নমস্কাৰ প্ৰিয় শিক্ষাৰ্থী! HSLC GURU-লৈ আপোনাক স্বাগতম। এই পৃষ্ঠাত ASSEB (অসম ৰাজ্যিক বিদ্যালয় শিক্ষা পৰিষদ)-ৰ দশম শ্ৰেণীৰ গণিত (General Mathematics) বিষয়ৰ তৃতীয় অধ্যায় — দুটা চলকত ৰৈখিক সমীকৰণৰ যোৰ (Pair of Linear Equations in Two Variables)-ৰ সম্পূৰ্ণ প্ৰশ্নোত্তৰ, সাৰাংশ, মূল সূত্ৰ, লেখচিত্ৰ আৰু অনুশীলনীৰ (Exercise 3.1, 3.2, 3.3, 3.4, 3.5, 3.6) সমাধান অসমীয়া মাধ্যমত আগবঢ়োৱা হৈছে।

এই অধ্যায়টোৱে নৱম শ্ৰেণীত পঢ়া এটা চলকৰ ৰৈখিক সমীকৰণৰ ধাৰণাটোক সম্প্ৰসাৰিত কৰি দুটা চলকৰ ৰৈখিক সমীকৰণৰ যোৰ (pair) সমাধানৰ চাৰিটা পদ্ধতি — লৈখিক, প্ৰতিস্থাপন, অপনয়ন আৰু বজ্ৰগুণন — পঢ়ুৱায়।

Summary (English): This chapter introduces pairs of linear equations in two variables of the form $a_1 x + b_1 y + c_1 = 0$ and $a_2 x + b_2 y + c_2 = 0$, their geometric meaning as two straight lines (intersecting / parallel / coincident), the algebraic conditions on the ratios $a_1/a_2$, $b_1/b_2$, $c_1/c_2$ that decide whether the system has a unique solution, no solution, or infinitely many solutions. It develops four solution methods — graphical, substitution, elimination, and cross-multiplication — and shows how to reduce certain non-linear systems (with $1/x$, $1/y$, $1/\sqrt{x}$ etc.) to linear form by suitable substitution. The exercises 3.1 to 3.6 cover age, fraction, geometry, distance-speed, rectangle-area, hostel-fee, and digit problems.

অধ্যায়ৰ সাৰাংশ (Chapter Summary)

দুটা চলক $x$ আৰু $y$-ৰ যিকোনো এটা ৰৈখিক সমীকৰণৰ সাধাৰণ ৰূপ হ’ল $ax + by + c = 0$, য’ত $a, b, c$ বাস্তৱ সংখ্যা আৰু $a$ আৰু $b$ একেলগে শূন্য নহয় (অৰ্থাৎ $a^2 + b^2 \ne 0$)। এনে দুটা সমীকৰণ একেলগে লৈ পোৱা যোৰটোকেই দুটা চলকত ৰৈখিক সমীকৰণৰ যোৰ (pair of linear equations in two variables) বোলে।

লৈখিকভাৱে এনে এক সমীকৰণে স্থানাংক তলত এটা সৰলৰেখা প্ৰকাশ কৰে। গতিকে দুটা ৰৈখিক সমীকৰণৰ যোৰে দুটা সৰলৰেখা প্ৰকাশ কৰে। এই দুটা ৰেখাৰ পাৰস্পৰিক অৱস্থানৰ ওপৰত নিৰ্ভৰ কৰি সমীকৰণ যোৰটোৰ সমাধানৰ স্বৰূপ স্থিৰ হয় —

• ছেদী ৰেখা (Intersecting lines): ৰেখা দুটাই কেৱল এটা বিন্দুতহে লগ লাগে — সমীকৰণ যোৰৰ একক সমাধান (unique solution) থাকে। সমীকৰণ যোৰটো সংগতিপূৰ্ণ (consistent)।
• সমান্তৰাল ৰেখা (Parallel lines): ৰেখা দুটা কেতিয়াও লগ নালাগে — সমীকৰণ যোৰৰ কোনো সমাধান নাথাকে। সমীকৰণ যোৰটো অসংগতিপূৰ্ণ (inconsistent)।
• ঐক্যবদ্ধ ৰেখা (Coincident lines): ৰেখা দুটা একেলেথাৰিয়ে মিলি যায় — সমীকৰণ যোৰৰ অসীম সংখ্যক সমাধান থাকে। সমীকৰণ যোৰটো নিৰ্ভৰশীল আৰু সংগতিপূৰ্ণ (dependent & consistent)।

সাধাৰণ ৰূপ ধৰোঁ —

$$a_1 x + b_1 y + c_1 = 0$$

$$a_2 x + b_2 y + c_2 = 0$$

সমাধানৰ সংগতি চৰ্ত (Conditions for Consistency)

অনুপাতৰ চৰ্ত	লৈখিক উপস্থাপন	বীজগণিতীয় ব্যাখ্যা	সমাধানৰ সংখ্যা
$\dfrac{a_1}{a_2} \ne \dfrac{b_1}{b_2}$	ছেদী ৰেখা	সংগতিপূৰ্ণ	একক সমাধান
$\dfrac{a_1}{a_2} = \dfrac{b_1}{b_2} \ne \dfrac{c_1}{c_2}$	সমান্তৰাল ৰেখা	অসংগতিপূৰ্ণ	কোনো সমাধান নাই
$\dfrac{a_1}{a_2} = \dfrac{b_1}{b_2} = \dfrac{c_1}{c_2}$	ঐক্যবদ্ধ ৰেখা	নিৰ্ভৰশীল ও সংগতিপূৰ্ণ	অসীম সমাধান

তিনিটা লৈখিক স্থিতি (Three Graphical Cases)

চিত্ৰ ১: ছেদী ৰেখা — একক সমাধান।

চিত্ৰ ২: সমান্তৰাল ৰেখা — কোনো সমাধান নাই।

চিত্ৰ ৩: ঐক্যবদ্ধ ৰেখা — অসীম সমাধান।

মূল সূত্ৰ (Key Formulae)

১। প্ৰতিস্থাপন পদ্ধতি (Substitution method): এটা সমীকৰণৰ পৰা $y$ (বা $x$)-ৰ মান অন্য চলকৰ ৰূপত প্ৰকাশ কৰি দ্বিতীয় সমীকৰণত প্ৰতিস্থাপন কৰা হয়।

২। অপনয়ন পদ্ধতি (Elimination method): উপযুক্ত সংখ্যাৰে দুয়োটা সমীকৰণ গুণ কৰি যোগ বা বিয়োগৰ যোগেদি এটা চলক আঁতৰোৱা হয়।

৩। বজ্ৰগুণন পদ্ধতি (Cross-multiplication method): $a_1 x + b_1 y + c_1 = 0$, $a_2 x + b_2 y + c_2 = 0$-ৰ বাবে —

$$\frac{x}{b_1 c_2 – b_2 c_1} = \frac{y}{c_1 a_2 – c_2 a_1} = \frac{1}{a_1 b_2 – a_2 b_1}$$

য’ত $a_1 b_2 – a_2 b_1 \ne 0$।

অনুশীলনী 3.1 (Exercise 3.1)

প্ৰশ্ন ১। আফতাবে তেওঁৰ জীয়েকক ক’লে — “সাত বছৰ আগতে মই তোমাতকৈ সাত গুণ বেছি বয়সৰ আছিলোঁ। আকৌ তিনি বছৰৰ পাছত মই তোমাতকৈ মাত্ৰ তিনি গুণ বেছি বয়সৰ হ’ম।” পৰিস্থিতিটোক বীজগণিতীয় আৰু লৈখিকভাৱে প্ৰকাশ কৰা।

উত্তৰঃ জীয়েকৰ বৰ্তমান বয়স $x$ বছৰ আৰু আফতাবৰ বৰ্তমান বয়স $y$ বছৰ ধৰোঁ। সাত বছৰ আগৰ চৰ্তঃ $y – 7 = 7(x – 7)$ অৰ্থাৎ $7x – y = 42$। তিনি বছৰ পাছৰ চৰ্তঃ $y + 3 = 3(x + 3)$ অৰ্থাৎ $3x – y = -6$।

লৈখিকভাৱে এই দুটা সমীকৰণৰ পৰা পোৱা ৰেখা দুটাই বিন্দু $(12, 42)$-ত ছেদ কৰে। গতিকে জীয়েকৰ বয়স $12$ বছৰ আৰু আফতাবৰ বয়স $42$ বছৰ।

প্ৰশ্ন ২। ক্ৰিকেট দলৰ কোচে ৩ বেট আৰু ৬ বল কিনিলে ৩৯০০ টকা দিলে। পাছত তেওঁ ১ বেট আৰু ৩ বল কিনিলে ১৩০০ টকা দিলে। বেট আৰু বলৰ মূল্য বীজগণিতীয় ও লৈখিকভাৱে প্ৰকাশ কৰা।

উত্তৰঃ ১খন বেটৰ মূল্য $x$ টকা ও ১টা বলৰ মূল্য $y$ টকা ধৰোঁ। তেতিয়া —

$$3x + 6y = 3900$$

$$x + 3y = 1300$$

প্ৰথম সমীকৰণটোক $3$ৰে ভাগ কৰিলে $x + 2y = 1300$ পোৱা যায়। দ্বিতীয়টোৱে দিয়ে $x + 3y = 1300$। দুটা ৰেখাই ছেদ বিন্দুত $x = 1300, y = 0$ দিয়ে; অৰ্থাৎ ১খন বেটৰ মূল্য $1300$ টকা।

প্ৰশ্ন ৩। ২ কেজি আপেল আৰু ১ কেজি আঙুৰৰ মূল্য ১৬০ টকা। এমাহ পাছত ৪ কেজি আপেল আৰু ২ কেজি আঙুৰৰ মূল্য ৩০০ টকা। পৰিস্থিতিটো বীজগণিতীয়ভাৱে আৰু লৈখিকভাৱে প্ৰকাশ কৰা।

উত্তৰঃ ১ কেজি আপেলৰ দাম $x$ টকা, ১ কেজি আঙুৰৰ দাম $y$ টকা ধৰোঁ। তেতিয়া —

$$2x + y = 160 \quad ; \quad 4x + 2y = 300$$

লৈখিক বিন্দু লৈ অংকন কৰিলে দেখা যায় ৰেখা দুটা সমান্তৰাল। $\dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2} \ne \dfrac{160}{300}$। গতিকে এই সমীকৰণ যোৰৰ কোনো সমাধান নাই (অসংগতিপূৰ্ণ)।

প্ৰশ্ন ৩ (অতিৰিক্ত)। ১০ জন ছাত্ৰৰ এটা দলৰ ছাত্ৰীৰ সংখ্যা ছাত্ৰৰ সংখ্যাতকৈ ৪ বেছি বুলি কৈছে; এই পৰিস্থিতিটো বীজগণিতীয়ভাৱে আৰু লৈখিকভাৱে দেখুৱাওঁ।

উত্তৰঃ ছাত্ৰৰ সংখ্যা $x$, ছাত্ৰীৰ সংখ্যা $y$ ধৰিলে $x + y = 10$ আৰু $y = x + 4$ অৰ্থাৎ $x – y + 4 = 0$ পোৱা যায়। প্ৰথম সমীকৰণৰ বিন্দু $(0, 10), (5, 5), (10, 0)$ আৰু দ্বিতীয়টোৰ বিন্দু $(-4, 0), (0, 4), (3, 7)$ লৈ লেখচিত্ৰ আঁকিলে দুয়োটা ৰেখাই বিন্দু $(3, 7)$-ত ছেদ কৰে। অৰ্থাৎ ছাত্ৰ $3$ জন আৰু ছাত্ৰী $7$ গৰাকী।

অনুশীলনী 3.2 (Exercise 3.2 — লৈখিক পদ্ধতি)

প্ৰশ্ন ১(i)। ১০ জন ছাত্ৰছাত্ৰীয়ে এটা গণিতৰ কুইজত অংশ ল’লে। ছাত্ৰীৰ সংখ্যা ছাত্ৰৰ সংখ্যাতকৈ ৪ বেছি। ছাত্ৰ আৰু ছাত্ৰীৰ সংখ্যা উলিওৱা।

উত্তৰঃ ছাত্ৰৰ সংখ্যা $x$, ছাত্ৰীৰ সংখ্যা $y$ ধৰোঁ। তেতিয়া $x + y = 10$ আৰু $y – x = 4$। যোগ কৰিলে $2y = 14 \Rightarrow y = 7$। সেয়ে $x = 3$। অৰ্থাৎ ছাত্ৰ $3$ জন, ছাত্ৰী $7$ গৰাকী।

প্ৰশ্ন ১(ii)। ৫টা পেঞ্চিল আৰু ৭টা কলমৰ মুঠ মূল্য ৫০ টকা। ৭টা পেঞ্চিল আৰু ৫টা কলমৰ মুঠ মূল্য ৪৬ টকা। প্ৰতিটো পেঞ্চিল ও প্ৰতিটো কলমৰ মূল্য নিৰ্ণয় কৰা।

উত্তৰঃ $5x + 7y = 50$, $7x + 5y = 46$। যোগ আৰু বিয়োগৰ যোগেদি $x = 3, y = 5$ পোৱা যায়। অৰ্থাৎ ১টা পেঞ্চিল $3$ টকা, ১টা কলম $5$ টকা।

প্ৰশ্ন ২। তলৰ ৰৈখিক সমীকৰণৰ যোৰসমূহ অনুপাত $\dfrac{a_1}{a_2}, \dfrac{b_1}{b_2}, \dfrac{c_1}{c_2}$ তুলনা কৰি ৰেখা যোৰটো ছেদী, সমান্তৰাল নে ঐক্যবদ্ধ স্থিৰ কৰা।

উত্তৰঃ

সমীকৰণ যোৰ	$\dfrac{a_1}{a_2}$	$\dfrac{b_1}{b_2}$	$\dfrac{c_1}{c_2}$	সিদ্ধান্ত
$5x – 4y + 8 = 0$, $7x + 6y – 9 = 0$	$5/7$	$-4/6$	—	ছেদী
$9x + 3y + 12 = 0$, $18x + 6y + 24 = 0$	$1/2$	$1/2$	$1/2$	ঐক্যবদ্ধ
$6x – 3y + 10 = 0$, $2x – y + 9 = 0$	$3$	$3$	$10/9$	সমান্তৰাল

প্ৰশ্ন ৩। তলৰ যোৰসমূহ সংগতিপূৰ্ণ নে অসংগতিপূৰ্ণ স্থিৰ কৰাঃ

(i) $3x + 2y = 5$, $2x – 3y = 7$ — $\dfrac{3}{2} \ne \dfrac{2}{-3}$, সংগতিপূৰ্ণ।
(ii) $2x – 3y = 8$, $4x – 6y = 9$ — $\dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2} \ne \dfrac{8}{9}$, অসংগতিপূৰ্ণ।
(iii) $\dfrac{3}{2}x + \dfrac{5}{3}y = 7$, $9x – 10y = 14$ — $\dfrac{3/2}{9} = \dfrac{1}{6}, \dfrac{5/3}{-10} = -\dfrac{1}{6}$ অসমান, সংগতিপূৰ্ণ।
(iv) $5x – 3y = 11$, $-10x + 6y = -22$ — তিনিও অনুপাত সমান, সংগতিপূৰ্ণ আৰু নিৰ্ভৰশীল।

প্ৰশ্ন ৪। তলৰ যোৰসমূহ লৈখিকভাৱে সমাধান কৰাঃ

(i) $x + y = 5$, $2x + 2y = 10$।

উত্তৰঃ দ্বিতীয় সমীকৰণটো প্ৰথমটোৰ দুগুণ — তিনিও অনুপাত $\dfrac{1}{2}$ সমান। ৰেখা দুটা ঐক্যবদ্ধ; অসীম সমাধান।

(ii) $x – y = 8$, $3x – 3y = 16$।

উত্তৰঃ $\dfrac{1}{3} = \dfrac{-1}{-3} \ne \dfrac{-8}{-16}$, ৰেখা দুটা সমান্তৰাল, কোনো সমাধান নাই।

(iii) $2x + y – 6 = 0$, $4x – 2y – 4 = 0$।

উত্তৰঃ $\dfrac{2}{4} \ne \dfrac{1}{-2}$, একক সমাধান। প্ৰথমৰ পৰা $y = 6 – 2x$; দ্বিতীয়ত প্ৰতিস্থাপনঃ $4x – 2(6 – 2x) – 4 = 0 \Rightarrow 8x = 16 \Rightarrow x = 2, y = 2$।

(iv) $2x – 2y – 2 = 0$, $4x – 4y – 5 = 0$।

উত্তৰঃ $\dfrac{2}{4} = \dfrac{-2}{-4} \ne \dfrac{-2}{-5}$, ৰেখা দুটা সমান্তৰাল, কোনো সমাধান নাই।

প্ৰশ্ন ৫। এটা আয়তক্ষেত্ৰৰ বাগিচাৰ অৰ্ধ-পৰিসীমা $36$ মিটাৰ। ইয়াৰ দৈৰ্ঘ্য প্ৰস্থতকৈ $4$ মিটাৰ বেছি। দৈৰ্ঘ্য আৰু প্ৰস্থ লৈখিকভাৱে উলিওৱা।

উত্তৰঃ দৈৰ্ঘ্য $x$, প্ৰস্থ $y$ ধৰোঁ। $x + y = 36$ আৰু $x – y = 4$। যোগ কৰি $2x = 40 \Rightarrow x = 20, y = 16$। সেয়ে দৈৰ্ঘ্য $20$ মিটাৰ আৰু প্ৰস্থ $16$ মিটাৰ।

প্ৰশ্ন ৬। ৰৈখিক সমীকৰণ $2x + 3y – 8 = 0$ দিয়া আছে; ইয়াৰ লগত আন এটা ৰৈখিক সমীকৰণ লিখা যাতে দুটা ৰেখাই (i) ছেদী, (ii) সমান্তৰাল, (iii) ঐক্যবদ্ধ হয়।

উত্তৰঃ

• (i) ছেদী হ’বলৈ $\dfrac{a_1}{a_2} \ne \dfrac{b_1}{b_2}$ লাগে। উদাহৰণঃ $3x – 2y – 5 = 0$।
• (ii) সমান্তৰাল হ’বলৈ $\dfrac{a_1}{a_2} = \dfrac{b_1}{b_2} \ne \dfrac{c_1}{c_2}$ লাগে। উদাহৰণঃ $4x + 6y – 10 = 0$।
• (iii) ঐক্যবদ্ধ হ’বলৈ তিনিও অনুপাত সমান হ’ব লাগে। উদাহৰণঃ $4x + 6y – 16 = 0$।

অনুশীলনী 3.3 (Exercise 3.3 — প্ৰতিস্থাপন পদ্ধতি)

প্ৰশ্ন ১। প্ৰতিস্থাপন পদ্ধতিৰে সমাধান কৰাঃ $x + y = 14$, $x – y = 4$।

উত্তৰঃ প্ৰথম সমীকৰণৰ পৰা $x = 14 – y$। দ্বিতীয়ত প্ৰতিস্থাপন কৰি $14 – y – y = 4 \Rightarrow 2y = 10 \Rightarrow y = 5$। সেয়ে $x = 9$।

$$x = 9, \quad y = 5$$

প্ৰশ্ন ২। $s – t = 3$, $\dfrac{s}{3} + \dfrac{t}{2} = 6$ — সমাধান কৰা।

উত্তৰঃ $s = t + 3$ প্ৰতিস্থাপনঃ $\dfrac{t+3}{3} + \dfrac{t}{2} = 6 \Rightarrow 2(t+3) + 3t = 36 \Rightarrow 5t = 30 \Rightarrow t = 6$। সেয়ে $s = 9$।

প্ৰশ্ন ৩। $2x + 3y = 11$ আৰু $2x – 4y = -24$ সমাধান কৰা; তাৰ পাছত $y = mx + 3$-ত $m$ৰ মান নিৰ্ণয় কৰা।

উত্তৰঃ দুয়োটা সমীকৰণ বিয়োগ কৰিলে $7y = 35 \Rightarrow y = 5$। তেতিয়া $2x = 11 – 15 = -4 \Rightarrow x = -2$। $y = mx + 3$-ত মান বহুৱালে $5 = -2m + 3 \Rightarrow m = -1$।

প্ৰশ্ন ৪(i)। দুটা সংখ্যাৰ অন্তৰ ২৬ আৰু এটা সংখ্যা আনটোতকৈ তিনিগুণ — সংখ্যা দুটা উলিওৱা।

উত্তৰঃ ডাঙৰ সংখ্যা $x$, সৰু সংখ্যা $y$ ধৰোঁ। তেতিয়া $x – y = 26$ আৰু $x = 3y$। প্ৰতিস্থাপনঃ $3y – y = 26 \Rightarrow y = 13, x = 39$। সংখ্যা দুটা $13$ আৰু $39$।

প্ৰশ্ন ৪(ii)। দুটা পৰিপূৰক কোণৰ ভিতৰত ডাঙৰ কোণটো সৰু কোণটোতকৈ ১৮° বেছি — কোণ দুটা উলিওৱা।

উত্তৰঃ $x + y = 180°$, $x – y = 18°$। যোগ কৰি $2x = 198 \Rightarrow x = 99°$; সেয়ে $y = 81°$।

প্ৰশ্ন ৪(iii)। ক্ৰিকেট দলৰ কোচে ৭টা বেট আৰু ৬টা বল কিনি ৩৮০০ টকা দিলে। আকৌ ৩টা বেট আৰু ৫টা বল কিনি ১৭৫০ টকা দিলে। বেট আৰু বলৰ মূল্য নিৰ্ণয় কৰা।

উত্তৰঃ $7x + 6y = 3800$, $3x + 5y = 1750$। সমাধানৰ পাছত $x = 500, y = 50$। অৰ্থাৎ ১খন বেটৰ মূল্য $500$ টকা আৰু ১টা বলৰ মূল্য $50$ টকা।

প্ৰশ্ন ৪(iv)। এটা চহৰৰ টেক্সিৰ ভাড়াৰ এটা স্থিৰ ভাড়া আৰু বাকীটো প্ৰতি কিলোমিটাৰৰ হিচাপত। ১০ কিমিৰ বাবে $105$ টকা আৰু ১৫ কিমিৰ বাবে $155$ টকা দিব লগা হয়। স্থিৰ ভাড়া আৰু প্ৰতি কিমিৰ ভাড়া উলিওৱা। ২৫ কিমি যাত্ৰাৰ ভাড়া কিমান হ’ব?

উত্তৰঃ স্থিৰ ভাড়া $x$ টকা, প্ৰতি কিমিৰ ভাড়া $y$ টকা। $x + 10y = 105$, $x + 15y = 155$। বিয়োগ কৰিঃ $5y = 50 \Rightarrow y = 10$, $x = 5$। গতিকে স্থিৰ ভাড়া $5$ টকা, প্ৰতি কিমিৰ $10$ টকা। ২৫ কিমিৰ মুঠ ভাড়া $= 5 + 25 \times 10 = 255$ টকা।

প্ৰশ্ন ৪(v)। কোনো এটা ভগ্নাংশৰ লব আৰু হৰৰ লগত $2$ যোগ কৰিলে ভগ্নাংশটো $\dfrac{9}{11}$ হয়। আৰু লব আৰু হৰৰ লগত $3$ যোগ কৰিলে ভগ্নাংশটো $\dfrac{5}{6}$ হয়। ভগ্নাংশটো উলিওৱা।

উত্তৰঃ ভগ্নাংশটো $\dfrac{x}{y}$ ধৰোঁ। তেতিয়া $\dfrac{x+2}{y+2} = \dfrac{9}{11}$ অৰ্থাৎ $11x – 9y = -4$, আৰু $\dfrac{x+3}{y+3} = \dfrac{5}{6}$ অৰ্থাৎ $6x – 5y = -3$। সমাধান কৰিলে $x = 7, y = 9$। ভগ্নাংশটো $\dfrac{7}{9}$।

প্ৰশ্ন ৪(vi)। পাঁচ বছৰৰ পাছত যাকোবৰ বয়স তেওঁৰ পুত্ৰৰ বয়সতকৈ তিনি গুণ হ’ব। পাঁচ বছৰ আগতে যাকোবৰ বয়স তেওঁৰ পুত্ৰৰ বয়সৰ সাত গুণ আছিল। তেওঁলোকৰ বৰ্তমান বয়স উলিওৱা।

উত্তৰঃ যাকোবৰ বয়স $x$, পুত্ৰৰ বয়স $y$। $x + 5 = 3(y + 5)$ অৰ্থাৎ $x – 3y = 10$। $x – 5 = 7(y – 5)$ অৰ্থাৎ $x – 7y = -30$। বিয়োগ কৰি $4y = 40 \Rightarrow y = 10$; $x = 40$। অৰ্থাৎ যাকোবৰ বয়স $40$ বছৰ, পুত্ৰৰ বয়স $10$ বছৰ।

প্ৰশ্ন ৫(i)। প্ৰতিস্থাপন পদ্ধতিৰে সমাধান কৰাঃ $0.2x + 0.3y = 1.3$, $0.4x + 0.5y = 2.3$।

উত্তৰঃ $10$ৰে গুণ কৰি $2x + 3y = 13$ আৰু $4x + 5y = 23$ পোৱা যায়। প্ৰথম সমীকৰণৰ পৰা $y = \dfrac{13 – 2x}{3}$। দ্বিতীয়ত প্ৰতিস্থাপন কৰিঃ $4x + 5 \cdot \dfrac{13 – 2x}{3} = 23 \Rightarrow 12x + 65 – 10x = 69 \Rightarrow 2x = 4 \Rightarrow x = 2$। তেতিয়া $y = \dfrac{13 – 4}{3} = 3$।

প্ৰশ্ন ৫(ii)। $\sqrt{2}\, x + \sqrt{3}\, y = 0$, $\sqrt{3}\, x – \sqrt{8}\, y = 0$।

উত্তৰঃ প্ৰথম সমীকৰণৰ পৰা $x = -\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\, y$। দ্বিতীয়ত বহুৱালেঃ $\sqrt{3} \cdot \left(-\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\, y\right) – \sqrt{8}\, y = 0 \Rightarrow -\dfrac{3}{\sqrt{2}}\, y – 2\sqrt{2}\, y = 0$। গুণ কৰি $-3y – 4y = 0 \Rightarrow y = 0$। গতিকে $x = 0$।

প্ৰশ্ন ৫(iii)। $\dfrac{3x}{2} – \dfrac{5y}{3} = -2$, $\dfrac{x}{3} + \dfrac{y}{2} = \dfrac{13}{6}$।

উত্তৰঃ ৬ৰে গুণ কৰিঃ $9x – 10y = -12$ আৰু $2x + 3y = 13$। দ্বিতীয়ৰ পৰা $x = \dfrac{13 – 3y}{2}$। প্ৰথমত প্ৰতিস্থাপনঃ $9 \cdot \dfrac{13 – 3y}{2} – 10y = -12 \Rightarrow 117 – 27y – 20y = -24 \Rightarrow 47y = 141 \Rightarrow y = 3$। সেয়ে $x = 2$।

অনুশীলনী 3.4 (Exercise 3.4 — অপনয়ন আৰু প্ৰতিস্থাপন পদ্ধতি)

প্ৰশ্ন ১(i)। অপনয়ন পদ্ধতি প্ৰয়োগ কৰি সমাধান কৰাঃ $x + y = 5$, $2x – 3y = 4$।

উত্তৰঃ প্ৰথম সমীকৰণক $3$ৰে গুণ কৰি যোগ কৰিলে $5x = 19 \Rightarrow x = \dfrac{19}{5}$। তেতিয়া $y = 5 – \dfrac{19}{5} = \dfrac{6}{5}$।

প্ৰশ্ন ১(ii)। $3x + 4y = 10$, $2x – 2y = 2$।

উত্তৰঃ দ্বিতীয় সমীকৰণক $2$ৰে গুণ কৰি যোগ কৰিলে $7x = 14 \Rightarrow x = 2$। সেয়ে $y = 1$।

প্ৰশ্ন ১(iii)। $3x – 5y – 4 = 0$, $9x = 2y + 7$।

উত্তৰঃ $3x – 5y = 4$ আৰু $9x – 2y = 7$। প্ৰথমটোক $3$ৰে গুণ কৰি বিয়োগ কৰিলে $-13y = 5 \Rightarrow y = -\dfrac{5}{13}$, $x = \dfrac{9}{13}$।

প্ৰশ্ন ১(iv)। $\dfrac{x}{2} + \dfrac{2y}{3} = -1$, $x – \dfrac{y}{3} = 3$।

উত্তৰঃ $6$ৰে গুণ কৰি $3x + 4y = -6$; $3$ৰে গুণ কৰি $3x – y = 9$। বিয়োগৰ পাছত $5y = -15 \Rightarrow y = -3$, $x = 2$।

প্ৰশ্ন ২(i)। যদি কোনো ভগ্নাংশৰ লবৰ লগত $1$ যোগ কৰা হয় আৰু হৰৰ পৰা $1$ বিয়োগ কৰা হয় তেন্তে ভগ্নাংশটো $1$ হয়। আৰু যদি লবৰ লগত $1$ যোগ কৰা হয় তেতিয়া ভগ্নাংশটো $\dfrac{1}{2}$ হয়। ভগ্নাংশটো কি?

উত্তৰঃ $\dfrac{x+1}{y-1} = 1 \Rightarrow x – y = -2$, $\dfrac{x}{y+1} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow 2x – y = 1$। বিয়োগ কৰি $x = 3, y = 5$। ভগ্নাংশটো $\dfrac{3}{5}$।

প্ৰশ্ন ২(ii)। পাঁচ বছৰ আগতে নুৰ চুনুৰ বয়সৰ তিনি গুণ আছিল। দহ বছৰৰ পাছত নুৰৰ বয়স চুনুৰ বয়সৰ দুগুণ হ’ব। বৰ্তমান বয়স উলিওৱা।

উত্তৰঃ $x – 5 = 3(y – 5)$ আৰু $x + 10 = 2(y + 10)$। অৰ্থাৎ $x – 3y = -10$ আৰু $x – 2y = 10$। বিয়োগ কৰি $y = 20, x = 50$। নুৰৰ বয়স $50$ বছৰ, চুনুৰ বয়স $20$ বছৰ।

প্ৰশ্ন ২(iii)। দুই-অংকৰ সংখ্যা এটাৰ অংক দুটাৰ যোগফল $9$। আকৌ সংখ্যাটোৰ ৯ গুণে সংখ্যাটোৰ অংক দুটা ওলোটাকৈ লিখা সংখ্যাটোৰ ২ গুণৰ সমান। সংখ্যাটো কি?

উত্তৰঃ অংক দুটা $x$ (দশক) আৰু $y$ (এক) ধৰোঁ। সংখ্যাটো $10x + y$। চৰ্ত — $x + y = 9$ আৰু $9(10x + y) = 2(10y + x)$ অৰ্থাৎ $88x – 11y = 0 \Rightarrow 8x = y$। প্ৰতিস্থাপনঃ $x + 8x = 9 \Rightarrow x = 1, y = 8$। সংখ্যাটো $18$।

প্ৰশ্ন ২(iv)। মীনাই ব্যাংকৰ পৰা $2000$ টকা ATM-ৰ যোগেদি লব বিচাৰিছিল। তেওঁ নথে $50$ টকা আৰু $100$ টকা মূল্যৰ মুঠ $25$টা নথ পালে। প্ৰতিটো মূল্যৰ নথৰ সংখ্যা উলিওৱা।

উত্তৰঃ $50$ টকাৰ নথ $x$টা, $100$ টকাৰ নথ $y$টা। $x + y = 25$, $50x + 100y = 2000$। অৰ্থাৎ $x + 2y = 40$। বিয়োগ কৰি $y = 15, x = 10$।

প্ৰশ্ন ২(v)। এক লাইব্ৰেৰীত প্ৰথম তিনি দিনৰ বাবে এটা স্থিৰ ভাড়া আছে আৰু তাৰ পাছত প্ৰতি দিনৰ বাবে অতিৰিক্ত মাচুল ধাৰ্য কৰা হয়। শাহ্ৰুখায় $7$ দিনৰ বাবে $27$ টকা আৰু সুজাতাই $5$ দিনৰ বাবে $21$ টকা দিলে। স্থিৰ ভাড়া আৰু প্ৰতি দিনৰ অতিৰিক্ত মাচুল উলিওৱা।

উত্তৰঃ স্থিৰ ভাড়া $x$ টকা, প্ৰতি অতিৰিক্ত দিনৰ মাচুল $y$ টকা। $x + 4y = 27$, $x + 2y = 21$। বিয়োগ কৰি $2y = 6 \Rightarrow y = 3$, $x = 15$।

প্ৰশ্ন ৩। অপনয়ন পদ্ধতিৰে নিম্নলিখিত যোৰটো সমাধান কৰাঃ $x + y = 7$, $5x + 12y = 7$।

উত্তৰঃ প্ৰথম সমীকৰণটোক $5$ৰে গুণ কৰি বিয়োগঃ $5x + 5y – (5x + 12y) = 35 – 7 \Rightarrow -7y = 28 \Rightarrow y = -4$। সেয়ে $x = 11$।

প্ৰশ্ন ৪। অপনয়ন পদ্ধতিৰে $\dfrac{x}{10} + \dfrac{y}{5} – 1 = 0$, $\dfrac{x}{8} + \dfrac{y}{6} = 15$ সমাধান কৰা।

উত্তৰঃ $10$ আৰু $24$ৰে যথাক্ৰমে গুণ কৰিঃ $x + 2y = 10$ আৰু $3x + 4y = 360$। প্ৰথমটোক $2$ৰে গুণ কৰি বিয়োগঃ $3x + 4y – 2x – 4y = 360 – 20 \Rightarrow x = 340 – ?$। শুদ্ধ গণনা — $x + 2y = 10$ৰ পৰা $x = 10 – 2y$। দ্বিতীয়ত বহুৱালেঃ $3(10 – 2y) + 4y = 360 \Rightarrow 30 – 2y = 360 \Rightarrow y = -165, x = 340$।

অনুশীলনী 3.5 (Exercise 3.5 — বজ্ৰগুণন পদ্ধতি)

প্ৰশ্ন ১। তলৰ ৰৈখিক সমীকৰণৰ যোৰসমূহৰ একক সমাধান, কোনো সমাধান নাই নে অসীম সমাধান আছে স্থিৰ কৰা; একক সমাধান থাকিলে বজ্ৰগুণন পদ্ধতিৰে নিৰ্ণয় কৰা।

(i) $x – 3y – 3 = 0$, $3x – 9y – 2 = 0$ — $\dfrac{1}{3} = \dfrac{-3}{-9} \ne \dfrac{-3}{-2}$, গতিকে কোনো সমাধান নাই।

(ii) $2x + y = 5$, $3x + 2y = 8$ — $\dfrac{2}{3} \ne \dfrac{1}{2}$, একক সমাধান। বজ্ৰগুণন প্ৰয়োগঃ

$$\frac{x}{1\cdot(-8) – 2\cdot(-5)} = \frac{y}{(-5)\cdot 3 – (-8)\cdot 2} = \frac{1}{2\cdot 2 – 3\cdot 1}$$

$\dfrac{x}{2} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{1}{1}$, গতিকে $x = 2, y = 1$।

(iii) $3x – 5y = 20$, $6x – 10y = 40$ — তিনিও অনুপাত সমান, অসীম সমাধান।

(iv) $x – 3y – 7 = 0$, $3x – 3y – 15 = 0$ — $\dfrac{1}{3} \ne \dfrac{-3}{-3}$, একক সমাধান। বজ্ৰগুণন কৰি $x = 4, y = -1$।

প্ৰশ্ন ২(i)। কেৱল কোন কোন মূল্যৰ বাবে $2x + 3y = 7$ আৰু $(a – b)x + (a + b)y = 3a + b – 2$ সমীকৰণ যোৰৰ অসীম সমাধান থাকিব?

উত্তৰঃ অসীম সমাধান হ’বলৈ $\dfrac{2}{a-b} = \dfrac{3}{a+b} = \dfrac{7}{3a+b-2}$। প্ৰথম দুটাৰ পৰা $a = 5b$। তৃতীয়টোৰ পৰা $a – 5b – 2 = ?$ বিচাৰি গণনা কৰিলে $a = 5, b = 1$।

প্ৰশ্ন ২(ii)। $k$ৰ কোন মানৰ বাবে $3x + y = 1$ আৰু $(2k – 1)x + (k – 1)y = 2k + 1$ সমীকৰণ যোৰৰ কোনো সমাধান নাই?

উত্তৰঃ $\dfrac{3}{2k-1} = \dfrac{1}{k-1} \ne \dfrac{-1}{2k+1}$ হ’ব লাগে। প্ৰথম সমান চৰ্তৰ পৰা $3(k-1) = 2k – 1 \Rightarrow k = 2$।

প্ৰশ্ন ৩। প্ৰতিস্থাপন আৰু বজ্ৰগুণন পদ্ধতিৰে $8x + 5y = 9$, $3x + 2y = 4$ সমাধান কৰা।

উত্তৰঃ বজ্ৰগুণনঃ

$$\frac{x}{5\cdot(-4) – 2\cdot(-9)} = \frac{y}{(-9)\cdot 3 – (-4)\cdot 8} = \frac{1}{8\cdot 2 – 3\cdot 5}$$

$\dfrac{x}{-2} = \dfrac{y}{5} = \dfrac{1}{1}$, গতিকে $x = -2, y = 5$।

প্ৰশ্ন ৪(i)। ছাত্ৰাবাসৰ মাহিলী খৰচৰ এটা স্থিৰ অংশ আৰু বাকীটো খাদ্যৰ ওপৰত নিৰ্ভৰশীল। এজন ছাত্ৰই $20$ দিনৰ বাবে $1000$ টকা আৰু আনজনৰ $26$ দিনৰ বাবে $1180$ টকা দিলে। স্থিৰ মাচুল আৰু প্ৰতি দিনৰ খাদ্য খৰচ উলিওৱা।

উত্তৰঃ $x + 20y = 1000$, $x + 26y = 1180$। বিয়োগ কৰি $6y = 180 \Rightarrow y = 30, x = 400$। স্থিৰ মাচুল $400$ টকা, প্ৰতি দিনৰ খাদ্য খৰচ $30$ টকা।

প্ৰশ্ন ৪(ii)। এটা ভগ্নাংশৰ লবৰ পৰা $1$ বিয়োগ কৰিলে ভগ্নাংশটো $\dfrac{1}{3}$ হয়। হৰৰ লগত $8$ যোগ কৰিলে ভগ্নাংশটো $\dfrac{1}{4}$ হয়। ভগ্নাংশটো কি?

উত্তৰঃ $\dfrac{x-1}{y} = \dfrac{1}{3}$, $\dfrac{x}{y+8} = \dfrac{1}{4}$। অৰ্থাৎ $3x – y = 3$ আৰু $4x – y = 8$। বিয়োগ কৰি $x = 5, y = 12$। ভগ্নাংশটো $\dfrac{5}{12}$।

প্ৰশ্ন ৪(iii)। ১০০ নম্বৰৰ পৰীক্ষা এটাত প্ৰতিটো শুদ্ধ উত্তৰৰ বাবে যশই $3$ নম্বৰ আৰু প্ৰতি ভুল উত্তৰৰ বাবে $1$ নম্বৰ কাটি পালে। যদি প্ৰতি শুদ্ধ উত্তৰত $4$ নম্বৰ আৰু প্ৰতি ভুলত $2$ নম্বৰ কাটি লগা হ’লহেঁতেন তেওঁ $50$ নম্বৰ পালেহেঁতেন। যশই কিমানটা প্ৰশ্নৰ উত্তৰ শুদ্ধ দিছিল?

উত্তৰঃ শুদ্ধ উত্তৰ $x$, ভুল উত্তৰ $y$ ধৰোঁ। $3x – y = 40$, $4x – 2y = 50$ অৰ্থাৎ $2x – y = 25$। বিয়োগৰ পাছত $x = 15, y = 5$। যশই $15$টা প্ৰশ্নৰ শুদ্ধ উত্তৰ দিছিল।

প্ৰশ্ন ৪(iv)। দুটা ঠাইৰ মাজত $A$ আৰু $B$-ৰ পৰা একে সময়তে দুখন গাড়ী চলিছে। যদি একে দিশত গৈ থাকে তেন্তে $5$ ঘণ্টাত লগ হয়; যদি বিপৰীত দিশত আহে তেন্তে $1$ ঘণ্টাতে লগ হয়। গাড়ী দুখনৰ বেগ উলিওৱা যদি দুটা ঠাইৰ মাজৰ দূৰত্ব $100$ কিমি।

উত্তৰঃ বেগ $u$ ও $v$ ধৰোঁ ($u > v$)। একে দিশঃ $5(u – v) = 100 \Rightarrow u – v = 20$। বিপৰীত দিশঃ $1(u + v) = 100 \Rightarrow u + v = 100$। যোগ-বিয়োগৰ পাছত $u = 60, v = 40$। বেগ $60$ কিমি/ঘণ্টা ও $40$ কিমি/ঘণ্টা।

প্ৰশ্ন ৪(v)। এটা আয়তক্ষেত্ৰৰ দৈৰ্ঘ্য $5$ একক বঢ়ালে আৰু প্ৰস্থ $3$ একক কমালে কালি $9$ বৰ্গ একক কমে। দৈৰ্ঘ্য $3$ একক কমালে আৰু প্ৰস্থ $2$ একক বঢ়ালে কালি $67$ বৰ্গ একক বাঢ়ে। দৈৰ্ঘ্য আৰু প্ৰস্থ উলিওৱা।

উত্তৰঃ দৈৰ্ঘ্য $x$, প্ৰস্থ $y$। $(x+5)(y-3) = xy – 9$ ⇒ $-3x + 5y = 6$। আকৌ $(x-3)(y+2) = xy + 67$ ⇒ $2x – 3y = 73$। সমাধান কৰি $x = 17, y = 9$।

প্ৰশ্ন ৫। বজ্ৰগুণন পদ্ধতি ব্যৱহাৰ কৰি $5x + 4y = 7$, $3x + 2y = 5$ সমাধান কৰা।

উত্তৰঃ সমীকৰণ দুটাক $5x + 4y – 7 = 0$, $3x + 2y – 5 = 0$ ৰূপত আনিঃ

$$\frac{x}{4 \cdot (-5) – 2 \cdot (-7)} = \frac{y}{(-7) \cdot 3 – (-5) \cdot 5} = \frac{1}{5 \cdot 2 – 3 \cdot 4}$$

অৰ্থাৎ $\dfrac{x}{-20 + 14} = \dfrac{y}{-21 + 25} = \dfrac{1}{10 – 12}$, গতিকে $\dfrac{x}{-6} = \dfrac{y}{4} = \dfrac{1}{-2}$। সমাধানঃ $x = 3, y = -2$।

প্ৰশ্ন ৬। $px + qy = p – q$, $qx – py = p + q$ সমাধান কৰা।

উত্তৰঃ প্ৰথম সমীকৰণটোক $p$ৰে আৰু দ্বিতীয়টোক $q$ৰে গুণ কৰি যোগ কৰিঃ $(p^2 + q^2)x = p^2 – pq + pq + q^2 = p^2 + q^2$। গতিকে $x = 1$। বহুৱালে $y = -1$।

অনুশীলনী 3.6 (Exercise 3.6 — ৰৈখিক ৰূপলৈ ৰূপান্তৰিতযোগ্য সমীকৰণ)

এই অনুশীলনীৰ সমীকৰণসমূহ প্ৰথমতে উপযুক্ত প্ৰতিস্থাপনেৰে ৰৈখিক সমীকৰণৰ ৰূপত আনি তাৰ পাছত পূৰ্বৰ পদ্ধতি প্ৰয়োগ কৰি সমাধান কৰা হয়।

প্ৰশ্ন ১(i)। $\dfrac{1}{2x} + \dfrac{1}{3y} = 2$, $\dfrac{1}{3x} + \dfrac{1}{2y} = \dfrac{13}{6}$ সমাধান কৰা।

উত্তৰঃ $\dfrac{1}{x} = u$, $\dfrac{1}{y} = v$ ধৰোঁ। তেতিয়া $\dfrac{u}{2} + \dfrac{v}{3} = 2$ ⇒ $3u + 2v = 12$, আৰু $\dfrac{u}{3} + \dfrac{v}{2} = \dfrac{13}{6}$ ⇒ $2u + 3v = 13$। সমাধান কৰি $u = 2, v = 3$, গতিকে $x = \dfrac{1}{2}, y = \dfrac{1}{3}$।

প্ৰশ্ন ১(ii)। $\dfrac{2}{\sqrt{x}} + \dfrac{3}{\sqrt{y}} = 2$, $\dfrac{4}{\sqrt{x}} – \dfrac{9}{\sqrt{y}} = -1$।

উত্তৰঃ $\dfrac{1}{\sqrt{x}} = u$, $\dfrac{1}{\sqrt{y}} = v$ ধৰোঁ। $2u + 3v = 2$, $4u – 9v = -1$। সমাধান কৰি $u = \dfrac{1}{2}, v = \dfrac{1}{3}$। গতিকে $\sqrt{x} = 2 \Rightarrow x = 4$, $\sqrt{y} = 3 \Rightarrow y = 9$।

প্ৰশ্ন ১(iii)। $\dfrac{4}{x} + 3y = 14$, $\dfrac{3}{x} – 4y = 23$।

উত্তৰঃ $\dfrac{1}{x} = u$ ধৰোঁ। $4u + 3y = 14$, $3u – 4y = 23$। সমাধান কৰি $u = 5, y = -2$। গতিকে $x = \dfrac{1}{5}, y = -2$।

প্ৰশ্ন ১(iv)। $\dfrac{5}{x-1} + \dfrac{1}{y-2} = 2$, $\dfrac{6}{x-1} – \dfrac{3}{y-2} = 1$।

উত্তৰঃ $\dfrac{1}{x-1} = u$, $\dfrac{1}{y-2} = v$। $5u + v = 2$, $6u – 3v = 1$। সমাধানঃ $u = \dfrac{1}{3}, v = \dfrac{1}{3}$। গতিকে $x = 4, y = 5$।

প্ৰশ্ন ২। ৰিতু স্থিৰ পানীত নাও বাই $2$ ঘণ্টাত $20$ কিমি স্ৰোতৰ অভিমুখে আৰু $2$ ঘণ্টাত $4$ কিমি স্ৰোতৰ বিপৰীতে যাব পাৰে। ৰিতুৰ স্থিৰ পানীত বেগ আৰু স্ৰোতৰ বেগ উলিওৱা।

উত্তৰঃ ৰিতুৰ বেগ $x$ কিমি/ঘণ্টা, স্ৰোতৰ বেগ $y$ কিমি/ঘণ্টা। অভিমুখেঃ $x + y = 10$। বিপৰীতেঃ $x – y = 2$। যোগ কৰি $x = 6, y = 4$।

প্ৰশ্ন ৩। দুজন মহিলা আৰু পাঁচজন পুৰুষে এটা সূচী-কাম $4$ দিনত শেষ কৰিব পাৰে; আকৌ তিনিজন মহিলা আৰু ছজন পুৰুষে $3$ দিনত। এজন মহিলা একলে কামটো শেষ কৰিবলৈ কেইদিন লাগে আৰু এজন পুৰুষে একলে কেইদিন লাগে?

উত্তৰঃ এজন মহিলাৰ এদিনৰ কাম $\dfrac{1}{x}$, এজন পুৰুষৰ এদিনৰ কাম $\dfrac{1}{y}$। $\dfrac{2}{x} + \dfrac{5}{y} = \dfrac{1}{4}$, $\dfrac{3}{x} + \dfrac{6}{y} = \dfrac{1}{3}$। $u, v$ প্ৰতিস্থাপনৰ যোগেদি $u = \dfrac{1}{18}, v = \dfrac{1}{36}$। অৰ্থাৎ এজন মহিলা $18$ দিন, এজন পুৰুষ $36$ দিন।

প্ৰশ্ন ৪। ৰোহন আৰু তেওঁৰ বন্ধুয়ে $300$ কিমি দূৰত্ব ৰে’ল আৰু বাছ — দুই উপায়েৰে যাত্ৰা কৰিব। যদি ৰোহনে $60$ কিমি ৰে’লেৰে আৰু বাকীটো বাছেৰে যায় তেন্তে $4$ ঘণ্টা লাগে। যদি ৰোহনে $100$ কিমি ৰে’লেৰে যায় তেন্তে $10$ মিনিট অধিক লাগে। ৰে’লৰ আৰু বাছৰ গড় বেগ উলিওৱা।

উত্তৰঃ ৰে’লৰ বেগ $u$, বাছৰ বেগ $v$ কিমি/ঘণ্টা। $\dfrac{60}{u} + \dfrac{240}{v} = 4$, $\dfrac{100}{u} + \dfrac{200}{v} = \dfrac{25}{6}$। $\dfrac{1}{u} = a$, $\dfrac{1}{v} = b$ প্ৰতিস্থাপনৰ পাছত $a = \dfrac{1}{60}, b = \dfrac{1}{80}$। গতিকে ৰে’লৰ বেগ $60$ কিমি/ঘণ্টা, বাছৰ বেগ $80$ কিমি/ঘণ্টা।

প্ৰশ্ন ৫। $\dfrac{7x – 2y}{xy} = 5$, $\dfrac{8x + 7y}{xy} = 15$ সমাধান কৰা।

উত্তৰঃ দুয়োটা সমীকৰণক $xy$ৰে গুণ কৰি — $7x – 2y = 5xy$, $8x + 7y = 15xy$ — এতিয়া দুয়োটাকে $xy$ৰে ভাগ কৰিঃ $\dfrac{7}{y} – \dfrac{2}{x} = 5$ আৰু $\dfrac{8}{y} + \dfrac{7}{x} = 15$। $\dfrac{1}{x} = u, \dfrac{1}{y} = v$ ধৰোঁ; $-2u + 7v = 5$, $7u + 8v = 15$। সমাধানৰ পাছত $u = 1, v = 1$, গতিকে $x = 1, y = 1$।

প্ৰশ্ন ৬। $\dfrac{10}{x+y} + \dfrac{2}{x-y} = 4$, $\dfrac{15}{x+y} – \dfrac{5}{x-y} = -2$ সমাধান কৰা।

উত্তৰঃ $\dfrac{1}{x+y} = u, \dfrac{1}{x-y} = v$। $10u + 2v = 4 \Rightarrow 5u + v = 2$, $15u – 5v = -2$। প্ৰথমটোক $5$ৰে গুণ কৰি যোগ কৰিঃ $40u = 8 \Rightarrow u = \dfrac{1}{5}, v = 1$। গতিকে $x + y = 5$, $x – y = 1$ — সমাধান $x = 3, y = 2$।

পদ্ধতিভিত্তিক বিশ্লেষণ (Method-wise Comparative Analysis)

উদাহৰণ সমীকৰণ যোৰঃ $2x + 3y = 11$, $5x – 2y = 18$।

(ক) লৈখিক পদ্ধতি — প্ৰথম সমীকৰণৰ পৰা $(0, \tfrac{11}{3}), (\tfrac{11}{2}, 0), (4, 1)$ আৰু দ্বিতীয়ৰ পৰা $(0, -9), (\tfrac{18}{5}, 0), (4, 1)$ বিন্দু পোৱা যায়। উভয় ৰেখাই বিন্দু $(4, 1)$-ত ছেদ কৰে।

(খ) প্ৰতিস্থাপন পদ্ধতি — প্ৰথম সমীকৰণৰ পৰা $y = \dfrac{11 – 2x}{3}$। দ্বিতীয়ত বহুৱালেঃ $5x – 2 \cdot \dfrac{11 – 2x}{3} = 18 \Rightarrow 15x – 22 + 4x = 54 \Rightarrow 19x = 76 \Rightarrow x = 4, y = 1$।

(গ) অপনয়ন পদ্ধতি — প্ৰথম সমীকৰণটোক $2$ৰে আৰু দ্বিতীয়টোক $3$ৰে গুণ কৰিঃ $4x + 6y = 22$, $15x – 6y = 54$। যোগ কৰি $19x = 76 \Rightarrow x = 4, y = 1$।

(ঘ) বজ্ৰগুণন পদ্ধতি — $2x + 3y – 11 = 0$, $5x – 2y – 18 = 0$।

$$\frac{x}{3 \cdot (-18) – (-2) \cdot (-11)} = \frac{y}{(-11) \cdot 5 – (-18) \cdot 2} = \frac{1}{2 \cdot (-2) – 5 \cdot 3}$$

$\dfrac{x}{-54 – 22} = \dfrac{y}{-55 + 36} = \dfrac{1}{-4 – 15}$ অৰ্থাৎ $\dfrac{x}{-76} = \dfrac{y}{-19} = \dfrac{1}{-19}$। গতিকে $x = 4, y = 1$।

চাৰিও পদ্ধতিয়েই একে সমাধান $(4, 1)$ দিয়ে — এইটোৱেই দেখুৱায় বীজগণিতীয় পদ্ধতিসমূহৰ পাৰস্পৰিক সংগতি।

গ্ৰাফ আঁকিবলৈ লগা সাহায্য সাৰণী (Sample Plot Tables)

সমীকৰণ $x + y = 5$ৰ বিন্দুতালিকা —

$x$	$0$	$1$	$2$	$3$	$5$
$y$	$5$	$4$	$3$	$2$	$0$

সমীকৰণ $x – y = 1$ৰ বিন্দুতালিকা —

$x$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
$y$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$

দুয়োটা ৰেখাৰ ছেদ বিন্দু $(3, 2)$ — অৰ্থাৎ যোৰটোৰ একক সমাধান $x = 3, y = 2$।

দীঘল প্ৰশ্ন (Long Answer Questions)

প্ৰশ্ন ১। বজ্ৰগুণন পদ্ধতিৰ সূত্ৰটো প্ৰমাণ কৰা।

উত্তৰঃ ধৰোঁ $a_1 x + b_1 y + c_1 = 0 \;\;(\text{i})$, $a_2 x + b_2 y + c_2 = 0 \;\;(\text{ii})$। (i)-ক $b_2$ৰে আৰু (ii)-ক $b_1$ৰে গুণ কৰিঃ $a_1 b_2 x + b_1 b_2 y + b_2 c_1 = 0$, $a_2 b_1 x + b_1 b_2 y + b_1 c_2 = 0$। বিয়োগৰ পাছত $(a_1 b_2 – a_2 b_1) x = b_1 c_2 – b_2 c_1$, যদি $a_1 b_2 – a_2 b_1 \ne 0$ তেন্তে $x = \dfrac{b_1 c_2 – b_2 c_1}{a_1 b_2 – a_2 b_1}$। সমান প্ৰক্ৰিয়াৰে $y = \dfrac{c_1 a_2 – c_2 a_1}{a_1 b_2 – a_2 b_1}$। গতিকে —

$$\frac{x}{b_1 c_2 – b_2 c_1} = \frac{y}{c_1 a_2 – c_2 a_1} = \frac{1}{a_1 b_2 – a_2 b_1}$$

প্ৰশ্ন ২। দুটা চলকৰ ৰৈখিক সমীকৰণ যোৰৰ সংগতিৰ চৰ্তসমূহ অনুপাতেৰে প্ৰতিষ্ঠা কৰা।

উত্তৰঃ $a_1 x + b_1 y = -c_1$, $a_2 x + b_2 y = -c_2$। যদি $a_1 b_2 – a_2 b_1 \ne 0$ তেন্তে একক সমাধান আছে — অৰ্থাৎ $\dfrac{a_1}{a_2} \ne \dfrac{b_1}{b_2}$। যদি $\dfrac{a_1}{a_2} = \dfrac{b_1}{b_2}$ কিন্তু $\dfrac{c_1}{c_2}$ পৃথক, তেন্তে সমীকৰণ যোৰৰ কোনো সমাধান নাই (সমান্তৰাল)। শেষত যদি তিনিও অনুপাত সমান, দুটা সমীকৰণ মূলত একে — অসীম সমাধান।

প্ৰশ্ন ৩। যদি $\sin\theta + \cos\theta = 1$ আৰু $\sin\theta – \cos\theta = 0$ — $\sin\theta$ আৰু $\cos\theta$-ৰ মান উলিওৱা।

উত্তৰঃ $a = \sin\theta, b = \cos\theta$ ধৰিলে $a + b = 1$, $a – b = 0$। যোগ কৰি $2a = 1 \Rightarrow a = \tfrac{1}{2}$ আৰু $b = \tfrac{1}{2}$। অৰ্থাৎ $\sin\theta = \cos\theta = \tfrac{1}{2}$ — যিটো বাস্তৱত পৰিপূৰ্ণ নহয় (সঠিক মানৰ সৈতে $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ মিল নাযায়), কিন্তু কেৱল ৰৈখিক যোৰ হিচাপে সমাধান এনেই।

প্ৰশ্ন ৪। দুই অংকৰ এটা সংখ্যা আছে, যিটোৰ অংক দুটাৰ যোগফল $9$। সংখ্যাটোৰ ৭ গুণ আৰু ইয়াৰ অংক ওলোটাকৈ লিখি পোৱা সংখ্যাটোৰ ৪ গুণৰ অন্তৰ $33$। সংখ্যাটো নিৰ্ণয় কৰা।

উত্তৰঃ দশকৰ অংক $x$, একৰ অংক $y$। মূল সংখ্যা $10x + y$, ওলোটা সংখ্যা $10y + x$। চৰ্ত — $x + y = 9$, $7(10x + y) – 4(10y + x) = 33 \Rightarrow 66x – 33y = 33 \Rightarrow 2x – y = 1$। যোগ কৰিঃ $3x = 10$ — পূৰ্ণ অংক নহয়; সঠিক চৰ্ত সংশোধন কৰিলে (ভাগ পাল্টোৱা) $x + y = 9$ আৰু $2x – y = 1$ৰ পৰা $x = \dfrac{10}{3}$ — সম্ভৱ নহয় বুলি লিখা ভাল। ASSEB-ৰ পৰীক্ষাত কেৱল প্ৰথম সংখ্যাবোধ চৰ্তৰ ব্যাখ্যা গুৰুত্বপূৰ্ণ।

প্ৰশ্ন ৫। যদি $\dfrac{2}{x} – \dfrac{3}{y} = 9$ আৰু $\dfrac{4}{x} + \dfrac{9}{y} = 21$ — সমাধান কৰা।

উত্তৰঃ $\dfrac{1}{x} = u$, $\dfrac{1}{y} = v$ ধৰিলে $2u – 3v = 9$, $4u + 9v = 21$। প্ৰথমটোক $3$ৰে গুণ কৰি যোগ কৰিঃ $10u = 48 \Rightarrow u = \dfrac{24}{5}$ — পুনঃ গণনাৰ পাছত $u = \dfrac{1}{x}$ৰ মান উলিয়াই $x$ পোৱা যায়।

প্ৰশ্ন ৬। কোনো এটা অভিধাৰ্য $\dfrac{x}{2} + y = 0.8$, $\dfrac{7}{x + \tfrac{y}{2}} = 10$ — সমাধান কৰা।

উত্তৰঃ প্ৰথম সমীকৰণৰ পৰা $x + 2y = 1.6$। দ্বিতীয়ৰ পৰা $x + \dfrac{y}{2} = 0.7$ অৰ্থাৎ $2x + y = 1.4$। ১ম-ক $2$ৰে গুণ কৰি বিয়োগঃ $2x + 4y – 2x – y = 3.2 – 1.4 \Rightarrow 3y = 1.8 \Rightarrow y = 0.6, x = 0.4$।

অতিৰিক্ত সম্ভাৱ্য প্ৰশ্ন (Additional Practice)

প্ৰশ্ন ১। লৈখিকভাৱে $x + y = 5$ আৰু $x – y = 1$ সমাধান কৰি ছেদ বিন্দু উলিওৱা।

উত্তৰঃ $x + y = 5$ ৰেখাৰ বাবে $(0,5), (5,0), (2,3)$ বিন্দু আৰু $x – y = 1$-ৰ বাবে $(0,-1), (1,0), (3,2)$ বিন্দু লৈ লেখচিত্ৰ আঁকিলে দুটা ৰেখা $(3, 2)$-ত ছেদ কৰে। গতিকে $x = 3, y = 2$।

প্ৰশ্ন ২। $k$-ৰ কোন মানৰ বাবে $kx + 2y = 5$ আৰু $3x + y = 1$-ৰ একক সমাধান থাকিব?

উত্তৰঃ একক সমাধানৰ চৰ্ত $\dfrac{k}{3} \ne \dfrac{2}{1}$ অৰ্থাৎ $k \ne 6$। গতিকে $k = 6$ৰ বাহিৰে যিকোনো মানৰ বাবেই একক সমাধান।

প্ৰশ্ন ৩। $\dfrac{a_1}{a_2} = \dfrac{b_1}{b_2} = \dfrac{c_1}{c_2}$ চৰ্তটোৱে কি বুজায়?

উত্তৰঃ এই চৰ্তে দেখুৱায় যে দুটা সমীকৰণে একে ৰেখাকেই প্ৰকাশ কৰে, অৰ্থাৎ ৰেখা দুটা ঐক্যবদ্ধ; সেয়ে যোৰটোৰ অসীম সংখ্যক সমাধান থাকে।

প্ৰশ্ন ৪। এটা সংখ্যাৰ অংক দুটাৰ যোগফল $7$। সংখ্যাটোৰ অংক দুটা ওলোটাকৈ লিখিলে নতুন সংখ্যাটো মূল সংখ্যাটোতকৈ $9$ ডাঙৰ। মূল সংখ্যাটো কি?

উত্তৰঃ দশকৰ অংক $x$, একৰ অংক $y$। $x + y = 7$, $(10y + x) – (10x + y) = 9 \Rightarrow y – x = 1$। যোগ কৰি $y = 4, x = 3$। সংখ্যাটো $34$।

প্ৰশ্ন ৫। $2x + 3y = 12$, $4x + 6y = 24$ — এই যোৰটোৰ সমাধানৰ স্বৰূপ কি?

উত্তৰঃ $\dfrac{2}{4} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{12}{24} = \dfrac{1}{2}$, তিনিও অনুপাত সমান। অৰ্থাৎ ৰেখা দুটা ঐক্যবদ্ধ আৰু অসীম সমাধান আছে।

প্ৰশ্ন ৬। $4x + 3y = 7$ আৰু $4x – 3y = 1$ সমাধান কৰা।

উত্তৰঃ যোগ কৰি $8x = 8 \Rightarrow x = 1$, বিয়োগ কৰি $6y = 6 \Rightarrow y = 1$।

প্ৰশ্ন ৭। দুটা সংখ্যাৰ যোগফল $35$ আৰু এটাৰ পৰা আনটো বিয়োগ কৰিলে $9$ পোৱা যায়। সংখ্যা দুটা উলিওৱা।

উত্তৰঃ $x + y = 35$, $x – y = 9$। যোগ কৰি $2x = 44 \Rightarrow x = 22, y = 13$।

প্ৰশ্ন ৮। দুজন বন্ধুৰ বয়সৰ সমষ্টি $48$ বছৰ। চাৰি বছৰ আগতে এজনৰ বয়স আনজনৰ বয়সৰ তিনিগুণ আছিল। বৰ্তমান বয়স উলিওৱা।

উত্তৰঃ $x + y = 48$, $x – 4 = 3(y – 4) \Rightarrow x – 3y = -8$। বিয়োগ কৰি $4y = 56 \Rightarrow y = 14, x = 34$।

বহুবিকল্পীয় প্ৰশ্ন (Multiple Choice Questions)

১। $x + y = 5$ সমীকৰণটোৰ এটা সমাধান হ’ল — (ক) $(1, 4)$ (খ) $(2, 4)$ (গ) $(3, 4)$ (ঘ) $(4, 4)$।

উত্তৰঃ (ক) $(1, 4)$।

২। যদি $\dfrac{a_1}{a_2} = \dfrac{b_1}{b_2} \ne \dfrac{c_1}{c_2}$ হয়, সমীকৰণ যোৰটোৰ — (ক) একক সমাধান (খ) অসীম সমাধান (গ) কোনো সমাধান নাই (ঘ) কেৱল $x = 0$ সমাধান।

উত্তৰঃ (গ) কোনো সমাধান নাই।

৩। $2x + 3y = 12$ আৰু $4x + 6y = 24$ ৰেখা যোৰৰ স্থিতি — (ক) ছেদী (খ) সমান্তৰাল (গ) ঐক্যবদ্ধ (ঘ) লম্ব।

উত্তৰঃ (গ) ঐক্যবদ্ধ।

৪। $3x + 2y = 5$ আৰু $2x – 3y = 7$ যোৰৰ চৰিত্ৰ — (ক) সংগতিপূৰ্ণ (খ) অসংগতিপূৰ্ণ (গ) নিৰ্ভৰশীল (ঘ) কোনোটো নহয়।

উত্তৰঃ (ক) সংগতিপূৰ্ণ।

৫। $x = 2, y = -1$ যিকোনো এটা ৰৈখিক যোৰৰ সমাধান হ’বলৈ যোৰ — (ক) $x + y = 1, x – y = 3$ (খ) $x – y = 3, x + y = 0$ (গ) $x = 1, y = 1$ (ঘ) $x + y = 0, x – y = 0$।

উত্তৰঃ (ক) $x + y = 1, x – y = 3$।

৬। বজ্ৰগুণন পদ্ধতিৰ ব্যৱহাৰৰ বাবে $a_1 b_2 – a_2 b_1$ — (ক) শূন্যৰ সমান হ’ব লাগে (খ) শূন্যৰ পৰা পৃথক হ’ব লাগে (গ) ধনাত্মক হ’ব লাগে (ঘ) ঋণাত্মক হ’ব লাগে।

উত্তৰঃ (খ) শূন্যৰ পৰা পৃথক হ’ব লাগে।

৭। দুটা সংখ্যাৰ যোগফল $20$ আৰু অন্তৰ $4$ — সংখ্যা দুটা — (ক) $10, 10$ (খ) $11, 9$ (গ) $12, 8$ (ঘ) $14, 6$।

উত্তৰঃ (গ) $12, 8$।

৮। $kx – y = 2$ আৰু $6x – 2y = 3$ যোৰৰ একক সমাধান নাথাকিবলৈ $k$-ৰ মান হ’ল — (ক) $3$ (খ) $-3$ (গ) $\dfrac{1}{3}$ (ঘ) $0$।

উত্তৰঃ (ক) $k = 3$ (যাতে $\dfrac{k}{6} = \dfrac{-1}{-2}$)।

৯। $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = 5$ ক ৰৈখিক ৰূপত আনিবলৈ যথাযথ প্ৰতিস্থাপন — (ক) $u = x, v = y$ (খ) $u = \dfrac{1}{x}, v = \dfrac{1}{y}$ (গ) $u = x^2, v = y^2$ (ঘ) $u = \sqrt{x}, v = \sqrt{y}$।

উত্তৰঃ (খ)।

১০। দুটা সমান্তৰাল ৰেখা প্ৰকাশ কৰা সমীকৰণৰ অনুপাতৰ চৰ্ত — (ক) $\dfrac{a_1}{a_2} \ne \dfrac{b_1}{b_2}$ (খ) $\dfrac{a_1}{a_2} = \dfrac{b_1}{b_2} = \dfrac{c_1}{c_2}$ (গ) $\dfrac{a_1}{a_2} = \dfrac{b_1}{b_2} \ne \dfrac{c_1}{c_2}$ (ঘ) $a_1 = a_2$।

উত্তৰঃ (গ)।

শূন্যস্থান পূৰণ (Fill in the Blanks)

• দুটা চলকৰ এটা ৰৈখিক সমীকৰণৰ লেখচিত্ৰ এটা সৰলৰেখা হয়।
• দুটা ৰৈখিক সমীকৰণৰ যোৰৰ ৰেখা দুটা ছেদী হ’লে যোৰটোৰ একক সমাধান থাকে।
• $\dfrac{a_1}{a_2} = \dfrac{b_1}{b_2} = \dfrac{c_1}{c_2}$ হ’লে যোৰটোৰ সমাধানৰ সংখ্যা অসীম।
• বজ্ৰগুণন পদ্ধতিত $a_1 b_2 – a_2 b_1$ শূন্য নহয়।
• $\dfrac{2}{x} + \dfrac{3}{y} = 13$ ৰূপৰ সমীকৰণক প্ৰতিস্থাপনৰ যোগেদি ৰৈখিক ৰূপত আনিব পাৰি।

সঁচা/মিছা (True or False)

• $2x + 3y = 12$ আৰু $4x + 6y = 24$ ৰেখা দুটা ঐক্যবদ্ধ। — সঁচা
• সমান্তৰাল ৰেখা দুটাই কোনো বিন্দুতেই লগ নালাগে। — সঁচা
• প্ৰতিটো ৰৈখিক যোৰৰ একক সমাধান থাকে। — মিছা
• বজ্ৰগুণন পদ্ধতি কেৱল ছেদী ৰেখাৰ ক্ষেত্ৰতহে প্ৰযোজ্য। — সঁচা
• $\dfrac{1}{\sqrt{x}}, \dfrac{1}{\sqrt{y}}$ প্ৰতিস্থাপনত সমীকৰণ ৰৈখিক ৰূপলৈ আহে। — সঁচা

মূল ধাৰণা (Key Points to Remember)

• সাধাৰণ ৰূপ $a_1 x + b_1 y + c_1 = 0$, $a_2 x + b_2 y + c_2 = 0$।
• লৈখিকভাৱে দুটা সমীকৰণে দুটা সৰলৰেখা প্ৰকাশ কৰে।
• ৰেখা দুটা ছেদী → একক সমাধান, সংগতিপূৰ্ণ।
• ৰেখা দুটা সমান্তৰাল → কোনো সমাধান নাই, অসংগতিপূৰ্ণ।
• ৰেখা দুটা ঐক্যবদ্ধ → অসীম সমাধান, সংগতিপূৰ্ণ আৰু নিৰ্ভৰশীল।
• চাৰিটা প্ৰধান বীজগণিতীয় পদ্ধতি — লৈখিক, প্ৰতিস্থাপন, অপনয়ন আৰু বজ্ৰগুণন।
• $\dfrac{1}{x}, \dfrac{1}{y}, \dfrac{1}{\sqrt{x}}, \dfrac{1}{x-1}$ ইত্যাদি প্ৰতিস্থাপনৰ যোগেদি অৰৈখিক সমীকৰণো ৰৈখিক ৰূপলৈ আনিব পাৰি।
• বজ্ৰগুণনৰ চৰ্ত $a_1 b_2 – a_2 b_1 \ne 0$।

শব্দাৰ্থ (Glossary)

অসমীয়া	ইংৰাজী
ৰৈখিক সমীকৰণ	Linear equation
চলক	Variable
সহগ	Coefficient
সমীকৰণৰ যোৰ	Pair of equations
সংগতিপূৰ্ণ	Consistent
অসংগতিপূৰ্ণ	Inconsistent
নিৰ্ভৰশীল	Dependent
একক সমাধান	Unique solution
অসীম সমাধান	Infinitely many solutions
ছেদী ৰেখা	Intersecting lines
সমান্তৰাল ৰেখা	Parallel lines
ঐক্যবদ্ধ ৰেখা	Coincident lines
লৈখিক পদ্ধতি	Graphical method
প্ৰতিস্থাপন পদ্ধতি	Substitution method
অপনয়ন পদ্ধতি	Elimination method
বজ্ৰগুণন পদ্ধতি	Cross-multiplication method
ছেদ বিন্দু	Point of intersection
স্থানাংক	Coordinate
লব	Numerator
হৰ	Denominator
পৰিপূৰক কোণ	Supplementary angle
অংক	Digit
বেগ	Speed
স্ৰোত	Stream / current

সাৰাংশঃ দুটা চলকত ৰৈখিক সমীকৰণৰ যোৰ বুলিলে একেলগে দিয়া দুটা ৰৈখিক সমীকৰণক বুজায়। ইয়াৰ সমাধানৰ স্বৰূপ অনুপাত $\dfrac{a_1}{a_2}, \dfrac{b_1}{b_2}, \dfrac{c_1}{c_2}$-এ নিৰ্ণয় কৰে। সমাধানৰ পদ্ধতি — লৈখিক, প্ৰতিস্থাপন, অপনয়ন আৰু বজ্ৰগুণন। কেতিয়াবা অৰৈখিক সমীকৰণো $\dfrac{1}{x}, \dfrac{1}{y}$ আদি প্ৰতিস্থাপনৰ যোগেদি ৰৈখিক ৰূপলৈ আনি সমাধান কৰিব পাৰি।

আশাকৰোঁ এই অধ্যায়ৰ প্ৰশ্নোত্তৰে আপোনাৰ ASSEB দশম শ্ৰেণীৰ গণিত পৰীক্ষাৰ প্ৰস্তুতিত সহায় কৰিব। অধিক অধ্যায়ৰ বিশ্লেষণৰ বাবে HSLC GURU-ত চাই থাকক।