নমস্কাৰ প্ৰিয় শিক্ষাৰ্থী! HSLC GURU-লৈ স্বাগতম। এই পাঠটোত আমি ASSEB (অসম ৰাজ্যিক বিদ্যালয় শিক্ষা পৰিষদ)-ৰ Class 10 Mathematics-ৰ Chapter 6 ত্ৰিভুজ (Triangles) অধ্যায়টোৰ সম্পূৰ্ণ প্ৰশ্নোত্তৰ, উপপাদ্য, প্ৰমাণ আৰু চিত্ৰসহ ব্যাখ্যা আলোচনা কৰিম। জ্যামিতিৰ এই অধ্যায়টোত সদৃশ ত্ৰিভুজ, মৌলিক সমানুপাত উপপাদ্য (BPT), পিথাগোৰাছৰ উপপাদ্য আদিৰ বিষয়ে বিস্তাৰিতভাৱে শিকিম।

সাৰাংশ (Summary)

এই অধ্যায়ত আমি জানিম —

• সদৃশ আকৃতি (Similar figures) আৰু সৰ্বসম আকৃতি (Congruent figures)-ৰ পাৰ্থক্য।
• সদৃশ ত্ৰিভুজৰ সংজ্ঞা — অনুৰূপ কোণ সমান আৰু অনুৰূপ বাহু একে অনুপাতত।
• মৌলিক সমানুপাত উপপাদ্য (BPT / থেলিছ উপপাদ্য) আৰু ইয়াৰ বিপৰীত উপপাদ্য।
• সাদৃশ্যৰ মাপকাঠী — AAA, AA, SSS, SAS।
• সদৃশ ত্ৰিভুজৰ ক্ষেত্ৰফলৰ অনুপাত = অনুৰূপ বাহুৰ বৰ্গৰ অনুপাত।
• পিথাগোৰাছৰ উপপাদ্য আৰু ইয়াৰ বিপৰীত।

মূল ধাৰণাসমূহ (Key Concepts)

সদৃশ আৰু সৰ্বসম আকৃতি

সৰ্বসম আকৃতি (Congruent): দুটা আকৃতি সৰ্বসম হ’ব যদি সিহঁতৰ আকাৰ আৰু আকৃতি দুয়োটা একে।

সদৃশ আকৃতি (Similar): দুটা আকৃতি সদৃশ হ’ব যদি সিহঁতৰ আকৃতি একে কিন্তু আকাৰ পৃথক হ’ব পাৰে। অৰ্থাৎ এটা আকৃতি আনটোৰ বৰ্ধিত বা সংকুচিত ৰূপ।

প্ৰতিটো সৰ্বসম আকৃতি সদৃশ, কিন্তু প্ৰতিটো সদৃশ আকৃতি সৰ্বসম নহয়।

সদৃশ ত্ৰিভুজৰ সংজ্ঞা

$\triangle ABC$ আৰু $\triangle DEF$ সদৃশ হ’ব যদি —

• $\angle A = \angle D$, $\angle B = \angle E$, $\angle C = \angle F$ (অনুৰূপ কোণ সমান)
• $\dfrac{AB}{DE} = \dfrac{BC}{EF} = \dfrac{CA}{FD}$ (অনুৰূপ বাহু একে অনুপাতত)

লিখা হয়: $\triangle ABC \sim \triangle DEF$।

মৌলিক সমানুপাত উপপাদ্য (Basic Proportionality Theorem / BPT)

উপপাদ্য 6.1 (থেলিছ উপপাদ্য): যদি এটা ত্ৰিভুজৰ এটা বাহুৰ সমান্তৰাল ৰেখাই আনটো দুয়োটা বাহুক ভিন্ন বিন্দুত ছেদ কৰে, তেন্তে সেই বাহু দুটাক একে অনুপাতত বিভক্ত কৰে।

প্ৰদত্ত: $\triangle ABC$-ত $DE \parallel BC$, যি $AB$-ক $D$-ত আৰু $AC$-ক $E$-ত ছেদ কৰিছে।

প্ৰমাণ্য: $\dfrac{AD}{DB} = \dfrac{AE}{EC}$।

অংকন: $DC$ আৰু $BE$ যোগ কৰা। $D$-ৰ পৰা $AC$-লৈ লম্ব $DM$ আৰু $E$-ৰ পৰা $AB$-লৈ লম্ব $EN$ অংকন কৰা।

প্ৰমাণ:

$$\text{ar}(\triangle ADE) = \tfrac{1}{2} \times AD \times EN$$

$$\text{ar}(\triangle BDE) = \tfrac{1}{2} \times DB \times EN$$

$$\therefore \frac{\text{ar}(\triangle ADE)}{\text{ar}(\triangle BDE)} = \frac{AD}{DB}$$

$$\text{একেদৰে, } \frac{\text{ar}(\triangle ADE)}{\text{ar}(\triangle CDE)} = \frac{AE}{EC}$$

$\triangle BDE$ আৰু $\triangle CDE$-ৰ ভূমি $DE$ একে আৰু সিহঁত একে সমান্তৰাল ৰেখা $DE$ আৰু $BC$-ৰ মাজত আছে, গতিকে —

$$\text{ar}(\triangle BDE) = \text{ar}(\triangle CDE)$$

$$\therefore \frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC} \quad \text{(প্ৰমাণিত)}$$

BPT-ৰ বিপৰীত উপপাদ্য

উপপাদ্য 6.2: যদি এটা ৰেখাই এটা ত্ৰিভুজৰ দুটা বাহুক একে অনুপাতত বিভক্ত কৰে, তেন্তে সেই ৰেখাডাল তৃতীয় বাহুৰ সমান্তৰাল হ’ব।

সাদৃশ্যৰ মাপকাঠী (Criteria for Similarity)

1. AAA / AA সাদৃশ্য মাপকাঠী

উপপাদ্য 6.3: যদি দুটা ত্ৰিভুজৰ অনুৰূপ কোণ সমান হয়, তেন্তে সিহঁতৰ অনুৰূপ বাহু একে অনুপাতত হ’ব আৰু সেইবাবে ত্ৰিভুজ দুটা সদৃশ হ’ব।

যিহেতু ত্ৰিভুজৰ তিনিটা কোণৰ যোগফল $180°$, যদি দুটা কোণ সমান হয়, তৃতীয় কোণো স্বয়ংক্ৰিয়ভাৱে সমান হয়। সেইবাবে এই মাপকাঠী AA নামেৰেও জনাজাত।

2. SSS সাদৃশ্য মাপকাঠী

উপপাদ্য 6.4: যদি এটা ত্ৰিভুজৰ বাহুসমূহ আনটো ত্ৰিভুজৰ অনুৰূপ বাহুৰ সৈতে একে অনুপাতত থাকে, তেন্তে সিহঁতৰ অনুৰূপ কোণ সমান হ’ব আৰু ত্ৰিভুজ দুটা সদৃশ হ’ব।

3. SAS সাদৃশ্য মাপকাঠী

উপপাদ্য 6.5: যদি এটা ত্ৰিভুজৰ এটা কোণ আনটো ত্ৰিভুজৰ এটা কোণৰ সমান হয় আৰু সেই কোণ ধাৰণ কৰা বাহুসমূহ একে অনুপাতত থাকে, তেন্তে ত্ৰিভুজ দুটা সদৃশ হ’ব।

সদৃশ ত্ৰিভুজৰ ক্ষেত্ৰফল (Areas of Similar Triangles)

উপপাদ্য 6.6: দুটা সদৃশ ত্ৰিভুজৰ ক্ষেত্ৰফলৰ অনুপাত সিহঁতৰ অনুৰূপ বাহুৰ বৰ্গৰ অনুপাতৰ সমান।

$$\frac{\text{ar}(\triangle ABC)}{\text{ar}(\triangle PQR)} = \left(\frac{AB}{PQ}\right)^2 = \left(\frac{BC}{QR}\right)^2 = \left(\frac{CA}{RP}\right)^2$$

প্ৰমাণ: $A$-ৰ পৰা $BC$-লৈ লম্ব $AM$ আৰু $P$-ৰ পৰা $QR$-লৈ লম্ব $PN$ অংকন কৰা।

$$\frac{\text{ar}(\triangle ABC)}{\text{ar}(\triangle PQR)} = \frac{\tfrac{1}{2} \times BC \times AM}{\tfrac{1}{2} \times QR \times PN} = \frac{BC \times AM}{QR \times PN}$$

$\triangle ABM \sim \triangle PQN$ (AA) হোৱাত $\dfrac{AM}{PN} = \dfrac{AB}{PQ} = \dfrac{BC}{QR}$।

$$\therefore \frac{\text{ar}(\triangle ABC)}{\text{ar}(\triangle PQR)} = \frac{BC}{QR} \times \frac{BC}{QR} = \left(\frac{BC}{QR}\right)^2$$

পিথাগোৰাছৰ উপপাদ্য (Pythagoras Theorem)

উপপাদ্য 6.7: যদি এটা ত্ৰিভুজৰ এটা কোণ সমকোণ হয়, তেন্তে অতিভুজৰ বৰ্গ অন্য দুটা বাহুৰ বৰ্গৰ যোগফলৰ সমান হ’ব।

প্ৰদত্ত: $\triangle ABC$-ত $\angle B = 90°$।

প্ৰমাণ্য: $AC^2 = AB^2 + BC^2$।

অংকন: $B$-ৰ পৰা $AC$-লৈ লম্ব $BD$ অংকন কৰা।

প্ৰমাণ: $\triangle ADB$ আৰু $\triangle ABC$-ত —

• $\angle A = \angle A$ (সাধাৰণ)
• $\angle ADB = \angle ABC = 90°$

সেইবাবে AA সাদৃশ্য অনুসাৰে $\triangle ADB \sim \triangle ABC$।

$$\frac{AD}{AB} = \frac{AB}{AC} \Rightarrow AB^2 = AD \cdot AC \quad \text{…(i)}$$

একেদৰে $\triangle BDC \sim \triangle ABC$ —

$$\frac{CD}{BC} = \frac{BC}{AC} \Rightarrow BC^2 = CD \cdot AC \quad \text{…(ii)}$$

(i) আৰু (ii) যোগ কৰি —

$$AB^2 + BC^2 = AD \cdot AC + CD \cdot AC = AC(AD + CD) = AC \cdot AC = AC^2$$

$$\therefore AC^2 = AB^2 + BC^2 \quad \text{(প্ৰমাণিত)}$$

পিথাগোৰাছৰ বিপৰীত উপপাদ্য

উপপাদ্য 6.8: এটা ত্ৰিভুজৰ এটা বাহুৰ বৰ্গ অন্য দুটা বাহুৰ বৰ্গৰ যোগফলৰ সমান হ’লে, প্ৰথম বাহুৰ বিপৰীত কোণ সমকোণ হয়।

অনুশীলনী 6.1 (Exercise 6.1)

প্ৰশ্ন 1: খালী ঠাই পূৰণ কৰা —

(i) সকলো বৃত্ত ______ হয়। (সৰ্বসম, সদৃশ)

উত্তৰঃ সদৃশ।

(ii) সকলো বৰ্গ ______ হয়।

উত্তৰঃ সদৃশ।

(iii) সকলো ______ ত্ৰিভুজ সদৃশ হয়।

উত্তৰঃ সমবাহু।

(iv) সদৃশ বহুভুজৰ অনুৰূপ কোণ ______ আৰু অনুৰূপ বাহু ______ হয়।

উত্তৰঃ সমান, সমানুপাতিক।

প্ৰশ্ন 2: দুজোৰ (a) সদৃশ আৰু (b) সদৃশ নহোৱা আকৃতিৰ উদাহৰণ দিয়া।

উত্তৰঃ

• সদৃশ: যিকোনো দুটা বৰ্গ; যিকোনো দুটা বৃত্ত; যিকোনো দুটা সমবাহু ত্ৰিভুজ।
• সদৃশ নহয়: এটা ত্ৰিভুজ আৰু এটা চতুৰ্ভুজ; এটা বৰ্গ আৰু এটা আয়ত (যদিহে দীঘ-প্ৰস্থ ভিন্ন)।

প্ৰশ্ন 3: এটা চতুৰ্ভুজ সদৃশ হ’বলৈ অনুৰূপ কোণ সমান হ’লেই হ’ব নেকি?

উত্তৰঃ নহয়। এটা বৰ্গ আৰু এটা আয়তৰ সকলো কোণ $90°$ হ’লেও সিহঁত সদৃশ নহয় (বাহু সমানুপাতিক নহয়)।

অনুশীলনী 6.2 (Exercise 6.2)

প্ৰশ্ন 1: $DE \parallel BC$ থকা চিত্ৰত (i) $AD = 1.5$ cm, $DB = 3$ cm, $AE = 1$ cm হ’লে $EC$ উলিওৱা। (ii) $AD = 1.4$ cm, $DB = 5.6$ cm, $EC = 7.2$ cm হ’লে $AE$ উলিওৱা।

উত্তৰঃ (i) BPT অনুসাৰে —

$$\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC} \Rightarrow \frac{1.5}{3} = \frac{1}{EC}$$

$$EC = \frac{1 \times 3}{1.5} = 2 \text{ cm}$$

(ii) $\dfrac{AD}{DB} = \dfrac{AE}{EC} \Rightarrow \dfrac{1.4}{5.6} = \dfrac{AE}{7.2}$

$$AE = \frac{1.4 \times 7.2}{5.6} = 1.8 \text{ cm}$$

প্ৰশ্ন 2: $\triangle PQR$-ত $E$ আৰু $F$ ক্ৰমে $PQ$ আৰু $PR$-ৰ উপৰৰ বিন্দু। $EF \parallel QR$ নে নহয় পৰীক্ষা কৰা —

(i) $PE = 3.9$ cm, $EQ = 3$ cm, $PF = 3.6$ cm, $FR = 2.4$ cm।

উত্তৰঃ $\dfrac{PE}{EQ} = \dfrac{3.9}{3} = 1.3$, $\dfrac{PF}{FR} = \dfrac{3.6}{2.4} = 1.5$। অনুপাত সমান নহয়, গতিকে $EF \nparallel QR$।

(ii) $PE = 4$ cm, $QE = 4.5$ cm, $PF = 8$ cm, $RF = 9$ cm।

উত্তৰঃ $\dfrac{PE}{EQ} = \dfrac{4}{4.5} = \dfrac{8}{9}$, $\dfrac{PF}{FR} = \dfrac{8}{9}$। অনুপাত সমান, গতিকে $EF \parallel QR$।

প্ৰশ্ন 6: চিত্ৰত $A$, $B$, $C$ ক্ৰমে $OP$, $OQ$, $OR$-ৰ উপৰৰ বিন্দু আৰু $AB \parallel PQ$, $AC \parallel PR$। দেখুৱা যে $BC \parallel QR$।

উত্তৰঃ $\triangle OPQ$-ত $AB \parallel PQ$, BPT অনুসাৰে —

$$\frac{OA}{AP} = \frac{OB}{BQ} \quad \text{…(1)}$$

$\triangle OPR$-ত $AC \parallel PR$, গতিকে —

$$\frac{OA}{AP} = \frac{OC}{CR} \quad \text{…(2)}$$

(1) আৰু (2)-ৰ পৰা $\dfrac{OB}{BQ} = \dfrac{OC}{CR}$। BPT-ৰ বিপৰীত অনুসাৰে $BC \parallel QR$।

প্ৰশ্ন 9: ABCD এটা ট্ৰাপিজিয়াম য’ত $AB \parallel DC$ আৰু কৰ্ণ দুটাই $O$-ত ছেদ কৰে। দেখুৱা যে $\dfrac{AO}{BO} = \dfrac{CO}{DO}$।

উত্তৰঃ $\triangle OAB$ আৰু $\triangle OCD$-ত —

• $\angle AOB = \angle COD$ (বিপৰীত কোণ)
• $\angle OAB = \angle OCD$ (একান্তৰ কোণ, $AB \parallel DC$)

সেইবাবে $\triangle OAB \sim \triangle OCD$ (AA)। গতিকে $\dfrac{AO}{CO} = \dfrac{BO}{DO}$ অৰ্থাৎ $\dfrac{AO}{BO} = \dfrac{CO}{DO}$।

অনুশীলনী 6.3 (Exercise 6.3)

প্ৰশ্ন 1: তলৰ চিত্ৰসমূহৰ মাজৰ কোনবোৰ ত্ৰিভুজ যোৰ সদৃশ চিনাক্ত কৰা আৰু ব্যৱহৃত মাপকাঠীৰ নাম লিখা।

উত্তৰঃ

• (i) $\triangle ABC \sim \triangle PQR$ — AAA মাপকাঠী।
• (ii) $\triangle ABC \sim \triangle PQR$ — SSS মাপকাঠী।
• (iii) $\triangle LMP$ আৰু $\triangle DEF$ সদৃশ নহয়।
• (iv) $\triangle MNL \sim \triangle QPR$ — SAS মাপকাঠী।
• (v) $\triangle ABC$ আৰু $\triangle DEF$ সদৃশ নহয়।
• (vi) $\triangle DEF \sim \triangle PQR$ — AAA মাপকাঠী।

প্ৰশ্ন 2: চিত্ৰত $\triangle ODC \sim \triangle OBA$, $\angle BOC = 125°$, $\angle CDO = 70°$। $\angle DOC$, $\angle DCO$ আৰু $\angle OAB$ উলিওৱা।

উত্তৰঃ $\angle DOC$ আৰু $\angle BOC$ ৰৈখিক যুটি, গতিকে —

$$\angle DOC = 180° – 125° = 55°$$

$\triangle DOC$-ৰ কোণসমূহৰ যোগফল $180°$ —

$$\angle DCO = 180° – 70° – 55° = 55°$$

$\triangle ODC \sim \triangle OBA$ হোৱাত $\angle OAB = \angle DCO = 55°$।

প্ৰশ্ন 3: ABCD এটা ট্ৰাপিজিয়াম য’ত $AB \parallel DC$ আৰু কৰ্ণদ্বয়ে $O$-ত ছেদ কৰিছে। দেখুৱা যে $\dfrac{OA}{OC} = \dfrac{OB}{OD}$।

উত্তৰঃ $\triangle AOB$ আৰু $\triangle COD$-ত $\angle AOB = \angle COD$ (বিপৰীত), $\angle OAB = \angle OCD$ (একান্তৰ)। গতিকে $\triangle AOB \sim \triangle COD$ (AA)। $\therefore \dfrac{OA}{OC} = \dfrac{OB}{OD}$।

প্ৰশ্ন 8: ABCD এটা সামন্তৰিক। $AD$-ৰ বৰ্ধিত অংশৰ ওপৰত $E$ এটা বিন্দু। $BE$-এ $CD$-ক $F$-ত ছেদ কৰে। দেখুৱা যে $\triangle ABE \sim \triangle CFB$।

উত্তৰঃ $\triangle ABE$ আৰু $\triangle CFB$-ত —

• $\angle A = \angle C$ (সামন্তৰিকৰ বিপৰীত কোণ)
• $\angle ABE = \angle CFB$ (একান্তৰ কোণ, $AB \parallel CD$)

সেইবাবে AA মাপকাঠী অনুসাৰে $\triangle ABE \sim \triangle CFB$।

প্ৰশ্ন 14: দেখুৱা যে দুটা সদৃশ ত্ৰিভুজৰ ক্ষেত্ৰৰ অনুৰূপ মধ্যমাৰ অনুপাত অনুৰূপ বাহুৰ অনুপাতৰ সমান।

উত্তৰঃ ধৰক $\triangle ABC \sim \triangle PQR$, $AD$ আৰু $PM$ ক্ৰমে $BC$ আৰু $QR$-ৰ মধ্যমা।

$$\frac{AB}{PQ} = \frac{BC}{QR} \Rightarrow \frac{AB}{PQ} = \frac{\tfrac{1}{2}BC}{\tfrac{1}{2}QR} = \frac{BD}{QM}$$

$\triangle ABD$ আৰু $\triangle PQM$-ত $\angle B = \angle Q$ আৰু $\dfrac{AB}{PQ} = \dfrac{BD}{QM}$। গতিকে SAS অনুসাৰে $\triangle ABD \sim \triangle PQM$। $\therefore \dfrac{AD}{PM} = \dfrac{AB}{PQ}$।

প্ৰশ্ন 15: $6$ মিটাৰ ওখ এটা স্তম্ভৰ ছাঁ ভূমিত $4$ মিটাৰ; একে সময়ত এটা স্তম্ভৰ ছাঁ $28$ মিটাৰ। স্তম্ভটোৰ উচ্চতা উলিওৱা।

উত্তৰঃ দুয়ো স্তম্ভ আৰু ছাঁৱে এটা সদৃশ সমকোণী ত্ৰিভুজ গঠন কৰে (সূৰ্যৰ ৰশ্মিৰ কোণ একে)।

$$\frac{6}{4} = \frac{h}{28} \Rightarrow h = \frac{6 \times 28}{4} = 42 \text{ মিটাৰ}$$

অনুশীলনী 6.4 (Exercise 6.4)

প্ৰশ্ন 1: দুটা সদৃশ ত্ৰিভুজ $\triangle ABC$ আৰু $\triangle DEF$-ৰ ক্ষেত্ৰফল ক্ৰমে $64$ cm² আৰু $121$ cm²। যদি $EF = 15.4$ cm হয়, $BC$ উলিওৱা।

উত্তৰঃ

$$\frac{\text{ar}(\triangle ABC)}{\text{ar}(\triangle DEF)} = \left(\frac{BC}{EF}\right)^2$$

$$\frac{64}{121} = \left(\frac{BC}{15.4}\right)^2 \Rightarrow \frac{BC}{15.4} = \frac{8}{11}$$

$$BC = \frac{8 \times 15.4}{11} = 11.2 \text{ cm}$$

প্ৰশ্ন 2: ABCD এটা ট্ৰাপিজিয়াম য’ত $AB \parallel DC$ আৰু $AB = 2CD$। কৰ্ণদ্বয়ে $O$-ত ছেদ কৰিলে $\triangle AOB$ আৰু $\triangle COD$-ৰ ক্ষেত্ৰফলৰ অনুপাত উলিওৱা।

উত্তৰঃ $\triangle AOB \sim \triangle COD$ (AA)। গতিকে —

$$\frac{\text{ar}(\triangle AOB)}{\text{ar}(\triangle COD)} = \left(\frac{AB}{CD}\right)^2 = \left(\frac{2CD}{CD}\right)^2 = 4 : 1$$

প্ৰশ্ন 5: $\triangle ABC$-ৰ বাহু $BC$, $CA$, $AB$-ৰ মধ্যবিন্দু ক্ৰমে $D$, $E$, $F$। $\triangle DEF$ আৰু $\triangle ABC$-ৰ ক্ষেত্ৰৰ অনুপাত উলিওৱা।

উত্তৰঃ মধ্যবিন্দু উপপাদ্য অনুসাৰে $DE = \tfrac{1}{2}AB$, $EF = \tfrac{1}{2}BC$, $FD = \tfrac{1}{2}CA$। গতিকে $\triangle DEF \sim \triangle ABC$ (SSS) আৰু —

$$\frac{\text{ar}(\triangle DEF)}{\text{ar}(\triangle ABC)} = \left(\tfrac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$$

অৰ্থাৎ অনুপাত $1 : 4$।

প্ৰশ্ন 6: দেখুৱা যে দুটা সদৃশ ত্ৰিভুজৰ ক্ষেত্ৰৰ অনুপাত অনুৰূপ মধ্যমাৰ অনুপাতৰ বৰ্গৰ সমান।

উত্তৰঃ ধৰক $\triangle ABC \sim \triangle PQR$ আৰু $AD$, $PM$ মধ্যমা। প্ৰশ্ন 14 (অনুশীলনী 6.3)-ৰ পৰা $\dfrac{AD}{PM} = \dfrac{AB}{PQ}$।

$$\frac{\text{ar}(\triangle ABC)}{\text{ar}(\triangle PQR)} = \left(\frac{AB}{PQ}\right)^2 = \left(\frac{AD}{PM}\right)^2$$

প্ৰশ্ন 7: দেখুৱা যে এটা বৰ্গৰ এটা বাহুৰ ওপৰত অংকিত সমবাহু ত্ৰিভুজৰ ক্ষেত্ৰ ইয়াৰ এটা কৰ্ণৰ ওপৰত অংকিত সমবাহু ত্ৰিভুজৰ ক্ষেত্ৰৰ আধা।

উত্তৰঃ বৰ্গৰ বাহু $a$ হ’লে কৰ্ণ $a\sqrt{2}$। দুয়ো ত্ৰিভুজ সমবাহু (গতিকে সদৃশ)। ক্ষেত্ৰফলৰ অনুপাত —

$$\frac{\text{ar (বাহু)}}{\text{ar (কৰ্ণ)}} = \left(\frac{a}{a\sqrt{2}}\right)^2 = \frac{1}{2}$$

অনুশীলনী 6.5 (Exercise 6.5) — পিথাগোৰাছৰ উপপাদ্য

প্ৰশ্ন 1: তলৰ মাপৰ পৰা কোনবোৰে সমকোণী ত্ৰিভুজ গঠন কৰে নিৰ্ণয় কৰা।

(i) $7$ cm, $24$ cm, $25$ cm

উত্তৰঃ $7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625 = 25^2$। গতিকে সমকোণী ত্ৰিভুজ; অতিভুজ $= 25$ cm।

(ii) $3$ cm, $8$ cm, $6$ cm

উত্তৰঃ $3^2 + 6^2 = 9 + 36 = 45 \neq 64 = 8^2$। সমকোণী ত্ৰিভুজ নহয়।

(iii) $50$ cm, $80$ cm, $100$ cm

উত্তৰঃ $50^2 + 80^2 = 2500 + 6400 = 8900 \neq 10000 = 100^2$। সমকোণী ত্ৰিভুজ নহয়।

(iv) $13$ cm, $12$ cm, $5$ cm

উত্তৰঃ $5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2$। সমকোণী ত্ৰিভুজ; অতিভুজ $= 13$ cm।

প্ৰশ্ন 2: $\triangle PQR$ এটা সমকোণী ত্ৰিভুজ য’ত $\angle P = 90°$। যদি $PR$-ৰ ওপৰত $M$ এনে এটা বিন্দু যাতে $QM \perp PR$, তেন্তে দেখুৱা যে $QM^2 = PM \cdot MR$।

উত্তৰঃ এই দাবী এটা ত্ৰুটি — সঠিক চিত্ৰত $\angle PQR = 90°$, লম্ব $QM \perp PR$। তেতিয়া $\triangle PMQ \sim \triangle QMR$ (AA)। গতিকে $\dfrac{PM}{QM} = \dfrac{QM}{MR} \Rightarrow QM^2 = PM \cdot MR$।

প্ৰশ্ন 4: ABC এটা সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্ৰিভুজ য’ত $C$-ত সমকোণ। প্ৰমাণ কৰা যে $AB^2 = 2AC^2$।

উত্তৰঃ পিথাগোৰাছ অনুসাৰে $AB^2 = AC^2 + BC^2$। কিন্তু $AC = BC$ (সমদ্বিবাহু)। গতিকে $AB^2 = AC^2 + AC^2 = 2AC^2$।

প্ৰশ্ন 6: এটা সমবাহু ত্ৰিভুজৰ বাহু $2a$। ইয়াৰ প্ৰতিটো উচ্চতা উলিওৱা।

উত্তৰঃ সমবাহু ত্ৰিভুজৰ ভূমিৰ মধ্যবিন্দুলৈ লম্ব মধ্যমাও। ভূমিৰ আধা $= a$।

$$h^2 = (2a)^2 – a^2 = 4a^2 – a^2 = 3a^2$$

$$h = a\sqrt{3}$$

প্ৰশ্ন 7: এটা ৰম্বছৰ কৰ্ণদ্বয়ৰ দৈৰ্ঘ্য $24$ cm আৰু $10$ cm। বাহুৰ দৈৰ্ঘ্য উলিওৱা।

উত্তৰঃ ৰম্বছৰ কৰ্ণদ্বয় পৰস্পৰ লম্বভাৱে সমদ্বিখণ্ডিত। আধা কৰ্ণ $= 12$ cm আৰু $5$ cm।

$$\text{বাহু} = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13 \text{ cm}$$

প্ৰশ্ন 9: $10$ মিটাৰ দীঘল এজনী জেখলাৰ ওপৰৰ মূৰ এটা মাটিৰ পৰা $8$ মিটাৰ ওপৰৰ খিৰিকীত লাগি আছে। জেখলাৰ গুৰিৰ পৰা দেৱালৰ গুৰিৰ দূৰত্ব উলিওৱা।

উত্তৰঃ পিথাগোৰাছ অনুসাৰে —

$$x^2 = 10^2 – 8^2 = 100 – 64 = 36 \Rightarrow x = 6 \text{ মিটাৰ}$$

প্ৰশ্ন 11: এটা বিমান-ক্ষেত্ৰৰ পৰা এখন বিমানে উত্তৰ দিশে $1000$ km/h বেগেৰে আৰু আনখন বিমানে পশ্চিম দিশে $1200$ km/h বেগেৰে উড়িবলৈ ধৰিলে। $1\tfrac{1}{2}$ ঘণ্টাৰ পিছত সিহঁতৰ দূৰত্ব কিমান হ’ব?

উত্তৰঃ দূৰত্ব $= \text{গতি} \times \text{সময়}$। উত্তৰ দিশে $= 1000 \times 1.5 = 1500$ km। পশ্চিম দিশে $= 1200 \times 1.5 = 1800$ km।

$$d = \sqrt{1500^2 + 1800^2} = \sqrt{2250000 + 3240000} = \sqrt{5490000} = 300\sqrt{61} \text{ km}$$

প্ৰশ্ন 12: দুটা স্তম্ভৰ উচ্চতা $6$ মিটাৰ আৰু $11$ মিটাৰ আৰু সিহঁতৰ গুৰিৰ মাজৰ দূৰত্ব $12$ মিটাৰ। ওপৰৰ মূৰ দুটাৰ মাজৰ দূৰত্ব উলিওৱা।

উত্তৰঃ উচ্চতাৰ পাৰ্থক্য $= 11 – 6 = 5$ মিটাৰ। দূৰত্ব —

$$d = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13 \text{ মিটাৰ}$$

প্ৰশ্ন 17: $\triangle ABC$-ত $AB = 6\sqrt{3}$ cm, $AC = 12$ cm আৰু $BC = 6$ cm। কোণটো সমকোণ হ’ব নে?

উত্তৰঃ $AB^2 + BC^2 = (6\sqrt{3})^2 + 6^2 = 108 + 36 = 144 = 12^2 = AC^2$। গতিকে $\angle B = 90°$।

অনুশীলনী 6.6 (ঐচ্ছিক)

প্ৰশ্ন 1: চিত্ৰত $PS$-এ $\triangle PQR$-ৰ $\angle QPR$-ৰ সমদ্বিখণ্ডক। প্ৰমাণ কৰা যে $\dfrac{QS}{SR} = \dfrac{PQ}{PR}$।

উত্তৰঃ $R$-ৰ মাজেৰে $PS$-ৰ সমান্তৰাল ৰেখা টানি $QP$-ৰ বৰ্ধিত অংশত $T$-ত মিলোৱা।

• $\angle PRT = \angle RPS$ (একান্তৰ)
• $\angle PTR = \angle QPS$ (অনুৰূপ)
• কিন্তু $\angle RPS = \angle QPS$, গতিকে $\angle PRT = \angle PTR \Rightarrow PT = PR$।

$\triangle QRT$-ত $PS \parallel RT$, BPT অনুসাৰে $\dfrac{QS}{SR} = \dfrac{QP}{PT} = \dfrac{PQ}{PR}$।

প্ৰশ্ন 4: $\triangle ABC$ আৰু $\triangle DBC$ একে ভূমি $BC$-ৰ ওপৰত একে ফালে। যদি $AD$ বৰ্ধিত হৈ $BC$-ক $O$-ত ছেদ কৰে, দেখুৱা যে $\dfrac{\text{ar}(\triangle ABC)}{\text{ar}(\triangle DBC)} = \dfrac{AO}{DO}$।

উত্তৰঃ $A$ আৰু $D$-ৰ পৰা $BC$-লৈ লম্ব $AP$ আৰু $DM$ অংকন কৰা। $\triangle APO \sim \triangle DMO$ (AA)। গতিকে $\dfrac{AP}{DM} = \dfrac{AO}{DO}$।

$$\frac{\text{ar}(\triangle ABC)}{\text{ar}(\triangle DBC)} = \frac{\tfrac{1}{2} \times BC \times AP}{\tfrac{1}{2} \times BC \times DM} = \frac{AP}{DM} = \frac{AO}{DO}$$

প্ৰশ্ন 5: $\triangle ABC$-ৰ বাহু $AB$, $BC$, $CA$-ৰ মধ্যবিন্দু ক্ৰমে $P$, $Q$, $R$। $\triangle ABC$ সমবাহু হ’লে দেখুৱা যে $\triangle PQR$-ও সমবাহু।

উত্তৰঃ মধ্যবিন্দু উপপাদ্যৰ পৰা $PQ = \tfrac{1}{2}AC$, $QR = \tfrac{1}{2}AB$, $PR = \tfrac{1}{2}BC$। $AB = BC = CA$ হ’লে $PQ = QR = PR$। গতিকে $\triangle PQR$ সমবাহু।

অতিৰিক্ত গুৰুত্বপূৰ্ণ প্ৰশ্ন (Additional Important Questions)

প্ৰশ্ন 1: $\triangle ABC \sim \triangle DEF$ আৰু সিহঁতৰ ক্ষেত্ৰফলৰ অনুপাত $25 : 49$। অনুৰূপ বাহুৰ অনুপাত উলিওৱা।

উত্তৰঃ বাহুৰ অনুপাত $= \sqrt{25 : 49} = 5 : 7$।

প্ৰশ্ন 2: এটা সমকোণী ত্ৰিভুজৰ অতিভুজ $13$ cm আৰু এটা বাহু $5$ cm। আনটো বাহু উলিওৱা।

উত্তৰঃ $b = \sqrt{13^2 – 5^2} = \sqrt{169 – 25} = \sqrt{144} = 12$ cm।

প্ৰশ্ন 3: $\triangle ABC$-ত $DE \parallel BC$, $AD : DB = 3 : 5$। $\triangle ADE$ আৰু $\triangle ABC$-ৰ ক্ষেত্ৰৰ অনুপাত উলিওৱা।

উত্তৰঃ $AD : AB = 3 : 8$। $\triangle ADE \sim \triangle ABC$ হোৱাত —

$$\frac{\text{ar}(\triangle ADE)}{\text{ar}(\triangle ABC)} = \left(\frac{3}{8}\right)^2 = \frac{9}{64}$$

প্ৰশ্ন 4: এটা সমবাহু ত্ৰিভুজৰ বাহুৰ দৈৰ্ঘ্য $a$ একক। ইয়াৰ ক্ষেত্ৰফল উলিওৱা।

উত্তৰঃ উচ্চতা $h = \tfrac{a\sqrt{3}}{2}$।

$$\text{ক্ষেত্ৰফল} = \tfrac{1}{2} \times a \times \tfrac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$$

প্ৰশ্ন 5 (MCQ): $\triangle ABC \sim \triangle DEF$, $AB = 4$, $DE = 6$ হ’লে $\dfrac{\text{ar}(\triangle ABC)}{\text{ar}(\triangle DEF)} = ?$

উত্তৰঃ $\left(\dfrac{4}{6}\right)^2 = \dfrac{16}{36} = \dfrac{4}{9}$।

প্ৰশ্ন 6 (MCQ): তলৰ কোনটো ত্ৰিপুটে সমকোণী ত্ৰিভুজ গঠন কৰে?

(a) $1, 2, 3$   (b) $9, 12, 15$   (c) $4, 5, 6$   (d) $10, 11, 12$

উত্তৰঃ (b)। কাৰণ $9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225 = 15^2$।

প্ৰশ্ন 7: $\triangle ABC$-ত $\angle BAC = 90°$ আৰু $AD \perp BC$। দেখুৱা যে $AD^2 = BD \cdot DC$।

উত্তৰঃ $\triangle ADB \sim \triangle CDA$ (AA)। গতিকে $\dfrac{BD}{AD} = \dfrac{AD}{DC} \Rightarrow AD^2 = BD \cdot DC$।

অনুশীলনৰ বাবে প্ৰশ্ন (Practice Questions)

1. সদৃশ আকৃতি আৰু সৰ্বসম আকৃতিৰ মাজৰ পাৰ্থক্য লিখা।
2. BPT-ৰ কথন আৰু প্ৰমাণ লিখা।
3. সাদৃশ্যৰ AAA, SSS, SAS মাপকাঠীৰ কথন লিখা।
4. পিথাগোৰাছৰ উপপাদ্যৰ চিত্ৰসহ প্ৰমাণ দিয়া।
5. $\triangle ABC \sim \triangle PQR$, $AB = 5$ cm, $PQ = 8$ cm আৰু ক্ষেত্ৰফল $(ABC) = 50$ cm² হ’লে ক্ষেত্ৰফল $(PQR)$ উলিওৱা। (উত্তৰ: $128$ cm²)
6. এটা বৰ্গৰ কৰ্ণৰ দৈৰ্ঘ্য $10\sqrt{2}$ cm। বাহু উলিওৱা। (উত্তৰ: $10$ cm)
7. $15$ মিটাৰ ওখ এটা স্তম্ভৰ গুৰিৰ পৰা $8$ মিটাৰ আঁতৰৰ এটা বিন্দুৰ পৰা স্তম্ভৰ আগমূৰৰ দূৰত্ব উলিওৱা। (উত্তৰ: $17$ মিটাৰ)

শব্দাৰ্থ (Glossary)

অসমীয়া	English	চিহ্ন/সূত্ৰ
সদৃশ ত্ৰিভুজ	Similar Triangles	$\triangle ABC \sim \triangle PQR$
সৰ্বসম ত্ৰিভুজ	Congruent Triangles	$\triangle ABC \cong \triangle PQR$
মৌলিক সমানুপাত উপপাদ্য	Basic Proportionality Theorem (BPT)	$\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}$
থেলিছ উপপাদ্য	Thales’ Theorem	BPT-ৰ অপৰ নাম
সাদৃশ্যৰ মাপকাঠী	Similarity Criteria	AAA, AA, SSS, SAS
পিথাগোৰাছৰ উপপাদ্য	Pythagoras Theorem	$c^2 = a^2 + b^2$
অতিভুজ	Hypotenuse	সমকোণৰ বিপৰীত বাহু
সমকোণী ত্ৰিভুজ	Right-angled Triangle	এটা কোণ $= 90°$
সমবাহু ত্ৰিভুজ	Equilateral Triangle	সকলো বাহু সমান
সমদ্বিবাহু ত্ৰিভুজ	Isosceles Triangle	দুটা বাহু সমান
মধ্যমা	Median	শীৰ্ষৰ পৰা বিপৰীত বাহুৰ মধ্যবিন্দুলৈ
উচ্চতা	Altitude	লম্ব দূৰত্ব
কোণৰ সমদ্বিখণ্ডক	Angle Bisector	কোণক দুটা সমান অংশত ভাগ কৰে
অনুৰূপ বাহু	Corresponding Sides	সদৃশ ত্ৰিভুজৰ মিল থকা বাহু
অনুৰূপ কোণ	Corresponding Angles	সদৃশ ত্ৰিভুজৰ মিল থকা কোণ
সমানুপাত	Proportion	$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$
ক্ষেত্ৰফলৰ অনুপাত	Ratio of Areas	$\left(\frac{\text{বাহু}}{\text{বাহু}}\right)^2$
ট্ৰাপিজিয়াম	Trapezium	এযোৰ সমান্তৰাল বাহু
সামন্তৰিক	Parallelogram	দুয়ো জোৰা সমান্তৰাল
ৰম্বছ	Rhombus	সকলো বাহু সমান সামন্তৰিক

সম্পূৰ্ণ অনুশীলনী 6.2 — অৱশিষ্ট সমাধান

প্ৰশ্ন 3: $\triangle ABC$-ত $LM \parallel BC$, $LM$-এ $AB$-ক $L$-ত আৰু $AC$-ক $M$-ত ছেদ কৰে। প্ৰমাণ কৰা যে $\dfrac{AL}{AB} = \dfrac{AM}{AC}$।

উত্তৰঃ BPT অনুসাৰে —

$$\frac{AL}{LB} = \frac{AM}{MC}$$

উভয় ফালে 1 যোগ কৰি —

$$\frac{AL + LB}{LB} = \frac{AM + MC}{MC} \Rightarrow \frac{AB}{LB} = \frac{AC}{MC}$$

$$\therefore \frac{LB}{AB} = \frac{MC}{AC} \Rightarrow 1 – \frac{AL}{AB} = 1 – \frac{AM}{AC}$$

$$\therefore \frac{AL}{AB} = \frac{AM}{AC} \quad \text{(প্ৰমাণিত)}$$

প্ৰশ্ন 4: $\triangle ABC$-ত $DE \parallel AC$ আৰু $DF \parallel AE$। প্ৰমাণ কৰা যে $\dfrac{BF}{FE} = \dfrac{BE}{EC}$।

উত্তৰঃ $\triangle ABC$-ত $DE \parallel AC$, BPT অনুসাৰে $\dfrac{BD}{DA} = \dfrac{BE}{EC}$ …(1)

$\triangle ABE$-ত $DF \parallel AE$, BPT অনুসাৰে $\dfrac{BD}{DA} = \dfrac{BF}{FE}$ …(2)

(1) আৰু (2)-ৰ পৰা $\dfrac{BF}{FE} = \dfrac{BE}{EC}$।

প্ৰশ্ন 5: $\triangle PQO$ আৰু $\triangle POR$-ত $DE \parallel OQ$ আৰু $DF \parallel OR$ ($D$ হৈছে $PQ$ আৰু $PR$-ৰ মাজৰ এটা সাধাৰণ বিন্দু)। দেখুৱা যে $EF \parallel QR$।

উত্তৰঃ $\triangle PQO$-ত $DE \parallel OQ$, BPT অনুসাৰে $\dfrac{PE}{EQ} = \dfrac{PD}{DO}$ …(1)

$\triangle POR$-ত $DF \parallel OR$, BPT অনুসাৰে $\dfrac{PF}{FR} = \dfrac{PD}{DO}$ …(2)

(1) আৰু (2)-ৰ পৰা $\dfrac{PE}{EQ} = \dfrac{PF}{FR}$। BPT-ৰ বিপৰীত উপপাদ্য অনুসাৰে $\triangle PQR$-ত $EF \parallel QR$।

প্ৰশ্ন 7: এনে এটা ৰেখা যিয়ে এটা ত্ৰিভুজৰ এটা বাহুৰ মধ্যবিন্দুৰ মাজেৰে আনটো বাহুৰ সমান্তৰালে গৈ আছে, সেইটোৱে তৃতীয় বাহুক সমদ্বিখণ্ডিত কৰে — প্ৰমাণ কৰা।

উত্তৰঃ ধৰক $\triangle ABC$-ত $D$ হৈছে $AB$-ৰ মধ্যবিন্দু আৰু $D$-ৰ মাজেৰে $BC$-ৰ সমান্তৰাল ৰেখাই $AC$-ক $E$-ত ছেদ কৰে।

BPT অনুসাৰে $\dfrac{AD}{DB} = \dfrac{AE}{EC}$। কিন্তু $AD = DB$, গতিকে $\dfrac{AE}{EC} = 1 \Rightarrow AE = EC$। অৰ্থাৎ $E$ হৈছে $AC$-ৰ মধ্যবিন্দু।

প্ৰশ্ন 8: এনে এটা ৰেখা যিয়ে ত্ৰিভুজৰ দুটা বাহুৰ মধ্যবিন্দুৰ মাজেৰে গৈ আছে, সেইটো তৃতীয় বাহুৰ সমান্তৰাল হ’ব — প্ৰমাণ কৰা (মধ্যবিন্দু উপপাদ্য)।

উত্তৰঃ ধৰক $D$ আৰু $E$ ক্ৰমে $AB$ আৰু $AC$-ৰ মধ্যবিন্দু। গতিকে $AD = DB$ আৰু $AE = EC$। অৰ্থাৎ $\dfrac{AD}{DB} = 1 = \dfrac{AE}{EC}$। BPT-ৰ বিপৰীতৰ পৰা $DE \parallel BC$।

প্ৰশ্ন 10: চিত্ৰত $\triangle ABC$-ৰ কৰ্ণ $AC$-ৰ ওপৰৰ এটা বিন্দু $E$ আৰু $F$-ৰ পৰা $AB$, $BC$-লৈ ক্ৰমে সমান্তৰাল ৰেখা $EF$ অংকন কৰা হৈছে। দেখুৱা যে $\dfrac{AE}{EC} = \dfrac{BF}{FC}$।

উত্তৰঃ $\triangle ABC$-ত $EF \parallel AB$, BPT অনুসাৰে $\dfrac{CE}{EA} = \dfrac{CF}{FB}$, অৰ্থাৎ $\dfrac{AE}{EC} = \dfrac{BF}{FC}$।

সম্পূৰ্ণ অনুশীলনী 6.3 — অতিৰিক্ত সমাধান

প্ৰশ্ন 4: $\triangle MNL$-ত $\dfrac{QR}{QM} = \dfrac{QT}{QN}$ আৰু $\angle 1 = \angle 2$। দেখুৱা যে $\triangle PQS \sim \triangle TQR$।

উত্তৰঃ $\angle 1 = \angle 2 \Rightarrow PQ = PR$ (সমদ্বিবাহু ত্ৰিভুজ)। প্ৰদত্ত: $\dfrac{QR}{QM} = \dfrac{QT}{QN}$।

$$\frac{QR}{QM} = \frac{QT}{QN} \Rightarrow \frac{QR}{QT} = \frac{QM}{QN}$$

$\triangle PQS$ আৰু $\triangle TQR$-ত $\angle Q$ সাধাৰণ আৰু অনুপাত একে। SAS অনুসাৰে $\triangle PQS \sim \triangle TQR$।

প্ৰশ্ন 5: $\triangle PQR$-ৰ বাহু $QR$ আৰু $PR$-ত ক্ৰমে $S$ আৰু $T$ এনে বিন্দু যাতে $\angle P = \angle RTS$। দেখুৱা যে $\triangle RPQ \sim \triangle RTS$।

উত্তৰঃ $\triangle RPQ$ আৰু $\triangle RTS$-ত —

• $\angle R = \angle R$ (সাধাৰণ)
• $\angle RPQ = \angle RTS$ (প্ৰদত্ত)

সেইবাবে AA অনুসাৰে $\triangle RPQ \sim \triangle RTS$।

প্ৰশ্ন 6: $\triangle ABE \cong \triangle ACD$ হ’লে দেখুৱা যে $\triangle ADE \sim \triangle ABC$।

উত্তৰঃ $\triangle ABE \cong \triangle ACD \Rightarrow AB = AC$, $AE = AD$।

$$\therefore \frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}$$

$\triangle ADE$ আৰু $\triangle ABC$-ত $\angle A$ সাধাৰণ আৰু বাহু সমানুপাতিক। SAS অনুসাৰে $\triangle ADE \sim \triangle ABC$।

প্ৰশ্ন 7: চিত্ৰত $\triangle ABC$-ৰ উচ্চতা $AD$ আৰু $CE$ পৰস্পৰ $P$-ত ছেদ কৰিছে। দেখুৱা যে —

• (i) $\triangle AEP \sim \triangle CDP$
• (ii) $\triangle ABD \sim \triangle CBE$
• (iii) $\triangle AEP \sim \triangle ADB$
• (iv) $\triangle PDC \sim \triangle BEC$

উত্তৰঃ (i) $\triangle AEP$ আৰু $\triangle CDP$-ত $\angle AEP = \angle CDP = 90°$, $\angle APE = \angle CPD$ (বিপৰীত)। AA অনুসাৰে সদৃশ।

(ii) $\triangle ABD$ আৰু $\triangle CBE$-ত $\angle ADB = \angle CEB = 90°$, $\angle B$ সাধাৰণ। AA অনুসাৰে সদৃশ।

(iii) $\triangle AEP$ আৰু $\triangle ADB$-ত $\angle AEP = \angle ADB = 90°$, $\angle A$ সাধাৰণ। AA অনুসাৰে সদৃশ।

(iv) $\triangle PDC$ আৰু $\triangle BEC$-ত $\angle PDC = \angle BEC = 90°$, $\angle C$ সাধাৰণ। AA অনুসাৰে সদৃশ।

প্ৰশ্ন 9: চিত্ৰত $\triangle ABC$ আৰু $\triangle AMP$ দুটা সমকোণী ত্ৰিভুজ য’ত $\angle B = \angle M = 90°$। প্ৰমাণ কৰা — (i) $\triangle ABC \sim \triangle AMP$ (ii) $\dfrac{CA}{PA} = \dfrac{BC}{MP}$।

উত্তৰঃ $\triangle ABC$ আৰু $\triangle AMP$-ত $\angle A$ সাধাৰণ আৰু $\angle B = \angle M = 90°$। গতিকে AA অনুসাৰে $\triangle ABC \sim \triangle AMP$। সেইবাবে অনুৰূপ বাহু সমানুপাতিক $\Rightarrow \dfrac{CA}{PA} = \dfrac{BC}{MP}$।

প্ৰশ্ন 10: $\triangle ABC \sim \triangle EFG$, $CD$ আৰু $GH$ ক্ৰমে $\angle ACB$ আৰু $\angle EGF$-ৰ সমদ্বিখণ্ডক যিয়ে $AB$ আৰু $EF$ ছেদ কৰে। দেখুৱা যে —

• (i) $\dfrac{CD}{GH} = \dfrac{AC}{EG}$
• (ii) $\triangle DCB \sim \triangle HGF$
• (iii) $\triangle DCA \sim \triangle HGE$

উত্তৰঃ $\triangle ABC \sim \triangle EFG$ হোৱাত $\angle A = \angle E$, $\angle ACB = \angle EGF$। গতিকে $\angle ACD = \angle EGH$ (অৰ্ধাংশ)। $\triangle ACD$ আৰু $\triangle EGH$-ত $\angle A = \angle E$, $\angle ACD = \angle EGH$, AA অনুসাৰে $\triangle ACD \sim \triangle EGH$। সেইবাবে $\dfrac{CD}{GH} = \dfrac{AC}{EG}$।

একেদৰে $\triangle DCB \sim \triangle HGF$ আৰু $\triangle DCA \sim \triangle HGE$।

প্ৰশ্ন 11: চিত্ৰত $E$ হৈছে $\triangle ABC$ ($AB = AC$)-ৰ বাহু $CB$-ৰ বৰ্ধিত অংশৰ এটা বিন্দু। যদি $AD \perp BC$ আৰু $EF \perp AC$, প্ৰমাণ কৰা যে $\triangle ABD \sim \triangle ECF$।

উত্তৰঃ $AB = AC \Rightarrow \angle B = \angle C$ (সমদ্বিবাহু)। $\angle ECF = \angle ACB = \angle B$।

$\triangle ABD$ আৰু $\triangle ECF$-ত $\angle ADB = \angle EFC = 90°$, $\angle B = \angle C$। AA অনুসাৰে $\triangle ABD \sim \triangle ECF$।

প্ৰশ্ন 12: $\triangle ABC$ আৰু $\triangle PQR$-ত $\dfrac{AB}{PQ} = \dfrac{BC}{QR} = \dfrac{AD}{PM}$ য’ত $AD$ আৰু $PM$ ক্ৰমে $BC$ আৰু $QR$-লৈ মধ্যমা। প্ৰমাণ কৰা যে $\triangle ABC \sim \triangle PQR$।

উত্তৰঃ $D$ আৰু $M$ ক্ৰমে $BC$ আৰু $QR$-ৰ মধ্যবিন্দু। $BD = \tfrac{1}{2}BC$, $QM = \tfrac{1}{2}QR$। গতিকে —

$$\frac{AB}{PQ} = \frac{BD}{QM} = \frac{AD}{PM}$$

SSS অনুসাৰে $\triangle ABD \sim \triangle PQM$, সেইবাবে $\angle B = \angle Q$। তেতিয়া $\triangle ABC$ আৰু $\triangle PQR$-ত $\dfrac{AB}{PQ} = \dfrac{BC}{QR}$ আৰু $\angle B = \angle Q$। SAS অনুসাৰে $\triangle ABC \sim \triangle PQR$।

প্ৰশ্ন 13: $\triangle ABC$-ৰ বাহু $BC$-ৰ এটা বিন্দু $D$-ত $\angle ADC = \angle BAC$। দেখুৱা যে $CA^2 = CB \cdot CD$।

উত্তৰঃ $\triangle ABC$ আৰু $\triangle DAC$-ত —

• $\angle BAC = \angle ADC$ (প্ৰদত্ত)
• $\angle ACB = \angle DCA$ (সাধাৰণ)

AA অনুসাৰে $\triangle ABC \sim \triangle DAC$। গতিকে $\dfrac{CB}{CA} = \dfrac{CA}{CD} \Rightarrow CA^2 = CB \cdot CD$।

প্ৰশ্ন 16: দেখুৱা যে দুটা সদৃশ ত্ৰিভুজৰ অনুৰূপ মধ্যমাৰ অনুপাত অনুৰূপ বাহুৰ অনুপাতৰ সমান।

উত্তৰঃ ধৰক $\triangle ABC \sim \triangle PQR$ আৰু $AD$, $PM$ ক্ৰমে $BC$, $QR$-লৈ মধ্যমা। সদৃশতাৰ পৰা $\dfrac{AB}{PQ} = \dfrac{BC}{QR}$ আৰু $\angle B = \angle Q$।

$$\frac{AB}{PQ} = \frac{\tfrac{1}{2}BC}{\tfrac{1}{2}QR} = \frac{BD}{QM}$$

SAS অনুসাৰে $\triangle ABD \sim \triangle PQM \Rightarrow \dfrac{AD}{PM} = \dfrac{AB}{PQ}$।

সম্পূৰ্ণ অনুশীলনী 6.4 — অতিৰিক্ত সমাধান

প্ৰশ্ন 3: চিত্ৰত $\triangle ABC$ আৰু $\triangle DBC$ একে ভূমি $BC$-ৰ ওপৰত একে ফালে। যদি $AD$-এ $BC$-ক $O$-ত ছেদ কৰে, দেখুৱা যে $\dfrac{\text{ar}(\triangle ABC)}{\text{ar}(\triangle DBC)} = \dfrac{AO}{DO}$।

উত্তৰঃ $A$ আৰু $D$-ৰ পৰা $BC$-লৈ লম্ব $AL$ আৰু $DM$ অংকন কৰক।

$\triangle ALO \sim \triangle DMO$ (AA)। গতিকে $\dfrac{AL}{DM} = \dfrac{AO}{DO}$।

$$\frac{\text{ar}(\triangle ABC)}{\text{ar}(\triangle DBC)} = \frac{\tfrac{1}{2} \cdot BC \cdot AL}{\tfrac{1}{2} \cdot BC \cdot DM} = \frac{AL}{DM} = \frac{AO}{DO}$$

প্ৰশ্ন 4: যদি দুটা সদৃশ ত্ৰিভুজৰ ক্ষেত্ৰৰ মান সমান, তেন্তে দেখুৱা যে সিহঁত সৰ্বসম।

উত্তৰঃ ধৰক $\triangle ABC \sim \triangle PQR$ আৰু ক্ষেত্ৰফল সমান।

$$\frac{\text{ar}(\triangle ABC)}{\text{ar}(\triangle PQR)} = \left(\frac{AB}{PQ}\right)^2 = 1$$

$$\Rightarrow \frac{AB}{PQ} = 1 \Rightarrow AB = PQ, \, BC = QR, \, CA = RP$$

SSS অনুসাৰে $\triangle ABC \cong \triangle PQR$।

প্ৰশ্ন 8 (MCQ): ABC আৰু BDE দুটা সমবাহু ত্ৰিভুজ য’ত $D$ হৈছে $BC$-ৰ মধ্যবিন্দু। তেন্তে $\triangle ABC$ আৰু $\triangle BDE$-ৰ ক্ষেত্ৰৰ অনুপাত —

(a) $2 : 1$   (b) $1 : 2$   (c) $4 : 1$   (d) $1 : 4$

উত্তৰঃ (c)। $BC = 2 \cdot BD$ গতিকে অনুপাত $(BC/BD)^2 = 4 : 1$।

প্ৰশ্ন 9 (MCQ): দুটা সদৃশ ত্ৰিভুজৰ বাহুৰ অনুপাত $4 : 9$। ক্ষেত্ৰৰ অনুপাত —

(a) $2 : 3$   (b) $4 : 9$   (c) $81 : 16$   (d) $16 : 81$

উত্তৰঃ (d) $16 : 81$।

সম্পূৰ্ণ অনুশীলনী 6.5 — অৱশিষ্ট সমাধান

প্ৰশ্ন 3: চিত্ৰত $\triangle ABC$ এটা সমকোণী ত্ৰিভুজ য’ত $\angle ABC = 90°$ আৰু $BD \perp AC$। দেখুৱা যে —

• (i) $\triangle ADB \sim \triangle ABC$
• (ii) $\triangle BDC \sim \triangle ABC$
• (iii) $\triangle ADB \sim \triangle BDC$

উত্তৰঃ (i) $\triangle ADB$ আৰু $\triangle ABC$-ত $\angle ADB = \angle ABC = 90°$, $\angle A$ সাধাৰণ। AA অনুসাৰে সদৃশ।

(ii) $\triangle BDC$ আৰু $\triangle ABC$-ত $\angle BDC = \angle ABC = 90°$, $\angle C$ সাধাৰণ। AA অনুসাৰে সদৃশ।

(iii) (i) আৰু (ii)-ৰ পৰা $\triangle ADB \sim \triangle BDC$।

প্ৰশ্ন 5: $\triangle ABC$ এটা সমকোণী ত্ৰিভুজ য’ত $\angle C = 90°$। $AB$-ৰ মধ্যবিন্দু $D$। দেখুৱা যে $CD = \tfrac{1}{2}AB$।

উত্তৰঃ $D$-ৰ মাজেৰে $BC$-ৰ সমান্তৰাল ৰেখা টানিলে সিয়ে $AC$-ক $E$-ত ছেদ কৰে; $E$ হৈছে $AC$-ৰ মধ্যবিন্দু (BPT-ৰ পৰা)। $DE \parallel BC$ আৰু $\angle C = 90°$ গতিকে $DE \perp AC$।

$\triangle ADE$ আৰু $\triangle BDC$-ত AAS অনুসাৰে সদৃশ আৰু সমান। $AD = BD = CD$ অৰ্থাৎ $D$-এ $A$, $B$, $C$-ৰ পৰা সমদূৰৱৰ্তী। সেইবাবে $CD = AD = \tfrac{1}{2}AB$।

প্ৰশ্ন 8: $\triangle ABC$-ত $D$, $E$, $F$ ক্ৰমে $BC$, $CA$, $AB$-ৰ মধ্যবিন্দু। দেখুৱা যে $\triangle ABC$-ৰ ক্ষেত্ৰ $\triangle DEF$-ৰ চাৰিগুণ।

উত্তৰঃ মধ্যবিন্দু উপপাদ্যৰ পৰা $\triangle DEF \sim \triangle ABC$ আৰু $\dfrac{DE}{AB} = \dfrac{1}{2}$।

$$\frac{\text{ar}(\triangle ABC)}{\text{ar}(\triangle DEF)} = \left(\frac{AB}{DE}\right)^2 = 4$$

প্ৰশ্ন 13: $\triangle ABC$-ত $D$ আৰু $E$ ক্ৰমে $CA$ আৰু $CB$-ৰ ওপৰৰ বিন্দু আৰু $\triangle CDE \sim \triangle ABC$। দেখুৱা যে $CA \cdot CE = CB \cdot CD$।

উত্তৰঃ সদৃশতাৰ পৰা $\dfrac{CD}{CA} = \dfrac{CE}{CB}$, গতিকে $CD \cdot CB = CE \cdot CA$।

প্ৰশ্ন 14: $\triangle ABC$-ত $\angle B$ স্থূলকোণ। $C$-ৰ পৰা $AB$-ৰ বৰ্ধিত অংশলৈ লম্ব $CD$ অংকন কৰা। দেখুৱা যে $AC^2 = AB^2 + BC^2 + 2 \cdot AB \cdot BD$।

উত্তৰঃ সমকোণী $\triangle ACD$-ত —

$$AC^2 = AD^2 + CD^2 = (AB + BD)^2 + CD^2$$

$$= AB^2 + 2AB \cdot BD + BD^2 + CD^2$$

সমকোণী $\triangle BCD$-ত $BC^2 = BD^2 + CD^2$। গতিকে —

$$AC^2 = AB^2 + 2AB \cdot BD + BC^2$$

প্ৰশ্ন 15: $\triangle ABC$-ত $\angle B$ সূক্ষ্মকোণ আৰু $AD \perp BC$। দেখুৱা যে $AC^2 = AB^2 + BC^2 – 2 \cdot BC \cdot BD$।

উত্তৰঃ সমকোণী $\triangle ADC$-ত —

$$AC^2 = AD^2 + DC^2 = AD^2 + (BC – BD)^2$$

$$= AD^2 + BC^2 – 2BC \cdot BD + BD^2$$

$\triangle ABD$-ত $AB^2 = AD^2 + BD^2$। সলোৱাত —

$$AC^2 = AB^2 + BC^2 – 2BC \cdot BD$$

প্ৰশ্ন 16: সমবাহু ত্ৰিভুজৰ এটা বাহুৰ ওপৰৰ বৰ্গৰ ক্ষেত্ৰফল ইয়াৰ উচ্চতাৰ ওপৰৰ বৰ্গৰ ক্ষেত্ৰফলৰ $\tfrac{4}{3}$ গুণ — প্ৰমাণ কৰা।

উত্তৰঃ বাহু $a$ হ’লে উচ্চতা $h = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$।

$$\frac{a^2}{h^2} = \frac{a^2}{\tfrac{3a^2}{4}} = \frac{4}{3}$$

আৰু কেইটামান গুৰুত্বপূৰ্ণ পৰীক্ষাৰ প্ৰশ্ন

প্ৰশ্ন 1: $\triangle ABC$-ত $D$ আৰু $E$ ক্ৰমে $AB$ আৰু $AC$-ত এনে বিন্দু যাতে $AD = 6$ cm, $DB = 9$ cm, $AE = 8$ cm আৰু $EC = 12$ cm। $DE \parallel BC$ হ’ব নে?

উত্তৰঃ $\dfrac{AD}{DB} = \dfrac{6}{9} = \dfrac{2}{3}$ আৰু $\dfrac{AE}{EC} = \dfrac{8}{12} = \dfrac{2}{3}$। অনুপাত সমান, BPT-ৰ বিপৰীত অনুসাৰে $DE \parallel BC$।

প্ৰশ্ন 2: $\triangle PQR$-ৰ $\angle Q = 90°$ আৰু $QM \perp PR$, $PR = 25$ cm, $PQ = 7$ cm। $QM$-ৰ দৈৰ্ঘ্য উলিওৱা।

উত্তৰঃ পিথাগোৰাছৰ পৰা $QR = \sqrt{25^2 – 7^2} = \sqrt{625-49} = \sqrt{576} = 24$ cm।

$$\text{ক্ষেত্ৰ} = \tfrac{1}{2} \cdot PQ \cdot QR = \tfrac{1}{2} \cdot PR \cdot QM$$

$$\tfrac{1}{2} \cdot 7 \cdot 24 = \tfrac{1}{2} \cdot 25 \cdot QM \Rightarrow QM = \frac{168}{25} = 6.72 \text{ cm}$$

প্ৰশ্ন 3: $\triangle ABC \sim \triangle DEF$, $AB = 5$ cm, $BC = 6$ cm, $CA = 7$ cm আৰু পৰিসীমা $(\triangle DEF) = 36$ cm হ’লে $DEF$-ৰ বাহুসমূহ উলিওৱা।

উত্তৰঃ পৰিসীমা $(\triangle ABC) = 5 + 6 + 7 = 18$ cm। অনুপাত $= \dfrac{36}{18} = 2$। গতিকে $DE = 10$, $EF = 12$, $FD = 14$ cm।

প্ৰশ্ন 4: এটা ৰম্বছৰ এটা বাহু $20$ cm আৰু এটা কৰ্ণ $24$ cm। আনটো কৰ্ণ উলিওৱা।

উত্তৰঃ ৰম্বছৰ কৰ্ণদ্বয় পৰস্পৰ লম্বভাৱে সমদ্বিখণ্ডিত। আধা কৰ্ণ $= 12$ cm। আনটো আধা কৰ্ণ —

$$\sqrt{20^2 – 12^2} = \sqrt{400 – 144} = \sqrt{256} = 16 \text{ cm}$$

সম্পূৰ্ণ আনটো কৰ্ণ $= 32$ cm।

প্ৰশ্ন 5: $\triangle ABC$-ত $D$ হৈছে $BC$-ৰ মধ্যবিন্দু আৰু $AE \perp BC$। প্ৰমাণ কৰা যে $AC^2 = AD^2 + BC \cdot DE + \tfrac{BC^2}{4}$।

উত্তৰঃ $D$ মধ্যবিন্দু হোৱাত $BD = DC = \tfrac{BC}{2}$।

$$AC^2 = AE^2 + EC^2 = AE^2 + (ED + DC)^2$$

$$= AE^2 + ED^2 + 2 ED \cdot DC + DC^2 = AD^2 + 2 \cdot DC \cdot DE + DC^2$$

$$= AD^2 + BC \cdot DE + \tfrac{BC^2}{4}$$

বহু-বৈকল্পিক প্ৰশ্ন (MCQs)

প্ৰশ্ন 1: তলৰ কোনটো জোৰাই সদৃশ আকৃতি গঠন কৰে?

(a) এটা ত্ৰিভুজ আৰু এটা চতুৰ্ভুজ   (b) দুটা সমবাহু ত্ৰিভুজ   (c) এটা বৰ্গ আৰু এটা সমকোণী ত্ৰিভুজ   (d) এটা বৃত্ত আৰু এটা উপবৃত্ত

উত্তৰঃ (b)। সকলো সমবাহু ত্ৰিভুজ সদৃশ।

প্ৰশ্ন 2: $\triangle ABC \sim \triangle DEF$, $AB = 4$ cm, $DE = 6$ cm আৰু $\text{ar}(\triangle DEF) = 36$ cm² হ’লে $\text{ar}(\triangle ABC) = ?$

(a) $24$ cm²   (b) $16$ cm²   (c) $54$ cm²   (d) $36$ cm²

উত্তৰঃ (b)। $\dfrac{\text{ar}(ABC)}{36} = \left(\dfrac{4}{6}\right)^2 = \dfrac{4}{9} \Rightarrow \text{ar}(ABC) = 16$ cm²।

প্ৰশ্ন 3: এটা সমবাহু ত্ৰিভুজৰ বাহু $a$ একক হ’লে ইয়াৰ ক্ষেত্ৰফল —

(a) $\dfrac{\sqrt{3}}{2}a^2$   (b) $\dfrac{\sqrt{3}}{4}a^2$   (c) $\dfrac{a^2}{2}$   (d) $a^2$

উত্তৰঃ (b)।

প্ৰশ্ন 4: এটা সমকোণী ত্ৰিভুজৰ বাহু $5$, $12$ আৰু $13$ cm। অতিভুজ —

(a) $5$ cm   (b) $12$ cm   (c) $13$ cm   (d) উপৰৰ এটাও নহয়

উত্তৰঃ (c)। সদায় আটাইতকৈ ডাঙৰ বাহুটোৱেই অতিভুজ।

প্ৰশ্ন 5: $\triangle ABC$-ত $\angle B = 90°$, $BD \perp AC$। $AB^2 = ?$

(a) $AD \cdot DC$   (b) $AD \cdot AC$   (c) $DC \cdot AC$   (d) $BD \cdot AC$

উত্তৰঃ (b)।

প্ৰশ্ন 6: দুটা সদৃশ ত্ৰিভুজৰ পৰিসীমাৰ অনুপাত $3 : 4$। সিহঁতৰ ক্ষেত্ৰফলৰ অনুপাত —

(a) $3 : 4$   (b) $9 : 16$   (c) $4 : 3$   (d) $16 : 9$

উত্তৰঃ (b)। পৰিসীমাৰ অনুপাত = বাহুৰ অনুপাত। ক্ষেত্ৰফলৰ অনুপাত = বাহুৰ অনুপাতৰ বৰ্গ।

প্ৰশ্ন 7: এটা বৰ্গৰ কৰ্ণৰ দৈৰ্ঘ্য $a\sqrt{2}$। বাহুৰ দৈৰ্ঘ্য —

(a) $a$   (b) $2a$   (c) $a\sqrt{2}$   (d) $\dfrac{a}{\sqrt{2}}$

উত্তৰঃ (a)।

প্ৰশ্ন 8: $\triangle ABC$-ত $\angle A = 90°$, $AD \perp BC$। তেন্তে —

(a) $AD^2 = AB \cdot AC$   (b) $AD^2 = BD \cdot DC$   (c) $BC^2 = AB \cdot AC$   (d) উপৰৰ এটাও নহয়

উত্তৰঃ (b)।

প্ৰশ্ন 9: $\triangle ABC \sim \triangle PQR$, $BC = 6$ cm, $QR = 9$ cm, $AB + AC = 10$ cm হ’লে $PQ + PR = ?$

(a) $12$ cm   (b) $13.5$ cm   (c) $15$ cm   (d) $20$ cm

উত্তৰঃ (c)। অনুপাত $= \dfrac{6}{9} = \dfrac{2}{3}$। গতিকে $\dfrac{AB+AC}{PQ+PR} = \dfrac{2}{3} \Rightarrow PQ + PR = 15$ cm।

প্ৰশ্ন 10: এটা ত্ৰিভুজৰ বাহুৰ দৈৰ্ঘ্য $a$, $b$, $c$ আৰু $a^2 + b^2 = c^2$ হ’লে কোণটো —

(a) সূক্ষ্মকোণ   (b) সমকোণ   (c) স্থূলকোণ   (d) নিশ্চয় নহয়

উত্তৰঃ (b)। পিথাগোৰাছৰ বিপৰীত উপপাদ্য।

খালী ঠাই পূৰণ (Fill in the Blanks)

• সকলো বৃত্ত পৰস্পৰ ______ হয়। (উত্তৰঃ সদৃশ)
• সকলো ______ ত্ৰিভুজ পৰস্পৰ সদৃশ। (উত্তৰঃ সমবাহু)
• দুটা সদৃশ ত্ৰিভুজৰ ক্ষেত্ৰৰ অনুপাত অনুৰূপ ______-ৰ বৰ্গৰ অনুপাতৰ সমান। (উত্তৰঃ বাহু)
• BPT-ৰ আন এটা নাম ______ উপপাদ্য। (উত্তৰঃ থেলিছ)
• পিথাগোৰাছৰ উপপাদ্যৰ সূত্ৰ ______। (উত্তৰঃ $c^2 = a^2 + b^2$)
• সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্ৰিভুজৰ অতিভুজ $= \text{বাহু} \times$ ______। (উত্তৰঃ $\sqrt{2}$)
• সমবাহু ত্ৰিভুজৰ উচ্চতা $= \dfrac{\text{বাহু} \times \sqrt{3}}{}$ ______। (উত্তৰঃ $2$)

শুদ্ধ-অশুদ্ধ (True/False)

• সকলো সৰ্বসম ত্ৰিভুজ সদৃশ। — শুদ্ধ
• সকলো সদৃশ ত্ৰিভুজ সৰ্বসম। — অশুদ্ধ
• দুটা সমদ্বিবাহু ত্ৰিভুজ সদায় সদৃশ। — অশুদ্ধ (কোণৰ মান সমান হ’লেহে)
• সকলো সমকোণী ত্ৰিভুজ সদৃশ। — অশুদ্ধ
• দুটা ত্ৰিভুজৰ অনুৰূপ কোণ সমান হ’লে সিহঁত সদৃশ। — শুদ্ধ
• $3, 4, 5$ বাহুৰে এটা সমকোণী ত্ৰিভুজ গঠন হয়। — শুদ্ধ
• সদৃশ ত্ৰিভুজৰ ক্ষেত্ৰৰ অনুপাত পৰিসীমাৰ অনুপাতৰ সমান। — অশুদ্ধ (বৰ্গ হোৱা উচিত)

অতি দীঘল উত্তৰৰ প্ৰশ্ন (Long Answer Questions)

প্ৰশ্ন 1: $ABC$ এটা সমকোণী ত্ৰিভুজ য’ত $\angle B = 90°$ আৰু বাহু $a$, $b$, $c$ ক্ৰমে $\angle A$, $\angle B$, $\angle C$-ৰ বিপৰীতে। $AB$-ৰ ওপৰৰ এটা বিন্দু $D$-ৰ পৰা $AC$-লৈ লম্ব $DE$ অংকন কৰা। যদি $AD = x$, প্ৰমাণ কৰা যে $\dfrac{DE}{BC} = \dfrac{x}{c}$।

উত্তৰঃ $\triangle ADE$ আৰু $\triangle ABC$-ত $\angle A$ সাধাৰণ আৰু $\angle ADE = \angle ABC = 90°$। AA অনুসাৰে সদৃশ। গতিকে —

$$\frac{DE}{BC} = \frac{AD}{AB} = \frac{x}{c}$$

প্ৰশ্ন 2: এটা গছৰ ছাঁ এটা সময়ত $30$ মিটাৰ। একে সময়ত এটা $15$ মিটাৰ ওখ স্তম্ভৰ ছাঁ $24$ মিটাৰ। গছজোপাৰ উচ্চতা উলিওৱা।

উত্তৰঃ দুয়োটা সদৃশ ত্ৰিভুজ গঠন কৰে। ধৰক গছৰ উচ্চতা $h$।

$$\frac{h}{15} = \frac{30}{24} \Rightarrow h = \frac{15 \times 30}{24} = 18.75 \text{ মিটাৰ}$$

প্ৰশ্ন 3: $\triangle ABC$-ত $AB = AC$ আৰু $D$ হৈছে $BC$-ৰ মধ্যবিন্দু। প্ৰমাণ কৰা যে $AB^2 – AD^2 = BD \cdot DC$।

উত্তৰঃ সমদ্বিবাহু ত্ৰিভুজৰ মধ্যমা ভূমিৰ ওপৰত লম্ব। গতিকে $\angle ADB = 90°$।

$$AB^2 = AD^2 + BD^2 \Rightarrow AB^2 – AD^2 = BD^2 = BD \cdot BD = BD \cdot DC$$

($BD = DC$, কাৰণ $D$ মধ্যবিন্দু)।

প্ৰশ্ন 4: এটা সমকোণী ত্ৰিভুজৰ অতিভুজ $20$ cm। যদি বাহু দুটাৰ পাৰ্থক্য $4$ cm, বাহু দুটা উলিওৱা।

উত্তৰঃ ধৰক বাহু $x$ আৰু $x+4$।

$$x^2 + (x+4)^2 = 20^2$$

$$x^2 + x^2 + 8x + 16 = 400$$

$$2x^2 + 8x – 384 = 0 \Rightarrow x^2 + 4x – 192 = 0$$

$$x = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 768}}{2} = \frac{-4 \pm 28}{2} = 12 \text{ বা } -16$$

ঋণাত্মক মান গ্ৰহণযোগ্য নহয়। গতিকে বাহু $12$ cm আৰু $16$ cm।

প্ৰশ্ন 5: $\triangle ABC$-ত $D$ আৰু $E$ ক্ৰমে $AB$ আৰু $AC$-ৰ মধ্যবিন্দু। যদি $\text{ar}(\triangle ABC) = 16$ cm², $\text{ar}(\triangle ADE) = ?$

উত্তৰঃ মধ্যবিন্দু উপপাদ্যৰ পৰা $DE \parallel BC$ আৰু $\triangle ADE \sim \triangle ABC$ অনুপাত $1:2$।

$$\frac{\text{ar}(\triangle ADE)}{\text{ar}(\triangle ABC)} = \frac{1}{4}$$

$$\text{ar}(\triangle ADE) = \frac{16}{4} = 4 \text{ cm}^2$$

চাৰিদিগৰ চিত্ৰৰ সাৰাংশ

ওপৰৰ চিত্ৰত দেখুওৱা হৈছে $3, 4, 5$ বাহুৰ পিথাগোৰীয় ত্ৰিপুট: $9 + 16 = 25$ অৰ্থাৎ $3^2 + 4^2 = 5^2$।

সাধাৰণ ভুল আৰু সাৱধানতা (Common Mistakes)

• সদৃশ আৰু সৰ্বসম ত্ৰিভুজৰ পাৰ্থক্য নকৰি লিখা — সদৃশৰ চিহ্ন $\sim$, সৰ্বসমৰ চিহ্ন $\cong$।
• BPT প্ৰয়োগ কৰাৰ সময়ত অনুৰূপ বাহু ভুলদৰে চিনাক্ত কৰা।
• সদৃশতা প্ৰমাণ কৰাৰ সময়ত মাপকাঠীৰ নাম (AAA, SSS, SAS) উল্লেখ নকৰা।
• ক্ষেত্ৰফলৰ অনুপাত উলিৱাত বাহুৰ অনুপাতৰ বৰ্গ লোৱা ভুলি যোৱা।
• পিথাগোৰাছৰ উপপাদ্য প্ৰয়োগৰ আগতে কোণটো $90°$ হোৱাটো পৰীক্ষা নকৰা।
• অতিভুজ সদায় সমকোণৰ বিপৰীত বাহু — অন্য বাহু লৈ $c^2$ লিখা ভুল।

উপসংহাৰ (Conclusion)

ত্ৰিভুজ অধ্যায়টোৱে জ্যামিতিৰ মূলভিত্তি গঢ় দিয়ে। সদৃশ ত্ৰিভুজ, BPT, সাদৃশ্যৰ মাপকাঠী আৰু পিথাগোৰাছৰ উপপাদ্য — এই চাৰিটা ধাৰণা ভালদৰে আয়ত্ত কৰিলে যিকোনো প্ৰশ্ন সমাধান কৰিব পৰা যায়। প্ৰতিটো উপপাদ্যৰ চিত্ৰ অংকন কৰি প্ৰমাণ মুখস্থ কৰাৰ সলনি বুজি লোৱাটোৱেই উত্তম পথ। অনুশীলনীৰ প্ৰতিটো প্ৰশ্ন নিজে চিত্ৰ অংকন কৰি সমাধান কৰিলে অভিধাৰণা স্পষ্ট হ’ব। শুভেচ্ছা!