নমস্কাৰ প্ৰিয় শিক্ষাৰ্থী! HSLC GURU-লৈ স্বাগতম। এই পাঠটোত আমি ASSEB (অসম ৰাজ্যিক বিদ্যালয় শিক্ষা পৰিষদ)ৰ দশম শ্ৰেণীৰ গণিতৰ দ্বিতীয় অধ্যায় “বহুপদ” (Polynomials)ৰ সম্পূৰ্ণ প্ৰশ্নোত্তৰ অসমীয়া মাধ্যমত আলোচনা কৰিম। এই অধ্যায়টোত বহুপদৰ সংজ্ঞা, ঘাত, শূন্যৰাশি, শূন্যৰাশি আৰু সহগৰ মাজৰ সম্পৰ্ক, আৰু বহুপদৰ ভাগ-প্ৰক্ৰিয়া (Division Algorithm) আদি বিষয় পঢ়োৱা হৈছে। HSLC পৰীক্ষাত এই অধ্যায়ৰ পৰা প্ৰায় ০৮-১০ নম্বৰৰ প্ৰশ্ন সোধা হয় বাবে শিক্ষাৰ্থীসকলে এই অধ্যায়টো ভালদৰে আয়ত্ত কৰাটো অতি প্ৰয়োজনীয়।

অধ্যায় ২ৰ সাৰাংশ (Chapter Summary)

এই অধ্যায়টোত মূলতঃ দ্বিঘাত (quadratic) আৰু ত্ৰিঘাত (cubic) বহুপদৰ ওপৰত গুৰুত্ব আৰোপ কৰা হৈছে। এটা বহুপদৰ লেখচিত্ৰৰ পৰা শূন্যৰাশিৰ সংখ্যা নিৰ্ণয় কৰা, প্ৰদত্ত শূন্যৰাশিৰ পৰা বহুপদ গঠন কৰা, আৰু বহুপদৰ ভাগ-প্ৰক্ৰিয়াৰ সহায়ত ভাগফল আৰু ভাগশেষ নিৰ্ণয় কৰা — এই কেইটাই অধ্যায়ৰ মূল লক্ষ্য।

বিষয়বস্তু	মূল ধাৰণা
বহুপদৰ ঘাত	চলকৰ সৰ্বোচ্চ ঘাত
ৰৈখিক বহুপদ	ঘাত ১, যেনে $ax+b$
দ্বিঘাত বহুপদ	ঘাত ২, যেনে $ax^2+bx+c$
ত্ৰিঘাত বহুপদ	ঘাত ৩, যেনে $ax^3+bx^2+cx+d$
শূন্যৰাশিৰ সংখ্যা	সৰ্বোচ্চ ঘাতৰ সমান
ভাগ-প্ৰক্ৰিয়া	$p(x)=g(x)\cdot q(x)+r(x)$

মূল সূত্ৰসমূহ (Key Formulae)

বহুপদৰ সাধাৰণ ৰূপ —

$$p(x)=a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0$$

য’ত $a_n \neq 0$ আৰু $n$ হৈছে বহুপদৰ ঘাত (degree)।

দ্বিঘাত বহুপদৰ ক্ষেত্ৰত: যদি $p(x)=ax^2+bx+c$ ৰ শূন্যৰাশি $\alpha$ আৰু $\beta$ হয়, তেন্তে —

$$\alpha+\beta=-\frac{b}{a},\qquad \alpha\beta=\frac{c}{a}$$

ত্ৰিঘাত বহুপদৰ ক্ষেত্ৰত: যদি $p(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ ৰ শূন্যৰাশি $\alpha,\beta,\gamma$ হয়, তেন্তে —

$$\alpha+\beta+\gamma=-\frac{b}{a}$$

$$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=\frac{c}{a}$$

$$\alpha\beta\gamma=-\frac{d}{a}$$

ভাগ-প্ৰক্ৰিয়া (Division Algorithm): যদি $p(x)$ আৰু $g(x)$ দুটা বহুপদ আৰু $g(x)\neq 0$, তেন্তে এনে দুটা বহুপদ $q(x)$ আৰু $r(x)$ পোৱা যায় যাতে —

$$p(x)=g(x)\cdot q(x)+r(x)$$

য’ত $r(x)=0$ অথবা $\deg r(x)<\deg g(x)$।

শূন্যৰাশিৰ জ্যামিতিক অৰ্থ

এটা বহুপদ $y=p(x)$ ৰ লেখচিত্ৰই $x$-অক্ষক যিকেইটা বিন্দুত স্পৰ্শ কৰে বা ছেদ কৰে, সেই বিন্দুসমূহৰ $x$-স্থানাংকেই হ’ল বহুপদটোৰ শূন্যৰাশি। তলৰ চিত্ৰটোত এটা দ্বিঘাত বহুপদ $y=x^2-2x-8$ ৰ লেখচিত্ৰ দেখুৱা হৈছে। ই $x$-অক্ষক $x=-2$ আৰু $x=4$ ত ছেদ কৰিছে — অৰ্থাৎ শূন্যৰাশি দুটা $-২$ আৰু $৪$।

এটা $n$-ঘাত বহুপদৰ সৰ্বাধিক $n$টা শূন্যৰাশি থাকিব পাৰে। অৰ্থাৎ ৰৈখিক বহুপদৰ ১টা, দ্বিঘাত বহুপদৰ সৰ্বাধিক ২টা, আৰু ত্ৰিঘাত বহুপদৰ সৰ্বাধিক ৩টা শূন্যৰাশি থাকে।

অনুশীলনী ২.১ (Exercise 2.1)

অনুশীলনী ২.১-ত প্ৰদত্ত লেখচিত্ৰৰ পৰা $y=p(x)$ বহুপদৰ শূন্যৰাশিৰ সংখ্যা নিৰ্ণয় কৰিবলৈ কোৱা হৈছে। মনত ৰখা — লেখচিত্ৰই $x$-অক্ষক যিমান বাৰ ছেদ বা স্পৰ্শ কৰে, শূন্যৰাশিৰ সংখ্যা সিমানেই।

প্ৰশ্ন ১: তলত প্ৰদত্ত প্ৰতিটো লেখচিত্ৰত $y=p(x)$ ৰ শূন্যৰাশিৰ সংখ্যা নিৰ্ণয় কৰা।

উত্তৰঃ

লেখচিত্ৰ	$x$-অক্ষক ছেদ কৰা বিন্দু	শূন্যৰাশিৰ সংখ্যা
(i)	একো নাই	০
(ii)	১টা	১
(iii)	৩টা	৩
(iv)	২টা	২
(v)	৪টা	৪
(vi)	৩টা	৩

ব্যাখ্যা: লেখচিত্ৰ (i)-ত বক্ৰৰেখাটোৱে $x$-অক্ষক ছেদ কৰা নাই, সেয়েহে শূন্যৰাশি নাই। লেখচিত্ৰ (ii)-ত মাত্ৰ এটা বিন্দুত $x$-অক্ষক স্পৰ্শ কৰিছে — এটা শূন্যৰাশি। এইদৰে লেখচিত্ৰৰ পৰা সংখ্যা গণনা কৰা হয়।

অনুশীলনী ২.২ (Exercise 2.2)

প্ৰশ্ন ১: তলৰ দ্বিঘাত বহুপদসমূহৰ শূন্যৰাশি বিচাৰা আৰু শূন্যৰাশি আৰু সহগৰ মাজৰ সম্পৰ্ক যাচাই কৰা।

(i) $x^2-2x-8$

উত্তৰঃ $x^2-2x-8 = x^2-4x+2x-8 = x(x-4)+2(x-4) = (x-4)(x+2)$

সেয়েহে শূন্যৰাশি দুটা $\alpha=4$ আৰু $\beta=-2$।

ইয়াত $a=1,\ b=-2,\ c=-8$।

$$\alpha+\beta=4+(-2)=2=-\frac{-2}{1}=-\frac{b}{a}$$

$$\alpha\beta=4\times(-2)=-8=\frac{-8}{1}=\frac{c}{a}$$

সেয়েহে সম্পৰ্ক যাচাই হ’ল।

(ii) $4s^2-4s+1$

উত্তৰঃ $4s^2-4s+1=(2s)^2-2\cdot 2s\cdot 1+1^2=(2s-1)^2$

সেয়েহে $\alpha=\beta=\dfrac{1}{2}$।

$a=4,\ b=-4,\ c=1$।

$$\alpha+\beta=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1=-\frac{-4}{4}=-\frac{b}{a}$$

$$\alpha\beta=\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{4}=\frac{c}{a}$$

(iii) $6x^2-7x-3$

উত্তৰঃ $6x^2-7x-3=6x^2-9x+2x-3=3x(2x-3)+1(2x-3)=(2x-3)(3x+1)$

সেয়েহে $\alpha=\dfrac{3}{2},\ \beta=-\dfrac{1}{3}$।

$a=6,\ b=-7,\ c=-3$।

$$\alpha+\beta=\frac{3}{2}-\frac{1}{3}=\frac{9-2}{6}=\frac{7}{6}=-\frac{-7}{6}=-\frac{b}{a}$$

$$\alpha\beta=\frac{3}{2}\times\left(-\frac{1}{3}\right)=-\frac{1}{2}=\frac{-3}{6}=\frac{c}{a}$$

(iv) $4u^2+8u$

উত্তৰঃ $4u^2+8u=4u(u+2)$

সেয়েহে $\alpha=0,\ \beta=-2$।

$a=4,\ b=8,\ c=0$।

$$\alpha+\beta=0+(-2)=-2=-\frac{8}{4}=-\frac{b}{a}$$

$$\alpha\beta=0\times(-2)=0=\frac{0}{4}=\frac{c}{a}$$

(v) $t^2-15$

উত্তৰঃ $t^2-15=t^2-(\sqrt{15})^2=(t-\sqrt{15})(t+\sqrt{15})$

সেয়েহে $\alpha=\sqrt{15},\ \beta=-\sqrt{15}$।

$a=1,\ b=0,\ c=-15$।

$$\alpha+\beta=\sqrt{15}-\sqrt{15}=0=-\frac{0}{1}=-\frac{b}{a}$$

$$\alpha\beta=\sqrt{15}\times(-\sqrt{15})=-15=\frac{-15}{1}=\frac{c}{a}$$

(vi) $3x^2-x-4$

উত্তৰঃ $3x^2-x-4=3x^2-4x+3x-4=x(3x-4)+1(3x-4)=(3x-4)(x+1)$

সেয়েহে $\alpha=\dfrac{4}{3},\ \beta=-1$।

$a=3,\ b=-1,\ c=-4$।

$$\alpha+\beta=\frac{4}{3}-1=\frac{1}{3}=-\frac{-1}{3}=-\frac{b}{a}$$

$$\alpha\beta=\frac{4}{3}\times(-1)=-\frac{4}{3}=\frac{-4}{3}=\frac{c}{a}$$

প্ৰশ্ন ২: প্ৰদত্ত যোগফল আৰু গুণফলৰ পৰা দ্বিঘাত বহুপদ গঠন কৰা।

সাধাৰণ ৰূপ — $p(x)=k\bigl[x^2-(\text{যোগফল})x+(\text{গুণফল})\bigr]$, য’ত $k$ এটা বাস্তৱ ধ্ৰুৱক।

(i) যোগফল $=\dfrac{1}{4}$, গুণফল $=-1$

উত্তৰঃ $p(x)=x^2-\dfrac{1}{4}x+(-1)=x^2-\dfrac{1}{4}x-1$

$4$ ৰে গুণ কৰি — $p(x)=4x^2-x-4$।

(ii) যোগফল $=\sqrt{2}$, গুণফল $=\dfrac{1}{3}$

উত্তৰঃ $p(x)=x^2-\sqrt{2}\,x+\dfrac{1}{3}$

$3$ ৰে গুণ কৰি — $p(x)=3x^2-3\sqrt{2}\,x+1$।

(iii) যোগফল $=0$, গুণফল $=\sqrt{5}$

উত্তৰঃ $p(x)=x^2-0\cdot x+\sqrt{5}=x^2+\sqrt{5}$।

(iv) যোগফল $=1$, গুণফল $=1$

উত্তৰঃ $p(x)=x^2-x+1$।

(v) যোগফল $=-\dfrac{1}{4}$, গুণফল $=\dfrac{1}{4}$

উত্তৰঃ $p(x)=x^2+\dfrac{1}{4}x+\dfrac{1}{4}$

$4$ ৰে গুণ কৰি — $p(x)=4x^2+x+1$।

(vi) যোগফল $=4$, গুণফল $=1$

উত্তৰঃ $p(x)=x^2-4x+1$।

অনুশীলনী ২.৩ (Exercise 2.3)

এই অনুশীলনীত বহুপদৰ ভাগ-প্ৰক্ৰিয়া (Division Algorithm) প্ৰয়োগ কৰি ভাগফল আৰু ভাগশেষ নিৰ্ণয় কৰিবলৈ কোৱা হৈছে।

প্ৰশ্ন ১: তলৰ বহুপদ $p(x)$ ক $g(x)$ ৰে ভাগ কৰি ভাগফল আৰু ভাগশেষ নিৰ্ণয় কৰা।

(i) $p(x)=x^3-3x^2+5x-3,\ g(x)=x^2-2$

উত্তৰঃ দীৰ্ঘ ভাগ পদ্ধতিৰে —

প্ৰথম পদ: $\dfrac{x^3}{x^2}=x$। তেতিয়া $x\cdot(x^2-2)=x^3-2x$।

$(x^3-3x^2+5x-3)-(x^3-2x)=-3x^2+7x-3$।

দ্বিতীয় পদ: $\dfrac{-3x^2}{x^2}=-3$। তেতিয়া $-3(x^2-2)=-3x^2+6$।

$(-3x^2+7x-3)-(-3x^2+6)=7x-9$।

সেয়েহে ভাগফল $q(x)=x-3$ আৰু ভাগশেষ $r(x)=7x-9$।

(ii) $p(x)=x^4-3x^2+4x+5,\ g(x)=x^2+1-x$

উত্তৰঃ $g(x)$ ক সজাই লওঁ — $g(x)=x^2-x+1$।

দীৰ্ঘ ভাগ কৰি পোৱা যায় —

$$x^4+0\cdot x^3-3x^2+4x+5 = (x^2-x+1)(x^2+x-3)+8$$

সেয়েহে ভাগফল $q(x)=x^2+x-3$ আৰু ভাগশেষ $r(x)=8$।

(iii) $p(x)=x^4-5x+6,\ g(x)=2-x^2$

উত্তৰঃ $g(x)=-x^2+2$। দীৰ্ঘ ভাগ কৰি —

$$x^4-5x+6=(-x^2+2)(-x^2-2)+(-5x+10)$$

সেয়েহে ভাগফল $q(x)=-x^2-2$ আৰু ভাগশেষ $r(x)=-5x+10$।

প্ৰশ্ন ২: প্ৰথম বহুপদটোৱে দ্বিতীয় বহুপদটোৰ উৎপাদক হয়নে পৰীক্ষা কৰা।

(i) $t^2-3,\ 2t^4+3t^3-2t^2-9t-12$

উত্তৰঃ $2t^4+3t^3-2t^2-9t-12$ ক $t^2-3$ ৰে ভাগ কৰিলে —

$$2t^4+3t^3-2t^2-9t-12=(t^2-3)(2t^2+3t+4)+0$$

ভাগশেষ শূন্য। সেয়েহে $t^2-3$ এটা উৎপাদক।

(ii) $x^2+3x+1,\ 3x^4+5x^3-7x^2+2x+2$

উত্তৰঃ ভাগ কৰিলে পোৱা যায় —

$$3x^4+5x^3-7x^2+2x+2=(x^2+3x+1)(3x^2-4x+2)+0$$

ভাগশেষ শূন্য। সেয়েহে $x^2+3x+1$ এটা উৎপাদক।

(iii) $x^3-3x+1,\ x^5-4x^3+x^2+3x+1$

উত্তৰঃ ভাগ কৰিলে —

$$x^5-4x^3+x^2+3x+1=(x^3-3x+1)(x^2-1)+2$$

ভাগশেষ $2\neq 0$। সেয়েহে $x^3-3x+1$ উৎপাদক নহয়।

প্ৰশ্ন ৩: $3x^4+6x^3-2x^2-10x-5$ বহুপদৰ দুটা শূন্যৰাশি $\sqrt{\dfrac{5}{3}}$ আৰু $-\sqrt{\dfrac{5}{3}}$ হ’লে আনবোৰ শূন্যৰাশি বিচাৰা।

উত্তৰঃ দুয়োটা শূন্যৰাশি জড়িত উৎপাদক —

$$\left(x-\sqrt{\frac{5}{3}}\right)\left(x+\sqrt{\frac{5}{3}}\right)=x^2-\frac{5}{3}$$

অৰ্থাৎ $3x^2-5$ এটা উৎপাদক। প্ৰদত্ত বহুপদটোক $3x^2-5$ ৰে ভাগ কৰিলে —

$$3x^4+6x^3-2x^2-10x-5=(3x^2-5)(x^2+2x+1)$$

আকৌ $x^2+2x+1=(x+1)^2$। সেয়েহে আনবোৰ শূন্যৰাশি $x=-1,\ -1$।

সকলো শূন্যৰাশি — $\sqrt{\dfrac{5}{3}},\ -\sqrt{\dfrac{5}{3}},\ -1,\ -1$।

প্ৰশ্ন ৪: $x^3-3x^2+x+2$ বহুপদটোক $g(x)$ ৰে ভাগ কৰিলে ভাগফল আৰু ভাগশেষ ক্ৰমে $x-2$ আৰু $-2x+4$ পোৱা গ’ল। $g(x)$ নিৰ্ণয় কৰা।

উত্তৰঃ ভাগ-প্ৰক্ৰিয়া অনুসৰি —

$$p(x)=g(x)\cdot q(x)+r(x)$$

$\Rightarrow g(x)=\dfrac{p(x)-r(x)}{q(x)}$

$p(x)-r(x)=(x^3-3x^2+x+2)-(-2x+4)=x^3-3x^2+3x-2$।

এতিয়া $\dfrac{x^3-3x^2+3x-2}{x-2}$ — দীৰ্ঘ ভাগ কৰি —

$$x^3-3x^2+3x-2=(x-2)(x^2-x+1)$$

সেয়েহে $g(x)=x^2-x+1$।

প্ৰশ্ন ৫: ভাগ-প্ৰক্ৰিয়াৰ ওপৰত নিৰ্ভৰ কৰি $p(x), g(x), q(x), r(x)$ ৰ উদাহৰণ লিখা।

(i) $\deg p(x)=\deg q(x)$

উত্তৰঃ এনে স্থিতি $g(x)$ এটা ধ্ৰুৱক বহুপদ হ’লে সম্ভৱ। যেনে — $p(x)=4x^2+8x+12,\ g(x)=2,\ q(x)=2x^2+4x+6,\ r(x)=0$।

(ii) $\deg q(x)=\deg r(x)$

উত্তৰঃ $p(x)=x^3+x,\ g(x)=x^2,\ q(x)=x,\ r(x)=x$ — ইয়াত ভাগফল আৰু ভাগশেষৰ ঘাত দুয়ো $1$।

(iii) $\deg r(x)=0$

উত্তৰঃ $p(x)=2x^3+x^2+5,\ g(x)=2x+1,\ q(x)=x^2,\ r(x)=5$ — ভাগশেষ এটা ধ্ৰুৱক।

অনুশীলনী ২.৪ (ঐচ্ছিক)

প্ৰশ্ন ১: প্ৰদত্ত সংখ্যাবোৰ ত্ৰিঘাত বহুপদৰ শূন্যৰাশি হোৱাটো প্ৰমাণ কৰা আৰু শূন্যৰাশি আৰু সহগৰ মাজৰ সম্পৰ্ক যাচাই কৰা।

(i) $2x^3+x^2-5x+2;\ \dfrac{1}{2},1,-2$

উত্তৰঃ $p(x)=2x^3+x^2-5x+2$।

$p\left(\dfrac{1}{2}\right)=2\cdot\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{5}{2}+2=\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{5}{2}+2=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}=0$ ✓

$p(1)=2+1-5+2=0$ ✓

$p(-2)=-16+4+10+2=0$ ✓

সেয়েহে তিনিওটা সংখ্যা শূন্যৰাশি। ইয়াত $a=2,\ b=1,\ c=-5,\ d=2$।

$$\alpha+\beta+\gamma=\frac{1}{2}+1-2=-\frac{1}{2}=-\frac{b}{a}$$

$$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=\frac{1}{2}+(-2)+(-1)=-\frac{5}{2}=\frac{c}{a}$$

$$\alpha\beta\gamma=\frac{1}{2}\cdot 1\cdot(-2)=-1=-\frac{2}{2}=-\frac{d}{a}$$

সম্পৰ্ক যাচাই হ’ল।

(ii) $x^3-4x^2+5x-2;\ 2,1,1$

উত্তৰঃ $p(2)=8-16+10-2=0$ ✓ $\quad p(1)=1-4+5-2=0$ ✓

$a=1,\ b=-4,\ c=5,\ d=-2$।

$$\alpha+\beta+\gamma=2+1+1=4=-\frac{-4}{1}=-\frac{b}{a}$$

$$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=2+1+2=5=\frac{c}{a}$$

$$\alpha\beta\gamma=2\cdot 1\cdot 1=2=-\frac{-2}{1}=-\frac{d}{a}$$

প্ৰশ্ন ২: শূন্যৰাশিৰ যোগফল $2$, যোগ-গুণ ফল $-7$, আৰু গুণফল $-14$ হোৱা ত্ৰিঘাত বহুপদ বিচাৰা।

উত্তৰঃ ত্ৰিঘাত বহুপদৰ সাধাৰণ ৰূপ —

$$p(x)=x^3-(\alpha+\beta+\gamma)x^2+(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)x-\alpha\beta\gamma$$

মান বহাই — $p(x)=x^3-2x^2-7x+14$।

প্ৰশ্ন ৩: $x^3-3x^2+x+1$ বহুপদৰ শূন্যৰাশি $a-b,\ a,\ a+b$ হ’লে $a$ আৰু $b$ ৰ মান বিচাৰা।

উত্তৰঃ ইয়াত $A=1,\ B=-3,\ C=1,\ D=1$।

শূন্যৰাশিৰ যোগফল — $(a-b)+a+(a+b)=3a=-\dfrac{-3}{1}=3$।

$\Rightarrow 3a=3 \Rightarrow a=1$।

শূন্যৰাশিৰ গুণফল — $(a-b)\cdot a\cdot(a+b)=a(a^2-b^2)=-\dfrac{1}{1}=-1$।

$a=1$ বহাই — $1\cdot(1-b^2)=-1 \Rightarrow 1-b^2=-1 \Rightarrow b^2=2 \Rightarrow b=\pm\sqrt{2}$।

সেয়েহে $a=1,\ b=\pm\sqrt{2}$।

প্ৰশ্ন ৪: $x^4-6x^3-26x^2+138x-35$ ৰ দুটা শূন্যৰাশি $2\pm\sqrt{3}$ হ’লে আনবোৰ শূন্যৰাশি বিচাৰা।

উত্তৰঃ $\bigl(x-(2+\sqrt{3})\bigr)\bigl(x-(2-\sqrt{3})\bigr)=(x-2)^2-3=x^2-4x+1$।

প্ৰদত্ত বহুপদটোক $x^2-4x+1$ ৰে ভাগ কৰিলে —

$$x^4-6x^3-26x^2+138x-35=(x^2-4x+1)(x^2-2x-35)$$

$x^2-2x-35=(x-7)(x+5)$। সেয়েহে আনবোৰ শূন্যৰাশি $x=7$ আৰু $x=-5$।

সকলো শূন্যৰাশি — $2+\sqrt{3},\ 2-\sqrt{3},\ 7,\ -5$।

প্ৰশ্ন ৫: $x^4-6x^3+16x^2-25x+10$ বহুপদটোক $x^2-2x+k$ ৰে ভাগ কৰিলে ভাগশেষ $x+a$ পোৱা গ’ল। $k$ আৰু $a$ ৰ মান বিচাৰা।

উত্তৰঃ দীৰ্ঘ ভাগ পদ্ধতিৰে ভাগ কৰি পোৱা যায় —

ভাগফল $=x^2-4x+(8-k)$, ভাগশেষ $=(-9+2k)x+(10-8k+k^2)$।

প্ৰদত্ত মতে ভাগশেষ $=x+a$। সেয়েহে —

$-9+2k=1 \Rightarrow k=5$।

আৰু $a=10-8k+k^2=10-40+25=-5$।

সেয়েহে $k=5,\ a=-5$।

লেখচিত্ৰৰ ৰূপান্তৰ — দ্বিঘাত বহুপদ

$y=ax^2+bx+c$ ৰ লেখচিত্ৰটো এটা পৰাবোলা (parabola)। $a>0$ হ’লে ই উৰ্ধমুখী আৰু $a<0$ হ’লে ই অধোমুখী হয়।

অতিৰিক্ত গুৰুত্বপূৰ্ণ প্ৰশ্ন

প্ৰশ্ন ১: $\alpha,\beta$ যদি $x^2-5x+6$ ৰ শূন্যৰাশি হয়, তেন্তে $\alpha^2+\beta^2$ বিচাৰা।

উত্তৰঃ $\alpha+\beta=5,\ \alpha\beta=6$।

$$\alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta=25-12=13$$

প্ৰশ্ন ২: $\alpha,\beta$ যদি $2x^2-4x+5$ ৰ শূন্যৰাশি হয়, তেন্তে $\dfrac{1}{\alpha}+\dfrac{1}{\beta}$ ৰ মান বিচাৰা।

উত্তৰঃ $\alpha+\beta=2,\ \alpha\beta=\dfrac{5}{2}$।

$$\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}=\frac{2}{5/2}=\frac{4}{5}$$

প্ৰশ্ন ৩: $k$ ৰ কোন মানৰ বাবে $kx^2-3x+5$ বহুপদৰ এটা শূন্যৰাশি $1$ হ’ব?

উত্তৰঃ $p(1)=0$ হ’ব লাগিব। সেয়েহে $k(1)^2-3(1)+5=0 \Rightarrow k-3+5=0 \Rightarrow k=-2$।

প্ৰশ্ন ৪: $p(x)=x^2-2x+3$ ৰ শূন্যৰাশি $\alpha,\beta$ হ’লে $(\alpha-\beta)^2$ বিচাৰা।

উত্তৰঃ $\alpha+\beta=2,\ \alpha\beta=3$।

$$(\alpha-\beta)^2=(\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta=4-12=-8$$

(ঋণাত্মক বাবে শূন্যৰাশি দুটা বাস্তৱ নহয়।)

প্ৰশ্ন ৫: যদি $\alpha,\beta$ এটা দ্বিঘাত বহুপদ $x^2+px+q$ ৰ শূন্যৰাশি হয়, তেন্তে $\alpha^2,\beta^2$ ক শূন্যৰাশি হিচাপে থকা দ্বিঘাত বহুপদ লিখা।

উত্তৰঃ $\alpha+\beta=-p,\ \alpha\beta=q$।

$\alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta=p^2-2q$।

$\alpha^2\beta^2=(\alpha\beta)^2=q^2$।

$$f(x)=x^2-(p^2-2q)x+q^2$$

প্ৰশ্ন ৬: এটা ৰৈখিক বহুপদৰ সৰ্বোচ্চ কিমান শূন্যৰাশি থাকিব পাৰে?

উত্তৰঃ এটা ৰৈখিক বহুপদৰ ঘাত $1$, সেয়েহে সৰ্বোচ্চ এটা শূন্যৰাশি থাকিব পাৰে।

প্ৰশ্ন ৭: যদি বহুপদ $p(x)=ax^2+bx+c$ ৰ এটা শূন্যৰাশি আনটোৰ ব্যৱস্ত (reciprocal) হয়, তেন্তে $a$ আৰু $c$ ৰ মাজৰ সম্পৰ্ক কি?

উত্তৰঃ ধৰোঁ শূন্যৰাশি $\alpha$ আৰু $\dfrac{1}{\alpha}$।

গুণফল — $\alpha\cdot\dfrac{1}{\alpha}=1=\dfrac{c}{a}$।

সেয়েহে $a=c$।

প্ৰশ্ন ৮: $p(x)=x^3+3x^2-x-3$ ৰ এটা শূন্যৰাশি $1$ হ’লে আনবোৰ শূন্যৰাশি বিচাৰা।

উত্তৰঃ $x=1$ এটা শূন্যৰাশি বাবে $(x-1)$ এটা উৎপাদক।

ভাগ কৰি — $x^3+3x^2-x-3=(x-1)(x^2+4x+3)=(x-1)(x+1)(x+3)$।

সেয়েহে আনবোৰ শূন্যৰাশি $x=-1,\ -3$।

প্ৰশ্ন ৯: $x^2+7x+10$ আৰু $x^2-25$ ৰ HCF দ্বিঘাত বহুপদ ব্যৱহাৰ কৰি বিচাৰা।

উত্তৰঃ $x^2+7x+10=(x+5)(x+2)$ আৰু $x^2-25=(x-5)(x+5)$।

সাধাৰণ উৎপাদক $(x+5)$। সেয়েহে HCF $=(x+5)$।

বহুনিৰ্বাচনী প্ৰশ্ন (Multiple Choice Questions)

প্ৰশ্ন ১: $x^2-3$ বহুপদৰ শূন্যৰাশি দুটা হ’ল —

(ক) $3,-3$    (খ) $\sqrt{3},-\sqrt{3}$    (গ) $\sqrt{3},\sqrt{3}$    (ঘ) $9,-9$

উত্তৰঃ (খ) $\sqrt{3},-\sqrt{3}$। কাৰণ $x^2-3=0 \Rightarrow x^2=3 \Rightarrow x=\pm\sqrt{3}$।

প্ৰশ্ন ২: $p(x)=x^2+5x+6$ ৰ শূন্যৰাশিৰ যোগফল —

(ক) $5$    (খ) $-5$    (গ) $6$    (ঘ) $-6$

উত্তৰঃ (খ) $-5$। কাৰণ যোগফল $=-\dfrac{b}{a}=-\dfrac{5}{1}=-5$।

প্ৰশ্ন ৩: $p(x)=2x^2+3x-9$ ৰ শূন্যৰাশিৰ গুণফল —

(ক) $\dfrac{9}{2}$    (খ) $-\dfrac{9}{2}$    (গ) $\dfrac{3}{2}$    (ঘ) $-\dfrac{3}{2}$

উত্তৰঃ (খ) $-\dfrac{9}{2}$। কাৰণ গুণফল $=\dfrac{c}{a}=\dfrac{-9}{2}$।

প্ৰশ্ন ৪: এটা ত্ৰিঘাত বহুপদৰ সৰ্বোচ্চ শূন্যৰাশিৰ সংখ্যা —

(ক) $1$    (খ) $2$    (গ) $3$    (ঘ) $4$

উত্তৰঃ (গ) $3$। ত্ৰিঘাত বহুপদৰ ঘাত $3$।

প্ৰশ্ন ৫: $p(x)=x^2-(k+6)x+2(2k-1)$ ৰ শূন্যৰাশিৰ যোগফল গুণফলৰ আধা হ’লে $k$ ৰ মান —

(ক) $7$    (খ) $-7$    (গ) $0$    (ঘ) $1$

উত্তৰঃ (ক) $7$। যোগফল $=k+6$, গুণফল $=2(2k-1)=4k-2$।

চৰ্ত: $k+6=\dfrac{4k-2}{2}=2k-1 \Rightarrow 6+1=2k-k \Rightarrow k=7$।

প্ৰশ্ন ৬: যদি $p(x)=ax^2+bx+c$ ৰ এটা শূন্যৰাশি $0$ হয়, তেন্তে —

(ক) $a=0$    (খ) $b=0$    (গ) $c=0$    (ঘ) $b=c$

উত্তৰঃ (গ) $c=0$। কাৰণ $p(0)=c=0$।

প্ৰশ্ন ৭: $\sqrt{2}$ এটা —

(ক) ৰৈখিক বহুপদ    (খ) দ্বিঘাত বহুপদ    (গ) ধ্ৰুৱক বহুপদ    (ঘ) বহুপদ নহয়

উত্তৰঃ (গ) ধ্ৰুৱক বহুপদ। ই $\sqrt{2}\cdot x^0$ ৰূপত লিখিব পাৰি।

প্ৰশ্ন ৮: $\dfrac{1}{x}+x$ —

(ক) ৰৈখিক বহুপদ    (খ) দ্বিঘাত বহুপদ    (গ) ত্ৰিঘাত বহুপদ    (ঘ) বহুপদ নহয়

উত্তৰঃ (ঘ) বহুপদ নহয়। কাৰণ $\dfrac{1}{x}=x^{-1}$ — চলকৰ ঘাত ঋণাত্মক।

প্ৰশ্ন ৯: $p(x)=x^2-7x+10$ ৰ শূন্যৰাশি দুটা —

(ক) $2,5$    (খ) $-2,-5$    (গ) $2,-5$    (ঘ) $-2,5$

উত্তৰঃ (ক) $2,5$। কাৰণ $(x-2)(x-5)=x^2-7x+10$।

প্ৰশ্ন ১০: ভাগ-প্ৰক্ৰিয়াত $p(x)=g(x)q(x)+r(x)$ ত $r(x)$ ৰ ঘাত হ’ব —

(ক) $\geq \deg g(x)$    (খ) $<\deg g(x)$    (গ) $=\deg g(x)$    (ঘ) $=\deg p(x)$

উত্তৰঃ (খ) $<\deg g(x)$ অথবা $r(x)=0$।

খালী ঠাই পূৰণ কৰা (Fill in the Blanks)

১। $ax^2+bx+c$ ৰ শূন্যৰাশি $\alpha,\beta$ হ’লে $\alpha+\beta=$ ______।

উত্তৰঃ $-\dfrac{b}{a}$।

২। দ্বিঘাত বহুপদৰ লেখচিত্ৰৰ আকৃতি ______।

উত্তৰঃ পৰাবোলা (parabola)।

৩। এটা ৰৈখিক বহুপদৰ লেখচিত্ৰ ______ হয়।

উত্তৰঃ এটা সৰল ৰেখা।

৪। $p(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ ৰ শূন্যৰাশি $\alpha,\beta,\gamma$ হ’লে $\alpha\beta\gamma=$ ______।

উত্তৰঃ $-\dfrac{d}{a}$।

৫। যদি $\alpha,\beta$ যোগফল $S$ আৰু গুণফল $P$ হ’লে দ্বিঘাত বহুপদটো হ’ল $x^2-$ ______ $x+$ ______।

উত্তৰঃ $S,\ P$।

৬। $x^2$ ৰ এটা শূন্যৰাশি ______ আৰু আনটো ______।

উত্তৰঃ $0,\ 0$ (পুনৰাবৃত্ত শূন্যৰাশি)।

৭। ভাগ-প্ৰক্ৰিয়াত যদি $r(x)=0$ হয়, তেন্তে $g(x)$ এটা ______।

উত্তৰঃ $p(x)$ ৰ উৎপাদক।

৮। $p(x)=x^3$ ৰ ঘাত ______।

উত্তৰঃ $3$।

শুদ্ধ-অশুদ্ধ যাচাই (True / False)

১। প্ৰতিটো দ্বিঘাত বহুপদৰ ঠিক দুটা শূন্যৰাশি থাকে।

উত্তৰঃ অশুদ্ধ। দ্বিঘাত বহুপদৰ সৰ্বাধিক দুটা শূন্যৰাশি থাকিব পাৰে; কেতিয়াবা এটাও নাথাকিব পাৰে।

২। $\dfrac{1}{x^2+1}$ এটা বহুপদ।

উত্তৰঃ অশুদ্ধ। চলক হৰৰ ভিতৰত থকা ৰাশি বহুপদ নহয়।

৩। ভাগ-প্ৰক্ৰিয়াত $\deg r(x)<\deg g(x)$।

উত্তৰঃ শুদ্ধ।

৪। $0$ এটা বহুপদ যাৰ ঘাত নাই (অসংজ্ঞায়িত)।

উত্তৰঃ শুদ্ধ। ইয়াক শূন্য বহুপদ বোলা হয় আৰু ইয়াৰ ঘাত সংজ্ঞায়িত নহয়।

৫। $\sqrt{x}+1$ এটা বহুপদ।

উত্তৰঃ অশুদ্ধ। চলকৰ ঘাত $\dfrac{1}{2}$ — ই অখণ্ড নহয়।

৬। $p(x)=x^2-1$ ৰ লেখচিত্ৰ $x$-অক্ষক $1$ আৰু $-1$ ত ছেদ কৰে।

উত্তৰঃ শুদ্ধ। শূন্যৰাশি দুটা $\pm 1$।

দীঘল উত্তৰৰ অতিৰিক্ত প্ৰশ্ন

প্ৰশ্ন ১: $\alpha,\beta$ যদি $p(x)=2x^2-7x+3$ ৰ শূন্যৰাশি হয়, তেন্তে $\alpha^2+\beta^2$, $\alpha^3+\beta^3$, আৰু $\dfrac{\alpha}{\beta}+\dfrac{\beta}{\alpha}$ বিচাৰা।

উত্তৰঃ $\alpha+\beta=\dfrac{7}{2},\ \alpha\beta=\dfrac{3}{2}$।

$$\alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta=\frac{49}{4}-3=\frac{37}{4}$$

$$\alpha^3+\beta^3=(\alpha+\beta)^3-3\alpha\beta(\alpha+\beta)=\frac{343}{8}-3\cdot\frac{3}{2}\cdot\frac{7}{2}=\frac{343}{8}-\frac{63}{4}=\frac{343-126}{8}=\frac{217}{8}$$

$$\frac{\alpha}{\beta}+\frac{\beta}{\alpha}=\frac{\alpha^2+\beta^2}{\alpha\beta}=\frac{37/4}{3/2}=\frac{37}{6}$$

প্ৰশ্ন ২: এটা দ্বিঘাত বহুপদ গঠন কৰা যাৰ শূন্যৰাশি $3+\sqrt{2}$ আৰু $3-\sqrt{2}$।

উত্তৰঃ যোগফল $=(3+\sqrt{2})+(3-\sqrt{2})=6$।

গুণফল $=(3+\sqrt{2})(3-\sqrt{2})=9-2=7$।

$$p(x)=x^2-6x+7$$

প্ৰশ্ন ৩: $p(x)=x^4-4x^3-8x^2+36x-9$ ৰ দুটা শূন্যৰাশি $3$ আৰু $-3$ হ’লে আনবোৰ শূন্যৰাশি বিচাৰা।

উত্তৰঃ $(x-3)(x+3)=x^2-9$ এটা উৎপাদক।

প্ৰদত্ত বহুপদটোক $x^2-9$ ৰে ভাগ কৰিলে —

$$x^4-4x^3-8x^2+36x-9=(x^2-9)(x^2-4x+1)$$

$x^2-4x+1=0$ ৰ পৰা — শ্ৰীধৰাচাৰ্যৰ সূত্ৰ ব্যৱহাৰ কৰি —

$$x=\frac{4\pm\sqrt{16-4}}{2}=\frac{4\pm 2\sqrt{3}}{2}=2\pm\sqrt{3}$$

সকলো শূন্যৰাশি — $3,\ -3,\ 2+\sqrt{3},\ 2-\sqrt{3}$।

প্ৰশ্ন ৪: $p(x)=x^3-6x^2+11x-6$ বহুপদৰ সকলো শূন্যৰাশি বিচাৰা।

উত্তৰঃ $p(1)=1-6+11-6=0$ — সেয়েহে $1$ এটা শূন্যৰাশি।

$(x-1)$ ৰে ভাগ কৰি — $x^3-6x^2+11x-6=(x-1)(x^2-5x+6)$।

$x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$।

সেয়েহে শূন্যৰাশি — $1,\ 2,\ 3$।

যাচাই: $1+2+3=6=-\dfrac{-6}{1}=-\dfrac{b}{a}$ ✓ আৰু $1\cdot 2\cdot 3=6=-\dfrac{-6}{1}=-\dfrac{d}{a}$ ✓।

প্ৰশ্ন ৫: এটা দ্বিঘাত বহুপদ গঠন কৰা যাৰ শূন্যৰাশিসমূহ $x^2-3x-2$ ৰ শূন্যৰাশিৰ ব্যৱস্ত (reciprocal)।

উত্তৰঃ ধৰোঁ $x^2-3x-2$ ৰ শূন্যৰাশি $\alpha,\beta$।

$\alpha+\beta=3,\ \alpha\beta=-2$।

নতুন শূন্যৰাশি $\dfrac{1}{\alpha},\dfrac{1}{\beta}$।

$\dfrac{1}{\alpha}+\dfrac{1}{\beta}=\dfrac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}=\dfrac{3}{-2}=-\dfrac{3}{2}$।

$\dfrac{1}{\alpha}\cdot\dfrac{1}{\beta}=\dfrac{1}{\alpha\beta}=-\dfrac{1}{2}$।

সেয়েহে নতুন বহুপদ —

$$f(x)=x^2+\frac{3}{2}x-\frac{1}{2}$$

$2$ ৰে গুণ কৰি — $f(x)=2x^2+3x-1$।

প্ৰশ্ন ৬: $p(x)=x^2-(k-6)x+(2k+1)$ ৰ শূন্যৰাশি দুটাৰ যোগফল গুণফলৰ সমান হ’লে $k$ ৰ মান বিচাৰা।

উত্তৰঃ যোগফল $=k-6$, গুণফল $=2k+1$।

$k-6=2k+1 \Rightarrow -7=k \Rightarrow k=-7$।

প্ৰশ্ন ৭: $\alpha,\beta$ যদি $x^2+px-q$ ৰ শূন্যৰাশি হয়, তেন্তে $\alpha^3+\beta^3$ ক $p,q$ ৰ ৰূপত প্ৰকাশ কৰা।

উত্তৰঃ $\alpha+\beta=-p,\ \alpha\beta=-q$।

$$\alpha^3+\beta^3=(\alpha+\beta)^3-3\alpha\beta(\alpha+\beta)=(-p)^3-3(-q)(-p)=-p^3-3pq$$

প্ৰশ্ন ৮: $p(x)=2x^4+7x^3-19x^2-14x+30$ ৰ দুটা শূন্যৰাশি $\sqrt{2}$ আৰু $-\sqrt{2}$ হ’লে আনবোৰ শূন্যৰাশি বিচাৰা।

উত্তৰঃ $(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})=x^2-2$।

$2x^4+7x^3-19x^2-14x+30$ ক $x^2-2$ ৰে ভাগ কৰিলে —

$$2x^4+7x^3-19x^2-14x+30=(x^2-2)(2x^2+7x-15)$$

$2x^2+7x-15=2x^2+10x-3x-15=2x(x+5)-3(x+5)=(x+5)(2x-3)$।

সেয়েহে আনবোৰ শূন্যৰাশি $-5,\ \dfrac{3}{2}$।

সকলো শূন্যৰাশি — $\sqrt{2},\ -\sqrt{2},\ -5,\ \dfrac{3}{2}$।

প্ৰশ্ন ৯: যদি $\alpha$ আৰু $\dfrac{1}{\alpha}$ এটা $5x^2-12x+(k-3)$ বহুপদৰ শূন্যৰাশি হয়, তেন্তে $k$ ৰ মান বিচাৰা।

উত্তৰঃ গুণফল $=\alpha\cdot\dfrac{1}{\alpha}=1=\dfrac{k-3}{5}$।

$\Rightarrow k-3=5 \Rightarrow k=8$।

প্ৰশ্ন ১০: $p(x)$ ক $g(x)=x-1$ ৰে ভাগ কৰিলে ভাগশেষ $5$ পোৱা গ’ল আৰু $g(x)=x-2$ ৰে ভাগ কৰিলে ভাগশেষ $7$ পোৱা গ’ল। যদি $p(x)$ এটা ৰৈখিক বহুপদ হয়, তেন্তে $p(x)$ বিচাৰা।

উত্তৰঃ ধৰোঁ $p(x)=ax+b$।

$p(1)=a+b=5$, $p(2)=2a+b=7$।

বিয়োগ কৰি — $a=2$। সেয়েহে $b=3$।

$\Rightarrow p(x)=2x+3$।

লেখচিত্ৰৰ ৰূপান্তৰ — ত্ৰিঘাত বহুপদ

ত্ৰিঘাত বহুপদৰ লেখচিত্ৰই $x$-অক্ষক ১, ২ অথবা ৩ বিন্দুত ছেদ কৰিব পাৰে। সাধাৰণতে এটা ত্ৰিঘাত বহুপদৰ ৩টা বাস্তৱ শূন্যৰাশি থাকে। তলৰ চিত্ৰটোত $y=x^3-6x^2+11x-6$ ৰ লেখচিত্ৰ দেখুৱা হৈছে — শূন্যৰাশি $1,2,3$।

চমু উত্তৰৰ প্ৰশ্ন (Short Answer Questions)

প্ৰশ্ন ১: বহুপদ কাক বোলে?

উত্তৰঃ এটা চলক $x$ ৰ অ-ঋণাত্মক অখণ্ড ঘাতৰ এটা বা একাধিক পদৰ যোগফলেৰে গঠিত বীজগণিতীয় ৰাশিক বহুপদ বোলে। সাধাৰণ ৰূপ — $p(x)=a_n x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_1 x+a_0$, য’ত $a_0,a_1,\dots,a_n$ বাস্তৱ সংখ্যা আৰু $a_n\neq 0$।

প্ৰশ্ন ২: বহুপদৰ ঘাতৰ সংজ্ঞা দিয়া।

উত্তৰঃ এটা বহুপদত চলকৰ যি সৰ্বোচ্চ ঘাত আছে, সেই সৰ্বোচ্চ ঘাতকেই বহুপদটোৰ ঘাত বোলে। যেনে — $5x^4-3x^2+1$ বহুপদৰ ঘাত $4$।

প্ৰশ্ন ৩: ৰৈখিক, দ্বিঘাত আৰু ত্ৰিঘাত বহুপদৰ এটাকৈ উদাহৰণ দিয়া।

উত্তৰঃ ৰৈখিক — $2x+3$ (ঘাত $1$); দ্বিঘাত — $x^2-5x+6$ (ঘাত $2$); ত্ৰিঘাত — $x^3-3x^2+2x-1$ (ঘাত $3$)।

প্ৰশ্ন ৪: এটা বহুপদৰ শূন্যৰাশি কাক বোলে?

উত্তৰঃ চলকৰ যি মানৰ বাবে বহুপদৰ মান শূন্য হয়, সেই মানক বহুপদটোৰ শূন্যৰাশি বোলে। অৰ্থাৎ $p(\alpha)=0$ হ’লে $\alpha$ বহুপদ $p(x)$ ৰ এটা শূন্যৰাশি।

প্ৰশ্ন ৫: বহুপদৰ শূন্যৰাশিৰ জ্যামিতিক অৰ্থ লিখা।

উত্তৰঃ বহুপদ $y=p(x)$ ৰ লেখচিত্ৰই $x$-অক্ষক যিকেইটা বিন্দুত স্পৰ্শ বা ছেদ কৰে, সেই বিন্দুসমূহৰ $x$-স্থানাংকেই হ’ল বহুপদটোৰ শূন্যৰাশি। অৰ্থাৎ লেখচিত্ৰ আৰু $x$-অক্ষৰ ছেদ-বিন্দুসমূহে শূন্যৰাশি প্ৰকাশ কৰে।

প্ৰশ্ন ৬: $p(x)=2x-3$ ৰ শূন্যৰাশি বিচাৰা।

উত্তৰঃ $p(x)=0 \Rightarrow 2x-3=0 \Rightarrow x=\dfrac{3}{2}$।

প্ৰশ্ন ৭: $p(x)=x^2-9$ ৰ শূন্যৰাশি বিচাৰা।

উত্তৰঃ $x^2-9=(x-3)(x+3)=0 \Rightarrow x=3,\ -3$।

প্ৰশ্ন ৮: ভাগ-প্ৰক্ৰিয়া (Division Algorithm) ৰ সংজ্ঞা দিয়া।

উত্তৰঃ যদি $p(x)$ আৰু $g(x)$ এনে দুটা বহুপদ যাতে $g(x)\neq 0$ হয়, তেন্তে এনে অদ্বিতীয় দুটা বহুপদ $q(x)$ আৰু $r(x)$ পোৱা যায় যাতে $p(x)=g(x)\cdot q(x)+r(x)$ আৰু $r(x)=0$ অথবা $\deg r(x)<\deg g(x)$ হয়। এইটোকেই বহুপদৰ ভাগ-প্ৰক্ৰিয়া বোলে।

প্ৰশ্ন ৯: যদি $\alpha,\beta$ এটা দ্বিঘাত বহুপদৰ শূন্যৰাশি হয় আৰু $\alpha+\beta=4,\ \alpha\beta=3$, তেন্তে বহুপদটো লিখা।

উত্তৰঃ $p(x)=x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta=x^2-4x+3$।

প্ৰশ্ন ১০: $p(x)=x^3-3x^2+2x$ ৰ শূন্যৰাশি বিচাৰা।

উত্তৰঃ $p(x)=x(x^2-3x+2)=x(x-1)(x-2)$।

সেয়েহে শূন্যৰাশি $0,\ 1,\ 2$।

প্ৰশ্ন ১১: ত্ৰিঘাত বহুপদ $ax^3+bx^2+cx+d$ ৰ শূন্যৰাশি $\alpha,\beta,\gamma$ হ’লে শূন্যৰাশি আৰু সহগৰ মাজৰ সম্পৰ্ক লিখা।

উত্তৰঃ $\alpha+\beta+\gamma=-\dfrac{b}{a}$, $\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=\dfrac{c}{a}$, $\alpha\beta\gamma=-\dfrac{d}{a}$।

প্ৰশ্ন ১২: এটা দ্বিঘাত বহুপদৰ লেখচিত্ৰৰ আকৃতি কেনে?

উত্তৰঃ এটা দ্বিঘাত বহুপদ $y=ax^2+bx+c$ ৰ লেখচিত্ৰৰ আকৃতি পৰাবোলা (parabola)। যদি $a>0$ হয়, পৰাবোলাটো উৰ্ধমুখী হয়; আৰু যদি $a<0$ হয়, পৰাবোলাটো অধোমুখী হয়।

মনত ৰাখিবলগীয়া তথ্যসমূহ

$\alpha^2+\beta^2$	$(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta$
$\alpha^3+\beta^3$	$(\alpha+\beta)^3-3\alpha\beta(\alpha+\beta)$
$(\alpha-\beta)^2$	$(\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta$
$\dfrac{1}{\alpha}+\dfrac{1}{\beta}$	$\dfrac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}$
$\dfrac{\alpha}{\beta}+\dfrac{\beta}{\alpha}$	$\dfrac{\alpha^2+\beta^2}{\alpha\beta}$
$\alpha^2\beta^2$	$(\alpha\beta)^2$

শব্দাৰ্থ (Glossary)

অসমীয়া শব্দ	English	সংজ্ঞা
বহুপদ	Polynomial	চলকৰ অ-ঋণাত্মক পূৰ্ণ ঘাতৰ যোগফলেৰে গঠিত ৰাশি
ঘাত	Degree	বহুপদৰ চলকৰ সৰ্বোচ্চ ঘাত
সহগ	Coefficient	চলকৰ লগত গুণিত সাংখ্যিক মান
ৰৈখিক বহুপদ	Linear polynomial	$1$-ঘাতৰ বহুপদ
দ্বিঘাত বহুপদ	Quadratic polynomial	$2$-ঘাতৰ বহুপদ
ত্ৰিঘাত বহুপদ	Cubic polynomial	$3$-ঘাতৰ বহুপদ
শূন্যৰাশি	Zero / Root	$p(x)=0$ হ’বলৈ চলকৰ মান
লেখচিত্ৰ	Graph	$y=p(x)$ ৰ জ্যামিতিক প্ৰতিৰূপ
পৰাবোলা	Parabola	দ্বিঘাত বহুপদৰ লেখচিত্ৰ
উৎপাদক	Factor	যিটো বহুপদেৰে ভাগ কৰিলে ভাগশেষ শূন্য
ভাগ-প্ৰক্ৰিয়া	Division algorithm	$p(x)=g(x)q(x)+r(x)$ সম্বন্ধ
ভাগফল	Quotient	ভাগ কৰাৰ পিছত পোৱা ফল
ভাগশেষ	Remainder	ভাগ কৰাৰ পিছত অৱশিষ্ট ৰাশি
ধ্ৰুৱক	Constant	মান নসলোৱা সংখ্যা

এই অধ্যায়টোৰ অভ্যাস শেষ কৰাৰ পিছত শিক্ষাৰ্থীয়ে ASSEB-ৰ HSLC পৰীক্ষাত বহুপদ সম্পৰ্কীয় যিকোনো প্ৰশ্নৰ উত্তৰ আত্মবিশ্বাসেৰে দিব পাৰিব। লেখচিত্ৰৰ পৰা শূন্যৰাশি চিনাক্ত কৰা, সহগৰ সৈতে শূন্যৰাশিৰ সম্পৰ্ক যাচাই, আৰু ভাগ-প্ৰক্ৰিয়াৰ প্ৰয়োগ — এই তিনিটা কথা ভালদৰে অভ্যাস কৰিলে সম্পূৰ্ণ অধ্যায় আয়ত্তাধীন হ’ব। শুভেচ্ছাৰে — HSLC GURU।