নমস্কাৰ প্ৰিয় শিক্ষাৰ্থী! HSLC GURU ৱেবছাইটলৈ স্বাগতম। ইয়াত আমি ASSEB (অসম ৰাজ্যিক বিদ্যালয় শিক্ষা পৰিষদ)ৰ দশম শ্ৰেণীৰ গণিতৰ চতুৰ্দশ অধ্যায় — পৰিসংখ্যা (Statistics)ৰ বিশদ আলোচনা কৰিম। এই অধ্যায়ত আমি গোটোৱা তথ্যৰ (grouped data) মাধ্য (Mean), বহুলক (Mode) আৰু মধ্যমা (Median)ৰ গণনা পদ্ধতি, লগতে সঞ্চয়ী বাৰংবাৰতা ৰেখা (Cumulative Frequency Curve বা Ogive) অংকন কৰি লেখচিত্ৰৰ পৰা মধ্যমা নিৰ্ণয় কৰিবলৈ শিকিম। অনুশীলনী ১৪.১, ১৪.২, ১৪.৩ আৰু ১৪.৪ৰ সকলো প্ৰশ্নৰ সম্পূৰ্ণ সমাধান এই পাঠত পাব।
সাৰাংশ (Summary)
পৰিসংখ্যা হৈছে গণিতৰ এনে এটা শাখা য’ত তথ্য সংগ্ৰহ, সংগঠন, বিশ্লেষণ আৰু ব্যাখ্যা কৰাৰ পদ্ধতি আলোচনা কৰা হয়। নৱম শ্ৰেণীত আমি অগোটোৱা তথ্যৰ (ungrouped data) মাধ্য, মধ্যমা আৰু বহুলক বিচাৰিছিলোঁ। এই অধ্যায়ত আমি গোটোৱা তথ্যৰ (grouped data) ক্ষেত্ৰত এই কেন্দ্ৰীয় প্ৰৱণতা পৰিমাপসমূহ (measures of central tendency) উলিওৱা শিকিম। ইয়াৰোপৰি শ্ৰেণী চিহ্ন (class mark), সঞ্চয়ী বাৰংবাৰতা (cumulative frequency) আৰু সঞ্চয়ী বাৰংবাৰতা ৰেখা বা Ogive ৰ ধাৰণাও সম্পূৰ্ণৰূপে আলোচনা কৰা হ’ব।
মাধ্য নিৰ্ণয়ৰ বাবে তিনিটা পদ্ধতি আছে — প্ৰত্যক্ষ পদ্ধতি (Direct Method), কল্পিত মাধ্য পদ্ধতি (Assumed Mean Method) আৰু পদ-বিচ্যুতি পদ্ধতি (Step-Deviation Method)। বহুলক আৰু মধ্যমা নিৰ্ণয়ৰ বাবে নিৰ্দিষ্ট সূত্ৰ ব্যৱহাৰ কৰা হয়। অভিজ্ঞতাজনিত সম্পৰ্ক (Empirical Relation) Mode = 3·Median − 2·Mean, এই তিনিওটাৰ মাজৰ এক গুৰুত্বপূৰ্ণ সম্বন্ধ।
Summary (English): This chapter on Statistics extends the concepts learnt in Class IX from ungrouped to grouped data. We learn three methods to compute the mean — Direct, Assumed Mean, and Step-Deviation — and dedicated formulas for the mode and median. The cumulative frequency curves (less than and more than ogives) provide a graphical means to estimate the median. The empirical relation Mode = 3·Median − 2·Mean ties these three measures of central tendency together. All four exercises (14.1 to 14.4) of the ASSEB textbook are solved with full working in this article.
মূল সূত্ৰসমূহ (Key Formulas)
১। গোটোৱা তথ্যৰ মাধ্য (Mean of Grouped Data)
(ক) প্ৰত্যক্ষ পদ্ধতি (Direct Method): এই পদ্ধতিত প্ৰতিটো শ্ৰেণীৰ শ্ৰেণী চিহ্ন $x_i$ আৰু সংশ্লিষ্ট বাৰংবাৰতা $f_i$ ব্যৱহাৰ কৰা হয়।
$$\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}$$
য’ত $x_i = \dfrac{\text{উচ্চ সীমা} + \text{নিম্ন সীমা}}{2}$ হৈছে শ্ৰেণী চিহ্ন (class mark) আৰু $f_i$ হৈছে সংশ্লিষ্ট শ্ৰেণীৰ বাৰংবাৰতা।
(খ) কল্পিত মাধ্য পদ্ধতি (Assumed Mean Method): $x_i$ সংখ্যাবোৰ ডাঙৰ হ’লে এই পদ্ধতিয়ে গণনা সহজ কৰে।
$$\bar{x} = a + \frac{\sum f_i d_i}{\sum f_i}$$
য’ত $a$ হৈছে কল্পিত মাধ্য (assumed mean), আৰু $d_i = x_i – a$ হৈছে বিচ্যুতি (deviation)।
(গ) পদ-বিচ্যুতি পদ্ধতি (Step-Deviation Method): সকলো শ্ৰেণী আকাৰ $h$ একে হ’লে এই পদ্ধতিয়ে আটাইতকৈ সহজ গণনা প্ৰদান কৰে।
$$\bar{x} = a + h \cdot \frac{\sum f_i u_i}{\sum f_i}$$
য’ত $u_i = \dfrac{x_i – a}{h}$ আৰু $h$ হৈছে শ্ৰেণী আকাৰ (class size)।
২। গোটোৱা তথ্যৰ বহুলক (Mode of Grouped Data)
$$\text{Mode} = l + \left(\frac{f_1 – f_0}{2f_1 – f_0 – f_2}\right) \times h$$
য’ত —
$l$ = বহুলক শ্ৰেণীৰ নিম্ন সীমা
$f_1$ = বহুলক শ্ৰেণীৰ বাৰংবাৰতা
$f_0$ = বহুলক শ্ৰেণীৰ পূৰ্বৱৰ্তী শ্ৰেণীৰ বাৰংবাৰতা
$f_2$ = বহুলক শ্ৰেণীৰ পৰৱৰ্তী শ্ৰেণীৰ বাৰংবাৰতা
$h$ = শ্ৰেণী আকাৰ (class size)
বহুলক শ্ৰেণী (Modal Class): যিটো শ্ৰেণীৰ বাৰংবাৰতা সৰ্বাধিক, সেইটোৱেই বহুলক শ্ৰেণী।
৩। গোটোৱা তথ্যৰ মধ্যমা (Median of Grouped Data)
$$\text{Median} = l + \left(\frac{\dfrac{n}{2} – cf}{f}\right) \times h$$
য’ত —
$l$ = মধ্যমা শ্ৰেণীৰ নিম্ন সীমা
$n$ = $\sum f_i$ (মুঠ বাৰংবাৰতা)
$cf$ = মধ্যমা শ্ৰেণীৰ পূৰ্বৱৰ্তী শ্ৰেণীৰ সঞ্চয়ী বাৰংবাৰতা
$f$ = মধ্যমা শ্ৰেণীৰ বাৰংবাৰতা
$h$ = শ্ৰেণী আকাৰ
মধ্যমা শ্ৰেণী (Median Class): যিটো শ্ৰেণীৰ সঞ্চয়ী বাৰংবাৰতা প্ৰথমবাৰ $\dfrac{n}{2}$ৰ সমান বা তাতকৈ অধিক হয়, সেইটোৱেই মধ্যমা শ্ৰেণী।
৪। অভিজ্ঞতাজনিত সম্পৰ্ক (Empirical Relation)
$$\text{Mode} = 3 \cdot \text{Median} – 2 \cdot \text{Mean}$$
মাধ্য, মধ্যমা আৰু বহুলকৰ মাজৰ এই সম্পৰ্কক অভিজ্ঞতাজনিত সম্পৰ্ক বোলে। যিকোনো এটাৰ মান অজ্ঞাত থাকিলে আনদুটাৰ পৰা সেইটো নিৰ্ণয় কৰিব পাৰি।
অনুশীলনী 14.1 (Exercise 14.1) — মাধ্য
প্ৰশ্ন ১। এটা মহল্লাৰ ২০ টা ঘৰৰ পৰা গছ-গছনিৰ সংখ্যাৰ বিষয়ে এক জৰীপ চলোৱা হ’ল। প্ৰাপ্ত ফলাফল তলত দিয়া হ’ল। প্ৰতি ঘৰত গছৰ মাধ্য সংখ্যা নিৰ্ণয় কৰা। কোন পদ্ধতি ব্যৱহাৰ কৰিলে আৰু কিয়?
| গছৰ সংখ্যা | 0–2 | 2–4 | 4–6 | 6–8 | 8–10 | 10–12 | 12–14 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| ঘৰৰ সংখ্যা | 1 | 2 | 1 | 5 | 6 | 2 | 3 |
উত্তৰঃ ইয়াত $x_i$ আৰু $f_i$ৰ মান সৰু সৰু হোৱাৰ বাবে আমি প্ৰত্যক্ষ পদ্ধতি ব্যৱহাৰ কৰিম।
| শ্ৰেণী অন্তৰাল | $f_i$ | $x_i$ | $f_i x_i$ |
|---|---|---|---|
| 0–2 | 1 | 1 | 1 |
| 2–4 | 2 | 3 | 6 |
| 4–6 | 1 | 5 | 5 |
| 6–8 | 5 | 7 | 35 |
| 8–10 | 6 | 9 | 54 |
| 10–12 | 2 | 11 | 22 |
| 12–14 | 3 | 13 | 39 |
| মুঠ | 20 | — | 162 |
$$\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i} = \frac{162}{20} = 8.1$$
সুতৰাং প্ৰতি ঘৰত গছৰ মাধ্য সংখ্যা = ৮.১।
প্ৰশ্ন ২। এটা কাৰখানাৰ ৫০ গৰাকী শ্ৰমিকৰ দৈনিক বেতন তলত দিয়া হ’ল। উপযুক্ত পদ্ধতিৰে শ্ৰমিকসকলৰ গড় দৈনিক বেতন নিৰ্ণয় কৰা।
| দৈনিক বেতন (₹) | 100–120 | 120–140 | 140–160 | 160–180 | 180–200 |
|---|---|---|---|---|---|
| শ্ৰমিকৰ সংখ্যা | 12 | 14 | 8 | 6 | 10 |
উত্তৰঃ ইয়াত $a = 150$ আৰু $h = 20$ লৈ পদ-বিচ্যুতি পদ্ধতি প্ৰয়োগ কৰিম।
| শ্ৰেণী | $f_i$ | $x_i$ | $u_i = (x_i – 150)/20$ | $f_i u_i$ |
|---|---|---|---|---|
| 100–120 | 12 | 110 | −2 | −24 |
| 120–140 | 14 | 130 | −1 | −14 |
| 140–160 | 8 | 150 | 0 | 0 |
| 160–180 | 6 | 170 | 1 | 6 |
| 180–200 | 10 | 190 | 2 | 20 |
| মুঠ | 50 | — | — | −12 |
$$\bar{x} = a + h \cdot \frac{\sum f_i u_i}{\sum f_i} = 150 + 20 \times \frac{-12}{50}$$
$$\bar{x} = 150 – 4.80 = 145.20$$
সুতৰাং শ্ৰমিকসকলৰ গড় দৈনিক বেতন = ₹১৪৫.২০।
প্ৰশ্ন ৩। এটা চুবুৰীৰ ১১-১৩ বছৰ বয়সৰ শিশুৰ দৈনিক হাতখৰচৰ তথ্য তলত দিয়া হ’ল। দৈনিক হাতখৰচৰ মাধ্য ₹১৮ হ’লে অনুপস্থিত বাৰংবাৰতা $f$ নিৰ্ণয় কৰা।
| দৈনিক হাতখৰচ (₹) | 11–13 | 13–15 | 15–17 | 17–19 | 19–21 | 21–23 | 23–25 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| শিশুৰ সংখ্যা | 7 | 6 | 9 | 13 | $f$ | 5 | 4 |
উত্তৰঃ শ্ৰেণী চিহ্ন $x_i$: ১২, ১৪, ১৬, ১৮, ২০, ২২, ২৪।
| $f_i$ | $x_i$ | $f_i x_i$ |
|---|---|---|
| 7 | 12 | 84 |
| 6 | 14 | 84 |
| 9 | 16 | 144 |
| 13 | 18 | 234 |
| $f$ | 20 | $20f$ |
| 5 | 22 | 110 |
| 4 | 24 | 96 |
| $44 + f$ | — | $752 + 20f$ |
$$\bar{x} = \frac{752 + 20f}{44 + f} = 18$$
$$752 + 20f = 18(44 + f) = 792 + 18f$$
$$2f = 40 \Rightarrow f = 20$$
সুতৰাং অনুপস্থিত বাৰংবাৰতা $f = 20$।
প্ৰশ্ন ৪। এজন স্বাস্থ্য বিষয়ক বিষয়াই ৩০ গৰাকী মহিলাৰ হৃৎস্পন্দনৰ হাৰ লিপিবদ্ধ কৰিলে। সংগৃহীত তথ্যৰ পৰা মহিলাসকলৰ গড় হৃৎস্পন্দনৰ হাৰ নিৰ্ণয় কৰা।
| হৃৎস্পন্দন (প্ৰতি মিনিট) | 65–68 | 68–71 | 71–74 | 74–77 | 77–80 | 80–83 | 83–86 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| মহিলাৰ সংখ্যা | 2 | 4 | 3 | 8 | 7 | 4 | 2 |
উত্তৰঃ $a = 75.5$, $h = 3$ লৈ পদ-বিচ্যুতি পদ্ধতি প্ৰয়োগ কৰিম।
| শ্ৰেণী | $f_i$ | $x_i$ | $u_i$ | $f_i u_i$ |
|---|---|---|---|---|
| 65–68 | 2 | 66.5 | −3 | −6 |
| 68–71 | 4 | 69.5 | −2 | −8 |
| 71–74 | 3 | 72.5 | −1 | −3 |
| 74–77 | 8 | 75.5 | 0 | 0 |
| 77–80 | 7 | 78.5 | 1 | 7 |
| 80–83 | 4 | 81.5 | 2 | 8 |
| 83–86 | 2 | 84.5 | 3 | 6 |
| মুঠ | 30 | — | — | 4 |
$$\bar{x} = 75.5 + 3 \times \frac{4}{30} = 75.5 + 0.4 = 75.9$$
সুতৰাং মহিলাসকলৰ গড় হৃৎস্পন্দনৰ হাৰ = ৭৫.৯ স্পন্দন/মিনিট।
প্ৰশ্ন ৫। এটা ফলৰ দোকানীয়ে ৪০০ টা পেটিত আমৰ সংখ্যা গণনা কৰিলে। বিতৰণটো তলত দিয়া হ’ল। প্ৰতি পেটিত আমৰ মাধ্য সংখ্যা নিৰ্ণয় কৰা।
| আমৰ সংখ্যা | 50–52 | 53–55 | 56–58 | 59–61 | 62–64 |
|---|---|---|---|---|---|
| পেটিৰ সংখ্যা | 15 | 110 | 135 | 115 | 25 |
উত্তৰঃ শ্ৰেণীসমূহ অসংলগ্ন (discontinuous), গতিকে আনুগত্যপূৰ্ণ কৰিবলৈ সকলো সীমাৰ মাজত ০.৫ যোগ-বিয়োগ কৰিম। শ্ৰেণী চিহ্ন $x_i$: ৫১, ৫৪, ৫৭, ৬০, ৬৩। $a = 57$, $h = 3$।
| শ্ৰেণী | $f_i$ | $x_i$ | $u_i$ | $f_i u_i$ |
|---|---|---|---|---|
| 50–52 | 15 | 51 | −2 | −30 |
| 53–55 | 110 | 54 | −1 | −110 |
| 56–58 | 135 | 57 | 0 | 0 |
| 59–61 | 115 | 60 | 1 | 115 |
| 62–64 | 25 | 63 | 2 | 50 |
| মুঠ | 400 | — | — | 25 |
$$\bar{x} = 57 + 3 \times \frac{25}{400} = 57 + 0.1875 \approx 57.19$$
সুতৰাং প্ৰতি পেটিত আমৰ মাধ্য সংখ্যা ≈ ৫৭.১৯।
প্ৰশ্ন ৬। এটা চুবুৰীৰ ২৫ টা পৰিয়ালৰ দৈনিক খাদ্য খৰচৰ তথ্য তলত দিয়া হ’ল। দৈনিক খাদ্য খৰচৰ মাধ্য নিৰ্ণয় কৰা।
| দৈনিক খৰচ (₹) | 100–150 | 150–200 | 200–250 | 250–300 | 300–350 |
|---|---|---|---|---|---|
| পৰিয়ালৰ সংখ্যা | 4 | 5 | 12 | 2 | 2 |
উত্তৰঃ $a = 225$, $h = 50$ লৈ পদ-বিচ্যুতি পদ্ধতি প্ৰয়োগ কৰিম।
| শ্ৰেণী | $f_i$ | $x_i$ | $u_i$ | $f_i u_i$ |
|---|---|---|---|---|
| 100–150 | 4 | 125 | −2 | −8 |
| 150–200 | 5 | 175 | −1 | −5 |
| 200–250 | 12 | 225 | 0 | 0 |
| 250–300 | 2 | 275 | 1 | 2 |
| 300–350 | 2 | 325 | 2 | 4 |
| মুঠ | 25 | — | — | −7 |
$$\bar{x} = 225 + 50 \times \frac{-7}{25} = 225 – 14 = 211$$
সুতৰাং দৈনিক খাদ্য খৰচৰ মাধ্য = ₹২১১।
প্ৰশ্ন ৭। এখন চহৰৰ ৩০ টা অঞ্চলত বায়ুত SO₂ৰ পৰিমাণ (ppm-ত) নিৰ্ণয় কৰা হ’ল। SO₂ৰ মাধ্য পৰিমাণ নিৰ্ণয় কৰা।
| SO₂ ৰ পৰিমাণ (ppm) | 0.00–0.04 | 0.04–0.08 | 0.08–0.12 | 0.12–0.16 | 0.16–0.20 | 0.20–0.24 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| বাৰংবাৰতা | 4 | 9 | 9 | 2 | 4 | 2 |
উত্তৰঃ প্ৰত্যক্ষ পদ্ধতিৰে গণনা কৰিম।
| শ্ৰেণী | $f_i$ | $x_i$ | $f_i x_i$ |
|---|---|---|---|
| 0.00–0.04 | 4 | 0.02 | 0.08 |
| 0.04–0.08 | 9 | 0.06 | 0.54 |
| 0.08–0.12 | 9 | 0.10 | 0.90 |
| 0.12–0.16 | 2 | 0.14 | 0.28 |
| 0.16–0.20 | 4 | 0.18 | 0.72 |
| 0.20–0.24 | 2 | 0.22 | 0.44 |
| মুঠ | 30 | — | 2.96 |
$$\bar{x} = \frac{2.96}{30} \approx 0.099 \text{ ppm}$$
সুতৰাং SO₂ৰ মাধ্য পৰিমাণ ≈ ০.০৯৯ ppm।
প্ৰশ্ন ৮। এটা শ্ৰেণীৰ ৪০ গৰাকী শিক্ষাৰ্থীৰ এবছৰৰ অনুপস্থিতি দিনৰ হিচাপ তলত দিয়া হ’ল। শিক্ষাৰ্থীৰ মাধ্য অনুপস্থিতি দিন নিৰ্ণয় কৰা।
| অনুপস্থিতি দিন | 0–6 | 6–10 | 10–14 | 14–20 | 20–28 | 28–38 | 38–40 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| শিক্ষাৰ্থীৰ সংখ্যা | 11 | 10 | 7 | 4 | 4 | 3 | 1 |
উত্তৰঃ শ্ৰেণী আকাৰ একে নহয় (অসমান), গতিকে কল্পিত মাধ্য পদ্ধতি প্ৰয়োগ কৰিম। $a = 17$।
| শ্ৰেণী | $f_i$ | $x_i$ | $d_i = x_i – 17$ | $f_i d_i$ |
|---|---|---|---|---|
| 0–6 | 11 | 3 | −14 | −154 |
| 6–10 | 10 | 8 | −9 | −90 |
| 10–14 | 7 | 12 | −5 | −35 |
| 14–20 | 4 | 17 | 0 | 0 |
| 20–28 | 4 | 24 | 7 | 28 |
| 28–38 | 3 | 33 | 16 | 48 |
| 38–40 | 1 | 39 | 22 | 22 |
| মুঠ | 40 | — | — | −181 |
$$\bar{x} = 17 + \frac{-181}{40} = 17 – 4.525 = 12.475$$
সুতৰাং শিক্ষাৰ্থীৰ মাধ্য অনুপস্থিতি দিন ≈ ১২.৪৮ দিন।
প্ৰশ্ন ৯। তলৰ তালিকাত ৩৫ খন চহৰৰ সাক্ষৰতাৰ হাৰ (শতাংশত) দিয়া আছে। মাধ্য সাক্ষৰতা হাৰ নিৰ্ণয় কৰা।
| সাক্ষৰতা হাৰ (%) | 45–55 | 55–65 | 65–75 | 75–85 | 85–95 |
|---|---|---|---|---|---|
| চহৰৰ সংখ্যা | 3 | 10 | 11 | 8 | 3 |
উত্তৰঃ $a = 70$, $h = 10$ লৈ পদ-বিচ্যুতি পদ্ধতি প্ৰয়োগ কৰিম।
| শ্ৰেণী | $f_i$ | $x_i$ | $u_i$ | $f_i u_i$ |
|---|---|---|---|---|
| 45–55 | 3 | 50 | −2 | −6 |
| 55–65 | 10 | 60 | −1 | −10 |
| 65–75 | 11 | 70 | 0 | 0 |
| 75–85 | 8 | 80 | 1 | 8 |
| 85–95 | 3 | 90 | 2 | 6 |
| মুঠ | 35 | — | — | −2 |
$$\bar{x} = 70 + 10 \times \frac{-2}{35} \approx 70 – 0.57 = 69.43$$
সুতৰাং মাধ্য সাক্ষৰতা হাৰ ≈ ৬৯.৪৩%।
অনুশীলনী 14.2 (Exercise 14.2) — বহুলক
প্ৰশ্ন ১। এখন চিকিৎসালয়ত ভৰ্তি হোৱা ৮০ গৰাকী ৰোগীৰ বয়সৰ তথ্য তলত দিয়া হ’ল। ৰোগীসকলৰ বয়সৰ বহুলক আৰু মাধ্য নিৰ্ণয় কৰা আৰু এই দুইৰ মাজত তুলনা কৰা।
| বয়স (বছৰত) | 5–15 | 15–25 | 25–35 | 35–45 | 45–55 | 55–65 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| ৰোগীৰ সংখ্যা | 6 | 11 | 21 | 23 | 14 | 5 |
উত্তৰঃ সৰ্বোচ্চ বাৰংবাৰতা = ২৩, যিটো ৩৫–৪৫ শ্ৰেণীত পৰে। সুতৰাং বহুলক শ্ৰেণী = ৩৫–৪৫।
$l = 35$, $f_1 = 23$, $f_0 = 21$, $f_2 = 14$, $h = 10$।
$$\text{Mode} = 35 + \frac{23 – 21}{2 \times 23 – 21 – 14} \times 10 = 35 + \frac{2}{11} \times 10$$
$$\text{Mode} = 35 + 1.81 = 36.8 \text{ বছৰ}$$
মাধ্যৰ বাবে $a = 30$, $h = 10$ লৈ পদ-বিচ্যুতি পদ্ধতি —
| শ্ৰেণী | $f_i$ | $x_i$ | $u_i$ | $f_i u_i$ |
|---|---|---|---|---|
| 5–15 | 6 | 10 | −2 | −12 |
| 15–25 | 11 | 20 | −1 | −11 |
| 25–35 | 21 | 30 | 0 | 0 |
| 35–45 | 23 | 40 | 1 | 23 |
| 45–55 | 14 | 50 | 2 | 28 |
| 55–65 | 5 | 60 | 3 | 15 |
| মুঠ | 80 | — | — | 43 |
$$\bar{x} = 30 + 10 \times \frac{43}{80} = 30 + 5.375 = 35.38 \text{ বছৰ}$$
সুতৰাং বহুলক ≈ ৩৬.৮ বছৰ আৰু মাধ্য ≈ ৩৫.৩৮ বছৰ। অৰ্থাৎ অধিকাংশ ৰোগীৰ বয়স ৩৬.৮ বছৰৰ ওচৰে-পাজৰে আৰু গড় বয়স ৩৫.৩৮ বছৰ।
প্ৰশ্ন ২। ২২৫ টা বৈদ্যুতিক সঁজুলিৰ আয়ুসকাল ঘণ্টাত পৰীক্ষা কৰি পোৱা গ’ল। সঁজুলিসমূহৰ বহুলক আয়ুসকাল নিৰ্ণয় কৰা।
| আয়ুসকাল (ঘণ্টা) | 0–20 | 20–40 | 40–60 | 60–80 | 80–100 | 100–120 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| বাৰংবাৰতা | 10 | 35 | 52 | 61 | 38 | 29 |
উত্তৰঃ সৰ্বোচ্চ বাৰংবাৰতা = ৬১, ৬০–৮০ শ্ৰেণীত। গতিকে বহুলক শ্ৰেণী = ৬০–৮০।
$l = 60$, $f_1 = 61$, $f_0 = 52$, $f_2 = 38$, $h = 20$।
$$\text{Mode} = 60 + \frac{61 – 52}{2 \times 61 – 52 – 38} \times 20 = 60 + \frac{9}{32} \times 20$$
$$\text{Mode} = 60 + 5.625 = 65.625 \text{ ঘণ্টা}$$
সুতৰাং সঁজুলিসমূহৰ বহুলক আয়ুসকাল = ৬৫.৬২৫ ঘণ্টা।
প্ৰশ্ন ৩। তলৰ তথ্যত ২০০ টা পৰিয়ালৰ মাহিলী খৰচৰ বিতৰণ দিয়া হৈছে। তথ্যৰ বহুলক আৰু মাধ্য নিৰ্ণয় কৰা।
| মাহিলী খৰচ (₹) | 1000–1500 | 1500–2000 | 2000–2500 | 2500–3000 | 3000–3500 | 3500–4000 | 4000–4500 | 4500–5000 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| পৰিয়াল | 24 | 40 | 33 | 28 | 30 | 22 | 16 | 7 |
উত্তৰঃ সৰ্বোচ্চ বাৰংবাৰতা = ৪০, ১৫০০–২০০০ শ্ৰেণীত।
$l = 1500$, $f_1 = 40$, $f_0 = 24$, $f_2 = 33$, $h = 500$।
$$\text{Mode} = 1500 + \frac{40 – 24}{80 – 24 – 33} \times 500 = 1500 + \frac{16}{23} \times 500$$
$$\text{Mode} = 1500 + 347.83 = 1847.83$$
মাধ্যৰ বাবে $a = 2750$, $h = 500$ লৈ পদ-বিচ্যুতি পদ্ধতি প্ৰয়োগ কৰিলে $\bar{x} \approx ₹2662.50$।
সুতৰাং বহুলক ≈ ₹১৮৪৭.৮৩ আৰু মাধ্য ≈ ₹২৬৬২.৫০।
প্ৰশ্ন ৪। ভাৰতৰ ৩৫ খন ৰাজ্য/কেন্দ্ৰীয় শাসিত অঞ্চলৰ ছাত্ৰ-শিক্ষক অনুপাতৰ তথ্য তলত দিয়া হ’ল। তথ্যৰ বহুলক আৰু মাধ্য নিৰ্ণয় কৰা আৰু এই দুটাৰ অৰ্থ ব্যাখ্যা কৰা।
| ছাত্ৰ-শিক্ষক অনুপাত | 15–20 | 20–25 | 25–30 | 30–35 | 35–40 | 40–45 | 45–50 | 50–55 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| ৰাজ্যৰ সংখ্যা | 3 | 8 | 9 | 10 | 3 | 0 | 0 | 2 |
উত্তৰঃ সৰ্বোচ্চ বাৰংবাৰতা = ১০, ৩০–৩৫ শ্ৰেণীত। বহুলক শ্ৰেণী = ৩০–৩৫।
$l = 30$, $f_1 = 10$, $f_0 = 9$, $f_2 = 3$, $h = 5$।
$$\text{Mode} = 30 + \frac{10 – 9}{20 – 9 – 3} \times 5 = 30 + \frac{5}{8} = 30.625$$
মাধ্য (পদ-বিচ্যুতি, $a = 32.5$, $h = 5$) ≈ ২৯.২।
সুতৰাং বহুলক ≈ ৩০.৬ আৰু মাধ্য ≈ ২৯.২। অৰ্থাৎ ভাৰতৰ অধিকাংশ ৰাজ্যত ছাত্ৰ-শিক্ষক অনুপাত ৩০-৩১ৰ ভিতৰত আৰু গড় অনুপাত ২৯.২।
প্ৰশ্ন ৫। বিশ্বকাপ অন্তঃৰ্ভুক্ত কিছু খেলত শ্ৰেষ্ঠ পঞ্চাশজন বেট্ছমেনৰ ৰানৰ তথ্য তলত দিয়া হ’ল। বহুলক ৰান নিৰ্ণয় কৰা।
| ৰান | 3000–4000 | 4000–5000 | 5000–6000 | 6000–7000 | 7000–8000 | 8000–9000 | 9000–10000 | 10000–11000 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| বেট্ছমেন | 4 | 18 | 9 | 7 | 6 | 3 | 1 | 1 |
উত্তৰঃ সৰ্বোচ্চ বাৰংবাৰতা = ১৮, ৪০০০–৫০০০ শ্ৰেণীত।
$l = 4000$, $f_1 = 18$, $f_0 = 4$, $f_2 = 9$, $h = 1000$।
$$\text{Mode} = 4000 + \frac{18 – 4}{36 – 4 – 9} \times 1000 = 4000 + \frac{14000}{23} \approx 4608.7$$
সুতৰাং বহুলক ৰান ≈ ৪৬০৮.৭।
প্ৰশ্ন ৬। এটা চাৰিৰাস্তাৰ মুখত ৩ মিনিট সময়ৰ ভিতৰত যোৱা গাড়ীৰ সংখ্যাৰ ১০০ টা পৰ্যবেক্ষণৰ তথ্য তলত দিয়া হ’ল। বহুলক নিৰ্ণয় কৰা।
| গাড়ীৰ সংখ্যা | 0–10 | 10–20 | 20–30 | 30–40 | 40–50 | 50–60 | 60–70 | 70–80 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| বাৰংবাৰতা | 7 | 14 | 13 | 12 | 20 | 11 | 15 | 8 |
উত্তৰঃ সৰ্বোচ্চ বাৰংবাৰতা = ২০, ৪০–৫০ শ্ৰেণীত।
$l = 40$, $f_1 = 20$, $f_0 = 12$, $f_2 = 11$, $h = 10$।
$$\text{Mode} = 40 + \frac{20 – 12}{40 – 12 – 11} \times 10 = 40 + \frac{80}{17} \approx 44.7$$
সুতৰাং বহুলক ≈ ৪৪.৭ গাড়ী।
অনুশীলনী 14.3 (Exercise 14.3) — মধ্যমা
প্ৰশ্ন ১। তলৰ বাৰংবাৰতা বিতৰণটোৱে এটা চুবুৰীৰ ৬৮ গৰাকী গ্ৰাহকৰ মাহিলী বিদ্যুৎ ব্যৱহাৰৰ তথ্য দাঙি ধৰিছে। মধ্যমা, মাধ্য আৰু বহুলক নিৰ্ণয় কৰা। তিনিটাৰ মাজত তুলনা কৰা।
| মাহিলী ব্যৱহাৰ (একক) | 65–85 | 85–105 | 105–125 | 125–145 | 145–165 | 165–185 | 185–205 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| গ্ৰাহক | 4 | 5 | 13 | 20 | 14 | 8 | 4 |
উত্তৰঃ $n = 68$, $\dfrac{n}{2} = 34$।
| শ্ৰেণী | $f_i$ | $cf$ |
|---|---|---|
| 65–85 | 4 | 4 |
| 85–105 | 5 | 9 |
| 105–125 | 13 | 22 |
| 125–145 | 20 | 42 |
| 145–165 | 14 | 56 |
| 165–185 | 8 | 64 |
| 185–205 | 4 | 68 |
সঞ্চয়ী বাৰংবাৰতা প্ৰথমে ৩৪ অতিক্ৰম কৰে ৪২-ত (১২৫–১৪৫ শ্ৰেণী)। গতিকে মধ্যমা শ্ৰেণী = ১২৫–১৪৫।
$l = 125$, $cf = 22$, $f = 20$, $h = 20$।
$$\text{Median} = 125 + \frac{34 – 22}{20} \times 20 = 125 + 12 = 137$$
বহুলক শ্ৰেণী একে — ১২৫–১৪৫ ($f_1 = 20$, $f_0 = 13$, $f_2 = 14$):
$$\text{Mode} = 125 + \frac{20 – 13}{40 – 13 – 14} \times 20 = 125 + \frac{140}{13} \approx 135.77$$
মাধ্য (প্ৰত্যক্ষ পদ্ধতি) $\approx 137.05$।
সুতৰাং মাধ্য ≈ ১৩৭.০৫, মধ্যমা = ১৩৭, বহুলক ≈ ১৩৫.৭৭। তিনিওটা প্ৰায় সমান হোৱাৰ পৰা বুজিব পাৰি যে তথ্যটো প্ৰায় প্ৰতিসম (symmetric)।
প্ৰশ্ন ২। যদি তলত দিয়া বিতৰণৰ মধ্যমা ২৮.৫ আৰু মুঠ বাৰংবাৰতা ৬০ হয়, তেন্তে $x$ আৰু $y$ ৰ মান নিৰ্ণয় কৰা।
| শ্ৰেণী | 0–10 | 10–20 | 20–30 | 30–40 | 40–50 | 50–60 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| বাৰংবাৰতা | 5 | $x$ | 20 | 15 | $y$ | 5 |
উত্তৰঃ $5 + x + 20 + 15 + y + 5 = 60 \Rightarrow x + y = 15$।
মধ্যমা ২৮.৫ ⇒ মধ্যমা শ্ৰেণী ২০–৩০। $l = 20$, $f = 20$, $cf = 5 + x$, $h = 10$।
$$28.5 = 20 + \frac{30 – (5 + x)}{20} \times 10 = 20 + \frac{25 – x}{2}$$
$$8.5 \times 2 = 25 – x \Rightarrow x = 8$$
গতিকে $y = 15 – 8 = 7$। সুতৰাং $x = 8$, $y = 7$।
প্ৰশ্ন ৩। ১০০ গৰাকী জীৱন বীমাকাৰীৰ বয়সৰ বিতৰণ তলত দিয়া হ’ল। মধ্যমা বয়স নিৰ্ণয় কৰা।
| বয়স (বছৰ) | 20-25 | 25-30 | 30-35 | 35-40 | 40-45 | 45-50 | 50-55 | 55-60 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| বাৰংবাৰতা | 2 | 4 | 18 | 21 | 33 | 11 | 3 | 6 |
উত্তৰঃ “ইয়াতকৈ অধিক” প্ৰকাৰৰ তথ্যক “ইয়াতকৈ কম”-লৈ ৰূপান্তৰ — $cf$: ২, ৬, ২৪, ৪৫, ৭৮, ৮৯, ৯২, ১০০।
$n = 100$, $n/2 = 50$। মধ্যমা শ্ৰেণী = ৩৫–৪০ (cf প্ৰথমে ৭৮ত পায়, পূৰ্বৱৰ্তী cf = ৪৫)।
$l = 35$, $cf = 45$, $f = 33$, $h = 5$।
$$\text{Median} = 35 + \frac{50 – 45}{33} \times 5 = 35 + 0.76 = 35.76$$
সুতৰাং মধ্যমা বয়স ≈ ৩৫.৭৬ বছৰ।
প্ৰশ্ন ৪। এটা গছজোপাৰ ৪০ টা পাতৰ দৈৰ্ঘ্য (মি.মি.ত) তলত দিয়া হ’ল। পাতবোৰৰ মধ্যমা দৈৰ্ঘ্য নিৰ্ণয় কৰা। (অসংলগ্ন শ্ৰেণীক সংলগ্ন কৰিবলৈ ০.৫ যোগ-বিয়োগ কৰক।)
| দৈৰ্ঘ্য (মি.মি.) | 118-126 | 127-135 | 136-144 | 145-153 | 154-162 | 163-171 | 172-180 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| পাতৰ সংখ্যা | 3 | 5 | 9 | 12 | 5 | 4 | 2 |
উত্তৰঃ সংলগ্ন কৰাৰ পিছত শ্ৰেণীসমূহ: ১১৭.৫–১২৬.৫, ১২৬.৫–১৩৫.৫, ১৩৫.৫–১৪৪.৫, ১৪৪.৫–১৫৩.৫, ১৫৩.৫–১৬২.৫, ১৬২.৫–১৭১.৫, ১৭১.৫–১৮০.৫।
$cf$: ৩, ৮, ১৭, ২৯, ৩৪, ৩৮, ৪০। $n = 40$, $n/2 = 20$। মধ্যমা শ্ৰেণী = ১৪৪.৫–১৫৩.৫।
$l = 144.5$, $cf = 17$, $f = 12$, $h = 9$।
$$\text{Median} = 144.5 + \frac{20 – 17}{12} \times 9 = 144.5 + 2.25 = 146.75$$
সুতৰাং পাতবোৰৰ মধ্যমা দৈৰ্ঘ্য = ১৪৬.৭৫ মি.মি.।
প্ৰশ্ন ৫। ৪০০ টা নিয়ন বাল্বৰ আয়ুসকালৰ তথ্য তলত দিয়া হ’ল। বাল্বসমূহৰ মধ্যমা আয়ুসকাল নিৰ্ণয় কৰা।
| আয়ুসকাল (ঘণ্টা) | 1500-2000 | 2000-2500 | 2500-3000 | 3000-3500 | 3500-4000 | 4000-4500 | 4500-5000 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| বাল্ব | 14 | 56 | 60 | 86 | 74 | 62 | 48 |
উত্তৰঃ $cf$: ১৪, ৭০, ১৩০, ২১৬, ২৯০, ৩৫২, ৪০০। $n = 400$, $n/2 = 200$।
মধ্যমা শ্ৰেণী = ৩০০০–৩৫০০ (cf প্ৰথমে ২১৬ত পায়)। $l = 3000$, $cf = 130$, $f = 86$, $h = 500$।
$$\text{Median} = 3000 + \frac{200 – 130}{86} \times 500 = 3000 + 406.98 = 3406.98$$
সুতৰাং মধ্যমা আয়ুসকাল ≈ ৩৪০৬.৯৮ ঘণ্টা।
প্ৰশ্ন ৬। এটা স্থানীয় টেলিফোন ডাইৰেক্টৰীৰ এপৃষ্ঠাৰ পৰা যাদৃচ্ছিকভাৱে বাছি লোৱা ১০০ টা ইংৰাজী উপাধিৰ আখৰৰ সংখ্যাৰ বিতৰণ তলত দিয়া হ’ল। মধ্যমা আৰু মাধ্য সংখ্যা নিৰ্ণয় কৰা। লগতে বহুলকো নিৰ্ণয় কৰা।
| আখৰ | 1-4 | 4-7 | 7-10 | 10-13 | 13-16 | 16-19 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| উপাধি | 6 | 30 | 40 | 16 | 4 | 4 |
উত্তৰঃ $cf$: ৬, ৩৬, ৭৬, ৯২, ৯৬, ১০০। $n = 100$, $n/2 = 50$। মধ্যমা শ্ৰেণী = ৭–১০।
$l = 7$, $cf = 36$, $f = 40$, $h = 3$।
$$\text{Median} = 7 + \frac{50 – 36}{40} \times 3 = 7 + 1.05 = 8.05$$
মাধ্য (প্ৰত্যক্ষ পদ্ধতি) ≈ ৮.৩২। বহুলক ($l = 7$, $f_1 = 40$, $f_0 = 30$, $f_2 = 16$):
$$\text{Mode} = 7 + \frac{40 – 30}{80 – 30 – 16} \times 3 = 7 + \frac{30}{34} \approx 7.88$$
সুতৰাং মধ্যমা ≈ ৮.০৫, মাধ্য ≈ ৮.৩২, বহুলক ≈ ৭.৮৮।
প্ৰশ্ন ৭। ৩০ গৰাকী শিক্ষাৰ্থীৰ ওজনৰ বিতৰণ তলত দিয়া হ’ল। মধ্যমা ওজন নিৰ্ণয় কৰা।
| ওজন (কিগ্ৰা) | 40-45 | 45-50 | 50-55 | 55-60 | 60-65 | 65-70 | 70-75 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| শিক্ষাৰ্থী | 2 | 3 | 8 | 6 | 6 | 3 | 2 |
উত্তৰঃ $cf$: ২, ৫, ১৩, ১৯, ২৫, ২৮, ৩০। $n = 30$, $n/2 = 15$। মধ্যমা শ্ৰেণী = ৫৫–৬০।
$l = 55$, $cf = 13$, $f = 6$, $h = 5$।
$$\text{Median} = 55 + \frac{15 – 13}{6} \times 5 = 55 + 1.67 = 56.67$$
সুতৰাং মধ্যমা ওজন ≈ ৫৬.৬৭ কিগ্ৰা।
অনুশীলনী 14.4 (Exercise 14.4) — সঞ্চয়ী বাৰংবাৰতা ৰেখা (Ogive)
প্ৰশ্ন ১। তলৰ বিতৰণে এখন বিদ্যালয়ৰ ৩৫ গৰাকী শিক্ষাৰ্থীৰ দৈনিক উপাৰ্জনৰ তথ্য দাঙি ধৰিছে। ইয়াক “ইয়াতকৈ কম” প্ৰকাৰৰ সঞ্চয়ী বাৰংবাৰতা বিতৰণলৈ পৰিৱৰ্তন কৰি ইয়াৰ ogive অংকন কৰা।
| দৈনিক উপাৰ্জন (₹) | 100-120 | 120-140 | 140-160 | 160-180 | 180-200 |
|---|---|---|---|---|---|
| শিক্ষাৰ্থী | 12 | 14 | 8 | 6 | 10 |
উত্তৰঃ “ইয়াতকৈ কম” সঞ্চয়ী বাৰংবাৰতা সাৰণী —
| উপাৰ্জন ইয়াতকৈ কম | 120 | 140 | 160 | 180 | 200 |
|---|---|---|---|---|---|
| সঞ্চয়ী বাৰংবাৰতা | 12 | 26 | 34 | 40 | 50 |
(মূল প্ৰশ্নত উপাৰ্জনৰ মান বেলেগ; ইয়াত (১২০, ১২), (১৪০, ২৬), (১৬০, ৩৪), (১৮০, ৪০), (২০০, ৫০) বিন্দুসমূহ মুক্ত হস্তেৰে যোগ কৰি ogive অংকন কৰিম।)
X-অক্ষত উপাৰ্জনৰ ঊৰ্ধ্ব সীমা আৰু Y-অক্ষত $cf$ স্থাপন কৰি বিন্দুসমূহ মুক্ত হস্তেৰে যোগ কৰিলে ওপৰৰ ogive পোৱা যায়। বক্ৰৰেখাটো ক্ৰমান্বয়ে বঢ়ি যায়।
প্ৰশ্ন ২। এটা শ্ৰেণীৰ ৩৫ গৰাকী শিক্ষাৰ্থীৰ ওজনৰ বিতৰণ তলত দিয়া হ’ল। “ইয়াতকৈ কম” Ogive অংকন কৰি মধ্যমা ওজন বিচাৰি উলিওৱা। ইয়াক সূত্ৰৰ সহায়তেৰে নিৰ্ণয় কৰা মানেৰে যাচাই কৰা।
| ওজন (কিগ্ৰা) | ইয়াতকৈ কম 38 | 40 | 42 | 44 | 46 | 48 | 50 | 52 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| সঞ্চয়ী বাৰংবাৰতা | 0 | 3 | 5 | 9 | 14 | 28 | 32 | 35 |
উত্তৰঃ $n/2 = 17.5$ বিন্দুৰ পৰা সমান্তৰাল ৰেখা টানি ogiveক ছেদ কৰিলে x = ৪৬.৫ পোৱা যায়।
সূত্ৰৰে যাচাই — মধ্যমা শ্ৰেণী ৪৬–৪৮। $l = 46$, $cf = 14$, $f = 14$, $h = 2$।
$$\text{Median} = 46 + \frac{17.5 – 14}{14} \times 2 = 46 + 0.5 = 46.5$$
সুতৰাং মধ্যমা ওজন = ৪৬.৫ কিগ্ৰা। দুয়োটা পদ্ধতিয়ে একে উত্তৰ দিলে।
প্ৰশ্ন ৩। এখন গাঁৱৰ ১০০ টা খেতিয়কৰ একৰপ্ৰতি ধান উৎপাদনৰ তথ্য তলত দিয়া হ’ল। ইয়াক “ইয়াতকৈ অধিক” প্ৰকাৰৰ বিতৰণলৈ পৰিৱৰ্তন কৰি ogive অংকন কৰা।
| উৎপাদন (কুইণ্টল/হেক্টৰ) | 50-55 | 55-60 | 60-65 | 65-70 | 70-75 | 75-80 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| খেতিয়ক | 2 | 8 | 12 | 24 | 38 | 16 |
উত্তৰঃ “ইয়াতকৈ অধিক” cf — ৫০ লৈ ১০০, ৫৫ লৈ ৯৮, ৬০ লৈ ৯০, ৬৫ লৈ ৭৮, ৭০ লৈ ৫৪, ৭৫ লৈ ১৬।
| উৎপাদন ইয়াতকৈ অধিক | 50 | 55 | 60 | 65 | 70 | 75 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| সঞ্চয়ী বাৰংবাৰতা | 100 | 98 | 90 | 78 | 54 | 16 |
X-অক্ষত নিম্ন সীমা (৫০, ৫৫, ৬০, …) আৰু Y-অক্ষত $cf$ স্থাপন কৰি বিন্দুসমূহ মুক্ত হস্তেৰে যোগ কৰিলে “ইয়াতকৈ অধিক” Ogive পোৱা যায়। লক্ষ্য কৰক — এই বক্ৰৰেখা ক্ৰমান্বয়ে কমি যায়।
উভয় Ogive একেলগে অংকন কৰি মধ্যমা নিৰ্ণয়
একেখন গ্ৰাফপেপাৰত “ইয়াতকৈ কম” আৰু “ইয়াতকৈ অধিক” দুয়োটা ogive অংকন কৰিলে দুটা বক্ৰৰেখাই এটা বিন্দুত পৰস্পৰক ছেদ কৰে। সেই ছেদ বিন্দুৰ পৰা X-অক্ষলৈ লম্ব ৰেখা টানিলে যিটো মান পোৱা যায়, সেইটোৱেই মধ্যমা।
অতিৰিক্ত প্ৰশ্নোত্তৰ (Additional Q&A)
প্ৰশ্ন ১। পৰিসংখ্যা কাক বোলে?
উত্তৰঃ পৰিসংখ্যা হৈছে এনে এক বিজ্ঞান, যিয়ে সংখ্যাগত তথ্য সংগ্ৰহ, সংগঠন, উপস্থাপন, বিশ্লেষণ আৰু ব্যাখ্যা কৰাৰ পদ্ধতিৰ আলোচনা কৰে।
প্ৰশ্ন ২। শ্ৰেণী চিহ্ন (Class Mark) কেনেদৰে নিৰ্ণয় কৰা হয়?
উত্তৰঃ $$\text{Class Mark} = \frac{\text{উচ্চ সীমা} + \text{নিম্ন সীমা}}{2}$$
প্ৰশ্ন ৩। বহুলক শ্ৰেণী (Modal Class) কাক বোলে?
উত্তৰঃ এটা বাৰংবাৰতা বিতৰণৰ যি শ্ৰেণীৰ বাৰংবাৰতা সৰ্বোচ্চ, সেই শ্ৰেণীকে বহুলক শ্ৰেণী বোলে।
প্ৰশ্ন ৪। মধ্যমা শ্ৰেণী (Median Class) কেনেদৰে চিনাক্ত কৰা হয়?
উত্তৰঃ $\dfrac{n}{2}$ মান সঞ্চয়ী বাৰংবাৰতা $cf$-ত প্ৰথমে যিটো শ্ৰেণীত পোৱা যায় (অৰ্থাৎ যাৰ $cf$ $\dfrac{n}{2}$-তকৈ ডাঙৰ বা সমান হয়), সেই শ্ৰেণীকে মধ্যমা শ্ৰেণী বোলে।
প্ৰশ্ন ৫। যদি এটা তথ্যৰ মাধ্য ৩৫ আৰু মধ্যমা ৩৩ হয়, বহুলক কিমান?
উত্তৰঃ অভিজ্ঞতাজনিত সম্পৰ্ক প্ৰয়োগ কৰি —
$$\text{Mode} = 3 \times 33 – 2 \times 35 = 99 – 70 = 29$$
প্ৰশ্ন ৬। দুই প্ৰকাৰৰ Ogive কি কি?
উত্তৰঃ দুই প্ৰকাৰৰ Ogive হ’ল — (i) “ইয়াতকৈ কম” প্ৰকাৰ (Less than type) আৰু (ii) “ইয়াতকৈ অধিক” প্ৰকাৰ (More than type)।
প্ৰশ্ন ৭। কেতিয়া পদ-বিচ্যুতি পদ্ধতি ব্যৱহাৰ কৰা সুবিধাজনক?
উত্তৰঃ যেতিয়া শ্ৰেণী আকাৰ $h$ একে আৰু $x_i$ মানসমূহ ডাঙৰ ডাঙৰ হয়, তেতিয়া পদ-বিচ্যুতি পদ্ধতিয়ে গণনা সহজ কৰে।
প্ৰশ্ন ৮। গোটোৱা তথ্যৰ মাধ্যৰ তিনিটা পদ্ধতিয়ে একে উত্তৰ দিয়েনে?
উত্তৰঃ হয়। তিনিটা পদ্ধতিয়ে (প্ৰত্যক্ষ, কল্পিত মাধ্য, পদ-বিচ্যুতি) একে উত্তৰ দিয়ে। মাত্ৰ গণনা সহজ কৰাৰ বাবে এটা পদ্ধতিৰ সলনি আনটো বাছি লোৱা হয়।
প্ৰশ্ন ৯। সঞ্চয়ী বাৰংবাৰতা (Cumulative Frequency) কাক বোলে?
উত্তৰঃ এটা শ্ৰেণীৰ বাৰংবাৰতা আৰু তাৰ পূৰ্বৱৰ্তী সকলো শ্ৰেণীৰ বাৰংবাৰতাৰ যোগফলকে সেই শ্ৰেণীৰ সঞ্চয়ী বাৰংবাৰতা বোলে।
প্ৰশ্ন ১০। ogive ৰ পৰা কেনেদৰে মধ্যমা পোৱা যায়?
উত্তৰঃ Y-অক্ষত $\dfrac{n}{2}$ বিন্দুৰ পৰা X-অক্ষৰ সমান্তৰাল ৰেখা টানি যিতে ই ogiveক ছেদ কৰে, সেই বিন্দুৰ পৰা X-অক্ষৰ ওপৰত লম্ব ৰেখা নমালে যি বিন্দুত পৰে, সেইটোৱেই মধ্যমা।
প্ৰশ্ন ১১। বহুলকৰ মান বিচৰাৰ ক্ষেত্ৰত হিষ্টোগ্ৰামৰ ভূমিকা কি?
উত্তৰঃ হিষ্টোগ্ৰামৰ সৰ্বোচ্চ আয়তন (rectangle)টোৱেই বহুলক শ্ৰেণী। সেই আয়তনৰ ওপৰৰ দুটা চুকৰ পৰা পাৰ্শ্বৱৰ্তী আয়তনৰ ওপৰৰ চুকলৈ ৰেখা টানি ছেদ কৰিলে যিটো বিন্দু পোৱা যায়, সেইটোৱেই বহুলক।
প্ৰশ্ন ১২। পৰিসংখ্যাৰ মাধ্য, মধ্যমা আৰু বহুলকৰ ভিতৰত কোনটো কম পৰিৱৰ্তনশীল?
উত্তৰঃ মাধ্য সকলো মানৰ পৰা প্ৰভাৱিত হয়, গতিকে চৰম মান (extreme values)ৰ দ্বাৰা মাধ্য বেছি প্ৰভাৱিত হয়। মধ্যমা চৰম মানৰ দ্বাৰা প্ৰভাৱিত নহয়, গতিকে ই অধিক স্থিৰ। বহুলক হৈছে আটাইতকৈ বেছি বাৰ অহা মান।
হিষ্টোগ্ৰাম উদাহৰণ (Histogram Example)
প্ৰশ্ন ১ৰ গছৰ সংখ্যাৰ তথ্যৰ এটা হিষ্টোগ্ৰাম দিয়া হ’ল। X-অক্ষত শ্ৰেণী আৰু Y-অক্ষত বাৰংবাৰতা।
হিষ্টোগ্ৰামৰ সৰ্বোচ্চ আয়তনটো ৮–১০ শ্ৰেণীত (বাৰংবাৰতা ৬), গতিকে এই তথ্যৰ বহুলক শ্ৰেণী হ’ল ৮–১০।
শব্দাৰ্থ (Glossary)
| অসমীয়া পৰিভাষা | English Term | সংজ্ঞা / অৰ্থ |
|---|---|---|
| পৰিসংখ্যা | Statistics | সংখ্যাগত তথ্যৰ অধ্যয়ন |
| মাধ্য / গড় | Mean | সকলো মানৰ যোগফলক মুঠ সংখ্যাৰে ভাগ কৰা ফল |
| মধ্যমা | Median | মাজৰ মান (তথ্যক ক্ৰমে সজালে) |
| বহুলক | Mode | আটাইতকৈ বেছি বাৰ অহা মান |
| বাৰংবাৰতা | Frequency | এটা মান কিমান বাৰ আহিছে তাৰ সংখ্যা |
| সঞ্চয়ী বাৰংবাৰতা | Cumulative Frequency | সকলো পূৰ্বৱৰ্তী বাৰংবাৰতাৰ যোগফল |
| শ্ৰেণী চিহ্ন | Class Mark | শ্ৰেণীৰ মাজৰ মান (উচ্চ + নিম্ন)/২ |
| শ্ৰেণী আকাৰ | Class Size / Width | উচ্চ সীমা − নিম্ন সীমা |
| বহুলক শ্ৰেণী | Modal Class | সৰ্বোচ্চ বাৰংবাৰতাৰ শ্ৰেণী |
| মধ্যমা শ্ৰেণী | Median Class | $cf \geq n/2$ হোৱা প্ৰথম শ্ৰেণী |
| কল্পিত মাধ্য | Assumed Mean | গণনাৰ সুবিধাৰ্থে ধাৰণা কৰা মান $a$ |
| পদ-বিচ্যুতি | Step Deviation | $u_i = (x_i – a)/h$ |
| ৰেখাচিত্ৰ / অজাইভ | Ogive | সঞ্চয়ী বাৰংবাৰতা ৰেখা |
| হিষ্টোগ্ৰাম | Histogram | আয়তাকাৰ স্তম্ভেৰে কৰা ৰেখাচিত্ৰ |
| কেন্দ্ৰীয় প্ৰৱণতা | Central Tendency | তথ্যৰ মাজৰ মাপ |
| অভিজ্ঞতাজনিত সম্পৰ্ক | Empirical Relation | Mode = 3·Median − 2·Mean |
উপসংহাৰ: এই অধ্যায়ত আমি গোটোৱা তথ্যৰ মাধ্য, বহুলক, মধ্যমাৰ গণনা শিকিলোঁ। তিনিটা সূত্ৰ ভালকৈ মনত ৰাখক — মাধ্যৰ পদ-বিচ্যুতি, বহুলকৰ মূল সূত্ৰ আৰু মধ্যমাৰ মূল সূত্ৰ। লগতে অভিজ্ঞতাজনিত সম্পৰ্ক $\text{Mode} = 3 \cdot \text{Median} – 2 \cdot \text{Mean}$ বহুতো প্ৰশ্নত কামত আহে। Ogive অংকনৰ ক্ষেত্ৰত X-অক্ষত শ্ৰেণী সীমা আৰু Y-অক্ষত $cf$ স্থাপন কৰাটো অতি গুৰুত্বপূৰ্ণ। দুয়োটা ogive ৰ ছেদ বিন্দুৱে মধ্যমা প্ৰদান কৰে।
HSLC GURU ৰ সৈতে শিকি থাকক। ASSEB Class 10 গণিত পৰীক্ষাৰ বাবে শুভেচ্ছা!
সমাধানৰ পদ্ধতি — পদক্ষেপ অনুসৰি (Step-by-Step Method)
মাধ্য নিৰ্ণয়ৰ পদক্ষেপ
- প্ৰতিটো শ্ৰেণীৰ শ্ৰেণী চিহ্ন $x_i = \dfrac{\text{উচ্চ সীমা} + \text{নিম্ন সীমা}}{2}$ গণনা কৰা।
- প্ৰত্যক্ষ পদ্ধতিৰ বাবে $f_i x_i$ কলম যোগ কৰা; কল্পিত মাধ্য পদ্ধতিৰ বাবে $a$ বাছি লৈ $d_i = x_i – a$ আৰু $f_i d_i$ গণনা কৰা।
- পদ-বিচ্যুতি পদ্ধতিত $u_i = \dfrac{x_i – a}{h}$ আৰু $f_i u_i$ কলম গণনা কৰা।
- $\sum f_i$ আৰু $\sum f_i x_i$ (বা $\sum f_i d_i$, $\sum f_i u_i$) মুঠ কৰা।
- উপযুক্ত সূত্ৰত মান বহুৱাই $\bar{x}$ নিৰ্ণয় কৰা।
বহুলক নিৰ্ণয়ৰ পদক্ষেপ
- বাৰংবাৰতা সাৰণী চাই সৰ্বোচ্চ বাৰংবাৰতাৰ শ্ৰেণী চিনাক্ত কৰা — সেইটোৱেই বহুলক শ্ৰেণী।
- $l$ = বহুলক শ্ৰেণীৰ নিম্ন সীমা, $f_1$ = ইয়াৰ বাৰংবাৰতা, $f_0$ = পূৰ্বৱৰ্তী শ্ৰেণীৰ বাৰংবাৰতা, $f_2$ = পৰৱৰ্তী শ্ৰেণীৰ বাৰংবাৰতা, $h$ = শ্ৰেণী আকাৰ।
- সূত্ৰত মান বহুৱাই বহুলক নিৰ্ণয় কৰা — $\text{Mode} = l + \dfrac{f_1 – f_0}{2f_1 – f_0 – f_2} \times h$।
মধ্যমা নিৰ্ণয়ৰ পদক্ষেপ
- সঞ্চয়ী বাৰংবাৰতা $cf$ কলম গণনা কৰা।
- $\dfrac{n}{2}$ গণনা কৰা।
- $cf$ ৰ পৰা প্ৰথমে $\dfrac{n}{2}$-তকৈ বেছি বা সমান হোৱা শ্ৰেণীটো চিনাক্ত কৰা — সেইটোৱেই মধ্যমা শ্ৰেণী।
- $l$, $cf$ (পূৰ্বৱৰ্তী), $f$ (মধ্যমা শ্ৰেণীৰ), $h$ মান লৈ সূত্ৰত বহুওৱা।
- $\text{Median} = l + \dfrac{n/2 – cf}{f} \times h$।
বহু-বিকল্পীয় প্ৰশ্ন (MCQ)
১। গোটোৱা তথ্যৰ মাধ্যৰ সূত্ৰ —
(ক) $\bar{x} = \sum x_i / n$
(খ) $\bar{x} = \sum f_i x_i / \sum f_i$
(গ) $\bar{x} = (n+1)/2$
(ঘ) $\bar{x} = l + h$
উত্তৰঃ (খ) $\bar{x} = \dfrac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}$।
২। শ্ৰেণী চিহ্ন (Class Mark) কেনেদৰে নিৰ্ণয় কৰা হয়?
(ক) উচ্চ সীমা − নিম্ন সীমা
(খ) (উচ্চ + নিম্ন)/2
(গ) (উচ্চ × নিম্ন)/2
(ঘ) উচ্চ + নিম্ন
উত্তৰঃ (খ) $\dfrac{\text{উচ্চ} + \text{নিম্ন}}{2}$।
৩। অভিজ্ঞতাজনিত সম্পৰ্ক হ’ল —
(ক) Mode = Mean − Median
(খ) Mode = 2·Mean − 3·Median
(গ) Mode = 3·Median − 2·Mean
(ঘ) Mode = Mean + Median
উত্তৰঃ (গ) $\text{Mode} = 3 \cdot \text{Median} – 2 \cdot \text{Mean}$।
৪। মধ্যমা শ্ৰেণী চিনিবলৈ আমি কি গণনা কৰোঁ?
(ক) $f_1 – f_0$
(খ) $\sum f_i x_i$
(গ) $cf$ (সঞ্চয়ী বাৰংবাৰতা)
(ঘ) $u_i$
উত্তৰঃ (গ) সঞ্চয়ী বাৰংবাৰতা।
৫। যদি কোনো তথ্যৰ মাধ্য ১০ আৰু মধ্যমা ১২ হয়, বহুলক কিমান?
(ক) ১৪
(খ) ১৬
(গ) ১২
(ঘ) ১৮
উত্তৰঃ (খ) Mode = $3 \times 12 – 2 \times 10 = 36 – 20 = 16$।
৬। দুটা ogive ৰ ছেদ বিন্দুৱে কি দিয়ে?
(ক) মাধ্য
(খ) মধ্যমা
(গ) বহুলক
(ঘ) পৰিসৰ
উত্তৰঃ (খ) মধ্যমা।
৭। বহুলক শ্ৰেণী হ’ল —
(ক) সৰ্বনিম্ন বাৰংবাৰতাৰ শ্ৰেণী
(খ) সৰ্বোচ্চ বাৰংবাৰতাৰ শ্ৰেণী
(গ) মাজৰ শ্ৰেণী
(ঘ) প্ৰথম শ্ৰেণী
উত্তৰঃ (খ) সৰ্বোচ্চ বাৰংবাৰতাৰ শ্ৰেণী।
৮। পদ-বিচ্যুতিত $u_i$ ৰ সূত্ৰ কি?
(ক) $u_i = x_i – a$
(খ) $u_i = (x_i + a)/h$
(গ) $u_i = (x_i – a)/h$
(ঘ) $u_i = a/h$
উত্তৰঃ (গ) $u_i = (x_i – a)/h$।
৯। ১০ টা শ্ৰেণীৰ সঞ্চয়ী বাৰংবাৰতা ৬০ হ’লে $n/2$ ৰ মান কিমান?
(ক) ১০
(খ) ৩০
(গ) ৬০
(ঘ) ১২০
উত্তৰঃ (খ) ৩০।
১০। “ইয়াতকৈ অধিক” Ogive ৰ আকৃতি —
(ক) ক্ৰমান্বয়ে বঢ়িব
(খ) ক্ৰমান্বয়ে কমিব
(গ) সমান্তৰাল
(ঘ) বৃত্তাকাৰ
উত্তৰঃ (খ) ক্ৰমান্বয়ে কমিব।
সঁচা / মিছা প্ৰশ্ন (True / False)
১। মাধ্য সদায় তথ্যৰ মাজৰ এটা মান হয়।
উত্তৰঃ মিছা। মাধ্য তথ্যৰ মাজত নাথাকিবও পাৰে।
২। মধ্যমা চৰম মানৰ দ্বাৰা প্ৰভাৱিত নহয়।
উত্তৰঃ সঁচা।
৩। বহুলক একাধিক হ’ব পাৰে।
উত্তৰঃ সঁচা। দুটা বহুলক থাকিলে তাক bimodal বোলে।
৪। প্ৰত্যক্ষ পদ্ধতি আৰু পদ-বিচ্যুতি পদ্ধতিয়ে বেলেগ মাধ্য দিয়ে।
উত্তৰঃ মিছা। দুয়োটা পদ্ধতিয়ে একে মাধ্য দিয়ে।
৫। Ogive অংকনত X-অক্ষত সঞ্চয়ী বাৰংবাৰতা স্থাপন কৰা হয়।
উত্তৰঃ মিছা। X-অক্ষত শ্ৰেণী সীমা আৰু Y-অক্ষত $cf$ স্থাপন কৰা হয়।
খালী ঠাই পূৰণ (Fill in the Blanks)
১। মাধ্যৰ প্ৰত্যক্ষ পদ্ধতি হ’ল $\bar{x} = $ ____________।
উত্তৰঃ $\dfrac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}$।
২। বহুলকৰ সূত্ৰত $f_1$-এ ____________ৰ বাৰংবাৰতা সূচাই।
উত্তৰঃ বহুলক শ্ৰেণী।
৩। মধ্যমা শ্ৰেণী হ’ল সেই শ্ৰেণী যাৰ সঞ্চয়ী বাৰংবাৰতা প্ৰথমবাৰ ____________-তকৈ বেছি বা সমান হয়।
উত্তৰঃ $\dfrac{n}{2}$।
৪। দুয়োটা ogive ৰ ছেদ বিন্দুৰ পৰা x-অক্ষলৈ লম্ব নমালে যি মান পোৱা যায়, সেইটোৱেই ____________।
উত্তৰঃ মধ্যমা।
৫। অভিজ্ঞতাজনিত সম্পৰ্ক হ’ল Mode = ____________ − 2·Mean।
উত্তৰঃ 3·Median।
উদাহৰণ — অতিৰিক্ত সমাধান (Worked Examples)
উদাহৰণ ১: তলৰ তথ্যৰ মাধ্য নিৰ্ণয় কৰা।
| শ্ৰেণী | 10–20 | 20–30 | 30–40 | 40–50 | 50–60 |
|---|---|---|---|---|---|
| বাৰংবাৰতা | 2 | 3 | 5 | 7 | 3 |
সমাধান: $a = 35$, $h = 10$।
| শ্ৰেণী | $f_i$ | $x_i$ | $u_i$ | $f_i u_i$ |
|---|---|---|---|---|
| 10–20 | 2 | 15 | −2 | −4 |
| 20–30 | 3 | 25 | −1 | −3 |
| 30–40 | 5 | 35 | 0 | 0 |
| 40–50 | 7 | 45 | 1 | 7 |
| 50–60 | 3 | 55 | 2 | 6 |
| মুঠ | 20 | — | — | 6 |
$$\bar{x} = 35 + 10 \times \frac{6}{20} = 35 + 3 = 38$$
উদাহৰণ ২: উপৰোক্ত তথ্যৰ বহুলক নিৰ্ণয় কৰা।
সমাধান: সৰ্বোচ্চ বাৰংবাৰতা = ৭, ৪০–৫০ শ্ৰেণীত। $l = 40$, $f_1 = 7$, $f_0 = 5$, $f_2 = 3$, $h = 10$।
$$\text{Mode} = 40 + \frac{7 – 5}{14 – 5 – 3} \times 10 = 40 + \frac{20}{6} \approx 43.33$$
উদাহৰণ ৩: উপৰোক্ত তথ্যৰ মধ্যমা নিৰ্ণয় কৰা।
সমাধান: $cf$: ২, ৫, ১০, ১৭, ২০। $n = 20$, $n/2 = 10$।
মধ্যমা শ্ৰেণী = ৩০–৪০ ($cf$ প্ৰথমে ১০ত পায়, পূৰ্বৱৰ্তী = ৫)। $l = 30$, $cf = 5$, $f = 5$, $h = 10$।
$$\text{Median} = 30 + \frac{10 – 5}{5} \times 10 = 30 + 10 = 40$$
সুতৰাং মাধ্য = ৩৮, বহুলক ≈ ৪৩.৩৩, মধ্যমা = ৪০। অভিজ্ঞতাজনিত সম্পৰ্ক যাচাই — $3 \times 40 – 2 \times 38 = 120 – 76 = 44 \approx 43.33$, প্ৰায় শুদ্ধ।
বুজাবলৈ মন কৰিবলগীয়া কথা (Important Tips)
- মাধ্য, মধ্যমা আৰু বহুলক — তিনিওটা একে এককত (same unit) থাকিব। উদাহৰণস্বৰূপে যদি বয়স বছৰত আছে, তেন্তে মাধ্য, মধ্যমা, বহুলকো বছৰতে হ’ব।
- প্ৰত্যক্ষ পদ্ধতিৰ ব্যৱহাৰ সৰু সংখ্যাৰ ক্ষেত্ৰত উপযুক্ত। ডাঙৰ সংখ্যা থাকিলে কল্পিত মাধ্য বা পদ-বিচ্যুতি পদ্ধতি ভাল।
- পদ-বিচ্যুতি পদ্ধতি ব্যৱহাৰ কৰিবলৈ সকলো শ্ৰেণী আকাৰ একে হ’ব লাগে।
- অসংলগ্ন (discontinuous) শ্ৰেণীক প্ৰথমে সংলগ্ন কৰিব লাগে — উপৰৰ সীমাত ০.৫ যোগ আৰু তলৰ সীমাত ০.৫ বিয়োগ কৰিব লাগে।
- সঞ্চয়ী বাৰংবাৰতা গণনাত প্ৰতিটো $cf$ আগৰ মানৰ সৈতে সংশ্লিষ্ট শ্ৰেণীৰ বাৰংবাৰতা যোগ কৰি পোৱা যায়।
- Ogive অংকনৰ ক্ষেত্ৰত: “ইয়াতকৈ কম” ৰ বাবে শ্ৰেণীৰ ঊৰ্ধ্ব সীমা; “ইয়াতকৈ অধিক”-ৰ বাবে শ্ৰেণীৰ নিম্ন সীমা x-অক্ষত স্থাপন কৰিব লাগে।
- মধ্যমা শ্ৰেণী আৰু বহুলক শ্ৰেণী একে নহ’বও পাৰে — দুয়োটা পৃথক ধাৰণা।
- অভিজ্ঞতাজনিত সম্পৰ্কটো প্ৰায় (approximately) শুদ্ধ; চৰমভাৱে অপ্ৰতিসম তথ্যৰ ক্ষেত্ৰত ভিন্নতা থাকিব পাৰে।
পৰীক্ষাত গুৰুত্বপূৰ্ণ প্ৰশ্ন (Important Exam Questions)
প্ৰশ্ন: গোটোৱা তথ্যৰ মাধ্য বিচাৰিবলৈ ব্যৱহাৰ হোৱা তিনিটা পদ্ধতিৰ নাম লিখা।
উত্তৰঃ (i) প্ৰত্যক্ষ পদ্ধতি (Direct Method), (ii) কল্পিত মাধ্য পদ্ধতি (Assumed Mean Method), (iii) পদ-বিচ্যুতি পদ্ধতি (Step-Deviation Method)।
প্ৰশ্ন: বহুলকৰ সূত্ৰ লিখি প্ৰতিটো চিহ্নৰ অৰ্থ লিখা।
উত্তৰঃ $\text{Mode} = l + \dfrac{f_1 – f_0}{2f_1 – f_0 – f_2} \times h$, য’ত $l$ = বহুলক শ্ৰেণীৰ নিম্ন সীমা, $f_1$ = বহুলক শ্ৰেণীৰ বাৰংবাৰতা, $f_0$ = পূৰ্বৱৰ্তী শ্ৰেণীৰ বাৰংবাৰতা, $f_2$ = পৰৱৰ্তী শ্ৰেণীৰ বাৰংবাৰতা, $h$ = শ্ৰেণী আকাৰ।
প্ৰশ্ন: ০, ০, ১, ১, ২, ৩, ৩, ৩, ৪, ৫ — ইয়াৰ মাধ্য, মধ্যমা আৰু বহুলক বিচাৰা।
উত্তৰঃ মাধ্য = $\dfrac{0+0+1+1+2+3+3+3+4+5}{10} = \dfrac{22}{10} = 2.2$। সজোৱা ক্ৰমত মাজৰ দুটা মান ২ আৰু ৩, গতিকে মধ্যমা = ২.৫। ৩ তিনিবাৰ আহিছে — গতিকে বহুলক = ৩।
প্ৰশ্ন: কেতিয়া আমি প্ৰত্যক্ষ পদ্ধতি ব্যৱহাৰ কৰোঁ?
উত্তৰঃ $x_i$ আৰু $f_i$ৰ সংখ্যাবোৰ সৰু সৰু হ’লে গণনা সহজ হোৱাৰ বাবে আমি প্ৰত্যক্ষ পদ্ধতি ব্যৱহাৰ কৰোঁ। যেনে — অনুশীলনী ১৪.১ৰ প্ৰশ্ন ১ত গছৰ সংখ্যাৰ ক্ষেত্ৰত প্ৰত্যক্ষ পদ্ধতি ভাল।
প্ৰশ্ন: এটা শ্ৰেণীৰ মাধ্য আৰু মধ্যমাৰ মান ক্ৰমে ৩৫ আৰু ৩৬ হ’লে বহুলক কিমান?
উত্তৰঃ $\text{Mode} = 3 \times 36 – 2 \times 35 = 108 – 70 = 38$।
এই অধ্যায়ত শিকা সকলো ধাৰণা আৰু সূত্ৰৰ অনুশীলন নিয়মিতভাৱে কৰক। ASSEB Class 10 গণিত পৰীক্ষাত পৰিসংখ্যা অধ্যায়ৰ পৰা সাধাৰণতে এক বা দুটা ডাঙৰ প্ৰশ্ন আৰু কেইটামান সৰু প্ৰশ্ন আহে। প্ৰশ্নসমূহ মূলতঃ মাধ্য, মধ্যমা, বহুলক নিৰ্ণয় আৰু Ogive অংকনৰ ওপৰত আধাৰিত। সূত্ৰসমূহ ভালকৈ মুখস্থ কৰক আৰু গণনাত সাৱধান হ’ব।
আশা কৰোঁ, এই পাঠৰ পৰা আপোনালোকে অনেক উপকাৰ পাব। অন্যান্য অধ্যায়ৰ বাবে HSLC GURU চাই থাকক। শুভ হওক!