দ্বিঘাত সমীকৰণ (Quadratic Equations) — অধ্যায় ৪
HSLC Guru-লৈ স্বাগতম। ASSEB Class 10 Mathematics-ৰ চতুৰ্থ অধ্যায় দ্বিঘাত সমীকৰণৰ সম্পূৰ্ণ প্ৰশ্ন-উত্তৰ ইয়াত উপস্থাপন কৰা হৈছে। এই অধ্যায়ত $ax^2 + bx + c = 0$ ৰূপৰ দ্বিঘাত সমীকৰণ চিনাক্তকৰণ, উৎপাদকীকৰণ পদ্ধতি, পূৰ্ণবৰ্গ পদ্ধতি, দ্বিঘাত সূত্ৰ আৰু বিভেদকৰ সহায়ত মূলৰ প্ৰকৃতি নিৰ্ণয় কৰাৰ পদ্ধতিসমূহ বিশদভাৱে আলোচনা কৰা হৈছে। অনুশীলনী ৪.১, ৪.২, ৪.৩ আৰু ৪.৪ ৰ সকলো প্ৰশ্নৰ পূৰ্ণাংগ সমাধান প্ৰতিটো পদক্ষেপৰ সৈতে দিয়া হৈছে।
সাৰাংশ (Assamese Summary)
সাৰাংশঃ দ্বিঘাত সমীকৰণ অধ্যায়টোত $x$-ৰ সৰ্বোচ্চ ঘাত ২ থকা বহুপদীয়ক সমীকৰণৰ আদৰ্শ ৰূপ $ax^2 + bx + c = 0$ ($a \ne 0$) আলোচনা কৰা হৈছে। ইয়াত $a, b, c$ বাস্তৱ সংখ্যা আৰু $a$-ৰ মান শূন্য নহয়। এনে সমীকৰণৰ মূল (root) বা শূন্য (zero) নিৰ্ণয়ৰ বাবে তিনিটা প্ৰধান পদ্ধতি — উৎপাদকীকৰণ পদ্ধতি, পূৰ্ণবৰ্গ পদ্ধতি আৰু দ্বিঘাত সূত্ৰ পদ্ধতি ব্যৱহাৰ কৰা হয়।
বিভেদক $D = b^2 – 4ac$-ৰ মানৰ ওপৰত ভিত্তি কৰি সমীকৰণৰ মূলৰ প্ৰকৃতি নিৰ্ণয় কৰা যায় — $D > 0$ হ’লে দুটা বেলেগ বাস্তৱ মূল, $D = 0$ হ’লে সমান বাস্তৱ মূল আৰু $D < 0$ হ’লে কোনো বাস্তৱ মূল নাথাকে। লগতে মূলদ্বয়ৰ যোগফল $\alpha + \beta = -b/a$ আৰু গুণফল $\alpha\beta = c/a$ ৰ সম্পৰ্ক প্ৰতিষ্ঠা কৰা হয়। বাস্তৱ জীৱনৰ বিভিন্ন সমস্যা যেনে আয়তক্ষেত্ৰৰ মাত্ৰা, ৰে’ল-গাড়ীৰ গতি, পাইপৰ পানী ভৰোৱাৰ সময় আদিক দ্বিঘাত সমীকৰণৰ সহায়ত সমাধান কৰিব পাৰি।
Summary (English)
Summary: The chapter Quadratic Equations introduces the standard form $ax^2 + bx + c = 0$ where $a \ne 0$, and three methods to find its roots — factorisation by splitting the middle term, completing the square, and the quadratic formula $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$. The discriminant $D = b^2 – 4ac$ classifies roots as two distinct real (D > 0), equal real (D = 0), or no real roots (D < 0). Sum and product of roots are $-b/a$ and $c/a$ respectively. Word problems on geometry, motion, age and work are modelled as quadratic equations and solved.
মূল সূত্ৰ আৰু সংজ্ঞা (Key Formulae)
| বিষয় | সূত্ৰ |
|---|---|
| আদৰ্শ ৰূপ | $ax^2 + bx + c = 0,\ a \ne 0$ |
| দ্বিঘাত সূত্ৰ | $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$ |
| বিভেদক | $D = b^2 – 4ac$ |
| মূলৰ যোগফল | $\alpha + \beta = -\dfrac{b}{a}$ |
| মূলৰ গুণফল | $\alpha \beta = \dfrac{c}{a}$ |
| $D > 0$ | দুটা বেলেগ বাস্তৱ মূল |
| $D = 0$ | সমান (পুনৰাবৃত্ত) বাস্তৱ মূল |
| $D < 0$ | কোনো বাস্তৱ মূল নাই |
দ্বিঘাত সূত্ৰটো প্ৰদৰ্শনাত্মক ৰূপত —
$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$$
অনুশীলনী ৪.১ (Exercise 4.1) — দ্বিঘাত সমীকৰণ চিনাক্তকৰণ
প্ৰশ্ন ১। তলৰ সমীকৰণসমূহ দ্বিঘাত সমীকৰণ হয় নে নহয় পৰীক্ষা কৰা।
(i) $(x+1)^2 = 2(x-3)$
উত্তৰঃ বাঁওফালৰ পক্ষ বিস্তাৰ কৰিলে $x^2 + 2x + 1 = 2x – 6$ পোৱা যায়। অৰ্থাৎ $x^2 + 2x + 1 – 2x + 6 = 0$ অথবা $x^2 + 7 = 0$। ইয়াত $x$-ৰ সৰ্বোচ্চ ঘাত ২ আৰু $a = 1 \ne 0$। গতিকে ই এটা দ্বিঘাত সমীকৰণ।
(ii) $x^2 – 2x = (-2)(3-x)$
উত্তৰঃ সৰল কৰিলে $x^2 – 2x = -6 + 2x$ পোৱা যায়। অৰ্থাৎ $x^2 – 4x + 6 = 0$। সৰ্বোচ্চ ঘাত ২ আৰু $a = 1 \ne 0$ হোৱা বাবে ই এটা দ্বিঘাত সমীকৰণ।
(iii) $(x-2)(x+1) = (x-1)(x+3)$
উত্তৰঃ বাঁওফালঃ $x^2 – x – 2$, সোঁফালঃ $x^2 + 2x – 3$। গতিকে $x^2 – x – 2 = x^2 + 2x – 3$ অৰ্থাৎ $-3x + 1 = 0$। ইয়াত $x$-ৰ সৰ্বোচ্চ ঘাত ১ গতিকে ই দ্বিঘাত সমীকৰণ নহয়।
(iv) $(x-3)(2x+1) = x(x+5)$
উত্তৰঃ বাঁওফালঃ $2x^2 – 5x – 3$, সোঁফালঃ $x^2 + 5x$। গতিকে $2x^2 – 5x – 3 – x^2 – 5x = 0$ অথবা $x^2 – 10x – 3 = 0$। ইয়াত সৰ্বোচ্চ ঘাত ২। গতিকে ই এটা দ্বিঘাত সমীকৰণ।
(v) $(2x-1)(x-3) = (x+5)(x-1)$
উত্তৰঃ বাঁওফালঃ $2x^2 – 7x + 3$, সোঁফালঃ $x^2 + 4x – 5$। গতিকে $2x^2 – 7x + 3 – x^2 – 4x + 5 = 0$ অৰ্থাৎ $x^2 – 11x + 8 = 0$। ই এটা দ্বিঘাত সমীকৰণ।
(vi) $x^2 + 3x + 1 = (x-2)^2$
উত্তৰঃ $(x-2)^2 = x^2 – 4x + 4$। গতিকে $x^2 + 3x + 1 = x^2 – 4x + 4$ অৰ্থাৎ $7x – 3 = 0$। ই দ্বিঘাত সমীকৰণ নহয়।
(vii) $(x+2)^3 = 2x(x^2 – 1)$
উত্তৰঃ $(x+2)^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8$ আৰু $2x(x^2-1) = 2x^3 – 2x$। গতিকে $x^3 + 6x^2 + 12x + 8 = 2x^3 – 2x$ অৰ্থাৎ $-x^3 + 6x^2 + 14x + 8 = 0$ বা $x^3 – 6x^2 – 14x – 8 = 0$। সৰ্বোচ্চ ঘাত ৩, গতিকে দ্বিঘাত সমীকৰণ নহয়।
(viii) $x^3 – 4x^2 – x + 1 = (x-2)^3$
উত্তৰঃ $(x-2)^3 = x^3 – 6x^2 + 12x – 8$। গতিকে $x^3 – 4x^2 – x + 1 = x^3 – 6x^2 + 12x – 8$ অৰ্থাৎ $2x^2 – 13x + 9 = 0$। সৰ্বোচ্চ ঘাত ২, গতিকে এটা দ্বিঘাত সমীকৰণ।
প্ৰশ্ন ২। তলত দিয়া পৰিস্থিতিসমূহক দ্বিঘাত সমীকৰণৰ ৰূপত উপস্থাপন কৰা।
(i) এটা আয়তাকাৰ মাটিৰ ক্ষেত্ৰফল $528\ \text{m}^2$। ক্ষেত্ৰখনৰ দৈৰ্ঘ্য ইয়াৰ প্ৰস্থৰ দ্বিগুণতকৈ $1$ মিটাৰ বেছি। দৈৰ্ঘ্য আৰু প্ৰস্থ নিৰ্ণয় কৰিবলৈ লাগে।
উত্তৰঃ ধৰাহওক প্ৰস্থ $= x$ মিটাৰ। তেতিয়া দৈৰ্ঘ্য $= (2x + 1)$ মিটাৰ।
ক্ষেত্ৰফল $= x(2x+1) = 528$
$\Rightarrow 2x^2 + x – 528 = 0$ — এইটোৱেই বিচৰা দ্বিঘাত সমীকৰণ।
(ii) দুটা ক্ৰমিক ধনাত্মক পূৰ্ণ সংখ্যাৰ গুণফল $306$। সংখ্যাদুটা বিচাৰিব লাগে।
উত্তৰঃ ধৰাহওক প্ৰথম সংখ্যাটো $= x$, দ্বিতীয়টো $= x + 1$।
$x(x+1) = 306 \Rightarrow x^2 + x – 306 = 0$ — বিচৰা দ্বিঘাত সমীকৰণ।
(iii) ৰোহনৰ মাতৃৰ বয়স ৰোহনতকৈ $26$ বছৰ বেছি। তেওঁলোকৰ বয়সৰ গুণফল ($3$ বছৰৰ পিছত) হ’ব $360$। ৰোহনৰ বৰ্তমান বয়স কিমান?
উত্তৰঃ ধৰাহওক ৰোহনৰ বয়স $= x$ বছৰ। তেতিয়া মাতৃৰ বয়স $= (x + 26)$ বছৰ। ৩ বছৰৰ পিছত — ৰোহনৰ বয়স $= x + 3$, মাতৃৰ বয়স $= x + 29$।
$(x+3)(x+29) = 360 \Rightarrow x^2 + 32x + 87 = 360 \Rightarrow x^2 + 32x – 273 = 0$।
(iv) এখন ৰে’লগাড়ীয়ে $480$ কি.মি. এক সমান গতিৰে যায়। যদি গতি $8$ কি.মি./ঘ.কম হয়, তেন্তে একে দূৰত্ব অতিক্ৰম কৰিবলৈ $3$ ঘণ্টা বেছি লাগে। মূল গতিবেগ নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ ধৰাহওক গতি $= x$ কি.মি./ঘ.। তেতিয়া সময় $= 480/x$।
$\dfrac{480}{x-8} – \dfrac{480}{x} = 3 \Rightarrow 480x – 480(x-8) = 3x(x-8)$
$\Rightarrow 3840 = 3x^2 – 24x \Rightarrow x^2 – 8x – 1280 = 0$।
অনুশীলনী ৪.২ (Exercise 4.2) — উৎপাদকীকৰণ পদ্ধতিৰে সমাধান
প্ৰশ্ন ১। উৎপাদকীকৰণ পদ্ধতিৰে তলৰ দ্বিঘাত সমীকৰণসমূহৰ মূল নিৰ্ণয় কৰা।
(i) $x^2 – 3x – 10 = 0$
উত্তৰঃ মাজৰ পদটো বিভাজিত কৰিবলৈ আমি দুটা সংখ্যা বিচাৰিম যাৰ গুণফল $-10$ আৰু যোগফল $-3$। এই দুটা সংখ্যা $-5$ আৰু $2$।
$x^2 – 5x + 2x – 10 = 0$
$\Rightarrow x(x-5) + 2(x-5) = 0$
$\Rightarrow (x-5)(x+2) = 0$
গতিকে $x = 5$ অথবা $x = -2$।
(ii) $2x^2 + x – 6 = 0$
উত্তৰঃ $2 \times (-6) = -12$ আৰু যোগফল $1$ — গতিকে সংখ্যা দুটা $4$ আৰু $-3$।
$2x^2 + 4x – 3x – 6 = 0$
$\Rightarrow 2x(x+2) – 3(x+2) = 0$
$\Rightarrow (x+2)(2x-3) = 0$
গতিকে $x = -2$ অথবা $x = \dfrac{3}{2}$।
(iii) $\sqrt{2}\, x^2 + 7x + 5\sqrt{2} = 0$
উত্তৰঃ গুণফল $\sqrt{2} \times 5\sqrt{2} = 10$ আৰু যোগফল $7$ — সংখ্যা দুটা $5$ আৰু $2$।
$\sqrt{2}\, x^2 + 5x + 2x + 5\sqrt{2} = 0$
$\Rightarrow x(\sqrt{2}\, x + 5) + \sqrt{2}(\sqrt{2}\, x + 5) = 0$
$\Rightarrow (\sqrt{2}\, x + 5)(x + \sqrt{2}) = 0$
গতিকে $x = -\dfrac{5}{\sqrt{2}} = -\dfrac{5\sqrt{2}}{2}$ অথবা $x = -\sqrt{2}$।
(iv) $2x^2 – x + \dfrac{1}{8} = 0$
উত্তৰঃ উভয়ফালে $8$-ৰে গুণ কৰিলে — $16x^2 – 8x + 1 = 0$।
$16x^2 – 4x – 4x + 1 = 0$
$\Rightarrow 4x(4x-1) – 1(4x-1) = 0$
$\Rightarrow (4x-1)(4x-1) = 0$ অৰ্থাৎ $(4x-1)^2 = 0$।
গতিকে $x = \dfrac{1}{4}$ (দুয়োটা মূল সমান)।
(v) $100x^2 – 20x + 1 = 0$
উত্তৰঃ $100 \times 1 = 100$ আৰু যোগফল $-20$ — সংখ্যা দুটা $-10$ আৰু $-10$।
$100x^2 – 10x – 10x + 1 = 0 \Rightarrow 10x(10x-1) – 1(10x-1) = 0 \Rightarrow (10x-1)^2 = 0$।
গতিকে $x = \dfrac{1}{10}$ (সমান মূল)।
প্ৰশ্ন ২। জন আৰু জয়ন্তীৰ একেলগে $45$টা মাৰ্বল আছিল। দুয়োৱে $5$টাকৈ মাৰ্বল হেৰুৱালে আৰু এতিয়া তেওঁলোকৰ মাৰ্বলৰ সংখ্যাৰ গুণফল $124$ হ’ল। আৰম্ভণিত প্ৰত্যেকৰ ওচৰত কিমানটাকৈ মাৰ্বল আছিল?
উত্তৰঃ ধৰাহওক জনৰ ওচৰত $x$টা মাৰ্বল আছিল। গতিকে জয়ন্তীৰ $= 45 – x$।
$5$টাকৈ হেৰুৱাৰ পিছত — জনঃ $x-5$, জয়ন্তীঃ $40-x$।
$(x-5)(40-x) = 124 \Rightarrow 40x – x^2 – 200 + 5x = 124$
$\Rightarrow -x^2 + 45x – 324 = 0 \Rightarrow x^2 – 45x + 324 = 0$।
মাজৰ পদ বিভাজনঃ $x^2 – 36x – 9x + 324 = 0 \Rightarrow x(x-36) – 9(x-36) = 0 \Rightarrow (x-36)(x-9) = 0$।
গতিকে $x = 36$ বা $x = 9$। যদি জনৰ ওচৰত $36$ আছিল, তেন্তে জয়ন্তীৰ $9$। যদি জনৰ ওচৰত $9$ আছিল, তেন্তে জয়ন্তীৰ $36$।
প্ৰশ্ন ৩। এদিনত উৎপাদিত খেলনাৰ সংখ্যা $x$, প্ৰতিটোৰ উৎপাদন ব্যয় (টকাত) $(55-x)$। সেই দিনা মুঠ ব্যয় $750$ টকা হ’লে $x$-ৰ মান বিচাৰা।
উত্তৰঃ $x(55-x) = 750 \Rightarrow 55x – x^2 = 750 \Rightarrow x^2 – 55x + 750 = 0$।
মাজৰ পদ বিভাজনঃ $x^2 – 25x – 30x + 750 = 0 \Rightarrow x(x-25) – 30(x-25) = 0 \Rightarrow (x-25)(x-30) = 0$।
গতিকে $x = 25$ অথবা $x = 30$।
প্ৰশ্ন ৪। দুটা সংখ্যাৰ যোগফল $27$ আৰু গুণফল $182$। সংখ্যাদুটা নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ ধৰাহওক প্ৰথম সংখ্যাটো $x$, তেতিয়া দ্বিতীয়টো $27 – x$।
$x(27-x) = 182 \Rightarrow x^2 – 27x + 182 = 0$।
$x^2 – 13x – 14x + 182 = 0 \Rightarrow x(x-13) – 14(x-13) = 0 \Rightarrow (x-13)(x-14) = 0$।
গতিকে $x = 13$ বা $x = 14$। সংখ্যা দুটা $13$ আৰু $14$।
প্ৰশ্ন ৫। দুটা ক্ৰমিক ধনাত্মক পূৰ্ণসংখ্যাৰ বৰ্গৰ যোগফল $365$। সংখ্যা দুটা নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ ধৰাহওক প্ৰথম সংখ্যাটো $x$, দ্বিতীয়টো $x + 1$।
$x^2 + (x+1)^2 = 365 \Rightarrow 2x^2 + 2x + 1 = 365 \Rightarrow 2x^2 + 2x – 364 = 0 \Rightarrow x^2 + x – 182 = 0$।
$x^2 + 14x – 13x – 182 = 0 \Rightarrow (x-13)(x+14) = 0$।
গতিকে $x = 13$ (ধনাত্মক)। সংখ্যা দুটা $13$ আৰু $14$।
প্ৰশ্ন ৬। এটা সমকোণী ত্ৰিভুজৰ উচ্চতা ভূমিতকৈ $7$ চে.মি. কম। অতিভুজ $13$ চে.মি. হ’লে আনহাত দুটা নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ ধৰাহওক ভূমি $= x$ চে.মি.। তেতিয়া উচ্চতা $= (x-7)$ চে.মি.।
পাইথাগোৰাছৰ উপপাদ্যঃ $x^2 + (x-7)^2 = 13^2$
$\Rightarrow 2x^2 – 14x + 49 = 169 \Rightarrow 2x^2 – 14x – 120 = 0 \Rightarrow x^2 – 7x – 60 = 0$।
$x^2 – 12x + 5x – 60 = 0 \Rightarrow (x-12)(x+5) = 0$।
$x = 12$ (ধনাত্মক)। গতিকে ভূমি $= 12$ চে.মি., উচ্চতা $= 5$ চে.মি.।
প্ৰশ্ন ৭। কোনোবা এটা কুটীৰ শিল্পত এদিনত উৎপাদিত বস্তুৰ সংখ্যা $x$ আৰু প্ৰতিটোৰ ব্যয় (টকাত) $(2x + 3)$। যদি সেই দিনা মুঠ উৎপাদন ব্যয় $90$ টকা হয়, তেন্তে $x$-ৰ মান বিচাৰা।
উত্তৰঃ $x(2x+3) = 90 \Rightarrow 2x^2 + 3x – 90 = 0$।
$2x^2 + 15x – 12x – 90 = 0 \Rightarrow x(2x+15) – 6(2x+15) = 0 \Rightarrow (2x+15)(x-6) = 0$।
ধনাত্মক মূল $x = 6$। গতিকে $6$ টা বস্তু উৎপাদিত হৈছিল আৰু প্ৰতিটোৰ ব্যয় $15$ টকা।
অনুশীলনী ৪.৩ (Exercise 4.3) — পূৰ্ণবৰ্গ পদ্ধতি আৰু দ্বিঘাত সূত্ৰ
প্ৰশ্ন ১। তলৰ দ্বিঘাত সমীকৰণসমূহৰ মূল (যদি বাস্তৱ হয়) পূৰ্ণবৰ্গ গঠন পদ্ধতিৰ দ্বাৰা নিৰ্ণয় কৰা।
(i) $2x^2 – 7x + 3 = 0$
উত্তৰঃ উভয়ফালে $2$-ৰে ভাগ কৰিলে — $x^2 – \dfrac{7}{2}x + \dfrac{3}{2} = 0$।
$x^2 – \dfrac{7}{2}x = -\dfrac{3}{2}$। উভয়ফালে $\left(\dfrac{7}{4}\right)^2 = \dfrac{49}{16}$ যোগ কৰিলে —
$\left(x – \dfrac{7}{4}\right)^2 = \dfrac{49}{16} – \dfrac{3}{2} = \dfrac{49 – 24}{16} = \dfrac{25}{16}$।
$x – \dfrac{7}{4} = \pm \dfrac{5}{4} \Rightarrow x = \dfrac{7 \pm 5}{4}$।
গতিকে $x = 3$ বা $x = \dfrac{1}{2}$।
(ii) $2x^2 + x – 4 = 0$
উত্তৰঃ $x^2 + \dfrac{x}{2} = 2$। উভয়ফালে $\dfrac{1}{16}$ যোগঃ
$\left(x + \dfrac{1}{4}\right)^2 = 2 + \dfrac{1}{16} = \dfrac{33}{16}$।
$x + \dfrac{1}{4} = \pm \dfrac{\sqrt{33}}{4} \Rightarrow x = \dfrac{-1 \pm \sqrt{33}}{4}$।
(iii) $4x^2 + 4\sqrt{3}\, x + 3 = 0$
উত্তৰঃ ই $\left(2x + \sqrt{3}\right)^2 = 0$ ৰূপত লিখিব পাৰি, কিয়নো $(2x)^2 + 2\cdot 2x \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 4x^2 + 4\sqrt{3}\, x + 3$।
গতিকে $2x + \sqrt{3} = 0 \Rightarrow x = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ (দুয়োটা মূল সমান)।
(iv) $2x^2 + x + 4 = 0$
উত্তৰঃ $x^2 + \dfrac{x}{2} + 2 = 0 \Rightarrow x^2 + \dfrac{x}{2} = -2$।
$\left(x + \dfrac{1}{4}\right)^2 = -2 + \dfrac{1}{16} = -\dfrac{31}{16}$।
সোঁফাল ঋণাত্মক হোৱা বাবে কোনো বাস্তৱ মূল নাই।
প্ৰশ্ন ২। দ্বিঘাত সূত্ৰৰ সহায়ত উপৰৰ সমীকৰণসমূহৰ মূল নিৰ্ণয় কৰা।
(i) $2x^2 – 7x + 3 = 0$
উত্তৰঃ $a = 2$, $b = -7$, $c = 3$। $D = (-7)^2 – 4 \cdot 2 \cdot 3 = 49 – 24 = 25$।
$$x = \frac{7 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{7 \pm 5}{4}$$
$x = 3$ অথবা $x = \dfrac{1}{2}$।
(ii) $2x^2 + x – 4 = 0$
উত্তৰঃ $a = 2$, $b = 1$, $c = -4$। $D = 1 + 32 = 33$।
$$x = \frac{-1 \pm \sqrt{33}}{4}$$
(iii) $4x^2 + 4\sqrt{3}\, x + 3 = 0$
উত্তৰঃ $a = 4$, $b = 4\sqrt{3}$, $c = 3$। $D = 48 – 48 = 0$।
$x = \dfrac{-4\sqrt{3}}{8} = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ (সমান মূল)।
(iv) $2x^2 + x + 4 = 0$
উত্তৰঃ $D = 1 – 32 = -31 < 0$। গতিকে কোনো বাস্তৱ মূল নাই।
প্ৰশ্ন ৩। তলৰ সমীকৰণৰ মূল নিৰ্ণয় কৰাঃ $x – \dfrac{1}{x} = 3,\ x \ne 0$।
উত্তৰঃ উভয়ফালে $x$-ৰে গুণ কৰিলে $x^2 – 1 = 3x \Rightarrow x^2 – 3x – 1 = 0$।
$D = 9 + 4 = 13$।
$x = \dfrac{3 \pm \sqrt{13}}{2}$।
প্ৰশ্ন ৪। তলৰ সমীকৰণৰ মূল নিৰ্ণয় কৰাঃ $\dfrac{1}{x+4} – \dfrac{1}{x-7} = \dfrac{11}{30},\ x \ne -4, 7$।
উত্তৰঃ বাঁওফালঃ $\dfrac{(x-7) – (x+4)}{(x+4)(x-7)} = \dfrac{-11}{x^2 – 3x – 28}$।
গতিকে $\dfrac{-11}{x^2-3x-28} = \dfrac{11}{30} \Rightarrow x^2 – 3x – 28 = -30 \Rightarrow x^2 – 3x + 2 = 0$।
$(x-1)(x-2) = 0 \Rightarrow x = 1$ বা $x = 2$।
প্ৰশ্ন ৫। ৩ বছৰ আগতে ৰেহমানৰ বয়স (বছৰত) আৰু এতিয়াৰ পৰা $5$ বছৰ পিছত তেওঁৰ বয়সৰ ব্যুত্ক্ৰমৰ যোগফল $\dfrac{1}{3}$। ৰেহমানৰ বৰ্তমান বয়স কিমান?
উত্তৰঃ ধৰাহওক বৰ্তমান বয়স $x$ বছৰ। তেতিয়া —
$\dfrac{1}{x-3} + \dfrac{1}{x+5} = \dfrac{1}{3}$
$\Rightarrow \dfrac{(x+5) + (x-3)}{(x-3)(x+5)} = \dfrac{1}{3} \Rightarrow \dfrac{2x+2}{x^2 + 2x – 15} = \dfrac{1}{3}$।
আড়াআড়ি গুণঃ $3(2x+2) = x^2 + 2x – 15 \Rightarrow x^2 – 4x – 21 = 0$।
$(x-7)(x+3) = 0 \Rightarrow x = 7$ (ধনাত্মক)।
গতিকে ৰেহমানৰ বৰ্তমান বয়স $7$ বছৰ।
প্ৰশ্ন ৬। ক্লাছৰ গণিত পৰীক্ষাত শ্বেফালীৰ গণিত আৰু ইংৰাজীৰ মুঠ নম্বৰ $30$। যদি গণিতত $2$ অধিক আৰু ইংৰাজীত $3$ কম পাইলেহেঁতেন, তেন্তে নম্বৰৰ গুণফল $210$ হ’লহেঁতেন। দুটা বিষয়ত পোৱা নম্বৰ নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ ধৰাহওক গণিতত নম্বৰ $x$, ইংৰাজীত $30 – x$।
$(x+2)(30-x-3) = 210 \Rightarrow (x+2)(27-x) = 210$
$\Rightarrow 27x – x^2 + 54 – 2x = 210 \Rightarrow -x^2 + 25x – 156 = 0 \Rightarrow x^2 – 25x + 156 = 0$।
$(x-12)(x-13) = 0 \Rightarrow x = 12$ বা $x = 13$।
গতিকে গণিতত $12$ আৰু ইংৰাজীত $18$, অথবা গণিতত $13$ আৰু ইংৰাজীত $17$।
প্ৰশ্ন ৭। এখন আয়তাকাৰ মাটিৰ কৰ্ণৰ দৈৰ্ঘ্য চুটি ফালটোৰ ৩ গুণতকৈ $60$ মিটাৰ বেছি। দীঘ ফালটো চুটি ফালতকৈ $30$ মিটাৰ বেছি হ’লে মাটিৰ ফালৰ দৈৰ্ঘ্য নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ ধৰাহওক চুটি ফালৰ দৈৰ্ঘ্য $x$ মিটাৰ। তেতিয়া দীঘ ফাল $= x + 30$, কৰ্ণ $= 3x + 60$ — কিন্তু প্ৰশ্নটোৰ মূল ৰূপত কৰ্ণ $x + 60$ ধৰি — পাইথাগোৰাছঃ
$x^2 + (x+30)^2 = (x+60)^2 \Rightarrow x^2 + x^2 + 60x + 900 = x^2 + 120x + 3600$
$\Rightarrow x^2 – 60x – 2700 = 0$।
$D = 3600 + 10800 = 14400$, $\sqrt{D} = 120$। $x = \dfrac{60 + 120}{2} = 90$ মিটাৰ।
গতিকে চুটি ফাল $90$ মিটাৰ, দীঘ ফাল $120$ মিটাৰ।
প্ৰশ্ন ৮। দুটা সংখ্যাৰ বৰ্গৰ অন্তৰ $180$ আৰু সৰু সংখ্যাটোৰ বৰ্গ ডাঙৰটোৰ $8$ গুণ। সংখ্যা দুটা বিচাৰা।
উত্তৰঃ ধৰাহওক ডাঙৰ সংখ্যাটো $x$, সৰুটো $y$। $x^2 – y^2 = 180$ আৰু $y^2 = 8x$।
প্ৰথমটোত প্ৰতিস্থাপনঃ $x^2 – 8x = 180 \Rightarrow x^2 – 8x – 180 = 0$।
$(x – 18)(x + 10) = 0 \Rightarrow x = 18$। তেতিয়া $y^2 = 144 \Rightarrow y = 12$।
গতিকে সংখ্যা দুটা $18$ আৰু $12$।
প্ৰশ্ন ৯। এখন ৰে’লগাড়ীয়ে $360$ কি.মি. একে গতিৰে গৈছে। যদি গতি $5$ কি.মি./ঘ. বেছি হ’লেহেঁতেন, তেন্তে $1$ ঘণ্টা সময় কম লাগিলেহেঁতেন। ৰে’লখনৰ গতি বিচাৰা।
উত্তৰঃ ধৰাহওক গতি $x$ কি.মি./ঘ.। তেতিয়া —
$\dfrac{360}{x} – \dfrac{360}{x+5} = 1 \Rightarrow 360(x+5) – 360x = x(x+5)$
$\Rightarrow 1800 = x^2 + 5x \Rightarrow x^2 + 5x – 1800 = 0$।
$D = 25 + 7200 = 7225$, $\sqrt{D} = 85$। $x = \dfrac{-5 + 85}{2} = 40$ কি.মি./ঘ.।
প্ৰশ্ন ১০। দুটা পানীৰ পাইপে একেলগে এটা পুখুৰীৰ টেংকী ভৰাবলৈ $9\dfrac{3}{8}$ ঘণ্টা সময় লয়। ডাঙৰ পাইপটোৱে একে কাম সৰুটোৰ তুলনাত $10$ ঘণ্টা কম সময়ত কৰে। প্ৰত্যেক পাইপে অকলে কিমান সময়ত টেংকী ভৰাব?
উত্তৰঃ ধৰাহওক ডাঙৰ পাইপে $x$ ঘণ্টা ল’য়। সৰুটোৱে $(x+10)$ ঘণ্টা।
$\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x+10} = \dfrac{8}{75}$ (কাৰণ $9\dfrac{3}{8} = \dfrac{75}{8}$)।
$\dfrac{(x+10) + x}{x(x+10)} = \dfrac{8}{75} \Rightarrow 75(2x+10) = 8x(x+10)$
$\Rightarrow 150x + 750 = 8x^2 + 80x \Rightarrow 8x^2 – 70x – 750 = 0 \Rightarrow 4x^2 – 35x – 375 = 0$।
$D = 1225 + 6000 = 7225$, $\sqrt{D} = 85$। $x = \dfrac{35 + 85}{8} = 15$।
গতিকে ডাঙৰ পাইপে $15$ ঘণ্টা আৰু সৰু পাইপে $25$ ঘণ্টা ল’ব।
অনুশীলনী ৪.৪ (Exercise 4.4) — মূলৰ প্ৰকৃতি (বিভেদক)
প্ৰশ্ন ১। তলৰ দ্বিঘাত সমীকৰণসমূহৰ মূলৰ প্ৰকৃতি নিৰ্ণয় কৰা। যদি বাস্তৱ মূল থাকে, সেইবোৰ বিচাৰা।
(i) $2x^2 – 3x + 5 = 0$
উত্তৰঃ $D = (-3)^2 – 4 \cdot 2 \cdot 5 = 9 – 40 = -31 < 0$। গতিকে কোনো বাস্তৱ মূল নাই।
(ii) $3x^2 – 4\sqrt{3}\, x + 4 = 0$
উত্তৰঃ $D = (4\sqrt{3})^2 – 4 \cdot 3 \cdot 4 = 48 – 48 = 0$। গতিকে দুটা সমান বাস্তৱ মূল আছে।
$x = \dfrac{4\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \dfrac{2\sqrt{3}}{3} = \dfrac{2}{\sqrt{3}}$।
(iii) $2x^2 – 6x + 3 = 0$
উত্তৰঃ $D = 36 – 24 = 12 > 0$। গতিকে দুটা বেলেগ বাস্তৱ মূল আছে।
$x = \dfrac{6 \pm \sqrt{12}}{4} = \dfrac{6 \pm 2\sqrt{3}}{4} = \dfrac{3 \pm \sqrt{3}}{2}$।
প্ৰশ্ন ২। $k$-ৰ কি কি মানৰ বাবে তলৰ সমীকৰণৰ দুটা সমান মূল থাকিব?
(i) $2x^2 + kx + 3 = 0$
উত্তৰঃ সমান মূলৰ চৰ্ত $D = 0$ অৰ্থাৎ $k^2 – 4 \cdot 2 \cdot 3 = 0 \Rightarrow k^2 = 24 \Rightarrow k = \pm 2\sqrt{6}$।
(ii) $kx(x-2) + 6 = 0$
উত্তৰঃ $kx^2 – 2kx + 6 = 0$। $a = k$, $b = -2k$, $c = 6$।
$D = 4k^2 – 24k = 0 \Rightarrow 4k(k-6) = 0 \Rightarrow k = 0$ বা $k = 6$।
কিন্তু $k = 0$ হ’লে সমীকৰণটো দ্বিঘাত নহয়। গতিকে $k = 6$।
প্ৰশ্ন ৩। এখন আম্ৰৱনৰ দৈৰ্ঘ্য প্ৰস্থৰ দ্বিগুণ। ইয়াৰ ক্ষেত্ৰফল $800\ \text{m}^2$ হ’লে এনে আম্ৰৱন সম্ভৱনে? যদি সম্ভৱ, তেন্তে দৈৰ্ঘ্য আৰু প্ৰস্থ বিচাৰা।
উত্তৰঃ ধৰাহওক প্ৰস্থ $x$ মিটাৰ, দৈৰ্ঘ্য $2x$ মিটাৰ।
$x \cdot 2x = 800 \Rightarrow 2x^2 = 800 \Rightarrow x^2 = 400 \Rightarrow x = 20$।
$D = 0 – 4 \cdot 2 \cdot (-800) = 6400 > 0$। গতিকে আম্ৰৱন সম্ভৱ। প্ৰস্থ $20$ মিটাৰ, দৈৰ্ঘ্য $40$ মিটাৰ।
প্ৰশ্ন ৪। দুজন বন্ধুৰ বয়সৰ যোগফল $20$ বছৰ। চাৰি বছৰ আগতে তেওঁলোকৰ বয়সৰ গুণফল (বছৰত) $48$ আছিল। ই সম্ভৱনে?
উত্তৰঃ ধৰাহওক প্ৰথম বন্ধুৰ বৰ্তমান বয়স $x$, দ্বিতীয়ৰ $20 – x$।
$(x-4)(20-x-4) = 48 \Rightarrow (x-4)(16-x) = 48$
$\Rightarrow 16x – x^2 – 64 + 4x = 48 \Rightarrow -x^2 + 20x – 112 = 0 \Rightarrow x^2 – 20x + 112 = 0$।
$D = 400 – 448 = -48 < 0$। গতিকে কোনো বাস্তৱ মূল নাই — এনে পৰিস্থিতি সম্ভৱ নহয়।
প্ৰশ্ন ৫। এখন আয়তাকাৰ পাৰ্কৰ পৰিসীমা $80$ মিটাৰ আৰু ক্ষেত্ৰফল $400\ \text{m}^2$। এনে পাৰ্ক সম্ভৱনে? যদি সম্ভৱ, তেন্তে দৈৰ্ঘ্য আৰু প্ৰস্থ বিচাৰা।
উত্তৰঃ ধৰাহওক দৈৰ্ঘ্য $x$, প্ৰস্থ $y$। $2(x+y) = 80 \Rightarrow x + y = 40$ আৰু $xy = 400$।
গতিকে $y = 40 – x$ আৰু $x(40-x) = 400 \Rightarrow x^2 – 40x + 400 = 0$।
$D = 1600 – 1600 = 0$। গতিকে সমান মূল আছে — পাৰ্ক সম্ভৱ আৰু ই বৰ্গক্ষেত্ৰাকাৰ।
$x = \dfrac{40}{2} = 20$ মিটাৰ। গতিকে দৈৰ্ঘ্য $= $ প্ৰস্থ $= 20$ মিটাৰ।
অতিৰিক্ত প্ৰশ্ন আৰু উত্তৰ (Additional Questions)
বহুনিৰ্বাচনী প্ৰশ্ন (MCQ)
১। দ্বিঘাত সমীকৰণৰ আদৰ্শ ৰূপ হ’ল —
(ক) $ax + b = 0$
(খ) $ax^2 + bx + c = 0,\ a = 0$
(গ) $ax^2 + bx + c = 0,\ a \ne 0$
(ঘ) $ax^3 + bx + c = 0$
উত্তৰঃ (গ) $ax^2 + bx + c = 0,\ a \ne 0$।
২। দ্বিঘাত সূত্ৰটো হ’ল —
(ক) $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
(খ) $x = \dfrac{b \pm \sqrt{b^2+4ac}}{2a}$
(গ) $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2+4ac}}{a}$
(ঘ) ইয়াৰে কোনোটোও নহয়।
উত্তৰঃ (ক)।
৩। বিভেদক $D$-ৰ মান শূন্য হ’লে মূলদ্বয় কেনে?
(ক) দুটা বেলেগ বাস্তৱ
(খ) সমান বাস্তৱ
(গ) কাল্পনিক
(ঘ) অস্তিত্বহীন
উত্তৰঃ (খ) সমান বাস্তৱ মূল।
৪। $x^2 – 5x + 6 = 0$-ৰ মূলদ্বয় হ’ল —
(ক) $2,\ 3$
(খ) $-2,\ -3$
(গ) $1,\ 6$
(ঘ) $-1,\ -6$
উত্তৰঃ (ক) $2$ আৰু $3$।
৫। $x^2 + 4x + 4 = 0$-ৰ মূলদ্বয়ৰ যোগফল —
(ক) $-4$
(খ) $4$
(গ) $-2$
(ঘ) $2$
উত্তৰঃ (ক) $-4$ (যোগফল $= -b/a = -4/1$)।
৬। $2x^2 – 4x + 3 = 0$-ৰ মূলদ্বয়ৰ গুণফল —
(ক) $\dfrac{3}{2}$
(খ) $-\dfrac{3}{2}$
(গ) $2$
(ঘ) $-2$
উত্তৰঃ (ক) $\dfrac{3}{2}$ (গুণফল $= c/a = 3/2$)।
৭। $kx^2 – 6x + 9 = 0$-ৰ সমান মূল হোৱাৰ চৰ্তত $k$-ৰ মান —
(ক) $1$
(খ) $-1$
(গ) $9$
(ঘ) $-9$
উত্তৰঃ (ক) $1$। (কিয়নো $D = 36 – 36k = 0 \Rightarrow k = 1$।)
৮। $x^2 + x – 1 = 0$-ৰ বিভেদক —
(ক) $5$
(খ) $-3$
(গ) $3$
(ঘ) $-5$
উত্তৰঃ (ক) $5$। ($D = 1 + 4 = 5$।)
৯। তলৰ কোনটো এটা দ্বিঘাত সমীকৰণ নহয়?
(ক) $x^2 – 2x + 5 = 0$
(খ) $3x^2 – 5x = 0$
(গ) $x^3 + 2x – 1 = 0$
(ঘ) $\sqrt{2}\, x^2 + 7 = 0$
উত্তৰঃ (গ) $x^3 + 2x – 1 = 0$ ত্ৰিঘাত (cubic) সমীকৰণ।
১০। যদি $\alpha$ আৰু $\beta$ $ax^2 + bx + c = 0$-ৰ মূল, তেন্তে $\alpha + \beta = $
(ক) $-b/a$
(খ) $b/a$
(গ) $c/a$
(ঘ) $-c/a$
উত্তৰঃ (ক) $-b/a$।
খালী ঠাই পূৰণ (Fill in the Blanks)
১। দ্বিঘাত সমীকৰণৰ আদৰ্শ ৰূপ হ’ল ____।
উত্তৰঃ $ax^2 + bx + c = 0,\ a \ne 0$।
২। $b^2 – 4ac$-ক ____ বোলে।
উত্তৰঃ বিভেদক (Discriminant)।
৩। $D > 0$ হ’লে মূল দুটা ____।
উত্তৰঃ বেলেগ বাস্তৱ।
৪। মূলদ্বয়ৰ গুণফল $= $ ____।
উত্তৰঃ $c/a$।
৫। $x^2 – 7x + 12 = 0$-ৰ মূলদ্বয় ____ আৰু ____।
উত্তৰঃ $3$ আৰু $4$।
৬। দ্বিঘাত সমীকৰণৰ ____টা মূল থাকে।
উত্তৰঃ দুটা।
৭। $D < 0$ হ’লে দ্বিঘাত সমীকৰণৰ ____ মূল নাথাকে।
উত্তৰঃ বাস্তৱ।
৮। $\alpha + \beta = $ ____।
উত্তৰঃ $-b/a$।
শুদ্ধ / অশুদ্ধ (True / False)
১। $x^2 + 1 = 0$-ৰ বাস্তৱ মূল আছে। — উত্তৰঃ অশুদ্ধ ($D = -4 < 0$)।
২। $D = 0$ হ’লে দ্বিঘাত সমীকৰণৰ দুটা সমান বাস্তৱ মূল থাকে। — উত্তৰঃ শুদ্ধ।
৩। $ax^2 + bx + c = 0$-ত $a$-ৰ মান শূন্য হ’ব পাৰে। — উত্তৰঃ অশুদ্ধ।
৪। $x^2 – 2x + 1 = 0$-ৰ দুয়োটা মূল $1$। — উত্তৰঃ শুদ্ধ।
৫। দ্বিঘাত সমীকৰণৰ মূলদ্বয় সদায় বাস্তৱ। — উত্তৰঃ অশুদ্ধ।
৬। $x^2 – 9 = 0$-ৰ মূল $\pm 3$। — উত্তৰঃ শুদ্ধ।
৭। উৎপাদকীকৰণ পদ্ধতিত মাজৰ পদটো বিভাজিত কৰিব লাগে। — উত্তৰঃ শুদ্ধ।
৮। দ্বিঘাত সমীকৰণৰ লেখ এডাল সৰলৰেখা। — উত্তৰঃ অশুদ্ধ (ই এটা অধিবৃত্ত / parabola)।
শব্দাৰ্থ (Glossary)
| অসমীয়া | English | অৰ্থ |
|---|---|---|
| দ্বিঘাত সমীকৰণ | Quadratic Equation | $x$-ৰ সৰ্বোচ্চ ঘাত ২ থকা সমীকৰণ |
| আদৰ্শ ৰূপ | Standard Form | $ax^2 + bx + c = 0,\ a \ne 0$ |
| মূল | Root | সমীকৰণটোৰ চলকৰ মান যিয়ে সমীকৰণটো সিদ্ধ কৰে |
| উৎপাদকীকৰণ | Factorisation | সমীকৰণক উৎপাদকৰ গুণফলৰূপে প্ৰকাশ কৰাৰ পদ্ধতি |
| পূৰ্ণবৰ্গ পদ্ধতি | Completing the Square | সমীকৰণক $(x+p)^2 = q$ ৰূপত পৰিৱৰ্তন কৰা পদ্ধতি |
| দ্বিঘাত সূত্ৰ | Quadratic Formula | $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$ |
| বিভেদক | Discriminant | $D = b^2 – 4ac$ |
| মূলৰ যোগফল | Sum of Roots | $\alpha + \beta = -b/a$ |
| মূলৰ গুণফল | Product of Roots | $\alpha \beta = c/a$ |
| সমান মূল | Equal Roots | $D = 0$ হ’লে |
| বেলেগ মূল | Distinct Roots | $D > 0$ হ’লে |
| কাল্পনিক মূল | Imaginary / No Real Root | $D < 0$ হ’লে |
| মাজৰ পদ বিভাজন | Splitting the Middle Term | উৎপাদকীকৰণৰ এক কৌশল |
| অধিবৃত্ত | Parabola | দ্বিঘাত ফলনৰ লেখ |
অতিৰিক্ত অনুশীলনী প্ৰশ্ন (Extra Practice — Worked Examples)
উদাহৰণ ১। $6x^2 – x – 2 = 0$-ৰ মূল উৎপাদকীকৰণ পদ্ধতিৰে নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ $6 \times (-2) = -12$, যোগফল $-1$ — সংখ্যা দুটা $-4$ আৰু $3$।
$6x^2 – 4x + 3x – 2 = 0 \Rightarrow 2x(3x – 2) + 1(3x – 2) = 0 \Rightarrow (3x – 2)(2x + 1) = 0$।
গতিকে $x = \dfrac{2}{3}$ অথবা $x = -\dfrac{1}{2}$।
উদাহৰণ ২। $\sqrt{3}\, x^2 – 2\sqrt{2}\, x – 2\sqrt{3} = 0$-ৰ মূল বিচাৰা।
উত্তৰঃ $\sqrt{3} \times (-2\sqrt{3}) = -6$, যোগফল $-2\sqrt{2}$। সংখ্যা দুটা $-3\sqrt{2}$ আৰু $\sqrt{2}$ ($-3\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = -6$, যোগফল $-2\sqrt{2}$)।
$\sqrt{3}\, x^2 – 3\sqrt{2}\, x + \sqrt{2}\, x – 2\sqrt{3} = 0$
$\Rightarrow \sqrt{3}\, x(x – \sqrt{6}) + \sqrt{2}(x – \sqrt{6}) = 0$ — পুনৰ সাজি, দ্বিঘাত সূত্ৰ ব্যৱহাৰ কৰোঁ।
দ্বিঘাত সূত্ৰঃ $D = 8 + 24 = 32$, $\sqrt{D} = 4\sqrt{2}$।
$$x = \frac{2\sqrt{2} \pm 4\sqrt{2}}{2\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{2}(1 \pm 2)}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}(1 \pm 2)}{\sqrt{3}}$$
গতিকে $x = \sqrt{6}$ বা $x = -\dfrac{\sqrt{6}}{3}$।
উদাহৰণ ৩। $\dfrac{x-1}{x-2} + \dfrac{x-3}{x-4} = \dfrac{10}{3},\ x \ne 2, 4$-ৰ সমাধান কৰা।
উত্তৰঃ বাঁওফালঃ $\dfrac{(x-1)(x-4) + (x-3)(x-2)}{(x-2)(x-4)} = \dfrac{(x^2 – 5x + 4) + (x^2 – 5x + 6)}{x^2 – 6x + 8} = \dfrac{2x^2 – 10x + 10}{x^2 – 6x + 8}$।
$3(2x^2 – 10x + 10) = 10(x^2 – 6x + 8)$
$\Rightarrow 6x^2 – 30x + 30 = 10x^2 – 60x + 80 \Rightarrow 4x^2 – 30x + 50 = 0 \Rightarrow 2x^2 – 15x + 25 = 0$।
$D = 225 – 200 = 25$, $\sqrt{D} = 5$।
$x = \dfrac{15 \pm 5}{4}$ অৰ্থাৎ $x = 5$ বা $x = \dfrac{5}{2}$।
উদাহৰণ ৪। মূলদ্বয়ৰ যোগফল $7$ আৰু গুণফল $12$ হোৱা দ্বিঘাত সমীকৰণ গঠন কৰা।
উত্তৰঃ দ্বিঘাত সমীকৰণটো $x^2 – (\alpha + \beta)x + \alpha\beta = 0$ ৰূপত —
$x^2 – 7x + 12 = 0$ — বিচৰা সমীকৰণ। (পৰীক্ষাঃ মূলদ্বয় $3, 4$।)
উদাহৰণ ৫। যদি $\alpha, \beta$ $2x^2 – 5x + 1 = 0$-ৰ মূল হয়, তেন্তে $\alpha + \beta$ আৰু $\alpha\beta$ নিৰ্ণয় কৰা। লগতে $\alpha^2 + \beta^2$ বিচাৰা।
উত্তৰঃ $\alpha + \beta = -b/a = 5/2$ আৰু $\alpha\beta = c/a = 1/2$।
$\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 – 2\alpha\beta = \dfrac{25}{4} – 1 = \dfrac{21}{4}$।
উদাহৰণ ৬। $k$-ৰ মান বিচাৰা যাতে $(k-12)x^2 + 2(k-12)x + 2 = 0$ সমীকৰণৰ সমান বাস্তৱ মূল থাকে।
উত্তৰঃ $a = k-12$, $b = 2(k-12)$, $c = 2$।
$D = 4(k-12)^2 – 8(k-12) = 0 \Rightarrow 4(k-12)[(k-12) – 2] = 0 \Rightarrow (k-12)(k-14) = 0$।
$k = 12$ হ’লে সমীকৰণ দ্বিঘাত নহয়। গতিকে $k = 14$।
উদাহৰণ ৭। এজন বিক্ৰেতাই কিছুমান কলম $90$ টকাত কিনিলে। যদি প্ৰতিটো কলমৰ দাম $1$ টকা কম হ’লহেঁতেন, তেন্তে তেওঁ একে ধনত $3$ টা কলম বেছিকৈ পালেহেঁতেন। প্ৰতিটো কলমৰ দাম নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ ধৰাহওক কলমৰ দাম $x$ টকা। কলমৰ সংখ্যা $= 90/x$।
$\dfrac{90}{x-1} – \dfrac{90}{x} = 3 \Rightarrow 90x – 90(x-1) = 3x(x-1)$
$\Rightarrow 90 = 3x^2 – 3x \Rightarrow x^2 – x – 30 = 0 \Rightarrow (x-6)(x+5) = 0$।
$x = 6$ (ধনাত্মক)। গতিকে কলমৰ দাম $6$ টকা।
উদাহৰণ ৮। এখন নাৱে স্থিৰ পানীত $15$ কি.মি./ঘ. গতিৰে চলে। নৈত $30$ কি.মি. ওপৰলৈ আৰু ঘূৰি আহিবলৈ মুঠ $4\dfrac{1}{2}$ ঘণ্টা সময় লাগিল। নৈৰ সোঁতৰ গতি বিচাৰা।
উত্তৰঃ ধৰাহওক সোঁতৰ গতি $x$ কি.মি./ঘ.। ওপৰলৈ আপেক্ষিক গতি $(15-x)$, তললৈ $(15+x)$।
$\dfrac{30}{15-x} + \dfrac{30}{15+x} = \dfrac{9}{2}$
$\Rightarrow \dfrac{30(15+x) + 30(15-x)}{225 – x^2} = \dfrac{9}{2} \Rightarrow \dfrac{900}{225 – x^2} = \dfrac{9}{2}$
$\Rightarrow 1800 = 9(225 – x^2) \Rightarrow 200 = 225 – x^2 \Rightarrow x^2 = 25 \Rightarrow x = 5$।
গতিকে সোঁতৰ গতি $5$ কি.মি./ঘ.।
উদাহৰণ ৯। এজন ছাত্ৰৰ ক্লাছত $480$ টকা সমানে ভাগ কৰি দিয়া হ’ল। যদি $20$ জন ছাত্ৰ অধিক হ’লহেঁতেন, তেন্তে প্ৰত্যেকে $12$ টকা কম পাইলেহেঁতেন। ছাত্ৰৰ সংখ্যা বিচাৰা।
উত্তৰঃ ধৰাহওক ছাত্ৰৰ সংখ্যা $x$।
$\dfrac{480}{x} – \dfrac{480}{x+20} = 12 \Rightarrow 480(x+20) – 480x = 12x(x+20)$
$\Rightarrow 9600 = 12x^2 + 240x \Rightarrow x^2 + 20x – 800 = 0$।
$D = 400 + 3200 = 3600$, $\sqrt{D} = 60$। $x = \dfrac{-20 + 60}{2} = 20$।
গতিকে ছাত্ৰৰ সংখ্যা $20$ জন।
উদাহৰণ ১০। এটা আয়তাকাৰ মাটিৰ কালি $84$ বৰ্গমিটাৰ আৰু ইয়াৰ পৰিসীমা $38$ মিটাৰ। দৈৰ্ঘ্য আৰু প্ৰস্থ নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ ধৰাহওক দৈৰ্ঘ্য $x$, প্ৰস্থ $y$।
$2(x+y) = 38 \Rightarrow x + y = 19$ আৰু $xy = 84$।
গতিকে $y = 19 – x$ আৰু $x(19-x) = 84 \Rightarrow x^2 – 19x + 84 = 0$।
$(x-12)(x-7) = 0 \Rightarrow x = 12$ বা $x = 7$।
গতিকে দৈৰ্ঘ্য $12$ মিটাৰ আৰু প্ৰস্থ $7$ মিটাৰ।
গুৰুত্বপূৰ্ণ মন্তব্য আৰু ফলাফল (Important Results)
- $ax^2 + bx + c = 0$ ($a \ne 0$) সমীকৰণটোৰ সদায় দুটা মূল থাকে — কিন্তু সেই মূলবোৰ বাস্তৱ হ’ব নে নহ’ব সেইটো বিভেদক $D$-ৰ মানৰ ওপৰত নিৰ্ভৰ কৰে।
- উৎপাদকীকৰণ পদ্ধতিৰে সমাধান সম্ভৱ যদিহে $b^2 – 4ac$ এটা পূৰ্ণবৰ্গ হয়। বাকী ক্ষেত্ৰত পূৰ্ণবৰ্গ পদ্ধতি অথবা দ্বিঘাত সূত্ৰ প্ৰয়োগ কৰিব লাগে।
- পূৰ্ণবৰ্গ পদ্ধতিত প্ৰথমে $x^2$-ৰ সহগ ১ কৰি লোৱা হয়, তাৰ পিছত মাজৰ পদটোৰ সহগৰ আধাৰ বৰ্গ উভয়ফালে যোগ কৰা হয়।
- দ্বিঘাত সূত্ৰটো পূৰ্ণবৰ্গ পদ্ধতিৰে প্ৰমাণ কৰা যায়।
- $ax^2 + bx + c$ এটা বহুপদীয়। ইয়াৰ শূন্য (zero) আৰু $ax^2 + bx + c = 0$-ৰ মূল একে।
- সমীকৰণৰ মূল জনা থাকিলে সমীকৰণটো এনেদৰে গঠন কৰিব পাৰিঃ $x^2 – (\alpha + \beta)x + \alpha\beta = 0$।
- বাস্তৱ জীৱনৰ যিকোনো সমস্যাত — দূৰত্ব, গতি, সময়, কাম, বয়স, জ্যামিতি — চলক বুজি সমীকৰণ গঠন কৰি দ্বিঘাত পদ্ধতিৰে সমাধান কৰিব পাৰি।
- মূলৰ অৰ্থপূৰ্ণতা পৰীক্ষা কৰিব লাগে — দূৰত্ব, বয়স, গতি, সংখ্যা আদিৰ ক্ষেত্ৰত ঋণাত্মক মান গ্ৰহণযোগ্য নহয়।
দ্বিঘাত সূত্ৰৰ উদ্ভাৱন (Derivation of Quadratic Formula)
মূল সমীকৰণঃ $ax^2 + bx + c = 0,\ a \ne 0$।
উভয়ফালে $a$-ৰে ভাগ কৰিলেঃ $x^2 + \dfrac{b}{a}x + \dfrac{c}{a} = 0$।
$\Rightarrow x^2 + \dfrac{b}{a}x = -\dfrac{c}{a}$।
উভয়ফালে $\left(\dfrac{b}{2a}\right)^2$ যোগ কৰিলেঃ
$x^2 + \dfrac{b}{a}x + \dfrac{b^2}{4a^2} = \dfrac{b^2}{4a^2} – \dfrac{c}{a}$।
$\Rightarrow \left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 = \dfrac{b^2 – 4ac}{4a^2}$।
$b^2 – 4ac \ge 0$ হ’লে বৰ্গমূল লোৱা যায়ঃ
$x + \dfrac{b}{2a} = \pm \dfrac{\sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$।
$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$$
এইটোৱেই বিখ্যাত দ্বিঘাত সূত্ৰ (শ্ৰীধৰাচাৰ্যৰ সূত্ৰ নামেৰেও জনাজাত)।
দ্ৰুত পুনৰাবৃত্তি (Quick Revision)
| $D = b^2 – 4ac$ | মূলৰ প্ৰকৃতি | উদাহৰণ |
|---|---|---|
| $D > 0$ আৰু পূৰ্ণবৰ্গ | দুটা বেলেগ মূলদ বাস্তৱ মূল | $x^2 – 5x + 6 = 0$ ($D = 1$) |
| $D > 0$ কিন্তু পূৰ্ণবৰ্গ নহয় | দুটা বেলেগ অমূলদ বাস্তৱ মূল | $x^2 – 3x + 1 = 0$ ($D = 5$) |
| $D = 0$ | সমান (একে) বাস্তৱ মূল | $x^2 – 4x + 4 = 0$ |
| $D < 0$ | বাস্তৱ মূল নাই (কাল্পনিক) | $x^2 + x + 1 = 0$ ($D = -3$) |
সূত্ৰৰ সাৰাংশঃ
- আদৰ্শ ৰূপঃ $ax^2 + bx + c = 0,\ a \ne 0$
- দ্বিঘাত সূত্ৰঃ $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$
- বিভেদকঃ $D = b^2 – 4ac$
- মূলৰ যোগফলঃ $\alpha + \beta = -\dfrac{b}{a}$
- মূলৰ গুণফলঃ $\alpha\beta = \dfrac{c}{a}$
- মূলদ্বয়ৰ পৰা সমীকৰণ গঠনঃ $x^2 – (\alpha+\beta)x + \alpha\beta = 0$
আৰু কেইটামান গুৰুত্বপূৰ্ণ সমস্যা (HSLC-style Practice Problems)
সমস্যা ১। $\dfrac{1}{2x-3} + \dfrac{1}{x-5} = 1\dfrac{1}{9},\ x \ne \dfrac{3}{2}, 5$ — সমাধান কৰা।
উত্তৰঃ $1\dfrac{1}{9} = \dfrac{10}{9}$।
$\dfrac{(x-5) + (2x-3)}{(2x-3)(x-5)} = \dfrac{10}{9} \Rightarrow \dfrac{3x – 8}{2x^2 – 13x + 15} = \dfrac{10}{9}$।
$9(3x-8) = 10(2x^2 – 13x + 15) \Rightarrow 27x – 72 = 20x^2 – 130x + 150$।
$\Rightarrow 20x^2 – 157x + 222 = 0$।
$D = 157^2 – 4 \cdot 20 \cdot 222 = 24649 – 17760 = 6889 = 83^2$।
$x = \dfrac{157 \pm 83}{40}$ অৰ্থাৎ $x = 6$ বা $x = \dfrac{74}{40} = \dfrac{37}{20}$।
সমস্যা ২। দুটা ক্ৰমিক বিজোৰ ধনাত্মক পূৰ্ণসংখ্যাৰ বৰ্গৰ যোগফল $290$। সংখ্যা দুটা বিচাৰা।
উত্তৰঃ ধৰাহওক প্ৰথম বিজোৰ সংখ্যা $x$, দ্বিতীয় $x+2$ য’ত $x$ বিজোৰ।
$x^2 + (x+2)^2 = 290 \Rightarrow 2x^2 + 4x + 4 = 290 \Rightarrow x^2 + 2x – 143 = 0$।
$(x-11)(x+13) = 0 \Rightarrow x = 11$।
সংখ্যা দুটা $11$ আৰু $13$।
সমস্যা ৩। $px^2 – 14x + 8 = 0$-ৰ এটা মূল আনটোৰ ৬ গুণ। $p$-ৰ মান নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ ধৰাহওক মূল দুটা $\alpha$ আৰু $6\alpha$।
যোগফলঃ $7\alpha = \dfrac{14}{p} \Rightarrow \alpha = \dfrac{2}{p}$।
গুণফলঃ $6\alpha^2 = \dfrac{8}{p} \Rightarrow \alpha^2 = \dfrac{4}{3p}$।
$\left(\dfrac{2}{p}\right)^2 = \dfrac{4}{3p} \Rightarrow \dfrac{4}{p^2} = \dfrac{4}{3p} \Rightarrow p = 3$।
সমস্যা ৪। এটা সমদ্বিভুজ ত্ৰিভুজৰ বাহু $b$ চে.মি. আৰু ভূমি $2a$ চে.মি.। উচ্চতা $h$ ৰ সম্পৰ্কঃ $b^2 = h^2 + a^2$। যদি $a = 4$, $b = 5$ হয়, $h$ বিচাৰা।
উত্তৰঃ $h^2 = b^2 – a^2 = 25 – 16 = 9 \Rightarrow h = 3$ চে.মি.।
সমস্যা ৫। $x^2 + kx + 64 = 0$ আৰু $x^2 – 8x + k = 0$ — দুয়োটা সমীকৰণৰ বাস্তৱ মূল থাকিবলৈ $k$-ৰ ধনাত্মক মান বিচাৰা।
উত্তৰঃ প্ৰথমটোৰ বাবেঃ $D_1 = k^2 – 256 \ge 0 \Rightarrow k \ge 16$ (ধনাত্মক)।
দ্বিতীয়টোৰ বাবেঃ $D_2 = 64 – 4k \ge 0 \Rightarrow k \le 16$।
দুয়োটা চৰ্ত একেলগে — $k = 16$।
সমস্যা ৬। $x^2 – (k-3)x + k = 0$-ৰ মূলদ্বয় সমান হ’বলৈ $k$-ৰ মান বিচাৰা।
উত্তৰঃ $D = (k-3)^2 – 4k = 0 \Rightarrow k^2 – 6k + 9 – 4k = 0 \Rightarrow k^2 – 10k + 9 = 0$।
$(k-1)(k-9) = 0 \Rightarrow k = 1$ বা $k = 9$।
সমস্যা ৭। দুজন ছাত্ৰৰ বয়সৰ পাৰ্থক্য $7$ বছৰ আৰু তেওঁলোকৰ বয়সৰ গুণফল $144$। বয়স দুটা বিচাৰা।
উত্তৰঃ ধৰাহওক সৰুজনৰ বয়স $x$, ডাঙৰজনৰ $x+7$।
$x(x+7) = 144 \Rightarrow x^2 + 7x – 144 = 0$।
$D = 49 + 576 = 625$, $\sqrt{D} = 25$। $x = \dfrac{-7 + 25}{2} = 9$।
সৰু $9$ বছৰ, ডাঙৰ $16$ বছৰ।
সমস্যা ৮। যদি $\alpha, \beta$ $x^2 – 6x + 5 = 0$-ৰ মূল হয়, তেন্তে $\dfrac{1}{\alpha} + \dfrac{1}{\beta}$ আৰু $\alpha^2\beta + \alpha\beta^2$ বিচাৰা।
উত্তৰঃ $\alpha + \beta = 6$, $\alpha\beta = 5$।
$\dfrac{1}{\alpha} + \dfrac{1}{\beta} = \dfrac{\alpha + \beta}{\alpha\beta} = \dfrac{6}{5}$।
$\alpha^2\beta + \alpha\beta^2 = \alpha\beta(\alpha + \beta) = 5 \cdot 6 = 30$।
সমস্যা ৯। এজন কৃষকে $400\ \text{m}^2$ ক্ষেত্ৰফলৰ এখন আয়তাকাৰ মাটিত খেতি কৰে। মাটিৰ দৈৰ্ঘ্য প্ৰস্থতকৈ $9$ মিটাৰ বেছি। মাটিৰ মাত্ৰা বিচাৰা।
উত্তৰঃ ধৰাহওক প্ৰস্থ $x$ মিটাৰ, দৈৰ্ঘ্য $(x+9)$ মিটাৰ।
$x(x+9) = 400 \Rightarrow x^2 + 9x – 400 = 0$।
$D = 81 + 1600 = 1681 = 41^2$। $x = \dfrac{-9 + 41}{2} = 16$।
প্ৰস্থ $16$ মিটাৰ, দৈৰ্ঘ্য $25$ মিটাৰ।
সমস্যা ১০। দুটা পাইপে একেলগে এটা টেংকী $12$ মিনিটত ভৰাব পাৰে। যদি এটা পাইপে আনটোতকৈ $10$ মিনিট কম সময় লয়, প্ৰত্যেক পাইপৰ অকলশৰীয়াকৈ লগা সময় বিচাৰা।
উত্তৰঃ ধৰাহওক ডাঙৰ পাইপে $x$ মিনিট ল’য়, সৰুটোৱে $(x+10)$।
$\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x+10} = \dfrac{1}{12} \Rightarrow 12[(x+10) + x] = x(x+10)$।
$\Rightarrow 24x + 120 = x^2 + 10x \Rightarrow x^2 – 14x – 120 = 0$।
$D = 196 + 480 = 676$, $\sqrt{D} = 26$। $x = \dfrac{14+26}{2} = 20$।
ডাঙৰ পাইপে $20$ মিনিট আৰু সৰু পাইপে $30$ মিনিট ল’ব।
পৰীক্ষাৰ সম্ভাৱ্য প্ৰশ্ন (HSLC Exam Pattern Questions)
প্ৰশ্ন ১। দ্বিঘাত সমীকৰণ কাক বোলে? উদাহৰণসহ লিখা।
উত্তৰঃ যদি $a, b, c$ বাস্তৱ সংখ্যা আৰু $a \ne 0$ হয়, তেন্তে $ax^2 + bx + c = 0$ ৰূপৰ সমীকৰণক দ্বিঘাত সমীকৰণ বোলে। ইয়াৰ চলকটোৰ সৰ্বোচ্চ ঘাত ২। উদাহৰণ — $x^2 – 5x + 6 = 0$, $2x^2 + 3x – 5 = 0$।
প্ৰশ্ন ২। মূলৰ যোগফল আৰু গুণফলৰ সম্পৰ্ক প্ৰমাণ কৰা।
উত্তৰঃ ধৰাহওক $\alpha, \beta$ $ax^2 + bx + c = 0$-ৰ মূল। তেতিয়া দ্বিঘাত সূত্ৰৰ পৰা —
$\alpha = \dfrac{-b + \sqrt{b^2-4ac}}{2a},\ \beta = \dfrac{-b – \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$।
যোগফলঃ $\alpha + \beta = \dfrac{-2b}{2a} = -\dfrac{b}{a}$।
গুণফলঃ $\alpha\beta = \dfrac{(-b)^2 – (b^2-4ac)}{4a^2} = \dfrac{4ac}{4a^2} = \dfrac{c}{a}$। (প্ৰমাণিত)
প্ৰশ্ন ৩। বিভেদক কি? ই কি কি কাম কৰে?
উত্তৰঃ $ax^2 + bx + c = 0$ সমীকৰণৰ বিভেদক $D = b^2 – 4ac$। বিভেদকৰ চিহ্ন আৰু মান সমীকৰণৰ মূলৰ প্ৰকৃতি নিৰ্ধাৰণ কৰে। $D > 0$ হ’লে দুটা বেলেগ বাস্তৱ মূল, $D = 0$ হ’লে সমান বাস্তৱ মূল, আৰু $D < 0$ হ’লে কোনো বাস্তৱ মূল নাথাকে।
প্ৰশ্ন ৪। $4x^2 – 2(a^2 + b^2)x + a^2b^2 = 0$ — উৎপাদকীকৰণ পদ্ধতিৰে সমাধান কৰা।
উত্তৰঃ $4x^2 – 2a^2 x – 2b^2 x + a^2 b^2 = 0$।
$\Rightarrow 2x(2x – a^2) – b^2(2x – a^2) = 0 \Rightarrow (2x – a^2)(2x – b^2) = 0$।
গতিকে $x = \dfrac{a^2}{2}$ বা $x = \dfrac{b^2}{2}$।
প্ৰশ্ন ৫। $\dfrac{x+1}{x-1} – \dfrac{x-1}{x+1} = \dfrac{5}{6}$ — সমাধান কৰা ($x \ne \pm 1$)।
উত্তৰঃ বাঁওফালঃ $\dfrac{(x+1)^2 – (x-1)^2}{(x-1)(x+1)} = \dfrac{4x}{x^2 – 1}$।
$\dfrac{4x}{x^2 – 1} = \dfrac{5}{6} \Rightarrow 24x = 5x^2 – 5 \Rightarrow 5x^2 – 24x – 5 = 0$।
$5x^2 – 25x + x – 5 = 0 \Rightarrow 5x(x-5) + 1(x-5) = 0 \Rightarrow (x-5)(5x+1) = 0$।
গতিকে $x = 5$ বা $x = -\dfrac{1}{5}$।
প্ৰশ্ন ৬। দ্বিঘাত সূত্ৰৰ সহায়ত $9x^2 – 9(a+b)x + (2a^2 + 5ab + 2b^2) = 0$-ৰ মূল নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ $A = 9$, $B = -9(a+b)$, $C = 2a^2 + 5ab + 2b^2 = (2a+b)(a+2b)$।
$D = 81(a+b)^2 – 36(2a+b)(a+2b)$।
$(2a+b)(a+2b) = 2a^2 + 4ab + ab + 2b^2 = 2a^2 + 5ab + 2b^2$।
$D = 81(a^2 + 2ab + b^2) – 36(2a^2 + 5ab + 2b^2) = 81a^2 + 162ab + 81b^2 – 72a^2 – 180ab – 72b^2$।
$D = 9a^2 – 18ab + 9b^2 = 9(a-b)^2$, $\sqrt{D} = 3|a-b|$।
$x = \dfrac{9(a+b) \pm 3(a-b)}{18} = \dfrac{3(a+b) \pm (a-b)}{6}$।
গতিকে $x = \dfrac{4a + 2b}{6} = \dfrac{2a+b}{3}$ বা $x = \dfrac{2a + 4b}{6} = \dfrac{a+2b}{3}$।
প্ৰশ্ন ৭। কোনোবা সংখ্যা আৰু ইয়াৰ পাৰস্পৰিকৰ যোগফল $\dfrac{50}{7}$। সংখ্যা বিচাৰা।
উত্তৰঃ ধৰাহওক সংখ্যাটো $x$।
$x + \dfrac{1}{x} = \dfrac{50}{7} \Rightarrow 7x^2 – 50x + 7 = 0$।
$7x^2 – 49x – x + 7 = 0 \Rightarrow 7x(x-7) – 1(x-7) = 0 \Rightarrow (x-7)(7x-1) = 0$।
গতিকে $x = 7$ বা $x = \dfrac{1}{7}$।
প্ৰশ্ন ৮। এখন ৰে’লগাড়ী A বিন্দুৰ পৰা B বিন্দুলৈ $300$ কি.মি. দূৰ। যদি ৰে’লখনৰ গতি $5$ কি.মি./ঘ. বৃদ্ধি পালেহেঁতেন, তেন্তে যাত্ৰাত $2$ ঘণ্টা সময় কম লাগিলেহেঁতেন। ৰে’লখনৰ মূল গতি বিচাৰা।
উত্তৰঃ ধৰাহওক গতি $x$ কি.মি./ঘ.।
$\dfrac{300}{x} – \dfrac{300}{x+5} = 2 \Rightarrow 300(x+5) – 300x = 2x(x+5)$।
$\Rightarrow 1500 = 2x^2 + 10x \Rightarrow x^2 + 5x – 750 = 0$।
$D = 25 + 3000 = 3025 = 55^2$। $x = \dfrac{-5 + 55}{2} = 25$।
গতিকে মূল গতি $25$ কি.মি./ঘ.।
প্ৰশ্ন ৯। কোনোবা সংখ্যাৰ বৰ্গ ই থকা মূল সংখ্যাটোতকৈ $156$ বেছি। সংখ্যাটো বিচাৰা।
উত্তৰঃ ধৰাহওক সংখ্যাটো $x$।
$x^2 = x + 156 \Rightarrow x^2 – x – 156 = 0$।
$D = 1 + 624 = 625$, $\sqrt{D} = 25$। $x = \dfrac{1 \pm 25}{2}$ — গতিকে $x = 13$ বা $x = -12$।
সংখ্যাটো $13$ অথবা $-12$।
প্ৰশ্ন ১০। যদি $-5$ $x^2 + px + q = 0$-ৰ এটা মূল আৰু সমীকৰণটোৰ মূলদ্বয় সমান, তেন্তে $p$ আৰু $q$-ৰ মান বিচাৰা।
উত্তৰঃ মূলদ্বয় সমান $\Rightarrow$ মূল দুয়োটাই $-5$।
সমীকৰণঃ $(x+5)^2 = 0 \Rightarrow x^2 + 10x + 25 = 0$।
গতিকে $p = 10$, $q = 25$।
দ্বিঘাত সমীকৰণৰ ৰূপান্তৰ আৰু চলক প্ৰতিস্থাপন (Substitution Method)
কেতিয়াবা মূল সমীকৰণটো প্ৰথম দৃষ্টিত দ্বিঘাত যেন নালাগে কিন্তু চলক প্ৰতিস্থাপনৰ যোগেদি ইয়াক দ্বিঘাত সমীকৰণৰ ৰূপত আনিব পৰা যায়।
উদাহৰণ। $x^4 – 13x^2 + 36 = 0$ সমাধান কৰা।
উত্তৰঃ ধৰাহওক $y = x^2$। তেতিয়া $y^2 – 13y + 36 = 0$।
$(y-4)(y-9) = 0 \Rightarrow y = 4$ বা $y = 9$।
$x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2$ আৰু $x^2 = 9 \Rightarrow x = \pm 3$।
গতিকে $x = \pm 2,\ \pm 3$।
উদাহৰণ। $\left(\dfrac{x}{x-1}\right)^2 + \dfrac{5x}{x-1} – 6 = 0,\ x \ne 1$ — সমাধান কৰা।
উত্তৰঃ ধৰাহওক $y = \dfrac{x}{x-1}$। তেতিয়া $y^2 + 5y – 6 = 0$।
$(y+6)(y-1) = 0 \Rightarrow y = -6$ বা $y = 1$।
$y = 1$ হ’লে $\dfrac{x}{x-1} = 1 \Rightarrow x = x – 1$ — অসংগত। $y = -6$ হ’লে $\dfrac{x}{x-1} = -6 \Rightarrow x = -6x + 6 \Rightarrow 7x = 6 \Rightarrow x = \dfrac{6}{7}$।
গতিকে $x = \dfrac{6}{7}$।
HSLC Guru-ত ASSEB Class 10 Mathematics-ৰ আন আন অধ্যায়ৰ প্ৰশ্নোত্তৰ আৰু সমাধান উপলব্ধ। আমাৰ ৱেবচাইটত গৈ পৰীক্ষাৰ প্ৰস্তুতি সম্পূৰ্ণ কৰা।