CD = 5$, $DA = 12$। বিপৰীত বাহু সমান, কোণ সমকোণী। সেয়ে আয়তক্ষেত্ৰ। কালি $= 5 \times 12 = 60$ বৰ্গ একক।

প্ৰশ্ন: যদি $A(2, 3), B(8, 9), C(8, 3)$ — ত্ৰিভুজৰ ধৰণ চিনাকি কৰা।

উত্তৰঃ $AB = \sqrt{36+36} = 6\sqrt{2}$, $BC = 6$, $AC = 6$।

$AC = BC$ গতিকে সমদ্বিবাহু। $AC^2 + BC^2 = 36+36 = 72 = AB^2$ — সেয়ে $\angle C = 90°$। সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্ৰিভুজ।

প্ৰশ্ন: ত্ৰিভুজৰ এটা শীৰ্ষবিন্দু $A(1, -3)$ আৰু কেন্দ্ৰক $G(4, -1)$ হ’লে BC ৰ মধ্যবিন্দুৰ স্থানাংক নিৰ্ণয় কৰা।

উত্তৰঃ কেন্দ্ৰক G এ মধ্যমা AD ক $2:1$ অনুপাতত বিভক্ত কৰে।

ধৰোঁ $D(x, y)$। $\dfrac{2x + 1}{3} = 4$ ⇒ $x = \dfrac{11}{2}$; $\dfrac{2y – 3}{3} = -1$ ⇒ $y = 0$।

সেয়ে BC ৰ মধ্যবিন্দু $\left(\dfrac{11}{2}, 0\right)$।

প্ৰশ্ন: $(2, 1)$ আৰু $(5, -8)$ ক সংযোগ কৰা ৰেখাখণ্ডৰ ত্ৰিথা সমান অংশৰ বিভাজন বিন্দু একোটাই $2x – y + k = 0$ ৰেখাত আছে। k ৰ মান নিৰ্ণয় কৰা।

উত্তৰঃ $1:2$ অনুপাতৰ বিভাজন বিন্দু — $\left(\dfrac{5+4}{3}, \dfrac{-8+2}{3}\right) = (3, -2)$।

$2(3) – (-2) + k = 0$ ⇒ $6 + 2 + k = 0$ ⇒ $k = -8$।

প্ৰশ্ন: $(7, -3), (5, 3), (3, -1)$ শীৰ্ষবিন্দু থকা ত্ৰিভুজৰ কালি বিচাৰা।

উত্তৰঃ

কালি $= \dfrac{1}{2}|7(3-(-1)) + 5(-1-(-3)) + 3(-3-3)|$ $= \dfrac{1}{2}|28 + 10 – 18| = 10$ বৰ্গ একক।

প্ৰশ্ন: $A(-1, 3), B(4, -7)$ ক সংযোগ কৰা ৰেখাখণ্ডৰ ভিতৰৰ ৩:৪ অনুপাতৰ বিভাজন বিন্দু —

উত্তৰঃ

$P = \left(\dfrac{3 \cdot 4 + 4 \cdot (-1)}{7}, \dfrac{3 \cdot (-7) + 4 \cdot 3}{7}\right) = \left(\dfrac{8}{7}, -\dfrac{9}{7}\right)$।

প্ৰশ্ন: $A(2, -2), B(-7, 4), C(5, 1)$ এক ত্ৰিভুজৰ শীৰ্ষবিন্দু। AB ক ত্ৰিথা সমভাগ কৰা বিন্দু দুটাৰ স্থানাংক বাহিৰ কৰা।

উত্তৰঃ

$P = \left(\dfrac{1 \cdot (-7) + 2 \cdot 2}{3}, \dfrac{1 \cdot 4 + 2 \cdot (-2)}{3}\right) = (-1, 0)$।

$Q = \left(\dfrac{2 \cdot (-7) + 1 \cdot 2}{3}, \dfrac{2 \cdot 4 + 1 \cdot (-2)}{3}\right) = (-4, 2)$।

প্ৰশ্ন: $A(2, 1)$ ৰ পৰা $B(-3, 4)$ লৈ যোৱা ৰেখাৰ ভিতৰত $P$ এনেদৰে আছে যাতে $AP : PB = 1:4$। $P$ ৰ স্থানাংক নিৰ্ণয় কৰা।

উত্তৰঃ $P = \left(\dfrac{1 \cdot (-3) + 4 \cdot 2}{5}, \dfrac{1 \cdot 4 + 4 \cdot 1}{5}\right) = \left(1, \dfrac{8}{5}\right)$।

প্ৰশ্ন: $A(-2, 4)$ আৰু $B(7, -2)$ ৰ মাজৰ ৰেখাখণ্ড y-অক্ষৰ ওপৰত কোন বিন্দুত পৰে?

উত্তৰঃ y-অক্ষৰ ওপৰত $x = 0$।

$\dfrac{7k – 2}{k+1} = 0$ ⇒ $7k = 2$ ⇒ $k = \dfrac{2}{7}$।

অনুপাত $2:7$। y-স্থানাংক $= \dfrac{2 \cdot (-2) + 7 \cdot 4}{9} = \dfrac{24}{9} = \dfrac{8}{3}$।

বিন্দু $\left(0, \dfrac{8}{3}\right)$।

চিত্ৰিত উদাহৰণ — ব্যৱহাৰিক প্ৰয়োগ (Practical Application)

উদাহৰণ: এখন স্কুলৰ খেল-মৈদানত ৰৌলিৰ ক্লাছত শিক্ষাৰ্থীসকলে এটা সমভুজ ত্ৰিভুজ গঠন কৰি থিয় হৈ আছে। তিনিজনৰ অৱস্থান $A(0, 0), B(6, 0)$ আৰু $C$। যদি ত্ৰিভুজটো সমভুজ আৰু C ত্ৰিভুজৰ ওপৰৰ অংশত পৰে, তেন্তে C ৰ স্থানাংক নিৰ্ণয় কৰা।

উত্তৰঃ সমভুজ ত্ৰিভুজত $AB = BC = AC = 6$।

$C(x, y)$ ৰ ক্ষেত্ৰত — $x^2 + y^2 = 36$ আৰু $(x-6)^2 + y^2 = 36$।

বিয়োগ কৰি — $-12x + 36 = 0$ ⇒ $x = 3$। $9 + y^2 = 36$ ⇒ $y = 3\sqrt{3}$ (ওপৰত)।

সেয়ে $C(3, 3\sqrt{3})$।

মুখ্য ফলাফল আৰু সিদ্ধান্ত (Key Results)

• সকলো ৰেখাখণ্ডৰ মধ্যবিন্দু এক উপায়ত পোৱা যায় — দূৰত্ব আৰু বিভাজনৰ সূত্ৰৰ মাজত গণিতীয় সংগতি আছে।
• তিনিটা বিন্দুক যিকোনো ক্ৰমত লৈ ত্ৰিভুজৰ কালি একে — চিন (sign) সলনি হ’ব পাৰে কিন্তু পৰম মান একে।
• বহু কাৰ্যত স্থানাংক জ্যামিতিক প্ৰয়োগ আছে — মানচিত্ৰ অংকন, GPS-নেভিগেশ্যন, কম্পিউটাৰ গ্ৰাফিক্স ইত্যাদি।
• স্থানাংক জ্যামিতিৰ সহায়ত আমি বীজগণিতীয় উপায়েৰে জ্যামিতিক সমস্যা সমাধান কৰিব পাৰোঁ — যাক বিশ্লেষণাত্মক জ্যামিতি (Analytic Geometry) বুলি কোৱা হয়।

পৰীক্ষাত আশা কৰিব পৰা প্ৰশ্ন (Important Exam Questions)

1 মাৰ্কৰ প্ৰশ্ন (1-Mark Questions):

• $(0, 0)$ ৰ পৰা $(6, 8)$ লৈ দূৰত্ব নিৰ্ণয় কৰা।
• $(2, -3)$ আৰু $(-1, 4)$ ৰ মধ্যবিন্দু কি?
• x-অক্ষত $y$-স্থানাংকৰ মান কি?
• কেতিয়া তিনিটা বিন্দু সমৰেখ হয়?

2 মাৰ্কৰ প্ৰশ্ন (2-Mark Questions):

• $(2, 5)$ আৰু $(8, 13)$ ৰ মাজৰ দূৰত্ব নিৰ্ণয় কৰা।
• k ৰ মান নিৰ্ণয় কৰা যাতে $(7, -2), (5, 1), (3, k)$ সমৰেখ হয়।
• $(2, 1), (-1, 4), (5, 7)$ এ এটা সমদ্বিবাহু ত্ৰিভুজ গঠন কৰে নেকি?

3 মাৰ্কৰ প্ৰশ্ন (3-Mark Questions):

• $(2, 3), (-1, 0), (2, -4)$ শীৰ্ষবিন্দু থকা ত্ৰিভুজৰ কালি বিচাৰা।
• $(-1, -2), (1, 0), (-1, 2), (-3, 0)$ এ কেনে চতুৰ্ভুজ গঠন কৰে?
• $(1, 5), (2, 3), (-2, -11)$ সমৰেখ হয় নেকি চাবা।

4 মাৰ্কৰ প্ৰশ্ন (4-Mark Questions):

• $A(4, -6), B(3, -2), C(5, 2)$ ত্ৰিভুজৰ মধ্যমা সমান কালিৰ দুটা ত্ৰিভুজত বিভক্ত কৰে — প্ৰমাণ কৰা।
• চতুৰ্ভুজ ABCD ৰ A(-4,-2), B(-3,-5), C(3,-2), D(2,3) — কালি বিচাৰা।
• $A(0,-1), B(2,1), C(0,3)$ ত্ৰিভুজৰ মধ্যবিন্দু সংযোগ কৰি গঠিত ত্ৰিভুজৰ কালি বিচাৰি ABC ৰ লগত অনুপাত নিৰ্ণয় কৰা।

শব্দাৰ্থ (Glossary)

• স্থানাংক জ্যামিতি — Coordinate Geometry
• কাৰ্তেছীয় সমতল — Cartesian Plane
• x-অক্ষ — X-axis (অনুভূমিক ৰেখা)
• y-অক্ষ — Y-axis (উলম্ব ৰেখা)
• মূলবিন্দু — Origin $(0,0)$
• চতুৰ্ভাগ — Quadrant
• ভুজ — Abscissa (x-স্থানাংক)
• কোটি — Ordinate (y-স্থানাংক)
• ক্ৰমিত যোৰ — Ordered Pair
• দূৰত্বৰ সূত্ৰ — Distance Formula
• বিভাজনৰ সূত্ৰ — Section Formula
• মধ্যবিন্দু — Midpoint
• সমৰেখ — Collinear
• সমদূৰৱৰ্তী — Equidistant
• অনুপাত — Ratio
• কালি — Area
• সমদ্বিবাহু ত্ৰিভুজ — Isosceles Triangle
• সামন্তৰিক — Parallelogram
• ৰম্বছ — Rhombus
• বৰ্গক্ষেত্ৰ — Square
• কৰ্ণ — Diagonal
• কেন্দ্ৰক — Centroid
• পৰিকেন্দ্ৰ — Circumcentre
• মধ্যমা — Median
• শীৰ্ষবিন্দু — Vertex

সূত্ৰ-চাৰ্ট সাৰাংশ (Formula Chart)

সূত্ৰৰ নাম	সূত্ৰ	প্ৰয়োগ
দূৰত্ব সূত্ৰ	$\sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$	দুটা বিন্দুৰ মাজৰ দূৰত্ব
মূলবিন্দুৰ পৰা দূৰত্ব	$\sqrt{x^2+y^2}$	$O$ ৰ পৰা $(x,y)$ লৈ দূৰত্ব
আভ্যন্তৰীণ বিভাজন	$\left(\dfrac{mx_2+nx_1}{m+n}, \dfrac{my_2+ny_1}{m+n}\right)$	$m:n$ অনুপাতত বিভাজন
বাহিৰীণ বিভাজন	$\left(\dfrac{mx_2-nx_1}{m-n}, \dfrac{my_2-ny_1}{m-n}\right)$	বাহিৰীণ অনুপাতে বিভাজন
মধ্যবিন্দু সূত্ৰ	$\left(\dfrac{x_1+x_2}{2}, \dfrac{y_1+y_2}{2}\right)$	ৰেখাখণ্ডৰ মধ্যবিন্দু
কেন্দ্ৰক	$\left(\dfrac{x_1+x_2+x_3}{3}, \dfrac{y_1+y_2+y_3}{3}\right)$	ত্ৰিভুজৰ কেন্দ্ৰক
ত্ৰিভুজৰ কালি	$\dfrac{1}{2}|x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2)|$	ত্ৰিভুজৰ কালি
সমৰেখ চৰ্ত	ত্ৰিভুজৰ কালি = ০	তিনিটা বিন্দু সমৰেখ

পৰিকেন্দ্ৰ, লম্বকেন্দ্ৰ, কেন্দ্ৰক — চমু পৰিচয় (Brief on Triangle Centers)

কেন্দ্ৰক (Centroid)

ত্ৰিভুজৰ তিনিটা মধ্যমাৰ মিলনবিন্দু। ই প্ৰতিটো মধ্যমাক $2:1$ অনুপাতত বিভক্ত কৰে। শীৰ্ষবিন্দু $(x_1,y_1), (x_2,y_2), (x_3,y_3)$ থকা ত্ৰিভুজৰ কেন্দ্ৰক —

$G = \left(\dfrac{x_1+x_2+x_3}{3}, \dfrac{y_1+y_2+y_3}{3}\right)$

পৰিকেন্দ্ৰ (Circumcentre)

ত্ৰিভুজৰ তিনিটা বাহুৰ লম্ব দ্বিভাজকৰ মিলনবিন্দু। পৰিকেন্দ্ৰৰ পৰা তিনিও শীৰ্ষবিন্দুৰ দূৰত্ব সমান (পৰিবৃত্তৰ ব্যাসাৰ্ধ)। সমকোণী ত্ৰিভুজত পৰিকেন্দ্ৰ অতিভুজৰ মধ্যবিন্দু।

লম্বকেন্দ্ৰ (Orthocentre)

ত্ৰিভুজৰ তিনিটা শীৰ্ষবিন্দুৰ পৰা বিপৰীত বাহুলৈ অংকিত লম্বৰ মিলনবিন্দু। সমকোণী ত্ৰিভুজত লম্বকেন্দ্ৰ সমকোণৰ শীৰ্ষবিন্দু।

অন্তঃকেন্দ্ৰ (Incentre)

ত্ৰিভুজৰ তিনিটা কোণৰ দ্বিভাজকৰ মিলনবিন্দু। ই অন্তৰ্বৃত্তৰ কেন্দ্ৰ। যদি বাহুৰ দৈৰ্ঘ্য $a, b, c$ আৰু সন্মুখ শীৰ্ষবিন্দু $A, B, C$, তেন্তে অন্তঃকেন্দ্ৰ —

$I = \left(\dfrac{ax_A + bx_B + cx_C}{a+b+c}, \dfrac{ay_A + by_B + cy_C}{a+b+c}\right)$

স্থানাংক জ্যামিতিৰ ইতিহাস (Brief History)

ৰেণে দেকাৰ্ত (René Descartes, ১৫৯৬-১৬৫০) ফৰাচী দেশৰ এজন গণিতজ্ঞ আৰু দাৰ্শনিক। ১৬৩৭ চনত প্ৰকাশিত তেওঁৰ ‘La Géométrie’ গ্ৰন্থত স্থানাংক জ্যামিতিৰ আৰম্ভ। তেওঁ বীজগণিতৰ সহায়ত জ্যামিতিৰ সমস্যা সমাধান কৰাৰ পদ্ধতি প্ৰৱৰ্তন কৰিছিল। ‘কাৰ্তেছীয় সমতল’ নামটো তেওঁৰ লেটিন নাম ‘Cartesius’ ৰ পৰা আহিছে। সমান্তৰালভাৱে পিয়েৰ দে ফেৰ্মা (Pierre de Fermat) এও স্বাধীনভাৱে এই বিষয়টো বিকশিত কৰিছিল।

স্থানাংক জ্যামিতিৰ আধুনিক প্ৰয়োগ (Modern Applications)

• GPS আৰু নেভিগেশ্যন: পৃথিৱীৰ যিকোনো বিন্দুৰ অৱস্থান অক্ষাংশ-দ্ৰাঘিমাংশৰ যোৰৰূপে স্থানাংক জ্যামিতিৰ ভিত্তিত প্ৰকাশিত হয়।
• কম্পিউটাৰ গ্ৰাফিক্স: ২D আৰু ৩D চিত্ৰ অংকন, ছবি ৰূপান্তৰণ আৰু এনিমেশ্যনত স্থানাংকৰ ব্যৱহাৰ অপৰিহাৰ্য।
• প্ৰকৌশল আৰু স্থাপত্য: ভৱন, সেতু আদিৰ ডিজাইনত স্থানাংক বিন্যাস ব্যৱহাৰ হয়।
• মানচিত্ৰাংকন (Cartography): মানচিত্ৰ অংকনত প্ৰতিটো স্থানৰ স্থানাংক প্ৰয়োজন।
• ৰোবোটিক্স আৰু গেম ডেভেলপমেণ্ট: বস্তুৰ স্থানিক চলন আৰু বাট নিৰ্দিষ্টকৰণত।
• চিকিৎসা বিজ্ঞান: CT-স্কেন আৰু MRI চিত্ৰ পুনৰনিৰ্মাণত স্থানাংক জ্যামিতিৰ প্ৰয়োগ।

HSLC GURU-ত আৰু কি কি পাব?

• ASSEB Class 10 গণিতৰ সকলো অধ্যায়ৰ বিশদ ব্যাখ্যা আৰু সমাধান
• চমু আৰু দীঘল প্ৰশ্নৰ আদৰ্শ উত্তৰ
• বহুনিৰ্বাচনী প্ৰশ্ন (MCQs) আৰু স্বমূল্যায়ন প্ৰশ্ন
• ৰঙীন চিত্ৰ আৰু চাৰ্টৰ সহায়েৰে গাণিতিক ধাৰণা সহজ ব্যাখ্যা
• পৰীক্ষাত আশা কৰিব পৰা প্ৰশ্নৰ অভ্যাসবোৰ

প্ৰিয় শিক্ষাৰ্থী, স্থানাংক জ্যামিতি দশম শ্ৰেণীৰ গণিতৰ এটা গুৰুত্বপূৰ্ণ অধ্যায়। দূৰত্বৰ সূত্ৰ, বিভাজনৰ সূত্ৰ আৰু ত্ৰিভুজৰ কালিৰ সূত্ৰৰ যথাযথ অনুশীলন কৰা হ’লে পৰীক্ষাত উচ্চ নম্বৰ লাভ কৰিব পাৰি। প্ৰতিদিন কেইটামান প্ৰশ্ন সমাধান কৰক আৰু সূত্ৰসমূহ মুখস্থ কৰি ৰাখক।

HSLC GURU-ত আপুনি ASSEB পাঠ্যক্ৰমৰ আটাইবোৰ অধ্যায়ৰ বিশদ সমাধান বিচাৰি পাব। অনুশীলন কৰি গণিতৰ আত্মবিশ্বাস বঢ়াওক!