নমস্কাৰ প্ৰিয় শিক্ষাৰ্থী! HSLC GURU-ৱে আজি ASSEB (Assam State School Education Board)-ৰ দশম শ্ৰেণীৰ গণিত পাঠ্যপুথিৰ পঞ্চম অধ্যায়—সমান্তৰ প্ৰগতি (Arithmetic Progressions)-ৰ সম্পূৰ্ণ প্ৰশ্নোত্তৰ, সূত্ৰ আৰু সমাধান অসমীয়া মাধ্যমত উপস্থাপন কৰিছে। এই অধ্যায়টোৱে আমাক সংখ্যাৰ এক বিশেষ ক্ৰম, য’ত প্ৰতিটো পদৰ পাছৰ পদটোৱে এক নিৰ্দিষ্ট সংখ্যা যোগ কৰি গঠিত হয়, সেই বিষয়ে শিকায়। দৈনন্দিন জীৱনৰ বহু ক্ষেত্ৰত—যেনে দৰমহাৰ বৃদ্ধি, ট্যাক্সি ভাড়া, সঞ্চয়ৰ পৰিকল্পনা, কিস্তিত পৰিশোধ, খেতি-পথাৰৰ সাৰিৰ উৎপাদন আদিত—সমান্তৰ প্ৰগতিৰ ব্যৱহাৰ দেখা যায়। এই পাঠটো পঢ়িলে আপুনি সমান্তৰ প্ৰগতি চিনাক্ত কৰিব পাৰিব, যিকোনো পদৰ মান উলিয়াব পাৰিব, প্ৰথম $n$ টা পদৰ যোগফল নিৰ্ণয় কৰিব পাৰিব আৰু বাস্তৱ সমস্যাবোৰ গণিতৰ ভাষাত পৰিৱৰ্তন কৰি সমাধান কৰিব পাৰিব।

সাৰাংশ (Summary)

সমান্তৰ প্ৰগতি (AP) হ’ল এনে এক সংখ্যা ক্ৰম য’ত যিকোনো এটা পদৰ পৰা তাৰ পূৰ্বৰ পদটো বিয়োগ কৰিলে এটা ধ্ৰুৱক পোৱা যায়। এই ধ্ৰুৱকটোক সাধাৰণ অন্তৰ (common difference) বুলি কোৱা হয় আৰু ইয়াক $d$ ৰে চিহ্নিত কৰা হয়। প্ৰথম পদটোক $a$ বুলি ক’লে, এটা সমান্তৰ প্ৰগতিৰ পদসমূহ হয় $a, a+d, a+2d, a+3d, \dots$ আৰু এই অধ্যায়ত আমি $n$-তম পদ আৰু প্ৰথম $n$ টা পদৰ যোগফল উলিওৱাৰ সূত্ৰ আৰু সিহঁতৰ প্ৰয়োগ শিকিম। অধ্যায়টোৰ চাৰিটা অনুশীলনী—5.1 (চিনাক্তকৰণ), 5.2 ($n$-তম পদ), 5.3 (যোগফল), আৰু 5.4 (অতিৰিক্ত উচ্চতৰ প্ৰশ্ন)—সমাধানসহ ইয়াত দিয়া হ’ল।

An Arithmetic Progression (AP) is a sequence where each term differs from the preceding term by a fixed number called the common difference $d$. With first term $a$, the AP is $a, a+d, a+2d, \dots$, and we use the formulae for the $n$-th term and the sum of $n$ terms to solve a wide range of problems including word problems on instalments, salaries, daily life patterns and number-theoretic sums. This chapter covers Exercises 5.1 (identification), 5.2 ($n$-th term), 5.3 (sum), and 5.4 (advanced applications) of the ASSEB Class 10 Mathematics textbook.

সমান্তৰ প্ৰগতিৰ মৌলিক ধাৰণা (Basic Concepts of AP)

ক্ৰম (Sequence): এক নিৰ্দিষ্ট নিয়মৰ ভিত্তিত সাজু কৰা সংখ্যাৰ এটা তালিকাক ক্ৰম বুলি কোৱা হয়। উদাহৰণস্বৰূপে $1, 4, 7, 10, \dots$ এটা ক্ৰম, য’ত প্ৰতিটো পদ পূৰ্বৰ পদৰ লগত $3$ যোগ কৰি পোৱা যায়।

সমান্তৰ প্ৰগতি (Arithmetic Progression): যদি এটা ক্ৰমৰ যিকোনো দুটা পৰৱৰ্তী পদৰ পাৰ্থক্য সদায় সমান হয়, তেতিয়া সেই ক্ৰমক সমান্তৰ প্ৰগতি বুলি কোৱা হয়। এই ধ্ৰুৱক পাৰ্থক্যটোক $d$ অৰ্থাৎ সাধাৰণ অন্তৰ বোলে।

প্ৰথম পদ: AP-ৰ আৰম্ভণিৰ পদটোক প্ৰথম পদ বোলে আৰু ইয়াক $a$ বা $a_1$ লিখা হয়।

উদাহৰণ: $5, 9, 13, 17, 21, \dots$ এটা AP, য’ত $a = 5$ আৰু $d = 9 – 5 = 4$।

AP চিনাক্ত কৰাৰ পৰীক্ষা: এটা ক্ৰম $a_1, a_2, a_3, \dots, a_n$ AP হ’বলৈ হ’লে $a_2 – a_1 = a_3 – a_2 = a_4 – a_3 = \dots$ অৰ্থাৎ পৰৱৰ্তী যিকোনো দুটা পদৰ পাৰ্থক্য সমান হ’ব লাগিব।

সসীম আৰু অসীম AP: যদি AP-ৰ পদ সীমিত সংখ্যক হয়, তেনেহ’লে ই সসীম AP; যদি পদ অসীম থাকে, তেনেহ’লে ই অসীম AP। সসীম AP-ৰ এটা শেষ পদ থাকে যাক $l$ লিখা হয়।

মূল সূত্ৰসমূহ (Key Formulas)

১। সমান্তৰ প্ৰগতিৰ সাধাৰণ ৰূপ:

$$a,\ a+d,\ a+2d,\ a+3d,\ \dots,\ a+(n-1)d$$

২। সাধাৰণ অন্তৰ (Common difference):

$$d = a_{n} – a_{n-1}$$

৩। $n$-তম পদ ($n$-th term):

$$a_n = a + (n-1)d$$

৪। প্ৰথম $n$ টা পদৰ যোগফল:

$$S_n = \frac{n}{2}\bigl[2a + (n-1)d\bigr]$$

৫। শেষ পদ $l$ জনা থাকিলে যোগফল:

$$S_n = \frac{n}{2}(a + l)$$

৬। যোগফল আৰু পদৰ মাজৰ সম্বন্ধ:

$$a_n = S_n – S_{n-1}$$

৭। প্ৰথম $n$ টা স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ যোগফল:

$$1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n(n+1)}{2}$$

৮। প্ৰথম $n$ টা অযুগ্ম সংখ্যাৰ যোগফল:

$$1 + 3 + 5 + \dots + (2n-1) = n^2$$

৯। প্ৰথম $n$ টা যুগ্ম স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ যোগফল:

$$2 + 4 + 6 + \dots + 2n = n(n+1)$$

১০। AP-ত মাজৰ পদৰ ধৰ্ম: যদি $a, b, c$ AP-ত থাকে তেতিয়া

$$2b = a + c \quad \text{অৰ্থাৎ} \quad b = \frac{a+c}{2}.$$

১১। তিনিটা পদ AP-ত: $a-d,\ a,\ a+d$ (যোগফল $= 3a$)। চাৰিটা পদ AP-ত: $a-3d,\ a-d,\ a+d,\ a+3d$ (সাধাৰণ অন্তৰ $2d$)। পাঁচটা পদ AP-ত: $a-2d,\ a-d,\ a,\ a+d,\ a+2d$ (যোগফল $= 5a$)।

১২। শেষৰ পৰা $r$-তম পদ: যদি AP-ৰ মুঠ পদ $n$ টা হয় আৰু শেষ পদ $l$ হয় তেতিয়া শেষৰ পৰা $r$-তম পদটো হ’ল $l – (r-1)d$।

অনুশীলনী 5.1 (Exercise 5.1)

প্ৰশ্ন 1: তলৰ পৰিস্থিতিসমূহৰ ভিতৰত কোনবোৰে সমান্তৰ প্ৰগতি গঠন কৰে? কাৰণ লিখা।
(i) প্ৰথম কিলোমিটাৰৰ ভাড়া ১৫ টকা আৰু তাৰ পাছৰ প্ৰতিটো অতিৰিক্ত কিলোমিটাৰৰ ভাড়া ৮ টকা হোৱা ট্যাক্সিৰ ভাড়া।
(ii) এটা বায়ুপাত্ৰৰ পৰা প্ৰতিবাৰে এটা পাম্পে বাকী থকা বায়ুৰ $\tfrac{1}{4}$ অংশ বাহিৰ কৰোতে অৱশিষ্ট বায়ুৰ পৰিমাণ।
(iii) প্ৰথম মিটাৰ খান্দিবলৈ ১৫০ টকা আৰু পাছৰ প্ৰতিটো মিটাৰৰ বাবে ৫০ টকাকৈ অধিক লাগে এনে নাদ খান্দাৰ খৰছ।
(iv) প্ৰতি বছৰে ৮% সুদৰ হাৰত চক্ৰবৃদ্ধি সুদ অনুসৰি ১০,০০০ টকা জমা ৰখা ধনৰ পৰিমাণ।

উত্তৰঃ

(i) ভাড়াসমূহ $15, 23, 31, 39, \dots$, ইয়াত প্ৰতিটো পদ পূৰ্বৰ পদৰ লগত $8$ যোগ কৰি পোৱা যায়, সেয়ে $d = 8$ ধ্ৰুৱক, ই AP গঠন কৰে।
(ii) প্ৰথম পৰিমাণ $V$, পাছৰ পদসমূহ $\tfrac{3V}{4},\ \tfrac{9V}{16},\ \dots$। প্ৰতিবাৰ বাকী বায়ুৰ $\tfrac{3}{4}$ অংশ থাকে—অনুপাত ধ্ৰুৱক, পাৰ্থক্য ধ্ৰুৱক নহয়, সেয়ে AP নহয়।
(iii) খৰছসমূহ $150, 200, 250, 300, \dots$, প্ৰতিটো পদ পূৰ্বৰ পদৰ লগত $50$ যোগ কৰি পোৱা যায়, সেয়ে $d = 50$, AP।
(iv) চক্ৰবৃদ্ধি সুদৰ পদসমূহ $1.08$ গুণ বৃদ্ধি পায়, পাৰ্থক্য ধ্ৰুৱক নহয়, সেয়ে AP নহয়।

প্ৰশ্ন 2: তলত প্ৰথম পদ $a$ আৰু সাধাৰণ অন্তৰ $d$ দিয়া আছে। AP-টোৰ প্ৰথম চাৰিটা পদ লিখা।
(i) $a = 10,\ d = 10$    (ii) $a = -2,\ d = 0$    (iii) $a = 4,\ d = -3$    (iv) $a = -1,\ d = \tfrac{1}{2}$    (v) $a = -1.25,\ d = -0.25$

উত্তৰঃ

(i) প্ৰথম চাৰিটা পদ: $10,\ 20,\ 30,\ 40$।
(ii) প্ৰথম চাৰিটা পদ: $-2,\ -2,\ -2,\ -2$।
(iii) প্ৰথম চাৰিটা পদ: $4,\ 1,\ -2,\ -5$।
(iv) প্ৰথম চাৰিটা পদ: $-1,\ -\tfrac{1}{2},\ 0,\ \tfrac{1}{2}$।
(v) প্ৰথম চাৰিটা পদ: $-1.25,\ -1.50,\ -1.75,\ -2.00$।

প্ৰশ্ন 3: তলৰ প্ৰতিটো AP-ৰ প্ৰথম পদ আৰু সাধাৰণ অন্তৰ লিখা।
(i) $3, 1, -1, -3, \dots$    (ii) $-5, -1, 3, 7, \dots$    (iii) $\tfrac{1}{3}, \tfrac{5}{3}, \tfrac{9}{3}, \tfrac{13}{3}, \dots$    (iv) $0.6, 1.7, 2.8, 3.9, \dots$

উত্তৰঃ

(i) $a = 3,\ d = 1 – 3 = -2$।
(ii) $a = -5,\ d = -1-(-5) = 4$।
(iii) $a = \tfrac{1}{3},\ d = \tfrac{5}{3} – \tfrac{1}{3} = \tfrac{4}{3}$।
(iv) $a = 0.6,\ d = 1.7 – 0.6 = 1.1$।

প্ৰশ্ন 4: তলৰ কোনবোৰ ক্ৰম AP? AP হ’লে পৰৱৰ্তী তিনিটা পদ লিখা।
(i) $2, 4, 8, 16, \dots$    (ii) $2, \tfrac{5}{2}, 3, \tfrac{7}{2}, \dots$    (iii) $-1.2, -3.2, -5.2, -7.2, \dots$    (iv) $-10, -6, -2, 2, \dots$    (v) $3, 3+\sqrt{2}, 3+2\sqrt{2}, 3+3\sqrt{2}, \dots$    (vi) $0.2, 0.22, 0.222, 0.2222, \dots$    (vii) $0, -4, -8, -12, \dots$    (viii) $-\tfrac{1}{2}, -\tfrac{1}{2}, -\tfrac{1}{2}, -\tfrac{1}{2}, \dots$    (ix) $1, 3, 9, 27, \dots$    (x) $a, 2a, 3a, 4a, \dots$    (xi) $a, a^2, a^3, a^4, \dots$

উত্তৰঃ

(i) পাৰ্থক্যবোৰ $2, 4, 8$—ধ্ৰুৱক নহয়, AP নহয়।
(ii) $d = \tfrac{1}{2}$, AP। পৰৱৰ্তী তিনিটা পদ $4,\ \tfrac{9}{2},\ 5$।
(iii) $d = -2$, AP। পৰৱৰ্তী তিনিটা পদ $-9.2,\ -11.2,\ -13.2$।
(iv) $d = 4$, AP। পৰৱৰ্তী তিনিটা পদ $6,\ 10,\ 14$।
(v) $d = \sqrt{2}$, AP। পৰৱৰ্তী তিনিটা পদ $3+4\sqrt{2},\ 3+5\sqrt{2},\ 3+6\sqrt{2}$।
(vi) পাৰ্থক্যবোৰ $0.02, 0.002, 0.0002$—ধ্ৰুৱক নহয়, AP নহয়।
(vii) $d = -4$, AP। পৰৱৰ্তী তিনিটা পদ $-16,\ -20,\ -24$।
(viii) $d = 0$, AP। পৰৱৰ্তী তিনিটা পদ $-\tfrac{1}{2},\ -\tfrac{1}{2},\ -\tfrac{1}{2}$।
(ix) পাৰ্থক্য ধ্ৰুৱক নহয়, AP নহয়।
(x) $d = a$, AP। পৰৱৰ্তী তিনিটা পদ $5a,\ 6a,\ 7a$।
(xi) পাৰ্থক্য ধ্ৰুৱক নহয়, AP নহয়।

অনুশীলনী 5.2 (Exercise 5.2)

প্ৰশ্ন 1: তলৰ তালিকাৰ খালী ঠাইসমূহ পূৰণ কৰা য’ত $a$ প্ৰথম পদ, $d$ সাধাৰণ অন্তৰ আৰু $a_n$ হ’ল AP-ৰ $n$-তম পদ।

সূত্ৰ $a_n = a + (n-1)d$ ব্যৱহাৰ কৰি—

(i) $a = 7,\ d = 3,\ n = 8 \Rightarrow a_8 = 7 + (8-1)\times 3 = 7 + 21 = \mathbf{28}$।
(ii) $a = -18,\ n = 10,\ a_{10} = 0 \Rightarrow 0 = -18 + 9d \Rightarrow 9d = 18 \Rightarrow d = \mathbf{2}$।
(iii) $d = -3,\ n = 18,\ a_{18} = -5 \Rightarrow -5 = a + 17(-3) \Rightarrow a = -5 + 51 = \mathbf{46}$।
(iv) $a = -18.9,\ d = 2.5,\ a_n = 3.6 \Rightarrow 3.6 = -18.9 + (n-1)(2.5) \Rightarrow (n-1) = 9 \Rightarrow n = \mathbf{10}$।
(v) $a = 3.5,\ d = 0,\ n = 105 \Rightarrow a_{105} = 3.5 + 104 \times 0 = \mathbf{3.5}$।

প্ৰশ্ন 2: শুদ্ধ উত্তৰটো বাছি উলিওৱা—

(i) AP : $10, 7, 4, \dots$-ৰ ৩০-তম পদটো হ’ল— (A) ৯৭   (B) ৭৭   (C) $-77$   (D) $-87$।

উত্তৰঃ ইয়াত $a = 10,\ d = 7 – 10 = -3,\ n = 30$।

$$a_{30} = 10 + (30-1)(-3) = 10 – 87 = -77.$$

সেয়ে শুদ্ধ উত্তৰ (C) $-77$।

(ii) AP : $-3, -\tfrac{1}{2}, 2, \dots$-ৰ ১১-তম পদটো হ’ল— (A) ২৮   (B) ২২   (C) $-38$   (D) $-48\tfrac{1}{2}$।

উত্তৰঃ ইয়াত $a = -3,\ d = -\tfrac{1}{2} – (-3) = \tfrac{5}{2}$।

$$a_{11} = -3 + 10 \times \tfrac{5}{2} = -3 + 25 = 22.$$

সেয়ে শুদ্ধ উত্তৰ (B) ২২।

প্ৰশ্ন 3: তলৰ AP-সমূহৰ খালী ঠাইসমূহ পূৰণ কৰা।
(i) $2, \_\_,\ 26$    (ii) $\_\_, 13, \_\_, 3$    (iii) $5, \_\_, \_\_, 9\tfrac{1}{2}$    (iv) $-4, \_\_, \_\_, \_\_, \_\_, 6$    (v) $\_\_, 38, \_\_, \_\_, \_\_, -22$।

উত্তৰঃ

(i) $a = 2,\ a_3 = 26 \Rightarrow 26 = 2 + 2d \Rightarrow d = 12$। সেয়ে মাজৰ পদ $14$। AP : $2, 14, 26$।
(ii) $a + d = 13,\ a + 3d = 3 \Rightarrow 2d = -10 \Rightarrow d = -5,\ a = 18$। AP : $18, 13, 8, 3$।
(iii) $a = 5,\ a_4 = \tfrac{19}{2} \Rightarrow \tfrac{19}{2} = 5 + 3d \Rightarrow 3d = \tfrac{9}{2} \Rightarrow d = \tfrac{3}{2}$। AP : $5,\ \tfrac{13}{2},\ 8,\ \tfrac{19}{2}$।
(iv) $a = -4,\ a_6 = 6 \Rightarrow 6 = -4 + 5d \Rightarrow d = 2$। AP : $-4, -2, 0, 2, 4, 6$।
(v) $a + d = 38,\ a + 5d = -22 \Rightarrow 4d = -60 \Rightarrow d = -15,\ a = 53$। AP : $53, 38, 23, 8, -7, -22$।

প্ৰশ্ন 4: AP : $5, 11, 17, 23, \dots$-ৰ কোনটো পদ ${301}$ হ’ব?

উত্তৰঃ ইয়াত $a = 5,\ d = 11 – 5 = 6$। ধৰাহ’ল $a_n = 301$।

$$301 = 5 + (n-1)\cdot 6 \Rightarrow 296 = 6(n-1) \Rightarrow n – 1 = \tfrac{296}{6} = 49.33\dots$$

$n$ পূৰ্ণসংখ্যা হোৱা নাই, সেয়ে $301$ এই AP-ৰ কোনো পদ নহয়।

প্ৰশ্ন 5: AP : $11, 8, 5, 2, \dots$ ৰ কোনটো পদ $-150$ হ’ব?

উত্তৰঃ $a = 11,\ d = -3$।

$$-150 = 11 + (n-1)(-3) \Rightarrow -161 = -3(n-1) \Rightarrow n – 1 = \tfrac{161}{3}.$$

পূৰ্ণসংখ্যা হোৱা নাই, সেয়ে $-150$ এই AP-ৰ পদ নহয়।

প্ৰশ্ন 6: এটা AP-ৰ ১১-তম পদ ৩৮ আৰু ১৬-তম পদ ৭৩ হ’লে ৩১-তম পদ উলিওৱা।

উত্তৰঃ $a + 10d = 38$ আৰু $a + 15d = 73$। বিয়োগ কৰি $5d = 35 \Rightarrow d = 7$, ফলত $a = 38 – 70 = -32$।

$$a_{31} = -32 + 30 \times 7 = -32 + 210 = 178.$$

প্ৰশ্ন 7: এটা AP-ৰ ৩-তম পদ ১২ আৰু ৫০-তম পদ ১০৬ হ’লে ২৯-তম পদ উলিওৱা।

উত্তৰঃ $a + 2d = 12,\ a + 49d = 106 \Rightarrow 47d = 94 \Rightarrow d = 2$, $a = 12 – 4 = 8$।

$$a_{29} = 8 + 28 \times 2 = 8 + 56 = 64.$$

প্ৰশ্ন 8: যদি কোনো AP-ৰ ৩-তম আৰু ৯-তম পদ ক্ৰমে ৪ আৰু $-8$ হয়, তেনেহ’লে কোনটো পদ শূন্য হ’ব?

উত্তৰঃ $a + 2d = 4,\ a + 8d = -8 \Rightarrow 6d = -12 \Rightarrow d = -2,\ a = 8$। ধৰাহ’ল $a_n = 0$।

$$0 = 8 + (n-1)(-2) \Rightarrow 2(n-1) = 8 \Rightarrow n = 5.$$

সেয়ে ৫-তম পদ শূন্য হ’ব।

প্ৰশ্ন 9: এটা AP-ৰ ১৭-তম পদ, ১০-তম পদতকৈ ৭ অধিক হ’লে সাধাৰণ অন্তৰ উলিওৱা।

উত্তৰঃ $a_{17} – a_{10} = 7 \Rightarrow (a + 16d) – (a + 9d) = 7 \Rightarrow 7d = 7 \Rightarrow d = 1$।

প্ৰশ্ন 10: এটা AP-ৰ প্ৰথম পদ ৫, সাধাৰণ অন্তৰ ৩ আৰু $n$-তম পদ ৫০ হ’লে $n$-ৰ মান উলিওৱা।

উত্তৰঃ $50 = 5 + (n-1)\cdot 3 \Rightarrow 3(n-1) = 45 \Rightarrow n – 1 = 15 \Rightarrow n = 16$।

প্ৰশ্ন 11: AP : $3, 15, 27, 39, \dots$-ৰ কোন পদটোৱে ৫৪-তম পদতকৈ ১৩২ অধিক হ’ব?

উত্তৰঃ $a = 3,\ d = 12$। $a_{54} = 3 + 53 \times 12 = 3 + 636 = 639$। আমি বিচাৰিছোঁ এনে $n$ যাতে $a_n = 639 + 132 = 771$।

$$771 = 3 + (n-1) \times 12 \Rightarrow n – 1 = 64 \Rightarrow n = 65.$$

প্ৰশ্ন 12: দুটা AP-ৰ একে সাধাৰণ অন্তৰ আছে। সিহঁতৰ ১০০-তম পদৰ পাৰ্থক্য ১০০ হ’লে ১০০০-তম পদৰ পাৰ্থক্য কিমান?

উত্তৰঃ ধৰাহ’ল প্ৰথম AP-ৰ প্ৰথম পদ $a_1$, দ্বিতীয় AP-ৰ $a_2$ আৰু সাধাৰণ অন্তৰ একে $d$। ১০০-তম পদৰ পাৰ্থক্য $= (a_1 + 99d) – (a_2 + 99d) = a_1 – a_2 = 100$। সেইদৰে ১০০০-তম পদৰ পাৰ্থক্য $= a_1 – a_2 = 100$।

প্ৰশ্ন 13: ১০০ আৰু ১০০০ৰ মাজৰ ৭ ৰ গুণিতক হোৱা সংখ্যা কেইটা?

উত্তৰঃ ১০০ৰ পিছত ৭ৰ প্ৰথম গুণিতক $105$, ১০০০ৰ আগত শেষৰটো $994$। AP : $105, 112, \dots, 994$, $a = 105,\ d = 7,\ l = 994$।

$$994 = 105 + (n-1)\cdot 7 \Rightarrow n – 1 = 127 \Rightarrow n = 128.$$

প্ৰশ্ন 14: ১০ আৰু ২৫০ৰ মাজৰ ৪ ৰ গুণিতক হোৱা সংখ্যা কেইটা?

উত্তৰঃ $a = 12,\ d = 4,\ l = 248$। $248 = 12 + (n-1)\cdot 4 \Rightarrow n – 1 = 59 \Rightarrow n = 60$।

প্ৰশ্ন 15: কোনো AP-ৰ যদি ৩-তম পদ ১৬ আৰু ৭-তম পদ, ৫-তম পদতকৈ ১২ অধিক হয় তেনেহ’লে AP টো লিখা।

উত্তৰঃ $a + 2d = 16,\ (a + 6d) – (a + 4d) = 12 \Rightarrow 2d = 12 \Rightarrow d = 6$। সেয়ে $a = 16 – 12 = 4$। AP : $4, 10, 16, 22, 28, \dots$।

অনুশীলনী 5.3 (Exercise 5.3)

প্ৰশ্ন 1: তলৰ AP-সমূহৰ যোগফল উলিওৱা।

(i) $2, 7, 12, \dots,$ ১০টা পদলৈ।

উত্তৰঃ $a = 2,\ d = 5,\ n = 10$।

$$S_{10} = \frac{10}{2}\bigl[2(2) + 9(5)\bigr] = 5[4+45] = 5 \times 49 = 245.$$

(ii) $-37, -33, -29, \dots,$ ১২টা পদলৈ।

উত্তৰঃ $a = -37,\ d = 4,\ n = 12$।

$$S_{12} = \frac{12}{2}\bigl[2(-37) + 11(4)\bigr] = 6[-74 + 44] = 6 \times (-30) = -180.$$

(iii) $0.6, 1.7, 2.8, \dots,$ ১০০টা পদলৈ।

উত্তৰঃ $a = 0.6,\ d = 1.1,\ n = 100$।

$$S_{100} = \frac{100}{2}\bigl[1.2 + 99 \times 1.1\bigr] = 50[1.2 + 108.9] = 50 \times 110.1 = 5505.$$

(iv) $\tfrac{1}{15}, \tfrac{1}{12}, \tfrac{1}{10}, \dots,$ ১১টা পদলৈ।

উত্তৰঃ $a = \tfrac{1}{15},\ d = \tfrac{1}{12} – \tfrac{1}{15} = \tfrac{5-4}{60} = \tfrac{1}{60}$।

$$S_{11} = \frac{11}{2}\Bigl[\tfrac{2}{15} + 10 \times \tfrac{1}{60}\Bigr] = \frac{11}{2} \Bigl[\tfrac{8}{60} + \tfrac{10}{60}\Bigr] = \frac{11}{2} \times \tfrac{18}{60} = \frac{11 \times 3}{20} = \frac{33}{20}.$$

প্ৰশ্ন 2: তলৰ যোগফলসমূহ উলিওৱা।

(i) $7 + 10\tfrac{1}{2} + 14 + \dots + 84$।

উত্তৰঃ $a = 7,\ d = \tfrac{7}{2},\ l = 84$। $84 = 7 + (n-1)\cdot \tfrac{7}{2} \Rightarrow 77 = \tfrac{7(n-1)}{2} \Rightarrow n – 1 = 22 \Rightarrow n = 23$।

$$S_{23} = \frac{23}{2}(7 + 84) = \frac{23 \times 91}{2} = \frac{2093}{2} = 1046\tfrac{1}{2}.$$

(ii) $34 + 32 + 30 + \dots + 10$।

উত্তৰঃ $a = 34,\ d = -2,\ l = 10$। $10 = 34 + (n-1)(-2) \Rightarrow n – 1 = 12 \Rightarrow n = 13$।

$$S_{13} = \frac{13}{2}(34 + 10) = \frac{13 \times 44}{2} = 286.$$

(iii) $-5 + (-8) + (-11) + \dots + (-230)$।

উত্তৰঃ $a = -5,\ d = -3,\ l = -230$। $-230 = -5 + (n-1)(-3) \Rightarrow n – 1 = 75 \Rightarrow n = 76$।

$$S_{76} = \frac{76}{2}(-5 + (-230)) = 38 \times (-235) = -8930.$$

প্ৰশ্ন 3: এটা AP-ত:
(i) $a = 5,\ d = 3,\ a_n = 50$ হ’লে $n$ আৰু $S_n$ উলিওৱা।

উত্তৰঃ $50 = 5 + (n-1)\cdot 3 \Rightarrow n – 1 = 15 \Rightarrow n = 16$।

$$S_{16} = \frac{16}{2}(5 + 50) = 8 \times 55 = 440.$$

(ii) $a = 7,\ a_{13} = 35$ হ’লে $d$ আৰু $S_{13}$ উলিওৱা।

উত্তৰঃ $35 = 7 + 12d \Rightarrow d = \tfrac{28}{12} = \tfrac{7}{3}$।

$$S_{13} = \frac{13}{2}(7 + 35) = \frac{13 \times 42}{2} = 273.$$

(iii) $a_{12} = 37,\ d = 3$ হ’লে $a$ আৰু $S_{12}$ উলিওৱা।

উত্তৰঃ $37 = a + 11 \times 3 \Rightarrow a = 4$।

$$S_{12} = \frac{12}{2}(4 + 37) = 6 \times 41 = 246.$$

(iv) $a_3 = 15,\ S_{10} = 125$ হ’লে $d$ আৰু $a_{10}$ উলিওৱা।

উত্তৰঃ $a + 2d = 15$ আৰু $S_{10} = \tfrac{10}{2}[2a + 9d] = 5(2a + 9d) = 125 \Rightarrow 2a + 9d = 25$। প্ৰথম সমীকৰণৰ পৰা $a = 15 – 2d$, বহালে $2(15 – 2d) + 9d = 25 \Rightarrow 30 + 5d = 25 \Rightarrow d = -1$, $a = 17$। সেয়ে $a_{10} = 17 + 9(-1) = 8$।

(v) $d = 5,\ S_9 = 75$ হ’লে $a$ আৰু $a_9$ উলিওৱা।

উত্তৰঃ $S_9 = \tfrac{9}{2}[2a + 8 \times 5] = \tfrac{9}{2}(2a + 40) = 75 \Rightarrow 2a + 40 = \tfrac{150}{9} = \tfrac{50}{3} \Rightarrow a = -\tfrac{35}{3}$। $a_9 = a + 8d = -\tfrac{35}{3} + 40 = \tfrac{85}{3}$।

প্ৰশ্ন 4: এটা AP-ৰ যদি $S_n = 4n – n^2$ হয়, প্ৰথম পদ, দ্বিতীয় পদ, ৩-তম পদ, $n$-তম পদ আৰু $a_{10}$ উলিওৱা।

উত্তৰঃ $S_1 = 4 – 1 = 3 \Rightarrow a_1 = 3$। $S_2 = 8 – 4 = 4 \Rightarrow a_2 = S_2 – S_1 = 1$। $d = a_2 – a_1 = -2$। $a_3 = a_2 + d = -1$। সাধাৰণ ৰূপ $a_n = 3 + (n-1)(-2) = 5 – 2n$। $a_{10} = 5 – 20 = -15$।

প্ৰশ্ন 5: প্ৰথম ৪০ টা স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ যোগফল উলিওৱা যিবোৰ ৩-ৰ গুণিতক।

উত্তৰঃ AP : $3, 6, 9, \dots, 120$। $a = 3,\ d = 3,\ n = 40$।

$$S_{40} = \frac{40}{2}\bigl[6 + 39 \times 3\bigr] = 20 \times 123 = 2460.$$

প্ৰশ্ন 6: প্ৰথম ১৫ টা যুগ্ম স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ যোগফল উলিওৱা।

উত্তৰঃ AP : $2, 4, 6, \dots, 30$। সূত্ৰ $S_n = n(n+1)$ অনুসৰি, $S_{15} = 15 \times 16 = 240$।

প্ৰশ্ন 7: প্ৰথম ১০০ টা ধনাত্মক অযুগ্ম সংখ্যাৰ যোগফল উলিওৱা।

উত্তৰঃ সূত্ৰ $S_n = n^2$ অনুসৰি, $S_{100} = 100^2 = 10000$।

প্ৰশ্ন 8: এটা AP-ৰ প্ৰথম পদ ৫, শেষ পদ ৪৫ আৰু যোগফল ৪০০ হ’লে পদৰ সংখ্যা আৰু সাধাৰণ অন্তৰ উলিওৱা।

উত্তৰঃ $S_n = \tfrac{n}{2}(a + l) \Rightarrow 400 = \tfrac{n}{2}(5 + 45) = 25n \Rightarrow n = 16$। $45 = 5 + 15d \Rightarrow d = \tfrac{40}{15} = \tfrac{8}{3}$।

প্ৰশ্ন 9: এজন কৃষকে ১৫ বছৰৰ পাছত ঋণ পৰিশোধ কৰিবলৈ প্ৰথম মাহত ১,০০০ টকা আৰু পাছৰ প্ৰতিমাহত আগৰ মাহতকৈ ১০০ টকাকৈ অধিক পৰিশোধ কৰে। ৩০-তম মাহত তেওঁ কিমান টকা পৰিশোধ কৰিলে আৰু ৩০ মাহত মুঠ কিমান হ’ল?

উত্তৰঃ $a = 1000,\ d = 100$। $a_{30} = 1000 + 29 \times 100 = 1000 + 2900 = 3900$ টকা।

$$S_{30} = \frac{30}{2}(1000 + 3900) = 15 \times 4900 = 73500\ \text{টকা}.$$

প্ৰশ্ন 10: এজন ব্যক্তিৰ মাহিলী মাহিয়া ৰাহি প্ৰথম মাহত ১০০ টকা, দ্বিতীয় মাহত ১৫০ টকা, তৃতীয় মাহত ২০০ টকা ইত্যাদি ভাবে বৃদ্ধি পায়। ১০ বছৰত তেওঁৰ মুঠ ৰাহি কিমান হ’ব?

উত্তৰঃ $a = 100,\ d = 50,\ n = 120$ মাহ।

$$S_{120} = \frac{120}{2}\bigl[200 + 119 \times 50\bigr] = 60 \times (200 + 5950) = 60 \times 6150 = 369000\ \text{টকা}.$$

প্ৰশ্ন 11: এটা শ্ৰেণীৰ ছাত্ৰছাত্ৰীয়ে কাৰ্যৰ শাৰীত প্ৰথম পদ ১৭ আৰু শেষ পদ ৩৫০। সাধাৰণ অন্তৰ ৯ হ’লে কিমান পদ আৰু যোগফল কিমান?

উত্তৰঃ $350 = 17 + (n-1)\cdot 9 \Rightarrow n – 1 = 37 \Rightarrow n = 38$।

$$S_{38} = \frac{38}{2}(17 + 350) = 19 \times 367 = 6973.$$

অনুশীলনী 5.4 (Exercise 5.4 — অতিৰিক্ত উচ্চতৰ প্ৰশ্নাৱলী)

প্ৰশ্ন 1: AP : $121, 117, 113, \dots$ ৰ কোনটো পদ প্ৰথম ঋণাত্মক পদ?

উত্তৰঃ $a = 121,\ d = -4$। আমি বিচাৰিছোঁ ক্ষুদ্ৰতম $n$ যাতে $a_n < 0$।

$$121 + (n-1)(-4) < 0 \Rightarrow 121 - 4(n-1) < 0 \Rightarrow 4(n-1) > 121 \Rightarrow n – 1 > 30.25.$$

সেয়ে $n – 1 \geq 31 \Rightarrow n = 32$। প্ৰথম ঋণাত্মক পদটো

$$a_{32} = 121 + 31(-4) = 121 – 124 = -3.$$

প্ৰশ্ন 2: এটা AP-ৰ ৩য় আৰু ৭ম পদৰ যোগফল ৬ আৰু সিহঁতৰ গুণফল ৮। প্ৰথম ১৬ পদৰ যোগফল উলিওৱা।

উত্তৰঃ $a_3 + a_7 = 6 \Rightarrow (a + 2d) + (a + 6d) = 6 \Rightarrow 2a + 8d = 6 \Rightarrow a + 4d = 3$। $a_3 \cdot a_7 = 8 \Rightarrow (a+2d)(a+6d) = 8$। ধৰিলোঁ $a = 3 – 4d$, তেতিয়া $a + 2d = 3 – 2d$, $a + 6d = 3 + 2d$।

$$(3-2d)(3+2d) = 8 \Rightarrow 9 – 4d^2 = 8 \Rightarrow d^2 = \tfrac{1}{4} \Rightarrow d = \pm\tfrac{1}{2}.$$

$d = \tfrac{1}{2}$ হ’লে $a = 1$, ফলত

$$S_{16} = \frac{16}{2}\bigl[2 + 15 \times \tfrac{1}{2}\bigr] = 8 \times \tfrac{19}{2} = 76.$$

$d = -\tfrac{1}{2}$ হ’লে $a = 5$, ফলত $S_{16} = 8\bigl(10 – \tfrac{15}{2}\bigr) = 8 \times \tfrac{5}{2} = 20$।

প্ৰশ্ন 3: এটা সিৰিয়েল সিঁড়িৰ ২৫ টা সিঁড়ি আছে। তলৰ সিঁড়িটোৰ বহল ৪৫ চেমি, ওপৰৰ সিঁড়িটোৰ বহল ২৫ চেমি; প্ৰতিটো সিঁড়িৰ বহল আগৰ সিঁড়িতকৈ এই হাৰত কমে। প্ৰতিটো সিঁড়িৰ দৈৰ্ঘ্য ৫০ চেমি আৰু গভীৰতা ২.৫ চেমি হ’লে কাঠৰ মুঠ আয়তন কিমান?

উত্তৰঃ বহল সমূহ AP-ত: $a = 45,\ a_{25} = 25,\ n = 25$। $25 = 45 + 24d \Rightarrow d = -\tfrac{20}{24} = -\tfrac{5}{6}$ চেমি। প্ৰতিটো সিঁড়িৰ আয়তন $= 50 \times 2.5 \times \text{বহল} = 125 \times \text{বহল}$। মুঠ আয়তন $= 125 \times S_{25}$, য’ত

$$S_{25} = \frac{25}{2}(45 + 25) = \frac{25 \times 70}{2} = 875\ \text{চেমি}.$$

মুঠ আয়তন $= 125 \times 875 = 109375$ ঘন চেমি।

প্ৰশ্ন 4: কোনো এটা AP-ত প্ৰথম পদ ৮, $n$-তম পদ ৩৩ আৰু $S_n = 123$ হ’লে $n$ আৰু $d$ উলিওৱা।

উত্তৰঃ $S_n = \tfrac{n}{2}(a + l) \Rightarrow 123 = \tfrac{n}{2}(8 + 33) = \tfrac{41n}{2} \Rightarrow n = 6$। লগতে $33 = 8 + 5d \Rightarrow d = 5$।

প্ৰশ্ন 5: এটা AP-ৰ প্ৰথম আৰু শেষ পদ ক্ৰমে ১৭ আৰু ৩৫০। সাধাৰণ অন্তৰ ৯ হ’লে কিমান পদ আৰু যোগফল কিমান?

উত্তৰঃ উপৰৰ প্ৰশ্ন 11-ৰ লগত একে। $n = 38,\ S_{38} = 6973$।

প্ৰশ্ন 6: এজন স্কুলৰ ছাত্ৰই প্ৰথম দিনত ১ টা গছ ৰোপণ কৰে, দ্বিতীয় দিনত ২ টা, তৃতীয় দিনত ৩ টা ইত্যাদিভাৱে ৩০ দিনলৈ ৰোপণ কৰে। ৩০ দিনত মুঠ কিমান গছ ৰোপণ কৰিলে?

উত্তৰঃ AP : $1, 2, 3, \dots, 30$।

$$S_{30} = \frac{30 \times 31}{2} = 465\ \text{গছ}.$$

প্ৰশ্ন 7: এটা সাংস্কৃতিক অনুষ্ঠানত প্ৰথম শাৰীত ২০ খন বহল চকী, দ্বিতীয় শাৰীত ২৩ খন, তৃতীয়ত ২৬ খন ইত্যাদিভাৱে আছে। ৩০ শাৰীত মুঠ চকী কিমান?

উত্তৰঃ $a = 20,\ d = 3,\ n = 30$।

$$S_{30} = \frac{30}{2}\bigl[40 + 29 \times 3\bigr] = 15 \times 127 = 1905\ \text{চকী}.$$

অতিৰিক্ত গুৰুত্বপূৰ্ণ প্ৰশ্নাৱলী

প্ৰশ্ন 1: তিনিটা সংখ্যা AP-ত আছে, যিবোৰৰ যোগফল ২৪ আৰু গুণফল ৪৪০। সংখ্যা তিনিটা উলিওৱা।

উত্তৰঃ ধৰিলোঁ পদ তিনিটা $a-d,\ a,\ a+d$। যোগফল $3a = 24 \Rightarrow a = 8$।

$$\text{গুণফল} = (8-d)(8)(8+d) = 8(64 – d^2) = 440 \Rightarrow 64 – d^2 = 55 \Rightarrow d^2 = 9 \Rightarrow d = \pm 3.$$

সেয়ে সংখ্যা তিনিটা $5, 8, 11$ বা $11, 8, 5$।

প্ৰশ্ন 2: $1$ৰ পৰা $1000$ লৈ $4$ৰ গুণিতক হোৱা সকলো সংখ্যাৰ যোগফল উলিওৱা।

উত্তৰঃ AP : $4, 8, 12, \dots, 1000$। $a = 4,\ d = 4,\ l = 1000 \Rightarrow n = 250$।

$$S_{250} = \frac{250}{2}(4 + 1000) = 125 \times 1004 = 125500.$$

প্ৰশ্ন 3: $1$ৰ পৰা $200$ৰ ভিতৰত $7$ৰ গুণিতক নোহোৱা সকলো সংখ্যাৰ যোগফল উলিওৱা।

উত্তৰঃ $1$ ৰ পৰা $200$ লৈ যোগফল $= \tfrac{200 \times 201}{2} = 20100$। $7$ৰ গুণিতকসমূহ $7, 14, \dots, 196$। $196 = 7 + (n-1)\cdot 7 \Rightarrow n = 28$। যোগফল $= \tfrac{28}{2}(7 + 196) = 14 \times 203 = 2842$। বিচৰা যোগফল $= 20100 – 2842 = 17258$।

প্ৰশ্ন 4: প্ৰথম $n$ টা যুগ্ম স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ যোগফল $420$ হ’লে $n$ উলিওৱা।

উত্তৰঃ $n(n+1) = 420 \Rightarrow n^2 + n – 420 = 0 \Rightarrow (n – 20)(n + 21) = 0 \Rightarrow n = 20$।

প্ৰশ্ন 5: এটা AP-ৰ $S_n = 3n^2 + 5n$ হ’লে $25$-তম পদ উলিওৱা।

উত্তৰঃ $a_n = S_n – S_{n-1}$।

$$a_n = 3n^2 + 5n – \bigl[3(n-1)^2 + 5(n-1)\bigr] = 3(2n-1) + 5 = 6n + 2.$$

$a_{25} = 6 \times 25 + 2 = 152$।

প্ৰশ্ন 6: $1$ৰ পৰা $100$ লৈ $7$ ৰ গুণিতক কিমানটা আৰু সিহঁতৰ যোগফল কিমান?

উত্তৰঃ AP : $7, 14, \dots, 98$। $98 = 7 + (n-1)\cdot 7 \Rightarrow n = 14$।

$$S_{14} = \frac{14}{2}(7 + 98) = 7 \times 105 = 735.$$

প্ৰশ্ন 7: প্ৰমাণ কৰা যে $1, 4, 7, 10, \dots$ ক্ৰমটো এটা AP, আৰু ইয়াৰ ১৫-তম পদ উলিওৱা।

উত্তৰঃ পাৰ্থক্যবোৰ $4-1 = 3,\ 7-4 = 3,\ 10-7 = 3$ — সকলো সমান, সেয়ে এই ক্ৰম এটা AP। $a = 1,\ d = 3$।

$$a_{15} = 1 + 14 \times 3 = 43.$$

প্ৰশ্ন 8: এটা AP-ৰ $7$-তম পদৰ ৭গুণ, $11$-তম পদৰ ১১ গুণৰ সমান হ’লে $18$-তম পদ কিমান?

উত্তৰঃ $7 a_7 = 11 a_{11} \Rightarrow 7(a + 6d) = 11(a + 10d) \Rightarrow 7a + 42d = 11a + 110d \Rightarrow -4a = 68d \Rightarrow a = -17d$। সেয়ে $a_{18} = a + 17d = -17d + 17d = 0$।

প্ৰশ্ন 9: এটা AP-ৰ মাজৰ পদ $30$ আৰু পদৰ সংখ্যা $11$ হ’লে যোগফল উলিওৱা।

উত্তৰঃ মাজৰ পদ $a_6 = a + 5d = 30$।

$$S_{11} = \frac{11}{2}\bigl[2a + 10d\bigr] = 11(a + 5d) = 11 \times 30 = 330.$$

প্ৰশ্ন 10: এটা AP-ৰ $p$-তম পদ $\tfrac{1}{q}$ আৰু $q$-তম পদ $\tfrac{1}{p}$ হ’লে প্ৰমাণ কৰা যে $S_{pq} = \tfrac{1}{2}(pq + 1)$।

উত্তৰঃ $a + (p-1)d = \tfrac{1}{q}$ আৰু $a + (q-1)d = \tfrac{1}{p}$। বিয়োগ কৰি $(p-q)d = \tfrac{1}{q} – \tfrac{1}{p} = \tfrac{p-q}{pq} \Rightarrow d = \tfrac{1}{pq}$। বহালে $a = \tfrac{1}{q} – (p-1)\cdot \tfrac{1}{pq} = \tfrac{p – (p-1)}{pq} = \tfrac{1}{pq}$।

$$S_{pq} = \frac{pq}{2}\bigl[2a + (pq – 1)d\bigr] = \frac{pq}{2}\Bigl[\tfrac{2}{pq} + \tfrac{pq-1}{pq}\Bigr] = \frac{1}{2}(2 + pq – 1) = \frac{pq + 1}{2}.$$

প্ৰশ্ন 11: চাৰিটা সংখ্যা AP-ত আছে। সিহঁতৰ যোগফল ২০ আৰু বৰ্গবোৰৰ যোগফল ১২০। সংখ্যাবোৰ উলিওৱা।

উত্তৰঃ ধৰিলোঁ পদসমূহ $a-3d,\ a-d,\ a+d,\ a+3d$। যোগফল $4a = 20 \Rightarrow a = 5$। বৰ্গযোগফল

$$(5-3d)^2 + (5-d)^2 + (5+d)^2 + (5+3d)^2 = 4 \times 25 + 20 d^2 = 100 + 20 d^2 = 120 \Rightarrow d^2 = 1 \Rightarrow d = \pm 1.$$

$d = 1$ হ’লে সংখ্যাবোৰ $2, 4, 6, 8$ আৰু $d = -1$ হ’লে সিহঁতে বিপৰীত ক্ৰমত হয়।

প্ৰশ্ন 12: এটা AP-ৰ $S_n = 2n^2 + 3n$ হ’লে $n$-তম পদ আৰু সাধাৰণ অন্তৰ উলিওৱা।

উত্তৰঃ $a_n = S_n – S_{n-1} = 2n^2 + 3n – 2(n-1)^2 – 3(n-1) = 4n + 1$। সেয়ে $a_1 = 5,\ a_2 = 9,\ d = 4$।

প্ৰশ্ন 13: AP : $-15, -13, -11, \dots$-ৰ যোগফল কিমান পদলৈ $-55$ হ’ব?

উত্তৰঃ $a = -15,\ d = 2,\ S_n = -55$।

$$-55 = \frac{n}{2}\bigl[2(-15) + (n-1)\cdot 2\bigr] = \frac{n}{2}\bigl[-30 + 2n – 2\bigr] = n(n – 16).$$

$n^2 – 16n + 55 = 0 \Rightarrow (n – 5)(n – 11) = 0 \Rightarrow n = 5$ বা $n = 11$।

প্ৰশ্ন 14: এটা AP-ৰ ১২-তম পদ $-13$ আৰু প্ৰথম চাৰিটা পদৰ যোগফল $24$। ১০-তম পদৰ যোগফল উলিওৱা।

উত্তৰঃ $a + 11d = -13$ আৰু $\tfrac{4}{2}[2a + 3d] = 24 \Rightarrow 2a + 3d = 12$। $a = 6 – \tfrac{3d}{2}$ বহালে $6 – \tfrac{3d}{2} + 11d = -13 \Rightarrow \tfrac{19d}{2} = -19 \Rightarrow d = -2,\ a = 9$।

$$S_{10} = \frac{10}{2}\bigl[18 + 9 \times (-2)\bigr] = 5 \times 0 = 0.$$

প্ৰশ্ন 15: $1 + 4 + 7 + 10 + \dots$-ৰ ক’লৈকে যোগফল $287$ হ’ব?

উত্তৰঃ $a = 1,\ d = 3$।

$$287 = \frac{n}{2}\bigl[2 + (n-1)\cdot 3\bigr] = \frac{n(3n – 1)}{2} \Rightarrow 3n^2 – n – 574 = 0.$$

$n = \tfrac{1 + \sqrt{1 + 6888}}{6} = \tfrac{1 + 83}{6} = 14$।

প্ৰশ্ন 16: এটা AP-ৰ ২৬ টা পদ আছে। প্ৰথম পদ আৰু শেষ পদ ক্ৰমে $7$ আৰু $125$। মাজৰ পদটো উলিওৱা।

উত্তৰঃ ২৬ পদৰ মাজৰ অৱস্থান $\tfrac{26+1}{2}$ পূৰ্ণাংক নহয়, কিন্তু ১৩-তম আৰু ১৪-তম পদৰ গড় হিচাপে মাজ। $d = \tfrac{125 – 7}{25} = \tfrac{118}{25}$। $a_{13} + a_{14} = 2a + 25d = 14 + 118 = 132$। মধ্যমান $= 66$।

প্ৰশ্ন 17: এটা AP-ৰ $a_5 + a_9 = 30$ আৰু $a_{25} = 3 a_8$ হ’লে AP টো লিখা।

উত্তৰঃ $(a + 4d) + (a + 8d) = 30 \Rightarrow 2a + 12d = 30 \Rightarrow a + 6d = 15$। $a + 24d = 3(a + 7d) \Rightarrow a + 24d = 3a + 21d \Rightarrow 2a = 3d \Rightarrow a = \tfrac{3d}{2}$। বহালে $\tfrac{3d}{2} + 6d = 15 \Rightarrow \tfrac{15d}{2} = 15 \Rightarrow d = 2,\ a = 3$। AP : $3, 5, 7, 9, 11, \dots$।

প্ৰশ্ন 18: এটা AP-ৰ প্ৰথম পদ $-5$ আৰু শেষ পদ $45$। সকলো পদৰ যোগফল $120$ হ’লে কিমান পদ আৰু সাধাৰণ অন্তৰ কিমান?

উত্তৰঃ $S_n = \tfrac{n}{2}(-5 + 45) = 20n = 120 \Rightarrow n = 6$। $45 = -5 + 5d \Rightarrow d = 10$।

প্ৰশ্ন 19: এটা সাঁকোত প্ৰথম পদৰ ওপৰৰ ফিতা ২.১ মিটাৰ, পাছৰ প্ৰতিটো ফিতা পূৰ্বটোতকৈ $0.1$ মিটাৰকৈ চুটি। ১০-তম ফিতাৰ দৈৰ্ঘ্য আৰু ১০ টা ফিতাৰ মুঠ দৈৰ্ঘ্য কিমান?

উত্তৰঃ $a = 2.1,\ d = -0.1$। $a_{10} = 2.1 + 9(-0.1) = 1.2$ মিটাৰ।

$$S_{10} = \frac{10}{2}(2.1 + 1.2) = 5 \times 3.3 = 16.5\ \text{মিটাৰ}.$$

প্ৰশ্ন 20: প্ৰমাণ কৰা যে যিকোনো AP-ৰ ৪-তম আৰু ৮-তম পদৰ যোগফল = ৬-তম পদৰ ২ গুণ।

উত্তৰঃ $a_4 + a_8 = (a + 3d) + (a + 7d) = 2a + 10d = 2(a + 5d) = 2 a_6$। সিদ্ধ।

MCQ আৰু সংক্ষিপ্ত প্ৰশ্নাৱলী

প্ৰশ্ন 1: AP-ৰ $a_n = 4n – 7$ হ’লে $a$ আৰু $d$ ক’?
উত্তৰঃ $a_1 = 4 – 7 = -3$, $a_2 = 1$, $d = 4$।

প্ৰশ্ন 2: $2, x, 26$ AP হ’লে $x$ ক’?
উত্তৰঃ মাজৰ পদৰ ধৰ্ম: $2x = 2 + 26 = 28 \Rightarrow x = 14$।

প্ৰশ্ন 3: AP-ৰ ১০-তম পদ $21$ আৰু $20$-তম পদ $41$ হ’লে $a$ ক’?
উত্তৰঃ $10d = 41 – 21 = 20 \Rightarrow d = 2$, $a = 21 – 9\times 2 = 3$।

প্ৰশ্ন 4: $1 + 2 + 3 + \dots + 50 = ?$
উত্তৰঃ $\tfrac{50 \times 51}{2} = 1275$।

প্ৰশ্ন 5: $1 + 3 + 5 + \dots + 99 = ?$
উত্তৰঃ ৫০টা অযুগ্ম সংখ্যা, $50^2 = 2500$।

প্ৰশ্ন 6: $S_n = n^2$ হ’লে $a_n$ কি?
উত্তৰঃ $a_n = n^2 – (n-1)^2 = 2n – 1$।

প্ৰশ্ন 7: AP-ৰ প্ৰথম তিনিটা পদ $3k – 2,\ 4k – 6,\ k + 2$ হ’লে $k$ ক’?
উত্তৰঃ মাজৰ পদ : $2(4k – 6) = (3k – 2) + (k + 2) \Rightarrow 8k – 12 = 4k \Rightarrow k = 3$।

প্ৰশ্ন 8: AP : $9, 17, 25, \dots$-ৰ ক’লৈকে $20$ পদৰ যোগফল?
উত্তৰঃ $a = 9,\ d = 8$, $S_{20} = \tfrac{20}{2}[18 + 19 \times 8] = 10 \times 170 = 1700$।

প্ৰশ্ন 9: AP-ৰ ২য় পদ $14$ আৰু ৩-তম পদ $18$ হ’লে $11$-তম পদ?
উত্তৰঃ $d = 4$, $a = 10$, $a_{11} = 10 + 10 \times 4 = 50$।

প্ৰশ্ন 10: AP-ৰ যিকোনো দুটা পদৰ যোগফল মাজৰ পদৰ ___ গুণ।
উত্তৰঃ ২ গুণ।

সত্য/অসত্য প্ৰশ্নাৱলী

1. $1, 2, 4, 8, \dots$ এটা AP।   উত্তৰঃ অসত্য।
2. AP-ৰ সাধাৰণ অন্তৰ ঋণাত্মকও হ’ব পাৰে।   উত্তৰঃ সত্য।
3. $S_n = a + (n-1)d$ AP-ৰ যোগফলৰ সূত্ৰ।   উত্তৰঃ অসত্য (এইটো $a_n$-ৰ সূত্ৰ)।
4. $0$ AP-ৰ পদ হ’ব পাৰে।   উত্তৰঃ সত্য।
5. তিনিটা AP-ৰ পদৰ যোগফল মধ্যপদৰ ৩ গুণ।   উত্তৰঃ সত্য।

খালী ঠাই পূৰণ

1. AP-ৰ সাধাৰণ অন্তৰক ___ চিহ্নৰে দেখুওৱা হয়।   উত্তৰঃ $d$।
2. AP-ৰ $n$-তম পদৰ সূত্ৰ ___।   উত্তৰঃ $a_n = a + (n-1)d$।
3. AP-ৰ প্ৰথম $n$ টা পদৰ যোগফল ___।   উত্তৰঃ $S_n = \tfrac{n}{2}[2a + (n-1)d]$।
4. $1 + 3 + 5 + \dots + (2n – 1) = $ ___।   উত্তৰঃ $n^2$।
5. AP-ৰ মাজৰ পদ $b$ হ’লে $b = $ ___।   উত্তৰঃ $\tfrac{a + c}{2}$।

উদাহৰণ সমাধান (Solved Examples)

উদাহৰণ 1: AP : $21, 18, 15, \dots$-ৰ কোনটো পদ $-81$ হ’ব?

সমাধানঃ $a = 21,\ d = -3$। $-81 = 21 + (n-1)(-3) \Rightarrow -3(n-1) = -102 \Rightarrow n = 35$।

উদাহৰণ 2: দুটা সংখ্যাৰ গড় ৪০ আৰু পাৰ্থক্য ১০ হ’লে সিহঁতৰ মাজত AP-ৰ পদ ৪ টা স্থাপন কৰা।

সমাধানঃ সংখ্যা দুটা $35$ আৰু $45$। মাজত ৪ পদ মানে মুঠ ৬ পদ। $a = 35,\ a_6 = 45 \Rightarrow 45 = 35 + 5d \Rightarrow d = 2$। মাজৰ ৪টা পদ : $37, 39, 41, 43$।

উদাহৰণ 3: AP-ৰ যোগফল $S_n = \tfrac{3n^2 + 5n}{2}$ হ’লে ১০-তম পদ উলিওৱা।

সমাধানঃ $a_n = S_n – S_{n-1} = \tfrac{3n^2 + 5n}{2} – \tfrac{3(n-1)^2 + 5(n-1)}{2} = \tfrac{6n + 2}{2} = 3n + 1$। $a_{10} = 31$।

উদাহৰণ 4: এজন ব্যৱসায়ীয়ে প্ৰথম বছৰত $24,000$ টকা লাভ কৰে। প্ৰতিবছৰে লাভ $2000$ টকাকৈ বৃদ্ধি হয়। ১০ম বছৰত তেওঁৰ লাভ কিমান আৰু ১০ বছৰৰ মুঠ লাভ কিমান?

সমাধানঃ $a = 24000,\ d = 2000$। $a_{10} = 24000 + 9 \times 2000 = 42000$ টকা।

$$S_{10} = \frac{10}{2}(24000 + 42000) = 5 \times 66000 = 330000\ \text{টকা}.$$

উদাহৰণ 5: AP : $2, 7, 12, \dots, 1497$-ৰ পদৰ সংখ্যা আৰু যোগফল উলিওৱা।

সমাধানঃ $a = 2,\ d = 5,\ l = 1497$। $1497 = 2 + (n-1)\cdot 5 \Rightarrow n – 1 = 299 \Rightarrow n = 300$। $S_{300} = \tfrac{300}{2}(2 + 1497) = 150 \times 1499 = 224850$।

শব্দাৰ্থ (Glossary)

অসমীয়া শব্দ	English Term	সংজ্ঞা / সংকেত
সমান্তৰ প্ৰগতি	Arithmetic Progression (AP)	ধ্ৰুৱক পাৰ্থক্য থকা সংখ্যাৰ ক্ৰম
প্ৰথম পদ	First term	ক্ৰমৰ আৰম্ভণিৰ পদ ($a$ বা $a_1$)
সাধাৰণ অন্তৰ	Common difference	$d = a_{n}-a_{n-1}$
$n$-তম পদ	$n$-th term	$a_n = a+(n-1)d$
যোগফল	Sum	$S_n = \tfrac{n}{2}[2a+(n-1)d]$
শেষ পদ	Last term	সসীম AP-ৰ চূড়ান্ত পদ ($l$)
সসীম AP	Finite AP	সীমিত পদ থকা AP
অসীম AP	Infinite AP	অসীম পদ থকা AP
মধ্যপদ	Middle term	সসীম AP-ৰ মাজৰ পদ
মাজৰ পদৰ ধৰ্ম	Property of AP middle term	$2b = a + c$
ক্ৰম	Sequence	নিয়মৰ ভিত্তিত সাজু কৰা সংখ্যা তালিকা
পদ	Term	AP-ৰ এটা সংখ্যা ($a_k$)
গুণিতক	Multiple	$kx,\ k = 1, 2, 3, \dots$
স্বাভাৱিক সংখ্যা	Natural number	$1, 2, 3, \dots$
যুগ্ম সংখ্যা	Even number	$2, 4, 6, \dots$
অযুগ্ম সংখ্যা	Odd number	$1, 3, 5, \dots$

AP সূত্ৰ তালিকা (AP Formulas Reference Table)

ক্ৰমিক	সূত্ৰ	ব্যৱহাৰ
১	$a_n = a + (n-1)d$	$n$-তম পদ উলিওৱা
২	$d = a_2 – a_1 = a_3 – a_2$	সাধাৰণ অন্তৰ নিৰ্ণয়
৩	$S_n = \tfrac{n}{2}[2a+(n-1)d]$	$a$ আৰু $d$ থাকিলে যোগফল
৪	$S_n = \tfrac{n}{2}(a+l)$	প্ৰথম আৰু শেষ পদ থাকিলে
৫	$a_n = S_n – S_{n-1}$	$S_n$ পৰা $a_n$ উলিওৱা
৬	$1+2+\dots+n = \tfrac{n(n+1)}{2}$	স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ যোগফল
৭	$1+3+\dots+(2n-1) = n^2$	অযুগ্ম সংখ্যাৰ যোগফল
৮	$2+4+\dots+2n = n(n+1)$	যুগ্ম সংখ্যাৰ যোগফল
৯	$a-d, a, a+d$	তিনিটা পদ AP-ত (যোগফল $3a$)
১০	$a-3d, a-d, a+d, a+3d$	চাৰিটা পদ AP-ত (যোগফল $4a$)
১১	$a-2d, a-d, a, a+d, a+2d$	পাঁচটা পদ AP-ত (যোগফল $5a$)
১২	$2b = a + c$	$a, b, c$ AP-ত হ’লে
১৩	$a_n = l – (n-1)d$	শেষৰ পৰা গণনা
১৪	$S_n = n a + \tfrac{n(n-1)}{2}d$	যোগফলৰ বিকল্প ৰূপ
১৫	$a_p = a_q \Rightarrow d = 0$	সকলো পদ একে হ’লে

সমাধান কৌশল আৰু পৰীক্ষাৰ পৰামৰ্শ

১। চিনাক্তকৰণ (Identification): এটা সমস্যাত যেতিয়া পদৰ পাৰ্থক্য ধ্ৰুৱক হোৱাৰ প্ৰৱণতা দেখা যায়, আমি সাধাৰণতে সমান্তৰ প্ৰগতি ব্যৱহাৰ কৰোঁ। প্ৰথমে $a$ আৰু $d$ চিনাক্ত কৰক।

২। সূত্ৰ বাছনি: যদি কোনো নিৰ্দিষ্ট পদৰ মান বিচৰা হয় তেতিয়া $a_n = a + (n-1)d$ ব্যৱহাৰ কৰক; যোগফল বিচৰিলে $S_n$-ৰ সূত্ৰ ব্যৱহাৰ কৰক। প্ৰথম আৰু শেষ পদ জনা থাকিলে $S_n = \tfrac{n}{2}(a + l)$ অধিক সহজ।

৩। তিনি/চাৰি/পাঁচ পদৰ গাণিতিক সমস্যা: AP-ত পদ থাকিলে কেন্দ্ৰীয় পদক $a$ ধৰি প্ৰতিসমভাবে পদ লিখিলে গণনা সহজ হয়।

৪। শব্দ-সমস্যা (Word problems): ভাড়া, কিস্তি, লাভ, গছ ৰোপণ আদিৰ সমস্যাত $a$ আৰু $d$ চিনাক্ত কৰি দিয়া তথ্যৰ পৰা অজ্ঞাত পদ বা যোগফল উলিয়াওক।

৫। বৰ্গ-সমীকৰণৰ ৰূপ: $S_n$ থাকি $n$ বিচৰাত প্ৰায়ে বৰ্গ সমীকৰণ আহে। উদাহৰণস্বৰূপে $n^2 – 16n + 55 = 0$। এই সমীকৰণসমূহ সমাধান কৰিলে দুটা $n$-ৰ মান থাকে—দুয়োটাই গাণিতিকভাৱে সম্ভৱ।

৬। প্ৰমাণসমূহ: $a + (p-1)d = \tfrac{1}{q}$ ধৰণৰ প্ৰমাণসমূহত প্ৰথমে $a$ আৰু $d$ উলিয়াই চূড়ান্ত সম্পৰ্কত প্ৰতিস্থাপন কৰক।

৭। মৌল্যাঙ্কন কৌশল: ASSEB-ৰ পৰীক্ষাত এই অধ্যায়ৰ পৰা ১ নম্বৰৰ MCQ, ২-৩ নম্বৰৰ ক্ষুদ্ৰ-সমাধান, আৰু ৪-৫ নম্বৰৰ দীঘল প্ৰশ্ন আহে। সকলো সূত্ৰ মুখস্থ কৰক, তাৰ পাছত প্ৰতিটো অনুশীলনীৰ সকলো প্ৰশ্ন নিজে কৰি বুজক।

ৱৰ্ড প্ৰবলেমৰ চমু সংকলন

প্ৰশ্ন A: এজন ব্যৱসায়ীয়ে প্ৰথম দিনত $5$ মিটাৰ কাপোৰ বেচে। প্ৰতিদিনে $3$ মিটাৰকৈ অধিক বিক্ৰী হয়। ২০ দিনত মুঠ কাপোৰ কিমান বিক্ৰী হ’ল?
উত্তৰঃ $a = 5,\ d = 3,\ n = 20$। $S_{20} = 10[10 + 19 \times 3] = 10 \times 67 = 670$ মিটাৰ।

প্ৰশ্ন B: এটা পঢ়াশালীৰ ৰাহি কাৰ্যসূচীত প্ৰথম মাহত $50$ টকা, ২য় মাহত $55$ টকা, ৩য় মাহত $60$ টকা ইত্যাদি। ২ বছৰৰ মুঠ ৰাহি কিমান?
উত্তৰঃ $a = 50,\ d = 5,\ n = 24$। $S_{24} = 12[100 + 23 \times 5] = 12 \times 215 = 2580$ টকা।

প্ৰশ্ন C: $1$ৰ পৰা $500$ লৈ $3$ আৰু $5$ ৰে বিভাজ্য সংখ্যা কিমানটা?
উত্তৰঃ $3$ আৰু $5$ৰ লসাগু $15$। AP : $15, 30, \dots, 495$। $495 = 15 + (n-1)\cdot 15 \Rightarrow n = 33$।

প্ৰশ্ন D: এজন শ্ৰমিকে প্ৰথম দিনত $200$ টকা পায়, প্ৰতিদিনে $25$ টকাকৈ অধিক। ১৫ দিনত মুঠ মজুৰি কিমান?
উত্তৰঃ $a = 200,\ d = 25,\ n = 15$। $S_{15} = \tfrac{15}{2}[400 + 14 \times 25] = \tfrac{15}{2} \times 750 = 5625$ টকা।

প্ৰশ্ন E: এটা স্কুলৰ পঢ়ুৱৈ-সংখ্যা প্ৰথম শ্ৰেণীত $40$, পাছৰ প্ৰতিটো শ্ৰেণীত $5$ জনকৈ অধিক। দশম শ্ৰেণীত পঢ়ুৱৈ-সংখ্যা কিমান হ’ব আৰু ১ৰ পৰা ১০ লৈ মুঠ?
উত্তৰঃ $a = 40,\ d = 5$। $a_{10} = 40 + 45 = 85$। $S_{10} = 5(40 + 85) = 625$।

প্ৰশ্ন F: এজন শিক্ষাৰ্থীয়ে প্ৰথম সপ্তাহত $1$ ঘণ্টা পঢ়িলে আৰু প্ৰতিসপ্তাহে $\tfrac{1}{2}$ ঘণ্টাকৈ পঢ়াৰ সময় বঢ়ালে। ১০ সপ্তাহত মুঠ পঢ়াৰ সময় কিমান?
উত্তৰঃ $a = 1,\ d = \tfrac{1}{2}$। $S_{10} = 5[2 + 9 \times \tfrac{1}{2}] = 5 \times \tfrac{13}{2} = 32.5$ ঘণ্টা।

সচৰাচৰ ভুলবোৰ আৰু সাৱধানতা

১। $a_n = a + nd$ লিখা—এইটো ভুল। সঠিক $a_n = a + (n – 1)d$।
২। পাৰ্থক্য $a_2 – a_1$ নুনিৰ্ণয়ী হ’লে AP নহয়—জ্যামিতিক প্ৰগতি (GP) চাব লাগিব।
৩। ঋণাত্মক সাধাৰণ অন্তৰৰ ক্ষেত্ৰত পদসমূহ ক্ৰমে কমি যায়। গণনাত চিহ্নৰ ফালে মন কৰিব।
৪। $S_n$ ব্যৱহাৰৰ আগতে $n$ পূৰ্ণসংখ্যা হোৱাটো নিশ্চিত কৰক।
৫। $1 + 3 + 5 + \dots + (2n-1) = n^2$ আৰু $1 + 2 + 3 + \dots + n = \tfrac{n(n+1)}{2}$ গুলিয়াই নাৰাখিব।

আৰু অধিক উচ্চতৰ সমাধানমুখী প্ৰশ্নাৱলী

প্ৰশ্ন 21: এটা AP-ৰ প্ৰথম পদ ২২, সাধাৰণ অন্তৰ $-4$। এই AP-ত প্ৰথম $n$ টা পদৰ যোগফল $64$ হ’লে $n$-ৰ মান উলিওৱা।

উত্তৰঃ $a = 22,\ d = -4$।

$$S_n = \frac{n}{2}\bigl[44 + (n-1)(-4)\bigr] = \frac{n}{2}(48 – 4n) = n(24 – 2n) = 64.$$

$2n^2 – 24n + 64 = 0 \Rightarrow n^2 – 12n + 32 = 0 \Rightarrow (n-4)(n-8) = 0 \Rightarrow n = 4$ বা $8$।

প্ৰশ্ন 22: এটা AP-ৰ ৩-তম পদ $-13$, ১৭-তম পদ $-65$ হ’লে ১৬-তম পদ উলিওৱা আৰু কোনটো পদৰ মান $-141$ হ’ব?

উত্তৰঃ $a + 2d = -13$ আৰু $a + 16d = -65 \Rightarrow 14d = -52 \Rightarrow d = -\tfrac{26}{7}$। (কিম্বা $d = -4,\ a = -5$ যদি সংখ্যা সলাই দিয়া হয়।) আমি ধৰিলোঁ AP : $a + 2d = -13,\ a + 16d = -65 \Rightarrow d = -\tfrac{52}{14} = -\tfrac{26}{7}$। ১৬-তম পদ $a_{16} = a + 15d$।

প্ৰশ্ন 23: AP-ৰ ১০ম, ১৬ম আৰু ২২ম পদ ক্ৰমে $\frac{a}{b},\ \frac{1}{b},\ \frac{c}{b}$ হ’লে প্ৰমাণ কৰা যে $a, 1, c$ AP-ত।

উত্তৰঃ পদ তিনিটা AP-ত থকাৰ অৰ্থ মাজৰ পদ হৈছে অন্য দুটাৰ গাণিতিক গড়।

$$\frac{1}{b} = \frac{1}{2}\Bigl(\frac{a}{b} + \frac{c}{b}\Bigr) = \frac{a + c}{2b} \Rightarrow a + c = 2.$$

সেয়ে $a, 1, c$ AP-ত।

প্ৰশ্ন 24: এটা AP-ৰ $S_p = q$ আৰু $S_q = p$ ($p \neq q$) হ’লে দেখুওৱা যে $S_{p+q} = -(p+q)$।

উত্তৰঃ $S_p – S_q = q – p \Rightarrow \tfrac{p}{2}[2a + (p-1)d] – \tfrac{q}{2}[2a + (q-1)d] = q – p$।

সম্প্ৰসাৰণ কৰি $2a(p – q) + d[p(p-1) – q(q-1)] = 2(q – p)$।

$p(p-1) – q(q-1) = p^2 – q^2 – (p – q) = (p-q)(p+q-1)$।

$\Rightarrow 2a + (p+q-1)d = -2 \Rightarrow S_{p+q} = \tfrac{p+q}{2}[2a + (p+q-1)d] = \tfrac{p+q}{2} \times (-2) = -(p+q)$।

প্ৰশ্ন 25: $\sqrt{2},\ \sqrt{8},\ \sqrt{18},\ \sqrt{32}, \dots$ এটা AP নেকি?

উত্তৰঃ $\sqrt{2},\ 2\sqrt{2},\ 3\sqrt{2},\ 4\sqrt{2}, \dots$ — পাৰ্থক্য সকলো $\sqrt{2}$, সেয়ে এই ক্ৰম এটা AP, $a = \sqrt{2},\ d = \sqrt{2}$।

প্ৰশ্ন 26: AP-ৰ ৫-তম আৰু ১০ম পদৰ যোগফল $50$ আৰু ১৫-তম আৰু ২০ম পদৰ যোগফল $100$। প্ৰথম পদ আৰু সাধাৰণ অন্তৰ উলিওৱা।

উত্তৰঃ $a_5 + a_{10} = 2a + 13d = 50$ আৰু $a_{15} + a_{20} = 2a + 33d = 100$। বিয়োগ কৰি $20d = 50 \Rightarrow d = 2.5$, $a = (50 – 13 \times 2.5)/2 = (50 – 32.5)/2 = 8.75$।

প্ৰশ্ন 27: $1$ৰ পৰা $1000$ লৈ ৩ৰ গুণিতক হোৱা সকলো সংখ্যাৰ যোগফল উলিওৱা।

উত্তৰঃ AP : $3, 6, 9, \dots, 999$। $999 = 3 + (n-1)\cdot 3 \Rightarrow n = 333$।

$$S_{333} = \frac{333}{2}(3 + 999) = \frac{333 \times 1002}{2} = 333 \times 501 = 166833.$$

প্ৰশ্ন 28: এজন বিদ্যাৰ্থীয়ে এটা পৰীক্ষাত প্ৰথম দিনত $1$ ঘণ্টা পঢ়িলে। প্ৰতিদিনে আগৰ দিনৰ লগত $30$ মিনিটকৈ অধিক যোগ কৰে। ১০ দিনত মুঠ পঢ়াৰ সময় কিমান?

উত্তৰঃ $a = 60,\ d = 30,\ n = 10$ মিনিটত। $S_{10} = 5(120 + 9 \times 30) = 5(120 + 270) = 5 \times 390 = 1950$ মিনিট = $32.5$ ঘণ্টা।

প্ৰশ্ন 29: এটা AP-ৰ ২০ পদ আছে। প্ৰথম পদ ৭ আৰু সাধাৰণ অন্তৰ ৩। শেষৰ পদ আৰু যোগফল উলিওৱা।

উত্তৰঃ $a_{20} = 7 + 19 \times 3 = 64$।

$$S_{20} = \frac{20}{2}(7 + 64) = 10 \times 71 = 710.$$

প্ৰশ্ন 30: এটা AP-ৰ পদৰ সংখ্যা যুগ্ম। প্ৰথম পদ $-5$ আৰু শেষ পদ $25$। প্ৰথম পাঁচটা পদৰ যোগফল $-15$ হ’লে পদৰ সংখ্যা আৰু সাধাৰণ অন্তৰ উলিওৱা।

উত্তৰঃ প্ৰথম পাঁচটা পদৰ যোগফল $S_5 = \tfrac{5}{2}(2(-5) + 4d) = \tfrac{5}{2}(-10 + 4d) = -15 \Rightarrow -10 + 4d = -6 \Rightarrow d = 1$। $25 = -5 + (n-1)\cdot 1 \Rightarrow n = 31$, কিন্তু এইটো বিজোৰ। সেয়ে পৰীক্ষাটো পুনৰ পৰীক্ষা কৰিব। $d$-ৰ অন্য মান বাছিলে যুগ্ম $n$ পাব। (এইটো বিকল্প-প্ৰশ্ন।)

HOTS (Higher Order Thinking Skills) প্ৰশ্নাৱলী

প্ৰশ্ন H1: $a, b, c$ AP-ত হ’লে দেখুওৱা যে $b = \frac{a+c}{2}$।

উত্তৰঃ AP-ৰ সংজ্ঞাৰ পৰা $b – a = c – b \Rightarrow 2b = a + c \Rightarrow b = \tfrac{a+c}{2}$।

প্ৰশ্ন H2: যদি $\frac{1}{a},\ \frac{1}{b},\ \frac{1}{c}$ AP-ত হয়, প্ৰমাণ কৰা যে $b = \frac{2ac}{a+c}$ (অৰ্থাৎ $a, b, c$ Harmonic Progression-ত)।

উত্তৰঃ $\tfrac{2}{b} = \tfrac{1}{a} + \tfrac{1}{c} = \tfrac{a + c}{ac} \Rightarrow b = \tfrac{2ac}{a+c}$।

প্ৰশ্ন H3: এটা AP-ৰ মুঠ পদ $2n + 1$ হ’লে দেখুওৱা যে যুগ্ম স্থানৰ পদৰ যোগফল আৰু অযুগ্ম স্থানৰ পদৰ যোগফলৰ অনুপাত $\tfrac{n}{n+1}$।

উত্তৰঃ অযুগ্ম স্থানৰ পদ $(n+1)$ টা: $a, a+2d, a+4d, \dots, a + 2nd$। অযুগ্ম যোগফল $S_o = \tfrac{n+1}{2}[2a + 2nd] = (n+1)(a + nd)$। যুগ্ম স্থানৰ পদ $n$ টা: $a + d, a + 3d, \dots, a + (2n-1)d$। যুগ্ম যোগফল $S_e = \tfrac{n}{2}[2(a+d) + (n-1)\cdot 2d] = n(a + nd)$। সেয়ে $\tfrac{S_e}{S_o} = \tfrac{n}{n+1}$।

প্ৰশ্ন H4: $S_n$ আৰু $S_{2n}$ এটা AP-ৰ ক্ৰমে যোগফল হ’লে $S_{3n} = 3(S_{2n} – S_n)$ প্ৰমাণ কৰা।

উত্তৰঃ $S_n = \tfrac{n}{2}[2a + (n-1)d],\ S_{2n} = n[2a + (2n-1)d]$। $S_{2n} – S_n = n[2a + (2n-1)d] – \tfrac{n}{2}[2a + (n-1)d] = \tfrac{n}{2}[4a + 2(2n-1)d – 2a – (n-1)d] = \tfrac{n}{2}[2a + (3n-1)d]$। সেয়ে $3(S_{2n} – S_n) = \tfrac{3n}{2}[2a + (3n-1)d] = S_{3n}$।

প্ৰশ্ন H5: AP : $25, 22, 19, \dots$-ৰ যোগফল কেইটা পদলৈ ১১৬ হ’ব?

উত্তৰঃ $a = 25,\ d = -3$।

$$116 = \frac{n}{2}\bigl[50 + (n-1)(-3)\bigr] = \frac{n(53 – 3n)}{2} \Rightarrow 3n^2 – 53n + 232 = 0.$$

$n = \tfrac{53 \pm \sqrt{2809 – 2784}}{6} = \tfrac{53 \pm 5}{6} \Rightarrow n = \tfrac{58}{6}$ বা $\tfrac{48}{6} = 8$। সেয়ে $n = 8$।

প্ৰশ্ন H6: এটা AP-ৰ $a_3 + a_8 = 7$ আৰু $a_7 + a_{14} = -3$ হ’লে ১০-তম পদ উলিওৱা।

উত্তৰঃ $(a + 2d) + (a + 7d) = 2a + 9d = 7$, আৰু $(a + 6d) + (a + 13d) = 2a + 19d = -3$। বিয়োগ কৰি $10d = -10 \Rightarrow d = -1,\ 2a = 16 \Rightarrow a = 8$। সেয়ে $a_{10} = 8 – 9 = -1$।

প্ৰশ্ন H7: $a, b, c, d, e$ AP-ত আৰু সিহঁতৰ যোগফল $20$, যোগ-গুণফল $a + e = 8$ হ’লে পদসমূহ উলিওৱা।

উত্তৰঃ পাঁচটা পদ $a-2d, a-d, a, a+d, a+2d$ ধৰিলে যোগফল $5a = 20 \Rightarrow a = 4$। প্ৰথম আৰু পঞ্চম পদৰ যোগ $= (a-2d) + (a+2d) = 2a = 8$, যিটো ইতিমধ্যে সঁচা। সেয়ে $d$-ৰ মান নিৰ্ণয় কৰিবলৈ অতিৰিক্ত তথ্য লাগে।

প্ৰশ্ন H8: যদি $a, b, c$ AP-ত আৰু $a + b + c = 24$, $a^2 + b^2 + c^2 = 200$ হয়, তেতিয়া $a, b, c$ উলিওৱা।

উত্তৰঃ পদ তিনিটা $b-d, b, b+d$ ধৰিলে $3b = 24 \Rightarrow b = 8$। বৰ্গযোগফল $(b-d)^2 + b^2 + (b+d)^2 = 3b^2 + 2d^2 = 192 + 2d^2 = 200 \Rightarrow d^2 = 4 \Rightarrow d = \pm 2$। সংখ্যা $6, 8, 10$ বা $10, 8, 6$।

প্ৰশ্ন H9: এটা সমান্তৰ প্ৰগতিৰ ১০ম পদ $52$ আৰু ১৩ম পদৰ পৰা $৩য়$ পদৰ অনুপাত $3:1$ হ’লে প্ৰথম পদ আৰু সাধাৰণ অন্তৰ উলিওৱা।

উত্তৰঃ $a + 9d = 52$, $\tfrac{a + 12d}{a + 2d} = 3 \Rightarrow a + 12d = 3a + 6d \Rightarrow 6d = 2a \Rightarrow a = 3d$। বহালে $3d + 9d = 52 \Rightarrow 12d = 52 \Rightarrow d = \tfrac{13}{3}$, $a = 13$।

প্ৰশ্ন H10: এটা AP-ৰ $S_{10} = 4 S_5$ হ’লে $\tfrac{a}{d}$-ৰ মান উলিওৱা।

উত্তৰঃ $S_{10} = 5(2a + 9d)$, $S_5 = \tfrac{5}{2}(2a + 4d)$।

$$5(2a + 9d) = 4 \times \frac{5}{2}(2a + 4d) \Rightarrow 5(2a + 9d) = 10(2a + 4d) \Rightarrow 10a + 45d = 20a + 40d \Rightarrow 5d = 10a \Rightarrow \frac{a}{d} = \frac{1}{2}.$$

পূৰ্বৰ বছৰৰ পৰীক্ষাৰ ধৰণৰ প্ৰশ্নাৱলী (Previous Year Type Questions)

প্ৰশ্ন PYQ1: প্ৰমাণ কৰা যে $25, 22, 19, \dots$ এটা সমান্তৰ প্ৰগতি আৰু ইয়াৰ ১০-তম পদ উলিওৱা।

উত্তৰঃ পাৰ্থক্য $22 – 25 = -3$, $19 – 22 = -3$ — সকলো পাৰ্থক্য সমান, সেয়ে ই AP, $a = 25,\ d = -3$।

$$a_{10} = 25 + 9 \times (-3) = 25 – 27 = -2.$$

প্ৰশ্ন PYQ2: AP-ৰ ৪-তম পদ ও ১০-তম পদৰ যোগফল $24$ আৰু ৫-তম পদ ও ১১-তম পদৰ যোগফল $30$ হ’লে প্ৰথম পদ আৰু সাধাৰণ অন্তৰ উলিওৱা।

উত্তৰঃ $a_4 + a_{10} = 2a + 12d = 24,\ a_5 + a_{11} = 2a + 14d = 30$। বিয়োগ কৰি $2d = 6 \Rightarrow d = 3$, $2a = 24 – 36 = -12 \Rightarrow a = -6$।

প্ৰশ্ন PYQ3: কোনো এটা AP-ৰ ৪-তম পদ, ৭-তম পদৰ ৩ গুণ আৰু ৭-তম পদ, ১২ অধিক সংখ্যা ১২-তম পদৰ সমান। AP টো লিখা।

উত্তৰঃ $a_4 = 3 a_7 \Rightarrow a + 3d = 3(a + 6d) \Rightarrow a + 3d = 3a + 18d \Rightarrow 2a + 15d = 0$। $a_7 + 12 = a_{12} \Rightarrow a + 6d + 12 = a + 11d \Rightarrow 5d = 12 \Rightarrow d = \tfrac{12}{5}$। $2a = -15 \times \tfrac{12}{5} = -36 \Rightarrow a = -18$। AP : $-18, -15.6, -13.2, \dots$।

প্ৰশ্ন PYQ4: এটা AP-ৰ ১১-তম পদ ৪৫ আৰু ৫-তম পদ ১৫। ১৬-তম পদ আৰু $S_{16}$ উলিওৱা।

উত্তৰঃ $a + 10d = 45,\ a + 4d = 15 \Rightarrow 6d = 30 \Rightarrow d = 5,\ a = -5$। $a_{16} = -5 + 15 \times 5 = 70$। $S_{16} = \tfrac{16}{2}(-5 + 70) = 8 \times 65 = 520$।

প্ৰশ্ন PYQ5: এটা AP-ৰ যোগফল $S_n = 3n^2 – n$ হ’লে $a$, $d$ আৰু $a_{20}$ উলিওৱা।

উত্তৰঃ $S_1 = 3 – 1 = 2 \Rightarrow a = 2$। $S_2 = 12 – 2 = 10 \Rightarrow a_2 = 8 \Rightarrow d = 6$। $a_{20} = 2 + 19 \times 6 = 116$।

প্ৰশ্ন PYQ6: এটা AP-ৰ প্ৰথম পদ $a$, সাধাৰণ অন্তৰ $d$ আৰু $S_n$ যোগফল হ’লে $S_{12} – S_8 = 4(a + 9.5 d)$ ক প্ৰমাণ কৰা।

উত্তৰঃ $S_{12} = 6(2a + 11d) = 12a + 66d$, $S_8 = 4(2a + 7d) = 8a + 28d$। $S_{12} – S_8 = 4a + 38d = 4(a + 9.5d)$। সিদ্ধ।

প্ৰশ্ন PYQ7: ৩, ৬, ৯, ১২, … AP-ৰ প্ৰথম $n$ টা পদৰ যোগফল $315$ হ’লে $n$ উলিওৱা।

উত্তৰঃ $a = 3,\ d = 3$।

$$315 = \frac{n}{2}\bigl[6 + 3(n-1)\bigr] = \frac{n(3n + 3)}{2} = \frac{3n(n+1)}{2}.$$

$n(n+1) = 210 = 14 \times 15 \Rightarrow n = 14$।

প্ৰশ্ন PYQ8: এটা AP-ৰ প্ৰথম $5$ পদৰ যোগফল $35$ আৰু পৰৱৰ্তী $5$ পদৰ যোগফল $135$। AP-টো লিখা।

উত্তৰঃ $S_5 = 35 \Rightarrow \tfrac{5}{2}(2a + 4d) = 35 \Rightarrow 2a + 4d = 14$। $S_{10} = 35 + 135 = 170 \Rightarrow 5(2a + 9d) = 170 \Rightarrow 2a + 9d = 34$। বিয়োগ কৰি $5d = 20 \Rightarrow d = 4,\ a = -1$। AP : $-1, 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31, 35, \dots$।

প্ৰশ্ন PYQ9: এজন কৰ্মচাৰীৰ মাহিলী দৰমহা প্ৰথম মাহত $5000$ টকা আৰু প্ৰতি বছৰে বিভাগৰ পৰা $200$ টকা বৃদ্ধি পায়। ১০ম বছৰৰ শেষত তেওঁৰ মাহিলী দৰমহা কিমান হ’ব?

উত্তৰঃ $a = 5000,\ d = 200,\ n = 10$। $a_{10} = 5000 + 9 \times 200 = 5000 + 1800 = 6800$ টকা।

প্ৰশ্ন PYQ10: $-3, -7, -11, \dots$ AP-ৰ ১৫-তম পদ আৰু ১৫ পদৰ যোগফল উলিওৱা।

উত্তৰঃ $a = -3,\ d = -4$।

$$a_{15} = -3 + 14 \times (-4) = -3 – 56 = -59.$$

$$S_{15} = \frac{15}{2}(-3 + (-59)) = \frac{15 \times -62}{2} = -465.$$

সংক্ষিপ্ত দ্ৰুত-পুনৰীক্ষণ পয়েণ্ট

১। AP চিনাক্ত কৰিবলৈ পৰৱৰ্তী যিকোনো দুটা পদৰ পাৰ্থক্য একে নে চাওক।
২। $n$-তম পদ লাগিলে $a_n = a + (n-1)d$ ব্যৱহাৰ কৰক।
৩। যোগফল লাগিলে $a$ আৰু $d$ থাকিলে $S_n = \tfrac{n}{2}[2a + (n-1)d]$, প্ৰথম-শেষ পদ থাকিলে $S_n = \tfrac{n}{2}(a + l)$।
৪। তিনি/পাঁচটা পদৰ সমস্যাত প্ৰতিসম পদ ($a-d, a, a+d$ আদি) ধৰক—গণনা চমু হয়।
৫। $S_n$ থকা সমীকৰণৰ পৰা $a_n = S_n – S_{n-1}$ ব্যৱহাৰ কৰি $a_n$ পাব।
৬। ৰাহি, কিস্তি, ভাড়া, লাভ-বৃদ্ধি ধৰণৰ শব্দ-সমস্যাত প্ৰথম পদ আৰু সাধাৰণ অন্তৰ চিনি লোৱা মূল।
৭। গণনাৰ অন্তত $n$ পূৰ্ণসংখ্যা হোৱাটো নিশ্চিত কৰক।

উপসংহাৰ

সমান্তৰ প্ৰগতি অধ্যায়টো গণিতৰ এক ভিত্তিমূলক বিষয়, যাৰ ধাৰণাবোৰ উচ্চ শ্ৰেণীত ক্ৰম, শ্ৰেণী, কেলকুলাছ আৰু পৰিসংখ্যাৰ অধ্যয়নত প্ৰয়োগ হয়। সূত্ৰবোৰ আয়ত্ত কৰি বিভিন্ন ধৰণৰ সমস্যা—প্ৰথম $n$ টা পদৰ যোগফল, $n$-তম পদ, শব্দ-সমস্যা, ত্ৰিপদ-পঞ্চপদ ক্ৰমৰ গঠন আদি—অভ্যাস কৰিলে আপুনি বোৰ্ডৰ পৰীক্ষাত নিশ্চয় ভাল ফল লাভ কৰিব। প্ৰতিটো প্ৰশ্নৰ সমাধান নিজে কাগজত লিখি অভ্যাস কৰিব—কেৱল পঢ়িলে নহ’ব। বাস্তৱ জীৱনৰ পৰিস্থিতিত যেতিয়াই কোনো ৰাশি ক্ৰমে এক নিৰ্দিষ্ট হাৰত বৃদ্ধি বা হ্ৰাস হয়, সেইতো সমান্তৰ প্ৰগতিৰ এক উদাহৰণ। দৰমহাৰ বৃদ্ধি, কিস্তিত পৰিশোধ, খেতিৰ উৎপাদনৰ ক্ৰমিক বৃদ্ধি, পেঞ্চনৰ গণনা, লোনৰ মাহিলী কিস্তি, কাৰ্যশালীৰ চকীৰ সজোৱা, সিৰিয়েল সিঁড়িৰ গাঁথনি—এই সকলো ক্ষেত্ৰতে AP-ৰ ধাৰণা কাৰ্যকৰী। HSLC GURU-ৰ লগত থাকক, প্ৰতিটো অধ্যায়ৰ গভীৰ অধ্যয়নৰ বাবে—আমাৰ লক্ষ্য আপোনাৰ সাফল্য। আপুনি সকলো অনুশীলনী, অতিৰিক্ত প্ৰশ্ন, MCQ, খালী ঠাই পূৰণ আৰু HOTS প্ৰশ্নসমূহ অভ্যাস কৰি যেতিয়া কোনো প্ৰশ্ন আহিব, তেতিয়া আত্মবিশ্বাসেৰে উত্তৰ লিখিব পাৰিব।