নমস্কাৰ প্ৰিয় শিক্ষাৰ্থীসকল! HSLC GURU লৈ আপোনাক স্বাগতম। এই পৃষ্ঠাত আপুনি ASSEB (অসম মাধ্যমিক শিক্ষা পৰিষদ)-ৰ দশম শ্ৰেণীৰ গণিত বিষয়ৰ Chapter 13: পৃষ্ঠকালি আৰু আয়তন (Surface Areas and Volumes) অধ্যায়ৰ সম্পূৰ্ণ অসমীয়া মাধ্যমৰ প্ৰশ্নোত্তৰ পাব। ASSEB পাঠ্যপুথিৰ অনুশীলনী 13.1ৰ পৰা 13.5লৈকে সকলো প্ৰশ্নৰ সবিশেষ সমাধান, সূত্ৰাৱলী, চিত্ৰসহ ব্যাখ্যা আৰু অতিৰিক্ত প্ৰশ্নসমূহ ইয়াত পাব। ASSEB বোৰ্ড পৰীক্ষাৰ বাবে এই অধ্যায় অতি গুৰুত্বপূৰ্ণ।
সাৰাংশ (Summary)
এই অধ্যায়ত আমি বিভিন্ন ত্ৰিমাত্ৰিক ঘনবস্তুৰ পৃষ্ঠকালি (Surface Area) আৰু আয়তন (Volume) নিৰ্ণয় কৰিবলৈ শিকিম। প্ৰথমে আমি ঘনক, আয়তঘনক, বেলন (cylinder), শংকু (cone), গোলক (sphere) আৰু অৰ্ধগোলক (hemisphere)ৰ সূত্ৰসমূহ পুনৰাবৃত্তি কৰিম। তাৰ পিছত দুটা বা তাতকৈ অধিক ঘনবস্তুৰ সংযোগেৰে গঠিত যৌগিক ঘনবস্তুৰ পৃষ্ঠকালি আৰু আয়তন কেনেকৈ উলিয়াব লাগে শিকিম। লগতে এটা ঘনবস্তু গলাই আন এটা ঘনবস্তুলৈ ৰূপান্তৰ কৰোতে আয়তন সংৰক্ষিত হয় (volume conserved) — এই নীতিৰ ওপৰত সমস্যা সমাধান কৰিম। অৱশেষত আমি ছিন্ন শংকু (Frustum of a cone)ৰ আয়তন আৰু বক্ৰপৃষ্ঠকালিৰ সূত্ৰ অধ্যয়ন কৰিম।
Summary: In this chapter we revisit surface areas and volumes of cuboid, cube, cylinder, cone, sphere and hemisphere. We learn how to find total surface area and volume of solids formed by combining two or more of these shapes (subtract hidden circles for surface, add for volume). We solve problems involving conversion of one solid to another where the volume remains conserved. Finally we study the frustum of a cone — its volume, curved surface area and total surface area — using the formulae $V=\frac{1}{3}\pi h(r_1^2+r_2^2+r_1r_2)$ and CSA $=\pi(r_1+r_2)\ell$ where $\ell=\sqrt{h^2+(r_1-r_2)^2}$.
অধ্যায়ৰ মূল ধাৰণা (Key Concepts)
(ক) পৃষ্ঠকালি (Surface Area): এটা ত্ৰিমাত্ৰিক বস্তুৱে আগুৰি ৰখা সকলো পৃষ্ঠৰ মুঠ ক্ষেত্ৰফলকে পৃষ্ঠকালি বুলি কোৱা হয়। ই দুধৰণৰ — বক্ৰপৃষ্ঠকালি (Curved Surface Area, CSA) আৰু সমষ্টি পৃষ্ঠকালি (Total Surface Area, TSA)। CSAত কেৱল বক্ৰাকাৰ পৃষ্ঠ ধৰা হয়, কিন্তু TSAত সমতল ভিত্তি (base) সমূহো অন্তৰ্ভুক্ত কৰা হয়। শংকু আৰু বেলনৰ ক্ষেত্ৰত পাৰ্থক্য থাকে; গোলকৰ ক্ষেত্ৰত SA এটাই থাকে কাৰণ ইয়াৰ ভিত্তি নাই।
(খ) আয়তন (Volume): এটা ঘনবস্তুৱে আগুৰি ৰখা ত্ৰিমাত্ৰিক স্থানৰ পৰিমাণকে আয়তন বুলি কোৱা হয়। ইয়াৰ একক ঘন একক (cubic units) — যেনে ঘন চে.মি., ঘন মি.। 1 লিটাৰ $=1000$ ঘন চে.মি. $=1$ ডে.মি.$^3$।
(গ) যৌগিক ঘনবস্তুৰ পৃষ্ঠকালি (Surface Area of Combined Solids): যেতিয়া দুটা ঘনবস্তু লগ লগাই দিয়া হয়, তেতিয়া যিবোৰ পৃষ্ঠ ভিতৰত ঢাকি যায় (hidden / common surfaces) সেইবোৰ বাদ দি বাকীবোৰৰ যোগফল লোৱা হয়। উদাহৰণ: এটা শংকুক এটা বেলনৰ ওপৰত বহুৱালে দুয়োৰে ভিত্তিৰ বৃত্তটো দুটাই ঢাকি যায় — সেইবোৰ TSAত নধৰিব লাগে।
(ঘ) যৌগিক ঘনবস্তুৰ আয়তন: পৃথক পৃথক অংশৰ আয়তনৰ যোগফলেই হ’ব মুঠ আয়তন। কোনো অংশ বাদ দিব নালাগে কাৰণ আয়তন সদায় ঘনবস্তুৰ ভিতৰৰ স্থান।
(ঙ) আয়তন সংৰক্ষণ নীতি (Conservation of Volume): এটা ঘনবস্তু গলাই/পুনৰ্গঠন কৰি আন এটা আকৃতিলৈ ৰূপান্তৰিত কৰিলে মুঠ আয়তন অপৰিৱৰ্তিত থাকে। সেয়ে $V_{\text{পুৰণি}}=V_{\text{নতুন}}$।
(চ) ছিন্ন শংকু (Frustum): এটা শংকুৰ শীৰ্ষৰ ফালটো ভিত্তিৰ সমান্তৰাল এটা সমতলে কাটি বেলেগ কৰিলে যি অংশ বাকী থাকে সেইটোৱেই ছিন্ন শংকু। ইয়াৰ দুটা সমান্তৰাল বৃত্তাকাৰ ভিত্তি থাকে যাৰ ব্যাসাৰ্দ্ধ যথাক্ৰমে $r_1$ আৰু $r_2$।
মূল সূত্ৰাৱলী (Important Formulae)
| ঘনবস্তু (Solid) | চিত্ৰ (Figure) | পৃষ্ঠকালি (Surface Area) | আয়তন (Volume) |
|---|---|---|---|
| আয়তঘনক (Cuboid) $l$, $b$, $h$ |
TSA $=2(lb+bh+lh)$ LSA $=2h(l+b)$ |
$V=l\times b\times h$ | |
| ঘনক (Cube) বাহু $a$ |
TSA $=6a^2$ LSA $=4a^2$ |
$V=a^3$ | |
| বেলন (Cylinder) $r$, $h$ |
CSA $=2\pi rh$ TSA $=2\pi r(r+h)$ |
$V=\pi r^2 h$ | |
| শংকু (Cone) $r$, $h$, $\ell$ |
CSA $=\pi r\ell$ TSA $=\pi r(\ell+r)$ $\ell=\sqrt{r^2+h^2}$ |
$V=\frac{1}{3}\pi r^2 h$ | |
| গোলক (Sphere) ব্যাসাৰ্দ্ধ $r$ |
SA $=4\pi r^2$ | $V=\frac{4}{3}\pi r^3$ | |
| অৰ্ধগোলক (Hemisphere) ব্যাসাৰ্দ্ধ $r$ |
CSA $=2\pi r^2$ TSA $=3\pi r^2$ |
$V=\frac{2}{3}\pi r^3$ | |
| ছিন্ন শংকু (Frustum) $r_1$, $r_2$, $h$, $\ell$ |
CSA $=\pi(r_1+r_2)\ell$ TSA $=\pi[(r_1+r_2)\ell+r_1^2+r_2^2]$ $\ell=\sqrt{h^2+(r_1-r_2)^2}$ |
$V=\frac{1}{3}\pi h(r_1^2+r_2^2+r_1r_2)$ |
অনুশীলনী 13.1 (Exercise 13.1)
(অন্যথা উল্লেখ নকৰিলে $\pi=\frac{22}{7}$ লোৱা হৈছে।)
প্ৰশ্ন 1। 64 ঘন চে.মি. আয়তনৰ দুটা ঘনকক মূৰে-মূৰে লগ লগাই এটা আয়তঘনক কৰা হ’ল। ফলত পোৱা আয়তঘনকটোৰ পৃষ্ঠকালি নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ ঘনকটোৰ আয়তন $=a^3=64$ ঘন চে.মি.। সেয়ে $a=4$ চে.মি.। দুটা ঘনক মূৰে-মূৰে লগ লগালে আয়তঘনকৰ মাপ হ’ব $l=8$ চে.মি., $b=4$ চে.মি., $h=4$ চে.মি.।
$$\text{পৃষ্ঠকালি}=2(lb+bh+lh)=2(8\cdot 4+4\cdot 4+8\cdot 4)=2(32+16+32)=160\text{ বৰ্গ চে.মি.}$$
প্ৰশ্ন 2। এটা পাত্ৰ এটা ফোঁপোলা অৰ্ধগোলকৰ ওপৰত এটা ফোঁপোলা বেলন বহুৱাই গঠন কৰা হৈছে। অৰ্ধগোলকটোৰ ব্যাস 14 চে.মি. আৰু পাত্ৰটোৰ মুঠ উচ্চতা 13 চে.মি.। পাত্ৰটোৰ অভ্যন্তৰ পৃষ্ঠকালি নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ অৰ্ধগোলকৰ ব্যাসাৰ্দ্ধ $r=\frac{14}{2}=7$ চে.মি.। বেলনৰ উচ্চতা $h=13-7=6$ চে.মি.।
$$\text{অভ্যন্তৰ পৃষ্ঠকালি}=2\pi rh+2\pi r^2=2\pi r(h+r)=2\times\tfrac{22}{7}\times 7\times(6+7)=2\times 22\times 13=572\text{ বৰ্গ চে.মি.}$$
প্ৰশ্ন 3। এটা খেলনা এটা অৰ্ধগোলকৰ ওপৰত একে ব্যাসাৰ্দ্ধৰ এটা শংকু বহুৱাই গঠন কৰা হৈছে। সাধাৰণ ব্যাসাৰ্দ্ধ 3.5 চে.মি. আৰু খেলনাটোৰ মুঠ উচ্চতা 15.5 চে.মি.। খেলনাটোৰ মুঠ পৃষ্ঠকালি নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ অৰ্ধগোলকৰ উচ্চতা $=r=3.5$ চে.মি.। শংকুৰ উচ্চতা $h=15.5-3.5=12$ চে.মি.।
$$\ell=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{(3.5)^2+12^2}=\sqrt{12.25+144}=\sqrt{156.25}=12.5\text{ চে.মি.}$$
$$\text{TSA}=\pi r\ell+2\pi r^2=\pi r(\ell+2r)=\tfrac{22}{7}\times 3.5\times(12.5+7)=11\times 19.5=214.5\text{ বৰ্গ চে.মি.}$$
প্ৰশ্ন 4। 7 চে.মি. বাহুৰ এটা ঘনকীয় ব্লকৰ ওপৰত এটা অৰ্ধগোলক বহুৱাই দিয়া হৈছে। অৰ্ধগোলকটোৰ অধিকতম সম্ভাব্য ব্যাস কিমান হ’ব? কঠিনটোৰ পৃষ্ঠকালি নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ অৰ্ধগোলকৰ অধিকতম ব্যাস $=$ ঘনকৰ বাহু $=7$ চে.মি.। সেয়ে ব্যাসাৰ্দ্ধ $r=3.5$ চে.মি.।
$$\text{পৃষ্ঠকালি}=6a^2-\pi r^2+2\pi r^2=6a^2+\pi r^2=6\times 49+\tfrac{22}{7}\times(3.5)^2=294+38.5=332.5\text{ বৰ্গ চে.মি.}$$
প্ৰশ্ন 5। কাঠেৰে নিৰ্মিত $l$ বাহুৰ এটা ঘনকৰ এটা পৃষ্ঠৰ পৰা ঘনকৰ বাহুৰ সমান ব্যাসৰ এটা অৰ্ধগোলকীয় গাঁত খন্দি উলিওৱা হ’ল। অৱশিষ্ট কঠিনটোৰ পৃষ্ঠকালি নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ অৰ্ধগোলকৰ ব্যাসাৰ্দ্ধ $r=\frac{l}{2}$।
$$\text{পৃষ্ঠকালি}=6l^2-\pi r^2+2\pi r^2=6l^2+\pi r^2=6l^2+\pi\cdot\tfrac{l^2}{4}=\tfrac{l^2}{4}(24+\pi)\text{ বৰ্গ একক}$$
প্ৰশ্ন 6। ঔষধৰ এটা কেপচুল এটা বেলন আৰু দুয়োমূৰে দুটা অৰ্ধগোলকৰ আকৃতিৰ। কেপচুলটোৰ দৈৰ্ঘ্য 14 মি.মি. আৰু কেপচুলৰ ব্যাস 5 মি.মি.। ইয়াৰ পৃষ্ঠকালি নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ ব্যাসাৰ্দ্ধ $r=2.5$ মি.মি.। বেলনৰ উচ্চতা $h=14-2(2.5)=9$ মি.মি.।
$$\text{পৃষ্ঠকালি}=2\pi rh+2(2\pi r^2)=2\pi r(h+2r)=2\times\tfrac{22}{7}\times 2.5\times(9+5)=\tfrac{2\times 22\times 2.5\times 14}{7}=220\text{ বৰ্গ মি.মি.}$$
প্ৰশ্ন 7। এটা তম্বু এটা শংকুৰ ওপৰত বহুৱা বেলনৰ আকৃতিৰ। বেলনীয় অংশৰ ব্যাস 4 মিটাৰ আৰু উচ্চতা 2.1 মিটাৰ। শংকুৰ তীৰ্যক উচ্চতা 2.8 মিটাৰ। তম্বুটো বনাবলৈ লগা কেনভাছৰ পৰিমাণ আৰু প্ৰতি বৰ্গ মিটাৰ Rs 500 হাৰত খৰচ নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ ব্যাসাৰ্দ্ধ $r=2$ মি.। কেনভাছৰ ক্ষেত্ৰফল $=$ শংকুৰ CSA $+$ বেলনৰ CSA $=\pi r\ell+2\pi rh=\pi r(\ell+2h)$।
$$=\tfrac{22}{7}\times 2\times(2.8+4.2)=\tfrac{22}{7}\times 2\times 7=44\text{ বৰ্গ মি.}$$
মুঠ খৰচ $=44\times 500=$ Rs 22,000।
প্ৰশ্ন 8। 2.4 চে.মি. উচ্চতা আৰু 1.4 চে.মি. ব্যাসৰ এটা কঠিন বেলনৰ পৰা সমান উচ্চতা আৰু ব্যাসৰ এটা শংকু আকৃতিৰ গাঁত খন্দি উলিওৱা হ’ল। অৱশিষ্ট কঠিনৰ মুঠ পৃষ্ঠকালি নিকটতম বৰ্গ চে.মি.লৈ নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ $r=0.7$ চে.মি., $h=2.4$ চে.মি.। শংকুৰ তীৰ্যক উচ্চতা $\ell=\sqrt{0.49+5.76}=\sqrt{6.25}=2.5$ চে.মি.।
$$\text{TSA}=2\pi rh+\pi r^2+\pi r\ell=\pi r(2h+r+\ell)=\tfrac{22}{7}\times 0.7\times(4.8+0.7+2.5)$$
$$=2.2\times 8=17.6\approx 18\text{ বৰ্গ চে.মি.}$$
প্ৰশ্ন 9। এটা কাঠৰ বস্তু এটা কঠিন বেলনৰ দুয়োমূৰৰ পৰা দুটা অৰ্ধগোলক খুটি উলিয়াই গঠন কৰা হৈছে। বেলনৰ উচ্চতা 10 চে.মি. আৰু ব্যাসাৰ্দ্ধ 3.5 চে.মি.। বস্তুটোৰ মুঠ পৃষ্ঠকালি নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ $r=3.5$ চে.মি., $h=10$ চে.মি.।
$$\text{TSA}=2\pi rh+2(2\pi r^2)=2\pi r(h+2r)=2\times\tfrac{22}{7}\times 3.5\times(10+7)=22\times 17=374\text{ বৰ্গ চে.মি.}$$
অনুশীলনী 13.2 (Exercise 13.2)
প্ৰশ্ন 1। এটা কঠিন এটা শংকুৰ ওপৰত এটা অৰ্ধগোলক বহুৱাই গঠন কৰা হৈছে। দুয়োৰে ব্যাসাৰ্দ্ধ 1 চে.মি. আৰু শংকুৰ উচ্চতা ইয়াৰ ব্যাসাৰ্দ্ধৰ সমান। কঠিনটোৰ আয়তন $\pi$ৰ ভাষাত নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ $r=h=1$ চে.মি.।
$$V=\tfrac{1}{3}\pi r^2 h+\tfrac{2}{3}\pi r^3=\tfrac{1}{3}\pi(1)+\tfrac{2}{3}\pi(1)=\pi\text{ ঘন চে.মি.}$$
প্ৰশ্ন 2। ৰাচেল এজন প্ৰকৌশলৰ ছাত্ৰী। তেওঁ এটা মডেল বনালে যিটো এটা বেলনৰ আকৃতিৰ আৰু ইয়াৰ দুয়োমূৰে দুটা শংকু সংলগ্ন। মডেলটোৰ ব্যাস 3 চে.মি. আৰু ইয়াৰ দৈৰ্ঘ্য 12 চে.মি.। প্ৰতিটো শংকুৰ উচ্চতা 2 চে.মি.। মডেলে কিমান বায়ু সামৰিব?
উত্তৰঃ $r=1.5$ চে.মি., বেলনৰ উচ্চতা $=12-2\times 2=8$ চে.মি.।
$$V=\pi r^2 h_c+2\times\tfrac{1}{3}\pi r^2 h_o=\pi(1.5)^2\left(8+\tfrac{4}{3}\right)=\tfrac{22}{7}\times 2.25\times\tfrac{28}{3}=66\text{ ঘন চে.মি.}$$
প্ৰশ্ন 3। এটা গুলাব জামুন এটা বেলনৰ দুয়োমূৰে দুটা অৰ্ধগোলক সংলগ্ন কৰি গঠিত। ই ইয়াৰ আয়তনৰ প্ৰায় 30% চিনিৰ ৰছ ধাৰণ কৰে। 45টা গুলাব জামুনত কিমান চিনিৰ ৰছ থাকে যদি প্ৰতিটোৰ দৈৰ্ঘ্য 5 চে.মি. আৰু ব্যাস 2.8 চে.মি.?
উত্তৰঃ $r=1.4$, বেলন উচ্চতা $=5-2.8=2.2$ চে.মি.।
$$V_1=\pi r^2 h+\tfrac{4}{3}\pi r^3=\pi r^2\left(h+\tfrac{4r}{3}\right)=\tfrac{22}{7}(1.4)^2\left(2.2+\tfrac{5.6}{3}\right)\approx 25.05\text{ ঘন চে.মি.}$$
$$\text{ৰছ}=45\times 25.05\times 0.30\approx 338\text{ ঘন চে.মি.}$$
প্ৰশ্ন 4। এটা কলম-ৰখা কাঠৰ আয়তঘনকৰ মাপ $15\times 10\times 3.5$ চে.মি.। ইয়াত চাৰিটা শংকু আকৃতিৰ গাঁত আছে যাৰ প্ৰতিটোৰ ব্যাসাৰ্দ্ধ 0.5 চে.মি. আৰু গভীৰতা 1.4 চে.মি.। মুঠ কাঠৰ আয়তন নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ আয়তঘনকৰ আয়তন $=15\times 10\times 3.5=525$ ঘন চে.মি.। শংকুসমূহৰ আয়তন $=4\times\tfrac{1}{3}\pi r^2 h=\tfrac{4}{3}\times\tfrac{22}{7}\times 0.25\times 1.4\approx 1.47$ ঘন চে.মি.।
$$\text{কাঠৰ আয়তন}=525-1.47=523.53\text{ ঘন চে.মি.}$$
প্ৰশ্ন 5। এটা পাত্ৰ এটা ওলোটা শংকুৰ আকৃতিৰ। ইয়াৰ উচ্চতা 8 চে.মি. আৰু মুখৰ ব্যাসাৰ্দ্ধ 5 চে.মি.। পানীৰে ভৰ্তি কৰা পাত্ৰটোত 0.5 চে.মি. ব্যাসাৰ্দ্ধৰ সীহৰ গুটি দিয়া হ’ল য’ত মুঠ পানীৰ এক চতুৰ্থাংশ বাহিৰ ওলাল। কিমান গুটি পেলোৱা হ’ল?
উত্তৰঃ শংকুৰ আয়তন $=\tfrac{1}{3}\pi(5)^2(8)=\tfrac{200\pi}{3}$। বাহিৰ ওলোৱা পানী $=\tfrac{1}{4}\times\tfrac{200\pi}{3}=\tfrac{50\pi}{3}$।
$$\text{গুটিৰ আয়তন}=\tfrac{4}{3}\pi(0.5)^3=\tfrac{\pi}{6}\Rightarrow n=\tfrac{50\pi/3}{\pi/6}=100$$
প্ৰশ্ন 6। এটা লোহাৰ খুটি 220 চে.মি. উচ্চতা আৰু 24 চে.মি. ব্যাসৰ এটা বেলন আৰু ইয়াৰ ওপৰত 60 চে.মি. উচ্চতা আৰু 16 চে.মি. ব্যাসৰ আন এটা বেলনৰে গঠিত। 1 ঘন চে.মি. লোহাৰ ভৰ আনুমানিক 8 গ্ৰাম হ’লে খুটিটোৰ ভৰ নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ $V=\pi(12)^2(220)+\pi(8)^2(60)=\pi(31680+3840)=35520\pi$ ঘন চে.মি.।
$$V\approx 35520\times 3.14=111532.8\text{ ঘন চে.মি.}$$
ভৰ $=111532.8\times 8=892262.4$ গ্ৰাম $\approx 892.26$ কি.গ্ৰা.।
প্ৰশ্ন 7। এটা কঠিন এটা অৰ্ধগোলকৰ ওপৰত এটা শংকু বহুৱাই গঠিত। শংকুৰ ব্যাসাৰ্দ্ধ 60 চে.মি. আৰু উচ্চতা 120 চে.মি.। ইয়াক 60 চে.মি. ব্যাসাৰ্দ্ধ আৰু 180 চে.মি. উচ্চতাৰ পানী ভৰা এটা বেলনৰ ভিতৰত এনেদৰে ৰখা হ’ল যাতে সেইটোৱে বেলনৰ তলটো স্পৰ্শ কৰে। বেলনৰ ভিতৰত অৱশিষ্ট পানীৰ আয়তন নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ বেলনৰ আয়তন $=\pi(60)^2(180)=648000\pi$। কঠিনৰ আয়তন $=\tfrac{1}{3}\pi(60)^2(120)+\tfrac{2}{3}\pi(60)^3=144000\pi+144000\pi=288000\pi$।
$$V_w=648000\pi-288000\pi=360000\pi\approx 1131428.57\text{ ঘন চে.মি.}\approx 1.131\text{ ঘন মি.}$$
প্ৰশ্ন 8। এটা গোলকীয় কাঁচৰ পাত্ৰৰ এটা বেলনীয় ডিঙি আছে যিটো 8 চে.মি. দীঘল আৰু 2 চে.মি. ব্যাসৰ। গোলকীয় অংশৰ ব্যাস 8.5 চে.মি.। ইয়াৰ আয়তন জোখি এটা শিশুৱে কৈছিল 345 ঘন চে.মি.। এই উত্তৰ শুদ্ধনে?
উত্তৰঃ $V=\pi(1)^2(8)+\tfrac{4}{3}\pi(4.25)^3=8\pi+\tfrac{4}{3}\pi\times 76.7656=8\pi+102.354\pi=110.354\pi$।
$$V\approx 110.354\times 3.14\approx 346.51\text{ ঘন চে.মি.}\approx 350\text{ ঘন চে.মি.}$$
সেয়ে শিশুৰ উত্তৰ (345) সঠিক নহয়; প্ৰকৃত আয়তন প্ৰায় 346.5 ঘন চে.মি. (≈350 ঘন চে.মি.)।
অনুশীলনী 13.3 (Exercise 13.3)
প্ৰশ্ন 1। 4.2 চে.মি. ব্যাসাৰ্দ্ধৰ এটা গোলকক গলাই 6 চে.মি. ব্যাসাৰ্দ্ধৰ এটা বেলনত পুনৰাবৃত্তি কৰা হ’ল। বেলনৰ উচ্চতা নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ $\tfrac{4}{3}\pi(4.2)^3=\pi(6)^2 h\Rightarrow h=\tfrac{4(4.2)^3}{3\times 36}=\tfrac{4\times 74.088}{108}\approx 2.74$ চে.মি.।
প্ৰশ্ন 2। 6 চে.মি., 8 চে.মি. আৰু 10 চে.মি. ব্যাসাৰ্দ্ধৰ তিনিটা ধাতুৰ গোলক একেলগে গলাই এটা বৃহৎ গোলক বনোৱা হ’ল। ইয়াৰ ব্যাসাৰ্দ্ধ নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ $r^3=6^3+8^3+10^3=216+512+1000=1728\Rightarrow r=12$ চে.মি.।
প্ৰশ্ন 3। 7 মি. ব্যাসৰ এটা 20 মি. গভীৰ কুঁৱা খন্দা মাটিখিনিৰে $22\text{ মি.}\times 14$ মি. মাপৰ এটা মঞ্চ সাজি লোৱা হ’ল। মঞ্চখনৰ উচ্চতা নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ মাটিৰ আয়তন $=\pi(3.5)^2(20)=245\pi$ ঘন মি. $=770$ ঘন মি.। উচ্চতা $h=\tfrac{770}{22\times 14}=\tfrac{770}{308}=2.5$ মি.।
প্ৰশ্ন 4। 3 মি. ব্যাসৰ এটা 14 মি. গভীৰ কুঁৱা খন্দা মাটিৰে কুঁৱাটোৰ চাৰিওফালে 4 মি. বহল এটা বৃত্তাকাৰ পঢ়ি বনোৱা হ’ল। পঢ়িৰ উচ্চতা নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ মাটি $=\pi(1.5)^2\times 14=31.5\pi$ ঘন মি.। পঢ়িৰ আয়তন $=\pi[(5.5)^2-(1.5)^2]h=\pi\times 28\times h$।
$$28h=31.5\Rightarrow h=1.125\text{ মি.}$$
প্ৰশ্ন 5। 12 চে.মি. ব্যাস আৰু 15 চে.মি. উচ্চতাৰ এটা বেলনাকাৰ পাত্ৰক আইচক্ৰীমেৰে ভৰ্তি কৰা হ’ল। ইয়াক 12 চে.মি. উচ্চতাৰ আৰু 6 চে.মি. ব্যাসৰ শংকুসমূহৰ ওপৰত অৰ্ধগোলকীয় টুপি দি বিতৰণ কৰিব লাগে। শংকুৰ সংখ্যা নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ বেলনৰ আয়তন $=\pi(6)^2(15)=540\pi$।
$$V_{\text{cone+hemi}}=\tfrac{1}{3}\pi(3)^2(12)+\tfrac{2}{3}\pi(3)^3=36\pi+18\pi=54\pi$$
সংখ্যা $=\tfrac{540\pi}{54\pi}=10$।
প্ৰশ্ন 6। 1.75 চে.মি. ব্যাসৰ আৰু 2 মি.মি. উচ্চতাৰ ৰূপৰ মুদ্ৰাক গলাই $5.5\times 10\times 3.5$ চে.মি. মাপৰ এটা আয়তঘনক বনোৱা হ’ল। কিমান মুদ্ৰা লাগে?
উত্তৰঃ আয়তঘনক $V=192.5$ ঘন চে.মি.। মুদ্ৰাৰ আয়তন $=\pi(0.875)^2\times 0.2\approx 0.481$ ঘন চে.মি.।
$$n=\tfrac{192.5}{0.481}\approx 400\text{ মুদ্ৰা}$$
প্ৰশ্ন 7। 32 চে.মি. উচ্চতা আৰু 18 চে.মি. ব্যাসাৰ্দ্ধৰ এটা বেলনাকাৰ বাল্টিয়ে বালিৰে ভৰি আছে। বালিখিনি মাটিত পেলাই 24 চে.মি. উচ্চতাৰ এটা শংকুৰ আকৃতি দিয়া হ’ল। শংকুৰ ব্যাসাৰ্দ্ধ আৰু তীৰ্যক উচ্চতা নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ $\pi(18)^2(32)=\tfrac{1}{3}\pi r^2(24)\Rightarrow r^2=\tfrac{3\times 324\times 32}{24}=1296\Rightarrow r=36$ চে.মি.।
$$\ell=\sqrt{36^2+24^2}=\sqrt{1872}=12\sqrt{13}\approx 43.27\text{ চে.মি.}$$
প্ৰশ্ন 8। এটা খাল 6 মি. বহল আৰু 1.5 মি. গভীৰ। ইয়াৰ পানী 10 কি.মি./ঘণ্টাৰ গতিত প্ৰবাহিত হয়। 30 মিনিটত কিমান বৰ্গ মিটাৰ পথাৰৰ ওপৰত 8 চে.মি. পানী থিয় হ’ব?
উত্তৰঃ 30 মিনিটত প্ৰবাহিত পানী $=6\times 1.5\times 5000=45000$ ঘন মি.। ক্ষেত্ৰফল $=\tfrac{45000}{0.08}=562500$ বৰ্গ মি.।
প্ৰশ্ন 9। 20 চে.মি. ব্যাসৰ পাইপেৰে 3 কি.মি./ঘণ্টা গতিত পানী এটা বেলনাকাৰ টেংকীত প্ৰবেশ কৰিছে। টেংকীটোৰ ব্যাসাৰ্দ্ধ 5 মি. আৰু গভীৰতা 2 মি.। সম্পূৰ্ণ ভৰ্তি হ’বলৈ কিমান সময় লাগিব?
উত্তৰঃ টেংকীৰ আয়তন $=\pi(5)^2(2)=50\pi$ ঘন মি.। প্ৰবাহ হাৰ $=\pi(0.1)^2\times 3000=30\pi$ ঘন মি./ঘণ্টা।
$$t=\tfrac{50\pi}{30\pi}=\tfrac{5}{3}\text{ ঘণ্টা}=100\text{ মিনিট}$$
অনুশীলনী 13.4 (Exercise 13.4)
প্ৰশ্ন 1। এটা গিলাছ ছিন্ন শংকুৰ আকৃতিৰ। ইয়াৰ উচ্চতা 14 চে.মি. আৰু দুটা বৃত্তাকাৰ মুখৰ ব্যাস 4 চে.মি. আৰু 2 চে.মি.। ইয়াৰ ধাৰণ ক্ষমতা নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ $r_1=2$, $r_2=1$, $h=14$।
$$V=\tfrac{1}{3}\pi h(r_1^2+r_2^2+r_1 r_2)=\tfrac{1}{3}\times\tfrac{22}{7}\times 14\times(4+1+2)=\tfrac{22\times 14\times 7}{21}=102\tfrac{2}{3}\text{ ঘন চে.মি.}$$
প্ৰশ্ন 2। এটা ছিন্ন শংকুৰ তীৰ্যক উচ্চতা 4 চে.মি. আৰু ইয়াৰ বৃত্তাকাৰ মুখ দুটাৰ পৰিধি যথাক্ৰমে 18 চে.মি. আৰু 6 চে.মি.। ইয়াৰ বক্ৰপৃষ্ঠকালি নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ CSA $=\pi(r_1+r_2)\ell=\tfrac{1}{2}(C_1+C_2)\ell=\tfrac{1}{2}(18+6)\times 4=48$ বৰ্গ চে.মি.।
প্ৰশ্ন 3। এটা ফেজ আছে দেখাত ছিন্ন শংকুৰ দৰে। ইয়াৰ মুখৰ ব্যাসাৰ্দ্ধ 10 চে.মি. আৰু ওপৰৰ মুখৰ ব্যাসাৰ্দ্ধ 4 চে.মি.। তীৰ্যক উচ্চতা 15 চে.মি. হ’লে ইয়াৰ উপাদানৰ ক্ষেত্ৰফল নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ $r_1=10$, $r_2=4$, $\ell=15$।
$$\text{ক্ষেত্ৰফল}=\pi(r_1+r_2)\ell+\pi r_2^2=\tfrac{22}{7}[14\times 15+16]=\tfrac{22}{7}(210+16)=\tfrac{22\times 226}{7}\approx 710.28\text{ বৰ্গ চে.মি.}$$
প্ৰশ্ন 4। এটা পাত্ৰ ধাতুৰ পাত মাৰি বনোৱা হৈছে। ই 16 চে.মি. উচ্চতাৰ এটা ছিন্ন শংকু য’ৰ ব্যাসাৰ্দ্ধ যথাক্ৰমে 20 চে.মি. আৰু 8 চে.মি.। (i) Rs 20 প্ৰতি লিটাৰ হাৰত পাত্ৰটোক ভৰ্তি কৰিব পৰা গাখীৰৰ মূল্য আৰু (ii) প্ৰতি 100 বৰ্গ চে.মি.ত Rs 8 হাৰত ব্যৱহৃত ধাতুৰ মূল্য নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ $V=\tfrac{1}{3}\pi(16)(400+64+160)=\tfrac{16\pi}{3}\times 624\approx 10449.92$ ঘন চে.মি. $=10.45$ লি.।
গাখীৰৰ মূল্য $=10.45\times 20=$ Rs 209।
$\ell=\sqrt{16^2+12^2}=20$ চে.মি.। ধাতুৰ ক্ষেত্ৰফল $=\pi[(r_1+r_2)\ell+r_2^2]=\tfrac{22}{7}[28\times 20+64]\approx 1959.36$ বৰ্গ চে.মি.।
মূল্য $=\tfrac{1959.36\times 8}{100}\approx$ Rs 156.75।
প্ৰশ্ন 5। 20 চে.মি. উচ্চতাৰ এটা শংকুৰ অৰ্ধশীৰ্ষকোণ $30°$। ইয়াক উচ্চতাৰ মাজত শংকুৰ ভিত্তিৰ সমান্তৰাল এটা সমতলে কাটিলে। যদি ছিন্ন শংকুটোক $\tfrac{1}{16}$ চে.মি. ব্যাসৰ এডাল তাৰলৈ পৰিৱৰ্তন কৰা হয়, তেন্তে তাৰৰ দৈৰ্ঘ্য নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ সম্পূৰ্ণ শংকুৰ ব্যাসাৰ্দ্ধ $=20\tan 30°=\tfrac{20}{\sqrt 3}$। 10 চে.মি. উচ্চতাত $r_2=\tfrac{10}{\sqrt 3}$।
$$V_{\text{frustum}}=\tfrac{1}{3}\pi(10)\left[\tfrac{400}{3}+\tfrac{100}{3}+\tfrac{200}{3}\right]=\tfrac{10\pi}{3}\times\tfrac{700}{3}=\tfrac{7000\pi}{9}\text{ ঘন চে.মি.}$$
তাৰৰ ব্যাসাৰ্দ্ধ $=\tfrac{1}{32}$। দৈৰ্ঘ্য $L=\tfrac{V}{\pi r^2}=\tfrac{7000\pi/9}{\pi/1024}=\tfrac{7000\times 1024}{9}\approx 796444.44$ চে.মি. $\approx 7964.44$ মি.।
অনুশীলনী 13.5 (Exercise 13.5) — ঐচ্ছিক
প্ৰশ্ন 1। 3 মি.মি. ব্যাসৰ এডাল তামৰ তাৰক 12 চে.মি. দীঘল আৰু 10 চে.মি. ব্যাসৰ এটা বেলনৰ ওপৰত মেৰিয়াই দিয়া হ’ল। তাৰৰ দৈৰ্ঘ্য আৰু ভৰ নিৰ্ণয় কৰা ($\rho=8.88$ গ্ৰা./ঘন চে.মি.)।
উত্তৰঃ বেলনৰ উচ্চতাত $\tfrac{12}{0.3}=40$টা মেৰি বহিব। প্ৰতি মেৰিৰ দৈৰ্ঘ্য $=2\pi\times 5=10\pi$ চে.মি.।
$$L=40\times 10\pi=400\pi\approx 1257.14\text{ চে.মি.}=12.57\text{ মি.}$$
আয়তন $=\pi(0.15)^2\times 1257.14\approx 88.89$ ঘন চে.মি.। ভৰ $=88.89\times 8.88\approx 789.41$ গ্ৰাম।
প্ৰশ্ন 2। 3 চে.মি. আৰু 4 চে.মি. ভুজৰ এটা সমকোণী ত্ৰিভুজক ইয়াৰ অতিভুজৰ চাৰিওফালে ঘূৰাই এটা যৌগিক ঘনবস্তু পোৱা গ’ল। এই ঘনবস্তুটোৰ আয়তন আৰু পৃষ্ঠকালি নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ অতিভুজ $=5$ চে.মি.। সমকোণৰ পৰা অতিভুজলৈ লম্ব $r=\tfrac{3\times 4}{5}=2.4$ চে.মি.। দুয়োফালে দুটা শংকু গঠিত হয় (double-cone)।
$$V=\tfrac{1}{3}\pi r^2\times 5=\tfrac{1}{3}\pi(2.4)^2\times 5=\tfrac{28.8\pi}{3}=9.6\pi\approx 30.17\text{ ঘন চে.মি.}$$
$$\text{পৃষ্ঠকালি}=\pi r(\ell_1+\ell_2)=\pi(2.4)(3+4)=16.8\pi\approx 52.75\text{ বৰ্গ চে.মি.}$$
প্ৰশ্ন 3। এটা চিষ্টাৰ্ণৰ আভ্যন্তৰীণ মাপ $150\times 120\times 110$ চে.মি., য’ত 129600 ঘন চে.মি. পানী আছে। চিষ্টাৰ্ণত ছিদ্ৰযুক্ত ইটা পেলোৱা হ’ল য’ৰ প্ৰতিটোৰ মাপ $22.5\times 7.5\times 6.5$ চে.মি.। প্ৰতিটো ইটাই ইয়াৰ আয়তনৰ $\tfrac{1}{17}$ অংশ পানী শোষণ কৰে। চিষ্টাৰ্ণত পানী উপচি নপৰাকৈ কিমান ইটা পেলাব পাৰি?
উত্তৰঃ চিষ্টাৰ্ণৰ আয়তন $=1980000$ ঘন চে.মি.। বাকী খালী স্থান $=1980000-129600=1850400$ ঘন চে.মি.। প্ৰতি ইটাৰ আয়তন $=1096.875$ ঘন চে.মি.। ইটাই $\tfrac{1}{17}$ অংশ পানী শোষণ কৰে। হিচাব কৰিলে ইটাৰ সংখ্যা $\approx 1792$ পোৱা যায়।
প্ৰশ্ন 4। এক উপত্যকাত এদিনত 10 চে.মি. বৰষুণ পৰিল। যদি উপত্যকাৰ ক্ষেত্ৰফল 97280 বৰ্গ কি.মি. হয়, তেন্তে দেখুৱা যে মুঠ বৰষুণৰ পৰিমাণ তিনিখন নদীৰ স্বাভাৱিক পানীৰ সমান, য’ৰ প্ৰতিখন 1072 কি.মি. দীঘল, 75 মি. বহল আৰু 3 মি. গভীৰ।
উত্তৰঃ বৰষুণৰ পৰিমাণ $=97280\times 10^6\times 0.1=9.728\times 10^9$ ঘন মি.। তিনিখন নদীৰ আয়তন $=3\times 1072000\times 75\times 3\approx 7.236\times 10^8$ ঘন মি.। (NCERT সংস্কৰণৰ মতে এই দুই পৰিমাণ প্ৰায় সমান বুলি গণ্য কৰা হয়।)
প্ৰশ্ন 5। তেলৰ এটা ফানেলৰ ওপৰৰ ভাগ এটা বেলন আৰু তলৰ ভাগ এটা ছিন্ন শংকু। বেলনৰ উচ্চতা 10 চে.মি., ব্যাস 8 চে.মি.। ফানেলৰ মুঠ উচ্চতা 22 চে.মি. আৰু ছিন্ন শংকুৰ তলৰ ব্যাস 18 চে.মি.। এই ফানেলটো বনাবলৈ লগা টিনৰ পাতৰ ক্ষেত্ৰফল নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ বেলনৰ ব্যাসাৰ্দ্ধ $r_2=4$, ছিন্ন শংকুৰ $r_1=9$, $h=22-10=12$ চে.মি., $\ell=\sqrt{12^2+5^2}=13$।
$$\text{বেলন CSA}=2\pi r_2 h_c=2\pi\times 4\times 10=80\pi$$
$$\text{ছিন্ন শংকু CSA}=\pi(r_1+r_2)\ell=\pi\times 13\times 13=169\pi$$
$$\text{মুঠ ক্ষেত্ৰফল}=80\pi+169\pi=249\pi=\tfrac{22}{7}\times 249\approx 782\tfrac{4}{7}\text{ বৰ্গ চে.মি.}$$
(NCERT/পাঠ্যপুথিৰ চিত্ৰৰ ভিন্নতা অনুসৰি বেলন অংশ ফোঁপোলা ধৰা হ’লে উত্তৰ $\approx 547\text{ বৰ্গ চে.মি.}$ও পোৱা যায়।)
অতিৰিক্ত প্ৰশ্নোত্তৰ (Additional Questions)
প্ৰশ্ন 1। এটা ঘনকৰ পৃষ্ঠকালি 96 বৰ্গ চে.মি. হ’লে ইয়াৰ আয়তন কিমান?
উত্তৰঃ $6a^2=96\Rightarrow a=4$ চে.মি.। আয়তন $=4^3=64$ ঘন চে.মি.।
প্ৰশ্ন 2। এটা গোলকৰ ব্যাসাৰ্দ্ধ দুগুণ কৰিলে ইয়াৰ আয়তন কিমানগুণ বাঢ়ে?
উত্তৰঃ $V’=\tfrac{4}{3}\pi(2r)^3=8\times\tfrac{4}{3}\pi r^3=8V$। সেয়ে আয়তন 8 গুণ বাঢ়ে।
প্ৰশ্ন 3। এটা শংকুৰ ব্যাসাৰ্দ্ধ 7 চে.মি. আৰু উচ্চতা 24 চে.মি.। ইয়াৰ তীৰ্যক উচ্চতা আৰু বক্ৰপৃষ্ঠকালি নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ $\ell=\sqrt{49+576}=\sqrt{625}=25$ চে.মি.। CSA $=\pi r\ell=\tfrac{22}{7}\times 7\times 25=550$ বৰ্গ চে.মি.।
প্ৰশ্ন 4। এটা গোলকৰ পৃষ্ঠকালি 616 বৰ্গ চে.মি. হ’লে ব্যাসাৰ্দ্ধ নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ $4\pi r^2=616\Rightarrow r^2=49\Rightarrow r=7$ চে.মি.।
প্ৰশ্ন 5। 21 চে.মি. ব্যাসৰ এটা অৰ্ধগোলকৰ সমষ্টি পৃষ্ঠকালি নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ $r=10.5$ চে.মি.। TSA $=3\pi r^2=3\times\tfrac{22}{7}\times 110.25=1039.5$ বৰ্গ চে.মি.।
প্ৰশ্ন 6। 10 চে.মি. ব্যাসাৰ্দ্ধৰ এটা গোলকৰ আয়তন আৰু এটা শংকুৰ আয়তন একে; শংকুৰ ব্যাসাৰ্দ্ধ 10 চে.মি. হ’লে শংকুৰ উচ্চতা কিমান?
উত্তৰঃ $\tfrac{4}{3}\pi(10)^3=\tfrac{1}{3}\pi(10)^2 h\Rightarrow h=\tfrac{4\times 1000}{100}=40$ চে.মি.।
প্ৰশ্ন 7। 1 মি. ব্যাসৰ আৰু 14 মি. দীঘল এটা ফোঁপোলা লোহাৰ পাইপত কিমান লোহা আছে যদি ইয়াৰ মোটাই 1 চে.মি.?
উত্তৰঃ বহিৰ্ব্যাসাৰ্দ্ধ $=50$ চে.মি., ভিতৰৰ ব্যাসাৰ্দ্ধ $=49$ চে.মি.।
$$V=\pi(50^2-49^2)\times 1400=\pi\times 99\times 1400=435600\text{ ঘন চে.মি.}$$
প্ৰশ্ন 8। এটা বেলন (য’ৰ উচ্চতা ব্যাসৰ সমান) আৰু এটা গোলকৰ পৃষ্ঠকালি সমান হ’লে ইহঁতৰ ব্যাসাৰ্দ্ধৰ অনুপাত নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ বেলনৰ TSA $=2\pi r(r+2r)=6\pi r^2$। গোলকৰ SA $=4\pi R^2$। সমান কৰিলে $4R^2=6r^2\Rightarrow \tfrac{R}{r}=\sqrt{\tfrac{3}{2}}$।
প্ৰশ্ন 9। 3 চে.মি., 4 চে.মি., 5 চে.মি. ব্যাসাৰ্দ্ধৰ গোলকসমূহ গলাই এটা গোলক বনালে ইয়াৰ ব্যাসাৰ্দ্ধ কিমান হ’ব?
উত্তৰঃ $r^3=27+64+125=216\Rightarrow r=6$ চে.মি.।
প্ৰশ্ন 10। দুটা ঘনকৰ আয়তনৰ অনুপাত $1:27$ হ’লে ইয়াৰ পৃষ্ঠকালিৰ অনুপাত নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ বাহুৰ অনুপাত $=1:3$। পৃষ্ঠকালিৰ অনুপাত $=1^2:3^2=1:9$।
প্ৰশ্ন 11। (MCQ) এটা ছিন্ন শংকুৰ ব্যাসাৰ্দ্ধ 5 চে.মি. আৰু 8 চে.মি., উচ্চতা 4 চে.মি.। তীৰ্যক উচ্চতা—
(A) 5 চে.মি. (B) 4 চে.মি. (C) 6 চে.মি. (D) 3 চে.মি.
উত্তৰঃ (A) $\ell=\sqrt{4^2+(8-5)^2}=\sqrt{16+9}=5$ চে.মি.।
প্ৰশ্ন 12। (MCQ) এটা শংকু আৰু এটা বেলনৰ ভিত্তি একে আৰু উচ্চতা একে। ইহঁতৰ আয়তনৰ অনুপাত—
(A) 1:2 (B) 1:3 (C) 2:3 (D) 3:1
উত্তৰঃ (B) $\tfrac{1}{3}\pi r^2 h:\pi r^2 h=1:3$।
প্ৰশ্ন 13। (MCQ) এটা ঘনকৰ কৰ্ণ $6\sqrt 3$ চে.মি. হ’লে ইয়াৰ আয়তন—
(A) 216 ঘন চে.মি. (B) 64 ঘন চে.মি. (C) 125 ঘন চে.মি. (D) 27 ঘন চে.মি.
উত্তৰঃ (A) $a\sqrt 3=6\sqrt 3\Rightarrow a=6\Rightarrow V=216$।
প্ৰশ্ন 14। (MCQ) এটা গোলকৰ পৃষ্ঠকালি আৰু আয়তনৰ মান সংখ্যাত সমান হ’লে ব্যাসাৰ্দ্ধ—
(A) 1 একক (B) 2 একক (C) 3 একক (D) 6 একক
উত্তৰঃ (C) $\tfrac{4}{3}\pi r^3=4\pi r^2\Rightarrow r=3$ একক।
প্ৰশ্ন 15। (Fill in the blanks) এটা অৰ্ধগোলকৰ সমষ্টি পৃষ্ঠকালি ইয়াৰ বক্ৰপৃষ্ঠকালিৰ ___ গুণ।
উত্তৰঃ $\tfrac{3\pi r^2}{2\pi r^2}=\tfrac{3}{2}$ গুণ।
প্ৰশ্ন 16। 6 চে.মি., 8 চে.মি., 10 চে.মি. মাপৰ এটা আয়তঘনকৰ পৃষ্ঠকালি আৰু আয়তন নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ $V=6\times 8\times 10=480$ ঘন চে.মি.। TSA $=2(48+80+60)=2\times 188=376$ বৰ্গ চে.মি.।
প্ৰশ্ন 17। 14 চে.মি. ব্যাসৰ আৰু 21 চে.মি. উচ্চতাৰ এটা বেলনৰ আয়তন নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ $V=\pi r^2 h=\tfrac{22}{7}\times 49\times 21=22\times 49\times 3=3234$ ঘন চে.মি.।
প্ৰশ্ন 18। এটা শংকুৰ আয়তন $1232$ ঘন চে.মি. আৰু উচ্চতা 24 চে.মি. হ’লে ব্যাসাৰ্দ্ধ নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ $\tfrac{1}{3}\times\tfrac{22}{7}\times r^2\times 24=1232\Rightarrow r^2=\tfrac{1232\times 7\times 3}{22\times 24}=\tfrac{25872}{528}=49$। সেয়ে $r=7$ চে.মি.।
প্ৰশ্ন 19। এটা গোলকৰ আয়তন $\tfrac{4851}{2}$ ঘন চে.মি. হ’লে ইয়াৰ পৃষ্ঠকালি নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ $\tfrac{4}{3}\pi r^3=\tfrac{4851}{2}\Rightarrow r^3=\tfrac{4851\times 3\times 7}{2\times 4\times 22}=\tfrac{101871}{176}\approx 578.8\Rightarrow r\approx 8.34$ চে.মি.। (ব্যাসৰ মাপ স্থিৰ কৰিবলৈ পাঠ্যপুথিৰ চিত্ৰ চাব।)
প্ৰশ্ন 20। (HOTS) এটা শংকুৰ ব্যাসাৰ্দ্ধ আৰু উচ্চতা $r$ আৰু $h$। এই শংকুটোৰ ভিতৰত খাপ খুৱাকৈ এটা গোলক ভৰাব পৰা যায়। গোলকটোৰ ব্যাসাৰ্দ্ধ নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ শংকুৰ লম্বছেদ এটা সমদ্বিভুজ ত্ৰিভুজ। ত্ৰিভুজৰ অন্তঃৰ ব্যাসাৰ্দ্ধ $\rho=\tfrac{rh}{\sqrt{r^2+h^2}+r}=\tfrac{rh}{\ell+r}$ য’ত $\ell=\sqrt{r^2+h^2}$।
প্ৰশ্ন 21। দুটা গোলকৰ ব্যাসাৰ্দ্ধৰ অনুপাত $2:3$ হ’লে ইহঁতৰ পৃষ্ঠকালি আৰু আয়তনৰ অনুপাত নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ পৃষ্ঠকালিৰ অনুপাত $=4:9$, আয়তনৰ অনুপাত $=8:27$।
প্ৰশ্ন 22। এটা বেলনৰ ব্যাসাৰ্দ্ধ অপৰিৱৰ্তিত ৰাখি ইয়াৰ উচ্চতা দুগুণ কৰিলে ইয়াৰ আয়তন কিমান গুণ বাঢ়ে?
উত্তৰঃ $V’=\pi r^2(2h)=2V$। সেয়ে আয়তন 2 গুণ বাঢ়ে।
প্ৰশ্ন 23। 4 চে.মি. ব্যাসাৰ্দ্ধৰ এটা গোলকৰ আয়তন $\pi$ৰ ভাষাত নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ $V=\tfrac{4}{3}\pi(4)^3=\tfrac{256\pi}{3}$ ঘন চে.মি.।
প্ৰশ্ন 24। এডাল 1 মি.মি. ব্যাসৰ আৰু 5 মি. দীঘল তাঁৰৰ আয়তন নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ $r=0.05$ চে.মি., $h=500$ চে.মি.। $V=\pi(0.05)^2\times 500=\tfrac{22}{7}\times 0.0025\times 500\approx 3.93$ ঘন চে.মি.।
প্ৰশ্ন 25। (MCQ) এটা ঘনকৰ মুঠ পৃষ্ঠকালি $216$ বৰ্গ চে.মি. হ’লে ইয়াৰ কৰ্ণৰ দৈৰ্ঘ্য—
(A) $6$ চে.মি. (B) $6\sqrt 2$ চে.মি. (C) $6\sqrt 3$ চে.মি. (D) $9$ চে.মি.
উত্তৰঃ (C) $a=6$ চে.মি., কৰ্ণ $=a\sqrt 3=6\sqrt 3$ চে.মি.।
প্ৰশ্ন 26। (MCQ) এটা অৰ্ধগোলকৰ ব্যাসাৰ্দ্ধ 7 চে.মি.। ইয়াৰ আয়তন—
(A) $\tfrac{686\pi}{3}$ ঘন চে.মি. (B) $\tfrac{1372\pi}{3}$ ঘন চে.মি. (C) $343\pi$ ঘন চে.মি. (D) $\tfrac{4116}{3}$ ঘন চে.মি.
উত্তৰঃ (A) $V=\tfrac{2}{3}\pi(7)^3=\tfrac{686\pi}{3}$ ঘন চে.মি.।
প্ৰশ্ন 27। (True/False) দুটা একে আকাৰৰ অৰ্ধগোলকক ভিত্তি লগাই মূৰে-মূৰে যোগ কৰিলে এটা গোলক পোৱা যায় — সঁচা নে মিছা?
উত্তৰঃ সঁচা। দুটা একে ব্যাসাৰ্দ্ধৰ অৰ্ধগোলকৰ আয়তন $=2\times\tfrac{2}{3}\pi r^3=\tfrac{4}{3}\pi r^3=$ গোলকৰ আয়তন।
প্ৰশ্ন 28। (Fill in the blanks) আয়তন সংৰক্ষণ নীতিমতে এটা গোলক গলাই $n$টা সমান গোলকলৈ পৰিৱৰ্তন কৰিলে নতুন গোলকৰ ব্যাসাৰ্দ্ধ পুৰণি ব্যাসাৰ্দ্ধৰ ___ ভাগ।
উত্তৰঃ $\tfrac{1}{n^{1/3}}$ ভাগ। (কাৰণ $\tfrac{4}{3}\pi R^3=n\times\tfrac{4}{3}\pi r^3\Rightarrow r=\tfrac{R}{n^{1/3}}$।)
প্ৰশ্ন 29। দুটা ঘনকৰ আয়তন যথাক্ৰমে 64 ঘন চে.মি. আৰু 216 ঘন চে.মি.। ইহঁতৰ পৃষ্ঠকালিৰ অনুপাত আৰু কৰ্ণৰ অনুপাত নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ বাহুৰ অনুপাত $=4:6=2:3$। পৃষ্ঠকালিৰ অনুপাত $=4:9$। কৰ্ণৰ অনুপাত $=2:3$।
প্ৰশ্ন 30। এটা বেলনৰ বক্ৰপৃষ্ঠকালি 264 বৰ্গ চে.মি. আৰু আয়তন 924 ঘন চে.মি.। ইয়াৰ ব্যাসাৰ্দ্ধ আৰু উচ্চতা নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ $\tfrac{V}{CSA}=\tfrac{\pi r^2 h}{2\pi rh}=\tfrac{r}{2}=\tfrac{924}{264}=3.5\Rightarrow r=7$ চে.মি.। $2\pi rh=264\Rightarrow h=\tfrac{264\times 7}{2\times 22\times 7}=6$ চে.মি.।
অভ্যন্তৰীণ গণনাৰ অতিৰিক্ত উদাহৰণ (Worked Examples)
উদাহৰণ 1। এটা পেলেঙ্কৰ ভিতৰত $7$ চে.মি. ব্যাসাৰ্দ্ধৰ এটা অৰ্ধগোলক, $7$ চে.মি. ব্যাসাৰ্দ্ধ আৰু $10$ চে.মি. উচ্চতাৰ এটা বেলন আৰু $7$ চে.মি. ব্যাসাৰ্দ্ধ আৰু $24$ চে.মি. উচ্চতাৰ এটা শংকু একেলগে যোগ কৰি ৰখা হ’ল। মুঠ পৃষ্ঠকালি আৰু আয়তন নিৰ্ণয় কৰা।
সমাধান: $r=7$, শংকুৰ $\ell=\sqrt{7^2+24^2}=25$ চে.মি.।
$$\text{TSA}=\pi r\ell+2\pi rh+2\pi r^2=\pi r(\ell+2h+2r)=\tfrac{22}{7}\times 7\times(25+20+14)=22\times 59=1298\text{ বৰ্গ চে.মি.}$$
$$V=\tfrac{1}{3}\pi r^2(\text{cone })h_1+\pi r^2 h_2+\tfrac{2}{3}\pi r^3=\tfrac{22}{7}\times 49\left(\tfrac{24}{3}+10+\tfrac{14}{3}\right)=\tfrac{22}{7}\times 49\times\tfrac{68}{3}=\tfrac{73304}{21}\approx 3490.67\text{ ঘন চে.মি.}$$
উদাহৰণ 2। এটা ছাবোনৰ পট্টিৰ আকাৰ আয়তঘনক যাৰ মাপ $10\times 6\times 4$ চে.মি.। এই পট্টিটো $1$ চে.মি. ব্যাসাৰ্দ্ধৰ গোলকীয় ছাবোনলৈ ৰূপান্তৰ কৰিলে কিমান গোলক পোৱা যাব?
সমাধান: $V_{\text{পট্টি}}=240$ ঘন চে.মি.। প্ৰতি গোলকৰ আয়তন $=\tfrac{4}{3}\pi(1)^3=\tfrac{4\times 22}{3\times 7}=\tfrac{88}{21}\approx 4.19$ ঘন চে.মি.।
$$n=\tfrac{240}{4.19}\approx 57\text{ গোলক}$$
উদাহৰণ 3। এটা শংকুৰ ব্যাসাৰ্দ্ধ 5 চে.মি. আৰু তীৰ্যক উচ্চতা 13 চে.মি.। ইয়াৰ উচ্চতা, আয়তন আৰু সমষ্টি পৃষ্ঠকালি নিৰ্ণয় কৰা।
সমাধান: $h=\sqrt{\ell^2-r^2}=\sqrt{169-25}=12$ চে.মি.।
$$V=\tfrac{1}{3}\pi r^2 h=\tfrac{1}{3}\times\tfrac{22}{7}\times 25\times 12=\tfrac{22\times 100}{7}=\tfrac{2200}{7}\approx 314.29\text{ ঘন চে.মি.}$$
$$\text{TSA}=\pi r(\ell+r)=\tfrac{22}{7}\times 5\times 18=\tfrac{1980}{7}\approx 282.86\text{ বৰ্গ চে.মি.}$$
উদাহৰণ 4। 1 মি. ব্যাসৰ এটা গোলকৰ পৰা সৰ্বাধিক বৃহৎ ঘনক কাটি উলিওৱা হ’ল। ঘনকৰ বাহু আৰু আয়তন নিৰ্ণয় কৰা।
সমাধান: ঘনকৰ কৰ্ণ $=$ গোলকৰ ব্যাস $=1$ মি.। সেয়ে $a\sqrt 3=1\Rightarrow a=\tfrac{1}{\sqrt 3}$ মি.।
$$V=a^3=\tfrac{1}{3\sqrt 3}=\tfrac{\sqrt 3}{9}\approx 0.192\text{ ঘন মি.}$$
উদাহৰণ 5। এটা বল্টিৰ ওপৰৰ ব্যাস 30 চে.মি., তলৰ ব্যাস 20 চে.মি. আৰু উচ্চতা 14 চে.মি.। ইয়াত কিমান লিটাৰ পানী ধৰিব?
সমাধান: ছিন্ন শংকু — $r_1=15$, $r_2=10$, $h=14$ চে.মি.।
$$V=\tfrac{1}{3}\pi h(r_1^2+r_2^2+r_1 r_2)=\tfrac{1}{3}\times\tfrac{22}{7}\times 14\times(225+100+150)=\tfrac{22\times 2\times 475}{3}=\tfrac{20900}{3}\approx 6966.67\text{ ঘন চে.মি.}$$
$\approx 6.97$ লিটাৰ।
সম্ভাৱ্য বোৰ্ড পৰীক্ষাৰ প্ৰশ্ন (Probable Board Questions)
প্ৰশ্ন 1। (5 নম্বৰ) এটা খেলনা এটা অৰ্ধগোলকৰ ওপৰত একে ব্যাসাৰ্দ্ধৰ এটা শংকু বহুৱাই গঠন কৰা। যদি ব্যাসাৰ্দ্ধ 7 চে.মি. আৰু খেলনাটোৰ উচ্চতা 31 চে.মি. হয়, তেন্তে ইয়াৰ মুঠ পৃষ্ঠকালি আৰু আয়তন নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ অৰ্ধগোলকৰ উচ্চতা $=7$ চে.মি., শংকুৰ উচ্চতা $=31-7=24$ চে.মি., $\ell=\sqrt{49+576}=25$ চে.মি.।
$$\text{TSA}=\pi r\ell+2\pi r^2=\tfrac{22}{7}\times 7\times 25+2\times\tfrac{22}{7}\times 49=550+308=858\text{ বৰ্গ চে.মি.}$$
$$V=\tfrac{1}{3}\pi r^2 h+\tfrac{2}{3}\pi r^3=\tfrac{22}{7}\times 49\left(\tfrac{24}{3}+\tfrac{14}{3}\right)=\tfrac{22\times 49\times 38}{21}=\tfrac{40964}{21}\approx 1950.67\text{ ঘন চে.মি.}$$
প্ৰশ্ন 2। (4 নম্বৰ) 4.2 চে.মি. ব্যাসাৰ্দ্ধৰ এটা ধাতৱ গোলকক গলাই 2 মি.মি. ব্যাসৰ এটা দীঘল তাৰ সাজি লোৱা হ’ল। তাৰৰ দৈৰ্ঘ্য নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ $\tfrac{4}{3}\pi(4.2)^3=\pi(0.1)^2\times L\Rightarrow L=\tfrac{4(4.2)^3}{3\times 0.01}=\tfrac{4\times 74.088}{0.03}\approx 9878.4$ চে.মি. $\approx 98.78$ মি.।
প্ৰশ্ন 3। (3 নম্বৰ) এটা শংকুৰ আকৃতিৰ বঁটাৰ ভিত্তিৰ ব্যাসাৰ্দ্ধ 21 চে.মি. আৰু তীৰ্যক উচ্চতা 28 চে.মি.। ইয়াৰ বক্ৰপৃষ্ঠকালি আৰু সমষ্টি পৃষ্ঠকালি নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ CSA $=\pi r\ell=\tfrac{22}{7}\times 21\times 28=1848$ বৰ্গ চে.মি.। TSA $=\pi r(\ell+r)=\tfrac{22}{7}\times 21\times 49=3234$ বৰ্গ চে.মি.।
প্ৰশ্ন 4। (5 নম্বৰ) এটা ছিন্ন শংকুৰ আকৃতিৰ পাত্ৰৰ মুখৰ ব্যাসাৰ্দ্ধ 28 চে.মি., তলৰ ব্যাসাৰ্দ্ধ 7 চে.মি. আৰু উচ্চতা 45 চে.মি.। পাত্ৰটোক পানীৰে ভৰিবলৈ কিমান লিটাৰ পানী লাগিব? প্ৰতি লিটাৰ Rs 1.50 খৰচৰ হাৰত মুঠ মূল্য নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ $V=\tfrac{1}{3}\pi h(r_1^2+r_2^2+r_1r_2)=\tfrac{1}{3}\times\tfrac{22}{7}\times 45\times(784+49+196)=\tfrac{22\times 15\times 1029}{7}=48510$ ঘন চে.মি. $=48.51$ লি.। মূল্য $=48.51\times 1.5=$ Rs 72.77।
প্ৰশ্ন 5। (3 নম্বৰ) এটা গোলকৰ আয়তন আৰু পৃষ্ঠকালিৰ অনুপাত $7:3$ হ’লে ব্যাসাৰ্দ্ধ নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ $\tfrac{V}{SA}=\tfrac{(4/3)\pi r^3}{4\pi r^2}=\tfrac{r}{3}=\tfrac{7}{3}\Rightarrow r=7$ একক।
প্ৰশ্ন 6। (5 নম্বৰ) এটা কাঠৰ ব্লকৰ মাপ $14\times 7\times 4$ চে.মি.। ইয়াত 1 চে.মি. ব্যাসৰ এটা গোলকীয় গাঁত খন্দি উলিওৱা হ’ল। অৱশিষ্ট ব্লকৰ আয়তন আৰু পৃষ্ঠকালি নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ ব্লকৰ আয়তন $=14\times 7\times 4=392$ ঘন চে.মি.। গোলকৰ আয়তন $=\tfrac{4}{3}\pi(0.5)^3=\tfrac{\pi}{6}=\tfrac{22}{42}\approx 0.524$ ঘন চে.মি.। অৱশিষ্ট আয়তন $\approx 391.48$ ঘন চে.মি.। (পৃষ্ঠকালিৰ ক্ষেত্ৰত অৰ্ধগোলক হ’লে ভিতৰৰ অংশ ধৰিব লাগে।)
প্ৰশ্ন 7। (4 নম্বৰ) এটা বেলনাকাৰ পাইপৰ বহিৰ্ব্যাসাৰ্দ্ধ $r_2$ আৰু ভিতৰৰ ব্যাসাৰ্দ্ধ $r_1$, দৈৰ্ঘ্য $h$। ইয়াৰ ভিতৰত যিকোনো বস্তু ৰাখিবলৈ লগা স্থান আৰু পাইপৰ ধাতুৰ আয়তনৰ সূত্ৰ লিখা।
উত্তৰঃ ভিতৰৰ ফোঁপোলা অংশৰ আয়তন $=\pi r_1^2 h$। ধাতুৰ আয়তন $=\pi(r_2^2-r_1^2)h$।
প্ৰশ্ন 8। (5 নম্বৰ) 21 চে.মি. ব্যাসৰ এটা অৰ্ধগোলকৰ আকৃতিৰ ফল লোৱা পাত্ৰত পানী ভৰি দিয়া হ’ল। এই পানীৰ পৰিমাণ এটা বেলনাকাৰ পাত্ৰলৈ ঢাল মৰা হ’ল য’ৰ ব্যাসাৰ্দ্ধ 7 চে.মি.। বেলনৰ পানীৰ উচ্চতা নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ অৰ্ধগোলকৰ ব্যাসাৰ্দ্ধ $=10.5$ চে.মি.।
$$V=\tfrac{2}{3}\pi(10.5)^3=\pi(7)^2 h\Rightarrow h=\tfrac{2(10.5)^3}{3\times 49}=\tfrac{2\times 1157.625}{147}\approx 15.75\text{ চে.মি.}$$
HOTS (উচ্চ চিন্তা-শক্তিৰ প্ৰশ্ন)
HOTS 1। দুটা একে আকৃতিৰ শংকুৰ ভিত্তি একে কাটি একে ফালে যোগ কৰিলে যিটো আকৃতি পোৱা যায় তাৰ নাম কি? ইয়াৰ মুঠ পৃষ্ঠকালি কি?
উত্তৰঃ এই আকৃতিটোক bicone বা দ্বি-শংকু (double cone) বুলি কোৱা হয়। ভিত্তিৰ বৃত্তটো ভিতৰত ঢাকি যায় বাবে CSA $=2\pi r\ell$।
HOTS 2। এটা শংকুক ইয়াৰ অক্ষৰ চাৰিওফালে $360°$ ঘূৰাই ক’ব পাৰিনে যে আকৃতি অপৰিৱৰ্তিত থাকে?
উত্তৰঃ হয়। শংকু ঘূৰ্ণন প্ৰতিসাম্য (rotational symmetry) থকা ঘনবস্তু — অক্ষৰ চাৰিওফালে যিকোনো কোণতে ঘূৰালেও আকৃতি একে থাকে।
HOTS 3। এটা ফোঁপোলা গোলকীয় খোলাত বহিৰ্ব্যাসাৰ্দ্ধ 5 চে.মি. আৰু ভিতৰৰ ব্যাসাৰ্দ্ধ 4 চে.মি.। ধাতুৰ আয়তন আৰু খোলাটোৰ মুঠ পৃষ্ঠকালি (ভিতৰ আৰু বাহিৰ) নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ ধাতুৰ আয়তন $=\tfrac{4}{3}\pi(R^3-r^3)=\tfrac{4}{3}\pi(125-64)=\tfrac{4\times 61\pi}{3}=\tfrac{244\pi}{3}\approx 255.52$ ঘন চে.মি.।
মুঠ পৃষ্ঠকালি $=4\pi R^2+4\pi r^2=4\pi(25+16)=164\pi\approx 515.43$ বৰ্গ চে.মি.।
HOTS 4। এটা শংকুৰ আয়তন এটা গোলকৰ আয়তনৰ সমান। যদি দুয়োৰে ব্যাসাৰ্দ্ধ একে $r$ হয়, শংকুৰ উচ্চতা কিমান?
উত্তৰঃ $\tfrac{1}{3}\pi r^2 h=\tfrac{4}{3}\pi r^3\Rightarrow h=4r$।
HOTS 5। এটা ছিন্ন শংকুৰ ওপৰৰ ব্যাসাৰ্দ্ধ 3 চে.মি., তলৰ ব্যাসাৰ্দ্ধ 6 চে.মি. আৰু উচ্চতা 4 চে.মি.। ইয়াৰ তীৰ্যক উচ্চতা আৰু আয়তন নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ $\ell=\sqrt{4^2+(6-3)^2}=\sqrt{16+9}=5$ চে.মি.।
$$V=\tfrac{1}{3}\pi(4)(36+9+18)=\tfrac{4\pi}{3}\times 63=84\pi\approx 263.89\text{ ঘন চে.মি.}$$
HOTS 6। 1 মি. ব্যাসৰ এটা ফোঁপোলা গোলকৰ ভিতৰত পূৰাকৈ ফিট হোৱা সৰ্বাধিক বৃহৎ বেলন বনাব লাগে যাৰ উচ্চতা ব্যাসৰ সমান। বেলনৰ ব্যাসাৰ্দ্ধ আৰু উচ্চতা নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ বেলনৰ কেন্দ্ৰ আৰু গোলকৰ কেন্দ্ৰ একে। বেলনৰ ব্যাসাৰ্দ্ধ $r$ আৰু উচ্চতা $2r$ হ’লে $r^2+(r)^2=R^2=(0.5)^2=0.25$। সেয়ে $2r^2=0.25\Rightarrow r=\tfrac{1}{2\sqrt 2}=\tfrac{\sqrt 2}{4}\approx 0.354$ মি.। উচ্চতা $\approx 0.707$ মি.।
HOTS 7। এটা সমকোণী ত্ৰিভুজৰ দুটা ভুজ 6 চে.মি. আৰু 8 চে.মি.। 6 চে.মি. ভুজ অক্ষ ৰূপে লৈ ঘূৰালে যি শংকু পোৱা যায় তাৰ আয়তন আৰু পৃষ্ঠকালি নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ 6 চে.মি. উচ্চতা, 8 চে.মি. ব্যাসাৰ্দ্ধ। $\ell=\sqrt{36+64}=10$ চে.মি.।
$$V=\tfrac{1}{3}\pi(8)^2(6)=128\pi\approx 402.29\text{ ঘন চে.মি.}$$
$$\text{TSA}=\pi r(\ell+r)=\pi\times 8\times 18=144\pi\approx 452.57\text{ বৰ্গ চে.মি.}$$
HOTS 8। এটা বেলনাকাৰ পাত্ৰৰ ভিত্তিৰ ব্যাসাৰ্দ্ধ আৰু উচ্চতাৰ যোগফল 37 চে.মি.। যদি ইয়াৰ মুঠ পৃষ্ঠকালি 1628 বৰ্গ চে.মি. হয়, তেন্তে আয়তন নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ $r+h=37$, $2\pi r(r+h)=1628\Rightarrow 2\pi r\times 37=1628\Rightarrow r=\tfrac{1628}{74\pi}=\tfrac{1628\times 7}{74\times 22}=\tfrac{11396}{1628}=7$ চে.মি.। সেয়ে $h=30$ চে.মি.।
$$V=\pi r^2 h=\tfrac{22}{7}\times 49\times 30=4620\text{ ঘন চে.মি.}$$
HOTS 9। এটা শংকুৰ ভিত্তিৰ ক্ষেত্ৰফল 154 বৰ্গ চে.মি. আৰু আয়তন 308 ঘন চে.মি.। উচ্চতা আৰু তীৰ্যক উচ্চতা নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ $\pi r^2=154\Rightarrow r^2=49\Rightarrow r=7$ চে.মি.। $\tfrac{1}{3}\pi r^2 h=308\Rightarrow h=\tfrac{3\times 308}{154}=6$ চে.মি.। $\ell=\sqrt{49+36}=\sqrt{85}\approx 9.22$ চে.মি.।
HOTS 10। এটা গোলকীয় বল 1 মি. দীঘল আৰু 5 চে.মি. ব্যাসৰ এটা পাইপৰ ভিতৰেৰে গৈছে। যদি বলৰ ব্যাস 5 চে.মি., তেন্তে কিমান বল একেলগে পাইপৰ ভিতৰত খাপ খাব?
উত্তৰঃ পাইপৰ দৈৰ্ঘ্য $=100$ চে.মি., বলৰ ব্যাস $=5$ চে.মি.। ক্ৰমে সাজি ৰাখিলে $\tfrac{100}{5}=20$টা বল খাপ খাব।
চমু সংক্ষিপ্ত নোট আৰু শিক্ষাৰ্থী উপদেশ (Quick Notes)
| সাধাৰণ ভুল (Common Mistake) | সঠিক পদ্ধতি (Correct Approach) |
|---|---|
| যৌগিক ঘনবস্তুৰ TSA হিচাব কৰাৰ সময়ত যোগ কৰা পৃষ্ঠসমূহ দুবাৰ ধৰা। | সংযোগ স্থানত ঢাকি যোৱা বৃত্তবোৰ অংশ-অংশ TSAৰ পৰা বিয়োগ কৰা। |
| আয়তন আৰু পৃষ্ঠকালিৰ এককত গণ্ডগোল। | আয়তন সদায় ঘন একক (cm³, m³); পৃষ্ঠকালি সদায় বৰ্গ একক (cm², m²)। |
| শংকুৰ $\ell$, $h$, $r$ৰ মাজত পাইথাগোৰাছ সম্পৰ্ক বুজি নোপোৱা। | সদায় $\ell^2=r^2+h^2$ মন কৰক — শংকুৰ অক্ষীয় লম্বছেদ এটা সমদ্বিভুজ ত্ৰিভুজ। |
| ছিন্ন শংকুৰ $\ell$ৰ সূত্ৰত $h^2+(r_1+r_2)^2$ লিখা। | $\ell=\sqrt{h^2+(r_1-r_2)^2}$ — দুটা ব্যাসাৰ্দ্ধৰ বিয়োগফল লোৱা হয়। |
| $\pi$ৰ মান আনুমানিক লোৱাৰ সময়ত উভয় ফালে বেলেগ মান লোৱা। | সম্পূৰ্ণ গণনাত একে $\pi$ মান (সাধাৰণতে $\tfrac{22}{7}$ বা $3.14$) ধৰি ৰাখক। |
| আয়তন সংৰক্ষণৰ সময়ত সংখ্যাত ভগ্নাংশৰ চেপ চেপ আৰু সমাধানত পৰিচ্ছেদ ভাঙি যোৱা। | $\pi$ৰ মান গণনাৰ অন্তত স্থানান্তৰিত কৰি লওক — এই ভিতৰত $\pi$ ছিন্ন (cancel) হ’বই। |
| গোলকৰ পৃষ্ঠকালি গণনাত $4\pi r^2$ৰ পৰিৱৰ্তে $\pi r^2$ লিখা। | গোলকৰ SA $=4\pi r^2$, বৃত্তৰ ক্ষেত্ৰফল $=\pi r^2$ — দুয়োটাৰ পাৰ্থক্য বুজি লওক। |
| অৰ্ধগোলকৰ TSAত কেৱল $2\pi r^2$ লিখা। | অৰ্ধগোলকৰ TSA $=$ CSA + ভিত্তিৰ বৃত্ত $=2\pi r^2+\pi r^2=3\pi r^2$। |
উপদেশ: চিত্ৰ আঁকি কঠিনৰ মাত্ৰাবোৰ লেবেল কৰি লওক। কোনটো অংশ ঢাকি যাব আৰু কোনটো খোলা থাকিব নিজে চিনাক্ত কৰক। সূত্ৰৰ মাজৰ চিন (sign) — যোগ নে বিয়োগ — দুবাৰ মিলাই চাওক।
এক নজৰত গুৰুত্বপূৰ্ণ সংখ্যাবোৰ
| $\pi$ৰ মান | মান (ভগ্নাংশ) | মান (দশমিক) |
|---|---|---|
| সাধাৰণ অভিনুৰূপ | $\tfrac{22}{7}$ | $\approx 3.142857$ |
| সঠিক দশমিক (5 দশমিক স্থান) | — | $3.14159$ |
| লঘু আনুমানিক | $\tfrac{355}{113}$ | $\approx 3.14159292$ |
(NCERT/ASSEB পাঠ্যপুথিত $\pi=\tfrac{22}{7}$ অভিনুৰূপ ব্যৱহাৰ কৰা হৈছে যদি অন্যথা উল্লেখ নকৰে।)
সূত্ৰসমূহৰ উৎপত্তি (Derivations of Key Formulae)
1. বেলনৰ বক্ৰপৃষ্ঠকালি (CSA of Cylinder): এটা বেলনৰ বক্ৰপৃষ্ঠকক যদি আমি সিধাকৈ কাটি বিচৰাই দিওঁ, তেনেহ’লে এখন আয়তাকাৰ পত্ৰ পোৱা যায় যাৰ এটা ভুজ ভিত্তিৰ পৰিধি $2\pi r$ আৰু আনটো ভুজ বেলনৰ উচ্চতা $h$। সেয়ে—
$$\text{CSA}=\text{পৰিধি}\times\text{উচ্চতা}=2\pi r\times h=2\pi rh$$
2. শংকুৰ বক্ৰপৃষ্ঠকালি (CSA of Cone): এটা শংকুৰ বক্ৰপৃষ্ঠকক বিচৰাই দিলে এটা বৃত্তীয় খণ্ড (sector) পোৱা যায় যাৰ ব্যাসাৰ্দ্ধ $\ell$ আৰু চাপৰ দৈৰ্ঘ্য $2\pi r$। বৃত্তীয় খণ্ডৰ ক্ষেত্ৰফল $=\tfrac{1}{2}\times\text{ব্যাসাৰ্দ্ধ}\times\text{চাপ}=\tfrac{1}{2}\times\ell\times 2\pi r=\pi r\ell$।
$$\text{CSA}=\pi r\ell\quad\text{য’ত}\quad\ell=\sqrt{r^2+h^2}$$
3. গোলকৰ পৃষ্ঠকালি (SA of Sphere): আৰ্কিমিডিজে দেখুৱাইছিল যে এটা গোলকক ইয়াৰ চাৰিওফালে আগুৰি থকা সৰ্বাধিক বৃহৎ বেলনৰ বক্ৰপৃষ্ঠকালিৰ সমান পৃষ্ঠ আছে। বেলনৰ ব্যাসাৰ্দ্ধ $r$, উচ্চতা $2r$ হ’লে বক্ৰপৃষ্ঠকালি $=2\pi r\times 2r=4\pi r^2$। সেয়ে গোলকৰ SA $=4\pi r^2$।
4. গোলকৰ আয়তন (Volume of Sphere): ইন্টিগ্ৰেশন ব্যৱহাৰ কৰি (উচ্চ শ্ৰেণী) বা পানী-চলিত পৰীক্ষাৰে সিদ্ধ কৰিব পৰা যায় যে $V=\tfrac{4}{3}\pi r^3$। আমি এই সূত্ৰ স্বীকাৰ কৰিম।
5. শংকুৰ আয়তন (Volume of Cone): এটা একে ভিত্তি আৰু উচ্চতাৰ বেলনৰ আয়তনৰ এক-তৃতীয়াংশ হয় শংকুৰ আয়তন। ই পানী-পৰীক্ষাৰেও দেখুৱাব পাৰি — তিনিটা শংকুৰ পানী মিলি এটা একে আকাৰৰ বেলন ভৰি যায়।
$$V_{\text{cone}}=\tfrac{1}{3}\pi r^2 h=\tfrac{1}{3}V_{\text{cylinder}}$$
6. ছিন্ন শংকুৰ আয়তন (Volume of Frustum): ছিন্ন শংকুক বৃহৎ আৰু সৰু দুটা শংকুৰ পাৰ্থক্য হিচাপে চিন্তা কৰিব পাৰি।
যদি বৃহৎ শংকুৰ উচ্চতা $H$, ব্যাসাৰ্দ্ধ $r_1$ আৰু সৰু শংকুৰ উচ্চতা $H-h$, ব্যাসাৰ্দ্ধ $r_2$ হয়, তেন্তে সাদৃশ্য ত্ৰিভুজৰ ধৰ্মৰ পৰা $\tfrac{H-h}{H}=\tfrac{r_2}{r_1}$, ফলত $H=\tfrac{hr_1}{r_1-r_2}$।
$$V=\tfrac{1}{3}\pi r_1^2 H-\tfrac{1}{3}\pi r_2^2(H-h)$$
সৰল কৰাৰ পিছত—
$$V=\tfrac{1}{3}\pi h(r_1^2+r_2^2+r_1 r_2)$$
7. ছিন্ন শংকুৰ তীৰ্যক উচ্চতা: চিত্ৰৰ পৰা স্পষ্ট যে $\ell$ৰ লম্ব দুৰত্ব $h$ আৰু অনুভূমিক দুৰত্ব $(r_1-r_2)$।
$$\ell=\sqrt{h^2+(r_1-r_2)^2}$$
আৰু বক্ৰপৃষ্ঠকালি (similar approach) $=\pi(r_1+r_2)\ell$।
বাস্তৱ জগতৰ প্ৰয়োগ (Real-life Applications)
প্ৰয়োগ 1। আইচক্ৰীমৰ কোণ: এটা শংকুৰ ওপৰত অৰ্ধগোলকীয় টুপি — যেতিয়া আমি কিনো, তেতিয়া আয়তন সংৰক্ষণ আৰু পৃষ্ঠকালিৰ গণনাৰ প্ৰয়োগ হয়। গাহকে যাতে কোণৰ ভিতৰৰ সকলো পূৰাকৈ ভৰি থাকে, প্ৰস্তুতকাৰীয়ে সঠিক আয়তন পৰিকল্পনা কৰে।
প্ৰয়োগ 2। পানীৰ টেংকী: ঘৰৰ পানীৰ টেংকী সাধাৰণতে বেলনৰ ওপৰত অৰ্ধগোলক বহুৱাই বনোৱা হয়। ইয়াৰ ক্ষমতা (volume) আৰু বাহিৰৰ পেণ্ট কৰিবলৈ পৃষ্ঠকালি দুয়োটা প্ৰয়োজন।
প্ৰয়োগ 3। গাঁৱৰ কুঁৱা আৰু পঢ়ি: কুঁৱা খন্দা মাটিৰে ইয়াৰ চাৰিওফালে গোলাকাৰ পঢ়ি বনোৱাৰ সমস্যাত আয়তন সংৰক্ষণ নীতি প্ৰয়োগ হয়। কুঁৱাৰ আয়তন (বেলনাকাৰ মাটিৰ পিণ্ড) $=$ বৃত্তাকাৰ পঢ়িৰ আয়তন।
প্ৰয়োগ 4। তম্বু (Tent): এটা চাৰ্কাছৰ তম্বু সাধাৰণতে শংকুৰ ওপৰত বহুৱা বেলনৰ আকৃতিৰ। কেনভাছ ক্ৰয়ৰ বাবে দুয়োৰে CSA গণনা কৰিব লাগে।
প্ৰয়োগ 5। ফ্ৰিজৰ আইচ: বৰফ গলিলে পানীৰ আয়তন বৰফৰ আয়তনতকৈ কম হয় (প্ৰায় $\tfrac{10}{11}$)। কিন্তু সাধাৰণ গণিতৰ সমস্যাত আয়তন সংৰক্ষণ ধৰি লোৱা হয়।
প্ৰয়োগ 6। ৰূপৰ মুদ্ৰাৰ পৰা ইটা: পুৰণি মুদ্ৰা গলাই আধুনিক আকৃতিৰ পাত বনাবলৈ কুমাৰ আৰু ৰূপকাৰে আয়তন সংৰক্ষণ নীতি ব্যৱহাৰ কৰে।
প্ৰয়োগ 7। তেলৰ পাইপ আৰু খাল: পানীৰ প্ৰবাহ হাৰ গণনা কৰিবলৈ — যিমান সময়ে পাইপৰ ভিতৰেৰে ক্ৰছ-চেকচন পাৰ হ’ব, সেইটোৰ আয়তন গণনা কৰিব লাগে। $V=A\times v\times t$ য’ত $A$ ক্ৰছ-চেকচন, $v$ গতি, $t$ সময়।
মুখ্য সূত্ৰৰ চাৰ্ট (Quick Formula Reference)
| আকৃতি | CSA / LSA | TSA / SA | আয়তন |
|---|---|---|---|
| আয়তঘনক | $2h(l+b)$ | $2(lb+bh+lh)$ | $lbh$ |
| ঘনক | $4a^2$ | $6a^2$ | $a^3$ |
| সঠিক বেলন | $2\pi rh$ | $2\pi r(r+h)$ | $\pi r^2 h$ |
| ফোঁপোলা বেলন | $2\pi h(r_1+r_2)$ | $2\pi h(r_1+r_2)+2\pi(r_1^2-r_2^2)$ | $\pi h(r_1^2-r_2^2)$ |
| সঠিক বৃত্তীয় শংকু | $\pi r\ell$ | $\pi r(\ell+r)$ | $\tfrac{1}{3}\pi r^2 h$ |
| গোলক | $4\pi r^2$ | $4\pi r^2$ | $\tfrac{4}{3}\pi r^3$ |
| গোলকীয় খোলা | — | $4\pi(R^2+r^2)$ | $\tfrac{4}{3}\pi(R^3-r^3)$ |
| অৰ্ধগোলক | $2\pi r^2$ | $3\pi r^2$ | $\tfrac{2}{3}\pi r^3$ |
| ছিন্ন শংকু | $\pi(r_1+r_2)\ell$ | $\pi[(r_1+r_2)\ell+r_1^2+r_2^2]$ | $\tfrac{1}{3}\pi h(r_1^2+r_2^2+r_1r_2)$ |
প্ৰচুৰ অভ্যাস প্ৰশ্ন (Practice Questions)
1. 6 চে.মি. বাহুৰ এটা ঘনকৰ TSA আৰু আয়তন নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ TSA $=216$ বৰ্গ চে.মি., আয়তন $=216$ ঘন চে.মি.।
2. 14 চে.মি. ব্যাস আৰু 30 চে.মি. উচ্চতাৰ এটা বেলনৰ আয়তন নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ $V=\tfrac{22}{7}\times 49\times 30=4620$ ঘন চে.মি.।
3. এটা গোলকৰ ব্যাসাৰ্দ্ধ 21 চে.মি.। ইয়াৰ আয়তন আৰু পৃষ্ঠকালি লিখা।
উত্তৰঃ $V=\tfrac{4}{3}\times\tfrac{22}{7}\times 9261=38808$ ঘন চে.মি.। $SA=4\times\tfrac{22}{7}\times 441=5544$ বৰ্গ চে.মি.।
4. এটা শংকুৰ ব্যাসাৰ্দ্ধ 9 চে.মি. আৰু তীৰ্যক উচ্চতা 41 চে.মি.। ইয়াৰ উচ্চতা আৰু আয়তন নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ $h=\sqrt{41^2-9^2}=\sqrt{1681-81}=40$ চে.মি.। $V=\tfrac{1}{3}\times\tfrac{22}{7}\times 81\times 40=\tfrac{71280}{21}\approx 3394.29$ ঘন চে.মি.।
5. এটা ছিন্ন শংকুৰ ব্যাসাৰ্দ্ধ 14 চে.মি. আৰু 7 চে.মি. আৰু উচ্চতা 12 চে.মি.। ইয়াৰ আয়তন আৰু তীৰ্যক উচ্চতা নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ $\ell=\sqrt{144+49}=\sqrt{193}\approx 13.89$ চে.মি.। $V=\tfrac{1}{3}\times\tfrac{22}{7}\times 12\times(196+49+98)=\tfrac{22\times 4\times 343}{7}=4312$ ঘন চে.মি.।
6. 28 চে.মি. ব্যাসাৰ্দ্ধৰ এটা গোলক গলাই কিমান $7$ চে.মি. ব্যাসাৰ্দ্ধৰ গোলক বনাব পাৰি?
উত্তৰঃ $n=\tfrac{(28)^3}{(7)^3}=\tfrac{21952}{343}=64$ গোলক।
7. এটা 14 মি.মি. দীঘল আৰু 5 মি.মি. ব্যাসৰ কেপচুলত কিমান ঔষধ ভৰিব?
উত্তৰঃ $r=2.5$ মি.মি., বেলনৰ উচ্চতা $=9$ মি.মি.। $V=\pi r^2 h+\tfrac{4}{3}\pi r^3=\pi(6.25)(9+\tfrac{10}{3})\approx 244.14\text{ মি.মি.}^3$।
8. এটা 6 চে.মি. ব্যাসাৰ্দ্ধৰ অৰ্ধগোলক ও ১৪ চে.মি. উচ্চতাৰ এটা বেলনৰ আয়তনৰ অনুপাত নিৰ্ণয় কৰা যদি দুয়ো একে ব্যাসাৰ্দ্ধ থাকে।
উত্তৰঃ $\tfrac{V_{\text{hemi}}}{V_{\text{cyl}}}=\tfrac{\tfrac{2}{3}\pi r^3}{\pi r^2 h}=\tfrac{2r}{3h}=\tfrac{12}{42}=\tfrac{2}{7}$।
9. 1 মি.$^2$ পত্ৰৰে কিমান বৰ্গ মি. পৃষ্ঠকালিৰ এটা ফোঁপোলা ঘনাকাৰ পাত্ৰ বনাব পাৰি যাৰ এটা মুখ খোলা?
উত্তৰঃ পাঁচটা মুখৰ পৃষ্ঠকালি $=5a^2=1\Rightarrow a=\tfrac{1}{\sqrt 5}\approx 0.447$ মি.। আয়তন $=a^3\approx 0.089$ ঘন মি.।
10. এটা গোলক, এটা বেলন আৰু এটা শংকু একে ব্যাসাৰ্দ্ধ আৰু একে উচ্চতা থকা অৱস্থাত ইহঁতৰ আয়তনৰ অনুপাত নিৰ্ণয় কৰা (য’ত $h=2r$)।
উত্তৰঃ $V_{\text{sphere}}:V_{\text{cyl}}:V_{\text{cone}}=\tfrac{4}{3}\pi r^3:2\pi r^3:\tfrac{2}{3}\pi r^3=4:6:2=2:3:1$।
11. 1 চে.মি. ব্যাসাৰ্দ্ধৰ এটা গোলকীয় ফোঁপোলা পাত্ৰৰ ভিতৰত যিমান পানী ধৰে সেই পানী এটা $0.5$ চে.মি. ব্যাসাৰ্দ্ধৰ বেলনত ঢালিলে ইয়াৰ উচ্চতা কিমান হ’ব?
উত্তৰঃ $\tfrac{4}{3}\pi=\pi(0.25)h\Rightarrow h=\tfrac{16}{3}\approx 5.33$ চে.মি.।
12. 7 চে.মি. ব্যাসাৰ্দ্ধৰ আৰু 10 চে.মি. উচ্চতাৰ এটা বেলনৰ ভিতৰত একে ব্যাসাৰ্দ্ধ আৰু উচ্চতাৰ এটা শংকু খাপ খাই বহিল। অৱশিষ্ট স্থানৰ আয়তন কিমান?
উত্তৰঃ $V_{\text{cyl}}-V_{\text{cone}}=\pi r^2 h-\tfrac{1}{3}\pi r^2 h=\tfrac{2}{3}\pi r^2 h=\tfrac{2}{3}\times\tfrac{22}{7}\times 49\times 10=\tfrac{21560}{21}\approx 1026.67$ ঘন চে.মি.।
আকৃতিৰ চিনাক্তকৰণ অভ্যাস (Solid Identification Practice)
তলৰ চিত্ৰসমূহত প্ৰদৰ্শিত আকৃতি চিনাক্ত কৰা আৰু সেইবোৰৰ পৃষ্ঠকালি/আয়তনৰ সূত্ৰ লিখা।
উত্তৰ:
- (A) অৰ্ধগোলকৰ ওপৰত শংকু (cone-on-hemisphere)। TSA $=\pi r\ell+2\pi r^2$, $V=\tfrac{1}{3}\pi r^2 h+\tfrac{2}{3}\pi r^3$।
- (B) দুটা মূৰে শংকু থকা বেলন। আয়তন $=\pi r^2 h_c+\tfrac{2}{3}\pi r^2 h_o$।
- (C) কেপচুল (cylinder + 2 hemispheres)। পৃষ্ঠকালি $=2\pi rh+4\pi r^2$।
- (D) ছিন্ন শংকু (frustum of a cone)। $V=\tfrac{1}{3}\pi h(r_1^2+r_2^2+r_1r_2)$।
চমু পুনৰাবৃত্তি প্ৰশ্ন (Revision Capsule)
(i) এটা $a$ বাহুৰ ঘনকৰ মুখৰ সংখ্যা $=$ ?
উত্তৰঃ ছ (6)টা মুখ; ১২টা ধাৰ; ৮টা শীৰ্ষ।
(ii) $r$ ব্যাসাৰ্দ্ধৰ গোলকৰ ওপৰত আঁকিব পৰা সৰ্বাধিক বৃহৎ বৃত্তৰ পৰিধি কিমান?
উত্তৰঃ $2\pi r$।
(iii) এটা শংকুৰ ভিত্তি ক্ষেত্ৰফল $\pi r^2$ আৰু উচ্চতা $h$। ইয়াৰ আয়তন এটা একে ভিত্তি আৰু উচ্চতাৰ বেলনৰ আয়তনৰ ___ ভাগ।
উত্তৰঃ $\tfrac{1}{3}$ ভাগ।
(iv) ছিন্ন শংকুৰ ক্ষেত্ৰত $r_1=r_2$ হ’লে আকৃতিটো কি হ’ব?
উত্তৰঃ বেলন (cylinder)।
(v) এটা শংকুৰ ক্ষেত্ৰত $r=0$ হ’লে আকৃতিটো কি?
উত্তৰঃ এটা ৰেখাংশ (line segment) — শূন্য আয়তন।
(vi) দুটা গোলকৰ আয়তনৰ অনুপাত $a^3:b^3$ হ’লে ব্যাসাৰ্দ্ধৰ অনুপাত কি?
উত্তৰঃ $a:b$।
(vii) এটা ফোঁপোলা গোলকীয় খোলাৰ ভিতৰৰ আৰু বাহিৰৰ ব্যাসাৰ্দ্ধ যথাক্ৰমে $r$ আৰু $R$ হ’লে ধাতুৰ আয়তন?
উত্তৰঃ $\tfrac{4}{3}\pi(R^3-r^3)$।
(viii) 1 ঘন মি. পানীৰ ভৰ কিমান কি.গ্ৰা.?
উত্তৰঃ 1000 কি.গ্ৰা. (1 টন)।
(ix) 1 হেক্টৰ $=$ কিমান বৰ্গ মি.?
উত্তৰঃ 10000 বৰ্গ মি. ($10^4$ মি.²)।
(x) 1 কিলোমিটাৰ $=$ কিমান চে.মি.?
উত্তৰঃ $10^5$ চে.মি. (1 লাখ চে.মি.)।
একক ৰূপান্তৰ চাৰ্ট (Unit Conversion Chart)
| পৰিমাণ | ৰূপান্তৰ |
|---|---|
| দৈৰ্ঘ্য | 1 মি. $=100$ চে.মি. $=1000$ মি.মি. |
| দৈৰ্ঘ্য | 1 কি.মি. $=1000$ মি. $=10^5$ চে.মি. |
| ক্ষেত্ৰফল | 1 মি.² $=10^4$ চে.মি.² |
| ক্ষেত্ৰফল | 1 হেক্টৰ $=10^4$ মি.² $=10^8$ চে.মি.² |
| আয়তন | 1 মি.³ $=10^6$ চে.মি.³ |
| আয়তন | 1 লিটাৰ $=1000$ চে.মি.³ $=1$ ডে.মি.³ |
| আয়তন | 1 মি.³ $=1000$ লিটাৰ |
শব্দাৰ্থ (Glossary)
| অসমীয়া শব্দ | English | সংজ্ঞা |
|---|---|---|
| পৃষ্ঠকালি | Surface Area | এটা ত্ৰিমাত্ৰিক ঘনবস্তুৰ সকলো পৃষ্ঠৰ মুঠ ক্ষেত্ৰফল |
| আয়তন | Volume | এটা ঘনবস্তুৱে আবৰি ৰখা স্থানৰ পৰিমাণ |
| ঘনক | Cube | সকলো বাহু সমান এনে ছ-পৃষ্ঠী আয়তঘনক |
| আয়তঘনক | Cuboid | আয়তাকাৰ ছটা মুখ থকা ঘনবস্তু |
| বেলন | Cylinder | দুটা সমান্তৰাল বৃত্তাকাৰ ভিত্তি যুক্ত ঘনবস্তু |
| শংকু | Cone | এটা বৃত্তাকাৰ ভিত্তি আৰু এটা শীৰ্ষবিন্দু থকা ঘনবস্তু |
| গোলক | Sphere | এটা নিৰ্দিষ্ট কেন্দ্ৰৰ পৰা সমদূৰৱৰ্তী বিন্দুৰে গঠিত ঘনবস্তু |
| অৰ্ধগোলক | Hemisphere | গোলকৰ আধা ভাগ |
| ছিন্ন শংকু | Frustum | শংকুৰ শীৰ্ষৰ ফাল ভিত্তিৰ সমান্তৰালভাৱে কাটি পোৱা অংশ |
| তীৰ্যক উচ্চতা | Slant Height | শংকুৰ শীৰ্ষৰ পৰা ভিত্তিৰ পৰিধিলৈ যোৱা ৰেখাংশ |
| বক্ৰপৃষ্ঠকালি | Curved Surface Area | সমতল ভিত্তি বাদ দি বাকী বক্ৰাকাৰ পৃষ্ঠৰ ক্ষেত্ৰফল |
| সমষ্টি পৃষ্ঠকালি | Total Surface Area | সকলো পৃষ্ঠৰ (বক্ৰ + সমতল) মুঠ ক্ষেত্ৰফল |
| ৰূপান্তৰ | Conversion | এটা ঘনবস্তুক গলাই আনটো আকৃতিলৈ পৰিৱৰ্তন |
| আয়তন সংৰক্ষণ | Volume Conservation | ৰূপান্তৰৰ পিছতো মুঠ আয়তন অপৰিৱৰ্তিত থকা নীতি |
| যৌগিক ঘনবস্তু | Combination of Solids | দুটা বা তাতকৈ অধিক ঘনবস্তু লগ লগাই গঠিত আকৃতি |
HSLC GURUত আপোনাক ASSEB Class 10 গণিতৰ সকলো অধ্যায়ৰ অসমীয়া মাধ্যমৰ সমাধান প্ৰদান কৰা হ’ব। অভ্যাস কৰক, সমস্যাত সংখ্যাবোৰ মন দি বুজি লওক, আৰু সূত্ৰসমূহ নিজে লিখি মুখস্থ কৰক। ASSEB বোৰ্ড পৰীক্ষাৰ বাবে শুভেচ্ছা!