নমস্কাৰ প্ৰিয় শিক্ষাৰ্থী! HSLC GURU ৱেবছাইটলৈ স্বাগতম। এই পাঠত আমি ASSEB (অসম ৰাজ্যিক বিদ্যালয় শিক্ষা পৰিষদ)ৰ দশম শ্ৰেণীৰ গণিত বিষয়ৰ পঞ্চদশ অধ্যায় সম্ভাৱিতা (Probability)ৰ বিশদ আলোচনা কৰিম। এই অধ্যায়ত আমি তত্ত্বীয় সম্ভাৱিতা (theoretical probability), নমুনা স্থান (sample space), নিশ্চিত আৰু অসম্ভৱ ঘটনা, পৰিপূৰক ঘটনা (complementary event) আদিৰ সম্পৰ্কে শিকিম। লগতে মুদ্ৰা নিক্ষেপ, পাশা নিক্ষেপ, তাচ-পাতৰ পৰা পাত উলিওৱা, বেগৰ পৰা বল উলিওৱা আদি বিভিন্ন উদাহৰণৰ সহায়ত সম্ভাৱিতাৰ গণনা শিকিম। অনুশীলনী 15.1 আৰু 15.2ৰ সকলো প্ৰশ্নৰ সম্পূৰ্ণ সমাধান এই পাঠত পাব।
সাৰাংশ (Summary)
দৈনন্দিন জীৱনত আমি প্ৰায়েই “হ’ব পাৰে”, “নিশ্চিতভাৱে হ’ব”, “অসম্ভৱ”, “সম্ভাৱনা কম” আদি শব্দ ব্যৱহাৰ কৰোঁ। এই অনিশ্চিততাৰ পৰিমাপ কৰিবলৈ গণিতৰ যিটো শাখা গঢ় লৈ উঠিছে তাকেই সম্ভাৱিতা (Probability) বোলে। নৱম শ্ৰেণীত আমি পৰীক্ষামূলক বা পৰিসংখ্যামূলক সম্ভাৱিতা (experimental or empirical probability) সম্পৰ্কে অধ্যয়ন কৰিছিলোঁ য’ত প্ৰকৃত পৰীক্ষাৰ ফলাফলৰ ওপৰত ভিত্তি কৰি সম্ভাৱিতা নিৰ্ণয় কৰা হয়। এই অধ্যায়ত আমি তত্ত্বীয় সম্ভাৱিতা (theoretical probability) বা ক্লাছিকেল সম্ভাৱিতা (classical probability) সম্পৰ্কে জানিম, য’ত পৰীক্ষা প্ৰকৃততে নকৰাকৈ যুক্তিৰে সম্ভাৱিতা গণনা কৰা হয়।
এই অধ্যায়ৰ মূল প্ৰাপ্তিসমূহ হ’ল — সম্ভাৱিতাৰ ক্লাছিকেল সংজ্ঞা, সমান সম্ভাৱনাযুক্ত পৰিণাম (equally likely outcomes), নিশ্চিত ঘটনা (sure event), অসম্ভৱ ঘটনা (impossible event), পৰিপূৰক ঘটনা (complementary event)। এই অধ্যায়ত আমি মুদ্ৰা, পাশা, তাচ-পাতৰ ৰূপ আৰু বেগৰ পৰা বল উলিওৱা আদি প্ৰসংগত সম্ভাৱিতাৰ গণনা কৰিম।
Probability is a measure of the likelihood that an event will occur. In Class IX we studied experimental (or empirical) probability based on actual experiments. In this chapter we study theoretical (classical) probability where the probability of an event $E$ is defined as the ratio of the number of outcomes favourable to $E$ to the total number of equally likely outcomes of the experiment. We learn the concepts of sample space, sure event, impossible event, complementary event, and apply these to coins, dice, playing cards and balls drawn from a bag. Exercise 15.1 covers basic probability calculations while Exercise 15.2 deals with slightly advanced compound events.
মূল সূত্ৰসমূহ (Key Formulae)
1. তত্ত্বীয় সম্ভাৱিতাৰ সংজ্ঞা (Definition of Theoretical Probability)
এটা পৰীক্ষাৰ সকলো পৰিণাম সমান সম্ভাৱনাযুক্ত হ’লে, কোনো এটা ঘটনা $E$ৰ তত্ত্বীয় সম্ভাৱিতা হ’ল —
$$P(E) = \frac{\text{ঘটনা E-ৰ অনুকূল পৰিণামৰ সংখ্যা}}{\text{মুঠ সমান সম্ভাৱনাযুক্ত পৰিণামৰ সংখ্যা}}$$
ইংৰাজীত —
$$P(E) = \frac{\text{Number of outcomes favourable to } E}{\text{Number of all possible outcomes of the experiment}}$$
2. সম্ভাৱিতাৰ পৰিসৰ (Range of Probability)
যিকোনো ঘটনা $E$ৰ বাবে —
$$0 \le P(E) \le 1$$
অৰ্থাৎ সম্ভাৱিতা কেতিয়াও ঋণাত্মক হ’ব নোৱাৰে আৰু $1$তকৈ ডাঙৰো হ’ব নোৱাৰে।
3. নিশ্চিত ঘটনা আৰু অসম্ভৱ ঘটনা (Sure Event and Impossible Event)
যিটো ঘটনা সকলো সময়তে ঘটে তাক নিশ্চিত ঘটনা (sure / certain event) বোলে। তেনে ঘটনাৰ সম্ভাৱিতা $P(\text{sure event}) = 1$।
যিটো ঘটনা কেতিয়াও নঘটে তাক অসম্ভৱ ঘটনা (impossible event) বোলে। তেনে ঘটনাৰ সম্ভাৱিতা $P(\text{impossible event}) = 0$।
4. পৰিপূৰক ঘটনা (Complementary Event)
যদি $E$ এটা ঘটনা হয়, তেন্তে “$E$ নঘটা” ঘটনাটোক $\bar{E}$ বা $E’$ বোলে। ইয়াক $E$ৰ পৰিপূৰক ঘটনা বোলে। সদায় —
$$P(E) + P(\bar{E}) = 1$$
$$P(\bar{E}) = 1 – P(E)$$
5. মৌলিক পৰীক্ষাৰ পৰিণাম সংখ্যা (Total Outcomes in Standard Experiments)
| পৰীক্ষা (Experiment) | মুঠ পৰিণাম | নমুনা স্থান |
| এটা মুদ্ৰা নিক্ষেপ | $2$ | $\{H, T\}$ |
| দুটা মুদ্ৰা নিক্ষেপ | $4$ | $\{HH, HT, TH, TT\}$ |
| তিনিটা মুদ্ৰা নিক্ষেপ | $8$ | $\{HHH, HHT, \dots, TTT\}$ |
| এটা পাশা নিক্ষেপ | $6$ | $\{1,2,3,4,5,6\}$ |
| দুটা পাশা একেলগে নিক্ষেপ | $36$ | $\{(1,1),(1,2),\dots,(6,6)\}$ |
| 52-খনীয়া তাচ-পাতৰ পৰা এখন উলিওৱা | $52$ | $4$ ৰূপ × $13$ পাত |
6. তাচ-পাতৰ গাঁথনি (Structure of a Deck of Cards)
এটা সাধাৰণ ৫২খনীয়া তাচ-পাতৰ ছেটত $4$টা ৰূপ (suit) থাকে — হাৰটেন (hearts), ডায়মণ্ড (diamonds), স্পেইড (spades), ক্লাব (clubs)। হাৰটেন আৰু ডায়মণ্ড ৰঙা বৰণৰ; স্পেইড আৰু ক্লাব ক’লা বৰণৰ। প্ৰতিটো ৰূপত $13$টাকৈ পাত — $A, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K$। জেক (J), কুইন (Q) আৰু কিং (K) এই তিনিটা পাতক ফেচ কাৰ্ড (face card) বোলা হয়। সেয়ে এখন তাচ-ছেটত $12$খন ফেচ কাৰ্ড আৰু $4$খনকৈ এক্ছ (Ace) থাকে।
7. পৰীক্ষামূলক বনাম তত্ত্বীয় সম্ভাৱিতা (Experimental vs Theoretical Probability)
| পৰীক্ষামূলক সম্ভাৱিতা | তত্ত্বীয় সম্ভাৱিতা |
| প্ৰকৃত পৰীক্ষাৰ ফলাফলৰ ওপৰত নিৰ্ভৰশীল | যুক্তি/গণনাৰ ওপৰত নিৰ্ভৰশীল |
| $P(E) = \dfrac{\text{ঘটাৰ সংখ্যা}}{\text{মুঠ পৰীক্ষাৰ সংখ্যা}}$ | $P(E) = \dfrac{\text{অনুকূল পৰিণাম}}{\text{মুঠ সম্ভাব্য পৰিণাম}}$ |
| একে পৰীক্ষাৰ ফল ভিন্ন হ’ব পাৰে | সদায় একেই উত্তৰ পোৱা যায় |
| পৰীক্ষাৰ সংখ্যা বহুত বঢ়ালে তত্ত্বীয় মানৰ কাষ চাপি যায় | সদায় এটা স্থিৰ মান |
অনুশীলনী 15.1 (Exercise 15.1)
প্ৰশ্ন 1: তলৰ বাক্যবোৰৰ খালী ঠাই পূৰ কৰা।
(i) এটা ঘটনা ঘটাৰ সম্ভাৱিতা + এটা ঘটনা নঘটাৰ সম্ভাৱিতা = ____।
উত্তৰঃ $1$।
(ii) যি ঘটনা কেতিয়াও নঘটে, তেনে ঘটনাৰ সম্ভাৱিতা ____। তেনে ঘটনাৰ নাম ____ ঘটনা।
উত্তৰঃ $0$, অসম্ভৱ ঘটনা।
(iii) যি ঘটনা নিশ্চিতভাৱে ঘটে, তেনে ঘটনাৰ সম্ভাৱিতা ____। তেনে ঘটনাৰ নাম ____ ঘটনা।
উত্তৰঃ $1$, নিশ্চিত ঘটনা।
(iv) এটা পৰীক্ষাৰ সকলো মৌলিক ঘটনাৰ সম্ভাৱিতাৰ যোগফল ____।
উত্তৰঃ $1$।
(v) এটা ঘটনাৰ সম্ভাৱিতা ____তকৈ ডাঙৰ বা সমান আৰু ____তকৈ সৰু বা সমান।
উত্তৰঃ $0$ আৰু $1$। অৰ্থাৎ $0 \le P(E) \le 1$।
প্ৰশ্ন 2: তলৰ পৰীক্ষাবোৰৰ পৰিণাম কোনবোৰ সমান সম্ভাৱনাযুক্ত? কাৰণ দাঙি ধৰা।
(i) এজন গাড়ী চালকে এখন গাড়ী চলাবলৈ চেষ্টা কৰে। গাড়ীখন চলে বা নচলে।
উত্তৰঃ সমান সম্ভাৱনাযুক্ত নহয়। কাৰণ গাড়ীখন চলিব নে নচলিব সেয়া বহুতো কাৰকৰ ওপৰত নিৰ্ভৰ কৰে — গাড়ীৰ অৱস্থা, পেট্ৰল, চালকৰ দক্ষতা আদি।
(ii) এজন খেলুৱৈয়ে বাস্কেট-বল গ’লছুট কৰিবলৈ চেষ্টা কৰে। সি ছুটটো কৰিব পাৰে বা নকৰিবও পাৰে।
উত্তৰঃ সমান সম্ভাৱনাযুক্ত নহয়। কাৰণ ই খেলুৱৈজনৰ পৰীক্ষা, অনুশীলন আৰু দক্ষতাৰ ওপৰত নিৰ্ভৰ কৰে।
(iii) এটা সঁচা-মিছা প্ৰশ্নৰ উত্তৰ অনুমান কৰা হ’ল। উত্তৰটো শুদ্ধ হয় বা ভুল হয়।
উত্তৰঃ সমান সম্ভাৱনাযুক্ত। কাৰণ কেৱল দুটা সম্ভাৱ্য পৰিণাম — শুদ্ধ অথবা ভুল — আৰু দুয়োটাৰ সম্ভাৱনা সমান।
(iv) এটা সদ্যজাত শিশু ছোৱালী হয় বা ল’ৰা হয়।
উত্তৰঃ সমান সম্ভাৱনাযুক্ত। জন্ম হোৱা শিশু ল’ৰা বা ছোৱালী হোৱাৰ সম্ভাৱনা প্ৰায় সমান।
প্ৰশ্ন 3: এখন ফুটবল খেলৰ আৰম্ভণিত কোন দলে আগতে গ’লৰ ফালে আক্ৰমণ কৰিব সেয়া স্থিৰ কৰিবলৈ মুদ্ৰা নিক্ষেপ কৰাটো এক ন্যায্য পদ্ধতি কিয়?
উত্তৰঃ মুদ্ৰা নিক্ষেপ কৰিলে কেৱল দুটা সম্ভাৱ্য পৰিণাম থাকে — মূৰ (Head) বা পুচ (Tail)। দুয়োটাৰ সম্ভাৱিতা সমান অৰ্থাৎ $\dfrac{1}{2}$। কোনো এটা পৰিণামতকৈ আনটো বেছি অনুকূল নহয়, সেয়েহে এই পদ্ধতি ন্যায্য।
প্ৰশ্ন 4: তলৰ কোনটো সংখ্যা কোনো এটা ঘটনাৰ সম্ভাৱিতা হ’ব নোৱাৰে?
(A) $\dfrac{2}{3}$ (B) $-1.5$ (C) $15\%$ (D) $0.7$
উত্তৰঃ বিকল্প (B) $-1.5$। কাৰণ যিকোনো ঘটনাৰ সম্ভাৱিতা $0$ আৰু $1$ৰ মাজত থাকে অৰ্থাৎ $0 \le P(E) \le 1$। সম্ভাৱিতা ঋণাত্মক হ’ব নোৱাৰে।
প্ৰশ্ন 5: যদি $P(E) = 0.05$, তেন্তে “$E$ নহয়”ৰ সম্ভাৱিতা কিমান?
উত্তৰঃ
$$P(\bar{E}) = 1 – P(E) = 1 – 0.05 = 0.95$$
প্ৰশ্ন 6: এটা বেগত কেৱল লেমন-সোৱাদৰ ছেণ্ডি আছে। এজনী ছোৱালীয়ে নাচাইকৈ বেগৰ পৰা এটা ছেণ্ডি উলিয়ালে। সম্ভাৱিতা বিচাৰা —
(i) ছেণ্ডিটো কমলা সোৱাদৰ হোৱাৰ সম্ভাৱিতা।
উত্তৰঃ বেগত কোনো কমলা সোৱাদৰ ছেণ্ডি নাই। সেয়েহে এই ঘটনা অসম্ভৱ।
$$P(\text{কমলা সোৱাদ}) = 0$$
(ii) ছেণ্ডিটো লেমন সোৱাদৰ হোৱাৰ সম্ভাৱিতা।
উত্তৰঃ বেগৰ সকলো ছেণ্ডিয়েই লেমন সোৱাদৰ। সেয়েহে এই ঘটনা নিশ্চিত।
$$P(\text{লেমন সোৱাদ}) = 1$$
প্ৰশ্ন 7: যি যুক্তি প্ৰদৰ্শন কৰা হৈছিল তাৰ পৰা দুজন মানুহৰ একে জন্ম-দিন নথকাৰ সম্ভাৱিতা $0.992$। দুজনৰ একে জন্ম-দিন থকাৰ সম্ভাৱিতা কিমান?
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল $E$ = “দুজনৰ একে জন্ম-দিন থকা” ঘটনা। তেন্তে $\bar{E}$ = “দুজনৰ একে জন্ম-দিন নথকা”।
$$P(E) + P(\bar{E}) = 1$$
$$P(E) = 1 – 0.992 = 0.008$$
প্ৰশ্ন 8: এটা বেগত $3$টা ৰঙা আৰু $5$টা ক’লা বল আছে। বেগৰ পৰা এটা বল উলিওৱা হৈছে। সম্ভাৱিতা বিচাৰা —
মুঠ বল $= 3 + 5 = 8$।
(i) বলটো ৰঙা হোৱাৰ সম্ভাৱিতা।
উত্তৰঃ
$$P(\text{ৰঙা}) = \frac{3}{8}$$
(ii) বলটো ৰঙা নোহোৱাৰ সম্ভাৱিতা।
উত্তৰঃ
$$P(\text{ৰঙা নহয়}) = 1 – \frac{3}{8} = \frac{5}{8}$$
প্ৰশ্ন 9: এটা বাকচত $5$টা ৰঙা, $8$টা বগা আৰু $4$টা সেউজীয়া মাৰ্বল আছে। বাকচৰ পৰা এটা মাৰ্বল উলিওৱা হৈছে। সম্ভাৱিতা বিচাৰা —
মুঠ মাৰ্বল $= 5 + 8 + 4 = 17$।
(i) মাৰ্বলটো ৰঙা হোৱাৰ সম্ভাৱিতা।
উত্তৰঃ
$$P(\text{ৰঙা}) = \frac{5}{17}$$
(ii) মাৰ্বলটো বগা হোৱাৰ সম্ভাৱিতা।
উত্তৰঃ
$$P(\text{বগা}) = \frac{8}{17}$$
(iii) মাৰ্বলটো সেউজীয়া নোহোৱাৰ সম্ভাৱিতা।
উত্তৰঃ
$$P(\text{সেউজীয়া}) = \frac{4}{17}$$
$$P(\text{সেউজীয়া নহয়}) = 1 – \frac{4}{17} = \frac{13}{17}$$
প্ৰশ্ন 10: এটা পিগি বেংকত $50$ পইছাৰ $100$টা, ১ টকাৰ $50$টা, ২ টকাৰ $20$টা আৰু ৫ টকাৰ $10$টা মুদ্ৰা আছে। যদি বেংকটো ওলোটাকৈ লৈ জোকাৰি দিয়াত এটা মুদ্ৰা পৰে, তেন্তে সম্ভাৱিতা বিচাৰা —
মুঠ মুদ্ৰাৰ সংখ্যা $= 100 + 50 + 20 + 10 = 180$।
(i) মুদ্ৰাটো $50$ পইছাৰ হোৱাৰ সম্ভাৱিতা।
উত্তৰঃ
$$P(50\text{ p}) = \frac{100}{180} = \frac{5}{9}$$
(ii) মুদ্ৰাটো ৫ টকাৰ নোহোৱাৰ সম্ভাৱিতা।
উত্তৰঃ
$$P(5\text{ Rs}) = \frac{10}{180} = \frac{1}{18}$$
$$P(5\text{ Rs নহয়}) = 1 – \frac{1}{18} = \frac{17}{18}$$
প্ৰশ্ন 11: গোপীয়ে এটা মাছ-পুখুৰীৰ পৰা নাচাইকৈ এটা মাছ উলিয়ায়। মাছ-পুখুৰীত $5$টা মতা আৰু $8$টা মাইকী মাছ আছে। উলিওৱা মাছটো মতা মাছ হোৱাৰ সম্ভাৱিতা কিমান?
উত্তৰঃ মুঠ মাছ $= 5 + 8 = 13$।
$$P(\text{মতা মাছ}) = \frac{5}{13}$$
প্ৰশ্ন 12: ভাগ্য-কাঁটাৰ এটা খেলত এটা কাঁটাযুক্ত চক্ৰ আছে যাৰ ভাগসমূহত $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8$ লিখা আছে। কাঁটাটো ঘূৰাই এৰি দিয়া হ’ল আৰু সি কোনো এটা সংখ্যাত ৰৈ গ’ল। কাঁটাটোৱে দেখুৱাব —
মুঠ পৰিণাম $= 8$।
(i) সংখ্যা $8$ হোৱাৰ সম্ভাৱিতা।
উত্তৰঃ
$$P(8) = \frac{1}{8}$$
(ii) এটা বিজোৰ সংখ্যা হোৱাৰ সম্ভাৱিতা।
উত্তৰঃ বিজোৰ সংখ্যা $\{1, 3, 5, 7\}$। মুঠ অনুকূল পৰিণাম $= 4$।
$$P(\text{বিজোৰ}) = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$$
(iii) $2$তকৈ ডাঙৰ সংখ্যা হোৱাৰ সম্ভাৱিতা।
উত্তৰঃ $\{3, 4, 5, 6, 7, 8\}$ — মুঠ $6$টা।
$$P(>2) = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$$
(iv) $9$তকৈ সৰু সংখ্যা হোৱাৰ সম্ভাৱিতা।
উত্তৰঃ $1$ৰ পৰা $8$লৈ সকলো সংখ্যা $9$তকৈ সৰু। সকলো $8$টা পৰিণাম অনুকূল।
$$P(<9) = \frac{8}{8} = 1$$
ই এটা নিশ্চিত ঘটনা।
প্ৰশ্ন 13: এটা পাশা এবাৰ নিক্ষেপ কৰা হ’ল। তলৰ ঘটনাবোৰৰ সম্ভাৱিতা বিচাৰা —
মুঠ পৰিণাম $= 6$ অৰ্থাৎ $\{1,2,3,4,5,6\}$।
(i) এটা মৌলিক সংখ্যা।
উত্তৰঃ মৌলিক সংখ্যা $= \{2, 3, 5\}$। মুঠ $3$টা।
$$P(\text{মৌলিক}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$$
(ii) $2$ আৰু $6$ৰ মাজৰ সংখ্যা।
উত্তৰঃ $\{3, 4, 5\}$ — মুঠ $3$টা।
$$P = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$$
(iii) এটা বিজোৰ সংখ্যা।
উত্তৰঃ $\{1, 3, 5\}$ — মুঠ $3$টা।
$$P(\text{বিজোৰ}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$$
প্ৰশ্ন 14: এটা ভালদৰে মিহলোৱা $52$খনীয়া তাচ-পাতৰ পৰা এখন পাত উলিওৱা হৈছে। সম্ভাৱিতা বিচাৰা —
মুঠ পাত $= 52$।
(i) এজন ৰঙা ৰজা।
উত্তৰঃ ৰঙা ৰজা $= 2$ (হাৰটেনৰ ৰজা আৰু ডায়মণ্ডৰ ৰজা)।
$$P(\text{ৰঙা ৰজা}) = \frac{2}{52} = \frac{1}{26}$$
(ii) এখন ফেচ কাৰ্ড।
উত্তৰঃ ফেচ কাৰ্ড $= J, Q, K$ — প্ৰতিটো ৰূপত $3$টা, মুঠ $4 \times 3 = 12$টা।
$$P(\text{ফেচ কাৰ্ড}) = \frac{12}{52} = \frac{3}{13}$$
(iii) এখন ৰঙা ফেচ কাৰ্ড।
উত্তৰঃ ৰঙা ফেচ কাৰ্ড $= 6$ (হাৰটেনৰ J, Q, K + ডায়মণ্ডৰ J, Q, K)।
$$P = \frac{6}{52} = \frac{3}{26}$$
(iv) হাৰটেনৰ জেক।
উত্তৰঃ
$$P(\text{হাৰটেনৰ J}) = \frac{1}{52}$$
(v) এখন স্পেইড।
উত্তৰঃ
$$P(\text{স্পেইড}) = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}$$
(vi) ডায়মণ্ডৰ ৰাণী।
উত্তৰঃ
$$P(\text{ডায়মণ্ডৰ Q}) = \frac{1}{52}$$
প্ৰশ্ন 15: ডায়মণ্ডৰ পাঁচখন পাত — দহ, জেক, ৰাণী, ৰজা আৰু এক্ছ — উলটা কৰি ৰখা হৈছে। এই পাঁচখন পাত ভালদৰে মিহলাই দিয়া হ’ল। তাৰ পাছত এখন পাত নাচাইকৈ উলিওৱা হ’ল।
(i) উলিওৱা পাতখন এখন ৰাণী হোৱাৰ সম্ভাৱিতা কিমান?
উত্তৰঃ মুঠ পাত $= 5$, ৰাণী $= 1$।
$$P(\text{ৰাণী}) = \frac{1}{5}$$
(ii) যদি ৰাণী ওলায় আৰু তাইক বাদ দিয়া হয়, তেন্তে দ্বিতীয়বাৰৰ বাবে —
(a) এক্ছ হোৱাৰ সম্ভাৱিতা।
উত্তৰঃ এতিয়া মুঠ পাত $= 4$ (দহ, জেক, ৰজা, এক্ছ)।
$$P(\text{এক্ছ}) = \frac{1}{4}$$
(b) ৰাণী হোৱাৰ সম্ভাৱিতা।
উত্তৰঃ ৰাণী ইতিমধ্যে বাদ দিয়া হৈছে। সেয়েহে বাকী $4$ পাতত কোনো ৰাণী নাই।
$$P(\text{ৰাণী}) = \frac{0}{4} = 0$$
প্ৰশ্ন 16: এটা ফেক্টৰীত $132$টা ভাল আৰু $12$টা বেয়া কলম একেলগে মিহলাই থোৱা হৈছে। মুকুন্দই ইয়াৰ পৰা এটা কলম নাচাইকৈ উলিয়াইছে। উলিওৱা কলমটো ভাল হোৱাৰ সম্ভাৱিতা কিমান?
উত্তৰঃ মুঠ কলম $= 132 + 12 = 144$। ভাল কলম $= 132$।
$$P(\text{ভাল}) = \frac{132}{144} = \frac{11}{12}$$
প্ৰশ্ন 17: (i) $20$টা বাল্বৰ এটা চালানত $4$টা বেয়া আছে। চালানৰ পৰা এটা বাল্ব নাচাইকৈ উলিওৱা হৈছে। উলিওৱা বাল্বটো বেয়া হোৱাৰ সম্ভাৱিতা কিমান?
উত্তৰঃ মুঠ বাল্ব $= 20$, বেয়া বাল্ব $= 4$।
$$P(\text{বেয়া}) = \frac{4}{20} = \frac{1}{5}$$
(ii) যদি প্ৰথম উলিওৱা বাল্বটো বেয়া নহয় আৰু সেইটো ঘূৰাই নথয়, তেন্তে বাকী থকা $19$টা বাল্বৰ পৰা এটা বাল্ব উলিওৱা হ’ল। সেইটো বেয়া নোহোৱাৰ সম্ভাৱিতা কিমান?
উত্তৰঃ এতিয়া বাকী বাল্ব $= 19$, ভাল বাল্ব $= 16 – 1 = 15$ (প্ৰথম ভাল বাল্ব এটা বাহিৰলৈ লোৱা হৈছে)।
$$P(\text{বেয়া নহয়}) = \frac{15}{19}$$
প্ৰশ্ন 18: এটা বাকচত $1$ৰ পৰা $90$লৈ সংখ্যাযুক্ত $90$খন ডিস্ক আছে। যদি বাকচৰ পৰা এখন ডিস্ক উলিওৱা হয়, তেন্তে সম্ভাৱিতা বিচাৰা —
(i) দুই অংকৰ সংখ্যা।
উত্তৰঃ দুই অংকৰ সংখ্যা $10$ৰ পৰা $90$লৈ — মুঠ $81$টা।
$$P(\text{দুই অংক}) = \frac{81}{90} = \frac{9}{10}$$
(ii) এটা পূৰ্ণবৰ্গ সংখ্যা।
উত্তৰঃ $1$ৰ পৰা $90$ৰ ভিতৰৰ পূৰ্ণবৰ্গ $= 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81$ — মুঠ $9$টা।
$$P(\text{পূৰ্ণবৰ্গ}) = \frac{9}{90} = \frac{1}{10}$$
(iii) $5$ৰে বিভাজ্য সংখ্যা।
উত্তৰঃ $5$ৰে বিভাজ্য সংখ্যা — $5, 10, 15, \dots, 90$ — মুঠ $18$টা।
$$P = \frac{18}{90} = \frac{1}{5}$$
প্ৰশ্ন 19: এটা শিশুৰ পাশাৰ ছয়টা ফালত A, B, C, D, E, A বৰ্ণ লিখা আছে। পাশাটো এবাৰ নিক্ষেপ কৰা হ’ল। সম্ভাৱিতা বিচাৰা —
মুঠ পৰিণাম $= 6$।
(i) A পোৱাৰ সম্ভাৱিতা।
উত্তৰঃ A আছে $2$টা ফালত।
$$P(A) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$
(ii) D পোৱাৰ সম্ভাৱিতা।
উত্তৰঃ D আছে $1$টা ফালত।
$$P(D) = \frac{1}{6}$$
প্ৰশ্ন 20: ধৰা হ’ল এটা আয়তাকাৰ অঞ্চলৰ ভিতৰত এটা পাশা নিক্ষেপ কৰা হ’ল। আয়তটোৰ মাত্ৰা $3$ মি × $2$ মি, আৰু ভিতৰত আঁকা বৃত্তটোৰ ব্যাস $1$ মি। পাশাটো বৃত্তটোৰ ভিতৰত পৰাৰ সম্ভাৱিতা কিমান?
উত্তৰঃ জ্যামিতিক সম্ভাৱিতাৰ ক্ষেত্ৰত —
আয়তৰ কালি $= 3 \times 2 = 6 \text{ বৰ্গ মি}$।
বৃত্তৰ ব্যাসাৰ্ধ $r = \dfrac{1}{2}$ মি, কালি $= \pi r^2 = \pi \times \dfrac{1}{4} = \dfrac{\pi}{4}$ বৰ্গ মি।
$$P(\text{বৃত্তৰ ভিতৰত}) = \frac{\text{বৃত্তৰ কালি}}{\text{আয়তৰ কালি}} = \frac{\pi/4}{6} = \frac{\pi}{24}$$
প্ৰশ্ন 21: এটা পেটিত $144$টা বল-পেন আছে যাৰ ভিতৰত $20$টা ত্ৰুটিযুক্ত আৰু বাকী ভাল। নুৰিয়ে মাত্ৰ ভাল পেন কিনিব, কিন্তু ত্ৰুটিযুক্ত পেন নকিনে। দোকানীয়ে নাচাইকৈ এটা পেন উলিয়াই নুৰিৰ ফালে আগবঢ়ালে। সম্ভাৱিতা বিচাৰা —
(i) তেওঁ পেনটো কিনিব।
উত্তৰঃ ভাল পেন $= 144 – 20 = 124$।
$$P(\text{কিনিব}) = \frac{124}{144} = \frac{31}{36}$$
(ii) তেওঁ পেনটো নিকিনে।
উত্তৰঃ
$$P(\text{নিকিনে}) = \frac{20}{144} = \frac{5}{36}$$
অথবা $1 – \dfrac{31}{36} = \dfrac{5}{36}$।
প্ৰশ্ন 22: দুটা পাশা একেলগে নিক্ষেপ কৰিলে যোগফলৰ সম্ভাৱিতা প্ৰদৰ্শনকৰা সাৰণী সম্পূৰ্ণ কৰা।
উত্তৰঃ দুটা পাশাৰ মুঠ পৰিণাম $= 36$। যোগফলৰ সাৰণী —
| ঘটনা: যোগফল | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ | $6$ | $7$ | $8$ | $9$ | $10$ | $11$ | $12$ |
| সম্ভাৱিতা | $\frac{1}{36}$ | $\frac{2}{36}$ | $\frac{3}{36}$ | $\frac{4}{36}$ | $\frac{5}{36}$ | $\frac{6}{36}$ | $\frac{5}{36}$ | $\frac{4}{36}$ | $\frac{3}{36}$ | $\frac{2}{36}$ | $\frac{1}{36}$ |
এজন ছাত্ৰই যুক্তি দিছে যে যোগফল $2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12$ — এই $11$টা পৰিণাম থকা বাবে প্ৰতিটোৰ সম্ভাৱিতা $\dfrac{1}{11}$। তোমাৰ সৈতে এই যুক্তি একমত নে?
উত্তৰঃ না, এই যুক্তি সঠিক নহয়। কাৰণ যোগফল $2, 3, \dots, 12$ — এই $11$টা পৰিণাম সমান সম্ভাৱনাযুক্ত নহয়। প্ৰকৃততে দুটা পাশা নিক্ষেপ কৰিলে মুঠ $36$টা সমান সম্ভাৱনাযুক্ত পৰিণাম পোৱা যায়, আৰু বিভিন্ন যোগফলৰ পৰিণামৰ সংখ্যা ভিন্ন (যেনে যোগফল $7$ পোৱা যায় $6$ পদ্ধতিৰে, কিন্তু $2$ পোৱা যায় কেৱল $1$ পদ্ধতিৰে)।
প্ৰশ্ন 23: এটা খেলত হানিফে এটা মুদ্ৰা তিনিবাৰ নিক্ষেপ কৰে আৰু তিনিও ক্ষেত্ৰতে একে ফলাফল (অৰ্থাৎ তিনিও মূৰ বা তিনিও পুচ) ওলালে জিকে, অন্যথা হাৰিব। হানিফৰ খেলত হাৰি যোৱাৰ সম্ভাৱিতা গণনা কৰা।
উত্তৰঃ মুদ্ৰা তিনিবাৰ নিক্ষেপ কৰিলে নমুনা স্থান $= \{HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT\}$ অৰ্থাৎ মুঠ $8$টা পৰিণাম। হানিফ জিকে কেৱল $HHH$ বা $TTT$ ক্ষেত্ৰত — মুঠ $2$টা অনুকূল পৰিণাম।
$$P(\text{জিকা}) = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$$
$$P(\text{হাৰা}) = 1 – \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$$
প্ৰশ্ন 24: এটা পাশা দুবাৰ নিক্ষেপ কৰা হ’ল। সম্ভাৱিতা বিচাৰা —
মুঠ পৰিণাম $= 6 \times 6 = 36$।
(i) $5$ এবাৰো নওলোৱা।
উত্তৰঃ প্ৰতিবাৰ পাশা নিক্ষেপ কৰিলে $5$ নোলোৱা পৰিণাম $= 5$। সেয়েহে দুবাৰৰ বাবে $5 \times 5 = 25$।
$$P(5\text{ নোলায়}) = \frac{25}{36}$$
(ii) অন্ততঃ এবাৰ $5$ ওলোৱা।
উত্তৰঃ “অন্ততঃ এবাৰ $5$ ওলোৱা” হ’ল “$5$ এবাৰো নোলোৱা”ৰ পৰিপূৰক ঘটনা।
$$P(\text{অন্ততঃ এবাৰ } 5) = 1 – \frac{25}{36} = \frac{11}{36}$$
প্ৰশ্ন 25: তলৰ যুক্তিবোৰ সঁচা নে মিছা সেয়া কাৰণসহ ব্যাখ্যা কৰা।
(i) যদি দুটা মুদ্ৰা একেলগে নিক্ষেপ কৰা হয়, তেন্তে তিনিটা সম্ভাৱ্য পৰিণাম থাকে — দুয়োটাই মূৰ, দুয়োটাই পুচ, বা এটা মূৰ এটা পুচ। সেয়েহে প্ৰতিটোৰ সম্ভাৱিতা $\dfrac{1}{3}$।
উত্তৰঃ এই যুক্তি মিছা। কাৰণ দুটা মুদ্ৰা একেলগে নিক্ষেপ কৰিলে নমুনা স্থান হ’ল $\{HH, HT, TH, TT\}$ — মুঠ $4$টা সমান সম্ভাৱনাযুক্ত পৰিণাম। ইয়াৰ ভিতৰত $P(HH) = \dfrac{1}{4}$, $P(TT) = \dfrac{1}{4}$, $P(\text{এটা H এটা T}) = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}$। সেয়েহে তিনিটা পৰিণামৰ সম্ভাৱিতা সমান নহয়।
(ii) যদি এটা পাশা নিক্ষেপ কৰা হয়, তেন্তে দুটা সম্ভাৱ্য পৰিণাম — এটা বিজোৰ সংখ্যা বা এটা যুগ্ম সংখ্যা। সেয়েহে এটা বিজোৰ সংখ্যা পোৱাৰ সম্ভাৱিতা $\dfrac{1}{2}$।
উত্তৰঃ এই যুক্তি সঁচা। কাৰণ পাশাৰ ছয়টা ফাল $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ৰ ভিতৰত বিজোৰ $\{1, 3, 5\}$ আৰু যুগ্ম $\{2, 4, 6\}$ — দুয়োটাত $3$টাকৈ। সেয়েহে দুয়োটা পৰিণাম সমান সম্ভাৱনাযুক্ত আৰু $P(\text{বিজোৰ}) = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$।
অনুশীলনী 15.2 (Exercise 15.2 — Optional)
প্ৰশ্ন 1: দুজন গ্ৰাহকে শ্যাম আৰু একতাই একেটা সপ্তাহৰ মঙলবাৰৰ পৰা শনিবাৰৰ ভিতৰত এটা নিৰ্দিষ্ট দোকান লৈ যাবলৈ পৰিকল্পনা কৰিছে। এটা দিন বেলেগ বেলেগ নিৰ্বাচিত হোৱাৰ সম্ভাৱনা সমান বুলি ধৰি লোৱা হ’ল।
মঙলবাৰৰ পৰা শনিবাৰলৈ মুঠ দিন $= 5$। মুঠ পৰিণাম $= 5 \times 5 = 25$।
(i) দুয়োজনে একেদিনাই দোকান লৈ যোৱাৰ সম্ভাৱিতা।
উত্তৰঃ একে দিন — $(\text{মঙল, মঙল}), (\text{বুধ, বুধ}), (\text{বৃহঃ, বৃহঃ}), (\text{শুক্ৰ, শুক্ৰ}), (\text{শনি, শনি})$ — মুঠ $5$টা।
$$P(\text{একে দিন}) = \frac{5}{25} = \frac{1}{5}$$
(ii) দুয়োজনে পৰৱৰ্তী দিনত যোৱাৰ সম্ভাৱিতা।
উত্তৰঃ পৰৱৰ্তী দিন অৰ্থাৎ এটা যেনে — শ্যাম মঙল, একতা বুধ; অথবা একতা মঙল, শ্যাম বুধ; ইত্যাদি। অনুকূল ক্ষেত্ৰ — $(\text{মঙল, বুধ}), (\text{বুধ, বৃহঃ}), (\text{বৃহঃ, শুক্ৰ}), (\text{শুক্ৰ, শনি})$ — $4$টা; ইয়াৰ বিপৰীতো ($4$টা)। মুঠ $8$টা।
$$P(\text{পৰৱৰ্তী দিন}) = \frac{8}{25}$$
(iii) দুয়োজনে বেলেগ দিনত যোৱাৰ সম্ভাৱিতা।
উত্তৰঃ বেলেগ দিন হ’ল “একে দিন”ৰ পৰিপূৰক।
$$P(\text{বেলেগ দিন}) = 1 – \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$$
প্ৰশ্ন 2: এটা পাশাৰ ফালত $1, 2, 2, 3, 3, 6$ লিখা আছে। যদি ই দুবাৰ নিক্ষেপ কৰা হয়, তেন্তে আহি পোৱা সংখ্যাৰ যোগফলৰ সাৰণী সম্পূৰ্ণ কৰা।
উত্তৰঃ দুবাৰ নিক্ষেপ কৰিলে মুঠ পৰিণাম $= 6 \times 6 = 36$। দুটা পাশাৰ যোগফলৰ সাৰণী —
| + | 1 | 2 | 2 | 3 | 3 | 6 |
| 1 | $2$ | $3$ | $3$ | $4$ | $4$ | $7$ |
| 2 | $3$ | $4$ | $4$ | $5$ | $5$ | $8$ |
| 2 | $3$ | $4$ | $4$ | $5$ | $5$ | $8$ |
| 3 | $4$ | $5$ | $5$ | $6$ | $6$ | $9$ |
| 3 | $4$ | $5$ | $5$ | $6$ | $6$ | $9$ |
| 6 | $7$ | $8$ | $8$ | $9$ | $9$ | $12$ |
(i) মুঠ যোগফল যুগ্ম হোৱাৰ সম্ভাৱিতা।
উত্তৰঃ যুগ্ম যোগফল হ’ল $2, 4, 6, 8, 12$।
$2$ — $1$বাৰ; $4$ — $8$বাৰ; $6$ — $4$বাৰ; $8$ — $4$বাৰ; $12$ — $1$বাৰ। মুঠ $= 1+8+4+4+1 = 18$।
$$P(\text{যুগ্ম}) = \frac{18}{36} = \frac{1}{2}$$
(ii) মুঠ যোগফল $6$ হোৱাৰ সম্ভাৱিতা।
উত্তৰঃ যোগফল $6$ — $4$বাৰ আছে।
$$P(6) = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}$$
(iii) মুঠ যোগফল কমেও $6$ হোৱাৰ সম্ভাৱিতা।
উত্তৰঃ “কমেও $6$” অৰ্থাৎ $6, 7, 8, 9, 12$।
$6$ — $4$বাৰ; $7$ — $2$বাৰ; $8$ — $4$বাৰ; $9$ — $4$বাৰ; $12$ — $1$বাৰ। মুঠ $= 4+2+4+4+1 = 15$।
$$P(\geq 6) = \frac{15}{36} = \frac{5}{12}$$
প্ৰশ্ন 3: এটা বেগত $5$টা ৰঙা আৰু কেইটামান নীলা বল আছে। যদি বেগৰ পৰা এটা নীলা বল উলিওৱাৰ সম্ভাৱিতা ৰঙা বল উলিওৱাৰ সম্ভাৱিতাৰ দুগুণ হয়, তেন্তে বেগটোত নীলা বল কেইটা আছে?
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল নীলা বল $= x$টা। মুঠ বল $= 5 + x$।
$$P(\text{ৰঙা}) = \frac{5}{5+x}, \quad P(\text{নীলা}) = \frac{x}{5+x}$$
চৰ্ত অনুসৰি —
$$\frac{x}{5+x} = 2 \times \frac{5}{5+x}$$
$$x = 10$$
সেয়েহে বেগত $10$টা নীলা বল আছে।
প্ৰশ্ন 4: এটা বাকচত $12$টা বল আছে যাৰ ভিতৰত $x$টা ক’লা। যদি বাকচৰ পৰা এটা বল নাচাইকৈ উলিওৱা হয়, তেন্তে এটা ক’লা বল উলিওৱাৰ সম্ভাৱিতা $p$। যদি $6$টা ক’লা বল বাকচত যোগ কৰা হয়, তেন্তে এটা ক’লা বল উলিওৱাৰ সম্ভাৱিতা পূৰ্বৰ সম্ভাৱিতাৰ দুগুণ হয়। $x$ বিচাৰা।
উত্তৰঃ
$$P_1 = \frac{x}{12} = p$$
$6$টা ক’লা যোগ কৰাৰ পাছত মুঠ বল $= 12 + 6 = 18$, ক’লা বল $= x + 6$।
$$P_2 = \frac{x+6}{18}$$
চৰ্ত অনুসৰি $P_2 = 2 P_1$ —
$$\frac{x+6}{18} = 2 \times \frac{x}{12} = \frac{x}{6}$$
$$6(x+6) = 18x$$
$$6x + 36 = 18x \Rightarrow 12x = 36 \Rightarrow x = 3$$
সেয়েহে $x = 3$।
প্ৰশ্ন 5: এটা জাৰত $24$টা মাৰ্বল আছে যাৰ কিছু সেউজীয়া আৰু বাকীবোৰ নীলা। যদি জাৰৰ পৰা এটা মাৰ্বল নাচাইকৈ উলিওৱা হয়, সেইটো সেউজীয়া হোৱাৰ সম্ভাৱিতা $\dfrac{2}{3}$। জাৰত নীলা বল কেইটা আছে?
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল সেউজীয়া মাৰ্বল $= y$।
$$P(\text{সেউজীয়া}) = \frac{y}{24} = \frac{2}{3}$$
$$y = \frac{2 \times 24}{3} = 16$$
নীলা মাৰ্বল $= 24 – 16 = 8$।
অতিৰিক্ত প্ৰশ্ন আৰু উত্তৰ (Additional Questions and Answers)
বহু-বিকল্পীয় প্ৰশ্ন (Multiple Choice Questions)
1. এটা ঘটনা $E$ৰ সম্ভাৱিতাৰ সৰ্বনিম্ন মান হ’ল —
(A) $-1$ (B) $0$ (C) $1$ (D) $\dfrac{1}{2}$
উত্তৰঃ (B) $0$।
2. যদি $P(E) = \dfrac{3}{7}$ হয়, তেন্তে $P(\bar{E})$ কিমান?
(A) $\dfrac{4}{7}$ (B) $\dfrac{3}{7}$ (C) $1$ (D) $0$
উত্তৰঃ (A) $\dfrac{4}{7}$। কাৰণ $1 – \dfrac{3}{7} = \dfrac{4}{7}$।
3. একে সময়ত দুটা মুদ্ৰা নিক্ষেপ কৰিলে কেৱল এটা পুচ ওলোৱাৰ সম্ভাৱিতা —
(A) $\dfrac{1}{4}$ (B) $\dfrac{1}{2}$ (C) $\dfrac{3}{4}$ (D) $1$
উত্তৰঃ (B) $\dfrac{1}{2}$। নমুনা স্থান $\{HH, HT, TH, TT\}$, এটা পুচ থকা $\{HT, TH\}$ — মুঠ $2$টা। $P = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}$।
4. এটা পাশা নিক্ষেপ কৰিলে $4$তকৈ ডাঙৰ সংখ্যা পোৱাৰ সম্ভাৱিতা —
(A) $\dfrac{1}{2}$ (B) $\dfrac{1}{3}$ (C) $\dfrac{1}{6}$ (D) $\dfrac{2}{3}$
উত্তৰঃ (B) $\dfrac{1}{3}$। অনুকূল $\{5, 6\}$, $P = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$।
5. এটা $52$খনীয়া তাচ-পাতৰ পৰা এখন তাচ উলিয়ালে এক্ছ পোৱাৰ সম্ভাৱিতা —
(A) $\dfrac{1}{4}$ (B) $\dfrac{1}{13}$ (C) $\dfrac{1}{52}$ (D) $\dfrac{4}{52}$
উত্তৰঃ (B) $\dfrac{1}{13}$। কাৰণ $4$খন এক্ছ আছে, $P = \dfrac{4}{52} = \dfrac{1}{13}$।
6. দুটা পাশা একেলগে নিক্ষেপ কৰিলে দুয়োটাত সমান সংখ্যা ওলোৱাৰ সম্ভাৱিতা —
(A) $\dfrac{1}{6}$ (B) $\dfrac{1}{3}$ (C) $\dfrac{1}{12}$ (D) $\dfrac{6}{36}$
উত্তৰঃ (A) $\dfrac{1}{6}$। অনুকূল ক্ষেত্ৰ $(1,1), (2,2), \dots, (6,6)$ — $6$টা। $P = \dfrac{6}{36} = \dfrac{1}{6}$।
7. এটা বেগত $3$টা ৰঙা আৰু $4$টা সেউজীয়া বল আছে। এটা বল উলিয়ালে সেইটো সেউজীয়া হোৱাৰ সম্ভাৱিতা —
(A) $\dfrac{3}{7}$ (B) $\dfrac{4}{7}$ (C) $\dfrac{1}{2}$ (D) $1$
উত্তৰঃ (B) $\dfrac{4}{7}$।
8. এজন ছাত্ৰৰ ক্লাছত যাবলৈ দেৰি হোৱাৰ সম্ভাৱিতা $0.25$। তেওঁৰ সময়মতে যোৱাৰ সম্ভাৱিতা —
(A) $0.25$ (B) $0.5$ (C) $0.75$ (D) $1$
উত্তৰঃ (C) $0.75$। কাৰণ $1 – 0.25 = 0.75$।
খালী ঠাই পূৰ কৰা (Fill in the Blanks)
1. কোনো ঘটনাৰ সম্ভাৱিতা সদায় ____ আৰু ____ৰ মাজত থাকে।
উত্তৰঃ $0$ আৰু $1$।
2. ____ ঘটনাৰ সম্ভাৱিতা $1$ আৰু ____ ঘটনাৰ সম্ভাৱিতা $0$।
উত্তৰঃ নিশ্চিত, অসম্ভৱ।
3. দুটা মুদ্ৰা একেলগে নিক্ষেপ কৰিলে নমুনা স্থানত মুঠ ____টা পৰিণাম থাকে।
উত্তৰঃ $4$টা।
4. এখন তাচ-ছেটত মুঠ ____খন ফেচ কাৰ্ড থাকে।
উত্তৰঃ $12$খন।
5. দুটা পাশা একেলগে নিক্ষেপ কৰিলে নমুনা স্থানত ____টা পৰিণাম থাকে।
উত্তৰঃ $36$টা।
সঁচা/মিছা (True or False)
1. সম্ভাৱিতা $-0.3$ হ’ব পাৰে।
উত্তৰঃ মিছা। সম্ভাৱিতা ঋণাত্মক হ’ব নোৱাৰে।
2. পৰিপূৰক ঘটনাৰ সম্ভাৱিতাৰ যোগফল $1$।
উত্তৰঃ সঁচা।
3. এটা পাশা নিক্ষেপ কৰিলে $7$ পোৱা এটা নিশ্চিত ঘটনা।
উত্তৰঃ মিছা। ই এটা অসম্ভৱ ঘটনা ($P = 0$); কাৰণ পাশাত সংখ্যা $1$ৰ পৰা $6$লৈ থাকে।
4. মুদ্ৰা নিক্ষেপ এক ন্যায্য পৰীক্ষা।
উত্তৰঃ সঁচা। কাৰণ মূৰ আৰু পুচ — দুয়োটাৰ সম্ভাৱিতা সমান।
চমু উত্তৰৰ প্ৰশ্ন (Short Answer Questions)
1. এটা পাশা নিক্ষেপ কৰিলে $3$ৰ গুণিতক পোৱাৰ সম্ভাৱিতা বিচাৰা।
উত্তৰঃ $3$ৰ গুণিতক $\{3, 6\}$, মুঠ $2$টা।
$$P = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$
2. এটা $52$খনীয়া তাচৰ ছেটৰ পৰা এখন তাচ উলিয়ালে সেইটো ক’লা ৰজা হোৱাৰ সম্ভাৱিতা বিচাৰা।
উত্তৰঃ ক’লা ৰজা $= 2$ (স্পেইডৰ ৰজা, ক্লাবৰ ৰজা)।
$$P = \frac{2}{52} = \frac{1}{26}$$
3. দুটা মুদ্ৰা একেলগে নিক্ষেপ কৰিলে এটা মূৰ আৰু এটা পুচ পোৱাৰ সম্ভাৱিতা বিচাৰা।
উত্তৰঃ অনুকূল $\{HT, TH\}$, মুঠ $4$টা।
$$P = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$
4. এটা বেগত $4$টা ৰঙা, $5$টা বগা আৰু $6$টা ক’লা বল আছে। এটা বল উলিয়ালে সেইটো ক’লা নোহোৱাৰ সম্ভাৱিতা কিমান?
উত্তৰঃ মুঠ বল $= 15$, ক’লা $= 6$, ক’লা নোহোৱা $= 9$।
$$P(\text{ক’লা নহয়}) = \frac{9}{15} = \frac{3}{5}$$
5. এটা পাশা দুবাৰ নিক্ষেপ কৰিলে দুয়োবাৰৰ যোগফল $7$ পোৱাৰ সম্ভাৱিতা বিচাৰা।
উত্তৰঃ যোগফল $7$ — $(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)$ — মুঠ $6$টা।
$$P(7) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$$
6. $1$ৰ পৰা $25$লৈ সংখ্যাযুক্ত $25$খন কাৰ্ডৰ পৰা এখন উলিয়ালে — মৌলিক সংখ্যা পোৱাৰ সম্ভাৱিতা বিচাৰা।
উত্তৰঃ $1$ৰ পৰা $25$লৈ মৌলিক $\{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23\}$ — মুঠ $9$টা।
$$P = \frac{9}{25}$$
7. এটা $52$খনীয়া তাচ ছেটৰ পৰা ৰঙা পাত নোহোৱা পাত পোৱাৰ সম্ভাৱিতা কিমান?
উত্তৰঃ ৰঙা পাত $= 26$, ক’লা পাত $= 26$।
$$P(\text{ৰঙা নহয়}) = \frac{26}{52} = \frac{1}{2}$$
8. এটা পেটিত $200$টা প্ৰদীপ আছে যাৰ ভিতৰত $35$টা বেয়া। এটা প্ৰদীপ নাচাইকৈ উলিয়ালে সেইটো ভাল হোৱাৰ সম্ভাৱিতা কিমান?
উত্তৰঃ ভাল প্ৰদীপ $= 200 – 35 = 165$।
$$P(\text{ভাল}) = \frac{165}{200} = \frac{33}{40}$$
দীঘল উত্তৰৰ প্ৰশ্ন (Long Answer Questions)
1. দুটা পাশা একেলগে নিক্ষেপ কৰা হ’ল। সম্ভাৱিতা বিচাৰা — (i) যোগফল মৌলিক সংখ্যা; (ii) যোগফল $9$ৰ অধিক; (iii) প্ৰথম পাশাত $5$ আৰু দ্বিতীয়ত $4$।
উত্তৰঃ মুঠ পৰিণাম $= 36$।
(i) মৌলিক যোগফল $\{2, 3, 5, 7, 11\}$।
$2$ — $1$বাৰ; $3$ — $2$বাৰ; $5$ — $4$বাৰ; $7$ — $6$বাৰ; $11$ — $2$বাৰ। মুঠ $= 1+2+4+6+2 = 15$।
$$P = \frac{15}{36} = \frac{5}{12}$$
(ii) $9$ৰ অধিক যোগফল $\{10, 11, 12\}$।
$10$ — $3$বাৰ; $11$ — $2$বাৰ; $12$ — $1$বাৰ। মুঠ $= 6$।
$$P = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$$
(iii) $(5, 4)$ — কেৱল $1$টা ক্ষেত্ৰ।
$$P = \frac{1}{36}$$
2. একেলগে দুটা মুদ্ৰা নিক্ষেপ কৰা হ’ল। সম্ভাৱিতা বিচাৰা — (i) দুয়োটাত মূৰ; (ii) ন্যূনতম এটা মূৰ; (iii) এটাও পুচ ওলোৱা নাই।
উত্তৰঃ নমুনা স্থান $= \{HH, HT, TH, TT\}$, মুঠ $4$টা।
(i) দুয়োটাই মূৰ — $\{HH\}$।
$$P = \frac{1}{4}$$
(ii) ন্যূনতম এটা মূৰ — $\{HH, HT, TH\}$ — $3$টা।
$$P = \frac{3}{4}$$
(iii) এটাও পুচ নহয় — $\{HH\}$ — $1$টা।
$$P = \frac{1}{4}$$
3. এটা বেগত $5$টা ৰঙা, $4$টা সেউজীয়া আৰু $7$টা বগা বল আছে। এটা বল উলিওৱা হ’ল। সম্ভাৱিতা বিচাৰা — (i) বগা; (ii) সেউজীয়া; (iii) বগা বা সেউজীয়া; (iv) বগা নহয়।
উত্তৰঃ মুঠ $= 5 + 4 + 7 = 16$।
(i) $$P(\text{বগা}) = \frac{7}{16}$$
(ii) $$P(\text{সেউজীয়া}) = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}$$
(iii) $$P(\text{বগা বা সেউজীয়া}) = \frac{7+4}{16} = \frac{11}{16}$$
(iv) $$P(\text{বগা নহয়}) = 1 – \frac{7}{16} = \frac{9}{16}$$
4. এটা পাশা নিক্ষেপ কৰা হ’ল। ঘটনা $A$ — মৌলিক সংখ্যা পোৱা; ঘটনা $B$ — যুগ্ম সংখ্যা পোৱা। $P(A)$ আৰু $P(B)$ বিচাৰা।
উত্তৰঃ $A = \{2, 3, 5\}$, $B = \{2, 4, 6\}$।
$$P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}, \quad P(B) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$$
লক্ষ্য কৰা — $A$ আৰু $B$ৰ ভিতৰত $\{2\}$ মিল আছে। সেয়েহে ইহঁত পৰস্পৰ পৰিপূৰক ঘটনা নহয়, যদিও $P(A) + P(B) = 1$।
শব্দাৰ্থ (Glossary)
| অসমীয়া | English | সংজ্ঞা / অৰ্থ |
| সম্ভাৱিতা | Probability | কোনো এটা ঘটনা ঘটাৰ সম্ভাৱনাৰ পৰিমাণিক মাপ |
| পৰীক্ষা | Experiment | যিকোনো প্ৰক্ৰিয়া যাৰ পৰা নিৰ্দিষ্ট পৰিণাম পোৱা যায় |
| পৰিণাম | Outcome | এটা পৰীক্ষাৰ এটা সম্ভাৱ্য ফলাফল |
| নমুনা স্থান | Sample Space | সকলো সম্ভাৱ্য পৰিণামৰ ছেট |
| ঘটনা | Event | নমুনা স্থানৰ যিকোনো উপ-ছেট |
| সমান সম্ভাৱনাযুক্ত পৰিণাম | Equally Likely Outcomes | যিকোনো এটা পৰিণাম ঘটাৰ সম্ভাৱনা সমান |
| নিশ্চিত ঘটনা | Sure / Certain Event | সদায় ঘটা ঘটনা; সম্ভাৱিতা $= 1$ |
| অসম্ভৱ ঘটনা | Impossible Event | কেতিয়াও নঘটা ঘটনা; সম্ভাৱিতা $= 0$ |
| পৰিপূৰক ঘটনা | Complementary Event | $E$ৰ বিপৰীত ঘটনা; ইয়াক $\bar{E}$ বুলি লেখা হয় |
| মৌলিক ঘটনা | Elementary Event | মাত্ৰ এটা পৰিণাম থকা ঘটনা |
| তত্ত্বীয় সম্ভাৱিতা | Theoretical Probability | যুক্তি/গণনাৰ ভিত্তিত উলিওৱা সম্ভাৱিতা |
| পৰীক্ষামূলক সম্ভাৱিতা | Experimental Probability | প্ৰকৃত পৰীক্ষাৰ ফলৰ ভিত্তিত উলিওৱা সম্ভাৱিতা |
| মুদ্ৰা | Coin | দুটা ফাল থকা সমতল ধাতুৰ চক্ৰ — মূৰ (H) আৰু পুচ (T) |
| পাশা | Die / Dice | ছয়টা সমান ফাল থকা ঘনক যাৰ ফালত $1$ৰ পৰা $6$লৈ সংখ্যা থাকে |
| তাচ-পাত | Playing Card | $52$খনীয়া ছেট য’ত $4$টা ৰূপ আৰু প্ৰতিটোতে $13$খনকৈ পাত থাকে |
| ফেচ কাৰ্ড | Face Card | জেক, ৰাণী, ৰজা — মুঠ $12$খন |
| হাৰটেন | Hearts | ৰঙা ৰূপ |
| ডায়মণ্ড | Diamonds | ৰঙা ৰূপ |
| স্পেইড | Spades | ক’লা ৰূপ |
| ক্লাব | Clubs | ক’লা ৰূপ |
| এক্ছ | Ace | প্ৰতিটো ৰূপৰ এটা পাত যাৰ মান $1$ |
এই অধ্যায়ৰ অধ্যয়ন সমাপ্ত। সম্ভাৱিতাৰ সূত্ৰ $P(E) = \dfrac{n(E)}{n(S)}$ মনত ৰাখি অনুশীলন কৰিলে আপুনি পৰীক্ষাত উত্তম নম্বৰ লাভ কৰিব পাৰিব। বিভিন্ন ধৰণৰ সমস্যাত (মুদ্ৰা, পাশা, তাচ, বল আদি) প্ৰথমে নমুনা স্থানৰ মুঠ পৰিণাম গণনা কৰি তাৰ পাছত অনুকূল পৰিণাম গণনা কৰক। পৰিপূৰক ঘটনাৰ ধাৰণা ব্যৱহাৰ কৰিলে অনেক প্ৰশ্নৰ সমাধান সহজ হয় (যেনে “অন্ততঃ এবাৰ” প্ৰকাৰৰ প্ৰশ্ন)। অধিক সমাধান, MCQ আৰু অনুশীলনৰ বাবে ভিজিট কৰক — HSLC GURU (hslcguru.com)।